université politehnica de bucarest

0Université POLITEHNICA de Bucarest

Faculté d’Ingénierie en Langues Etrangères

Conception des filtres RIF par la méthode des fenêtres

- 2014 -

1.Thème de projet

Projetez un filtre RIF passe-bas avec la fréquence de coupure fc=0,37 et la longueur du filtre N=243 par la méthode des fenêtres en utilisant les fenêtres suivantes : la fenêtre rectangulaire, la fenêtre Bartlett, la fenêtre Hamming, la fenêtre Hanning, la fenêtre Blackman et la fenêtre Kaiser

avec le paramètre β de 1 a 10.

2.Introduction

2.1 Le traitement du signal

Le traitement du signal désigne l'ensemble des opérations que l'on fait subir a un signal (analogique ou numérique) pour le transformer en un autre signal (par exemple de la musique codée sur un disque vinyle ou un CD qui est transformée en un signal acoustique). Le traite-ment du signal se rencontre donc dans de nombreux domaines et fait partie intégrante de la plupart des appareils que nous utilisons quotidiennement. On distingue généralement les si-gnaux analogiques (ou continus) des signaux numériques :

les signaux analogiques, ils peuvent être représentes par des fonctions continues dutype x(t), ou t est une variable continue (par exemple la tension dans un circuit électrique v(t))

les signaux numériques, ils peuvent être représentes par des suites de nombres du typex[n] ou on représente le numéro d'échantillon (par exemple des signaux dans baladeur numé-rique).

En traitement du signal (analogique et numérique), la notion de filtre est primordiale. Une dentition intuitive de la notion de filtre est d'adopter la vision entrée/sortie et de dire que le filtre est la partie qui relie la sortie d'un système a l'entrée. Cette vision simpliste résume ce-pendant très bien la plupart des concepts.

L’importance du signal dans nos sociétés contemporaines

C’est un lieu commun que d’affirmer que notre société contemporaine est la société de l’information.L’information y est véhiculée par les signaux. Face `a la masse des signaux qu’il est nécessaire de traiter, souvent en temps réel, des systèmes technologiques d’une grande complexité ont envahi notre société. En réponse aux enjeux de la société actuelle, des méthodes scientifiques puissantes ont été développées pour gérer une telle complexité. La maîtrise de ces méthodes devient de plus en plus incontournable dans la pratique de l’ingé-nieur quelque soit le domaine auquel il se destine.

L’objectif de cet enseignement est de donner des bases minimales préalables à l’acqui-sition et à la maîtrise de ces méthodes.

Dans le traitement de l’information, il est nécessaire de mesurer le signal, souvent à l’aide de capteurs (métrologie) ; caractériser et extraire le signal utile (traitement du signal) ; le transmettre par un codage adéquat (traitement du signal).

Pour cela, le traitement du signal développe des méthodes basées sur la modélisation mathématique,ces méthodes étant ensuite mises en œuvre en général en électronique (numé-rique) du signal(réalisation technologique).

3.Filtre à réponse impulsionnelle finie

En traitement numérique du signal, le filtre à réponse impulsionnelle finie ou filtre RIF (en anglais, Finite Impulse Response filter ou FIR filter) est un filtre numérique qui est caractérisé par une réponse uniquement basée sur des valeurs du signal d’entrée. Alors, le filtre RIF est un système nonrécursif trouvé toujours en stabilité et sa réponse impulsionnelle aura une durée finie dépendante

du nombre de coefficients du filtre. On peut aussi l’appeler filtre à moyenne mobile, car le filtre à réponse impulsionnelle finie n’est qu’une moyenne pondérée des termes du signal d’entrée.

Il est illustré par la fonction de transfert polynomiale décrite ci-dessous :

H ( z )=∑n=0

N −1

h[n] z−n

ou par la réponse impulsionnelle :

h [ n ]={ 0 , n<0 ,n ≥ Nfinie , 0≤ n ≤ N

Intérêt : c’est possible de calculer les coefficients h[n] tel que la phase soit une fonction linéaire de la fréquence.

Inconvénient : l'affaiblissement introduit dans la bande des fréquences bloquées est petit, de toute façon plus petit que l’affaiblissement introduit par un filtre récursif de même ordre.

