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asservis Systèmes Volume 1 Asservissements linéaires classiques J.-M. Allenbach Ecole d’Ingénieurs de Genève Laboratoire d’Aut omatique N° 132 Edition 2005

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Page 1: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

asservis

Systèmes

Volume 1

Asservissements linéaires classiques

J.-M. Allenbach

Ecole d’Ingénieurs de Genève

Laboratoire d’Automatique

N° 132

Edition 2005

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Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–1 040503

TABLE DES MATIÈRES

1 INTRODUCTION �1.1 BOUCLE DE RÉGLAGE 1.1.1 Commande à priori et asservissement 1-1 �1.2 DOMAINES D'APPLICATION 1-3 �1.3 ILLUSTRATIONS 1-5 2 SYSTÈMES LINÉAIRES �2.1 DÉFINITIONS 2-1 �2.2 MISE EN ÉQUATIONS 2-3 3 SCHÉMA FONCTIONNEL �3.1 MOTIVATION 3.1.1 Représentation visuelle synthétique 3-1 �3.2 MÉTHODE 3.2.1 Règles 3-2 3.2.2 Exemples 3-3 �3.A LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE 3-7 �3.B LA TRANSFORMATION DE SCHÉMAS 3-13

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Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–2 040503

4 FONCTION DE TRANSFERT �4.1 GÉNÉRALITÉS 4.1.1 Définition 4-1 4.1.2 Combinaisons 4-2 �4.2 FORMES D'ÉCRITURE 4.2.1 Forme canonique 4-4 4.2.2 Forme d'Evans 4-4 4.2.3 Forme de Bode 4-4 �4.3 CLASSIFICATION D'UN SYSTÈME 4-6 �4.4 RÉPONSES TEMPORELLES 4.4.1 Définition 4-7 4.4.2 Réponse libre et forcée 4-7 4.4.3 Réponse indicielle 4-7 4.4.4 Réponse impulsionnelle 4-7 4.4.5 Réponse à une rampe 4-8 �4.5 ANALYSE DE SYSTÈMES FONDAMENTAUX 4.5.1 1er ordre 4-9 4.5.2 2e ordre 4-12 �4.6 RÉPONSE HARMONIQUE 4.6.1 Aspect pratique 4-19 4.6.2 Sens mathématique 4-20 �4.A RÉSUMÉ DES NOTATIONS 4-21

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Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–3 040503

5 REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES �5.1 INTRODUCTION 5-1 �5.2 NYQUIST 5.2.1 Définition 5-2 5.2.2 Méthode de tracé 5-2 5.2.3 Assistance de tracé par ordinateur 5-3 �5.3 BLACK 5.3.1 Définition 5-4 5.3.2 Méthode de tracé 5-4 5.3.3 Assistance de tracé par ordinateur 5-5 �5.4 BODE 5.4.1 Définition 5-6 5.4.2 Méthode de tracé 5-6 5.4.3 Assistance de tracé par ordinateur 5-11 �5.5 EVANS 5.4.1 Fondements théoriques 5-12 5.4.2 Méthode de tracé 5-14 5.4.3 Assistance de tracé par ordinateur 5-16

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Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–4 040503

6 STABILITÉ �6.1 DÉFINITIONS 6.1.1 Stabilité statique 6-1 6.1.2 Stabilité dynamique 6-1 6.1.3 Stabilité d'un système linéaire 6-1 6.1.4 Qualité de la stabilité 6-2 �6.2 CRITÈRES ALGÉBRIQUES 6.2.1 Critère de Routh 6-3 6.2.2 Critère de Hurwitz 6-4

�6.3 CRITÈRE DE NYQUIST 6.3.1 Critère de Nyquist simplifié 6-6 6.3.2 Marge de gain 6-7 6.3.3 Marge de phase 6-8 6.3.5 Valeurs de marge 6-8 6.3.6 Critère de Nyquist complet 6-8 6.3.7 Tracé de Nyquist assisté 6-8 �6.4 CRITÈRE DE BLACK 6.4.1 Critère de Black: énoncé 6-9 6.4.2 Abaque de Nichols 6-9 6.4.3 Tracé de Black assisté 6-10 �6.5 CRITÈRE DE BODE 6.5.1 Critère du revers. 6-11 6.5.2 Relation de Bode et Bayard. 6-11 6.5.3 Critère du Bode: énoncé. 6-11 6.5.4 Relation entre plan fréquentiel et comportement temporel. 6-12 6.5.5 Tracé de Bode assisté 6-16 �6.6 CRITÈRE D'EVANS 6.6.1 Contours d'Evans. 6-17 6.6.2 Exemple. 6-17 6.6.3 Tracé de Evans assisté 6-19 6.6.4 Autres propriétés du lieu des pôles 6-21 6.6.5 Zéros ou pôles supplémentaires 6-22 �6.A ANNEXE: RÉSUMÉ DES PARAMÈTRES DE RÉGLAGE 6-25

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Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–5 040503

7 RÉGULATEURS

�7.1 GÉNÉRALITÉS 7.1.1 Tâches du régulateur 7–1 7.1.2 Inventaire 7–1 �7.2 RÉGLAGE TOUT–OU–RIEN 7.2.1 Principe 7–3 7.2.2 Exemple 7–3 �7.3 RÉGLAGE PROPORTIONNEL 7.3.1 Principe 7–7 7.3.2 Statisme 7–7 �7.4 RÉGLAGE PROPORTIONNEL–INTÉGRAL 7.4.1 Approche empirique 7–10 7.4.2 Définition 7–10 7.4.3 Réponse harmonique 7–11 �7.5 RÉGLAGE PROPORTIONNEL–INTÉGRAL–DIFFÉRENTIEL 7.5.1 Prévision 7–12 7.5.2 Définition 7–12 7.5.3 Réponse harmonique 7–13 7.5.4 Influence des composants non idéaux 7–13 �7.6 AUTRES RÉGLAGES CLASSIQUES 7.6.1 Régulation proportionnelle–différentielle 7–14 7.6.2 Régulation PD2 7–14 7.6.3 Régulation avance de phase 7–15 7.6.4 Régulation retard de phase 7–16 7.6.5 Régulation intégrale 7–17 7.6.6 Régulation PID parallèle 7–17 �7.A ANNEXE: PARAMÈTRES DE RÉGULATEURS 7–19 �7.B ANNEXE: RÉGULATEURS ANALOGIQUES 7.B.1 Généralités 7–21 7.B.2 Montage inverseur 7–21 7.B.3 Régulateurs classiques 7–22 7.B.4 Montage à bascule 7–30 7.B.5 Régulateurs tout–ou–rien. 7–31

Page 8: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–6 040503

8 DIMENSIONNEMENT DE RÉGULATEURS �8.1 INTRODUCTION 8–1 �8.2 CRITÈRES EXPÉRIMENTAUX 8.2.1 Mesures typiques 8–3 8.2.2 Critère de Ziegler-Nichols 8–5 8.2.3 Critère de Chien-Hroner-Reswick 8–5 8.2.4 Identification de processus 8–6 �8.3 CRITÈRES SUR LA RÉPONSE HARMONIQUE EN BOUCLE

OUVERTE 8.3.1 Méthode de Bode 8–7 8.3.2 Zéros ou pôles supplémentaires 8–10 8.3.3 Petit retard pur 8–14 8.3.4 Système à régler avec comportement intégral 8–15 8.3.5 Méthode de Nyquist 8–19 8.3.6 Retour non unité 8–20 8.3.7 Exemples 8–21 8.3.8 Considérations globales 8–24 �8.4 CRITÈRES SUR LES PÔLES 8.4.1 Déformation du lieu 8–25 8.4.2 Hypothèses de calcul 8–27 8.4.3 Méthode de calcul 8–28 8.4.4 Exemples 8–29 �8.5 CRITÈRES SUR LA RÉPONSE HARMONIQUE EN BOUCLE FERMÉE 8.5.1 Approche générale 8–37 8.5.2 Critère méplat 8–37 8.5.3 Méthode H∞ 8–38s1 �8.6 DIVERS RÉGLAGES 8.6–1 �8.7 ÉVALUATION DES MÉTHODES 8.7–1 �8.8 RÉGLAGE ROBUSTE 8.8–1 �8.A CIRCUIT DE RÉGLAGE 8–39 �8.B IDENTIFICATION D'UN SYSTÈME 8–40 �8.C COMPARAISON DE DIMENSIONNEMENTS 8–41

Ce cours est régulièrement mis à jour sous :

http://eig.unige.ch/~allenbach

Page 9: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–7 040503

BIBLIOGRAPHIE [1] H. BÜHLER: Conception de systèmes automatiques, PPUR, Lausanne. [2] H. BÜHLER: Electronique de réglage et commande, PPUR, Lausanne. [3] L. MARET: Régulation automatique, PPUR, Lausanne. [4] H. BÜHLER: Systèmes échantillonnés I, PPUR, Lausanne. [5] H. BÜHLER: Systèmes échantillonnés II, PPUR, Lausanne. [6] J. NEYRINCK: Théorie des circuits et systèmes, PPUR, Lausanne. [7] GILLE, DECAULNE ET PELEGRIN: Théorie et calcul des asservissements linéaires,

Dunod, Paris. [8] M. ROSSI: Simulation d'un essieu moteur, EPFL/LEI, Lausanne. [9] O. FÖLLINGER: Regelungstechnik , Hüthig. [10] B. C. KUO: Automatic Control Systems , Prentice-Hall. [11] E. JUCKER: Equations fondamentales des micromoteurs à courant continu avec rotor

sans fer, Portescap, La Chaux-de-Fonds. [12] L. POVY: Identification de processus, Dunod, Paris. [13] L. MARET: Régulation automatique 2, Eivd, Yverdon. [14] J.-M. ALLENBACH: Réglage de système à retard pur, EIG/LAE, Genève. [15] J.-M. ALLENBACH: Réglage de système instable, EIG/LAE, Genève. [16] C. T. CHEN: Analog & Digital Control System Design, Saunders HBJ. [17] W. A. WOLOWICH: Automatic Control Systems, Saunders HBJ. [18] B. C. KUO: Digital Control Systems, Saunders HBJ. [19] M. RIVOIRE, J.-L. FERRIER: Cours d'automatique, Eyrolles, Paris. [20] R. LONGCHAMP: Commande numérique de systèmes dynamiques , PPUR, Lausanne. [21] F. DE CARFORT, C. FOULARD: Asservissements linéaires continus, Dunod, Paris. [22] P. NASLIN: Les régimes variables dans les systèmes linéaires et non linéaires, Dunod,

Paris. [23] W. OPPELT: Kleines Handbuch technischer Regelvorgänge, Verlag Chemie GMBH. [24] E. GROSCHEL: Regelungstechnik, R. Oldenburg, München et Wien. [25] F. MILSANT: Asservissements linéaires – analyse et synthèse, Dunod, Paris. [26] H.GASSMANN: Einführung in die Regelungstechnik, Harri Deutsch, Thun [27] M. KUNT: Traitement numérique des signaux, PPUR, Lausanne. [28] DIVERS PROFESSEURS: Cours de mathématique, EIG, Genève. [29] DIVERS PROFESSEURS: Electronique, EIG, Genève. [30] H. BÜHLER: Réglage par logique floue, PPUR, Lausanne. [31] J.-B. DECORZENT : Réglage robuste d’ordre non entier, Diplôme EIG, Genève, 1996. [32] A. OUSTALOUP : La commande Crone, Hermès, Paris, 1991. [33] M.ETIQUE: Régulation automatique, eivd, Yverdon,2003. [34] M.ETIQUE: Régulation numérique, eivd, Yverdon,2003. [35] J.W. HELTON, O. MERINO: Classical Control Using H∞ Methods, Siam,

Philadelpia,1998. [36] H. BÜHLER: Réglage par mode de glissement, PPUR, Lausanne.

Page 10: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–8 040503

GLOSSAIRE Symbole Description Page

Français English Deutsch AM marge de gain gain margin Verstärkungsreserve 6-7 D1 dépassement overshoot Überschuss 4-15 e écart de réglage control error Regelfehler 1-1 e∞ écart statique steady-state error statische Fehler 7-8 ε(t) échelon unité step Sprungfunktion 3-A1 esT retard pur time delay Totzeitglied 8-14 G(s) fonction de transfert ou

transmittance isomorphe transfer function Übertragungsfunktion 4-1

g(t) réponse impulsionnelle impulse response Impuls-Antwort 4-7 g0 gain limite de pompage ultimate gain kritische Verstärkung 8-4 G0(s) fonction de transfert en

boucle ouverte open loop transfer function

Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises

6-1

Gcf(s) fonction de transfert en boucle fermée pour la consigne

closed loop transfer function for reference

Übertragungsfunktion des Regelkreises (Sollwert)

8-15

Gpf(s) fonction de transfert en boucle fermée pour la perturbation

cloded loop transfer function for disturbance

Übertragungsfunktion des Regelkreises (Istwert)

8-15

G(jω) réponse harmonique ou transmittance isochrone

frequency response Frequenzgang 4-20

|G(jω)| module magnitude Betrag 4-20 k facteur d'Evans Evans ratio Evansfaktor 4-4 K gain statique gain Verstärkung 4-4 k0 facteur d'Evans en boucle

ouverte open loop Evans ratio Evansfaktor des offenen

Regelkreises 5-10

K0 gain statique en boucle ouverte

open loop gain Verstärkung des offenen Regelkreises

5-9

Kd gain de dérivation derivative gain Differenzverstärkung 7-12 Ki gain d'intégration integral gain Intergrierverstärkung 7-12 KP gain proportionnel du

régulateur proportional gain Reglerverstärkung 7-7

kR facteur d'Evans du régulateur

Evans ratio of controller Evansfaktor des Reglers 8-25

ks facteur d'Evans du système à régler

Evans ratio of plant Evansfaktor der Strecke 8-25

Ks gain statique du système à régler

plant gain Verstärkung der Strecke 8-7

L transformée de Laplace Laplace transform Laplace-Transformation 3-7 n ordre du système order of system Ordnung des Systems 4-1 OC organe de consigne reference device Sollwertgeber 1-1 OCM organe de commande actuator Stellglied 1-1 OM organe de mesure sensing device Istwertmessung 1-1 pi pôle pole Pole 4-4 R régulateur controller Regler 1-1 s variable de Laplace Laplace-transform

variable Laplace-Operator 3-A1

S système à régler plant gain Strecke 1-1 T constante de temps time constant Zeitconstante 4-9 T0 période de pompage ultimate period kritische Periode 8-4 TD constante de dérivation derivative ratio Differenzierzeit 7-12

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Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–9 040503

TF constante de temps de filtre AP

time constant of phase lead

Zeitconstante eines Phasenvoreiler

7-15

Tf constante de temps de filtre RP

time constant of phase lag

Zeitconstante eines Phasennacheiler

7-16

Tg constante de temps de Ziegler-Nichols

time constant of Ziegler-Nichols

Ausgleichszeit 8-3

Ti constante de temps d'intégration

integral time constant Integrierzeit 7-7

TJ constante d'intégration integral ratio Integrierzeit 7-12 Tlc constante de temps de

filtre de lissage prefilter time constant Zeitconstante des

Vorfilters 8-18

tm temps de montée (0 - 100%)

rise time (0 - 100%) Anregelzeit 4-16

tm19 temps de montée (10 - 90%)

rise time (10 - 90%) Anstiegszeit 4-17

Tmes constante de temps d'organe de mesure

measurand time constant

Zeitconstante des Messzeuges

8-20

Tn dosage de corrélation d'intégrale

Nachstellzeit 7-10

tp temps de pic max overshoot time Zeit des Maximums 4-15 tr temps de réponse settling time Ausregelzeit 4-10 Tu temps mort de Ziegler-

Nichols time delay of Ziegler-Nichols

Verzugszeit 8-3

Tv dosage de corrélation de dérivée

Vorhaltezeit 7-12

u valeur ou grandeur de commande

actuating value Stellgrösse 1-1

ucm signal de commande actuating signal Stellwert 1-1 v signal de perturbation disturbance value Störgrösse 1-1 w valeur ou grandeur de

consigne reference value Führungsgrösse, Sollwert 1-1

y valeur réelle,grandeur réglée

actual value Regelgrösse, Istwert 1-1

yperm(t) régime permanent steady-state response stationäre Zustand 4-19 ytrans(t) régime transitoire transient response Übergangsvorgang 4-19 zj zéro zero Nullstelle 4-4 αj angle dû au zéro zj angle at zero zj Winkel am Zero zj 5- βi angle dû au pôle pi angle at pole pi Winkel am Pole pi 5- δ facteur d'amortissement damping ratio Dämpfung 4-12 δ(t) impulsion unité impulse delta-Funktion 3-A1 ε(t) échelon unité step function Springfunktion 3-A1 γ(t) réponse indicielle step response Sprungantwort 4-7 ϕ(ω) phase phase Phase 5- ϕM marge de phase phase margin Phasenrand 6-8 ω0 pulsation naturelle natural undamped

frequency Schwingfrequenz 4-12

ω1 pulsation pour module 1 gain crossover frequency

Durchtrittfrequenz 6-12

ωc pulsation de cassure corner frequency Knickfrequenz 6-12 ωp pseudopulsation damped frequency Kreisfrequenz 4-14 ωr pulsation de résonnance resonant frequency Resonanzfrequenz 5-9 ωπ pulsation d'opposition de

phase phase crossover frequency

Frequenz mit 180° Phasenverschiebung

6-11

réponse libre zero-input response Nulleingang-Antwort 4-7 réponse à conditions

initiales nulles zero-state response Antwort mit

Anfangswerten an Null 4-7

schéma fonctionnel block diagramm Funktionsplan 3-1

Page 12: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Table des matières

Jean-Marc Allenbach TM–10 040503

Page 13: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Introduction

Jean-Marc Allenbach 1–1 020917

CHAPITRE 1: INTRODUCTION

1.1 BOUCLE DE RÉGLAGE

1.1.1. Commande à priori et asservissement.

Avant toute chose, il importe de définir ce qu'on entend par système asservi. Celapermet de préciser la finalité des théories qui suivent.

On commence par une exemple. Un cycliste sur son vélo dans une descente rectilignecorrige en permanence la trajectoire et l'assiette de son engin pour parvenir à destination. Pourcela, il observe l'inclinaison du vélo et son écart avec le bord de la route, il agit sur le guidonet sur la position de son corps sur la selle. Le même vélo chargé d'un sac de sable, lancé avecune vitesse initiale soigneusement choisie, a fort peu de chance d'atteindre le bas de la pente:il tombera avant.• Le système bicyclette – cycliste est un système asservi.• Le système bicyclette – sac de sable est un système à commande à priori.

Chacun se souvient de ses "premiers tours de roue" à vélo: se sentant tomber sur ladroite, on avait corrigé et on était tombé sur la gauche. Au deuxième essai, on avait réussi àcorriger une seconde fois pour tomber à la troisième oscillation. Peu à peu, on avait appris àcorriger juste ce qu'il faut. On perçoit déjà ici la notion de "stabilité" qui sera étudiée auchapitre 6.

Les systèmes techniques de réglage ne sont pas comme l'être humain: ils ne sont pas(encore) capables d'apprendre par eux-mêmes. L'ingénieur doit donc les dimensionner pourque, eux aussi, ils corrigent le processus "juste comme il faut": tel est l'objectif de ce cours.

Page 14: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Introduction

Jean-Marc Allenbach 1–2 020917

1.1.2 Structure de base

Pour illustre le propos, on peut expliciter la structure d'un système asservi à l'aide del'exemple du paragraphe précédent.

Fig. 1.1 Système asservi: commande en boucle fermée.

On distingue d'abord S le système à régler proprement dit – le vélo dans notre exemple– et sa grandeur réglée y: sa trajectoire dans l'espace.

On peut agir sur le système à régler à travers son organe de commande OCM – lesmains du cycliste – par sa grandeur de commande u: la force musculaire.

Le régulateur R – le réseau de neurones du cycliste (cerveau et cervelet) – élabore lesignal de commande ucm – l'influx nerveux – en fonction de l'écart constaté entre la trajectoireobtenue y, observée à l'aide d'organes de mesure OM – l'oreille interne et les yeux du cycliste– et la trajectoire souhaitée w, la consigne définie par l'organe de consigne OC.

Le système peut encore subir une perturbation v – par exemple une bourrasque de ventlatéral – susceptible de modifier sa trajectoire.

Le principe de l'asservissement – la boucle de réglage – repose sur la réception d'uneinformation en retour de la grandeur réglée vers le régulateur. La structure peut être un peuplus complexe que celle décrite à la figure 1.1 si les mesures sur le système à régler ne selimitent pas à la grandeur réglée seule, mais font appel à des informations complémentaires.

Pour la commande à priori, on peut aussi citer un exemple révélateur: le ballon debasket qu'un joueur lance de loin en direction du panier. Dès qu'il est lâché, sa trajectoire estentièrement déterminée par les lois de la physique: il entre et marque 3 points... ou il passe àcôté! Il est toutefois à la merci de la moindre perturbation: un simple courant d'air. Dans latechnique, la commande à priori nécessite une connaissance extrêmement précise duprocessus et des lois physiques qui le guide si on veut atteindre l'objectif. On ne peutcependant pas tenir compte du vieillissement de l'installation et encore moins desperturbations qu'il peut subir et qu'on ne peut connaître d'avance.

OCMw S

v

uucm+

–R

F

OM

OCy

Page 15: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Introduction

Jean-Marc Allenbach 1–3 020917

1.2 DOMAINES D'APPLICATION L'automatique – particulièrement la technique de réglage – est une branche de synthèse qui nécessite des connaissances dans de nombreux domaines techniques et scientifiques. Fig. 1.2 Pluridisciplinarités des systèmes asservis. Si on n'a pas trop d'exigences, il est vrai qu'on peut réaliser une installation réglée sans grande connaissances mathématiques et physiques: par exemple le réglage de la chaufferie d'un bâtiment. Il suffit de procéder par essais et ajustages successifs des paramètres de réglage. Si on spécifie simplement qu'on veut optimiser la consommation de mazout, il faut déjà une connaissance approfondie du processus et on doit faire appel à la théorie du réglage qui sera développée dans les chapitres suivants. Pour la majorité des systèmes, la méthode par tâtonnement est trop coûteuse en temps et n'aboutit qu'à des résultats médiocres. Pour certaines applications – centrales nucléaires, astronautique, ... – cette méthode est même très dangereuse. Comme le suggère l'ensemble "modélisation" sur la figure 1.2, les systèmes asservis s'appliquent à tous les domaines de la technique. A y regarder de près, on constate que beaucoup de phénomènes naturels peuvent être décrits avec la théorie du réglage.

DIMENSIONNEMENT DU RÉGULATEUR

MODÉLISATION DU PROCESSUS

RÉALISATION DU CIRCUIT DE RÉGLAGE

Théorie du réglage

Mathématique appliquée

Electronique Algorithmique pour temps réel Technique de

mesure Transmission de données

Physique

Machines mécaniques

Machines électriques

Electronique de puissance

Simulation

Chimie industrielle

Machines hydrauliques

Page 16: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Introduction

Jean-Marc Allenbach 1–4 020917

1.3 ILLUSTRATIONS.

La complexité peu être très variable d'un système asservi à l'autre. De même, il y a unegrande variété dans la technologie de réalisation des régulateurs, non seulement en fonction dutype d'application, mais aussi en fonction de l'époque de fabrication.

Dans un four de cuisine domestique, un relais bimétallique concentre les fonctionsd'organe de mesure, d'organe de commande et de régulateur. Sa sortie u ne peut prendre quedeux valeurs: corps de chauffe enclenché ou déclenché. L'organe de consigne est le bouton surla face du four qui permet une précontrainte du bilame. Le régulateur est ici électromécanique.

Dans un réservoir de WC, on a un régulateur hydromécanique qui garantit l'ouverturede la vanne dès que le niveau baisse. Il n'y a pas d'organe de consigne puisque le niveau d'eaurequis est toujours le même: la position du flotteur qui mesure le niveau est réglé une foispour toute.

Dans un métro automatique, on trouvent plusieurs ordinateurs en dialogue qui portentdans leurs programmes diverses fonctions de réglage assumées sur la base de capteurs demesure de vitesse, de chemin parcouru, etc.• Réglage de courant ou de couple des moteurs de traction.• Réglage de vitesse de chaque rame.• Réglage de la distance avec le convoi précédent.• Réglage de l'arrêt en gare: les portes du convoi doivent être en face de celles du quai au

centimètre près.Tous ces régulateurs doivent être soigneusement dimensionnés et hiérarchisés pour

assurer un fonctionnement fiable, confortable et sûr pour les usagers, et aussi économiquepour l'entreprise de transport.

Page 17: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Systèmes linéaires

Jean-Marc Allenbach 2–1 030115

CHAPITRE 2: SYSTÈMES LINÉAIRES

2.1 DÉFINITIONS

2.1.1. PréambuleUn système physique est qualifié de linéaire lorsqu'il est régi par des équations

différentielles linéaires à coefficients constants.

2.1.2. PropriétésSoit un système simple muni d'une entrée u(t) et d'une sortie y(t).

Fig. 2.1 Système linéaire.

On peut relever deux propriétés d'un tel système:

L'homogénéité: Si l'effet d'un signal d'entrée u(t) est le signal y(t), en multipliant le signald'entrée par un nombre réel k, on peut en déduire l'effet en multipliant la sortie par le mêmeréel.

si alorsu t y t u t k u t y t k y t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� = � =1 1 (2.1)

La superposition: Si l'effet d'un signal d'entrée u1(t) est le signal y1(t) et celui d'un signald'entrée u2(t) est le signal y2(t) , l'effet d'un signal d'entrée u(t) qui est la somme des signauxd'entrées précité est le signal y(t) qui peut être calculé par la somme des signaux de sortiecorrespondants.

si etalors

( ( ) ( ) ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u t y t u t y tu t u t u t y t y t y t

1 1 2 2

1 2 1 2

� �

= + � = +(2.2)

2.1.3 Modèle linéaireLorsqu'on décrit un système physique par ses équations, on doit le plus souvent

constater que l'usage d'équations différentielles linéaires ne permet que d'approximer laréalité, celle-ci n'étant justement pas linéaire. Cependant, l'approximation obtenue est dans lamajorité des cas suffisamment bonne pour qu'on s'en contente dans le domaine defonctionnement habituel dudit système. Dans ce cours, on traitera essentiellement de systèmesconsidérés comme linéaires, en apportant parfois quelques commentaires ou remarques quitraiteront de non-linéarités typiques. Les systèmes non linéaires ont souvent une ou des plagesde fonctionnement pour lesquelles le comportement est quasi linéaire, on peut donc yappliquer un modèle linéaire en prenant certaines précautions lors du passage d'un domaine àl'autre.

S yu

Page 18: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Systèmes linéaires

Jean-Marc Allenbach 2–2 030115

2.1.4 Systèmes continusUn système est dit continu si tous les signaux qu'on y rencontre sont des fonctions

continues au sens mathématique du terme, ou au moins continues par morceaux. Dans cecours, on traite que de ce type de systèmes jusqu'au chapitre 8 inclus. Les systèmeséchantillonnés ont certains signaux qui ne sont définis qu'à certaines valeurs du temps, maispas entre celles-ci, ont les traite principalement au chapitre 11, et un peu aux chapitres 9, 10,12 et 13.

2.2 MISE EN ÉQUATIONS

2.2.1. PrincipeUn système peut le plus souvent être décomposé en parties assez simples, ayant un

nombre réduit de signaux d'entrée et sortie. On fait alors appel aux connaissances de physique,d'électromécanique, de génie chimique ou d'autres branches scientifiques pour écrire leséquations qui régissent la relation entre les entrées (causes) et les sorties (effets).

Après avoir décrit chaque élément, composant, partie ou sous-système, on aboutit à unsystème d'équations algébriques ou différentielles.

2.2.2 Organisation des équationsPour pouvoir traiter convenablement ces équations, il faut encore "y mettre un peu

d'ordre"! Lorsqu'on a modélisé le système, on peut choisir plusieurs voies pour étudier lesystème. Le chapitre concerné par un bloc est indiqué par en italique à l'extérieur de celui-ci.

Fig. 2.2 Analyse d'un système linéaire.

3

9

S yu

LoisPhysiques

Equationsdifférentielleset intégralesEquations

différentiellesdu 1er ordre

Transforméede Laplace

Modèle d'état

Schéma fonctionnel

Fonction de transfert

Analyse temporelle Analyse des racines

Analyse fréquentielle

Réponse harmonique

Simulation numérique Simulation analogique

3

4

4

6

6 6

10

9, 11

11

5

5

Page 19: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–1 030116

CHAPITRE 3: SCHÉMA FONCTIONNEL

3.1 MOTIVATIONS

3.1.1. Représentation visuelle synthétiqueUn système physique réel peut être décrit par des équations différentielles linéaires à

coefficients constants. Il n'est pas facile – face à un système d'équations différentielles – depercevoir les conséquence sur le système du changement d'un paramètre ou d'une grandeurd'entrée: le cerveau humain a tendance à travailler dans ces circonstances de manièreséquentielles, équation après équation. Dans le système réel, les interactions sont simultanées.Ce constat a conduit à développer des représentations synthétique des systèmes qui permettentau cerveau humain de percevoir le fonctionnement de manière globale. Pour l'analyse, ondécompose le système en sous-systèmes simples Si pour lesquels il existe une relation Gialgébrique, ou différentielle du premier ordre entre une grandeur physique d'entrée xj et unegrandeur physique de sortie xk. Le plus souvent, on transforme les équations différentielles parLaplace (annexe 3.A) afin de n'avoir plus que des relations algébriques. Deux modes dereprésentation sont essentiellement utilisés: le graphe de fluence et le schéma fonctionnel.

Dans le graphe de fluence, on représente les grandeurs physiques par des noeuds et lesfonctions par des flèches qui ont un noeud de départ et un noeud d'arrivée (fig. 3.1). Siplusieurs flèches arrivent au même noeud, cela signifie que la grandeur physique concernéeest obtenue par la somme des deux fonctions représentées par ces flèches.

Dans le schéma fonctionnel, on représente les fonctions par des blocs et les grandeursphysiques par des flèches qui les relient (fig. 3.2). Lorsqu'une grandeur physique est obtenuepar sommation, on représente un symbole "somme", souvent un cercle. Ce mode dereprésentation permet de noter aussi les non-linéarités de manière explicite.

Considérons un système d'équations différentielles, traduites ou non dans l'espace deLaplace.

x G x G xx G xx G x

2 1 1 2 3

3 3 2

4 4 2

= +==

��

��

( ) ( )( )( )

(3.1)

Fig. 3.1 Graphe de fluence.

Fig. 3.2 Schéma fonctionnel.

x1

G4

G1 G3

G2

x4

x3x2

+

+

x2

x3

x4 G1

G2G3

G4 x1

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Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

J.-M. Allenbach 3–2 040430

3.2 MÉTHODE

3.2.1 Règles

Pour établir le schéma fonctionnel, il est préférable – mais pas obligatoire – de calculer premièrement la transformée de Laplace des équations différentielles (annexe 3.A).

En présence d'un système d'équations algébriques en s, on représente successivement chacune d'entre elles à l'aide des symboles présentés à la figure 3.3. Chaque grandeur physique du système est représentée par une seule flèche qui a une origine, mais peut avoir plusieurs destinations.

