université de limoges département de mathématiques

Universite de Limoges

Departement de mathematiques

TOPOLOGIE

ET ANALYSE FONCTIONNELLE

Licences MATH et MASS

semestre 5

annnee universitaire 2005 - 2006

Driss BOULARAS

Table des matieres

1 Espaces metriques 51.1 Definitions de base et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Distances, espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Une classe importante d’espaces metriques : les espaces vectoriels normes 61.1.3 Boules ouvertes et boules fermees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Interieur, adherence et frontiere d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Points interieurs, points adherents, points d’accumulation et points isoles 71.2.2 Parties ouvertes et parties fermees, voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Parties bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Les suites dans les espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Definitons et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Limite d’une suite d’elements d’un espace metrique . . . . . . . . . . . . . 121.4.3 Caracterisation des points adherents et d’accumulation a l’aide des suites 131.4.4 Suites extraites, valeurs d’adherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.5 Suites de Cauchy, espaces metriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Notes historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Complements sur les espaces metriques 172.1 Distances equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Produit cartesien d’espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Diametre d’une partie et distance entre deux parties . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Sous-espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Continuite, compacite et connexite 213.1 Applications continues dans les espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Definitions, exemples et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Homeomorphismes, applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.3 Continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.4 Theoreme du point fixe et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.5 Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Ensembles compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.1 Definitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2 Theoremes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Compacite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Ensembles connexes et connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

4 TABLE DES MATIERES

3.3.1 Rappels sur les ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2 Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.3 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.4 Connexite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.5 Ensembles connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chapitre 1

Espaces metriques

1.1 Definitions de base et exemples

1.1.1 Distances, espaces metriques

On designe par R+ l’ensemble des nombres reels positifs ou nul et par R∗+ l’ensemble des nombresreels strictement positifs.

Definition 1 Soit E un ensemble non vide. On appelle distance sur E toute application d :E × E → R+ qui verifie les proprietes suivantes :

1. ∀x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x),

2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y,

3. ∀x, y, z ∈ E, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Definition 2 On appelle espace metrique tout couple (E, d) ou E est un ensemble non vide etd une distance.

Parfois, une distance est appelee metrique.

Premiers exemples

1. L’application δ : R× R → R+ definie par δ(x, y) = |x − y| est une distance (a verifier).

2. On definit l’application δ′ : N∗ ×N∗ → R+ par δ′(n, m) = | 1m− 1

n|. Montrer que (N, δ′)

est un espace metrique.

3. Verifier que l’application d : E × E → R+ definie par

d(x, y) =

{0 si x = y,

1 sinon

est une distance. On l’appelle distance triviale (ou discrete).Soit a un point de E. Au sens de cette distance, tous les points de E differents de a sontequidistants de a.

5

6 CHAPITRE 1. ESPACES METRIQUES

1.1.2 Une classe importante d’espaces metriques : les espaces vectoriels normes

Definition 3 Soit E un espace vectoriel sur le corps des nombres reels R. On appelle normesur E, toute application

N : E (−→ R+

qui verifie les proprietes suivantes :

1. N(x) = O si, et seulement si, x = OE,

2. ∀λ ∈ R, ∀x ∈ E, on a N(λx) = |λ|N(x),

3. ∀x, y, ∈ E, N(x + y) ≤ N(x) + N(y).

Exemples

1. Commencons par trois exemples classiques de norme. On pose E = Rn et

N1(x) =n∑

1

|xi|, N2(x) =

√√√√n∑

1

(xi)2, N∞(x) = maxi=1,...,n

(|xi|).

Ces trois applications definissent des normes dans Rn (a montrer). Que deviennent-elleslorsque n = 1?

2. Ces trois normes possedent leures analogues dans l’espace vectoriel des fonctions reellescontinues sur l’intervalle [a, b], note E = C([a, b], R). On verifie que les applications

N1, N2, N∞ : C([a, b]) (−→ R+,

definies par

N1(f) =∫ b

a|f(t)| dt N2(f) =

√∫ b

a|f(t)|2 dt et N∞(f) = sup

t∈[a,b]|f(t)|

sont des normes.La derniere est appelee norme de la convergence uniforme. On justifiera cette denominationplus tard, lorsqu’on etudiera les suites dans les espaces metriques.

Definition 4 Un espace vectoriel E sur R muni d’une norme N ou ||.|| est appele espace vec-toriel norme. On le note (E,N) ou (E, ||.||).

Remarque Les normes Ni, i ∈ {1, 2, 3}, definies ci-dessus, verifient les inegalites :

∀ j = 1, . . . ,m, |xj | ≤ Ni(x) = N(x1, . . . , xm).

Theoreme 1 Un espace vectoriel norme a une structure d’espace metrique.

Preuve. Il suffit de montrer que l’application d : E ×E → R+ definie par d(x, y) = N(x − y)verifie les trois axiomes de la distance. Cette distance est appelle distance induite par la normeN .Ainsi, toutes les proprietes des espaces metriques sont applicables aux espaces vectoriels normes.

1.2. INTERIEUR, ADHERENCE ET FRONTIERE D’UN ENSEMBLE 7

1.1.3 Boules ouvertes et boules fermees

Definition 5 Soit (E, d) un espace metrique. On appelle boule ouverte de centre a ∈ E et derayon r ∈ R+, la partie de E, notee B(a, r) et definie par

B(a, r) = {x ∈ E; d(a, x) < r}.

On appelle boule fermee de centre a ∈ E et de rayon r ∈ R+, la partie de E, notee B(a, r) etegale a

B(a, r) = {x ∈ E; d(a, x) ≤ r}).

Il est clair que B(a, r) ⊂ B(a, r).

Exemples :

1. Decrire les boules ouvertes et fermees de l’espace metrique (E, d) ou E est l’intervalle[−1, 1] et d, la distance usuelle.

2. Dans l’ensemble R muni de la valeur absolue, les intervalles ouverts ]α,β[ sont des boules

ouvertes de centresα + β

2et de rayon

β − α

23. Une boule ouverte (fermee) de (R2, d2) est le disque habituel sans le contour (avec le

contour).Qu’en-est-il des boules ouvertes ou fermees dans (R2, d1) et (R2, d∞) ?

1.2 Interieur, adherence et frontiere d’un ensemble

1.2.1 Points interieurs, points adherents, points d’accumulation et pointsisoles

Definition 6 Soit (E, d) un espace metrique et A une partie de E. Un element a ∈ E est unpoint interieur de A s’il existe une boule ouverte, de centre a et de rayon strictement positif,incluse dans A. Autrement dit :

∃ r ∈ R∗+; B(a, r) ⊂ A.

Definition 7 Soit (E, d) un espace metrique et A une partie de E. Un element a ∈ E est unpoint adherent de A si toute boule ouverte de centre a et de rayon strictement positif a uneintersection non vide avec A. Autrement dit :

∀ r ∈ R∗+, B(a, r) ∩ A ,= ∅.

Definition 8 Soit (E, d) un espace metrique et A une partie de E. Un point x0 ∈ E est unpoint d’accumulation de A si toute boule ouverte de centre x0 et de rayon strictement positif aune intersection avec A privee de x0 non vide. Autrement dit :

∀ r ∈ R∗+, (B(x0, r) \ {x0}) ∩ A ,= ∅.

Il est clair qu’un point d’accumulation d’une partie est un point adherent de la meme partie.


Definition 9 Soit (E, d) un espace metrique et A une partie de E.

1. On appelle interieur de A l’ensemble noteoA et forme de tous les points interieurs de A :

oA = {x ∈ A;∃ r > 0, B(x, r) ⊂ A}.

2. On appelle adherence ou fermeture de A l’ensemble note A et forme de tous les pointsadherents de A :

A = {x ∈ Rm;∀ r > 0, B(x, r) ∩ A ,= ∅}.

3. On appelle frontiere de A l’ensemble note Fr(A) ou ∂A et egal a A \oA.

Exemple fondamental :

On munit R de la valeur absolue (norme). A la base des demonstrations des faits suivants setrouve le principe d’Archimede :

∀ ε > 0, ∀x ∈ R, ∃n ∈ Z; nε ≤ x < (n + 1)ε.

En posant par exemple ε = 1, ce principe justifie1. l’existence de la partie entiere unique pour tout nombre reel x. 2. l’existence d’un rang

n0 tel que pour tout entier naturel superieur a n0,1n

< ε (prendre x = 1).

1. Montrons que Q = R et plus particulierement R ⊂ Q. Soit x un nombre reel et r > 0.

Il existe un entier naturel q tel que1q

< r . Pour ce rationnel positif, d’apres le principe

d’Archimede, il existe un entier p tel que

p

q≤ x <

p + 1q

.

On remarque alors que

p + 1q

− x ≤ p + 1q

− p

q<

1q

< r.

Par consequent, B(x, r) ∩ Q ,= ∅. Autrement dit, entre deux irrationnels, il y a toujoursun rationnel.

2. Montrons queoQ = ∅ . Soit deux rationnels r1 et r2. On suppose r1 < r2. D’apres le

principe d’Archimde, il existe un entier naturel q tel que1

q√

2< r2 − r1 . Pour ce

rationnel positif, il existe un entier p tel que

p

q√

2≤ r1 <

p + 1q√

2.

D’ou,p

q√

2≤ r1 <

p + 1q√

2=

p

q√

2+

1q√

2< (

p

q√

2− r1) + r2 ≤ r2.

Autrement dit, entre deux rationnels, il y a toujours un irrationnel.Utilsant ce resultat, on montre que tout intervalle ouvert centre sur un rationnel contientdes irrationnels.

1.2. INTERIEUR, ADHERENCE ET FRONTIERE D’UN ENSEMBLE 9

3. Il devient clair que ∂(Q) = R.Question : dans l’espace R muni de de la valeur absolue, trouver les points d’accumulation deN ?

Remarque Quelle que soit la partie A de E, on aoA ⊂ A ⊂ A.

Autres exemples1. On munit l’anneau des entiers Z de la norme de la valeur absolue. Montrer que

∀A ⊂ Z,oA = A = A.