Conclusion : les filtres nonrécursifs sont appliqués bien quand les spécifications sont imposées sur l’amplitude et la phase en même temps, ou seulement sur la phase.

Il y a aussi le filtre à réponse impulsionnelle infinie (filtre RII) qui, contrairement au filtre RIF, peut avoir une réponse impulsionnelle de durée infinie et qui dépend à la fois des valeurs de l’entrée et des valeurs passées de la réponse.

3.1 PropriétésOn considère les suivantes propriétés des filtres RIF :

Sont forcément stables, quels que soient coefficients utilisés D’habitude, sont moins sensibles aux erreurs de quantification que les filtres RII ;

alors, l’absence de récursivité évite les erreurs cumulatives Sont moins sélectifs que les filtres RII du même ordre ; ainsi, la transition entre la

bande passante et la bande rejetée est moins rapide que dans le cas du filtre RII La complexité d’un filtre RII est moindre que celle d’un filtre RIF du même ordre

3.2 RéalisationOn peut créer des filtres numériques en utilisant trois éléments de base :

l’élément gain l’élément de sommation le retard unitaire

Ils sont suffisants pour la réalisation de tous les filtres numériques linéaires possibles. La mis en œuvre présentée ci-dessous est une réalisation directe de type 1 du filtre RIF.

Réalisation directe de type 1 d’un filtre à réponse impulsionnelle finie

3.3 Paramètres caractéristiques des filtres

La fréquence de coupure du filtre (fréquence critique) – est la fréquence à laquelle l’atténua-tion du filtre diminue avec 3dB.

La bande de fréquence du filtre B – est définie entre deux fréquences fMAX et fMIN et détermine la longueur de la bande de travail du filrte; la bande de fréquence implique les deux fré-quences critiques fc1 (basse fréquence) et fc2 (haute fréquence) pour filtre passe bande et filtre arrêt bande.

Le facteur de qualité Q – est défini comme le rapport entre la fréquence de résonance f0 et la bande de fréquence B des filtre passe bande et filtre arrêt bande.

Q=f 0

B

L’impédance du filtre:o L’impédance d’entrée du filtre d’entrée du filtre Zi

o L’impedance de sortie du filtre Z0

3.4 Propriétés des filtres numériques nonrécursifs à phase linéaireLa réponse fréquentielle d’un filtre à fonction de transfert présentée au début est :

H (e jω )=∑n=0

N−1

h [n ]e− jωn

On peut écrire cette équation dans la forme suivante :

H (e jω )=A (ω ) e− jB (ω )

où : A (ω )= l’amplitude (peut être négative aussi)

B (ω)= la phase

Si on considère la phase strictement linéaire on a les équations :

B (ω)=kω+θ , pour−π ≤ ω≤ π

H (e jω )=A (ω ) e− j (kω+θ )=∑n=0

N −1

h [n ] e− jωn

où h [ n ]=F−1 {H (e jω )}

h [ n ]= 12π

∫2 π

❑

H ( e jω) e jωn dω

Le filtre doit être à phase linéaire, c’est-à-dire que :

h [ n ]= 12π

∫−π

π

A (ω ) e− j(kω+θ)e jωn dω

On considère :

h [ n ]= e− jω

2 π∫−π

π

A (ω) {cos [ (n−k )ω ]+ j sin [ (n+k )ω ] }dω

Si h [ n ]∈R ,∀ n, on ne peut pas choisir que :

a) θ=απ

Si h [ n ]∈R, on peut écrire l’équation :

h [ n ]=± 12 π

∫−π

π

A (ω )cos [ (n−k ) ω] dω

A cause de la présence de cos [( n−k )ω ], les coefficients h [ n ] sont symétriques par rapport à

n=k, d’où on va obtenir :

h [ k+n ]=h [ k−n ] , ∀n

Les échantillons de h[n] ne sont pas nuls pour 0 ≤ n≤ N−1, alors il faut :

k+n=N−1 ⟹k=N−12

k−n=0Alors, en fonction de N, s’il est pair ou impair, on peut avoir des valeurs entières ou pas pour k.

