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Universite de Montreal

Prediction du delai d’attente en temps reel et modelisation des dureesde service dans les centres d’appels multi-competences

parMamadou Thiongane

Departement d’informatique et de recherche operationnelleFaculte des arts et des sciences

These presentee a la Faculte des etudes superieuresen vue de l’obtention du grade de Philosophiæ Doctor (Ph.D.)

en informatique

Aout, 2016

c� Mamadou Thiongane, 2016.

RESUME

Dans cette these, nous commencons par l’etude de la prediction de delai d’at-

tente des clients dans les centres d’appels multi-competences. Le temps d’attente

a un impact important sur la qualite du service percue par les clients. L’annonce

du delai d’attente permet de reduire l’incertitude du client a propos de son de-

lai d’attente. Elle peut egalement augmenter la satisfaction du client et reduire

le nombre d’abandons. Ceci necessite d’avoir un bon predicteur de delai. Malheu-

reusement les predicteurs existants ne sont pas adaptes pour les centres d’appels

multi-competences.

Nous proposons trois types de predicteurs qui utilisent l’apprentissage machine :

le premier utilise la regression par les splines cubiques, le second emploie les reseaux

de neurones artificiels, et le dernier utilise le krigeage stochastique. Les predicteurs

prennent en entree le temps d’attente du dernier client de meme type a entrer en

service, la periode d’arrivee du nouveau client, le nombre d’agents des groupes, la

longueur de la file des clients de meme type, et les longueurs des files d’attente

des types servis par les memes agents. Ces predicteurs donnent de bons resultats

pour les systemes multi-competences, mais un inconvenient est qu’ils ont un grand

nombre de parametres qui doivent etre appris a l’avance durant une phase d’en-

traınement du modele qui necessite une grande quantite de donnees et temps de

calcul.

Nous proposons ensuite deux nouveaux predicteurs de delai qui sont tres simples

a mettre en œuvre, requierent peu d’e↵ort d’optimisation, ne necessitent pas de

donnees, et qui sont applicables dans les centres d’appels multi-competences. Ils

sont bases sur l’historique des temps d’attente des clients. Le premier estime le delai

d’un nouveau client en extrapolant l’historique des attentes des clients actuellement

dans la file d’attente, en plus du delai du dernier qui a commence le service, et en

prenant une moyenne ponderee. Le second retourne une moyenne ponderee des

delais des anciens clients de la meme classe qui ont trouve la meme longueur de file

d’attente quand ils sont arrives.

Ensuite, nous nous interessons a la modelisation des durees de service dans les

centres d’appels. En general, les modeles de file d’attente d’Erlang standard sont

utilises pour analyser les operations dans les centres d’appels. Dans ces modeles, les

temps de service des agents sont modelises comme des variables aleatoires exponen-

tielles independantes, identiquement distribuees et de moyenne constante. Plusieurs

travaux recents ont montre que la distribution des temps de service est : dependante

du temps, log-normale plutot qu’exponentielle, et depend aussi de l’agent.

Nous proposons une modelisation plus realiste des temps de service dans les

centres d’appels qui prennent en compte plusieurs proprietes observees dans les

donnees reelles. Nos modeles prennent en compte : l’heterogeneite des agents, la

dependance du temps, les correlations serielles entre les temps de service d’un agent

pour le meme type d’appel, et les correlations croisees entre plusieurs types d’ap-

pels servis par le meme agent. Nous avons montre que ces modeles predisent les

moyennes des temps de service des agents mieux que les modeles de references

consideres. Par la suite, nous montrons par la simulation que ces modeles plus

realistes conduisent a des predictions des performances du systeme significative-

ment di↵erentes de celles des modeles de references, et les decisions que pourraient

prendre le gestionnaire en observant ces donnees peuvent mener a des economies

de couts importants dans la pratique.

Mots cles: temps d’attente, apprentissage machine, historique de de-

lai, modelisation, temps de service, simulation

iv

ABSTRACT

In this thesis, we begin with the study of delay prediction of customers in mul-

tiskill call centers. Waiting time has an important impact on the quality of service

experienced by customers. Delay announcement can reduce customer uncertainty

about its delay time. It also can increase customer satisfaction and reduce the num-

ber of abandonments. This requires having a good delay predictor. Unfortunately

existing predictors are not adapted for multiskill call centers.

We propose three types of predictors that use machine learning: the first uses

regression cubic splines, the second employs artificial neural networks, and the

latter uses the stochastic kriging. The predictors take as inputs the delay of the

last customer of the same type to enter service, the arrival period of the new

customer, the sta�ng of agents groups, the queue length of the same type, and

the queue lengths of types served by the same agents. These predictors work well

for multiskill call centers, but one drawback is that they have a large number of

parameters that must be learned in advance during the training phase that requires

a large amount of data and computional time.

We also propose two new delay predictors that are very simple to implement,

require little optimization e↵ort, do not need any data, and are applicable in mul-

tiskill call centers. They are based on the wait times of previous customers of the

same class. The first one estimates the delay of a new customer by extrapolating

the wait history of customers currently in queue, plus the delay of last one that

started service, and taking a weighted average. The second one takes a weighted

average of the delays of the past customers of the same class that have found the

same queue length when they arrived.

Next in this thesis, we are also interested in modelling service time in call cen-

ters. In general, the standard Erlang queueing models are used to analyze call

centers operations. In these models, agent service times are modelled as inde-

pendent and identically distributed exponential random variables with a constant

mean. Several recent studies have shown that the distribution of service time is:

time-dependent, lognormal rather than exponential, and distinct by agent.

We propose a more realistic modelling of service times in call centers that takes

into account multiple properties observed in real life data. Our models take into

account: the heterogeneity of agents, the time dependence, serial correlation be-

tween service time of an agent for the same call type, and the cross-correlations

between several call types served by the same agent. We show that these models

predict agent average service time better than the considered benchmark models.

Thereafter, we show by simulation that these more realistic models lead to system

performance predictions significantly di↵erent from those of the benchmark models,

and decisions that manager could take by observing this data can lead to important

cost savings in practice.

Keywords : wait time, machine learning, delay history, modelling,

service time, simulation

vi

TABLE DES MATIERES

RESUME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

TABLE DES MATIERES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

LISTE DES TABLEAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

LISTE DES FIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

LISTE DES SIGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

REMERCIEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi

CHAPITRE 1 :INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Les centres d’appels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 La gestion des centres d’appels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 La prediction des delais d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 La modelisation et la simulation des durees de service . . . . . . . . 6

1.5 Contributions principales de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Le plan de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

CHAPITRE 2 :DESCRIPTION D’UN CENTRE D’APPELS ET ME-

SURES DE PERFORMANCES . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Description du modele de centres d’appels . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Les mesures de performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

CHAPITRE 3 : REVUE DE LA LITTERATURE SUR LA PREVI-

SION DES DELAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 L’e↵et de l’annonce du delai d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 La prediction du delai d’attente des clients . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Les predicteurs pour les systemes avec un seul type de clients

et une seule file d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2 Les predicteurs pour les systemes multi-competences . . . . 42

CHAPITRE 4 :PREDICTEURS DE DELAIS POUR LES CENTRES

D’APPELS MULTI-COMPETENCES BASES SUR

L’APPRENTISSAGE MACHINE . . . . . . . . . . . 46

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.2 Le plan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Les predicteurs de delai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.1 Approximation de l’esperance conditionnelle du delai . . . . 48

4.2.2 Regression par des Splines de lissage (RS) . . . . . . . . . . 50

4.2.3 Les reseaux de neurones artificiels (ANN) . . . . . . . . . . 50

4.2.4 Le krigeage stochastique (SK) . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Experiences numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1 Modeles a file unique avec des agents homogenes et durees

de service exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.2 Modeles a file unique avec des agents heterogenes et des du-

rees de service exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.3 Modeles a file unique avec des agents heterogenes et des du-

rees de service de loi log-normale . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.4 Modeles N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.5 Experiences avec un grand centre d’appels base sur des don-

nees reelles (HQ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Impact de l’ajout de la periode et du nombre d’agents des groupes

dans la definition de l’etat du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.1 Modele N avec longues files . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.2 Le modele N avec courtes files . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

viii

4.4.3 Exemple avec un grand centre d’appels base sur des donnees

reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 La Robustesse des predicteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5.1 Variation du taux d’arrivee avec le modele M/M/s+M . . . 77

4.5.2 Variation du taux d’arrivee avec le modele N . . . . . . . . . 80

4.5.3 La precision des predicteurs RS, ANN et SK pour les types

appels rares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6 Comparaison des nouveaux predicteurs avec Q-Lasso . . . . . . . . 85

CHAPITRE 5 :NOUVEAUX PREDICTEURS DE DELAI BASES

SUR L’HISTORIQUE POUR LES SYSTEMES DE

SERVICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.1 Contexte et probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.2 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.3 Organisation du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Les predicteurs de delais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.1 LES extrapole (E-LES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.2 Moyenne des LES conditionnelles a la longueur de la file d’at-

tente (AvgC-LES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3 Les resultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3.1 Une file d’attente avec un unique type M/M/s+M . . . . . . 97

5.3.2 Une file d’attente unique de type M/LN/s+M . . . . . . . . 99

5.3.3 Modele N de centre d’appels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.4 Un grand centre d’appel base sur des donnees reelles . . . . 107

5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

CHAPITRE 6 :PREDICTEURS QL POUR LES CENTRES D’AP-

PELS MULTI-COMPETENCES ET PREDICTION

DE LA DISTRIBUTION CONDITIONNELLE DU

ix

DELAI D’ATTENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2 Nouveaux predicteurs QL pour les centres d’appels multi competences112

6.2.1 Methodes d’estimation du nombre d’agents des groupes . . . 115

6.2.2 Exemple numerique du modele N sans abandon . . . . . . . 118

6.2.3 Variation de s en fonction du routage . . . . . . . . . . . . . 123

6.3 Prediction de la distribution conditionnelle des temps d’attente . . . 124

CHAPITRE 7 :MODELISATION DES DUREES DE SERVICE DANS

LES CENTRES D’APPELS . . . . . . . . . . . . . . 126

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.2 Revue de litterature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2.1 Heterogeneite des agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2.2 Dependances entre les temps de service . . . . . . . . . . . . 129

7.2.3 Dependances avec le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.2.4 Distribution Log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.3 Analyse preliminaire des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.3.1 Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.3.2 Statistiques sur les temps de service . . . . . . . . . . . . . . 133

7.3.3 La cohorte C de 200 agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.4 Modeles de Temps de Service . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.4.1 Les Modeles de benchmark B1 et B2 . . . . . . . . . . . . . 145

7.4.2 Modele A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.4.3 Modele A2 : Correlations serielles . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.4.4 Modele A3 : Correlations serielle et croisee . . . . . . . . . . 152

7.5 Qualite de l’ajustement des modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.5.1 Modele des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.6 Predictions de la moyenne des temps de service . . . . . . . . . . . 156

7.6.1 Predictions de deux semaines en avant . . . . . . . . . . . . 159

7.6.2 Predictions d’une journee en avant . . . . . . . . . . . . . . 159

x

7.6.3 Proportion de victoires pour chaque modele . . . . . . . . . 162

7.7 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.7.1 Estimations des parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.7.2 Impact des di↵erents modeles de temps de service sur les

performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.7.3 Impact de la selection d’agents . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.8 Conclusion et remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

CHAPITRE 8 :CONCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

xi

LISTE DES TABLEAUX

4.1 Les performances des di↵erentes modeles M/M/s utilises. . . . 56

4.2 Les RRASEs pour le modele M/M/s. . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Les performances des di↵erents modeles M/M/s+M utilises. . 57

4.4 Les RRASEs pour le modele M/M/s+M. . . . . . . . . . . . . 58

4.5 Le taux de service et moyenne du temps de service des 12 agents

pour le type d’appel A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6 Les mesures de performances pour les modeles M/M/s+M . . 59

4.7 Les RRASEs des centres d’appels C1, C2 et C3 avec les pre-

dicteurs QL(Methode 1) et QL(Methode 2). . . . . . . . . . . 61

4.8 Les RRASEs pour les modeles M/M/s+M. . . . . . . . . . . . 62

4.9 La moyenne m et la variance v des temps de service des agents

pour le type d’appel B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.10 RRASE des predicteurs pour le modele M/LN/10+M avec des

taux d’arrivee variable dans le temps. . . . . . . . . . . . . . . 64

4.11 Le RRASE pour le N. modele avec de courtes files. . . . . . . 66

4.12 Les RRASEs pour le modele N avec longues files. . . . . . . . 68

4.13 Mesures de performances moyennes pour le grand exemple. . . 70

4.14 RRASEs pour les 6 types d’appels du grand exemple. . . . . . 72



4.17 RRASEs pour les 6 types d’appel de l’exemple base sur des

donnees reelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.18 Performances du modele M/M/s+M avec les variations du taux

d’arrivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.19 RRASE M/M/s+M avec variation du taux d’arrivee . . . . . 79

4.20 RRASE des predicteurs pour un centre d’appels M/M/s+M

avec “busyness factor”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.21 RRASE du modele N avec variation du taux d’arrivee . . . . 81

4.22 Les RRASEs pour le modele N avec donnees d’entraınement et

de test collectees sur plusieurs journees. . . . . . . . . . . . . . 83

4.23 Mesures de performances moyennes pour le modele W.. . . . . 84

4.24 Les RRASEs pour le modele W. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85



4.27 Le RRASE des predicteurs pour les 6 types d’appels du centre

d’appels HQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1 RRASEs for the M/M/20+M example. . . . . . . . . . . . . . 98

5.2 RRASE des predicteurs pour le modele M/M/10+M avec des

taux d’arrivee variable dans le temps. . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3 RRASE pour chaque type d’appel, pour le modele N avec

courtes files. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4 Mesures de performance moyenne du modele N courtes files

avec agents heterogenes et temps de service de loi log-normale. 104

5.5 RRASE pour chaque type d’appel, pour le modele N avec

courtes files et des agents heterogenes. . . . . . . . . . . . . . 105

5.6 RRASE pour chaque type d’appel, pour l’exemple du modele N.105

5.7 Mesures de performance moyennes pour l’exemple du modele N.107

5.8 RRASE pour chaque type d’appel, pour l’exemple du modele N.107

5.9 RRASEs for the 6 call types of the larger example. . . . . . . 108

6.1 Les valeurs de s pour k = 0 a k = 20 pour QL1 . . . . . . . . 120

6.2 RRASE◊100 pour le modele N sans abandon avec une seule

periode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3 RRASE modele N avec une augmentation de 1% . . . . . . . . 122

6.4 RRASE modele N avec une augmentation de 2% . . . . . . . . 123

xiii

7.1 Resultats pour le Modele A2 pour 3 di↵erentes combinaisons

agent/type d’appel. Les estimations ponctuelles des coe�cients

du modele sont montrees avec les erreurs standard et p-valeurs

pour des significations statistiques des t-tests. . . . . . . . . . 153

7.2 Resultats pour le Modele A3 pour l’agent i0, presente dans le

tableau 7.1, repondant a 3 di↵erent types d’appels, numerotes

de 1 a 3. Les estimations ponctuelles des coe�cients du modele

sont montres avec les erreurs standard et p-valeurs indiquant

ce qui est statistiquement significatif. . . . . . . . . . . . . . . 155

7.3 Resume statistique du carre des residus avec chaque modele, a

travers la cohorte de C agents. . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.4 Precision des predictions pour les Modeles A1, A2, et A3,

moyenne a travers la cohorte de C agents. . . . . . . . . . . . 162

7.5 Les proportions ou un modele donne est gagnant, c.-a-d., donne

les plus petites mesures de performances, a travers la cohorte

de C agents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.6 Les valeurs de v

k

estime avec la methode 1, e

k

, ‡

2‹

, et E[1/N]

pour certains agents au vendredi de la semaine 45 pour le mo-

dele A3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.7 Les valeurs de v

k


k

, ‡

2‹

, et E[1/N]

pour certains agents au vendredi de la semaine 45 pour le mo-

dele A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.8 Moyennes des temps de service observees M et predites ˆ

M , ‡

2

et ‡

2“

pour certains agents au vendredi de la semaine 45 pour

chaque modele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.9 RMSE et MAPE des erreurs de predictions pour le type d’appel

F au vendredi de la semaine 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.10 RMSE et MAPE des erreurs de predictions pour le type d’appel

E au vendredi de la semaine 45. . . . . . . . . . . . . . . . . 171

xiv

7.11 Performances estimees et intervalles de confiance pour notre

modele N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.12 Performance estimee et intervalles de confiance pour notre mo-

dele N, avec des agents rapides. . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.13 Performance estimee et intervalles de confiance pour notre mo-

dele N avec des agents EF lents. . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.14 Sta�ng des periodes les agents F . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.15 Parametres de forme et d’echelle des periodes pour la distri-

bution Gamma dans le processus d’arrivee pour type d’appel

F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.16 Parametres de forme et d’echelle des periodes pour la distri-

bution Gamma dans le processus d’arrivee pour type d’appel

E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.17 Matrice de correlation entre les taux d’arrivee pour le type

d’appel F partie 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181


d’appel F partie 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


d’appel E partie 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183


d’appel E partie 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

xv

LISTE DES FIGURES

2.1 Les modeles multi-competences V, N et W . . . . . . . . . . . 17

4.1 Modele N avec courtes files : Distribution du temps d’attente

des clients qui ont attendu et recu le service, pour chaque type. 66

4.2 Modele N avec courtes files : Distribution des erreurs de pre-

diction (delai estime moins delai reel) pour le type 1 et type

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Modele N avec longues files : Distribution du temps d’attente

pour les clients qui ont attendu et servi. . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Modele N avec longues files : Distribution des erreurs de pre-

diction (delai estime moins delai reel) pour les types d’appels

1 et 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5 RRASE des predicteurs pour modele M/M/s+M en fonction

du taux d’arrivee des donnees de test. . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6 RRASE des predicteurs pour le modele N en fonction du taux

d’arrivee ˜

⁄1, type 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7 RRASE des predicteurs pour le modele N en fonction du taux

d’arrivee ˜

⁄2, type 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1 Modele M/M/s+M : distribution de l’erreur de prediction. . . 98

5.2 Jour 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Jour 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4 Jour 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5 Jour 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.6 Modele N avec courtes files : Distribution des erreurs de pre-

dictions (delai estime moins delai reel) pour le type 1 et le type

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.7 Modele N avec longues files : Distribution des erreurs de pre-

diction (delai estime moins reel) pour les types 1 et 2. . . . . . 106

5.8 Modele HQ : Distribution des erreurs de prediction pour les

types 1 et 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


types 3 et 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


types 5 et 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1 Systeme alternatif du modele N. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2 Variation de s en fonction k pour le type d’appel 1. . . . . . . 121

6.3 Variation de s en fonction k pour le type d’appel 2. . . . . . . 121

6.4 QL1, Variation de s en fonction du routage pour k = 0 a k = 20.123

7.1 Nombre moyen d’agents par semaine et les bandes de confiance

a 95% correspondant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.2 Nombre moyen d’appels repondus et les bandes de confiance a

95% correspondant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.3 Chaque point correspond a une paire (moyenne, variance) pour

type donne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.4 Moyenne du temps de service pour di↵erents agents traitant le

type d’appel A en fonction du nombre total d’appels repondus

par annee. La ligne horizontale est la moyenne globale pour

tous les agents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.5 Moyenne du temps de service pour di↵erents agents traitant le

type d’appel B en fonction du nombre total d’appels repondus

par annee. La ligne horizontale est la moyenne a travers tous

les agents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.6 Les variances du temps de service estimees pour les agents trai-

tant le type d’appel A en fonction du nombre total d’appels

repondus par annee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

xvii

7.7 Les variances du temps de service estimees pour les agents trai-

tant le type d’appel B en fonction du nombre total d’appels

repondus par annee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.8 La moyenne des temps de service pour 4 agents traitant le type

d’appels B versus indice de la journee. . . . . . . . . . . . . . 142

7.9 La moyenne journaliere des temps de service pour un agent

traitant de multiples types d’appels et dont la liste des compe-

tences augmente au jour 208. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.10 L’evolution de la moyenne des temps de service de l’agent a1

pour le type d’appels A, et le meilleur ajustement lineaire. . . 144

7.11 Diagramme Q-Q des residus du Modele A1 pour l’agent a1 et

les bandes de confiance a 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.12 Diagramme Q-Q des residus du Modele A1 pour l’agent a2 et

les bandes de confiance a 95%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.13 Boıte de moustaches du RMSE du modele des residus lors de

l’ajustement de tous les modeles aux donnees de la cohorte de

C agents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.14 ECDF pour le RMSE des modeles de residus lors de l’ajuste-

ment aux donnees a la cohorte de C agents. . . . . . . . . . . 158

7.15 ECDF pour le RMSE pour les previsions d’une journee a l’avance,

a travers tous les agents de la cohorte C. . . . . . . . . . . . . 160

7.16 ECDF pour le MAPE pour les previsions d’une journee a l’avance,

a travers tous les agents de la cohorte C. . . . . . . . . . . . . 161

7.17 Histogramme du temps service moyen et niveau de service pour

les types d’appels 1 et 2 avec tous les modeles. . . . . . . . . . 174

7.18 Histogrammes du temps de service moyen et du niveau de ser-

vice pour les types d’appels 1 et 2 avec tous les modeles. . . . 175

7.19 Histogrammes du temps de service moyen et du niveau de ser-

vice pour les types d’appels 1 et 2 avec tous les modeles. . . . 177

xviii

LISTE DES SIGLES

ANN Predicteur qui utilise les reseaux de neurones artificiels.

AQS La longueur moyenne de la file d’attente.

ASE La valeur empirique du MSE.

AvgC-LES Predicteur qui utilise la moyenne les temps d’attente des

clients passes de meme type qui ont trouve la meme longueur

de file d’attente quand ils sont arrives.

AWT “Acceptable Waiting Time” ou temps d’attente acceptable

DH “Delay History predictor” ou Predicteur de delai qui utilise

l’historique du systeme.

E-LES Predicteur qui utilise la moyenne ponderee des temps d’attente

extrapoles des clients deja dans la file, plus le dernier qui est

entre en service.

FCFS “First-Come First-Served” ou premier arrive premier servi.

HOL L’estimateur qui estime le delai d’attente du nouveau client

par le delai d’attente enregistre jusqu’ici par le client a la

tete de la file.

i.i.d Independant et identiquement distribue.

LES Le predicteur qui estime le delai d’attente du nouveau client par

le delai d’attente du dernier client a entrer en service.

MAPE “Mean absolute percentage error” ou la moyenne absolue

du pourcentage d’erreur.

MSE Erreur quadratique moyenne.

NI Le predicteur qui estime le delai d’attente du nouveau client par

le temps d’attente moyen du systeme.

PA La proportion des clients qui ont abandonne.

PD La proportion des clients qui ont attendu.

QL “Queue Length Predictor” ou ou Predicteur de delai qui utilise la

longueur de la file d’attente et les parametres du systeme.

RCS Le predicteur qui estime le delai d’attente du nouveau client par

le delai d’attente enregistre par le dernier client parmi ceux qui

ont recemment termine leur service

RASE La racine carree du ASE

RRASE Le ASE normalise par la moyenne des temps d’attente des

clients qui ont eu un temps d’attente strictement positif.

RS Predicteur qui utilise la regression par les splines de lissage.

SK Predicteur qui utilise le krigeage stochastique.

SL Niveau de service.

xx

REMERCIEMENTS

Je remercie infiniment mon directeur de recherche, Pierre L’Ecuyer. Je le remer-

cie de m’avoir propose ce sujet de recherche et de m’avoir soutenu financierement.

Ce sont ces conseils, critiques, suggestions, et idees qui m’ont permis de realiser ce

travail.

Je remercie egalement le programme de bourse de la francophonie de m’avoir

finance pendant 4 ans. Un grand merci a toute l’equipe de gestion. Je remercie

particulierement Wyean Chan avec qui j’ai beaucoup collabore durant cette these.

Je remercie l’ensemble de mes collegues du Departement, Shohre Zehtabian, Nazim

Regnard, David Munger, Richard Simard, Anh Ta et Amal Boukhdhir pour leur

soutien. Je remercie les co-auteurs d’un des trois articles Rouba Ibrahim et Haipeng

Shen.

Je remercie mes parents et ma femme Khady Camara pour leur soutien durant

toutes ces longues annees. Je remercie tous mes amis, freres et soeurs plus par-

ticulierement Barham Thiam, Ousseynou Diop, Aliou Ndao, Pathe Ndome, Mou-

hamed Ndiaye, Mamadou Wade, Mame Astou Biteye, Ndeye Marem Fall, Ous-

mane Diagne, Abdalla Ndiagne, Ousmane Sow, Mouhamed Ndong, Mbaye Ndoye,

Alioune Fall, Rafik Gouiaa pour leur soutien et leur encouragement.

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

Un centre d’appels se definit comme etant un ensemble de ressources, genera-

lement du personnel, des ordinateurs et des equipements de telecommunication,

qui permettent d’o↵rir des services par telephone (Gans et al., 2003). Les centres

d’appels sont aujourd’hui les elements cles de presque toutes les grandes organisa-

tions. Ils sont utilises, par exemple, pour fournir de l’information ou du support

aux clients. Ils permettent aux compagnies de faire des ventes et aux clients de

payer leurs factures par telephone, etc. Ils sont aussi utilises par les services d’in-

formation gouvernementaux et les services d’urgence (police, ambulance), etc. Il y

a des milliers de centres d’appels dans le monde, avec des tailles en termes d’em-

ployes allant d’un a plusieurs milliers. Actuellement, le nombre d’employes dans les

centres d’appels depasse les 4 millions de personnes pour seulement les Etats-Unis

et le Canada.

1.1 Les centres d’appels

Les appels traites dans un centre d’appels sont en general classifies en deux

categories selon l’origine de l’appel. Les appels emis par les clients et recus par les

fournisseurs de service sont appeles appels entrants ou“inbounds calls”, et les appels

du fournisseur de service vers les clients sont appeles appels sortants ou “outbound

calls”. Les centres d’appels qui traitent a la fois les deux categories d’appels sont

appeles les centres d’appels mixtes ou “blended call centers”. Les centres d’appels

ont aujourd’hui evolue en centres de contacts en o↵rant des services par courriels,

chat, fax, etc. Dans cette these, nous nous concentrons sur les centres d’appels

avec des appels entrants. Dans ces centres, les agents qui traitent les appels sont

souvent appeles les representants du service a la clientele ou “customer service

representatives” (CRS) ou encore plus souvent “agents”.

Nous allons maintenant decrire le principe de fonctionnement des centres d’ap-

pels. Les appels emis par les clients en general aboutissent a un systeme automa-

tique qui est appele “Interactive Voice Response” (IVR) a travers un commutateur

appele PABX (“Private Automatic Branch eX-change”). L’IVR permet de recueillir

les informations sur le client et de determiner le type de service desire par ce der-

nier. En d’autres termes, l’IVR permet d’identifier le client et de determiner le type

d’appel. Le client interagit avec l’IVR en utilisant les touches du clavier de son te-

lephone ou la voix. Pour certains types de service, l’IVR peut o↵rir aux clients la

possibilite de s’auto servir. Gans et al. (2003) indiquent que dans les banques 80%

des clients utilisent l’IVR pour s’auto servir.

Dans le cas ou le client communique son desir de parler a un agent, l’IVR trans-

met l’appel a un distributeur automatique d’appel ou “automatic call distributor”

(ACD). L’ACD est un routeur specialise sur lequel la politique de routage des ap-

pels est implementee. Les ACDs modernes sont tres sophistiques et permettent la

programmation de politiques de routage souvent tres complexes. L’ACD a↵ecte

l’appel a un agent disponible ayant la competence pour le traiter. S’il n’y a aucun

agent disponible pour le servir, l’appel est mis attente dans une file d’attente. Les

centres d’appels disposent d’un systeme de files d’attente qui regroupe les appels

en attente de service. Durant cette periode d’attente, les clients impatients peuvent

raccrocher leur telephone. On parle dans ce cas d’abandon. Pour occuper les clients

pendant cette periode d’attente, certains fournisseurs de service mettent souvent

de la musique qui est accompagnee d’un message d’excuse pour l’attente qu’ils au-

ront a faire avant la disponibilite d’un agent, ou bien fournissent des informations

sur les nouveaux produits et services. Actuellement pour diminuer l’incertitude a

propos du delai d’attente et augmenter la satisfaction des clients, certains centres

d’appels informent aussi les clients sur leurs delais d’attente predits. D’autres vont

plus loin encore, en proposant une option de rappel si le temps d’attente predit est

juge trop eleve (par exemple un temps d’attente estime a 45 minutes). D’ailleurs le

developpement de methodes de prediction de delais adaptees aux centres d’appels

multi-competences est l’un des sujets de cette these.

2

Une fois connecte a un client par l’ACD, l’agent peut parler au client par tele-

phone et en meme temps travailler sur un terminal. Le terminal permet a l’agent

d’acceder a un serveur de donnees des clients ou“customer data server”qui contient

les informations sur les clients. Le lien entre le “customer data server” et l’ACD

est gere par un “middleware” appele “customer-telephone integration” (CTI), en

montrant par exemple le dossier du client par son numero de telephone.

Notons aussi que c’est au niveau de l’ACD que les donnees statistiques du

centre d’appels (tels que les temps d’arrivees, les abandons, les durees de service,

la longueur de la file d’attente, les delais d’attente, etc.) sont collectees. Pour plus

de details sur le fonctionnement des centres d’appels, voir Avramidis et L’Ecuyer

(2005), Chan (2013), Gans et al. (2003), Pichitlamken et al. (2003) et Koole (2013).

1.2 La gestion des centres d’appels

Les centres d’appels sont devenus aujourd’hui tres complexes et les modeles

mathematiques traditionnels d’Erlang ne sont plus adaptes pour leur modelisa-

tion. Les centres d’appels simples ont evolue maintenant en centres d’appels plus

complexes appeles centres d’appels multi-competences. Un centre d’appels telepho-

niques multi-competences est un centre d’appels telephoniques qui recoit plusieurs

types d’appels, ou di↵erents types d’agents avec diverses combinaisons de com-

petences doivent gerer di↵erents types d’appels qui arrivent au hasard au centre

d’appels. Chaque agent peut generalement gerer uniquement un sous-ensemble de

types d’appels. Chaque type d’appel exige une competence particuliere et chaque

groupe d’agents a un sous-ensemble donne de ces competences, de sorte que les

agents de ce groupe peuvent gerer les appels qui ont besoin de ces competences et

seulement ces competences.

La gestion e�cace ces centres d’appels est devenue une tache tres di�cile pour

les gestionnaires. Il y a beaucoup de sources d’incertitude a gerer. Parmi les sources

d’incertitude, nous pouvons citer les taux d’arrivees des appels qui sont generale-

ment des processus stochastiques ou doublement stochastiques. Nous pouvons aussi

3

citer, les temps de service des appels qui sont aleatoires et dont la distribution peut

dependre du type d’appel et de l’agent qui traite l’appel.

Le temps d’attente d’un client dans ces systemes est tres di�cile a determiner.

En e↵et, pour certains centres d’appels, la plupart des appels a leur arrivee trouvent

que tous les agents ayant les competences pour les traiter sont occupes. Ces appels

sont stockes dans des files d’attente (invisibles aux clients) jusqu’a ce qu’un agent

ayant les competences pour les traiter soit disponible pour les servir. Du fait de la

complexite des modeles actuels et du routage, le temps qu’un client doit attendre

peut dependre de la longueur de sa file d’attente, des longueurs actuelles et futures

des autres files d’attente, du sta�ng des groupes d’agents, de la periode de la

journee, etc. Pour plus details sur les problemes des centres d’appels, voir Aksin

et al. (2007a, b), Gans et al. (2003), Koole et Mandelbaum (2002) et Koole (2013).

Dans cette these, nous avons travaille sur deux problemes des centres d’appels

multi-competences. Le premier est la prediction de delai d’attente des clients en

temps reel. Le second est la modelisation et simulation des durees de service des

agents.

1.3 La prediction des delais d’attente

Nous nous interessons dans ce travail a developper et etudier des methodes pour

estimer le temps d’attente d’un client lors de son arrivee au centre d’appels dans le

but eventuel d’annoncer cette information (ou une partie) au client. On peut aussi

utiliser cette information pour faire une eventuelle proposition de rappel au client

au cas ou le temps d’attente estime est superieur a un certain seuil (par exemple

30 minutes). Ce seuil peut etre interprete (par le gestionnaire du centre d’appels)

comme etant le delai d’attente au-dela duquel la probabilite que le client quitte

la file avant d’etre servi elevee, ou bien etre interprete comme une congestion du

centre d’appels. Le client pourra ainsi prendre une decision plus eclairee pour ou

bien attendre, ou bien abandonner, ou bien demander d’etre rappele, etc. Dans le

cas ou le client choisit d’etre rappele, di↵erents mecanismes de rappel peuvent etre

4

utilises. Dans certains cas, le rang dans la file d’attente du client qui opte pour

le rappel est toujours maintenu. Autrement dit le client quitte reellement la file

d’attente, mais son rang dans la file est toujours virtuellement maintenu. Ainsi le

rappel du client est e↵ectue quand son tour arrive a la file. Cette strategie de rappel

est la plus utilisee en pratique. Dans d’autres cas, le rappel du client est e↵ectue

apres une certaine duree. Cette duree peut-etre une valeur fixe (elle reste toujours

la meme pour tous les clients rappeles) ou bien une variable aleatoire dependant

de l’etat du systeme lors de la proposition du rappel.

Plusieurs travaux ont montre que fournir des informations precises sur le delai

d’attente aux clients dans les systemes de file d’attente invisible tels les centres

d’appels reduit l’incertitude des clients a propos du temps d’attente et augmentent

la satisfaction des clients ; voir par exemple Cleveland et Mayben (1999), Hui et

Tse (1996a), Katz et al. (1999), Maister (1984), Munichor et Rafaeli (2007), Taylor

(1994a), Whitt (1999a). Cette information fournie peut influencer le comportement

des clients et diminuer considerablement le nombre d’abandons et augmenter le taux

service, etc. Elle peut aussi aider les gestionnaires a bien gerer leur systeme. Par

exemple si les attentes estimees sont trop longues pour certains types d’appels, le

gestionnaire peut reagir par l’augmentation du nombre d’agents des groupes qui

traitent ces appels dans un futur proche.

L’estimation du delai d’attente dans les centres d’appels telephoniques multi-

competences est une question qui interesse beaucoup les gestionnaires des centres

d’appels. L’estimation du temps d’attente peut etre sous la forme d’une esperance

conditionnelle (moyenne, conditionnelle a l’etat actuel du systeme), ou bien sous

la forme d’une densite de probabilite des temps d’attente conditionnelle a l’etat

courant du systeme, etc. On pourrait aussi vouloir reestimer le temps d’attente

residuel du client regulierement pour mettre a jour la prevision. Dans presque tous

les cas, les methodes de previsions seront des heuristiques simples.

En general, deux familles de predicteurs de delai d’attente sont considerees.

Dans la premiere, nous avons les predicteurs de delai bases sur l’historique ou“delay

history predictors” (DH) et dans la seconde famille, nous avons les predicteurs de

5

delai bases sur la longueur de la file d’attente ou“queue length predictors”(QL). Les

predicteurs DH exploitent l’information sur l’historique recent des delais d’attente

des clients deja servis. Les predicteurs QL exploitent la connaissance de la longueur

de la file (nombre de clients en attente) observee a l’arrivee du client, les parametres

du systeme comme le taux de service, le taux d’abandon et le nombre de serveurs.

Une description plus detaillee de ce qui a deja ete fait sera donnee dans la revue

de litterature au chapitre 3.

Nous notons que pratiquement tout ce qui a ete fait dans le passe ne s’applique

qu’aux centres d’appels avec un seul type d’appel (une seule file) et que cela ne

s’applique pas dans le cas des centres d’appels multi-competences. Les predicteurs

QL ne s’etendent pas naturellement dans le contexte multi-competence. Pour les

utiliser dans ce nouveau contexte, il leur faudrait prendre en compte le partage

des competences des agents et la politique de routage, et cela semble complique

et di�cile. Les predicteurs DH existants peuvent etre utilises dans le cas multi-

competence mais les erreurs de prediction de ces derniers sont tres grandes surtout

quand il y a une variation non negligeable dans les processus d’arrivees ou une

variation du nombre d’agents dans le temps. Malheureusement, ces variations sont

importantes dans les centres d’appels multi-competences. Il faudra developper des

predicteurs DH qui sont adaptes a ce nouveau contexte.

Dans cette these, nous proposons des predicteurs de delais pour les centres

d’appels multi-competences qui peuvent etre classes en deux categories. La premiere

categorie de predicteurs bases sur une approche heuristique, utilise des methodes

de l’apprentissage machine. La seconde categorie de predicteurs bases egalement

sur des heuristiques utilise l’historique du systeme.

1.4 La modelisation et la simulation des durees de service

Dans cette these, nous avons travaille aussi sur la modelisation des durees de ser-

vice dans les centres d’appels. Habituellement, les modeles de file d’attente d’Erlang

standard sont utilises pour analyser les operations dans les centres d’appels. Dans

6

ces modeles, les temps de service des agents sont modelises comme des variables

aleatoires exponentielles independantes, identiquement distribuees et de moyenne

constante. Beaucoup de travaux recents ont montre qu’au-dela de cette hypothese

standard de modelisation, il y a des consequences operationnelles importantes.

Brown et al. (2005), Deslauriers (2003) et Shen et Brown (2006) ont observe que

les temps de service ne sont pas exponentiellement distribues, comme on l’a tradi-

tionnellement suppose, mais ils sont plutot distribues suivant une loi log-normale.

L’analyse des donnees recueillies dans les centres d’appels sur les durees de

services des agents a montre que les agents sont heterogenes. Il y a diverses etudes

theoriques sur les modeles de files d’attente avec des serveurs heterogenes ; voir

par exemple Armony (2005), Armony et Mandelbaum (2011), Armony et Ward

(2010), Gurvich et Whitt (2009). Dans ces travaux, les auteurs ont montre que les

gestionnaires peuvent prendre en compte l’heterogeneite des agents lors du routage

des appels pour ameliorer certaines mesures de performances. Par exemple, router

les appels entrants vers les agents libres les plus rapides reduit le temps d’attente

des clients.

Aldor-Noiman et al. (2009), Mandelbaum et al. (1999) et Liu et Whitt (2011)

ont observe que les temps de service sont dependants du temps et la presence de

taux de service variant dans le temps aura un impact operationnel non negligeable.

Delasay et al. (2016), Dong et al. (2015) et Feldman et al. (2015) ont observe

que les temps de service successifs d’un agent sont souvent dependants. Il y existe

d’autres travaux qui ont etudie l’impact de cette dependance sur les performances

des systemes. Par exemple Whitt (2002) a etudie cette dependance dans un systeme

de files d’attente mono serveur et Dong et al. (2012) dans un systeme de files

d’attente multi serveur. La conclusion recurrente de ces etudes est que la non-

consideration de cette dependance a des consequences operationnelles importantes.

Dans cette these, nous proposons des modeles qui tiennent en compte l’ensemble

des proprietes citees ci-dessus. Nos modeles prennent en compte plusieurs proprietes

realistes telles que : l’heterogeneite de l’agent, la dependance avec le temps, les

correlations serielles entre les temps de service d’un agent donne pour un type

7

d’appel donne, et les correlations croisees entre plusieurs types d’appels traites

par le meme agent. Nous comparons nos modeles avec les modeles standards, par

exemple, au cas ou la moyenne des temps de service ne depend que du type d’appel.

Nous constatons que les modeles qui exploitent les proprietes ci-dessus s’adaptent

beaucoup mieux aux donnees, a la fois dans l’echantillon d’entraınement et en

dehors de l’echantillon.

Une investigation empirique des temps de service recueillis au centre d’appels

d’Hydro-Quebec a ete realisee et des modeles e�caces pour les durees de service

ont ete proposes. Nous avons compare a travers plusieurs exemples le pouvoir de

prediction de ces modeles a ceux des modeles de benchmark. Nous avons constate

que les modeles proposes predisent mieux les moyennes des temps de service que

les modeles de benchmark utilises jusqu’a present. Par la suite, nous avons montre

par la simulation que cette modelisation e�cace des temps de service est egalement

importante d’un point de vue operationnel.

1.5 Contributions principales de la these

Dans cette these, nous nous sommes interesses a la prediction de delais en temps

reel des clients dans les centres d’appels en general et dans les centres d’appels

multi-competences en particulier, mais aussi a la modelisation des durees de service

dans ces derniers. Les principales contributions de la these sont les suivantes. En

premier, nous avons developpe des predicteurs de delais qui sont meilleurs que

les predicteurs QL dans les situations realistes des systemes a file unique, et qui

sont adaptes pour les centres d’appels multi-competences. Ces predicteurs utilisent

l’apprentissage machine et ils sont publies en partie dans Thiongane et al. (2015).

Plusieurs travaux ont montre que l’information du delai d’attente des clients a leur

arrivee au systeme est utile pour le gestionnaire afin qu’il adopte une strategie

qui peut diminuer considerablement les abandons et augmenter la satisfaction des

clients. Sachant que les predicteurs QL et DH existants ne sont pas adaptes (le

premier n’etant pas applicable et le second donne de grandes erreurs de prediction)

8

pour predire le temps d’attente des clients dans les systemes multi-competences,

nous avons propose de nouveaux predicteurs adaptes pour ces systemes.

Vu la complexite des modeles multi-competences actuels, nous savons qu’il est

di�cile de developper des formules mathematiques pour predire le temps d’attente

des clients dans les files d’attente. Une facon d’approcher ses formules c’est d’uti-

liser les methodes de l’apprentissage machines. Pour chaque type d’appel k, nous

definissons une fonction de prediction F

k,◊

(x) dependant de l’etat du systeme x ou

◊ est un vecteur de parametre a estimer. L’etat du systeme est un vecteur constitue

du delai attente du dernier client de type k qui est entre en service, de la longueur

de la file d’attente actuelle pour le type d’appel k, des longueurs de file d’attente

pour tous les types i ”= k pour lequel il existe un agent qui peut servir les deux types

k et i, de la periode d’arrivee de l’appel, et du sta�ng des groupes d’agents. Le

vecteur de parametres qui definit la fonction est “optimise” (ou appris) pour mini-

miser l’erreur quadratique moyenne de prediction, en se basant soit sur des donnees

historiques reelles, ou sur des donnees obtenues a partir d’une simulation du modele

de centre d’appels. Nous avons utilise trois methodes. La premiere methode utilise

la regression par des splines de lissage (de Boor, 1978), la seconde methode utilise

le krigeage stochastique (Ankenman et al., 2010, Staum, 2009), et la troisieme me-

thode utilise les reseaux de neurones artificiels (Bengio et al., 2012, LeCun et al.,

2015). Les resultats numeriques pour plusieurs exemples montrent que les nouveaux

predicteurs sont meilleurs que les predicteurs QL dans les centres d’appels realistes

avec une seule file d’attente, un seul type d’appel, des agents heterogenes, et des

durees de service de loi log-normale. Ils sont aussi largement meilleurs que les pre-

dicteurs DH qui utilisent l’historique du systeme aussi bien dans les systemes a

file unique, que dans les systemes multi-competences. Nous avons montre que les

predicteurs sont robustes face a la variation des taux d’arrivee et face a la variation

du sta�ng.

Deuxiemement, nous avons developpe des predicteurs DH qui utilisent l’histo-

rique du systeme pour les systemes multi-competences (Thiongane et al., 2016). Ces

nouveaux predicteurs sont attrayants parce qu’ils sont tres simples a implementer

9

en pratique, possedent tres peu de parametres, et capturent plus rapidement les

changements dans le systeme que les autres predicteurs DH existants.

Nous avons propose deux predicteurs DH. Le premier predicteur extrapole le

delai d’attente des clients dans la file d’attente. Il estime le delai d’attente du nou-

veau client par la moyenne des temps d’attente extrapoles et du temps d’attente

du dernier client entre en service. Ce predicteur donne de meilleurs resultats que

tous les autres predicteurs DH aussi bien dans les systemes avec une seule file que

dans les systemes multi-competences. Il utilise des informations incompletes, mais

fraıches, donc il devrait capturer plus rapidement les changements du systeme tel

que la variation du taux d’arrivee et du nombre de serveurs. Le second predicteur,

que nous avons propose, s’inspire du predicteur QL qui utilise une formule mathe-

matique pour calculer l’esperance du temps d’attente d’un client conditionnelle a la

longueur de la file observee a l’arrivee. Notre predicteur utilise les delais d’attente

des clients ayant observe la meme longueur de file d’attente pour estimer cette es-

perance conditionnelle. Il est meilleur que le premier, donne de bons resultats dans

les systemes multi-competences. Il est aussi tres competitif avec les predicteurs QL

dans les systemes a file unique avec des temps de service exponentiels et des agents

homogenes (ou QL est le predicteur optimal), mais dans les systemes a file unique

avec des agents heterogenes et des durees de service de loi log-normale (modelisa-

tion plus realiste pour les centres d’appels), ce nouveau predicteur est largement

plus performant que QL.

Ibrahim et al. (2016b) proposent une modelisation des durees de services dans

les centres d’appels qui tient compte de l’heterogeneite des agents, de la dependance

avec le temps des durees de service d’un agent, des correlations serielles entre les

temps de service d’un agent donne pour un type d’appel donne, et des correlations

croisees entre plusieurs types d’appels traites par le meme agent. Notre principale

contribution dans ce travail est d’avoir montre par la simulation que les modeles

proposes ont un impact operationnel dans les performances des centres d’appels.

Pour y parvenir, nous avons propose des methodes pour estimer certains parametres

necessaires a la simulation des modeles. Nous avons aussi etudie plus en detail le

10

pouvoir de prediction des modeles proposes. Une autre contribution importante que

nous ne detaillerons pas dans cette these est d’avoir developpe et integre un module

dans le simulateur des centres d’appels ContactCenters (Buist et L’Ecuyer, 2005)

qui a permis de simuler les nouveaux modeles. Le nouveau module ajoute permet

de specifier pour chaque agent i du groupe la liste des distributions de ces durees de

service pour les types qu’il peut servir. Nous aurons une distribution pour chaque

type d’appel j que cet agent i peut traiter.

1.6 Le plan de la these

Le reste de ce document est organise comme suit. Au chapitre 2, nous faisons

une description des modeles de centres multi-competences sur lesquels nous nous

concentrons dans cette these. Nous definissons aussi dans ce chapitre l’ensemble des

mesures de performances qui sont utilisees tout au long de cette these. Au troisieme

chapitre, nous faisons une revue de la litterature des travaux sur la prediction

de delais dans les systemes de service. La plupart des travaux presentes dans ce

chapitre sont e↵ectues pour les systemes a file unique. Il existe tres peu de travaux

e↵ectues pour les systemes multi-competences. Au debut de ce chapitre, nous avons

d’abord visite deux sujets qui motivent la prediction de delai. Le premier est l’etude

des e↵ets de l’annonce du delai d’attente dans un systeme dynamique et la seconde

presente l’etude des mecanismes de rappel dans les centres d’appels.

