Devoirs du BLOC 2 : Les mesures de tendance centrale et de dispersion

Module 3 : Les mesures de tendance centrale1. Indique la mesure de tendance centrale qui décrit le mieux chacun des

énoncés suivants :a) La chanson la plus demandée dans une station radiophonique. Le modeb) Les résultats 12, 80, 82, 84 et 87 à un examen. La médianec) La taille la plus populaire des casquettes. Le moded) La masse d’un éléphant adulte. La moyennee) Le salaire versé par une entreprise. La moyennef) Ton habileté aux quilles. La moyenne

2. Décris l’effet de chaque changement sur la moyenne de cet ensemble de nombres : 10, 11, 12, 13, 14, 15

a) Augmente chaque nombre de 2. La moyenne augmenterait de 2.b) Diminue chaque nombre de 2. La moyenne diminuerait de 2. c) Double chaque nombre. La moyenne doublerait.

3. La liste suivante indique les nombres de tirs au but effectués par l’équipe des Guêpes à leurs 10 derniers matchs.

18 18 25 19 27 18 15 19 22 27 → 15 18 18 18 1919

médianeest lamoyennede cesdeux nombres

22 25 27 27

a) Trouve la moyenne, le mode et la médiane.

µ = ∑ xiN = 18+18+…+22+27

10 = 20810 = 20,8 tirsEn moyenne, l’équipe des Guêpes ont lancés 20,8 fois au but lors de leurs 10 derniers matchs. Leur nombre de tirs le plus fréquent a été de 18 tirs au but. La médiane des tirs au but est de 19 tirs.

4. Voici les marques de Tanya aux quilles : 145, 145, 168, 170, 174, 182a) Le mode donne-t-il une indiction exacte de son niveau de jeu ? Pourquoi ? Non, le mode

ne donne pas une indication exacte de son niveau de jeu, car il s’agit de son résultat le plus bas. Tous ses autres résultats sont supérieurs au mode.

b) La médiane donne-t-elle une indication juste de son niveau de jeu ? Pourquoi ? La médiane donne une bonne indication de son jeu. Dans cette situation, la médiane est de 169, ce qui représente très bien ses marques en général.

5. Ce tableau indique les salaires des employés dans une petite entreprise :

Poste Nombre d’employés

Fréquence cumulée

Salaire annuel ($)

Président(e) 1 1 100 000

Vice-Président(e) 1 2 60 000Cadres supérieurs 4 6 40 000Personnel subalterne

2 8 30 000

a) Trouve la moyenne, la médiane et le mode.

µ = ∑ f i x iN

= 1 (100000 )+1 (60000 )+4 (40000 )+2(30000)8 = 3800008 = 47 500 $

En moyenne, un employé de la compagnie possède un salaire de 47   500 $.

30 000 30 000 40 000 4000040000

médianeest lamoyennede cesdeux nombres

40 000 60 000 100 000

La médiane des salaires est de 40   000 $. Il y a donc au moins 50% des personnes qui ont un salaire de 40   000 $ ou moins.

Le mode, donc la donnée qui est la plus fréquente est de 40   000 $.

b) Quelle mesure de tendance centrale représente le mieux les données ? Explique.La médiane (ou le mode) seraient les meilleures mesures de tendance centrales qui représentent mieux les données, car la majorité des données se trouvent autour du 40   000 $.

c) Quelle mesure de tendance centrale subit le plus l’effet des valeurs extrêmes ?La moyenne est la mesure de tendance centrale qui subit le plus l’effet des valeurs extrêmes (dans ce cas-ci 100   000 $), car elle tient compte de toutes les données. Les deux autres mesures de tendance centrales ne tiennent pas compte de cette valeur extrême.

6. Indique si chacun des énoncés suivants est toujours vrai, parfois vrai ou toujours faux. Explique

a) Si un ensemble de nombres a un mode, le mode est l’un des nombres de l’ensemble. Toujours vrai

b) La médiane d’un ensemble de nombres naturels est un nombre naturel. Parfois vraic) La moyenne d’un ensemble de nombres est l’un des nombres de l’ensemble. Parfois vraid) La moyenne, la médiane et le mode d’un ensemble de nombres ne sont pas égaux.

Parfois vrai

7. Dans chaque ensemble, ordonne les nombres en ordre croissant.a) 5 nombres dont la moyenne est 15, la médiane est 12 et le mode est 11.

Les réponses peuvent varier , mais la somme de tous les nombres doit être 75, et 11 est la donnée la plus fréquente.

b) 4 nombres dont la moyenne est 12,5, la médiane est 11,5 et le mode est 10. Les réponses peuvent varier , mais la somme de tous les nombres doit être 50, et 10 est la donnée la plus fréquente.

c) 6 nombres dont la moyenne est 20, la médiane est 22,5 et qui n’a pas de mode. Les réponses peuvent varier , mais la somme de tous les nombres doit être 120, et aucune donnée plus fréquente.