2. Sur le plan R2 muni de la distance euclidienne, on considere la partie A = {(x, y) ∈R2; x ∈ ] − 1, 2]}. Trouver

oA et A. La partie A admet elle des points d’accumulation qui

n’appartiennent pas a A ?3. Toujours sur le plan R2 muni de la distance euclidienne, trouver les points interieurs et

adherents de la courbe C = {(et cos t, et sin t); t ∈ R}.4. On munit l’espace vectoriel des polynomes R[X] de la norme

||a0 + a1X + . . . + akXk|| = max{|a0|, |a1|, . . . , |ak|}.

Donner un exemple de point interieur, de point adherent et de point d’accumulation de lapartie

A = {P ∈ R[X]; P (0) ∈ ]− 1, 2]}.

Exercices :

Ici, R2 est muni de l’une des trois normes usuelles.1. Trouver les points interieurs, adherents et d’accumulation de la partie

A = {(x, y) ∈ R2; x > 0, y > 0 et x2 + y2 ≤ 1}.

2. Trouver les points interieurs, adherents et d’accumulation de la partie

B = {(x, y) ∈ R2; x < 0} ∪ (N× {0}).

3. Determiner la frontiere des ensembles A et B definis dans les questions precedentes.

Definition 10 Soit (E, d) un espace metrique. Une partie A est dense dans E si A = E.

Exemple . Pour la distance usuelle, Q est dense dans R.

Definition 11 Soit (E, d) un espace metrique. Un point a est isole s’il existe une boule ouvertde centre a et egale a {a}.

ExempleTous les points de l’ensemble des entiers relatifs muni de la valeur absolue sont soles.

ExerciceDonner un exemple d’espace metrique ne possedant qu’un seul point isole.


1.2.2 Parties ouvertes et parties fermees, voisinages

Definition 12 Soit (E, d) un espace metrique.1. Une partie A de E est un ouvert (ou ouverte) si

x ∈ A =⇒ ∃ rx > 0 tel que B(x, rx) ⊂ A.

2. Une partie A de E est fermee si son complementaire est un ouvert.

La proposition suivante etablit le lien entre une autre caracterisation des parties fermees.

Proposition 1 Soit (E, d) un espace metrique. Une partie A de E est fermee si, et seulementsi, A = A.

Preuve. en cours.

Exemples1. Une boule ouverte est un ouvert et une boule fermee est un ferme (exercice).2. L’ensemble {(x, y) ∈ R2;x > 0 et y > 0} est un ouvert de (R2, ||.||i).3. Les ensembles {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0 et y ≥ 0} et {(x, y) ∈ R2;x = y} sont des fermes de

R2.4. L’ensemble vide et l’espace E sont a la fois ouverts et fermes.

Proposition 2 Soit (E, d) un espace metrique.1. Toute intersection finie d’ouverts est un ouverts et toute reunion d’ouverts est un ouvert.2. Toute intersection de fermes est un ferme et toute reunion finie de fermes est un ferme.

Remarque1. Toute intersection d’ouverts n’est pas necessairement un ouvert.est un ouvert.2. Toute reunion de fermes n’est pas necessairement un ferme

La proposition suivante etablit le lien algebrique entre les interieurs (resp. adherence) et lesouverts (resp. ferme).

Proposition 3 Soit (E, d) un espace metrique.1. L’interieur d’une partie est le plus grand ouvert inclus dans la partie.2. L’adherence d’une partie est le plus petit ferme qui inclut la partie.

Preuve : (en cours) Il faut montrer en particulier que l’interieur d’une partie est un ouvert etque l’adherence d’une partie est un ferme.

Proposition 4 Une partie est ouverte si, et seulement si, elle est reunion de boules ouvertes.

Dans les espaces metriques (et a fortiori, dans les espaces vectoriels normes), la terminologie devoisinage recouvre une notion tres precise.

Proposition 5 On munit l’ensemble (non vide) E de deux distances equivalentes d et d′. DansE, toute boule ouverte au sens de d inclut une boule ouverte au sens de d′ et reciproquementtoute boule ouverte au sens de d′ inclut une boule ouverte au sens de d.

1.3. PARTIES BORNEES 11

Preuve. Les deux distances d et d′ etant equivalentes, il existe deux reels strictement positifs αet β tels que quels quesoient x et y, pris dans E, on a :

αd(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ βd(x, y).

Soit B(a, r) = {x ∈ E; d(a, x) < r} une boule ouverte au sens de d. Il est clair que la bouleouverte au sens de d′, B′(a, αr) = {x ∈ E; d′(a, x) < αr}, est incluse dans B(a, r).De meme, la boule ouverte au sens de d′, B′(a, r′) = {x ∈ E; d(a, x) < r′} inclut la boule

ouverte au sens de d, B(a,r′

β) = {x ∈ E; d(a, x) <

r′

β}, au sens de d′.

Corollaire 1 On munit l’ensemble (non vide) E de deux distances equivalentes d et d′. Unepartie A de E est ouverte au sens de d si, et seulement si, elle est ouverte au sens de d′.

Definition 13 Soit (E, d) un espace metrique. On appelle voisinage du point a de E, toutepartie V de E qui inclut une boule ouverte de centre a.

Ainsi, les voisinages d’un point peuvent etre ouverts, fermes ou ni ouverts et ni fermes.

Proposition 6 Une partie est ouverte si, et seulement si, elle est voisinage de chacun de sespoints.

1.3 Parties bornees

Definition 14 Soit (E, d) un espace metrique. Une partie A de E est bornee s’il existe uneboule centree en a et de rayon r telle que A ⊂ B(a, r).

Exemples

1. Lorsque la distance est une application bornee, tout l’espace est borne.

2. Une boule (fermee ou ouverte) est bornee.

3. On munit Rn de la norme euclidienne. Un sous-espace vectoriel de Rn de dimensionsuperieure ou egale a 1 n’est pas borne.

Exercices

1. Donner un exemple d’espace metrique borne et un exemple d’espace metrique non borne.

2. Dans quel cas un espace vectoriel norme pourrait-il etre borne ?

1.4 Les suites dans les espaces metriques

En elles memes, les suites d’elements d’un espace metrique presentent peu d’interet. C’est enleur qualite d’instrument puissant d’analyse et de raisonnement qu’elles jouent un role immenseen topologie.


1.4.1 Definitons et exemples

Definition 15 Soit E un ensemble quelconque non vide. On appelle suite d’elements de E uneapplication de N (eventuellement prive d’une partie finie) dans E.

On la note (un), (vn), . . .ou les elements un, vn . . . sont dans E.

Lorsque E est R (resp. un espace vectoriel, . . .), les suites d’elements de E sont numeriques(resp. vectorielles, . . .).

Remarque La donnee d’une suite (un) d’elements de Rm equivaut a la donnee de m suitesreelles (ui

n), i = 1, . . . ,m qu’on appelle suites coordonnees ou suites composantes.

Exemples :

1. (1n

,n2 − 1n2 + 1

) et (2n

en,n2 − 1n + 1

) sont des suites dans R2.

2. (fn) ou fn(t) = sin(nt) definit une suite dans C(R, R). On l’appelle suite de fonctions. Cetype d’exemples est deja vu en deuxieme annee.

1.4.2 Limite d’une suite d’elements d’un espace metrique

Definition 16 Soit (E, d) un espace metrique.Une suite (un) d’elements de E converge vers l ∈ E si

∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N; ∀n > n0, d(un, l) < ε.

Notation : lorsque la suite (un) converge vers u, on note

limun = u ou un → u.

Remarque Il est clair qu’une suite (un) d’elements de E converge vers l ∈ E si, et seulementsi, la suite numerique (d(un, l))n converge vers 0, au sens de la valeur absolue.

Exercice

Un point isole d’un espace metrique (E, d) peut-il etre limite d’une suite d’elements de E ?

Proposition 7 La limite d’une suite d’elements de E, quand elle existe, est unique.

Preuve : transcrire la preuve du resultat analogue, vue en premiere annee, dans le langage desdistances.

Theoreme 2 On munit l’ensemble E de deux distances equivalentes d et d′. Une suite d’elementsde E converge vers l au sens de d si, et seulement si, elle converge vers l au sens de d′.

Preuve : (en cours)

Corollaire 2 Une suite (un) d’elements de Rm converge au sens de la norme euclidienne (oude l’une des trois normes classiques) vers l = (l1, . . . , lm) si, et seulement si, chaque suitecoordonnee (ui

n), (i = 1, . . . ,m) converge vers li, (i = 1, . . . ,m).

Preuve : (utiliser la norme du max et la proposition precedente.)

1.4. LES SUITES DANS LES ESPACES METRIQUES 13

1.4.3 Caracterisation des points adherents et d’accumulation a l’aide dessuites

Proposition 8 Soit (E, d) un espace metrique et A une partie de E. Un point u de E est unpoint adherent (resp. d’accumulation) de A si, et seulement si, il existe une suite d’elements(resp. differents de u) de A qui converge vers u.

Preuve : (en cours)

Remarque D’apres cette propositon, une partie A de E est fermee si, et seulement si, toutesuite d’elements de A, covergente dans E, possede sa limite dans A. Les suites de E constituentun outil efficace pour caracteriser non seulement les points adherents et les points d’accumula-tion mais aussi d’autres types d’ensembles comme les ensembles compacts (que n ous verronsau chapitre 3).

Exercices

Montrer, en utilisant les suites, que tout partie A de E est incluse dans son adherence.

1.4.4 Suites extraites, valeurs d’adherence

On definit de maniere analogue au cas reel (voir le module M2) les suites extraites (ou sous-suites) d’une suite d’elements d’un ensemble non vide.

Definition 17 Soit E un ensemble non vide. On appelle suite extraite de la suite d’elements (un)de E, toute suite de la forme (uϕ(n)) ou ϕ : N (−→ N est une application strictement croissante.

Exemples :

La suite (1n2

,n4 − 1n4 + 1

) est une suite extraite de la suite (1n

,n2 − 1n2 + 1

). Trouver l’application ϕ quila definit.

Proposition 9 Soit (E, d) un espace metrique. Une suite d’elements de E converge vers l ∈ Esi, et seulement si, toutes ses sous-suites convergent vers la meme limite l.