Si nous disposons de donnees detaillees de l’etat du systeme a l’arrivee de chaque

client et son temps d’attente reellement observe, nous pouvons alors apprendre

une fonction de prediction des temps d’attente pour ce systeme en utilisant des

algorithmes d’apprentissage machine. Le chapitre 4 presente des predicteurs de

delais d’attente pour les centres d’appels multi-competences avec des methodes

d’apprentissage machine. Ces predicteurs sont bases sur une approche heuristique

qui combine l’approximation de fonctions, l’apprentissage machine, la simulation, et

des idees des predicteurs QL pour la file unique. Dans ce chapitre, publie en partie

dans Thiongane et al. (2015), nous presentons les di↵erents predicteurs proposes et

11

etudions la robustesse des predicteurs face a la variation des taux d’arrivee et face

a la variation du sta�ng des groupes. A la fin de ce chapitre, nous avons compare

nos predicteurs a un autre predicteur qui utilise l’apprentissage machine, qui est

developpe pour les services d’urgence, appele Q-Lasso (Ang et al., 2016).

Les predicteurs qui utilisent l’apprentissage machine performent bien dans les

systemes multi-competences, mais un inconvenient est qu’ils ont beaucoup de pa-

rametres qui doivent etre appris a l’avance. Cette phase d’entraınement du modele

necessite une grande quantite de donnees et du temps de calcul. Ces predicteurs

sont egalement complexes a implementer dans la pratique. Au chapitre 5, nous pro-

posons deux predicteurs DH (E-LES, AvgC-LES), publies dans Thiongane et al.

(2016), simples a implementer en pratique, et qui possedent tres peu de parametres .

Dans ce chapitre, nous avons presente en detail les nouveaux predicteurs et compare

leurs performances avec celles des autres predicteurs DH et celles des predicteurs

qui utilisent l’apprentissage machine presentes au chapitre 4.

Au chapitre 6, nous proposons de nouvelles idees pour adapter les predicteurs

QL dans les centres d’appels multi-competences. Nous faisons l’hypothese que le

centre d’appels multi-competences peut etre modelise par un systeme alternatif

constitue de K modeles de file d’attente independants ou K est le nombre de type

d’appels du centre d’appels multi-competences. Pour chaque type d’appel, nous

avons un groupe d’agent qui traite les appels. La principale di�culte dans ce cas

est de determiner le nombre d’agents de chaque groupe pour avoir l’equivalence des

deux modeles. Nous avons propose plusieurs methodes pour determiner le nombre

d’agents de chaque groupe. Les erreurs de predictions obtenues avec ces predicteurs

pour un petit modele N sans abandons sont plus petites que celles des predicteurs

LES, E-LES et AvgC-LES. Les tests de robustesse des nouveaux predicteurs face

a la variation des taux d’arrivees sont satisfaisants dans ce petit exemple.

Au chapitre 7, nous presentons notre contribution dans l’article d’Ibrahim et al.

(2016b) qui propose une modelisation des durees de services dans les centres d’ap-

pels. Au debut de ce chapitre, nous presentons une revue de la litterature sur la

modelisation des durees de service. Par la suite, nous presentations en details les

12

nouveaux modeles de durees de service, et la qualite de leurs ajustements sur des

donnees du centre d’appels d’Hydro-Quebec. En fin de ce chapitre, nous examinons

l’impact operationnel des modeles par simulation.

13

CHAPITRE 2

DESCRIPTION D’UN CENTRE D’APPELS ET MESURES DE

PERFORMANCES

Dans ce chapitre, nous allons donner une description detaillee des centres d’ap-

pels etudies a la section 2.1. Toutes les mesures de performances, qui sont utilisees

dans cette these, sont definies a la section 2.2.

2.1 Description du modele de centres d’appels

Nous considerons des modeles de centres d’appels multi-competences pour les-

quels il y a uniquement des appels entrants. Chaque appel est classe dans l’un des K

types d’appels possibles. La classification des appels est en general e↵ectuee par un

systeme automatique appele “Interactive Voice Response” (IVR). Les agents sont

divises en G groupes. Un agent du groupe g œ {1, . . . , G} a un ensemble de com-

petences Sg

™ {1, . . . , K} qui definit l’ensemble des types d’appels que cet agent

peut servir. Les heures d’ouverture du centre d’appels sont divisees en P periodes

d’une duree constante. Par exemple, si le centre d’appels est ouvert de 8:00 a 20:00

et les periodes sont de 30 minutes, nous avons P = 24. Nous supposons que les

arrivees sont des processus stochastiques ou doublement stochastiques et que nous

avons un processus pour chaque type d’appel k. Pour chaque type d’appel k et a

la periode p, nous considerons que le processus d’arrivee a un taux constant ⁄

k,p

.

Dans les exemples etudies, nous avons considere des processus d’arrivees Poisson ou

Poisson-gamma. Dans le cas des processus de Poisson, le taux est constant fixe sur

chaque periode p. Dans le cas des processus Poisson-gamma, le taux d’arrivee est

une variable aleatoire Gamma sur chaque periode p. Le vecteur des taux d’arrivee

sur toutes les periodes P est ⁄

k

= (⁄

k,1, · · · , ⁄

k,P

). Ces processus d’arrivee sont

supposes independants pour tous les types d’appels. Chaque groupe g a un sta�ng

constant s

g,p

sur chaque periode p et s

g

= (s

g,1, . . . , s

g,P

) represente le vecteur de

sta�ng du groupe g sur l’ensemble des P periodes.

Dans les exemples etudies, les temps de service sont exponentiels de moyenne

µ

≠1 ou de loi log-normale de parametres d’echelle Ÿ et de forme ‡. Nous utilisons

aussi souvent la moyenne m et la variance v pour caracteriser les parametres de

la distribution log-normale. Pour certains des centres d’appels etudies, nous avons

suppose que les agents du groupe sont tous identiques. Dans ce cas-ci, nous definis-

sons une seule distribution du temps de service pour chaque groupe d’agents. Par

contre, pour d’autres centres d’appels etudies, par exemple ceux du chapitre 6 qui

est concentre sur la modelisation des durees de service, nous avons suppose que les

agents du groupe sont di↵erents. Ainsi, nous definissons une distribution du temps

de service pour chaque agent et chaque type d’appels dont il possede la competence

pour le servir. Cette derniere supposition est plus realiste que la premiere, car dans

la vie reelle, les agents sont des humains. Plusieurs facteurs peuvent influencer leurs

performances. En general, les agents qui ont traite de nombreux appels au cours de

l’annee sont beaucoup plus rapides en moyenne que ceux qui ont manipule quelques

appels.

Pour chaque type d’appel k, les temps de patience sont exponentiels de moyenne

‹

≠1k

. Un client quitte la file d’attente des que son temps d’attente depasse son

temps de patience. Nous ne modelisons pas les rappels apres abandons bien que les

abandons dans les centres d’appels peuvent augmenter les futurs taux d’arrivees.

Nous supposons que chaque client a besoin uniquement d’un seul type de service et

il n’y a pas de possibilite qu’un agent interrompe un appel en service. Il y a une file

d’attente par type d’appel. Un nouvel appel de type k est place a la fin de la file

d’attente k, si, a son arrivee, il n’y a pas un agent libre ayant la competence pour

le servir. Les appels de meme type sont toujours traites premier arrive, premier-

servi. Le routeur attribue les appels aux agents libres selon la politique de routage

definie. La politique qui est souvent utilisee est la politique de routage par priorite.

Selon cette derniere, chaque groupe d’agents definit un ordre de selection des types

appels dont il possede la competence, et chaque type d’appel a une liste de priorite

qui definit l’ordre de selection des agents. Si plusieurs agents du meme groupe sont

15

disponibles pour traiter un appel, le routeur selectionne l’agent qui a la plus longue

periode d’inactivite ; voir Chan et al. (2014) pour plus de details sur cette politique

et sur les politiques de routage en general.

Dans le cas des etudes de prediction de delai d’attente, nous utilisons un predic-

teur de delai pour chaque type d’appel k. Si un appel de type k doit attendre a la file

d’attente, son temps d’attente est immediatement estime en utilisant le predicteur

associe a ce type. Le temps d’attente estime est soit une moyenne conditionnelle a

l’etat du systeme, ou bien un temps d’attente deja observe par un client, ou bien

une moyenne conditionnelle des attentes deja observees par plusieurs clients. Nous

ne re-estimons pas le temps d’attente residuel du client regulierement pour mettre

a jour la prevision. Nous ne faisons pas une annonce du delai d’attente estime aux

clients et n’etudions pas l’impact de telles annonces dans cette these. Les centres

d’appels etudies n’o↵rent pas une option de rappel aux clients meme si les temps

d’attente estimes sont longs ou s’il y a congestion du systeme. Nous supposons aussi

que les predictions de delai n’ont aucune influence sur le comportement des clients

ou sur les operations du centre d’appels. Notre seul but avec ses predictions est de

mesurer l’e�cacite des predicteurs apres une simulation du centre d’appels.

Dans nos exemples numeriques, nous utilisons souvent trois parmi les modeles

canoniques de centres d’appels multi-competences (Garnett et Mandelbaum, 2000).

Le premier est le “modele V” avec deux types d’appels et un groupe d’agent qui

traite les deux types d’appels. Le second est le “modele N”avec deux types d’appels

et deux groupes d’agents, ou les groupes ont les ensembles de competences S1 = {1}et S2 = {1, 2}. Le groupe 1 peut servir uniquement les appels de type 1 et le groupe

2 peut servir tous les appels. Le troisieme est le“modele W”avec trois types d’appels

et deux groupes d’agents. Les groupes ont les ensembles de competences suivants

S1 = {1, 2}, S2 = {2, 3}. Le groupe traite les appels 1 et 2, et le groupe 2 traite les

appels de type 2 et de type 3. Les trois modeles sont illustres a la figure 2.1.

16

Type1 Type2

G1

Type1 Type2

G1 G2

Type1 Type2 Type3

G1 G2

Figure 2.1 : Les modeles multi-competences V, N et W

2.2 Les mesures de performances

Dans cette section, nous allons definir les mesures de performance qui sont

utilisees dans cette these. Certains predicteurs de delai proposes dans cette these

sont optimises pour minimiser l’erreur quadratique moyenne ou “Mean Squared

Error”(MSE) des predictions de la journee. Le plus souvent nous utilisons sa version

normalisee qui est la racine relative du MSE appele aussi “Root Relative Mean

Squared Error” (RRMSE) pour mesurer les erreurs de predictions des predicteurs.

Dans nos simulations, nous ne pouvons pas calculer la valeur exacte du MSE mais

calculons en general sa valeur empirique, notee ASE et sa racine normalisee appelee

le RRASE. Pour quantifier les performances des centres d’appels, nous utilisons

aussi le niveau de service SL et le temps d’attente moyen AWT, la probabilite de

delai PD, la probabilite d’abandon PA et la longueur moyenne de la file d’attente

AQS.

Soit E le temps d’attente predit d’un client “aleatoire” de type k qui opte pour

attendre, choisi au hasard parmi tous les clients sur une infinite de jours dans le

modele, et soit W son temps d’attente realise (nous ne considerons pas les clients

qui ont abandonne), le MSE pour le type d’appels k est defini comme

MSEk

= E[(W ≠ E)

2]. (2.1)

Puisque nous ne pouvons pas calculer exactement le MSE, nous l’estimons par

17

sa contrepartie empirique (un estimateur consistant) appelee le average squared

error (ASE). Nous utilisons la simulation pour calculer le ASE. Soit C le nombre

de clients servis de type k qui ont eu a attendre a la file d’attente. Nous notons leurs

temps d’attente predits et realises par E1, . . . , E

C

et W1, . . . , W

C

, respectivement.

Le ASE pour le type k est defini comme suit

ASEk

=

1

C

Cÿ

c=1(W

c

≠ E

c

)

2. (2.2)

Notez que nous ne considerons que les clients qui ont vecu un temps d’attente

positif, W

c

> 0, et qui ont attendu jusqu’a ce qu’ils recoivent un service. Dans

certains travaux, la definition du ASE qui inclut egalement les delais virtuels pour

les clients qui ont abandonne, voire par exemple Ibrahim et Whitt (2009a). Il est

raisonnable de penser que le ASE va converger vers le MSE avec un grand nombre

de replications des simulations.

Lorsque nous comparons la precision des predicteurs dans nos experiences nu-

meriques, nous generons un ensemble d’observations distinct et independant par

simulation. Au lieu du ASE, nous utilisons souvent sa racine appele “root average

squared errors” (RASE)

RASEk

=

ÒASE

k

. (2.3)

ou bien une version normalisee du ASE, appele le “root relative average squared

errors” (RRASE), mesure sur ce nouvel ensemble de donnees. Le RRASE pour le

type k est

RRASEk

=

ÔASE

k

(1/C)

qC

c=1 W

c

. (2.4)

Les RRASEk

des predicteurs sont mesurees sur le meme ensemble de donnees, de

sorte que les W

c

et C sont identiques a travers les predicteurs.

Pour mesurer l’e�cacite des predicteurs par rapport au temps d’attente reel-

lement observe, nous utilisons aussi la moyenne absolue du pourcentage d’erreur,

appelee “mean absolute percentage error” (MAPE). Il est donne par la formule

18

suivante :

MAPEk

= 100 · 1

C

Cÿ

c=1

----W

c

≠ E

c

W

c

---- . (2.5)

Une mesure de performance que nous observons souvent dans les centres d’ap-

pels est le niveau de service ou“service level”(SL) qui est defini par la proportion des

appels servis apres avoir attendu au plus t unites de temps, ou t est une constante

appelee le temps d’attente acceptable ou “acceptable waiting time” (AWT) (Chan,

2006, Gans et al., 2003). Par exemple, si une entreprise a pour objectif de repondre

a 80% de tous les appels dans les 20 secondes qui suivent leur arrivee, alors le seuil

de niveau de service est t = 20 secondes. Le niveau de service, de meme que les

autres mesures de performances sont generalement mesurees pour chaque periode

du centre d’appels (intervalle de temps d’une demi-heure par exemple) et souvent

rapportees sur une base quotidienne, hebdomadaire ou mensuelle. Soient S

B

(t) le

nombre d’appels servis dans un delai inferieur ou egal a t et S le nombre total d’ap-

pels servis. Soient N le nombre total d’appels, A le nombre d’abandons et A

B

(t)

le nombre d’abandons avec un temps de patience inferieur ou egal a t. Il existe

plusieurs definitions du SL. Une qui est souvent utilisee est la suivante :

hSL =

E[S

B

(t)]

E[N ]

. (2.6)

Une autre definition du SL qui est aussi souvent utilisee en pratique, exclut A

B

(t),

les appels qui ont un temps de patience inferieur ou egal au seuil t, du nombre

total d’appels a considerer au denominateur de la formule precedente. Il s’agit de

la formule consideree dans cette these et choisie par Bell Canada et le Conseil de la

radiodi↵usion et des telecommunications canadiennes (CRTC) ; voir CRTC (2000).

Il est defini comme suit :

hSL =

E[S

B

(t)]

[N ≠ A

B

(t)]

. (2.7)

Une mesure de performance que nous observons souvent est le temps d’attente

19

moyen, appele “Average waiting time” (AWT), qui est defini par

h

w

=

E[W ]

E[N ]

, (2.8)

ou W est la somme des temps d’attente de tous appels arrives. Dans cette somme,

nous considerons les temps d’attente des appels servis et ceux des appels abandon-

nes.

La taille moyenne de la file AQS est une autre mesure de performance connexe

au temps d’attente. Supposons que le centre ouvre au temps t

i

et ferme au temps

t

f

. AQS est definie comme

h

q

=

E[Q]

E[t

f

≠ t

i

]

, (2.9)

ou

Q =

⁄tf

ti

b(t)dt

et b(t) est la taille de la file d’attente au temps t.

Soit L le nombre total d’appels qui ont attendu a la file d’attente avant d’etre

servis, la proportion de delais, PD, est alors definie par

P

d

=

E[L]

E[N ]

. (2.10)

La proportion d’abandons, PA, est aussi souvent utilisee pour mesurer la per-

formance des centres d’appels. Elle est definie par

P

a

=

E[A]

E[N ]

. (2.11)

20

CHAPITRE 3

REVUE DE LA LITTERATURE SUR LA PREVISION DES DELAIS

Dans ce chapitre, nous allons faire une revue de la litterature sur la prediction de

delai dans les systemes de service et des travaux qui analysent les e↵ets des annonces

de delais d’attente sur le comportement des clients et sur les performances du

systeme. Nous presentons en premier les travaux e↵ectues sur les e↵ets des annonces

et nous terminerons par la presentation des travaux faits sur la prediction du delai

dans les systemes de service en general et dans les centres d’appels en particulier.

3.1 L’e↵et de l’annonce du delai d’attente

Dans cette section, nous allons examiner les travaux existants sur les e↵ets de

l’annonce du delai d’attente dans les centres d’appels telephoniques. En general,

sur ce sujet, on examine les e↵ets de l’annonce des temps d’attente estimes sur le

comportement des clients et sur les performances du systeme. En e↵et, ces travaux

modelisent explicitement la reaction des clients aux annonces de delais d’attente

estimes. Le but de cette revue de la litterature est de motiver l’importance de

nos recherches sur la prediction de delai. Ces etudes ne sont pas faites exactement

dans les memes modeles de travail que les notres (nous travaillons sur des mo-

deles plus complexes), mais les conclusions tirees de ces travaux sont importantes

a connaıtre et peuvent s’etendre dans notre contexte. Les objectifs de ces travaux,

sur les annonces de delais pour les centres d’appels, sont faits pour maximiser le

taux de satisfaction des clients, ameliorer les niveaux de services, diminuer les taux

d’abandon, et augmenter le profit des entreprises.

Notons d’abord qu’il existe un ensemble d’articles concentres sur les e↵ets de

l’annonce du delai d’attente dans les systemes de file d’attente dans d’autres do-

maines, bien avant leur etude pour les centres d’appels telephoniques.

De nombreuses etudes statistiques publiees ont montre l’impact psychologique

negatif des delais d’attente sur les clients dans di↵erents systemes de services (Dob-

son et Pinker, 2006, Dube-Rioux et al., 1989, Hassin, 1986, Taylor, 1994b). Les

clients eprouvent souvent de la colere ou du stress a cause de l’incertitude sur le

delai d’attente, ce qui peut conduire a diminuer la satisfaction des clients. Des

enquetes ont montre aussi que les clients non informes ont tendance a surestimer

leur temps d’attente (Katz et al., 1991). Ces resultats motivent l’utilisation de l’an-

nonce du delai pour diminuer l’impact negatif des attentes. Hui et Tse (1996b) ont

observe que fournir des informations de delai aux clients etait plus e�cace pour les

files d’attente avec des durees d’attende “intermediaires”. Lorsque la file d’attente

est petite, le temps d’attente est court, alors l’annonce de delai a un impact negli-

geable. A l’autre extreme, lorsque la file d’attente est longue, annoncer un grand

delai ne semble pas apporter une amelioration significative sur la satisfaction des

clients. Il est egalement important de fournir des annonces de delai precis. Mowen

et al. (1993) ont observe que les clients ressentent un plus haut niveau d’insatisfac-

tion lorsque leur attente reelle depasse leur temps d’attente annonce. D’autre part,

les annonces de delais qui sont trop pessimistes peuvent conduire a un plus grand

nombre d’abandons. Dans la suite, nous allons parler de l’e↵et de ces annonces dans

les centres d’appels telephoniques.

Guo et Zipkin (2007) considerent un centre d’appels modelise par une file d’at-

tente Markovienne avec un seul serveur (file d’attente M/M/1, les arrivees au centre

se font selon un processus de Poisson, les temps de service suivent une distribution

exponentielle et on a un seul agent qui repond aux appels). Dans leur modele, le

client qui arrive au centre peut choisir entre deux options. Le premier est de quitter

immediatement le systeme et le second est de rester dans le systeme en attendant

d’etre servi. Les auteurs etudient l’impact de plusieurs niveaux d’information four-

nis aux clients sur les performances du systeme. Ils considerent trois niveaux d’in-

formation : (a) aucune information (sur la distribution du temps d’attente), (b) une

information partielle (la longueur de la file d’attente), ou (c) information complete

(delai d’attente exact). Ils concluent que sous certaines conditions fournir plus d’in-

formation sur le delai d’attente peut aider le fournisseur de services a augmenter le

22

niveau de service ou augmenter la satisfaction des clients. Cependant, dans certains

cas, plus d’informations peuvent e↵ectivement nuire a l’un ou a l’autre.

Jouini et al. (2011b) ont etudie l’impact de la precision des annonces sur un

systeme plus complexe et plus realiste que celui de Guo et Zipkin (2007). Ils uti-

lisent un systeme multi serveur avec possibilite d’abandon modelise par une file

M/M/s+M. Les arrivees se font selon un processus de Poisson, les temps de service

suivent une distribution exponentielle et les abandons se font selon une distribution

exponentielle. Les auteurs ont observe l’impact de la precision des annonces sur le

taux d’abandon immediat des clients et le taux d’abandon apres avoir sejourne un

certain temps dans le systeme. Comme dans Guo et Zipkin (2007), des annonces de

delais avec di↵erents niveaux de precision sont donnees aux clients a leur arrivee.

Apres l’annonce de l’information aux clients, ces derniers peuvent ainsi prendre la

decision ou bien de quitter immediatement le systeme, ou bien d’abandonner apres

avoir sejourne un certain delai, ou bien d’attendre jusqu’a recevoir le service. Les

auteurs ont montre que le taux d’abandons immediats et le taux des abandons

apres avoir sejourne un certain temps dans le systeme sont fonction de la preci-

sion du delai d’attente annonce et de la sensibilite de la reaction des clients face

aux delais annonces. Ils ont observe aussi qu’une plus grande precision dans les

annonces n’est pas toujours mieux pour l’amelioration des performances. Dans ce

travail, les auteurs ont mene des etudes analytiques et numeriques pour determiner

ce qui devrait etre la precision optimale des annonces (la precision qui minimise le

nombre d’abandons dans le systeme). Les conclusions des auteurs dans cet article

sont aussi similaires a celles de Mowen et al. (1993) qui sont faites dans un systeme

de service autre qu’un centre d’appels.

Whitt (1999a) etudie un systeme de file d’attente avec une capacite finie. Le

centre d’appels est modelise par une file M/M/s/r (un systeme de file d’attente

multi serveurs dont la file a une capacite r ; les arrivees se font selon un processus de

Poisson et les temps de service suivent une distribution exponentielle). Il compare

les performances entre deux modeles. Dans le premier modele (“modele 1”), aucune

information n’est fournie aux clients a leurs arrivees. Les clients ont la possibilite

23

d’abandonner immediatement, ou bien d’abandonner apres une certaine attente

dans le systeme (au cas ou le temps d’attente reel du client depasse son temps de

patience). Dans le second modele (“modele 2”), des delais d’attente estimes en se

basant sur l’etat du systeme sont fournis aux clients a leur arrivee au centre d’ap-

pels. Il suppose que les delais d’attente estimes et annonces aux clients sont exacts.

Les clients peuvent ou bien abandonner immediatement ou bien rester dans la file et

attendre leur tour pour etre servis. Dans le “modele 2”, tous les abandons apres une

certaine duree dans le “modele 1” sont remplaces par des abandons immediats. Ce

choix est justifie par le fait que le client connaıt son temps de patience, et considere

le delai d’attente annonce comme etant une estimation exacte. Ainsi des l’annonce

du delai d’attente, le client prend la decision de quitter immediatement quand le

delai d’attente annonce est superieur a son temps de patience, ou attend son tour

d’etre servi dans le cas contraire. L’auteur a montre dans l’article que si les deux

systemes ont les memes parametres, le nombre moyen de clients dans le systeme

est plus grand avec le “modele 1” qu’avec le “modele 2”. Les abandons immediats

des clients a l’arrivee sont plus importants dans le “modele 2”, permettant ainsi de

diminuer la congestion du systeme. Ainsi les clients sont plus susceptibles d’etre

mis en attente dans le “modele 1” et plus susceptibles d’etre traites sans attente

dans le “modele 2”. Avec des exemples numeriques, Whitt a aussi evalue certaines

mesures de performance (la probabilite qu’un client soit servi, la probabilite de

delai, la probabilite d’abandon immediat et abandon) du systeme avec les deux

modeles, en utilisant un nombre de serveurs s tres grand. Ils ont observe que les

performances sont tres similaires dans les deux systemes. La seule di↵erence est

que dans le modele avec abandons immediats, les clients qui ne sont pas servis

n’ont pas beaucoup a attendre alors que dans l’autre modele leurs temps d’attente

sont beaucoup plus grands. Whitt (1999a) fournit un support theorique pour l’uti-

lisation des annonces de delai d’attente comme un mecanisme de controle pour les

fournisseurs de services.

Armony et al. (2009) etudient l’impact des annonces du delai d’attente dans

un centre d’appels decrit par un systeme de file d’attente multi serveurs a tra-

24

fic intense avec possibilite d’abandon. Ils enlevent la supposition non realiste de

Whitt (1999a) qui consiste a ecarter la possibilite d’abandon apres etre reste un

certain temps dans la file d’attente. Dans leur systeme, les clients ont la possibilite

d’abandonner immediatement ou bien d’abandonner apres etre restes une certaine

duree dans le systeme. Les auteurs utilisent les approximations dans les modeles

fluides deterministes developpes par Whitt (2006) pour determiner les performances

approximatives du systeme. Dans un premier temps, ils determinent le temps d’at-

tente moyen a l’etat d’equilibre (FD) et l’utilisent pour faire des annonces de delai

d’attente aux clients. Dans un second cas, ils annoncent le temps d’attente reel

du dernier client a entrer en service (DLS) comme le temps d’attente estime pour

tout nouvel appel. La comparaison des deux modeles a permis de conclure que

l’annonce du delai d’attente dependant de l’etat du systeme (DLS) est plus precise

que l’annonce d’un delai d’attente fixe (FD) pour l’ensemble des clients. Le nombre

d’abandons est plus grand dans le premier cas que dans le second. De meme, l’er-

reur quadratique moyenne (MSE) des predictions est plus grande dans le premier

cas que dans le deuxieme.

Jouini et al. (2011a) etudient l’impact de la precision des annonces sur le taux

d’abandon immediat des clients et le taux d’abandon apres avoir sejourne un certain

temps dans le systeme, comme dans Jouini et al. (2011b), a la di↵erence qu’ici les

clients peuvent reagir aux annonces par une modification de leur temps de patience.

Ils utilisent un centre d’appels avec des clients impatients. Les clients reagissent par

des abandons immediats et par des abandons apres une certaine attente, particu-

lierement quand ils realisent que le delai d’attente reel excede le delai qui leur est

initialement annonce. Dans cet article, les auteurs etudient deux modeles. Dans le

premier modele note “modele 1”, aucune annonce du delai d’attente n’est fournie

aux clients. Dans le deuxieme modele, “modele 2”, des informations sur le delai

d’attente estime sont annoncees aux clients a leurs arrivees. Du fait de l’impos-

sibilite de trouver une estimation de delai exacte, un delai correspondant a une

probabilite de couverture — est communique au client. Le delai d’attente E

i

estime

et communique au client i satisfait la contrainte P[W

i

Æ E

i

] Ø — ou W

i

est le vrai

25

temps d’attente (temps d’attente reel) du client i dans le systeme. Dans le “modele

2” analyse par Whitt (1999a), une fois que le nouveau client accepte de rejoindre

la file, il n’abandonne plus jamais. Whitt avait remplace tous les abandons apres

une certaine attente du “modele 1” par des abandons immediats dans le “modele

2” et ceci etait justifie si on suppose que les delais d’attente estimes sont exacts.

C’est-a-dire que l’estimateur est parfait. Mais comme nous utilisons des proces-

sus stochastiques, la prediction et le delai annonce ne sont pas exacts. Puisque les

clients connaissent cela, nous pouvons envisager que beaucoup d’autres choses se

passent. Ici les auteurs autorisent le client (indexe par i) a mettre a jour son temps

de patience t

i

en reponse au delai d’attente annonce E

i

. Le temps de patience est

modelise par la valeur suivante : ◊t

i

+ (1 ≠ ◊)E

i

pour ◊ Ø 0. Pour un client i qui

ne met pas a jour son seuil de patience t

i

apres l’annonce du delai alors ◊ = 1 (“no

update case”). Une autre possibilite est que le client met completement a jour son

seuil de patience et remplace t

i

par le delai annonce, represente par ◊ = 0 (“update

case”). Le cas ou ◊ > 1 peut correspondre a un cas ou les annonces entraınent une

augmentation du temps de patience des clients. Dans leur modele, ils n’autorisent

pas ◊ < 0. Les auteurs ont montre que l’annonce d’un delai d’attente avec une cou-

verture elevee est importante quand la reaction des clients au delai est assez elevee

ou lorsque la prevention des abandons de clients est jugee essentielle (contrainte

de niveau de service stricte), ou lorsque la congestion du systeme est elevee. Par

une etude analytique, ils ont montre qu’un compromis entre les abandons apres

une certaine attente et les abandons immediats peut etre realise en choisissant la

couverture d’annonce. Ils ont montre aussi qu’une couverture elevee n’est pas ne-

cessairement meilleure pour les fournisseurs de services et que la couverture des

annonces doit etre soigneusement controlee en presence de di↵erentes reactions des

clients. Ce controle supplementaire, s’il est correctement utilise, fournit aux ges-

tionnaires un moyen d’ameliorer les performances, en particulier si la reaction des

clients aux annonces est forte et si le systeme est petit ou surcharge.

Jouini et al. (2011a) etudient un systeme ou le delai d’attente estime n’est pas

fourni immediatement aux clients a leur arrivee, mais apres une courte periode

26

(passee soit en attente ou occupe par le systeme). Les auteurs etudient l’impact de

ce report sur la capacite du gestionnaire a influencer le comportement des clients

en leur communiquant des informations de congestion non verifiables. Ils etudient

aussi l’impact de ce report sur les profits de l’entreprise et les utilites des clients.

Ils considerent un systeme ou les clients qui arrivent sont servis en deux etapes. La

premiere etape, qui n’est pas necessairement pour le service, ne necessite aucune

ressource humaine, est generalement e↵ectuee par un serveur automatique ou “In-

teractive Voice Response” (IVR) dans le cadre des centres d’appels. Cette etape est

habituellement utilisee pour fournir aux clients des informations generales ainsi que

pour recueillir des informations aupres du client d’une maniere e�cace. Le delai

de traitement avec l’IVR est considere comme le mecanisme qui fournit le delai

du report et est utilise pour etudier l’impact du report de l’annonce sur les delais

d’attente. La deuxieme etape, qui genere de la valeur pour l’entreprise et le client,

exige des ressources humaines. Apres que les clients ont termine leurs interactions

avec l’IVR, le gestionnaire leur fournit un message indiquant la duree de l’attente

dans le systeme. A ce stade, le client peut decider de rejoindre ou d’abandonner

le systeme. S’il decide de rejoindre, il entre dans la file d’attente multi serveur

pour etre servi et n’a plus la possibilite d’abandonner. Ils ont d’abord montre que

si l’entreprise a le controle total (c’est-a-dire peut demander a un client d’aban-

donner immediatement ou bien de rejoindre la file pour etre servi par un agent),

sous certaines conditions, une politique de controle d’admission optimale peut etre

obtenue et ce report peut aider l’entreprise a ameliorer son profit. Cependant, en

pratique, il est di�cile et aussi tres couteux de demander a un client de quitter

une fois admis dans le systeme. Par la suite, ils ont montre aussi que ce delai peut

reellement aider l’entreprise a creer de la credibilite et entraıner un equilibre (en

utilisant des niveaux d’information supplementaire non precisee). Toutefois, ce de-

lai peut egalement nuire a l’equilibre du systeme et a la credibilite du gestionnaire

si l’entreprise est plus sophistiquee dans ses strategies.

Hui et Tse (1996b) ont observe que lorsque la file d’attente est longue, annoncer

un grand delai ne semble pas apporter une amelioration significative sur la satis-

27

faction des clients et peut meme dans certains cas entraıner une augmentation des

abandons dans le systeme. Dans une telle situation, il est preferable d’o↵rir aux

clients la possibilite d’etre rappele plus tard. Des enquetes e↵ectuees sur plusieurs

centres de contacts (Advice, 2014) ont montre que plus de 60% des clients preferent

etre rappeles que de rester en attente pendant plusieurs minutes. En plus d’aug-

menter le taux de satisfaction, et d’eviter les longues attentes pour les clients, une

bonne strategie de rappels (une bonne politique de routage des appels en attente

a la file et des rappels) peut aider a equilibrer les charges du systeme, diminuer

les abandons, eviter les repetitions d’appels, et augmenter le niveau de service des

systemes. Actuellement, beaucoup de centres d’appels utilisent les delais estimes

pour faire des annonces et proposer le rappel si necessaire. La plupart des logiciels

pour la gestion de centre d’appels (Five9, Virtual Contact Center, VanillaSoft, etc)

supportent l’option de rappel.

Nous allons maintenant examiner des travaux qui combinent les annonces de

delai d’attente avec la proposition d’une option de rappel. Dans ces travaux, en

plus de l’annonce du delai, une option de quitter et d’etre rappele plus tard est

proposee au client si le temps d’attente estime est superieur a un certain seuil de

S unites de temps. Ce seuil S (par exemple 30 minutes), qui est synonyme d’une

longue attente ou d’une congestion du systeme, est fixe par le gestionnaire. Avec

un delai d’attente estime D Ø S, la probabilite d’abandonner avant de recevoir du

service peut etre (dependant de S) largement superieure a la probabilite d’attendre

a la file jusqu’a etre servi. Dans le cas ou le client choisit d’etre rappele, di↵erents

mecanismes de rappel peuvent etre utilises. Dans certains cas, le rang a la file

d’attente du client qui opte pour le rappel est toujours maintenu. Autrement dit

le client quitte reellement la file d’attente, mais son rang a la file est toujours

virtuellement maintenu. Ainsi, le rappel du client est e↵ectue quand son tour arrive

a la file. Ce mecanisme est par exemple utilise au centre d’appel Hydro-Quebec et

au centre d’appel de la compagnie de telephone FIDO. Dans d’autres cas, le rappel

du client est e↵ectue apres une certaine duree. Cette duree peut-etre une valeur fixe

(elle reste toujours la meme pour tous les clients de rappel) ou bien une variable

28

dependant de l’etat du systeme (par exemple quand le systeme devient vide). Les

clients qui sont en attente dans la file sont souvent appeles les “clients reels”, et

ceux qui acceptent d’etre rappeles sont appeles “les clients virtuels”. Beaucoup de

travaux se sont penches sur la recherche de politiques de routage “optimales” des

di↵erents types d’appels (reels et virtuels) qui minimisent la duree moyenne des

attentes pour les “clients reels”, et qui maximisent le niveau de service pour les

“clients virtuels” dans des systemes de file d’attente avec option de rappel. Dans

cette section, nous presentons quelques travaux qui utilisent les delais d’attente

estimes pour determiner la politique de routage optimale des di↵erents types de

clients. Cependant, il faut noter qu’il existe des travaux qui n’utilisent pas les temps

d’attente pour determiner la politique de routage optimale dans des systemes avec

des clients reels et virtuels ; voir par exemple Dudin et al. (2013), Gans et Zhou

(2003), Kim et al. (2012) et Ding (2016).

Armony et Maglaras (2004a) examinent un centre d’appels modelise par une

file d’attente multi serveurs sans abandons qui o↵re une option de rappel aux

clients. Les clients arrivent selon un processus de Poisson, les temps de service sont

exponentiels. Il y a s serveurs identiques qui servent les appels. A son arrivee au

centre, le client est informe de deux delais d’attente. Le premier est le delai d’attente

estime dans le cas ou le client choisit d’attendre dans la file. Le second est le delai

limite d pour etre rappele par un agent (un appel sortant) dans le cas ou il choisit

l’option de rappel. Dans leur modele, le client peut choisir entre : (i) rejoindre la file

d’attente et attendre d’etre servi, (ii) laisser un message pour le service de rappel,

ou (iii) abandonner immediatement et ne pas entrer dans le systeme. La decision du

client est prise est a l’issue du calcul de l’utilite associe a chaque choix et il choisit

toujours celle qui a la plus grande utilite. Les auteurs considerent un modele avec

deux classes de clients avec chacune sa file d’attente. Les clients qui optent pour

le service en temps reel constituent la classe 1 et ceux qui optent pour l’option

de rappel sont de la classe 2. Les clients arrivent au centre selon un processus de

Poisson de taux ⁄. On note par ⁄1(S), ⁄2(S), ⁄0(S) les taux d’arrivee, dependant

de l’etat du systeme S, avec lesquelles les clients se joignent a la classe 1, a la classe

29

2, ou abandonnent, respectivement, avec ⁄ = ⁄1(S) + ⁄2(S) + ⁄0(S).

Le systeme decrit ci-dessus peut etre represente par un modele V ; un systeme

multi-competences avec deux types d’appels et un seul groupe d’agents (Gans et al.,

2003, Garnett et Mandelbaum, 2000). L’objectif principal des auteurs est de de-

terminer une politique de routage optimale (c.-a-d. une politique qui maximise

le niveau de service et minimise le temps d’attente pour les clients reels, tout en

respectant la contrainte du delai limite de demarrage du service pour les clients vir-

tuels) des deux types d’appels (classe 1 et classe 2 ). Dans un tel systeme (malgre

une simplification non realiste qui suppose qu’il n’y a pas d’abandon apres etre reste

une certaine duree dans la file d’attente), la tache d’estimer le delai d’attente pour

un client reel conditionnel a l’etat du systeme est assez complexe. Sa dependance

aux taux d’arrivee, a l’etat du systeme et a la structure de la politique de routage

proposee rend ce calcul tres complexe parce que les delais d’attente de la classe 1

dependent de futures arrivees de classe 2, et les deux sont des fonctions de l’etat

qui change avec le temps. Pour simplifier davantage, les auteurs se concentrent sur

le cas particulier des grands systemes (grand s) a trafic intense, qui caracterise

certains centres d’appels. Dans un tel modele, la situation se simplifie considera-

blement. Cela est du a l’observation suivante : les grands systemes multi-serveur

beneficient d’une forme d’economie statistique d’echelle ; en particulier, le temps

d’attente des clients a la file reel decroıt vers zero, meme si le systeme est appro-

che a trafic intense. Par ailleurs, l’etat du systeme (nombre de serveurs occupes et

le nombre de clients dans la file d’attente) ne change pas de maniere significative

durant chaque courte periode d’attente.

Dans cette these, nous proposons des methodes des predictions au chapitre

4 et 5 qui sont independantes du routage, de la taille du systeme et du regime

pour les systemes multi-competences. Armony et Maglaras proposent une politique

de routage optimale qui utilise seulement l’information sur la longueur de la file

d’attente pour selectionner le type d’appels a traiter. Elle donne la priorite a la

classe 2 quand la longueur de sa file d’attente excede un certain seuil et a la classe

1 autrement. Cette politique de routage est asymptotiquement optimale dans le

30

sens ou elle minimise le temps d’attente pour les clients reels (classe 1) tout en

respectant la contrainte de date limite de demarrage des services des clients de

rappel (classe 2), (min E(W1) sujet a W2 Æ D2) ou W

i

le temps d’attente d’un

client qui se trouve a la file i le plus longtemps au temps t). Cette politique optimale

a ete trouvee en utilisant la proposition prouvee par Maglaras et Mieghem (2004)

qui stipule : Soit A

i

(t) le nombre total de clients qui sont arrives dans la file i

durant la periode de temps [0, t], et Q

i

(t) la longueur de la file i a l’instant t, alors

nous avons ceci :

W2 Æ D2 ’ t ≈∆ Q2(t) Æ A2(t) ≠ A2(t ≠ D2) ’ t (3.1)

C’est-a-dire aucun client de classe 2 n’a ete en attente pendant plus de D2 unite

de temps si et seulement si tous les clients actuellement en attente a la file 2 sont

arrives dans les dernieres D2 unites de temps. Par consequent, avec Q2(t) Æ A2(t)≠A2(t ≠ D2), le seuil approprie a utiliser est ◊(t) = A2(t) ≠ A2(t ≠ D2) et la politique

correspondante est specifiee comme suit : si Q2(t) Ø ◊(t), donner la priorite a la

classe 2, sinon donner la priorite a la classe 1. Maglaras et Mieghem utilisent une

methode d’estimation du delai d’attente des clients reels qui est asymptotiquement

optimale (si le systeme est dans un etat d’equilibre). En supposant avec optimisme

que l’etat de la file et le taux d’arrivee sont en e↵et constants au cours du temps

qu’un client sejourne dans la file 1, on peut estimer le delai d’attente dependant

de l’etat comme suit : Soit Q1 la longueur de la file d’attente de la classe 1 (son

taux d’arrivee est ⁄1), une version locale de la loi de Little montre que le temps

d’attente de classe 1 peut etre estime par

W1 =

Q1⁄1

. (3.2)

Ils concluent qu’en informant les clients sur les delais d’attente estimes, les gestion-

naires peuvent bien controler la congestion, et equilibrer les charges entre les deux

classes de clients.

31

Armony et Maglaras (2004b) ont travaille sur le meme modele que dans Ar-

mony et Maglaras (2004a). Ils considerent un systeme a trafic intense dans son etat

d’equilibre. Dans cet article, l’information donnee aux clients est le temps d’at-

tente moyen a l’equilibre du systeme, alors que dans Armony et Maglaras (2004a),

l’information recue par le client est une estimation du delai conditionnelle a l’etat

du systeme. Ils supposent que les informations fournies aux clients sont exactes,

c’est-a-dire que l’erreur de prevision est nulle. En comparant les resultats des deux

systemes, les auteurs ont montre que plus d’information augmente le taux d’utilisa-

tion global du systeme tout en o↵rant une meilleure qualite de service aux clients.

Le meme niveau de service est aussi garde pour les clients qui ont opte pour le

rappel.

Resume des recommandations de ces etudes.

Plusieurs types de modeles (M/M/1, M/M/s, M/M/s/r, M/M/s+M, Modele V)

ont ete etudies dans cette revue de la litterature sur les annonces de delais aux

clients. Les conclusions tirees de ces travaux sont importantes a connaıtre et montrent

qu’il est important d’avoir de bons predicteurs de delais pour les systemes de ser-

vice pour ameliorer les performances de ces systemes et augmenter la satisfaction

des clients. Des recommandations sont formulees dans chaque situation pour eviter

de deteriorer les performances du systeme : (i) Pour augmenter la satisfaction des

clients, et diminuer les abandons dans un systeme de service, il est toujours pre-

ferable de fournir aux clients des informations de la longueur de la file d’attente

que de ne fournir aucune information ; (ii) Fournir des informations sur le delai

d’attente contribue mieux a ameliorer les performances du systeme que de fournir

l’information sur la longueur de la file d’attente ; (iii) Si la variance sur les temps

attentes observees par les clients est grande, alors il est preferable de fournir des

informations de delai d’attente conditionnelle a l’etat du systeme que d’informer les

clients du temps d’attente moyen du systeme ; (iv) Cependant fournir de fausses in-

formations de delais aux clients peut deteriorer considerablement les performances

32

du systeme. Il est important d’avoir des predictions assez precises ; (v) Si les temps

d’attente estimes sont longs, l’annonce du delai d’attente ne contribue pas a ame-

liorer les performances du systeme ni a augmenter la satisfaction des clients. Dans

cette situation la proposition d’une option de rappel combinee aux annonces peut

beaucoup contribuer a equilibrer les charges du systeme, diminuer les abandons,

ameliorer les performances du centre d’appels.

Nous notons d’apres ces etudes et recommandations, qu’il est necessaire d’avoir

de bons predicteurs de delais pour les systemes de service. Dans la section suivante,

nous allons presenter les travaux sur les methodes de prediction dans les systemes

de service et plus particulierement dans les centres d’appels.

3.2 La prediction du delai d’attente des clients

La seconde partie de cette revue de litterature met l’accent sur la prediction

du temps d’attente des clients dans les systemes de service ou les predictions pour-

raient etre utilisees pour faire des annonces de delai d’attente aux clients. Notons

d’abord qu’il existe un ensemble d’articles concentres sur la prediction du delai

d’attente dans les manufactures bien avant leur etude dans les centres d’appels

telephoniques ; voir par exemple Morton et Vepsalainen (1987), Ornek et Collier

(1988), Shanthikumar et Sumita (1988). En general, dans ces travaux, on estime la

duree de fabrication des produits dans les ateliers en plusieurs etapes. Dans notre

contexte, on estime le delai d’attente d’un client avant son entree en service dans

un centre d’appels. Plusieurs travaux ont ete realises dans ce cadre. Cependant, il

faut noter que la plupart de ces travaux sont faits pour des systemes de service

avec un seul type de client (une seule file d’attente). Les travaux qui sont faits

pour les systemes complexes avec plusieurs classes de clients et plusieurs groupes

de serveurs (systemes multi-competences) sont rares. Le peu qui existe est en ge-

neral fait pour des systemes tres particuliers. Une contribution majeure de cette

these est le developpement de nouveaux predicteurs qui peuvent etre utilises dans

tous les systemes multi-competences. Il faut noter aussi que les predicteurs, qui

33

utilisent seulement l’historique du systeme, developpes pour les systemes avec une

seule classe de clients, peuvent s’etendre au cas multi competence. Mais malheureu-

sement, ces predicteurs donnent la plupart du temps de mauvaises performances

pour les systemes multi-competences actuels. La revenue de litterature dans ce

contexte sera divisee en deux parties. Dans la premiere partie, nous allons presen-

ter les travaux pour les systemes avec un seul un type de client et dans la seconde

partie, nous allons presenter les travaux faits pour les systemes multi-competences.

3.2.1 Les predicteurs pour les systemes avec un seul type de clients et

une seule file d’attente

Le predicteur de delai le plus simple qui peut etre utilise pour predire le temps

d’attente d’un client est celui qui ne regarde aucune information et qui prend le

temps d’attente moyen global sur tous les clients. Il est appele le predicteur NI

ou “Non-Information predictor” (Armony et Maglaras, 2004b, Ibrahim et Whitt,

2009a). En general, les performances de ce predicteur sont mauvaises sauf pour les

grands systemes a trafic intense a l’etat d’equilibre pour lesquels les temps d’attente

des clients sont tres similaires.

Des predicteurs qui utilisent les informations du systeme sont etudies dans

Whitt (1999b). Dans cet article, l’auteur se concentre sur l’estimation des delais

d’attente dans divers systemes de file d’attente multi serveur. Whitt suppose que

le systeme recoit un seul type de clients et que les serveurs sont tous identiques. Il

a travaille sur deux modeles di↵erents. Le premier sans abandon et le second avec

abandon. Il a montre qu’on peut bien estimer le delai d’attente W d’un nouveau

client ou d’un client deja dans la file si nous connaissons les informations sur l’etat

du systeme. Ces informations sont le nombre de clients en attente de service qui

precedent le client a la file, le nombre de serveurs, et le taux de sortie du systeme.

