Étude des propriétés électronique et magnétiques de l ... · république algérienne...

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université de Larbi Tébessi-Tébessa

Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie

Département Science de la matière

MEMOIRE DE MASTER

Domaine : Sciences de la Matière

Filière : Physique

Option : Physique de la matière condensée

Thème :

Présenté par :

BELGHIT sara

Devant le jury :

/201605/29: ancesoutenDate de

Note :………. Mention :………..………………

M. LOTFI BENKHEDIRE .Pr. Université de Tébessa Président

F. CHEMAM .Pr. Université de Tébessa Rapporteur

M. BOUHELAL M.C.A Université de Tébessa Examinateur

Étude des propriétés électronique et magnétiques de

l’alliage de Heusler FeCo

Dédicace :Je dédie ce modeste travail :

A mon meilleur exemple ma mère Fatima.A l'âme de mon père Mohammed Ali.

A mes frères. A mes sœurs.A mes amies.A toute ma famille

Et à tous ceux qui out donné une contribution ceux de réalisation de ce

mémoire.

sara

Remerciements :Avec l’aide de Dieu tout puissant, j’ai pu accomplir ce modeste travail.

Ce travail a été réalisé au Laboratoire de Physique Appliquée et Théorique (LPAT)

Je tiens à exprimer mes plus vifs remerciements au Professeur F.Chemam.Il a

dirigé mon travail avec beaucoup de patience et de compétence. Ses qualités humaines et

ses remarques m'ont été précieuses.

Je remercie le Professeur M lotf i .Benkhedire .de l'université larbi tébessi de

m'avoir honoré par sa présidence du jury de ce mémoire.

Je tiens également à remercier Docteur Mouna Bouhelal maitre de conférence A

à l'université larbi tébessi pour avoir accepté de juger ce travail.

J 'expr ime aussi ma reconnaissance à toutes les personnes du laboratoire et

particulièrement à Amina, Imen pour ses gentillesses et ses disponibilités.

Je voue une immense gratitude à toute ma famille pour le soutien qu’elle m’a

apporté pendant toutes ces années, en particulier mes très chers parents.

Je remercie enfin tous mes amis(es) et tous ceux et celles qui ont contribué de près

ou de loin à la réalisation de ce mémoire.

Résumé:

Nous avons étudié les Allaige Husleur à base du Fe-Co en utilisant des méthodes du

premiers principes basées sur la Théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) à travers la méthode

des Ondes Planes Augmentées Linéarisées (FP-(L) APW) implémentée dans le code de calcul

Wien2k. En utilisant l’Approximation LSDA tel que développé par (Perdew, Burk et Ernzehorf)

pour l’échange et corrélation, nous avons déterminé les propriétés électroniques, magnétiques et

optiques de Fe3Co et FeCo3 . Nous avons déterminé aussi les moments magnétiques totaux et

locaux et nous avons pu accéder à l’effet Kerr magnéto-optique à travers la conductivité optique.

Mots-clefs : DFT, Spintronique, Kerr.

Abstract:

We studied Allaige Husleur based Fe-Co using methods based on first principles Density

functional theory (DFT) through the method of Linearized Augmented Waves Planes (FP (L) APW)

implemented WIEN2k code. Using approximation LSDA as developed by (Perdew, Burk and

Ernzehorf) for the exchange and correlation, we have determined the electronic, magnetic and

optical properties Fe3Co and FeCO3. We also determined the total and local magnetic moments and

we could access the magneto-optical Kerr effect through the optical conductivity

Keywords: DFT, Spintronics, Kerr.

الخلصة:

نوع من هيسلر سبائك بدراسة قمنا المذكرة هذه على DO3في تقوم Fe-Coالتي

نظرية على المعتمدة الولية المبادئ طرق طريقة DFTباستعمال تستعمل التي

المتزايد المستوية .FP-LAPWالموجة المحاكات برنامج في WIEN2kالمتوفرة

التقريب استعمل للمركبين LSDA وقد بالنسبة اللكترونية الخصائص Fe3Co لحساب

,FeCo3. اطياف ايجاد سمحت التي الضوئية الناقلية حساب تم التي Kerrوقد

بصرية ر تعتب مغناطيسية خاصية

. Kerr ,Spintronique, DFT :المفاتیح

Liste des Matières

Liste des Matières :

Liste des Figures iii

Liste des Tableaux v

Liste des Symboles vi

Introduction Générale 01

Chapiter I: Généralités sur la Spintronique et les alliages Heusler 04

I.1-Les matériaux magnétique pour la spintronique............................................................................ 05

I.1.1- définition de spintronique …................................................................................................ 05

I.1.2- L'état d'avancement dans les spintronique …...................................................................... 07

I.1.3-Notion d’échelle en spintronique …..................................................................................... 07

I.2- Structures de dispositif de Spintronique et perceptives................................................................ 08

I.3-Quelques définitions ….................................................................................................................. 10

I.3.1-Magnétorésistance géante(GMR) …..................................................................................... 10

Principes fondamentaux …................................................................................................... 10

I.3.2-La magnétorésistance à jonction Tunnel (TMR) ….............................................................. 11

Principes fondamentaux........................................................................................................ 11

Origine …............................................................................................................................ 11

I.3.3- Perspectives de la spintronique …....................................................................................... 12

I.4- Les alliages de Heusler …............................................................................................................. 12

I.4.1- Introduction.......................................................................................................................... 12

I.4.2-les composées Heusler ….................................................................................................... 14

I.4.3- Structure cristalline …........................................................................................................ 14

I.4.4-Le Magnétisme et les alliages de Heusler............................................................................. 16

I.4.5-Le ferromagnétisme semi-métallique …............................................................................... 17

Chapiter II : APPERÇU SUR LE CADRE THÉORIQUE 19

II.1.Introduction ...................................................................................................................................

20

II.2.niveau 1 : les approximations ....................................................................................................... 20

II.2.1.Approximation de Born Oppenheimer ................................................................................ 20

II.2.2. Approximation de Hartree Fock ..................................................................................... 26

II.3 niveau 2 : Théorie de la fonctionnel de densité ............................................................................ 32

II.3.1.Théorèmes de Hohenberg et Kohen ................................................................................... 32

Théorem 1 ............................................................................................................................. 32

Théorem 2............................................................................................................................. 33

i

Liste des Matières

II.4 - L’équation de Kohn sham ....................................................................................................... 34

II.5.Les fonctionnelles de la DFT ....................................................................................................... 36

II.5.2 .Introduction du spin dans l’approche locale de la densité .................................................. 36

II.5.3.Améliorations sur l’ approximation locale ....................................................................... 36

II.5.3.1 - L’ introduction du gradient : approximation généralisée de gradient .................... 38

II.6 . La méthode APW ........................................................................................................................ 38

II.6.1.La méthode de LAPW ........................................................................................................ 40

II.6.1.1 - La méthode standard ............................................................................................ 41

III.7. Les propriétés optiques ............................................................................................................... 42

III.7.1 Théorie ............................................................................................................................... 42

II.8 .Le code Wien2k …....................................................................................................................... 43

II.8.1.L’ initialisation ..................................................................................................................... 44

II.8.2.Calcul SCF .......................................................................................................................... 44

II.8.3.Utilisation des tâches pour le calcul des propriétés ............................................................ 45

Chapiter III : Résultats et discussions 46

III.1.Théorie ........................................................................................................................................ 47

III.1.1. Détails de calcul ................................................................................................................ 47

III.1.2. Traitements des résultats obtenus ...................................................................................... 47

Conclusion générale 57

Références 59

ii

Liste des Figures :

I.1. Concept d'applications des composants spintronique........................................ 06

I.2.(a) la Loi de Moore pour le processeur Si. Cercles fermés, triangles, carrés et losanges se présenter aux processeurs micro chip produit par Intel, AMD, IBM et Motorola, respectivement. (b) densité du disque dur. Triangles et cercles fermés correspondent aux produits commerciaux respectivement...................................... 06

I-3. Les échelles des longueurs magnétiques et le développement des disques dur... 07

I.4. (a) GMR pour le système Fe/Cr........................................................................... 10

I.5. Schémas des b quantique électron tunneling à travers une barrière de l'ox yde, (b) le mécanisme de polarisation du spin tunneling et (c) le chevauchement des fonctions d'onde pour l'électron correspondant ….................................................... 11

I.6.Tableau périodique des éléments. Le grand nombre de matériaux Heusler peut être formé par la combinaison des différents éléments selon le schéma de couleurs. 13

I.7.Représentation schématique de la densité d'états pour un semi- métal, métal et semiconducteur............................................................................................................ 14

I.8.(a) la structure Rock salt, (b) la structure zinc blende et leurs relations avec la structure semi-Heusler (c) et avec la structure Heusler............................................... 15

I.9.C1b et L21structures adaptés par le demi-Heusler et Full Heusler....................... 16

I.10. (a) composé demi-Heusler XYZ présente un seul sous-réseau magnétique puisque seuls les atomes sur les sites octaédriques portent un moment magnétique localisé. (b) les composés X2YZ de Heusler ont deux sous-réseaux magnétiques qui peuvent se coupler ferromagnétique ou antiferromagnétique............................... 17

I.11. illustration schématique de la densité d'états (a) un métal, (b) un métal (spin polarized), (c) un corps ferromagnétique (d) un corps ferromagnétique semi-métallique, et (e) un corps semi-métallique ferrimagnétique.................................... 18

II.4.1. Schéma décrivant le processus itératif pour la résolution des équations de Kohn- Sham ............................................................................................................... 36

II.4.2. Organigramme de la DFT................................................................................. 36

II.6.1. potentiel Muffin-Tin......................................................................................... 40

II.8.1. Le Data Flow du code Wien2k........................................................................ 46