8. Une manufacture fabrique des téléviseurs. À tous les jours, le préposé au contrôle de qualité effectue des tests sur 100 téléviseurs choisis de façon aléatoire. Le tableau ci-contre donne le nombre de téléviseurs par lot de 100 qui présentent des défectuosités et ce, pour une période de 30 journées consécutives de production. Calcule et interprète les 3 mesures de tendance centrales.

µ = ∑ f i x iN

= 2 (0 )+2 (1 )+…+1 (6 )+1(7)30 = 9330 = 3,1

téléviseurs Il y a, en moyenne, 3,1 téléviseurs défectueux par lot.

La médiane est la moyenne entre la 15 e et la 16 e donnée. Dans cette situation, la 15 e donnée est 3 et la 16 e donnée est 3. La moyenne de ces deux nombres est donc 3. La médiane est de 3 téléviseurs défectueux par lot. Il y a 50 % des lots qui possèdent au moins 3 télévisions défectueux.

Le mode de cette distribution est de 3. Il y a donc 3 téléviseurs défectueux par lot qui est le plus courant.

9. Un biologiste a obtenu les données suivantes sur le nombre de vertèbres de poissons, d’une certaine espèce, capturés dans un cours d’eau. Calcule et interprète les 3 mesures de tendance centrales.

Nombre de vertèbres

104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

Nombre de poissons

1 2 10 12 25 40 35 32 11 5 2 2

Fréquence cumulée

1 3 13 25 50 90 125 157 168 173 175 177

x= ∑ f i x in

= 1 (104 )+2 (105 )+…+2 (114 )+2(115)177 = 19375177 ≈ 109,46 vertèbres

Il y a, en moyenne, 109,46 vertèbres par poisson d’une certaine espèce dans un cours d’eau.

La médiane est la 89 e donnée. Dans cette situation, la 89 e donnée est 109 vertèbres. Il y a donc 50 % des poissons qui possèdent 109 vertèbres ou moins.

Nombre de téléviseurs défectueux par lot

Fréquence absolue

Fréquence cumulée

0 2 21 2 42 7 113 8 194 5 245 4 286 1 297 1 30Total 30

Le mode de cette distribution est de 109. Le nombre de vertèbres le plus courant chez l’espèce de poisson est de 109.

10.Le tableau suivant indique la taille, en centimètres, de 160 élèves âgés de 13 ans. Calcule et interprète les 3 mesures de tendance centrales.

x≈ ∑ c i f in

≈ 8 (107,5 )+20 (112,5 )+…+20 (132,5 )+4(137,5)

160 ≈ 19380160 ≈ 121,125 cmEn moyenne, la taille approximative des enfants est de 121,125 cm.

La médiane est la moyenne entre la 80 e et la 81 e donnée. Dans cette situation, la 80 e donnée est la 4 e donnée de la classe [120, 125[ et la 81 e donnée est la 5 e donnée de la classe [120, 125[. Ces nombres approximatifs sont   :

80 e donnée   : 120 + 444(5) ≈ 120,454… 81e donnée : 120 + + 544

(5) ≈ 120,568…

La moyenne de ces 2 données est 120,511. La médiane de cette distribution est donc approximativement 120,511 cm. Il y a donc 50% des tailles d’enfants qui sont d’au moins 120,511 cm.

La classe modale de cette distribution est de [115, 120[ cm. Cela signifie qu’il y a un plus grand nombre d’enfants qui mesurent entre [115, 120[ cm comparativement aux autres tailles.

11. On a demandé à 500 étudiants le total de leur revenu estival. Les réponses des étudiants se trouvent dans le tableau ci-dessous. Calcule et interprète les 3 mesures de

tendance centrales.

Taille des enfants (en cm)

Centre de la classe

Fréquence absolue

Fréquence cumulée

[105, 110[ 107,5 8 8[110, 115[ 112,5 20 28[115, 120[ 117,5 48 76[120, 125[ 122,5 44 120[125, 130[ 127,5 16 136[130, 135[ 132,5 20 156[135, 140[ 137,5 4 160Total 160

Revenu estival

Centre de la classe

Fréquence absolue

Fréquence cumulée

[0, 500[ 250 75 75[500, 1000[ 750 150 225[1000, 1500[

1250 125 350

[1500, 2000[

1750 100 450

[2000, 3000[

2500 50 500

Total 500

x≈ ∑ c i f in

≈ 75 (250 )+150 (750 )+125 (1250 )+100 (1750 )+50(2500)500 ≈ 587500500 ≈ 1 175 $

En moyenne, les 500 étudiants ont obtenu un revenu estival d’environ 1   175 $.