Preuve : (en cours).

Definition 18 Soit (E, d) un espace metrique et (un) une suite d’elements de E. On appellevaleur d’adherence de la suite (un) toute limite de sous-suite de (un).

Exemples1. Dans l’espace vectoriel norme (R, |.|), −1 et 1 sont les valeurs d’adherence de la suite

((−1)n).

2. Dans l’espace vectoriel norme (C, |.|), les elements de la suite (eniπ4 ) sont des valeurs

d’adherence de cette meme suite.Remarque Les valeurs d’adherence d’une suite (un) sont necessairement des points adherentsde la partie {un ;n ∈ N}.

Exercice

Dans quel cas un point adherent de la partie {un ;n ∈ N} est-il une valeur d’adherence de lasuite (un) .


1.4.5 Suites de Cauchy, espaces metriques complets

Definition 19 Soit (E, d) un espace metrique. Une suite (un) est de Cauchy si

∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N ; ∀ p, q > n0, d(xp, xq) < ε.

On remarque tout de suite que

Proposition 10 Toute suite de Cauchy est bornee.

comme il est facile de montrer (exercice) que

Proposition 11 Toute suite convergente de (E, d) est de Cauchy.

La reciproque de cette proposition n’est pas vraie. Pour le voir, il suffit de prendre E = Q,d(x, y) = |x − y| et un, le developpement decimal de

√2 avec n chiffres apres la virgule. Cette

suite, consideree dans R, converge vers√

2. Elle est donc de Cauchy. Dans Q, elle ne converge pas.

Definition 20 Un espace metrique (E, d) est complet si toute suite de Cauchy de E est conver-gente dans E.

Un exemple fondamental d’espace complet est bien sur R.

Theoreme 3 (fondamental) L’ensemble des reels R, muni de la distance usuelle, est complet.

La preuve est fondee sur deux resultats (le second sera demontre plus tard, au chapitre 3)

Proposition 12 Toute suite de Cauchy qui admet une valeur d’adherence est convergente.

Preuve. Soit (E, d) un espace metrique et (xn) une suite de Cauchy. On suppose qu’elle admetune valeur d’adherence a ∈ E. Montrons qu’elle converge vers a.Soit ε > 0. Comme (xn) est de Cauchy,

∃n1 ∈ N ; ∀ p, q > n1, d(xp, xq) <ε

2.

Comme (xn) admet a pour valeur d’adherence, il existe une application ϕ : N (−→ N strictementcroissante et n2 ∈ N tels que

∀n > n2, d(xϕ(n), a) <ε

2.

Posons n0 = max{n1, n2}. Soit n > n0. Alors, ϕ(n) ≥ n et

d(xn, a) ≤ d(xn, xϕ(n)) + d(xϕ(n), a) <ε

2+

ε

2= ε.

Proposition 13 (voir le chapitre suivant) De toute suite delements d’un intervalle fermeet borne [a, b], on peut extraire une sous-suite convergente.

Retour a la preuve du theoreme 3. Soit (xn) une suite de Cauchy de nombres reels. D’apres laproposition (10), elle est bornee et d’apres (13), elle admet une valeur d’adherence. La proposition(12) acheve la demonstration du theoreme.

Rappelons qu’une suite de parties (Ai)i∈N de E est emboitee si

∀ i ∈ N, Ai+1 ⊂ Ai.

1.5. NOTES HISTORIQUES 15

Proposition 14 Un espace metrique est complet si, et seulement si, l’intersection de toute suitede parties emboitees dont la suite des diametres associees tend vers 0 est egale a un singleton.

Preuve : en cours.

Definition 21 On appelle espace de Banach tout espace vectoriel norme complet.

Exemples

1. L’espace vectoriel Rn, muni de l’une de trois normes usuelles, est de Banach.2. L’espace vectoriel C([0, 1], R), muni de la norme de la convergence uniforme, est complet

(exercice).

1.5 Notes historiques

1. Maurice Rene Frechet (1878-1973), unifiant les travaux sur les espaces de fonctions deCantor, Volterra, Arzela, Hadamard, Ascoli et d’autres, a introduit, dans sa these “Surquelques points du calcul fonctionnel” (Rendic. Circ. Mat. Palermo 22, 1906, 1-74) lanotion d’“ecart” qui suggerera la definition d’espace metrique.En 1914, Felix Hausdorff (1868-1942), en generalisant les travaux de Frechet, formalisa lesconcepts d’espace topologique et d’espace metrique et definit ce qui s’appelle aujourd’huil’espace de Hausdorff.Finalement, une autre legere generalisation en 1922, par Kuratowski, donna la definitionactuelle de l’espace topologique.Le terme “topologie” fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans“Vorstudien zur Topologie”.

2. Banach est un mathematicien polonais qui a pose les bases de l’analyse fonctionnelle. Il estne a Cracovie en 1892, en Autriche-Hongrie (actuellement en Pologne). Vivant du tutorat,il poursuivit ses etudes d’ingenieur a la faculte des techniques de Lvov (actuellement enUkraine).La vie (au moins mathematique) de Banach va basculer au printemps 1916, quand ilrencontre Steinhaus a Cracovie. Avec Otto Nikodym, ils decident de fonder une societemathematique. La recherche mathematique de Banach commence la. Son premier articleest cosigne avec Steinhaus : Steinhaus lui avait parle d’une propriete qu’il ne parvenait pasa demontrer, et apres quelques jours de reflexion, Banach exhiba un contre-exemple. C’estegalement grace a Steinhaus que Banach rencontra sa future epouse, Lucja Braus, qu’ilepousa en 1920. Banach retourne a Lvov en 1920 ou un poste d’assistant lui est propose.Il soutient sa these en 1922, et c’est dans cette these qu’apparaissent pour la premierefois la notion d’espace de Banach, qu’y sont demontres les theoremes fondamentaux surces objets, qu’on y evoque la topologie faible.... Bref, cette these marque la naissance del’analyse fonctionnelle.En 1945, peu avant la fin de la Seconde Guerre Mondiale, il decede d’un long cancer.

Chapitre 2

Complements sur les espacesmetriques

2.1 Distances equivalentes

Definition 22 Soient d, d′ : E (−→ R+ deux distances definies sur l’ensemble E, non vide.Elles sont equivalentes si, et seulement si,

∃α, β ∈ R∗+; ∀x, y ∈ E, α d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ β d(x, y).

Remarques

1. Deux normes equivalentes induisent des distances equivalentes. Rappelons que deux normesN et N ′ definies sur un espace vectoriel E sont equivalentes si

∃α,β ∈ R∗+; ∀x ∈ E, α N(x) ≤ N ′(x) ≤ β N(x).

2. La double inegalite precedente definit une relation d’equivalence sur l’ensemble de toutesles distances dans E (exercice).

Cette definition a pour consequence immediate le fait important suivant :

Theoreme 4 Soient d et d′ deux distances equivalentes definies sur un ensemble non vide E.Alors, une partie A ⊂ E est ouverte (resp. fermee) au sens de d si, et seulement si, elle estouverte (resp. fermee) au sens de d′.

Preuve : (en cours)

Exemples de normes equivalentes :Les normes N1, N2 et N∞, definies ci-dessus dans Rm, sont equivalentes (cours).

Remarques

1. Bien qu’elles definissent les memes ouverts, deux distances equivalentes ne definissent pastoujours les memes boules.

2. La distance grossiere de R2 n’est equivalente a aucune des trois distances classiques de R2.

En fait, s’agissant de normes, on montrera plus tard paragraphe sur la compacite) que

17

18 CHAPITRE 2. COMPLEMENTS SUR LES ESPACES METRIQUES

Theoreme 5 Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont equivalentes.

Cela signifie en particulier que les exemples de normes non equivalentes se trouvent dans desespaces vectoriels de dimension infinie.Notons que la combinaison des theoremes (??) et (5) donne une seule “topologie normee” (lesouverts sont les memes au sens de toutes les normes) sur un espace vectoriel de dimension finie.

2.2 Produit cartesien d’espaces metriques

On se donne une famille finie de m espaces metriques (Ei, di), i = 1, 2, . . . , n. On note E leproduit cartesien des ensembles Ei :

E =n∏

i=1

Ei.

Les elements de E sont des n-uplets.Les normes N1, N2 et N∞ suggerent une maniere de construire a partir des di une distance surE. En effet, en posant x = (x1, x2, . . . , xn) et y = (y1, y2, . . . , yn), on verifie (exercice) que lesapplications D1, D2, D∞ :→ R+ definies par

D1(x, y) =n∑

i=1

di(xi, yi), D2(x, y) =

√√√√n∑

i=1

di(xi, yi)2, D∞(x, y) = maxi=1,...,n

di(xi, yi).

definissent des metriques sur E.On retrouve, en particulier, la construction des trois distances usuelles d1, d2 et d∞ de Rn apartir de la distance induite par la valeur absolue sur R.

Question : donner un exemple de construction de metrique sur E a partir des metriques definiessur les Ei.

On termine ce paragraphe introductif par ce qui va s’averer etre la brique essentielle de toutledifice des espaces metriques et meme du cours de topologie (dont on expliquera la significationdans le dernier paragraphe) : les boules ouvertes.

2.3 Diametre d’une partie et distance entre deux parties

Definition 23 Soit (E, d) un espace metrique, a, un point de E et B une partie de E. Onappelle distance entre a et B, le nombre

δ(a, B) = infx∈B

d(a, x).

Exemples

1. Dans R2, muni de la distance euclidienne, la distance du point (1, 2) au cercle de centre(0, 0) et de rayon 1 est egale a

√5 − 1.

2. Dans le corps des reels R muni de la distance d(x, y) = |ex − ey|, la distance de 0 a la

partie {x ∈ R; |x| ≥ 1} est egale 1 − 1e.

2.4. SOUS-ESPACES METRIQUES 19

Definition 24 Soit (E, d) un espace metrique et A et B deux parties de E. On appelle distanceentre A et B, le nombre

∆(A, B) = inf(x,y)∈A×B

d(x, y).

Exercice

Montrer que la distance entre deux parties d’intersection non vide est nulle.