Par exemple pour le modele GI/M/s/r (GI indique le processus d’arrivee, les temps

de service sont exponentiels de moyenne µ

≠1, s serveurs, r est la capacite de la file),

a chaque fois que tous les serveurs sont occupes, le temps jusqu’a la prochaine fin

de service est une exponentielle de moyenne de 1/sµ, independamment du passe.

34

Par consequent, le temps d’attente avant le demarrage du service pour une nouvelle

arrivee avec s + k clients dans le systeme est la somme de k + 1 variables aleatoires

exponentielles i.i.d de moyenne de 1/sµ chacune, qui suit une distribution d’Er-

lang. Ainsi, l’esperance et la variance du temps d’attente W , conditionnelle aux

informations de l’etat du systeme, sont donnees par :

E[W ] =

k + 1

sµ

et Var[W ] =

k + 1

(sµ)

2 (3.3)

Ici on pourrait donner au client la loi de probabilite de son temps d’attente. Par

exemple un histogramme ou graphique de la densite.

En prenant le meme modele avec possibilite d’abandon et en supposant que

le client a la position j de la file peut abandonner avec un taux ”

Õj

alors le delai

d’attente du client ayant trouve k + 1 clients dans le systeme, peut etre represente

comme la somme de k + 1 exponentielles, mais pas identiquement distribuees. Le

taux total d’abandon quand il y a k clients dans la file est donne par :

”

k

=

kÿ

j=1”

Õj

(3.4)

et l’esperance et la variance du delai d’attente W sont donnees par :

E[W ] =

kÿ

j=1

1

sµ + ”

j

et Var[W] =

kÿ

j=1

1

(sµ + ”

j

)

2 (3.5)

Les predicteurs qui utilisent la longueur de la file d’attente et les parametres du sys-

teme pour estimer le delai d’attente sont souvent appeles “Queue Length predictor”

(QL).

La supposition que les serveurs sont tous identiques et leur nombre constant

dans le temps, qui est faite pour developper les predicteurs QL, n’est pas toujours

realiste dans les systemes de service. Par exemple dans un centre d’appels, le nombre

de serveurs et les moyennes du temps de service peuvent etre variables dans le

temps parce que les serveurs sont des etres humains qui servent dans di↵erentes

35

periodes et pourraient bien avoir di↵erentes distributions du temps de service. Les

durees de service des agents ne sont pas en general exponentielles comme on le

suppose souvent. Dans de telles situations, les predicteurs QL ne sont pas adaptes

et des predicteurs qui ne dependent pas des parametres du systeme peuvent etre

preferables. Ibrahim et Whitt (2008) ont developpe des predicteurs qui n’utilisent

aucun parametre du systeme et qui sont tres simples a implementer en pratique.

Pour estimer les temps d’attente des clients, les auteurs proposent des predicteurs

qui utilisent les delais d’attente deja vecus par les anciens clients du systeme. Les

di↵erents predicteurs consideres dans cet article sont : (i) le delai du dernier client

a entrer en service ou “the delay of the last customer to enter service” (LES), (ii) le

delai enregistre par le client a la tete de la file ou “the delay experienced so far by

the customer at the head of the line” (HOL), (iii) le delai du dernier arrive parmi

les clients qui ont recemment termine leur service ou “the delay experienced by the

customer to have arrived most recently among those who have already completed

service”(RCS). Ibrahim et Whitt ont compare la precision des di↵erents predicteurs

selon le critere du MSE pour le modele GI/M/s, en insistant sur les grands s. Ils

observent que les predicteurs LES et HOL sont tres similaires et sont plus precis

que RCS. Leur comparaison avec le predicteur QL (equation 3.3) montre qu’ils sont

legerement moins precis que ce dernier. Les predicteurs DH fournissent environ

les memes performances que QL lorsque le processus d’arrivee a une tres faible

variabilite. Dans la pratique les predicteurs DH sont attrayants et ont l’avantage

d’etre robuste, car ils repondent automatiquement aux changements de parametres

du systeme. Cependant, nous notons que les performances de ces predicteurs se

degradent lorsque la variation du processus d’arrivee augmente.

Pour ameliorer leurs performances dans les systemes avec variation importante

dans le processus, Ibrahim et al. (2016a) proposent deux ajustements du predic-

teur LES. Le premier est un predicteur LES proportionnel a la longueur de la file

d’attente observee (P-LES). Soient QLES le nombre de clients dans la file d’attente

lorsque le client LES arrive, x le delai d’attente du client LES, et Q le nombre de

clients dans la file d’attente en avant du nouveau client arrive. Pour tenir compte

36

de la variation de la longueur de la file d’attente, les auteurs considerent (comme

une heuristique) un predicteur qui multiplie x par le rapport Q/QLES. Ainsi le delai

d’attente W du nouveau client est estime par

E[W ] = x

Q

QLES. (3.6)

Le second predicteur est propose pour les modeles fluides avec une seule file d’at-

tente (A-LES). Soient ⁄, µ

≠1, et ‹

≠1 le taux d’arrivee, la moyenne des temps de

service, et la moyenne des temps de patience, respectivement. Le predicteur A-LES

predit l’esperance du delai W par

E[W ] =

1

‹

ln(fl + 1 ≠ fle

≠‹x

), (3.7)

ou fl = ⁄/(µs), s est le nombre de serveurs, et x est le delai du predicteur LES.

Notons que ce predicteur depend des parametres du systeme a cause de fl et ‹. Les

etudes comparatives menees sur ces predicteurs pour plusieurs modeles M/M/s+M,

montrent que LES est plus precis que P-LES, mais moins precis que A-LES. QL

est toujours plus precis que P-LES et A-LES.

Un autre predicteur souvent utilise en pratique est le predicteur Avg-LES qui

predit le temps d’un nouveau client par une moyenne de plusieurs LES (Armony

et al., 2009, Dong et al., 2016). Il retourne le delai moyen vecu par les N derniers

clients qui sont entres en service, pour un nombre entier N > 0 fixe, ou une variable

aleatoire qui represente le nombre de clients qui sont entres en service dans les T

dernieres unites de temps. Une plus grande valeur de N ou une plus grande fenetre

de temps T augmente le lissage et peut ainsi reduire la variance du predicteur,

mais ce grand decalage le plus souvent conduit a des predictions moins precises,

car il utilise des informations anciennes (moins pertinentes). En particulier, les

predictions sont plus susceptibles d’etre basees sur les attentes de clients qui ont

vu une file d’attente tres di↵erente devant eux quand ils sont arrives. Les N ou T

peuvent etre prises comme tous egales, mais il pourrait aussi avoir du sens a prendre

37

un grand N ou un petit T pour les classes de clients les plus frequentes. Dans nos

experiences, nous avons constate que le meilleur choix de N etait habituellement

N = 1, qui est equivalent a LES.

Avg-LES peut etre generalise a une moyenne ponderee des derniers temps d’at-

tente. Nous choisissons une sequence de poids non negatif „1, „2, . . . , generalement

non croissant et qui converge vers 0, et tel queqŒ

i=1 „

i

= 1. Ensuite, nous predisons

le temps d’attente d’un client qui arrive par

D =

Œÿ

i=1„

i

W

i

, (3.8)

ou W

i

est le temps d’attente du i-ieme dernier client qui a commence le service

(le LES pour i = 1, le precedent pour i = 2, etc.). Ce predicteur a de nombreux

parametres (les poids) dans sa forme generale, mais ce grand nombre de parametres

peut etre facilement reduit en mettant des contraintes sur les poids.

En prenant „

i

= 1/N pour i = 1, . . . , N et „

i

= 0 pour i > N , nous retrouvons

Avg-LES. Si nous prenons „

i

= –(1 ≠ –)

i≠1 a la place, pour un facteur de lissage

– œ (0, 1], nous obtenons une moyenne exponentielle (ESAvg-LES) au lieu d’une

moyenne ordinaire. Pour – = 1, nous retrouvons LES. Pour – < 1, l’implemen-

tation doit etre approximative, parce que dans la pratique, nous avons seulement

un nombre fini de delais passes. Dans notre implementation de ESAvg-LES, nous

initialisons un predicteur S a ≠1, et nous mettons a jour S comme suit. Chaque

fois qu’un nouveau client commence le service apres un temps d’attente W , nous

mettons S a W si S = ≠1, sinon nous le mettons a jour par

S := –W + (1 ≠ –)S. (3.9)

Quand un client entre dans la file d’attente, son temps d’attente est predit par le S

courant. Si S = ≠1, on retourne la valeur du predicteur LES. Selon nos experiences,

le meilleur choix de – est generalement proche ou egal a 1.

Au chapitre 5 de cette these, nous proposons deux predicteurs DH notes E-

38

LES et AvgC-LES qui s’adaptent rapidement aux variations dans le systeme. Nous

comparons avec les predicteurs LES, Avg-LES, P-LES, ESAvg-LES. Les resultats

montrent que nos predicteurs sont largement plus performants que ces predicteurs

DH presentes dans cette revue de la litterature.

Ibrahim et Whitt (2009c) ont developpe divers predicteurs QL pour plusieurs

types de modeles avec abandons. Ils considerent des modeles fluides dans des re-

gimes ED a trafic intense. Pour etre plus precis, ils utilisent la limite des regimes

ED a trafic intense, selon un modele asymptotique developpe par Halfin et Whitt

(1981), pour proposer des predicteurs de delai pour divers modeles GI/GI/s+GI.

Les auteurs ont d’abord propose le predicteur Markovien note QLm

pour le modele

GI/M/s+M. Ce predicteur est une variante du predicteur QL propose par Whitt

(1999b) pour les modeles avec abandon. Il tient compte des abandons en suppo-

sant que les temps de patience des clients sont des exponentiels i.i.d de taux –.

Les temps de service sont des exponentiels i.i.d de moyenne µ

≠1. Il estime le temps

d’attente W du client qui a trouve k autres clients en attente dans la file par :

E[WQLm] =

kÿ

j=1

1

sµ + j · –

. (3.10)

Les auteurs ont montre que l’estimateur QLm

est assez precis, selon le critere du

MSE, pour le modele GI/M/s+M, mais il n’est pas precis pour le modele plus ge-

neral GI/M/s+GI surtout si la distribution des abandons est loin de la distribution

exponentielle. Par la suite, ils ont propose un autre predicteur tres simple, QLr

qui

multiplie l’estimation du QL standard par une constante — dependant du modele,

base sur des approximations fluides dans la limite des regimes ED a trafic intense.

Le predicteur estime le temps d’attente du nouveau client par :

E[WQLr] = — · k + 1

sµ

. (3.11)

En pratique, il est possible d’apprendre la constante en observant les valeurs reelles

des attentes et les valeurs estimees de l’estimateur QL standard pour tous les clients

39

sur de vraies donnees. Si de telles donnees n’existent pas, on peut les generer par

une simulation du modele. Les auteurs ont montre par la simulation que QLr

est

assez performant pour les grands systemes a trafic intense (c’est a dire a chaque fois

que les approximations fluides sont appropriees). Lorsque la distribution du temps

des abandons est loin de la distribution exponentielle, le predicteur QLr

fonctionne

beaucoup mieux que le predicteur QLm

.

Ibrahim et Whitt (2009c) ont propose un nouveau predicteur, note QLap

, pour

le modele GI/M/s+M(k). Les temps de patience des clients sont exponentiels in-

dependants de moyenne –

≠1k

dependants de la longueur de la file systeme k. Ils

utilisent les approximations des modeles fluides et predisent le temps d’attente W

d’un nouveau client par

E[WQLap(k)] =

kÿ

j=1

1

sµ + –

k

≠ –

k≠j

. (3.12)

Les resultats des simulations ont montre que l’estimateur QLap

est toujours le pre-

dicteur le plus e�cace. Il coıncide avec QLm

dans le cadre du modele GI/M/s+M.

Il performe aussi assez bien pour les distributions des temps de patience non ex-

ponentiels. Cependant, il est important de noter que les predicteurs QLr

et QLap

necessitent une connaissance du taux d’arrivee ⁄, qui necessite un certain degre

de stationnarite (le taux d’abandon est une fonction qui depend du taux d’arrivee

⁄). Ces predicteurs sont e�caces si le taux d’arrivee e↵ectif ne varie pas trop vite.

Enfin, les auteurs ont etudie le predicteur LES pour les modeles a trafic intense,

et ont montre qu’il est tres e�cace a l’etat d’equilibre du systeme pour tous les

modeles consideres. Dans Ibrahim et Whitt (2010), les auteurs etudient les memes

systemes que Ibrahim et Whitt (2009c) en supposant que la longueur de la file d’at-

tente n’est pas observable. Pour estimer la longueur de la file d’attente, ils utilisent

le delai du predicteur HOL, le taux d’arrivee et le temps moyen entre deux departs

successifs du systeme.

Ibrahim et Whitt (2011) ont developpe de nouveaux predicteurs pour les sys-

temes multi serveurs (avec abandons) encore plus complexes que ceux etudies dans

40

Ibrahim et Whitt (2010). Ils supposent qu’en plus du taux d’arrive, le nombre de

serveurs varie aussi dans le temps. Nous avons ici un systeme multi serveur avec

un processus d’arrivees non stationnaire et un nombre de serveurs variable dans le

temps. Les auteurs ont commence d’abord par montrer que les predicteurs existants

qui ne tiennent pas compte de la variation du nombre de serveurs sont biaises pour

le modele M(t)/M/s(t)+GI. Ils ont ensuite propose plusieurs predicteurs pour ce

modele. Le plus e�cace est un predicteur QL readapte, note QLm

r

, qui remplace s

par s(t

i

) dans l’equation (3.12) developpee par Ibrahim et Whitt (2009c) pour les

modeles M/M/s+GI. Ici s(t

i

) represente le nombre de serveurs dans le systeme au

temps t

i

ou t

i

designe le temps estime du prochain depart quand il reste i clients

dans la file devant la nouvelle arrivee, et t

k+1 = t. Les auteurs supposent qu’un

evenement de depart du systeme est soit une fin de service ou bien un abandon

du client a la tete de la file. Chaque client dans la file a un temps de patience

exponentiel de taux Â

i

dependant de sa position i. Le taux total d’abandon quand

il y a k clients dans la file est donne par –

k

=

qk

i=1 Â

i

. Le temps entre le i-ieme et

(i + 1)-ieme depart du systeme est un exponentiel de taux sµ + –

k

≠ –

k≠i

. Ainsi

le temps d’attente W d’un nouveau client ayant trouve k autres clients dans la file

est predit par

E[WQLmr

(k)] =

kÿ

i=1

1

s(t

i+1)µ + –

k

≠ –

k≠i

, (3.13)

et

ti = ti+1 +

1

sµ + –

k

≠ –

k≠i

pour 0 Æ i Æ k. (3.14)

En pratique, dans les centres d’appels, il est souvent suppose que le nombre de

serveurs et le taux d’arrivee sont variables entre les periodes, mais constant dans

une periode. Ibrahim et Whitt ont par la suite exploite les approximations des

modeles fluides a trafic intense developpees par Liu et Whitt (2010) pour obtenir

un nouveau predicteur pour le M(t)/M/s(t)+GI. Ce dernier est un predicteur QL

readapte, appele QLr

. Il predit le temps d’attente du client qui entre dans la file

41

au temps t par

E[WQLr(k)] = v(t) ◊ k + 1

Q

f

(t) + 1

(3.15)

ou v(t) est le temps d’attente potentiel du client et Q

f

(t) est la longueur de la

file d’attente, qui sont estimes au temps t par les approximations fluides, et k est

le nombre de clients reellement observe dans la file au temps t. Dans les grands

systemes, QLr

est plus precis que QLm

r

si la moyenne des durees de service est

grande, mais devient moins precis si la moyenne des durees de service est petite.

3.2.2 Les predicteurs pour les systemes multi-competences

Dans cette section, nous allons presenter les travaux qui sont e↵ectues pour les

systemes multi-competences. Une grande di↵erence entre les centres d’appels multi-

competences et les centres d’appels a competence unique (un seul type d’appel et un

groupe d’agent) est l’importance jouee par la politique de routage dynamique dans

les centres d’appels multi-competences. Le routeur gere les files d’attente et a↵ecte

les appels aux agents disponibles. Avec une seule file d’attente FCFS, les futures

arrivees n’a↵ectent pas le temps d’attente des clients dans la file, mais ceci n’est

pas necessairement vrai dans le cas multi-competences. Predire les delais d’attente

dans les centres d’appels multi-competences est beaucoup plus di�cile.

Il y a tres peu de predicteurs proposes pour les systemes multi-competences.

De plus, tous les travaux existants avant les notres, a notre connaissance, sont faits

pour des cas particuliers. Le seul qui peut s’utiliser dans n’importe quel systeme

multi competence est Ang et al. (2016) et il a ete publie apres les notres.

Les predicteurs DH existants qui n’utilisent aucun parametre du systeme peuvent

etre utilises dans ce contexte. Cependant, les performances de ces derniers sont le

plus souvent tres mauvaises surtout s’il y a une variation dans les processus d’arri-

vee ou une variation du nombre de serveurs. Dans cette these, nous proposerons de

nouveaux predicteurs DH qui performent bien dans les systemes multi-competences.

Ces nouveaux predicteurs sont largement plus performants que les autres predic-

teurs DH existants dans le cas multi competences et sont tres competitifs par rap-

42

port aux predicteurs QL dans les systemes a file unique avec des agents identiques

et des durees de service exponentielles. Cependant si les agents sont heterogenes et

les durees de service de loi log-normale, comme il est souvent le cas dans les donnees

observees de la vie reelle, les predicteurs que nous avons proposes sont largement

plus performants que QL. La suite de cette section sera consacree aux predicteurs

developpes pour les systemes multi-competences.

Nakibly (2002) se concentre sur un systeme de file d’attente sans abandons avec

deux types de clients et deux types de serveurs. Chaque agent a un ensemble de

competences et une liste de priorites dans le choix du type d’appel a traiter. Le

predicteur propose utilise les parametres et l’etat du systeme pour estimer le delai

d’attente d’un nouveau client. Plus precisement, l’auteur utilise une description de

la chaıne de Markov du systeme avec les clients en attente pour estimer l’esperance

du temps d’attente d’un nouveau client dans le systeme. Il montre aussi la com-

plexite du calcul de l’estimation, et explique dans quelles conditions sa methode est

applicable. La methode de Nakibly va etre di�cilement applicable dans les systemes

complexes de grande taille tels les centres d’appels actuels.

Armony et Maglaras (2004a, b) etudient un centre d’appels particulier avec

deux types d’appels et un seul groupe d’agents qui est peut etre represente par un

modele V. Les appels de type 1 sont des appels reels et ceux de type 2 sont des

appels virtuels qui doivent etre servis avant d unites de temps (fixe). Ils considerent

qu’il n’y a pas d’abandons et le systeme est a trafic intense avec un grand nombre

de serveurs. Les appels arrivent selon des processus de Poisson dont le taux ⁄1 pour

type 1 et ⁄2 pour le type 2. L’esperance du temps W1 d’attente d’un nouveau client

ayant trouve Q1 autres clients en attente dans la file d’attente 1 est estime par :

E[W1] =

Q1⁄1

. (3.16)

Senderovich et al. (2015) ont developpe des predicteurs pour un systeme multi

competence particulier. Le modele etudie a plusieurs types de clients et un seul

groupe d’agents. Chaque agent du groupe peut servir tous les types d’appels. Pour

43

chaque type de client, les arrivees suivent un processus de Poisson dont le taux est

variable dans le temps. Les durees de service et les temps de patience sont expo-

nentiels de taux constant. Le nombre de serveurs est constant dans le temps. Les

clients de meme type sont toujours traites par la regle du premier arrive premier

servi et les clients de types di↵erents sont traites selon une liste de priorite definie

pour le groupe. Les auteurs ont propose un predicteur QL qui modifie legerement le

predicteur developpe par Whitt (equation 3.5). A chaque fin de service, le taux de

sortie du systeme est re-estime en supposant que l’on connaıt le type du prochain

client a quitter le systeme. Ce predicteur estime une borne superieure et inferieure

de l’esperance du temps d’attente pour chaque nouveau client. Ce predicteur n’est

pas utilisable dans les systemes multi-competences complexes, car dans ces sys-

temes, il est impossible de savoir les ordres de sortie des prochaines fins de service

en observant l’etat du systeme.

Un an apres la publication de nos travaux sur la prediction de delais pour les

systemes multi-competences avec des algorithmes d’apprentissage machine (Thion-

gane et al., 2015), Ang et al. (2016) ont etudie la prediction du temps d’attente

dans les services d’urgence en utilisant avec un algorithme d’apprentissage di↵erent

de ceux que nous avons utilises. Pour estimer le temps d’attente d’un patient, les

auteurs utilisent un predicteur qui combine la methode du Lasso (Tibshirani, 1999)

et la theorie des files d’attente. Ce predicteur est appele Q-Lasso pour faire refe-

rence a la methode du Lasso et la theorie des files d’attente qu’ils utilisent. Q-Lasso

predit le temps d’attente d’un patient comme une fonction lineaire dependant de

l’etat du systeme avec un objectif de minimiser le MSE des predictions plus une

fonction de penalite pour eviter le sur apprentissage (“over fitting”). Leur definition

de l’etat du systeme a l’arrivee d’un patient est tres similaire a la notre. Ici, en plus

du LES, de la longueur de la file, du nombre de serveurs, de la periode de la journee,

les auteurs considerent le predicteur QL standard, le predicteur QL des modeles

fluides et la liste de priorite des serveurs dans la definition de l’etat du systeme.

Ang et al. utilisent les donnees de quatre services d’urgence pour montrer que Q-

Lasso performe mieux que LES et ses variantes. Avec une legere readaptation, ce

44

predicteur pourrait bien etre utilise dans les centres d’appels multi-competences.

Nous allons comparer la precision de ce predicteur avec les predicteurs que nous

avons propose au chapitre 4 de cette these.

Resume des travaux sur la prediction et notre contribution.

D’apres cette revue de la litterature, nous observons que plusieurs predicteurs ont

ete developpes. Cependant, nous notons qu’ils sont tous faits pour des systemes

particuliers. Ils ne performent pas bien dans tous les systemes.

Les predicteurs QL ne sont performants que si nous supposons que les agents

sont identiques et les durees de service exponentielles. Dans les donnees de la vie

reelle, nous observons que ces conditions ne sont pas souvent reunies. Les agents

sont en general heterogenes et les durees de service ne sont pas exponentielles

comme on l’a traditionnellement suppose, mais plutot de loi log-normale. A travers

plusieurs exemples realistes, nous observons que les predicteurs QL fournissent de

mauvais resultats.

Les predicteurs DH, qui sont independants des parametres des systemes, sont

utilisables dans n’importe quel type de systeme (file unique ou systeme multi-

competences). Mais on remarque que les performances de ces derniers sont tres

mauvaises quand il y a une variation dans le processus d’arrivee ou une variation

du nombre de serveurs. Malheureusement, ces variations sont tres presentes dans les

systemes de la vie reelle. Des readaptations ont ete proposees, mais les performances

obtenues ne sont pas toujours satisfaisantes.

Dans cette these, nous avons propose des readaptations pour les predicteurs DH

qui donnent de tres bons resultats dans tous les exemples que nous avons examines.

Avant cela nous avons aussi propose des predicteurs qui utilisent des idees de LES,

de QL, et l’apprentissage machines. Ces predicteurs sont independants du modele

et les performances enregistrees sont largement meilleures que celles des autres

predicteurs.

45

CHAPITRE 4

PREDICTEURS DE DELAIS POUR LES CENTRES D’APPELS

MULTI-COMPETENCES BASES SUR L’APPRENTISSAGE

MACHINE

4.1 Introduction

Dans ce chapitre, publie en partie dans Thiongane et al. (2015), nous develop-

pons des predicteurs de delai pour les centres d’appels multi-competences. Pour

chaque type d’appel k, nous proposons un predicteur qui prend en entree le temps

d’attente du dernier client de type j a entrer en service, la periode d’arrivee du nou-

vel appel, le sta�ng des groupes d’agents, et les longueurs de file d’attente pour

tous les types i ”= k pour lesquelles il existe un agent qui peut servir les deux types

k et i. Nous introduisons trois nouveaux predicteurs qui utilisent la regression par

les splines cubiques, les reseaux de neurones artificiels et le krigeage stochastique,

respectivement, et dont les parametres sont optimises (ou appris) sur des donnees

observees par simulation.

4.1.1 Objectifs

Notre etude se concentre sur la prediction de delai dans les centres d’appels

multi-competences. Ceci est un probleme important qui a a peine ete etudie dans

la litterature. Nos principaux objectifs sont les suivants : (i) tester la precision

du predicteur LES dans le cas multi-competences, et (ii) proposer de nouveaux

predicteurs de delai qui peuvent rivaliser avec LES (eventuellement, etre plus precis)

dans le cas multi-competence, et qui sont aussi precis ou plus precis que QL dans

le cas des systemes avec une seule file d’attente et un seul type d’appel. Dans le

cas multi-competence, nous ne considerons pas directement les predicteurs QL, car

ils ne s’etendent pas naturellement dans ce contexte. Ils auraient besoin de prendre

en compte le partage de competences des agents et la politique de routage, et

cela semble complique et di�cile. Neanmoins, les nouveaux predicteurs utilisent les

longueurs des files d’attente en entree, en combinaison avec d’autres informations.

Nos predicteurs de delai proposes sont bases sur une approche heuristique qui

combine l’approximation de fonctions, l’apprentissage machine, la simulation et

des idees des predicteurs de file d’attente unique. Pour chaque type d’appel k, le

predicteur est une fonction non lineaire parametree du delai attente du dernier

client de type k qui est entre en service (comme dans LES), de la longueur de la file

d’attente actuelle pour le type d’appel k, des longueurs de file d’attente pour tous

les types i ”= k pour lequel il existe un agent qui peut servir les deux types k et i,

de la periode d’arrivee de l’appel, et du sta�ng des groupes d’agents. Le vecteur

de parametre qui definit la fonction est “optimise” (ou appris) pour minimiser

l’erreur quadratique moyenne de prediction, base soit sur des donnees historiques

reelles ou sur des donnees obtenues a partir d’une simulation du modele de centre

d’appel. Nos experiences portent sur ce dernier cas. Nous considerons trois types

de fonctions de prediction : (i) le premier type est defini par une regression par des

splines de lissage, (ii) le second est defini par un reseau de neurone artificiel, et (iii)

le dernier est defini par le krigeage stochastique. Quand un nouveau client entre

dans la file d’attente k, la fonction de prediction est evaluee, apres avoir observe les

entrees necessaires. Les nouveaux predicteurs peuvent etre consideres comme des

extensions de LES, ou des combinaisons partielles de LES et des predicteurs bases

sur QL. Ils necessitent une etape supplementaire “d’initialisation” (apprentissage).

Dans les experiences numeriques, nos predicteurs sont beaucoup plus precis que

l’heuristique populaire LES (qui utilise, comme predicteur, le delai du dernier client

de meme type qui a commence son service) dans les cas multi-competences. Dans

les systemes de file d’attente avec une seule file avec des agents homogenes, nos

predicteurs ont une precision tres similaire a celle de QL (qui est le predicteur opti-

mal), mais dans le cas, le plus realiste, des systemes avec des serveurs heterogenes,

nos predicteurs sont largement plus precis que QL.

47

4.1.2 Le plan du chapitre

Le reste du chapitre est organise comme suit. La section 4.2 presente les nou-

veaux predicteurs de delai proposes, les informations qu’ils utilisent en entrees, les

parametres des modeles, et explique comment ces parametres sont estimes. Des

experiences numeriques pour di↵erents modeles de centres d’appels sont presentees

dans la section 4.3. Nous commencons en premier par trois centres d’appels mode-

lises par une seule file d’attente. Deuxiemement, nous utilisons deux modeles N de

centres d’appels (avec deux types d’appels et deux groupes d’agents). Troisieme-

ment, nous utilisons un modele de centre multi-competences base sur des donnees

reelles du centre d’appels d’un fournisseur de services publics au Quebec. Le mo-

dele comporte six categories de clients (types d’appels), huit groupes d’agents, et

les processus d’arrivee sont non-stationnaires. La section 4.4 etudie l’impact de

l’ajout de nouvelles informations dans la definition de l’etat du systeme. La section

4.5 presente les etudes de robustesse des predicteurs. La section 4.6 compare nos

predicteurs a un autre predicteur qui utilise l’apprentissage machine. Enfin, une

conclusion et des remarques sont donnees dans la section 5.4.

4.2 Les predicteurs de delai

4.2.1 Approximation de l’esperance conditionnelle du delai

Le temps d’attente W > 0 d’un client donne qui entre dans une file d’attente

et attend jusqu’a ce que son service commence est une variable aleatoire dont la

distribution depend du type k de ce client et de l’etat du systeme lorsque ce client

arrive. Comme predicteur simpliste de W , on peut tout simplement prendre le

temps d’attente moyen global pour les clients de type k, qui peut etre estime par

simulation (nous supposons qu’un modele de simulation du systeme est disponible).

Ce predicteur est l’esperance inconditionnelle de W , Ek

[W ], lorsque nous prenons

seulement k en entree et nous ne regardons aucune autre information. Il est appele

le predicteur NI ou Non-Information predictor. (Notez que nous avons defini W

seulement pour un client qui entre dans la file d’attente et attend d’etre servi, alors

48

l’attente est toujours conditionnelle a cela.)

Pour faire de meilleures predictions, l’idee generale est d’observer l’etat du sys-

teme lorsque le client entre dans la file d’attente et retourner une estimation de

l’esperance de W conditionnelle a cet etat (etant donnee k). En pratique, nous

allons selectionner quelques informations x de l’etat du systeme, et calculer une

approximation de l’esperance conditionnelle Ek

[W | x], qui depend de k. Cette

approximation est definie par une fonction de prediction F

k,◊

(x) du vecteur d’in-

formation observe (entree) x, ou ◊ est un vecteur de parametres estimes (ou appris)

precedemment.

Dans un premier temps, nous prenons x = (t, q, r) ou t est le temps d’attente

du dernier appel de type k a entrer en service, q est le nombre d’appels deja dans

la file k, et r est un vecteur qui contient la taille de chaque file d’attente j ”= k tel

qu’il y ait au moins un agent avec les deux competences k et j.

Nous considerons trois facons de construire les fonctions F

k,◊

. Dans le premier

cas, chaque fonction est une spline cubique lisse (regression des moindres carres) qui

est additive par rapport aux variables d’entree (RS). Dans le second, la fonction est

definie par un reseau de neurones artificiel multicouche (ANN). Dans le troisieme

cas, chaque fonction est definie par une regression de krigeage stochastique (SK).

Ils sont decrits ci-dessous. Nous allons les comparer avec LES, avec le predicteur

simpliste NI (qui renvoie toujours le temps moyen d’attente comme une prediction,

ce qui correspond a prendre x vide) et aussi avec QL dans les cas ou il est applicable.

Les predicteurs sont optimises pour minimiser l’erreur quadratique moyenne

(MSE) des predictions. Si E = F

k,◊

(x) est le delai predit pour un client “aleatoire”

de type k qui opte pour attendre et W est son temps d’attente realise, nous rappe-

lons que le MSE que nous approximons par contrepartie empirique, le ASEk

pour

le type d’appels k est defini comme

MSEk

= E[(W ≠ E)

2].

Pour estimer (ou apprendre) le vecteur de parametres ◊, nous utilisons un en-

49

semble de donnees d’apprentissage genere par simulation. Soit x

k,c

represente le

vecteur d’information x lorsque le c-ieme appel (parmi C

k

) de type k rejoint la

file d’attente. Nous aimerions selectionner ◊ pour minimiser le ASEk

tel que defini

dans (2.2), avec E

k,c

= F

k,◊

(x

k,c

). Cependant, d’autres facteurs peuvent egalement

entrer dans la fonction objective ; par exemple les facteurs de lissage de la fonction

de prediction dans le cas des splines (voir ci-dessous).

4.2.2 Regression par des Splines de lissage (RS)

Les splines fournissent une classe bien connue et puissante de methodes d’ap-

proximation pour les fonctions generales lisses de Boor (1978). Ici, nous utilisons les

splines lisses cubiques, dont les parametres sont estimes par regression des moindres

carres avec un terme de penalite sur la variation de la fonction, afin de promouvoir

les fonctions lisses. Nous nous limitons egalement aux splines additives, qui peuvent

etre ecrites comme une somme de fonctions unidimensionnelles. Autrement dit, si le

vecteur d’information est ecrit comme x = (x1, . . . , x

D

), le predicteur spline additif

peut etre ecrit comme

F

k,◊

(x) =

Dÿ

d=1f

d

(x

d

),

ou chaque f

d

est une spline cubique a une dimension. Les parametres de toutes

ces fonctions splines f

d

forment le vecteur ◊. Ces parametres doivent satisfaire

les contraintes que les morceaux successifs de la spline (qui sont des polynomes

cubiques) ont leurs derivees premieres et secondes egales aux bornes. Pour estimer

les parametres, nous utilisons la fonction gam mis en oeuvre dans le package mgcv

du logiciel statistique R (R Core Team, 2014, Wood, 2006). Le nombre de points

de noeuds et les facteurs de lissage sont choisis automatiquement par le package,

en fonction des donnees.

4.2.3 Les reseaux de neurones artificiels (ANN)

Les reseaux de neurones artificiels ou “Artificial Neural Networks” (ANNs) sont

un autre moyen tres populaire et e�cace pour approximer des fonctions complexes

50

de grande dimension. Une tendance recente est l’apprentissage profond, qui se refere

a l’utilisation des ANNs avec plusieurs couches de neurones Bengio et al. (2012), et

LeCun et al. (2015). Nous adoptons cette technologie ici. Pour entraıner le reseau

de neurones (c’est a dire estimer un bon vecteur de parametres ◊), nous utilisons

le logiciel Pylearn2 (Goodfellow et al., 2013). Nous avons selectionne un reseau

de neurones multicouche dans lequel les sorties des noeuds a la couche l sont les

entrees de chaque noeud a la couche suivante l + 1. Un ANN typique a une couche

d’entree, une couche de sortie et plusieurs couches cachees. Il n’existe actuellement

aucune methode pour determiner le nombre optimal de couches cachees ou nombre

de noeuds en eux. En pratique, ces valeurs sont generalement choisies, par essais et

erreurs, apres quelques essais preliminaires. Dans nos exemples numeriques, nous

utilisons cinq couches ou plus. Dans le cas ou le nombre de couches est cinq, nous

avons une couche d’entree, trois couches cachees et une couche de sortie. Le nombre

de noeuds dans la couche d’entree est egal au nombre d’elements dans le vecteur

de parametres x, et la couche de sortie a un seul noeud qui renvoie le delai es-

time. Le nombre de noeuds dans une couche cachee depend de la taille du centre

d’appels ; ce nombre est specifie dans la section numerique. Pour chaque noeud ca-

che, nous utilisons une fonction de transfert appelee “rectifier activation function”,

h(z) = max(0, b+w ·z), ou z est le vecteur des entrees pour le noeud, tandis que la

constante b et le vecteur des coe�cients w sont des parametres appris durant l’en-

traınement. Le (grand) vecteur ◊ contient l’ensemble de tous ces parametres b et w,

sur tous les noeuds. Ce type de fonction d’activation a ete propose recemment par

Glorot et al. (2011), et on pense actuellement qu’il represente plus fidelement le me-

canisme biologique d’un neurone que les fonctions classiques sigmoıde et tangente

hyperboliques. Les parametres sont appris par un algorithme de retropropagation

qui utilise une methode de descente du gradient (Bishop, 2006).

Ces ANNs sont tres puissants, mais un inconvenient est qu’ils requierent de

grands echantillons d’entraınement et leur entraınement peut prendre beaucoup

plus de temps que pour les autres techniques de regression telles que les splines. Pour

accelerer l’apprentissage, nous utilisons l’agregation de donnees, comme suit. L’idee

51

est de regrouper les observations, dont les valeurs, de x sont presque les memes, et

les remplacer par une seule observation (x

Õ, w

Õ), ou w

Õ est le temps d’attente moyen

pour les observations qui ont ete agregees. Cette nouvelle observation agregee aura

un poids proportionnel au nombre d’observations originales qui ont ete regroupees

en elle. Pour former les groupes qui sont agreges, nous regroupons en premier

toutes les observations x ayant la meme paire (q, r), puis divisons chacun de ces

groupes en 20 sous-groupes de taille a peu pres egale en fonction de la valeur

de t. Pour cela, nous utilisons le 5%, 10%, 15%, . . ., quantiles par rapport a t

comme separateurs pour faire les sous-groupes, puis agreger chaque sous-groupe.

L’observation agregee est (x

Õ, w

Õ) = ((t

Õ, q, r), w

Õ), ou w

Õ est le temps d’attente

moyen pour le sous-groupe et t

Õ est le milieu de l’intervalle entre les quantiles

correspondants. L’ensemble des observations agregees est utilise comme le nouvel

ensemble de donnees d’entraınement.

4.2.4 Le krigeage stochastique (SK)

Les methodes de regression, comme RS, supposent que les donnees observees

(les delais) W , peuvent etre modelisees par une fonction deterministe f plus un

certain bruit stochastique ‘ :

W (x) = f(x) + ‘(x).

Ce bruit stochastique est appele bruit intrinseque, car il est inherent au modele

stochastique. La methode du krigeage modelise la surface de reponse W pour les

donnees non observees (les delais non observes) par :

W (x) = f(x) + M(x),

ou M(x) est un bruit extrinseque avec une correlation spatiale basee sur des donnees

observees. L’incertitude extrinseque n’est pas une propriete du modele lui-meme,

mais une description de notre incertitude du temps d’attente a un point x ou nous

52

n’avons pas observe de donnees. Le Kriging suppose qu’il n’y a pas de bruit sur

les donnees observees. M(x) et M(x

Õ) auront tendance a etre similaire si x et

x

Õ sont proches l’une de l’autre dans l’espace, et leur correlation depend de la

di↵erence x ≠ x

Õ. La principale di↵erence entre la “Regression” et le “Krigeage” est

la suivante : le Krigeage traite la surface de reponse comme un champ Gaussien

alors que la regression traite la surface de reponse comme une fonction deterministe

et l’erreur comme une variable aleatoire. Le krigeage stochastique (SK) Ankenman

et al. (2010), Staum (2009) utilise les bruits intrinseque ‘(x) et extrinseque M(x)

pour ameliorer le modele de prediction :

F

k,◊

(x) = f(x) + M(x) + ‘(x). (4.1)

La fonction de prediction a une forme lineaire qui depend des matrices de covariance

de M(x) et ‘(x). Le SK fournit une meilleure prediction lorsque les deux sources

d’incertitude sont non-negligeables. Les parametres de toutes ces fonctions f(x),

M(x), ‘(x), forment le vecteur ◊.

Pour entraıner le predicteur dans le cas du SK, pour chaque x nous avons besoin

de la moyenne et de la variance du temps d’attente W mais aussi des matrices de

covariance intrinseque et extrinseque. Nous agregeons les donnees de la meme facon

que le cas des reseaux de neurones (section 4.2.3) pour obtenir l’ensemble (x

Õ, w

Õ) =

((t

Õ, q, r), w

Õ). Nous ajoutons a cet ensemble la variance empirique de w

Õ que nous

notons par v

Õ pour obtenir l’ensemble d’entraınement (x

Õ, w

Õ, v

Õ) = ((t

Õ, q, r), w

Õ, v

Õ).

Les matrices intrinseque et extrinseque sont determinees par la fonction mlegp, mise

en oeuvre dans le package mlegp du logiciel statistique R (G. M. Dancik, 2015, R

Core Team, 2014), avant le debut de l’optimisation de ◊.

4.3 Experiences numeriques

Nous comparons les performances et la precision des predicteurs LES, QL, RS,

SK et ANN en simulant de petits et grands modeles de centres d’appels. Dans la

premiere partie de cette etude numerique, nous utilisons des systemes avec seule

53

file d’attente et un seul type d’appel. Nous commencons avec les files classiques

M/M/s et M/M/s+M pour lesquels nous avons des formules analytiques pour

l’esperance du delai d’attente dependant de l’etat du systeme. Nous supposons

que les s agents sont identiques et ont la meme distribution exponentielle pour les

durees de service. Dans ces conditions, les predicteurs QL sont optimaux. Notre but

est de verifier si nos predicteurs RS, SK et ANN sont competitifs avec les meilleurs

predicteurs disponibles pour ces modeles. Ensuite, nous considerons des modeles

plus realistes dans le contexte des centres d’appels : le modele M/M/s+M avec

des agents heterogenes avec des durees exponentielles ; le modele M/LN/s+M avec

des agents heterogenes et des durees de service de loi log-normale. Chaque agent

a une distribution pour les temps de service avec ses propres parametres. Dans

ces nouvelles conditions, QL est utilisable, mais il n’est pas le predicteur optimal.

L’objectif est de voir si nos predicteurs pourront faire mieux que QL.

Dans la seconde partie, nous testons nos predicteurs sur des modeles de centres

d’appels multi-competences. Nous commencons par deux modeles N de centres

d’appels, l’un avec des files d’attente courtes et l’autre avec de longues files d’at-

tente. Nous terminons par un modele de centre d’appels multi-competences plus

grand et plus complexe base sur des donnees reelles (HQ). Le modele comporte six

types d’appels et huit groupes d’agents.

Comme explique dans la section 4.2.1, les predicteurs sont optimises pour mini-

miser le ASE, mais nous prenons la valeur de la racine normalisee, le RRASE. Pour

entraıner les predicteurs RS, SK et ANN, nous generons les observations sur les

appels par simulation. Pour evaluer le M/M/s et M/M/s+M a l’etat d’equilibre,

nous simulons une longue execution de 600,000 heures, et les observations des pre-

mieres 200,000 heures (temps de prechau↵age) sont eliminees. Pour les modeles N

et HQ, nous simulons 100 jours independants pour generer les observations. Pour

l’ANN, nous prenons 80% des observations comme donnees d’entraınement et les

20 % restants comme donnees de “test” et “validation” utilisees pour selectionner

le meilleur parametre ◊ parmi ceux trouves durant l’entraınement. Pour compa-

rer le RRASE des di↵erents predicteurs, nous generons un ensemble independant

54

d’observations en executant une autre simulation de meme longueur, pour chaque

modele, et nous utilisons ce meme ensemble pour calculer le RRASE pour tous les

predicteurs, de sorte que les predicteurs sont e↵ectivement compares sur les memes

donnees.

4.3.1 Modeles a file unique avec des agents homogenes et durees de

service exponentielles

Nous comparons nos predicteurs avec LES et QL dans des centres d’appels qui

sont modelises par des systemes M/M/s et M/M/s+M. Nous considerons que les

agents sont homogenes et ont la meme distribution des temps de service. Comme

nous l’avons dit un peu plus tot, les predicteurs QL sont optimaux dans ces systemes

a l’etat d’equilibre. Nous avons etudie chacun des systemes dans di↵erents types

de regimes.

4.3.1.1 Experiences avec un modele M/M/s

Nous considerons une seule file d’attente avec un processus d’arrivee de Poisson

de taux ⁄ appels par heure, les temps de service exponentiels de moyenne µ

≠1= 2,

et on a s agents identiques. Il n’y a pas d’abandons. Dans les simulations utilisees

pour evaluer les predicteurs, nous avons essaye plusieurs exemples de di↵erente

taille et charge (du systeme) fl = ⁄/sµ. Le premier exemple a une file d’attente

courte : la moitie des clients est servie immediatement a leur arrivee et l’autre

moitie a eu a attendre avant d’etre servi. Le nombre d’agents est s = 26 et la

charge du systeme fl = 0.9. Le second exemple a le meme nombre d’agents que le

premier, mais une charge un peu plus grande, fl = 0.96. Cet exemple a un taux

d’arrivee plus grand et une file d’attente plus longue que le premier. Notre troisieme

exemple est un grand systeme dans un regime a trafic intense (s = 100 et fl = 0.99).

Le tableau 4.1 donne les mesures de performances des trois centres d’appels.

Le tableau 4.2 montre le RRASE obtenu pour chaque predicteur dans les trois

exemples. Comme prevu, QL a les meilleurs resultats, car c’est un predicteur de

55

Parametres Performancesfl s PD AWT (sec.) AQS0.90 26 51.4 372 4.80.96 26 78.2 1795 19.50.99 100 87.9 1596 87.7

Tableau 4.1 : Les performances des di↵erentes modeles M/M/s utilises.

Parametres Predicteursfl s NI LES QL RS SK ANN0.90 26 0.994 0.449 0.308 0.310 0.315 0.3100.96 26 0.956 0.266 0.244 0.256 0.245 0.2580.99 100 0.996 0.141 0.099 0.101 0.108 0.102

Tableau 4.2 : Les RRASEs pour le modele M/M/s.

delai optimal pour une file d’attente M/M/s a l’etat d’equilibre. RS, SK et ANN

arrivent justes derriere QL, suivis par LES. Les precisions de QL, RS, SK et ANN

sont tout a fait comparables, avec une di↵erence inferieure a 1%. LES a une RRASE

plus elevee, d’environ 12%. NI donne le pire resultat, sans surprise, ce qui confirme

que l’utilisation de predicteurs dependant de l’etat vaut la peine. Nous avons teste

une variante de RS et de SK ou l’entree est seulement q (le nombre de clients deja

en file d’attente) et une variante de ANN a laquelle nous donnons la meme entree

que le predicteur QL, qui est la longueur de la file d’attente q, et les constantes µ

et s. Ces variantes ont egalement donne des resultats sensiblement egaux a ceux

de QL et montrent que la fonction de prediction QL peut etre apprise avec des

methodes d’apprentissage machine.

4.3.1.2 Modele M/M/s+M

Nous considerons maintenant un centre d’appels avec une seule file d’attente de

capacite infinie avec abandons. Les appels arrivent au centre selon un processus de

Poisson de taux ⁄ appels par heure. Les durees de patience suivent une distribution

exponentielle de moyenne ‹

≠1= 0.6 heure. Les durees de service suivent une dis-

tribution exponentielle de moyenne µ

≠1= 0.5. Le nombre d’agents qui repondent

56

aux appels est s et nous supposons qu’ils sont tous identiques. Comme dans le

cas de la file sans abandon, nous avons encore utilise trois exemples de centres. Le

premier avec courte file d’attente a un nombre d’agents s = 17, et un fl = 1.11.

Dans ce systeme, plus de 70% des appels servis ont un temps d’attente strictement

positif. Le second a toujours le meme nombre de serveurs que le precedent et a une

charge fl un peu plus eleve de 1.35. Nous observons une longueur de file d’attente

moyenne deux fois plus grande que celui du premier exemple. Le troisieme est un

grand systeme dans un regime a trafic intense avec un fl = 1.5 et un s = 100. Le

tableau 4.3 a�che les mesures de performances des di↵erents centres.