N pair : k n’est pas entier

h [ n ] n’est pas défini que pour n entier, alors il résulte que h [ N−12

+n] n’as pas aucun sens.

De toute façon, on écrit la relation :

h [ n ]=h [ N−1−n ]

Dans ce cas, l’axe de symétrie est donc situé entre deux échantillons, comme la montre la figure ci-dessous :

N impaire : k entier

h [ N−12

+n]=h[ N−12

−n]D’où on obtient :

h [ N−12

+n−N−12 ]=h[ N−1

2−n+ N−1

2 ]⟹h [ n ]=h [ N−1−n ]

L’axe de symétrie coïncide avec un échantillon.

Dans ce cas, le centre de symétrie coïncide avec un échantillon.

a) θ=π2

+απ ,avec h [ n ]∈R

⟹h [ n ]=± 12 π

∫−π

π

A (ω )sin [ (n−k ) ω ]dω

Grâce à sin (n−k ) ω, h [ n ] est symétrique par rapport au point k, c’est-à-dire qu’on va obtenir :

h [ n ]=[ N−12 ]

h [ n ]=−h [ N−1−n ]

Pour ce cas, le centre de symétrie est situé entre deux échantillons. La figure en bas nous montre un exemple pour N=10.

3.5 FenêtresPour la projection des filtres, on utilise plusieurs fenêtres :

1. Fenêtre rectangulaire :

C’est la troncature simple où la fonction de fenêtre est une fonction rectangle, sa transformée de Fourier un sinus cardinal et la fonction intégrale une superposition de sinus intégral (SI) :

w [n ]={1 , quand 0 ≤n ≤ M0 , autrement

Les fonctions sinus cardinal et sinus intégral sont rappelées ci-après et ont les propriétés suivantes :

Sinus cardinal : sinc (0 )=1

sinc (πx )=0=¿ x= [1,2,3 … ]

parit é : sinc(−πx )=sinc (πx)

Sinus∫é gral : SI (0 )=0

x→+∞ SI ( πx )→ π2

parit é : SI (−πx )=−SI (πx )

La fonction fréquentielle réelle du filtre sera donc :

2. Fenêtre de Hamming :

w [n ]={α+(1−α )cos2 πn

2 M+1,−M ≤ n≤ M

0ailleurs , a=0.54

Le paramètre α est ajusté pour minimiser les lobes latéraux, en particulier le second

⇒ α=0.54⇒w [n ]=|0.54+0.46 cos2 πn

2 M +1|, communément appelé « cosinus rehaussé ».

3. Fenêtre de Hanning : a la même w [n ] que pour fenêtre Hamming, avec α=0.5.

Fenêtre en « cosinus » d’allure proche de la fenêtre triangulaire :

w [n ]={12 [1−cos ( 2πn

M −1 )] , 0≤n≤ M−1

0 , ailleurs

Une plus forte atténuation des lobes latéraux ce qui diminuera les dépassements en bande passante.

4. Fenêtre de Bartlett (ou triangulaire) :

w [n ]={1−|n|M

,−M ≤ m≤ M

0 , ailleurs

La transformée de Fourier fait intervenir le carré de la transformée de Fourier d’une fenêtre rectangulaire de largeur moitié => le lobe central sera deux fois plus large et les lobes latéraux d’amplitude plus faible. On aura moins d’oscillations en bande passante au prix d’une pente de coupure deux fois plus faible.

5. Fenêtre de Blackman :

Elle poursuit l’optimisation en ajoutant des termes supplémentaires à la fonction de fenêtre :

w [n ]=∑m=0

∞

amcos (mπM ) , où∑

m=0

∞

am=1

Ce qui, avec trois coefficients donne :

w [n ]={0.42+0.50 cosπnM

+0.08 cos2 πnM

,−M ≤ n≤ M

0 , ailleurs

Les lobes latéraux de la transformée de Fourier sont bien atténués au prix d’un lobe central élargi.

6. Fenêtre de Kaiser :

w [n ]= J 0( βx)J0(β )

, J0=¿la fonction Bessel modifiée, d’ordre zéro

x=[1−( n2 M+1 )

2]12,−M ≤ n≤ M

J0 ( β )=1+∑k=1

∞

( 1k ! ( x

2 )k )

2

β est un paramètre qui fixe l’importance relative du lobe principale par rapport aux lobes secondaires.