La médiane est la moyenne entre la 250 e et la 251 e donnée. Dans cette situation, la 250 e

donnée est la 25 e donnée de la classe [1000, 1500[ et la 251 e donnée est la 26 e donnée de la classe [1000, 1500[. Ces nombres approximatifs sont   :

250 e donnée   : 1000 + 25125(500) ≈ 1 100 251e donnée : 1000 + + 26125

(500) ≈ 1 104

La moyenne de ces 2 données est 1 102. La médiane de cette distribution est donc approximativement 1   102 $. Cela signifie qu’au moins 50% des étudiants ont obtenu un revenu de 1   102 $ ou moins.

La classe modale de cette distribution est de [500, 1000[ $. Cela signifie qu’il y a un plus grand nombre d’étudiants qui ont obtenu un revenu estival entre [500, 1000[ $ comparativement aux autres classes.

12. Dans une compétition internationale de danse en patinage artistique, les couples doivent effectuer quatre danses : 2 danses imposées, une danse originale et une danse libre. Le coefficient de pondération associé aux danses est respectivement 0,2, 0,2, 0,6 et 1,0. Le tableau de droite donne les notes attribuées par un juge pour ces quatre danses. Calcul la note moyenne attribuée par ce juge.

Moyenne pondérée  = 5,4(0,2)+5,2(0,2)+5,6(0,6)+5,7 (1,0)2

= 5,59. Le juge a attribué une

moyenne au couple de 5,59.

13. Quelle expression algébrique représente la moyenne des termes suivants : 3a + 5, 7a - 9 et -4a + 7 ?

3a+5+7a−9+−4a+73 = 6a+33 = 2a + 1

14. La note finale d’Alexis en géographie proviendra de la moyenne de 5 examens qui ont le même poids. Il est inquiet, car après 4 examens, sa moyenne est de 56 %.

a) Quelle note doit obtenir Alexis afin d’atteindre la note de passage, soit 60% ?

Supposons qu’il a obtenu 56 % sur ses 4 évaluations   : 56+56+56+56+x5=60 x = 76. Il doit

ainsi obtenir au moins 76 % afin de réussir la note de passage de 60%.

b) Quelle est la note maximale que peut recevoir Alexis dans son cours de géographie ?56+56+56+56+100

5=64,8% Le maximum qu’il peut obtenir dans le cours est de 64,8% en

ayant 100 % sur l’examen.c) Quelle est la note minimale que peut recevoir Alexis dans son cours de géographie ?

Danse Note

Facteur de pondération

Imposée 1 5,4 0,2Imposée 2 5,2 0,2Originale 5,6 0,6Libre 5,7 1,0

56+56+56+56+05

=44,8% Le minimum qu’il peut obtenir dans le cours est de 44,8% en ayant 0 % sur l’examen.

15. Calcule la moyenne approximative de l’âge des auditeurs d’une station de radio.

µ≈∑ c i f iN

≈ 32 (20 )+50 (27 )+…+30 (55 )+5(70)221

≈ 8090221 ≈ 36,61 ans

En moyenne, l’âge approximative des auditeurs de la station de radio ont 36,61 ans.

16. On a tenu un référendum pour obtenir l’opinion publique sur la fusion possible de quatre villes avoisinantes. Si la majorité des électeurs sont favorables, la fusion aura lieu. Le tableau suivant donne le nombre de votes enregistrés dans chacune de ces villes, ainsi que le pourcentage de votes favorables à une fusion. Quel est le pourcentage des votes favorables à la fusion des villes ?

Ville Nombre de votes

Pourcentage en faveur

Victoriaville 22 154 56Arthabaska 13 289 41Sainte-Victoire 6 263 45Saint-Christophe 4 519 47

22   154 (0,56) + 13   289 (0,41) + 6   263 (0,45) + 4   519 (0,47) = 22   797 personnes sont en

faveur sur un total de 46   225 personnes. Donc , 2279746225 ≈ 0,493174… ≈ 49, 32 % des gens

sont favorables à une fusion.

17. Cette année, la campagne de financement des scouts était une collecte de bouteilles et de canettes consignées vides. Voici le nombre de bouteilles et de canettes ramassées par chacun des 12 membres du groupe :

38 75 19 34 98 48 54 23 29 65 81 52a) Détermine la médiane de cet ensemble de données.

19 23 29 34 38 4852

Lamédianeest lamoyenne deces deux nombres

54 65 75 81 98   . La médiane de cet

ensemble est donc 50. Il y a au moins 50% des collectes qui contenait 50 cannettes ou plus.

18. Le nombre d’adeptes du vélo de montagne a augmenté considérablement au cours des dernières années. Le tableau-ci-dessous représente le pourcentage de croissance annuelle du nombre d’adepte de ce sport dans une station. Détermine la variation annuelle moyenne équivalente à ces 5 variations.