Parametres Performancesfl s PD PA AWT (sec.) AQS1.11 17 70.9 15.23 274.7 2.91.35 17 91.6 26.9 484.5 6.21.50 100 99.9 33.3 596 49.9

Tableau 4.3 : Les performances des di↵erents modeles M/M/s+M utilises.

Le tableau 4.4 montre le RRASE obtenu pour chaque predicteur. Encore pas

de surprise, le predicteur optimal QL donne les meilleurs resultats. RS, SK et ANN

suivent de tres pres QL. Ces derniers sont suivis par LES. NI arrive en derniere

position. Comme pour le cas precedent, les precisions de QL, RS, SK et ANN

sont tout a fait comparables, avec une di↵erence inferieure a 1%. Les nouveaux

predicteurs RS, ANN et SK ont des RRASEs beaucoup plus petits que celui de

LES. La di↵erence de precision diminue quand fl augmente. Nous constatons encore

que NI est le predicteur le plus mauvais. Dans tous ces exemples, nous observons

que les predicteurs qui utilisent l’apprentissage machine ont bien appris la fonction

prediction et ont des performances tres similaires a celles de QL. Dans nos prochains

exemples, nous n’allons plus utiliser NI.

57

Parametres Predicteursfl s NI LES QL RS SK ANN1.11 17 0.998 0.704 0.466 0.468 0.460 0.4661.35 17 0.989 0.568 0.380 0.385 0.384 0.3831.50 100 0.984 0.204 0.143 0.144 0.144 0.143

Tableau 4.4 : Les RRASEs pour le modele M/M/s+M.

4.3.2 Modeles a file unique avec des agents heterogenes et des durees

de service exponentielles

Nous considerons une file d’attente M/M/s+M avec des agents heterogenes.

Nous supposons qu’il y a un seul type de client et les agents qui repondent aux

appels sont heterogenes. Bien que cette heterogeneite est souvent ignoree, des in-

vestigations empiriques des donnees recueillies dans les centres d’appels de la vie

reelle montrent que les agents possedent des distributions du temps de service di↵e-

rentes pour un meme type d’appel (Gans et al., 2010, Ibrahim et al., 2016b). Notre

objectif est de comparer la precision et les performances de nos predicteurs a celles

de QL et de LES dans ce cas de figure.

Dans les exemples qui seront etudies dans cette section, les arrivees suivent

un processus de Poisson de taux ⁄, les temps de patience sont exponentiels de

moyenne ‹

≠1, et on a s agents qui repondent aux appels. Les temps de service sont

exponentiels et chaque agent i a une distribution du temps de service distincte de

moyenne µ

≠1i

. Dans les experiences numeriques, nous prenons les donnees d’un vrai

centre d’appels presentees dans Gans et al. (2010). Dans ces donnees, nous avons

les moyennes des temps de service de 12 agents heterogenes pour un type d’appel

A. On suppose que les temps de service sont exponentiels. Les temps de patience

pour ce type d’appel A sont exponentiels de moyenne ‹

≠1= 0.5 heures. Le tableau

4.5 rapporte les moyennes µ

≠1 observees dans ces donnees pour ces 12 agents. Dans

nos simulations, nous utilisons souvent un sta�ng superieur a 12 agents et dans

ces cas nous supposons que des agents clones existent pour nous permettre d’avoir

le sta�ng voulu.

Nous avons etudie trois exemples de centres d’appels. Le premier centre (C1)

58

Agents 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121/µ 0.259 0.247 0.218 0.216 0.215 0.208 0.207 0.199 0.186 0.173 0.159 0.158

Tableau 4.5 : Le taux de service et moyenne du temps de service des 12 agentspour le type d’appel A.

est de petite taille. Il a 12 agents et un taux d’arrivee ⁄ = 100. Le taux de service

des agents sont ceux des 12 agents du tableau 4.5. Le second centre (C2) est de

taille moyenne avec 36 agents a pour taux d’arrivee ⁄ = 300. Nous supposons qu’il

existe trois clones de chacun des agents pour avoir 36 agents. Le troisieme centre

(C3) est de grande taille avec 240 agents. Nous supposons qu’il est dans un regime a

trafic intense. Son taux d’arrivee ⁄ = 2000 et nous supposons qu’il existe 20 agents

clones de chacun des 12 agents pour satisfaire le sta�ng du modele. Le tableau 4.6

donne les mesures de performances de ces trois centres d’appels.

Mesures de performancesCentres d’appels PD (%) PA(%) AWT(sec.) AQSC1 97.9 37.7 666.8 18.6C2 98.1 37.6 676.0 55.7C3 98.2 37.5 676.4 371.3

Tableau 4.6 : Les mesures de performances pour les modeles M/M/s+M

Dans la suite, nous allons comparer les performances des predicteurs QL, LES,

RS, SK et ANN dans les 3 centres d’appels. Mais avant cela, nous decrirons, une

maniere d’utiliser le predicteur QL dans un systeme avec des agents heterogenes.

Utilisation du predicteur QL dans un modele M/M/s+M avec des ser-

veurs heterogenes

Les predicteurs QL sont developpes pour des systemes de file d’attente avec des

serveurs identiques. Ils utilisent la longueur k de la file, le nombre s de serveurs

dans le systeme, le taux d’abandon ‹ et le taux moyen de service des agents µ pour

predire le temps d’attente des clients. Pour ces predicteurs, on suppose qu’il existe

une seule distribution exponentielle des temps de service de taux µ pour l’ensemble

des agents. Dans un systeme avec agents heterogenes, nous pouvons faire une abs-

59

traction de cette heterogeneite des agents et utiliser QL avec le taux de service

moyen de l’ensemble des agents que nous appelons µ. Bien sur, nous supposons que

tous les agents sont occupes tant qu’il y a des clients en attente dans la file. Une

fois la valeur de µ estimee, nous predisons l’esperance du temps d’attente W d’un

client ayant trouve k autres clients dans la file par

E[W ] =

kÿ

i=1

1

sµ + i‹

.

Pour estimer µ nous pouvons utiliser deux methodes. Parfois, dans les donnees

disponibles aux centres d’appels, l’information qui est enregistree sur les durees de

service d’un agent c’est la moyenne journaliere de ces temps de service. Voici la

description des deux methodes en utilisant ces informations :

Methode 1 : Nous calculons la moyenne des moyennes des temps de service de

l’ensemble des agents et ensuite nous inversons cette moyenne pour trouver µ.

Methode 2 : Nous calculons le taux de service de chaque agent en inversant

sa moyenne des temps de service puis nous calculons le taux de service moyen du

systeme par la moyenne des taux de service des agents.

Plusieurs exemples etudies suggerent que la Methode 2 est toujours meilleure

que la Methode 1. Voici un petit exemple qui illustre ceci.

Prenons un petit centre d’appels avec un seul type d’appel et deux agents, a1 et

a2. Supposons que le centre est ouvert pendant 10 heures de temps dans la journee

et que la file d’attente du centre n’est jamais vide (de l’ouverture a la fermeture, il

y a toujours des clients en attente de service). Supposons aussi que l’agent a1 est

rapide pour servir les appels avec un taux de service µ1 = 50 appels par heure, et

que l’agent a2 est lent avec un taux de service µ2 = 25 appels par heure. Le taux

service moyen obtenu avec la Methode 1 (moyenne sur les temps) est µ = 33.3 et

celui donne par la Methode 2 (moyenne sur les taux) est µ = 37.5.

60

Dans la journee de 10 heures, l’agent a1 va servir en tout 10◊50 = 500 appels, et

l’agent a2 quant a lui servira 10◊25 = 250. Le taux de service moyen reel par heure

dans la journee est [(500+250)/2]/10 = 37.5. Il correspond bien au taux de service

moyen donne par la “Methode 2”. Cet exemple est l’un parmi plusieurs que nous

avons essayes qui montre que la Methode 2 est meilleure que la Methode 1 pour

determiner le taux de service moyen dans un systeme avec des agents heterogenes.

Nous avons aussi evalue le RRASE du predicteur QL dans les trois exemples

de centres d’appels (C1, C2 et C3) avec des µ determines par les Methode 1 et 2.

Ces predicteurs QL sont respectivement notes QL(Methode 1) et QL(Methode 2).

Le tableau 4.7 presente les RRASEs de QL(Methode 1) et QL(Methode 2). Dans

tous les exemples, nous observons QL(Methode 2) donne les meilleurs resultats.

Ces resultats suggerent qu’il est preferable de faire la moyenne sur les taux que

de faire la moyenne sur les temps. Dans la suite de ce document, nous utiliserons

toujours QL comme etant QL(Methode 2) lors de l’etude d’un systeme avec des

agents heterogenes.

RRASECentres QL(Methode 1) QL(Methode 2)C1 0.249 ±0.001 0.239 ±0.001

C2 0.160 ±0.001 0.153 ±0.001

C3 0.101 ±0.001 0.075 ±0.001

Tableau 4.7 : Les RRASEs des centres d’appels C1, C2 et C3 avec les predicteursQL(Methode 1) et QL(Methode 2).

Nous simulons 100 journees independantes des centres d’appels C1, C2 et C3 et

dans chacun des centres d’appels, nous evaluons le RRASE des predicteurs LES,

QL, RS, ANN et SK . Le tableau 4.8 rapporte les RRASEs des predicteurs dans

les trois exemples. Contrairement, a l’exemple avec des agents homogenes, nous

constatons dans ces trois exemples que les nouveaux predicteurs (ANN, RS et SK

qui ont des resultats tres similaires) sont un peu plus precis que QL. La di↵erence

de precision entre les nouveaux predicteurs et QL varie entre 1 et 3%. LES donne

toujours les plus mauvais resultats.

61

La perte de precision de QL s’explique par l’heterogeneite des agents qui fait que

les durees de service des appels proviennent de diverses distributions exponentielles

et non d’une seule et unique distribution exponentielle. Les predicteurs RS, ANN et

SK quant a eux ont appris les bons parametres de la fonction a travers les donnees

historiques.

Bien que les resultats de QL sont moins precis que ceux des nouveaux pre-

dicteurs, il reste toujours un bon predicteur dans ces systemes. Cependant, si des

donnees detaillees sur les agents ne sont pas disponibles (dans ce cas, on ne peut

plus estimer le meilleur µ pour QL qui depend des agents selectionnes), alors QL

peut donner de mauvais resultats.

RRASECentres LES QL RS SK ANNC1 0.344 0.239 0.221 0.223 0.222C2 0.204 0.153 0.127 0.132 0.124C3 0.087 0.075 0.052 0.055 0.050

Tableau 4.8 : Les RRASEs pour les modeles M/M/s+M.

4.3.3 Modeles a file unique avec des agents heterogenes et des durees

de service de loi log-normale

Nous considerons une file d’attente M/LN/s+M avec des serveurs heterogenes et

des temps de service de loi log-normale base sur des donnees reelles. Des etudes em-

piriques e↵ectuees sur des donnees reelles ont montre qu’en plus de l’heterogeneite

des agents, les durees de service sont de loi log-normale plutot qu’exponentielles

(Brown et al., 2005, Ibrahim et al., 2016b, Shen et Brown, 2006).

Nous etudions un exemple dans lequel les agents utilises sont ceux d’un veritable

centre d’appels. Ces agents presentes dans le supplement en ligne de Ibrahim et al.

(2016b) sont au nombre de 10 et ils repondent a appel de type F. Le tableau 4.9

rapporte la moyenne et la variance des durees de service des agents. Elles sont

estimees sur des donnees collectees sur 45 semaines. Chaque agent i a distribution

des temps de service de loi log-normale de moyenne m

i

et de variance v

i

. Les

62

parametres d’echelle Ÿ

i

et de forme ‡

i

sont determines par les formules de Mood

et al. (1974) pages 540–541 :

Ÿ

i

= ln

Q

a m

iÒ1 +

vimi

2

R

bet ‡

i

=

Û

ln

31 +

v

i

m

i

2

4. (4.2)

La journee est divisee en 10 periodes d’une heure. Dans chaque periode p, le

Agents 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10m

i

(heure) 0.186 0.080 0.099 0.0345 0.0452 0.196 0.1117 0.133 0.126 0.0474v

i

0.055 0.018 0.0248 0.0009 0.0027 0.157 0.01667 0.022 0.170 0.0034

Tableau 4.9 : La moyenne m et la variance v des temps de service des agents pourle type d’appel B.

processus d’arrivee est Poisson avec un taux constant. Nous prenons ⁄

p

= 320 pour

p impair et ⁄

p

= 200 pour p pair. Les temps de patiences sont des exponentiels de

moyenne ‹

≠1= 2.

Pour evaluer le RRASE des predicteurs LES, QL, RS, SK et ANN, nous simulons

100 journees independantes du centre d’appels. Nous observons que la longueur

moyenne de la file d’attente est de 37.4, la proportion de delais est de 98.2%, la

proportion d’abandons de 29.5%, et le temps d’attente moyen des clients dans la

file est de 529.2 secondes.

Le tableau 4.10 rapporte les RRASE◊100 des di↵erents predicteurs. Comme

dans l’exemple precedent (avec agents heterogenes et temps de service exponen-

tiels), nous observons que RS, SK et ANN donnent les meilleurs resultats. Mais

cette fois-ci, la di↵erence de precision entre ces derniers et QL est tres elevee (envi-

ron 15%). LES et QL donnent des resultats tres similaires (LES est plus d’environ

1%). Dans cet exemple et comme dans plusieurs autres exemples que nous avons

etudies, nous observons que les predicteurs QL sont largement moins precis que les

predicteurs RS, SK et ANN pour les systemes de file d’attente avec des agents non

identiques et des durees de service de loi log-normale.

Dans la suite de cette section, nous allons etudier trois exemples de centres

d’appels multi-competences. Les predicteurs QL ne sont pas applicables dans ces

63

LES RS SK ANN QLRRASE 30.6 16.5 16.1 14.3 31.8

Tableau 4.10 : RRASE des predicteurs pour le modele M/LN/10+M avec des tauxd’arrivee variable dans le temps.

systemes. Dans les deux premiers exemples, nous considerons des modeles N avec

agents homogenes et des durees de service exponentielles. Pour le troisieme exemple

base sur des donnees reelles, les agents sont heterogenes avec des durees de service

de loi log-normale.

4.3.4 Modeles N

Nous considerons maintenant un modele N. Une journee est divisee en P =

10 periodes de 1 heure. Les processus d’arrivee sont des processus de Poisson de

taux constant dans chaque periode. Toutes les durees de service et les temps de

patience sont exponentiels et independants. Nous utilisons une politique de routage

par priorite (Chan et al., 2014) qui fonctionne comme suit. Pour un appel de type

1, le routeur va d’abord essayer de l’a↵ecter a un agent libre du groupe 1. S’il n’y

a pas d’agent libre, alors le routeur va essayer de l’attribuer a un agent libre du

groupe 2. Les agents du groupe 2 donnent toujours la priorite aux appels de type

2, meme si certains appels de type 1 ont attendu plus longtemps. Ainsi, les appels

du meme type sont de premier arrive, premier servi, mais les appels de di↵erents

types peuvent etre servis dans des ordres di↵erents.

Nous testons les predicteurs sur deux instances du modele tres di↵erentes : (i)

des files d’attente et des temps d’attente courts, et (ii) des longues files d’attente

et temps d’attente. Ces deux systemes se comportent tres di↵eremment parce que

tres peu d’agents du groupe 2 servent des appels de type 1 lorsque les files d’attente

sont (presque) toujours remplies. Asymptotiquement, aucun agent du groupe 2 ne

devrait servir des appels de type 1 parce que la file d’attente 2 n’est jamais vide.

Avec les files d’attente courtes, le systeme a beaucoup plus de variabilite et son

etude est plus interessante. Si les files d’attente n’etaient jamais vides, aucun des

64

agents du groupe 2 ne servirait des appels de type 1, et nous aurions deux files

d’attente simples separees.

Nous comparons les predicteurs LES, RS, SK et ANN. Nous n’incluons pas QL

parce qu’il n’est pas directement applicable (il n’y a pas de formule) dans le contexte

multi-competences. L’entree pour RS, SK et ANN est x = (t, q, r) pour les deux

types d’appels, ou r est un vecteur de longueur 1. Pour l’ANN, nous avons constate

que 180 noeuds par couche cachee etaient su�sants. Nous considerons egalement

des variantes de RS, SK et ANN ou la taille de la file d’attente secondaire (l’entree r)

est retiree de l’entree de prediction. Nous nommons ces variantes RS(t, q), SK(t, q)

et ANN(t, q). Dans chaque cas, nous rapportons le RRASE pour les appels de type

1, de type 2, et l’agregation des deux types.

4.3.4.1 Un modele N avec courtes files d’attente

Notre premier exemple de modele N est un cas avec des files d’attente courtes.

Pour les appels de type 1, le vecteur des taux d’arrivees (par periode) est ⁄1 =

(16, 20, 28, 30, 35, 45, 40, 30, 20, 15) par heure, la moyenne du temps de service µ

≠11 =

20 minutes, et la moyenne du temps de patience est ‹

≠11 = 25 minutes. Pour le

type 2, les taux d’arrivees sont ⁄2 = (20, 32, 40, 50, 60, 50, 40, 35, 30, 20) par heure,

le temps de service moyen est de µ

≠12 = 10 minutes, et la moyenne des temps

de patience est ‹

≠12 = 20 minutes. Les vecteurs de sta�ng (par periode) sont

s1 = (3, 5, 8, 8, 9, 10, 9, 6, 5, 5) et s2 = (4, 6, 8, 10, 9, 9, 8, 8, 6, 5).

Les mesures de performance agregees sur toutes les periodes sont les suivantes.

Pour l’appel de type 1, il y a une moyenne de 1.6 client dans la file d’attente, la

proportion de delais est de 61%, la proportion d’abandons est de 14%, le temps

d’attente moyen est de 211 secondes (pour tous les clients), et le temps d’attente

moyen des clients qui ont attendu et ont ete servis etait de 354 secondes. Pour

le type 2, ces mesures moyennes sont respectivement de 2.9 clients dans la file

d’attente, 79% attendus, 12% d’abandons, 193 secondes d’attente, et 248 secondes

d’attente. Le partage des competences est tres present : 80% des appels de type 1

servis ont ete repondu par des agents du groupe 1, tandis que l’autre 20% ont ete

65

repondu par des agents du groupe 2. Bien que les temps d’attente moyens globaux

(sur tous les clients) di↵erent de moins de 20 secondes entre les deux types d’appels,

les temps d’attente moyens pour ceux qui ont attendu et ont ete servis sont tres

di↵erents pour les deux types. Figure 4.1 montre la distribution de temps d’attente

des clients qui ont attendu et ont ete servis, pour chaque type. Le type 1 a une file

plus longue et evidemment une grande variance.

Modele N, courtes files, type 1 et 2

Temps d’attente (sec)

Proportion

type 1type 2

0 100 300 500 700 900 1100 13000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Figure 4.1 : Modele N avec courtes files : Distribution du temps d’attente desclients qui ont attendu et recu le service, pour chaque type.

Type d’appel LES RS RS(t, q) SK SK(t, q) ANN ANN(t, q)

1 0.871 0.603 0.612 0.590 0.602 0.572 0.5812 0.850 0.597 0.600 0.591 0.603 0.560 0.571

Tableau 4.11 : Le RRASE pour le N. modele avec de courtes files.

Le tableau 4.11 rapporte les RRASEs. Il montre que nos predicteurs RS, SK

et ANN et leurs variantes ont une RRASE qui est environ 25% inferieure a celle

du predicteur LES, pour tous les types d’appels. Le parametre r (la longueur de

la file d’attente secondaire) dans l’entree x a peu d’e↵et sur la precision de RS,

SK et ANN. ANN est plus performant que SK. Ce dernier est plus aussi un peu

plus performant que RS. Cette remarque est aussi faite sur leurs variantes. La

66

Modele N courte file, type 1

Erreurs de prediction (sec)

Frequ

ence

RSANNSKLES

-600 -480 -360 -240 -120 0 120 240 360 480 600

01000

2000

3000

4000

5000



Frequ

ence

RSANNSKLES

-600 -480 -360 -240 -120 0 120 240 360 480 600

02000

4000

6000

8000

10000

12000

Figure 4.2 : Modele N avec courtes files : Distribution des erreurs de prediction(delai estime moins delai reel) pour le type 1 et type 2.

figure 5.6 donne un histogramme de l’erreur de prediction pour chaque methode

(a l’exclusion des variantes). Nous voyons que le predicteur LES a une distribution

d’erreur beaucoup plus variable (de grandes erreurs sont plus frequentes), tandis

que RS, SK et ANN ont des distributions d’erreur tres similaires, pour les deux

types d’appels.

4.3.4.2 Un modele N avec de longues files d’attente

Notre deuxieme exemple de modele N a de longues files d’attente. Nous avons

pris de plus grands taux d’arrivee et des temps de patience que dans le cas pre-

cedent, tout en gardant le sta�ng presque inchange. Pour les appels de type

1, les taux d’arrivee sont ⁄1 = (25, 34, 43, 48, 51, 57, 42, 34, 22, 18) par heure, le

temps de service moyen est µ

≠11 = 21 minutes, et la moyenne du temps de pa-

tience est ‹

≠11 = 46.7 minutes. Pour le type 2, les taux d’arrivee sont ⁄2 =

(26, 40, 47, 59, 68, 59, 48, 43, 39, 29) par heure, le temps de service moyen est µ

≠12 =

11 minutes, et la moyenne du temps de patience est ‹

≠12 = 30 minutes. Les vecteurs

de sta�ng sont s1 = (4, 6, 9, 10, 9, 9, 9, 8, 5, 5) et s2 = (4, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 8, 6, 5).

Les mesures de performance agregees de toutes les periodes sont les suivantes.

67

Pour l’appel de type 1, nous trouvons une moyenne de 9.7 clients dans la file

d’attente, une proportion de delais de 94%, un ratio d’abandon de 33%, un temps

d’attente moyen de 938 secondes pour tous les appels, et un temps d’attente moyen

de 1151 secondes pour les appels qui sont entres dans la file d’attente et ont ete

servis. Pour le type 2, ces mesures sont 5.5 clients, 97% mis en attente, 23% des

abandons, 426 secondes et 465 secondes, respectivement. Dans cet exemple, 88%

des appels servis de type 1 ont ete repondus par le groupe 1 et les 12% restants

ont ete repondus par le groupe 2. La figure 4.3 montre que les distributions du

temps d’attente pour les clients qui ont attendu et servi sont tres di↵erentes entre

les types d’appels 1 et 2.

N-modele, longues files, type 1 et type 2

Temps d’attente (sec)

Proportion

type 1type 2

0 400 800 1200160020002400280032000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Figure 4.3 : Modele N avec longues files : Distribution du temps d’attente pour lesclients qui ont attendu et servi.

Types d’appelsType d’appel LES RS RS(t, q) SK SK(t, q) ANN ANN(t, q)

1 0.499 0.364 0.369 0.360 0.370 0.341 0.3502 0.629 0.443 0.446 0.445 0.458 0.424 0.435

Global 0.581 0.418 0.422 0.408 0.418 0.393 0.407

Tableau 4.12 : Les RRASEs pour le modele N avec longues files.

68

Modele N longue file, type 1


Frequ

ence

RSANNSKLES

-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200

01000

2000

3000

4000

5000



Frequ

ence

RSANNSKLES

-720 -480 -240 0 120 360 600

02000

4000

6000

8000

10000

12000

Figure 4.4 : Modele N avec longues files : Distribution des erreurs de prediction(delai estime moins delai reel) pour les types d’appels 1 et 2.

En regardant les RRASEs dans le tableau 4.12, nous constatons que la compa-

raison entre les predicteurs est tres similaire a ce que nous avons vu dans l’exemple

precedent avec les courtes files d’attente. LES est beaucoup moins performant que

toutes nos nouvelles methodes ; son RRASE est plus grand de 13% a 19%. Encore

une fois, ANN est un peu mieux que SK et qui a son tour est un peu mieux que RS.

L’ajout du parametre r a l’entree x ameliore legerement la precision des nouveaux

predicteurs. La Figure 5.7 illustre egalement une plus grande variance dans l’erreur

de prediction avec LES.

4.3.5 Experiences avec un grand centre d’appels base sur des donnees

reelles (HQ)

Nous considerons un grand exemple inspire par les donnees d’un sous-ensemble

d’appels et d’agents d’un veritable centre d’appels d’un fournisseur de services pu-

blics au Quebec. Le centre fonctionne de 8 heures a 18 heures dans une journee. Ces

heures d’ouverture sont divisees en 40 periodes de 15 minutes. Le centre d’appels

global gere 96 types d’appels avec 375 groupes d’agents, mais nous avons selec-

tionne les 6 types d’appels ayant les plus gros volumes et 8 groupes d’agents qui

69

peuvent les servir, comme dans Chan et al. (2014).

Les ensembles de competence des 8 groupes sont S1 = {1, 3, 4, 5}, S2 = {1, 2},S3 = {3, 5}, S4 = {3, 5, 6}, S5 = {1, 3, 5}, S6 = {1, 2, 3, 5}, S7 = {3, 5, 6}, andS8 = {1, 3, 5, 6}. Les arrivees sont des processus de Poisson avec des taux constants

⁄

j,p

dans la periode p pour chaque type j. Le vecteur de la moyenne agregee des

taux d’arrivees de la journee pour les 6 types d’appels est (35.5, 6.0, 98, 6.5, 29, 3.5).

Les temps de patience sont exponentiels avec une moyenne (pour les six types

d’appels) : (52, 36, 41, 51, 41, 15). Les temps de service sont de loi log-normale, avec

des parametres di↵erents pour chaque paire de groupe d’agent g et type d’appel

j qui peut etre servi par ce groupe. Les moyennes estimees varient de 5.14 a 11.3

minutes, et les ecarts-types varient de 5.88 a 22.0 minutes.

Les parametres ont ete legerement modifies par rapport a ceux du veritable

centre pour des raisons de confidentialite. Cet exemple a la particularite que le

taux d’arrivee et le sta�ng changent considerablement au cours de la journee.

Nous avons simule 100 jours independants, comme pour les autres exemples.

Le tableau 4.13 montre les mesures de performances globales pour les six types

d’appels. Notez que la longueur moyenne de file d’attente varie considerablement

selon les types d’appels (d’environ 3 a 120). Le type d’appel 6, dont la longueur de

la file et le temps d’attente moyen sont plus petits, en fait a une grande priorite

pour tous les groupes qui peuvent le servir. Le type d’appel 3 a une priorite plus

faible et le plus grand volume.

Types d’appelsPerformance 1 2 3 4 5 6PD(%) 98.1 99.5 98.6 97.9 97.8 99.2PA(%) 34.2 37 43 34.4 39.2 13.6AQS 41.3 6.65 120 6.95 38.2 2.96AWT (Sec.) 1037 1078 1610 1053 1125 208

Tableau 4.13 : Mesures de performances moyennes pour le grand exemple.

Le tableau 4.14 montre les RRASEs◊100 pour les six types d’appels. Nous

constatons toujours que les predicteurs ANN, SK, RS sont largement plus precis

70

que LES pour les six types d’appels. La di↵erence de precision varie entre 10% et

20% pour les six types d’appels. ANN est toujours le predicteur le plus performant

sauf pour le type d’appel 6. SK arrive en seconde position et il est suivi par RS.

Comme dans les exemples precedents, nous observons que la di↵erence de precision

entre RS, SK et ANN n’est pas trop grande. Elle varie entre 1 et 4% pour tous les

6 types d’appels.

Nous constatons que le type d’appels 6, qui a un faible taux d’arrivee, une

courte file d’attente, un petit temps d’attente moyen et qui est prioritaire pour

tous les groupes d’agents qui possedent la competence pour le traiter, a un RRASE

beaucoup plus eleve que les autres. Le RRASE de ce type depasse 61% pour tous

les predicteurs et est environ 4 fois plus grand que celui des autres types. Une

autre remarque : il est l’unique cas dans l’etude des systemes multi-competences

ou RS est plus precis que ANN. Les appels de type 6 sont rares et par consequent

nous aurons peu de donnees pour ce type a la fin de la simulation du modele.

Nous pensons que les predicteurs n’ont pas pu apprendre les bons parametres avec

les donnees disponibles. Les predicteurs qui utilisent l’apprentissage machine ont

besoin de beaucoup de donnees pour apprendre les bons parametres de la fonction

de predictions. ANN est celui qui a plus besoin de donnees pour bien performer.

C’est la raison pour laquelle il est moins performant que RS pour ce type d’appel.

Nous allons y revenir dans la section 4.5 qui est consacree a l’etude de la robustesse

des nouveaux predicteurs.

Le temps d’entraınement des modeles de predictions est grand pour les types

1, 2, 3, 4 et 5 avec cet exemple. Il est en moyenne de 5 minutes pour RS, de 12

heures de pour ANN, et de 24 heures pour SK. Le temps d’entraınement du modele

augmente toujours quand la taille de l’echantillon d’entraınement ou la taille du

vecteur qui definit l’etat du systeme augmente.

71

Types d’appels1 2 3 4 5 6

LES 24.6 35.6 20.3 41.3 26.1 94.5RS 8.90 12.9 11.4 15.9 18.9 62.7SK 8.50 11.6 10.1 14.0 16.5 61.5ANN 7.50 10.1 8.20 12.2 14.8 63.7

Tableau 4.14 : RRASEs pour les 6 types d’appels du grand exemple.

4.4 Impact de l’ajout de la periode et du nombre d’agents des groupes

dans la definition de l’etat du systeme

Dans cette section, nous etudions l’impact de l’ajout de nouvelles informations

dans la definition de l’etat du systeme sur la precision des predictions. Pour chaque

type d’appel k, l’etat du systeme etait defini jusqu’a present par x = (t, q, r) ou t

le delai d’attente du dernier client de type k entre en service, q la longueur de la

file d’attente k, et r est un vecteur qui contient la taille de chaque file d’attente

j ”= k tel qu’il y ait au moins un agent avec les deux competences k et j.

Nous considerons, en plus de ces trois informations, deux nouvelles informations

dans la definition de l’etat du systeme. Le premier est la periode p d’arrivee de

l’appel. Le second est un vecteur s = (s1, . . . , s

G

) qui represente le sta�ng des

groupes d’agents a la periode d’arrivee de l’appel (pour tout g œ {1, . . . , G}, s

g

est

le sta�ng du groupe g a la periode d’arrivee de l’appel de type k).

Dans les centres d’appels, les taux d’arrivees des appels, le sta�ng des groupes

d’agents varient souvent d’une periode a une autre de la journee. Le temps d’attente

d’un nouvel appel qui entre dans une file d’attente pourrait bien dependre de la

periode p d’arrivee et du sta�ng s des groupes qui servent les appels.

Nous definissons un nouvel etat du systeme par x = (t, q, r, p, s). En ajou-

tant p et s aux informations qui decrivent l’etat du systeme, nos predicteurs de-

viennent dependants du temps. Les nouveaux predicteurs RS, SK et ANN qui

prennent en entree x = (t, q, r, p, s) seront notes respectivement par RS(t, q, r, p, s),

SK(t, q, r, p, s), et ANN(t, q, r, p, s).

Nous allons maintenant comparer la precision des predictions en utilisant ce nou-

72

veau vecteur d’entree dans les trois exemples de centres d’appels multi-competences

qui sont deja etudies a la section 4.3. Le premier et le deuxieme sont les modeles

N avec courtes files d’attente et longues file d’attente. Le troisieme exemple celui

base sur des donnees reelles.

4.4.1 Modele N avec longues files

Le tableau 4.15 donne les RRASEs des predicteurs pour le modele N avec

longues files etudie a la section 4.3.4.2 pour les etats x = (t, q, r) et x = (t, q, r, p, s).

Pour chaque type predicteur, l’ajout de p et s dans la definition de l’etat du sys-

teme entraınent la reduction du RRASE. Cette reduction est environ de 2% pour

les deux types d’appels avec les di↵erents predicteurs. Nous observons toujours que

ANN(t, q, r, p, s) est plus precis que SK(t, q, r, p, s) qui a son tour est plus precis

que RS(t, q, r, p, s).

Cependant, nous notons que le temps d’entraınement des modeles de prediction

est plus beaucoup plus grand pour x = (t, q, r, p, s) que pour x = (t, q, r). Les

temps d’entraınement qui etaient en moyenne de 2, 30, et 60 minutes pour RS,

ANN et SK respectivement sont maintenant en moyenne de 4, 70, 190 minutes

pour RS(t, q, r, p, s), ANN(t, q, r, p, s), SK(t, q, r, p, s).

Type LES RS RS(t, q, r, p, s) SK SK(t, q, r, p, s) ANN ANN(t, q, r, p, s)

1 0.499 0.364 0.344 0.360 0.355 0.341 0.3212 0.629 0.443 0.418 0.445 0.436 0.424 0.411


4.4.2 Le modele N avec courtes files

Le tableau 4.16 rapporte les RRASEs des predicteurs pour le modele N courtes

files etudie a la section 4.3.4.1 pour x = (t, q, r, p, s). Comme dans l’exemple avec

longue file, nous observons une reduction du RRASE avec les di↵erents predic-

teurs. Cette diminution est d’environ 2.5% pour les deux types d’appels. Dans

cet exemple aussi, ANN(t, q, r, p, s) est toujours le predicteur le plus precis. Il est

73

suivi de SK(t, q, r, p, s). RS(t, q, r, p, s) reste toujours le predicteur le moins precis.

Dans cet exemple aussi nous constatons que le temps d’entraınement du modele en

moyenne a double pour RS et ANN tandis que pour SK, il a plus que triple.

Type LES RS RS(t, q, r, p, s) SK SK(t, q, r, p, s) ANN ANN(t, q, r, p, s)

1 0.871 0.603 0.589 0.590 0.572 0.572 0.5422 0.850 0.597 0.573 0.591 0.568 0.560 0.536


4.4.3 Exemple avec un grand centre d’appels base sur des donnees

reelles

Le tableau 4.17 montre les RRASEs des predicteurs pour les six types d’appels.

Comme dans les deux exemples precedents, nous constatons que l’ajout d’informa-

tions (la periode d’arrivee et du sta�ng des groupes) dans la definition de l’etat du

systeme a augmente la precision des predicteurs. La diminution du RRASE varie

entre 1 et 5% pour les six types d’appels. Cependant, nous notons une augmen-

tation considerable du temps d’entraınement des modeles de prediction pour RS

et SK. En moyenne, il est de 48 heures pour SK et de 24 heures pour ANN. Pour

RS le temps d’entraınement est toujours de quelques minutes. Il varie entre 3 et 5

minutes pour les six types d’appels.


LES 24.6 35.6 20.3 41.3 26.1 94.5RS 8.90 12.9 11.4 15.9 18.9 62.7

RS(t, q, r, p, s) 7.20 10.2 9.8 14.3 16.7 60.1SK 8.50 11.6 10.1 14.0 16.5 61.5

SK(t, q, r, p, s) 7.80 9.92 8.86 12.2 14.8 59.1ANN 7.50 10.1 8.20 12.2 14.8 63.7

ANN (t, q, r, p, s) 5.70 8.5 7.12 10.5 12.3 62.4

Tableau 4.17 : RRASEs pour les 6 types d’appel de l’exemple base sur des donneesreelles.

Dans tous les exemples consideres, nous constatons l’ajout des informations

74

dans la definition de l’etat du systeme entraıne une amelioration de la precision

des predictions. La reduction du RRASE varie entre 1 et 5 %. Le seul inconvenient

est que l’entraınement du modele peut prendre beaucoup de temps pour ANN et

SK. Nous avons constate plus que la taille du vecteur x est grande, plus le temps

necessaire pour apprendre le bon vecteur de parametres ◊ augmente.

ANN est le predicteur plus precis, mais il demande le plus souvent plusieurs

essais pour trouver le bon reseau (combien de couches cachees, combien de neu-

rones par couche). Nous n’avons pas une methode rapide pour determiner les bons

parametres du reseau. Le temps necessaire pour trouver les bons parametres peut

souvent depasser plusieurs heures surtout si la taille du vecteur x est grande. Si la

taille des donnees d’entraınement est petite alors il est preferable d’utiliser RS.

SK est la plupart du temps moins bon que ANN et en plus le temps necessaire

pour entraıner le modele est beaucoup plus grand que celui de ANN. Il est en

general plus precis que RS, mais la di↵erence de precision varie le plus souvent

entre 1 et 3%.

RS est souvent le predicteur le moins precis, mais son temps d’entraınement

est largement plus petit que ceux de ANN et SK. Il a l’avantage d’etre rapide

pour trouver le bon vecteur de parametres ◊. En general quelques minutes su�rent

pour le trouver. Il est aussi le predicteur le plus precis si la taille des donnees

d’entraınement est petite.

Le choix d’un predicteur par un gestionnaire depend du niveau de precision

des predictions voulu, du temps dont on dispose pour entraıner le modele et de la

quantite de donnees disponibles.

4.5 La Robustesse des predicteurs

Nos predicteurs sont developpes (optimises) en utilisant des donnees (les don-

nees d’entraınement) obtenues a partir d’une simulation du modele. Jusqu’a present

les donnees de test, qui sont utilisees pour comparer le RRASE des di↵erents pre-

dicteurs, sont aussi generees par une autre simulation independante du modele tout

75

en gardant toujours les memes parametres du modele. Dans la vraie vie, nous sa-

vons que les taux d’arrivee des types d’appels predits sont toujours di↵erents de

ceux qui sont reellement observes. Nous observons soit des taux plus petits ou soit

des taux plus eleves. Il est bon de voir la precision de nos predicteurs face a ces

situations.

Nous savons que les vraies donnees dans les centres d’appels sont toujours col-

lectees sur une longue periode de plusieurs journees et nous savons aussi que les

taux d’arrivees des appels a travers les journees sont di↵erents. Il est interessant

d’observer la precision des predicteurs dans le cas ou les donnees d’entraınement

du modele sont obtenues sur des journees di↵erentes.

A la section 4.3, nous avons etudie plusieurs exemples de modeles de complexite

di↵erente. Dans tous les cas, nous avons enregistre beaucoup de donnees pour

tous les types d’appels et les algorithmes d’apprentissage machine sont parvenus a

apprendre les bons parametres de la fonction de predictions. Il est bien connu que

ces algorithmes sont en general moins performants s’il n’y a pas assez de donnees.

Il est interessant d’observer et de comparer la precision des predicteurs pour des

types qui recoivent tres peu d’appels et pour lesquels nous avons enregistre peu de

donnees.

Dans cette sous-section, nous allons en premier observer le comportement des

predicteurs dans le cas ou les donnees de test sont generees en utilisant des taux

d’arrivee legerement di↵erents de ceux des donnees d’entraınement. Ensuite, nous

allons etudier la precision des predicteurs dans le cas ou les donnees d’entraınement

sont obtenues sur plusieurs journees di↵erentes.

Pour obtenir les nouvelles donnees de test, nous simulons un modele avec des

taux d’arrivee legerement modifies. Pour chaque type d’appel k, le nouveau taux

d’arrivee a la periode p, note ˜

⁄

k,p

, sera modifie comme suit :

˜

⁄

k,p

= ⁄

k,p

+ ‡ · ⁄

k,p

, (4.3)

ou ‡ represente le pourcentage de diminution (‡ < 0) ou d’augmentation (‡ > 0)

76

sur le taux initial ⁄

k,p

du type k a la periode p. Le taux initial ⁄

k,p

est le taux d’ar-

rivee du type k a la periode p utilise pour generer les donnees d’entraınement. Dans

nos exemples numeriques, nous diminuons ou augmentons le meme pourcentage sur

le taux de tous les types simultanement.

Pour obtenir des donnees d’entraınement collectees sur plusieurs journees avec

des taux d’arrivee di↵erents, nous procedons comme suit. Soit ⁄

k

le taux d’arrivee

du type d’appel k a la premiere journee. Pour toute autre journee, le taux d’arrivee

du type k est donne par B⁄

k

ou B est le busyness factor de la journee qui est une

variable aleatoire Gamma de moyenne m = 1 et variance v.

4.5.1 Variation du taux d’arrivee avec le modele M/M/s+M

Nous considerons le meme exemple etudie a la section 4.3.1. Nous rappelons

qu’avec cet exemple les parametres du modele etaient les suivants. Le taux d’arri-

vee est ⁄ = 50 appels par heure, les durees de service ont une moyenne µ

≠1= 2, les

abandons ont une moyenne ‹

≠1= 0.5 heure, et le nombre d’agents qui repondent

aux appels est s = 17. Pour entraıner RS, SK et ANN, nous generons les don-

nees d’entraınement par une simulation du modele avec les parametres enumeres

ci-dessus. Dans cet exemple, nous simulons une seule et longue periode pour un

seul type d’appel avec un seul groupe. En plus de la variation du taux d’arrivee,

nous considerons un autre cas ou les donnees d’entraınement du predicteur sont

collectees sur plusieurs journees di↵erentes.

Donnees de test avec des taux d’arrivee di↵erents

Pour chaque ‡ œ {≠0.2, ≠0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}, nous avons genere des

donnees de test, en utilisant un nouveau taux d’arrivee determine par l’equation

(4.3). Le tableau 4.18 donne les moyennes globales des mesures de performances

du centre d’appels avec chacun des taux d’arrivee utilises. Les mesures de perfor-

mances observees dans ce tableau sont la longueur de la file d’attente moyenne, la

proportion de delais, la proportion d’abandons, et le temps d’attente moyen. Nous

77

observons que les performances des modeles simules pour generer les donnees de

test sont largement di↵erentes de celles du modele d’entraınement.

‡

Performances -20% -10% 0 +10% +20% +30% +40% +50%AQL(clients) 4.41 6.67 9.04 11.51 14.00 16.49 18.99 21.50PD(%) 84.33 93.64 97.77 99.30 99.80 99.94 99.98 99.99PA(%) 31.18 29.54 36.18 41.86 46.68 50.77 54.28 57.33AWT(seconds) 397 532 651 753 839 913 976 1031

Tableau 4.18 : Performances du modele M/M/s+M avec les variations du tauxd’arrivee

⁄ ≠ 0.2⁄ ⁄ ≠ 0.1⁄ ⁄ ⁄ + 0.1⁄ ⁄ + 0.2⁄ ⁄ + 0.3⁄ ⁄ + 0.4⁄ ⁄ + 0.5⁄

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Taux d’arrivee des donnees de test, ˜

⁄

RRASE

LES RS SK ANN QL

Figure 4.5 : RRASE des predicteurs pour modele M/M/s+M en fonction du tauxd’arrivee des donnees de test.

Le tableau 4.19 rapporte les RRASEs observes avec les predicteurs dans cha-

cune des cas. Nous constatons que la variation du taux d’arrivee (augmentation ou

diminution) n’a↵ecte pas beaucoup la precision des predicteurs RS, SK et ANN. Les

nouveaux predicteurs ont une precision toujours tres similaire a celle du predicteur

optimal QL dans les di↵erents cas. Ceci s’explique par le fait que la fonction de

78

prediction dans les systemes a file unique est independante du taux d’arrivee. Nos

observons aussi que la di↵erence de precision entre LES et les nouveaux predicteurs

reste sensiblement inchangee.

‡

Predicteur -20% -10% 0 +10% +20% +30% +40% +50%LES 0.415 0.454 0.488 0.521 0.547 0.571 0.590 0.606RS 0.275 0.304 0.330 0.355 0.376 0.394 0.410 0.423ANN 0.276 0.304 0.331 0.355 0.376 0.395 0.411 0.423QL 0.275 0.303 0.330 0.355 0.376 0.392 0.409 0.421SK 0.276 0.304 0.331 0.356 0.376 0.396 0.412 0.422

Tableau 4.19 : RRASE M/M/s+M avec variation du taux d’arrivee

Le RRASE des predicteurs est fonction du taux d’arrivee des donnees de test

(meme pour le predicteur optimal QL). Elle augmente si le taux d’arrivee au sys-

teme augmente et diminue si le taux diminue. La figure 4.5 a�che le RRASE des

predicteurs en fonction du taux d’arrivee ˜

⁄.

Donnees d’entraınement avec des taux d’arrivee di↵erents

Nous considerons toujours le centre d’appels modelise par une file d’attente

M/M/s+M. Les parametres du centre sont toujours les memes sauf pour le taux

d’arrivee ⁄. Dans cet exemple ⁄ = 50 ◊ B ou B est une variable aleatoire qui

represente le facteur d’achalandage ou “busyness factor” de la journee. B suit une

distribution gamma de parametres – = 50 et — = 50. La moyenne des durees de

service µ

≠1= 2, la moyenne des temps de patience est ‹

≠1= 0.5 heure, et le nombre

d’agents s = 17.

Nous avons genere par simulation les donnees de 5 journees independantes.

Par la suite, nous avons utilise les donnees des quatre premieres journees comme

donnees d’entraınement. Les donnees de la cinquieme journee sont utilisees pour

calculer le RRASE des predicteurs.

Le tableau 4.20 donne les RRASEs des di↵erents predicteurs. Nous remarquons

que les predicteurs QL, ANN, RS et SK ont toujours une precision tres similaire.

79

Predicteurs LES RS SK ANN QLRRASE 0.607 0.419 0.413 0.419 0.408

Tableau 4.20 : RRASE des predicteurs pour un centre d’appels M/M/s+M avec“busyness factor”.

La di↵erence de precision entre LES et les autres predicteurs est sensiblement la

meme que dans le cas initial. Cet exemple montre que les nouveaux predicteurs

sont robustes meme si les donnees d’entraınement sont collectees a partir de plu-

sieurs journees. Ce resultat est encourageant, car dans la vraie vie les donnees

d’entraınement sont toujours obtenues sur plusieurs journees distinctes.

4.5.2 Variation du taux d’arrivee avec le modele N

Nous considerons maintenant le modele N etudie a la section 4.3.4.2.

Donnees de test avec des taux d’arrivee di↵erents

Pour chaque ‡ œ {≠0.2, ≠0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.3}, nous generons de nouvelles don-

nees de test en utilisant des taux d’arrivees determines par l’equation (4.3). Le

tableau 4.21 donne le RRASE des predicteurs avec les di↵erentes donnees de test.

Comme dans l’exemple precedent, nous constatons que le changement du taux

d’arrivee ne reduit pas beaucoup la precision des predicteurs RS, SK et ANN. En

e↵et, les RRASEs obtenus avec ces donnees de test sont sensiblement egaux aux

RRASEs des predicteurs avec des donnees d’entraınement de taux d’arrivee egal

au taux d’arrivee des donnees de test. La di↵erence de precision entre les nouveaux

predicteurs et LES est aussi sensiblement egale a leur di↵erence de precision dans

le cas initial. L’ordre de precision des predicteurs est toujours le meme. ANN est

plus precis que SK qui a son tour est plus precis que RS. Cela montre que les in-

formations que nous avons choisies pour decrire l’etat du systeme sont su�santes

pour apprendre la fonction de prediction.

La figure 4.6 et la 4.7 a�chent les predicteurs en fonction du taux des donnees

de test pour les types 1 et 2, respectivement. Elles montrent que dans cet exemple

80

aussi que le RRASE est fonction du taux d’arrivee des donnees de test.