Dans la mesure du possible on essaye d'éviter les blocs "dérivation" en écrivant les équations sous forme "intégration". En effet, la dérivée est délicate à simuler, tant en numérique qu'en analogique.

Opération Symbole linéaire Relation Addition

y = x1 + x2

Soustraction

y = x1 – x2

Multiplication par une constante

y = k x

Intégration

y x dt

= ∫ ( )τ τ0

Dérivation

yxt

=dd

Cellule du premier ordre

dd

yt

kT

xT

y= −1

Symbole non linéaire Multiplication

y = x1 x2

Division

yxx

= 1

2

Fonction non linéaire

y = f(x)

Retard pur

y = x(t–T)

Fig. 3.3 Symboles pour le schéma fonctionnel.

y +

+ x2

x1

y –

+ x2

x1

x yk

x ys

x y1s

ksT1 +

x y

y x2

x1 ×

y x2

x1 ÷

x y

x y

Page 21: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

J.-M. Allenbach 3–3 040430

3.2.2 Exemples Pour commencer, on prend l'exemple d'un filtre RC auquel on impose une tension

d'entrée u1 et dont désire connaître la tension de sortie u2.

Fig. 3.4 Circuit RC: schéma électrique. Pour établir les équations de ce circuit simple, on applique les règles de calcul de l'électrotechnique.

u t R i t u t

u t R i t i t

u tC

it

1 1 1 2

2 2 1

20

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ) d

= +

= −

=

c

c τ τ

(3.2)

On applique aux équations (3.2) les règles de la transformée de Laplace. Les deux première équations sont purement algébriques, elles le reste à cause de la linéarité de la transformée de Laplace. L'intégration se traduit dans l'espace de Laplace par une division par s de la grandeur concernée.

U s R I s U s

U s R I s I s

U ss C

I s

1 1 1 2

2 2 1

21

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ))

( ) ( )

= +

= −

=

c

c

(3.3)

On construit le schéma fonctionnel, en commençant par une extrémité du schéma, par exemple par la fin. On exprime U2 à l'aide de la troisième équation, ce qui nécessite de connaître Ic. On exprime ensuite Ic en fonction de I1 et de U2 à l'aide de la deuxième équation. On termine en exprimant I1 en fonction de U1 et U2 à l'aide de la première équation. Fig. 3.5 Circuit RC: schéma fonctionnel.

u1(t) R1

R2 C1

i1(t) ic(t)

u2(t)

1

2R

1C

1

1R

1s

u1 u2 i1 ic ++

– –

Page 22: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

J.-M. Allenbach 3–4 040430

Comme deuxième exemple, on choisit un système purement mécanique. Fig. 3.6 Treuil manuel.

On établit le couple à l'arbre primaire.

M F l1 = m (3.4)

Le couple à l'arbre secondaire est déterminé par le réducteur dont on connaît le nombre de dents de chaque roue.

MNN

M22

11= (3.5)

On peut écrire l'équilibre des couples à l'arbre secondaire: loi de Newton pour mouvement circulaire.

J M k&ω ω2 2 2= − f (3.6)

On détermine encore l'inertie et la vitesse v du seau en fonction du rayon du tambour. La dérivée de la profondeur est la vitesse.

v r= ω2 (3.7) J m r= 2 (3.8)

v h= & (3.9)

On termine en calculant la vitesse de la manivelle.

ω ω12

12=

NN

(3.10)

On peut aussi établir le schéma fonctionnel sans effectuer explicitement la transformée de Laplace. On part de (3.6) en disant simplement que ω2 est l'intégrale de &ω2 (Fig. 3.7A). L'accélération &ω2 , selon (3.6) est une différence de signaux divisée par J (Fig. 3.7B).

kf

Fm

ω1

l

N1

N2

ω2

h

m

On veut établir le schéma fonctionnel de ce treuil. On applique une force manuelle Fm sur la manivelle de longueur l. On veut déduire à quelle profondeur h se trouve le seau de masse m. On tient compte du frottement visqueux kfsur l'axe principal, mais on néglige les inerties des cylindres, la masse et l'élasticité du câble. On considère que le câble s'enroule en spires jointives sur le tambour de rayon r, en une seule épaisseur. On veut aussi savoir à quelle vitesse ω1 tourne l'axe de la manivelle. On pourrait aussi imaginer que l'utilisateur impose à la manivelle une vitesse ω1 et en déduire la profondeur h et la force Fm.

Page 23: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

J.-M. Allenbach 3–5 040430

A B Fig 3.7 Schéma fonctionnel de l'équation (3.6). On complète en amont de M2 avec les équations (3.4) et (3.5) et en aval de ω2 avec (3.7) et (3.10) qui toutes sont valables dans le temps comme dans l'espace de Laplace. L'équation (3.9) peut s'exprimer comme une intégration pure de v pour obtenir h. La constante J se calcule par (3.8), il n'est pas indispensable de la noter explicitement dans le schéma fonctionnel. Fig 3.8 Schéma fonctionnel de la figure 3.6. Si on n'a pas besoin de connaître M1, on peut fusionner les deux premiers blocs multiplication par une constante en un seul. L'autre variante suggérée, si elle est plus proche de l'impression de l'utilisateur qui croit imposer la vitesse de la manivelle, fait apparaître un dérivation au lieu d'une intégration. Fig. 3.9 Schéma fonctionnel de (3.6) et (3.10) (variante). Si cette forme est mathématiquement exacte, la réalisation d'un dérivateur en simulation analogique ou numérique est délicate, on essaye donc de l'éviter!

&ω2 1s

ω2 &ω2 1

s

ω2 1J

kf

M2 +

NN

2

1

&ω2 1s

ω2 1J

kf

M2 +

1s

r v h M1 Fm

l NN

2

1

ω1

&ω2 s

ω2

J

kf M2 +N

N1

2

ω1

+

Page 24: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

J.-M. Allenbach 3–6 040430

Page 25: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–7 040501

3.A TRANSFORMÉE DE LAPLACE

3.A.1 But L'usage fait ici de la transformée de Laplace me peut mieux se comparer qu'à celui fait jadis des logarithmes. Avant l'arrivée des calculatrices et ordinateurs, la multiplications de deux nombres avec nombreux chiffres significatifs était longue et fastidieuse, avec de nombreux risques d'erreur. Pour effectuer le produit de deux nombres A et B, on préférait rechercher dans une table de logarithmes les valeurs de logA et logB. On effectuait la somme des logarithmes, l'opération somme étant dans les logarithmes l'opération correspondant au produit. Il suffisait alors de lire sur la table l'antilogarithme de cette somme pour obtenir le résultat du produit. Un "détour" par les logarithmes permettait de remplacer une opération difficile: un produit, par une simple: une somme. On utilisera ici le "détour" par la transformée de Laplace pour s'épargner de fastidieux calculs intégro–différentiels. 3.A.2 Définitions

La transformée de Laplace est étudiée en cours de mathématique [28]. On ne rappelle que quelques règles de base. A toute fonction du temps x(t) correspond une fonction X(s) d'une variable abstraite complexe.

s j= +σ ω (3.A1)

On définit la transformée de Laplace de la fonction x(t). Cette définition sous-entend qu'il s'agit d'une fonction causale, c'est à dire nulle pour les valeurs négatives du temps comme les signaux fondamentaux décrits au tableau 3.A1.

X s x t e dtst( ) ( )= −∞

∫0

(3.A2)

On note la correspondance:

)]([)( txsX L= (3.A3)

Il est à noter que x(t) et X(s) expriment le même signal, la même réalité physique, exprimée une fois dans le monde concret: l'espace temps, et une fois dans un monde abstrait: l'espace de Laplace. Toutefois, il serait mathématiquement abusif d'inscrire le signe d'égalité entre x et X. Dans cet ouvrage, on adopte l'écriture (3.A4) pour exprimer l'identité physique de deux signaux dans deux espaces.

X s( ) •–o x t( ) (3.A4)

Dans l'espace temps un signal peut être identique à un signal connu x(t), mais décalé d'un temps T. On rappelle l'effet dans l'espace de Laplace sans le démontrer.

e X ssT− ( ) •–o x t T( )− (3.A5)

On rappelle encore la définition de la transformée de Laplace inverse, qui permet le retour dans l'espace temps.

x t X s e dsst

j

j

( ) ( )= −

− ∞

∫1

2 π (3.A6)

Page 26: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–8 040501

)]([1)( sX-tx L= (3.A7)

x t( ) o–• X s( ) (3.A8) 3.A.3 Applications Ici, on n'utilisera en général pas la définition (3.A2) pour le calcul des transformées, mais les tableaux 3.A2 et 3.A3. Cela peut nécessiter d'exprimer certains signaux complexes sous forme de combinaison linéaire de signaux connus. La méthode pour rechercher la solution d'équations différentielles s'énonce comme suit: 1. Etablissement des équations différentielles décrivant le problème. 2. Traduction des équations temporelles dans l'espace de Laplace à l'aide des tableaux 3.A2 et

3.A3. 3. Recherche de la solution par simple calcul algébrique. 4. Traduction de la solution dans le temps à l'aide des tableaux 3.A2 et 3.A3. Souvent le résultat trouvé en 3 n'est pas directement lisible dans le tableau 3.A2, souvent, c'est un quotient de polynômes en s. On ne va cependant pas appliquer (3.A6), on préfère décomposer la solution en une somme de fonctions connues. On rappelle le théorème des résidus, sous sa forme applicable au cas d'un numérateur d'ordre m et d'un dénominateur d'ordre n > m dont toutes les racines pi sont distinctes.

X sNum sDen s

rs pi

n

( )( )( )

= =−=

∑ i

i1 (3.A9)

Chacun des termes de la somme (3.A9) se trouve dans le tableau 3.A3 (règle 5 ou 1) et on sait que la somme est conservée par la transformée de Laplace (règle 1 du tableau 3.A2). On obtient donc une expression temporelle sous forme de combinaison linéaire de signaux simples. Après les tableaux qui exposent les principaux signaux, leurs transformée et les règles et propriétés fondamentales, on traite un exemple simple.

Page 27: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–9 040501

TRANSFORMÉE DE LAPLACE

Nom du signal Diagramme

temporel Expression temporelle

Expression dans Laplace

Percussion-unité ou Impulsion de Dirac

h h t∗ =∆ 1 ∆t→0 t

δ ( )t

1

Echelon-unité ou Echelon de Heaviside

1 t

1

ou plus exactement

ε( )t

1s

Rampe-unité ou Echelon de vitesse

1 1 t

t

ou plus exactement v t t t( ) ( )= ε

12s

Sinusoïde-unité

1

t

π ω/ 0

sin( )ω0 t ou plus

exactement µ ω ε( ) sin( ) ( )t t t= 0

ωω0

202s +

Fig. 3.A01 Signaux fondamentaux dans le temps et leurs transformées.

Page 28: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–10 040501

TRANSFORMÉE DE LAPLACE

opération f( t) F(s) linéarité K f t K f t K F s K F s1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )+ + retard f t nT e F ssnT

1 1( ) ( )− − avance f t nT e F ssnT

1 1( ) ( )+ +

amortissement f t e F sT

Tt

1 1( ) ( )−

α

dérivée T f t s T F s f1 1 1 0•

−( ) ( ) ( )

intégrale 1 1

10

1Tf d

s TF s

t

( ) ( )τ τ∫

valeur initiale lim ( ) lim ( )

t sf t s F s

→ →∞01 1

valeur finale lim ( ) lim ( )

t sf t s F s

→∞ →1

01

Fig. 3.A02 Principales opérations dans le temps et leurs transformées.

Page 29: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–11 040501

TRANSFORMÉE DE LAPLACE

f(t) F(s)

1 1s

t 12s

t2 23s

tn n

sn!+1

e–at 1

s a+

1 – e–at a

s s a( )+

sinω0t ω

ω0

202s +

cosω0t s

s202+ω

t e–at 1

2( )s a+

e tatx

− sinω ω

ωx

xs a( )+ +2 2

e tatx

− cosω s a

s a x

+

+ +( )2 2ω

Fig. 3.A03 Principales fonctions du temps et leurs transformées.

Page 30: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–12 040501

TRANSFORMÉE DE LAPLACE Exemple d'application

On veut connaître le courant i(t) qui traverse une impédance L-R à laquelle on applique une tension u(t) = A ε(t). On écrit l'équation de maille:

Li t

tR i t u t

dd( )

( ) ( )+ = (3.A10)

On la traduit dans l'espace de Laplace à l'aide des tableaux 3.A02 et 3.A03:

L s I s R I s U s U sAs

( ) ( ) ( ) ( )+ = = (3.A11)

On exprime le courant en fonction de la tension:

I sU s

L s RU s

As

( )( )

( )=+

= (3.A12)

On remplace la tension par son expression:

I sA

s L s R( )

( )=

+ (3.A13)

On arrange l'expression pour qu'elle ressemble à une de celles du tableau 3.A03:

I sAR

as s a

avec aRL

( )( )

=+

= (3.A14)

On traduit le retour dans le temps à l'aide du tableau 3.A03:

i tAR

eRL

t( ) ( )= −

−1 (3.A15)

u(t) i(t) L R

Page 31: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–13 040501

3.B TRANSFORMATIONS DE SCHÉMAS FONCTIONNELS

3.B.1 But Après construction d'un schéma fonctionnel d'après les équations physiques, il peut être utile d'en modifier la structure. On peut par exemple simplifier un groupe de blocs par un bloc unique, mettre en évidence une grandeur mesurable ou démêler des boucles entrelacées. Pour être très général, on désignera les blocs par G1 à G4 qui peuvent dépendre d'un variable s. On donne ici les principales règles utiles, sans prétendre qu'elles sont exhaustives. 3.B.2 Association de blocs

Pour les combinaisons de blocs on peut citer cinq règles de base.

Fig. 3.B1 Blocs en série. G s G s G s3 ( ) ( ) ( )= 1 2 (3.B1) Fig. 3.B2 Blocs en parallèle. G s G s G s3 ( ) ( ) ( )= +1 2 (3.B2) Fig. 3.B3 Blocs en boucle.

G sG s

G s G s3 ( )( )

( ) ( )=

+1

1 21 (3.B3)

Fig. 3.B4 Système asservi (à retour unité).

G sG s G s

G s G s3 ( )( ) ( )

( ) ( )=

+1 2

1 21 (3.B4)

y G3(s)

u u y y G1(s) G1(s)

G2(s) G2(s)

+ +

– –

y G3(s)

u y2=y y1=u2 u=u1 G1(s) G2(s)

u G1(s)

G2(s)

y=y1+y2 +

+

y G3(s)

u

G1(s) G1(s) G2(s) + +

y G3(s)

u y u

Page 32: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–14 040501

Fig. 3.B5 Extraction d'un bloc hors d'une boucle de retour.

G sG s G s

G s G sG s

G s3 4( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )=

+=1 2

1 2 211

(3.B5)

Par ces transformations, on peut faire disparaître des grandeurs internes ou même faire apparaître des grandeurs virtuelles non physiques. On peut aussi, par ces opérations, faciliter la simulation analogique ou numérique (voir chap. 9) 3.B.3 Déplacements de sommateurs

Pour les sommateurs on peut citer trois règles de base. On peut permuter des sommateurs en cascade ou les remplacer par un sommateur équivalent. Cette propriété découle de la commutativité de l'addition. On peut aussi avoir besoin de déplacer un sommateur en amont ou en aval d'un bloc. Fig. 3.B6 Redisposition de sommateurs. Y U U U= ±1 2 3m (3.B6) Fig. 3.B7 Déplacement de sommateur en amont d'un bloc. Y s G s U s X s( ) ( ) ( ) ( )= ± (3.B7) Fig. 3.B8 Déplacement de sommateur en aval d'un bloc.

Y s G s U s U s( ) ( )( ( ) ( ))= ±1 2 (3.B8)

G3(s) G4(s) + +

u

G1(s) G1(s)

G2(s) G2(s)

+ +

– –

y y u

y=u1±u2±u3 u1

±

+

u2

u3

±

u1

±

+

u2

u3

±

y=u1±u2±u3 u1

±

+ u2

u3 ±

y=u1±u2±u3

y G(s) u y

G(s) u

x

G(s)

1 x

+ +

± ±

y G(s)

u1 y G(s)

u2 G(s)

+ +

± ±

u1

u2

Page 33: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–15 040501

3.B.4 Déplacements de points d'embranchement Fig. 3.B9 Déplacement d'embranchement en amont d'un bloc. Y s G s U s( ) ( ) ( )= (3.B09) Fig. 3.B10 Déplacement d'embranchement en aval d'un bloc.

Y s G s U s G s G sG s

U s1 1 1 22

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )= = (3.B10)

Pour les embranchements, les règles sont très voisines de celles des sommateurs ou comparateurs. En appliquant ces règles, on peut par exemple réduire un schéma compliqué formé de blocs élémentaires à un bloc unique d'expression compliquée.

y G(s)

u y G(s)

u

y

G(s)

y

y2=y y1=u2 u=u1 G1(s) G2(s)

y2=y y1=u2 u=u1 G1(s) G2(s)

G2(s) 1

y1 y1

Page 34: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Schéma fonctionnel

Jean-Marc Allenbach 3–16 040501

Page 35: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–1 020409

CHAPITRE 4: FONCTION DE TRANSFERT

4.1 GÉNÉRALITÉS

4.1.1 Définition

On considère un système linéaire à une entrée et une sortie.

Fig. 4.1 Système linéaire.

A partir du système d'équations différentielles à coefficients constants qui décrit un telsystème, on a établi son équation caractéristique qui exprime la relation entre entrée et sortie.

a y t a y t a y t b u t b u t b u t0 1 2 0 1 2( ) �( ) ��( ) ... ( ) �( ) ��( ) ...+ + + = + + + (4.1)

On peut traduire l'équation caractéristique dans l'espace de Laplace, grâce à latransformée de Laplace selon les règles énoncées à l'annexe 3.A.entrée et sortie.

a Y s a s Y s a s Y s b U s b s U s b s U s0 1 22

0 1 22( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ...+ + + = + + + (4.2)

La mise en évidence des variables Y et U fait apparaître deux polynômes en s.

( ... ) ( ) ( ... ) ( )a a s a s a s Y s b b s b s b s U sn m0 1 2

20 1 2

2+ + + + = + + + +n m (4.3)

La fonction de transfert – appelée parfois transmittance isomorphe – est défini par lequotient des grandeurs de sortie et d'entrée, exprimées dans l'espace s. Sa valeur est obtenuepar le quotient des polynômes en s formés par les coefficients de l'équation caractéristique.

G sY sU s

( )( )( )

= (4.4)

G sb b s b s b s b sa a s a s a s a s

N sD s

m m

n n( )...

...( )( )

=+ + + + +

+ + + + +=−

−−

0 1 22 1

0 1 22 1

m 1 m

n 1 n(4.5)

Dans un système physique réel, le degré n du polynôme dénominateur D(s) seratoujours supérieur ou égal au degré m du polynôme numérateur N(s). Seules dessimplifications exagérées peuvent conduire au cas contraire. Si on utilise un tel modèle ultrasimplifié, on peut obtenir dans certains contextes des résultats fort éloignés de la réalité, voireaucun résultat si on bute à des singularités numériques.

On peut illustrer la définition (4.4) par un exemple: on applique une tension u(t) auxbornes d'une inductance L. Un convertisseur de mesure délivre une tension y(t)proportionnelle au courant i(t) qui traverse l'inductance.

Syu

Page 36: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–2 020409

Fig. 4.2 Système: schéma électrique et fonction de transfert.

i tL

ut

( ) ( ) d= �1

0τ τ (4.6)

y t k i t( ) ( )= (4.7)

Par la transformée de Laplace, on calcule la fonction de transfert en faisant disparaîtrela variable interne i(t).

G sY sU s

ks Ls ( )

( )( )

= = (4.8)

De la relation (4.4), on peut aussi exprimer la sortie du système lorsqu'on en connaît lesignal d'entrée et la fonction de transfert.

Y s G s U s( ) ( ) ( )= s (4.9)

4.1.2 Combinaisons

Pour calculer la fonction de transfert d'un système, on peut appliquer aux fonctions detransfert de ses sous-systèmes les règles de transformation de schémas exposées à la section3.3. On n'en rappelle que les principales.

Fig. 4.3 Sous-systèmes en série.

G s G s G ss ( ) ( ) ( )= 1 2 (4.10)

Fig. 4.4 Sous-systèmes en parallèle.

G s G s G ss ( ) ( ) ( )= +1 2 (4.11)

u

i

yk

LGs(s) yu

y2=y y1=u2 u=u1 G1(s) G2(s) y

Gs(s) u

uG1(s)

G2(s)

y=y1+y2 +

+

yGs(s)

u

Page 37: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–3 020409

Fig. 4.5 Système en boucle.

G sG s

G s G ss ( )( )

( ) ( )=

+1

1 21 (4.12)

Fig. 4.6 Système asservi (à retour unité).

La fonction de transfert globale d'un asservissement se calcule à l'aide des relations (4.10) et (4.12).

yGs(s)

u u y yG1(s)G1(s)

G2(s)G2(s)

+ +

– –

G1(s)G1(s) G2(s) + +

yGs(s)

u y u

Page 38: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–4 020408

4.2 FORMES D'ÉCRITURE

4.2.1 Forme canonique

La forme canonique (4.5) n'est pas toujours adaptée aux besoins des calculs, onutilisera donc des formes mieux adaptées aux besoins.

4.2.2 Forme d'Evans

Pour cette forme, on met en évidence les coefficients supérieurs de chaque polynômeet on exprime leurs racines.

G s ks z s z s zs p s p s p

k

s z

s p( )

( )( )...( )( )( )...( )

( )

( )=

− − −− − −

=

1 2

1 2

m

n

jj=1

m

ii=1

n (4.13)

kba

= m

n(4.14)

Les racines zj du numérateur sont appelées zéros et les pi du dénominateur pôles. Lecoefficient k est appelé facteur d'Evans. Les racines peuvent être réelles ou complexes. S'il y aun pôle à l'origine de multiplicité α, on peut modifier la présentation de (4.13); selon lesrègles de Laplace, on conclut que le système décrit par la fonction de transfert G(s) compte αintégrations pures.

G sk

s

s z

s p( )

( )

( )=

∏α

α

jj=1

m

ii= +1

n (4.15)

4.2.3 Forme de Bode

Lorsque les racines sont réelles, on met volontiers en facteur les coefficients inférieursde chaque polynôme et on exprime leurs constantes de temps.

G sKs

s T

s T( )

( )

( )=

+

+

∏α

α

1

1

Njj=1

m

Dii= +1

n (4.16)

Kba

= 0

α(4.17)

Lorsque α = 0, le coefficient K est appelé gain statique, c'est le gain du système en régimepermanent. Lorsque α = 1, on parle de gain en vitesse. On peut exprimer la relation entre lefacteur d'Evans et le gain.

Page 39: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–5 020408

K k

z

p=

( )

( )

jj=1

m

ii= +1

n

α

(4.18)

Si le polynôme compte une paire de racines complexes, on modifie (4.16) pour faireapparaître la pulsation naturelle ω0 et le facteur d'amortissement δ; en effet, des constantes detemps complexes n'auraient pas de sens physique. On donne en (4.19) un exemple pour ledénominateur.

G sKs

s T

ss

s T( )

( )

( ) ( )=

+

+ + +

∏α

α

δω ω

1

12

10

2

02

Njj=1

m

Dii= +1

n-2(4.19)

Page 40: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–6 020430

4.3 CLASSIFICATION

Pour identifier rapidement le genre de comportement d'un système, on a l'habituded'utiliser deux critères.

L'ordre d'un système est défini par l'ordre n de l'équation caractéristique, qui est égalau nombre de pôles de la fonction de transfert. C'est encore égal au nombre d'équationsdifférentielles linéairement indépendantes du premier degré qui sont nécessaires et suffisantespour décrire le système.

Le type d'un système est défini par le nombre d'intégrations pures qu'il admet. Celacorrespond au degré α de la variable s qu'on peut mettre en évidence au numérateur de lafonction de transfert.

On appelle encore système fondamental un système qui n'admet pas de zéro et dont letype est 0. Certains auteurs restreignent encore la définition aux ordres 1 et 2.

Page 41: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–7 041102

4.4 RÉPONSES TEMPORELLES

4.4.1 Définition

On considère un système linéaire à une entrée et une sortie.

Fig. 4.7 Système linéaire.

La réponse d'un système est l'évolution dans le temps du signal y(t) de sortie d'un système excité par une entrée u(t) connue. La réponse se calcule selon la définition (4.9).

4.4.2 Réponse libre et réponse forcée Lorsque l'entrée u(t) du système est nulle, on distingue deux types de réponse: La réponse forcée s'observe lorsque les conditions initiales du système sont nulles: toutes les grandeurs physiques du système sont nulles pour t = 0.

La réponse libre s'observe lorsque les conditions initiales du système ne sont pas nulles: par exemple, il existe un charge de capacité dans un système électrotechnique ou une vitesse initiale dans un système mécanique.

4.4.3 Réponse indicielle Lorsque le système est excité par un échelon unité, nommé parfois saut indiciel, la sortie est appelée réponse indicielle.

u t t( ) ( )= ε o– • U ss

( ) =1

(4.20)

Y sG s

s( )

( )= s •–o y t t( ) ( )= γ (4.21)

4.4.4 Réponse impulsionnelle Lorsque le système est excité par une impulsion unité, nommée percussion de Dirac, la sortie est appelée réponse impulsionnelle. u t t( ) ( )= δ o– • U s( ) = 1 (4.22)

Y s G s( ) ( )= s •–o y t g t( ) ( )= (4.23)

Gs(s)

y u

Page 42: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–8 041102

La réponse impulsionnelle est donc la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert du système. Par cette propriété, cette réponse serait intéressante si on pouvait la mesurer, ce qui n'est pas le cas car la percussion de Dirac ne peut être réalisée en pratique que par une approximation assez grossière

4.4.5 Réponse en vitesse Lorsque le système est excité par une rampe unité, la sortie est appelée réponse en vitesse.

u t t t t( ) ( ) ( )= =ν ε o– • U ss

( ) =12 (4.24)

Y sG s

s( )

( )= s

2 •–o y t t( ) ( )= ρ (4.25)

Page 43: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–9 041129

4.5 ANALYSE DE SYSTÈMES FONDAMENTAUX

4.5.1 Premier ordre

Dans de très nombreux cas, l'analyse d'un système quelconque, basée sur l'étude de son approximation par un système fondamental du premier ou du second ordre, donne des résultats très voisins de la réalité. Dès le troisième ordre, ou pour des systèmes non fondamentaux (présence de zéros non négligeables), la complexité de l'analyse croît de telle manière qu'elle sort du cadre de cet enseignement. On y renoncera donc en sachant qu'il faut être attentif à une différence possible entre une analyse basée sur un deuxième ordre fondamental et le résultat réel. Les correctifs seront apportés par un raisonnement plus qualitatif que quantitatif.

On étudie d'abord un système fondamental du premier ordre.

G sK

s Ts1s( ) =

+1 (4.26)

Pour calculer la réponse indicielle du système, on applique la définition (4.21). Le retour

dans le temps utilise la décomposition en éléments simples, dont on peut identifier les transformées inverses au tableau 3.A3.

Y ss

Ks T

( ) =+

11

s •–o y t K etT( ) ( )= −

−s 1 (4.27)

Cette fonction est représentée à la figure 4.8 pour Ks = 1, avec une échelle du temps relative

à T.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 4.8 Réponse indicielle d'un système fondamental du premier ordre.

tT

t r

1,05

0,95

0,632

γ(t)

Page 44: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–10 041129

Pour caractériser le comportement dynamique d'un système, on utilise volontiers le temps de réponse tr. Il est défini comme la durée qui sépare l'instant de saut de l'échelon unité et l'instant où la réponse pénètre définitivement dans la bande à ± 5 % de la valeur finale. On approxime souvent ce temps au triple de la constante de temps, ce que confirme l'instant tr noté à la figure 4.8. t Tr ≅ 3 (4.28) Par le théorème de la valeur initiale, on peut démontrer la continuité de y(t) pour t = 0 et calculer la pente en cet instant.

lim ( ) lim ( )t s

y t s Y s→ + →∞

= =0

0 (4.29)

lim &( ) lim ( ( )) lim( )

limt s s s

y t s sY ss K

s s TK

sT

KT→ + →∞ →∞ →∞

= =+

=+

=0

2

1 1s s s (4.30)

En prolongeant la pente à l'origine jusqu'à l'asymptote de la valeur finale, on obtient comme instant de croisement la valeur T. Toutefois, cette méthode – mathématiquement exacte – n'offre pas grand intérêt dans le cas d'une mesure sur une installation: le tracé pratique de la pente à l'origine est trop imprécis à obtenir. Les systèmes d'acquisition de données ont toutefois redonné un peu d'intérêt à cette méthode d'identification de la valeur T, puisque la dérivée en t = 0 peut être calculée numériquement. Toutefois, on préfère déterminer T en cherchant une valeur particulière sur la courbe de réponse indicielle mesurée:

y Te

K K( ) ( ) ,= − =11

0 632s s (4.31)

Par le théorème de la valeur finale, on peut démontrer que y(t) pour t = ∞ tend bien vers le gain statique Ks, avec une pente qui tend vers zéro.

lim ( ) lim ( )t s

y t s Y s K→∞ → +

= =0

s (4.32)

lim &( ) lim ( ( )) lim( )t s s

y t s sY ss K

s s T→∞ → + → += =

+=

0 0

2

10s (4.33)

On peut aussi calculer la réponse impulsionnelle.

Y sK

s T( ) =+

1 1s •–o y t K e

tT( ) =

−s (4.34)

Comme déjà dit à la section 4.4, cette réponse n'a pas grand sens physique car la percussion

unité ne peut pas être réalisée dans la pratique.

Page 45: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–11 041129

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 4.9 Réponse impulsionnelle d'un système fondamental du premier ordre.

On peut enfin calculer la réponse à une rampe.

Y ss

Ks T

( ) =+

112

s (4.35)

Pour trouver la fonction du temps, on décompose en éléments simples.

Y sK

s

K Ts

K T

Ts

( ) = − ++

s s s2 1 •–o y t K t T e

tT( ) ( ( ))= − −

−s 1 (4.36)

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Fig. 4.10 Réponse en vitesse d'un système fondamental du premier ordre. Le tracé reproduit à la figure 4.10 met en évidence que la sortie n'arrivera jamais à rattraper la rampe Ks T. On observe que la valeur de la rampe d'entrée est atteinte par la sortie avec un retard T, appelé traînée.

tT

g(t)

T

tT

ρ(t)/T

Page 46: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–12 041129

4.5.2 Deuxième ordre On étudie ensuite un système du deuxième ordre d'après sa fonction de transfert.

G sKs s

T =

s2s

avec pulsation naturelle et période naturelle

: coefficient d' amortissement

( )

: :

=

+ +12

20

2

02

0 00

δω ω

ωπ

ωδ

(4.37)

On calcule la réponse indicielle par la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert divisée par s.