Âge des auditeurs

Centre de la classe

Fréquence absolue

[16, 24[

20 32

[24, 30[

27 50

[30, 40[

35 58

[40, 50[

45 46

[50, 60[

55 30

[60, 80[

70 5

Total 221

Accroissement du nombre d’adeptes de vélo de montagneAnnée Variation (en pourcentage)2010 6,72011 10,12012 7,42013 7,32014 9,1

6,7+10,1+7,4+7,3+9,15 = 40,65 = 8,12. La variation annuelle moyenne est de 8,12 %.

19. On a mené une enquête auprès des élèves de 12e

année d’une école afin de connaître le nombre de jours par semaine où ils font au moins 30 minutes d’activité physique. Déterminer les 3 mesures de tendance centrales.

µ = ∑ f i x iN

= 8 (0 )+12 (1 )+…+3 (6 )+1(7)100 = 272100 = 2,72

jours Le élèves font au moins 30 minutes d’activité physique, en moyenne 2,72 jours par semaine.

La médiane est la moyenne entre la 50 e et la 51 e donnée. Dans cette situation, la 50 e

donnée est 3 et la 51 e donnée est 3. La moyenne de ces deux nombres est donc 3. La médiane est de 3 jours par semaine où les élèves font au moins 30 minutes d’activité physique. Il y a ainsi au moins 50% des élèves qui font de l’activité physique (pendant 30 mins. et plus) 3 jours par semaine ou plus.

Les modes de cette distribution sont de 2 et 3. Donc 2 jours et 3 jours sont le nombre de jour où il y a le plus d’élèves qui font au moins 30 minutes d’activité physique comparativement aux autres nombres de jours. Cette distribution est ainsi bimodale étant donnée qu’elle contient deux modes.

20. Le tableau ci-dessous donne la répartition selon le type d’abonnement des membres d’un club de golf.

Membres du Club de golf royal – Saison 2017Type de

membre

Âge Centre de la

classe

Prix de l’abonneme

nt ($)

Nombre de

membres

Fréquence

cumulée

Junior [10 , 18[

14 260 142 142

Régulier

[18 , 55[

36,5 680 440 582

Senior [55 , 65[

60 595 287 869

Nombre de jours

Nombre d’élèves

Fréquence cumulée

0 8 81 10 182 27 453 27 724 16 885 8 966 3 997 1 100Total 100

Maître [65 et plus

75 500 206 1075

Total 1075

a) Quel est le mode de cette distribution ? Le mode représente les membres réguliers [18, 55[.

b) Détermine le type de membre médian dans cette distribution. La médiane est la 538 e donnée. C’est donc le membre régulier qui est le membre médian.

c) Détermine le prix moyen payé pour un abonnement à ce club par l’ensemble des membres.

µ = ∑ f i x iN

= 142 (260 )+440 (680 )+287 (595 )+206(500)1075 = 6098851075 ≈ 567, 33 $

Le prix moyen pour un abonnement au club est d’environ 567, 33 $.

d) Détermine approximativement, l’âge moyen des membres de ce club. (Utilise 85 comme borne supérieure de la classe des maîtres)

µ = ∑ f i c iN

= 142 (14 )+440 (36,5 )+287 (60 )+206 (75)1075 = 507181075 ≈ 47,18 ans.

L’âge moyen des membres du club est d’environ 47,18 ans.

e) Détermine approximativement, l’âge médian des membres de ce club.Étant donné qu’il y a 1075 membres, le membre médian se retrouve à la 538 e donnée. La 538 e donnée se retrouve dans la classe [18, 55[ et elle trouve à être la 396 e donnée de cette

classe. Donc, 18 + 396440(37) = 51,3 ans. L’âge médian est donc approximativement 51,3 ans.

50% des membres sont au moins âgés de 51,3 ans ou plus.

21. Ajoute deux données à la distribution suivante sans changer la moyenne, ni la médiane : 16, 15, 36, 18, 22, 13

Les deux nombres ajoutés doivent avoir une moyenne de   : 20 et des nombres est inférieurs ou égale à 16 et l’autre nombre est supérieur ou égal à 18. *Les réponses peuvent varier* Par exemple, tu peux ajouter 14 et 26. La moyenne est encore 20 et ces nombres n’ont pas influencés la médiane initiale.

