Vibrations dues au passage dun tramwayModlisations numriques et validations exprimentales

Marc Maldonado

IUT - Universit dAngersDpartement Gnie Mcanique et Productique3 rue Henri Hur 49 300 Choletmarc.maldonado@ec-nantes.fr

Section de rattachement : 60Secteur : Secondaire

RSUM : Le tramway, outre le bruit quil gnre, produit desvibrations qui prennent naissanceau niveau du contact roue/rail pour se propager via le sol jusquaux habitations voisines, pouvantcauser une gne pour les riverains. La quantification de cette gne concernant laspect vibratoireest un point ne pas ngliger lors de llaboration dune nouvelle ligne, ou dans le cadre duneamlioration de lignes existantes. Cet article prsente (partiellement) la campagne exprimentalemene sur la ville de Nantes et les dveloppements thoriques associs. Deux modles completsincluant la voie et le sol sont notamment proposs pour lestimation des vibrations propages la surface du sol. Lobjectif final est de pouvoir fournir un "indicateur" des niveaux vibratoires laide uniquement de simulations numriques.

MOTSCLS : Tramway Types de pose Propagation dondes dans le sol Approche expri-mentale Modlisation voie/sol Excitation roue/rail Simulations numriques

1. Introduction

1.1. Problmatique

Les vibrations gnres dans le sol par les transports guids urbains peuvent con-duire des nuisances importantes pour les populations riveraines, en particulier dans lecas de rues troites. La propagation de ces vibrations, de lavoie aux btiments, puis largnration de ces vibrations lintrieur des btimentspeuvent tre la source dun bruit

1

de grondement audible dans la bande de frquence 30-200 Hz. Des vibrations sensiblespar lhomme dans la gamme 5-80 Hz peuvent galement tre prsentes [1]. LUnion In-ternationale des Chemins de Fer (UIC) a reconnu le besoin de travaux de recherche surces phnomnes [2]. Le problme des vibrations gnres dans le sol soulve eneffetde nombreuses questions dont les plus frquentes portent sur la manire de les attnuer,en particulier au niveau de la plate-forme, ou sur leur aptitude se propager dans le solsur une longue distance. De plus, la question de lorigine deces vibrations, pourtantprimordiale, est en gnral peu approfondie.

Dans ce cadre, il sagit donc de concevoir des outils prvisionnels permettant desimuler au mieux les phnomnes observs. En fait, le cas desvhicules circulant basse vitesse (compare aux vitesses des ondes dans le sol) at relativement peu tudi,sauf pour le cas des voies enfouies (mtro). De plus, lenvironnement urbain et les typesde poses de voie rencontrs pour les tramways franais ne sont pas souvent analyss dansla littrature, les voies tant gnralement ballastes. Enfin, rares sont les auteurs quisattachent prendre en compte avec prcision lensemble des phnomnes ( savoirle vhicule en mouvement, la voie et le sol). laide dhypothses simplificatrices,lobjectif dans notre tude vise donc assurer au mieux le couplage vhicule/voie/solgrce une modlisation adapte et en intgrant les rsultats issus de la bibliographie. Lemodle doit donc permettre de prvoir de manire convenableet crdible la rponse desdiffrents lments (rail, dalle, sol) en fonction des caractristiques des vhicules, de lavoie et du sol. Le travail se dcompose ainsi en quatre parties distinctes (pour des dtails,voir [3]) : ltude bibliographique dont lobjectif est de faire rapidement le point dune part,sur les connaissances actuelles concernant les vibrationsdans le domaine ferroviaire, etdautre part de montrer lintrt des travaux prsents brivement dans ce papier ; la campagne exprimentalequi permet danalyser le comportement vibratoire des dif-frents lments entrant en jeu dans le phnomne tudi. Les mesures vibratoires sonteffectues notamment sur les essieux, le rail et le sol ; les modles numriquesavec diffrentes propositions pour prendre en compte deuxtypes de pose de voie (une pose classique sur dalle dassise,site Ferrire, et une pose sur"dalle flottante" correspondant une pose isolante, site Libration) ; la confrontation modles/mesures, les simulations numriques tant ralises sur dif-frents aspects distincts (rponses du sol en champ libre, rponses de la voie sous uneexcitation impulsionnelle, simulations dun passage de tramway) permettant de validerles modles pas--pas et daffiner les caractristiques mcaniques de la voie et du sol.

