Université de Rouen

L2 Math / L2 Info

Année 2014-2015

Algèbre. Fiche n◦4

Anneaux, corps

Exercice 1. [•]On considère l'ensemble Z + iZ = {a+ ib|a ∈ Z, b ∈ Z}.(1) Montrer que Z + iZ est un sous-anneau de (C,+, ·).(2) Pour x ∈ Z + iZ, on pose N(x) = |x|2, où | · | désigne le module dans C. Montrer qu'un

élément x ∈ Z + iZ est inversible (dans Z + iZ) si et seulement si N(x) = 1.(3) En déduire l'ensemble des éléments inversibles dans Z + iZ.

Exercice 2. [•]Soit A un anneau commutatif unitaire.

(1) Montrer que pour tout x ∈ A, l'ensemble xA = {y ∈ A|∃a ∈ A : y = xa} est le plus petitidéal de A contenant x.

(2) Montrer que xA = A si et seulement si x est inversible dans A. En déduire que A est uncorps si et seulement si {0} et A sont les seuls idéaux de A.

Exercice 3. [•]Soit A un anneau et soient I, J deux idéaux de A.

(1) Montrer que I ∩ J est le plus grand idéal de A contenu à la fois dans I et dans J .

(2) Montrer que I + J = {z ∈ A|∃x ∈ I, ∃y ∈ J : z = x + y} est le plus petit idéal de Acontenant à la fois I et J .

(3) A-t-on I ∩ J = I + J ?

Exercice 4.

Soit A un anneau principal. Soient a, b ∈ A et d (resp. m) un PGCD (resp. PPCM) de a et b.

(1) Montrer que a divise b dans A si et seulement si bA ⊂ aA.(2) Montrer que aA+ bA = dA et que aA ∩ bA = mA.

(3) Montrer que Z est un anneau principal.

(4) En déduire la relation de Bezout.

(5) Déterminer la somme xZ + yZ ainsi que l'intersection xZ ∩ yZ pour x = 23, y = 41, pourx = 121 et y = 737, et pour x = 72 et y = 84.

Exercice 5. [•]Montrer que l'ensemble K = {a+ b

√2|a ∈ Q, b ∈ Q} est un sous-corps de R.

Exercice 6.

Soit (A,+, ·) un anneau. On appelle centre de A l'ensemble C = {x ∈ A|∀y ∈ A, xy = yx}.Montrer que C est un sous-anneau de A.

Exercice 7.

On dé�nit sur R les deux lois ⊕ et ⊗ par :

∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x⊕ y = x+ y − 1 et x⊗ y = x+ y − xy.Montrer que (R,⊕,⊗) est un corps.

Exercice 8.

Soit M = {aI2 + bJ |a, b ∈ R} où I2 =(

1 00 1

)et J =

(0 21 0

).

(1) Calculer J2 et montrer que si a, b ∈ R et aI2 + bJ = 0 alors a = b = 0.(2) Montrer que, muni des lois usuelles sur M2(R), M est un anneau. Est-il commutatif,

intègre ? M est-il un corps ?

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Exercice 9. [•]Soit (A,+,×) un anneau. On dit que x ∈ A est nilpotent s'il existe n ∈ N∗ tel que xn = 0.

(1) Montrer que si x est nilpotent alors 1− x est inversible.

(2) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent alors xy et x+ y sont nilpotents.

(3) Un corps admet-il des éléments nilpotents non nuls ?

Exercice 10. [•]

(1) Écrire les tables de multiplication respectives des anneaux Z/5Z et Z/12Z.(2) Donner les éléments inversibles de ces anneaux.

(3) Déterminer les diviseurs de zéro de ces anneaux.

(4) Dans Z/12Z, résoudre 5x = 5 puis 6x = 6.

(5) Dans Z/12Z, calculer 10 npour n ∈ N∗.

Exercice 11. [•]

(1) Montrer que x est inversible dans Z/nZ si et seulement si x est premier avec n.

(2) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

(a) p est premier,

(b) l'anneau Z/pZ est intègre,

(c) Z/pZ est un corps.

Exercice 12. [•]Soient n1 et n2 deux entiers ≥ 2 premiers entre eux. On sait qu'il existe deux entiers relatifs u

et v tels que un1 + vn2 = 1.

(1) Soient a1, a2 et a dans Z tels que a ≡ a1vn2 +a2un1 [n1n2]. Montrer que pour tout x ∈ Z :

(x ≡ a1[n1] et x ≡ a2[n2])⇐⇒ x ≡ a[n1n2].

(2) Résoudre : x ≡ 1 [17]x ≡ 2 [28]x ≡ 3 [31]

.

(3) Montrer que l'application φ de Z/(n1n2)Z dans Z/n1Z× Z/n2Z qui à x associe le couple(x, x) est un isomorphisme d'anneaux. En déduire que Z/24Z est isomorphe à Z/8Z×Z/3Z.

Exercice 13.

Soit (A,+,×) un anneau unitaire, intègre et commutatif. On dé�nit sur A × A∗ une relationbinaire R par :

(p, q)R(p′, q′)⇐⇒ pq′ = p′q,

ainsi que les opérations :

(p, q) + (p′, q′) = (pq′ + p′q, qq′), (p, q).(p′, q′) = (pp′, qq′).

(1) Montrer que R est une relation d'équivalence.

(2) Montrer que l'addition et la multiplication ainsi dé�nies sont compatibles avec R.(3) On note K = (A × A∗)/R et p

q la classe d'équivalence de (p, q). Comment s'écriventl'addition et la multiplication dans K. Montrer que (K,+, .) est un corps commutatif ;celui-ci est appelé corps des fractions de A.

(4) Montrer que l'application Φ : A→ K dé�nie par Φ(p) = p1 est un homomorphisme injectif.

(5) Qu'obtient-on si A = Z ? Et si A est un corps ?

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Exercice 14. . Contrôle continu 2, décembre 2013.Soit (A,+,×) un anneau commutatif unitaire. On suppose que A est un anneau intègre.

On considère l'ensemble A des fonctions f : R −→ A et on munit A des lois de compositionsinternes + et × dé�nies par, pour tous f, g ∈ A :

f + g : R −→ Ax 7−→ f(x) + g(x)

et f × g : R −→ Ax 7−→ f(x)× g(x)

.

On admet que (A,+,×) est un anneau commutatif unitaire d'élément nul l'application 0A : R −→ Ax 7−→ 0A

et d'élément unité l'application 1A : R −→ Ax 7−→ 1A

.

(1) Soit f ∈ A. Montrer que f est inversible dans A si, et seulement si, pour tout x ∈ R, f(x)est inversible dans A.

(2) Soit f ∈ A non nulle. Montrer que f est un diviseur de zéro si, et seulement si, il existex ∈ R tel que f(x) = 0A.

(3) L'anneau A est-il intègre ? Est-ce un corps ?

(4) Soit I un idéal de A. Montrer que l'ensemble I des fonctions f : R −→ I est un idéal deA.

(5) Soit B un sous-anneau de A. Montrer que l'ensemble B des fonctions f : R −→ B est unsous-anneau de A.

Exercice 15. . Contrôle continu 2, décembre 2013.

(1) L'anneau Z/20Z est-il intègre ?

(2) Quels sont les éléments inversibles de Z/20Z ?

(3) Quels sont les éléments inversibles de Z/4Z× Z/6Z ?