Predicteurs -20% -10%

LES RS SK ANN LES RS SK ANN

T1 0.372 0.266 0.260 0.250 0.430 0.309 0.306 0.301

T2 0.566 0.398 0.383 0.369 0.597 0.428 0.402 0.409

Predicteurs 0% 10%


T1 0.499 0.364 0.360 0.351 0.543 0.385 0.375 0.368

T2 0.629 0.459 0.445 0.434 0.674 0.487 0.474 0.464

+20% +30%


T1 0.579 0.423 0.416 0.395 0.609 0.463 0.458 0.425

T2 0.703 0.502 0.503 0.490 0.739 0.537 0.519 0.521

Tableau 4.21 : RRASE du modele N avec variation du taux d’arrivee

⁄ ≠ 0.2⁄ ⁄ ≠ 0.1⁄ ⁄ ⁄ + 0.1⁄ ⁄ + 0.2⁄ ⁄ + 0.3⁄

0.3

0.4

0.5

0.6

Taux d’arrivee ˜

⁄1

RRASE

LES RS SK ANN

Figure 4.6 : RRASE des predicteurs pour le modele N en fonction du taux d’arrivee˜

⁄1, type 1.

81

⁄ ≠ 0.2⁄ ⁄ ≠ 0.1⁄ ⁄ ⁄ + 0.1⁄ ⁄ + 0.2⁄ ⁄ + 0.3⁄

0.35

0.45

0.55

0.65

Taux d’arrivee ˜

⁄2

RRASE

LES RS SK ANN

Figure 4.7 : RRASE des predicteurs pour le modele N en fonction du taux d’arrivee˜

⁄2, type 2.

Donnees d’entraınement avec des taux d’arrivee di↵erents

Nous avons simule 100 journees. Pour chacune des journees le nouveau taux

d’arrivee du type 1, ˜

⁄1, et le nouveau taux d’arrivee du type 2, ˜

⁄2, sont obtenus

par ˜

⁄1 = B⁄1 et ˜

⁄2 = B⁄1 ou B le busyness factor de la journee. Il suit une

distribution Gamma de parametres – = 50 et — = 50. Nous avons utilise les don-

nees des 80 premieres journees pour entraıner les modeles et les donnees des 20

journees restantes pour evaluer les performances des predicteurs. Le tableau rap-

porte les RRASEs des di↵erents predicteurs pour les deux types d’appels. Comme

dans le cas de la file simple, nous observons le fait d’entraıner les modeles sur des

donnees provenant de plusieurs journees di↵erentes ne diminue pas beaucoup la

precision des predicteurs. En e↵et, si nous comparons les resultats des predicteurs

avec ceux obtenus a la section 4.3.4.2 qui etudie le meme exemple avec des donnees

d’entraınement et des donnees de test generees avec ⁄1 et ⁄2, nous observons une

augmentons des RRASEs d’environ 2%. L’ordre de precision des predicteurs est

82

toujours le meme. ANN est plus precis que SK qui a son tour est plus precis que

RS.

Type LES RS SK ANN1 0.525 0.382 0.384 0.3602 0.646 0.464 0.463 0.442

Tableau 4.22 : Les RRASEs pour le modele N avec donnees d’entraınement et detest collectees sur plusieurs journees.

4.5.3 La precision des predicteurs RS, ANN et SK pour les types appels

rares

Nous allons maintenant observer la robustesse des predicteurs pour les types

d’appels avec un faible taux d’arrivee. Nous considerons un modele W avec 3 types

d’appels et deux groupes d’agents, ou les groupes ont les ensembles de competences

S1 = {1, 2} et S2 = {2, 3}. Le groupe 1 traite les appels de type 1 et de type 2 et

le groupe 2 traite les appels de type 2 et type 3.

Les processus d’arrivee sont des processus de Poisson de taux constant durant

la journee. Toutes les durees de service et les temps de patience sont exponentiels

et independants. Nous utilisons une politique de routage par priorite qui fonctionne

comme suit. Pour un appel de type 2, le routeur va d’abord essayer de l’a↵ecter a

un agent libre du groupe 1. S’il n’y a pas d’agent libre, alors le routeur va essayer

de l’attribuer a un agent libre du groupe 2. Les agents du groupe 1 accordent la

meme priorite aux appels de type 1 et aux appels de type 2. Si un agent du groupe

1 devient libre et qu’il y a un appel 1 et un appel 2 en attente, alors la priorite sera

accordee a l’appel qui a enregistre la plus longue attente, et si les deux appels ont

observe le meme temps, le routeur choisit un appel au hasard. Les agents du groupe

2 donnent toujours la priorite aux appels de type 2, meme si certains appels de type

3 ont attendu plus longtemps. Ainsi les appels type 3 sont servis si seulement il

n’y a pas d’appel de type 2 en attente. Les appels du meme type sont de premier

arrive, premier servi, mais les appels de di↵erents types peuvent etre servis dans

des ordres di↵erents.

83

Nous supposons que les appels de type 3, qui ne sont pas prioritaires pour

le groupe 2, ont un taux d’arrivee faible, et les appels type 1 et type 2 ont des

taux d’arrivee eleves. Apres une simulation du modele, nous pourrons enregistrer

beaucoup de donnees pour les types 1 et 2, par contre pour le type 3, nous allons

enregistrer peu de donnees. Ce qui nous interesse le plus dans cet exemple est

le comportement des predicteurs RS, SK et ANN dans la prediction des temps

d’attente pour le type 3.

Le vecteur des taux d’arrivees pour les trois types d’appels est (⁄1, ⁄2, ⁄3) =

(20, 10, 1), le vecteur des taux de service (µ1, µ2, µ3) = (2, 2, 1) et celui des temps

moyens de patience (‹1, ‹2, ‹3) = (0.5, 0.2, 0.3).

Nous avons simule 100 jours independants, comme pour les autres exemples.

Le tableau 4.23 montre les mesures de performances moyennes pour les 3 types

d’appels. Notez que la longueur moyenne de file d’attente varie selon les types

d’appels (d’environ 1 a 10). Le type d’appel 3, dont la longueur de la file est petite

et le temps d’attente moyen est grand, en fait a une faible priorite pour le groupe

qui peut le servir.

Types d’appelsPerformances 1 2 3PD(%) 94.1 87.5 88.7PA(%) 25.5 18 37AQS 9.5 3.4 1.1AWT (min) 30 21.3 104.4

Tableau 4.23 : Mesures de performances moyennes pour le modele W..

Le tableau 4.24 montre les RRASEs◊100 pour les 3 types d’appels. Nous consta-

tons que pour les types 1 et 2 que ANN donne toujours les meilleurs resultats. Il est

suivi par RS et SK. LES est toujours le predicteur le moins precis. Par contre pour

le type d’appel 3, nous observons que les predicteurs RS, SK et ANN sont beau-

coup moins precis avec des RRASE beaucoup plus grand que ceux des deux autres

types. Ils ont des RRASE qui sont tous superieurs a 60%. En plus de cela, nous

constatons que RS est plus precis que ANN, qui a son tour est un peu plus precis

84

que SK. Cependant, nous notons que les predicteurs ANN, SK, RS sont toujours

plus precis que LES.

Type d’appel LES RS SK ANN1 44.9 30.4 31.6 28.32 65.0 39.1 40.5 35.73 115.8 60.6 67.1 66.9

Tableau 4.24 : Les RRASEs pour le modele W.

Les mauvaises performances des predicteurs qui utilisent l’apprentissage ma-

chine pour le type d’appel 3 sont du a la quantite de donnees disponibles pour

entraıner les modeles. Les donnees ne sont pas su�santes pour apprendre les bons

parametres de la fonction de prediction. Comme dans l’exemple base sur des don-

nees reelles etudie a la section 4.3.5 de ce chapitre, nous observons que dans une

telle situation, le predicteur RS est preferable par rapport aux predicteurs SK et

ANN. Les nouveaux predicteurs que nous proposons dans ce chapitre sont perfor-

mants, mais leur inconvenient est qu’il necessite une grande quantite de donnees et

beaucoup de temps de calcul.

4.6 Comparaison des nouveaux predicteurs avec Q-Lasso

Comme nous l’avons dit dans la revue de la litterature sur la prediction de

delai, un an apres la publication de nos travaux sur la prediction de delai avec

des algorithmes d’apprentissage machine (regression spline, reseau de neurones,

krigeage stochastique), Ang et al. (2016) ont propose un predicteur qui utilise

l’algorithme d’apprentissage du Lasso (Tibshirani, 1999). Ang et al. appellent ce

predicteur Q-Lasso. Ce predicteur estime le temps d’attente d’un patient comme

une fonction lineaire dependant de l’etat du systeme avec un objectif de minimiser le

MSE des predictions plus une fonction de penalite pour eviter le sur-apprentissage.

Leur definition de l’etat du systeme a l’arrivee d’un patient est tres similaire du

notre. Ici, en plus du LES, de la longueur de la file, du nombre de serveurs, de

la periode de la journee, les auteurs considerent les predicteurs QL et la liste de

85

priorite des medecins (serveurs) dans la definition de l’etat du systeme.

Avec une legere readaptation, ce predicteur peut bien etre utilise dans les centres

d’appels multi-competences. Toutes leurs variables d’etat sont observables ou es-

timables dans dans les centres d’appels multi-competences sauf le delai predit par

QL. Ce dernier n’est pas applicable dans les centres d’appels multi-competences.

Si nous eliminons le delai predit par QL, nous obtenons une version du Q-Lasso

utilisable dans les centres d’appels multi-competences.

Dans cette section, nous comparons ce predicteur Q-Lasso adapte aux predic-

teurs ANN, SK et RS pour les modeles N courtes et longues, et pour le centre

d’appels HQ, qui sont etudies dans la section 4.3.4. Les tableaux 4.26, 4.25 et 4.27

donnent les RRASEs des divers predicteurs pour le modele N avec longues files,

le modele N avec courtes files et pour le modele HQ avec 6 types d’appels et 8

groupes, base sur des donnees reelles. Nous constatons que les predicteurs ANN,

RS, SK sont plus precis que Q-Lasso dans les trois exemples. La di↵erence de pre-

cision entre Q-Lasso et RS varie entre 3% et 5% a travers les di↵erents exemples.

Cependant, si nous comparons les temps necessaires pour l’entraınement des mo-

deles de predictions, nous constatons Q-Lasso a un temps d’entraınement beaucoup

plus petit que ceux de ANN et SK, mais sensiblement egal a celui de RS.

Type LES Q-Lasso RS SK ANN1 0.871 0.635 0.603 0.590 0.5722 0.850 0.625 0.597 0.591 0.560


Type LES Q-Lasso RS SK ANN1 0.499 0.405 0.364 0.360 0.3412 0.629 0.479 0.443 0.445 0.424


Recommandations sur les predicteurs Pour chaque type d’appel k, nous

avons propose des predicteurs qui utilisent des algorithmes d’apprentissage machine

86


LES 24.6 35.6 20.3 41.3 26.1 94.5Q-Lasso 12.7 16.4 14.6 19.3 22.5 65.8

RS 8.90 12.9 11.4 15.9 18.9 62.7SK 8.50 11.6 10.1 14.0 16.5 61.5ANN 7.50 10.1 8.20 12.2 14.8 63.7

Tableau 4.27 : Le RRASE des predicteurs pour les 6 types d’appels du centred’appels HQ.

et qui prennent en entre un vecteur x qui est constitue du delai LES, de la longueur

de la file du type k, de la longueur des autres types servis par les memes agents.

Dans tous exemples consideres, nous constatons que les nouveaux predicteurs sont

performants. Dans les systemes a file d’attente unique avec agents identiques et

des durees de service exponentielles, nos predicteurs sont aussi performants que le

predicteur optimal QL. Pour les systemes a file unique avec des agents heterogenes

et des durees de service de loi log-normale, nos predicteurs sont largement plus

performants que QL.

Les performances de nos predicteurs peuvent etres ameliorees en ajoutant le

sta�ng des groupes, la periode d’arrivee des appels dans x. Dans tous les exemples

consideres, nous observons une reduction du RRASE qui varie entre 1 et 5 %.

Cependant, il faut noter que l’ajout de ces informations peut doubler ou tripler

le temps d’entraınement necessaire pour trouver les bons parametres des predic-

teurs. Nous avons constate que plus la taille du vecteur x est grande, plus le temps

necessaire pour apprendre le bon vecteur de parametres ◊ augmente. Le temps

d’entraınement depend aussi de la taille des donnees disponibles. Si la taille des

donnees est tres grande, l’entraınement des modeles SK, ANN peut prendre plu-

sieurs journees. Pour reduire le temps d’entraınement, nous utilisons une technique

d’agregation des donnees presentee a la section 4.2.3.

En general, ANN est le predicteur le plus precis, mais il demande le plus souvent

plusieurs essais pour trouver la bonne configuration du reseau (combien de couches

cachees, combien neurones par couche). Nous ne connaissons pas une methode

87

pour determiner la configuration optimale du reseau. Le temps necessaire pour

trouver les bons parametres peut souvent depasser plusieurs heures surtout si la

taille du vecteur x est grande. Si la taille des donnees d’entraınement est petite,

ANN performe moins bien. Dans les di↵erents exemples etudies dans ces situations,

nous avons observe qu’il est preferable d’utiliser RS

SK est la plupart du temps moins bon que ANN et en plus le temps necessaire

pour entraıner le modele est beaucoup plus grand que celui de ANN. Il est en

general plus precis que RS, mais la di↵erence de precision varie le plus souvent

entre 1 et 2%.

RS est souvent le predicteur le moins precis, mais son temps d’entraınement

est largement plus petit que ceux de ANN et SK. Il a l’avantage d’etre rapide

pour trouver le bon vecteur de parametres ◊. En general quelques minutes su�sent

pour le trouver. Il est aussi le predicteur le plus precis si la taille des donnees

d’entraınement est petite.

Le choix d’un predicteur par un gestionnaire depend du niveau de la precision

des predictions voulue, du temps dont on dispose pour entraıner le modele, et de

la quantite de donnees disponibles.

88

CHAPITRE 5

NOUVEAUX PREDICTEURS DE DELAI BASES SUR

L’HISTORIQUE POUR LES SYSTEMES DE SERVICE

5.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous presentons les travaux de notre article Thiongane et al.

(2016). Nous proposons deux nouveaux predicteurs de delais qui sont tres simples

a mettre en œuvre et peuvent etre utilises dans les systemes multi-competences.

Ils sont bases sur les temps d’attente des clients precedents de la meme classe. Le

premier estime le delai d’un nouveau client en extrapolant l’historique des attentes

des clients actuellement dans la file d’attente, plus le dernier qui est entre en service,

et en prenant une moyenne ponderee. Le second prend une moyenne ponderee des

delais des anciens clients de la meme classe qui ont trouve la meme longueur de file

d’attente quand ils sont arrives.

5.1.1 Contexte et probleme

Nous allons presenter le contexte et les problemes qui motivent la proposition

de nouveaux predicteurs. Ils dependent du type de systeme considere.

Systemes avec file unique

Nous rappelons que deux categories de predicteurs ont ete developpees pour les

systemes a file unique : les predicteurs QL et les predicteurs DH.

Les predicteurs QL sont connus pour etre optimaux pour les systemes simples

comme une file d’attente M/M/s ou une file d’attente M/M/s+M a l’etat d’equi-

libre pour lesquels les agents sont identiques et les durees de service exponentielles.

Dans les centres d’appels, des etudes empiriques menees sur de vraies donnees ont

montre que les serveurs sont heterogenes et les temps de service sont de loi log-

normale plutot qu’exponentiels (Armony, 2005, Gans et al., 2010, Mehrotra et al.,

2012, Pichitlamken et al., 2003). L’utilisation des predicteurs QL qui ignorent ces

realites peut conduire a de tres mauvaises predictions.

Les predicteurs DH sont performants dans les systemes avec une faible varia-

tion dans les processus d’arrivee et une faible variation du nombre de serveur. Leurs

performances se degradent considerablement s’il y a une grande variation du pro-

cessus d’arrivee ou du nombre de serveurs dans le temps. Malheureusement dans

les centres d’appels actuels ces variations sont importantes.

Systemes multi-competences

Dans les systemes multi-competence, les predicteurs QL ne sont pas applicables.

Les predicteurs DH donnent de mauvaises performances, car les variations des pro-

cessus d’arrivee et du nombre de serveurs dans le temps sont les caracteristiques

des centres d’appels multi-competences actuels. D’autres types de predicteurs, qui

appliquent generalement des algorithmes d’apprentissage machine sur les donnees

observees, sont proposes pour ces systemes (Ang et al., 2016, Senderovich et al.,

2015, Thiongane et al., 2015). Ces predicteurs performent bien empiriquement dans

les simulations, mais un inconvenient est qu’ils ont un grand nombre de parametres

qui doivent etre appris a l’avance, et ils sont complexes a mettre en œuvre en pra-

tique. Cette phase d’entraınement du modele necessite une grande quantite de

donnees et temps de calcul.

5.1.2 Objectifs

Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur les predicteurs simples de type DH

qui sont faciles a mettre en œuvre et qui ont tres peu de parametres. Nous proposons

deux nouveaux predicteurs. Le premier etend le predicteur LES en considerant les

temps d’attente vecus jusqu’ici par les clients de meme type qui sont encore dans la

file d’attente. Les temps d’attente finaux de ces clients sont encore inconnus, mais

le predicteur extrapole les temps d’attente qu’ils ont realise jusqu’a present. Nous

appelons ce predicteur le LES extrapole ou extrapolated LES (E-LES). Le second

90

predicteur estime le temps d’attente du nouveau client par une moyenne mobile des

temps d’attente realises des clients de meme type qui ont trouve la meme longueur

de file d’attente quand ils sont arrives. Nous l’appelons la moyenne conditionnelle

des LES ou average conditional LES (AvgC-LES). Ces nouveaux predicteurs sont

attrayants en grande partie en raison de leur simplicite. En e↵et, ils ont tres peu de

parametres, ne necessitent pas une phase d’optimisation, et sont faciles a mettre en

œuvre en pratique. Le second a un seul parametre : la taille de la fenetre pour la

moyenne mobile. Le premier n’en a pas dans sa forme de base, alors que certaines

de ses variantes ont un parametre qui sert a exclure certains des clients a l’arriere

de la file d’attente, dont le temps d’attente realise jusqu’a present ne fournit pas

su�samment d’information. Nous etudions ces predicteurs dans le contexte des

centres d’appels, mais ils peuvent egalement etre utilises pour d’autres systemes de

services.

Nous avons e↵ectue des experiences par simulation pour comparer la precision

des di↵erents predicteurs sur di↵erents modeles de centres d’appels. Dans ces ex-

periences, nous avons constate que AvgC-LES etait generalement plus precis que

E-LES, qui etait a son tour plus precis que LES. Pour une seule file d’attente, pour

laquelle QL est connu pour etre optimal (si nous considerons la supposition non

realiste que les serveurs sont identiques et les temps de service sont exponentiels),

AvgC-LES est tres proche de QL. Dans le cas d’une seule file avec des serveurs

heterogenes et des durees de service de loi log-normale, E-LES et AvgC-LES sont

plus performants que QL. Pour les exemples de centre d’appels multi-competences,

AvgC-LES est un peu moins precis que RS et ANN. Cependant, il est beaucoup

plus simple.

5.1.3 Organisation du chapitre

Le reste du chapitre est structure comme suit. La section 5.2 introduit nos

nouveaux predicteurs de delai. La section 5.3 presente les resultats des experiences

numeriques. Une conclusion est donnee dans la section 5.4.

91

5.2 Les predicteurs de delais

Dans cette section, nous presentons les nouveaux predicteurs de delai que nous

proposons dans ce chapitre. Puisque nous sommes interesses a des predicteurs qui

sont susceptibles d’etre mis en œuvre dans la pratique, nous avons propose des

predicteurs DH qui ont tres peu de parametres. A titre de comparaison, dans nos

etudes de simulation, nous incluons LES, Avg-LES, P-LES, QL pour les systemes

avec une seule file d’attente, et les predicteurs qui utilisent les algorithmes d’ap-

prentissage machines (ML) pour les instances multi-competence a plusieurs files

d’attente. Notez que meme si QL et ML sont plus performants (quand ils sont

applicables), ces predicteurs ont d’autres limites, comme nous l’avons dit un peu

plus tot dans l’introduction. Les predicteurs DH utilisent toujours les delais des

clients de la meme classe (meme file d’attente) que celle pour laquelle nous faisons

la prediction. Ainsi, pour chaque methode consideree, il y a un predicteur di↵erent

pour chaque categorie de clients j, meme si nous ne l’indexons pas toujours par j

explicitement. Par exemple, si nous utilisons LES dans un modele N, nous aurons

un predicteur LES pour le type d’appel 1 et un predicteur pour le type d’appel 2.

5.2.1 LES extrapole (E-LES)

Ici, nous proposons un predicteur de DH qui repose sur des informations de

delai des clients qui sont actuellement en attente dans la file. Les delais finaux de

ces clients sont encore inconnus, mais nous extrapolons les delais (partiels) ecoules

pour les predire. Ceci est la principale distinction entre E-LES et les predicteurs DH

precedents (LES, Avg-LES, WAvg-LES et P-LES), qui reposent uniquement sur les

delais passes qui sont deja complets. E-LES utilise des informations partielles, mais

plus fraıches. Il fonctionne comme suit.

Supposons qu’un nouveau client entre dans une file d’attente avec C clients

avant lui, numerotes de 1 a C, avec le client 1 a la tete de la file d’attente. Le

client LES, qui etait juste en avant du client 1, a le numero 0. Pour tout client

c œ {1, . . . , C}, soient Q(c) le nombre de clients deja en file d’attente lorsque le

92

client c arrive, A(c) le nombre de clients actuellement devant c et W (c) le temps

d’attente vecu par le client c jusqu’a maintenant. Ainsi, le client c a trouve Q(c)

clients dans la file d’attente a l’arrivee, et a progresse de Q(c) ≠ A(c) positions

dans la file d’attente pendant le temps ecoule W (c) depuis son arrivee. Sachant

que Q(c) + 1 clients doivent sortir du systeme (apres avoir ete servis ou avoir

abandonne) avant que client c puisse commencer le service, il semble naturel de

predire le temps d’attente E(c) du client c par l’extrapolation lineaire

E(c) = W (c)

Q(c) + 1

Q(c) ≠ A(c)

. (5.1)

Pour c = 0, nous fixons E(0) egal au temps d’attente reel du client LES, parce que

son vrai delai est deja connu.

Le delai predit D du nouveau client est la moyenne des delais extrapoles des C

clients dans la file d’attente et le vrai delai du client LES :

D =

1

C + 1

Cÿ

c=0E(c). (5.2)

La formule (5.2) basee sur (5.1) fournit une moyenne ponderee naturelle qui met

plus de poids sur les delais les plus recents, donc on peut esperer qu’il capture les

changements dans les systemes dynamiques plus tot que les autres predicteurs de

DH. Notez que parce que les C clients partagent la meme file d’attente, leurs temps

d’attente sont generalement correles. Alors les E(c) ne sont pas independants. Une

faiblesse du predicteur (5.2) est que les clients pres de la fin de la file d’attente ont

vecu seulement un court temps d’attente jusqu’a present et ont generalement une

petite valeur de Q(c) ≠ A(c), d’ou ils sont susceptibles de fournir moins d’infor-

mations de delai et leurs delais extrapoles E(c) ont generalement du bruit. Pour

reduire ce bruit, nous pouvons ajouter des poids multiplicatifs qui diminuent avec

c, comme dans WAvg-LES. Ces poids peuvent dependre de C, c, Q(c) et A(c).

Nous avons implemente une version de ceci qui selectionne un parametre de

seuil · et inclut dans (5.2) uniquement les clients qui ont progresse d’au moins ·

93

positions dans la file d’attente depuis leur arrivee. Autrement dit, nous definissons

C = {c Æ C : Q(c) ≠ A(c) Ø ·} fi {0} et

D =

1

|C|ÿ

cœCE(c), (5.3)

ou |C| est la taille de l’ensemble C. Les poids sont de 1/|C| pour c œ C et 0 sinon.

Dans notre implementation, nous selectionnons une constante fixe ” œ (0, 1] et

nous prenons un seuil dynamique · comme une proportion ” de la longueur de la

file courante C, qui est · = Á”QË. Un grand ” retourne des predictions proches

de celles de LES. En particulier, si nous prenons ” = Œ, alors C = {0} et nous

obtenons LES. Dans nos experiences de simulation, le meilleur ” que nous avons

trouve empiriquement (a partir de quelques selections) n’a jamais depasse 0.4. Nous

rapportons et utilisons cette meilleure valeur pour chaque exemple. Pour le premier

exemple, ” = 0.1, pour le second exemple ” = 0.2, et pour le troisieme exemple

” = 0.4.

Une autre heuristique pour selectionner les poids est de toujours inclure une

proportion fixe — œ [0, 1] des clients a partir de la tete de la file d’attente. Nous

remplacons C par C

Õ= Á—CË en (5.2), qui donne le predicteur

D =

1

C

Õ+ 1

C

Õÿ

c=0E(c). (5.4)

Choisir — = 0 exclut tous les clients dans la file d’attente, alors dans ce cas E-

LES devient LES. Nous allons utiliser (5.3) et non (5.4) pour nos experiences de

simulation.

5.2.2 Moyenne des LES conditionnelles a la longueur de la file d’attente

(AvgC-LES)

Cette methode est inspiree par le predicteur QL pour une seule file d’attente

avec des temps de service exponentiels, qui predit le delai comme une esperance

du temps d’attente conditionnelle a la longueur de la file d’attente lorsque le client

94

arrive. Au lieu d’utiliser une formule mathematique basee sur les temps de service

exponentiels comme dans QL, le predicteur propose utilise les temps d’attente des

clients passes de meme type qui ont trouve la meme longueur de file d’attente

quand ils sont arrives.

Plus precisement, pour chaque file d’attente j, nous choisissons la taille de

file d’attente maximale K

j

a considerer et, pour chaque taille de file d’attente

k œ {1, . . . , K

j

}, nous choisissons un entier N

j,k

> 0 comme dans Avg-LES. Nous

memorisons les temps d’attente des N

j,k

derniers clients de la classe j qui ont trouve

une file d’attente de taille k a leur arrivee. Pour une nouvelle arrivee de type j qui

trouve une file d’attente j de taille k, le temps d’attente est predit par la moyenne

de ses N

j,k

temps d’attente precedents. Si k est non borne ou si certaines valeurs

de k sont rares, alors nous pouvons regrouper les valeurs dans un petit nombre de

sous-ensembles et de maintenir une moyenne pour chaque sous-ensemble. Si moins

de N

j,k

attentes ont ete enregistrees jusqu’a present, nous prenons la moyenne de

ceux enregistres. Si aucun n’a ete enregistre, nous prenons LES.

Pour ce predicteur, contrairement a Avg-LES, un grand N

j,k

est generalement

beaucoup mieux que N

j,k

= 1. La principale di↵erence avec Avg-LES est qu’ici la

moyenne est seulement sur les clients qui voient la meme longueur de file d’attente

quand ils arrivent. Nous avons observe que pour de longues simulations avec une

seule file d’attente, la precision de ce predicteur est tres proche de celle de QL. Ceci

peut etre explique par le fait que AvgC-LES a collecte su�samment de donnees

pour calculer une bonne esperance des temps d’attente conditionnels comme QL.

Dans un regime a trafic intense avec de nombreux serveurs (Whitt, 2004), AvgC-

LES avec N

j,k

= 1 devient le predicteur LES conditionnel a la longueur de la file

d’attente, dont les predictions sont proches de celles de QL.

On pourrait egalement envisager des versions avec moyennes ponderees de

AvgC-LES, qui remplacent la moyenne ordinaire des N

j,k

precedents temps d’at-

tente pour la classe j et la taille de la file k par une moyenne ponderee comme dans

WAvg-LES. En particulier, on peut utiliser des poids decroissants exponentielle-

ment avec de petits facteurs de lissage (par exemple, 0.1 ou moins), de sorte que

95

chaque nouvelle observation fait une contribution relativement faible a la moyenne.

Un avantage du lissage exponentiel sur le long terme est qu’on n’a pas besoin de sto-

cker toutes les observations individuelles des temps d’attente. Dans nos experiences,

le lissage exponentiel est similaire a la moyenne ordinaire, mais ne fait jamais mieux

que ce dernier en termes d’erreur de prediction, ainsi nous ne rapportons pas les

resultats detailles pour elle.

5.3 Les resultats des simulations

Dans cette section, nous presentons les resultats des experiences de simulation

qui comparent la precision des anciens et nouveaux predicteurs sur quatre modeles

de files d’attente. Nous commencons avec le modele classique M/M/s+M, pour

laquelle une formule analytique est disponible pour l’esperance du delai condition-

nelle l’etat actuel du systeme. Dans cet exemple, nous supposons les s serveurs sont

tous identiques. Le but est de verifier que nos predictions ne sont pas trop loin de

ces esperances exactes dans ce cas simple. Notre deuxieme exemple est un modele

M/LN/s+M plus realiste avec des durees service de loi log-normale et des agents

heterogenes. Nous avons une distribution des temps de service de loi log-normale

pour chaque agent du groupe. Le troisieme exemple est un modele N, avec deux ca-

tegories de clients et deux groupes de serveurs, dans lequel le premier groupe sert

uniquement les clients de la premiere classe et le deuxieme groupe sert les deux

classes. Le quatrieme est un modele d’un centre multi-competence base sur des

donnees reelles du centre d’appel d’un fournisseur de services publics au Quebec,

Canada. Le modele comporte six categories de clients (appeles types), huit groupes

d’agents, et est non-stationnaire.

Pour les predicteurs qui necessitent des parametres, nous avons explore quelques

choix et selectionne ceux qui ont donne les meilleurs resultats. Le meilleur N

j

pour

Avg-LES est generalement de petite taille (moins de 10 et souvent egal a 1) et les

meilleurs N

j,k

pour AvgC-LES sont generalement de grande taille (100 ou plus).

En accord avec cela, nous avons trouve dans nos experiences que, pour le lissage

96

exponentiel, le meilleur facteur de lissage –

j

est generalement plus grand que 0.9

pour ESAvg-LES et inferieur a 0.1 pour la version exponentielle ponderee de AvgC-

LES. Etant donne que les resultats etaient egalement tres semblables a ceux de la

moyenne ordinaire, nous ne les rapportons pas dans les tableaux.

5.3.1 Une file d’attente avec un unique type M/M/s+M

Nous considerons un modele de file d’attente unique M/M/s+M avec un taux

d’arrivee variable dans le temps. La journee est divisee en 20 periodes d’une heure.

Le processus d’arrivee est Poisson avec un taux ⁄

p

constant a la periode p, pour

p = 1, . . . , 20. Nous prenons ⁄

p

= 25 pour p impair et ⁄

p

= 20 pour p pair. Les

temps de service sont exponentiels de moyenne 1 et les temps de la patience sont

exponentiels avec une moyenne de 2. Il y a s = 20 serveurs pour toute la journee.

Nous simulons 100 jours independants du modele pour estimer la precision des

predicteurs. Nous constatons que la longueur de la file d’attente moyenne au cours

de la journee est de 7.7 clients, la probabilite de delai est 91.9%, la probabilite

d’abandon est de 15.8 %, et le temps d’attente moyen est de 1188 secondes.

Pour ce modele, le predicteur QL (3.10) donne l’esperance conditionnelle exacte

et minimise le MSE, il est donc optimal pour notre critere, sous l’hypothese des

temps de service et temps de patience exponentiels avec des moyennes connues et

constants (c-a-d si µ

≠1, ‹

≠1 et s = 20 sont connus et ne varient pas avec le temps).

Nous comparons les performances des autres predicteurs avec QL pour voir a quel

point ils sont proches d’etre optimaux.

Le tableau 5.1 rapporte les RRASEs pour les divers predicteurs. Nous avons

utilise N

j

= 2 pour Avg-LES, N

j,k

= 100 pour AvgC-LES, et ” = 0.1 pour E-LES.

QL gagne, ce qui est sans surprise, suivi de tres pres par AvgC-LES. Les autres

methodes donnent des RRASEs beaucoup plus grands, et le meilleur d’entre eux

est notre nouveau predicteur E-LES. Avg-LES avec N

j

Ø 2, souvent utilises dans

la pratique, fait pire que LES, qui correspond a N

j

= 1. Ibrahim et al. (2016a) ont

trouve un comportement similaire. P-LES se revele etre le plus mauvais predicteur.

La figure 5.1 donne un histogramme des erreurs de predicteurs pour les predicteurs

97

LES, E-LES, AvgC-LES et QL. Nous observons que le predicteur LES a une dis-

tribution d’erreur beaucoup plus large (les grandes erreurs sont plus frequentes),

alors que AvgC-LES et QL ont des distributions d’erreur tres similaires.

Tableau 5.1 : RRASEs for the M/M/20+M example.LES Avg-LES P-LES E-LES AvgC-LES QL

RRASE 46.9 49.4 59.2 43.6 32.9 32.1

File unique


Frequ

ence

LESE-LESAvgC-LESQL

-1440 -1080 -720 -360 0 240 600 960 1320

01000

2000

3000

4000

Figure 5.1 : Modele M/M/s+M : distribution de l’erreur de prediction.

Les figures 5.3.1 – 5.3.1 a�chent les delais reels et les delais predits par QL,

LES, AvgC-LES, et P-LES, en fonction de l’heure d’arrivee, pour quatre journees

distinctes. Il donne une idee de comment se comportent les erreurs de prediction.

Elle montre que QL est la plupart du temps meilleur que AvgC-LES, mais parfois

leurs predictions sont tres proches. Elle montre aussi que AvgC-LES est souvent

meilleur que LES et P-LES. P-LES montre une plus grande volatilite, car il reagit

plus rapidement au bruit stochastique, mais cela peut parfois conduire a de grandes

erreurs de prediction. Bien sur, ce comportement di↵ere selon les di↵erents jours.

98

13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Temps d’arrivee

Tem

psd’attente

Real LES P-LES AvgC-LES QL

Figure 5.2 : Jour 1

13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5

0.2

0.4

0.6

0.8

Temps d’arrivee

Tem

psd’attente


Figure 5.3 : Jour 2

5.3.2 Une file d’attente unique de type M/LN/s+M

Nous allons maintenant comparer les performances des di↵erents predicteurs

dans un systeme de file d’attente avec des serveurs heterogenes et des temps de

service de loi log-normale. Nous considerons le meme exemple etudie a la section

4.3.3 du chapitre 4.

Le tableau 5.2 rapporte les RRASE◊100 des di↵erents predicteurs. Contraire-

ment a l’exemple precedent, nous constatons ici que AvgC-LES est largement plus

precis que QL et suit de pres les predicteurs ANN et RS qui necessitent une phase

99

13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Temps d’arrivee

Tem

psd’attente


Figure 5.4 : Jour 3

13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Temps d’arrivee

Tem

psd’attente


Figure 5.5 : Jour 4

d’entraınement et des donnees. Il est suivi par E-LES, LES, Avg-LES, QL et P-

LES respectivement. Comme dans le precedent exemple, la di↵erence de precision

LES Avg-LES P-LES E-LES AvgC-LES QL RS ANNRRASE 30.6 31.2 35.3 27.5 17.8 31.8 16.5 14.3

Tableau 5.2 : RRASE des predicteurs pour le modele M/M/10+M avec des tauxd’arrivee variable dans le temps.

entre AvgC-LES et E-LES est grande. Ici elle est d’environ 10%. La di↵erence de

precision entre E-LES et LES reste sensiblement la meme que dans l’exemple avec

100

des temps de service exponentiels (environ 3%). Entre QL et LES, cette di↵erence

est d’environ 1% . Les mauvaises performances de QL s’expliquent par le fait qu’il

n’est pas adapte pour les modeles avec des agents heterogenes et des temps de

service de loi log-normale.

Une remarque importante est la suivante : l’utilisation d’agents heterogenes et

des durees de service de loi log-normale a la place des agents homogenes et des

temps de service exponentiels dans la modelisation des centres d’appels n’a↵ecte

pas la precision des predicteurs AvgC-LES et E-LES, mais a↵ecte considerablement

la precision du predicteur QL.

5.3.3 Modele N de centre d’appels

Nous considerons di↵erents exemples de modele N. Plus precisement, nous uti-

lisons 4 exemples de centres d’appels d’un modele N. Dans les deux premiers

exemples, nous utilisons des modeles avec file d’attente courte et dans les deux

derniers exemples, nous utilisons des modeles avec de longues files d’attente. Dans

chaque type de systeme (courtes files ou longues files), nous etudierons deux cas.

Le premier avec des agents homogenes et des durees de service exponentielles, et

le second avec des agents heterogenes et des durees de service de loi log-normale.

Le premier cas est le plus souvent utilise dans la modelisation des centres d’appels,

mais le second s’ajuste mieux aux donnees reelles des centres et il est donc le plus

realiste.

Outre les predicteurs de DH, nous avons aussi essaye les predicteurs RS et ANN

de Thiongane et al. (2015), mentionne dans l’introduction. Les predicteurs RS et

ANN sont les plus performants, mais ils ont besoin d’une phase d’apprentissage

qui est tres couteuse et ont de nombreux parametres. Nous les utilisons comme

benchmark pour la comparaison.

101

5.3.3.1 Un modele N avec courte file d’attente

Ici nous utilisons deux exemples de modele N avec files d’attente courtes. Le

premier avec des agents identiques et des temps de service exponentiels. Le second

avec des agents heterogenes et des durees de service de loi log-normale.

Agents homogenes et durees de service exponentielles

Nous considerons le meme exemple avec des agents identiques et les temps de

service exponentiels qui est etudie a la section 4.3.4.1.

Le tableau 5.3 rapporte les RRASEs pour les deux types d’appels. Comme

prevu, les resultats de RS et ANN sont meilleurs que ceux des predicteurs DH.

AvgC-LES est de loin le predicteur DH le plus precis. Il est suivi par E-LES,

LES, Avg-LES, et P-LES, respectivement. Lorsque nous comparons les RRASEs de

AvgC-LES avec ceux de RS et ANN, nous constatons que la di↵erence de precision

n’est pas trop grande aussi bien pour le type 1, et le type 2. Le RRASE de AvgC-

LES est environ 4% plus eleve pour le type 1 et environ 2% plus eleve pour le type

2. Par contre si nous comparons le RRASE de AvgC-LES avec celle de E-LES,

nous observons que la di↵erence est grande. Le RRASE de ce dernier est d’environ

21% plus eleve que celui de AvgC-LES dans tous les cas. Nous observons que les

resultats de E-LES et de LES sont proches. Ceci etait previsible, car nous avons

des files d’attente courtes qui contiennent en moyenne 1 ou 2 clients, et nous savons

que E-LES, pour diminuer le bruit dans les predictions, ne considere pas les delais

extrapoles des clients qui sont a la fin de la file et qui ont avance que tres peu de

positions depuis leur entree dans la file. Ainsi, nous aurons la plupart du temps

une prediction de E-LES egale a celle de LES ou bien une prediction tres similaire

a celle de LES.

Type LES Avg-LES P-LES E-LES AvgC-LES RS ANN1 87.1 88.4 123 86.2 64.8 60.3 59.02 85.0 86.4 117 84.6 61.5 59.7 57.1

Tableau 5.3 : RRASE pour chaque type d’appel, pour le modele N avec courtesfiles.

102



Frequ

ence

AvgC-LESLESP-LESE-LES

-600 -480 -360 -240 -120 0 120 240 360 480 600

01000

2000

3000

4000

5000



Frequ

ence


-600 -480 -360 -240 -120 0 120 240 360 480 600

02000

4000

6000

8000

10000

12000

Figure 5.6 : Modele N avec courtes files : Distribution des erreurs de predictions(delai estime moins delai reel) pour le type 1 et le type 2.

Agents heterogenes et durees de service de loi log-normale

Nous considerons maintenant que les agents sont heterogenes et les durees de

service de loi log-normale. Chaque agent a sa propre distribution pour les temps

de service. Nous utilisons le meme exemple que precedemment a la seule di↵erence

que maintenant les durees de service sont de loi log-normale. Maintenant, nous

considerons que les agents sont heterogenes, mais la moyenne des durees de service

de l’ensemble des agents est toujours la meme que dans l’exemple precedent.

Pour le type 1, la moyenne des durees de service, pour l’ensemble des agents

qui peuvent le servir, est toujours de 20 minutes comme dans le cas avec des agents

homogenes. Chaque agent i a une moyenne m

i

qui est comprise entre 18 et 22

minutes. Nous supposons que la variance des durees de service v

i

= 400. Elle est

la meme pour tous les agents (nous prenons la meme variance que dans le cas des

durees de service exponentielles). Pour le type 2, la moyenne des durees de service

pour tous les agents est 10 minutes, chaque agent a sa propre moyenne m

i

comprise

entre 8 et 12 minutes et une variance v

i

= 100.

Nous simulons une journee du centre d’appel avec 100 replications. Le partage

103

des competences est tres present : 82% des appels servis de type 1 sont servis

par le groupe 1 et les 18% restants sont servis par le groupe 2. Le tableau 5.4

donne les mesures de performance agregees sur toutes les periodes pour les deux

types d’appels. Nous constatons que dans cet exemple, les mesures de performances

agregees sont beaucoup plus petites que dans l’exemple avec des agents homogenes.

Une probabilite de delai plus petit qui entraıne naturellement moins d’abandons et

des longueurs de file d’attente moyenne plus courtes.

Performance mesures Type 1 Type 2PD (%) 35.9 54.4PA (%) 6.24 8.39AQS 0.68 1.06AWT (Sec.) 90 101AWT’ (Sec.) 263 185

Tableau 5.4 : Mesures de performance moyenne du modele N courtes files avecagents heterogenes et temps de service de loi log-normale.

Le tableau 5.5 donne les RRASEs pour les deux types d’appels. Sans surprise,

RS et ANN donnent les meilleurs resultats. Parmi les predicteurs DH, AvgC-LES

est le predicteur le plus precis, mais cette fois ci sa precision a considerablement

diminue alors que celle de LES est restee sensiblement la meme. Pour le type 1, le

RRASE de AvgC-LES a augmente de 12% alors que celui de LES a augmente de

2%, et pour le type 2, ces augmentations sont de 8% pour AvgC-LES et de 1% pour

LES. Cette perte de precision de AvgC-LES s’explique par le fait que la probabilite

de delai est faible (il y a eu peu d’attente) dans le systeme, et de ce fait il y aura un

trop petit historique de delais pour calculer de bonnes esperances conditionnelles

des temps d’attente.

Nous constatons que LES et E-LES donnent sensiblement les memes resultats.

Ceci etait previsible vu que les longueurs moyennes des files d’attente sont de 0.68

et 1 clients alors dans ces conditions E-LES devient LES. Avg-LES suit de tres pres

LES et comme dans les autres exemples, P-LES est toujours le predicteur le plus

mauvais.

104

Type LES Avg-LES P-LES E-LES AvgC-LES RS ANN1 89.6 90.3 135 89.9 78.8 61.5 59.12 86.7 87.2 115 87.1 69.5 60.2 58.4

Tableau 5.5 : RRASE pour chaque type d’appel, pour le modele N avec courtesfiles et des agents heterogenes.

5.3.3.2 Un modele N avec de longues files d’attente

Nous considerons deux modeles N avec des files d’attente longues. Comme dans

le cas avec courtes files, nous allons etudier deux types d’exemples. Le premier

exemple avec des agents identiques et des durees de service exponentielles et le

second avec des agents heterogenes et des temps de service de loi log-normale.

Agents homogenes et durees de service exponentielles

Nous considerons en premier que les agents sont identiques et les durees de

service sont exponentielles. Nous avons utilise l’exemple etudie a la section 4.3.4.2

du chapitre 4.

Le tableau 5.6 rapporte les RRASE◊100 pour les deux types d’appels, pour

divers predicteurs. Nous avons pris N

j

= 7 pour Avg-LES, N

j,k

= 100 pour AvgC-

LES, et ” = 0.2 pour E-LES. Les predicteurs RS et ANN fournissent les meilleurs

resultats. Comme dans l’exemple avec courtes files, RS et ANN sont encore suivis

de tres pres par AvgC-LES qui est le meilleure parmi les predicteurs DH. P-LES

est le plus mauvais. LES, Avg-LES, et E-LES ont des performances comparables.

La figure 5.7 a�che la distribution des erreurs de predictions. Elle confirme que

AvgC-LES est le meilleur predicteur parmi les predicteurs DH, et montre que la

di↵erence de performance entre ce dernier et ANN n’est pas grande.

Type LES Avg-LES P-LES E-LES AvgC-LES RS ANN1 49.9 52.1 70.2 46.7 37.3 36.4 35.12 62.9 67.1 94.6 61.0 47.3 44.3 42.3

Tableau 5.6 : RRASE pour chaque type d’appel, pour l’exemple du modele N.

105



Frequ

ence


-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200

01000

2000

3000

4000

5000



Frequ

ence


-720 -480 -240 0 120 360 600

02000

4000

6000

8000

10000

12000

Figure 5.7 : Modele N avec longues files : Distribution des erreurs de prediction(delai estime moins reel) pour les types 1 et 2.

Agents heterogenes et durees service de loi log-normale

Nous considerons maintenant que les agents sont heterogenes et les durees de

service sont de loi log-normale. Nous considerons le meme exemple que dans le cas

precedent a la seule di↵erence qu’ici les durees de service sont de loi log-normale.

La moyenne des durees de service de l’ensemble des agents est toujours la meme

que dans l’exemple precedent. Chaque agent i a sa propre distribution pour les

temps de service de parametres Ÿ

i

et ‡

i

.

Pour le type 1, le taux de service moyen sur l’ensemble des agents est 21 minutes,

cependant agent a sa propre distribution de moyenne m

i

comprise entre 19 et 23

et une variance v

i

= 441. Pour le type 2, les agents ont une moyenne des durees de

service de 11 minutes et chaque agent i a une distribution de moyenne m

i

comprise

entre 9 et 13 minutes et de variance v

i

= 121.

Nous avons simule 100 journees independantes du modele. Nous avons trouve

que le partage des competences est tres present, car 85% des appels de type 1 sont

servis par le groupe1 et les autres 15% par le groupe 2. Le tableau 5.7 montre

quelques mesures de performances pour les deux types d’appels.

Le tableau 5.8 donne les RRASE◊100 des predicteurs pour les deux types d’ap-

106

Performance mesures Type 1 Type 2PD (%) 80.0 84.8PA (%) 22 14.5AQS 6.3 3.4AWT(Sec.) 601 256Cond. AWT(Sec.) 821 313

Tableau 5.7 : Mesures de performance moyennes pour l’exemple du modele N.

pels. Comme prevu, RS et ANN donnent les meilleurs resultats. AvgC-LES, qui est

le predicteur DH le plus precis, les suit encore de tres pres. La di↵erence de precision

est environ de 2% pour les deux types d’appels. E-LES arrive en quatrieme posi-

tion, loin derniere AvgC-LES. LES, Avg-LES ont des performances comparables.

