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VOLUMES
UNITÉS ET MESURES
Dossier n°7 Juin 2005
Conçu et réalisé par :
Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM
Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Annie VANDERSTRAELE
Je tiens une de ces FORMES, ma FIGURE est tout en VOLUMES
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 1
C. D. R. UNITES ET MESURES
Apprentissage AGRIMEDIA Volumes
Objectifs :
- Calculer les volumes des solides usuels à l’aide des formules Contenu :
- Calculs de volumes
- Exercices d’application et problèmes avec réponses Matériel nécessaire :
- Calculatrice
Pré-requis :
- Maîtriser les calculs d’aires (cf. dossier n°4)
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 2
CALCUL DES VOLUMES LES PLUS
UTILISÉS
Calculer le volume d’un objet, c’est calculer la place qu’occupe cet objet dans l’espace.
Formules de calcul Exemples
CUBE côté ou arête
Le côté d’un cube s’appelle l’arête de ce cube
Volume
=
arête x arête x arête
ou
arête3
Volume = arête x arête x arête
Volume = 3 x 3 x 3 = 27
Le volume de ce cube est : 27 unités
3
PARALLÉLÉPIPÈDE ou PAVÉ
Longueur
Volume
=
Longueur x largeur x hauteur
Volume = L x l x h
Volume = 6 x 3 x 4
L = 6 Volume = 72
Le volume de ce pavé est : 72 unités
CYLINDRE
rayon
Volume
=
π x rayon x rayon x hauteur
ou
π x rayon2 x hauteur
(R = rayon)
Volume = π x R x R x hauteur
Volume = π x 1 x 1 x 4
Volume � 12,56
Volume de ce cylindre : 12,56 unités
1
BOULE ou SPHÈRE
rayon
Volume
=
3
R x R x R x x 4 π
ou
3
rayon x x 4 3π
Volume = 3
R x R x R x x 4 π
= 3
1,5 x 1,5 x 1,5 x x 4 π
� 3
442, � 14,1
Le volume de cette boule est 14,1 unités
1,5
hau
teur
h =
4
hau
teur
4
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 3
Maintenant à vous !
Exercices Exercice 1 : Une salle de classe mesure 8 mètres de longueur, 6 mètres de largeur et 3 mètres de hauteur. Calculez le volume de cette classe. Exercice 2 : Calculez le volume d’une boîte de conserve cylindrique de 5 cm de rayon et de 15 cm de hauteur.
Exercice 3 : Un ballon de football a un diamètre de 24 cm. Calculez son volume.
Exercice 4 : L’arête d’un cube mesure 2 décimètres. Calculez le volume de ce cube.
Voir réponses page suivante
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 4
RÉPONSES Les résultats indiqués dans les réponses suivantes ont été
calculés avec la touche π (pi) de la machine à calculer. Exercice 1 : Une salle de classe mesure 8 mètres de longueur, 6 mètres de largeur et 3 mètres de hauteur. Calculez le volume de cette classe.
Le volume de cette classe est : Longueur x largeur x hauteur
soit : 8 x 6 x 3 = 144
Le volume de cette classe est donc : 144 m3
Exercice 2 : Calculez le volume d’une boîte de conserve cylindrique de 5 cm de rayon et de 15 cm de hauteur.
Le volume de cette boîte de conserve est : π x rayon x rayon x hauteur
soit : π x 5 x 5 x 15 � 1 178,1
Le volume de cette boîte est environ : 1 178,1 cm3
Exercice 3 : Un ballon de football a un diamètre de 24 cm. Calculez son volume.
Le volume V du ballon de football est : 3
R x R x R x x 4 π
Le rayon est 122
24= soit 12 cm, d’où : V =
3
12 x 12 x 12 x x 4 π� 7 238,229
Le volume de ce ballon est environ : 7 238,2 cm3
Exercice 4 :
L’arête d’un cube mesure 2 décimètres. Calculez le volume de ce cube. Le volume du cube est : arête x arête x arête
soit : 2 x 2 x 2 = 8
Le volume de ce cube est : 8 dm3
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 5
Parfois, connaissant le volume d’un objet, il peut être utile de calculer l’une de ses dimensions. C’est ce que nous allons voir.
Exemple : Sur un massif rectangulaire de 7 mètres de longueur et 5,2 mètres
de largeur, on étale régulièrement 5,1 m3 de terreau. Quelle est l’épaisseur de la couche de terreau ? Le volume de terreau est V = Longueur x largeur x hauteur 5,1 = 7 x 5,2 x hauteur 5,1 = 36,4 x hauteur
D’où : 0,14 36,4
5,1 hauteur == soit 0,14 m ou 14 cm
L’épaisseur de la couche de terreau est donc : 14 cm
Maintenant à vous !
