8/20/2019 X 2003 Concours

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CX 3111

MATHÉMATIQUES

J. 4852

DURÉE :4 HEURES

NOTATIONS

ET

DÉFINITIONS

Dans tout le problème on considère des matrices carrées n

x n

à coefficients réels, et on note M,

l'ensemble de ces matrices. Si

21

appartient

à

M,,

m,,

ésignera son coefficient sur la lignc et

la

colonne J . On dCfinit les sous-ensembles de M,, suivants :

G L , =

{Al

E M,: det

A l

O}

O ,

= {ni

E

M ; ~ A ~ A I

n

où

1 est

la

matrice identité, n'ayant que des

1

sur la diagonale et nulle ailleurs,

A = {Ad E M,;

tM

= - A l } l'ensemble des matrices antisymktriques,

'T?,

= {Ar

=

m t J )

M,;

ni,,

=

O

si

z < 3 ) .

l'cnse1nble

des

matrices triangulaires inférieures,

Ip,

=

{ A l

=

(m,,)

E

T,;Vz,

nx,

>

O}

.

et son sous-ensemble

Une application hilinéaire C : E x E F , où E et

F

sont deux espaces vectoriels, est dite al ternée si,

pour tout u

E

E , d u , u )

= O .

Dérivation : si u est une fonction dérivable d'une variable réelle t 7 n note t i ( t 0 ) sa dérivée en t o

O. PRÉLIM N

AIRES

On inuiiit

M,,

de la norme suivante (qu'on ne demande pas de justifier)

oh

I(zI/

=

dx .

+

~ 2 ,st la norme euclidienne de

z.

Soit

B

une matrice de M,. Montrer que la série

O0 Bk

e x p B = C -

k=O

cst convergente.

Justifier que exp(-B) est l'inverse de exp B. En déduire que exp

B

appartient

à

GL,.

hIontrer que l'application 4

:

R

-+ M,,

t

-

xp(tB) est une fonction de classe C et calculer sa

dérivée.

Montrer que B commute avec exp(tB).

Tournez la page S.V.P.

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I. ÉQUATIONE LAX

L'objectif est de résoudre certaines équations différentielles ordinaires du premier ordre dL/dt = f(L)

où

L appartient à un sousespace vectoriel

E C

M .

1.

On définit le

crochet

de deux matric

A ,

B

de

Mn

par

=r

[ A , B ]= A B - B A .

(a) Montrer que A ,

B

[ A ,BI est une application bilinéaire alternée.

b) Que peut-on dire de la trace de [A ,BI ?

(c) Montrer que le crochet de deux matrices antisymétriques est une matrice antisymétrique.

(d) Montrer que

si A ,B E

Y,,

alors A B E Y,

et

[A ,B ] E

Y,.

(a) Soit t A ( t )une application de classe C d'un intervalle

I

dans GL,. Justifier que t A - ' ( t )

est également de classe C et donner une expression simple de sa dérivée en fonction de la

dérivée À.

2.

(b) Soit maintenant X une matrice fixée. Dériver l'application

t

c- A ( t ) - ' X A ( t )

et

montrer que

d

- ( A - ' X A ) = [ A - ' X A , A - ' A ] .

d t

3. On considère l'équation différentielle ordinaire suivante dans M, (dite de LAX)

L = [L,Ml

L(0)

= x

OÙ M =

M(L) est une matrice dépendant continûment de L et

X

une matrice constante fixée.

Montrer que si t L(t) est une solution de (1) sur un intervalle 1, lors

Tr

L(t) est constante.

4.

Dans toute la suite du problème

L

est une solution de (1).On rappelle que le spectre d'une matrice

M

est l'ensemble de ses valeurs propres

(y

compris complexes). Nous nous proposons d'étudier le

spectre de L( t) quand t varie.

(a) Soit

I

un intervalle et

B

:

I

-

M,

une fonction de classe

C

dont le déterminant ne s'annule

jamais.

i. On suppose ici que B(0)

=

1 calculer la dérivée en zéro de det B.

ii. Calculer la dérivée de det

B

dans le cas général et pour tout t.

peut-on dire de det(L(t) - l

où

A est un nombre complexe fixé?

b) Montrer que si pour un certain

to

E 1, et L(t0)

O

alors det L est constant (non nul). Que

(c) Conclure que le spectre de

L

ne varie pas avec t . On dit que la solution est isospectrule.

(a) Montrer qu'il existe pour tout t une matrice A ( t ) telle que L(t)

=

A ( t j - ' X A ( t ) . Est-elle

(b)

En admettant que l'on peut choisir

t

A ( t )

de telle sorte que

A

soit de classe

C',

quelle

(c) Vérifier qu'une solution du système suivant dans

M,

5. On suppose que

X

possède

T

valeurs propres réelles distinctes.

unique ?

