This article was downloaded by: [University of Auckland Library]On: 06 December 2014, At: 06:03Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Stochastics and Stochastic ReportsPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/gssr19

Une approche unifiee pour une forme exacte dU prixd'une option dans les differents modeles a volatilitestochastiqueBoris Leblanc aa UFR de Mathématiques , Université Paris VII , et Crest, 75251, France2 Place Jussieu,Paris Cedex 05Published online: 04 Apr 2007.

To cite this article: Boris Leblanc (1996) Une approche unifiee pour une forme exacte dU prix d'une option dans lesdifferents modeles a volatilite stochastique, Stochastics and Stochastic Reports, 57:1-2, 1-35

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BORIS LEBLANC

Universiti Paris YII, UFR de Mathimatiques, 2 Place Jussieu, 7525i PARIS Cedex 05, FRANCE, ea CREST

f Received 7 Juiy 1995; in finai,fornz 27 October 1995)

Besse! procrssrs occur in many mndels in finanrr Using these processes, we give a probabilistic way to find closed-fox solution for q t i o n prices in di5e:ent mode!s including stochastic vo!atility mith correlations and jump processes.

KEY WORDS: Stochastic yolati!ity, smi!e curve; Bessel processes

AIMS 1991 subject class$tutions: 60560, 90A09

INTRODUCTION

Depuis les descriptions de Black-Scholes (1973) 121 et Merton (1976) [12], de nombreuses ktudes ont ktk rtalisees pour dkcrire de f q o n plus prkcise le prix d'une option europtenne sur le cours d'un actif. Une faiblesse principale de ces modeles est qu'ils supposent que lss prix suivent m e lo; log-norma!e avec une volatilite constante.

Suite i des etudes de skries temporelles faites sur la volatilite, Wiggins (1987) [23] introdnit une volatilitk storhastique et dirrit la fnrme de i'tquation aux derivtes partielles que devrait suivre le prix d'une option.

Dans ces modeles ou la volatilitk decrit une equation differentielle stochastique, on sait que le march6 n'est pas complet et il est done difficile d'obtenir la probabiliti. sous laquelle on doit faire la valorisation. Cependant, Hull et White (1987) [S], en faisant I'hypothise de l'absence d'une prime de risque sur la volatilitt expriment le prix d'une option ccmme l'espkrance rkactualisee de son pay-off ce q ~ i perrmt de mener les calculs le plus loin possible. Ils introduisent un modile dans lequel la volatilite suit une loi log-normale mais se restreignent au cas ou les mouvements browniens sont non corrklks et n'apportt--i dans ce cas qu'une solution numerique approchke au p r o b l h e du pricing de l'option.

La premiere solution exacte est apportke par Stein et Stein (1991) [21] dans un modile ou la volatiliti suit un processus d'ornstein-Uhlenbeck et ou les mouvements

'Je remercie Marc Yor pour l'aide et l'attention qu'il a bicn voulu me porter ainsi que Laure Elie qui m'a conseillt. pendant tout mon travail.

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browniens ne son1 toujours pas corrklis, La mCthode repose sur la resolution d'urie equation uux d2rivt'i's partielizs, La m2me mithode iin peu rnodifike perme; $ Hesron

- - . . . \ . \ 5

(199.3) [7] d~ititroduire Linz corr?larion ii;trc iss browniens dar,.; un moce:e ou ie car:-i de la ~o!~:ili:i s ~ j t i.in p:-oczbcus d'Orpsr.t.in-'id-h!eil;_7pck i l .'in\piri: iie la mt&hociz: de resoiutiori par deb 2yuaiionb aux diiriiizs ~:ariieiIzs, dkji rkiliisie dm:, le nwii2ic: dc - %. OX-lngerwii ~i Xo';<, it.< ci>niiitions a:m iirnite? rosiani ~culcr:ieiii ii &;;iiir.

Enfin, u n du-nier modiie a 132 introdtiit par Chesney et Scoit (1989) [41 oii :i: logari~hmz de ia variarice sui'i btn i;roce;sus d'Onlstein-Ul~ienbeck. Le prob12me -.

d'une solution exace n'est alors pas traite, l'erude de series temporeiles kiarnc seuk . , r c~nridcrce.

saiL5 ;irticie+ E:olls a~lc)Iis $j,-,il- -------- -- .-+-- a..: 4 - , ,. .t ,, , ~:,:::~:icitt, ci: I!!t! \juu?saL!L &s processus dc B C S S ~ ~ . on peut rkoudre le problime du pricing de l'option dans les mode!es Li volatiiite stochastique. toujours dans l'hypothise oil le prix d'une option est 19esperance rkactualiske de son pay-off. Les processus de Bessel ont dej$ ;ti introduits en finance par Geman et Yor (1993) [6] pour obtenir le prix d'options sur moyenne (options asiatiquesj. i'approcne et la rksoiudon seronr aonc ici purement probiibii- istes et exactes. Elks reposent sur Ie Ljir que, dans le modiie de Huil et White et de -. < ' .,. r . ~ f i ~ ~ ~ ~ ~ et Scoii ia ~;o;ar~;;rc suit processus de Bessei chlLr,g& dc: terllps, ,T,, ,

Y UV

dans ie modkie de Heston, eiie suit un carre de processus de Bessei changk cie temps. Seul ie modeie de Stein er Stein n'introduit qu'un mouvement brownien drifte change de temps, rnais on va i,oir yr;'uiie demarche tout fair simiJaire permet de r&oudre le problirne. Les inodk!es seront trait& dvec tine ciirrClation entre ies ?I- I ~livcments broivniens (3: C Z pimil memc ajoutcr un processus de P~isson 63113 i'kquation donnant le prix cle l'actii'.