Y ss

Ks s

( ) =

+ +

1

12

0

2

02

s

δω ω

•–o y t( ) (4.38)

Pour décomposer Y(s) en éléments simples, on calcule d'abord les pôles.

p1 20

2

02

02

02

0 02

2 4 4

2 1, =

− ± −

= − ± −

δω

δ

ω ω

ω

ω δ ω δ (4.39)

A δ > ⇒1 2 pôles réels distincts: p1 0 21 11

,2 ( )= − ± −ω δδ

(4.39A)

B δ = ⇒1 2 pôles réels confondus: p p1 2 0= = −ω (4.39B)

C δ < ⇒1 2 pôles complexes conjugués: )1( 202,1 δδω −±−= jp (4.39C)

Pour les cas A, on obtient une décomposition facile.

Y scs

cs p

cs p

( ) = +−

+−

0 1

1

2

2 (4.40)

On obtient la réponse indicielle en utilisant le tableau 3.A3.

y t Ka

a e a e

a

a t a t( ) ( (( ) ( ) ))( ) ( )= + − − +

= −

− + − −s

avec

11

21 1

11

1 1

2

0 0δ ω δ ω

δ

(4.41)

A l'aide du théorème de la valeur initiale, il est aisé de démontrer la continuité de la réponse indicielle et de sa pente pour t = 0.

lim ( ) lim &( )

t ty t y t

→ + → += =

0 00 0 (4.42)

Page 47: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–13 041129

Si le coefficient d'amortissement δ est grand, on peut négliger le terme en s2 dans la fonction de transfert (4.37): le système s'assimile alors à un premier ordre. Ce n'est qu'à proximité immédiate de t = 0 qu'on voit que c'est un deuxième ordre car l'approximation n'est plus valable pour les très grandes valeurs de s.

y t K et

( ) ( )= −−

s 10

δ (4.43)

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 1

y(t)

t

Fig. 4.11 Réponse indicielle d'un système d'ordre 2 pour δ > 1 et Ks = 1 et son approximation d'ordre 1. (tracé pour δ = 2, ω0 = 5 et T = 0,8)

Pour les cas B des pôles confondus, la fonction de transfert se simplifie.

G sK

ss2s( )

( )=

+10

(4.44)

Après décomposition en éléments simples, on utilise le tableau 3.A3.

y t K t e t( ) ( ( ) )= − + −s 1 1 0 0ω ω (4.45)

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11,050,95

tr t

y(t)

Fig. 4.12 Réponse indicielle d'un système d'ordre 2 pour δ = 1 et Ks = 1.

1,05 0,95

0,63

T tr

Page 48: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–14 041129

Pour les cas C des pôles complexes conjugués, on conserve la même méthode de calcul.

y t K t t e t( ) ( (cos sin ) )= − +−

= −

−s p p

p 0avec la pulsation propre:

11

1

2

2

0ωδ

δω

ω ω δ

δ ω

(4.46)

D1

11

1 2−

−δ

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tr (approximé)

tr (exact)

11

0

2+

−e tδω

δ

11

1 2+

−δ

11

0

2−

−e tδω

δ

1,05

0,95

0,63

Te Tp

Tp

T0

Tp

tm tp

y(t)

Fig. 4.13 Réponse indicielle d'un système d'ordre 2 pour δ = 0,2 et Ks = 1

Page 49: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–15 041129

La relation (4.46) décrit un mouvement oscillatoire borné par une exponentielle: on peut y discerner trois cas dont seul le dernier offre un intérêt pour les systèmes automatisés. CCC

1 02 03 0 1

δδ

δ

<=< <

oscillations divergentes (système instable: voir ch. 6)oscillations entretenues (système en limite de stabilité: voir ch. 6)oscillations amorties (système stable: voir ch. 6)

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0,1

0,50,7

1

2

5

Fig. 4.14 Réponse indicielle d'un système d'ordre 2 pour différentes valeurs de δ et Ks = 1. Le dépassement maximum D1 est utilisé pour décrire le comportement dynamique, il est défini de manière relative à la valeur finale Ks. Ce premier pic s'observe à l'instant tp, appelé temps de pic qu'on calcule en cherchant la plus petite valeur non nulle qui annule la dérivée de la réponse indicielle.

01 12 2

0= = +−

+ −−

−&( ) ((cos sin ) (sin cos ) )y t t t t t e tωδ

δω δ ω ω

δ

δω ω δω

p p 0 p p p (4.47)

01 12

2

20= = −

−+

−+ −&( ) (( ) cos ( )sin )y t t t e tδ ω

δ ω

δω

δ ω

δω ω δ ω

0p

p0

p p (4.48)

La seule valeur de t qui annule l'exponentielle est l'infini, donc on s'intéresse à celle qui annule la grande parenthèse. Selon (4.46), l'expression qui multiplie le cosinus est toujours nulle.

01

2

2=

−+( ) sin

δ ω

δω ω0

p pt (4.49)

Page 50: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–16 041129

On obtient la valeur du temps de pic tp par annulation du sinus, ainsi que la pseudopériode Tp.

tT

pp 0

p= =

−=

πω

π

ω δ1 22 (4.50)

On introduit (4.60) dans (4.46).

Dy t

K1 1= −( )p

s (4.51)

D e11 2

=−

π δ

δ (4.52)

0.01 0.02 0.03 0.05 0.07 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 10.01

0.02

0.030.040.05

0.080.1

0.2

0.30.40.5

0.81

D1

δ

Fig. 4.15 Dépassement maximal D1 en fonction du facteur d'amortissement δ . Le temps de montée tm est défini comme l'instant pour lequel la valeur finale est atteint pour la première fois.

1 =y t

K( )m

s (4.53)

Le temps de montée est calculé en introduisant (4.46) dans (4.53).

cos sin )ωδ

δω δ ω

p m p m mt t e t+−

=−

10

20 (4.54)

− =−

tanωδ

δp mt1 2

(4.55)

Page 51: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–17 041129

On utilise une propriété trigonométrique. − = −tan tan( )x xπ (4.56)

π ωδ

δ− =

−p mt arctan

1 2 (4.57)

tmp 0

=−

=−

πδ

δω

πδ

δ

ω δ

arctan arctan1 1

1

2 2

2 (4.58)

0 . 1 0.2 0 . 5 1 20

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4ω 0 tm

δ

Fig. 4.16 Temps de montée tm en fonction du facteur d'amortissement δ . On peut aussi définir le temps de montée tm19 entre 10 % et 90 % de la valeur finale. On n'a pas ici d'expression analytique, mais on peut tracer quelques valeurs de d'après les simulations de la figure 4.14, on fait ensuite passer une approximation par un polynôme d'ordre 2.

tm19 =− +1 0 4167 2 917 2

0

, ,δ δω

(4.59)

0.1 0.2 0.5 1 20

2

4

6

8

10ω 0 tm19

δ

Fig. 4.17 Temps de montée tm19 en fonction du facteur d'amortissement δ .

Page 52: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–18 041129

Pour le temps de réponse tr, le calcul analytique est aussi difficile. On recherchera donc les maxima des intersection de la réponse harmonique avec les horizontales à 1,05 et 0,95 avec un programme MATLAB. On peut toutefois énoncer des approximations analytiques.

t r ≅3

0δ ω δ ∈[ , , ]0 01 0 7 (4.60)

t r ≅6

0

δω

δ ∈[ ]1 100 (4.61)

0.1 0.2 0.5 1 2 5 101

2

5

10

20

50

100ω 0 tr

δ

6δ 3/δ

Fig. 4.18 Temps de réponse tr en fonction du facteur d'amortissement δ . On peut encore calculer le nombre d'oscillation qu'on peut observer pendant un temps donné tmes.

NtT

ttosc

mes

p

mes

p= =

2 (4.62)

La réponse impulsionnelle ou la réponse en vitesse n'apportent pas grande information supplémentaire.

Page 53: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 4–19 041214

4.6 RÉPONSE HARMONIQUE 4.6.1 Signification pratique.

Un système Gs(s) est excité par une sinusoïde–unité.

u t t( ) sin= ω •–o U ss

( ) =+

ω

ω2 2 (4.63)

De la définition (4.9), on calcule la réponse dans l'espace s.

Y ss

G s( ) ( )=+

ω

ω2 2 s (4.64)

Pour calculer la réponse temporelle, on pose l'hypothèse que le système est linéaire d'ordre n, et que les racines pi du dénominateur de sa fonction de transfert (pôles) sont distinctes (c'est toujours vrai pour des systèmes réels). On peut dans ce cas décomposer le signal de sortie en une somme d'éléments simples.

Y sA B s

s

Cs pi

n( ) =

+

++

−=∑2 2

1ωi

i (4.65)

La traduction dans le temps s'opère en appliquant la table des transformées (Annexe 3.A),

plus facilement qu'en calculant la transformée inverse selon la définition.

y tA

t B t C e p t

i

n( ) sin cos= + +

=∑ω

ω ω i i

1 (4.66)

Si tous les pi sont à partie réelle négative, la somme d'exponentielles tend vers zéro pour les

valeurs élevées de temps. On peut alors décomposer le signal de sortie en régime permanent et régime transitoire.

y t C e p t

i

n

trans i i( ) ==∑

1 (4.67)

y tA

t B tperm( ) sin cos= +ω

ω ω (4.68)

Par calcul trigonométrique – propriété d'addition des arcs – on peut écrire le régime

permanent sous forme d'une sinusoïde.

y tA

B tBAperm( ) sin( arctan )= + +

2

22

ωω

ω (4.69)

Le régime permanent est donc une sinusoïde de même pulsation que le signal d'entrée, mais

d'amplitude modifiée et décalée dans le temps. Ces deux modifications par rapport au signal d'entrée

Page 54: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 4–20 041214

dépendent de la pulsation, ainsi que des valeurs A et B. On détermine ces dernières en appliquant le calcul des limites sur les relations (4.64) et (4.65), puis en procédant par identification des membres des égalités.

lim ( ) ( ) ( )

s js Y s G j

→++ =

ωω ω ω2 2

s (4.70)

lim ( ) ( )s j

s Y s A B j→+

+ = +ω

ω ω2 2 (4.71)

G jA

j Bs ( )ωω

= + (4.72)

On voit apparaître un nombre complexe dépendant de ω – une fonction complexe – obtenu

de la fonction de transfert par remplacement de s par jω. En calculant module et argument de ce nombre complexe, on trouve les valeurs qui modifient la sinusoïde d'entrée dans la relation (4.69).

G jA

Bs ( )ωω

= +2

22 (4.73)

arg ( ) arctanG jB

As ωω

= (4.74)

On appelle réponse harmonique cette fonction complexe de ω (transmittance isochrone

dans certains ouvrages). Elle exprime, pour une pulsation donnée, la relation du régime permanent sinusoïdal de sortie avec l'entrée d'un système: • rapport des amplitudes pour le module • déphasage pour l'argument.

4.6.2 Aspect mathématique.

La réponse harmonique se représente par une courbe dans le plan complexe qui est l'image

du demi-axe imaginaire par la fonction de transfert, considérée ici comme une application linéaire de C dans C. Les points de l'axe imaginaire origine représentent les pulsations du signal d'entrée. G ss ( ) Fig. 4.19 Demi axe imaginaire et son image.

Page 55: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–21 041125

4.A RÉSUMÉ DE SYSTÈMES FONDAMENTAUX

4.A.1 Introduction

Dans de très nombreux cas, l'analyse d'un système quelconque, basée sur l'étude de son approximation par un système fondamental du premier ou du second ordre, donne des résultats très voisins de la réalité. On a ensuite une combinaison de ceux-ci, avec des modes souvent peu influents qu'on néglige. Dans ce résumé, on a indiqué le numéro d'équation et la page où on trouve la théorie. 4.A2 Premier ordre

Fonction de transfert: G sK

s Ts1s( ) =

+1 (4.26) 4–9

Constante de temps: T [s] Gain statique: Ks […]

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tr

γ(t)1,050,95

0,632

Fig. 4.A1 Réponse indicielle d'un système fondamental du premier ordre. Temps de réponse à 5 %: t Tr ≅ 3 (4.28) 4–10 Temps de réponse à 2 %: t Tr ≅ 5

Page 56: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–22 041125

4.A.3 Deuxième ordre

Fonction de transfert: G sKs ss2s( ) =

+ +12

0

2

02

δω ω

(4.37) 4–12

Pulsation naturelle: ω0 (ou ωn) [s–1] (4.37) 4–12 Coefficient d'amortissement: δ (ou ζ ) […] (4.37) 4–12

Période naturelle: T =00

2 πω

[s] (4.37) 4–12

Temps de pic: tp0

=−

π

ω δ1 2 [s] (4.50) 4–16

Pseudopériode: Tp0

=−

2

1 2

π

ω δ [s] (4.50) 4–16

Temps de montée (0 à 100 %): tm0

=−

πδ

δω δ

arctan1

1

2

2 [s] (4.59) 4–17

Temps de montée (10 à 90 %): tm19 ≅− +1 0 4167 2 917 2

0

, ,δ δω

[s] (4.59) 4–17

Temps de réponse à 5 %

(δ ∈[ , , ]0 01 0 7 ): t r ≅3

0δ ω [s] (4.60) 4–18

(δ ∈[ ]1 100 ): t r ≅6

0

δω

[s] (4.61) 4–18

Constante de temps

de la courbe enveloppe: Te =1

0δ ω [s]

Pulsation propre ou pseudopulsation: ω ω δp 0= −1 2 [s–1] (4.46) 4–14

Pulsation de résonance: ω ω δr 0= −1 2 2 [s–1] (5.17) 5–8

Dépassement: D e11 2

=−

π δ

δ […] (4.52) 4–16

Nombre d'oscillations: NtT

ttosc

mes

p

mes

p= =

2 […] (4.62) 4–18

Facteur de résonance: Qr =−

1

2 1 2δ δ […] (5.18) 5–8

Page 57: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–23 041125

D1

1

1 2−

−δ

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tr (approximé)

tr (exact)

11

0

2+

−e tδω

δ

11

1 2+

−δ

11

0

2−

−e tδω

δ

1,05

0,95

0,63

Te Tp

Tp

T0

Tp

tm tp

y(t)

tm19

Fig. 4.A2 Réponse indicielle d'un système d'ordre 2 pour δ = 0,2 et Ks = 1

Page 58: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Fonction de transfert

Jean-Marc Allenbach 4–24 041125

Page 59: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–1 011116

CHAPITRE 5: REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

5.1 GÉNÉRALITÉS

Dans la démarche de conception d’un circuit de réglage, l’étape de représentationgraphique apparaît très souvent. Si le développement des méthodes numériques en a réduitl’importance, ces graphiques gardent toute leur validité pour soutenir le raisonnement duconcepteur et l’aider à clarifier les notions fondamentales, non seulement dans l’évaluationexploratoire, mais aussi pendant la phase de dimensionnement numérique pour vérifier lesrésultats. Les études sont toujours appliquées à des systèmes en boucle fermée. L'objet de cechapitre est donc l'apprentissage du maniement de quatre outils graphiques.

Fig. 5.1 Système en boucle fermée.

G sG s

G sN sD scf

o

o

cf

f( )

( )( )

( )( )

=+

=1

(5.1)

L'analyse de stabilité qui fait l’objet du chapitre 6 est une étape importante de laconception. Deux types de démarches permettent d’établir une relation entre un graphique etle comportement dynamique de l’installation.

• L’analyse harmonique du système en boucle fermée est basée sur la représentation de laréponse harmonique en boucle ouverte G0(jω) sous trois formes possibles. Les méthodesde tracé de la réponse harmonique en boucle ouverte à partir de la fonction de transfert enboucle ouverte G0(s) sont celles de Nyquist (sect. 5.2), Black (sect. 5.3) et Bode (sect. 5.4).

• L’analyse des pôles en boucle fermée porte sur les racines du polynôme dénominateurDf(s). Le tracé du lieu des pôles en boucle fermée (root locus) à partir de la fonction detransfert en boucle ouverte G0(s) est décrite à la section 5.5.

Les aides informatiques décrites dans ce chapitre font référence au logiciel MATLABdéveloppé par Mathworks Inc. et à ses accessoires “Simulink” et “Control Systems Toolbox ”.

wGo

ye+

Gcf

Page 60: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–2 021008

5.2 REPRÉSENTATION DE NYQUIST

5.2.1 DéfinitionLe diagramme de Nyquist est la représentation la plus immédiate de la fonction

complexe réponse harmonique: on reporte dans le plan la partie réelle selon l'axe horizontalet la partie imaginaire selon l'axe vertical.

G j j( ) Re( ) Im( )ω ω ω= + (5.2)

5.2.2 Méthode de tracéPour obtenir le tracé du diagramme de Nyquist, on se sert habituellement d'un outil

logiciel. On rappellera cependant la procédure qui permet d'obtenir rapidement un tracémanuel approximatif, et qui a pendant longtemps été la seule possible: on calcule certainesvaleurs remarquables, puis on interpole "à l'œil" entre elles. La première étape est un calcullittéral qui permet d'exprimer – à partir de la fonction de transfert – la réponse harmoniquesous forme d'un nombre complexe: partie réelle et partie imaginaire .On prend un exemple.

G ss s

s s s01 3 1 20

1 1 2 1 10( )

( )( )( )( )( )

=− +

+ + +(5.3)

G jj

0

2 4 2 4

2 2 2 2 21 249 2260 4 1 326 300

1 32 13 20( )

( ) ( )( ) ( )

ωω ω ω ω ω

ω ω ω=

+ − + − +− + −

(5.4)

On calcule ensuite les valeurs limites pour les pulsations qui tendent vers zéro ou infini.Ensuite, on recherche les intersections avec les axes: on recherche les pulsations qui annulentla partie réelle ou la partie imaginaire. On peut encore s'aider en calculant la valeur de G0(j ω)pour quelques pulsations particulières selon (5.4). Autrefois, on appliquait encore lesconnaissances du calcul complexe pour déterminer des extrêma de la partie réelle, de la partieimaginaire, du module ou de l'argument. On calculait même des intersections avec des droitespassant par l'origine, correspondant à une valeur particulière d'argument. On a appliqué cetteméthode à l'exemple (5.3), mais on ne donne pas ici le détail des calculs.

Fig. 5.2 Diagramme de Nyquist de la fonction de transfert (5.3).

Page 61: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–3 021008

Deux inconvénients sont à mentionner pour ce mode de représentation: il faut reporter sur lacourbe les valeurs de ω et la définition est faible pour les pulsations élevées.

5.2.3 Assistance de tracé par ordinateurPour obtenir le tracé de Nyquist, la fonction MATLAB nécessaire est facile à mémoriser:

>> nyquist(num,den,omega)

On doit définir auparavant la plage de fréquence en créant le vecteur omega car on neparcourt pas toute la plage de 0 à ∞ : on précise les bornes, le nombre de points et leurrépartition (linéaire ou logarithmique). Les variables num et den sont des vecteurs quicontiennent les coefficients des polynômes développés numérateur N0(s) et dénominateurD0(s) de la fonction de transfert à étudier. Les coefficients sont écrits dans l’ordre décroissantdes puissance de s. On peut aussi introduire numérateur et dénominateur sous forme devariable symbolique comme en (5.3).>> No='(1–3*s)*(1+20*s)';>> Do='(1+s)*(1+2*s)*(1+10*s)'>> syms s;>> Nfact=sym(No);%Conversion de variable ‘string’ en 'symbolic'>> Dfact=sym(Do);%>> omega=logspace(-1,2,500); %Plage de pulsation>> Ndev=expand(Nfact);%Développement du polynôme symbolique>> Ddev=expand(Dfact);>> num=[sym2poly(Ndev)];Conversion du polynôme symbolique en vecteurs de ses coefficients>> den=[sym2poly(Ddev)];>> [RE,IM,W]=nyquist(num,den,omega);

On a développé au Laboratoire d'Automatique de l'eig un programme affnyq quicontient tout cet environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. En outre, onaffiche sur le même graphique le cercle–unité et la droite définie par la marge de phaserecherchée. La notion de la marge de phase est définie au chapitre suivant (§ 6.3.3).

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Diagramme de Nyquist : Go(s)= -----------------------------------------------(1-3*s)*(1+20*s)(1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s)

Fig. 5.3 Tracé de Nyquist (5.3) obtenu avec affnyq.

Page 62: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–4 021009

5.3 REPRÉSENTATION DE BLACK

5.3.1 DéfinitionUne fonction complexe peut aussi être représenté par module et argument.

G j G j G j0 0 0( ) ( ) exp(arg ( ))ω ω ω= (5.5)

Si on prend le logarithme naturel de la relation (5.5), on arrive à séparer module etargument, dont le sens physique respectif a été exposé au chapitre précédent (§ 4.6.1).

ln( ( )) ln ( ) (arg ( ))G j G j j G j0 0 0ω ω ω= + (5.6)

Plutôt que représenter la fonction complexe ln|G0(jω)| sur deux axes, des raisonshistoriques ont conduit à un autre choix pour le diagramme de Black: on représente bel et bienl'argument sur un axe, mais sur l'axe x, et on représente bien le logarithme, mais décimal surl'autre axe – y – non pas en échelle logarithmique explicite, mais en échelle linéairelogarithmique implicite graduée en décibels.

5.3.2 Méthode de tracéA partir de (5.4), on calcule module et argument pour quelques valeurs de pulsations.

On peut calculer les valeurs particulières de pulsations qui provoquent un argument multiplede 90° (identiques à celles des intersections avec les axes sur le diagramme de Nyquist), etaussi celle qui provoque un module unité.

Fig. 5.4 Diagramme de Black de la fonction de transfert (5.3).

Si cette représentation améliore la qualité de lecture pour les petits modules par rapportau diagramme de Nyquist, l'inconvénient du report des valeurs de pulsations subsiste.

Page 63: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–5 021009

5.3.3 Assistance de tracé par ordinateurPour le tracé de Black, on fait appel à deux fonctions qui assurent respectivement le

tracé de la réponse harmonique dans le plan de Black et sa superposition par l'abaque deNichols.

>> nichols(num,den,omega)>> ngrid

On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l'eig un programme affbla quicontient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Diagramme de Black-Nichols: G0(s)= ----------------------------------------------

6 dB

3 dB

1.3 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

(1-3*s)*(1+20*s)(1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s)

Fig. 5.5 Tracé de Black (5.3) obtenu avec affbla.

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Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–6 021010

5.4 REPRÉSENTATION DE BODE

5.4.1 DéfinitionPour cette représentation, on présente module et argument sur deux tracés superposés,

en fonction de la pulsation. La pulsation est sur une échelle logarithmique et le module surune échelle implicitement – décibels – ou explicitement logarithmique. Le tracé de la phase –sur une échelle linéaire – est souvent omis.

5.4.2 Méthode de tracéPour le tracé manuel, on a pris l'habitude de l'approximer par une succession de seg-

ments de droite. On trace d'abord le module. On prend l'exemple d'une fonction élémentairequi n'admet qu'un zéro en –a.

G s s a( ) = + (5.7)

On peut calculer le module de la réponse harmonique, qu'on développe en série deTaylor ou de Laurent.

G j j a a aa a

( )ω ω ωω ω

= + = + = + − +2 22 4

32 8� (5.8)

G j j aa a a

( )ω ω ωω

ωω ω

= + = + = + − +12 8

2

2

2 4

3 � (5.9)

Lorsque la pulsation est plus faible que le paramètre a, on peut prendre le développe-ment limité d'ordre 1 de la série de Taylor. Dans l'autre cas, on peut prendre le développementlimité d'ordre 1 de la série de Laurent.

a G j a>> � ≅ω ω( ) (5.10)

ω ω ω>> � ≅a G j( ) (5.11)

Dans la pratique, on étend l'approximation à l'intervalles "plus grand ou égal", ce quifait que l'erreur maximale d'approximation a lieu pour ω = a: elle vaut 2 (ou 3 [dB]).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9101

2

3

4

56789

10

ωa

| ( )|G ja

0 ω

Fig. 5.6 Tracé de Bode, module de (5.7) : valeur exacte et approximation par asymptotes.

Page 65: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–7 021010

Le module a donc une pente de 0 lorsqu'il vaut a et de +1 lorsqu'il vaut ω1.On applique la même méthode pour un pôle unique en –b.

G ss b

( ) =+1

(5.12)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.60.70.80.9

1

ωb

b G j| ( )|0 ω

Fig. 5.7 Tracé de Bode, module de (5.12) : valeur exacte et approximation par asymptotes.

Le module a donc une pente de 0 lorsqu'il vaut 1/b et de –1 lorsqu'il vaut ω–1.

Pour les fonctions de transfert à pôles et zéros multiples, on tient compte du fait que lemodule d'un produit est le produit des modules (ou leur somme exprimée en décibels) et lemodule d'un quotient le quotient des modules. On relève que le module est une fonctioncontinue, y compris aux points de changements de pente. Si des pôles sont proches, leur effetcumulé peut conduire localement à des erreurs supérieures à un facteur 2 .

Pour l'argument ou phase, l'approximation n'est pas aussi simple, et il en existe plu-sieurs. La plus fréquente consiste à multiplier par 90° la pente du module (voir aussi 6.5.2); àla pulsation de cassure, on prend la pente moyenne. Si la partie imaginaire du terme estnégative, cela multiplie par –1 la valeur de phase calculée. Soit pour l'exemple (5.7).

a a ja a ja a j

> → + ≅= + = °< → ∞ + ≅ °

ω ωω ωω ω

0 04590

arg( )arg( )arg( )

(5.13)

Cette méthode n'est que continue par morceaux, elle admet une discontinuité en ω = a.Les autres méthodes sont semblables pour les petites et grandes pulsations, seulel'approximation autour de ω = a est différente en garantissant ici la continuité de la fonctionphase. Une méthode approxime autour de ω = a avec une pente de 45° par décade et l'autrepar la dérivée de la phase en ω = a.

arg( ( )) ( ) arctan( )G ja0 ω ϕ ωω

= = (5.14)

d G j

d da d

aa a

arg( ( ))log( )

ln, ln , [ ] [ ]0

2 210

0 5 10 115 66ω

ωω

ωωωω ω= =

=+

= = = °rad / déc /déc (5.15)

Page 66: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–8 021010

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9100

45

90

Fig. 5.8 Tracé de Bode, phase de (5.7) : valeur exacte et approximations.

Pour les fonctions de transfert à pôles et zéros multiples mais distincts, on tient comptedu fait que la phase d'un produit est la somme des phases. Si la distance entre les pulsations decassure est inférieure à une décade, on détermine la phase de ces points par calcul de lasomme des phases cumulées, puis on les relie.

Avec deux pôles réels confondus ou deux conjugués complexes, on est tentéd'appliquer la règle en admettant à la pulsation de coupure une variation de la pente d'unevaleur –2 (on avait -1 pour le pôle unique).

G ss s

( ) =+ +

1

12 1

0

2

02

δω ω

(5.16)

Plus le coefficient d'amortissement δ est faible, plus l'erreur d'approximation auvoisinage de ω0 est grand, avec de grands risques que le raisonnement sur l'approximationinduise des conclusions fausses.

Comme le révèle la figure 5.9, le maximum du module n'a pas lieu pour la pulsationnaturelle ω0, mais pour une pulsation voisine appelée pulsation de résonance ωr.

ω ω δr = −021 2 (5.17)

On appelle facteur de résonance Qr, la valeur du maximum du module de la réponseharmonique, référée à sa valeur asymptotique pour les petites pulsations. Si le gain statique est1, le facteur de résonance est égal au module de la réponse harmonique à la pulsation derésonance.

Qr G j= =−

| ( )|ωδ δ

1

2 1 2 (5.18)

Page 67: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–9 021010

0.1 0.2 0.5 1 2 5 1010

-2

10-1

100

101

ωω0

G j0 ( )ω

0.1 0.2 0.5 1 2 5 10-180

-90

0arg( ( ))G j0 ω

δ = 0,1δ = 0,2

δ = 0,3δ = 0,5

δ = 0,7

Fig. 5.9 Diagramme de Bode d'un système à comportement résonant.

δ = 0,1

δ = 0,2δ = 0,3

δ = 0,5δ = 0,7

Page 68: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–10 021010

Pour quelques valeurs particulières du facteur d'amortissement, on récapitule lesvaleurs respectives du dépassement, du facteur de résonance et de l'erreur d'approximation ∆Gen ω0.

δδδδ D1[ %] Qr Qr [dB] ∆∆∆∆G [dB] 1 0 0 –∞ –6 0,7 4,3 1 0 –3 0,5 16,3 1,15 1,3 0 0,3 37 1,74 +5 +4 0,2 53 2,55 +8 +8 0,1 72 5 +14 +14

Fig. 5.10 Tableau de résonance .

On reprend l'exemple déjà traité pour Nyquist et Black.

Fig. 5.11 Diagramme de Bode de la fonction de transfert (5.3).

Avec l'habitude, on trace directement le module avec la relation 5.3, sinon, on peutconstruire un tableau des modules et arguments de chaque terme. Ces calculs appliqués à unnombre complexe simple sont faciles. Il ne reste ensuite qu'à faire le produit des modules dechaque terme et la somme de leurs phases (fig. 5.12).

G jj j

j j j01 3 1 20

1 1 2 1 10( )

( )( )( )( )( )

ωω ω

ω ω ω=

− ++ + +

(5.19)

Page 69: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–11 021010

ω 0,05 0,1 0,33 0,5 11 1–3jω 1 1 1 3 ω 3 ω 3 ω

0 0 0 –90 -90 -902 1+20jω 1 20 ω 20 ω 20 ω 20 ω 20 ω

0 90 90 90 90 903 (1+jω)–1 1 1 1 1 1 ω–1

0 0 0 0 0 -904 (1+2jω)–1 1 1 1 1 0,5 ω–1 0,5 ω–1

0 0 0 0 -90 -905 (1+10jω)–1 1 1 0,1 ω–1 0,1 ω–1 0,1 ω–1 0,1 ω–1

0 0 -90 -90 -90 -90|G0(jω)|=Π 1 20 ω 2 6 ω 3 3 ω–1

argG0(jω)=Σ 0 90 0 90 0 –90Fig. 5.12 Tableau de construction de la réponse harmonique.

5.4.3 Assistance de tracé par ordinateurPour le tracé de Bode, on peut faire appel à deux fonctions à choix selon qu'on veut

exprimer l'axe horizontal selon la fréquence ou la pulsation.

>> bode(num,den,omega)>> freqs(num,den,omega)

On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l'eig un programme affbod quicontient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. Par rapport à lafonction standard, on a fait une petite modification qui permet d'afficher la phase commefonction continue plutôt que comme fonction modulo 2π, avec des valeurs comprises dansl'intervalle [–180° ,180°].

10-2

10-1

100

101

-300

-200

-100

0

100

Fré quence [radians/s]

Ph

ase

[d

eg

rés]

10-2

10-1

100

101

10-1

100

101

Fré quence [radians/s]

Am

plit

ud

e

Diagramme de Bode : Go(s)= ----------------------------------------------------------------------- (1-3*s)*(1+20*s)(1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s)

Fig. 5.13 Tracé de Bode de (5.3) obtenu avec affbod.

Page 70: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–12 021010

5.5 REPRÉSENTATION DU LIEU DES PÔLES

5.5.1 Fondements théoriquesEn étudiant un système du deuxième ordre (§ 4.5.2), on a vu que la valeur de ses pôles

est déterminante pour son comportement dynamique. On peut généraliser cette affirmationaux systèmes d'ordre plus élevé. En toute généralité, les pôles, tout comme les zéros, sont desnombres complexes qu'on peut représenter dans le plan. Leur emplacement dans le plan com-plexe revêt une importance particulière dans l'étude de la stabilité (chap. 6). Dans la pratique,on est souvent placé dans la situation d'un système en boucle fermée Gcf (fig. 5.1) dont on veutétudier le comportement dynamique. On connaît le gain, les pôles et les zéros du système enboucle ouverte G0. Il s'agit donc de tracer l'emplacement des pôles et zéros du système enboucle fermée en fonction de ce qu'on connaît.