Comme toujours, P-LES donne les plus mauvais resultats.

Type LES Avg-LES P-LES E-LES AvgC-LES RS ANN1 52.8 53.8 69.9 51.3 39.3 37.3 35.92 68.3 69.4 92.4 67.5 48.9 45.5 43.7

Tableau 5.8 : RRASE pour chaque type d’appel, pour l’exemple du modele N.

5.3.4 Un grand centre d’appel base sur des donnees reelles

Nous considerons le meme exemple etudie a la section 4.3.5 qui est base sur les

donnees d’un veritable centre d’appels.

Le tableau 5.9 rapporte les RRASE◊100 pour les six types d’appels. Nous avons

utilise N

j

= 10 pour Avg-LES, N

j,k

= 200 pour AvgC-LES, et ” = 0.4 pour E-LES.

Comme prevu, RS le plus couteux donne les meilleures predictions pour tous les

types d’appels, AvgC-LES est le meilleur (de loin) parmi les methodes de DH, et

P-LES est le moins performant. La di↵erence de precision entre RS et AvgC-LES

est plus grande ici que dans les exemples precedents, sauf pour le type d’appel 6.

L’explication est que ce type d’appel a une priorite elevee pour tous les groupes qui

peuvent le servir et son taux d’arrivee ne varie pas beaucoup avec le temps. Pour

les autres types d’appels, nous avons une plus grande variation des taux d’arrivee

et du sta�ng, et cela a↵ecte la precision des predicteurs de DH. Ibrahim et Whitt

107

(2009b) ont egalement observe que les predicteurs DH perdent leur precision lorsque

le sta�ng et le taux d’arrivee varient considerablement. Cependant, nous trouvons

ici que AvgC-LES perd sa precision moins rapidement par rapport aux autres

predicteurs de DH.

Tableau 5.9 : RRASEs for the 6 call types of the larger example.Type LES Avg-LES P-LES E-LES AvgC-LES RS1 24.6 25.4 45.1 23.2 13.0 8.92 35.6 34.8 95.6 34.2 22.7 12.93 20.3 21.6 28.4 20.4 16.9 11.44 41.3 55.7 67.1 39.1 22.4 15.95 26.9 28.7 31.0 25.2 22.9 18.96 94.5 96.1 130 93.2 65.8 62.7

Type 1


Frequ

ence

P-LESLESE-LESAvgC-LES

-1440 -720 -360 0 360 720 1440 2180

010000

20000

30000

40000

50000

60000

Type 2

Prediction errors (sec)

Frequ

ency


-4500 -2700 -900 0 900 2700 4500

0100

200

300

400

500

600

700

Figure 5.8 : Modele HQ : Distribution des erreurs de prediction pour les types 1et 2.

Commentaires sur la robustesse de E-LES et AvgC-LES

Dans les di↵erents exemples etudies (file simple, modeles N courtes files, modeles

N longues files et modele HQ base sur des donnees reelles), nous constatons que la

presence d’agents heterogenes, et des durees de service de loi log-normale a la place

108

Type 3


Frequ

ency


-2555 -1825 -1095 365 0 365 1095 1825 2555

010000

20000

30000

40000

50000

Type 4


Frequ

ency


-4500 -2700 -900 0 900 1800 3600

0200

400

600

800

1000

1200

1400


Type 5


Frequ

ency


-600 -360 -120 0 120 240 360 480 600

05000

10000

15000

Type 6


Frequ

ency


-600 -480 -360 -240 -120 0 120 240 360 480 600

05000

10000

15000


d’agents homogenes et des temps de service exponentiels dans la modelisation des

centres d’appels n’a↵ecte pas la precision des predicteurs AvgC-LES et E-LES. Ce

resultat est encourageant, car dans les systemes de la vie reelle, les temps de service

sont de loi log-normale plutot qu’exponentiels, et les agents sont heterogenes et non

109

homogenes.

Pour les systemes avec files d’attente courtes, les performances de E-LES sont

sensiblement les memes que celles de LES car pour diminuer le bruit dans les

predictions E-LES ne considere pas les delais extrapoles des clients qui n’ont avance

que de quelques positions dans la file depuis leur arrivee. Ceci entraıne que E-LES

va utiliser le plus souvent le delai LES (ou une moyenne qui est sensiblement egale

au delai du client LES) pour predire les temps d’attente des clients.

Dans les systemes ou que la probabilite de delai est faible (tres peu d’attente

dans le systeme), AvgC-LES perd de la precision (mais reste toujours meilleur que

tous les autres predicteurs DH) si les informations de delais passes qu’utilisent

les predicteurs ne sont pas assez nombreuses pour estimer de bonnes esperances

conditionnelles.

5.4 Conclusion

Nous etendons la famille de predicteurs de delais qui utilisent l’historique des

systemes de services en introduisant deux nouveaux predicteurs de delai, bases sur

des heuristiques simples. La premiere idee est d’exploiter l’information de delais

plus recente, mais incomplete des clients toujours en attente dans la file d’attente

(E-LES). Leurs temps d’attente finaux sont estimes a l’aide d’une simple extrapo-

lation de leur progression dans la file d’attente. L’autre idee propose une version

empirique de la formule QL dans le contexte des systemes multi-competences, en

utilisant des donnees historiques. Pour chaque taille de file d’attente, une esperance

conditionnelle des temps d’attente est estimee a partir des delais passes de clients

qui ont trouve la meme longueur de file d’attente devant eux quand ils sont arrives

(AvgC-LES). Dans un systeme de file d’attente unique (agents homogenes et temps

de service exponentiels), nos nouveaux predicteurs sont meilleurs que les autres pre-

dicteurs simples que nous connaissons et en plus, nous observons que AvgC-LES est

tres proche du predicteur QL optimal. Dans le cas de ces systemes avec des agents

heterogenes et des durees service de loi log-normale, E-LES et AvgC-LES en plus

110

d’etre meilleurs que les autres predicteurs DH, sont largement plus precis que QL.

Pour les systemes multi-competence plus realistes, qui ont generalement des taux

d’arrivee et des sta�ng variables dans le temps, nos predicteurs performent egale-

ment mieux que les autres predicteurs DH. Bien qu’ils ne battent pas les methodes

de l’apprentissage machine, leurs avantages sont qu’ils sont plus simples a mettre

en œuvre, ont peu de parametres, et ne necessitent aucune phase d’entraınement.

Ils representent des alternatives simples et interessantes aux predicteurs plus com-

plexes.

111

CHAPITRE 6

PREDICTEURS QL POUR LES CENTRES D’APPELS

MULTI-COMPETENCES ET PREDICTION DE LA

DISTRIBUTION CONDITIONNELLE DU DELAI D’ATTENTE

6.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous proposons de nouvelles idees pour adapter les predic-

teurs QL dans les centres d’appels multi-competences. Les predicteurs QL, qui sont

developpes pour les systemes de file d’attente avec une seule file, ne sont pas directe-

ment applicables aux centres d’appels multi-competences. Pour pouvoir les utiliser

dans les systemes multi-competences, nous procedons comme suit. Nous proposons

une representation alternative du centre d’appels multi-competences ayant K types

d’appels en K centres d’appels independants. Nous definissons un centre d’appels

pour chaque type d’appel et nous estimons les parametres de chacun. Par la suite,

nous utilisons les predicteurs QL pour predire le temps d’attente des clients qui

entre aux files d’attente. Dans la deuxieme partie de ce chapitre, nous parlerons

de la perspective de predire la distribution du temps d’attente du client plutot que

son esperance conditionnelle.

6.2 Nouveaux predicteurs QL pour les centres d’appels multi compe-

tences

Pour les centres d’appels multi-competences etudies dans ce chapitre, nous

considerons que pour chaque type d’appel j, les arrivees se font selon un pro-

cessus de Poisson de taux ⁄

j

, et les temps de services sont des exponentiels de taux

µ

j

. Pour simplifier dans un premier temps, nous supposons que le taux de service

depend seulement du type d’appel et non de l’agent qui traite l’appel. Dans le cas

des systemes avec abandon, nous considerons que les temps de patience sont des

variables aleatoires exponentielles de taux ‹

j

.

Nous faisons l’hypothese que le centre d’appels multi-competences peut etre

modelise par un systeme alternatif constitue de K modeles de files d’attente inde-

pendantes ou K est le nombre de type d’appels du centre d’appels. Pour chaque

type d’appel j œ {1, K}, nous avons un groupe d’agents ˜

G

j

qui traite les appels.

Le nombre d’agents du groupe ˜

G

j

a la periode p de la journee est egal a s

j,p

. Nous

savons que le nombre moyen d’agents qui traite un type d’appel j peut beaucoup

varier dans la journee, mais nous supposons que cette variation n’est pas grande

pour une periode p donnee. Nous allons utiliser des heuristiques pour estimer sa

valeur pour chacune des periodes.

Commencons par un exemple simple : un modele N ou nous avons 2 types

d’appels et 2 groupes d’agents. Le groupe 1 (G1) peut servir uniquement les appels

de type 1 et le groupe 2 (G2) peut servir les deux types d’appels. Nous representons

le modele N par un modele alternatif constitue de deux systemes de files d’attente

independants, voir figure 6.1. La premiere file d’attente sera constituee des appels

de type 1. Nous considerons que ces derniers sont traites par les agents d’un groupe

nomme ˜

G1. Le nombre d’agents de ce groupe est s1,p

a la periode p. La seconde

file d’attente sera constituee des appels de type 2. Les appels type 2 sont traites

par les agents d’un groupe ˜

G2 et le nombre d’agents du groupe est s2,p

durant la

periode p.

Type1

Type2

G1

G2

y1

y2

Type1

Type2

˜

G1

˜

G2

s1

s2

Figure 6.1 : Systeme alternatif du modele N.

Pour chaque type d’appel j (chaque file d’attente), nous proposons d’utiliser un

predicteur QLad

qui est une version readaptee du QL pour un systeme avec une

seule de file d’attente dans laquelle le nombre de serveurs s est remplace par s

j,p

.

113

Dans le cas d’un systeme sans abandon, le temps d’attente predit E d’un client

ayant trouve k autres clients en attente dans la file d’attente j a la periode p est

predit par

E = (k + 1)/(µ

j

◊ s

j,p

) (6.1)

Dans le cas d’un systeme avec abandon, le temps d’attente predit est E par

E =

kÿ

i=0(s

j,p

µ + i‹)

≠1. (6.2)

Dans les deux cas, s

j,p

(un nombre reel) peut-etre toujours interprete comme etant le

nombre d’agents du groupe ˜

G

j

durant la periode p. Pour simplifier, nous utiliserons

dans la suite s a la place de s

j,p

.

Pour le predicteur QL standard (une seule file d’attente et un seul groupe

d’agents) s

j,p

= s ou s est egal au nombre total d’agents du groupe, qui est une

constante connue. Par contre pour les centres d’appels multi-competences transfor-

mes a plusieurs systemes de files d’attente independantes, s

j,p

est inconnu et nous

ne connaissons pas non plus une formule mathematique qui le determine pour les

divers groupes. Nous n’avons pas non plus propose une formule mathematique pour

determiner s

j,p

a partir des parametres du modele, mais nous allons plutot proposer

des heuristiques pour une approximation de sa valeur. Nous allons proposer quatre

methodes pour estimer sa valeur a l’aide de donnees obtenues a partir d’une si-

mulation du modele. La premiere methode utilise la moyenne empirique des temps

d’attente conditionnelle a la longueur de la file d’attente k pour determiner un s

j,p

pour chaque k observe durant la simulation du modele. Ainsi, nous aurons un s

k

j,p

pour chaque k. La deuxieme methode utilise la moyenne ponderee de l’ensemble des

s

k

j,p

de la premiere methode pour estimer un unique s

j,p

pour chaque type d’appel

j. La troisieme methode utilise les taux d’appels servis des groupes d’agents pour

chacun des types d’appels, et le nombre d’agents des groupes pour determiner en

moyenne la proportion du nombre d’agents de chaque groupe qui sera a↵ecte au

traitement d’un type d’appel donne pour determiner un s

j,p

unique pour chaque

114

type d’appel. La quatrieme et derniere methode utilise les proportions des temps

de service des groupes a la place des taux d’appel servis pour estimer un unique

s

j,p

pour chaque type d’appel.

6.2.1 Methodes d’estimation du nombre d’agents des groupes

6.2.1.1 QL 1 : utilisation de la moyenne du temps d’attente condition-

nelle a la longueur k de la file

Pour chaque appel de type j, nous proposons d’utiliser un s

k

j,p

qui est condi-

tionnel au nombre de clients k en attente a son arrivee. Pour determiner s

k

j,p

pour

chaque k œ N = {0, 1, . . . , N} ou N est la longueur maximale de la file d’attente

pour le type d’appel j, nous procedons comme suit.

Soit Ck

= {1, . . . , C

k

} l’ensemble des clients qui ont observe une longueur de file

d’attente k a leur arrivee au centre. Dans cet ensemble, nous considerons seulement

les clients servis qui ont eu un temps d’attente strictement positif. Pour chaque

client c œ Ck

, nous observons son temps d’attente reel y(c) au debut de son service.

Soit W

k

une variable aleatoire denotant le temps d’attente des clients servis de

type j et qui ont trouve k clients en attente dans la file. Pour chaque k, l’esperance

empirique de W

k

notee w

k

est estimee comme suit :

w

k

=

1

C

k

Ckÿ

c=1y(c). (6.3)

Pour chaque paire (k, w

k

), nous utilisons la formule de prediction donnee par

l’equation (6.1) ou par l’equation (6.2) (le choix de la formule a utiliser depend du

modele) pour determiner s

k

j,p

conditionnel a k. Nous obtenons pour chaque type

d’appel j a la periode p un ensemble fini D = {(k, s

k

j,p

), k = 0, ..., N}.L’esperance empirique de W

k

n’est rien d’autre que la valeur retournee par le

predicteur AvgC-LES (presente au chapitre 5) pour k a la fin de la journee. AvgC-

LES prend du temps avant de collecter assez d’informations pour estimer la bonne

esperance conditionnelle a k alors que QL1 utilise s

k

j,p

qui permet d’estimer de bonne

115

prediction tout au long de la journee. Mais l’avantage de AvgC-LES est qu’il n’a

pas besoin de donnees d’historique pour etre utilise dans un centre d’appels alors

QL1 requiere des donnees pour estimer les s

k

j,p

avant d’etre utilise.

6.2.1.2 QL 2 : utilisation des moyennes ponderees

Avec le predicteur QL1, pour chaque type d’appel, nous enregistrons N valeurs

distinctes pour s

k

j,p

. La methode QL2, propose d’utiliser un unique s

j,p

pour chaque

type d’appel j (independant de k ) que l’on estime par la moyenne ponderee des

s

k

j,p

de l’ensemble D. Sa valeur est determinee par :

s

j,p

=

1

qN

k=0 C

k

Nÿ

k=0C

k

s

k

j,p

(6.4)

6.2.1.3 QL 3 : utilisation des taux d’appels servis de la simulation

Nous supposons que s

j,p

est le nombre moyen d’agents du centre qui ont traite

les appels de type j pour la periode consideree. Pour determiner ce nombre pour

chaque type d’appel j, nous utilisons ici les taux d’appels servis par les groupes et

leurs sta�ng pour la periode consideree. Soient y

i

le nombre d’agents du groupe i

et r

ij

le taux d’appel servi de type j par le groupe i. Le taux global d’appel servi

du groupe i est defini par r

i

=

qjœJ

r

ij

ou J represente l’ensemble des types que le

groupe i peut servir. Nous pouvons ainsi approximer le nombre moyen d’agents du

groupe i qui traitent le type j, y

ij

, par

y

ij

=

r

ij

r

i

y

i

. (6.5)

Nous pouvons ainsi determiner s

j

par la formule suivante.

s

j,p

=

ÿ

iœI

y

ij

, (6.6)

ou I est l’ensemble des groupes ayant la competence pour servir le type d’appel j.

116

6.2.1.4 QL 4 : utilisation des proportions du temps de service des

groupes d’agents par type d’appel

Comme pour la methode precedente, nous supposons ici aussi que s

j,p

est le

nombre moyen d’agents qui ont eu a traiter les appels de type j pour la periode de

temps consideree. Nous utilisons cette fois-ci, les proportions des temps de service

des groupes d’agent pour chacun des types d’appels pour determiner s

j,p

. Soit

T

ij

=

rij

µjle temps de service global du type d’appel j par le groupe i ou µ

j

est le

taux de service des appels de type de j. Le temps total de service du groupe i est

defini par T

i

=

qjœJ

T

ij

ou J represente l’ensemble des types que le groupe i peut

servir. Nous pouvons ainsi determiner le nombre moyen d’agents du groupe i qui

ont traite le type j, y

ij

, par

y

ij

=

T

ij

T

i

y

i

. (6.7)

Nous pouvons ainsi determiner s

j

comme suit :

s

j,p

=

ÿ

iœI

y

ij

, (6.8)

ou I est l’ensemble des groupes ayant la competence pour servir le type d’appel j.

6.2.1.5 Discussion sur les di↵erentes methodes

La methode QL 1 devrait donner les meilleurs resultats parce qu’ il utilise

l’esperance du temps d’attente conditionnelle a la longueur de la file k, qui est

estimee avec des donnees reellement observees, pour estimer un s

k

j,p

correspondant

a chaque k. La contrainte avec cette methode est que nous avons besoin d’enregistrer

beaucoup d’informations (l’ensemble D), pour chaque type d’appel j a la periode

p, pour faire les predictions.

Pour chaque type j, la methode QL 2 utilise un unique s qui une moyenne

agregee de l’ensemble des s de la methode QL1. Avec cette methode, nous avons

besoin de sauvegarder une seule information pour chaque type d’appel. Si la va-

riance des s

k

j,p

est petite dans D alors la methode QL2 devrait donner des resultats

117

sensiblement egaux a ceux QL 1. Par contre, si cette variance est importante, alors

QL2 peut donner des performances assez di↵erentes de celles de QL 1.

Les methodes QL 3 et QL 4 utilisent les mesures de performance observees dans

le centre d’appels et le sta�ng des groupes pour estimer la valeur s

j,p

pour chaque

type d’appel j a la periode p. Ces methodes supposent que le nombre total d’agents

dans le systeme multi-competence est egal a la somme des agents dans les di↵erents

systemes independants, c’est a dire :

ÿ

gœG

s

g

=

ÿ

jœJ

s

j

, (6.9)

ou G est le nombre de groupes, s

g

le sta�ng du groupe g, et J est le nombre de

type d’appels. La veracite de l’equation (6.9) n’est pas prouvee et peut constituer

la principale faiblesse de ces methodes.

6.2.2 Exemple numerique du modele N sans abandon

Nous considerons un modele N sans abandons. La journee est constituee d’une

seule periode de 10 heures. Les processus d’arrivee sont des processus de Poisson

de taux constant. Toutes les durees de service sont exponentielles. Nous utilisons la

meme politique de routage (note R1) que les modeles N etudies a la section 4.3.4.

Dans nos exemples numeriques, pour les appels de type 1, nous supposons que le

taux d’arrivee est ⁄1 = 30 appels par heure et le taux de service est µ1 = 2 appels

par heure. Pour le type 2, les parametres sont respectivement ⁄2 = 27 et µ2 = 3.

Le sta�ng est de 10 agents pour le groupe 1 et de 15 agents pour le groupe 2.

Les mesures de performance du modele sont les suivantes. Pour le type d’appel

1, la longueur moyenne de la file d’attente est de 15.6, la probabilite de delai est

de 76.3%, le temps d’attente moyen est de 31 minutes (pour tous les clients), et

le temps d’attente moyen des clients qui ont attendu avant d’etre servis est de 2.2

heures. Pour le type 2, ces mesures sont en moyenne respectivement de : 1.6 clients

en moyenne dans la file d’attente, 81.1% de probabilite de delai, 3 minutes d’attente

moyenne pour tous les clients, et 33 minutes d’attente moyenne pour les clients qui

118

ont attendu avant le service. Le partage des competences est tres present : 65% des

appels de type 1 servis ont ete repondus par des agents du groupe 1, tandis que les

autres 35 % ont ete repondus par des agents du groupe 2.

6.2.2.1 Les estimations de s avec les di↵erentes methodes

Pour estimer s avec chacune des methodes, nous simulons le modele pour re-

cueillir toutes les informations necessaires. La methode QL1 estime un s qui est

conditionnel au nombre k de clients en attente. Le tableau 6.1 donne les valeurs

estimees de s pour k = 0 a k = 20 pour les deux types d’appels. En observant

les donnees, nous constatons que s varie en fonction de k. Pour le type 1, la plus

petite valeur de s = 14.83 et sa plus grande valeur est s = 15.93. Pour le type 2,

ses valeurs sont respectivement 12.85 et 14.61. La methode QL2 qui estime s en

utilisant la moyenne ponderee des temps d’attente moyens observes pour les di↵e-

rents k donne une valeur de s = 15.71 pour le type 1 et une valeur de s = 13.39

pour le type 2.

En simulant le modele, nous observons les mesures de performances suivantes.

Le taux d’appels servis par le groupe 1 pour tous les types est r1 = 19.36. Il est

reparti comme suit pour les deux types d’appels. Le taux d’appels servis du type 1

est r11 = 19.36 et le taux d’appels servis du type 2 est r12 = 0. Pour le groupe 2,

ces taux sont respectivement r2 = 37.63, r21 = 10.65 et r22 = 26.98. Sachant que

le sta�ng du groupe 1 est s1 = 10 agents et celui du groupe 2 est s2 = 15 agents,

la methode QL3 donne s = 14.25 pour le type d’appel 1 et s = 10.76 pour le type

d’appels 2. En plus du sta�ng, la methode QL 4 qui utilise µ1 = 2 et µ2 = 3 donne

s = 15.58 pour le type 1 et s = 9.42 pour le type 2.

La figure 6.2 a�che la courbe de s en fonction de k pour les types 1 avec les

di↵erentes methodes. Elle montre que le s estime par QL4 est plus proche de celui

de QL2 (qui est la moyenne pour des valeurs de QL1) que celui de QL3. Ceci

devrait avoir des consequences sur les performances observees avec les predicteurs.

QL4 devrait donner un RRASE plus petit que QL3 pour le type 1. La figure 6.3

a�che la courbe de s en fonction de k pour les types 2 avec les di↵erentes methodes.

119

s estimek Type 1 Type20 15.9 12.81 15.1 13.02 14.8 13.23 14.8 13.34 14.8 13.45 14.9 13.66 15.0 13.67 15.0 13.78 15.1 13.79 15.2 13.910 15.3 13.911 15.4 13.912 15.4 14.013 15.4 14.214 15.4 14.315 15.5 14.316 15.5 14.317 15.5 14.318 15.6 14.319 15.6 14.520 15.7 14.6

Tableau 6.1 : Les valeurs de s pour k = 0 a k = 20 pour QL1

Nous observons que ici le s estime par QL3 est proche de la moyenne estimee par

QL2 que celle estimee par QL4.

6.2.2.2 Performances des predicteurs

Nous comparons les performances et la precision des predicteurs LES, QL1,

QL2, QL3, QL4, E-LES, et AvgC-LES dans cet exemple. Nous avons e↵ectue des

simulations independantes et evalue le RRASE des di↵erents predicteurs. Le ta-

bleau 6.2 rapporte les RRASE◊100. Il montre que les predicteurs QL readaptes

sont les plus precis. Ils sont suivis par AvgC-LES et E-LES respectivement. LES

est le predicteur le moins precis.

En comparant les performances des predicteurs QL, nous constatons que QL1 et

120

0 5 10 15 20

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0

16.5

17.0

Type 1

Nombre de clients dans la file

s

QL1QL2QL3QL4

Figure 6.2 : Variation de s en fonction k pour le type d’appel 1.

0 5 10 15 20

910

1112

1314

15

Type 2

Nombre de clients dans la file

s

QL1QL2QL3QL4

Figure 6.3 : Variation de s en fonction k pour le type d’appel 2.

QL2 donnent sensiblement les memes resultats, et sont les plus precis. Cependant,

nous constatons que les performances de QL3 et QL4 di↵erent selon le type d’appels.

Pour le type 1, QL4 donne presque les memes resultats que QL1 et QL2, mais pour

le type 2, il est de loin moins precis. QL3 est moins que QL4 pour le type 1, par

contre il est plus precis que ce dernier pour type 2.

121

Au moment ou nous ecrivons ces lignes, nous n’avons pas encore compris pour-

quoi un tel comportement des predicteurs. Dans le futur, nous allons essayer de

comprendre le pourquoi. Le fait que les predicteurs QL sont plus precis que E-LES

et AvgC-LES est encourageant et motive a continuer la recherche.

LES QL1 QL2 QL3 QL4 E-LES AvgC-LESType 1 45.6 29.4 29.4 33.4 29.5 41.9 35.8Type 2 77.8 50.6 50.7 53.6 55.3 74.6 58.0

Tableau 6.2 : RRASE◊100 pour le modele N sans abandon avec une seule periode.

6.2.2.3 Robustesse des predicteurs QL adaptes face a la variation des

taux d’arrivee

Dans les centres d’appels, les parametres reellement observes sont la plupart

du temps di↵erents de ceux predits. Dans cette section, nous allons observer le

comportement des predicteurs QL1 face a la variation des taux d’arrivee.

Nous avons augmente les taux d’arrives pour les deux types d’appels (⁄1 et

⁄2) simultanement de 1 et 2% . Nous constatons a chaque fois une augmentation

significative de la longueur moyenne de la file d’attente pour le type 1 et une

faible augmentation pour le type 2. La probabilite de delai augmente a chaque fois

d’environ 4% pour les deux types d’appels.

Les tableaux 6.3, et 6.4 donnent respectivement les RRASEs◊100 des predic-

teurs dans les deux cas. Nous rappelons que les predictions sont e↵ectuees en uti-

lisant les s estimes avec les donnees du modele initial (modele avant augmentation

des taux d’arrivee). Nous constatons que les nouveaux predicteurs sont toujours

plus precis que LES, E-LES, et AvgC-LES.

LES QL1 QL2 QL3 QL4 E-LES AvgC-LESType 1 50.3 34.5 32.3 36.1 32.4 48.7 39.7Type 2 78.9 51.8 51.6 54.3 56.3 75.1 59.3

Tableau 6.3 : RRASE modele N avec une augmentation de 1%

122

PredicteursLES QL1 QL2 QL3 QL4 E-LES AvgC-LES

Type 1 58.4 37.3 35.2 39.6 35.2 55.4 47.3Type 2 79.6 55.6 55.4 58.3 60.2 76.3 60.4

Tableau 6.4 : RRASE modele N avec une augmentation de 2%

6.2.3 Variation de s en fonction du routage

Pour montrer que s varie en fonction de la politique de routage, nous allons

maintenant utiliser le meme modele N avec les memes parametres, mais cette fois-

ci avec une politique di↵erente de R1. Nous utilisons une politique de routage (R2)

pour laquelle il n’y a pas de priorite pour les agents du groupe 2. Elle fonctionne

comme suit. Les agents du groupe 2 donnent la meme priorite aux deux types. Si

un agent du groupe 2 devient disponible et qu’il y a des clients en attente dans les

deux files, la priorite sera accordee a l’appel qui a attendu le plus longtemps. Les

appels du meme type sont de premier arrive, premier servi. Pour un appel de type

1, s’il y a un agent libre dans chacun des deux groupes, le routeur va l’a↵ecter a

l’agent qui est reste le plus longtemps sans servir d’appel. La figure 6.4 montre la

variation de s avec les politiques des routages R1 et R2 pour les types 1 et 2. Nous

constatons dans les deux cas que la distribution de s est di↵erente pour chaque

politique de routage.

0 5 10 15 20

15.0

15.5

16.0

16.5

Type 1

Nombre de client

s

QL1(R1)QL1(R2)

0 5 10 15 20

910

1112

1314

Type 2

Nombre de client

s

QL1(R1)QL1(R2)

Figure 6.4 : QL1, Variation de s en fonction du routage pour k = 0 a k = 20.

123

6.3 Prediction de la distribution conditionnelle des temps d’attente

Les predicteurs de delai proposes dans cette these comme la plupart des predic-

teurs dans la litterature estiment une esperance conditionnelle du temps d’attente

prevu pour le client. Cette esperance est annoncee au client comme etant son temps

d’attente estime. Il est rare que le client observe exactement le temps d’attente an-

nonce. Le temps observe est soit plus petit ou plus grand que celui annonce. Lorsque

le delai attendu devient superieur au delai annonce, le client peut devenir tres im-

patient (Mowen et al., 1993). Ceci peut entraıner une augmenter des abandons dans

le systeme et diminuer la satisfaction du client vis-a-vis du fournisseur de service.

Pour eviter cela, nous pensons qu’il est preferable de donner plus d’information

au client a propos de son delai d’attente comme par exemple une estimation de la

distribution conditionnelle de son temps d’attente ou au moins certains quantiles

de cette distribution.

Nous savons que pour le modele M/M/s (un processus de Poisson pour les ar-

rivees, les temps de service exponentiels de moyenne µ

≠1), et s serveurs) a chaque

fois que tous les serveurs sont occupes, le temps jusqu’a la prochaine fin de service

est une exponentielle de moyenne de 1/sµ, independamment du passe. Par conse-

quent, le temps d’attente avant le demarrage du service pour une nouvelle arrivee

avec s + k clients dans le systeme est la somme de k + 1 variables aleatoires ex-

ponentielles i.i.d de moyenne de 1/sµ chacune, qui suit une distribution d’Erlang

de forme k + 1 et d’intensite sµ. Pour ce modele, nous pouvons informer les clients

non seulement de la moyenne de son attente, mais aussi de l’histogramme ou d’un

graphique de sa densite de probabilite.

Cependant, pour la plupart des modeles de file d’attente simples, la distribu-

tion des temps d’attente d’un client ayant trouve d’autres clients dans la file est

inconnue et n’est pas facile a determiner. Elle devient encore plus di�cile pour

les systeme multi-competences. Nous pensons qu’il serait interessant de developper

des methodes qui permettent son estimation afin de fournir aux clients des plus

d’information.

124

La premiere idee que nous avons est la suivante : Au chapitre 4, nous avons

developpe des predicteurs qui utilisent un ensemble de donnees D = {x, y} ou x

est un vecteur qui definit l’etat du systeme et y le temps d’attente observe pour

un client qui a observe cet etat a son arrivee. Nous pouvons regrouper ces donnees

autrement. Pour chaque etat x du systeme, nous collectons un ensemble y

T ou

y = (y1, y2, · · · , yN) avec y

i

une realisation du temps d’attente pour un client qui

observee l’etat x a son arrivee. Nous pouvons chercher la distribution qui fit au

mieux les observons de y et estimer les parametres de y pour chaque x. Nous

pouvons par la suite construire un ensemble de donnees DÕ= {x, p

T } ou le vecteur

de parametres. Nous pouvons par exemple utiliser les reseaux de neurones pour les

predire les parametres d’un x jamais observe dans nos donnees.

125

CHAPITRE 7

MODELISATION DES DUREES DE SERVICE DANS LES

CENTRES D’APPELS

7.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous presentons notre contribution dans l’article Ibrahim et al.

(2016b) sur la modelisation des durees de services dans les centres d’appels multi-

competences. Cet article propose une modelisation realiste des temps de service

dans les centres d’appels. En particulier, il realise, a grande echelle et en profon-

deur, une investigation empirique des temps de service dans les centres d’appels.

Une analyse des donnees recueillies au centre d’appels d’Hydro-Quebec (HQ) y est

e↵ectuee. Le centre d’appels reel est complexe et compose de plusieurs types d’ap-

pels distincts et de nombreux agents heterogenes. Les donnees montrent que les

temps de service di↵erent considerablement entre ces agents, varient dans le temps,

et presentent une forte correlation serielle et croisee. Des modeles pour les temps

de service qui en prennent en compte toutes ces caracteristiques, et qui s’ajustent

bien aux donnees reelles ont ete proposes.

Il etait important de verifier que ces modeles sont des outils fiables pour pre-

dire les moyennes des temps de service des agents mieux que les modeles de refe-

rences (“benchmark”) consideres, mais surtout montrer par la simulation que cette

meilleure prediction aura un impact sur les performances du systeme. La simulation

est un outil important qui peut etre utilise pour evaluer les mesures de performance

telles que le niveau de service et le temps d’attente moyen, et pour construire des

horaires de travail pour les agents et des regles de routage par des algorithmes

d’optimisation stochastique (Avramidis et al., 2010, Chan et al., 2014).

Nous avions a notre disposition un bon simulateur des centres d’appels Contact-

Centers (Buist, 2009, Buist et L’Ecuyer, 2005). Ce simulateur a ete developpe a

l’universite de Montreal par Eric Buist dans la cadre de sa these sous la supervi-

sion du professeur Pierre L’Ecuyer. Concernant la distribution des temps de service

des agents, le simulateur o↵rait seulement l’option de specifier une distribution du

temps de service par groupe d’agent et par type d’appel, mais n’o↵rait pas l’option

de specifier une distribution du temps de service par agent et par type d’appels.

Cette derniere option etait necessaire pour simuler un centre d’appels avec les mo-

deles developpes dans l’article. Mon premier objectif etait : (i) de developper un

module permettant de specifier une distribution du temps de service distinct pour

chaque agent et pour chaque type d’appel dont il possede les competences et (ii)

d’integrer ce module dans le simulateur. Notre second objectif etait de montrer

par des exemples tires de nos donnees (donnees recueillies au centre d’appels de

HQ) que les nouveaux modeles proposes predisent mieux la moyenne des temps de

service que les modeles de benchmark et par la suite montrer par des simulations

que les mesures de performances du centre d’appels obtenues avec les di↵erents mo-

deles (les benchmark et les nouveaux modeles) peuvent etre tres di↵erentes. Dans

ce chapitre nous presenterons le travail et les resultats obtenus dans ce second

objectif.

Le reste du chapitre sera organise comme suit. Dans la section 7.2, nous faisons

une revue de la litterature des travaux sur la modelisation des durees de service.

La section 7.3 presente l’analyse preliminaire faite sur les donnees. A la section 7.4,

nous faisons une description des nouveaux modeles proposes. La section 7.5 decrit

la qualite de l’ajustement des modeles aux donnees. Nous presenterons a la section

7.6 les resultats des predictions et a la section 7.7 les resultats des simulations.

Nous terminerons ce chapitre par une conclusion et des remarques a la section 7.8.

7.2 Revue de litterature

Traditionnellement, les chercheurs et les praticiens ont utilise les modeles de file

d’attente d’Erlang standard pour analyser les operations dans les centres d’appels.

Dans les modeles de files d’attente d’Erlang, les temps de service des agents sont mo-

delises comme des variables aleatoires independantes et identiquement distribuees

127

exponentielles avec une moyenne constante. Au-dela de cette hypothese standard

de modelisation, il y a des consequences operationnelles importantes, comme en

temoignent les multiples avancees dans la litterature recente.

7.2.1 Heterogeneite des agents

Il existe plusieurs articles qui etudient des modeles de files d’attente avec des

serveurs heterogenes, avec des applications pour la gestion des centres d’appels.

Une question centrale qui se pose dans ce contexte est de savoir comment router

les appels entrants vers des agents heterogenes de maniere a minimiser une mesure

de performance donnee, par exemple le temps d’attente moyenne. Compte tenu de

la complexite de ce probleme, la plupart des articles ont recours a l’adoption de

politiques de routage optimales dans les systemes a grande echelle dans des condi-

tions a trafic intense ; voir par exemple Armony (2005), Armony et Mandelbaum

(2011), Armony et Ward (2010), Gurvich et Whitt (2009) et les references citees.

Mehrotra et al. (2012) ont recours a une etude numerique pour caracteriser les

performances globales en utilisant le temps d’attente moyen des clients et le taux

de service global. En general, ces articles montrent que les decisions de controle

peuvent reellement beneficier de l’heterogeneite des agents, par exemple, router des

appels entrants vers les agents libres les plus rapides reduit le temps d’attente des

clients.

Il y a tres peu de recherches empiriques pour etayer ces travaux theoriques.

Au meilleur de notre connaissance, la seule exception est Gans et al. (2010) qui

ont analyse les donnees d’un centre d’appels et identifie a la fois a court terme

et a long terme des facteurs associes a l’heterogeneite des agents en pratique. Ils

ont egalement decrit les resultats d’une petite etude de simulation illustrant les

consequences operationnelles d’ignorer une telle heterogeneite. Gans et al. (2010)

ont indique qu’une extension interessante de leurs travaux est d’incorporer les e↵ets

aleatoires dans les modeles du temps de service afin “de capturer la dependance au

sein des appels traites par le meme agent, et de permettre la comprehension de

la population d’agents dans son ensemble” (p. 118). Ces e↵ets aleatoires ont ete

128

consideres dans les modeles proposes dans ce chapitre et qui sont presentes dans la

section suivante.

7.2.2 Dependances entre les temps de service

Les temps de service en pratique sont souvent dependants. Pour un exemple, un

agent peut etre surcharge de travail dans des periodes donnees (par exemple, dans

les periodes de congestion) et cela pourrait a↵ecter ces performances dans tous les

services qu’il e↵ectue pendant ces periodes de travail, resultant generalement a ce

que l’agent soit lent ou rapide ; voir Delasay et al. (2016), Dong et al. (2015), Feld-

man et al. (2015) et les references citees. Dans ce cas, les agents (serveurs) peuvent

etre consideres comme des decideurs strategiques qui influencent leur propre taux

de service. La consequence d’un tel comportement strategique est que les temps

de service successifs sont dependants. Pour un deuxieme exemple, dans un centre

d’appels technique, il peut y avoir un defaut de produit, raison pour laquelle il y a

de multiples appels connexes, dont les durees sont toutes plus que la moyenne. Dans

cet exemple aussi, les temps de service (durees des appels) sont dependants. Pour

un troisieme exemple, dans un centre d’appel d’urgence, plusieurs appels entrants

pourraient etre lies un meme incident medical, auquel cas les durees de ces appels

seraient aussi bien dependants.

Il y a une theorie bien developpee sur l’etude de l’impact sur les performances

de la dependance entre les temps de service dans les systemes de files d’attente a

serveur unique ; par exemple, voir le chapitre 9 de Whitt (2002) pour un traitement

detaille. Cependant, Dong et al. (2012) sont parmi les premiers a considerer le cas

multi-serveur, ce qui est plus raisonnable d’un point de vue pratique. Ils ont consi-

dere une sequence stationnaire de temps de service faiblement dependants et ont

demontre que, dans la limite de trafic intense, l’impact de ces dependances est deter-

mine par la fonction de repartition bivariee des temps de service. Dans leur etude

numerique, ils ont considere une sequence EARMA (“exponential autoregressive-

moving average”) de temps de service, qui est stationnaire avec des distributions

marginales exponentielles, et la structure de correlation d’un processus autoregres-

129

sif de moyenne mobile. Ces auteurs ont demontre, par une analyse theorique et des

simulations, comment les dependances entre les temps de service peuvent modi-

fier significativement les performances des grands systemes. En particulier, ils ont

montre que ces correlations influent fortement la distribution du nombre de clients

dans la file d’attente qui, a son tour, a↵ects les decisions du sta�ng. Dong et al.

(2012) ont conclu leur papier en appelant a “des etudes empiriques pour estimer

la grandeur de la dependance des temps de service dans les applications” (p. 278).

Une telle etude est conduite dans les modeles presentes dans la section suivante.

7.2.3 Dependances avec le temps

Il y a relativement peu de travaux qui considerent des modeles file d’attente avec

des taux de service variant dans le temps, puisque cette fonctionnalite complique

sensiblement l’analyse. Certaines exceptions sont Aldor-Noiman et al. (2009), Liu

et Whitt (2011), Mandelbaum et al. (1999) et les references qui y figurent. Ces ar-

ticles demontrent l’impact operationnel d’inclure des taux de service variant dans le

temps ; leurs resultats appliquent une forme generale et ne supposent pas une forme

specifique pour la dependance du temps dans le taux de service. Aldor-Noiman et al.

(2009) ont utilise les previsions des futurs nombres d’arrivee et moyennes des temps

de service pour estimer les charges futures dans les centres d’appels. Aldor-Noiman

et al. ont autorise les moyennes des temps de service d’etre dependantes du temps,

et ont montre comment les erreurs dans la prediction des charges futures peuvent

influer sur les decisions de sta�ng. Leur article suppose des agents homogenes et

un seul type d’appel. Les modeles de temps de service consideres ici sont fonction

du temps, mais dans un cadre beaucoup plus complexe, avec des types d’appels

multiples et de nombreux agents heterogenes.

7.2.4 Distribution Log-normale

Brown et al. (2005) ont realise une analyse statistique detaillee des donnees d’un

centre d’appels et ont montre que les temps de service ne sont pas exponentiellement

130

distribues, comme on l’a traditionnellement suppose, et que la loi log-normale est

mieux adaptee pour la distribution du temps de service a sa place. Deslauriers

(2003), Pichitlamken et al. (2003) ont egalement observe la meme chose. Motive par

ceci, Shen et Brown (2006) ont propose une nouvelle methode pour l’inference sur

les courbes de regression non parametriques lorsque les erreurs sont distribuees selon

la loi log-normale. Ils ont illustre leur methode a la fois par une etude par simulation

et l’analyse des donnees d’un centre d’appels de la vie reelle. Mandelbaum et Zeltyn

(2011) preconisent un processus des temps de service qui est modelise comme un

processus de Markov a temps continu absorbant a etat fini. Ici, meme si nous

utilisons les informations supplementaires lors de la modelisation des temps de

service, comme le temps post-traitement de l’appel, nous continuons d’assumer la

log-normalite des temps de service individuels.

7.3 Analyse preliminaire des donnees

Les donnees utilisees ici ont ete recueillies au centre d’appels de HQ sur la

duree d’un an, allant du 3 janvier 2011 au 31 decembre 2011. Le centre d’appels

est virtuel avec plus de 15 emplacements a travers le Quebec, et est ouvert du

lundi au vendredi et est ferme le week-end (samedi et dimanche). Les donnees sont

constituees des moyennes quotidiennes des temps de service pour plusieurs agents et

di↵erents types d’appels. Meme s’il est souhaitable d’etudier les donnees d’appel par

appel, de nombreux centres d’appels recueillent encore regulierement des donnees

agregees a la place ; voir par exemple Oreshkin et al. (2016), Pinedo et al. (1999).

Par consequent, il est important de developper des modeles de temps de service

dont les parametres peuvent etre estimes avec ces donnees agregees, comme nous

le faisons ici. En plus des moyennes quotidiennes des temps de service, les donnees

contiennent des informations sur le nombre quotidien d’appels traites par chaque

agent, par type d’appel. Les types d’appels se distinguent a la fois par la nature

de la demande de service et la langue, soit en francais ou en anglais, dans laquelle

l’appel est traite.

131

Un temps de service est souvent constitue d’une premiere partie, assuree par

un serveur vocal interactif (IVR), et une seconde partie ou l’appel est traite par un

agent. Puisque nous sommes interesses a la modelisation des temps de service du

point de vue des agents, nous ne considerons pas la partie IVR parce que les agents

ne sont pas necessaires pour cette partie. Le temps passe par les clients dans l’IVR

est par exemple etudie par Colladon et al. (2013), Salcedo-Sanz et al. (2010). Du

point de vue d’un agent (notre point de vue), un temps de service individuel est la

somme de : (i) le temps passe e↵ectivement a parler au client (temps d’appel), et

(ii) le temps de post-appel passe par l’agent a noter les questions liees a l’appel, au

cours de laquelle il reste indisponible.

7.3.1 Vue d’ensemble

Dans notre ensemble de donnees, il y a 148 types d’appels traites par un groupe

de 1 655 agents. La plupart des agents ont des competences di↵erentes et ils traitent

di↵erents types d’appels en fonction de ces competences. Au total, il y a 16 328

combinaisons distinctes agent / type d’appel, ou chaque combinaison correspond

a un traitement d’un type d’appel particulier par un agent. De nombreux types

d’appels ont tres peu d’appels correspondants, et il n’est pas interessant pour nous

de les etudier. Nous enlevons tous les types d’appels qui ont moins de 10 appels au

total, a travers tous les agents de nos donnees, et on s’est retrouve avec 86 types

d’appels traites par un total de 1 562 agents.

Nous tracons a la figure 7.1 la moyenne du nombre d’agents qui repondent aux

appels par jour de semaine, avec des intervalles de confiance de 95 pour-cent qui

correspondent aux quantiles empiriques 2.5 pour cent et 97.5 pour-cent, bases sur

les agents qui ont traite au moins 10 appels dans les donnees. Nous voyons que le

nombre d’agents est grandement variable les lundis, et que les vendredis ont moins

d’agents, en moyenne. Dans la Figure 7.2, nous tracons la moyenne du volume

total d’appels par jour de semaine, en incluant tous les types d’appels. La Figure

7.2 montre que les volumes d’appels des lundis presentent la plus grande variance,

et que les volumes d’appels des vendredis sont les plus bas en moyenne.

132

1 2 3 4

5

400

420

440

460

480

500

520

540

560

580

600

Nombred’agents

Lundi Mardi

Mercredi

Jeudi

Vendredi

Figure 7.1 : Nombre moyen d’agents par semaine et les bandes de confiance a 95%

correspondant.

Les agents traitent generalement plus d’un type d’appel pour un jour donne ;

aussi chaque type d’appel est generalement traite par plus d’un agent. Par exemple,

environ 400 agents traitent 1 a 3 types d’appels di↵erents, et environ 25 types

d’appels sont traites par environ 65 agents chacun. La mediane du nombre total de

types d’appels traites par agent (au cours de la periode d’un an) est de 13, et la

mediane du nombre d’agents traitant un type d’appel est donnee 33.

7.3.2 Statistiques sur les temps de service

Nous rapportons plusieurs observations empiriques importantes de nos donnees.

Nos modeles stochastiques pour les temps de service sont developpes pour incor-

porer de telles caracteristiques.

133

1 2 3 4

5

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

x 10

4

Nombred’appels

Vendredi

Jeudi

Mercredi

Mardi

Lundi

Figure 7.2 : Nombre moyen d’appels repondus et les bandes de confiance a 95%

correspondant.

7.3.2.1 Variations a travers les types d’appel

La figure 7.3 donne un nuage de points des moyennes empiriques et variances

des temps de service pour les di↵erents types d’appels de nos donnees. Chaque

point correspond a une paire (moyenne, variance), correspondant a un type d’ap-

pel donne. La figure 7.3 montre qu’il existe des di↵erences significatives dans les

moyennes et les variances a travers di↵erents types d’appels. Comme prevu, la

figure 7.3 montre que les types d’appels avec des durees plus longues presentent ge-

neralement une variance plus elevee. Nous prenons en compte cette variation entre

les types d’appels dans les nouveaux modeles qui sont proposes a la section 7.4.

134

0 200 400 600 800 1000 1200

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Moyenne estimee (sec)

Varianceestimee(sec.aucarre)

Figure 7.3 : Chaque point correspond a une paire (moyenne, variance) pour typedonne.