1.2. Positionnement de ltude

Lanalyse des vibrations gnres par le trafic ferroviaireest le sujet de nombreuxtravaux de recherche [4, 5, 6, 7], gnralement en vue de valider ou damliorer uneconfiguration vhicule voie sol existante. La plupart des tudes concernes se focalisentsoit sur le comportement vhicule/voie, notamment au niveau du contact roue/rail pourlestimation de lexcitation due aux essieux (donnant naissance aux vibrations dans la

2

voie) [8, 9, 10], soit sur la propagation des vibrations dans le sol [11]. En revanche, unnombre plus rduit dtudes prend en compte lensemble de lastructure (voir article desynthse [12]). Dans les premiers cas danalyse, des approches simplifies sont proposespour la partie de la structure qui ne fait pas lobjet de ltude particulire. Ainsi, lorsquecelle-ci se focalise sur la partie "excitation", la modlisation de lensemble vhicule/voiepeut tre trs dtaille. En revanche, la contribution du sol (couplage) nest parfois pasprise en compte ou modlise de faon trs simplifie (fondation de Winkler, [13]), etla propagation dans le sol nest pas aborde. Dautres travaux proposent des modlisa-tions pour les deux aspects "excitation" et "propagation" mais avec une rsolution dcou-ple, [14]. Enfin, des tudes sont disponibles au sujet du comportement des sols (partie"propagation") soumis une excitation sapprochant du casferroviaire, [15, 6]. On peutciter le cas des charges mobiles sappliquant directement la surface dun sol, ouvia unrail (modlis par une poutre) reposant ou non sur une semelle lastique avec prise encompte des traverses,etc.Nanmoins, durant ces dix dernires annes, des travaux plus dtaills ont t raliss,principalement ddis lanalyse des trains grandes vitesses, [16]. En effet, ce type devhicules induit des vibrations importantes, voire des dplacements de rails pouvant treprjudiciables la tenue de la structure en fatigue [17, 18, 19]. De plus, dans certainscas de sols souples, il est possible que la vitesse du train dpasse celle des ondes dansle sol (rgime super-Rayleigh), et dans ce cas il peut apparatre une amplification des vi-brations. Dautres tudes se concentrent sur la circulation dun vhicule dans une voieenterre (tunnel, ou voie de mtro).

Pour le cas du tramway, il existe lheure actuelle seulement un nombre rduit dtudes,on peut citer [20]. Vis--vis dun train classique, le tramway correspond eneffet unvhicule se dplaant faible vitesse, en site urbain, et utilisant des poses spcifiquesreposant souvent sur un sol htrogne, voir figure1. Gnralement dans les tudes ral-ises, le sol est suppos multicouche, avec lhypothse supplmentaire que les couchessont horizontales.

2. Modle pour la voie et le sol

Le sol est considr multicouche. Un chargement harmoniquefixe est appliqu lasurface. Lutilisation de la transforme de Fourier deux dimensions :

f(, , z) =

+

+

f(x, y, z) expi.(.x+.y) .dxdy (1)

permet dcrire les quations dquilibre dynamique (quation de Navier et relation con-traintes dformations) dans le domaine des nombres donde horizontaux selon la direc-tion x et selony [17, 19]. Un tilde au dessus dune variable indique ainsi sa reprsen-tation dans le domaine des nombres donde. Ceci permet dobtenir la matrice raideurde chaque couche dans le domaine transform (mthode due Jones [21], amliore entermes defficacit numrique dans [22, 19] et applique ici au cas trois dimensions).

3

Tramway

Bogie (deux essieux)Contact roue/railRails

Semelles (de rails)

Traverses+ dalle de bton

Sol multicouche

Massif semi-infini

Fig. 1. Ensemble tramwayvoiesol

La matrice de flexibilit[Q] (ou compliance) est obtenue dans le domaine transform enprenant en compte la contribution de chaque couche et celle du massif semiinfini :

{

U}

= [Q] {

}

(2)

Cest une matrice carre dordre3 (n + 1) (n est le nombre de couches). La relationcontraintesdformations en surface donne alors (z = 0) :

w(, , 0) w(0) = Q33(, ) zz(, , 0) (3)

avecQ33(, ) le terme (3,3) de la matrice flexibilit,w(0) le dplacement en surface dusol, etzz(, , 0) la contrainte verticale en surface du sol. La rponse en champ libreest calcule en considrant une excitation impulsionnelleou harmonique, sachant que lesdeux excitations donnent des fonctions de transfert similaires [23].

