vocabulaire sur les ensembles

8
! "# $% && " $ ’ ( % & && & " $ ) && &* ( + % ,- . . / * % / 0 ’- % 1 2 ! - % && " $ ’ && && % ,- 3 4 4 &** #* = + % & &&% 5 * * % { } & && - % + { } { } { } 6 . . 6 . 6 . = = ! && &’ % + && +* ’-% ,- 7 && "7 $&’ % +8 * )+49 ’ )+6%. % { } + & && && % + && * * % { } + * * % touscours.net

Upload: achraf-ourti

Post on 15-Jun-2015

105 views

Category:

Education


0 download

DESCRIPTION

www.touscours.net ensembles, Lois de composition interne, Relation d'ordre, ensemble N, ensemble Q, ensemble Z, Dénombrement, Rapides compléments sur Z et Q...

TRANSCRIPT

Page 1: Vocabulaire sur les ensembles

���������� ���������������������������� ������������������� ���

� �� �������� ��������

�������������������� �� �� ������������

! ��������������� �����" �#��$%

� &� ��&" ��∈ $�����'��������������(�%

�� �&���� � �� ��� &� ��& � &����" ��∉ $) ��������� ���� � &� ��& ��∉ ���

&���*�����(� �+� � �� ∈ %

,-������

�∈. � �∈. � �∉/� � ��*����%

�∈/� � �∉0 � ��'��-%

1�2������ �

! �������-�������������%

� &� ��&" �� ⊂ $�� ������� ������������� �����'��� � ��&�&����������

&�&�������%

,-������ �� ⊂

3���������

4 ��� ⊂∀ �

4� &���*���������*�������� �# ���*����� ������ =⇔⊂⊂ ���+ %

��� ������������ ���� ��

• ∅ �&������ ������������������ ����� &�&����%5�� �*������� �⊂∅

���*����������� ���%

• { }��� �� �&����� � �������� � �� ��� &�&����� � �� �-�������� �� �� �%

+���������{ } { } { }6�.�.��6�.6�.� == �

• ! �������� ���&�&�&'������������������%� ��� �� ��∈ � �+� � �����

&� ��&+*��� �'��-�%

,-�������� ������7������� ���&�&"7�������$�&'��������%

�+8����*���)�+49����'�����)�+6%.�� ����������%

�� � ���� � { }�+�� ���∈ �&����� � �������� ��� &�&����� �� � ��� �� ��

�� ���&�&�%

�+� � �����&� ��&�*�����*�������������%

{ }�+�� ���∈ ��������������*�����*��������������%

�� �������� �������������������������������������������� ��������� �

touscours.net

Page 2: Vocabulaire sur les ensembles

���������� ���������������������������� ������������������� ���

� �� �������� ����.����

:�5�&���� ���������������� ����������

! �������������%

;�����������������������������������%

5�� �� �+�� � ���������������������%

������ ��� &���*������� ����� ⊂⇔∈ �+

5�������� �+��+ ����� ∈∈∅

,-������� �� { }���� ��= ����������(�� ��&�&�����%�� ���

{ } { } { } { } { } { } { }{ }�������������� �������������+ ∅=

! ����������-����������%

{ }{ }{ } ��+��''&�������+�<

� ��+������������+�

+�&��� ��� �+�

������

������

������

∉∈∈=∈∈∈=∩∈∈∈=∪

!�����������

4 �&��� ��==<<>>

4 ���������� ��>>

4 ��''&������==

���������������

!� � ⊂ � � < ������ ���&����������������� �& �

,��� ��������&����

! ����������-���������%

�� × ��� � �������� ��� � ����� ��+ �� ' ��&� � �� &�&���� � �� � �� � ��

&�&��������%

3������ ?��?�?�?+��+ �������� ==⇔=

:��7�� ������&'���� %%%××× ���

�� × ��������� �& .� +�� �������' ��

%%%

��� ××× ���� �& �

�����������

5�@��������

• :�����������*������������ ������������� ���&�&���������� ���

• :��� ��������� ��� ��� �⇔ %

• ���&���� � � �

• :��������'�������� ∃∀�

touscours.net

Page 3: Vocabulaire sur les ensembles

���������� ���������������������������� ������������������� ���

� �� �������� ����6����

� ��� ��������� ������A�����* ��(� �����%

� � ������������

• !���&���������������������� ���&�&�&'����������

4 � &� ��& �+�� ���∈∀ �����'�� ��� ���� ��� � ��� ���� �+� � � � �� ��� � ��

&�&�������*&��'���%

4 � &� ��& �+�� ���∈∃ �����'���� ���-������&�&����������*&��'���%

,-������ { }0�/�6�=� � ����B7���B� = )�� �� �+�� ���∈∃ ���*���%

• 5�����&���*����������*�����+�&���� ���

��+�+� ����+��+� �

��+�+� ����+��+� �

������

������

∈∀⇔∈∃∈∃⇔∈∀

• � ��������"��$��" �$�

��+C�+ ���+��+��+C ��+�+�

��+C�+����+��+��+C���+�+�

��+C�+ ���+��+��+C ��+�+�

��+C�+����+��+��+C���+�+�

����������

����������

����������

����������

∈∃∈∃⇔∈∃∈∃∈∃�∈∃

∈∀∈∀⇐∈∀∈∀∈∀⇔∈∀

• �������A�����

���� �����-&� ��&������ �����%

�+� ����+� �

�+� ����+� �� �+� �

�+� � ��+� ����+� �

��

��

��

⇔�

⇔⇔

;��������'����� �� &��������

�?�?+����+�+�?� �������� =�∈∀∈∀ ���@���������&�&������������� �+� � %

�D?�?+����+�+�?�E���D+��E ����������� =�∈∀∈∀∈∃ ����-�������������� ��∈

������ �+� � ����&� ��&���� �& �+��F ���∈∃ %

� ����� �&��

! ����������-&� ��&�%5��� &���*�������

��+� ��+� �+�+ �� �⇔�

��������� ���������

������&��������������������������� �����%

��G&�&�����&�

��� ��&�� ������������ �������� ��&��

4 : �������������&�����%

4 : ����������� ����*&��%

4 � ��������&�&���������� ��&�&�������� �& �+�� �������&� �������

����� ��������� ��%

5�� ����+

����

����→

,-�������

• � ��������� ������

�→ ���� �������&������ �&� �2�

touscours.net

Page 4: Vocabulaire sur les ensembles

���������� ���������������������������� ������������������� ���

� �� �������� ����0����

• .���

+→ �� �.���

�� →− �.���

�� → �.���

−→ �� +� �������� � ����*&� �� � �*����

�����.���

�� →+ ��� �.�� → +H��*���� *���������

.���

++ → �� ) � ���� ���

��������� ��� �������������� ����''&������%

5�� �� ��+ ��� � �������������������� ����������%

1�� �� ���� �

:&'����� ��! ���� ��� →� � ��� →� % �� � �&������ ��������� ��������

����(� ��&�&����������� ��� ��++ ��� %

������� ��� ������� ��++��++ ������ =�

I�& �A������ � � ������� ���� �����*����� �����������' ���� ���������

�%,����������&�&���������� �2� �������� ������� �������*����&�&���%

:&� ������� ��

• � � ����������� ���� ��+ ��� �

� �� ��+ ��� �∈ � ��+ ��� �∈ � �� � ��������&'���%

• ��� �����*��&�� ����������� ��&�&������� ��+ ��� %

H ��� �� ��� ������ ���� �+�+ = %:&#(� ��� ���- ��������� �� �+ ��� �� ��

��� �� �+ � ��������������%

! �� ��∈ %5���

���+++��+�++��+�++

���+++�D�+E+���+++

������������

������������

====

���

���

� ��� *������ � �� � �� � �� �% � �� ��� ���- ��������� �� � �� &�����% � ���

*�������� ��� ������������� �� ��+�� ����� �∈ %: ����� �� ������ �����*�%

������� �� &����� �D+E ��� � � � ����� ����% ,� �''��� �� � � � ����� � ���

������������-��������� �������� �+�� �����&�&�������%

• ,�&�����������

� ��� �� ��+ ��� �∈ � ��� �� == �� 2�2� %,��''���

:&#(� ��+2��2�� ����� �� �∈�� %� ��� ������� ���

���������

������

��

��

∈====

�+����+��++2���++2�

�+��+2�+��+2�+

• � �� �������*��&��A��������� ����� ��&�&�����%,��''������� � ���������� ����� ��&�&�����%� � ��������� ��&�&�����������������%