Kaiser utilise des fonctions sphéroïdales. Intervient un paramètre β d’atténuation des lobes latéraux qui optimise le rapport des énergies du lobe central et du second lobe qui s'exprime à partir du choix αdB de l’atténuation du premier lobe (en énergie) et ∆f la largeur de la bande de transition:

N= α−814.357 Δ f

+1

et { β=0.1102 (α−8.7 ) , pour α>50

β=0.5842 ( α−21 )0.4+0.07886 (α−21 ) , pour 21<α<50

4.La conception de filtre RIF passe-bas

Le filtre passe-bas est un dispositif qui démontre une réponse en fréquence relativement constante (gain fixe) aux basses fréquences et un gain décroissant aux fréquences supérieures à la fréquence de coupure. La décroissance plus ou moins rapide dé-pend de l’ordre du filtre.

Idéalement, le filtre passe-bas aurait un gain unitaire (ou fixe) aux basses fréquences et un gain nul aux fréquences supérieures à la coupure «fo» :

On utilise les filtres passe-bas pour réduire l’amplitude des composantes de fréquences su-périeures à la celle de la coupure.

En ce qui concerne la méthode de conception, il faut retenir les suivantes aspects :

- la troncature doit être fait tel que w[n] contient au moins deux lobes latéraux à gauche et à droite du lobe central pour obtenir une bonne réponse en fréquence ;

- la fonction de poids tronquée h[n], définie sur le support n{0,1,… ,N-1} ne doit pas avoir h[0]=h[N-1]=0 ; dans cette situation, la longueur du filtre sera faussement dé-claré ;

- la méthode de conception s’appelle aussi la méthode du développement en série Fou-rier à cause du fait que la méthode représente pratiquement un développement en série Fourier de la fonction périodique 2, H(ej)

- l’association du facteur de phase linéaire a deux avantages : d’une partie on travaille avec la fonction H(ej), de période 2 pour toutes les types de filtres, et de l’autre, la troncature assure que la réponse de longueur finie N est localisé directement sur le support désiré 0nN-1 ;

- la troncature direct de la série Fourier, conduit au phénomène Gibbs qui implique l’ap-parition des ondulations (appelées riples) de la réponse en fréquence du filtre conçu. Ces ondulations agrandissent vers les bouts des bandes de passage et d’arrêt, dans le voisinage des points de discontinuité de la caractéristique idéale. En plus, on a aussi une zone de transition autour des fréquences de coupure théoriques.

L’étude de l’effet Gibbs permet mettre en évidence les demandes fondamentales qu’une fenêtre doit remplir afin d’obtenir un filtre RIF le plus performant posible :

1. Le lobe principal de la fenêtre doit être le plus étroit possible.2. Le lobe principal doit contenir la plus grande partie de l’énergie de la fenêtre.3. L’énergie des lobes secondaires doit être répandue entre eux le plus uniformément

possible.

Les restrictions ci-dessus déterminent dans le même ordre les performances suivantes pour le filtre projeté :

1. Zone de transition étroite.2. De petites riples de la réponse en fréquence.3. L’uniformisation des riples, afin d’éviter la situation ou l’énergie des lobes secon-

daires de la réponse en fréquence du filtre conçu est concentrée en principal dans les premiers lobes secondaires.

En général, les trois conditions ne peuvent pas être remplies par une même fenêtre de pondération, car les conditions 1 et 2 sont contradictoires.

La fenêtre rectangulaire est la meilleure solution pour remplir la première condition et elle satisfait aussi les conditions 2 et 3.

Pour réduire les riples dans les deux bandes, on peut utiliser d’autres types de fenêtres, qui font des troncatures moins abruptes de la réponse impulsionelle h[n], par comparaison avec la fenêtre rectangulaire.