La voie repose sur le sol multicouche, figure2. Un second modle (plus labor),dvelopp pour le cas dune pose sur dalle flottante (la dallede bton reposant sur unmatriau lastique) nest pas prsent ici (voir [3]). Deux efforts indpendantsP1 ~z etP2 ~z, harmoniques, sexercent sur les rails et la rotation de la dalle de bton est prise encompte. Les rails sont modliss par des poutres dEulerBernoulli, les semelles de railscomme des ressorts et la dalle de bton selon une poutre prismatique droite solllicite entorsion et flexion. La mise en quations de ce problme introduit six paramtres pourquatre quations, il est donc ncessaire dcrire deux quations supplmentaires pour r-soudre le systme. Ces quations sont obtenues en considrant des conditions de couplageentre la voie et le sol. La premire condition de couplage voiesol impose que le dplace-ment du centre de la dallew0(x) corresponde au dplacement du solw(x, 0, 0) sous ladalle :

w0(x) = w(x, 0, 0) (4)

4

P1 ~z

P2 ~z

wr1.~z wr2.~z

w0.~z

w1.~z

w2.~z

~z

~y

+ massif semiinfini

semelle de rails

dalle de bton

sol multicouche

Fig. 2. Modle analytique Pose classique

Pour la seconde quation de couplage, on admet que la rotation (x) de la section droitede la dalle se retrouve au niveau du sol :

(x) =w(x, y, 0)

y(5)

Au final, le systme rsoudre se rduit :0

B

B

B

@

A1() 0 A2() A4()A1() A2() A4()

A3() + H1

0() 0

sym. A5() +b2

3 H

1

1()

1

C

C

C

A

8

>

>

>

:

wr1()wr2()w0()

()

9

>

>

=

>

>

;

=

8

>

:

P1P200

9

>

=

>

;

(6)

Les termes de la matrice carre prcdente dpendent des paramtres de la voie, et lesconditions de couplage sont visibles au niveau des termesH0 et H1, faisant intervenirles caractristiques du sol. Enfin, le systme est rsolu dans le domaine transform, puisles champs spatiaux sont obtenus par transformes de Fourier inverses une ou deuxdimensions, respectivement pour la voie et le sol.

3. Confrontation modle/mesures

La campagne exprimentale concernant les mesures vibratoires au passage dun trama t effectue dans le cadre dun programme de recherche PREDIT3, voir [24]. Le choix

5

des sites de mesures communs pour les vibrations et le bruit at effectu de faon couvrir le maximum de configurations reprsentatives. Globalement, la campagne ex-primentale a t mene sur quatre sites diffrents, pour deux types de tramways (tramA : bogies roues indpendantes - tram B : bogies avec essieux), des vitesses stabil-ises en ligne droite allant de 20 50 km/h. Dans un premier temps, le sol est caractris laide de mesures la surface du sol suivant la procdure SASW (Spectral Analysisof Surface Waves). Sous lhypothse dun sol compos de couches horizontales com-portement lastique et isotrope, la procdure de mesures permet de dfinir avec rigueurles principales caractristiques mcaniques de chacune des couches. Deuximement, larceptance de la voie et les mobilits de transfert de la voieau sol fournissent des don-nes relatives la voie (raideur de la semelle, masse de la dalle de bton en particulier).Enfin, des mesures dacclrations verticales des roues dun mme bogie sont utilisespour obtenir des donnes relatives aux efforts dynamiques gnrant les vibrations sur lerail (mesures effectues par lINRETS). Par ailleurs, des mesures dacclrations verti-cales sur le rail et la surface du sol diffrentes distances de la voie ont t effectuesau passage des tramways, de faon rassembler une base de donnes suffisantes afin decaractriser au mieux les niveaux vibratoires gnrs danschaque configuration de test(site-tram-vitesse).