III.1. a.Total DOS et structure de band pour le Fe3Co ; FeCo 3 ; Co ; Fe . 51

III.1.b.d DOS et structure de band pour le Fe3Co ; FeCo 3 ; Co ; Fe . 53

iii

III.2. spectre absorption calculé (parte réel) σ1x x (ω)des composés Fe3Co et FeCo3.......................................................................................................................... 54

III.3 spectre absorption calculé ( parte imaginaire) σ1x x (ω)des composés Fe3Co et FeCo3..................................................................................................................... 54

III.4. Comparaison des spectres d'absorption (real part) de la conductivité optique σ1x x (ω)de Fe3Co et FeCo3, Co et Fe ….................................................................. 55

III.5. Comparaison des spectres de Kerr rotation θk et ellipticité εk de FeCo3 , Fe3Co, Fe et Co.......................................................................................................... 56

III.6 Comparaison des spectres d'absorption (partie imaginaire) du paramètre , ωσ2x y de Fe3Co,FeCo3,Co et Fe............................................................................... 56

iv

Liste des Tableaux:

I.1. Liste des quatre principaux spin polarisé trois terminaux périphériques après .................. 09

I.2.Occupation du site inéquivalentes au sein de la structure du type C1b. Atomes en position du type Wyckoff 4a et 4c un sous-réseau du type ZnS; les atomes sur 4b occupent les vides octaédriques. .............................................................................................................................. 15

III.1.les moments magnétiques total M ( μB ) et individuel pour chaque site atomique avec les valeurs expérimentales et théoriques disponibles pour les composés Fe, Co, Fe 3Co et FeCo3. Le DOS calculée à EF pour spin majoritaires et minoritaires (N↑ (EF) et N↓ (EF), États/eV) et de la polarisation du spin P (%) à EF sont également indiqués. ........................... 49

v

Liste des Symboles:

ZB Zone de Brillouin (Brillouin zone)

DFT Théorie de la fonctionnelle de la densité (Density functional theory)

LDA Approximation de la densité locale (Local density approximation)

GGA Approximation du gradient généralisée (Generalized gradient approximation)

PAW Pseudo-potentiel et onde augmentée (Projector augmented wave)

LSDA local spin density approximation)

Fl-APW Méthode des ondes planes augmentées linéarisées .

Ef Niveau de Fermi (Fermi level)

DOS Densité d’états (Density of States)

TIC la technologie d'information et communication

HDD têtes du lecteur de disque dur

TMR La magnétorésistance Tunnel

GMR Magnétorésistance géante

DMS semiconducteur magnétique dilué

STT transfert de spin couple

SET seul transistor électronique

FM Ferrimagnétique (Ferrimagnetic)

NM Non-magnétique (Non-magnetic)

σ Absorption

θk Rotation de Kerr

εk Ellipticité

HF Hartree-Fock

vi

Introduction générale

Introduction

Introduction générale :

Le champ magnétique terrestre, appelé aussi champ géomagnétique, est un phénomène

naturel les plus important. Bien que les humains soient incapables de percevoir consciemment un tel

champ, ils utilisent considérablement à travers des techniques.

Le champ magnétique terrestre joue un rôle très important dans la vie des cellules primaires

comme par exemple les bactéries anaérobique jusqu'aux grands mammifères comme les baleines.

Ces cellules primaires sont utilisées par ces animaux comme leurs boussoles internes qui leur

permettent de naviguer.

Un exemple classique de l'influence du champ magnétique terrestre sur la vie des cellules

primaires( bactérie magnéto-tactique ) est l'orientation de la bactérie suivant le champ lors de son

déplacement en cherchant le nord terrestre. Elles bougent en cherchant soit le nord soit le sud

suivant les lignes de champ magnétique. Dans l’hémisphère sud, par exemple où les lignes de

champ sont dérigées vers le haut, les bactéries renversent leur polarisation qui réagit au caractère

dominant ( cherchant le sud). Le choix de cette évolution de ces bactéries est la polarisation correcte

dans chaque hémisphère.

L'orientation suivant le champ magnétique terrestre est attribuée a des particules magnétique

minérales qui entourent les membranes de ces bactéries magnéto-tactiques appelées magnétosomes.

Chez la plupart des bactéries magnéto-tactiques les magnétosomes sont formés de magnétite Fe3O4,

qui est l'origine du dipôle magnétique permanent à l’intérieure de cette bactérie. Généralement le

moment du dipole magnétique est suffisamment grand pour que ces bactéries puissent s'orienter

suivant le champ magnétique terrestre. L'ensemble du magnétisme dans les corps microscopiques

met en évidence donc l'importance des capteurs (sensors) magnétiques dans la vie des humains.

Plusieurs variétés de matériaux magnétiques sont utilisées dans un grand nombre de

domaines d'application. Les gros marchés mondiaux sont basés sur la technologie de

l'enregistrement magnétique est d'environ cent milliards de dollars.

Parmi ces variétés de matériaux , les alliages de Heusler, qui sont classé en deux familles, ce

classement est en fonction de leur composition chimique, la première famille est la famille '' Full-

Heusler'' . Les alliages appartenant à cette famille ont une formule chimique de la forme X2YZ, où

X est souvent un métal de transition comme Cu, Ni ou Co, Y est souvent Mn ou Fe, et Z est souvent

un semi- conducteur ou Al. La deuxième famille est la famille des ''Semi-Heusler''. Les alliages de

cette famille ont une composition chimique de la forme XYZ. La maille cristalline des alliages

Heusler est cubique. Dans le cas des Full-Heusler, elle est formée par quatre mailles cubiques faces

2

Introduction

centrées (deux mailles d’atomes X, une d’atomes Y et une d’atomes Z).

Dans ce mémoire nous allons étudier les propriétés électroniques magnétiques des alliages

Heusler de structure DO3 pour les échantillons Fe3Co et Co3Fe, nous allons étudié les propriétés

magnéto-optique(MO). Ces effets (MO) se rapportent à la réaction de matériaux à la lumière en

présence de l'environnement magnétique et peuvent être étudiés soit en mode de transmission ( effet

Faraday ) ou en mode de réflexion (effet Kerr). La magnéto-optique à effet de Kerr (MOKE) est

importante dans la technologie l'enregistrement (MO) est observé lorsque la lumière polarisée

linéairement est réfléchie par un matériau magnétisé. Magnéto-optique à effet de Kerr s’observe

quand la rotation dans le plan de la polarisation de la lumière réfléchie par rapport à la lumière

incidente l'angle Kerr θ k. En outre, la lumière réfléchie est polarisé elliptiquement donnant le Kerr

ellipticité ε k.

Les phénomène physiques liés à la technologies d'information et la communication (TIC), la

spintronique et les alliages de Heusler sont présentés dans le premier chapitre.

Le deuxième chapitre est consacré à la description de la théorie de la densité fonctionnelle

DFT et la méthode des ondes planes augmentées FPLAPW.

Les différents résultats obtenus sont regroupés dans le troisième et dernier chapitre.

3

Chapitre I:Généralités sur la spintronique

et les alliages Heusler

Chapitre I: Généralités sur la spintronique et les alliages Heusler

I.1-Les matériaux magnétique pour la spintronique :

I.1.1- définition de spintronique:

La spintronique est une nouvelle branche dans la recherche en nanotechnologie, qui est la

combinaison de trois support d'information : la charge de l'électron, le spin de l'électron et le photon.

Figure1. [1-2]. Ces trois supports représentent trois branche différente de la technologie

d'information et communication (TIC), traitement des données avec le transport des électrons,

stockage d'information avec l'assemblage des spins et enfin le transfert des données avec les

connections d'optique.

les développements récentes dans le domaine de TIC ont besoin de grande capacité du

stockage de l'information et la rapidité du traitement des données. Ces deux performances ont été

améliorées de 30 % par ans pour le stockage de l’information et de 100 % en 18 mois pour les

processeurs a base de silicium, comme par exemple la loi de Moore figure 2. Les possibilités

d'atteindre des limites sont annoncé par la combinaison des mémoires à base de matériaux

ferromagnétiques et l'électronique des semi-conducteurs appelé la magnéto-électronique, ou en

d'autre terme le transport des électrons à spin polarisé [3].

En outre ; le spin de l'électron peut être reliée à l'optique par l'intermédiaire de la helicité du

photon qui permet un transfert beaucoup plus rapide des données.

La percée dans ce domaine était la découverte de la magnétorésistance géante (GMR)

observée dans des multicouches métalliques par l'intermédiaire du transport dépendant du spin-

électron [4-5]. L'effet de GMR déjà a été employé pratiquement dans des têtes du lecteur de disque

dur (HDD). La découverte de l'effet de la magnétorésistance à effet de tunnel (TMR) était également

une étape importante. On la découverte plus tôt que l'effet de GMR mais n'a pas été réalisé à la

température ambiante que récemment [6-7]. Le futur TIC exigera un taux élevé de transfert des

données à travers la fibre optique. Une grande partie de ce transfert rapide des données est due à la

diode laser, qui dépend essentiellement de l'efficacité de cette isolant optique. Cet isolant est

constitué d'un semi-conducteur magnétique dilué DMS qui est le premiers DMS utilisé dans les

effets magnéto-optique [8].

5


Figure.I.1. Concept d'applications des composants spintronique[9].

Figure.I.2. (a) la Loi de Moore pour le processeur Si. Cercles fermés, triangles, carrés et losanges se présenter aux

processeurs micro chip produit par Intel, AMD, IBM et Motorola, respectivement. (b) densité du disque dur. Triangles

et cercles fermés correspondent aux produits commerciaux respectivement [9].