G s ks z s z s zs p s p s p

kN sD s0 0

2 m

2 n0( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

=− − −− − −

=1

1

0

0

(5.20)

On a vu que, pour des systèmes physiques réels, le degré m du numérateur est pluspetit que n, celui du dénominateur. On peut calculer la fonction de transfert en boucle ferméeselon (4.12).

G sG s

G sk N s

k N s D scfo

o

0

0 0( )

( )( )

( )( ) ( )

=+

=+1

0

0 (5.21)

Selon la définition des pôles (§ 4.2.2), les pôles en boucle fermée sont les racines dupolynôme dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée, soit les solutions del'équation caractéristique (5.22).

k N s D s0 00 0( ) ( )+ = (5.22)

On appelle lieu des pôles du système en boucle fermée, ou lieu d'Evans, l'ensemble despoints du plan complexe qui sont solution de l'équation caractéristique lorsqu'on fait varier lefacteur d'Evans en boucle ouverte k0 de 0 à +∞. On peut injecter (5.20) dans (5.22).

k s z s z s z s p s p s p0 2 m 2 n( )( ) ( ) ( )( ) ( )− − − + − − − =1 1 0� � (5.23)

Cette équation a n solutions: les pôles en boucle fermée sont donc en même nombreque les pôles en boucle ouverte. La recherche des solutions de (5.23) doit être entreprise pourchaque valeur de , on n'applique la méthode analytique que si on dispose d'outils informatiquepour exécuter ce travail fastidieux et répétitif. On étudiera au paragraphe suivant une méthodegraphique qui requiert un minimum de calculs et qu'on applique en absence de moyens decalculs importants. On peut aussi écrire la relation (5.23) en mettant en évidence le facteurd'Evans.

− =− − −− − −

ks p s p s ps z s z s z0

2 n

2 m

( )( ) ( )( )( ) ( )

1

1

(5.24)

Cette équation complexe (5.24) est vérifiée pour tout point du plan complexe –nombre complexe s – qui appartient au lieu des pôles. Elle doit donc être vraie tant pour lemodule que pour l'argument de ces nombres complexes. Le complexe –k0 a un module de k0 etun argument qui est un multiple impair de π, à cause de son signe négatif. On peut doncrécrire (5.24) sous forme de deux équations: module et argument.

Page 71: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–13 021010

ks p s p s ps z s z s z0

2 n

2 m=

− − −− − −

( )( ) ( )( )( ) ( )

1

1

(5.25)

( ) arg(( )( ) ( )( )( ) ( )

)2 1 1

1k

s p s p s ps z s z s z

k+ =− − −− − −

∈2 n

2 m

N (5.26)

Avant d'entrer dans la procédure graphique, il est judicieux ici de préciser le sensgéométrique de la relation (5.24).

Fig. 5.14 Vecteurs complexes dans le plan d'Evans.

Chaque terme de (5.24) représente un vecteur pointé en s, un point du lieu des pôles, etayant pour origine soit un pôle pi du système en boucle ouverte soit un zéro zj du système enboucle ouverte. De cette signification géométrique, on peut tirer deux propriétés du lieu despôles.

La condition des modules: Si pour un point du lieu des pôles, on calcule le produit deslongueurs (modules) des vecteurs qui le relient aux divers pôles en boucle ouverte et qu'ondivise ce résultat par le produit des longueurs des vecteurs qui le relient aux zéros en boucleouverte, on obtient le facteur d'Evans k0 . Cela résulte de (5.25).

ks p s p s ps z s z s z

s p

s z

i

n

j

m02 n

2 m

i=1

j=1

=− − −− − −

=−

1

1

(5.27)

La condition des angles: Si on calcule la somme des arguments des vecteurs qui lerelient aux divers pôles en boucle ouverte et qu'on y soustrait la somme des arguments desvecteurs qui le relient aux zéros en boucle ouverte, on obtient toujours un multiple impair deπ. Cela résulte de (5.26).

( ) arg( ) arg( ) arg( ) arg( ) arg( ) arg( )

arg( ) arg( )

2 1 1 2 1

1 1

k s p s p s p s z s z s z

s p s zi

n

j

m

+ = − + − + − − − − − − −

= − − −= =� �

π � �n 2 m

i j (5.28)

s

zj

s – zj

α j

pi

s – pi

βi

Im

Re

Page 72: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–14 021010

On peut citer encore d'autre propriétés. Si on fait tendre k0 vers zéro dans (5.23), onobtient les points de départ du lieu des pôles en boucle fermée: ce sont les pôles en boucleouverte. Le lieu des pôles compte donc n branches.

( )( ) ( )s p s p s p− − − =1 02 n� (5.29)

Si on fait tendre k0 vers infini dans (5.23), on obtient des points d'arrivée du lieu despôles en boucle fermée: ce sont les zéros en boucle ouverte. Les n – m autres points d'arrivéedes branches sont situés à l'infini.

( )( ) ( )s z s z s z− − − =1 02 m� (5.30)

Parce que N0 et D0 sont des polynômes en s à coefficients réels, on en déduit que leslieu des pôles est symétrique par rapport à l'axe réel. Cela permet d'alléger le dessin.

5.5.2 Méthode de tracéLe tracé du lieu des pôles se base sur les propriétés décrites au paragraphe précédent et

applique les résultats du calcul complexe. On illustre le propos avec l'exemple (5.3).

G ss s

s s s03 0 333 0 05

1 0 5 0 1( )

( , )( , )( )( , )( , )

=− − +

+ + + (5.31)

D'abord, on place dans le plan complexe les pôles (x) et les zéros (o) du système enboucle ouverte.

• Les pôles sont –1, –0,5 et –0,1; les zéros sont –0,05 et +0,333.

Une partie de l'axe réel peut faire partie du lieu des pôles: c'est l'ensemble des pôlessitués à gauche d'un nombre impair de pôles et zéros réels. Si on a un signe négatif devant uns au numérateur ou dénominateur, celui-ci apparaît en facteur dans l'écriture d'Evans, ce quiretourne la figure autour d'un axe vertical: "gauche" devient "droite".

• Les portions de l'axe entre les pôles –1 et –0,5, entre le pôle –0,1 et le zéro –0,05 et à droitedu zéro 0,333 appartiennent au lieu des pôles.

Les pôles en boucle ouvertes sont des points de départ du lieu, les zéros, des pointsd'arrivée. Les n–m points d'arrivée restants sont situés à l'infini, selon des directionsasymptotiques ξ formant une étoile régulière de centre ca situé sur l'axe réel.

ξπ

= +−

( )1 2 qn m

qavec entier quelconque (5.32)

cp z

n mj

m

i

n

a

i j

=−

−==��

11 (5.33)

Si le facteur d'Evans est négatif, il faut additionner –π aux directions asymptotiques obtenuespar (5.32).

Page 73: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–15 021010

• ξπ π

π= +−

= ± =( ) ; ; ;1 23 2

023

1 0q q - -avec 1 et addition de (5.34)

ca =− + − + − − − −

−= −

1 0 5 0 1 0 05 0 3333 2

1 833( , ) ( , ) ( , ) ( , )

, (5.35)

Lorsqu'une portion de l'axe réel est comprise entre deux pôles, il existe sur ce tronçonun point de séparation cs à partir duquel les branches divergent en devenant conjuguéescomplexes. Lorsqu'une portion de l'axe réel est comprise entre deux zéros ou entre un zéro etune direction asymptotique (0 ou π), il existe sur ce tronçon un point de jonction cs vers lequelles branches conjuguées complexes convergent. Les branches complexes arrivent ou partentaux points cs avec une tangente verticale. Avec les moyens de calcul informatique disponibleaujourd'hui, on ne va pas plus loin avec le calcul manuel. On donne cependant quelquespropriétés à titre d'information. pour trouver les points de séparation, on cherche les solutionsde l'égalité (5.36).

1 10

1 1c z c pj

m

i

n

s j s i−−

−=

= =� � (5.36)

• On résout (5.36) avec un algorithme de bissection en partant de deux points qui encadrent àcoup sûr la solution en gardant ensuite à chaque fois l'intervalle cadré par un résultat positifet un négatif. On arrête l'algorithme lorsqu'on atteint une précision qui convient.c cs1 s2= − =0 725 1 44, , (5.37)

On peut encore calculer la valeur du facteur d'Evans pour un point quelconque pfx dulieu: il suffit de remplacer s par pfx dans (5.24). On peut aussi calculer les intersection avecdes droites remarquables:

axe imaginaire pfx = ± j x(5.38)

droite à 45° passant par l'origine pfx = x ± j x (5.39)

droite passant par l'origine à 30° de l'axe imaginaire pfx = x ± j 3 x (5.40)

On peut enfin calculer la pente ϑ du lieu des pôles en un point pfx quelconque. On aétabli cette expression à partir de la condition des angles.

θ π= − − − −= =� �arg( ) arg( )p z p pj

m

i

n

fx j fx i1 1

(5.41)

Page 74: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Représentations graphiques

Jean-Marc Allenbach 5–16 021010

Fig. 5.15 Tracé des pôles de (5.3) .

5.5.3 Assistance de tracé par ordinateurPour le tracé du lieu des pôles, on fait appel à deux fonctions complémentaires qui

assurent respectivement le tracé des pôles en boucle ouverte et celui des pôles en bouclefermée en fonction du gain variable k.

>> pzmap(num,den)>> rlocus(num,den,k)

On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l'eig un programme affevansqui contient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. En outre,on affiche sur le même graphique le contour d'Evans défini par la marge de stabilité absolue etla marge de stabilité relative. Ces notions sont définies au chapitre suivant (§ 6.6.1).

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Diagramme de Evans: Go(s)= Ko -----------------------------------------------------------------------(1-3*s)*(1+20*s)

(1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s)

Fig. 5.16 Tracé des pôles de (5.3) obtenu avec affevans.

Im

Re

0,5 j

–0,725

0,5

-0,5 j

–0,5

1,44

1–1

Page 75: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–1 010502

CHAPITRE 6: STABILITÉ

6.1 DÉFINITIONS 6.1.1 Stabilité statique

On est intéressé à ce qu'un système soit stable. Encore faut-il s'entendre sur ce qu'est la stabilité. Une première définition consiste à dire qu'un système abandonné hors état d'équilibre doit atteindre ce dernier en un temps raisonnable. Appliqué à un système en boucle fermée, cela signifie que lorsqu'on applique une consigne nulle, la grandeur réglée sera nulle en un temps raisonnable. De là, on peut encore attendre que lorsqu'on applique une consigne constante, la grandeur réglée sera de même valeur que la consigne en un temps raisonnable. 6.1.2 Stabilité dynamique

On peut encore attendre que lorsqu'on applique une consigne variable, la grandeur réglée suive la valeur de la consigne sans trop s'en écarter. 6.1.3 Stabilité d'un système linéaire

On se limitera dans ce cours à l'étude de système linéaires ou aisément linéarisables. La stabilité la plus intéressante pour l'automaticien est celle d'un système en boucle fermée.

Fig. 6.1 Système en boucle fermée.

L'analyse de stabilité décrite à ce chapitre s'applique à un système en boucle fermée dont on connaît la fonction de transfert en boucle ouverte. S'agissant d'un système linéaire, la fonction de transfert en boucle ouverte peut être écrite sous forme de quotient de polynômes multiplié par un paramètre Ko variable.

G s KN sD so o

o

o( )

( )( )

= (6.1)

La fonction de transfert en boucle fermée peut être calculée selon la définition de la boucle

fermée (§ 4.1.2), on peut aussi l'écrire sous forme de quotient de polynômes.

G sG s

G sN sD scf

o

o

cf

f( )

( )( )

( )( )

=+

=1

(6.2)

On se propose d'étudier ici la réponse libre d'un tel système, d'ordre n: c'est-à-dire

l'évolution temporelle d'un système abandonné hors équilibre selon la définition de la stabilité statique. Si toutes les racines du polynôme dénominateur, appelés pôles, sont distinctes, ce qui est toujours vrai pour des systèmes physiques réels, on peut écrire la fonction de transfert sous forme d'une somme d'éléments simples.

w Go y

e +

Gcf

Page 76: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–2 010502

G s

k s z

s p

cs p

j

m

i

ni

n

cf

s j

i

i

i( )

( )

( )=

=−

=

=

=

∏∑1

1

1 (6.3)

On sait que la réponse libre – exprimée dans le temps – a la même forme mathématique que

la réponse impulsionnelle. On sait également que la réponse impulsionnelle peut être calculée par la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert (§ 4.4.4). On peut donc obtenir la réponse libre y(t) par la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert et en utilisant le tableau des transformées.

G scf ( ) o – � y t c e p t

i

n( ) =

=∑ i i

1 (6.4)

On constate que la réponse libre est une combinaison linéaire d'exponentielles; la

convergence de cette fonction du temps peut être déterminée en étudiant les exposants des exponentielles qui ne sont rien d'autre que les racines du polynôme dénominateur: les pôles du système.

Dans les systèmes asservis, seule la stabilité asymptotique est recherchée, où la valeur finale vaut zéro lorsque la consigne vaut zéro. En revanche, un système à régler est considéré comme stable, même pour la stabilité marginale. Même plus, l'instabilité pour pôles multiples ne se rencontre pas avec les systèmes physiques réels; par exemple, un intégrateur électrique est limité par sa tension de saturation et sa véritable fonction de transfert n'est pas une intégration pure, mais une cellule du premier ordre avec pôle négatif voisin de zéro.

G sUs U sint

sat

sat1+( ) = ≅

1 (6.5)

Le raisonnement exposé à la figure 6.2 nous apprend qu'un système asservi est stable si tous

ses pôles sont à partie réelle strictement négative. Les critères qui permettent d'évaluer la stabilité d'un système asservi portent soit sur la

réponse harmonique en boucle ouverte Go(s), soit sur le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée Df(s). 6.1.4 Qualité de la stabilité Certains critères permettent d'apporter une réponse binaire (stable ou instable), d'autres une réponse plus nuancée. Pour un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) est donnée par la relation (6.1), on peut déterminer le gain Kols qui amène le système en boucle fermée en limite de stabilité. A partir du gain choisi Koch, on peut définir la marge de gain Am, qui, comme son nom l'indique, exprime la marge dont on dispose pour amener le système en limite de stabilité.

AKKm

ols

och= (6.6)

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Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–3 010502

Pôles Réponse libre

Propriété

tous réels négatifs

stabilité

asymptotique

complexes à partie réelle

négative

stabilité asymptotique

un seul pôle nul

stabilité

marginale

une seule paire

imaginaire

stabilité

marginale

dès un réel positif

instabilité

dès une paire complexe à partie réelle

positive

instabilité

pôles nuls multiples

instabilité

paires imaginaires

multiples

instabilité

Fig. 6.2 Pôles et stabilité d'un système.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

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Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–4 010502

6.2 CRITÈRES ALGÉBRIQUES

6.2.1 Critère de RouthPour cette section, l'approche est purement algébrique et ne requiert pas de représen-

tation graphique. Le polynôme dénominateur du système en boucle fermée est écrit sous saforme développée et on utilise les propriétés des polynômes pour tirer des conclusionsconcernant les racines, mais sans les calculer explicitement. Les racines de ce polynôme sontles pôles du système, étudiés à la section 6.1.

D s a s a s a s af nn

n 1n 1( ) = + + + + =−−

� 1 0 0 (6.7)

On construit d'abord un tableau de n lignes et (n+1)/2 colonnes, arrondi à l'entiersupérieur. Les éléments des deux premières lignes sont les coefficients du polynômes. Pour lereste du tableau, on définit le terme de la ligne i et la colonne j.

AA A A A

Ai,ji 1,1 i 2,j 1 i 2,1 i 1,j 1

i 1,1=

−− − + − − +

− (6.8)

n a a a an a a a a

na a a a

aa a a a

aa a a a

aa a a a

a

n n-2 n-4 n-6

n-1 n-3 n-5 n-7n-1 n-2 n n-3

n-1

n-1 n-4 n n-5

n-1

n-1 n-6 n n-7

n-1

n-1 n-8 n n-9

n-1

� � � � � �

−− − − −

1

2

Fig. 6.3 Tableau de Routh.

Le critère s'énonce comme suit:

• Si tous les termes de la première colonne du tableau de Routh sont strictement positifs, lespôles sont à partie réelle négative, le système étudié est stable.

• S'il y a k changements de signe dans la première colonne, k pôles ont une partie réellepositive, le système étudié est instable.

• Si tous les termes d'une ligne sont nuls, le système étudié est en limite de stabilité.

Avec l'augmentation du degré du polynôme caractéristique, l'établissement du tableaude Routh devient fastidieux. Le tableau 6.4 résume les conditions jusqu'à l'ordre 4.

Ordre du système Première condition Deuxième condition1 et2 à3 à4 à

na aa aa a a a a aa a a a a a a a a

0 1

0 2

0 3 1 2 0 3

0 4 1 3 2 0 4 0 32

000 00 0

> −> −> − >> − − >( )

Fig. 6.4 Stabilité des systèmes jusqu'à l'ordre 4.

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6.2.2 Critère de HurwitzPour appliquer ce critère, il faut d'abord construire une matrice carrée de dimension n.

Elle contient les coefficients du polynôme dès le deuxième, en ordre décroissant disposés dansla diagonale principale. Dans une colonne, les termes supérieurs au terme de la diagonalecontiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre décroissant. Les termes inférieurs àla diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre croissant.

a a aa a a

a aa a

aa aa aa a a

n-1 n-3 n-5

n n-2 n-4

n-1 n-3

n 0

1

2 0

3 1

4 2 0

0

� � �

� �

� � � �

� � �

� � �

� � �

� �

0 0

0 0

0 0

00 0 0

Fig. 6.5 Matrice de Hurwitz.

Le système linéaire d'ordre n est stable si les n déterminants contenant le premier termede la matrice de Hurwitz sont positifs. Si on calcule explicitement les déterminants jusqu'àl'ordre 4, on retrouve les conditions résumées à la figure 6.4.

On constate que ces critères ne donnent qu'une réponse binaire: stable ou instable,mais pas d'information sur la qualité de la stabilité, contrairement aux critères décrits auxsections suivantes. Dans une situation où on dispose sur ordinateur d'outils mathématiquesperformants pour le calcul des racines de polynômes ou les tracés de réponse harmonique, cescritères algébriques, dont la mise en œuvre augmente rapidement en volume de calcul avecl'ordre du système, ont perdu considérablement de leur actualité au profit de critères ,donnantdes réponse plus complètes.

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Jean-Marc Allenbach 6–6 020409

6.3 CRITÈRE DE NYQUIST

6.3.1 Critère de Nyquist simplifiéPour guider l'exposé, on part de l'exemple d'un système en boucle ouverte stable; c'est

dire que sa fonction de transfert Go(s) ne contient pas de pôles à partie réelle négative. Plutôtqu'une démonstration mathématique rigoureuse, on préfère une description plus intuitivefaisant appel à un générateur de fonction sinusoïdale permettant d'injecter un signal dans lesystème jusqu'à ce qu'à l'instant t0, on renvoie la sortie du système sur son entrée.

Fig. 6.6 Système pouvant être bouclé par un commutateur.

La sortie du système peut être calculée par la fonction de transfert selon (4.9).

Y s G s U s( ) ( ) ( )= o (6.9)

Après un certain temps, on constate que le signal de sortie y(t) est une sinusoïde demême pulsation ω que l'entrée u(t), mais d'amplitude différente, dépendante de la pulsation dusignal d'entrée. On constate aussi un déphasage ϕ(ω) dépendant lui aussi de la pulsation dusignal d'entrée.

� ( ) �

( ) ( ( �) ( �))y G u

t y t u=

= −ω

ϕ ω ω (6.10)

Cette constatation nous renvoie à la définition de la réponse harmonique, qui justementexprime le déphasage et le rapport d'amplitude entre sortie et entrée en régime permanentsinusoïdal. On établit la relation en précisant les notations ci-dessus.

G G j G j( ) ( ) ( ) arg( ( ))ω ω ϕ ω ω= =o oet (6.11)

Pour une certaine pulsation qu'on note ωπ, on constate un déphasage de –π entre entréeet sortie. Pour cette valeur particulière de pulsation, le signal y(t) est donc en opposition dephase avec l'entrée u(t), et le signal e(t) est en phase avec l'entrée u(t), à cause du changementde signe. Si la valeur de G(ωπ) est 1, et si on actionne le commutateur à l'instant t0, le systèmene va pas constater de différence de signal d'entrée après cet instant, les oscillations vont donccontinuer avec une amplitude a. Le système est dit en limite de stabilité. Si la valeur de G(ωπ)est supérieure à 1, le système va constater que le signal d'entrée u(t) a augmenté et il va encorel'amplifier d'un facteur G(ωπ); au fil des oscillations, l'amplitude va croître, le système est ditinstable. Si la valeur de G(ωπ) est inférieure à 1, le système va constater que le signal d'entréeu(t) a diminué et il va encore l'atténuer d'un facteur G(ωπ); au fil des oscillations, l'amplitudeva décroître, le système est dit stable.

w=0 Go

a sin(ω t)

yue+

F

C

t0

Page 81: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–7 020409

Le cas limite de stabilité permet de définir le point critique en fonction de la réponseharmonique.

G jo ( )ωπ = −1 (6.12)

Pour l'étude de la stabilité du système en boucle fermée, on va tracer dans le plancomplexe la réponse harmonique en boucle ouverte et examiner son tracé par rapport au pointcritique "–1". Si |G(jωπ)| > 1, le système est instable, si |G(jωπ)| < 1, le système est stable.

La réponse harmonique est un fonction complexe du paramètre réel pulsation ω. Si onreprésente Go(jω) pour des pulsations variant de 0 à ∞, on obtient la représentation de Nyquist.Le critère de Nyquist simplifié ou critère du revers s'énonce ainsi: Si, en parcourant lacourbe de réponse harmonique en boucle ouverte dans les sens des pulsations croissantes, onlaisse le point «–1» à gauche, le système Gcf(s) en boucle fermée est stable.

Fig. 6.7 Stabilité dans le plan de Nyquist.

On est souvent intéressé à une réponse plus nuancée que stable ou instable. Lesnotions de marge de gain Am ou de phase ϕm permettent d'apporter cette nuance.

6.3.2 Marge de gainLa marge de gain permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance –

sur l'axe réel – par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avecl'axe réel a lieu pour une pulsation notée ωπ, car la phase pour cette pulsation vaut –π.

AG j

G jmo

o1

avec= = −( )

arg( ( ))ω

ω ππ

π (6.13)

|Go(jω)|

–1

1/Am

ϕ m

ω1

ϕ ω( )1

Re

Im

ω

1 système stable2 système en limite de stabilité3 système instable

1

2

ω

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Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–8 020409

6.3.3 Marge de phaseLa marge de phase permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance

– angulaire – par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avec lecercle unité a lieu pour une pulsation notée ω1, car le module pour cette pulsation vaut 1.

ϕ ω π ωm o oavec= + =arg( ( )) ( )G j G j1 1 1 (6.14)

6.3.5 Valeurs de margeDans la pratique, on choisit des valeurs de marge qui donnent un comportement

dynamique acceptable: temps de réponse et dépassement. Le choix dépendra du type desystème traité: un système électronique à basse tension pourra accepter des dépassements plusélevé qu'un système de puissance. Il dépendra aussi du type de variation imposé par laconsigne w: si la consigne varie par saut, pour un même dépassement les marges devront êtreplus grandes que si la dérivée de la consigne est bornée.

8 15 30 80[ ] [ ]dB dB etm m≤ ≤ °≤ ≤ °A ϕ (6.15)

La relation se révèle le plus clairement entre la marge de phase ϕm et le dépassementD1 de la réponse indicielle selon le tableau de l'annexe 6.A. Cette relation s'établit pour unsystème en boucle ouverte du 2e ordre et de type 1. Pour les systèmes d'ordre plus élevé, larelation, qui sera démontrée au paragraphe 6.5.4, est plus approximative.

6.3.6 Critère de Nyquist completDans le cas où le système est instable en boucle ouverte, le critère du revers est

inapplicable, on aura recours au critère de Nyquist complet basé sur le théorème de Cauchy[3], [28] qu'on renonce à décrire ici ou sinon au critère d'Evans (§ 6.6.1).

6.3.7 Tracé de Nyquist assistéLa fonction affnyq.m, écrite sous MATLAB au Laboratoire d'Automatique de l'EIG

permet de faire tracer la réponse harmonique dans le plan de Nyquist. On doit spécifier lafonction de transfert: numérateur et dénominateur à écrire en chaîne de caractères, sous laforme factorisée de Bode. On doit encore indiquer la plage de pulsation à tracer ainsi que lamarge de phase qu'on souhaite respecter, cette dernière étant matérialisée sur le graphique parune droite passant par l'origine.

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Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–9 010508

6.4 CRITÈRE DE BLACK

6.4.1 Critère de Black: énoncéLe critère du revers peut aussi être exprimé dans le plan de Black. ici le point «–1»

devient le point <0 dB; –180°>. Pour pouvoir appliquer le critère, les conditions sont lesmêmes que pour le critère de Nyquist: le système en boucle ouverte ne doit compter aucunpôle à partie réelle positive.

Un système linéaire Gcf(s) en boucle fermée est stable si, en parcourant le lieu deBlack de sa réponse harmonique en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, onlaisse le point critique <0 dB; –180°> à droite.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-80

-60

-40

-20

0

20

40

Fig. 6.8 Stabilité dans le plan de Black.

Sur la figure 6.8, les marges de phase et de gain peuvent être lues directement sur lesdeux axes. La pulsation ω1 est celle qui détermine le point de la réponse harmonique à l'inter-section avec l'axe horizontal à 0 [dB]. La pulsation ωπ est celle qui détermine le point de laréponse harmonique à l'intersection avec l'axe vertical à 180° et ωc avec l'axe vertical à 135° .

6.4.2 Abaque de NicholsL'abaque de Nichols est formé d'un système de coordonnées curvilignes, superposé au

plan de Black, sur lesquelles on peut directement lire les valeurs de module et d'argument dusystème en boucle fermée Gcf(jω). Pour appliquer l'abaque, le système bouclé doit être à retourunité.

On procède de la manière suivante:• On trace le lieu de Black de la réponse harmonique en boucle ouverte G0(jω) d'après le

système de coordonnées rectilignes, comme on l'a décrit précédemment (§ 5.3.2). Parexemple, pour la pulsation ωx, on a calculé module et argument:

| ( )| [ ] arg( ( ))G j dB G jx x0 02 125ω ω= = − °et (6.16)• On peut alors lire sur la même courbe pour une valeur de pulsation donnée les valeurs de

module et d'argument du système en boucle fermée Gcf(jω) sur les coordonnées curvilignes.Pour cette même pulsation, et le même point, on lit en coordonnée curviligne:

| ( )| [ ] arg( ( ))G j G jx xcf cfdB etω ω≅ = − °1 50 (6.17)

ωπ

ωc

135°

Am

ϕm

1 système stable2 système en limite de stabilité3 système instable

123

ωc

ω1

Page 84: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–10 010508

Fig. 6.9 Réponse harmonique dans le plan de Black avec abaque de Nichols.

La pulsation de résonnance ωr est déterminée pour le point où le module de la réponseharmonique en boucle ouverte a la valeur la plus élevée (ici ~1,3 [dB]), ωr a déjà été définieau chapitre 5. On peut encore déterminer la pulsation ω6 ,au-delà de laquelle le module de laréponse harmonique en boucle fermée est toujours plus faible que –6 [dB].

Pour déterminer un comportement dynamique de manière plus nuancée que "stable" ou"instable", on utilise les marges comme pour le critère de Nyquist: La relation se révèle le plusclairement entre la marge de phase ϕm et le dépassement D1 de la réponse indicielle selon letableau de l'annexe 6.A. Cette relation s'établit pour un système en boucle ouverte du 2e ordreet de type 1. Pour les systèmes d'ordre plus élevé, la relation, qui sera démontrée auparagraphe 6.5.4, est plus approximative.

6.4.3 Tracé de Black assistéLa fonction affbla.m, écrite sous MATLAB au Laboratoire d'Automatique de l'EIG

permet de faire tracer la réponse harmonique dans le plan de Black et l'abaque de Nicholssuperposé. On doit spécifier la fonction de transfert: numérateur et dénominateur à écrire enchaîne de caractères, sous la forme factorisée de Bode. On doit encore indiquer la plage depulsation à tracer.

+ ωr

+ ω6

+ ωx

Page 85: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–11 020506

6.5 CRITÈRE DE BODE

6.5.1 Critère du revers.Le critère du revers s'énonce comme suit dans le plan de Bode, ou dans l'espace

fréquentiel: Un système asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de saréponse harmonique en boucle ouverte |G0(jω)| coupe l'axe de module unité pour une phasearg(G0(jω)) supérieure à –180°.

6.5.2 Relation de Bode et Bayard.L'expression (5.5) de la réponse harmonique peut être appliqué à la fonction G0(jω).

ln( ( )) ln| ( )| arg( ( ))G j G j j G j0 0 0ω ω ω= + (6.18)

La relation de Bayard et Bode exprime une relation entre la partie réelle et la partieimaginaire d'une fonction complexe F(jx) [6]. De surcroît, si celle-ci est rationnelle en jx, larelation se simplifie notablement.

Im( ( ))d(log(Re( ( )))

d(log )F jx

F jxx

=π2

(6.19)

On peut appliquer (6.19) à la fonction G0(jω), en désignant par P(ωx) la pente du moduleà la pulsation ωx pour un diagramme double logarithmique (§ 5.4.1).

ϕ ω ωπ

ω( ) arg( ( )) ( )= =G j P0 2 (6.20)

La relation (6.20) reste le plus souvent valable lorsque le module de la réponseharmonique est approximé par droites. On prendra toutefois garde aux systèmes mal amortispour lesquels un raisonnement sur l'approximation par droites peut conduire à des conclusionserronées (fig. 5.9).

6.5.3 Critère du Bode: énoncé.Le critère du revers peut être simplifié en appliquant la relation ci-dessus. Un système

asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique enboucle ouverte |G0(jω)| coupe l'axe de module unité pour une pente supérieure à –2.

Fig. 6.10 Stabilité dans le plan de Bode.

log|G(jω)|

ωcω1 logω

|Go(jω)|

1 23

1 système stable2 système en limite de stabilité3 système instable

–1 –1

–1

–2

–2

–3

Page 86: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–12 020506

Si l'intersection de la réponse harmonique en boucle ouverte et de l'axe à 100 a lieu avecune pente de –1, le système en boucle fermée est stable, avec –2, il est en limite de stabilité. Ilest judicieux d'affiner le critère en exprimant la qualité de la stabilité: "à quelle distance de lapente –2" doit-on placer l'intersection de l'axe avec la pente –1?

6.5.4 Relation entre plan fréquentiel et comportement temporel.Le critère de Bode s'applique à un système en boucle fermée fondamental du 2e ordre,

dans lequel la boucle ouverte contient une intégration pure.