5 ans m e p r e ~ i i r e partie, on prtsente les proprietks uti1isi.e~ sur les processus de Bessei. Zeiie partie maihkrnaiique est iiiciispeiisabie pour k e n cornprendre le raisonnement mais peut Ctre laissee de cot6 dans l'optique d'une exploitation pratiyue.

La deuxiime partie prCsente les diflerents rnodiles Ctudits et une rksoluiion exactc sous forme d'integraie (pour ies trois premiersj, directemem implantabie dam un micro-ordinatcur. Une soiurion est tgalernent donnle pour un quatrierne rnod&le inspire du modele de Chesney et Scott. L'interit est alors evident car il permet d'kviter toute solution obtenue par simulation, cette methode etant dans ce cas, particuliirement longue et pas toujours fiabie quant aux incertitudes cnmmises.

Dans la troisiime partie, on commence par montrer qu'on peut sans problemes majeurs ajouter un processus de Poisson ainsi que certains types de prime de risque de volatilite. On s'interesse ensuite $ certains deveioppements en cours concernant l'implkmentation numirique, l'ktude du Smile de volatilitt ainsi que l'approche de la couverture a l'aide du calcul explicite des differents indicateurs.

D~~FINITION 1 . I Soit (bT7f),>0 un rncuvement brownien reel et b un reel positif ou nul, un processus de carrt de Bessel BESQ"~ dimension 6 est un processus de

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OPTIOhS %!TI1 STOCHAS TIC \ G L 4 IILL I Y

Remarques el Notations:

o R, ttant positif, on peut reecrire i'equation de diffusion de depart:

e Si S s N+, on peut h i r e R, = r k l tv1?(t) oli les Wjr) sont des mouvements browniens ritels independants et donc le processus de carre de Bessei de dimension deux, RESQ' est le carrk de la norme d'un rnouvement browniert plan.

o Si 6 est la dimension du processus alors, i/ - 1112 - 1 est appelk l'indice du processus. Certainer nmnri6ti.s fa.';ris:rnt appe! 2. !'indice, R!") = R b s r r : ~ noti.

I-- YE------- - - r --- -- SESQ%U BBESQ("! et, pl"' - ,of - fl scra riot& BESQou BE,~'(") et esi appele prncesszu de B ~ S S C ~ de dimension S (ou d'indicc v). F,.- I , . r 7 . , I , ~ L = at ict l v i ~ i l u ~ c u ILU, oil ~b i ien i .

DFFINITION 1 2 Soit ( W,)t>O un mouvement brownten reel et S un reel str~ctement supkneur a 2 le processus de Ressrl ?f = 4v@ d e d r m e n s ~ o n h P E ~ 17nn1cpe ~n l l l t lnn de l'tquallon d~fferentielle stochastique

de valeur initiale po > 0. i i est i noter qu'on peut etendre cette formule dans le cas oii 5 est compris entre 0 et d e w ![I91 p, 431---4321,

3 La loi du BES@ issu de x sur C(W-. R) esl notte Qt . La convolCe de P ei 9 c'est-$-dire l'image de la mesuie produit 1' 8 Q sur C(R+. R)' par (d, d') - U, + u,' est note P * Q.

LEMME 1 . 1 (Shiga- Watanahe (1973))

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1 B. LEBLANC

P r e z w ([I91 p. 421) Soient W et W i deux mouvements bro~vniens independants, Z et Z! solutions de (2) pour (x, 6) et (2. $'), rt X = Z + Z'. kiors,

avec W" mouvement brownien indkpendant de W et W'. Alors, 7, est une martingale satisfaisant (7. y), = t et,

et donc X est bien un BESQ~+" partant de .v t x'.

LEMME 1.2 La trunsjbrrnbe de Lapiace du BESQ' sarisfail:

Preuve (1251) On a

I h r

Ex [exp - XR: ] = e-, J: + 2%

Or, d'apres le lemme prtctdent, on a

E,+,. [exp - AR;+'] = E, [exp - A R ~ ] E,. [exp - A R ~ i

0 Eo /exp - XR:] = ( E ~ [exp - X R ~ ] )

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OPTIOhS WITH STOCHASTIC 1 OLATILITY

( 1 'j"" -Ax 1 - exp i

(1 + Z&/ I

\\I + 3X!/

Pour 6 > 0, la densiti de transitiorz du BES' satisbit:

I / I , v i 1 1% ["'- + y") >y\

p f ( . ~ ? ~ ) =: (6) exp- L \it/ 2t ru [r

\ L /

On rappelle que la fonction I, est la fonction de Bessel modifiee de premiire espice dtfinie par:

1.2 Formules de chan~ement de tenzps

Ces f~rmules ont pour h t de rarnener I'ttude de certaim pmcessus a ce!!es de processus mieux connus. Elles reposent toutes sur la formule d'It6 et sur l'unicitt de !a s ~ i u t i ~ r , de !'EDS vCrifiCe par !es processus de Besse!.