6


I.1.2- L'état d'avancement dans les spintronique :

Les deux phénomènes de la GMR et TMR sont basées sur l'interaction s-d entre moment

magnétique et les électrons de conduction qui sont à spin polarisé. Ceci est une combinaison de

magnétisme et de l'électronique qui utilise principalement le transport des électrons à spin polarisé

conduisant à magnéto-électronique. Étudier le mouvement de précession du spin pour des hautes

fréquences GHz, le dynamique du spin a été étudier pour la deuxième génération des spintronique.

Dynamique de spin est principalement induite par de transfert de spin couple (STT) à partir d'une

conduction à spin polarisé des électrons sur un moment magnétique local. Les futurs appareils sont

censés être en trois dimensions (3D) et le spintronique quantique nécessiteront une miniaturisation

plus poussée et précise nanostructuration.

I.1.3-Notion d’échelle en spintronique :

La polarisation des spins est transférée soit par les électrons de conduction à spin polarisée

dans un conducteur ou la propagation des ondes de spin à travers des moments magnétiques locaux

dans un isolant. Dans un matériaux magnétique massifs les moments magnétiques locaux de

dimension latérale 0.1mm, le vecteur d'aimantation et sa distribution détienne la clé du

comportement macroscopique[10].

Figure I-3. Les échelles des longueurs magnétiques et le développement des disques dur

En réduisant la taille d'un corps ferromagnétique, un champs dipolaire se crée au bords du

l'échantillon qui cause la division de l'état du monodomaine FigureI-3. Quand l'épaisseur de

7


l'échantillon se réduit d'avantage, l'interaction d’échange joue un rôle dominant et se traduit par un

état de taille d'un seul domaine ddomaine. Tous les spins sont alignés le long de l'axe facile qui définit

l'anisotropie magnétique, y compris l'anisotropie de forme. Chaque unité d'aimantation se compose

d'un certain nombre de spins, dans lequel le spin est conservé en fonction de son orientation. Ceci

est appelé la diffusion de spin de longueur dsd pour les électrons de conduction à spin polarisé. En

dessous de cette longueur, la longueur d'échange dex entre les électrons à spin polarisé où des

moments qui contrôle la variation de l'orientation de spin tels que la largeur des parois de domaines

(DW). Avec une réduction supplémentaire de dex, spins peut se déplacer sans diffusion avec libre

parcours moyen λ pour les électrons de conduction.

L'énergie dipolaire est dominante sur quelques dizaines de micromètres, comme dans les

matériaux magnétiques classiques tels que des bandes magnétiques. En réduisant la longueur dans le

régime submicrométrique, l'énergie d'anisotropie devient dominante, comme dans une bande de

données de haute densité. Avec de nouvelles réductions d'échelle, l'énergie d'échange contrôle des

propriétés magnétiques, telle qu'un disque magnéto-optique et un disque dur HDD. De tels

dispositifs passifs sont des supports de stockage les plus courants dans la technologie actuelle. Dans

le régime où la taille du dispositif est beaucoup plus petite que le libre parcours moyen des électrons

(dans les systèmes microscopiques), le spin est connu d’être préservée pendant le transport.

L'un des objectifs de la spintronique est de réaliser un ordinateur quantique en utilisant la

longueur de cohérence du spin dans un semi-conducteur [11]. Pour la première étape, spin-polarisé

dispositifs à trois bornes, qui conduisent finalement à un seul transistor électronique (SET) [12].

I.2- Structures de dispositif de Spintronique et perceptives :

Les dispositifs de spintronique basé sur la manipulation des électrons à spins polarisés

offrent des avancées significatives dans les performances du dispositif en termes de vitesse, de la

taille et de mise à l'échelle des exigences de puissance [3,13]. Ces dispositifs de spintronique

peuvent être regroupés en quatre catégories selon le système matériel et les structures électroniques

correspondants:

1- Tous les métaux de transitions à spin polarisé, y compris les valves de spin.

2- Jonctions Magnétiques à effet tunnel.

3- Des structures diode hybride composée de ferromagnétique/semi-conducteurs.

4- Les dispositifs organiques. Voir Tableau 1

8


Pour le spin valve et les jonctions tunnel, les électrons à spin polarisés sont injectés

électriquement à partir d'un ferromagnétique par un contact ohmique et une barrière tunnel,

respectivement. Les signaux de sortie correspondent à GMR et TMR effets, respectivement.

Pour diodes hybrides, les électrons à spin polarisés sont injectés dans un semi-conducteur

soit électriquement par contact ohmique d'un ferromagnétique/semi-conducteur ou optiquement par

l'introduction de la lumière polarisée circulairement dans un semi-conducteur.

Le tableau 1. Liste des quatre principaux spin polarisé trois terminaux périphériques après [9] .

Structures jonctions tunnel structures hybrides Structures Spin-valve magnétiques FMSC organiques

Effets GMR TMR Diodes TMR/GMR Interfaces contacts ohmiques barrières Tunnel barrières ohmique / Schottky Ohmique / tunnel médias Spin Les métaux non-magnétiques barrières tunnel Semi-conductor Les matériaux organiques ~ Quelques nm 100 μm 200 μm∼ FM/2DEG Latéral spin de valvesSpin de cohérence 30 nm–1 μm jonctions MOS diodes Schottky applications Johnson transistors structures de blocage de Spin FETde l'appareil Spin-valve transistors Coulomb MRAM Spin LED Latéral spin valves Point supraconductrice contacts Spin RTD Spin RTD transistors tunnel magnétiques SP-STM

9


I.3-Quelques définitions :

I.3.1-Magnétorésistance géante(GMR) :

- Principes fondamentaux :

En 1988, Baibich et all ont trouvé une importante diminution de la résistance dans une

structure [Fe (3 nm)/Cr (0,9 nm)]60 sous l'application d'un champ magnétique. Un changement de

50 % a été découvert à l'aide (Rmax -Rmin )/Rmax à 4.2 K, comme illustré à la figure.I.4 [14].

Depuis lors, les structures en multicouches pour la GMR ont été largement étudiés [15]. En raison

de l'amélioration des techniques d'épitaxie ou de préparation, la structure du GMR a été simplifié à

une couche minces en sandwich composé d'une couche ferromagnétique (FM)/non magnétique

(NM)/FM.

L'effet GMR dépend de la diffusion dépendante du spin, comme décrit l’équation ci-dessous. La

résistance présente un minimum (R min) lorsque l'aimantation dans les couches ferromagnétiques

voisines sont alignées parallèlement, alors qu'il présente un maximum (R max) avec un alignement

antiparallèle. Un rapport GMR est donc défini comme :

Δ RR

=Rmax−Rmin

Rmin

(I.3.1)

Dans le cas d'une structure à trois couches simples, typiquement un rapport GMR à la

température ambiante est d'environ 10%. En 1997, il a été signalé qu'une couche nano-oxyde inséré

entre la couche ferromagnétique et une couche antiferromagnétique augmente le rapport GMR en

raison de la réflexion spéculaire [16].

Figure .I.4. (a) GMR pour le système Fe/Cr [14].

10


I.3.2/La magnétorésistance à jonction Tunnel (TMR):

- Principes fondamentaux :

Julliére pour la première fois a trouvé une magnétorésistance de 14 % dans les jonctions de

Fe/GeO/Fe à 4.2 K [17], comme le montre schématiquement à la figure I-4. Ces jonctions sont les

mêmes que les structures GMR avec le couche métal non magnétique, remplacée par une barrière de

l'oxyde .TMR nécessite configuration ou le courant est perpendiculaire au plan du couche

minces(CPP) pour éviter une conduction ohmique à travers les couches métalliques.

- Origine:

Théoriquement, un ratio TMR est compris dans une limite de diffusion à être semblable au

ratio GMR :

R AP−RP

RP=

2PFм PF м

1−PFм PF м

(I.3.2)

Figure.I. 5. Schémas des b quantique électron tunneling à travers une barrière de l'oxyde, (b) le mécanisme de

polarisation du spin tunneling et (c) le chevauchement des fonctions d'onde pour l'électron correspondant [9] .

où PFM1 et PFM2 sont la polarisation de spin de la couches FM1 et FM2 couches, respectivement,

lesquels sont définis comme :

11


P ≡N ↑− N ↓N ↑+N ↓

. (I.3.3)

La conductance dans les configurations parallèle (GP) et antiparallèle (GAP) sont obtenues en

utilisant le DOS à EF pour les deux couches ferromagnétiques,

aFM1(FM2) = N majorité /(N majorité + N minorité), soit P = 2 a -1.

GAP∝αFмαFм+(1−αFм)(1−αF м) .

GA∝αF м(1−αF м)+(1−αFм)αF м . (I.3.4)

I.3.3- Perspectives de la spintronique :

Ici, nous identifions quelques grandes questions qui doivent être surmontés pour concevoir

un nouveau dispositif spintronique et de faire avancer les technologies actuelles, en particulier dans

leur rapidité et efficacité. Parmi ces questions comporte le points suivant :

le Transfert des sources de Spin comme (Semi-conducteur Magnétiques, demi-métallicité

ferromagnétique, les alliages de Heusler, pérovskites, rutiles, spinelle, les matériaux avec une

anisotropie perpendiculaire).

Notre travail porte sur une dès ces questions c'est les alliages de Heusler.

I.4- Les alliages de Heusler :

I.4.1- Introduction :

L'histoire de l'une des classes les matériaux les plus passionnants remonte à l'année 1903,

lorsque Fritz Heusler a découvert qu'un alliage de composition Cu2 MnAl se comporte comme un

ferromagnétique, bien que ses éléments constitutifs ne soient pas magnétique [1,18]. Ce matériau

remarquable et ses équivalents, qui comprennent maintenant une vaste collection de plus de 1000

composés, sont maintenant connus comme composés ou alliages Heusler. Ce sont des matériaux

semi-conductrices ou métalliques ternaires avec un mélange 1: 1: 1 (également connu sous le nom

"Half-Heusler») ou d'un mélange 2: 1: 1 stœchiométrie connu sous le nom du '' Full-Heusler'' . La

figure I.6 représente une vue d'ensemble des combinaisons possibles d'éléments formant ces

matériaux.