La fenêtre rectangulaire

f=linspace(-0.5,0.5,10*512);fcnor=0.37;fc=2*fcnor;wr=rectwin(243);h=fir1(242,fc,rectwin(243));wrn=wr/sum(wr);Wr=fft(wrn,10*512);fiD=fftshift(abs(Wr));figureplot(f,20*log10(fiD),'r'),grid, title('La fenetre Rectangu-laire'),xlabel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)');figureplot(f,20*log10(abs(fftshift(fft(h,10*512)))), 'r'),grid,xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)'),title('Le filtre passe-bas');

La fenêtre Bartlett

f=linspace(-0.5,0.5,10*512);fcnor=0.37;fc=2*fcnor;h=fir1(242,fc,bartlett(243));wb=bartlett(243);wbn=wb/sum(wb);Wb=fft(wbn,10*512);fiD=fftshift(abs(Wb));figureplot(f,20*log10(fiD),'r'),grid, title('La fenetre Bartlett'),xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)');figureplot(f,20*log10(abs(fftshift(fft(h,10*512)))), 'r'),grid,xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)'),title('Le filtre passe-bas');

La fenêtre Blackman

f=linspace(-0.5,0.5,10*512);fcnor=0.37;fc=2*fcnor;h=fir1(242,fc,blackman(243));wbl=blackman(243);wbln=wbl/sum(wbl);Wbl=fft(wbln,10*512);fiD=fftshift(abs(Wbl));

figureplot(f,20*log10(fiD),'r'),grid, title('La fenetre Blackman'),xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)');figure

plot(f,20*log10(abs(fftshift(fft(h,10*512)))), 'r'),grid,xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)'),title('Le filtre passe-bas');

La fenêtre Hamming

f=linspace(-0.5,0.51,10*512);fcnor=0.37;fc=2*fcnor;h=fir1(242,fc,hamming(243));wh=hamming(243);whn=wh/sum(wh);Wh=fft(whn,10*512);fiD=fftshift(abs(Wh));

figureplot(f,20*log10(fiD),'r'),grid, title('La fenetre Hamming'),xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)');figureplot(f,20*log10(abs(fftshift(fft(h,10*512)))), 'r'),grid,xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)'),title('Le filtre passe-bas');

La fenêtre Hanning

f=linspace(-0.5,0.5,10*512);fcnor=0.37;fc=2*fcnor;h=fir1(242,fc,hanning(243));whan=hanning(243);whann=whan/sum(whan);Whan=fft(whann,10*512);fiD=fftshift(abs(Whan));figureplot(f,20*log10(fiD),'r'),grid, title('La fenetre Hanning'),xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)');figureplot(f,20*log10(abs(fftshift(fft(h,10*512)))), 'r'),grid,xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)'),title('Le filtre passe-bas');

La fenêtre Kaiser (β=1)

f=linspace(-0.5,0.5,10*512);fcnor=0.37;fc=2*fcnor;h=fir1(242,fc,kaiser(243,1));wk1=kaiser(243,1);wk1n=wk1/sum(wk1);Wk1=fft(wk1n,10*512);fiD=fftshift(abs(Wk1));figureplot(f,20*log10(fiD),'r'),grid, title('La fenetre Kaiser,beta=1'),xlabel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)');figureplot(f,20*log10(abs(fftshift(fft(h,10*512)))), 'r'),grid,xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)'),title('Le filtre passe-bas');




f=linspace(-0.5,0.5,10*512);fcnor=0.37;fc=2*fcnor;h=fir1(242,fc,kaiser(243,9));wk9=kaiser(243,9);wk9n=wk9/sum(wk9);Wk9=fft(wk9n,10*512);fiD=fftshift(abs(Wk9));figureplot(f,20*log10(fiD),'r'),grid, title('La fenetre Kaiser,beta=9'),xlabel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)');figureplot(f,20*log10(abs(fftshift(fft(h,10*512)))), 'r'),grid,xla-

bel('frequence(kHz)'),ylabel('am-plitude(dB)'),title('Le filtre passe-bas');


f=linspace(-0.5,0.5,10*512);fcnor=0.37;fc=2*fcnor;h=fir1(242,fc,kaiser(243,10));wk10=kaiser(243,10);wk10n=wk10/sum(wk10);Wk10=fft(wk10n,10*512);fiD=fftshift(abs(Wk5));figureplot(f,20*log10(fiD),'r'),grid, title('La fenetre Kaiser,beta=10'),xlabel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)');figure