3.1. Caractristiques du sol

Le sol est dfini suivant la procdure SASW, limpact sur le sol est ralis au marteauavec capteur de force et les vibrations verticales du sol sont mesures en deux endroits(distance "impact/premier capteur" et "inter-capteurs" identique) laide d acclrom-tres pour des distances allant de 0.5 16m du point dimpact.La phase du spectre depuissance crois pour les deux rcepteurs est utilise pourobtenir la vitesse de londe desurface (onde de Rayleigh) en fonction de la frquence ; la courbe obtenue est appele"courbe de dispersion" parce quelle caractrise la dispersion gomtrique de londe deRayleigh lorsque le sol est htrogne (pour un sol homogne, la vitesse de londe desurface ne dpend pas de la frquence). Une attention particulire doit tre prise vis--visde la zone de validit des rsultats (effets des ondes de volume en champ proche et delattnuation en champ lointain), voir [25]. Ensuite, une premire procdure dinversion, laide dun algorithme doptimisation dvelopp par Glenn J. Rix et Carol G. Lai ( [26]),est utilise pour dfinir les diffrents modules de Young du sol donnant un sol multicouchedont la courbe de dispersion calcule doit correspondre le mieux possible la courbede dispersion obtenue exprimentalement. Le modle semi-analytique est alors utilispour affiner les donnes du sol, fournissant la possibilit de faire une seconde proc-dure dinversion sur les mobilits de transfert en champ libre et de dfinir en particulierlamortissement hystrtique sur chaque couche.

6

3.2. Passage du tramway

La campagne de mesures na pas permis dtablir une variation cohrente de rponsesvibratoires en fonction de la vitesse du tramway (de 20 50km/h ou moins selon les sites)- les carts obtenus tant du mme ordre de grandeur que ceux observs pour des passages conditions supposes identiques. Toutefois la vitesse intervient indirectement dans lacaractrisation des efforts dexcitation au contact roue-rail ; en effet, ceux-ci sont lis auxparamtres de rugosit du rail et des roues qui combins la vitesse influent sur les ampli-tudes et le domaine frquentiel des sollicitations vibratoires. Pour la dfinition des effortssexerant au niveau des contacts roues/rails, la mthodologie suit la dmarche tabliepar lINRETS [24]. Dans un premier temps les fonctions de transfert entre la rugositcombine et les parties symtrique et antisymtrique des dplacements sont utilises pourrecaler la masse et linertie des essieux pour les deux rames, en utilisant les frquencesde rsonance essieux/voie mesures. Les rugosits mesures (du rail) permettent ensuitedobtenir par calculs les acclrations des roues et de valider au passage le modle, parcomparaison avec les mesures. Elles permettent aussi de dterminer thoriquement lesacclrations des roues. Ensuite, les rugosits combinessont dtermines indirectement,sur les deux sites pour les deux rames, partir des acclrations dessieux. La comparai-son des rugosits combines avec les rugosits mesures apportent alors indirectement desinformations sur les rugosits des roues (inconnues). Finalement, les efforts imposs parles roues sur les rails sont estims dans les diffrentes configurations. Les contributionsdes diffrents essieux sont considres comme non corrles, conformment aux conclu-sions des mesures. Pour conserver une approche "temporelle", le passage du tramway estabord en considrant une position initiale de la rame suffisamment loigne du point demesure. Ensuite, un pas de temps de 125ms est utilis pour dfinir une nouvelle positiondu tramway, et ainsi de suite. Ds lors, pour chaque positiondu tramway, le dplacementvertical dun point de la surface du sol peut tre obtenu en sommant la contribution dechaque essieu, en terme de spectre de puissance. Pour simplifier lanalyse, la figure3prsente les carts entre les niveaux simuls et mesurs sous la forme dune "puissancevibratoire" dans la gamme de frquences 20200Hz.

4. Conclusion

Au bilan, ce travail a permis de dvelopper des modles numriques capables de ren-dre compte, de faon acceptable, de la rponse vibratoire dune voie de tramway, et cepour une excitation de type impulsionnel ou lors dun passage du vhicule. La connais-sance du sol reste un impratif, de mme que les caractristiques de la voie, en particulierltat de surface des roues et des rails. lheure actuelle,pour rduire les cots de mainte-nance, les voies ballastes sont souvent remplaces par desvoies sur dalle de bton [27] :les connaissances nouvelles prsentes ici pourraient servir lors de ce type de remplace-ment de voie.