12


Figure.I. 6.Tableau périodique des éléments. Le grand nombre de matériaux Heusler peut être formé par la

combinaison des différents éléments selon le schéma de couleurs.

Les propriétés de nombreux composés Heusler peut prédire simplement en comptant le

nombre d'électrons de valence [19]. Par exemple, les alliages de Heusler non magnétique composés

à environ 27 électrons de valence sont supraconducteurs, par contre les semi-conducteurs affichent

une autre catégorie importante avec plus de 250 composées et sont considérés comme de nouveaux

matériaux pour les énergies solaires. La largeurs de gap pour ces semi-conducteurs change de 0-4

eV en changeant leurs composition chimique. En effet, d'excellentes propriétés thermoélectriques

ont été récemment mises en évidence pour les matériaux à base de TiNiSn [20]. Sur la base des

calculs de leur structures de bandes une nouvelle classe d’alliages Heusler a été prédite appelée

isolants topologiques multifonctionnels. C’est un nouvel état de la matière, dans lequel les états de

surface sont topologiquement protégés contre la diffusion d'impureté [15,17].

La grande classe de composés magnétiques X2YZ montre toutes sortes de comportement

magnétique et les propriétés magnétiques multifonctionnels, tels que magnéto-optique [13],

magnétocalorique [3] et les caractéristiques magnéto-structurelle [21].

L’intérêt majeur de certains alliages d’Heusler que nous décrirons par la suite est qu’ils

peuvent être magnétiques et présenter une structure électronique très différente selon le spin : ainsi

la bande de valence de spin majoritaire peut être métallique, alors que la bande de valence de spin

minoritaire peut être isolante ou semi-conductrice . Le terme demi-métal est utilisé pour décrire tout

matériau ayant cette asymétrie de spin dans les bandes de structure (Figure I.7).

13


Figure .I.7.Représentation schématique de la densité d'états pour un semi- métal, métal et semiconducteur[22].

les composée Heusler demi métallique à base de Co2 ont un grand intérêt en raison de leurs

températures Curie [23] élevés et sont utilisés aujourd'hui dans les jonctions magnétiques à effet

tunnel [24].

I.4.2-les composées Heusler :

Dans le passé, les composés de Heusler sont souvent été compris comme des alliages

Intermétalliques, bien que la description en tant que composé intermétallique est plus approprié en

raison de leur ordre atomique caractéristique. Le composé Heusler ternaire a un formule générale

X2YZ, dans laquelle X et Y sont des métaux de transition et Z est un élément du groupe III, IV ou V

dans le tableau périodique. Cependant, dans certains cas, Y est remplacé comme un élément de terre

rare ou d'un métal alcalino-terreux. Traditionnellement, le métal, qui existe deux fois, est placé au

début de la formule, tandis que l'élément du groupe principal est placé à l'extrémité, par exemple

Co2MnSi, Fe2VAl [6,25]. Les exceptions sont les composés, dans lequel un élément peut

définitivement être défini pour être plus électropositif, par exemple LiCu2Sb et YPd2Sb [7]. Ici,

l'élément électropositif est mis au début en accord avec la nomenclature IUPAC (l'Union

internationale de chimie pure et appliquée) .

I.4.3- Structure cristalline :

Il existe deux familles distinctes de composés Heusler: une avecla composition 1: 1: 1, et

l'autre avec une stœchiométrie 2: 1: 1.Les composés de la première famille ont la formule générale

XYZ et cristallisent selon une structure cubique non centro symétrique (groupe spatial no. 216,

F43m C1B), qui est un système ternaire de structure CaF2 et peut être déduit de la structure

tétraédriques de type ZnS en remplissant les sites du réseau octaédriques Figure I.8.

14


Figure.I.8.(a) la structure Rock salt, (b) la structure zinc blende et leurs relations avec la structure semi-Heusler (c) et

avec la structure Heusler (d)[26].

Ce type de structure semi-Heusler peut être caractérisé par l’interpénétration de trois sous-

réseaux cubique à faces centrées (cfc), dont chacun est occupée par les atomes X, Y et Z [26]. Les

positions occupées sont 4a (0, 0, 0), 4b (1/2, 1/2, 1/2), et 4c (1/4, 1/4, 1/4). En principe, trois

arrangements atomiques non équivalents sont possibles dans ce type de structure telle que résumés

dans le Tableau I.2.

TableI.2 :

Occupation du site inéquivalentes au sein de la structure du type C1b. Atomes en position du type

Wyckoff 4a et 4c un sous-réseau du type ZnS; les atomes sur 4b occupent les vides octaédriques.

4a 4b 4cI X Y ZII Z X YIII Y Z X

La deuxième famille est celle des alliages Heusler ou full-Heusler de type X2YZ qui

cristallisent dans le groupe d’espace cubique Fm-3m (groupe d'espace N° 225) avec Cu2MnAl (L21)

comme prototype [1, 13]. Les atomes X occupent la position 8c (1/4, 1/4, 1/4), les atomes Y et les

atomes Z sont situés aux positions 4a (0, 0, 0) et 4b (1/2, 1/2, 1/2), respectivement. Cette structure se

compose de quatre sous-réseaux cfc interpénétrés, deux sont occupés par l’atome X. Une

structure de type rock salt est formée par les éléments les moins et les plus électropositifs (atomes Y

15


et Z). En raison du caractère ionique de leur interaction, ces éléments ont les coordonnées

octaédriques. D'autre part, tous les sites tétraédriques sont occupés par l’atome X. Cette structure

peut aussi être considérée comme une structure zinc blende. Ces relations sont illustrées dans la

figure. I.9. Dans la littérature, les composés Heusler sont souvent décrits par une superstructure

CsCl.

Voici une figure qui présente bien les détails au-dessus

Figure .I.9.C1b et L21structures adaptés par le demi-Heusler et Full Heusler [27] .

I.4.4-Le Magnétisme et les alliages de Heusler :

Les alliages de Heusler ont attiré la communauté scientifique en 1903, lorsque F. Heusler

trouvé ferromagnétique [1,18]. Cependant, il a fallu trois décennies jusqu'à ce que la structure

cristalline a été déterminée comme structure cubique à face centré [7,27]. Malheureusement, ils sont

tombés dans l'oubli dans les décennies suivantes, et seuls quelques rapports sur la synthèse de

nouveaux composésHeusler ont été publiés dans les années 1970 [28,29]. Il a fallu attendre la

prédiction du ferromagnétisme semi-métallique dans MnNiSb par de Groot et al. [30] et dans

Co2MnSn par Kübler et al. [31] en 1983, pour que les matériaux Heusler retrouvent un intérêt

scientifique.

Les matériaux XYZ présentent un sous-réseau magnétique puisque seuls les atomes sur les

sites octaédriques peuvent transporter un moment magnétique, comme indiqué sur la figure.I.9.

Dans les composés Heusler X2YZ la situation est complètement différente à cause des deux

atomes X qui occupent les sites tétraédriques, ce qui permet une interaction magnétique entre les

atomes X et la formation d'un second sous-réseau magnétique plus délocalisé (Figure I.10). En

raison de ces deux sous-réseaux magnétiques différents, les composés Heusler X2YZ peuvent

16


montrer toutes sortes de phénomènes magnétiques, aujourd'hui plusieurs types sont connus tel que

ferromagnétisme, ferrimagnétisme et ferromagnétisme semi-métallique.

Figure.I.10. (a) composé demi-Heusler XYZ présente un seul sous-réseau magnétique puisque seuls les atomes sur les

sites octaédriques portent un moment magnétique localisé. (b) les composés X2YZ de Heusler ont deux sous-réseaux

magnétiques qui peuvent se coupler ferromagnétique ou antiferromagnétique[30].

I.4.5-Le ferromagnétisme semi-métallique :

Dans les années quatre-vingt, les propriétés magnéto-optiques inhabituelles de plusieurs

composés Heusler motivés par leurs résultats inattendus sur les leur structure électronique qui

dépend de L’orientation du spin, certains matériaux Heusler sont métalliques ainsi que des

propriétés isolant en Même temps selon l'orientation du spin, une fonctionnalité appelée

ferromagnétisme demi-métallique [30,31]. De Groot et all. Ont développé un système de

classification du ferromagnétisme demi-métalliques en trois groupes distingues [32] (Figure.I.11)

Figure.I.11. illustration schématique de la densité d'états (a) un métal, (b) un métal (spin polarized), (c) un corps

ferromagnétique (d) un corps ferromagnétique semi-métallique, et (e) un corps semi-métallique ferrimagnétique[32].

17


Figure.I.11. présente une illustration schématique de la densité d'états (DOS) (a) un métal

avec une densité d'états au niveau de Fermi, et (b) une représentation avec spin polarisé d'un métal:

les deux états sont identiques dans les deux directions de spin et tout aussi occupés, (c)montre la

DOS d'un matériau ferromagnétique, dans lequel les états majoritaires et les états minoritaires sont

décalés les uns par rapport aux autres, conduisant à une aimantation mesurable.(d) un semi-métal

ferromagnétique (HMF) qui se comporte comme un métal pour une orientation de spin et comme un

isolant pour l'autre orientation de spin.