Fig. 6.11 Système en boucle fermée.

)11()(

c

10

ω

ω

sssG

+= (6.21)

Fig. 6.12 Réponse harmonique dans le plan de Bode.

En introduisant (6.21) dans (6.1), on obtient la fonction de transfert en boucle fermée dusystème présenté à la figure 6.11 et connu par sa fonction de transfert en boucle ouverte.

G ss s

cf

1 c

( )1

11 1

1

2+ +ω ω ω

(6.22)

log|G0(jω)|

logω

logω

ω1 ωc

ϕ(ω) = arg(G0(jω))

ϕM

–90°

–180°

100

wGo

ye+

Gcf

Page 87: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–13 020506

On obtient bien un système fondamental du deuxième ordre, qu'on peut comparer à celuiétudié au chapitre 4 selon la relation (4.37) à laquelle on fixe un gain statique de 1.

G ss s

cf

0

( )1

12 1

0

22+ +

δω ω

(6.23)

Par identification entre (6.22) et (6.23), on exprime la pulsation propre et le facteurd'amortissement.

ω ω ω0 1= c (6.24)

δωω

=12 1

c (6.25)

Pour la réponse indicielle en boucle fermée, on reprend les calculs du chapitre 4, enintroduisant (6.24) et (6.25) dans (4.46).

γ ωωω

ω

ω ωω

cf p

c

p

c

( ) (cos sin )t t t et

= − +−

−1

1

4 11

20

1 (6.26)

ω ωωω

ω ωωp

c c

c= − = −0

1

114 2

4 1 (6.27)

Fig. 6.13 Réponse indicielle en boucle fermée.

On peut exprimer le dépassement et le temps de montée en utilisant les résultats (4.52)et (4.58).

D e1

4 11

=

πωωc (6.28)

1,05

0,95

D1

tr

t

tm

w(t), y(t)

Page 88: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–14 020506

0.1 0.2 0.5 1 2 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fig. 6.14 Dépassement en fonction du rapport de pulsation.

tm

cc

c=

−− −

2

4 14 1

1

1

ωωω

πωω

( arctan ) (6.29)

0.1 0.2 0.5 1 2 5 100

2

4

6

8

10

Fig. 6.15 Temps de montée en fonction du rapport de pulsation.

Pour le temps de réponse, le calcul est fastidieux et on se contentera de donner lesvaleurs typiques.

ωω

1

c

ωω

1

c

D1

tmωc

Page 89: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–15 020506

A partir de la relation (6.28), on peut exprimer le rapport de pulsation qu'il faut observersur la réponse harmonique en boucle ouverte pour garantir sur la réponse indicielle en bouclefermée un dépassement inférieur ou égal à D1max prescrit par le cahier des charges.

ωω π

c

11

2

4

1=

+ (ln

)D

(6.30)

La phase en boucle ouverte peut être calculée de (6.21).

ϕ ωω

ω ωω

ωω

( ) arg( ) arg( )

arctan

= ++

= − °−

11

1

1

90

j jc

c

(6.31)

On en déduit la marge de phase selon (6.14), en introduisant (6.30).

ϕ ϕ ωωω

π

Mc

= °+ = °−

= °−+

180 90

901

4

1

1

2

( ) arctan

arctan(ln

)D

(6.32)

0.1 0.2 0.5 1 2 5 100

30

60

90

Fig. 6.16 Marge de phase en fonction du rapport de pulsation.

ωω

1

c

ϕM

Page 90: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–16 020506

Si on met en regard les figures 6.14 et 6.15, on constate qu'on ne peut passimultanément minimiser le dépassement et le temps de réponse (ou de réponse) mais qu'ondoit accepter un compromis. Pour les processus industriels, on requiert souvent un dépassementinférieur à 10 %, pour éviter des transitoires trop élevées pouvant détruire des semi-conducteurs: ω1/ωc < 0,7. Pour éviter un temps de réponse trop grand, on prend un rapport assezélevé: ω1/ωc > 0,4.

Si on demande un dépassement de 4,3 %, on obtient une réponse indicielle optimale:avec ce dimensionnement, on obtient pour une valeur donnée de ωc le temps de réponse le pluscourt possible. C'est donc souvent ce choix qui est retenu.

ωω ω ω

ϕcm

cr

cM

12

4 71 4 263 5= = = = °t t

, ,, (6.33)

Pour éviter tout dépassement, on a un dimensionnement différent.

ωω ω

ϕcm r

cM

14

976= = ∞ = = °t t (6.34)

Si on accepte un dépassement de 16,3 %, on obtient une réponse indicielle apériodique.

ωω ω ω

ϕcm

cr

cM

11

2 5 545= = = = °t t

, (6.35)

Ces valeurs typiques sont récapitulées à l'annexe 6A. On a l'habitude d'étendre le critèrede Bode à tous les systèmes, en raisonnant autour de la pulsation ωc, en admettant que la pentede –1 se prolonge suffisamment loin sur la gauche pour qu'on puisse l'approximer par uneintégration et que la pente de –2 se prolonge suffisamment loin sur la droite pour que l'effet desautres valeurs de pente puisse être négligé.

6.5.5 Tracé de Bode assistéLa fonction affbod.m, écrite sous MATLAB au Laboratoire d'Automatique de l'EIG

permet de faire tracer la réponse harmonique dans le plan de Bode. On doit spécifier la fonctionde transfert: numérateur et dénominateur à écrire en chaîne de caractères, sous la formefactorisée de Bode. On doit encore indiquer la plage de pulsation à tracer. Sur le tracé exact, lapulsation ωc n'est pas aisée à déterminer car il n'y a pas de cassure. On utilise la propriété deBayard et Bode pour la trouver: pour une pente de –1, la phase est de –90°, pour une pente de –2, la phase est de –180°; comme la pulsation ωc est à la frontière de ces deux pentes on prendrala pulsation pour laquelle on lit une phase de –135°, soit la moyenne des phases à gauche et àdroite. Ayant trouvé ωc, on peut mettre en œuvre la relation entre le dépassement D1 de laréponse indicielle et le rapport de pulsation. Par exemple un rapport ωc/ω1 = 2 pour D1 = 4,3%.On peut aussi appliquer le critère de la marge de phase. Par exemple ϕM = 63,5° pour D1 =4,3%. Les deux méthodes donnent des résultats légèrement différents. De même le rapport depulsation appliqué sur le module approximé par segments de droites ne donne pas exactementle même résultat que sur le module exact.

Page 91: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–17 041125

6.6 CRITÈRE D'EVANS 6.6.1 Contours d'Evans.

On a vu que les attentes pour le système asservi s'exprimaient souvent en termes de temps de réponse et dépassement maximaux de la réponse indicielle. On sait que la stabilité peut être analysée par le lieu des pôles (§ 6.1.2). On peut également y exprimer les voeux du client. Si on considère l'influence du seul pôle négatif pfi, on a vu qu'il introduisait une exponentielle décroissante (§ 4.5.1).

y t ep t( ) = fi (6.36) Le temps de réponse peut être approximé à partir du pôle px le plus proche de l'axe

imaginaire, en considérant que l'effet des autre pôles s'atténue beaucoup plus rapidement.

t prsysx

≅− 3

Re( ) (6.37)

Pour exprimer le temps de réponse demandé par le client, on peut tracer dans le plan des

pôles une verticale passant par –ρcli. Pour que le temps de réponse prescrit soit respecté, il suffit d'être sûr que tous les pôles se situent à gauche de –ρcli. On a ainsi défini la marge de stabilité absolue ρcli.

ρclirmax

=3

t (6.38)

∀ ≤ − ⇔ ≤i p t tRe( )fi cli rsys rmaxρ (6.39) Comme on l'a vu au chapitre 4, le dépassement est lié au coefficient d'amortissement selon la

relation (4.62). ln D1

21πδ

δ=

− (6.40)

Selon la relation (4.49c), les pôles conjugués complexes sont aussi liés au coefficient

d'amortissement souhaité. On peut donc exprimer le pôle pf1 dont la partie imaginaire est positive.

p jf1 = − + −ω δ ω δ0 021

(6.41) On peut, pour ce pôle, établir le quotient de la partie réelle et de sa partie imaginaire. On peut

alors définir un angle ψ depuis l'axe imaginaire. Re( )Im( )

tanpp

f1

f1=

−= −

δ

δ1 2Ψ (6.42)

Page 92: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–18 041125

On définit alors la marge de stabilité relative ψcli d'après le dépassement maximal accepté par le client. Si les parties réelle et imaginaire des pôles définissent des angles supérieurs à la marge de stabilité relative, le dépassement du système sera inférieur au dépassement maximal accepté.

Ψcli =−

arctan(ln

)D1

π (6.43)

D D1 1sys sys cli≤ ⇔ ≥max Ψ Ψ (6.44)

Autrement dit, tous les pôles doivent se trouver à l'intérieur de la portion du plan limité par deux droites formant un angle ψcli avec l'axe imaginaire.

Les limites de l'espace dans lequel doivent se trouver les pôles pour respecter le cahier des

charges sont appelées contour d'Evans. La description dans le lieu des pôles est particulièrement utilisée dans le réglage d'état (sect. 10.4), mais aussi dans le réglage classique (sect. 8.4). Fig. 6.17 Marges de stabilité et contour d'Evans

Le plus souvent, on approxime le comportement d'un système quelconque par celui d'un

système fondamental du 2e ordre dont les deux pôles sont placés aux angles du contour d'Evans, On admet donc l'hypothèse que les autres pôles et les zéros sont suffisamment éloignés sur la gauche pour être négligeables. On n'est sûr que le cahier des charges est respecté si et seulement si l'hypothèse ci-dessus est vérifiée. Pour bien intégrer l'effet de l'emplacement des deux pôles dominants d'un système sur son comportement, on visitera volontiers l'outil pédagogique mis en place par le Laboratoire d'Automatique de Grenoble:

www-hadoc.ensieg.inpg.fr/hadoc/continu/n09/r09-07.htm

− ρ

ψ

x

x

Re

Im

Page 93: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–19 041125

6.6.2 Exemple. Le traitement d'un exemple concret illustre le propos: on connaît la fonction de transfert en

boucle ouverte d'un système.

G sk s

s s0

02

0 432

( )( , )

( )=

+

+ (6.45)

On peut alors faire tracer le lieu des pôles en boucle fermée en faisant varier le gain k0 de 0 à

+∞, selon les méthodes étudiées au chapitre 5 (sect. 5.5). Le tracé est indiqué à la figure 6.18. Le client demande quelles sont les valeurs pour lesquelles il peut ajuster pour que le

dépassement soit inférieur à 16,3 % et que le temps de réponse soit inférieur à 6 secondes. On en déduit un contour d'Evans défini par Ψ = 30° et –ρ = –0,5, calculés par (6.43) et (6.38).

On calcule les intersections des branches complexes avec la verticale par –ρ et les obliques

d'angle Ψ. 1 75 2 750, ,≤ ≤k (6.46) On calcule encore l'intersection de la branche réelle avec la verticale par –ρ . k0 5 31≤ , (6.47) La condition finale est donnée par l'intersection des conditions (6.46) et (6.47), à savoir, la

condition (6.46). 6.6.3 Tracé de Evans assisté La fonction affevans.m, écrite sous MATLAB au Laboratoire d'Automatique de l'EIG permet de faire tracer le lieu des pôles en boucle fermée. On doit spécifier la fonction de transfert en boucle ouverte: numérateur et dénominateur à écrire en chaîne de caractères, sous la forme factorisée de Bode. On doit encore indiquer la plage de gain pour laquelle on veut le tracé. Enfin, on doit spécifier le temps de réponse et le dépassement maximaux admis. On n'a plus qu'à réduire progressivement la plage de gain jusqu'à ce que le leu des pôles en boucle fermée soit entièrement inclus dans le contour d'Evans. On peut aussi programmer en MATLAB le calcul des intersections qui nous intéressent.

Page 94: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–20 041125

Fig. 6.18 Lieu des pôles du système donné en (6.45).

Im(px)=1,17

Re(px)=–0,69

–ρ=–0,5

p3=–2 z1=–0;43 p1 p2 Re

( )( )

G sk s

s soo

( ),

=+

+

0 43

22

px

Ψ = 30°

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Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–21 041125

6.6.4 Autres propriétés du lieu des pôles Si, conformément à l'hypothèse du paragraphe 6.6.1, on approxime le comportement d'un système étudié à un 2e ordre en ne considérant que les deux pôles dominants p1 et p2, on peut tirer des informations pour la fonction de transfert (4.37): amortissement δ et pulsation naturelle ω0. p p j p1 1 1,2 Re( ) Im( )= ± (6.48)

δ = =Re( )

| | sinp

p1

1Ψ (6.49)

ωπ

0 10

2= =| |p T

(6.50)

Ψ

p1 jω 0

jIm(p1)=jω p=

jω 0 1 2−δ

Im

Re

p2

-ω 0 Re(p1)= -ω 0δ

Fig. 6.19 Amortissement et pulsation naturelle dans le lieu des pôles.

Pour l’amortissement, à chaque valeur de δ correspond une droite passant par l’origine formant un angle Ψ avec à la verticale (6.49). Pour la pulsation propre, à chaque valeur de ω0 correspond un cercle de rayon ω0 centré à l'origine (6.50). Selon la figure 4.13, la pulsation propre ne s'observe par une période propre T0 que pour des marges de stabilité assez faibles: Ψ∈]0°, 30°]. Si pour des marges de stabilité plus grandes, la période propre ne peut pas être mesurée sur la réponse indicielle (fig. 4.11 & 4.12), cela n'empêche pas la pulsation propre d'exister!

Page 96: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–22 041125

Sur un tracé d'Evans obtenu par MATLAB, on peut y superposer deux familles de courbes orthogonales avec une fonction appropriée: les cercles correspondant aux pulsations naturelles et les droites correspondant aux facteurs d'amortissement. Sans indication de paramètre, MATLAB choisit les valeurs d'angles et de pulsation, sinon, c'est l'utilisateur qui le précise, comme pour la figure 6.19. »sgrid 6.6.5 Zéros ou pôles supplémentaires Si l'hypothèse du paragraphe 6.6.1 n'est pas vérifiée, les études de la section 4.5 ne sont plus applicables ni non plus le tableau 6.A, on se heurte alors à une grande complexité mathématique pour établir la relation entre le lieu des pôles et le comportement dynamique. On se propose ici d'explorer quelques pistes par l'étude en simulation de l'effet d'un pôle ou d'un zéro supplémentaire à un système fondamental du deuxième ordre. Cette approche expérimentale permet de s'approprier les allures par appréciation pragmatique plutôt que par calcul analytique. On part d'un système du second ordre avec amortissement optimal (réponse indicielle en trait interrompu).

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

-1

-0.5

0

0.5

1 p1

p2

zA zB zC

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 C

B

A

Fig. 6.20 Effet d'un zéro supplémentaire. Un zéro supplémentaire a tendance à augmenter le dépassement d'autant plus qu'il est situé à proximité de l'axe imaginaire; on a un seul dépassement – comportement apériodique – et non un comportement oscillatoire comme on observerait avec un deuxième ordre fondamental qui aurait la même valeur de premier dépassement. Le temps de réponse n'est guère affecté par la position du zéro, il est environ égal au temps de pic du système fondamental de départ. On constate encore que la pente à l'origine de la réponse indicielle est non nulle, comme pour un système fondamental du premier ordre; on doit conclure que la pente n'est pas nulle pour n ≥ 2 mais pour n – m ≥ 2.

Page 97: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–23 041125

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

-1

-0.5

0

0.5

1 p 1

p 2

pA pB pC

0 2 4 6 8 10 12 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 A

B C

Fig. 6.21 Effet d'un pôle supplémentaire.

Un pôle supplémentaire a tendance à ralentir le système et à réduire voire annuler le dépassement. Le comportement oscillatoire n'est plus apparent dès que le pôle réel est du même ordre de grandeur ou plus à droite que la paire de conjugués complexes. Si le pôle supplémentaire a une partie réelle supérieure au quadruple de celle des pôles dominants, son effet est imperceptible.

Pour affiner l'appréciation des effets, on part encore d'un système fondamental du deuxième

ordre avec amortissement de 0,24, auquel on ajoute un pôle réel qui vaut près du double de la partie réelle des pôles dominants.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 p1

p2

p3

0 5 10 15

0

0.5

1

1.5

3

Fig. 6.22 Effet d'un pôle supplémentaire sur un système mal amorti..

Ici, le comportement oscillatoire reste visible, mais il se superpose à un comportement du premier ordre. Le comportement oscillatoire reste quasiment en-dessous de la valeur asymptotique et le "premier dépassement" ne fait que tangenter la valeur asymptotique pour cette valeur de pôle. Avec un pôle plus proche de l'axe imaginaire, il resterait en dessous alors qu'un pôle plus éloigné permettrait un léger dépassement.

Page 98: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 6–24 041125

Pour mieux s'initier à l'effet de plus de deux pôles ou de combinaison de pôles et zéros, on peut avec profit manier l'outil pédagogique développé à John Hopkins University. http://www.jhu.edu/~signals/explore/index.html

Page 99: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

6–25

ANNEXESAU CHAPITRE 6

Les paramètres déterminants des différents critères de stabilité et leurs relation avec lecomportement dynamique en boucle fermée sont regroupés au tableau 6A..

1,05

0,95

D1

tr

t

tm

w(t), y(t)

Les conditions d'applications des critères sont regroupées au tableau 6B.

2001.12.12

Page 100: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

6.A ANNEXE: RÉSUMÉ DES PARAMÈTRES DE RÉGLAGE

Boucle fermée Boucle ouverte

Fonction de Pôles Réponse indicielle Réponse harmonique transfert (Evans)

δ Ψ D1 tmωc trωc ρtr désignation Q Q ϕm ωc/ω1 tg[ϕm] (Evans) [ ] [dB] (Ny, Bo, Bl.) (Bo.) (Ny.)

≥1.000 90° 0 ∞ 9 3 sans dépassement 0 –∞ ≥76° ≥4 0.707 45° 0.043 4.71 4.20 2.1 optimale 1 0 63.5° 2 0.591 36.2° 0.100 3.23 6.21 3 (apériodique) 1.05 0.4 54.5° 1.4 0.500 30° 0.163 2.50 5 2.6 unipériodique 1.15 1.3 45° 1 0.450 27° 0.200 2.05 4.5 2.3 oscillatoire 1.24 1.9 39° 0.8 – 0.425 25° 0.230 1.9 5 3 " 1.3 2.3 35.5° 0.72 – 0.400 23.5° 0.250 1.73 6 3 " 1.36 2.7 32.5° 0.64 – 0.383 22.5° 0.270 1.62 6 3 " 1.42 3 *30° 0.59 – 0.350 20,7° 0,300 1.43 5 3 " *26,5° 0.50 0.259 15° 0.430 0.98 5 3 " 2 6 *15° 0.27 – 0.215 12.5° 0.500 0.78 5.5 3 " 2.38 7.5 *10° 0.18 – 0.100 5.7° 0.720 0.34 6 3 " 5 14 *2.5° 0.04 – 0.035 2° 0.900 0.11 5.5 3 " 14.3 23 *0.3° 0.005 –

tr: temps de réponse à 5% tm: temps de montée de 0 à 100% D1: dépassement maximal δ: coefficient d'amortissementω1: pulsation pour laquelle le module de la réponse harmonique vaut 1 ( 0[dB]) �ωc: pulsation pour laquelle la pente du module de la réponse harmonique – approximé par segments de droites – |

passe de –1 à –2 � voir fig. 6.A2 |

Ψ: marge de stabilité relative ρ: marge de stabilité absolue ϕm: marge de phase (*: valeurs peu raisonnables!) �

Fig. 6.A1 Système asservi à 2e ordre dominant: valeurs des paramètres en fonction du comportement dynamique.

6–262001.12.12

Page 101: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Bode

Evans (Root Locus)

Fig. 6.A2 Localisation des paramètres.

ϕ m

ω1

log|G(jω)|

logω

|Go(jω)|

ωc

Nyquist

|Go(jω)|

ϕ ω( )1

Im

Re–1

ρ−

ψ x

ω1

1/Am

2001.12.126–27

x

Page 102: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

6.B ANNEXE: CONDITIONS D'APPLICATION DES CRITÈRES DE STABILITÉ

CRITÈRE CONDITION(S) POURL'APPLIQUER

S'APPLIQUE À CALCUL EXPLICITE DEGcf NÉCESSAIRE

RENSEIGNE SUR LA QUALITÉDE LA STABILITÉ

Routh Go rationnelle Gf OUI NON

Hurwitz Go rationnelle Gf OUI NON

Nyquist Go stable Go NON OUI

Black Go stable Go NON OUI

Bode Go rationnelleGo stable et à déphasage minimal Go NON OUI

Evans Go rationnelle Gf NON OUI

Fig. 6.B1 Critères pour le comportement dynamique en boucle fermée.

2001.12.126–28

Page 103: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–1 001205

CHAPITRE 7: RÉGULATEURS

7.1 GÉNÉRALITÉS

7.1.1 Tâches du régulateurOn a décrit au chapitre 1 le principe de la boucle de réglage et des éléments qui la

composent. Le présent chapitre a pour but d'étudier le seul élément de la boucle sur lequell'automaticien est habilité à agir: le régulateur. Les autres éléments de la boucle sont regroupésdans ce qu'on appelle le système à régler.

Fig. 7.1 Système en boucle fermée formé d'un régulateur et du système à régler.

La fonction du régulateur est d'agir sur le système à régler par un signal de commande ucmen fonction de l'écart de réglage: différence entre la valeur de consigne w et la valeur actuelle yde la grandeur réglée. On peut attendre du régulateur différentes tâches:• Maintien dans un intervalle prescrit de la grandeur y en présence d'une consigne w constante,

malgré la présence de perturbations v: régulation de maintien.• Suivi dans un intervalle prescrit de la consigne w par la grandeur y: régulation de

correspondance.• Suivi dynamique de la consigne en présence de perturbations.

Le choix et le dimensionnement du régulateur dans une boucle dépend de ce qu'on attendde lui (chap. 8), on commence donc par examiner quels sont les régulateurs dont on dispose, enrelevant leur points forts et leur points faibles.

7.1.2 InventaireOn peut distinguer les régulateurs selon deux critères:

• relation entre entrée et sortie: linéaire ou non linéaire.• entrée unique, l'écart de réglage ou plusieurs entrées.

Les régulateurs classiques sont caractérisés par une entrée unique: l'écart de réglage.

Les régulateurs tout-ou-rien ont une sortie ucm qui ne peut prendre que deux ou trois valeursprédéterminées, choisies en fonction de l'écart de réglage (§ 7.2.1). Exemple: régulateur detempérature pour un four électrique de cuisine.

Les autres sont formés d'une combinaison de trois modules:• Le module P (proportionnel) assure la fonction de réglage de base.• Le module I (intégrateur) annule l'écart statique, assure la précision.• Le module D (dérivateur) améliore la stabilité et accélère le réglage.Le cas échéant, une cellule filtre du premier ordre entre encore dans la construction durégulateur.

wGs

ye+

Gcf

GRucm

v

Page 104: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–2 001205

On décrira les principaux régulateurs:Le régulateur P (§ 7.3.1) fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage.Exemple: réglage de fréquence d'un groupe turbine–alternateur.Le régulateur PI (§ 7.4.1) fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage et àson intégrale. Exemple: réglage de vitesse d'une voiture récente.Le régulateur PID (§ 7.5.1) fournit un signal de commande proportionnel à l'écart de réglage, àson intégrale et à sa dérivée. Exemple: réglage standard industriel.Les régulateur PD (§ 7.6.2) et PD2 (§ 7.6.3) fournissent un signal de commande proportionnel àl'écart de réglage et à sa dérivée, le cas échéant aussi à sa dérivée seconde.

Les régulateurs polynômiaux sont aussi des régulateurs linéaires à entrée unique: larelation entre l'entrée et la sortie est caractérisée par un quotient de polynômes en s d'ordresupérieur à 2.

Le dimensionnement de ces régulateurs (chap. 8) sera toujours un compromis entrerapidité, stabilité et précision.

Les régulateurs à entrées multiples peuvent aussi être classés en deux groupes selon quela relation entre entrée et sortie est linéaire ou non..

Les régulateurs d'état construisent le signal de commande par combinaison linéaire de grandeursphysiques mesurées sur le système à régler, de la grandeur de consigne et de l'intégrale de l'écartde réglage.Les régulateurs par logique floue construisent le signal de commande par combinaison nonlinéaire d'un choix limité de grandeurs physiques mesurées sur le système à régler et de lagrandeur de consigne. Les régulateurs par mode de glissement s'apparentent aux régulateurs tout-ou-rien par leur signal de sortie qui ne peut prendre que deux ou trois valeurs prédéterminées,choisies en fonction d'une combinaison linéaire de grandeurs physiques mesurées.

Page 105: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–3 001205

7.2 RÉGLAGE TOUT–OU–RIEN

7.2.1 PrincipeUn régulateur tout ou rien produit le signal de commande à partir de l'écart de réglage. Si

la réalisation de tels régulateurs est souvent facile, l'analyse mathématique de son fonctionnementet de la stabilité du système réglé par lui est loin d'être immédiate.

L'action d'un tel régulateur sera la même pour un faible écart de réglage ou pour un écartimportant, ce qui est souvent peu propice à un comportement dynamique de qualité.

L'organe de commutation est souvent un dispositif électromécanique. Un bouilleur pourl'eau chaude domestique possède un thermostat qui enclenche ou déclenche le corps de chauffeselon la température de l'eau dans la cuve. Une analyse intuitive montre que plus on augmente lasensibilité du régulateur aux variations de la grandeur réglée, plus les commutations serontfréquentes; l'usure sera plus importante et la durée de vie plus courte. Pour limiter lescommutations, on a recours à deux propriétés: la zone morte et l'hystérèse.

A simple B avec hystérèseC avec zone morte D avec zone morte et hystérèses

Fig. 7.2 Régulateurs tout-ou-rien.

Comme l'illustre bien la figure 7.2, la zone morte ou seuil, introduit entre deux zonesd'action une zone d'insensibilité dans laquelle le régulateur "ne fait rien". L'hystérèse introduit undécalage de la commutation selon son sens.

7.2.2 ExempleOn n'entrera pas dans le détail, mais un exemple nous permet d'illustrer la difficulté

mathématique pour un cas simple. Une masse m est ramenée à sa position d'équilibre par uneforce F, elle est liée à de amortisseurs qui produisent un frottement visqueux de coefficient f.

Fig. 7.3 Masselotte encadrée d'amortisseurs.

mx f x F�� �+ = (7.1)

ucm

ucm

e

e

e

e

ucm

ucm

A B

DC

xmf/2 f/2

F

Page 106: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–4 001205

On agit par un régulateur à deux positions générant une force d'amplitude A opposée àl'écart de réglage.

F A x= − sgn( ) (7.2)

On peut réorganiser les équations pour mettre en évidence deux équations différentiellesdu premier ordre. C'est le modèle de l'espace d'état qui sera développé au chapitre 10.

� sgn( )x vmv f v A x

== − − (7.3)

On trouve comme solutions deux familles de courbes qui dépendent du signe de l'écart deréglage: on obtient ces solutions en remplaçant la fonction signe une fois par "1" et l'autre par "–1". On renonce aux détails de la démarche.

x xB m

fe

Af

t C

v B eAf

f tm

f tm

< = − + +

= +

0(7.4)

x xB m

fe

Af

t C

v B eAf

f tm

f tm

> = − − +

= −

0(7.5)

Les constantes B et C sont déterminées par les conditions initiales [x0, v0]. On définit unedroite de commutation à x = 0. Chaque fois qu'une courbe atteint celle-ci, on change d'équationen définissant de nouvelles conditions initiales.

-150 -100 -50 0 50 100 150

-60

-40

-20

0

20

40

60

Fig. 7.4 Trajectoire x, v avec régulateur tout–ou–rien simple. (A = 6; m = 1; f = 2).

x0,v0

v

x

Page 107: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–5 001205

On constate que la trajectoire dans l'espace d'état décrit une figure d'escargot, mettant enévidence une amplitude décroissante des oscillations, mais aussi une intervalle décroissant entrecommutations. Le système converge vers un écart de position nul et une vitesse nulle également.

Pour un régulateur avec zone morte, on définit un intervalle de position [–xa, xa]pourlequel on n'applique aucune force correctrice.

F = 0 (7.6)

Dans cette intervalle, on calcule la nouvelle famille de solutions: des droites. Les limitespour les relations (7.4) et (7.5) sont alors déplacées sur les verticales de commutation passant par–xa, respectivement xa.

− < < = − +

=

x x x xB m

fe C

v B e

f tm

f tm

a a(7.7)

-150 -100 -50 0 50 100 150-60

-40

-20

0

20

40

60

Fig. 7.5 Trajectoire x, v avec régulateur tout-ou-rien avec zone morte.

Les trajectoires s'achèvent avec une vitesse nulle en un point quelconque de la zonemorte. La valeur de consigne n'est donc jamais atteinte.

Dans le cas de l'hystérèse, la droite de commutation est décomposée en deux demi-droitespassant par –xa, respectivement xa. Les relations (7.4) et (7.5) s'appliquent de part et d'autre de lafrontière définie par ces demi droites et la portion d'axe x qui les relie.

x0,v0

v

x

Page 108: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–6 001205

-150 -100 -50 0 50 100 150-60

-40

-20

0

20

40

60

Fig. 7.6 Trajectoire x, v avec régulateur tout-ou-rien avec hystérèse.

Les trajectoires convergent vers un cycle limite d'amplitude constante, pour lequell'intervalle entre commutations est constant lui aussi. Paradoxalement, à conditions initialesnulles, le système convergera aussi vers le cycle limite. Le sens de départ dépendra de l'état durégulateur à l'instant initial.

v

x0,v0

x

cycle limite

Page 109: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–7 040126

7.3 RÉGLAGE PROPORTIONNEL 7.3.1 Principe

Parmi les régulateurs linéaires le plus immédiat est le régulateur proportionnel: son signal de commande est proportionnel à l'écart de réglage.

u t K e t K w t y tcm P P( ) ( ) ( ( ) ( ))= = − (7.8) Dans un schéma fonctionnel, on représente un régulateur linéaire par un bloc dans lequel

on dessine sa réponse indicielle.

Fig. 7.7 Régulateur P: symbole.

La fonction de transfert se réduit pour ce régulateur à un simple nombre réel. G s KR P( ) = (7.9)

7.3.2 Statisme On est intéressé à savoir si la grandeur réglée y suit correctement la consigne w. En

particulier, pour une consigne constante, la sortie s'établit-elle pour la même valeur?

Fig. 7.8 Système en boucle fermée par un régulateur P.

Traitons tout d'abord d'un système à régler comme cellule du premier ordre.

G ssTs ( ) =

+1

1 (7.10)

La fonction de transfert en boucle ouverte s'obtient par le produit des fonctions de

transfert des deux blocs.

G s KsTo P( ) =

+1

1 (7.11)

Ce qui nous intéresse est le comportement du système en boucle fermée; on le calcule par

la relation (4.12).

w Gs

y e +

Gcf ucm

w e +

– y

ucm

Page 110: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–8 041102

Ce qui nous intéresse est le comportement du système en boucle fermée; on le calcule par la relation (4.12).