Definition 25 Soit (E, d) un espace metrique. On appelle diametre d’une partie A de E lenombre

δ(A) = sup(x,y)∈E2

d(x, y).

On dit qu’une partie est bornee si son diametre est fini.

Exemple

Le diametre d’un segment de R2, muni de la distance euclidenne, est egale a sa longueur.

Exercices1. Calculer le diametre d’un cercle.2. La fonction ∆ definit-elle une distance sur l’ensemble P(E) des parties de E ?

Proposition 15 Soit (E, d) un espace metrique. Une partie A de E est bornee si, et seulementsi, son diametre est fini.

Preuve. (en cours)

Proposition 16 Dans un espace metrique (E, d) l’intersection d’une suite decroissante de fermes(Fi) telle que δ(Fi) tend vers 0 est reduite a un point.

Preuve. (en cours)

2.4 Sous-espaces metriques

En fait de sous-espaces metriques, nous en avons deja vu plusieurs.

Definition 26 On appelle sous-espace metrique de l’espace metrique (E, d) tout couple (A, dA)ou A est une partie non vide de E et dE la restriction de la distance d a A×A.

Toutes les parties non vides d’un espace metriques ont une structure de sous-espace metriqueet toutes les notions vues dans le cadre des espaces metriques se reportent sur les sous-espacesmetriques. C’est le cas des boules ouvertes et fermees, des points interieurs, adherents et d’ac-cumulation, etc . . .,

On note BA(x, r) (respectivement BA(x, r)) la boule ouverte (respectivement fermee) de centrea et de rayon r dans l’espace metrique (A, dA). Il est aise d’etablir la proposition suivante.

Proposition 17 Soit (A, dA) un sous-espace de l’espace metrique (E, d). Alors,

BA(x, r) = B(x, r) ∩ A et BA(x, r) = B(x, r) ∩ A.

20 CHAPITRE 2. COMPLEMENTS SUR LES ESPACES METRIQUES

De cette proposition on peut deduire que

Proposition 18 Soit (A, dA) un sous-espace de l’espace metrique (E, d).1. Tout ouvert de (A, dA) est intersection d’un ouvert de (E, d) et de A.2. Tout ferme de (A, dA) est intersection d’un ferme de (E, d) et de A.

Exemples, proprietes et remarques

1. Dans le sous-espace metrique A = ]0, 2] de l’espace vectoriel norme (R, | . |),

- le point 0 n’est pas un adherent a la partie ]0, 1] (pourquoi ?) ;

- BA(1, 3) = BA(1, 3),2. Soit (A, dA) un sous-espace de l’espace metrique (E, d).

- Toute suite d’elements de A, convergente dans (A, dA) converge dans (E, d). Bien sur, lareciproque de cette assertion n’est pas vraie.- Une partie B de A est bornee dans (A, dA) si, et seulemnt si, elle est bornee dans (E, d).

Proposition 19 Dans un espace metrique (E, d), si le sous-espace metrique (A, dA) est complet,alors la partie A est fermee dans (E, d).

Corollaire 3 Dans un espace metrique complet, une partie definit un sous-espace complet si,et seulement si, elle est fermee.

Chapitre 3

Continuite, compacite et connexite

3.1 Applications continues dans les espaces metriques

3.1.1 Definitions, exemples et premieres proprietes

Dans tout ce chapitre (E, d) et (E′, d′) designent deux espaces metriques. Les boules des deuxespaces sont notees pareillement sachant que leurs centres nous indiquent dans quel espacemetrique on est.

Definition 27 L’application f : E → E′ est continue en a ∈ E si

∀ ε > ∃ δ > 0, tel que f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε).

L’application f : E → E′ est dite continue si elle est continue en tout point de E.

En transcrivant cette definition a l’aide des distances,

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tel que si x ∈ E, et verifie d(a, x) < δ, alors d′(f(a), f(x)) < ε,

on retrouve la continuite des fonctions reelles, d’une ou de plusieurs variables reelles.

Premiers exemples

1. Si d designe la distance discrete, toute application f : E → E′ est continue.

2. Si (E′, d′) = (E, d), l’application identite est continue.

3. On munit l’espace vectoriel E = C[0, 1] de la norme de la convergence uniforme et E′ = Rde la valeur absolue. La forme lineaire f : E → E′ definie par

f(u) =∫ 1

0u(t)dt

est continue (a verifier).

Exemple fondamentalSoit (E, d) un espace metrique et a un point de E. La fonction f : E → R (ici, R est muni dela valeur absolue), definie par f(x) = d(a, x) est continue.Pour le voir, il suffit de remarquer que |f(x) − f(y)| = |d(a, x) − d(a, y)| ≤ d(x, y).

21

22 CHAPITRE 3. CONTINUITE, COMPACITE ET CONNEXITE

Proposition 20 L’application f : E → E′ est continue en a ∈ E si, et seulement si, l’imagereciproque de tout ouvert contenant f(a) est un ouvert qui contient a.

Preuve en cours

Corollaire 4 L’application f : E → E′ est continue en a ∈ E si, et seulement si, l’imagereciproque de tout voisinage de f(a) est un voisinage de a.

Theoreme 6 L’application f : E → E′ est continue si, et seulement si, l’image reciproque detout ouvert de (E′, d′) est un ouvert de (E, d).

Preuve en cours

RemarqueIl existe bien sur des applications continues qui envoient des ouverts sur des parties non ouvertes.

Corollaire 5 L’application f : E → E′ est continue si, et seulement si, l’image reciproque detout ferme de (E′, d′) est un ferme de (E, d).

La preuve est basee sur le fait que l’image reciproque du complementaire d’une paratie A de E′

par f est egal au complementaire de l’image reciproque de A.

Avant de passer a des exemples (traites en exercices), demontrons le theoreme suivant.

Theoreme 7 (continuite sequentielle) L’application f : E → E′ est continue en a ∈ E si,et seulement si, l’image de toute suite qui converge vers a est une suite qui converge vers f(a).

Preuve. Supposons que f est continue en a et soit (xn) une suite dans E qui converge vers a.Montrons que

∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N, tel que si n > n0, alors f(xn) ∈ B(f(a), ε).

Comme f est continue, pour un tel ε, il existe un δ > 0 tel que f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε). Sachantque xn → a, il existe un rang n0 tel que si si n > n0, alors xn ∈ B(a, δ). Ce rang convientparfaitement pour la suite image.Reciproquement, supposons que f n’est pas continue en a.

∃ ε > 0, ∀δ > 0, ∃x(δ) ∈ B(a, δ)verifianti f(x(δ)) /∈ B(f(a), ε).

En particulier, si l’on prend les δ de la forme1n

ou n ∈ N∗, on deduira l’existence d’une suite

de points (xn) telle que xn ∈ B(a,1n

) et f(xn) /∈ B(f(a), ε). On obtient ainsi une suite dans E

qui converge vers a telle que son image ne converge pas vers f(a).

Exercices

1. En utilisant la continuite de la distance a un point fixe, montrer que toute boule ouverteest un ouvert et que toute boule fermee est un ferme.

2. On munit l’espace vectoriel E = [0, 1] des normes N1 et N∞. Montrer que l’applicationidentite IdE : (E,N1) → (E,N∞)) n’est pas continue.Indication : utiliser la suite de fonctions (xn) definie par xn(t) = tn.

3.1. APPLICATIONS CONTINUES DANS LES ESPACES METRIQUES 23

Remarque Il est faux de croire que l’image directe d’une suite de Cauchy par une applicationcontinue est une suite de Cauchy. Prendre par exemple la fonction numerique f :]0, 1] → Rdefinie par f(x) =

1x

et le suite (xn) avec r xn =1n

.

Theoreme 8 (continuite et equivalence des distances) On munit respectivement chacundes ensembles E et E′ de deux distances equivalentes d et δ pour le premier et d′ et δ′ pour lesecond.L’application f : (E, d) → (E′, d′) est continue si, et seulement si, l’application f : (E, δ) →(E′, δ′) est continue.

Preuve. Il en existe plusieurs. La plus simple est celle qui utilise les ouverts puisque pour deuxdistance equivalentes, une partie est ouverte au sens de l’une si, et seulement si, elle est ouverteau sens de l’autre.

Proposition 21 Soit (E, d), (E′, d′) et (E′′, d′′) trois espaces metriques et f : E → E′ etg : E′ → E′′ deux fonctions continues. La fonction composee

g ◦ f : E → E′′

est alors continue.

Preuve. Utiliser le theoreme (6).

3.1.2 Homeomorphismes, applications lipschitziennes

Definition 28 Une application f : E → E′ est un homeomorphisme si elle bijective et bicon-tinue, c’est-a-dire , f et f−1 sont continues.Deux espaces metriques sont homeomorphes s’il existe un homeomorphisme qui applique l’unsur l’autre.

Exemples1. Nous pouvons reprendre tous les exemples de fonctions reelles de variables reelles bijectives

et bicontinues comme ln : R+ → R, arcsin : [−1, 1] → [−π

2,π

2], etc...

2. Les isomorphismes (applications lineaires) d’espaces vectoriels de dimension finie sont deshomeomorphismes (a ne pas confondre avec les homomorphismes d’espaces vectoriels).

Remarque importanteUne bijection continue n’est pas necessairemenr bicontinue. Prendre, par exemple, la fonctionrelle f : [0, 1]∪ ]2, 3] → [0, 2] definie par f(x) = x si x ∈ [0, 1] et f(x) = x − 1 si x ∈ [2, 3]qui est bijective, continue et la reciproque f−1 : [0, 2] → [0, 1]∪ ]2, 3] definie par f−1(x) = x six ∈ [0, 1] et f(x) = x + 1 si x ∈ ]1, 2] n’est pas continue en x = 1.Nous verrons un autre exemple en travaux diriges.

ExerciceOn munit les deux intervalles [a, b] et [c, d] de la dsitance usuelle (induite par celle de R). Montrerque toute bijection continue de [a, b] sur [c, d] est un homeomorphisme.

Definition 29 Une application f : E → E′ est une isometrie si

∀x, y ∈ E, d′(f(x), f(y)) = d(x, y).