18

ChapitreII: APPERÇU SUR LE CADRE

THÉORIQUE

Chapiter II APPERÇU SUR LE CADRE THÉORIQUE

II.1.Introduction :

Un solide est une collection de particules lourd, chargés positivement (noyaux) et plus léger

chargés, négativement (électrons). Si on a N noyaux nous traitons un problème de N+NZ particules

en interaction électromagnétique. L’ Hamiltonian exact s’écrit [33] :

(II.1.1)

Les diverses méthodes de calcul de la structure de bandes électroniques des matériaux à

l’état solide mises au point au cours des dernières décennies reposent sur un certain nombre des

approximations.

II.2.niveau 1 : les approximations

II.2.1.Approximation de Born-Oppenheimer:

{ - Les noyaux sont (fixes) ; les électrons sont en mouvement , avec NZ particule en échange

dans un potentiel(externe) des noyaux[33] :

(II.2.1)

On a seulement l’énergie cinétique du gaz d’ électron avec un potentiel d’ interaction elec-

elec et le potentiel interne des noyaux ; il intéressant pour noter ici que les limites cinétiques et d’

électron-électron de (II:2:1) dépendent seulement du fait que nous traitons un système de beaucoup-

électron la présente partie est universel[33]. L’information spécifique du système (quelles noyaux et

quelles positions) est fournie entièrement par Vext }

L’approximation de Born-Oppenheimer appelée aussi approximation adiabatique tien compte

de ce que le caractère du mouvement des particules légères (électrons) et lourdes (noyaux des

atomes) est fort difiérent [33].

Pour des particules aussi rapides que le sont les électrons c’est la position instantanée est des

noyaux qui importe ; quant aux noyaux , leurs mouvements ne pouvant être affectés par la position

instantanée de l’ensemble des électrons , ce n’est que la moyenne des mouvements est de l’ensemble

des électrons qui peut avoir de l’importance. La situation est en effet analogue à celle qui prévaut

20


dans les atomes à un grand nombre d’électron ; du fait de sont inertie le noyau ne peut évidemment

pas réagir au mouvement de chacun des électrons et se meut dans le champ résultant produit par

tous les électrons. Simultanément les mouvements relativement lents du noyau entraînent dans leur

sillage l’ensemble de tous les électrons, ce qui assure l’unité de l’ atome.

Un comportement semblable des noyaux et des électrons doit se manifester dans un corps

solide cristallin [33] .

En adoptant cette hypothèse on simplifie notablement l’équation de Schrödinger , puisque

l’énergie d’interaction des noyaux devient constante , mais que l’on peut par un choix convenable de

l’ origine tout aussi bien rendre nulle.

Compte tenu de ce que et nous pouvons définir un nouvel hamiltonien ,

l’hamiltonien des électrons :

(II.2.2)

Désignons par la fonction d’ onde des électrons ; cette fonction doit dépendre des coordonnées

des électrons et de celles des noyaux immuables; R la fonction doit être normée

de telle sorte qu’ elle se réduise à l' unité pour toute valeur des coordonnées des noyaux lors d’ une

intégration étendue à toutes les coordonnés des électrons :

(II.2.3)

L’équation de Schrödinger s’ écrire :

(II.2.4)

(II.2.5)

dans cette équation les coordonnées Rα0 figurent non plus comme une variable de l’ équation

différentielle , mais comme un paramètre dont la valeur exerce en fin de compte une influence sur

la fonction d’ onde et l’énergie du cristal Ee :

21


(II.2.6)

Ee représentant l’énergie des électrons qui se meuvent dans le champ crée par des noyaux

fixe. Poser que les noyaux sont parfaitement immobiles est cependant une approximation trop

grossière[33]. Il est préférable de tenir compte des mouvements des noyaux en faisant intervenir une

nouvelle fonction d’onde concernant les noyaux .Nous procéderons alors de la manière

suivante : Désignons par l’opérateur :

(II.2.7)

que nous appellerons la partie nucléaire de l’ hamiltonien du cristal. Nous pouvons maintenant

représenter l’ hamiltonien du cristal à l’ aide de deux opérateurs et

Tenant compte des équations II.2.2 ,II.2.7 et :

(II.2.8)

notre system n’est soumis a aucun champ appliqué :

(II.2.9)

donc nous écrirons :

(II.2.10)

La fonction d’onde du cristal Ψ peut se mettre sous forme d’un produit :

(II.2.11)

22


que nous pouvons reporter dans l’ équation de Schrödinger du cristal et en

déduire

(II.2.12)

Tenant compte II.2.4 il vient :

(II.2.13)

Puisque Ψ edépend des coordonnées des noyaux , l’ opérateur doit agir sur Ψ e ; déterminons

par exemple , Δα Ψ e ΦZ :

Utilisons ce développement pour récrire l’ équation II.2.13 :

(II.2.14)

Multiplions le premier membre de l’ équation II.2.14 pare t intégrons par rapport aux

coordonnées des électrons ; nous tiendrons compte de ce que :

et nous trouverons alors :

(II.2.15)

portons dans cette dernière expression la valeur de H Zdonnée par II.2.7:

(II.2.16)

23


Multiplions le premier membre de l’équation II.2.16 par et intégrons par rapport aux

coordonnées des noyaux ; nous obtenons une équation définissant l’ énergie du cristal :

(II.2.17)

la valeur de:

(II.2.18)

ne peut être estimée qu’en précisant la relation fonctionnelle existant entre Ψ eet les coordonnées

et.

Si on néglige dans l’expression le terme se rapportant aux interactions entre électron,

ce réduit à l’ hamiltonien d’un système de particules indépendantes dont la fonction un d’onde

peut être représentée alors comme une combinaison des fonction d’ onde atomiques dépendant de la

différence .On pourra écrire alors :

(II.2.19)

et récrire le premier terme de l’équation II.2.18

(II.2.20)

Où est la valeur moyenne de l’ énergie cinétique d’un électron. Finalement le premier terme de

l’ équation II.2.15 s’ écrit :

24


(II.2.21)

Ce terme est petit vis-à-vis de E et peut donc être omis ; l’ erreur que l’on commet alors on est

infime, de l’ ordre du rapport de la masse de l’ électron à celle d’ noyau ; dans le cas un du

germanium , par exemple , ce rapport est voisin de 10−5.

Ceci montre que le deuxième terme de l’équation II.2.18 a une valeur qui représente la

de l’ énergie totale du cristal. En effectuant tous ces calcules nous sommes placés dans le cas

le plus défavorable, celui où la fonction des électrons est donnée sous la forme d’ une combinaison

de fonctions d’ onde atomiques (approximation dite de liaisons fortes) [39].

Au cas où la fonction d’onde des électrons serait indépendante des coordonnées des noyaux

(Approximation dite es électrons libres) , les deux termes de correction figurant dans II.2.18 serait

nuls. Nous voyons donc qu’en négligeant ces termes de correction , l'erreur commise sur la valeur

de l’énergie E est inférieur à ( pour le germanium ceci représente 0.3 % environ ).

Nous pouvons donc déterminer l’énergie d’un cristal avec une bonne approximation par la

solution de l’ équation :

(II.2.26)

L’ énergie totale d’un cristal se confond donc , à un haut degré de précision , avec la valeur

propre de la partie nucléaire de l’ hamiltonien.

L’ approximation de Born-Oppenheimer appliquée à un cristal décrit par l’ hamiltonien II.2.7

permet de déterminer l’ énergie du cristal avec une précision suffisante en posant que sa fonction d’

onde puisse être mise sous la formeII.2.10 ; et étant determinés par les équations :

(II.2.27)

25


(II.2.28)

Donc ; la fonction d’ onde des noyaux est determinée par la valeur moyenne des

mouvements des électron ( terme dans l’ expression de ), tandis que dépend de la

position instentanée des noyaux ( terme UeZ dans l’ expression de ) .

En négligeant le terme de correction , on admet implicitement que l’ action de sur

se réduit à une action sur , ce qui traduit le fait que les noyaux se meuvent lentement par

rapport aux électrons.

L’approximation de Born-Oppenheimer est qualifiée d’adiabatique car elle consiste à séparer

le problème électronique de celui des vibrations du réseau. On pourra toujours introduire

ultérieurement Tn et Vn-n pour aborder le problème des vibrations du réseau (phonons) mais en

supposant qu’il n’y a pas d’échange d’énergie entre le système électronique d’une part et les modes

de vibration d’autre part.

II.2.2. Approximation de Hartree-Fock:

les simplifications résultant de l’approximation de Born-Oppenheimer montrent que la

fonction d’ onde des électrons doit satisfaire aux équations :

(II.2.29)

ou encore :

(II.2.30)

Cette équation ne peut , elle no plus , être résolue , à moins de la réduire à l’ équation

concernant une seule particule.Si on suppose que les électrons n’interagissent pas entre eux (Uij =

0) , l’ équation II.2.30 se laisse décomposer en un système d’ équations.

Il faut donc trouver un moyen qui permettrait de tenir compte des interactions entre les

électrons tout en substituant à un système d’ électrons en interaction un système d’ électrons

indépendants[33].

26


Ce résultat peut être atteint en faisant appel à la notion du champ self-consistent ;

considérons un électron i quelconque, cette électron se trouve soumis à l’action du champ de tous

les noyaux et de tous les autres électrons. Supposons qu’à l’aide d’un champ appliqué nous

réussissons à créer à tout instant à l’emplacement de l’électron i un champ identique à celui produit

par tous les autres électrons[33].

Désignons par l’énergie potentielle de l’ électron i dans ce champ, Il est évident que cette

énergie ne dépend que des coordonnées de l’ électron i considéré :.

En admettant que nous soyons en mesure de crée un champ pareil pour chacun des électrons,

l’énergie d’ interaction de toutes les paires d’ électrons du cristal pourrait être mise sous la forme

d’une somme des termes :

(II.2.31)

L’ énergie potentielle d’un électron i dépend non seulement du mouvement de tous

les autre électrons, mais indirectement de son propre mouvement, puisque celui-ci influe sur les

mouvements des autres électrons[33].