plot(f,20*log10(abs(fftshift(fft(h,10*512)))), 'r'),grid,xla-bel('frequence(kHz)'),ylabel('amplitude(dB)'),title('Le filtre passe-bas');

gauche droite Largeur du lobe principale

longueurs du plus grande lob secondaire

Rectangulaire -0,004005 0,0042 0,008205 -13,26Hamming -0,008107 0,008302 0,016409 -45,04Hanning -0,0124 0,0126 0,025 -31,5Bartlett -0,005753 0,01595 0,021703 -26,53Blackman -0,008107 0,008302 0,016409 -58,11Kaiser 1 -0,0042 0,004395 0,008595 -14,68Kaiser 2 -0,004786 0,004981 0,009767 -18,48Kaiser 3 -0,005567 0,005763 0,01133 -23,87Kaiser 4 -0,006544 0,00674 0,013284 -30,15Kaiser 5 -0,007716 0,007912 0,015628 -36,86Kaiser 6 -0,008888 0,009084 0,017972 -43,92Kaiser 7 -0,01006 0,01026 0,02032 -51,07Kaiser 8 -0,01123 0,01143 0,02266 -58,53Kaiser 9 -0,0124 0,0126 0,025 -66,24Kaiser 10 -0,007716 0,007912 0,015628 -36,86

1 3 5 7 9 11 13 150

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Largeur du lobe principale

Largeur du lobe prin-cipale

Fenêtre Bande Passante[ -3dB]

Pulsation pour -40 dB Bande d'arret [dB]

Bande de transition

Rectangulaire 0,3691 0,3749 0,1251 0,0058Hamming 0,3772 0,3851 0,1149 0,0079Hanning 0,3684 0,3764 0,1236 0,008Bartlett 0,3683 0,3787 0,1213 0,0104Blackman 0,3679 0,3785 0,1215 0,0106Kaiser 1 0,3692 0,3745 0,1255 0,0053Kaiser 2 0,3691 0,3752 0,1248 0,0061Kaiser 3 0,3689 0,3758 0,1242 0,0069Kaiser 4 0,3687 0,3755 0,1245 0,0068Kaiser 5 0,3685 0,3761 0,1239 0,0076Kaiser 6 0,3683 0,3769 0,1231 0,0086Kaiser 7 0,3681 0,3776 0,1224 0,0095Kaiser 8 0,3681 0,3782 0,1218 0,0101Kaiser 9 0,3679 0,3788 0,1212 0,0109Kaiser 10 0,3677 0,3793 0,1207 0,0116

1 3 5 7 9 11 13 150.3620.3640.3660.368

0.370.3720.3740.3760.378

Bande Passante[ -3dB]

Bande Passante[ -3dB]

1 3 5 7 9 11 13 150

0.0020.0040.0060.008

0.010.0120.014

Bande de transition

Bande de transition

1 3 5 7 9 11 13 150.108

0.110.1120.1140.1160.118

0.120.1220.1240.1260.128 Bande d'arret [dB]

Bande d'arret [dB]

5.Conclusions

On remarque que :

- le lobe principal de la fenêtre Rectangulaire est le plus étroit que possible et que le lobe principal doit contenir la plus grande partie de l’énergie de la fenêtre. La plus mauvaise fenêtre est Kaiser 9 et Bartlett.

La bande de passage représente la région dans la fréquence (spectrale) ou la puissance est réduite a moitie (decroit avec 3 dB). La classification du point de vue de la valeur de la bande de passage est, en sens ascendant, d’après la fenêtre : Kaiser 10, Kaiser 9, Blackman, Kaiser 7, Kaiser 8, Kaiser 6,Bartlett ,Hanning , Kaiser 5,Kaiser 4, Kaiser 3, Kaiser 2,Rectangulaire, Kaiser 1,Hamming.

Les conditions pour qu’un filtre soit performant sont :

zone de transition étroite. de petites riples de la réponse en fréquence.

L’uniformisation des riples, afin d’éviter la situation ou l’énergie des lobes secondaires de la réponse en fréquence du filtre conçu est concentrée en principal dans les premiers lobes secondaires.

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