équation différentielle A satisfait-elle (on pourra faire intervenir la matrice M

s'il en existe, satisfait l'équation différentielle de la question 5b. Justifier l'existence de solutions

de 2). En déduire une façon de construire les solutions de (1). Que peut-on dire dans le cas

où

X

n'a pas toutes ses valeurs propres distinctes?

6. Déduire de ce qui précède la solution de 1) quand M est une matrice constante.

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II. DÉCOMPOSITIONE MATRICES

1.

(a) Montrer que A, et T, sont des sous-espaces vectoriels de M, et que M = A,

@T,.

On notera

par la suite T I

:

M - A et 7r2

:

M, -

T,

les projections qui à un élément B associent les

deux termes dans la somme directe (c'est-à-dire B =

T I

B )+

q ( B ) ) .

(b) Montrer que O, et

Y,

sont des sous-groupes de

GL, .

(c) M o n h que si M

E A n

alors exp M E 0 . De même si M

E Tn,

exp M

E ? ne

(d) Soit 1 un intervalle de R. Montrer que si

R :

I -

O,

(respectivement

T :

I -, P est une

application de classe C , alors

R- 'A

(resp.

T - I f )

est à valeur dans A, (resp. '7,).

(a) Montrer que tout Clément B E GL , peut s'écrire comme le produit

RT

d'une matrice

R

E O,

par une matrice

T

E

P

(on pourra s'inspirer de la décomposition de GRAM-SCHMIDT).

(b) Montrer que cette décomposition est unique. On notera respectivement II1 et

I I 2

les appli-

cations de GL , dans

M,

qui à B associent les éléments

R

E

O,

et T

E

P issus de la

décomposition de la question II.2a.

(c) Soit I un intervalle et

B

: 1 M, une application de classe C telle que V t E

1,

( t )E GL, .

Pour tout

t E

1,

n pose R ( t )= I I l (B( t ) ) t T ( t )

=

I I2 (B ( t ) ) .Montrer que

R

et

T

sont des

applications de classe C à valeur dans

M,.

2 .

3. On veut résoudre l'équation dans M

:

(a) On cherche la solution sous la forme

A( t ) - lXA( t ) .

Donner une équation différentielle pour

A

(b) Montrer que

A t )=

(IIl (exp (tX) )) est la solution.

et une condition en t = O qui garantissent que L

:

t

A(t) - XA(t)satisfait (3) .

III. RÉSEAUDE

TODA

On considère n particules de masse

1

se déplaçant sur une droite, de position q2 et vitesse p , pour

entre

1

et n. Par souci de concision, on notera q le n-uple q1, . . ,qn) ; de même pour p .

La

i-ème particule est repoussée par les particules

- 1

et +

1

et subit une accélération

q2 = pia =

- 2 e2 ( q a - q * +1 )+ 2e 2(q - - l -qa ) (équation de NEWTON) la formule est modifiée aux deux extrémités : q l =

On considérera le système différentiel de 2n équations à

2n

fonctions inconnues issu des équations

p l =

- 2 e 2 ( q 1 - ~ )

t

qn.

f in = 2 e 2 ( ~ - 1 - ~ - ) .

ci-dessus :

Qz =

Pa

pour 1 5 5 n

\

(*)

l

=

- 2 e 2 ( q l - q ~ )

p a= - 2 e 2 ( ~ - - 9 * + 1 ) 2 e 2 ( 9 * - 1 - q * )

p

-

e2(qn- -qn)

pour

1

<

< n

n -

avec les conditions initiales

q 0 )

= j , p ( 0 )=

p .

1. Vérifier que le système

(*)

satisfait les conditions de Cauchy-Lipschitz pour l'existence d'une solution

sur un intervalle (non précisé) 1 =]- c[. On notera par la suite

t

( q ( t ) , p ( t ) ) ne telle solution.

2 . On définit l'énergie mécanique du système par :

Vérifier que

t

H ( q ( t ) , p ( t ) ) st constant. On dit que la fonction

H

est une intégmle première du

mouvement.

3

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3.

Vérifier que

la

fonction

P : q ,

et

M =

autrement d it

. .

O

e92 - 93

O

. . .

. . .

O

O

. . .

Montrer que satisfait une équation de

Lax

de type 3). En déduire l’exprèssion générale de la

solution.

6. Résoudre explicitement *) dans le cas n

=

2, p l + p:

=

q1 +

q =

O avec la condition initiale

q I ( 0 )

=

2

et

~ ~ 0 )

O.

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