On peut en déduire que le champ non seulement détermine le mouvement de l’

électron i, mais en est à son tour fonction, ce qui conduit à l’ appeler champ self-consistent[33].

En principe on peut trouver ce champ par approximation successives, admettons que la

valeur de ce champ soit déjà déterminée ; nous pourrons alors mettre l’ hamiltonien .sous la

forme :

(II.2.32)

où l’ hamiltonien correspondant à l’ électron i vaut :

27


(II.2.33)

représente l’ énergie potentielle de l’ électron i soumis à l’ action du champ produit par

tous les autre électrons, et son énergie potentielle dans le champ produit par tous les

noyaux du cristal[33].

Puisque l’ hamiltonien ne renferme plus de termes représentant les énergies d’interaction des

électrons, la fonction d’ onde du système électronique a la forme d’un produit de fonctions d’ onde

de chacun des électrons, et l’énergie de ce système est, par conséquent, égale à la somme de énergies

de tous les électrons :

(II.2.34)

Ee=∑ Ei

(II.2.35)

avec :

(II.2.36)

Ceci montre que la mise en œuvre du champ self-consistent permet de réduire le problème

puor les électrons multiples à celui pour l’ électron unique.

Puor trouver la forme sous laquelle se présente écrivons l’ équation de Schrödinger

de la partie électronique de l’ hamiltonien du cristal sous les deux formes équivalentes :

(II.2.37)

(II.2.38)

28


donc :

(II.2.39)

multiplions les équation II.2.37 et II.2.38 par et intégrons par rapport aux coordonnées de tous

les électrons :

(II.2.40)

L’ introduction de la quantité réduit le problème concernant les électrons à celui d’un

système de particules indépendantes, ce qui nous permet de représenter Sous la forme d’un

produit des fonctions d’ onde de toutes les particules prises séparément (équation II.2.34).

Tenant compte de ce que nous pouvons transcrire l’ équation II.2.40 de la manière

suivante :

(II.2.41)

En égalant les deuxièmes et quatrièmes termes de cette série d’expressions nous trouvons :

(II.2.42)

Le sense physique de cett dernière équation est le suivant : représente la densité de

29


charge du nuage électronique de l ’électron j situé en un point de coordonnée le produit

est l’ élément de la charge électrique qui détermine le potentiel au point

En intégrant par rapport à toutes les coordonnées de l’ électron j, nous obtenons l’ énergie d’

interaction de l’ électron i avec l’ électron j " diffus dans l’ espace".

L’ équation II.2.38 devient :

(II.2.43)

Pour pouvoir calculer nous devons connaître les valeurs de tous les , cequi -exige

que l'connaisse les valeur de tous les ! .

Cette équation est : l’ équation de Hartree [33] , c’est une équation intégro-différentielle dont

la solution ne peut être trouvée que par approximations successives.

En adoptant pour approximation d’ ordre zéro certaines fonction , on les

utilise pour calculer les .En reportant les valeur ainsi trouvées dans l’

équation II.2.43 on déterminera de nouvelles fonctions à l'aide desquelles on calculera

les et ainsi de suite. Ce processus devra être poursuivi jusqu’a ce que la (n + 1)

approximation ne se confonde avec la n approximation avec un degré de précision fixe à l’avance.

Le principal défaut de l’équation de Hartree est qu’on ne tient pas compte du principe de Pauli , si

on fait intervenir le principe de Pauli , on aboutit à l’ équation de Hartree-Fock. Selon le principe de

Pauli, la fonction d’onde des électrons doit être antisymétrique par rapport à toute permutation de

deux électron, compte tenu de leurs coordonnées et des projections de leurs spins. Or le produit

ne peut satisfaire à cette condition. Une combinaison convenable des fonctions d’onde

d’électrons pris à part est décrite par le déterminant de Slater :

30


(II.2.44)

où N est le nombre d’ électrons être présente une combinaison de quatre variables xi,yi ,zi ,sZi La

fonction d’ onde doit satisfaire aux condition :

(II.2.45)

(II.2.46)

Utilisant pour exprimer le déterminant de Slater , nous trouvons l’ expression définissant l’

énergie Ej :

31 (II.2.47)

représente un élément de volume dans l'espace de configuration du système d’ électrons

comprenant la variable spin électronique ; une intégration par rapport à représente donc une

intégration par rapport aux coordonnées et une sommation par rapport aux spins variables de tous

les électrons.

Notons que la première intégrale de l’équation II.2.46 est identique au terme correspondant

de l’ équation de Hartree , le deuxième terme contient des intégrales d’ échange n’y apparaissant pas.

Ceci provient de ce que lors d’ une intégration par rapport à nous devons maintenant retenir

tous les termes comportant les coordonnées des électrons i et j , qui peuvent se trouver dans un état

quelconque Ψ k , Ψ l e t Ψ ’k , Ψ ’ l:

31


(II.2.48)

Lorsque k = l , nous retrouvons l’ énergie d’ interaction électrostatique moyenne , donc la

valeur usuelle de cette énergie , et lorsque , nous obtenons l’ énergie d’ échange.

On doit cependant remarquer que la méthode de Hartree-Fock ne permet pratiquement pas de

résoudre l’équation de Schrödinger pour un cristal.

II.3 niveau 2 : Théorie de la fonctionnel de densité :

l’approximation (II.2.1) se révèle encore difficile à résoudre , l’ autre approximation (celle de

Hartree-Fock :(HF) [34]) ; peut allèges les faites :

On chimie ainsi d’autre discipline HF montre des résultats pour le moins attractives mais moins

pour le domaine du physique des solide pour cette raison une méthode très fort se présente ( La DFT

) ; qui a était formellement établie par deux théorèmes vers les années 1964 [33].

II.3.1 -Théorèmes de Hohenberg et Kohen :

Théorem 1. il y a une correspondance un à un entre l’ état fondamental du densité Vext d’un système

multi-électrons :(atome ,molecule et solide)et le potentiel externe Vext par conséquence la valeur

attendue d’ observable pour l’état fondamental est la valeur exacte de l'état fondamental de la

densité :

(II.3.1)

Théorem 2 . soit l'hamiltonien ;le fonctionnel de l’énergie total de l’ état fondamental

est de la forme :

(II.3.2)

ou est un fonctionnel universel pour n’ importe quel système multi -électrons

ateind sa valeur (égal à l’ énergie total de l’ état fondamental) pour la densité de l’ état fondamental

32


correspondant à Vext .

II.4 - L’équation de Kohn-sham :

publier en 1965 [33] : a permet au DFT de devenir un outil pratique , pour déterminer la densité de l’

état fondamental ; l’énergie de corrélation Définie comme une partie de l’énergie total et

EC [ ρ ]=T+V

(II.4.1)

EHF [ ρ ]=T 0 +V H +V X

(II.4.2)

T : fonctionnel d’énergie cinétique (exacte)

V : fonctionnel du potentiel elec_elec (exacte)

T0 : fonctionnel d’énergie cinétique du gaz d’électron sans interaction

VH : pour la contribution de Hartree

VX : pour la contribution d’échange de (2:4:1) et (2:4:2) on à :

V C=T −T0 (II.4.3)

c’est la contribution de corrélation.

La contribution d’échange à toute l’énergie est définie comme, la pièce qui est présente dans

la solution de Hartree-Fock, mais absent dans la solution de Hartree. Évidemment, avec le

fonctionnel Hartree, donné par :

(II.4.4)

V X=V−V H (II.4.5)

on peut maintenant réécrire le fonctionnel de Hohenberg – Kohen (33) :

FH K=T +V +T 0−T0=T 0+V +(T−T 0)=T0+V +V C

= T 0+V +V C+V H−V H=T 0+V H +V C+(V−V H )=T 0+V H +V X

= T 0+V H+(V +V X )=T 0+V H +V X C

avec : VXC : est le fonctionnel de l’ énergie d’ échange , corrélation ; on suppose que VXC est connue

donc : le fonctionnel d’ énergie peut être écrire explicitement comme suite :

(II.4.6)

33


C’est le fonctionnel d’ énergie du gaz d’ électrons sans interactions sous le potentiel externe

due au noyaux et a l’ effet d’ échange -corrélation

l’ Hamiltonien de Kohen-scham est :

(II.4.7)

(II.4.8)

où le potentiel d’ échanger-corrélation est donné par le dérivé fonctionnel .

(II.4.9)

Et le théorème de Kohn-Sham s’écrit :

-La densité exacte de de l’ état fondamental d’ système de N-électron est [33] :

(II.4.10)

où les fonctions d’ onde du particule-isolés ont les solutions du N bas-énergie l’ équation de

Kohn-Sham :

(II.4.11)

– À noté que décrit des quasi - particules mathématique sans un sence physique direct ,

seulement la densité d’ état global de ces quasi -particule est égal à la densité d’ électron ;

de même né pas l’ énergie d’ électron.

- Dans cette équation : VH et VXC , dépend de et dépend du rechercher ; donc

34


c’est un problème self -consistent .

L’opérateur Vh de Hartree et l’opérateur d’échanger-corrélation Vxc dépendent de la densité

,qui dépend alternativement du déterminent l’ équation originale (VH et VXC dans HKS ), et

l’ équation ne peuvent pas être notées et résolues avant que sa solution soit connue un procédé

Itératif est nécessaire pour s’échapper de ce paradoxe. Certains est deviné, et un HKS1 hamiltonien

est construit avec lui. le problème du valeur propre est résolu, et a comme conséquence un ensemble

de duquel un ρ1 de densité peut être dérivé. Pour la plupart différera du Maintenant le est

employé pour construire HKS2 , qui rapportera un (voir Fig II.4.1 ), etc.