PROPRI~TE 1.2 (Williams 1974) L'exponentielle de brownien avec driji esl un processus de Bessel change' de tenzps:

Preuve Appliquons la formule d'ItB a exp(W, + utj:

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car, exp(W, vt) dl+; = div,. -~ , . , c\pzt Ct' -:,,,,,\ . I . ,

Posonr 1'3, = inf { l : .4, = I ! ) , .A!ors. bi;, = ~fuH' exp( W, - v:):!#'~ est ur, ($ZH,)-

rnowcment hrownien. En differentiant AH = t = V ' ! exp 2 FV, ik, on obtient alors dt = exp 2(i.t/N,+

J ti

~/H,jdI-i,. D'nll, en posznt ? = H,, &r,s I'kquadon &ffirentie!te.

- 1) Li' c.<p( T$,' v;[(i) = $V(( +

cEi, , . -- ! 2) enp i [$IIfl4 - v,yu . ce qui est exactenlent l'iquation suivie par un BES(",. On obtient alors le rksultat par unicitk trajectorielle de la solution de l'equation verifiie par le BE$"). n

(La proprieti suivante s'obtient par une dkmonstration analogue ou bien en suivant [19].)

avec R ( t ) fonction diterministe co~ztinue en t et,

Su

od K esi un BESQp de vvaieur inirinie Ro = ro.

Preu~e Virifions que u, introduit en (1.7) est solutior, de (1.6).

Puis, par changement d7echelIe,

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OPT!O\S Tn ITH STOCH4STIC VOLAlTl I T\I

On obtient alors

Dans le cas particulier ou 3 ( / ) est une constante non nul!e,

Connaissant la densiti. du Bessel carri. donni. par (1.2), la densiti. de transition du procewis j r , ) cst donni.e par:

1.3 Calcul de difle'rentes lois

NOUS alions msintenant appiiquer les formmule? pskckdentes afin de calculer !es loii qui seront utilisites dans ia partie suivante.

Elks s'obtiennent directement a partir du thkorerne de Girsanov et des formules de . . chaagerneni de icmps, ei permetierit de passer d'iiii processus ajiant uri certain indice (ou une certaine dimension) a un processus ayant un autre indice (ou une autre dimension). On se place sur I'espace canonique des fonctions continues de R+ dans It, b l = C(Ri, R), et on deslgne par x>(w) = wjs j , s E R?. Soit ('3,),2,, la iiitration dtfinie par 9;r", = o { x , s 5 1).

Processus de Bessel pour tout > 6, LC > 6, 1- I - : 1.- ------ " 1- D - - - - l 1,:-1:--

- ~ V I uu ~ I U L G ~ ~ U ~ UG U G ~ ~ ~ ~ I1luILr; ii, issue dc a s'exprime a !'aide de celk du processus de Bessel d'indice O par:

Processus norme cl'Ornstein- C'hlmhrck au carrd. C'est !a solution X , de l'equation diffkrentielle stochastique:

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Pour tout a t R, 3 E 2, a 2 0, on nore 'P;: la loi du processus norme d50rnstein- Uhlenbeck au carre issue de a, de paramttres a si .I. Elle vkrifie:

ou ' P : est la loi (22 du processus dr: carrk de Bessel de dimension 6 issu de a.

Remarque On peut aussl passer du carre de Bessel a la norme d'Ornstein- Uhlenbeck au cxrri Plu\ preclstment, on agrc

Processus d'Onzsteiiz- Uhienheck Soit X, un processus d'Ornstein-Uhlenbeck de parametre h et de drift a, c'est ii dire solution de l'tquation differentielle stochastique:

Pour tout a E R, b E R, x E R, on note - b ~ : la loi du processus d'ornstein- Uhlenbeck issue de x de parametre - I ) et de drift a. On a la formule suivante pour tout x E R:

-b P J Y , 0 = exp - - (x: - r2 - r ) + uc A' X,ds - (bc - ;) 1' X:ds) - b + L ~ ; / q t . ( f (1.13)

particulier, si c = b,

b b2 h ~ : / ~ I = exp (- ;- (X; - x2 - r ) + oh X, ds - /' X: ds) P:/9 , . (1.14)

\ J 0 J O 1

P: est la loi du mouvement brownien issu de x et de drift a.

Pveuve Soit Xt , un processus satisfaisant 1-equation diErentielle stochastique:

dXl = (a - ( h - cjXt:,j& + d W I ,

et - b + ~ p " , sa loi. Si on fait le changement de probabilite

alors, sous -b P;, wf = W t + c j"of Xs d3 est un mouvement brownien et.

dX, = (a - bX,)dt + d R .

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OPTIONS WITH STOCHASTIC VOLATILITY

Sachant,

Le calcu! du p i ) : d'une option necessite !a connaissance de certaines !=is qui dependent du modele utilise. Si on peut obtenir des transformees de Laplace de ces iois, eventuellement en des temps exponentieis il est souvent difficile d'inverser ces transformees. Cependant, on va montrer dans la partie suivante que le calcul de la transformke de Laplace suffit pour &valuer une option sur le sous-jacent.

1. Loi de ( R , , .ibf Rs ds) On considere R, un processus de carre de Bessel d'indice v partant de .T et on s;inieresse ]'expressioii:

En effet, d'apres la formule (1.12), cette esperance s'exprime comrne la transformke de Laplace d'un processus de norme d'Ornstein-Uhlenbeck carre. On calcule cette transformke de Laplace en exprimant la norme d70rnstein-Uhlenbeck carre en fonction d'un cam& de Resre! fnrmule (1.8) p i s en app!icpan !e Semme (1.2). - - - -

2. i o i de (Y; . JPo' Y 5 diS, J , i7,'dsj On considere Y, un processus d'Ornstein-Uhlenbeck de drift a et de paramitre -6, partanr de x. On s'interesse a i'expression:

On klimine le parametre -b par la formule de Girsanov (1.13):

K , D ~ , ~ = E [exp (-al Y: - 1 Y - 2 1' Y: ds) exp (i (x + t ) ) ] ,

oG, nl = a + 4, p' = /3 - ab, -y? = 12 + b2 et ou, sous P, Y, est un mouvement brownien de drift a.