135

7.3.2.2 Heterogeneite des agents

Les distributions des temps de service pour le meme type d’appel varient consi-

derablement selon l’agent. Dans les figures 7.4 et 7.5, nous illustrons cette hetero-

geneite des agents. Nous tracons la moyenne des temps de service pour deux types

d’appels : A, qui est traite par 991 agents, et B, qui est traite par 997 agents, en

fonction du nombre total d’appels repondus (sur la periode d’un an couverte par

nos donnees) par chaque agent.

La ligne horizontale dans chaque figure indique le temps de service moyen global

pour tous les agents, pour chaque type d’appel. Les figures 7.4 et 7.5 montrent

qu’il existe une variabilite importante dans les temps de service a travers tous les

agents. Les figures 7.4 et 7.5 montrent egalement qu’il y a clairement des “groupes”

d’agents qui semblent se comporter d’une maniere a peu pres similaire (en ayant

des moyennes soit plus courtes ou plus longues que la moyenne generale des temps

de service). En general, les agents qui ont traite de nombreux appels au cours de

l’annee sont beaucoup plus rapides en moyenne que ceux qui n’ont manipule que

quelques appels. Ces derniers sont soit des agents qui ont traite tres peu d’appels

en general, ou ceux qui ont la plupart du temps traite d’autres types d’appels.

En general, il semble que les agents qui ont traite plus d’appels ont tendance a

presenter moins de variances dans leur temps de service. En d’autres termes, la

plus grande dispersion est principalement donnee par les agents qui sont moins

experimentes (ceux qui ont repondu a moins d’appels).

Dans les figures 7.6 et 7.7, nous tracons des estimations des variances des temps

de service pour tous les agents ayant traite les appels de type A et B, respective-

ment, en fonction du nombre total d’appels de ce type repondu par l’agent. Les

figures 7.6 et 7.7 confirment qu’il existe des di↵erences claires dans la variance du

temps de service a travers les agents.

Dans la figure 7.8, nous tracons les temps de service moyens de quatre agents

ayant traite des appels de type B, en fonction du temps (indice de la journee).

De plus, nous incluons des lignes horizontales correspondant au temps de service

136

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

0

500

1000

1500

2000

2500

Nombre d’appels repondus

Tempsdeservicemoyenparagent(sec.)

Figure 7.4 : Moyenne du temps de service pour di↵erents agents traitant le typed’appel A en fonction du nombre total d’appels repondus par annee. La ligne ho-rizontale est la moyenne globale pour tous les agents.

137

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800


Tempsdeservicemoyenparagent(sec.)

Figure 7.5 : Moyenne du temps de service pour di↵erents agents traitant le typed’appel B en fonction du nombre total d’appels repondus par annee. La lignehorizontale est la moyenne a travers tous les agents.

138

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

0

200

400

600

800

1000

1200

1400


Varianceestimeeparagent(sec.aucarre)

Figure 7.6 : Les variances du temps de service estimees pour les agents traitant letype d’appel A en fonction du nombre total d’appels repondus par annee.

139

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800


Varianceestimeeparagent(sec.aucarre)

Figure 7.7 : Les variances du temps de service estimees pour les agents traitant letype d’appel B en fonction du nombre total d’appels repondus par annee.

140

moyenne globale pour ces agents. La figure 7.8 montre que di↵erents agents ont un

comportement di↵erent. En e↵et, les deux agents en haut sont evidemment plus

lents que les deux agents en bas, et leurs temps de service ont aussi une variance

plus elevee.

7.3.2.3 Dependance du temps

En plus de variabilite entre les di↵erents agents, nos donnees montrent que

le temps de service moyen pour un agent donne et un type d’appel donne varie

considerablement au fil du temps.

Dans la figure 7.9, nous tracons les temps de service moyens quotidiens pour un

agent traitant quatre types d’appels di↵erents, en fonction du temps. Ces moyennes

quotidiennes varient clairement avec le temps. La figure 7.9 illustre un phenomene

qui pourrait etre important d’un point de vue operationnel : l’agent semble ralentir

quand il gere plusieurs types d’appels. En e↵et, ce fait est apparent au jour 208

lorsque l’agent commence le traitement des appels de type 4. Par la suite, la figure

7.9 montre que les temps de service moyens des types d’appels 1 et 2 augmentent.

Sur la base de ces observations, nous avons experimente avec notamment le nombre

de types d’appels traites par un agent comme variable dans notre modele du temps

de service. Nous n’avons pas inclus ces modeles dans le present document, car ils

conduisent a des predictions moins precises de la moyenne des temps de service

dans l’echantillon de test de nos donnees pour tous les agents. Peut-etre que cela

pourrait etre utilise seulement pour certains agents pour lesquels nous disposons

de su�samment de donnees avant et apres le changement. La figure 7.8 illustre

egalement que les temps de service moyens fluctuent au fil des jours successifs.

Dans la figure 7.10, nous illustrons la dependance par rapport au temps en

tracant l’evolution, au fil du temps des temps de service moyens quotidiens pour

un agent a1 qui traite les appels de type A . Dans la figure 7.10, nous incluons

aussi le meilleur ajustement lineaire pour les donnees. Ce trace montre clairement

une tendance a la hausse dans les temps de service moyens pour cet agent. Dans

nos donnees, nous avons observe des tendances vers le haut et vers le bas, selon

141

Figure 7.8 : La moyenne des temps de service pour 4 agents traitant le type d’appelsB versus indice de la journee.

l’agent. Une explication de tendances a la baisse est que les agents apprennent

avec le temps ; voir Gans et al. (2010) pour plus de soutien empirique. Il peut y

avoir beaucoup d’autres explications pour de telles tendances. Par exemple, avec

des tendances a la hausse, il se peut que les agents se lassent et deviennent moins

motives a repondre rapidement aux appels.

7.3.3 La cohorte C de 200 agents

Le nombre total d’appels traites par agent varie considerablement entre les

agents dans nos donnees. Le maximum est de 14 715 appels traites pour un agent

au cours de la periode d’un an, mais des centaines d’agents ont repondu a tres

peu d’appels. Pour ces agents, il est di�cile d’ajuster les modeles de temps de

142

0 50 100 150 200 250 300 350

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Indice de la journee

Tempsd’attentemoyen(sec.)

Type d’appel 1

Type d’appel 2

Type d’appel 3

Type d’appel 4

Figure 7.9 : La moyenne journaliere des temps de service pour un agent traitantde multiples types d’appels et dont la liste des competences augmente au jour 208.

143

0 50 100 150 200 250 300 350

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Indice de la journee

Tempsdeservicemoyenparjour(sec.)

Moyenne quot. du temps de service

Meilleur ajust. lineaire

Figure 7.10 : L’evolution de la moyenne des temps de service de l’agent a1 pour letype d’appels A, et le meilleur ajustement lineaire.

144

service et faire des predictions fiables. En outre, avec l’insu�sance des donnees, il

est di�cile de parvenir a des resultats significatifs. Pour le reste de cette etude,

nous limitons notre attention a des agents qui ont repondu un nombre relativement

important d’appels ; en particulier les 200 agents qui ont repondu le plus d’appels

au cours de l’annee. Ces 200 agents ont repondu a un total de 1 175 178 appels, ce

qui correspond a environ la moitie du nombre total des appels entrants au centre

au cours de l’annee. Pour chacun de ces 200 agents, nous avons supprime les paires

(agent, type d’appel) ou l’agent a traite moins de10 appels par jours dans notre

ensemble de donnees. Nous faisons cela pour eviter de considerer les paires (agent,

type d’appel) avec trop peu d’observations.

Il y a un total de 550 paires di↵erentes (agent, type d’appel) qui restent dans

notre cohorte. Dans le reste du chapitre, nous nous referons a notre cohorte d’agents

comme etant la cohorte C. Il est important de noter que ce ne sont pas les 200 agents

les plus a droite des figures 7.4-7.7. Au total, ces 200 agents traitent 30 di↵erents

types d’appels, et le nombre de competences par agent varie de 1 a 8. Le nombre

moyen de competences par agent, dans ce sous-ensemble des donnees, est de 3.9.

7.4 Modeles de Temps de Service

Dans cette section, nous proposons des modeles alternatifs pour les processus

du temps de service. Nous commencons par decrire deux modeles de reference

(“benchmark”) qui imitent la pratique standard.

7.4.1 Les Modeles de benchmark B1 et B2

L’analyse preliminaire de la section 7.3 suggere que les temps de service de-

pendent fortement de l’agent et du type d’appel considere ; voir les Figures 7.4-

7.10. Soit S

i,j

le temps de service d’un appel de type j traite par l’agent i ou

j = 1, 2, . . . , J et i = 1, 2, . . . , I.

Dans le premier modele de reference, Modele B1, nous supposons que les S

i,j

sont des variables aleatoires i.i.d d’une distribution log-normale d’esperance m

j

et

145

de variance v

j

, pour chaque i et j, ou m

j

et v

j

dependent uniquement du type

d’appel j. Dans notre deuxieme modele de reference, Modele B2, nous supposons

que la valeur esperee est m

i,j

et sa variance v

i,j

dependent a la fois du type d’appel

j et l’agent i.

Puisque les donnees sont en general constituees que de moyennes journalieres

agregees de temps de service, au lieu des donnees detaillees appel par appel, il n’est

pas immediatement visible de voir comment calculer des estimations ponctuelles

pour les esperances et les variances. Pour ce faire, nous adoptons ici la methode

des moments comme dans Deslauriers (2003). Sinon, pour une revue des methodes

d’estimation (pour la moyenne) avec des donnees plus detaillees, voir Shen et Brown

(2006).

Methode des Moments. Nous fournissons des details supplementaires pour

cette methode en nous concentrant sur l’estimation pour le modele B2. Pour le

modele B1, nous faisons la meme chose, mais ne nous faisons pas de distinction

entre les agents alternatifs pouvant traiter le meme type d’appel.

Soit n

(k)i,j

le nombre d’appels de type j traites par l’agent i le jour k, ou k =

1, 2, . . . , K

i,j

et K

i,j

est le nombre total d’appels de la journee ou l’agent i traite les

appels de types j. Soit m

(k)i,j

le temps de service moyen d’un appel de type j traite

par l’agent i le jour k, basee sur un echantillon de n

(k)i,j

d’appels repondus. Notre

ensemble de donnees contient des valeurs au jour le jour pour les deux n

(k)i,j

et m

(k)i,j

.

Nous definissons m

i,j

et v

i,j

comme suit :

m

i,j

=

qKi,j

k=1 n

(k)i,j

m

(k)i,j

qKi,j

k=1 n

(k)i,j

(7.1)

et

v

i,j

=

1

K

i,j

≠ 1

Ki,jÿ

k=1n

(k)i,j

(m

i,j

≠ m

(k)i,j

)

2 (7.2)

Ces m

i,j

et v

i,j

sont des estimateurs sans biais de m

i,j

et v

i,j

pour chaque agent i

et type d’appel j ; voir Deslauriers (2003) pour plus de details.

146

7.4.2 Modele A1

L’analyse preliminaire en 7.3 suggere que le temps de service moyen pour un

agent donne et un type d’appel n’est pas constant dans le temps ; voir la figure 7.10.

Soit M

(k)i,j

une variable aleatoire representant le temps de service moyen d’un appel

de type j traite par l’agent i au jour k. Ceci est ce que nous observons dans nos

donnees. Dans le modele A1, nous supposons que M

(k)i,j

suit un processus Gaussien

qui est un modele lineaire additif a e↵ets fixes integrant une interception et une

forme lineaire. Autrement dit, nous supposons pour chaque paire (i, j) que :

M

(k)i,j

= –

i,j

· k + —

i,j

+ ‘

(k)i,j

. (7.3)

Les coe�cients –

i,j

et —

i,j

sont des constantes reelles qui doivent etre estimees a

partir des donnees, et ‘

(k)i,j

sont variables aleatoires normales i.i.d de moyenne 0 et

variance ‡

2‘i,j

/n

(k)i,j

, ou n

(k)i,j

est le nombre d’appels de type j repondus le jour k par

l’agent i. Autrement dit, le nombre d’appels traites dans une journee donnee est

utilise comme un poids dans notre modele de regression. Nous estimons le modele

7.3 utilisant la methode des moindres carres ponderee. Bien sur, la modelisation

de la moyenne du temps de service comme une fonction lineaire du temps ne peut

avoir du sens que si l’estimation approximative s’e↵ectue sur un intervalle de temps

limite. Par exemple, la diminution de la moyenne en fonction du temps est gene-

ralement due a un e↵et d’apprentissage, mais cet e↵et va finalement etre sature et

la pente de la diminution devrait se rapprocher de 0 quand le temps avance. En

fait, nous allons trouver que ce modele avec une forme lineaire est depasse par nos

deux prochains modeles, qui n’incluent pas une telle forme lineaire. En plus de la

forme lineaire temporelle, nous avons egalement examine les formes quadratiques

et logarithmiques. Cependant, puisque les modeles avec ces nouvelles formes ne

donnent pas de meilleurs resultats, nous allons seulement presenter les resultats

d’une forme lineaire dans le present document.

Nous avons constate que l’hypothese de normalite de la moyenne des temps

de service est raisonnable dans nos donnees. Cela est normal puisque nos donnees

147

consistent en des moyennes quotidiennes ou chaque moyenne est generalement cal-

culee sur des dizaines de temps de service par jour. Par exemple, dans les figures

7.11 et 7.12, nous presentons les diagrammes Q-Q pour les residus du modele A1

pour deux agents, a1 et a2, qui sont ponctuels avec des bandes de confiance 95%.

Les agents a1 et a2 ont traites de nombreux appels de type A : 8360 et 8098 ap-

pels, respectivement. Nous avons egalement obtenu des resultats coherents pour les

agents qui repondent a un nombre relativement faible d’appels d’un type d’appel

donne, par exemple, 200-300 appels durant l’annee. Pour toutes les paires agent -

type d’appels, nous avons e↵ectue le test de Lilliefors de normalite sur les residus

du modele A1. Dans toutes ces paires, les trois premiers quartiles empiriques de la

distribution des p-valeurs pour ce test sont 0.005, 0.08 et 0.3, respectivement. Dans

l’ensemble, nous avons constate qu’il n’y avait generalement pas assez de preuves

statistiques pour rejeter l’hypothese nulle que –

i,j

= 0. Plus precisement, les es-

timations empiriques des trois premiers quartiles de la distribution des valeurs de

p-valeurs sont donnes par : 0.007, 0.2, et 0.5, respectivement ; en particulier, nous

ne pouvions pas rejeter l’hypothese nulle dans plus de 60% des paires agent - type

d’appels. Nous avons aussi e↵ectue des tests de Ljung-Box sur les autocorrelations

des residus pour le modele A1, et les quartiles de la distribution empirique des

p-valeurs ont ete de 0.04, 0.3, et 0.6. Pour au moins 25 % des paires agent type

d’appels, les autocorrelations sont statistiquement significatives au niveau de 95 %.

7.4.3 Modele A2 : Correlations serielles

Capturer les dependances entre les temps de service successifs revient a captu-

rer les dependances entre les moyennes des temps de service (approximativement)

normaux. Les modeles a e↵ets mixtes sont ideaux pour capturer ces dependances

avec des donnees plus ou moins normalement distribuees ; nous proposons mainte-

nant un modele de ce genre. Nous considerons un modele lineaire a e↵ets mixtes

Gaussien pour M

(k)i,j

:

M

(k)i,j

= —

i,j

+ “

(wk)i,j

+ ‹

(k)i,j

(7.4)

148

≠3 ≠2 ≠1

0 1 2 3

≠50

050

Quantiles normaux standard

Echantillondequantiles

Figure 7.11 : Diagramme Q-Q des residus du Modele A1 pour l’agent a1 et lesbandes de confiance a 95%.

149

≠2 ≠1

0 1 2

≠150

≠100

≠50

050

100

150

Quantiles normaux standard

Echantillondequantiles

Figure 7.12 : Diagramme Q-Q des residus du Modele A1 pour l’agent a2 et lesbandes de confiance a 95%.

150

ou “

(wk)i,j

est un e↵et aleatoire specifique pour la semaine w

k

du jour k, et ‹

(k)i,j

est

l’erreur residuelle normalement distribuee. Nous supposons que ces residus ‹

(k)i,j

sont

des normales independantes de moyenne 0 et de variance ‡

2‹i,j

/n

(k)i,j

. La variance re-

siduelle de ‹

(k)i,j

est specifique a chaque paire (i, j) ; ainsi, nous pouvons capturer

les di↵erences dans la variance entre les di↵erentes paires agent/competence. Les

e↵ets aleatoires “

(wk)i,j

sont normalement distribues avec des deviations hebdoma-

daires que nous utilisons pour capturer des correlations dans les temps de service

moyens, pour le meme agent et type d’appel, a travers les semaines successives et a

travers des jours successifs de la meme semaine. En raison de la nature agregee des

donnees disponibles, nous ne considerons pas un e↵et quotidien aleatoire dans (7.4),

mais plutot une par semaine, et nous n’imposons pas une structure de covariance

sur les residus ‹

(k)i,j

. En e↵et, les deux pourraient conduire a des problemes d’iden-

tification, mais nous ne disposons pas de donnees pour les appels individuels au

cours d’une journee donnee. Par la suite, on omet l’indice d’une variable aleatoire

lorsque l’indice specifique n’a pas d’importance. Dans les modeles a e↵ets mixtes

Gaussien, les “

(wk)i,j

et ‹

(k)i,j

sont censes etre normalement distribues et independant.

Ici, nous supposons que les e↵ets aleatoires “

(wk)i,j

, sont des normales identiquement

distribuees de valeur moyenne E[“

(wk)i,j

] et de variance V ar[“

(wk)i,j

] = ‡

“i,j , et que

“

(wk)i,j

suit une structure de covariance autoregressive de premier ordre, AR(1). Ceci

est,

“

(u)i,j

= fl

i,j

“

(u≠1)i,j

+ Â

(u)i,j

, (7.5)

ou fl

i,j

est un parametre d’autocorrection et les Â

(u)i,j

sont des variables aleatoires

normales i.i.d de moyenne E[Â

(u)i,j

] = 0 et de variance V ar[Â

(u)i,j

] = ‡

2Â

(u)i,j

= ‡

2“i,j

(1 ≠

fl

i,j

). La covariance entre “

(u1)i,j

et “

(u2)i,j

est donnee par

Cov(“

(u1)i,j

, “

(u2)i,j

) = ‡

2“i,j

fl

|u2≠u1|i,j

. (7.6)

L’hypothese d’une structure de covariance AR(1) pour “

(wk)i,j

est a la fois utile et

computationellement e�cace, car elle necessite l’estimation de deux parametres

seulement, ‡

“i,j et fl

i,j

. Ici, l’e↵et aleatoire hebdomadaire qui suit un processus

151

AR(1) remplace la forme lineaire que nous avions au modele A1. Il permet une

situation ou, pour un agent donne, par exemple, la moyenne diminue pendant

une certaine periode de temps en raison de l’apprentissage, puis reste stable, puis

augmente plus tard parce que l’agent perd interet ou a d’autres problemes, etc. Ce

processus AR(1) est tres simple et pourtant su�samment flexible pour modeliser

ces variations a mi-parcours dans la moyenne.

Nous avons aussi essaye le modele A2 avec une forme lineaire comme dans A1

en plus du terme AR(1), et avons constate que la version sans la forme lineaire

fournit un meilleur ajustement aux donnees sur l’echantillon. Pour cette raison,

nous avons omis la forme lineaire. Dans le tableau 7.1, nous presentons des es-

timations ponctuelles pour les di↵erents parametres du modele A2, base de nos

donnees, pour 3 combinaisons agent/type d’appel. Les p-valeurs dans le tableau

sont calculees automatiquement dans SAS R

� comme suit : En supposant la nor-

malite des e↵ets aleatoires et des residus, nous pouvons construire une statistique

en fonction des e↵ets fixes (—) et des e↵ets aleatoires (“) qui a approximativement

une loi t pour laquelle nous pouvons estimer les degres de liberte. Bases sur cette

statistique, nous pouvons faire une inference pour savoir si les e↵ets aleatoires et

fixes (la forme lineaire) sont egaux a 0. L’e↵et aleatoire hebdomadaire et le para-

metre d’autocorrelation sont generalement juges statistiquement significatifs. Lors

du test de forme lineaire, les quartiles de la distribution empirique des p-valeurs

etaient 0.06, 0.3, et 0.6. La forme est statistiquement significative avec un niveau

de 95 % pour 125 paires sur 550. Pour le modele sans la forme lineaire, l’autocor-

relation est statistiquement significative au niveau 95% pour 246 paires sur 550, et

les quartiles de la distribution des p-valeurs sont 0, 0.002 et 0.3.

7.4.4 Modele A3 : Correlations serielle et croisee

Les dependances dans les series de temporelle des temps de service peuvent

etre dues a des facteurs lies aux agents eux-memes, tel que le stress, la fatigue, la

demotivation, etc. Ces e↵ets a court terme peuvent influencer les performances de

l’agent pendant une periode de temps donnee et provoquer des dependances entre

152

(Agent,type d’appel) Categorie Valeur Erreur std. p-valeur

‡

2“i0,j0

1270 1004 0.1035

fl

i0,j0 0.705 0.269 0.00870(i0, j0) ‡

2‘i0,j0

146000 20800 < .0001

—

i0,j0 602 45.7 < .0001

–

i0,j0 -0.634 0.204 0.00250‡

2“i1,j1

608 356 0.0439

fl

i1,j1 0.870 0.0846 < .0001

(i1, j1) ‡

2‘i1,j1

93867 10300 < .0001

—

i1,j1 295 21.9 < .0001

–

i1,j1 0.0885 0.101 0.383‡

2“i2,j2

1320 684 0.0267

fl

i2,j2 0.652 0.244 0.00760(i2, j2) ‡

2‘i2,j2

51000 8030 < .0001

—

i2,j2 283 25.4 < .0001

–

i2,j2 0.243 0.156 0.124

Tableau 7.1 : Resultats pour le Modele A2 pour 3 di↵erentes combinaisonsagent/type d’appel. Les estimations ponctuelles des coe�cients du modele sontmontrees avec les erreurs standard et p-valeurs pour des significations statistiquesdes t-tests.

les temps de service de tous les appels traites par ce meme agent. La consideration

des modeles avec des correlations croisees est donc importante pour capturer des

e↵ets similaires.

Dans le modele A3, nous modelisons conjointement les temps de service des

di↵erents types d’appels traites par le meme agent. Nous considerons un modele a

e↵ets mixtes pour la moyenne des temps de service (tout comme dans le modele

A2) ou nous fusionnons les types d’appels alternatifs ensemble et avons le meme

e↵et aleatoire hebdomadaire commun a tous les types traites par le meme agent.

Cela donne :

M

(k)i,j

= —

i,j

+ “

(wk)i

+ ‹

(k)i,j

(7.7)

Le terme constant —

i,j

est specifique au type d’appel j traite par l’agent i. Nous

continuons a assumer une structure de covariance AR(1) pour “

(wk)i

. Notons que

153

“

(wk)i

dependra de l’agent i et la semaine w

k

, mais pas du type d’appel j. Nous

continuons egalement a supposer que les residus sont des normals i.i.d de moyenne

0 et de variance ‡

‹i,j /n

(n)i,j

. L’e↵et aleatoire “

(wk)i

, qui est commun a tous les types

d’appels traites par l’agent i, exploite a la fois la correlation serielle entre les se-

maines successives, et les correlations croisees entre les di↵erents types d’appels.

La variance residuelle ‹

(k)i,j

est specifique a chaque paire (i, j) ; ainsi nous capturons

les di↵erences de variance entre les di↵erentes paires (agent,competence).

Pour illustrer, le tableau 7.2, donne les parametres estimes du modele A3 pour

l’agent i0 considere dans le tableau 7.1. Ici, la p-valeur pour l’e↵et aleatoire heb-

domadaire est 0.0858. D’autres p-valeurs sont assez petites. Nous avons egalement

teste le modele A3 avec une forme lineaire, pour notre cohorte de 200 agents, et

les quartiles de la distribution des p-valeurs pour le test de forme lineaire etaient

de 0.04, 0.3, et 0.6. Autrement dit, pour la plupart des agents la forme lineaire est

non significative. Dans les tests de la qualite de l’ajustement hors echantillon et

des predictions, bases sur le modele A3 avec et sans la forme lineaire, la version

sans la forme lineaire s’ajuste mieux aux donnees. Par consequent, nous omettons

cette forme lineaire des considerations en §7.5 et 7.6. Pour le modele sans la forme

lineaire, le parametre d’autocorrelation est generalement juge statistiquement si-

gnificatif : les quartiles de la distribution des p-valeurs etaient (approximativement)

0, 0.005 et 0.2.

7.5 Qualite de l’ajustement des modeles

Dans cette section, nous evaluons la qualite de l’ajustement aux donnees de nos

modeles candidats.

7.5.1 Modele des residus

Nous commencons par l’analyse des residus de chaque modele, ou les residus

du modele sont definis comme etant egaux a la di↵erence entre la moyenne des

temps de service quotidiens observee et les valeurs ajustees correspondantes. Dans

154

Categorie Valeur Erreur stand. p-valeur

‡

2“i0

1240 901 0.0858

fl

“i00.687 0.270 0.0108

‡

2‘i0,1 146000 47200 0.001

‡

2‘i0,2 149000 32300 < 0.0001

‡

2‘i0,3 145000 19800 < 0.0001

—(i0,1) 562.1 107 < 0.0001

—(i0,2) 454 43.2 < 0.0001

—(i0,3) 624 42.7 < 0.0001

–(i0,1) -0.628 0.686 0.361–(i0,2) -0.371 0.193 0.0564–(i0,3) -0.727 0.192 0.0002

Tableau 7.2 : Resultats pour le Modele A3 pour l’agent i0, presente dans le tableau7.1, repondant a 3 di↵erent types d’appels, numerotes de 1 a 3. Les estimationsponctuelles des coe�cients du modele sont montres avec les erreurs standard etp-valeurs indiquant ce qui est statistiquement significatif.

le tableau 7.3, nous presentons un resume des statistiques pour le carre des residus

pour notre cohorte C des agents ; voir 7.3. Le tableau 7.3 montre que les modeles A2

et A3 s’ajustent mieux aux donnees que le modele A1, B1 et B2, et que le modele

A2 donne un ajustement un peu meilleur que le modele A3. Les Modeles B1 et B2

sont derniere, et le modele B1 donne clairement le plus mauvais ajustement.

Nous calculons egalement les estimations du RMSE pour la cohorte C sous les

di↵erents modeles. Dans la figure 7.13, nous presentons des boıtes de moustaches

pour les RMSEs a travers tous les modeles. La Figure 7.13 montre que les modeles

A2 et A3 s’ajustent mieux aux donnees que le reste des modeles. Dans la figure

7.14, nous tracons les ECDFs des RMSEs pour tous les modeles. Une fois de plus,

la figure 7.14 montre que les modeles A2 et A3 fournissent les meilleurs ajustements

aux donnees que les autres modeles. Pour les RMSEs, nous avons e↵ectue des tests

t par paire, avec un niveau de confiance de 95 %, pour toutes les paires du modele

et avons constate que les di↵erences dans les RMSE etaient toutes significativement

di↵erentes de 0 (les p-valeurs correspondants de tous les tests ont ete tres proches

155

de 0).

7.6 Predictions de la moyenne des temps de service

Nous comparons maintenant les modeles statistiques de 7.4 base sur leur perfor-

mance de predictions hors echantillon, pour notre cohorte de C agents. Pour chaque

agent et type d’appel, chaque modele, et chaque jour i, nous avons estime le modele

base seulement sur toutes les observations jusqu’au jour i ≠ ” (la periode d’appren-

tissage), ou ” est le temps (nombre de jours) de prediction en avance choisie ou

“lead time”, et a partir de la nous avons calcule une prediction m

i

de la moyenne

du temps de service m

i

pour la journee i. Nous avons considere seulement les jours

i pour lesquels i ≠ ” Ø 60. Chaque m

i

est une prediction hors echantillon (basee

uniquement sur des informations passees). Nous considerons trois ” di↵erents, a

savoir 2 semaines, 1 semaine et 1 jour, pour imiter les defis de la vie reelle auxquels

sont confrontes les gestionnaires de centres d’appels. Nous determinons la periode

d’apprentissage en avance de maniere a preserver la condition i ≠ ” Ø 60. Nous

reestimons tous les parametres du modele apres chaque prediction. Nous utilisons

la procedure mixte SAS R

� pour calculer les estimations du maximum de vraisem-

blance des parametres pour le modele A2 et modele A3, et generer les predictions

correspondantes.

Dans les tableaux 7.4 et 7.5, nous rapportons les resultats agreges pour les

previsions hors echantillon sur tous les 200 agents, types d’appel, et jours. Dans le

tableau 7.4, nous incluons des estimations de la moyenne, la mediane, et le premier

et troisieme quartile des MAPEs et RMSEs obtenus a travers tous les agents.

Rappelons que chaque MAPE et RMSE est sur tous les types d’appel et jours,

pour chaque agent. Nous soulignons en gras le RMSE et MAPE minimum dans

chaque rangee. Il est clair que le modele A3 est superieur. Il surpasse clairement nos

modeles de reference, couramment utilises dans la pratique, en particulier avec des

previsions en avance tres courtes (un jour). Nous discutons maintenant brievement

des resultats pour des previsions en avance de 2 semaines et 1 jour, respectivement.

156

50

100

150

200

250

300

1 2 3 4 5

Modele B1

Modele A1

Modele A2Modele B2 Modele A3

Figure 7.13 : Boıte de moustaches du RMSE du modele des residus lors de l’ajus-tement de tous les modeles aux donnees de la cohorte de C agents.

157

0 50 100 150 200 250 300

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Modele B1

Modele B2

Modele A1

Modele A2

Modele A3

Figure 7.14 : ECDF pour le RMSE des modeles de residus lors de l’ajustementaux donnees a la cohorte de C agents.

158

Statistique Modele B1 Modele B2 Modele A1 Modele A2 Modele A3

Moyenne 15,243 10,131 9,214 7,272 7,428Mediane 4,238 2,296 2,099 1,574 1,624Premier quartile 894 454 415 308 322Troisieme quartile 13,396 7,844 7,217 5,581 5,690

Tableau 7.3 : Resume statistique du carre des residus avec chaque modele, a traversla cohorte de C agents.

7.6.1 Predictions de deux semaines en avant

Pour cette longue periode, les modeles A2 et A3 donnent a peu pres les memes

performances. Le modele B2 est aussi bien competitif, et donne des erreurs de

prediction plus petites que le modele A1, tant pour le MAPE et la RMSE. Le

MAPE moyen pour le modele A3 est d’environ 12% inferieur a celui de A1 et 3%

inferieur a celui de B2. D’autre part, le modele B1 accuse un net retard, avec un

MAPE 26% plus grand que pour le modele A3. Des resultats similaires sont obtenus

quand nous comparons le RMSE moyen, qui est d’environ 18 % plus grandes pour

le modele A1 que pour A3 et 3% plus grande pour B2 que pour A3. Nous avons

e↵ectue des tests t par paire, pour toutes les paires possibles, pour tester si les

di↵erences dans la RMSE et MAPE sont significativement di↵erentes de 0. Les p-

valeurs de ces tests etaient tous tres petits (la di↵erence est clairement significative,

avec p < 0.0001), sauf dans deux cas : Lorsque nous comparons les MAPEs pour

les modeles B1 et A1, nous obtenons p = 0.48 et en comparant le MAPE pour le

modele A2 et A3, on obtient p = 0.12.

7.6.2 Predictions d’une journee en avant

Avec une prevision en avance de 1 jour, l’avantage d’exploiter les correlations

entre les moyennes hebdomadaires augmente. Les modeles A1, A2, et A3 donne des

previsions plus precises que les deux modeles de reference, avec le modele A3 qui

prend la tete. Par exemple, le MAPE moyen est d’environ 6% plus petit pour le

modele A3 que pour B2, et environ 5% plus petit pour A2 que pour A1. Le RMSE

159

0 50 100 150 200 250

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Model B1

Modele B2

Modele A1

Modele A2

Modele A3

Figure 7.15 : ECDF pour le RMSE pour les previsions d’une journee a l’avance, atravers tous les agents de la cohorte C.

160

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Modele B1

Modele B2

Modele A1

Modele A2

Modele A3

Figure 7.16 : ECDF pour le MAPE pour les previsions d’une journee a l’avance, atravers tous les agents de la cohorte C.

161

Prevision de deux semaines a l’avance.

Modele B1 Modele B2 Modele A1 Modele A2 Modele A3RMSEMAPERMSEMAPERMSEMAPERMSEMAPERMSEMAPE

Moyenne 107 26.2 91.5 20.1 109 22.0 89.6 19.6 88.7 19.4

Mediane 95.2 21.7 88.1 18.6 97.4 20.7 86.7 18.0 86.0 17.9

Premier quartile 77.3 17.3 70.0 15.3 74.7 16.5 69.1 15.0 68.2 14.9

Troisieme quartile 122.0 28.9 109 23.3 136 25.7 108 22.8 106 22.8

Prevision d’une semaine a l’avance


Moyenne 107 26.2 90.6 19.9 100.0 20.4 88.3 19.2 87.2 19.0

Mediane 94.7 21.8 87.6 18.5 96.1 19.4 85.0 17.8 84.2 17.6


Troisieme quartile 122 28.8 109 23.3 124 23.5 107 22.3 105 22.7

Prevision d’une journee a l’avance


Moyenne 107 26.2 89.9 19.6 95.2 19.4 86.6 18.5 85.4 18.4

Mediane 95.1 21.7 86.1 18.3 91.6 18.4 82.3 17.2 82.3 17.1


Troisieme quartile 122 28.7 108 23.2 117 22.0 104 21.6 102 21.7

Tableau 7.4 : Precision des predictions pour les Modeles A1, A2, et A3, moyenne atravers la cohorte de C agents.

moyen est d’environ 10 % plus petits pour le modele A3 que pour A1, et environ 9

% plus petite pour A2 que pour A1. Le modele B1 est clairement depasse par tous

les autres modeles. Dans des t-tests de paires, tous les p-valeurs etaient tres petits

(p < 0.0001).

7.6.3 Proportion de victoires pour chaque modele

Le tableau 7.5 compare les modeles a partir d’un point de vue di↵erent : il

rapporte les proportions d’agents (dans notre cohorte C) ou chaque modele donne

la mesure de performance la plus petite, dans tous les modeles. Par exemple, la

premiere ligne du tableau 7.5 indique que, a travers les 200 agents consideres, le

plus petit MAPE a ete realise par le modele A1 pour 20.2% des agents, par le

162

Prevision de deux semaines a l’avance.Modele B1 Modele B2 Modele A1 Modele A2 Modele A3

MAPE 0.202 0.227 0.202 0.157 0.253RMSE 0.167 0.182 0.106 0.212 0.364

Prevision d’une semaine a l’avanceModele B1 Modele B2 Modele A1 Modele A2 Modele A3

MAPE 0.172 0.187 0.227 0.202 0.278RMSE 0.141 0.152 0.131 0.232 0.389

Previsions d’une journee a l’avanceModel B1 Modele B2 Modele A1 Modele A2 Modele A3

MAPE 0.141 0.146 0.207 0.232 0.338RMSE 0.116 0.116 0.136 0.278 0.424

Tableau 7.5 : Les proportions ou un modele donne est gagnant, c.-a-d., donne lesplus petites mesures de performances, a travers la cohorte de C agents.

modele A2 15.7 % des agents, et par le modele A3 pour 25.3% des agents. Avec

un temps de prevision en avant de deux semaines, le modele B2 est competitif,

mais il est encore depasse par le modele A3. Dans le tableau 7.5, le modele A3 est

generalement plus performant que tous les autres modeles. Cela est particulierement

vrai avec un temps de prevision en avant tres court. Par exemple, avec un delai de

prevision d’un jour, le modele A3 donne le plus petit RMSE pour 42.4% des agents,

par rapport a 11.6% pour B2.

Dans les figures 7.15 et 7.16, nous tracons les fonctions de repartition empiriques

pour le RMSE et la MAPE, respectivement, pour tous les modeles, avec un delai

de prevision en avant d’un jour. Ces figures illustrent l’amelioration de la precision

des previsions, qui est resumee dans le tableau 7.4.

7.7 Simulation

Dans les sections precedentes, nous avons illustre l’amelioration de la qualite de

l’ajustement aux donnees qui resulte de la consideration de modeles de temps de

service plus realistes. Nous allons maintenant discuter les resultats des etudes de

163

simulation qui permettent d’evaluer l’impact de considerer les di↵erents modeles

de temps de service sur les mesures de performances dans un centre d’appels. Nous

avons considere le temps d’attente moyen (AWT) des appels et le niveau de service

(SL). Nous avons choisi de simuler seulement les vendredis, car pour ces journees

l’estimation du “ de la semaine des modeles A2 et A3 devrait avoir moins de bruit

du a la quantite de donnees observees pour son estimation.

Nous allons d’abord decrire comment les parametres des centres d’appels etudies

sont estimes. Dans la section 7.7.1, nous allons presenter comment sont simules les

processus d’arrivee, les temps de patience et les durees de service avec les di↵erents

modeles consideres qui sont B1, B2, A2 et A3.

7.7.1 Estimations des parametres

7.7.1.1 Les processus d’arrivee

Le processus d’arrivee pour chaque type d’appel est Poisson par morceaux, avec

un taux d’arrivee aleatoire gamma dans chaque intervalle de temps de 15 minutes,

et une copule normale pour modeliser la dependance entre ces taux. Ce modele est

bien explique dans Oreshkin et al. (2016), ou il y est egalement montre que ces

processus d’arrivees s’ajustent bien aux donnees d’arrivees pour ce centre d’appel

HQ. Nous avons utilise les donnees recueillies au centre d’appels pour estimer les

parametres du processus des di↵erents types d’appels utilises dans nos simulations.

7.7.1.2 Les temps de patience

Les temps de patience pour chaque type d’appel j du centre d’appels HQ sont

exponentiels de moyenne ‹

≠1j

estimee egalement sur des donnees reelles recueillies

au centre d’appels HQ.

7.7.1.3 Temps des temps de service

Soit F (k)i,j

toutes les informations dans les donnees jusqu’au jour k sur les paires

(i, j).

164

Modele B1 et B2. Pour simuler les temps de service des agents a la journee

(k + 1) avec les modeles B1 et B2, nous estimons la moyenne et la variance des

distributions log-normales pour les temps de service en utilisant F (k)i,j

a l’aide des

formules 7.1 et 7.2 de la section 7.4.1 pour predire ces parametres a la journee

(k + 1).

Modele A2. Notons que F (k)i,j

ne contient pas les valeurs de “

(wk)i,j

, puisque ceux-ci

ne peuvent pas etre observees. Avec le modele A2, nous savons que la moyenne des

temps de service au jour k + 1 est donne par :

M

(k+1)i,j

= —

i,j

+ “

wk+1i,j

+ ‹

(k+1)i,j

,

et si nous designons par ˆ

M

(k+1)i,j

=

ˆ

—

i,j

+ “

wk+1i,j

la valeur predite de M

(k+1)i,j

condi-

tionnelle a F (k)i,j

, ou ˆ

—

i,j

est la valeur estimee de —

i,j

et “

wki,j

la valeur de “

wki,j

predite

au jour k.

Pour simuler les temps de service S

(k+1,l)i,j

d’un agent i au jour k + 1 pour

le type d’appel j, conditionnelle a F (k)i,j

, nous simulons en premier µ

(k+1)i,j

qui est

normalement distribue de moyenne ˆ

M

(k+1)i,j

et de variance v

(k)i,j

. Notons par m

(k+1)i,j

cette valeur simulee. Ensuite, nous generons les valeurs S

(k+1,l)i,j

qui representent

les temps de service de l’agent i pour le type d’appel j par la distribution log-

normale d’esperance m

(k+1)i,j

et de variance ‡

2i,j

= n

(k)i,j

‡

2‹i,j

. Notons que v

(k)i,j

designe

une estimation de E[(“

(wk)i,j

≠ “

(wk)i,j

)

2] qui represente la variance sur l’estimation du

“

(wk)i,j

.

Pour l’estimation de v

(k)i,j

, nous pouvons utiliser deux methodes di↵erentes que

nous appelons Methode 1 et Methode 2. Pour la premiere methode, nous utili-

sons une formule mathematique et pour la deuxieme nous developpons une heuris-

tique.

165

Methode 1 :

Notons que :

E[(M

(k)i,j

≠ ˆ

M

(k)i,j

)

2] = E[((—

(k)i,j

≠ ˆ

—

(k)i,j

) + (“

(wk)i,j

≠ “

(wk)i,j

) + ‹

(k)i,j

)

2].

Nous pouvons calculer une estimation de E[(M

(k)i,j

≠ ˆ

M

(k)i,j

)

2] pour la journee k a

partir de donnees : Ceci est l’esperance du carre de la di↵erence entre le temps

de service moyen observe et sa valeur predite au jour k, c’est-a-dire le MSE. Desi-

gnons par e

(k)i,j

cette estimation du MSE. Ainsi, sans tenir compte de l’erreur dans

l’estimation de —

i,j

, une estimation de E[(“

(wk)i,j

≠ “

i,j

(wk))

2] est donnee par :

v

(k)i,j

= e

(k)i,j

≠ ‡

2‹i,j

/N,

ou N est la variable aleatoire du nombre d’appels de j repondus par l’agent i a la

journee k. Pour chaque paire (agent i, type d’appel j), nous pouvons estimer e

(k)i,j

de

deux manieres di↵erentes. Dans premier cas, nous estimons e

(k)i,j

en calculant le MSE

observe sur tous les jours en utilisant la moyenne du temps de service observee et

la moyenne predite. Dans le deuxieme cas, nous estimons e

(k)i,j

en calculant le MSE

en utilisant les moyennes observees et predites pour les vendredis seulement. Dans

les deux cas, e

(k)i,j

ne depend pas de k. Ainsi pour l’estimation du v

k

a la journee k,

nous utilisons la formule suivante

v

(k)i,j

= e

(k)i,j

≠ ‡

2‹

◊ E[1/N ].

Mais l’utilisation de cette methode d’estimation n’a pas fonctionne pour tous les

couples (i, j) car elle donne des valeurs aberrantes avec certains agents. Ce qui nous

fait dire qu’il y a eu beaucoup de bruit sur l’estimation de ‡

2‹i,j

.

Methode 2 :

Nous avons developpe une heuristique qui pour estimer v

(k)i,j

pour un jour de vendredi

utilise la distribution des erreurs sur l’estimation du “

wki,j

, et pour toute autre journee

166

di↵erente du vendredi exploite la structure du processus AR(1) pour estimer v

(k)i,j

.

Pour simplifier l’ecrire, nous utiliserons par la suite “ a la place de “

wki,j

et v

k

au

lieu de v

(k)i,j

.

Nous savons que l’erreur sur l’estimation du “ de la semaine w

k

diminue au

fur et a mesure que l’on avance dans la semaine, car d’autant plus que l’on avance

dans la semaine d’autant plus nous disposons de plus de donnees. La disponibilite

de beaucoup plus de donnees permet d’avoir une bonne estimation du “. Nous

voulons dire par la qu’il y a moins d’erreurs (en moyenne) dans l’estimation du “

de la semaine le jeudi soir que le lundi matin. En plus, a la fin de la journee du

jeudi, nous avons observe plus de 80% des donnees necessaire pour l’estimation du

“ de la semaine w

k

donc nous pouvons considerer que l’erreur sur l’estimation du “

est negligeable et considerer que “ ¥ “. Avec cette supposition, nous pouvons ainsi

facilement determiner la distribution des erreurs sur l’estimation du “ de la semaine

a la fin de la journee du jeudi. Ainsi, nous pouvons utiliser cette distribution des

erreurs pour calculer la variance empirique de v

k

pour la journee du vendredi.

A la fin de la journee du vendredi, nous pouvons a nouveau re-estimer “ qui

devrait correspondre au vrai “ de la semaine, donc plus precis que celui estime au

jeudi soir. Cette derniere valeur de “ peut etre utilisee avec le processus AR(1) pour

la prediction du v

k

pour les journees du lundi au jeudi de la semaine prochaine.

Ainsi pour toute journee di↵erente du vendredi, nous exploitons la structure du

processus AR(1) pour estimer v

k

. Ainsi nous obtenons que v

k

= fl

2.v

k≠1 + ‡

2Â

.

pour les vendredis. Nous avons utilise cette methode pour estimer v

k

dans nos

simulations.

Modele A3. Le modele A3 est similaire au modele A2, sauf que, dans le modele

A3, on fusionne les types d’appels alternatifs d’un agent ensemble et avons le meme

e↵et aleatoire hebdomadaire commun a tous les types traites par le meme agent.

Nous remplacons “

i,j

par “

i

et F (k)i,j

par F (k)i

dans les formules du modele A2.

Les tableaux 7.6 et 7.7 montrent les valeurs estimees de v

k

avec la Methode 1

et avec la Methode 2 respectivement, pour certaines paires (i, j) au vendredi de

167

la 45 ieme semaine de nos donnees. Dans chacun des tableaux, nous rapportons,

les valeurs de v

k

estimee en utilisant seulement les donnees des vendredis, mais

aussi les v

k

estimes en utilisant toutes les donnees. Nous rapportons aussi dans ces

tableaux les valeurs estimees de e

k

, ‡

2‹

, et E[1/N] qui sont utilises pour estimer

v

k

. Comme espere, nous observons dans les deux cas que les valeurs du MSE, e

k

,

sont en general plus petites en utilisant seulement les donnees des vendredis qu’en

utilisant les donnees de toutes les journees. Cependant nous constatons avec la

Methode 1, les v

k

estimes sont souvent negatifs que ce soit avec les donnees des

vendredis que ce soit avec les donnees sur toutes les journees. Ainsi nous pensons

que si la methode d’estimation de e

k

est correcte alors il y a beaucoup de biais dans

l’estimation ‡

2‹

.

Agent skill Tous les Vendredis Tous les jours

ek

‡2‹

E[1/n] vk

ek

‡2‹

E[1/N ] vk

1 F 5941 210088 0.062 -7236 16390 210088 0.064 2806

2 F 6450 172225 0.072 -6017 10092 172225 0.071 -2163

3 F 1666 113044 0.032 -2054 3309 113044 0.039 -1175

4 F 4095 115399 0.043 -899 4708 115399 0.045 -503

5 F 17877 222747 0.055 5467 15601 222747 0.058 2516

6 F 5534 131373 0.050 -1107 8195 131373 0.042 2664

7 F 5593 83064 0.050 1392 6157 83064 0.049 2005

8 F 3495 269650 0.034 -5879 10946 269650 0.040 101

9 F 2596 90411 0.052 -2150 6260 90411 0.056 1149

10 F 3609 186808 0.46 -4985 4888 186808 0.042 -3061

11 F 15102 129976 0.053 -8204 8680 129976 0.055 1456

12 F 8956 130946 0.056 1445 7729 130946 0.059 345

11 E 15102 129976 0.053 8204 8680 129976 0.055 1456

12 E 9356 128232 0.056 1445 7729 128232 0.059 745

Tableau 7.6 : Les valeurs de v

k


k

, ‡

2‹

, et E[1/N] pourcertains agents au vendredi de la semaine 45 pour le modele A3.