! ������ �����-��������� �� ��+� ���� �∈ �&'���������

{ }��

��

=∈∀==

�������

���

���

�+��<

�+

�+

{ }��

��

=∈∀==

�������

���

���

�+��<

�+

�+

touscours.net

Page 5: Vocabulaire sur les ensembles

���������� ���������������������������� ������������������� ���

� �� �������� ����/����

�� ���

���������

���������

======�+��++��++

�+��++��++

G&�&�������� ��

5����� �����*��&B���&�&���B����� � � �� ��� �� ��+ ��� �∈ � ��+ ��� �∈ �

��+ ��� �∈ � ��� ������ ���� �+�+ = ��� �� ������� ��� ��

:&� ������� �� ��� ���- ��������� �� �+ ��� �� �� ��� �� �+ � �� ���� ���

&�&����� �� ��+ ��� % ,������� �� �&��� � ��� � �� � ����� � ��� �����*��& ����

��+ ���

��2�#����*��&����#����*��&

! �� ��� →� %

• 5�������������#����*�� ����� �?�?+�++�?� ���������� =�=∈∀∈∀

������������������-&�&�������� �����7�������������� ������ ��&���-

5� ��� ��� ���- &�&����� ��������� ��� � � �# ��� ��� ������ ���������� +� ��� ��

� ����� �&���� &� ��&��&�&�����

• 5��������������#����*�� ����� ��++�� ������� =∈∃∈∀

�?���4(4�������� ��&�&����������� ������ ��&�&�������%

• 5�������������#����*�� ���� �������(��' ����#����*������#����*�%

,-�������

+�

+.�

.�

���

��� → � �������#����*������#����*�� �+�+ �� =− �� �0�+� � . −=∈∃ �� �

.�

���

+→ �� ������#����*��� ���#����*�%

.�

���

��� →+ �����#����*�� ����#����*�%

.�

���

++ → ��ϕ �����#����*�%

touscours.net

Page 6: Vocabulaire sur les ensembles

���������� ���������������������������� ������������������� ���

� �� �������� ����8����

+6�

5�� ���� �������&��� ������������A������ ������������J�&�%

����

���A���→ � �������#����*������#����*�%

����

����'����→ ���������7����&'��������������* �������������'����%

����

���A���→ ������#����*�� ���#����*�%

����

���J�&�→ �����#����*�� ����#����*�%

����

���J�&�→ �����#����*�%

���&�&����&*������%

! �� ��� →�

! �� ��∈ %;����&�&������������&�&�������������� �+��� = %

������� ����� @����&�&������-���������������&%

�� � ���� ��

������#����*����������������� ��&�&�������������������&�&����%

�������#����*����������������� ��&�&����������� ��������&�&����%

������#����*����������������� ��&�&���������-�������������&�&����%

:&� ������� ��

� ��� ��#����*��&�

� ����� � �����#����*�%!��� � ������&�&�������������&�&�����%! ��

� ����������&�&����%5���� �� �+��� = �� �?+��� = %: �� �?+�+ ���� = %� ����

�����#����*�� ?�� = %: ���������������&�&�������� ��������� ������%

⇐ � ���� � �� �� � ��#����*�%�� �� ���-���� ��� ∈?� ������� �?+�+ ���� = ��

?�� ≠ %�� ������ ���� ��?++�+ ����� == ����������-���&�&������������������ %

: ��� �+� ��&�&�������������������&�&�����%+5��� ���&��� ����� �&��%

� �������#����*��&� ����''������������������-�K�&���� &���*������� ��* ��

�� �&�����-�����������7���� ��%

� ������#����*��&� ��������������-�&���������&�&�����%

�� � ���� ��

�� � �� �&� �� ���- ��#���� �� ��� ��� ��#���� �% 2� �� ��� �� �7�� � �� ��

� �� �&������-���#���� �� ������-��#���� ��%

:&� ������� ��

! ���� ��� →� � ��� →�

+� !��� � �� � ��� ��#����*��%H ��� ����� �� � � ��������% +�?���4(4�������

�?�?�++��+++�?� ����������� =�=∈∀ �� �

! ���� ��� ∈?� %!��� � ����� �?�++��++ ������ �� = %H ��� ����� ?�� = %

5� �� �?�++��++ ������ �� = � � �� ��?++��++ ������ = %� ���� ��� ��#����*��

���� �� �?+�+ ���� = %� ���������#����*�� ��� �� ?�� = %

+.� !��� � ���������#����*��%H ��� ����� �� � � ��������%+�?���4(4�������

��++�� �������� �=∈∃∈∀ �

! �� ��∈ %� ����������#����*�����-���� ��∈? ������ �?+��� = %

� ����������#����*�����-���� ��∈ ������ �+? ��� =

������ ��++��++�?+ ��������� �===

touscours.net

Page 7: Vocabulaire sur les ensembles

���������� ���������������������������� ������������������� ���

� �� �������� ����9����

:�3&���� ���� �����#���� �

! �� ��� →� ������������ ���#����*�%

5����� ���� ������ ��������� ������������( � ��&�&���������� ���� �

���������&�&�������������%�������������� �� ����������&���� �������� �&� −� %

���������

=→−

�+��������&�&�����������?�

��+�++�� ���������� =�=∈∀∈∀ −

�� � ���� ��

! �� ��� →� ��#����*�%

�� �� ��� 2� =−� �� ��� 2� =−

:&� ������� ��

L −�� � ��������&'�����*���������%

! �� ��∈

�� �� ������� == −− ��++��++ � +��� �+ �� − ���� ���&�&������������

L �� �− ��������&'�����*���������%

! �� ��∈ %

�� �� ������� == −− ��++��++ � +�������� ���&�&������ �+�� ��� −� �%

I�& �A��+��*�������� ��#����'�%

! �� ��� →� %

! ���-���� ��� →� �������� ��� 2�=� �� ��� 2�=� ��� ��������#����*���

�� =−

:&� ������� ��

! �� ��� →� % !��� � �� �� �� �-���� ��� →� ����� ��� ��� 2�=� ��

��� 2�=�

+� �� ��������#����*��! ���� ��� ∈?� ����� � ����� �?+�+ ���� = %

�� �� ��?++��++ ������ = �� �� �?+�+ ������ �� = %������ ?�� = %

+.� ,��������#����*��! �� ��∈ %�� �� ��++��++ ������� == �

: ���������&�&���������(��* �� �+�� ������������� ���%

: ���������#����*�

: ��������#����*�%

+6� H ��� ����� �� =−

5��� 2��+�+2� −−−− ===== ���������� �� ������

� ��&���������������#����*�� −� � ���������� �� =−− �+

,�2������������������&���� ���

:&'����� ���

! �� ��� →�

touscours.net

Page 8: Vocabulaire sur les ensembles

���������� ���������������������������� ������������������� ���

� �� �������� ���������

• ! ���������������%5������������������������������ �� �� �+M ��

� �������� ��� ������ ��� � ��� &�&����� �� �� �?���4(4�����

{ } { }������������� ∈==∈∃∈= ��+�+���+M

• ! ��������������%5��������������&���� ����������� �� �� �+�∨

� �������� ��� &�&����� �� � � �� � ����� ��� ���� � �?���4(4�����

{ }����� ∈∈=∨

�+��+

���������������

� ����������������������� ������������������ �& �2�+ �

! �� ��� →� %�� ����+�2�+�

N

������

�→ ���&*�����������#����*�%

����������� ��

�� � ���� ��

!� ��� →� �����#����*���� ��� ��� ������������� �+�+��

∧∨−=

+� �� ��� ����� �+�+ ��∨∧

⊂−

! �� �+ ��∧−∈ %H ��� ����� �+��

∈ +�?���4(4������� �� ∈�+ �%

��∈ ��� �� ⊂∧− �+ � �� �� �-���� �∈ ��� ��� �+ ��� −= ��� �&'����� � ��

�+�

∧− % : �� ������ == − ��++�+ % 5�� �∈ % : �� �� ∈�+ % : �� �+��

∈ �

� O�������A��������� �

+.� �� ��� ����� �+�+��

∧∨−⊂

! �� �+��∨

∈ %5��� �� ∈�+ ��� �+��++ ������ −− == �*�� ��� ∈= �+ %

: �� �+ ��∧−∈ %: O� ������������ ���� &�����&%

! �� ��� →� ���#����*�����������������%�� �� �+�+����

∨∧−= %,��''�����

��''��� ���������� &�����&��&�&������*�� −� ����������������#���� ���������%

�+�+�+ ���� −−−∨∧

= ��?���4(4���� �+�+ ����∨∧

=−

� ��&�������� �������������� ������� ������������� ������ ��� �+��

� �� �+M �� +� ��� �� ������ �� ��⊂ ��� ������ �� ���������� � ����� �������� ��

�+ � − � �� �+�∨

� ����� � ⊂ %+������� ����4�������'������ ���������������

��#����*�F�%

touscours.net