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. - 10 B LEBLANC

Posons 3: = 5 et considirons Z; = Y: - J1 le mouvement brownie11 drift6 issu de r + ,Y1. Nous avons.

Gn klmine mainteilant le drlft a par la formule tle C i r smo-~

SOUS J', PJI est un rnouvenlent brownicn standard. D'apres la formule ( I . 1 31,

oh X, est un processus d'Ornsie~n-Uhlenbe;sk, de parametre - , i . Par m t e ,

(al ;!)x: ~(ii+2n~!~ X O ) j .

oh,

Psl:r ca!cu!pr cette derni&e t/ e s n & r ~ q r ~ UL V- or, uti!ise !e fait gl?e Y- XI est 2r.e x;arjable gaussienne de moyenne m = e-"'"lx + D l ) , et de variance rr2 = I-eflll 2?, '

e (exp W,,A, , i l i ) Soient p, un processus de Bessel d'indice nu1 et W, un mouvement brownien standard, on pose:

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Les deux lemmes suivants vont nous perrnettre de progresser dans l'etude de k ( t )

LEMME 1.3 LCI transform& de Laplace en $ de la fonctmn k eAt donnke par:

Pjeuve Par definitnon, AH,, = U. De pius, ci'apres (1.4). exp WH,, = pu. kt , en d~Erennan r Affu = =J'oH4 exp 2WFd.s, on obt~ent d N , = 4 du.

P; Par suite, 1s changement de vdriabk s = Hu dam A: = Ji exp PI.', d ~ , donne

Le changement de variable 1 = P-I, dans la transibrmee de Lapiace de k donne alors

od, ~ o u s P ( 2 R ) , ect mn pvocesszls dr hessel d'iniirice 2fl.

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13 B LEBLASC

Preuve L'equation (1.5) prise en n = $ donne.

d'ou en differentiant, = dt puis en utilisant j1.3), PKi

Par la formule (1.16), on connait la transformie de Laplace du couple ((j:), ;:&) et donc de maniire thttorique, la densite de ce couple. On peut donc risoudre de maniire thiorique 1'Cquation (1.21). A T - . . - - .----- - . . LYUU:, V G L L U L ~ ~ dais la partie suivante qu'on peut se raiiiener i li(x) = eU",f'(x) = ebx, et g(x) = eC". On peut alors, a l'aide de la proposition suivante, rtsoudre comp!iiement 1'Cquation ( i . 2 i j et avoir une formule expiicite qui pourra Ctre uiiiiske de fagon praiiyue:

PROPOSITION 1.1 La tvansjovme'e de Laplace prise en un temps exponentiel du triplet (w', -4,. -4;) t.:t dcvGt. p m :

ou 2 est ddfini dans (1.16).

Pveuve On cherche a mettre l'espkrance dans l'equation (1.21) sous une forme ne contenant que des exponentielles afin de pouvoir se servir de la formule (1.16).

On supprime le terme & a l'aide de l'igaliti: suivante: PI

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OPTIOhS WITH STOCHASTIC VOL4.TILITL

La condition initiale po = 1 donne Fo = 4, d'ou:

. - A

.- 9 d A j ( ~ - ~ , h , 0 ~ [ e x p ( - 4 a ~ 1 / , , - ~ h - ~ ~ , ) g ( k ~ , j j =, / A ' .

J O q o + 1) J O

Pour obienir :a foimule en un teaps fixe. i! fzdt inverser !a transformk de bp!Xe. De faqon exacte, on a:

Remarques

(a) Dans le cas o.j g(x) = 1, la formule (1.20) redonne le rtsultat ([25]):

PROPRIETE 1.5 Le couple a pour densiti:

od pP& ( i , p) evt dPJ7n1 dons 10 proprzltl 1 1

(b) Dam ce cas prtcis, on peut inverser la transformke de Ldplace et on obtlent,

1 7r2 avec c, =

(?n3i)1/2 ?i.

(c) Par le theoreme de Girsanov, on peut faire toute ces demonstrations avec un mouvement brownien driftir. En particuller, avec A, = exp 2( W, + vs)ds, la densite du couple (exp( Ws, + u&), A$') est donnee par:

avec A" 8' + v2.

4. Une approche de la loi de (eY t , $ exp(Y,)ds) quand Y, est un processus d'ornstein-Uhlenbeck

Soit Y, solution de,

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On difinit R, = eY-1 avrc T~ = Inf{ii: /;exp(~,)il?, > t } . On pe~l t aiors montrer ( [ 2 7 ] ) que ie genkrateur infinitesimai de R est:

On se place sous une probabilitk ~ " e re!ie sorte qrre (R, . ? 2 0) soit une diffusion de r r

generareur:

Alors, si pf(i, p) est la densite de transition du processus (R , . t > O), on rnontre par un raisonnement semblable au cas ou Y , est un mouvement hrownien que la densite du couple (exp Ys,, J;%xp(~,) ds) ect:

LC prol;ltme ici es: qu'il & r&sGudri: lc s y s t h c d'tijua:ions (1,26)-(? ,27)-(!.28) pour avoir une solution explicite. On peur kviden?menr po~lrsuivse Ic n2me raisonnement pour avoir la loi de ( e $ exp( YT) cls, $ exp(2 Y,) dr) avec des for- mules du meme type que pour (exp W,, -4,: A:) mais faisant intervenir y o el pLi .