Proposition 22 Une isometrie est un homeomorphisme.

Exemples

1. Si l’on munit E et E′ des distances discretes, toute bijection est une isometrie.

2. On munit R2 de la distance euclidienne. Les isometries lineaires sont des rotations ou dessymetries.

ExerciceOn munit Rn de la distance euclidienne. Montrer qu’un endomorphisme de Rn est une isometriesi, et seulement si, c’est une transformation orthogonale (ce qui signifie, en ecriture matricielle,que MT M = 1n). IMPORTANT :

Proposition 23 Soit (E, ||.||) et (E′, ||.||′) deux espaces de Banach. Tout isomorphisme (lineaire)continu est bicontinu.

Preuve. Cela vient du fait que Φ(B(0E , 1)) ⊂ B(0E′ , r)) ou r > 0.

Definition 30 Soit E, d) et (E′, d′) deux espaces metriques. L’application f : E → E′ estlipschitzienne s’il existe une constante L telle que

∀x, x′ ∈ E, d′(f(x), f(x′)) ≤ L d(x, x′).

Le nombre L est appele constante ou rapport de Lipschitz.Si de plus L < 1, l’application f est dite contractante.

Exemples

1. Les isometries sont lipschitziennes de rapport 1.

2. Les applications lineaires de Rn sont aussi lipschitziennes.

3. On munit l’espace vectoriel E = C[0, 1] de la norme de la convergence uniforme. Onconsidere l’application f : E → E definie par

f(x)(t) = λ

∫ t

0K(s, t)x(s)ds + v(t)

ou λ est une constante et les fonctions v : [0, 1] → R et K : [0, 1] × [0, 1] → R sontcontinues. On verifie aisement (on verra plus loin que sous ces conditions, la fonction Kest bornee) que l’application f est lipschitzienne de rapport λ.

ExerciceOn munit R de la valeur absolue. Montrer que toute fonction reelle, derivable sur une partie deR et dont la derivee est bornee est lipschitzienne.

Definition 31 Soit (E, d) et (E′, d′) deux espaces metriques. L’application f : E → E′ estlocalement lipschitzienne si pour tout a pris dans E, il existe un voisinage Va de a telle que larestriction de f a Va soit lipschitzienne :

∀ a ∈ E, ∃La ∈ R; ∀x, x′ ∈ Va, d′(f(x), f(x′)) ≤ La d(x, x′).


3.1.3 Continuite uniforme

Definition 32 L’application f : E → E′ est uniformement contine sur E si

∀ ε > ∃ δ > 0, tel que ∀ a ∈ E, f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε).

La continuite uniforme signifie que le nombre strictement positif δ ne depend que de ε alors quedans la continuite simple, ce δ depend a priori du point a.Il est clair que la continuite uniforme implique la continuite simple.

Proposition 24 Toute application lipschitzienne est uniformement continue.

Preuve. Evidente (prendre δ =ε

L). On a vu precedemment qu’e l’image directe d’une suite de

Cauchy n’est pas necesseraiement de Cauchy. Par contre,

Proposition 25 L’image directe d’une suite de Cauchy par une application uniformement conti-nue est une suite de Cauchy

Exemples1. Une isometrie est uniformement continue.2. La fonction sin est uniformement continue.3. La fonction polynomiale x (→ x2 n’est pas uniformement continue.4. Soit (E, d) un espace metrique et a un point de E. La fonction f : E → R definie par

f(x) = d(a, x) est uniformement continue.ExerciceSoit (E, d) un espace metrique et A une partie de E. Montrer que la fonction f : E → R definiepar f(x) = d(A, x) est uniformement continue.

Une classe importante de fonctions uniformement continue est celle des fonctions lipschitziennes.

3.1.4 Theoreme du point fixe et applications

Definition 33 Soit E un ensemble non vide.On appelle point fixe de l’application f : E → E,tout point a de E tel que f(a) = a.

Remarques et exemples1. Une application reelle de variable reelle y = f(x) admet un point fixe si, et seulement si,

son graphe coupe la premiere bissectrice du plan rapporte au repere xOy.2. Un endomorphisme f : Rn → Rn admet un point fixe different de ORn si, et seulement si,

il admet une valeur propre egale a 1 (auquel cas, le point fixe n’est pas unique).3. Soit l’equation differentielle scalaire de second ordre

x′′(t) = F (t, x(t), x′(t)),

ou F : I = [t0 − c, t0 + c]× R2 → R est continue sur I, avec c, un nombre positif.Montrer que l’existence de solution de cette equation differentielle verifiant la conditioninitiale (x(t0), x′(t0)) = (x0, x

′0) (prob—eme de Cauchy) equivaut a l’existence d’un point

fixe de l’application Φ : C2[I] → C2[I] definie par

Φ(x)(t) = x0 + x′0((t − t0) +∫ t

t0

(t − s)F (s, x(s), x′(s))ds.


Theoreme 9 Soit (E, d) une espace metrique complet. Toute application f : E → E, contrac-tante, admet un et un seul point fixe.

On introduit la suite recurrente x0, xn+1 = f(xn) ou x0 est un element quelconque de E.Montrons qu’elle converge et que sa limite est un point fixe.Comme f est contractante de rapport L,

d(x2, x1) = d(f(x1), f(x0)) ≤ L d(x1, x0)

On etablit facilement et cela par recurrence les deux faits suivants : d’une part,

∀n ∈ N, d(xn+1, xn) ≤ Ln d(x1, x0)

et d’autre part, quel que soient deux entiers naturels p et q tels que q ≥ p, on a :

d(xq, xp) ≤ d(xq, xq−1) + · · · + d(xp+1, xp) ≤ (Lq−1 + Lq−2 + · · · Lp)d(x1, x0)

≤ Lp 1 − Lq−p

1 − Ld(x1, x0) =

Lp − Lq

1 − Ld(x1, x0).

La suite (xn) est de Cauchy car la suite (Ln), qui converge vers 0, l’est. L’espace (E, d) etantcomplet, la suite (xn) converge dans E. Comme f est continue, apres passage a la limite, lorsquen tend vers l’infini, sa limite a verifie la relation

f(a) = a.

C’est donc un point fixe de f .Ce point fixe est unique puisque l’existence d’un deuxieme, b, entraınerait a la contradiction :

d(a, b) = d(f(a), f(b)) ≤ L d(a, b) < d(a, b).

ExerciceEvaluer la distance du point xn a la limite a (resultat : d(xn, a) ≤ Ln

1 − Ld(x1, x0)).

Il existe d’autres gen’eralistaions du thereme du point fixe.

Remarque L’hypothese de contraction dans le theoreme (du point fixe) est necessaire.Prendre par exemple la fonction f : [0,+∞[→ R definie par f(x) =

√x2 + 1. En utilisant le

theoreme des accroissements finis, on montre que ∀x, x′ ∈ [0,+∞[, |f(x) − f(x′)| < |x − x′|.Pourtant, la fonction f n’admet pas de point fixe.

Trois applications du theoreme du point fixe

Les applications du theoreme du point fixe sont cont considrables autant sur le plan pratique(recherche approchee des solutions) que sur le plan theorique (existence de solutions).

Resolution numerique de systemes d’equationsDans un premier temps, prenons le cas scalaire. Soit a resoudre l’equation F (x) = 0 ou Fest supposee derivable sur un intervalle I et possedant une solution a a l’interieur de I. Cetteequation equivaut a f(x) = x ou f(x) = x − λF (x) avec λ ,= 0. On peut alors restreindreF a un intervalle I ′ = ]a − ε, a + ε[ de telle sorte que F (I ′) ⊂ I. Ainsi, le probleme revient a


chercher les points fixes de l’application f . Choisissons le nombre λ de telle sorte que sur toutl’intervalle I ′, |f ′(x)| ≤ L < 1. D’apres le theoreme du point fixe, l’equation initiale admet uneet une seule solution dans I ′.Il existe d’autres facons de transformer l’equation donnee en une equation a point fixe comme

par exemple la methode de Newton qui consiste a poser f(x) = x − F (x)F ′(x)

.

ExerciceDonner une interpretation geometrique de la methode de Newton.Dans le cas vectoriel, F est une fonction continument differentiable sur un ouvert.

Existence de solutions des systemes differentielsOn considere le systeme differentiel

dx

dt= F (x(t), t)

ou F : O → Rn est continument differentiable sur l’ouvert O de Rn×R. On adjoint a ce systemeune condition initiale (x0, t0) ∈ O pour former ce qu’on appelle le prob—eme de Cauchy.On montre (par ailleurs, dans une unite voisine) que le probleme de Cauchy est equivalent al’equation integrale

x(t) = x0 +∫ t

t0

F (x(s), s) ds

dont les solutions sont des points fixes de l’operateur Φ : E → E defini par

Φ(x)(t) = x0 +∫ t

t0

F (x(s), s) ds

sur un l’espace vectoriel E des fonctions continument derivables sur un certain intervalle I conte-nant t0, muni de la nomre de la convergence uniforme.L’application du theoreme du point fixe consiste a choisir cet intervalle de telle sorte quel’operateur Φ devienne contractant.Theoreme d’inversion locale (a revoir)Soit (E, ||.||) et (E′, ||.||′) deux espaces vectoriels normes. Le theeoreme d’inversion locales’enonce comme suit.

Theoreme 10 Soit ϕ : O → E′ une application de classe C1 sur l’ouvert O de E telle quesa differentielle en a ∈ O, dfa, soit un isomorphisme de E sur E′. Il existe alors deux ouvertsU ⊂ E et V ⊂ E′ tels que la restriction ψ : U → V soit un diffeomorphisme (et donc unhomeomorphisme).

La demonstration de ce theoreme est fondee essentiellement sur lemme suivant.

Lemme 1 On suppose que l’application x (→ ϕ(x) − x est k-contractante sur la boule B(a, r).Il existe alors un ouvert U de B(a, r) tel que la restriction ψ : U → B(ϕ(a), (1 − k)r) soit un

homeomorphisme et que l’application reciproque, ψ−1, soit lipschitzienne de rapport1

1 − k.

Preuve.