7.7.2 Impact des di↵erents modeles de temps de service sur les perfor-

mances

Notre objectif dans cette section est de quantifier les di↵erences dans les perfor-

mances moyennes du systeme a travers nos modeles alternatifs de temps de service.

168

Agent skill Mk

Mk

‡2k

vk

B1 B2 A2 A3 B1 B2 A2 A3 A2 A3

1 F 549 415 563 562 562 1895421 261328 209593 210088 80 76

2 F 649 415 500 500 501 1895421 138991 134835 172225 83 94

3 F 280 415 321 299 284 1895421 189993 107504 113044 38 81

4 F 523 415 367 386 395 1895421 145158 128098 115399 20 18

5 F 538 415 443 442 445 1895421 262364 220645 222747 60 67

6 F 427 415 461 422 430 1895421 244324 127759 131373 81 82

7 F 342 415 369 354 330 1895421 131124 73490 83064 281 168

8 F 446 415 480 447 449 1895421 296428 212969 269650 164 10

9 F 397 415 419 408 414 1895421 134825 105224 90411 74 152

10 F 387 415 424 424 424 1895421 200555 202556 186808 40 12

11 F 385 415 362 388 401 1895421 149662 126127 129976 92 94

12 F 453 415 409 487 499 1895421 105126 127125 130946 48 64

11 E 417 412 378 428 415 331230 157662 125483 129976 158 100

12 E 444 412 456 456 451 331230 158621 124253 128232 59 56

Tableau 7.7 : Les valeurs de v

k


k

, ‡

2‹

, et E[1/N] pourcertains agents au vendredi de la semaine 45 pour le modele A3 .

Ainsi, nous montrons que la modelisation e�cace des temps de service est egale-

ment importante d’un point de vue operationnel. Pour ce faire, nous considerons

un modele d’une petite partie du veritable centre d’appel HQ a partir de laquelle

nos donnees ont ete prises.

Nous considerons un modele avec deux types d’appels et deux groupes d’agents,

qui constitue un modele N pour le routage des appels. Les deux types d’appels sont

pour le meme type de service (lies a la facturation), mais l’un est en Francais (F)

et l’autre en Anglais (E). Le premier groupe (F, avec 10 agents, numerotes de 1 a

10) ne peut traiter que le premier type d’appel et le deuxieme groupe (EF, avec

2 agents, numerotee 11 et 12) peut traiter les deux types. Ainsi, les agents de F

ne repondent qu’aux appels en Francais et les agents de EF sont bilingues. Ces 12

agents sont ceux qui ont travaille sur chacune des journees de la semaine numero

45 dans notre ensemble de donnees et traite seulement ces deux types d’appels.

Le centre d’appels est ouvert de 8h a 18h. La journee est divisee en 40 periodes

de 15 minutes. Les taux d’arrivee reels des deux types d’appels ont ete revus a

la baisse pour tenir compte de notre petit nombre d’agents. Les tableaux 7.15 et

169

7.16 donnent le taux et la forme de la distribution gamma du processus d’arrivee,

respectivement, pour le type d’appel F et E. Les tableaux 7.17, 7.18, 7.19, et 7.20

donnent respectivement la matrice de correlation entre les taux pour les types F

et le type E. Le taux d’abandon est de 1.87 appel par heure pour le type d’appel

F et le taux d’abandon est de 1.57 appel par heure pour le type d’appel E. Nous

utilisons une politique de routage qui fonctionne comme suit. Les appels du meme

type sont de premier arrive, premier servi. Pour un type d’appel F, le routeur va

d’abord essayer de l’a↵ecter a un agent F libre. S’il n’y a pas d’agent libre, alors

le routeur va essayer de l’a↵ecter a un agent EF libre. Les agents EF donnent la

meme priorite aux deux types d’appels. Si un agent de ce groupe devient libre et

il y’a des appels dans les deux files d’attente, la priorite est donnee a l’appel qui

a attendu le plus longtemps. Le vecteur de sta�ng pour les 40 periodes pour les

agents F est donne dans le tableau 7.14. Le vecteur de sta�ng pour les agents EF

est 2 dans toutes les periodes.

La journee cible que nous voulons simuler est le vendredi de la semaine 45. Pour

chaque agent selectionne, et chaque competence des agents EF, nous estimons les

parametres des modeles B1, B2, A2 et A3 en nous basant sur toutes les donnees

recueillies jusqu’au jeudi de la semaine 45. (Nous avons omis le modele A1, car

il est domine par A2 et A3.) En utilisant ces parametres estimes, nous pouvons

generer des temps de service pour chaque agent pour cette journee du vendredi. La

sous-section 7.7.1 explique comment les temps de service qui sont de loi log-normale

sont generes pour chaque paire (agent i, type d’appel j). Le tableau 7.8 donne les

moyennes des temps de service observees pour ce vendredi, les moyennes predites

pour chaque modele, ‡

2 et ‡

2“

pour chaque agent et competence. Les agents 11 et

12 sont les agents EF. Les tableaux 7.9 et 7.10 donnent le RMSE et le MAPE des

erreurs de predictions pour les types F et E pour chaque modele.

Notre modele a ete simule pour r = 10 000 jours independants sous chaque

modele de temps de service avec tous les autres parametres du systeme inchanges.

Nous avons utilise l’inversion avec des nombres aleatoires communs a travers les

quatre modeles pour generer les temps de service de loi log-normale. Ainsi, la seule

170

Agent skill M M ‡2 ‡2“

B1 B2 A2 A3 B1 B2 A2 A3 A2 A3

1 F 549 415 563 562 562 1895421 261328 209593 210088 75731 74512

2 F 649 415 500 500 501 1895421 138991 134835 172225 233 6979

3 F 280 415 321 299 284 1895421 189993 107504 113044 2721 1752

4 F 523 415 367 386 395 1895421 145158 128098 115399 776 2885

5 F 538 415 443 442 445 1895421 262364 220645 222747 9040 4842

6 F 427 415 461 422 430 1895421 244324 127759 131373 320 2406

7 F 342 415 369 354 330 1895421 131124 73490 83064 1230 5495

8 F 446 415 480 447 449 1895421 296428 212969 269650 22 5217

9 F 397 415 419 408 414 1895421 134825 105224 90411 4226 2591

10 F 387 415 424 424 424 1895421 200555 202556 186808 4896 5710

11 F 385 415 362 388 401 1895421 149662 126127 129976 4039 41720

12 F 453 415 409 487 499 1895421 105126 127125 130946 4132 42530

11 E 417 412 378 428 415 331230 157662 125483 129976 13921 16347

12 E 444 412 456 456 451 331230 158621 124253 128232 14526 17340

Tableau 7.8 : Moyennes des temps de service observees M et predites ˆ

M , ‡

2 et ‡

2“

pour certains agents au vendredi de la semaine 45 pour chaque modele.

FModeles B1 B2 A2 A3RMSE 112.06 78.85 72.38 69.93

MAPE(%) 17.6 11.82 8.46 8.41

Tableau 7.9 : RMSE et MAPE des erreurs de predictions pour le type d’appel Fau vendredi de la semaine 45.

EModeles B1 B2 A2 A3RMSE 22.63 28.66 11.49 4.85

MAPE(%) 4 6 2 1

Tableau 7.10 : RMSE et MAPE des erreurs de predictions pour le type d’appel Eau vendredi de la semaine 45.

di↵erence entre les quatre modeles (dans les simulations) sont les moyennes et les

variances de la loi log-normale des temps de service. Nous avons calcule le AWT

W et le niveau de service L = SL(120) (la fraction des appels dont l’attente reelle

est inferieure ou egale a 120 secondes), pour chaque journee simulee. Le tableau

7.11 rapporte des intervalles de confiance de 95% pour E[W ] et E[L] sur la base de

171

ces r simulations, pour chaque modele et type d’appel. Le tableau 7.11 illustre les

di↵erences potentielles dans le SL et le AWT a travers les di↵erents modeles. Par

exemple, la di↵erence de la moyenne SL entre les modeles A2 et B2 est proche de

2% et la di↵erence entre le AWT des modeles A2 et B2 est proche de 4%. (comme

prevu, les di↵erences de AWT et SL comparees avec le modele B1 sont encore plus

grandes). Bien que de telles di↵erences peuvent apparaıtre minimes a premiere

vue, elles pourraient conduire a de grandes di↵erences de couts en pratique. Par

exemple, ACS Wireless a trouve que la diminution du AWT que de 0.6 secondes

peut conduire a des economies de 8 million de dollar par an (Hanks, 2014) dans un

cas particulier. En outre, de petites di↵erences de pourcentage dans le SL peuvent

signifier la di↵erence entre respecter et violer les accords de niveau de service, ce

qui peut entraıner des sanctions lourdes pour le centre d’appels. Ainsi, nos resul-

tats numeriques montrent que les di↵erents modeles de temps de service peuvent

conduire a di↵erentes moyennes de performances du systeme. Ces di↵erences pour-

raient potentiellement conduire a des reductions de couts importantes en pratique.

La figure 7.17 a�che les histogrammes des r valeurs de W et L avec chacun des

quatre modeles, pour chaque type d’appel. Pour les types types d’appels, nous ob-

servons que les distributions de W et de L sont tres similaires pour les modeles

A2 et A3 (elles ont presque les memes frequences). Leur di↵erence avec B2 est vi-

sible, mais elle n’est pas elevee. Par contre avec B1, nous observons une di↵erence

beaucoup plus grande.

Nos modeles de temps de service pourraient etre utilises dans la pratique pour

permettre une evaluation plus precise de la performance des di↵erents agents. Ceci,

a son tour, permet une meilleure classification des agents en groupes qui traitent

les di↵erents types d’appels. Dans la sous-section suivante, nous etudions les e↵ets

de la selection des agents.

7.7.3 Impact de la selection d’agents

Pour illustrer l’impact potentiel de la selection d’agent pour une journee donnee,

nous considerons maintenant des situations supplementaires pour les modeles B2,

172

SL (%) AWT (s)

Modele F E F E

B1 82.68 ± 0.31 56.17 ± 0.41 68.72 ± 1.40 261.80 ± 3.9

B2 78.28 ± 0.25 55.31 ± 0.40 73.76 ± 1.30 166.68 ± 2.00

A2 79.58 ± 0.23 55.91 ± 0.40 68.20 ± 1.23 160.06 ± 1.98

A3 79.26 ± 0.24 54.95 ± 0.40 69.75 ± 1.27 162.42 ± 1.99

Tableau 7.11 : Performances estimees et intervalles de confiance pour notre modeleN.

A2 et A3 (nous omettons le modele B1 car il suppose que tous les agents sont

identiques). Dans l’exemple precedent, les agents F nommes 1, 2 et 8 du tableau 7.8

sont lents. Nous remplacons ces trois agents F lents par trois agents F rapides. Nous

supposons que nous avons des doubles des agents rapides 3, 7 et 10, qui remplacent

respectivement nos agents lents 1, 2 et 8 dans l’exemple precedent. Comme dans

l’exemple precedent, nous avons simule r = 10 000 jours independants et calcule

W et L, pour chaque jour. Le tableau 7.12 rapporte des intervalles de confiance

a 95% pour E[W ] et E[L] sur la base de ces r simulations, pour chaque modele

et chaque type d’appel. Nous constatons qu’en comparant avec le tableau 7.11, les

performances sont nettement ameliorees dans le systeme, a travers tous les modeles

de temps de service. Nous notons egalement au passage que les di↵erences entre les

performances selon des modeles alternatifs sont plus grandes avec ce choix de groupe

d’agent. La Figure 7.18 a�che un histogramme des r valeurs de W pour chacun des

quatre modeles, pour chaque type d’appel. Contrairement au cas precedent, nous

observons ici une di↵erence importante entre les distributions du modele A2 et A3.

Il y a une di↵erence significative entre les modeles alternatifs et B2.

SL (%) AWT (s)

Modele F E F E

B2 83.25 ± 0.28 59.87 ± 0.37 57.57 ± 1.03 147.17 ± 1.80

A2 81.94 ± 0.31 58.38 ± 0.40 60.65 ± 1.11 151.50 ± 1.8

A3 85.38 ± 0.26 60.46 ± 0.37 48.89 ± 0.95 143.80 ± 1.69

Tableau 7.12 : Performance estimee et intervalles de confiance pour notre modeleN, avec des agents rapides.

173

F

Temps d’attente moyen (sec)

Frequ

ence

B1B2A2A3

0 40 80 140 200 260

01000

2000

3000

E


Frequ

ence

B1B2A2A3

0 120 300 480 660

01000

2000

3000

F

Niveau de service (%)

Frequ

ence

B1B2A2A3

10 30 50 70 90

01000

3000

E


Frequ

ence

B1B2A2A3

0 20 40 60 80 100

0500

1000

2000

Figure 7.17 : Histogramme du temps service moyen et niveau de service pour lestypes d’appels 1 et 2 avec tous les modeles.

Supposons maintenant que nous remplacons l’agent EF numero 11 par un clone

de l’agent 12 (le plus lent) dans notre exemple original, et nous repetons la meme

experience. Dans le tableau 7.13, nous presentons les resultats pour ce cas. La

comparaison du tableau 7.13 avec le tableau 7.11 montre que les performances

du systeme se sont degradees de facon significative, en depit du changement d’un

174

F


Frequ

ence

B1B2A2A3

0 40 80 120 160 200

01000

2000

3000

E


Frequ

ence

B1B2A2A3

0 120 240 360 480 600

01000

2000

3000

F


Frequ

ence

B1B2A2A3

20 40 60 80 100

01000

3000

5000

E


Frequ

ence

B1B2A2A3

0 20 40 60 80 100

0500

1000

2000

Figure 7.18 : Histogrammes du temps de service moyen et du niveau de servicepour les types d’appels 1 et 2 avec tous les modeles.

seul agent. Ainsi, nos resultats numeriques montrent que la selection des groupes

d’agents specifiques avec des vitesses de traitement di↵erentes, basee sur nos mo-

deles de temps de service, peut conduire a des di↵erences significatives dans les

performances du systeme. La figure 7.19 a�che les histogrammes des r valeurs de

175

W et L avec chacun des quatre modeles, pour chaque type d’appel. Elle montre

une di↵erence importante entre les distributions des modeles A2 et A3. Mais cette

fois, nous observons que les distributions de B2 et A2 sont tres similaires.

SL (%) AWT (s)

Modele F E F E

B2 76.54 ± 0.36 52.68 ± 0.40 78.89 ± 1.38 175.86 ± 2.02

A2 76.88 ± 0.36 52.68 ± 0.40 78.89 ± 1.38 175.86 ± 2.02

A3 76.13 ± 0.26 50.78 ± 0.36 76.48 ± 0.90 182.28 ± 1.65

Tableau 7.13 : Performance estimee et intervalles de confiance pour notre modeleN avec des agents EF lents.

Periodes Sta�ng

1 5

2 5

3 5

4 5

5 8

6 8

7 8

8 8

9 10

10 10

Periodes Sta�ng

11 10

12 10

13 10

14 10

15 10

16 10

17 9

18 9

19 9

20 9

Periodes Sta�ng

21 10

22 10

23 10

24 10

25 10

26 10

27 10

28 10

29 8

20 8

Periodes Sta�ng

31 8

32 8

33 8

34 8

35 8

36 8

37 6

38 6

39 6

40 6

Tableau 7.14 : Sta�ng des periodes les agents F

176

F


Frequ

ence

B1B2A2A3

0 40 80 120 160 200

01000

2000

3000

E


Frequ

ence

B1B2A2A3

0 120 240 360 480 600

01000

2000

3000

F


Frequ

ence

B1B2A2A3

20 40 60 80 100

01000

3000

5000

E


Frequ

ence

B1B2A2A3

10 30 50 70 90

01000

2000

3000

Figure 7.19 : Histogrammes du temps de service moyen et du niveau de servicepour les types d’appels 1 et 2 avec tous les modeles.

7.8 Conclusion et remarques

Dans ce chapitre, nous avons adopte une approche basee sur les donnees pour la

modelisation des temps de service dans les centres d’appels. Nous avons evalue la

177

Periodes Forme

´

Echelle

1 17.1 12.5

2 14.1 12.0

3 10.3 14.0

4 11.3 15.5

5 9.4 17.4

6 11.7 18.4

7 28.7 18.8

8 35.8 18.6

9 18.6 20.7

10 35.2 21.3

Periods Forme

´

Echelle

11 27.1 22.3

12 37.6 22.9

13 29.9 22.8

14 52.5 21.1

15 42.4 20.2

16 44.8 19.3

17 33.6 17.8

18 15.0 17.1

19 35.1 18.4

20 14.4 18.1

Periodes Forme

´

Echelle

21 38.4 20.1

22 18.4 19.5

23 13.9 19.0

24 16.4 19.1

25 16.8 19.5

26 33.9 19.3

27 24.5 19.7

28 36.7 19.2

29 54.3 19.7

30 40.6 19.9

Periodes Forme

´

Echelle

31 62.9 18.7

32 36.0 17.4

33 14.6 15.4

34 11.4 14.9

35 8.4 13.7

36 15.1 13.3

37 11.1 11.3

38 15.1 9.8

39 14.1 9.0

40 22.2 7.5

Tableau 7.15 : Parametres de forme et d’echelle des periodes pour la distributionGamma dans le processus d’arrivee pour type d’appel F.

qualite de l’ajustement aux donnees, a la fois dans l’echantillon et hors echantillon,

de plusieurs modeles de temps de service. Nos modeles integrent plusieurs proprietes

couramment observees dans la pratique telles que : (1) l’heterogeneite agent/type

d’appel, (2) une performance des agents dependant du temps, (3) l’existence de cor-

relations croisees/serielles dans les donnees. En general, nous avons constate que les

modeles qui exploitent ces proprietes sont superieurs aux modeles qui ne le font pas.

Pour demontrer l’avantage supplementaire de cette amelioration de la qualite de

l’ajustement, nous avons presente et discute les resultats d’experiences de simula-

tion qui ont montre que : (1) la selection de di↵erents modeles de temps de service,

peut avoir un impact significatif sur les performances moyennes du systeme, pou-

178

Periodes Forme

´

Echelle

1 4.8 0.3

2 5.4 0.3

3 6.2 0.3

4 6.4 0.4

5 8.2 0.5

6 8.8 0.5

7 9.6 0.5

8 10.4 0.5

9 10.6 0.6

10 9.9 0.6

Periodes Forme

´

Echelle

11 10.0 0.6

12 14.0 0.6

13 10.0 0.6

14 10.1 0.6

15 10.3 0.5

16 10.4 0.5

17 13.5 0.4

18 11.6 0.4

19 8.9 0.4

20 8.2 0.5

Periodes Forme

´

Echelle

21 6.5 0.5

22 10.3 0.6

23 8.7 0.5

24 11.4 0.5

25 10.8 0.5

26 9.7 0.5

27 14.8 0.5

28 11.2 0.5

29 12.1 0.5

30 17.1 0.5

Periodes Forme

´

Echelle

31 10.9 0.5

32 10.6 0.5

33 9.2 0.5

34 8.1 0.4

35 8.2 0.4

36 7.2 0.3

37 6.0 0.3

38 6.0 0.2

39 4.2 0.2

40 6.5 0.1

Tableau 7.16 : Parametres de forme et d’echelle des periodes pour la distributionGamma dans le processus d’arrivee pour type d’appel E.

vant conduire a d’importante reduction des couts, et (2) nos modeles de temps de

service peuvent etre utilises pour faciliter la classification des agents dans di↵erents

groupes, et les performances du systeme sous les di↵erents groupes peuvent etre

considerablement di↵erentes. Dans notre etude de simulation, nous avons considere

un centre d’appels relativement petit pour illustrer l’impact operationnel du aux

di↵erents modeles de temps de service. En realite, nous prevoyons que cet impact

sera plus marque dans les centres d’appels de taille petite et moyenne (d’une di-

zaine d’agents), et peut etre plus petit, du a l’e↵et de moyenne avec une population

d’agents tres grande. Neanmoins, les proprietes statistiques (des temps de service)

que nous avons observees dans notre ensemble de donnees devraient continuer a

179

etre observees, quelle que soit la taille du centre d’appels.

180

PeriodsP1P2P3P4P5P6 P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18P19P20

P1 1.00.50.20.50.20.2 0.50.40.30.4 0.3 0.3 0.5 0.5 0.4 0.3 0.4 0.2 0.3 0.5

P2 0.51.00.70.80.50.8 0.60.60.60.7 0.5 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.7 0.5 0.7 0.8

P3 0.20.71.00.60.60.6 0.70.60.70.7 0.5 0.6 0.7 0.6 0.7 0.6 0.7 0.7 0.8 0.7

P4 0.50.80.61.00.60.6 0.70.60.70.6 0.6 0.7 0.6 0.5 0.6 0.5 0.7 0.6 0.6 0.8

P5 0.20.50.60.61.00.4 0.70.50.70.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.6 0.7

P6 0.20.80.60.60.41.0 0.60.60.70.8 0.4 0.6 0.6 0.5 0.6 0.6 0.5 0.5 0.6 0.7

P7 0.50.60.70.70.70.6 1.00.70.70.7 0.4 0.6 0.7 0.6 0.8 0.6 0.7 0.6 0.7 0.8

P8 0.40.60.60.60.50.6 0.71.00.70.5 0.6 0.6 0.6 0.5 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

P9 0.30.60.70.70.70.7 0.70.71.00.6 0.5 0.6 0.6 0.5 0.6 0.5 0.6 0.7 0.7 0.7

P10 0.40.70.70.60.60.8 0.70.50.61.0 0.6 0.8 0.6 0.8 0.7 0.8 0.8 0.5 0.8 0.7

P11 0.30.50.50.60.60.4 0.40.60.50.6 1.0 0.9 0.7 0.8 0.6 0.9 0.8 0.7 0.8 0.6

P12 0.30.70.60.70.60.6 0.60.60.60.8 0.9 1.0 0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.7 0.9 0.8

P13 0.50.70.70.60.50.6 0.70.60.60.6 0.7 0.8 1.0 0.8 0.8 0.7 0.8 0.7 0.8 0.8

P14 0.50.60.60.50.50.5 0.60.50.50.8 0.8 0.9 0.8 1.0 0.8 0.9 0.9 0.6 0.9 0.8

P15 0.40.60.70.60.60.6 0.80.40.60.7 0.6 0.8 0.8 0.8 1.0 0.8 0.9 0.8 0.9 0.8

P16 0.30.60.60.50.60.6 0.60.50.50.8 0.9 0.9 0.7 0.9 0.8 1.0 0.9 0.7 0.9 0.7

P17 0.40.70.70.70.70.5 0.70.50.60.8 0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9 1.0 0.8 0.9 0.8

P18 0.20.50.70.60.70.5 0.60.50.70.5 0.7 0.7 0.7 0.6 0.8 0.7 0.8 1.0 0.8 0.8

P19 0.30.70.80.60.60.6 0.70.50.70.8 0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 1.0 0.8

P20 0.50.80.70.80.70.7 0.80.50.70.7 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.7 0.8 0.8 0.8 1.0

P21 0.40.80.60.50.50.7 0.60.60.50.7 0.4 0.6 0.6 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.7 0.8

P22 0.30.60.50.30.40.7 0.60.40.60.6 0.4 0.5 0.6 0.5 0.8 0.5 0.6 0.6 0.6 0.6

P23 0.40.60.50.60.40.5 0.50.50.50.6 0.4 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.5

P24 0.00.60.70.60.50.8 0.70.50.70.7 0.5 0.6 0.6 0.6 0.7 0.6 0.7 0.7 0.7 0.7

P25 0.10.60.70.70.70.7 0.70.50.70.7 0.6 0.8 0.7 0.7 0.8 0.7 0.8 0.8 0.8 0.8

P26 0.10.60.80.50.60.6 0.60.60.70.7 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.8 0.8 0.9 0.6

P27 0.20.70.70.60.70.7 0.80.60.60.7 0.7 0.8 0.7 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.8 0.7

P28 0.10.50.50.70.60.4 0.60.40.50.6 0.8 0.8 0.6 0.7 0.6 0.7 0.9 0.7 0.7 0.6

P29 0.40.40.30.40.20.3 0.50.20.20.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.6 0.6 0.7 0.4 0.6 0.5

P30 0.50.50.50.50.40.4 0.50.40.40.7 0.8 0.9 0.8 1.0 0.7 0.8 0.8 0.5 0.8 0.7

P31 0.50.40.30.40.40.2 0.40.30.30.6 0.8 0.8 0.7 0.9 0.6 0.8 0.8 0.5 0.7 0.5

P32 0.10.30.30.30.30.2 0.30.10.20.5 0.6 0.5 0.3 0.5 0.4 0.5 0.6 0.4 0.5 0.3

P33 0.20.40.40.60.50.5 0.70.60.50.5 0.4 0.5 0.4 0.3 0.5 0.4 0.5 0.4 0.4 0.5

P34 0.30.60.60.70.60.5 0.80.60.60.7 0.5 0.7 0.5 0.6 0.6 0.6 0.8 0.6 0.7 0.7

P35 0.30.50.60.50.40.5 0.60.60.60.6 0.6 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.7 0.6 0.7 0.6

P36 0.50.50.60.50.40.3 0.60.60.60.6 0.5 0.7 0.8 0.8 0.6 0.6 0.7 0.5 0.7 0.6

P37 0.60.70.60.70.50.4 0.50.60.60.7 0.6 0.8 0.8 0.8 0.6 0.7 0.8 0.6 0.8 0.7

P38 0.50.60.40.50.30.2 0.30.60.40.6 0.5 0.6 0.6 0.6 0.3 0.5 0.5 0.4 0.6 0.5

P39 0.50.30.10.20.0-0.10.10.10.10.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.3 0.5 0.4 0.2 0.4 0.4

P40 0.70.40.30.40.20.1 0.30.30.20.6 0.5 0.5 0.5 0.8 0.4 0.6 0.6 0.3 0.6 0.5

Tableau 7.17 : Matrice de correlation entre les taux d’arrivee pour le type d’appelF partie 1.

181

PeriodesP21P22P23P24P25P26P27P28P29P30P31P32P33P34P35P36P37P38P39P40

P1 0.4 0.3 0.4 0.0 0.1 0.1 0.2 0.1 0.4 0.5 0.5 0.1 0.2 0.3 0.3 0.5 0.6 0.5 0.5 0.7

P2 0.8 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.7 0.5 0.4 0.5 0.4 0.3 0.4 0.6 0.5 0.5 0.7 0.6 0.3 0.4

P3 0.6 0.5 0.5 0.7 0.7 0.8 0.7 0.5 0.3 0.5 0.3 0.3 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.1 0.3

P4 0.5 0.3 0.6 0.6 0.7 0.5 0.6 0.7 0.4 0.5 0.4 0.3 0.6 0.7 0.5 0.5 0.7 0.5 0.2 0.4

P5 0.5 0.4 0.4 0.5 0.7 0.6 0.7 0.6 0.2 0.4 0.4 0.3 0.5 0.6 0.4 0.4 0.5 0.3 0.0 0.2

P6 0.7 0.7 0.5 0.8 0.7 0.6 0.7 0.4 0.3 0.4 0.2 0.2 0.5 0.5 0.5 0.3 0.4 0.2 -0.10.1

P7 0.6 0.6 0.5 0.7 0.7 0.6 0.8 0.6 0.5 0.5 0.4 0.3 0.7 0.8 0.6 0.6 0.5 0.3 0.1 0.3

P8 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6 0.6 0.4 0.2 0.4 0.3 0.1 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.1 0.3

P9 0.5 0.6 0.5 0.7 0.7 0.7 0.6 0.5 0.2 0.4 0.3 0.2 0.5 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.1 0.2

P10 0.7 0.6 0.6 0.7 0.7 0.7 0.7 0.6 0.5 0.7 0.6 0.5 0.5 0.7 0.6 0.6 0.7 0.6 0.4 0.6

P11 0.4 0.4 0.4 0.5 0.6 0.8 0.7 0.8 0.6 0.8 0.8 0.6 0.4 0.5 0.6 0.5 0.6 0.5 0.4 0.5

P12 0.6 0.5 0.5 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.6 0.9 0.8 0.5 0.5 0.7 0.7 0.7 0.8 0.6 0.4 0.5

P13 0.6 0.6 0.4 0.6 0.7 0.7 0.7 0.6 0.7 0.8 0.7 0.3 0.4 0.5 0.7 0.8 0.8 0.6 0.4 0.5

P14 0.7 0.5 0.5 0.6 0.7 0.7 0.7 0.7 0.8 1.0 0.9 0.5 0.3 0.6 0.7 0.8 0.8 0.6 0.6 0.8

P15 0.7 0.8 0.6 0.7 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.7 0.6 0.4 0.5 0.6 0.6 0.6 0.6 0.3 0.3 0.4

P16 0.6 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.7 0.7 0.6 0.8 0.8 0.5 0.4 0.6 0.6 0.6 0.7 0.5 0.5 0.6

P17 0.6 0.6 0.5 0.7 0.8 0.8 0.8 0.9 0.7 0.8 0.8 0.6 0.5 0.8 0.7 0.7 0.8 0.5 0.4 0.6

P18 0.5 0.6 0.5 0.7 0.8 0.8 0.7 0.7 0.4 0.5 0.5 0.4 0.4 0.6 0.6 0.5 0.6 0.4 0.2 0.3

P19 0.7 0.6 0.4 0.7 0.8 0.9 0.8 0.7 0.6 0.8 0.7 0.5 0.4 0.7 0.7 0.7 0.8 0.6 0.4 0.6

P20 0.8 0.6 0.5 0.7 0.8 0.6 0.7 0.6 0.5 0.7 0.5 0.3 0.5 0.7 0.6 0.6 0.7 0.5 0.4 0.5

P21 1.0 0.6 0.4 0.7 0.7 0.6 0.5 0.3 0.4 0.5 0.4 0.2 0.5 0.6 0.6 0.5 0.6 0.5 0.3 0.4

P22 0.6 1.0 0.5 0.6 0.7 0.6 0.6 0.4 0.3 0.4 0.3 0.3 0.5 0.4 0.4 0.3 0.4 0.2 0.1 0.1

P23 0.4 0.5 1.0 0.6 0.6 0.4 0.6 0.5 0.1 0.3 0.3 0.4 0.6 0.5 0.5 0.4 0.5 0.4 0.2 0.3

P24 0.7 0.6 0.6 1.0 0.8 0.8 0.8 0.7 0.4 0.5 0.3 0.5 0.7 0.7 0.7 0.5 0.5 0.4 0.1 0.2

P25 0.7 0.7 0.6 0.8 1.0 0.8 0.8 0.8 0.4 0.6 0.4 0.5 0.7 0.7 0.6 0.5 0.6 0.3 0.1 0.2

P26 0.6 0.6 0.4 0.8 0.8 1.0 0.8 0.7 0.5 0.7 0.6 0.6 0.4 0.7 0.6 0.5 0.6 0.4 0.2 0.3

P27 0.5 0.6 0.6 0.8 0.8 0.8 1.0 0.8 0.4 0.6 0.5 0.5 0.6 0.7 0.7 0.5 0.5 0.4 0.1 0.2

P28 0.3 0.4 0.5 0.7 0.8 0.7 0.8 1.0 0.7 0.7 0.7 0.7 0.6 0.7 0.5 0.5 0.6 0.4 0.3 0.4

P29 0.4 0.3 0.1 0.4 0.4 0.5 0.4 0.7 1.0 0.9 0.9 0.6 0.2 0.4 0.4 0.7 0.6 0.4 0.6 0.7

P30 0.5 0.4 0.3 0.5 0.6 0.7 0.6 0.7 0.9 1.0 0.9 0.5 0.3 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.8

P31 0.4 0.3 0.3 0.3 0.4 0.6 0.5 0.7 0.9 0.9 1.0 0.7 0.2 0.5 0.6 0.8 0.7 0.7 0.8 0.9

P32 0.2 0.3 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7 1.0 0.4 0.5 0.3 0.3 0.5 0.5 0.5 0.5

P33 0.5 0.5 0.6 0.7 0.7 0.4 0.6 0.6 0.2 0.3 0.2 0.4 1.0 0.8 0.5 0.3 0.3 0.2 0.0 0.1

P34 0.6 0.4 0.5 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.4 0.6 0.5 0.5 0.8 1.0 0.7 0.6 0.6 0.5 0.3 0.5

P35 0.6 0.4 0.5 0.7 0.6 0.6 0.7 0.5 0.4 0.7 0.6 0.3 0.5 0.7 1.0 0.8 0.7 0.5 0.4 0.5

P36 0.5 0.3 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.7 0.9 0.8 0.3 0.3 0.6 0.8 1.0 0.8 0.6 0.7 0.7

P37 0.6 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.5 0.6 0.6 0.8 0.7 0.5 0.3 0.6 0.7 0.8 1.0 0.9 0.7 0.8

P38 0.5 0.2 0.4 0.4 0.3 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.7 0.5 0.2 0.5 0.5 0.6 0.9 1.0 0.8 0.8

P39 0.3 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.3 0.6 0.7 0.8 0.5 0.0 0.3 0.4 0.7 0.7 0.8 1.0 0.9

P40 0.4 0.1 0.3 0.2 0.2 0.3 0.2 0.4 0.7 0.8 0.9 0.5 0.1 0.5 0.5 0.7 0.8 0.8 0.9 1.0

Tableau 7.18 : Matrice de correlation entre les taux d’arrivee pour le type d’appelF partie 2.

182


P1 1.00.90.90.80.81.01.01.00.91.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0

P2 0.91.00.91.00.90.90.90.90.90.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9

P3 0.90.91.01.00.90.90.90.90.90.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

P4 0.81.01.01.00.90.90.90.90.90.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9

P5 0.80.90.90.91.00.90.90.90.90.8 0.8 0.8 0.7 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8

P6 1.00.90.90.90.91.01.01.01.01.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P7 1.00.90.90.90.91.01.01.01.01.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0

P8 1.00.90.90.90.91.01.01.01.01.0 1.0 1.0 0.9 1.0 0.9 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0

P9 0.90.90.90.90.91.01.01.01.01.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

P10 1.00.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

P11 0.90.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 0.9 0.8 0.9 0.9 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0

P12 0.90.90.90.90.80.90.91.01.01.0 0.9 1.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9

P13 0.90.80.80.80.70.90.90.90.90.9 0.8 0.9 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9

P14 1.00.80.80.80.81.01.01.01.01.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P15 1.00.80.80.80.81.01.00.91.01.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P16 1.00.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P17 0.90.80.90.80.81.00.90.91.01.0 0.9 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P18 0.90.90.90.90.80.90.91.01.01.0 0.9 1.0 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 1.0 0.9 0.9

P19 1.00.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P20 1.00.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P21 1.00.80.80.80.81.01.00.91.01.0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P22 1.00.80.80.80.80.90.90.91.01.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P23 1.00.90.80.80.81.01.01.01.01.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P24 0.90.80.80.80.70.91.00.90.90.9 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9

P25 1.00.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P26 1.00.80.80.80.81.01.01.01.01.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P27 1.00.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P28 1.00.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P29 1.00.80.80.80.81.01.01.01.01.0 0.9 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P30 1.00.80.80.80.71.01.01.00.91.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P31 0.90.80.80.70.80.90.90.90.90.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9

P32 1.00.90.90.80.81.01.00.91.01.0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P33 1.00.80.80.80.81.01.00.91.01.0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P34 0.70.80.80.80.70.80.80.90.90.9 0.8 0.9 0.8 0.8 0.7 0.8 0.8 1.0 0.9 0.8

P35 0.90.80.70.70.60.80.90.90.90.9 0.8 0.8 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9

P36 0.90.80.90.90.80.90.90.91.01.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

P37 1.00.90.90.90.81.01.00.91.01.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0

P38 0.90.70.80.80.60.90.80.80.90.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

P39 0.90.80.80.80.70.90.80.80.90.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9

P40 1.00.90.90.90.81.01.01.01.01.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0

Tableau 7.19 : Matrice de correlation entre les taux d’arrivee pour le type d’appelE partie 1.

183


P1 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.7 0.9 0.9 1.0 0.9 0.9 1.0

P2 0.8 0.8 0.9 0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.9 0.8 0.8 0.8 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9

P3 0.8 0.8 0.8 0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.9 0.8 0.8 0.7 0.9 0.9 0.8 0.8 0.9

P4 0.8 0.8 0.8 0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.8 0.8 0.8 0.7 0.9 0.9 0.8 0.8 0.9

P5 0.8 0.8 0.8 0.7 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.7 0.8 0.8 0.8 0.7 0.6 0.8 0.8 0.6 0.7 0.8

P6 1.0 0.9 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.8 0.9 1.0 0.9 0.9 1.0

P7 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 0.9 1.0 0.8 0.8 1.0

P8 0.9 0.9 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 1.0

P9 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P10 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P11 0.9 0.9 0.9 0.9 1.0 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.9 1.0 0.9 0.9 1.0

P12 0.9 0.9 0.9 0.8 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

P13 1.0 0.9 0.9 0.9 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 0.8 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

P14 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P15 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.7 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P16 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P17 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 0.9 0.9 0.9 1.0

P18 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9 1.0 0.8 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9

P19 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P20 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P21 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.8 0.9 0.9 1.0 0.9 0.9 1.0

P22 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 0.9 0.9 0.9 1.0

P23 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 0.9 1.0 0.9 0.9 1.0

P24 0.9 0.9 1.0 1.0 0.9 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.7 0.8 0.8 0.9 0.8 0.7 0.9

P25 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P26 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.8 0.9 0.9 1.0 0.9 0.9 1.0

P27 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P28 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P29 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 1.0

P30 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 1.0

P31 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 0.9 1.0 0.9 1.0 0.9 1.0 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9

P32 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P33 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 0.9 0.9 0.9 1.0

P34 0.8 0.8 0.8 0.7 0.8 0.8 0.8 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.8 1.0 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8

P35 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 1.0 0.8 0.8 0.9 0.8 0.9

P36 0.9 1.0 0.9 0.8 1.0 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 1.0 1.0 0.8 0.8 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

P37 1.0 0.9 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 1.0 0.9 0.7 0.8 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

P38 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.7 0.9 1.0 0.9 1.0 1.0 0.9

P39 0.9 0.9 0.9 0.7 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.8 0.9 0.9 0.7 0.8 1.0 0.9 1.0 1.0 0.9

P40 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 1.0 1.0 0.8 0.9 1.0 1.0 0.9 0.9 1.0

Tableau 7.20 : Matrice de correlation entre les taux d’arrivee pour le type d’appelE partie 2.

184

CHAPITRE 8

CONCLUSION

Les systemes de service de la vie reelle sont souvent tres complexes. Il y a beau-

coup de sources d’incertitudes qui rendent leur analyse complexe et di�cile. Dans

cette these, nous nous sommes interesses a deux problemes dans les centres d’appels

multi-competences. Le premier est la prediction du temps d’attente des clients des

leur arrivee. Le second est la modelisation des durees de service. Pour chacun des

problemes, nous avons propose des solutions dont les tests ont donne des resultats

tres satisfaisants (car les performances obtenues avec nos nouvelles solutions sont

largement meilleures que celles des solutions deja existantes). Dans cette conclu-

sion, nous resumons les contributions principales de cette these et proposons des

pistes de recherche.

Nous avons propose des predicteurs qui utilisent les algorithmes d’apprentis-

sage machine (RS, SK, ANN) pour les systemes multi-competences au chapitre 4.

Nos predicteurs retournent une estimation ponctuelle du temps d’attente basee sur

une approximation de l’esperance conditionnelle du temps d’attente conditionnelle

a l’etat actuel du systeme quand le client entre dans la file. Cet etat actuel est

represente par un vecteur d’information (entree) x qui est defini pour chaque type

d’appel k par la longueur de la file d’attente, les longueurs des files des types servis

par les memes agents, la periode d’arrivee de l’appel, et du vecteur de sta�ng des

groupes. Dans nos experiences numeriques, pour les systemes multi-competences,

les trois predicteurs RS, SK et ANN sont beaucoup plus precis que la meilleure

strategie existante que nous connaissons dans la litterature, LES, qui retourne le

temps d’attente du dernier client du meme type qui a commence son service. Pour

les systemes a file d’attente unique avec des agents homogenes et temps de ser-

vice exponentiels (FILE 1), les predicteurs RS, SK et ANN ont une precision tres

similaire a celle du predicteur optimal QL. Dans les systemes a file uniques (cas

des centres d’appels) les plus realistes avec des agents heterogenes et des durees de

service de loi log-normale (FILE 2), les nouveaux predicteurs sont largement plus

precis que QL.

Au chapitre 5, nous etendons la famille de predicteurs de delais DH en intro-

duisant deux nouveaux predicteurs de delai, bases sur des heuristiques simples.

Le premier predicteur (E-LES) exploite l’information de delais plus recente, mais

incomplete des clients toujours en attente dans la file d’attente . Leurs temps d’at-

tente finaux sont estimes a l’aide d’une simple extrapolation de leur progression

dans la file d’attente. L’autre predicteur (AvgC-LES) une version empirique de

la formule QL dans le contexte des systemes multi-competences, en utilisant des

donnees historiques. Pour chaque taille de file d’attente, une esperance condition-

nelle des temps d’attente est estimee a partir des delais passes de clients qui ont

trouve la meme longueur de file d’attente devant eux quand ils sont arrives. Dans

les systemes FILE 1, nos nouveaux predicteurs sont meilleurs que les autres predic-

teurs DH que nous connaissons, et en plus nous observons que AvgC-LES est tres

proche du predicteur optimal QL. Dans les systemes FILE 2, E-LES et AvgC-LES

en plus d’etre meilleurs que les autres predicteurs DH, sont largement plus precis

que QL. Pour les systemes multi-competence plus realistes, qui ont generalement

des taux d’arrivee et des sta�ng variables dans le temps, E-LES et AvgC-LES per-

forment egalement mieux que les autres predicteurs DH. Bien qu’ils ne battent pas

les methodes de l’apprentissage machine, leur avantage est qu’ils sont plus simples

a mettre en œuvre, ont peu de parametres, et ne necessitent aucune phase d’en-

traınement. Ils representent des alternatives simples interessantes aux predicteurs

plus complexes.

Enfin, au chapitre 7, nous avons propose des modeles pour les temps de ser-

vice qui integrent plusieurs proprietes observees en pratique dans les donnees. Les

proprietes prises en compte dans les modeles sont : l’heterogeneite des agents, la

dependance du temps des durees de service, et les correlations serielles et croisees

entre les temps de service d’un meme agent. Les nouveaux modeles s’ajustent mieux

aux donnees que les autres modeles qui n’integrent pas ces proprietes. Pour demon-

trer l’avantage supplementaire de cette amelioration de la qualite de l’ajustement,

186

nous avons presente et discute les resultats d’experiences de simulation qui ont

montre que : (i) la selection de di↵erents modeles de temps de service peut avoir un

impact significatif sur les performances moyennes du systeme, pouvant conduire a

d’importantes reductions des couts, (ii) nos modeles de temps de service peuvent

etre utilises pour faciliter la classification des agents dans di↵erents groupes, et les

performances du systeme sous les di↵erents groupes peuvent etre considerablement

di↵erentes. Ces travaux sur les durees de service ont ete faits en collaboration et

publies dans Ibrahim et al. (2016b).

Plusieurs travaux futurs meritent d’etre consideres. Pour la prediction de delai,

nous pensons qu’il serait interessant d’etudier les e↵ets des annonces de delai (esti-

mes par les predicteurs proposes dans cette these) sur le comportement des clients

et les performances du systeme.

Il serait aussi interessant d’etudier les performances des nouveaux predicteurs

proposes dans un centre d’appels reel. Pour les predicteurs qui utilisent l’appren-

tissage machine, cela pourrait se faire a travers des experiences avec les donnees du

systeme de la vie reelle pour lesquelles toutes les informations necessaires a la mise

en œuvre des predicteurs sont disponibles (entree x pour chaque client et sortie y

qui est le temps d’attente reellement observe). Pour les predicteurs DH simples a

mettre en oeuvre, nous pouvons les implementer dans le systeme et observer leurs

performances a la fin de la journee.

Au chapitre 6, nous avons presente des idees pour adapter les predicteurs QL

dans les centres d’appels multi-competences. Nous proposons une representation

alternative du centre d’appels multi-competences en K modeles de files d’attente

independantes ou K est le nombre de types d’appels du centre d’appels. Ainsi pour

chaque type d’appel, nous aurons un centre d’appels independant avec un seul

type d’appel et un groupe d’agents qui traite les appels. La principale di�culte

est de trouver des methodes e�caces qui permettent d’estimer le nombre d’agents

pour chacun des modeles afin d’avoir l’equivalence des deux systemes. Nous avons

deja donne quelques idees, mais il est necessaire d’etudier leurs e�cacites et aussi

eventuellement chercher d’autres methodes.

187

Nous croyons egalement qu’il serait interessant de developper des methodes qui

predisent et annoncent non pas une estimation ponctuelle du temps d’attente (une

estimation de l’esperance), mais plutot une estimation de la distribution condition-

nelle du delai ou au moins certains de ses quantiles. L’annonce de cette distribution

va permettre au client de prendre une decision plus eclairee, car les informations

qui sont a sa disposition vont etre beaucoup plus completes.

Pour la modelisation des durees de service, une direction possible de recherche

future est d’envisager des modeles alternatifs similaires qui integrent les e↵ets alea-

toires, journaliers, ou intra-journaliers lors de la modelisation des temps de service

individuels. Pour ce faire, il faut avoir acces a un ensemble de donnees appel par

appel detaille. Compte tenu des resultats obtenus a la section 7.6, nous prevoyons

que ces modeles conduisent a des previsions plus precises de la future moyenne des

temps de service dans le systeme. Avec un ensemble de donnees appel par appel

detaille, il serait egalement possible de tester la precision de la qualite de l’ajuste-

ment et predictive de ces modeles au-dela du temps de service moyen. Autrement

dit, nous pourrons tester dans quelle mesure ces modeles s’ajustent a la totalite

des distributions des temps de services individuels dans le systeme. En e↵et, les

decisions operationnelles complexes dans les centres d’appels vont compter sur des

modeles qui s’ajustent et predisent avec precision ces distributions.

En fait, comme on avait deja discute, il faudrait modeliser directement les para-

metres de la loi de probabilite de la duree de service de chaque agent, qui peuvent

etre aleatoires et evoluer dans le temps. Dans nos donnees, nous observons les

moyennes des durees de service de chaque agent par journee. Sachant que la dis-

tribution log-normale s’ajuste mieux aux donnees des durees du service dans les

centres d’appels alors il est preferable de modeliser les parametres d’echelle Ÿ et de

forme ‡ de cette distribution a partir des moyennes observees. Ce serait beaucoup

plus naturel et pratique.

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