2.1 P~hsentation du rnodkle

On Ptudie le modele

oG w,(') ct 4') sont deux moricmcnts brownicns standards ind6pendants. p cst la correlation supposee constante entre le cows de l'actif et la volatilite.

Soit qt est un processus de Poisson de paramittre A. Le saut de St & l'instant 5 est donne par [lo]:

avec (U, ) j l , variables aliatoires i.i.d kgalement independantes de y,, w,(') st w:". Le taux d'intkrct r est suppose constant. On aurait pu prendre un taux d'intergt

stochastique, ce qu'on n'a pas fait pour des raisons de lisibilite des formules.

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2.2 Pvih thioviqzle ik i 'option

On dCfinit &, = a{q,; s < t } = o( w:", s I t ) pow a et b sufisamment rtguliere. ,t n; Conditionmel!erneat i .Fur, ln(S,/&) suit une loi normale de moyenne r f - k, zd+

p Jj o,yc-W,"i et de variance (1 - $) I,' 4 ds, Le processus de prix satisfait:

et. cond~tionnellement 2 Fs . zV/il-T hi a, d ~ ! " s u ~ t une lo1 normale de moyenne nulle er de varlance ( i - p') $ a: cis notie. N(O. (1 - p2) $ 0: c i s ) oc encore N ( ( l - ,92) J; CTf d.7).

En ~ t i ! i ~ z ~ t !:: fcrm-!e de E ! d - C c h c ! e & dzcs !e czdre dCtermicis!e, nn nhtier?t ([2Ql) 1 I

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I1 est a remarquer l'introduction du terme -$ Si cis. du a la correlation entre les deux browniens. La formule (2.3) montre qu'on obtient le prix de l'option a

I v1 !-, \, condition de connaitre la ioi dn couple [Jo i 'is, ,$ ~,i iPi/>~' j .

On peut en fait aller plus iom en diminant w,"' sous certaines conditions sur ia fonction h(cs,. t ) , et obtenir la proposition suivante:

PROPOSITI~N 2.1 S i l ~ i fo~zcfion biy. r ! est sujfisurnmrizr riguliere (par exerrzule Cz (@ v A ux ,I uvec ik pius L-G laujours slrictrmrn~ positive), le prix & ii':vriori

dkpend directement de trois variables ale'atuires en 0,. Plz~s esaclement, on consfruit &s . . .. .

f ~ n c t i o n s &!e--i,%iftc? I k / x \ ; ) . , , f iX! , , ~f 5 ; A 1 n i v i L C : : C J tn i jn - Ley,.- ,19112

Preuve On definit f ( x ) = f". Alors, Si & > 0 sur R+ x R+ et est C< on p p c ~ J , peut appliquer ia forrnuie d'Ito a la fonction f et on obtieni:

Pour Cvaluer le prix d'une option dans un modZle a volatilite stochastique, il s'agit donc de determiner la loi de ce triplet de variables alkatoires. Gknkralement, on ne connait pas la loi de ce triplet mais on peut parfois en trouver la transformee de Laplace. Dans certains cas, on connait mEme l'inverse de cette transformke ce q~ l i conduit li des prix d'options particulierement simplifies.

2.3 Enonck des re'sultuts obtenus dans difkrents cus particuliers

On enonce dans cette partie les resultats obtenus pour chacun des modeles etudies, la preuve etant donnee dans la partie suivante. Le forme des resultats sera toujours la meme, I'approche probabiliste retenue permet une uniformisation des formules de prix. Les quelques resultats connus ([21], [7] ) relevaient d'une approche EDP et leur forme Ctaient dtja complexe, il n'est donc pas Ctonnant que leur gknkralisation fasse appel i des notations qui peuvent paraitre Iourdes. Cependant, tout ces calculs s'implantent sur ordinateur.

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Tout d'abord, dans le cas od p = G ou c; = 0. il suffit de connaitre !a loi de deux des trois variables de la proposition 1.1 et on obtient une formule simplifiie.

PROPOSITION 2.3 Si a = O. on a pour un call de maturite t , de puy-o# ( S - K)+,

C = So hh ( u ) - KeP"'hr2 ( u ) (2.7)

u 1 f2(y; x ) = e-" N(d2 (x. y ) )

fl

Dans les deux cas ci dessus, les formules de prix sont analogues ii ce que l'on obtient dans le modele de Black et Scholes. A cause de difficultis techniques, les formules suivantes sont donntes sous une formes un peu differente. Notamment, dans le cas gkneral du mod6le de Hull et White, on obtient: D

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14

Prio~osrrrox 2.5 On u aiors iu forrnuk~ ~u i van te pour C:

ou,

/'I 3 P 1 Pf ' P$ a, ( r j = -rt - -oO + kHt, u2 = - . a3 = k i ---- 2 2 2 '

(2.14)

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2.3.4 UYI modile plzis gine'ra! inspire! de Chesney et Scoll

ConsidCrons le modkle plus gCneral suivant:

ou b esi iiiie fonciion de hi 0,. :I englobe le modkle de Hu'l! z: White ainsi que cdui de Chesney et Scott:

Dans ce C ~ S , modulo Id reiolution d'une kqunllon cl~fk'eren~relle, on \id obtenlr les m h e s resultats que pre~edemment En particuller, on obtient une formule expllcite dans le modele suivant

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oh encore:

C'est historiquement le premier deveioppe. I1 avait i t& introduit sans la correlation entre les browniens que nous allons ajouter. x 7 \>,r,, ,,A-1'1, no,, A,,,. I'IULIL IIAUULIL. 3cla UUIIL.