TsKK

TsK

TsK

sG++

=

++

+=

11

11

11

)(P

P

P

P

cf (7.12)

Plutôt que de calculer dans l'espace temps à quelle valeur s'établit y(t), on applique le théorème de la valeur finale.

P

Pcf

0cf

00 1)(lim))(1(lim)(lim)(lim

KK

sGsGs

ssYstyssst +

====→→→∞→

(7.13)

On constate que, quelle que soit la valeur du gain statique KP, la valeur finale de y(t) sera

différente de 1. Il apparaît un écart statique e∞.

e e t w t y tK

K Kt t∞

→∞ →∞= = − = −

+=

+lim ( ) lim ( ( ) ( )) 1

11

1P

P P (7.14)

Traitons encore le cas d'un système intégrateur.

G s sTs ( ) =1

(7.15)

Ici encore, on calcule la valeur finale.

1lim)(lim)(limP

P0

cf0

=+

==→→∞→ KTs

KsGty

sst (7.16)

Ici, l'écart statique est nul. Si on traite les cas des fonctions de transfert (7.10) ou (7.15)

multipliées par une cellule du premier ou du deuxième ordre, on obtient les mêmes résultats. On en tire que l'écart statique est nul si et seulement si la fonction de transfert en boucle ouverte contient une intégration pure.

On peut éliminer l'écart statique pour un point de fonctionnement y0 défini en calculant la valeur

ucm0 qu'il faut injecter sur le système pour obtenir ce point. Pour toute valeur de w choisie différente de y0, on observera un écart statique non nul. On superpose au signal de sortie du régulateur la valeur constante calculée.

Fig. 7.9 Système en boucle fermée par un régulateur P adapté à un point de fonctionnement.

w Gs

y e +

Gcf

ucm

ucm0

+

+

Page 111: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 7–9 040126

Ce comportement typique du réglage P a conduit à définir le statisme. Le statisme est la déviation de la grandeur à régler, exprimée en pour–cent de son domaine de variation, pour faire varier le signal de commande de 100 % de sa grandeur nominale. Cette définition n'a vraiment de sens qu'en régulation de maintien.

SK

uy

=100

0P

cm0 (7.18)

Fig. 7.10 Droite de statisme.

Cette notion a été largement utilisée dans les centrales hydroélectriques où la grandeur physique réglée est la fréquence du réseau et le signal de commande est la puissance hydraulique à la turbine.

uu

cm

cm0

1

y

y0

Page 112: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires SAth74à6

Jean-Marc Allenbach 7–10 010404

7.4 RÉGLAGE PROPORTIONNEL–INTÉGRAL

7.4.1 Approche empiriquePour un système qui peut s'établir pour plusieurs points de fonctionnement, on désire

adapter le schéma de la figure 7.9 en variant lentement ucm0 pour annuler l'écart statique pourchaque point de fonctionnement. On peut créer ce signal par l'intégrale pondérée de l'écart deréglage.

Fig. 7.11 Système en boucle fermée par un régulateur PI.

u t K e tT

e dt

cm Pi

( ) ( ) ( )= + �1

0τ τ (7.19)

Il faut souligner qu'il est nécessaire que l'intégrale varie plus lentement que le système àrégler sous l'action d'une brusque variation d'écart de réglage, sous peine de provoquer uneinstabilité du système.

7.4.2 DéfinitionDans les schémas de réglage, un tel régulateur est représenté par un seul bloc.

Fig. 7.12 Régulateur PI: symbole.

La fonction de transfert peut être déduite de la relation (7.19)

G s Ks TR P

i( ) = +

1 (7.20)

On préfère souvent écrire la fonction de transfert d'un régulateur sous forme de quotientde polynômes.

G ssT

sTRn

i( ) =

+1 (7.21)

wGs

ye+

Gcfucm

1Ti�

w

+

+

e+

– y

ucm

Page 113: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires SAth74à6

Jean-Marc Allenbach 7–11 010404

On appelle le paramètre Ti constante de temps d'intégration et le paramètre Tn temps decorrélation d'intégrale.

7.4.3 Réponse harmoniquePour calculer la réponse harmonique on utilise la forme quotient de la fonction de

transfert.

G jj T

j TRn

i( )ω

ωω

=+1

(7.22)

Pour tracer le module on adopte l'approximation vue au chapitre 5: le module d'unnombre complexe est la plus grande de ses deux parties. On obtient ainsi une pente de –1 pourles pulsations inférieures à 1/Tn, et une horizontale pour les supérieures.

Fig. 7.13 Régulateur PI: réponse harmonique.

On se souvient qu'on peut approximer la phase en multipliant la pente du module par 90°.Un PI introduit donc une correction de phase de –90° dans les faibles pulsations et une correctionde gain de Tn/Ti pour les pulsations élevées.

logω

log| ( )|G jR ω

1Tn

1Ti

TTn

i

Page 114: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires SAth74à6

Jean-Marc Allenbach 7–12 010404

7.5 RÉGLAGE PROPORTIONNEL–INTÉGRAL–DIFFÉRENTIEL

7.5.1 PrévisionPour obtenir une réaction d'un régulateur P ou PI, il doit exister ou avoir existé un écart

de réglage. On aimerait bien prévoir l'apparition d'un écart de réglage pour déjà anticipersur le signal de commande. Cette prévision peut s'obtenir en observant la pente de l'écart deréglage: c'est à dire sa dérivée. On ajoute donc au régulateur PI une composante dérivée.

u t K e tT

e d T e tt

cm Pi

d( ) ( ) ( ) �( )= + +�1

0τ τ (7.23)

7.5.2 DéfinitionDans les schémas de réglage, on représente le PID par un bloc.

Fig. 7.14 Régulateur PID: symbole.

La fonction de transfert peut être déduite de la relation (7.23)

G s Ks T

sTR Pi

d( ) = + +1

(7.24)

On peut aussi écrire la fonction de transfert sous forme de quotient de polynômes ou enmettant le gain en facteur.

G s Ks T

s TR PJ

D( ) ( )= + +11

(7.25)

G ss T sT

s TRn v

i( )

( )( )=

+ +1 1 (7.26)

Pour passer de l'une à l'autre des trois formes d'écriture, qui toutes sont utilisées danscertaines circonstances, on peut les mettre au dénominateur commun et égaler les termes. Onpeur avec profit utiliser l'annexe 7.A plutôt que refaire les calculs à chaque fois.

w e+

– y

ucm

Page 115: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires SAth74à6

Jean-Marc Allenbach 7–13 010404

7.5.3 Réponse harmoniquePour établir la réponse harmonique, on se base sur la forme quotient de la fonction de

transfert.

G jj T j T

j TRn v

i( )

( )( )ω

ω ωω

=+ +1 1

(7.27)

Fig. 7.15 Régulateur PID: réponse harmonique.

7.5.4 Influence des composants non idéauxDans la réalité, un régulateur ne peut présenter un gain infini, ni pour le pulsations

élevées, ni pour les faibles. Un régulateur digital est limité par le gain réel des amplificateursopérationnels qui le constituent. Une autre limitation de gain est le rapport entre la tension desaturation des amplificateurs opérationnels (régulateurs analogiques) ou la plage dynamique deconversion digital–analogique (régulateurs discrets) et l'amplitude des signaux d'entrée. A ceslimitations absolues s'ajoute la dégradation des performances dans les pulsations élevées, liéesaux amplificateurs opérationnels ou à l'échantillonnage. Cette limite physique est représentée parun filtre du premier ordre qui borne la caractéristique idéale du PID.

Fig. 7.16 Régulateur PID: réponse harmonique.

Pour éviter le risque d'un pic de résonance à la pulsation où la réponse harmonique idéalerejoint la caractéristique limite, on introduit une petite constante de temps Tb, proche de cettepulsation, qui introduit un court palier. On en déduit la fonction de transfert non idéalisée.

G s Ks T s T

s T s T s TRn v

a b c( )

( )( )( )( )( )max=

+ ++ + +

1 11 1 1

(7.28)

logω

logω

log| ( )|G jR ω

log| ( )|G jR ω

1Tv

1Tv

1Tn

1Tn

1Ti

1Ti

TTn

i

TTn

i

Kmax

1Ta

1Tb

1Tc

Page 116: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 7–14 010404

7.6 AUTRES RÉGLAGES CLASSIQUES

7.6.1 Régulation proportionnelle–différentiellePour certains systèmes à comportement intégral, il est parfois judicieux d'utiliser un

régulateur avec dénominateur d'ordre 0 et numérateur d'ordre 1.

u t K e t T e tcm P D( ) ( ( ) �( ))= + (7.29)

Fig. 7.17 Régulateur PD: symbole.

La fonction de transfert idéale se déduit de la relation (7.29)

G s K s TR P D( ) ( )= +1 (7.30)

On en tire la réponse harmonique idéalisée.

Fig. 7.18 Régulateur PD: réponse harmonique.

7.6.2 Régulation PD2

Dans certains cas, on souhaite compenser deux constantes de temps sans introduired'intégration. Cela implique une double dérivation.

u t K e t T T e t T T e tcm P D1 D2 D1 D2( ) ( ( ) ( ) �( ) ��( ) )= + + + (7.31)

G s K sT sTR P D1 D2( ) ( ) ( )= + +1 1 (7.32)

Un tel régulateur est très idéal, et non causal! La double dérivation est propice à amplifierle bruit présent sur les grandeurs mesurées, ce qui est peu propice à la qualité du réglage.

w e+

– y

ucm

logω

log| ( )|G jR ω

1TD

KP

Page 117: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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7.6.3 Régulation avance de phaseDans certaines applications, on souhaite agir sur la phase dans un domaine limité de

pulsations. Dans ce cas, on combine un PD avec un filtre du premier ordre, en choisissant uneconstante de temps de filtrage inférieure à celle de dérivation.

G s KsTsTR P

D

F( ) =

++

11

(7.33)

Fig. 7.19 Régulateur AP: symbole.

Fig. 7.20 Régulateur AP: réponse harmonique.

On constate que ce régulateur déforme la phase dans le sens positif au voisinage de

l'intervalle [1 1

T TD F], d'où le nom avance de phase. Rappelons toutefois que la phase est ici

dessinée de façon très grossière, au sens des approximations décrites à la figure 5.6.

On peut aussi interpréter le régulateur AP comme un modèle un peu moins idéal durégulateur PD, dans lequel on tient compte que le régulateur ne peut pas avoir un gain infini pourles pulsations élevées. Le symbole évoque aussi celui du PD, où l'impulsion de Dirac estremplacée par une impulsion plus réaliste.

w e+

– y

ucm

logω

log| ( )|G jR ω

1TD

KP

1TF

KTTP

D

F

45°

ϕ ω( )

logω

0,1TD

10TF

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7.6.4 Régulation retard de phaseComme pour l'avance de phase, on combine un PD avec un filtre du premier ordre, en

choisissant ici une constante de temps de filtrage supérieure à celle de dérivation.

G s Ks Ts TR P

n

f( ) =

++

11

(7.34)

Fig. 7.21 Régulateur RP: symbole.

Fig. 7.22 Régulateur RP: réponse harmonique.

Comme son nom l'indique, le régulateur retard de phase déforme la phase dans ledomaine négatif pour un intervalle limité de pulsations.

On peut aussi interpréter le régulateur RP comme un modèle un peu moins idéal durégulateur PI, dans lequel on tient compte que le régulateur ne peut pas avoir un gain infini pourles pulsations très faibles. Dans ce cas, le gain KP est alors très élevé, et déterminé par lescaractéristiques physiques des composants du régulateur. On obtient la constante de tempsd'intégration Ti en divisant Tf par le gain KP. Dans ce cas la plage de pulsation pour laquelle laphase est déformée est très large, et cette dernière atteint un minimum proche de –90°.

La mise en cascade d'un AP avec un RP réalise un ARP: régulateur à avance et retard dephase, qui permet de modifier phase et module dans un intervalle fini de pulsations, en lesconservant intacts à l'extérieur de celui-ci.

w e+

– y

ucm

logω

log| ( )|G jR ω

1Tn

KP

1Tf

KTTP

n

f

–45°

ϕ ω( )logω

10Tn

0 1,Tf

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Asservissements linéaires SAth74à6

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7.6.5 Régulation intégraleDans de rares cas , où la consigne varie très lentement et le système ne contient pas de

composante intégrale, on peut faire appel à un régulateur intégral. Dans ce cas, on prendra gardeà choisir une pondération très faible, l'augmentation du degré du polynôme dénominateur ayanttendance à déstabiliser le système en boucle fermée.

u tT

e dt

cmi

( ) ( )= �1

0τ τ (7.35)

Fig. 7.23 Régulateur I: symbole.

G ss TR

i( ) =

1 (7.36)

7.6.6 Régulation PID parallèlePour la réalisation électronique compacte d'un PID (voir annexe 7.B), la forme (7.26) est

celle qui convient le mieux, mais certains dimensionnements selon (7.25) ne peuvent pas êtreobtenus avec des paramètres réels (voir annexe 7.A) et les composants du circuit sont forcémentréels et ne peuvent en aucun cas être complexes. Dans ce cas, on est amené à choisir unestructure parallèle qui transcrit de manière plus directe la forme (7.25), en combinant un P, un Iet un PD.

Fig. 7.24 Régulateur PID parallèle: symbole.

On s'arrange pour que le PD soit dimensionné avec un gain de 1, le gain global du PIDétant assuré par le P placé après la sommation.

G s Ks T

sTR PJ

D( ) ( ( ))= + +1

1 1 (7.37)

w

w

e

e

+

+

y

y

ucm

ucm1 +

+

ucm2

ucm

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7.A ANNEXE: PARAMÈTRES DE RÉGULATEURS

La fonction de transfert d'un régulateur PID peut s'écrire sous trois formes:

G s Ks T

sTR Pi

d( ) = + +1

Forme somme (7.24)

G s Ks T

s TR PJ

D( ) ( )= + +11

Forme somme-gain (7.25)

G ss T sT

s TRn v

i( )

( )( )=

+ +1 1Forme quotient (7.26)

Pour passer de l'une à l'autre des trois formes d'écriture, on peut avec profit utiliser letableau 7.A1. Pour un régulateur PI, on a simplement au départ Tn, Td ou TD qui est nulle.

sommeKP Ti Td

somme-gainKP TJ TD

quotientTn Ti Tv

KP KPT T

Tn v

i

+

somme Ti

TK

J

PTi

Td K TP DT T

Tn v

i

KP KPT T

Tn v

i

+

somme-gainTJ K TP i T Tn v+

TD

TK

d

P

T TT T

n v

n v+

TnK T T

K TP i d

P i21 1

42( )+ −

T TT

J D

J21 1

4( )+ −

quotient Ti TiTK

J

P

TvK T T

K TP i d

P i21 1

42( )− −

T TT

J D

J21 1

4( )− −

Fig. 7.A1 Régulateur PID: paramètres.

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7.B ANNEXE: RÉGULATEURS ANALOGIQUES

7.B.1 GénéralitésPour réaliser un régulateur analogique, on adoptera un montage à amplificateur qui

permet de réaliser la fonction de transfert souhaitée dans une large gamme d'utilisation.

Fig. 7.B01 Amplificateur opérationnel.

u A ucm i= − (7.B01)

Hypothèses simplificatrices:• Amplification infinie A = ∞.• Courants de polarisations nuls ipi = 0.• Impédance de sortie nulle.• Impédances d'entrée infinies.

On souligne que la sortie ucm est comprise entre –usat et +usat.

Pour plus d'information, on se reporte au cours d'électronique [29].

7.B.2 Montage inverseur

Fig. 7.B02 Amplificateur opérationnel en montage inverseur.

Pour déterminer la relation entre l'entrée et la sortie, on calcule le quotient desimpédances de contre réaction et d'entrée. Les impédances (ou les admittances) sont calculéesen appliquant les règles de calcul des circuits RLC.

U sZ sZ s

U scmf

ee( )

( )( )

( )= − (7.B02)

On en déduit facilement la fonction de transfert.

+ui

ucm

R0

Ze Zf

+

ucm

ue

ip1

ip2

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G sZ sZ sR

f

e( )

( )( )

= − (7.B03)

On obtient un quotient de polynômes en s, comme les fonctions de transfert desrégulateurs décrits dans ce chapitre. Toutefois, le signe «–» dû au montage inverseur devra êtrecorrigé par un moyen adéquat. On doit encore tenir compte du fait que la fonction de transfertdu régulateur est exprimé en fonction des grandeurs physiques (consigne, mesure et signal decommande) alors que celle du montage à amplificateur opérationnel l'est en fonction dessignaux électriques (tensions) qui représentent ces grandeurs. On ne doit pas oublier le facteurd'échelle correspondant.

La résistance R0 est destinée à égaliser les courants de polarisation. On la calcule à partirdes admittances à basse fréquence Yf0 et Ye0, obtenues en posant s = 0. Les amplificateursopérationnels de conception récente peuvent se contenter d'une résistance R0 nulle.

1

0RY Y= +e0 f0 (7.B04)

7.B.3 Régulateurs classiques

On propose ici quelques montages à amplificateurs opérationnels, basés sur le montageinverseur et réalisant les régulateurs étudiés aux sections 7.3 à 7.6.

Le régulateur P est obtenu en choisissant comme impédances des résistances.

Fig. 7.B03 Régulateur P.

On a les relations:

G sRRR

1

e( ) = − (7.B05)

RR R

R R01

1=

+e

e (7.B06)

En choisissant arbitrairement une des deux résistances, on peut calculer l'autre d'après legain de régulateur qu'on veut réaliser. On veillera à ce que la résistance d’entrée Re soitcomprise entre 1 K et 1 M. Plus faible, cela risque de trop charger l’équipement amont, plusélevée cela transforme l’entrée en antenne qui capte toutes les perturbations ambiantes.

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Le régulateur PI est obtenu en une cellule RC pour l'impédance en contre-réaction.

Fig. 7.B04 Régulateur PI.

On a les relations:

G ssR C

s R CR1

e( ) = −

+1 1

1 (7.B07)

R R0 = e (7.B08)

On choisit arbitrairement un des composants, en général C1 car les valeurs de capacité pardécade sont en général moins nombreuses que pour les résistances. On peut calculer les autresd'après les paramètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.21) et (7.B07).

Le régulateur PID est obtenu en plaçant deux cellules RC, séparées par un suiveur, pourl'impédance en contre-réaction.

Fig. 7.B05 Régulateur PID: montage à deux ampliops.

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Jean-Marc Allenbach 7–24 020117

On a les relations:

G ssR C sR C

s R CR1 2

e( )

( )( )= −

+ +1 11 2

1 (7.B09)

R R0 = e (7.B10)

On choisit arbitrairement les capacités. On peut calculer les résistances d'après les paramètresde régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.26) et (7.B09).

On peut aussi omettre le suiveur entre les deux cellules RC, ce qui simplifie laréalisation mais complique le calcul car les deux circuits RC sont alors couplés. On ne peutdonc pas ajuster indépendamment les deux constantes de temps.

Fig. 7.B06 Régulateur PID: montage à un seul ampliop.

On a la relation:

G ssR C sR C sR C

s R CR1 2 2

e( )

( )( )= −

+ + +1 11 2 1

1 (7.B11)

Plutôt que d'exécuter des calculs fastidieux, on peut recourir à l'abaque 7.B07 pour déterminerles composants.

Page 127: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 7–25 020117

Fig. 7.B07 Abaque pour déterminer les composants d'un régulateur PID: montage à un seul ampliop.

On utilise la procédure suivante:• On trace sur l'abaque une verticale passant par la valeur Tn/Tv donnée par la fonction de

transfert calculée du régulateur.• On choisit un rapport C1/C2 qui offre une bonne définition de lecture, puis on choisit

arbitrairement C1.• On lit en ordonnée les valeurs R2C2/Tv et R1C1/Tn qui permettent de déterminer R1 et R2.• On calcule Re par identification des dénominateurs.

Page 128: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 7–26 020117

Pour un régulateur PD, on pourrait mettre une cellule RC comme impédance d'entrée,mais on préfère la placer sur la contre-réaction pour conserver une impédance d'entrée constanteen fonction de la fréquence.

Fig. 7.B08 Régulateur PD.

On a les relations:

G sRR

sR C

R1

e

1( ) ( )= − +14

1 (7.B12)

RR R

R R0 =+

e 1

e 1 (7.B13)

On choisit arbitrairement la capacité. On peut calculer les résistances d'après les paramètres derégulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.30) et (7.B12).

Pour un régulateur AP ou RP, on prend un régulateur PD précédé d'un filtre passif dupremier ordre. Les cellules du régulateur sont ainsi bien découplées, ce qui ne serait pas le casen plaçant simplement une capacité en parallèle sur la contre-réaction. L'ajustage des deuxconstantes de temps est ainsi indépendant. On accepte d'avoir une impédance d'entrée variable(du simple au double) en fonction de la fréquence.

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Jean-Marc Allenbach 7–27 020117

Fig. 7.B09 Régulateur AP ou RP.

On a les relations:

G sRR

sR C

sR CR

1

e

1

e e( ) = −

+

+

14

14

1

(7.B14)

RR R

R R0 =+

e 1

e 1 (7.B15)

On choisit arbitrairement la capacité. On peut calculer les résistances d'après lesparamètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.30) et (7.B12).

Un régulateur I n'a qu'une capacité comme contre-réaction.

Fig. 7.B10 Régulateur I.

On a la relation:

G ss R CR

e( ) = −

1

1 (7.B16)

On choisit arbitrairement la capacité. On peut calcule la résistance d'après la constanted'intégration du régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.36) et (7.B16).

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Jean-Marc Allenbach 7–28 020117

Un comparateur se construit également sur la base du montage inverseur.

Fig. 7.B11 Comparateur.

On a les relations:

URR

URR

Uec

ww

c

yy= − − (7.B17)

On désigne par Kw et Ky les constantes qui lient les grandeurs de consigne et de mesureaux tensions Uw et Uy qui les représentent.

U K w U K yw w y yet= = − (7.B18)

On peut alors exprimer la tension représentant l'écart de réglage en fonction de celui-ci.

URR

K wRR

K yec

ww

c

yy= − −( ) (7.B19)

On choisit arbitrairement la résistance de contre-réaction, puis on calcule les deux autresrésistances.

R R K R R Kw c w y c yet= = (7.B20)U w ye = − −( ) (7.B21)

Enfin, régulateur et comparateur peuvent être combinés autour d'un seul amplificateuropérationnel, au quel cas il faut prendre une convention de signe différente de (7.B18) pour lestensions représentant les grandeurs physiques.

Page 131: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 7–29 020117

U K w U K yw w y yet= − = (7.B22)

Fig. 7.B12 Comparateur combiné avec un PI.

On a les relations:

Us R C

sR CR K

ws R C

sR CR K

ycm1

w

1 w

1y

1 y

=+

−+1 11

11

1 (7.B23)

TR CR K

R CR Ki

w

1 w

y

1 y= =1 1

(7.B24)

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Jean-Marc Allenbach 7–30 020117

7.B.4 Montage à bascule

Fig. 7.B13 Amplificateur opérationnel en montage à bascule.

Pour un tel montage, la sortie est toujours en saturation, tout changement de signe,même infime, de la tension différentielle provoque le basculement de la sortie vers l'autresaturation.

Fig. 7.B14 Relation entrée–sortie pour un amplificateur opérationnel en montage à bascule.

Le point de basculement Ub est déterminé par les composants et la tension d'alimen-tation ±Ualim.

UR RR R

Ub alim=−+

2 3

2 3 (7.B25)

L'hystérèse Uh est déterminée par les composants et les tensions de saturation ±Usat.

UR

R RUh sat=

+0

0 1 (7.B26)

ucm

ucm2

ucm1

ub ub+uh ub–uh

ue

Page 133: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 7–31 020117

7.B.5 Régulateurs tout–ou–rien.

Le montage à bascule décrit au paragraphe précédent permet de réaliser un régulateur àdeux positions. Si on ne veut pas l'hystérèse, il suffit de choisir R1 = ∞. Dans ce type demontage aussi, on a plus de composants que d'équations, ce qui nécessite un choix arbitraire dedeux résistances.

Pour un régulateur à trois positions, on combine deux montages à bascules et unadditionneur.

Fig. 7.B14 Relation entrée–sortie pour un régulateur à trois positions.

Fig. 7.B15 Régulateur à trois positions.

ucm

–ucm2

–ucm1

ub1 ub1+uh1 ub1–uh1

ue

ub2–uh2 ub2 ub2+uh2

Page 134: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires SAth7B.doc

Jean-Marc Allenbach 7–32 020117

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Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–1 000823

CHAPITRE 8: DIMENSIONNEMENT DE RÉGULATEURS

8.1 INTRODUCTION

On rappelle la structure d'un système réglé, formé du système à régler S propre-ment dit avec son organe de commande OCM et du régulateur R.

Fig. 8.1 Système asservi.

Le but du dimensionnement est de calculer un régulateur – compte tenu du système àrégler – qui garantisse que le système asservi F (encadré en trait mixte) remplisse les condi-tions de fonctionnement requise par le cahier des charges. On peut trouver deux descriptionsdu comportement dynamique:

Description dans le temps: La réponse indicielle (variation de la sortie du systèmedont l'entrée varie comme une fonction échelon unité) ne doit pas admettre de dépassementsupérieur à D1max et son temps de réponse à 5 % doit être inférieur à trmax.

Fig. 8.2 Gabarit de réponse indicielle.

Description fréquentielle: Si on décompose le signal de consigne w selon Fourier,toutes les pulsations inférieures à ωp doivent être transmises sans altération au signal réel yet toutes les pulsations supérieures à ωb doivent être fortement atténuées.

Fig. 8.3 Gabarit de réponse harmonique.

OCMw

S

v

yuucm+

–R

t

y(t)

D1max1

tr

ω

ωp ωb

|Gcf(s)|

F

Page 136: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–2 000823

Au chapitre 6, on a étudié la stabilité et plus généralement le comportement dynamiqued'un système en boucle fermée connu en fonction de la variation de certains de ses paramètres.Au chapitre 7, on a fait l'inventaire des régulateurs classiques et de leurs effets. Les méthodesdécrites dans ce chapitre – choix du type de régulateur et calcul de ses coefficients – utilisentlargement les notions mises en place aux chapitres précédents; on peut les classer en quatrecatégories:1. On ne dispose pas d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler, mais

seulement de mesures sur celui-ci. On applique alors des méthodes pragmatiques qui ontfait leur preuve pour certaines catégories de comportements dynamiques des systèmesasservis (sect. 8.2).

2. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On compense lespôles dominants de sa fonction de transfert à l'aide des zéros du régulateur qu'on choisit,puis on détermine le gain de ce régulateur en raisonnant dans le plan fréquentiel (critère deBode) ou dans le plan de Nyquist (critère de la marge de phase) (sect. 8.3). Ces critèressupposent un raisonnement fondé sur l'approximation du systèmes asservi par un systèmefondamental du premier ordre.

3. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On impose les deuxpôles dominants de la fonction de transfert du système asservi, approximé par un systèmefondamental du deuxième ordre, ils sont choisis d'après le comportement dynamique requiset le régulateur est construit de manière géométrique (sect. 8.4).

4. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On impose laréponse harmonique du système asservi, optimisée pour s'inscrire dans le gabarit requis(module et argument). On en calcule la fonction de transfert du régulateur (sect. 8.5).

Dans tous les cas, on commencera par une définition claire de la structure de réglageen détaillant les différents éléments et on aura recours en général à la linéarisation autour dupoint de fonctionnement nominal. On commencera par dimensionner les régulateurs desboucles intérieures lorsque la structures prévoit plusieurs boucles de réglage (sect. 8.A).

Page 137: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Dimensionnements

Jean-Marc Allenbach 8–3 020118

8.2 CRITÈRES EXPÉRIMENTAUX

8.2.1 Mesures typiquesDans certains cas, il n'est pas possible de déterminer facilement un modèle analytique

de l'installation à régler. On n'a donc pas une connaissance mathématique, mais il faut bienavoir une certaine connaissance du système pour dimensionner son régulateur. Celle-ci estobtenue par une mesure sur l'installation réelle. La plus simple à mettre en œuvre est l'essaiindiciel.

Fig. 8.4 Essai indiciel: schéma-bloc.

On observe la réponse indicielle mesurée.

Fig. 8.5 Essai indiciel: mesure et temps caractéristiques.

On détermine le point d'inflexion (+) sur la réponse indicielle, et la tangente en cepoint: les intersections de celle-ci avec l'axe du temps et avec la valeur asymptotique de laréponse indicielle permettent de définir deux temps caractéristiques Tu et Tg. Sur une mesureréelle, le tracé "manuel" de la tangente au point d'inflexion est très imprécise, et peut conduireà de très grandes variations de Tu. L'instant du point d'inflexion correspond à celui dumaximum de la dérivée de la réponse indicielle (en pointillé sur la figure 8.5) et la valeur dumaximum correspond par définition à la pente en ce point, donc 1/Tg. On aura donc avantageà mesurer la réponse avec un système d'acquisition de données – qui permet de calculernumériquement la dérivée – plutôt qu'avec un simple oscillographe. Les temps caractéristiquesTu et Tg s'obtiennent alors par simple calcul géométrique. Les critères décrits au paragraphessuivants s'appliquent bien pour des systèmes mesurés sans dépassement ou à dépassement trèsfaible, faute de quoi les résultats obtenus seront assez loin des attentes.

Certains systèmes ne peuvent pas supporter un tel essai; on leur appliquera donc unautre essai typique, en boucle fermée avec un simple amplificateur de gain g ajustable.

S y(t)u(t) = ε(t)

u(t) y(t)

t

Ks

1

Tu Tu+Ks*Tg

Page 138: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Dimensionnements

Jean-Marc Allenbach 8–4 020118

Fig. 8.6 Essai en limite de pompage: schéma-bloc.

On augmente le gain de l'amplificateur jusqu'à amener le système en boucle fermée enoscillation entretenues. Le système est alors en limite de stabilité: on parle d'un essai en limitede pompage. Lorsque le système est dans cette situation, on relève le gain g0 ajusté ainsi quela période T0 de l'oscillation.

T 0

Fig. 8.7 Essai en limite de pompage: mesure et période caractéristique.

On peut exprimer la qualité d'un réglage avec des descriptions normalisées: les indicesde performance. On définit ici l'un d'eux, l'indice de performance IAE.

J e t tIAE =∞� ( ) d0

(8.1)

Cet indice exprime la surface générée par la différence entre la valeur de consigne et lavaleur réelle, l'écart de réglage: e(t) = w(t) – y(t).

w(t) y(t)

t

Fig. 8.8 Indice de performance IAE.

+–

Sgy(t)

w(t) = 0

Page 139: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Dimensionnements

Jean-Marc Allenbach 8–5 020118

8.2.2 Critère de Ziegler–NicholsOn définit ce critère sur la forme "somme-gain" (7.25) de la fonction de transfert d'un

régulateur PID qu'on rappelle en (8.2).

G s Ks T

s TR PJ

D( ) ( )= + +11

(8.2)

L'objectif du critère de Ziegler–Nichols est minimiser l'énergie de réglage, représentéepar le critère de performance IAE. Celui-ci laisse libre le choix du type de régulateur. Commeon l'a vu au chapitre 7, on élimine le régulateur P si on veut garantir un écart statique nul et onchoisit une composante D si on veut un temps de réglage court, et qu'on est dans unenvironnement pas trop bruité. Les paramètres de régulateurs ont été optimisés de manièreexpérimentale sur un grand nombre d'essais.