3.1.5 Applications lineaires continues

Soit (E, ||.||) et (E′, ||.||′) deux espaces vectoriels normes et ϕ : E → E′ une application lineaire.Commencons par la proposition (tres utile) suivante.

Proposition 26 L’application ϕ est continue si, et seulement si, elle est continue en OE.

Preuve. Elle est fondee sur l’egalite ||ϕ(x) − ϕ(y)||′ = ||ϕ(x − y)||′.Exemples

1. Tout endomorphisme de Rn (muni de l’une des distances usuelles) est continu. Prenonspar exemple, la norme du max et une base (e1, e2, . . . , en) de Rn :

||ϕ(x)|| = ||n∑

i=1

xiϕ(ei)|| ≤n∑

i=1

|xi|||ϕ(ei)|| ≤ ≤n∑

i=1

||x||||ϕ(ei)|| ≤ M ||x||,

ou M = max{||ϕ(ei)||, i = 1, 2, . . . , n}.2. En munissant l’espace vectoriel C([0, 1]) de la norme de la convergence uniforme et R de

la valeur absolue, on verifie bien que la forme lineaire x (→∫ 1

0x(t)dt est continue.

3. On munit les deux espaces vectoriels C1([0, 1]) et C0([0, 1]) de la norme de la convergenceuniforme. L’application ϕ : C1([0, 1]) → C([0, 1]) definie par ϕ(x) = x′ n’est pas conti-

nue puisque l’image de la suite convergente (fn) ou fn(t) =sin(nt)

nest une suite non

convergente.

Corollaire 6 L’application ϕ est continue si, et seulement si, elle est uniformement continue.

Remarque En fait, si l’espace vectoriel de depart E est de dimension finie, l’application ϕest continue.Ce resultat est base sur un theoreme que nous demontrerons plus tard et qui clame que dans unespace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont equivalentes. Ensuite, on se ramene ala norme du max pour reprendre la demonstration developpee dans le premier exemple ci-dessus.

Theoreme 11 L’application lineaire ϕ est continue si, et seulement si, il existe une constanteM telle que

∀x ∈ E, ||ϕ(x)||′ ≤ M ||x||.

Preuve. Supposons ϕ continue. Elle est continue en 0E et pour ε = 1, il existe δ > 0 tel

que f(B(0E , δ)) ⊂ B(0E′ , 1). Or, pour tout x, non nul, pris dans E,δ x

2||x|| ∈ B(0E , δ). Par

consequent, ||f( δ x

2||x||

)||′ ≤ 1. D’ou, en posant M =

2δ,

∀x ∈ E, ||f(x)||′ ≤ 2||x||δ

= M ||x||.

Reciproquement, s’il existe une constante M telle que ∀x ∈ E, ||ϕ(x)||′ ≤ ||x||, on montreque l’application ϕ est M -lipschitzienne, donc continue.


Corollaire 7 Toute application lineaire continue est lipschitzienne.

Corollaire 8 Toute application lineaire continue est bornee sur la boule unite fermee de centre0E.

La reciproque de ce corollaire est-elle vraie ?

Proposition 27 L’application lineaire ϕ est continue si, et seulement si, elle est bornee surB(0E , 1).

Preuve. Sachant qu’il existe une constante M telle que

∀x ∈ B(0E , 1), ||ϕ(x)||′ ≤ M,

on peut en deduire

∀x ∈ E \ {OE},x

||x|| ∈ B(0E , 1), et donc ||ϕ(x

||x||)||′ =

||ϕ(x)||′

||x|| ) ≤ M.

et le theoreme (11) termine la preuve.

Definition 34 On appelle operateur lineaire borne, toute application lineaire bornee sur la boulefermee B(0E , 1).

En fait, dans les definition et proposition precedentes, la boule fermee pourrait etre remplaceepar la boule fermee B(0E , 1) ou la sphere S(0E , 1) = {x ∈ E; ||x|| = 1}.

Proposition 28 Soit ϕ : E → E′ une application bornee. Alors,

sup||x||≤1

||ϕ(x)||′ = sup||x||<1

||ϕ(x)||′ = sup||x||=1

||ϕ(x)||′ = sup||x||(=0E

||ϕ(x)||′.

Preuve. en cours

On note L(E,E′) l’espace vectoriel des applications lineaires continues. On pose

∀ϕ ∈ L(E,E′), N(ϕ) = sup||x||=1

||ϕ(x)||′.

Theoreme 12 Le couple (L(E,E′), N) est un espace vectoriel norme. Si de plus, (E′, ||.||′) estde Banach, (L(E,E′), N) est de Banach.

Preuve.

Notation : on conviendra d’utiliser, quand il n’y a pas risque de confusion, la seule notation||.|| pour designer les trois normes ||.||, ||.||′ et N .

Proposition 29 Quelle que soit l’application lineaire continue ϕ,

||ϕ|| = inf{M ∈ R+; ∀x ∈ E, ||ϕ(x)|| ≤ M ||x||}.


3.2 Ensembles compacts

3.2.1 Definitions et premieres proprietes

Rappelons la definition suivante.

Definition 35 Soit E un ensemble non vide et I un ensemble d’indices.On appelle recouvrement de E, toute famille de parties de E, R = (Ui)i∈I , telle que sa reunionsoit egale a E : E =

⋃

i∈I

Ui.

On appelle recouvrement d’une partie A de E, toute famille R = (Ui)i∈I de parties de E, telleque

A ⊂⋃

i∈I

Ui.

Si (E, d) est un espace metrique et les parties Ui sont des ouverts, le recouvrement R est ditouvert.

Exemples1. La famille des ouverts ]−n, n[ ou n parcourt Z est un recouvrement ouvert de R, muni de

la valeur absolue. Il es est de meme pour la famille des ouverts ]n − 1, n + 1[, ou n ∈ Z.

2. La famille des ouverts {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1 − 1n} ou n est un entier naturel non

nul est un recouvrement de la boule unite ouverte, centree en (0, 0).

Definition 36 Soit R = (Ui)i∈I un recouvrement de l’ensemble E. On appelle sous-recouvrementde R toute famille (Ui)i∈J telle que J ⊂ I et E =

⋃

i∈J

Ui. Il est fini si J est fini.

Definition 37 Un espace metrique (E, d) est compact si de tout recouvrement ouvert (ou pardes ouverts) de E, on peut en extraire un sous-recouvrement fini.

Definition 38 Une partie A d’un espace metrique (E, d) est compacte si le sous-espace metrique(A, d|A) est compact.

Cela equivaut a dire que de tout recouvrement ouvert de la partie A ⊂⋃

i∈I

Ui, on peut en

extraire un sous-recouvrement fini.

Le prochain theoreme nous fournit un exemple fondamental de partie compacte.

Theoreme 13 ( de Borel-Lebesgue) Dans l’nesemble R, muni de la distance usuelle, toutintervalle ferme et borne est compact.

Preuve. Un intervalle ferme et borne est de la forme [a, b] ou a ≤ b. Le cas a = b est trivial(partie finie). Supposons a < b et soit (Oi)i∈I un recouvrement ouvert de [a, b]. On note F lapartie de [a, b] definie par :

x ∈ F =⇒ ∃Jx ⊂ I, finie ; [a, x] ⊂⋃

j∈J

Oj .

3.2. ENSEMBLES COMPACTS 31

Montrons que F = [a, b].Il est clair que F ,= ∅ puisque a ∈ F . Soit α la borne superieure de F . Necessairement α ∈ [a, b].Il existe alors un ouvert de la famille du depart, Oi0 , tel que α ∈ Oi0 et plus precisemment, unintervalle ]αi0 , βi0 [ tel que α ∈ ]αi0 , βi0 [⊂ Oi0 .Comme α est la borne superieure de F , il s’ensuit deux consequences.D’une part, α ∈ F puisqu’il existe xα ∈ F ∩ ]αi0 , α] et Jxα ⊂ I tels que

[a, α] ⊂ Oi0 ∪ (⋃

j∈Jxα

0j).

D’autre part, si α ,= b, alors α < b et dans ce cas, il existe yi0 ∈ F ∩ ]α,βi0 ] tel que

[a, yi0 ] ⊂ (⋃

j∈Jyα

0j),

ce qui contredirait la qualite de borne superieure α de F .

Autres exemples

1. Tout espace metrique (ou partie d’un espace metrique) fini(e) est compact(e).

2. L’ensemble R, muni de la valeur absolue, n’est pas compact puisque du recouvrement ou-vert (]n − 1, n + 1[)n∈Z on ne peut pas en extraire un sous-recouvrement fini (pourquoi ?).

3. De meme pour la boule unite ouverte, centree en (0, 0), en tant que partie de R2 que l’onmunit de l’une des distances habituelles. n’est pas compacte.

Proposition 30 L’espace metrique est compact si, et seulement si, toute famille de fermes(Fn)i∈I d’intersection vide admet une sous-famille finie d’intersection vide :

(Fn)i∈I : famille de fermes t.q.⋂

n∈I

Fn = ∅ =⇒ ∃J ⊂ I, finie, t.q.⋂

n∈J

Fn = ∅.

Preuve . Supposons que l’espace metrique. La donnee d’une famille d’ouverts (Oi)i∈I qui re-couvre E equivaut a la donnee d’une famille de fermes

(Fi)i ∈ I = (E \ Oi)i∈I

et la possibilite d’extraire de la premiere une sous-famille finie (Oi)i∈J qui recouvre Eequivauta celle d’extraire une sous-famille (Fi)i∈J d’intersection vide.

Corollaire 9 Dans un espace metrique compact, toute suite decroissante de fermes d’intersec-tion vide est stationnaire (plus precisement, il existe un rang a partir duquel, tous les fermessont vides).Dans un espace metrique compact, l’intersection de toute suite decroissante de fermes non videsest non vide.

Preuve. (exercice).

Proposition 31 Toute partie compacte est fermee et bornee.


Preuve. Soit K une partie compacte d’un espace metrique. Le fait que K est bornee se voit enprenant la famille des boules ouvertes (B(x0, n))n∈N (ou x0 ∈ K) qui recouvre entierement E etdonc K. Comme K est compacte, de cette famille on extrait une sous-famille (B(x0, ni))1≤i≤mfinie qui recouvre K et alors, K n ⊂ B(x0, nm).Montrons maintenant que K est fermee, c’est-a-dire que son complementaire dans E est unouvert.Soit a /∈ K. La suite de la preuve est dans le lemme suivant.