11 est a noter que, par la formule d'It6, le carre de la volatilite, (T; suit le mtme type d'EDS cjue a,. On va d'abord 'iraiter deux cas importants: p = 0 et a = 0.

On est ici dans le modele presente par Hull et White mais on peut maintenant donner 11ne fnrmiile de prix exnrtr alnrc q r ~ r IPS arrt~urq ne p r n ~ n w i ~ n t qt1'11n~ formille

approchte obtenue a l'aide des moments de la 101 yr,'cr, ds Comme p = 0, (2.3) s'icrit:

ou d l et d2 sont dkfinis dans la proposition 2.2. Pour calculer cette derniere espirance, on va chercher 2 se ramcner $ une exponentie!le de mouvement brawnier,

sans drift. La volatiliti. a, satisfait:

Alors, par changement d'echelle et d'apris le thioreme de Girsanov, on obtient:

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OPTIOL-S WlTH STOCHASTIC VOLATILITY

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La formule (1.25) permet de donner la formule suivante pour le prix C d'un call:

avec C, = exp - , (2T3u)1/2 - - - 224

ce qui montre la proposition 2.2. On obtient donc une formule de type Black-Scholes ou les parts dans l'actif et le sous jacent s'ecrivent sous forme d'intkgrale double due au couple de variables aleatoires. La formule reste cependant relativement simple pour une implementation numkriyue et permet kgalement d'obtenir facilement toutes !PS dtrivCes par rapport aux differents parametres. En particulier, on a

ce qui donne une formule explicite des strategies optimales de couverture d'une option. (Voir [15] p. 57-58 pour le problZme de strategic optimale de couverture dans des modeles a volatilitk stochastique.)

2.4.2 1e cas p f 9, a = 0

Oi: se sert ici du fait que a,d!4';*) = 110 b \ I - go).

On peut donc de nouveau utiliser la formule (1.25) et on obtient de mEme:

'X X

- K e ? ' c , , i d y l dcexp - ( i ( l + ~ ~ ) ) $ ~ ~ ( u ) j 2 ( Y , i ) .

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nd I? est d o m i par lm fnrmuies (1.22) et (1.23) d t { I . 2 ) et,

Preuvc Par le changement de varmhle x = in(S/'So), on cibtient.

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{lx> CI K t ) = r : FLY) dx. On Pose C- t K t ) = K / ey:x>!n(k) ' On a alors:

Calczd & Cd, d C { I . 2) . On considere d'abord C,(<), la transformke de Fourier, en E de li - Cd(ei. t ) :

ou rnu(a,al, ~ r ) est la densite du triplet a,,, c(,. cu. En utilisant alors la forme de la fonction caracteristique d'une loi normale:

B' avec Ac = y - ~ [ a ~ , 2 = 9- L - $ - ~ [ n ~ , Cr: = L @ Q .

On peut maintenant sc scmir des formdes (1.221 et (1.23) pour calcuier ceire derniire esperance. On a

et, par inversion de la transformee de Fourier,

ce qui est bien le rksultat annonce.

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TI est a noter que dans les deux cas particuliers etudies prealablement, on connait explicitement R(ir). Cependant, la f o rm~~le obtenue ici dipend de la transformee de - o u r i e r inverse de C,: et esl donc moins simple que ce!!~ dkveloppke dans les pr~po~i i io i i s 2.2 et 2.3

2.5 Les mocd~les cle Stein & Stein et de Nesto.~

Ce son: en fai: les les faciies. car iis n'in:roduisen: cjue jes deux variables aleatoires (a,: ,\'at ds) au lieu de trois preceden~ment. Gii -- Iappelie ie iiloQ#ic . <. de Stciri & Sieiil Corr:'. ; A o x

c i s , - = r d t + JI - p%,dw(!) + pa,dl/l/,('), St

et le modele d'Heston:

On va b'abord trairer ie :nod& b'Heston, ies caicuis &ant dans ce cas particuiih- ment simples. Par changement d'echelle, on se ramine A:

2 6 1 - ~ 2 en reparametrisant: r := 3, pl := , p2 := 2 c , t .- .- 4r C 2 , k := 4k c2 '

Gn rappeiie aiors ia formuie suivan~e pour C:

C = So/Ke-"C2(K: t ) - eCrtC,(K, t ) .

ou J est defini par la formule (1.16) et, Dow

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Pour le modele de Stein el Stein, les calculs sonl un peu plus dtlicats ddns la mesure oh Li nouveau, troiz variabies mterviennent On peut cependant proceder de ia meme faqon. Far changcmenL d"eche1le. on 5e r a m h e d.

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On :: alors:

ou K est defini par la formule (1.18) et, par inversion de la tranbforrnte de Fourier,

p i s finalement,

2.6 Le mod& de Chesney eet Scott: prenziere approche ct introduction d'un modt?le &iivP

C'est maintenant le logarithrne de :a volatilitk qiii suit iin ~ ~ O C C S S U S d'Ornstcin- Uhienbeck. Ce modile n'a pour ie rnvnlent kt& h d i t que d'un point de vue statistique. L'actif sous jacent dkcrit les kquations.