Régulateur Kp TJ TD

P Tg/Tu ∞ 0PI 0,9 Tg/Tu 3,3 Tu 0

PID 1,2 Tg/Tu 2 Tu 0,5 Tu

Fig. 8.9 Dimensionnement de Ziegler-Nichols après essai indiciel.

On peut aussi poursuivre le même objectif après un essai en limite de pompage.

Régulateur Kp TJ TD

P 0,5 g0 ∞ 0PI 0,45 g0 0,83 T0 0

PID 0,6 g0 0,5 T0 0,125 T0

Fig. 8.10 Dimensionnement de Ziegler-Nichols après essai en limite de pompage.

On remarque que le rapport des constantes de temps est de 4. Si on veut exprimer sousla forme quotient (voir annexe 7.A) un régulateur dimensionné par Ziegler–Nichols, on auradans tous les cas Tn = Tv.

8.2.3 Critère de Chien–Hroner–ReswickOn peut aussi rechercher comme objectif une réponse indicielle dont les oscillations

seront amorties en moins d'une période: réponse indicielle apériodique. Souvent – mais pastoujours – ce dimensionnement donnera de faibles dépassements: 0 % < D1 < 10 %. Ce critèreporte le nom de Chien–Hroner-Reswick, il a aussi été établi suite à de nombreux essais. Lesvaleurs sont basées sur les temps caractéristiques donnés par un essai indicielle sur le systèmeà régler.

On relève qu'un régulateur PID compact (sect. 7.5) n'est pas toujours réalisable avec untel dimensionnement car on peut obtenir TJ plus petit que 4 TD (voir annexe 7.A), ce quidonnerait des valeurs de capacités ou résistances complexes!!! On utilisera alors un PID àstructure parallèle (§ 7.6.6).

Page 140: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Dimensionnements

Jean-Marc Allenbach 8–6 020118

Régulateur Kp TJ TD

P 0,3 Tg/Tu ∞ 0PI 0,35 Tg/Tu 1,2 Tg 0

PID 0,6 Tg/Tu Tg 0,5 Tu

Fig. 8.11 Dimensionnement de Chien-Hroner-Reswick après essai indiciel.

8.2.4 Identification de processusOn peut aussi établir un modèle analytique du système à régler à partir d'un essai

indiciel sur celui-ci, comme le propose par exemple la méthode de Strejc (annexe 8.B) oud'essais harmoniques sur le système seul en boucle ouverte.

Il existe des stratégies plus avancées de modélisation et de validation de modèle, quiseront présentées de manière plus approfondie au chapitre 9. On opère par développementsuccessifs du modèle en le comparant sur les plans fréquentiel et temporel avec le système réeljusqu'à superposition des comportements dynamique et harmonique de la réalité et de sonmodèle.

Page 141: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–7 030514

8.3 CRITÈRES SUR LA RÉPONSE HARMONIQUE EN BOUCLEOUVERTE

8.3.1 Méthode de BodePour guider l'exposé, on part de l'exemple d'un système à régler (organe de commande

compris) du 3e ordre sans zéro. On choisit un régulateur PID dans l'intention de compenser parles zéros du régulateur les pôles principaux du système à régler.

G sK

s T s T s TT T T

ss

avec

( )( )( )( )

=+ + +

≥ >>1 1 11 2 3

1 2 3

(8.3)

G ss T s T

s TRn v

i( )

( )( )=

+ +1 1 (8.4)

On calcule la fonction de transfert en boucle ouverte.

G ss T s T K

s T s T s T s Ton v s

i( )

( )( )( )( )( )

=+ +

+ + +1 1

1 1 11 2 3 (8.5)

En compensant exactement les pôles du système à régler (liés aux constantes de tempsdominantes de son dénominateur) par les zéros du régulateur (liés aux constantes de temps deson numérateur) on se ramène à un système en boucle ouverte du 2e ordre de type intégral déjàétudié (§ 6.5.4) dont seul le gain Ks/Ti n'est pas déterminé (fig. 8.12). La constante de tempssubsistante est appelée "petite constante de temps" (T3 = Tp).

T T T Tn v et = =1 2 (8.6)

G sK

s T s Tos

i p( )

( )=

+1 (8.7)

Fig. 8.12 Système à régler du 3e ordre et son régulateur: réponses harmoniques.

ω1s

i=

KT

log|G(jω)|

logω

|Gs(jω)|

|GR(jω)|

|Go(jω)|

Ks

1 1T Tn 1

= 1 1T Tv 2

=ωc

3= 1

T

TTn

i

Page 142: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–8 030514

Le critère de Bode porte sur le rapport de deux pulsations: ωc qui est à la jonction d'unsegment de pente –1 et d'une de pente –2 sur la réponse harmonique en boucle ouverte et lapulsation ω1 pour laquelle le module de cette réponse harmonique vaut 1. On a vu qu'il existeune relation entre le rapport de ces deux pulsations et le dépassement sur la réponse indicielledu système asservi. Ainsi, pour obtenir un dépassement de 4,3 % (réponse indicielle optimale),le tableau 6.A1 nous rappelle que ce rapport doit valoir 2.

G j G jT

K

jT

T jT

To o

p

s

pi

pp

( ) ( )ω1 11

2 12

11

2

= = =

+

(8.8)

Pour calculer le module d'un nombre complexe, on applique l'approximation maintenantbien connue qui consiste à prendre la plus grande des deux parties (complexe ou imaginaire).

11

22

= =G jT

KTT

op

si

p

( ) (8.9)

On met en évidence Ti, la seule grandeur encore inconnue.

T K Ti s p= 2 (8.10)

Le temps de réponse à 5 % peut être tiré du tableau 6.A1 .

t Trc

p≅ =4 2

4 2,

,ω (8.11)

On choisit encore l'exemple d'un système à régler (organe de commande compris) du 2e

ordre sans zéro. On choisit un régulateur PI dans l'intention de compenser par le zéro durégulateur le pôle principal du système à régler.

G sK

s T s TT T

ss

avec

( )( )( )

=+ +

>>1 11 2

1 2

(8.12)

G ss T

s TRn

i( ) =

+1 (8.13)

T Tn = 1 (8.14)

La constante d'intégration se calcule aussi selon la relation (8.10) et la fonction detransfert en boucle ouverte selon (8.7). Il ne faut pas se laisser tenter par le choix d'un PIDpermettant de compenser la deuxième constante de temps Tv = T2 dans le but d'obtenir unsystème stable quel que soit le gain 1/Ti. En effet, il existe certainement une constante de temps

Page 143: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–9 030514

plus petite que T2, qu'on a délibérément négligée dans l'élaboration du modèle mathématique,ou même que l'on ignore en raison d'une connaissance trop superficielle du système à régler.Celle-ci amènerait une instabilité du système asservi si on s'avisait d'augmenter par trop le gainen boucle ouverte. De plus, il ne faut pas oublier que des gains élevés peuvent conduire à unesaturation de la sortie du régulateur, ce qui rend caduc le raisonnement basé sur unfonctionnement linéaire.

Système Régulateur

PI

PID

s n i vs

1 p1 s p

s

1 2 p1 s p 2

G s T T TK

s T s TT K T

Ks T s T s T

T K T T

( )

( )( )

( )( )( )

=

+ +

+ + +

1 12 0

1 1 12

Fig. 8.13 Dimensionnement de régulateur: critère pour une réponse indicielle optimale.

Pour obtenir des réponses indicielles avec d'autres valeurs de dépassement, on procèdede même en lisant la 3e colonne (dépassement attendu) et la dernière colonne (rapport depulsation ωc/ω1) du tableau 6.A1.

Système Régulateur

PI

PID

s n i vs

1 p1

c

1s p

s

1 2 p1

c

1s p 2

G s T T TK

s T s TT K T

Ks T s T s T

T K T T

( )

( )( )

( )( )( )

=

+ +

+ + +

1 10

1 1 1

ωωωω

Fig. 8.14 Dimensionnement de régulateur: critère de Bode.

Si on demande une réponse sans dépassement, on calcule la constante d'intégration.

T K Ti s p= 4 (8.15)

Le temps de réponse à 5 % est alors plus élevé .

t Tr p≅ 9 (8.16)

Certains cas d'application, notamment en électronique de faible puissance ou lorsqu'onest sûr que la consigne ne varie pas par à-coup mais selon une fonction mathématiquementcontinue, on peut admettre des dépassements supérieurs à 5 %. On peut alors choisir uneréponse indicielle unipériodique qui a un dépassement de 17 %.

T K Ti s p= (8.17)

Le temps de réponse à 5 % plus élevé, même si le temps de montée est plus court.

t Tr p≅ 5 (8.18)

Page 144: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–10 030514

En résumé, la procédure pour le critère de Bode est la suivante, sur un système à réglerdécrit par une fonction de transfert rationnelle, dont tous les pôles et zéros sont à partie réellenégative:• On compense la ou les constante(s) de temps dominante(s) (pôle(s) dominant(s)) par la ou

les constante(s) de temps du régulateur (zéro(s)).• On ne compense jamais la plus petite des constantes de temps connues.• On multiplie le produit du gain statique et de la petite constante de temps par le rapport des

pulsations lu sur le tableau 6.A1 en regard du dépassement souhaité.

8.3.2 Zéros ou pôles supplémentairesPour bien des cas, le système à régler n'a pas l'allure de ceux du tableau 8.14, mais une

forme plus compliquée. On décrira ici à quelles conditions un système peut se ramener parapproximation à l'un de ceux du tableau 8.14. On observera trois cas:• présence de zéros (degré du numérateur supérieur ou égal à 1)• présence de plusieurs petites constantes de temps• présence de plus de deux constantes de temps considérées comme dominantes.

Prenons comme exemple un système qui admet un zéro:

G sK s T

s T s T s TT T T

zs

s

avec

( )( )

( )( )( )=

++ + +

≥ >>

11 1 11 2 3

1 2 3

(8.19)

Trois cas sont à considérer:• Tz < T3/4 On peut alors approximer (1 + s Tz) par 1, car l'influence du zéro est faible pour

les pulsation qui intéresse le réglage.• Tz > 8 T3 On peut simplifier le zéro avec le pôle le plus proche (correspondant par

exemple à T2), en se souvenant que le dimensionnement de Bode a lieu pour une pulsationlégèrement inférieure ou égale à 1/T3. On obtient une approximation de la fonction detransfert qui nous renvoie au tableau 8.14.Il faut toutefois souligner que la compensationimparfaite de Tz par T2 va influencer le comportement dynamique dans le sens d'unamortissement ou d'une suroscillation selon qu'une brève pente nulle ou une brève pente de –2 sera insérée dans la pente de –1.

G sK T Ts T s T

zs

s( )/

( )( )=

+ +2

1 31 1 (8.20)

• Tz voisine de T3 Il faut alors utiliser une approche plus fine portant sur le module et la phase

plutôt que sur le module et sa pente, par exemple le critère de Nyquist (§ 8.3.6).

Si la fonction de transfert d'ordre n admet plusieurs petites constantes de temps, ondimensionne le régulateur par rapport à une petite constante de temps équivalente.

T Tk

n

p k==�

3 (8.21)

Page 145: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–11 030514

On se souvient que le rapport de pulsation est lié à la marge de phase, c'est pourquoi ona représenté la valeur de la phase de m petites constantes de temps et de l'approximation (8.20)qui n'est autre que le développement limité d'ordre 1 du polynôme d'ordre m.

Fig. 8.15 Phase provoquée par des petites constantes de temps et son approximation par une fonction du premier ordre.

On constate en effet, pour les pulsations inférieures à 0,5/Tk, que les écarts de phaseentre la fonction et son approximation sont minimes; celle-ci est donc valide.

Avec (8.21), on constate qu'on aurait pu choisir un PI plutôt qu'un PID pour régler lesystème (8.3) en garantissant aussi un dépassement de 5 %. Le temps de réponse aurait alors étéplus long.

t T T T Tr p 2 3 3au lieu de≅ = +4 2 4 2 4 2, , ( ) , (8.22)

Prenons un exemple d'une fonction dont les constantes de temps sont dans un rapport de10, qu'on règle avec un PI ou un PID pour une réponse indicielle optimale.

G ss s ss ( )

( , )( , )( , )=

+ + +1

1 0 1 1 0 01 1 0 001 (8.23)

Si on choisit un régulateur PID, on obtient un temps de réponse de 4,2 [ms] alorsqu'avec un PI, on devra se contenter de 46,2 [ms]. Si le cahier des charges permet un temps deréponse assez long par rapport au système à régler, il vaut mieux se contenter d'un PI pourrépondre de justesse au cahier des charges plutôt que de vouloir être beaucoup plus rapide. Eneffet, la composante dérivée a tendance à amplifier le bruit, qui peut être présent sur le signalmesuré, ce qui a des conséquences néfastes sur la qualité du réglage. On a représenté lesréponses harmoniques pour ces deux cas.

Tk

m = 4

Tk

G ss T m m( )

( / )=

+1

1 k

Tk

m = 1

m = 2

m = 3

Tk

0,5

Page 146: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–12 030514

Fig. 8.16 Réponses harmoniques pour un système réglé soit par PI soit par PID.

Si la fonction de transfert admet plus de deux constantes de temps dominantes, laméthode la plus sûre est le réglage cascade.

Fig. 8.17 Système asservi par réglage cascade.

Le système peut être décomposé en deux sous-systèmes: la grandeur physique de sortiedu premier constitue l'entrée du second.

G s G s G ss s1 s2( ) ( ) ( )= (8.24)

On commence par dimensionner le régulateur pour la boucle la plus intérieure pourgarantir le comportement dynamique de la sortie du premier sous-système.

10–2

10–1

101

102

103

10–4

100

10–3

104103102101

Go(pi)(jω)

Go(pid)(jω)

Gs(jω)

GPI(jω)

GPID(jω)

100

w=w1S1

v

y1 = yy2=u1ucm2+

–R1

F

S2R2ucm1=w2 +

F2

Page 147: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–13 030514

On calcule le système à régler pour le régulateur suivant, G's1: mise en série du premiersystème asservi (dont on ne prend habituellement que le développement limité d'ordre 1) et dudeuxième sous-système.

G sG s G s

G s G sf2R2 s2

R2 s2( )

( ) ( )( ) ( )

=+1

(8.25)

G s G s G s' ( ) ( ) ( )s1 f2 s1= (8.26)

Pour terminer, on dimensionne le régulateur suivant pour garantir le comportementdynamique de la sortie y.

On peut aussi se contenter de ne compenser que les deux plus grandes constantes detemps par un PID. On obtient alors un temps de réponse relativement long selon la mêmeréflexion que la comparaison entre PI et PID autour de la relation (8.22).

t T T Tr p 3 4≅ = + +4 2 4 2, , ( ...) (8.27)

On peut aussi insérer un correcteur avance de phase entre la sortie du régulateur PID etl'entrée du signal de commande.

G ss Ts TAP

d

f( ) =

++

11

(8.28)

On utilise Td pour compenser la troisième constante de temps du système à régler et onchoisit Tf dans le même ordre de grandeur que les petites constantes de temps du système àrégler, selon le temps de réponse requis. Ce n'est qu'ensuite qu'on dimensionne la constanted'intégration Ti du régulateur PID, en fonction du dépassement requis à l'aide du tableau 6.A1.

Fig. 8.18 Système à régler du 4e ordre et son régulateur PID suivi de AP: réponses harmonique.

G s G s G sR PID AP( ) ( ) ( )= (8.29)

ω14 f

=+

12 ( )T T

log|G(jω)|

logω

|GPIDGs(jω)|

|GAP(jω)|

|Go(jω)|

1 1T Td 3

=1

T4

1Tf

KT T

s

i 3

Page 148: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–14 030514

8.3.3 Petit retard purL'électronique de puissance (hacheur, convertisseur de courant,...) introduit souvent un

petit retard pur qui se traduit par une exponentielle dans la fonction de transfert. Cette fonctionn'étant pas rationnelle, on ne peut pas appliquer le critère de Bode. Si le retard pur est nettementplus petit que les constantes dominantes du système à régler, on contourne la difficulté enapproximant la fonction exponentielle par son développement limité d'ordre 1.

ee s T

s Ts T

− = ≅+

rr r

1 11

(8.30)

La fonction de transfert étant devenue rationnelle, on peut légitimement y appliquer lecritère de Bode. L'approximation est excellente pour les pulsations inférieures à ω = 1 /2 Tr.

Fig. 8.19 Phase provoquée par un petit retard pur et son approximation par une fonction du premier ordre.

L'approximation du retard pur peut ensuite se combiner avec d'autres constantes detemps pour obtenir une petite constante de temps équivalente selon la relation (8.21).

Si l'ordre de grandeur du retard pur est trop proche de celui des constantes dominantes,cette approximation ne convient pas. Il faut alors utiliser une approche n'imposant pas unefonction rationnelle portant sur le module et la phase plutôt que sur le module et sa pente, parexemple le critère de Nyquist (§ 8.3.6).

Tr Tr Tr

e s T− r

11 + s Tr

2 Tr

1

Page 149: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 8–15 030514

8.3.4 Système à régler avec comportement intégral.On trouve fréquemment dans les réglages industriels des systèmes à comportement

intégral. Les règles des paragraphes précédents ne s'y appliquent pas de manière immédiate.Pour conduire la réflexion, on étudie un système intégral simplifié à l'extrême: une cellule dupremier ordre suivie d'une intégration. La perturbation intervient entre les deux blocs.

G ss Tcm

p( ) =

+1

1 (8.31)

G ss Ts1

1( ) =

1 (8.32)

G s G s G ss T s Ts cm s1

p( ) ( ) ( )

( )= =

+1

11 (8.33)

G s G s G so R s( ) ( ) ( )= (8.34)

Fig. 8.20 Système asservi à comportement intégral.

On est tenté de se contenter d'un simple régulateur P pour lequel on ajuste le gain Kpafin de garantir une réponse harmonique en boucle ouverte dont le module vaille 1 pour lapulsation 1/2Tp. Pour une variation de consigne, on garantit le bon comportement dynamique etun écart statique nul grâce à la présence d'une intégration dans le système à régler. En revanche,dès qu'une perturbation apparaît, le régulateur ne parvient plus à rattraper l'écart de réglage.Pour étudier le comportement dynamique, il faut calculer les fonctions de transfert en bouclefermée par rapport à la consigne (indice c) et par rapport à la perturbation (indice p).

G sG s

G scfo

o( )

( )( )

=+1

(8.35)

G sG s

G spfs1

o( )

( )( )

=+1

(8.36)

Si on veut corriger l'erreur due à une perturbation, on a besoin d'une composanteintégrale au régulateur: on choisit un PI.

G ss T

s T s T s Ton

i 1 p( )

( )=

++

11

(8.37)

On choisit une valeur de Tn plus grande que Tp, de manière à garantir un tronçon depente –1 sur la réponse harmonique en boucle ouverte.

OCMw

S1

v

yuucm+

–R

F

++

Page 150: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–16 030514

Fig. 8.21 Système à régler à comportement intégral avec PI: réponse harmonique en boucle ouverte.

Pour un dépassement optimal, on choisit ω1 = 0,5 ωc = 1/(2 Tp).

12 T

TT Tp

n

i 1= (8.38)

On ne peut pas en tirer la valeur de Ti, mais seulement le rapport Ti/Tn .

TT

TT

i

n

p

1=

2 (8.39)

Si on exprime Ti à l'aide de (8.39) et qu'on l'introduit dans (8.37), on obtient uneexpression dépendante de Tn.

G ss T

s T s T s Ton

p n p( )

( )=

++

12 1

(8.40)

On étudie les réponse harmoniques en fonction de la valeur de Tn rapportée à Tp: pourdes rapports de 4, 30 et 150. Pour faciliter le calcul des réponse harmoniques en boucle fermée,on approxime le module d'une somme au plus grand des deux termes, par analogie au calcul dumodule d'un nombre complexe.

On constate que pour la réponse harmonique en boucle fermée par rapport à la con-signe, le choix de Tn n'a pas d'influence: on a un gain de 1 jusqu'à la pulsation 1/2 Tp, du moinsavec les approximations utilisées. On peut déduire que le choix de Tn n'a pas d'influence sur lacomportement dynamique.

On constate que pour la réponse harmonique en boucle fermée par rapport à laperturbation, le choix de Tn a une influence sur la gain à basse fréquence: plus la valeur estpetite, plus le gain est faible. On peut déduire que le choix d'une faible valeur de Tn permettraune meilleure atténuation de l'effet de la perturbation en régime établi, et que l'effet sera plusrapidement corrigé. Les essais en simulation (fig. 8.24) le confirment de manière explicite.

ω1n

i 1=

TT T

log|G(jω)|

logω

|Go(jω)|

1Tn

ωcp

=1

T

Page 151: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–17 030514

Fig. 8.22 Système à régler à comportement intégral avec PI: réponses harmoniques en boucle ouverte.

Fig. 8.23 Système à régler à comportement intégral avec PI: réponses harmoniques en boucle fermée pour la consigne et la perturbation.

Tn/Tp= 1: 4 2: 30 3: 150

Fig. 8.24 Système à régler intégral avec PI: réponse indicielle en boucle fermée pour la perturbation.

ω1n

i 1=

TT T

log|G(jω)|

log|G(jω)|

logω

logω

|Go(jω)|

|Gcf(jω)|

1 1150T Tn p

=

ωcp

=1

T

ωcp

=1

T

1 14T Tn p

=

1 130T Tn p

=

|Gs1(jω)|

11 + Go (j )ω

|Gpf(jω)|

tTp

1

23

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Jean-Marc Allenbach 8–18 030514

Tn/Tp= 1: 4 2: 30 3: 150 sans filtre de consigneTn/Tp= 4: 4 avec filtre de consigne à Tlc =1,1 Tn

Fig. 8.25 Système à régler intégral avec PI: réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

La réponse indicielle pour la consigne réserve des surprises: pour une valeur élevée deTn, le comportement correspond à notre attente, un dépassement voisin de 5 % et un temps deréponse proche de 4,2 Tp (7 Tp si on considère que le dépassement est légèrement supérieur à 5%). Pour Tn = 4Tp, le dépassement est supérieur à 40 % et le temps de réponse est voisin de 15Tp. Si on se reporte à la figure 8.22, on s'aperçoit que les hypothèses du critère de Bode sontloin d'être réunies: la pente de –1 ne s'étend pas jusqu'à –∞ à gauche de la pulsation ωc, maisune zone de pente –2 en est toute proche, qui influence le comportement par une suroscillation.

Si on sait que la consigne ne varie pas rapidement, on peut garder ce dimension-nement,sinon, on remédie à ce problème en plaçant un filtre de lissage sur la consigne.

G ss T

T Tlclc

lc n avec ( ) =+

≅1

1 (8.41)

Fig. 8.26 Système asservi à comportement intégral avec filtre de lissage sur la consigne.

tTp

1

2

34

OCMw

S1

v

yuucm+

–R

F

++

LCw'

Page 153: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–19 040224

On vérifie le résultat sur la courbe 4 de la figure 8.25, le temps de réponse est voisin de 8 Tp. En raisonnant sur la fonction de transfert en boucle fermée, à partir de (8.35), on remarque qu'on ne peut pas assimiler le système sans filtre de lissage à un système fondamental du 2e ordre.

G s

s T

s T T sTs T

s T T sT

s T

s T s T T s T Tcf

n

n p p

n

n p p

n

n n p n p( )

( )

( )

=

+

+

++

+

=+

+ + +

1

2 1

11

2 1

1

1 2 2

2

22 3 2 (8.42)

La présence du zéro en –1/Tn provoque la suroscillation constatée sur la courbe 1. Avec

le filtre de consigne (8.41), le zéro est compensé et la suroscillation est atténuée. L'hypothèse du système fondamental du 2e ordre est cette fois vérifiée.

G ss T s T T s T T s T s T Tcf

n n p n p n n p( ) =

+ + +≅

+ +

11 2 2

11 22 3 2 2 (8.43)

On peut étendre ce dimensionnement à des systèmes à régler dont la constante de temps dominante T1 est vraiment grande par rapport à la dynamique souhaitée du système asservi. On peut alors considérer qu'il s'agit d'un comportement intégral qui n'est absent qu'aux très basses pulsations.

Fig. 8.27 Dimensionnement de régulateur: critère de Bode pour comportement intégral. 8.3.5 Méthode de Nyquist

Très proche de celle de Bode, cette méthode n'impose pas pour le système à régler une fonction rationnelle. En compensant exactement les pôles du système à régler (liés aux constantes de temps dominantes de son dénominateur) par les zéros du régulateur (liés aux constantes de temps de son numérateur) on se ramène à un système en boucle ouverte du 2e ordre de type intégral (8.7) dont seul le gain Ks/Ti n'est pas déterminé. De là, on fait tracer la réponse harmonique en boucle ouverte pour une valeur arbitraire de Ti, seule grandeur inconnue à ce moment (fig. 8.28).

On mesure alors le module pour le point de cette fonction dont la phase est définie par l'avant-dernière colonne à gauche du tableau 6.A1. Il ne reste qu'à multiplier la valeur arbitraire Ti par ce module pour obtenir la valeur nécessaire Ti.

212

pspp21

s

22

pspp2

s

12

pspp1

s

2psp

p

svins

/84PID)1)(1)(1(

84PID)1)(1(

0/84PI)1)(1(

084PI)1(

Régulateur)( Système

TTTKTTsTsTs

K

TTKTTsTss

K

TTKTTsTs

K

TKTTss

KTTTsG

+++

++

++

+

=

Page 154: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–20 030514

Fig. 8.28 Système à régler du 3e ordre et son régulateur: réponse harmonique.

8.3.6 Retour non unitéLa fonction de transfert de l'organe de mesure ne peut pas toujours être négligée. Elle

peut par exemple introduire un retard du premier ordre.

Fig. 8.29 Système asservi avec mesure filtrée.

Dans ce cas-là, si on applique les règles habituelles du critère de Bode (§ 8.3.1), ongarantit le comportement dynamique de ym et non celui de y. On modifie le schéma pour faireapparaître un retour unité.

Fig. 8.30 Système asservi avec mesure filtrée: schéma équivalent.

OCM

OCM

ϕm

G jo ( )ω

w

w

S

S

v

y

y

u

u

ucm

ucm

+

+

R

R

F

11 + s Tmes

11 + s Tmes

ym

ym

y

F

11

+ s Tmesym

v

Page 155: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–21 030514

On exprime la fonction de transfert en boucle fermée de la figure 8.30.

G sG s

G ss Tcf

o

omes( )

( )( )

( )=+

+1

1 (8.44)

G s G s G s G s G s G sTo R cm s mes mes

mes avec =

11 + s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= (8.45)

On constate qu'il apparaît un zéro –1/Tmes, ce qui va provoquer une suroscillation sur laréponse indicielle de y comme on l'a vu au paragraphe 8.3.4. En filtrant la grandeur de consigneavec un filtre de même fonction de transfert que l'organe de mesure, on compense le zéro et onretrouve le réglage correct de la grandeur physique réelle plutôt que celui de sa mesure. Il est ànoter que la fonction de transfert pour la perturbation n'est pas affectée par le retour unité ounon unité (8.36).

Fig. 8.31 Système asservi avec mesure filtrée et correction de la consigne.

8.3.7 ExemplesLa fonction de transfert d'un système est donnée, on demande de l'asservir par un

régulateur de manière à obtenir une réponse indicielle optimale en un temps de réponsemaximal de 420 [ms].

G ss

s s s ss ( )( , )

( , )( , )( , )( , )=

++ + + +

3 1 0 33331 0 5 1 0 4 1 0 2 1 0 1

(8.46)

On simplifie le zéro du système à régler par son pôle le plus proche (§8.3.2).

G ss s ss ( )

,( , )( , )( , )

≅+ + +

2 51 0 5 1 0 2 1 0 1

(8.47)

On compense les constantes de temps dominantes (0,5 et 0,2 [s]) par celles du régulateuren on calcule la constante d'intégration selon la relation (8.10) en prenant 0,1 [s] comme petiteconstante de temps. La fonction de transfert du régulateur est ainsi déterminée.

OCMw

S

v

yuucm+

–R

F

11 + s Tmes

ym

11 + s Tmes

w'

Page 156: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–22 030514

G ss s

sR ( )( , )( , )

,=

+ +1 0 5 1 0 20 5

(8.48)

On peut prévoir un temps de réponse de 4,2 Tp = 420 [ms]. Il ne reste plus qu'à vérifierle comportement en simulation (fig. 8.31). On voit immédiatement que le dépassement est unpeu plus élevé que les 5 % requis, ce qui allonge notablement le temps de réponse, le portant àplus de 800 [ms]. Ceci est dû à l'approximation qu'on à faite en simplifiant un zéro par le pôleproche. En réalité, le zéro est bien présent. L'influence se fait d'autant plus ressentir sur lecomportement dynamique que les deux pulsations correspondantes sont voisine de la pulsationde dimensionnement ω1 (1/0,2[rad/s]). Si le pôle et le zéro qui se compensent partiellementétaient éloignés d'un facteur supérieur à 10 au lieu d'être inférieur à 2, l'inexactitude de lacompensation n'aurait quasiment pas d'influence. Pour ce système, il suffit de choisir uneconstante d'intégration un peu plus élevée – par exemple 0,8 [s] pour que le dépassement soitinférieur à 5 % et le temps de réponse considérablement raccourci.

Fig. 8.32 Système à régler (8.46) avec PID (8.48): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

Pour la méthode de Nyquist, on fait tracer la réponse harmonique en boucle ouvertepour Ti = 1[s] (fig. 8.33). Pour 5 % de dépassement, le tableau 6.A1 nous indique une marge dephase de 63,5°, on recherche donc sur la courbe le point de phase – 116,5°.

On lit un module de 0,6221, on en calcule Ti = 0,62 [s]. La fonction de transfert durégulateur est ainsi déterminée.

G ss s

sR ( )( , )( , )

,=

+ +1 0 5 1 0 20 62

(8.49)

grandeur réglée

consigne

sortie du régulateur

Page 157: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–23 030514

Fig. 8.33 Système à régler (8.46) avec PID: réponse harmonique en boucle ouverte.

Fig. 8.34 Système à régler (8.46) avec PID (8.49): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne.

Pour le dimensionnement par Nyquist, on peut constater un dépassement un peu plusfaible et un temps de réponse un peu plus long que par Bode, mais l'allure générale est voisine.

grandeur réglée

consigne

sortie du régulateur

Page 158: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–24 030514

8.3.8 Considérations globalesDans toute cette section, on suppose que le fonctionnement reste linéaire. Avec les gains

élevés et la composante dérivée, il arrive fréquemment que la sortie ucm du régulateur soitsaturée pendant un moment. Si tel est le cas, tous les raisonnements tenus jusqu'ici sur le tempsde réponse et le dépassement perdent une partie de leur validité. Les indications du tableau6.A1 ne trouvent plus les hypothèses qui ont permis leur établissement. A titre d'exemple, on aappliqué une limitation de ±10 [V] à la sortie du régulateur (8.48) pour obtenir la réponseindicielle donnée à la figure 8.35. On constate que le dépassement est dans ce cas plus élevéque si la sortie peut prendre transitoirement des valeurs très élevées. Il est difficile de prévoird'avance si la limitation va rendre le système plus oscillatoire ou plus mou.