7

20 30 40 5060

70

80

90

100

110 Ferrire Rame A

Vite

sse

vert

ical

e (d

B, r

f. 5

e8

m/s

)

20 30 40 5060

70

80

90

100

110 Ferrire Rame B

20 30 40 5060

70

80

90

100

110 Libration Rame A

vitesse de passage (km/h)

Vite

sse

vert

ical

e (d

B, r

f. 5

e8

m/s

)

20 30 40 5060

70

80

90

100

110 Libration Rame B

vitesse de passage (km/h)

rail calculrail mesuresol calcul 2,5msol mesure 2,5msol calcul 5msol mesure 5m

Fig. 3. carts des calculs par rapport aux mesures - Puissance vibratoire (dB, rfrence5 108m/s) estime sur la bande de frquences 20200Hz

Remerciements

Lauteur tient remercier lADEME pour son soutien financier dans le cadre du pro-gramme de recherche "PREDIT3 - caractrisation des sources et valuation de la percep-tion du bruit et des vibrations des tramways". Ces travaux sont aussi partie intgrante duprogramme du Groupement de recherche (GDR 2493) concernant le bruit des transports(CNRS, INRETS, LCPC, SNCF, Renault).

References

[1] A.T. Peplow, C.J.C. Jones, and M.Petyt. Surface vibration propagation over a layered elastichalf-space with an inclusion.Applied Acoustics doi:10.1016/S0003-682X(98)00031-0, 56:283296, 1999.

[2] B. Hemsworth. Reducing groundborne vibrations : State-of-the-art study.Journal of Soundand Vibration doi:10.1006/jsvi.1999.2642, 231(3):703709, 2000.

[3] M. Maldonado. Vibrations dues au passage dun tramway : mesures exprimentaleset simulations numriques. PhD thesis, Universit de Nantes - cole Centrale deNantes,http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00356222/fr/, 2008.

[4] K. Knothe and Y. Wu. Receptance behaviour of railway track and subgrade.Archive of AppliedMechanics doi:10.1007/s004190050179, 68:457470, 1998.

[5] X. Sheng, C.J.C. Jones, and D.J. Thompson. A theoreticalstudy on the influ-ence of the track on train-induced ground vibration.Journal of Sound and Vibrationdoi:10.1016/S0022-460X(03)00781-8, 272:909936, 2004.

[6] L. Auersch. The excitation of ground vibration by rail traffic : theory of vehicle-track interaction and measurements on high-speed lines.Journal of Sound and Vibrationdoi:10.1016/j.jsv.2004.06.017, 284:103132, 2005.

[7] G. Lombaert, G. Degrande, J. Kogut, and S. Franois. The experimental validation of a numer-ical model for the prediction of railway induced vibrations. Journal of Sound and Vibration

8

http://dx.doi.org/10.1016/S0003-682X(98)00031-0http://dx.doi.org/10.1006/jsvi.1999.2642http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00356222/fr/http://dx.doi.org/10.1007/s004190050179http://dx.doi.org/10.1016/S0022-460X(03)00781-8http://dx.doi.org/10.1016/j.jsv.2004.06.017

doi:10.1016/j.jsv.2006.03.048, 297:512535, 2006.[8] G. Degrande and G. Lombaert. An efficient formulation of Krylovs prediction model for train

induced vibrations based on the dynamic reciprocity theorem. Journal of Acoustical Society ofAmerica doi:10.1121/1.1388002, 110(3):13791390, 2001.

[9] X. Sheng, C.J.C. Jones, and D.J. Thompson. A comparison of a theoretical model for quasi-statically and dynamically induced environmental vibration from trains with measurements.Journal of Sound and Vibration doi:10.1016/S0022-460X(03)00728-4, 267:621635, 2003.

[10] X. Sheng, C.J.C. Jones, and D.J. Thompson. A theoretical model for ground vibra-tion from trains generated by vertical irregularities.Journal of Sound and Vibrationdoi:10.1016/j.jsv.2004.01.006, 272:937965, 2004.

[11] L. Auersch. Wave propagation in layered soils : theoretical solution in wavenumber domain andexperimental results of hammer and railway traffic excitation. Journal of Sound and Vibrationdoi:10.1006/jsvi.1994.1228, pages 233264, 1994.

[12] G. Lombaert, G. Degrande, B. Vanhauwere, B. Vandeborght, and S. Franois. The control ofground-borne vibrations from railway traffic by means of continuous floating slabs.Journal ofSound and Vibration doi:10.1016/j.jsv.2006.05.013, 297:946961, 2006.