Lemme 2 Soit K une partie compacte et a, un point de l’espace E. Il existe alors deux ouvertsO et U disjoints tels que a ∈ O et K ⊂ U .

Preuve du lemme. Pour tout x pris dans K, on a rx =d(a, x)

2> 0. Les deux boules ou-

vertes B(a, rx) et B(x, rx) sont alors disjointes : B(a, rx) ∩ B(x, rx) = ∅. La famille desboules (B(x, rx))x∈K est un recouvrement ouvert de K qui est compact. On peut en extraire

un sous-recouvrement fini (B(xi, rxi))1≤i≤n. On pose U =n⋃

i=1

et O = B(a, ra) ou ra =

min{rxi ; i + 1, . . . , n}. Il est clair alors que O ∩ U = ∅.La reciproque de la proposition (31) est-elle vraie ? Oui, dans le cas de E = Rn ou E = Cn.Ce sera l’objet d’un theoreme fondamental du sous-paragraphe suivant.

Definition 39 Une partie d’un espace metrique est relativement compacte si son adherence estcompacte.

3.2.2 Theoremes fondamentaux

Theoreme 14 (Theoreme de Dini) Soit (E, d) un espace metrique compact et un : E → R,une suite croissante de fonctions continues : ∀n ∈ N, fn ≤ fn+1. Si la suite (un) convergesimplement vers une fonction u, continue, alors elle converge uniformement vers u.

Preuve. On introduit la suite de fonctions (vn) = (u − un). Elle est decroissante. Soit ε > 0.Pour tout entier naturel n, on note Kn = {x ∈ E; vn(x) ≥ ε}. Comme les fonctions vn sontcontinues, ces ensembles sont fermes. Ils forment une suite decroissante de fermes d’intersectionvide. D’apres le corollaire (9), il existe un rang n0 tel que si n > n0, Kn = ∅. Cela signifieque si n > n0, pour tout x pris dans E, 0 ≤ vn = u − un < ε, autrement dit, la suite (vn)converge uniformement vers 0.

Theoreme 15 (Theoreme de Bolzano-Weierstrass) Un espace metrique (E, d) (ou une deses parties) est compact(e) si, et seulement si, de toute suite d’elements de E, on peut en extraireune sous-suite convergente.

Preuve. Supposons que l’espace metrique est compact et soit (xn) une suite d’elements de E. Onnote Fn le ferme {xp; p ≥ n}. Les fermes (Fn) sont non vides et forment une suite decroissante.D’apres le corollaire (??),

F =⋂

n∈NFn ,= ∅.

3.2. ENSEMBLES COMPACTS 33

Montrons que tout a ∈ F est une valeur d’adherence de la suite (xn), c’est-a-dire, limite d’unesuite extraite (xϕ(n)) de (xn) ou ϕ : N → N est strictement croissante. La construction de ϕ sefait par recurrence sur n. Sachant que

∀ ε > ∀n ∈ N, B(a, ε) ∩ {xp; p ≥ n} ,= ∅,

pour ε = 1, il existe dans {xp; p ≥ 1} un element xϕ(1) ∈ B(a, 1),

pour ε =12, il existe dans {xp; p ≥ ϕ(1) + 1} un element xϕ(2) ∈ B(a,

12),

et par recurrence,

pour ε =1

n + 1, il existe dans {xp; p ≥ ϕ(n) + 1} un element xϕ(n+1) ∈ B(a,

1n + 1

). L’appli-

cation ϕ est bien strictement croissante et la suite extraite (xϕ(n)) de (xn) converge vers a.

Supposons maintenant que de toute suite delements de E, on peut extraire une sous-suite conver-gente. Montrons que E est compact.Soit (Oi)i∈I un recouvrement ouvert de E.

Lemme 3 Sous les hypotheses du theoreme, il existe ε > 0 tel que quel que soit x, pris dansE, il existe i ∈ I verifiant B(x, ε) ⊂ Oi.

Preuve du lemme. Raisonnons par l’absurde. Supposons que

∀ ε > 0, ,∃x ∈ E; ∀ i ∈ I, B(x, ε) /⊂Oi.

Par consequent, en prenant ε de la forme1n

, n ∈ N∗, on montre l’existence d’une suite depoints (xn) telle que B(x, ε) /⊂Oi., pour tout i pris dans I. De la suite (xn), on peut extraireune sous-suite (xϕ(n)) qui converge vers a ∈ E et il existe i0 ∈ I tel que a ∈ Oi0 . Comme Oi0

est un ouvert, il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ Oi0 . Il est clair alors, qu’au dela du rang n0

verifiant2

ϕn0< r, on a :

B(xϕ(n),1

ϕ(n)⊂ B(a, r) ⊂ Oi0

puisque pour tout n > n0 et tout y ∈ B(xϕ(n),1

ϕ(n),

d(y, a) ≤ d(y, xϕ(n)) + d(xϕ(n), a) ≤ 1ϕ(n)

+1

ϕ(n)≤ 2

1ϕ(n0)

≤ r.

Lemme 4 Sous les hypotheses du theoreme, quel que soit ε > 0, il existe une partie finie{a1, a2, . . . , am} telle que

E ⊂m⋃

n=1

B(an, ε).

Preuve du lemme. Soit ε > 0. On prend un element quelconque a1 dans E. Si E ⊂ B(a1, ε), lelemme est etabli. Sinon, on prend a2 dans l’ensemble E \ B(a1, ε). Si E ⊂ B(a1, ε) ∪ B(a2, ε),le lemme est etabli, sinon, on prend a3 ∈ E \ B(a1, ε) ∪ B(a2, ε). On definit ainsi un moderecurrent de construction de points (an) tels que s’il est fini, le lemme est prouve et s’il est infini,donne lieu a une suite infinie de points de E.


Mettons nous dans la deuxieme situation. D’apres l’hypothese, de cette suite, on peut extraireune sous-suite convergente. Soit a la limite de cette sous-suite . Elle est donc de Cauchy. Il exitsealors un rang n0 tel que si p et q sont deux entiers superieurs a n0, on a :

d(xφ(p), xφ(q)) < ε.

Cela contredit le fait que xφ(p+1) /∈ B(xφ(p), ε).

Revenons a la preuve du theoreme de Bolzano-Weierstrass. D’apres le lemme (3),

∃ ε > 0, E ⊂⋃

a∈E

B(a, ε) ⊂⋃

i∈I

Oi.

D’apres le lemme (4), pour cet ε > 0, il existe une partie finie {a1, a2, . . . , am} telle que

E ⊂m⋃

n=1

B(an, ε).

Corollaire 10 Tout espace metrique compact est complet.

Proposition 32 Toute partie fermee d’un espace metrique compact est compacte.

Preuve. laissee en exercice.

Theoreme 16 (Theoreme) Dans un espace vectoriel E, de dimension finie, toutes les normessont equivalentes.

Preuve. Comme l’equivalence des normes est une relation transitive, il suffit de montrer que toutenorme N sur E, est equivalente a la norme ||.||∞ definie par ||x||∞ = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}ou les xi sont les coordonnees du vecteur x par rapport a une base fixee (e1, e2, . . . , en).

Theoreme 17 (Theoreme de Heine-Borel) Dans un espace vectoriel norme (E, ||.||) de di-mension finie, une partie est compacte si, et seulement si, elle est fermee et bornee.

Preuve . On a vu (31) que dans n’importe quel espace metrique, une partie compacte est fermeeet bornee. Reste a etablir la reciproque. On privilegie la norme ||x||∞ = max{x1, x2, . . . , xn}ou les xi sont les coordonnees du vecteur x par rapport a une base fixee (e1, e2, . . . , en). Notons

que les boules ouvertes au sens de cette norme sont des “cubes ”n∏

k=1

]ak, bk[.

Soit K une partie fermee et bornee et (Oi)i∈I un recouvrement ouvert de K. Sachant que dansun espace vectoriel toutes les normes sont equivalentes, d’apres le theoreme (??), les ouverts Oi

au sens de ||.|| sont des ouverts au sens de la norme ||.||∞ :

∀ i ∈ I, Oi =⋃

]aik , bik [.

3.3. ENSEMBLES CONNEXES ET CONNEXES PAR ARCS 35

3.2.3 Compacite et continuite

Theoreme 18 (Theoreme de Heine-Borel) Soit (E, d) et (E′, d′) deux espaces metriques.On suppose (E, d) compact. Alors, toute application ϕ : E → E′, continue, est uniformementcontinue.

Preuve.

Theoreme 19 (Theoreme) Soit (E, d) et (E′, d′) deux espaces metriques. On suppose (E, d)compact. Alors, toute application ϕ : E → E′, continue, est bornee et atteint ses bornes.

Preuve.

Theoreme 20 L’image directe de toute partie compacte par une application continue est com-pacte.

Preuve.

On sait (deuxieme anne) que la limite uniforme de toute suite de fonctions continues est continue.On sait aussi que si la limite simple d’une suite de fonctions continues est continue, la convergencen’est pas necessairement uniforme. Le theoreme suivant montre que sous certaines conditions,lai convergence est uniforme.

3.3 Ensembles connexes et connexes par arcs

3.3.1 Rappels sur les ensembles convexes

Dans ce sous-paragraphe, (E, ||.||) designe un espace vectoriel norme.

Definition 40 On appelle segment d’extremites a et b (a, b ∈ E) la partie de E notee [a, b] etegale a

{a + t(b − a); t ∈ [0, 1]}.

Exemples1. Tout intervalle ferme et borne de R est un segment (a montrer).2. Un segment de droite de R3 est un segment au sens de la definition precedente.

Exercices

1. Decrire l’ensemble {(x, lnx), x ∈ [1, 4[} comme reunion d’intervalles.2. Determiner dans C[0, 1], muni de la norme de la convergence uniforme, le segment d’extremites

f1 et f2 definies par f1(t) = cos t et f2(t) = sin t.