Fig. 8.35 Système à régler (8.46) avec PID (8.48): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne aveclimitation de la sortie du régulateur (±10 [V]).

grandeur réglée

consigne

sortie du régulateur

Page 159: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–25 020709

8.4 CRITÈRES SUR LES PÔLES 8.4.1 Déformation du lieu

Connaissant le lieu de pôles et des zéros d'un système en boucle ouverte, on peut calculer le lieu des pôles en boucle fermée en faisant varier le gain k0 en boucle ouverte. On utilise volontiers un calcul numérique par ordinateur pour obtenir ce tracé, mais on peut avoir recours à une méthode manuelle de tracé (section 5.5). L'emplacement des pôles du système en boucle fermée détermine le comportement dynamique de celui-ci (section 6.6).

On peut modéliser le système à régler par une fonction de transfert exprimée sous la forme d'Evans.

G s k

s z

s p

j

m

i

ns s

j

i

( )

( )

( )=

=

=

1

1

(8.50)

La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit de celle du système et de celle

du régulateur. Le facteur d'Evans k0 en boucle ouverte est déduit de celui du système à régler et du facteur d'Evans kR du régulateur..

G s G s G s kN sD s0 0

0

0( ) ( ) ( )

( )( )

= =R s (8.51)

k k k0 = R s (8.52) On déduit les pôles en boucle fermée à partir de la fonction en boucle ouverte.

G sk N s

k N s D scf ( )( )

( ) ( )=

+0 0

0 0 0 (8.53)

Au chapitre 7, on a fait l'inventaire des régulateurs. On se propose ici de les décrire en

termes de «pôles et zéros» en observant la déformation qu'ils induisent sur le lieu de pôles en boucle fermée par rapport à celui du système à régler.

Un régulateur P est caractérisé par une fonction de transfert sans pôle ni zéro, il ne fait

que corriger le gain en boucle ouverte comme facteur du gain du système à régler. G s KP p( ) = (8.54) k KR p= (8.55) Un régulateur PI introduit un pôle (à l'origine) et un zéro, et corrige le gain.

G ss T

s Tk

s zsPI

n

iR

n( )=+

=−−

10

(8.56)

kTT

zT

pRn

in

nR= = − =

10 (8.57)

Page 160: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–26 020709

Un régulateur PID introduit un pôle (à l'origine) et deux zéros, et corrige le gain.

G ss T s T

sTk

s z s zsPID

n v

iR

n v( )( )( ) ( )( )

=+ +

=− −

−1 1

0 (8.58)

kT T

Tz

Tz

TpR

n v

in

nv

vR= = − = − =

1 10 (8.59)

Un régulateur PD introduit un zéro et corrige le gain. G s K s T k s zPD P D R D( ) ( ) ( )= + = −1 (8.60)

k K T zTR P v D

D= = −

1 (8.61)

Un régulateur AP ou RP introduit un pôle et un zéro, et corrige le gain.

G s Ks Ts T

ks zs pAP P

D

FR

D

R( ) =

++

=−−

11

(8.62)

kTT

zT

pTR

n

iD

DR

F= = − = −

1 1 (8.63)

Les régulateurs classiques introduisent donc un ou deux zéros, et peuvent également

introduire un pôle, souvent à l'origine. Il est judicieux de bien percevoir ici comment l'adjonction d'un pôle ou un zéro en boucle ouverte – dus à la mise en place d'un régulateur – influence l'allure du lieu des pôles en boucle fermée. Pour cela, on utilisera les cartes des pôles en boucle fermée obtenus par calcul numérique plutôt qu'une démonstration mathématique ardue. On part à chaque fois du système à régler pour lequel seul le gain varie (a) auquel on ajoute un zéro en différents emplacement (Fig. 8.37 b à d) ou auquel on ajoute successivement un nouveau pôle (Fig. 8.36 b à c).

Fig 8.36 Influence de l'adjonction de pôles sur le lieu des pôles en boucle fermée.

Plus on ajoute de pôles, plus le lieu des pôles est déplacé sur la droite. Un pôle supplé-mentaire a donc tendance à déstabiliser le système en boucle fermée. On a vu que l'exigence d'écart statique nul impose un système à comportement intégral en boucle ouverte. Ceci conduit le plus souvent au choix d'un régulateur avec composante intégrale qui introduit un pôle à l'origine, ce qui a donc tendance à déstabiliser le système ainsi qu'on vient de le voir.

Re Re

Im

p1

a

Im

p1 p2

b

Im

Re p1 p2 p3

c

Page 161: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 8–27 020709

Fig 8.37 Influence de l'adjonction d'un zéro sur le lieu des pôles en boucle fermée. Plus le zéro supplémentaire est placé proche de l'origine, plus le lieu des pôles est déplacé sur la gauche. Un zéro supplémentaire a donc tendance à stabiliser le système en boucle fermée. 8.4.2 Hypothèses de calcul

On a pu déterminer la relation qui existe entre l'emplacement des pôles et le comportement dynamique d'un système fondamental du deuxième ordre (§ 4.5.2). Le cahier des charges pour le comportement dynamique du système réglé est souvent exprimé en terme de dépassement maximal D1max sur la réponse indicielle et de temps de réponse maximal trmax. On en déduit les valeurs limites ρ et Ψ du contour d'Evans qui bornent la portion du plan dans laquelle tous les pôles doivent se trouver.

ρ ≅3

tr max (8.64)

Ψ =−

arctan(ln( )

)maxD1π

(8.65)

Le tableau 6A donne des valeurs plus précises de ρ et donne celles de Ψ pour quelques

valeurs typiques de D1max. La méthode de dimensionnement décrite au paragraphe suivant est basée sur l'hypothèse que le système en boucle fermée obtenu peut être approximé par un système fondamental du deuxième ordre, dont on impose le pôle pf1 (et son conjugué pf2). Les autres pôles et les zéros sont donc considérés comme négligeables.

Im

Re p1 p2 p3

a

Re

Im

p1 p2 p3

b

z1

Im

p1 p2 p3

b

z1

Im

p1 p2

c

z1 p3

Im

p1 p2

d

z1 p3

Page 162: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 8–28 020709

Fig 8.38 Placement d'un pôle dominant en boucle fermée.

Après calculs et essais, l'expérience montre que – si les pôles pf1 et pf2 font en effet partie des pôles en boucle fermée – l'hypothèse de départ n'est pas vérifiée dans tous les cas. On peut avoir d'autre pôles ou des zéros qui ne sont pas négligeables par rapport à ceux qu'on a choisis. Cependant, on continue à appliquer cette méthode car la relation mathématique entre le comportement dynamique du système est la place de ses n pôles et m zéros est trop lourde à manier. 8.4.3 Méthode de calcul Si le cahier des charges impose un écart statique nul, on doit garantir une composante intégrale pour la fonction de transfert en boucle ouverte (§ 7.3.2). On choisira donc un régulateur qui contient un pôle à l'origine pR = 0. La méthode de dimensionnement se décompose comme suit: 1. On écrit la fonction de transfert du système à régler sous la forme factorisée d'Evans, ce qui

met en évidence le facteur d'Evans ks, les pôles et les zéros. 2. On place dans le plan complexe les pôles et les zéros du système à régler et – s'il y a lieu –

le pôle à l'origine dû au régulateur. 3. On place un pôle dominant du système en boucle fermée pf1 à l'aide de ρ et Ψ. 4. On applique la condition des angles (5.32) pour déterminer les zéros du régulateur. On

rappelle que αj est l'angle que forme avec l'horizontale le vecteur qui relie pf1 à un zéro en boucle ouverte et βi l'angle que forme avec l'horizontale le vecteur qui relie pf1 à un pôle en boucle ouverte. A priori, pour un régulateur à composante intégrale, on choisit un PID.

α α β β αn v R i j+ = °+ + −==∑∑180

11 j

m

i

n (8.66)

–ρ

pf1

ψ

Im

Re

Page 163: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 8–29 020709

On rappelle qu'il s'agit d'une somme modulo 360°. S'il n'y a pas de zéros, αj = 0.Une des deux valeurs d'angle devra être choisie arbitrairement. Si la somme est petite – inférieure à Ψ + 90° – on peut choisir αv = 0 et le PID se réduit à un PI. A priori, pour un régulateur sans composante intégrale, on choisit un PD, les AP sont réservé à des cas particuliers.

α β αD i j= °+ −==∑∑180

11 j

m

i

n (8.67)

5. Les intersections entre l'axe réel et les droites passant par pf1 et d'angle αn, αv ou αj définissent les zéros zn, zv ou zD. On déduit les constantes de temps de (8.59) ou (8.61).

6. On calcule le facteur d'Evans en boucle ouverte k0 par la condition des modules (5.31).

kp p p

p z p z p z0 =

− − −

f1 f1 ii=1

n

f1 n f1 v f1 jj=1

m pour un PID (8.68)

k

p p

p z p z0 =

− −

f1 ii=1

n

f1 D f1 jj=1

m pour un PD (8.69)

En l'absence de zéro au système à régler, |pf1 – zj| = 1. 7. On termine la séquence en calculant la constante d'intégration ou le gain du régulateur.

T T Tkki n v

s pour un PID=0

(8.70)

Kk

T kP0

D spour un PD= (8.71)

8.4.4 Exemples

On connaît un premier système à régler par sa fonction de transfert.

G ss

s s s ss ( )( , )

( , )( , )( , )( , )=

++ + + +

3 1 0 33331 0 5 1 0 4 1 0 2 1 0 1

(8.72)

On demande de l'asservir par un régulateur de manière à obtenir une réponse indicielle

optimale en un temps de réponse maximal de 420 [ms], sans écart statique. On applique à cet exemple la séquence décrite au paragraphe précédent.

1. Forme d'Evans: G ss

s s s ss ( )( )

( )( , )( )( )=

++ + + +

250 32 2 5 5 10

(8.73)

facteur d' Evans s zéros poles: :k z p p p p= = − = − = − = − = −250 3 2 2 5 5 101 1 1 1 1: ; , ; ; (8.74) 2. On place les pôles et les zéros du système à régler, plus le pôle du régulateur à l'origine sur

la figure 8.39.

Page 164: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

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Jean-Marc Allenbach 8–30 020709

3. ψπ

=−

= °arctan(ln( , )

)0 043

45 (8.75)

ρ = =3

0 4207

, (8.76)

On a le pôles dominant: p jf1 = − ±7 7 (8.77) 4. α αn v+ = °+ °+ °+ °+ °+ °− ° = °180 135 126 123 105 67 120 256 (8.78)

On choisit arbitrairement αv pour compenser le pôles dominant: αv = °126 (8.79) On déduit αn : αn = °130 (8.80)

βR

β1

β2

β3

β4

αn

= αv

ψ

ρ p1

p2

p3

p4

pR

z1

zn

= zv

pf1

Fig. 8.39 Lieu des pôles et dimensionnement du régulateur pour le système (8.72). z zv net= − = −2 11, (8.81) T Tv net= =0 5 0 909, , (8.82)

6. k09 9 8 5 8 3 7 3 7 6

8 5 9 18 1618= =

, , , , ,, , ,

, (8.83)

7. Ti = =0 5 0 909250618

182, ,,

, (8.84)

On en déduit la fonction de transfert du régulateur.

G ss s

sR ( )( , )( , )

,=

+ +1 0 9 1 0 5182

(8.85)

5.

Page 165: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–31 020709

On peut comparer avec les régulateurs obtenus pour le même cahier des charges par les méthodes de Bode (8.48) et Nyquist (8.49). On vérifie le comportement dynamique obtenu en simulation.

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

consigne

grandeur ré glé e

sortie du ré gulateur

Fig. 8.40 Système à régler (8.72) avec PID (8.85): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne. On observe une réponse indicielle fort différente de celle attendue: pas de dépassement et temps de réponse environ de 2,8 [s]. Pour essayer de comprendre ce qui se passe, on fait calculer par MATLAB tous les pôles en boucle fermée du système asservi, pour K0 = 1.

-10 -8 -6 -4 -2 0

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Diagramme de Evans: Go(s)= Ko --------------------------------------------------------------------3*(1+0.333*s)*(1+0.5*s)*(1+0.9*s)

1.82*s*(1+0.5*s)*(1+0.4*s)*(1+0.2*s)*(1+0.1*s)o zé ros

+ pô les en b.f.x pô les en b.o.

Fig. 8.41 Système à régler (8.72) avec PID (8.85): lieu de pôles en boucle ouverte et fermée.

Page 166: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–32 020709

On vérifie que le calcul manuel est juste: on a bien une paire de pôles en –7 ± 7j, mais il y en a d'autres: deux pôles en –2 et –3 sont superposés à des zéros qui annulent leur effet et le cinquième pôle est en –0,8, très mal compensé par le zéro en –1,1. Le cinquième pôle est le plus proche de l'origine: c'est en fait le pôle dominant qui à lui seul induirait un temps de réponse de 3,8 [s], mais la présence du zéro en –1,1 et dans une moindre mesure celle des pôles complexes limite le temps de réponse à 2,8 [s]. L'hypothèse d'un système asservi assimilable à un deuxième ordre défini par les pôles choisi en (8.77) n'est donc ici pas vérifiée! Dans cet exemple précis, les dimensionnements pour le même système et le même cahier des charges par Bode (fig. 8.32) ou par Nyquist (fig. 8.34) donnent des résultats plus proches de ce qu'on attend. Plutôt qu'un calcul manuel et géométrique, on peut faire exécuter les calculs par un calculateur numérique, par exemple sous MATLAB. Le logiciel interactif ReguPole a été développé à cette fin au Laboratoire d'Automatique de l'eig.. On l'utilise pour le même dimensionnement:

Fig. 8.42 Système à régler (8.72) : entrée des données et du cahier des charges. On doit ensuite choisir la structure du réglage, simple (dans notre cas) ou en cascade et spécifier le type de régulateur choisi. Le régulateur est ensuite calculé de manière numérique selon les mêmes équations, et les angles et modules des vecteurs sont aussi déterminés numériquement. Le résultat est donner, en laissant à l'utilisateur le loisir de modifier le choix arbitraire de zv.

Page 167: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–33 020709

Fig. 8.43 Lieu des pôles et dimensionnement numérique du régulateur pour le système (8.72). On peut ensuite vérifier la réponse indicielle:

Fig. 8.44 Système à régler (8.72) avec PID (8.85): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne. On observe le même résultat qu'en calcul manuel. On peut corriger le résultat en modifiant légèrement les valeurs du cahier des charges: 0,5 au lieu de 0,42 [s].

Page 168: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–34 020709

Fig. 8.45 Système à régler (8.72) avec PID (8.85): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne après modification des données. Le cahier des charges est respecté. L'explication se trouve dans le lieu des pôles: les pôles en boucle fermée issus de pR et p2 sont suffisamment proches de z1 et zn pour être compensés. Le pôle en en boucle fermée pf1 est issu des pôles p3 et p4 en boucle ouverte.

Fig. 8.46 Lieu des pôles modifié et dimensionnement numérique du régulateur pour le système (8.72).

Page 169: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–35 020709

On en déduit la fonction de transfert du régulateur.

G ss s

sR ( )( , )( , )

,=

+ +1 0 275 1 0 50 6

(8.86)

Par rapport aux méthodes de Bode ou Nyquist, celle d'Evans peut paraître lourde. quoique facilement programmable, comme on vient de le constater. Contrairement aux autres méthodes, Evans n'impose pas que les système à régler soit stable pour pouvoir dimensionner un régulateur, on va donc traiter un exemple de système instable en boucle ouverte:

G ss s ss ( )

( )( )( , )=

− + +1

1 1 1 0 2 (8.87)

On demande un écart statique nul, un dépassement voisin de 4 % et un temps de réponse voisin de 4 [s].

On écrit la fonction de transfert sous forme d'Evans:

G ss s ss ( )

( )( )( )=

−− + +

51 1 5

(8.88)

On tire du cahier des charges les pôles dominants en boucle fermée:

ψπ

=−

= °arctan(ln( , )

)0 043

45 ρ = =24

0 5, p jf1 = − ±0 5 0 5, , (8.89)

β3 β2β1βR

p1

p3

pf1

zvz

n

p2

Fig. 8.47 Lieu des pôles et dimensionnement du régulateur pour le système (8.87).

On applique la condition des angles:

α αn v+ = °+ °+ °+ °+ °= °180 135 162 45 6 168 (8.90)

On choisit arbitrairement un des angles αv = 90° => αn = 78° . z zv net= − = −0 5 0 61, , (8.91)

T Tv net s= =2 1 63, [ ] (8.92)

k0157 0 710 71 4 53

0 5 0 5213 6= =

, , , ,, ,

, (8.93)

Ti =−

= −2 1 635

13 61 2,

,, (8.95)

Page 170: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires

Jean-Marc Allenbach 8–36 020709

On en déduit la fonction de transfert du régulateur.

G ss s

sR ( )( )( , )

,= −

+ +1 2 1 1 631 2

(8.96)

On peut vérifier le comportement dynamique du système asservi par le régulateur calculé en (8.96).

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Fig. 8.48 Système à régler (8.87) avec PID (8.95): réponse indicielle en boucle fermée pour la consigne. On observe une réponse indicielle qui certes donne un temps de réponse voisin de 4 secondes (4,5 [s]), mais le dépassement est 15 fois plus important que souhaité. Si on observe attentivement le lieu des pôles (fig. 8.47), on constate que les pôles en boucle fermée son bien en –0,5 ± 0,5 j. Mais les deux zéros en boucle ouverte sont aussi des zéros en boucle fermée en –0,5 et –0,6: tout près des pôles! Ici le raisonnement – et le dimensionnement qui en dépend – basé sur la seule étude des pôles dominants en approximant tout système à un système fondamental du 2e ordre est faux! Il faudra donc tenir compte de tous les pôles et des zéros, mais il n'existe plus de méthode rigoureuse, mais seulement une approche pragmatique qui implique un déplacement des pôles et zéros en essayant d'évaluer leur effet: il faut une certaine expérience.

Page 171: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Dimensionnements

Jean-Marc Allenbach 8–37 020913

8.5 CRITÈRES SUR LA RÉPONSE HARMONIQUE EN BOUCLEFERMÉE

8.5.1 Approche généraleIl s'agit – pour ce genre de dimensionnement – de spécifier la réponse harmonique en

boucle fermée. De là, on peut calculer la réponse harmonique en boucle ouverte corres-pondante. Connaissant la réponse harmonique du système à régler, on en déduit celle durégulateur.

8.5.2 Critère méplatAvec le critère méplat , on cherche à obtenir pour le système réglé la bande passante la

plus large possible en évitant que le facteur de résonance dépasse 1. Cette description estcertes peu précise et n'est que partiellement exprimable mathématiquement; on en tirecependant des performances intéressantes.

On prend l'exemple d'un système à régler d'ordre n.

G sK

s T s T s TT T T

ns

s

avec

( )( )( ) ( )

=+ + +

≥ >>1 1 11 2

1 2 3

� (8.97)

Pour atteindre l'objectif, on aligne la (ou les) pulsation(s) de coupure du régulateur(1/Tn, le cas échéant 1/Tv) sur la (ou les) pulsation(s) de coupure du système à régler (1/T1, lecas échéant 1/T2) . On choisit un régulateur à composante intégrale pour garantir un écartstatique nul. Le module de la réponse harmonique du système en boucle fermée se présentealors comme un long plat suivi d'un court tronçon de pente –1 et d'une section de pente –2.

Fig. 8.49 Réponse harmonique en boucle fermée pour la consigne.

On exprime les pulsations qui caractérisent la réponse harmonique en boucle fermée àpartir de la contante d'intégration Ti du régulateur, du gain statique Ks du système à régler etde ses constantes de temps non compensées ( 3 à n avec un PID ou 2 à n avec un PI).

ω ω1s

ic

pepe k avec= = =

=�

KT T

T Tk

n13

(8.98)

log|G(jω)| logω

|Gcf(jω)|

ωcω1

Page 172: VOLUME1 Asservissements linéaires classiques

Asservissements linéaires Dimensionnements

Jean-Marc Allenbach 8–38 020913

On exprime le facteur de résonance Qr d'après les relations (5.23) et (6.25).

Qrcavec= − =

12

112

2

1δδ δ

ωω

(8.99)

Sachant qu'on veut un facteur de résonance de 1, on tire le rapport de pulsation qu'ilfaut atteindre. de la relation (8.98), on tire la valeur de la constante d'intégration.

δωω

= � = � =2 2 2c

1i s peT K T (8.100)

On retrouve le même résultat que pour le critère de Bode optimal (§ 8.3.1).

Système Régulateur

PI

PID

s n i vs

1 p1 s p

s

1 2 p1 s p 2

G s T T TK

s T s TT K T

Ks T s T s T

T K T T

( )

( )( )

( )( )( )

=

+ +

+ + +

1 12 0

1 1 12

Fig. 8.50 Dimensionnement de régulateur: critère méplat.

C'est intéressant de constater que deux approches très différentes aboutissent au mêmedimensionnement de régulateur.

On déduit de la figure 8.49 qu'un signal de consigne dont le spectre est plus étroit queωc sera transmis sans atténuation à la grandeur réglée. Si le déphasage n'est pas explicite, larelation de Bode et Bayard (§ 6.5.1) permet en première approximation de déclarer que cemême signal ne subira pas de retard de phase. La forme du signal de consigne sera donc suiviesans déformation par la grandeur réglée. Si on tient compte d'une valeur plus exacte de laphase (figure 5.4), un signal de consigne dont le spectre est plus étroit que 0,5*ωc seratransmis sans déformation.

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8.A ANNEXE: CIRCUIT DE RÉGLAGE

Dans la conception d'un système automatisé, la première étape consiste à préciser demanière claire la structure de l'installation réglée, avec sa ou ses boucles de réglage et tousleurs composants. Pour ce faire, il est souvent utile de dessiner un schéma de principe qui meten évidence les composants du circuit de réglage et ses interconnexions. A ce stade, on préfèrereprésenter des blocs qui correspondent à des éléments fonctionnels des machines, avec leurssymboles habituels, plutôt que des blocs "fonction de transfert". Une fois que l'emplacementde chaque régulateur est bien défini, on peut calculer la fonction de transfert du système àrégler correspondant par combinaison des fonctions de transfert connues des éléments de laboucle. Ce n'est qu'ensuite qu'on peut aborder le dimensionnement du régulateur lui-même.On peut illustrer le propos par un exemple.

Fig. 8.A1 Schéma de principe d'un système réglé: turbine hydraulique – alternateur synchrone.

On voit bien apparaître les différents réglages: la position du vannage x avec sonrégulateur à trois positions, la vitesse du groupe n avec son régulateur PI équipé de limiteur, lecourant d'excitation ie de la machine synchrone avec son régulateur PI et enfin la tension dephase u du réseau triphasé au stator de la machine. Il est à relever que ce schéma correspondbien à la mise en service du groupe, lorsque la vitesse est proche de la vitesse nominale, lesignal n est fourni par conversion de la fréquence f du stator de la machine synchrone en lieuet place de la dynamo tachymétrique.

Lorsque le réglage est numérique, il est préférable d'utiliser pour la vitesse un capteurincrémental qui donne un certains nombre d'impulsions par tour, multiple du nombre depériodes de la tension statorique: par exemple une machine à 4 paires de pôles pour rouesPelton aura une vitesse nominale de 750 [t/min], si on l'équipe d'un capteur donnant 64impulsions par tour, on observera 800 impulsions par secondes, soit 16 impulsions par périodede la tension de phase (soit un rapport de 24).

L'installation complète nécessite donc quatre dimensionnements de régulateurs, pourlesquels le chapitre 8 propose quelques méthodes. Ce n'est qu'après avoir dimensionné lesrégulateurs des boucles intérieures qu'on pourra aborder les boucles de réglages superposées.

Alim =

Conduite forcée

nc

+ +––

xc

uc iec

xn

u–

–ie

+ +

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Jean-Marc Allenbach 8–40 020912

8.B ANNEXE: IDENTIFICATION D'UN SYSTÈME

8.B.1 GénéralitésOn a vu que la réponse indicielle permettait de le caractériser grossièrement lorsque la

description analytique n'est pas disponible. On peut affiner la description en augmentant lenombre de temps caractéristiques sur la réponse indicielle réduite.

Tu Tg

Thti

Tr

t

u(t) y(t)10,9

0,1

tm19

y(ti)

Fig. 8.B1 Essai indiciel: mesure et temps caractéristiques.

8.B.2 Méthode de StrejcPour des systèmes d'ordre supérieur à 2, comptant le cas échéant un retard pur Tr, on

arrive à construire un modèle analytique approché, en utilisant une constante de temps T semultiplicité n. Ces 3 paramètres sont établis à l'aide du tableau de Strejc.

G s Ke

sT

sT

s s n

r

( )( )

=+

1(8.B1)

n Tg/T Tu/T Tu/Tg ti/T y(ti) Th/T Th/Tg1 1,000 0,000 0,000 0 0,000 1,000 1,0002 2,718 0,282 0,104 1 0,264 2,000 0,7363 3,695 0,805 0,218 2 0,323 2,500 0,6774 4,463 1,425 0,319 3 0,353 2,888 0,6475 5,119 2,100 0,410 4 0,371 3,219 0,6296 5,699 2,811 0,493 5 0,384 3,510 0,6167 6,226 3,549 0,570 6 0,394 3,775 0,606

Fig. 8.B2 Tableau de Strejc.

La procédure est la suivante:

• On relève le quotient Tu/Tg en estimant que Tr est nul.• On choisit la valeur du tableau immédiatement inférieure => on tire T et n.• On lit sur la ligne une nouvelle valeur de Tu qu'on désigne par Tuch.• On calcule le retard pur: Tr = Tu – Tuch.

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8.C COMPARAISON DE DIMENSIONNEMENTS

8.C.1 Système du deuxième ordre

Fig. 8.C1 Système du 2e ordre avec perturbation

Les fonctions de transfert sont les suivantes:

Organe de commande: G ss T

Tcmp

p( ) .=+

=1

10 01 (11.C1)

Système principal: G ss Ts1( ) =

+1

1 1(11.C2)

On désire étudier le comportement dynamique du système bouclé pour trois valeurs deT1: 0,1 0,2 et 0,5 [s] et 3 variantes de régulateurs:

(1) selon le critère de Bode optimal (dépassement ~5 %)(2) selon le critère de Bode pour système intégral sans filtre de consigne(3) selon le critère de Bode pour système intégral avec filtre de consigne

Dans chaque cas on choisit un régulateur PI.

G ss T

s TRn

i( ) =

+1(11.C3)

L'idée est de mettre en évidence l'effet de l'écart entre les constantes de temps dusystème à régler sur le comportement dynamique du système réglé.

Pour chaque essai, on a mis en parallèle deux résultats obtenus par des calculsdifférents:• Un calcul numérique à partir des coefficients de la fonction de transfert par application du

théorème des résidus (EPFL/DE/LEI) [1]. Echelle du temps relative à Tp.

y t( ) � – • 1

0sG s

rs pi

nf

i

i( ) =

−=� (11.C4)

y t r e p t

i

n( ) =

=� i i

0(11.C5)

• Un calcul numérique à partir du schéma simulink par résolution numérique des équationsdifférentielles par la méthode de Dormand-Prince d'ordre 5 (EIG/LAE). Echelle en [s].

OCMw

S1

v

yuucm+

–R

F

++

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Jean-Marc Allenbach 8–42 020110

8.C.2 Réponses indicielles: critère de Bode optimal.

On a d'abord appliqué le critère de Bode optimal (§ 8.3.1, fig 8.13) ou le critère méplat(§ 8.5.2) qui aboutit à la même fonction de transfert du régulateur.

G ss

ss

ss

sR ( ),

,,

,,

,=

+=

+=

+1 0 10 02

1 0 20 02

1 0 50 02

� � (11.C6)

On applique d'abord au système un saut de consigne et on observe la réponse indicielle.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

( 0.041444 , 0.95 )

( 0.062928 , 1.0432 )

Fig. 8.C2 Réponse indicielle par rapport à la consigne: régulateur dimensionné selon le critère de Bode optimal.

La constante dominante T1 est dans chaque cas compensé par la constante Tn durégulateur. L'écart entre les constantes de temps n'a pas d'incidence sur le comportementdynamique du système asservi, pour autant que ucm reste dans la plage de fonctionnementlinéaire du régulateur, c'est à dire hors saturation; ce qui est bien le cas dans des simulationsnumériques.

On applique ensuite une variation de perturbation et on observe l'évolution de l'écart deréglage.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

T1/Tp

10

20

50

Fig. 8.C3 Réponse indicielle par rapport à une perturbation: régulateur dimensionné selon le critère de Bodeoptimal.

On constate: Plus l'écart entre la petite constante de temps du système et celle durégulateur (identique à la principale du système) est grand, plus l'effet de la perturbation se fait

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Jean-Marc Allenbach 8–43 020110

ressentir longtemps. Le maximum d'écart, lui, varie dans le sens inverse du rapport desconstantes de temps.

8.C.3 Réponses indicielles: critère intégral.

On a de même appliqué le critère «intégral» (§ 8.3.4, fig 8.27) .

G ss

ss

ss

sR ( ),

,,

,,

,=

+=

+=

+1 0 040 0016

1 0 040 004

1 0 040 08

� � (11.C7)

On applique d'abord au système un saut de consigne et on observe la réponse indicielle.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

20

10

50

T1/Tp

Fig. 8.C4 Réponse indicielle par rapport à la consigne: régulateur dimensionné selon le critère pour système àcomportement intégral.

On n'observe pas le dépassement de 5 %, mais celui-ci est d'autant plus élevé que lerapport de pulsations est grand.

On applique ensuite une variation de perturbation et on observe l'évolution de l'écart deréglage.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

10

20

50

T1/Tp

Fig. 8.C5 Réponse indicielle par rapport à une perturbation: régulateur dimensionné selon le critère pour système àcomportement intégral.

Comme dans le cas du dimensionnement «optimal», le maximum de l'écart de réglagevarie dans le sens inverse du rapport des constantes de temps. Le temps nécessaire pour atténuer

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l'effet de la perturbation n'est dans ce dimensionnement «intégral» pas affecté par le rapport desconstantes de temps; de surcroît, il est dans tous les cas plus court qu'avec le dimensionnementde «Bode optimal».

On peut encore placer un filtre du premier ordre sur la grandeur de consigne, avec uneconstante de temps égale à celle du régulateur, sans optimisation (§ 8.3.4, relation (8.41)).

G ss Tfl

n( ) =

+1

1(11.C8)

0 0 .05 0 .1 0 .15 0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

50

20

10

T 1 /T p

Fig. 8.C6 Réponse indicielle par rapport à la consigne: régulateur dimensionné selon le critère pour système àcomportement intégral avec un filtre de consigne.

Dans ce cas, on obtient un dépassement compris entre 0 et 5 %, mais le temps deréponse est environ double de celui obtenu avec «Bode optimal» et plus court qu'en absence defiltre (–20 % dans cet exemple). Le filtre de consigne étant placé en dehors du flux de signalentre la perturbation et la grandeur réglée, la figure 8.C5 reste valable pour cette structure deréglage.