Le procédé peut être installé de telle manière que cette série converge à un de densité

qui produit d’un HKSf qui rapporte . comme solution encore : cette densité finale est alors

conformé avec l’ hamiltonien.

Figure. II.4.1: Schéma décrivant le processus itératif pour la résolution des équations de Kohn- Sham .

35


Figure. II.4.2: Organigramme de la DFT

II.5- Les fonctionnelles de la DFT :

La première fonctionnelle propre-DFT ayant permis la résolution du problème est l’

approximation locale (LSDA : local spin density approximation). Elle est en fait basée sur des idées

de Félix Bloch [33] considérant une statistique de Fermi d’un gaz d’électrons uniforme pour

exprimer l’ échange. Ces développements ont été ensuite étendus à la prise en compte de la

corrélation.

II.5.1 - L’ approche locale de la densité :

Dans une densité électronique variant lentement, Kohn et Sham ont proposé un développement de l’

énergie d’ échange-corrélation :

(II.5.1)

où est la contribution à l’ énergie d’ échange-corrélation par électron dans un gaz homogène.

Notons qu’ est fonction de d’ou la localité (contrairement à l’ échange non local dans HF). La

36


LDA consiste à considérer comme une fonctionnelle locale de la densité électronique

,c’ est -à-dire qu’ dépend de la densité en:

(II.5.2)

La LDA est souvent une approximation efficace, même quand la densité varie de manière

non négligeable. Cependant, elle a certains désavantages, comme une sous-estimation systématique

de l’ énergie de cohésion des solides et des paramètres de maille [33]. L’erreur sur les paramètres

structuraux est souvent faible (de l’ ordre de 1 à 2%).

II.5.2 - Introduction du spin dans l’approche locale de la densité :

La généralisation de la LDA au cas où une polarisation des spins est prise en compte conduit à

la LSDA où S désigne le spin électronique. L’introduction de ce dernier consiste à considérer

deux populations et dans la matrice de densité et à formuler le potentiel dépendant du

spin pour l’ échange et la corrélation :( où désigne l’ orientation ou ). Le système

est décrit par deux fonctions dans un espace à 3 dimensions. Le terme est maintenant fonction

des deux spins :

Il existe pour cette énergie différents schémas de paramétrisation comme on le verra plus

loin. Ainsi définit-on l’approximation de la LSDA à l’énergie d’échange-corrélation de la manière

suivante :

EXCLSDA

[ ρ↑ ,ρ↓

]=∫d r ρ(r)XChom

[ ρ↑ ,ρ↓

] (II.5.3)

ici est l’énergie d’ échange-corrélation par particule d’un gaz d’ électrons

homogène. L’équation d’onde est réécrite pour les deux spins :

(II.5.4)

(II.5.5)

Dans les équations II.5.4 et II.5.5 le potentiel correctif ne montre pas une dépendance en spin

pour ses composantes de potentiel extérieur et d’ interaction électrostatique, mais uniquement pour

37


la contribution échange-corrélation . On écrit alors :

(II.5.6)

(II.5.7)

Enfin le nombre d’ électrons de valence et le moment magnétique m sont donnés par :

(II.5.8)

(II.5.9)

II.5.3- Améliorations sur l’ approximation locale

II.5.3.1 - L’ introduction du gradient : approximation généralisée de gradient

Une façon d’améliorer la LSDA est d’introduire des termes en gradient dans l’expression de

l’énergie d’échange-corrélation ( Eexact = EHartree + Exc ) ; ceci introduisant une correction non-locale.

Ce type d’expansion donnant ce que l’on appelle la GEA (gradient expansion approximation)

ne permet pas d’apporter d’amélioration, au contraire : les résultats sont encore moins bons. Une des

raisons évoquées est que le trou d’échange-corrélation associé à cette expansion ne correspond pas à

une situation physique quelconque.

En revanche la GGA (generalized gradient approximation) [33] qui introduit une

combinaison entre les termes locaux et en gradient dans l’ équation II.3.11, donne de meilleurs

résultats pour les gaps énergétiques et les éclatement de bande dans les oxydes ou les fluorures des

métaux de transition. Par ailleurs la description correcte de l’état fondamental magnétique du fer.

L’équation suivantes permet d’introduire une combinaison entre les termes locaux et des termes

dépendant du gradient. Dans cette approche, l’énergie d’échange et de corrélation est donnée par

[33] : ( II.5.10)

38


GGA s’exécute habituellement mieux que LDA, mais dans le cas de LDA un unique est

disponible. Pour GGA cependant, parce que le gradient de densité peut être mis en application dans

diverses manières, plusieurs versions existent. D’ailleurs, beaucoup de versions de GGA contenir les

paramètres libres qui doivent être adaptés aux données expérimentales. Ces versions de GGA ne

sont plus ab initio.

II.6 - La méthode APW :

Un premier, historiquement important, l’ exemple d’ une base efficace et impartiale est la

base augmentée d’ onde plane (APW), proposée par Slater en 1937 [33]. Ceci l’ensemble de base

n’est plus utile aucun pratique, mais vaut de mentionner parce que c’est le prédécesseur des autres

ensembles de base à discuter. La première vue, l’on a pourrait penser à employer un ensemble de

base d’onde plane, puisque, selon le théorème de Bloch, des fonctions propres d’un hamiltonien

périodique peuvent être développées dans une base d’onde plane

D’ ailleurs, nous pouvons écrire avec les nombres quantique du théorème de Bloch :

Cependant ; trop de fonctions de base d’onde plane sont nécessaires pour décrire le

comportement rapidement d’ oscillation des fonctions propres près du noyau, qui lui fait une

méthode très longue et dans la pratique inutilisable. Pour cette raison une autre approche est

nécessaire pour la région autour des noyaux atomiques.

La méthode d’ APW est basée sur la connaissance que le potentiel et les fonctions d’ onde

fortement variables et presque sphériques près d’un noyau atomique sont très semblables à ceux

d’un atome isoler, Dans la région entre les atomes le potentiel est presque constante et par

conséquence les fonctions d’ onde sont mieux décrites par les ondes planes qui sont la solution de l’

équation de Schrödinger pour une constante potentiel. Basé sur cette observation, l’ espace est divisé

dans deux régions où di¤érentes développements de base sont employées.

des sphères non-recouvertes (MT) ; de muffin-tin Concentré sur les noyaux atomiques du

rayon RMT ; sont construits. La région entre les sphères s’ appelle la région interstitielle (I). Nous

pouvons maintenant définir une fonction de base d’ APW comme suit :

(II.6.1)

39


Figure. 2.6.1: potentiel Muffin-Tin .

avec le un vecteur dans la première zone de Brillouin, un vecteur du réseau réciproque et V est

le volume de la cellule , les harmoniques sphèriques, ri =r −rα ou est la position

atomique dans la cellule élémentaire de l’ atome α

sont les coefficients du développement et est une solution de l 'équation

radiale de Schrödinger avec le potentiel cristalein moyenne sphérique V (r) centré sur l’ atome, à l’

énergie donnée E :

(II.6.2)

Continuité imposante sur et l’ onde plane correspondante sur la sphère de muffin-tin

détermine les coefficients Malheureusement, la méthode d’ APW a un inconvénient

important ;la dépendance l’énergie , Afin de décrire une fonction propre du l’

équation de Kohn-Sham correctement , la valeur propre correspondante doit être employé pour

E. Puisque n’est pas connu ; une conjecture doit être faite pour la valeur d’E , Pour cette

valeur la base d’ APW peut être construite et l’ équation de Kohen-Sham peut être résolu. E devrait

être une racine de cette équation, Si non, un nouveau valeur pour E doit être essayée jusqu’à ce que

la valeur choisie s’avère être une valeur propre de l’ équation. Ce procédé doit être répété pour

chaque valeur propre et est donc très long. Une solution générale à ce problème consiste en un

certain genre de perfectionnement de la base dans les sphères de muffin-tin a fin d’ enlever la

dépendance d’ énergie.

40


II.6.1 - La méthode de LAPW :

Comme peut être prévu, les premiers calculs de LAPW [33] étaient dans l’approximation de

la MT et ont employé un potentiel modèle. Cependant, sous peu suivant ceci, les codes auto-

cohérents pour les feuilles et les bulk [33] et ont été développés, et le potentiel général (aucune MT

ou toute autre approximation à la densité de charge ou le potentiel, également appelé les calculs du

potentiel total) a commencé à apparaître [33]. Il avait lieu pendant ce temps que la puissance et

l’exactitude de la méthode ont été démontré, en grande partie par une série de calculs des structures

électroniques de surface et d’adsorbant . Celles- ci et d’autres démonstrations ont établi la méthode

de LAPW comme méthode de choix pour des calculs précis de structure électronique pour des

matériaux contenant des atomes en métal de transition.

II.6.1.1 - La méthode standard:

Dans la méthode d’ APW on a dû construire les fonctions par l 'utilisation la valeur

propre inconnue de l’ état propre recherché pour E. Ces fonctions de base manquent de la

liberté vibrationnelle pour traiter même de petites déviations du l’ énergie de bande de la valeur

d’ essai pour E .Une solution à ce problème consiste a faire l’ énergie de l’ APW dans une certaine

région d’énergie ; indépendante, comme est fait dans la méthode d’ onde plane linéarisée augmenté

(LAPW) [33]. Là où linéarisée désigne le fait que l’équation séculaire en résultant sera linéaire dans

E. Une fonction de base LAPW a la même forme qu’une fonction de base d’ APW, mais dans la

partie de la fonction de base à la région de muffin-tin, l’ augmentation, a été adaptée :

(II.6.3)

L’ augmentation d’ APW a été remplacée par une combinaison linéaire de la fonction originale et

son dérivé d’ énergie ; évalué à une énergie fixe E0 de linéarisation.