22. Indique si chacun des énoncés ci-dessous est valable, s’il n’est pas valable, explique ou donne la bonne réponse :

a) Le sport le plus pratiqué par les jeunes de 7 à 10 ans au Nouveau-Brunswick est le soccer. Ceci veut donc dire que plus de la moitié des jeunes de 7 à 10 ans du Nouveau-Brunswick qui exercent un sport pratiquent le soccer.Faux, cela veut tout simplement dire qu’il y a plus de jeunes qui jouent au soccer comparativement aux autres sports.

b) Deux classes ont effectué le même test. La note moyenne est de 82 % dans une classe et de 74 % dans l’autre classe. La moyenne des deux classes est donc 78 %. S’il y a le même nombre d’élèves dans les deux classes, cette moyenne est vraie, sinon, on doit calculer la moyenne pondérée. Multiplier la note par le nombre d’élèves dans chaque classe et ensuite, diviser par le nombre d’élèves en tout.

c) Une distribution comporte 6 données entières et positives. La moyenne des données est 5. La plus grande donnée ne doit pas excéder 30. Faux, la somme des 6 données doit être 30.

d) Avant l’augmentation de 10 %, le coût médian hebdomadaire pour envoyer un enfant à la garderie, 5 jours par semaine était de 110 $. Le coût médian s’élève donc maintenant à 121 $. Vrai

e) Dans une certaine industrie, une enquête a révélé que 90 % des salaires sont inférieurs au salaire moyen. L’enquête est nécessairement erronée. Non, pas nécessairement, cela voudrait peut-être dire que les 10 % possèdent un très haut salaire comparé au 90 % des employés.

f) La médiane des revenus mensuels d’un restaurant est de 20 000 $. Par conséquent, les revenus annuels atteignent 240 000 $. Faux, tous les mois ne sont pas nécessairement pareils, également, la médiane ne représente pas la moyenne.

g) Les loyers mensuels d’un immeuble à logements ont tous subi une augmentation de 5 % en juillet dernier. Le loyer mensuel moyen pour un certain immeuble était de 600 $, avant l’augmentation. Par conséquent, le loyer moyen pour l’immeuble est passé à 630 $/mois. Vrai

h) Le revenu annuel de 32 employés d’une manufacture est de 31 500 $. On peut donc dire qu’un employé sur deux a un revenu annuel supérieur à ce montant. Non, on ne connait pas le nombre total d’employés.

23. Voici un tableau représentant le nombre de victimes de la circulation d’un certain état.

a) Quelle est la classe modale ?La classe modale est la classe de 16 à 20 ans.

b) Est-ce que le mode est une bonne représentation de l’ensemble des données dans cette mise en situation ?

Oui, dans cette situation le mode représente assez bien l’ensemble des données, car c’est dans cette classe, et de plusieurs centaines qu’on retrouve le plus de données.

Module 4 : Les mesures de dispersion24. Détermine l’étendue des distributions suivantes :

Âge Nombre de victimes

De 0 à 5 ans 131De 6 à 10 ans 195De 11 à 15 ans 195De 16 à 20 ans 1216De 21 à 25 ans 931De 26 à 35 ans 931De 36 à 45 ans 685De 46 à 55 ans 366De plus de 55 ans 634

a) Plus grande valeur – plus petite valeur   : 15 – 2 = 13. Il y a une différence de 13 entre les données.

b) Plus grande valeur – plus petite valeur   : 7 – 3 = 4. Il y a une différence de 4 entre les données.

c) Plus grande valeur – plus petite valeur   : 76 – 21 = 55. Il y a une différence de 55 entre les données.

d) Plus grande valeur – plus petite valeur   : 70 – 5 = 65. Il y a une différence de 65 entre les données.

25. Les données d’une certaine distribution sont : 1, 2, 3, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10. On a omis un 6 dans la distribution. À la suite de la correction de cette erreur,

quelle(s) mesures s) parmi les suivantes demeurera(ont) inchangée(s) ? MODE MOYENNE MÉDIANE ÉTENDUE

26. Une distribution est composée des nombres suivants : 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 10, 11. Les nombres 3 et 10 sont remplacés par les nombres 6 et 7. Quel(s) mesures(s) parmi les suivantes changera(ont) ? MÉDIANE

27.Crée un ensemble de données en ordre croissant dont de taille 10 dont l’étendue est 13, le mode est 25 et la moyenne est 22. Les réponses peuvent varier, la somme de tous les nombres doit être 220, la donnée la plus fréquente est 25.

Calcule l’écart absolu moyen de chacun des ensembles suivants :

a) EM = ∑ ¿ xi−µ∨¿N

¿ = |2−6|+|3−6|+…+|10−6|+¿12−6∨ ¿9

¿ = 249 ≈ 2,67. En moyenne, il y a 2,67 de

différence entre les données et la moyenne.

b) EM = ∑ f i ¿ xi−µ∨¿N

¿= 3|7−8,96875|+8|8−8,96875|+…+5|10−8,96875|+4∨11−8,96875∨ ¿32

¿ =

27,312532 ≈ 0,8535. En moyenne, il y a 0,8535 de différence entre les données et la moyenne.

c) EM = ∑ f i ¿c i−µ∨¿N

¿ = 2|5−23,5|+5|15−23,5|+8∨25−23,5∨+4|35−23,5|+1∨45−23,5∨ ¿20

¿ =

15920 ≈ 7,95. En moyenne, il y a 7,95 de différence entre les données et la moyenne.