[13] T.X. Wu and D.J. Thompson. The effects of local preload on the foundation stiffness andvertical vibration of raillway track.Journal of Sound and Vibration doi:10.1006/jsvi.1998.1939,219(5):881904, 1999.

[14] S. Datoussad, B. DeStaedeleer, O. Verlinden, and C. Conti. Vehicletrack interaction andground propagation of vibrations for urban vehicles.European Journal of Mechanical Engi-neering, 45(2):8793, 2000.

[15] L. Auersch. Dynamics of the railway track and the underlying soil : the boundary elementsolution, theoretical results and their experimental verification. Vehicle System Dynamicsdoi:10.1080/00423110412331307663, 43 (9):671695, 2005.

[16] A.M. Kaynia, C. Madshus, and P. Zackrisson. Ground vibration from high speed trains:prediction and countermeasure.Journal of Geotechnical and Environmental Engineeringdoi:10.1016/S0267-7261(03)00061-7, pages 531537, 2000.

[17] B. Picoux.Etude thorique et exprimentale de la propagation dans le sol des vibrations misespar un trafic ferroviaire. PhD thesis, Universit de Nantes - Ecole Centrale de Nantes, 2002.

[18] B. Picoux, R. Rotinat, J.P. Regoin, and D. Le Houdec. Prediction and measurements ofvibrations from a railway track lying on a peaty ground.Journal of Sound and Vibrationdoi:10.1016/S0022-460X(03)00725-9, 267:575589, 2003.

[19] B. Picoux and D. Le Houdec. Diagnosis and prediction ofvibrations from railway trains.SoilDynamics and Earthquake Engineering doi:10.1016/j.soildyn.2005.07.002, 25 (12):905921,2005.

[20] P. Van Den Broeck.Prediction model for ground-borne vibrations due to railway traffic. PhDthesis, Katholieke Universiteit Leuven, 2001.

[21] D.V. Jones.The surface propagation of ground vibration. PhD thesis, University of Southamp-ton, ISVR, 1987.

[22] G. Lefeuve-Mesgouez, A.T. Peplow, and D. Le Houdec. Surface vibration due to a sequenceof high speed moving harmonic rectangular loads.Soil Dynamics and Earthquake Engineeringdoi:10.1016/S0267-7261(02)00034-9, 22(6):459473, 2002.

[23] L. Auersch. Simplified methods for wave propagation andsoil-structure interaction : the dis-persion of layered soil and the approximation of fe-bem results. Proceedings of Eurodyn 2005,pages 13031308, 2005.

[24] M.A. Pallas, C.P. Bertin, O. Chiello, J. Lelong, P. Champelovier, J. Lambert, T. Legouis, D. LeHoudec, M. Maldonado, D. Thijssen, and J.P. David. Caractrisation des sources et valua-tion de la perception du bruit et des vibrations des tramways. Programme PREDIT "bruit destransports terrestres" - Rapport final, 2007.

[25] S. Foti. Multistation methods for geotechnical characterisation using surface waves. PhDthesis, Politecnico di Torino, Italy, 2000.

[26] C.G. Lai and G.J. Rix. Simultaneous inversion of Rayleigh phase velocity and attenuation fornear-surface site characterisation.National Science Foundation and U.S. Geological Survey,1998.

[27] L. Auersch. Vehicletrackinteraction and soil dynamics.Vehicle System Dynamics Supplementdoi:10.1080/00423119808969586, 28:553558, 1998.

9

http://dx.doi.org/10.1016/j.jsv.2006.03.048http://dx.doi.org/10.1121/1.1388002http://dx.doi.org/10.1016/S0022-460X(03)00728-4http://dx.doi.org/10.1016/j.jsv.2004.01.006http://dx.doi.org/10.1006/jsvi.1994.1228http://dx.doi.org/10.1016/j.jsv.2006.05.013http://dx.doi.org/10.1006/jsvi.1998.1939http://dx.doi.org/10.1080/00423110412331307663http://dx.doi.org/10.1016/S0267-7261(03)00061-7http://dx.doi.org/10.1016/S0022-460X(03)00725-9http://dx.doi.org/10.1016/j.soildyn.2005.07.002http://dx.doi.org/10.1016/S0267-7261(02)00034-9http://dx.doi.org/10.1080/00423119808969586

IntroductionProblmatiquePositionnement de l'tude

Modle pour la voie et le solConfrontation modle/mesuresCaractristiques du solPassage du tramway

Conclusion