Proposition 33 Dans un espace vectoriel norme, tout segment est compact, donc ferme etborne.

Preuve. exercice.


Definition 41 Soit (E, ||.||) un espace vectoriel norme. Une partie A de E est convexe si

∀ a, b, ∈ A, [a, b] ⊂ A.

Exemples1. Tout segment est convexe (a montrer).2. L’espace E est convexe.3. On rappelle qu’une fonction reelle de variable reelle f : I → R est convexe si la partie

{(x, y) ∈ R2;x ∈ I et y ≥ f(x)} est convexe. Montrer que l’exponentielle est convexe.

Proposition 34 Dans un espace vectoriel norme, toute boule ouverte (ou fermee) est convexe.

Preuve. On fait la preuve pour les boules ouvertes. Soit B(x0, r) une boule ouverte et a et bdeux elements de cette boule : ||a − x0|| < r et ||b − x0|| < r. Soit y ∈ ]a, b[. Il existe t ∈ [0, 1]tel que y = a + t(b − a). Par consequent,

||y|| = ||a + t(b − a)|| = ||(1 − t)a + tb|| ≤ (1 − t)||a|| + t||b|| < (1 − t)r + tr = r.

3.3.2 Espaces connexes

Definition 42 Un espace metrique (E, d) est connexe si les seules parties a la fois ouvertes etfermes de cet espace sont E et ∅.Une partie A de E est commexe si le sous-espace metrique (A, dA) est connexe.

Proposition 35 Un espace metrique (E, d) est connexe si, et seulement si, la seule reuniondisjointe possible de E par deux ouverts O1 et O2 est donnee par O1 = E et O2 = ∅ ou O1 = ∅et O2 = E.

Preuve. laissee en exercice.ExerciceDire pourquoi cette proposition peut etre enoncee en remplacant “ouverts” par “fermes”.

Un exemple fondamental est donne par la proposition suivante.

Proposition 36 Les seules parties connexes de R, muni de la distance usuelle sont des inter-valles (ouverts, semi-ouverts ou fermes).

En effet, soit A une partie connexe de R. C’est un intervalle si, et seulement si,

a, b ∈ I, −→ ∀ c ∈ ]a, b[, c ∈ I.

Supposons qu’il existe a, b, c ∈ I tels que a, b ∈ A, c ∈ ]a, b[ et c /∈ A. On considere les ouverts] −∞, c[ et ]c,+∞[. Il est clair que leurs traces sur A, notes O1 et O2, sont un recouvrementouvert de A et d’intersection vide : O1 ∪ O2 = A et O1 ∩ O2 = ∅. Comme A est connexe,O1 = ∅ ou O2 = ∅, c’est-a-dire, A ⊂ O2 ou A ⊂ O1. Il s’ensuit que a /∈ O1 ou bı, /∈ O2. Celacontredit l’hypothse.Montrons maintenant que tout intervalle A est connexe. Soit O1 et O2 deux ouverts de R telsque A ⊂ O1 ∪ O2 et A ∩ O1 ∩ O2 = ∅. Supposons que O1 ∩ A ,= ∅. Soit a ∈ O1 ∩ A. Il estclair que O2 ∩ A = R \{a} ∩ O2 ∩ A. On pose U = ]−∞, a[∩O2 ∩ A et V = ]a,∞[∩O2 ∩ A.


Montrons que U = ∅ et V = ∅.Supposons que U ,= ∅. Cet ensemble etant majore par a, on a supU = α ≤ a. Il s’ensuit queα ∈ A car il existe x ∈ U ⊂ A tel que x ≤ α ≤ a et que A est un intervalle.Premier cas : α ∈ O1 ∩ A. Il existe δ > 0 tel que ]α − δ, α + δ[∩A ⊂ O1 ∩ A et donc]α − δ, α] ∩ U = ∅. Cela contredit le fait que α soit la borne superieure de U .Deuxieme cas : α ∈ O2 ∩ A. Il existe δ > 0 tel que ]α − δ, α + δ[∩A ⊂ O2 ∩ A et donc[α,α + δ[∩O1 = ∅. Cela contredit le fait que α soit la borne superieure de U .Un raisonnement analogue (utiliser la borne inferieure de V ) conduit a V = ∅.

Proposition 37 Si une partie A est connexe, alors quelle que soit la partie B telle que

A ⊂ B ⊂ A,

elle est connexe.

Preuve.

3.3.3 Composantes connexes

Soit (E, d) un espace metrique.

Proposition 38 La reunion de toute famille de parties connexes (Ai)i∈I de E d’intersectionnon vide est connexe :

∀ i ∈ I, Ai est connexe et⋂

i∈I

Ai ,= ∅ =⇒⋃

i∈I

Ai est connexe.

Preuve. Soit deux ouverts O1 et O2 deux ouverts tels que

O1 ∩ O2 = ∅ et A =⋃

i∈I

Ai ⊂ O1 ∪ O2.

Comme les Ai sont connexes et sont recouvertes par {O1, O2}, on a, ou bien Ai ⊂ O1, ou bienAi ⊂ O2. L’ensemble des indices I se partitionne en deux, I1 et I2 tels que

U1 =⋃

i∈I1

Ai ⊂ O1 et U2 =⋃

i∈I2

Ai ⊂ O2.

Cela contredit l’hypthese sur l’intersection :

∅ ,=⋂

i∈I

Ai ⊂ U1 ∩ U2 ⊂ O1 ∩ O2 = ∅.

Proposition 39 (et definition) Quel que soit l’element a, element de E, il existe une partiemaximale (au sens de l’inclusion) Ca de E telle que (Ca, dCa) soit connexe.Cette partie Ca est appelee composante connexe de a dans E.

Preuve. Soit Ca la famille des parties connexes qui contiennent a. Cette famille n’est pas videpuisqu’elle contient {a}. D’apres la proposition precedente, sa reunion generalisee est connexeet c’est la plus grande (au sens de l’inclusion).ExempleAinsi, par exemple, l’ensemble R∗ a deux composantes connexes.


3.3.4 Connexite et continuite

Theoreme 21 Soit (E, d) et (E, d) deux espaces metriques et f : E → E, une applicationcontinue. Si E est connexe, alors, f(E) est connexe.

Preuve. Soit U1 et U2 deux ouverts disjoints qui recouvrent f(E) : U1 ∩U2 = ∅, f(E) ⊂ U1 ∩U2.Comme f est continue, les parties f−1(U1) = O1 et f−1(U2) = O2 sont deux ouverts disjointsqui recouvrent E qui est connexe. Par consequent, O1 = ∅ ou O2 = ∅. Cela implique queU1 ∩ f(E) = ∅ ou U2 ∩ f(E) = ∅, c’est-a-dire que, f(E) est connexe.

3.3.5 Ensembles connexes par arcs

Avant de passer a une notion plus forte que celle de la connexite, la connexite par arcs, definissonsce qu’est un arc..

Definition 43 On appelle chemin de E toute application continue de [0, 1] dans E.On appelle arc de E, l’image directe d’un chemin.

Les images de 0 et 1 par le chemin sont les extremites de l’arc.

Exemples1. Un segment est un arc.2. Toute partie de graphe d’une application continue f : [a, b] → ER2 est un arc (a justifier).

ExerciceMontrer que la reunion de deux arcs qui ont en commun une extremite est un arc.

Definition 44 Un espace metrique (E, d) est connexe par arcs si quels que soient deux pointsa et b de E, il existe un arc les reliant :

∀ a, b, ∈ E, ∃ϕ : [0, 1] → E, continue et telle que, ϕ(0) = a, ϕ(1) = b; ϕ([0, 1]) ⊂ E.

Exemples1. Toute partie convexe d’un espace vectoriel norme est connexe par arcs.2. Le graphe de toute application continue de R dans R3 est connexe par arcs.3. Evidemment, l’ensemble R¬∗ n’est pas connexe par arcs.

Evidemment, d’apres le theoreme (21), on a :

Proposition 40 Tout arc est connexe (et meme, connexe par arcs).

Quant a la connexite par arcs, il suffit de se referer a l’exemple du graphe d’une fonction continuesur un intervalle.

Proposition 41 Toute partie connexe par arcs est connexe.

Preuve. Soit A une partie connexe par arcs et a un element de A. Quel que x, pris dans A,il existe un chemin ϕx : [0, 1] → A tel que ϕx(0) = a et ϕx(1) = x. D’apres la propositionprecedente, ϕx[0, 1] est un arc connexe. Comme

⋃

x∈A

ϕx([0, 1]) = A et a ∈⋂

x∈A

ϕx([0, 1]),


d’apres la proposition (38), la partie A est connexe.Remarque La reciproque de cette proposition n’est pas vraie. En effet, l’ensemble A =

{(x, sin1x

); x ∈ ]0,2π

]} etant le graphe d’une fonction continue, definie sur un intervalle connexe,est connexe. D’apres la proposition (37), son adherence

A = A ∪ {(0, y);−1 ≤ y ≤ 1}

est connexe.Montrons que A n’est pas connexe par arcs.Idee de la preuve. Soit par exemple les deux points a = (0, 0) et b ∈ A. S’il existe un cheminϕ : [0, 1] → A qui les joint (ϕ(0) = a, ϕ(1) = b), d’apres la continuite, il existe un intervalle

[0, t1[ tel que ϕ([0, t1[) ⊂ B((0, 0),14). Soit t2 la borne superieure des intervalles [0, s[ tels que

ϕ([0, s[) ⊂ A0 = {(0, y);−1 ≤ y ≤ 1}. Comme A0 est ferme, t2 ∈ A0. Il est clair que t2 < 1.

D’apres la continuite de ϕ en t2, il existe δ > 0 tel que ϕ([0, 1]∩]t2 − δ, t2 + δ[) ⊂ B(c,14) ou

c = ϕ(t2). Comme c est un point aderent a A, il existe un point d ∈ A ∩ B(c,14). Montrer

alors que le morceau d’arc situe entre c et d n’est pas dans la boule B(c,14), ce qui contredit la

continuite de ϕ.

0,50,40,3

1

0,1 0,60,2

-1

-0,5

00

0,5

université de limoges département de mathématiques

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