28. Quel(s) énoncé(s) parmi les suivantes est(sont) vrai(s) concernant la moyenne et l’écart type ?a) Si on ajoute une donnée égale à la moyenne à un ensemble de données, la moyenne

et l’écart type demeureront inchangés.b) Si on additionne un même nombre à chacune des données d’un ensemble, la moyenne

augmentera de ce nombre et l’écart type demeurera inchangé. c) Il est possible d’ajouter deux données différentes de la moyenne à un ensemble de

données, sans que la moyenne, ni l’écart type soient changés.d) Si on double toutes les données d’un ensemble, la moyenne sera doublée et l’écart

type sera quadruplé.

29. Soit une série de 8 données. La plus petite est 12 et la plus grande est 32. La moyenne des données est égale à 20. Détermine si l’écart type diminue, augmente ou demeure constant lorsqu’on ajoute :

a) 35 à la série de données : L’écart type augmenteb) 20 à la série de données : L’écart type diminue c) 10 à la série de données : L’écart type augmente

30. Calcule l’écart type de chacun des ensembles suivants :

a) σ = √∑ (x i−μ)2

N = √ (2−6)2+(3−6)2+…+ (10−6 )2+(12−6)2

9 = √ 929 ≈ 3,1972. La plupart des données

(68%) se situent à ± 3,1972 de la moyenne soit entre 2,8028 et 9,1972.

b) σ = √∑ f i(x i−μ)2

N = √ 3 (7−8,96875)2+8 (8−8,96875)2+…+5 (10−8,96875 )2+4 (11−8,96875)2

32 ≈

√ 40,9687532 ≈ 1,1315. La plupart des données (68%) se situent à ± 1,1315 de la moyenne, soit entre

7,83725 et 10,10025.

c) σ= √∑ f i(c i−μ)2

N = √ 2(5−23,5)2+5(15−23,5)2+…+4 (35−23,5 )2+1(45−23,5)2

20 ≈ √ 205520 ≈ 10,1366.

La plupart des données (68%) se situent à ± 10,1366 de la moyenne, soit entre 13,3634 et 33,6366.

31. Indique laquelle des variables suivantes (1 ou 2) a le plus grand écart type.

a) 1. Le prix d’une maison unifamiliale au Nouveau-Brunswick 2. Le prix d’une maison unifamiliale au Canada

b) 1. Les salaires de joueurs de hockey des 10 dernières années 2. Les salaires de joueurs de hockey des 20 …

c) 1. Les températures maximales à Campbellton 2. Les températures maximales à Orlando

d) 1. Le temps des athlètes olympiques au 1000m du patin de vitesse 2. Les temps des athlètes des Comètes…

32. Voici le nombre de votes obtenus par les 4 derniers concurrents à une émission de télévision pour les 5 dernières semaines du concours. Les cases grises indiquent que la personne a été éliminée. Vrai ou faux :

a) Jason a été éliminé le 4 mai, même s’il a reçu en moyenne, au cours des semaines du 20 avril au 4 mai, plus de vote que Marie-Pier. Vrai

b) Au cours des semaines du 20 avril au 11 mai, parmi les trois concurrents, c’est Marie-Pier qui a été la moins régulière dans les nombres de votes reçus. Vrai

c) Au cours des semaines du 20 avril au 11 mai, parmi les trois concurrents, c’est Christophe qui a eu la plus grande étendue dans le nombre de votes reçus. Faux

d) Le 18 mai, l’écart à la moyenne (pour les cinq dernières semaines du concours) du nombre de votes obtenus par Christophe a été supérieur à l’écart à la moyenne du nombre de votes obtenus par Philippe. Vrai

33. On a relevé le nombre de fautes de frappe par page dans un volume de 250 pages.

a) Quelle est la population étudiée ? Les 250 pages d’un volume

b) Quelle est la variable étudiée ? Le nombre de fautes

c) Quel est le type de variable ? Quantitative discrète

d) Quelles sont les modalités de la variable ? 0, 1, 2, 3 et 4

e) Trace le diagramme approprié pour cette situation.

f) Calcule et interprète la moyenne.