(2) d In a, = ( a - h In a,) dt -.- k dW,

On \ a se placer dans le cas p = 0. On pourrdit par un ra~son~~ernent semblable i celui f a t dam le ~nodeie de H L L ~ ~ et White p~endl-e p j- 0.

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Comrne ;i la sectlon pricedente. on peut se ramener par changement d'echelle a:

Icl, on a dans 12.23). a, = - r t . 11. = -1 .. ( ~ 3 = ad = 0 et on obnent direcremenr

p: elant dtfini $ l'aide du sysrime differentiel (1.26)-(1.27)- (1.28). On peut er, fait obtenir le prix d'une option !orsque la volatilite suit une kqmtion

du type:

L'equation (1.26) se transforme alors en:

les equations (1.27)-(1.28) restant inchangees, ia valeur du call reste alors donnee par le systlme: (2.41)-(2.42). Le modile de Hull et White correspond alors au cas particulier: h = a - $.

Celui de Chesney et Scott correspond au cas particulier: h(xi = a - bx. Un autre cas particulier nous a paru interessant car on peut alors mener les

resultats jusqu'au bout. I1 correspond a h(x) = a - b exp(2x) ngnc P P P - c x ~ n I - ~ t i l i t A @ , l i t ! ' & 3 1 3 t i ~ ~ : Y U " Y UU "U") l V l U r l l l c r "-A. --I----

d l n a , = (a- ~ o ; ) d t + bdwj2) ,

o~ encore:

b2\ 1 do, = ((a + i~ o, - A~:J rit + hot dw?.

On pose:

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oh (T: suit !'&pation de Hu!! et Whi~e :

ce resultat etant valable qu'il y ait ou non de la corrt!ation.

3.1 Ajout d'un procrsms de poisson

On reprend donc l'equation initiale sur le Spot:

oii y, est un ~ T O C P S S ~ J S de Poisson de paramt3i.e A. Le saut de S, a l'instant q est donne par

as, = s , - s T = s5 . uf

avec variables aleatoires l i d . egalement independantes de q,, w:') et w;". On pose p = r - XE(U1).

Rappelons britvement certains resultats lorsque la volatilite a est constante ([lo]):

On en deduit Dow

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Pour mener les calculs, on choisit les U, centres tels que:

La condition E[U,1 donne - = 0 et hmite donc le nombre de parametres suppltrnentatres li deux On obtient alors.

avec r, = r -c C a" + 502 I 7 It -

t '

On se place maintenant dans un environnement li volatiiitk stochastique. On peut refaire exactement le meme raisonnement. On considere Y,! la filtration engendrke par tous les (a,7 s 5 :) e: (I;,, i E R). Conditionnelielnzn~ d Y,,, !a densitir de in S, est de nouveau donnke par la formule (2.23) d ceci prZs que

et le calcule du call se decompose en la somme suivante:

Les parametres a i , az, a?, a4 dependent du modele de volatihtir choisi.

3.2.1 Ajout d'une prime de cleisque de volutilite' Le propos de cet article n'est pas de discuter i'existence et l'unicite d'une probabilitk risque-neutre. On sait que dans un te! nodele, on n'a pas unicitt dc la probabiliti. risque-neutre. On peut cependant rappeler les resultats de Wiggins concernant !a prime de risque liee d la voiatiliti. Si. en l'absence de processus de Poisson, on

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or. peu? -i.ctrer ([23j 1 qu'll c r -I r r -- :e C soir: sg!utii;n de l 'eqixit i~n diffi.rpnlie!le (par exemple dans !e modele inspirt dc Chesney et Scot? introduit en (2.21)):

m representant ie prix ciu marche pour le risque de volatilitk, que l'on peut supposer constant. On voit donc qu'il suffit de poser a' = a + Qb(1 - p ~ ) ' : ~ pour eliminer a.

On rkcuperera donc la forniule precedente d'evalualion ciu call avec a' = a + *),(I - p' ) "2.

On aura exactement le meme type de relation dans ies modeies de Hull et White, Eeslufi ou StejI1 el Stein, ei7 ~2 done supposer dans partie fiU-&rjr; ; i~ - - a;?? -. - la n r i r n ~ - - A - - -

de risque esi incluse dam la valeur des pararnilres.

On observe sur les marche que la volatihte n'est pas constante. On definit alors ie Smile de volatiiite comme ia fonction a l ( K ) qui permel dans la formule de Bia~k- Scholes de retrouver le prlx du marche.

Dans la pratique, on cikduira ie Smile cie volatilitk des prix du marche par une method:: de dichotcmie.

Pour simplifier, on va se placer dans le modlle de Hull et White avec de plus les hypotheses suivantes: a = 8, dq = 8, 4 = 0. i i reste aiors t ivk paraiii&irc~.

1, , , , . , . ~ l - t ; ~ ~ =,tm r , v i ,t w?, ,a , , U I I ~ I ' L L ' U I I b I I L I b I"

- b la volatilitt de la volatilite, !a vo!atiliti initiale,

La connaissance de n valeurs du march6 CmarChi(K,) nous permet de rescudre le programme de minimisation quadratique:

a h de calculer k s param6trcs p, t;, no.

On peut alors obtenir toute la courbe CHull et White(K) puis par inversion dans la formule de Black et Scholes, on obtient toute la courbe de Smile. On sait ([18]) que si p = 0, le Smiie de volatilite est symttrique. L'intkrtt de ce modkle avec correlation est qu'il permet d'avoir une courbe disymktrique, ce qui scmble itre courant dans la rkalite.