Exercice 5 : Un silo à grains cylindrique de 2 mètres de diamètre contient 12 m3 de blé. Quelle est la hauteur de blé dans ce silo ?
Voir réponse page 7
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 6
Exercice 6 : Lors de la construction d’une route de 4 m de large, on étale du remblai (des pierres) sur une épaisseur de 15 cm. Quelle longueur de route peut-on recouvrir avec 300 m3 de remblai ? Exercice 7 : Un bassin cylindrique mesure 5,6 mètres de diamètre et a une profondeur de 1,4 mètre. Quel est le volume de ce bassin ? Quelle est la hauteur atteinte lorsqu’on y verse 23,4 m3 d’eau ? Exercice 8 : Dans une station service, une cuve à essence a la forme d’un parallélépipède de 7,8 mètres de longueur et de 2,5 mètres de largeur. 1) Le matin, le pompiste constate que la hauteur d’essence dans
la cuve est de 1,3 mètre. Quel est le volume d’essence contenu dans cette cuve ?
2) Dans la journée, il vend 9,75 m3 d’essence.
Quelle est la hauteur de l’essence qui reste dans la cuve ?
Voir réponses pages 7 et 8
€ Litres
Pompe
à
essence
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 7
RÉPONSES
Exercice 5 :
Un silo à grains cylindrique de 2 mètres de diamètre contient 12 m3 de blé. Quelle est la hauteur de blé dans ce silo ?
Le volume qu’occupe le blé est : V = π x rayon x rayon x hauteur
d’où : 12 = π x 1 x 1 x hauteur
12 = π x hauteur
d’où : 3,82 12
hauteur ≈
π
=
La hauteur de blé dans ce silo est environ 3,82 m
Exercice 6 :
Lors de la construction d’une route de 4 m de large, on étale du remblai (des pierres) sur une épaisseur de 15 cm. Quelle longueur de route peut-on recouvrir avec 300 m3 de remblai ?
Le volume du remblai est : V = Longueur x largeur x hauteur
300 = Longueur x 4 x 0,15 300 = Longueur x 0,6
d’où : 500 0,6
300 Longueur ==
La longueur de route que l’on peut recouvrir est : 500 m
Exercice 7 :
Un bassin cylindrique mesure 5,6 mètres de diamètre et a une profondeur de 1,4 mètre. Quel est le volume de ce bassin ? Quelle est la hauteur atteinte lorsqu’on y verse 23,4 m3 d’eau ?
Le volume du bassin est : π x rayon x rayon x hauteur
soit : π x 2,8 x 2,8 x 1,4 � 34,48
Le volume de ce bassin est environ 34,48 m3
Le volume qu’occupe l’eau est : V = π x rayon x rayon x hauteur
d’où : 23,4 = π x 2,8 x 2,8 x hauteur
23,4 � 24,63 x hauteur
d’où : 0,95 6324
23,4 hauteur ≈=
,
La hauteur d’eau dans ce bassin est environ 0,95 m
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 8
Exercice 8 : Dans une station service, une cuve à essence a la forme d’un parallélépipède de 7,8 mètres de longueur et de 2,5 mètres de largeur. 1) Le matin, le pompiste constate que la hauteur d’essence dans
la cuve est de 1,3 mètre. Quel est le volume d’essence contenu dans cette cuve ?
2) Dans la journée, il vend 9,75 m3 d’essence.
Quelle est la hauteur de l’essence qui reste dans la cuve ? 1) Le volume d’essence contenu dans la cuve est : V = Longueur x largeur x hauteur
V = 7,8 x 2,5 x 1,3 V = 25,35
Le volume d’essence contenu dans la cuve est : 25,35 m3
2) Le volume de l’essence qui reste dans la cuve est : 25,35 - 9,75 soit 15,6 m3
Le volume de l’essence qui reste est : V = Longueur x largeur x hauteur
15,6 = 7,8 x 2,5 x hauteur 15,6 = 19,5 x hauteur
d’où : 0,8 19,5
15,6 hauteur ==
La hauteur de l’essence qui reste dans la cuve est : 0,8 m
Très bien ! Passons à la suite !!