µ = ∑ f i x iN

= 128 (0 )+90 (1 )+24 (2 )+6 (3 )+2(4)

250 = 164250 = 0,656 fautes. En moyenne, il y a 0,656 fautes par

pages dans le volume de 250 pages.

g) Quel est le mode ? Le mode est de 0 fautes. Cela signifie qu’il y a davantage de pages qui contiennent aucune (0) faute comparativement aux autres nombres de fautes.

h) Calcule et interprète la médiane. Étant donné qu’il y a 250 données, la médiane se trouve à être la moyenne de la 125 e et la 126 e donnée. Ces deux données se trouvent dans la classe de 0 faute. Cela signifie qu’il y a au moins 50% des pages qui contiennent 0 fautes (ou moins).

i) Détermine l’étendu et interprète-le. La plus grande donnée est 4 et la plus petite est 0 : 4 – 0 = 4. L’étendue est de 4 ce qui signifie qu’il y a un intervalle de 4 entre la plus petite et la plus grande donnée.

j) Calcule et interprète l’écart absolu moyen.

0 1 2 3 40

20406080

100120140 128

90

246 2

Nombre de fautes par page dans un vo-lume de 250 pages

Nombre de fautes

Nom

bre

de p

ages

(effe

ctif)

EM = ∑ f i ¿ x i−µ∨¿N

¿= 128|0−0,656|+90|1−0,656|+…+6|3−0,656|+2∨4−0,656∨ ¿250

¿ = 167,936250 ≈

0,6717. En moyenne, il y a 0,6717 de différence entre les données (le nombre de fautes) et la moyenne des fautes.

k) Calcule et interprète l’écart-type.

σ = √∑ f i(x i−μ)2

N = √ 128 (0−0,656)2+90 (1−0,656)2+…+6 (3−0,656 )2+2(4−0,656)2

250 ≈ √ 164,416250

≈

0,811. La plupart des données (68%) se situent à ± 0,811 de la moyenne soit entre 0 et 1,467 fautes par page.

34. On a relevé à la fin d’un semestre le nombre d’absences par élèves dans un échantillon de 55 élèves prélevés au hasard systématiquement dans une école quelconque.

a) Quelle est la population étudiée ? Les élèves d’une école quelconque

b) Quel est l’échantillon étudié ? 55 élèves d’une école quelconque

c) Quelle est la variable étudiée ? Le nombre d’absence par élève

d) Quel est le type de variable ? Quantitative discrète

e) Quelles sont les modalités de la variable ? 0, 1, 2, 3, 4 et 5

f) Trace le diagramme approprié pour cette situation.

g) Calcule et interprète la moyenne.

x = ∑ f i x in

= 18 (0 )+17 (1 )+10 (2 )+6 (3 )+3 (4 )+1(5)

55 = 7255 ≈1,31fautes. En moyenne, les élèves s’absentent 1,31

fois.

h) Quel est le mode ? Le mode est de 0 absences. Cela signifie qu’il y a davantage d’élèves qui ne s’absentent pas (0) comparativement aux autres quantités d’absences.

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20 18 17

10

63

1

Le nombre d'absences par élève

Nombre d'absences

Nom

bre

d'él

èves

(effe

ctif)

i) Calcule et interprète la médiane. Étant donné qu’il y a 55 données, la médiane se trouve à être la 28 e donnée. Cette donnée se trouve dans la classe de 1 absence. Cela signifie qu’il y a au moins 50% des élèves qui s’absentent 1 fois ou moins.

j) Détermine l’étendu et interprète-le. La plus grande donnée est 5 et la plus petite est 0 : 5 – 0 = 5. L’étendue est de 5 ce qui signifie qu’il y a un intervalle de 5 entre la plus petite et la plus grande donnée.

k) Calcule et interprète l’écart absolu moyen.

EM = ∑ f i ¿ x i−x∨¿n

¿= 18|0−1,31|+17|1−1,31|+…+3|4−1,31|+1∨5−1,31∨ ¿55

¿ = 57,6363…

55 ≈

1,0479. En moyenne, il y a 1,0476 de différence entre les données (le nombre d’absences) et la moyenne des absences.

l) Calcule et interprète l’écart-type.

s = √∑ f i(x i−x )2

n−1 = √ 18 (0−1,31)2+17(1−1,31)2+…+3 (4−1,31 )2+1(5−1,31)2

55−1 ≈ √ 89,745454

≈ 1,289. La

plupart des données (68%) se situent à ± 1,289 de la moyenne soit entre 0,021 et 2,599 absences.