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FIGURE ! Smile dc volatiliti

424,OO 439,OO 454,OO 469,OO 484,OO 499,OO

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I-IGLJRL 2 S m ~ i e r m \ corrcldtion

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STRIKE

on a trace yuelques cas extrimes correspondant a p = 0 (Figure 2). La courbe est alors symttrique autours de la valeur K = S = 467.13 Puis, pour h = 5 (Figure 3), on observe des pentes beaucoup plus importances. A l'oppose, une plus faible vaieur de h donnerait des courbes plus applaties.

On se place encore dans le modele de Hull et White avec t = 34 jours. S = 467.13, n no? 1 r . .

= v . v o s ~ , it = 2.704, p = 0 .6478 . Conimi il a dcja i t& dit, i! est Iris dblicat de parler de couverture alors qu'on a deux sources d'alea $ couvrir avec un seul actif. On peut cependant ttudier la sensibiiitk du prix de l'option aux differents parametres et notamment ies derivees par rapport au sous-jacenr. On va airisi caicui~r uii

6part,ei = ?& ( i i8 j j do~ i t ia formule sc didiiit inimtdiatemcnt de !'&quatior, (2.7): 6,,,ti,i = hh ( u ) avec h etfi definis dans la proposition 2.3. Le graphe qui suit (Figure 4) coiiipai-e, pour la d&ivie priielle par rapport au sOus-jacer,t, &Eerence a\iec la valeur obtenu par la rormuie de Black-Scholes.

On a donc presente une solution exacte pour le prix d'une option dans de nombreux modeles a volatilitk aleatoire presents dans la litterature. La resolution repose toujours sur une approche probabiliste qui b i t intervenir des processus de Bessel eventuellement un peu modifies. On pourrra eventueliement a partir de ces formules obtenir un developpement limite du prix de l'option autour du prix de Black et Scholes. 11 sera alors intiressant de voir quels sont les termes correctifs dominants dans chacun des modeles. ceci se retrouvant certainement dans le Smile de volatilite.

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F,iGI!RE 4 Cornparaison de5 "delta"

. . !I faut encore msister sur !a fjrce de cet:e rtso!utior, qui permet d'a;.oir une solutio~; insranranie ainsi q l x ies diffirentes dirivies en w e d'ilne etude du problkrne de la couverture. L'ajout d'un processus de Poisson et eventuellement d 'me prime de risque sur la . , , 1 , + : 1 : t : , ,,..,,., + v"l'LLLLILC p L I l : l C t dc rcndre le modkle plus c~iiiplei. Cetk apprache 2 partir des

essel peui igalernent servir i expiiquer diKirents phenomenes lies i la volati!iik stochastique cornme par excnlple 1'Ctude de la structure par terme des voiaiiiiies. La grande soupiesse cie ces processus permei en effeei de rendre possibies certains calculs qu'on n'avait pas pu faire, car on ne pouvait alors pas resoudre explicitement I'equation differentielle donnee dans un cadre du type Feynman-Kac. Les seules approches etalent alors numeriques (resolut~on d'EDP par diKerences finies ou simuia~ionj. Dans ie meme ordre d'idkes mais pius loin de ia voiatiiire stochastique, il apparait interessant d'utiliser ces processus pour d'autres probiemes comme par exemple i'kiude d'opiions exoiiques jiype opiion sur maximum) dans un inodeie de taux de Cox, ingersoli et Ross. le taux spot etant alors, comme on l'a deja dit. un carre de processus de Bessel changt de temps (ou norme d'ornstein- Uhlenbeck carre).

[ I ] M. Abramowil~ and I . S~egun, Ilandhooli qf' .Mathc.niuiiiiil Fiinciions. Dover Publication>. Inc.. New York (1970).

[2] F Black and M. Scholes. The Valuation of Option and Corporate Liabilities, Journril of Poliricczl Ecorwrny. 81 11973). 637 -654.

[3] T. Chan. D. Dean, K . Jansons and L. C. G. Roperi. On Polymer Conformations in Elongational Flows, Conimun. Muill Ph1.1.. 160 ( 1994). 239-257.

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OPTIONS V. I I H 5 rOCH 4S TiC \ OL 4TiLI Tk ? - . \ >.

j41 41. Chemer and L. Scoii, Pricing Furope~in Currzric) Opridris: 4 C~rnpar i r~ jn of thi- Llotiifieci i3lack-S&1lea hlodc: aiid a Iimili)in '<arianee Xodci. Joui-ririi oi'Fi'i,i;ii~c~iui cirici Quri,iiiiuii:i, .-iri~d~.ii~. 24 (1989). 207 -284

(51 C. Diiilaii-?vlai-~iri a:ld iv! 'x'ur. Chi miric craiiipizr 01' qiiuiiiuiic rur~cii,)l!iii\ uT Bi.u~\ili'iii iviuiiuri, .Itlviince~ ic Agplirii Pro~ci.. 25 (!993). 570 5%.

[6j H. Gcman and M. Yor. Bessei Procesieq. 4sian Onrioni and Ferpet:litres. \In!/wi?lu!icu/ Finrmw. 3 ; 1993). 349&375. 5 ki.:.[<)n A, (. l ~ ~ ~ t - ~ t , - k n r p - < n ! t l ! l n p $ . , , I - l . ) n t ; l > v . . x , : ! k \ t q : h , ! , ' ! ( , \ ~ ! : I [ , I > T \ t t h A.nn!v~+i? :~n, . t,,? ! - < I Z - ~ , :

L , ' i I

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