€ Litres
Pompe
à
essence
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 9
AUTRES CALCULS DE VOLUMES
Formules de calcul Rappels
PRISMES
Volume du prisme =
aire de la base x HAUTEUR
V = aire du triangle x HAUTEUR
V = aire du trapèze x HAUTEUR
Aire du triangle =
2
x base hauteur
B = GRANDE BASE
b = petite base
Aire du trapèze = hauteur x 2
b +B
Il ne faut pas confondre la HAUTEUR du prisme et la hauteur de la figure qui forme la base du prisme.
PYRAMIDE
et
CÔNE
Le volume V de la pyramide et celui du cône se calculent de la même façon :
V =
La base d’un cône est toujours un disque dont l’aire est :
Aire de la base = π x rayon 2
Chapitre 2
HA
UT
EU
R
HA
UT
EU
R
hauteur
base
B
b
hauteur
HA
UT
EU
R
HA
UT
EU
R
Aire de la base x HAUTEUR
3
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 10
Maintenant à vous ! Exercice 1 : En Egypte, la pyramide de KHÉOPS est la plus haute des trois pyramides du site de Gizeh. C’est une pyramide à base carrée. Ses dimensions sont les suivantes : côté du carré : 230 m HAUTEUR : 146 m Quel est le volume de cette pyramide ? Exercice 2 : Une tente pour campeur de type canadienne a pour dimensions : Longueur : 197 cm largeur : 98 cm hauteur : 112 cm Calculez le volume de cette tente. Remarque : cette tente a la forme d’un prisme à base
triangulaire, comme le montre le schéma ci-contre. Commencez par placer sur ce schéma les dimensions indiquées dans l’énoncé.
Voir réponses page 12
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 11
Exercice 3 : Une bougie a la forme d’un cône de hauteur 12 cm. Sa base est un cercle de diamètre 10 cm. Quel est le volume de cette bougie ? Exercice 4 : Un réservoir d’eau est composé d’une partie cylindrique et d’une partie conique, comme le montre le schéma ci-contre. Calculez son volume.
Voir réponses page 13
16 dm
12 dm
22 dm
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 12
RÉPONSES Exercice 1 : En Egypte, la pyramide de KHÉOPS est la plus haute des trois pyramides du site de Gizeh. C’est une pyramide à base carrée. Ses dimensions sont les suivantes : côté du carré : 230 m HAUTEUR : 146 m Quel est le volume de cette pyramide ? Aire de la base de la pyramide = 230 x 230 = 52 900 soit 52 900 m2 Volume de cette pyramide : V = ( Aire de la base x HAUTEUR ) / 3
V = ( 52 900 x 146 ) / 3
V = ( 7 723 400 ) / 3
V � 2 574 467
Le volume de la pyramide de KHÉOPS est environ 2 574 467 m3
Exercice 2 : Une tente pour campeur de type canadienne a pour dimensions : Longueur : 197 cm largeur : 98 cm hauteur : 112 cm Calculez le volume de cette tente. Les dimensions de ce prisme sont : base du triangle : 98 cm hauteur du triangle : 112 cm HAUTEUR du prisme : 197 cm
Aire du triangle de base : 488 5 2
112 x 98= soit 5 488 cm2
Le volume du prisme est : V = Aire de base x HAUTEUR
V = 5 488 x 197
V = 1 081 136
Le volume de cette tente est : 1 081 136 cm3 ou encore environ 1,08 m3
UNITÉS ET MESURES – Volumes – Dossier n°7 13
Exercice 3 : Une bougie a la forme d’un cône de hauteur 12 cm. Sa base est un cercle de diamètre 10 cm. Quel est le volume de cette bougie ?
Le rayon du disque de base est 5 2
10= soit 5 cm
L’aire de la base de la bougie est : π x 5 2 ≈ 78,54 soit 78,54 cm2 Le volume de cette bougie est : V = V = V ≈ 314,16
Le volume de cette bougie est environ : 314,16 cm3
Exercice 4 : Un réservoir d’eau est composé d’une partie cylindrique et d’une partie conique. Calculez son volume.
Le volume du cylindre est : V = π x 8 x 8 x 12 soit environ : 2 412,74 dm3
La hauteur du cône est : 22 - 12 = 10 soit 10 dm Le volume du cône est : V = soit 670,2 dm3 environ Le volume total est : 2 412,74 + 670,2 = 3 082,94
Le volume du réservoir est environ : 3 083 dm3
Fin
Aire de la base x HAUTEUR
3
78,54 x 12
3
( π x 8 x 8 ) x 10
3
16 dm
12 dm
22 dm