35. On a relevé l’âge des mères à la naissance de leur premier enfant. Un échantillon de 50 mères a donné la distribution suivante.

a) Quelle est la population étudiée ? Les mères

b) Quel est l’échantillon étudié ? 50 mères

c) Quelle est la variable étudiée ? L’âge de la mère

d) Quel est le type de variable ? Quantitative continue

e) Quelles sont les modalités de la variable ? Ex. : 19,1, 25,6, 30, … f) Trace le diagramme approprié pour cette situation.g) Calcule et interprète la moyenne.

x ≈ ∑ c i f in

≈ 6 (16 )+10 (20 )+10 (2 )+…+6 (32 )+2(36)

50 ≈ 123250 ≈ 24,64 ans. En moyenne, les mères ont environ

24,64 ans à la naissance de leur premier enfant.

h) Quel est le mode ? La classe modale est [22, 26[ans. Cela signifie qu’il y a davantage de mères qui ont entre 22 et 26 ans comparativement aux autres classes d’âge.

i) Calcule et interprète la médiane. Étant donné qu’il y a 50 données, la médiane se trouve à être la moyenne de la

25 e et la 26 e donnée. La 25 e donnée est la 9 e donnée de la classe [22, 26[, donc : 22 + 914 (4) ≈ 24, 57 ans. La 26 e

donnée est la 10 e donnée de la classe [22, 26[, donc : 22 + 1014 (4) ≈ 24, 86 ans. La moyenne de ces deux données

est ainsi : 24,57+24,86

2 ≈ 24,715 ans. Cela signifie qu’il y a, approximativement, au moins 50% des mères qui

ont 24,715 ans à la naissance de leur premier enfant ou moins.j) Détermine l’étendu et interprète-le. La plus grande donnée est 38 et la plus petite est 14 : 38 – 14 = 24.

L’étendue est de 24 ce qui signifie qu’il y a un intervalle de 24 entre la plus petite et la plus grande donnée.k) Calcule et interprète l’écart absolu moyen.

EM ≈ ∑ f i ¿c i−x∨¿n

¿ ≈ 6|16−24,64|+10|20−24,64|+…+6|32−24,64|+2∨36−24,64∨ ¿50

¿ ≈ 214,450 ≈

4.288. En moyenne, il y a 1,0476 de différence entre les données (le nombre d’absences) et la moyenne des absences.

l) Calcule et interprète l’écart-type.

s ≈ √∑ f i(c i− x)2

n−1 ≈ √ 6 (16−24,64)2+10(20−24,64)2+…+6 (32−24,64 )2+2(36−24,64)2

50−1 ≈ √ 1387,5249

≈

5,321. La plupart des données (68%) se situent à ± 5,321 de la moyenne soit entre 19,319 et 29,961 ans.

36. On a interrogé tous les employés d’une entreprise pour déterminer la durée du trajet, en minutes, pour se rendre de chez eux à leur travail.

a) Quelle est la population étudiée ? Les employés d’une entreprise

b) Quelle est la variable étudiée ? Le temps pour se rendre au travail

c) Quel est le type de variable ? Quantitative continue

d) Quelles sont les modalités de la variable ? Ex. : 4,2, 10,66, 101, …

e) Trace le diagramme approprié pour cette situation.

f) Calcule et interprète la moyenne.

µ ≈ ∑ f i c iN

≈ 20 (10 )+12 (30 )+…+3 (90 )+4 (120)

53 ≈ 209053 ≈ 39,43 minutes. En moyenne, un employé prend

environ 39, 43 minutes pour se rendre au travail de la maison.

g) Quel est le mode ? La classe modale est [0, 20[minutes. Cela signifie qu’il y a davantage de travailleurs qui prennent entre 0 et 20 minutes pour se rendre au travail comparativement aux autres classes de temps.

h) Calcule et interprète la médiane. Étant donné qu’il y a 53 données, la médiane se trouve à être la 27 e donnée. La 27 e

donnée est la 7 e donnée de la classe [20, 40[, donc : 20 + 712 (20) ≈ 31,67 minutes. Cela signifie qu’il y a,

approximativement, au moins 50% des travailleurs qui prennent environ 31,67 minutes pour se rendre au travail ou moins.

i) Détermine l’étendu et interprète-le. La plus grande donnée est 140 et la plus petite est 0 : 140 – 0 = 140. L’étendue est de 140 ce qui signifie qu’il y a un intervalle de 140 entre la plus petite et la plus grande donnée.j) Calcule et interprète l’écart absolu moyen.

EM = ∑ f i ¿c i−µ∨¿N

¿= 20|10−39,43|+12|30−39,43|+…+3|90−39,43|+4∨120−39,43∨ ¿53

¿ = 1403,7753

≈ 26,486. En moyenne, il y a 26,486 de différence entre les données (le temps des employés pour se rendre au travail) et la moyenne de temps.

k) Calcule et interprète l’écart-type.

σ = √∑ f i(c i−μ)2

N = √ 20 (10−39,43)2+12(30−39,43)2+…+3 (90−39,43 )2+4 (120−39,43)2

53 ≈ √ 56883,0253

≈ 32,76. La plupart des données (68%) se situent à ± 32,76 de la moyenne soit entre 6,67 et 72,13 minutes pour se rendre au travail.