On peut interpréter la nouvelle limite entre crochets comme une développement de Taylor de

41


première ordre autour d’ une énergie fixe E0 .

(II.6.4)

Si l’énergie E0 diffère légèrement de la véritable énergie de bande E , une combinaison si

linéaire reproduira la fonction radiale d’ APW à l’ énergie de bande. Ceci rapporte une base réglée

qui est assez flexible pour représenter tous les états propres dans une région autour de E0 .

Dans la méthode de LAPW, les fonctions de base à l’ intérieur des sphères de MT sont des

combinaisons linéaires des fonctions radiales et leurs dérivés en ce qui concerne les

paramètres de linéarisation El , Les El sont définis exactement comme dans la méthode d’ APW

(2.6.3), avec un El fixe.

Satisfait :

(II.6.5)

dans le cas non relativiste.

III.7. Les propriétés optiques

III.7.1 Théorie

La conductivité optique peut être calculée à partir de l'énergie structure de bande par le biais

de l'expression de la réponse linéaire

σ α β (ω )=−i e2

m2ћ V uc

×∑k

∑nn '

f ( Enk )− f ( En ' k )

ωn n '

П nn'

α (k ) П n n'

β

ω−ωnn' (k )+ i /τ (II.7.1)

Avec f(Enk) comme la fonction de Fermi et ωnn' (k) = Enk -En'k comme la différence de l'énergies

Kohn-Sham Enk et En'k pour les deux bandes n et n' , respectivement, au k point. g= τ -1 est le

paramètre de durée de vie qui est inclus pour simuler la durée de vie limitée des états d'électrons

excité de Bloch.Α (k)nn présente les éléments de la matrice de transition optique, dans une

description complètement relativistes, est donnée par :

Π(nn ' )(k)=<Ψnk∣c α∣Ψ(nk ')> (II.7.2)

Avec ψnk à quatre composants de la fonction d'onde des électrons de Bloch.

Expression (1) pour la conductivité contient une double somme sur toutes les bandes d'énergie, qui

se divise naturellement dans la contribution que l'on appelle inter bande, à savoir n ≠ n', et la

contribution inter bande c.a.d n = n'. La contribution intra bande aux composantes diagonales de σ

peut être réécrite pour la température zéro comme suit :

42


σ αα (ω )=(ω p ,α )

2

4 πi

ω+i γ D

(II.7.3)

Où γD est l'inverse du temps de relaxation pour la transition inter bande indirect et ωp,α sont les

composantes de la fréquence du plasma, qui sont donnés par:

(w p ,α)4 π e m V uc

∑nk δ(Enk−EF )∣Π(nn ')α

∣ . (II.7.4)

EF est l'énergie de Fermi et Vuc est l'unité de volume cellulaire. Les composants de tenseur de

conductivité σ sont liés à ceux de le tenseur diélectrique ε par la relation

ε α β=δ α β+4 π i

ωσα β

(II.7.5)

La partie imaginaire des éléments non-diagonale du tenseur de conductivité décrit

l'absorption magnéto-optique. Cette partie d'absorption est directement proportionnelle à la

différence entre l'absorption de gauche (-) et droite (+) de la lumière polarisée circulairement (LCP

et RCP) et son signe est directement liée à la polarisation des spins des états responsables de

transitions inter bande. C'est la méthode la plus expérimentalement étudié de cette géométrie, et est

aussi celle qui est connue pour donner le plus grand signale de Kerr. n± , l'indice de réfraction pour

ondes polarisées circulairement, sont directement liées à tenseur diélectrique ou du tenseur de

conductivité, telle que donnée par:

n±2=εxx ± i εxy=1+

4 πiω

( σ xx+σ xy ) (II.7.6)

L'expression pour de petites valeurs de Kerr est donnée à titre d'angle [35].

θk+i ε k=−σ x y

σ x x √1+4 π iω

σ x x

(II.7.7)

Où εk et θk sont Kerr angle et l'ellipticité Kerr, respectivement.

II.8 /Le code WIEN2k :

Le code Wien est une implémentation de la méthode LAPW ( FP-LAPW ) ; ce programme a

été conçu par Blaha et ses collaborateurs [36] , il est utilisée dans de nombreuses applications , telles

que le gradient du champ électrique[37,38], les systèmes supraconducteurs à haute température [39],

les minéraux [34], les surfaces des métaux de transition[40] , les oxydes non ferromagnétiques [41]

et les molécules [42]. Des versions du code WIEN original ont été développés sous UNIX , qui se

sont appelés WIEN93, WIEN95 et le WIEN97. Maintenant une nouvelle version, WIEN2k , est

disponible ,qui est basé sur un ensemble alternatif de base.

Ceci permet une amélioration significative, particulièrement en termes de vitesse ,

universalité , facilité d’ emploi et nouveaux dispositifs. WIEN2k est écrit en Fortran 90 et exige le

43


système d’ exploitation UNIX ; puisque les programmes sont lié ensemble par l’ intermédiaire des

scriptes de C-shell . Dans le codes WIEN2k le calcul se fait en trois étapes :

II.8.1 /L’ initialisation

Cette étape est faite pour la préparation du cycle SCF ; au coure de cette étape on éxecute une série

des programmes :

nn: (les distances voisines les plus proches) : donne les distances entre plus proches voisins et aide à

déterminer le rayon de la sphère muffin tin.

LSTART:(programme atomique LSDA) : le lstart est un code atomique relativiste de LSDA à l’

origine écrit par Desclaux [43, 44] et modifié pour le but actuel.

SYMMETRY : génère les opérations de symétrie du groupe spatial, détermine le groupe ponctuel

des sites atomiques individuels, génère l’ expansion LM pour les harmoniques du réseau et

détermine les matrices de rotation locale.

KGEN : Ce programme produit de la k-maille dans la cale irréductible de la zone de Brillouin (IBZ)

sur une grille de point spéciale , qui peut être employée dans un arrangement modifié d’ intégration

tétraèdral [44].

DSTART : Ce programme produit d’une première densité de charge cristalline (case.clmsum) par

une superposition des densités atomiques (case.rsp) produites avec le lstart.

II.8.2 /Calcul SCF

LAPW0 : lapw0 calcule le potentiel Vtot comme somme du potentiel coulombien Vc et le potentiel

Vxc d’ échanger-corrélation ; en utilisant toute la densité électronique (de spin) comme entrée.

LAPW1 : produit des valeurs propres et des vecteurs propres, il installe la matrice hamiltonienne et

la matrice de chevauchement [45] , et trouvailles par les valeurs propres et les vecteurs propres de

diagonalisation qui sont écrits au case.victor ,Sans compter que l’ ensemble standard de base de

LAPW, aussi la méthode d’ APW+lo[46,47] est soutenu et les ensembles de base peuvent être

mélangés pour l’ efficacité maximale.

LAPW2 : calcule les densités de valence à partir des vecteurs propres, il utilise case.energy et

case.vector et calcule EF .

LCORE : calcule les états de cœur et les densités.

MIXER : mélange les densités de valence et du cœur pour produire une nouvelle densité.

2.8.3 /Utilisation des tâches pour le calcul des propriétés :

SPAGHETTI : calcule la structure de bandes en utilisant les valeurs propres générées par LAPW1.

TETRA : calcule la densité d’état DOS et LDOS (densité d’états locale).

44


OPTIMISE : détermine l’énergie totale en fonction du volume, utilisée dans le calculer des

paramètres du réseau , en utilisant l’ équation d’ état .

OPTIC : calcule les propriétés optiques.

XSPEC : calcule et désigne les spectres d’absorption et émission des rayons X.

Figure. II.8.1: Le Data Flow du code Wien2k.

45

ChapitreIII: Résultats et discussions

Chapiter III Résultats et discussions

III.1.Théorie:

III.1.1. Détails de calcul:

Dans le composé Fe3Co avec la structure DO3 (groupe d'espace Fm3m), deux positions

inéquivalentes pour les atomes de Fe, qui sont nommés FeI et FeII. Le premier FeII à huit proche

voisins comme une structure cubique centré, et quatre proche voisin FeI et quatre atomes de Co les

plus proches dans une coordination tétraédrique.

Tous les atomes dans la structure cristalline de DO3 se produisent sur le haut axe de symétrie.

Les atomes de FeI sont présents à (1/4 1/4 1/4) et (3/4 3/4 3/4) et FeII à (1/2 1/2 1/2). L'atome de Co

qui occupe (0 0 0). De même, nous pouvons nommés dans la structure FeCo3 les deux atomes de

Co comme CoI et CoII.

Le calcule est effectué par la méthode du FPLAPW '' full potentiel linéal augmenté plane

wave'' implanté dans le code WIEN2k [42,43]. Le calcule est basé sur la théorie de la densité

fonctionnel DFT [43,44] en utilisant l'approximation de la densité local du spin (LSDA) [43,44] ,

cette approximation est une forme de LDA (approximation de la densité local) avec un spin polarisé,

utilisé spécialement pour l'étude des propriétés des matériaux magnétiques.

Pour tous nos calculs le rayon de la sphère ''muffin-tin'' de tous les atomes est le même avec

les valeurs suivantes RMTFe=RMTCo=2.25 unité atomique. Les paramètres de maille pour les

composesFe3Co et FeCo3 ont prises à partir de l’expérience [46]. La valeur théorique de

l'optimisation ne diffère que de 2 % de celle des valeurs expérimentales. Le critère de convergence

pour tous les calculs est de 0.0001 Rydberg. Pour la structure de Fe(cc) et du Co(cc), 220k point est

adopté dans zone de Brillouin, par contre pour les structure DO3 du FeCo3 et celle Fe3Co 405k

points prise en considération dans la zone de Brillouin. Les propriétés optiques nécessitent un

maillage dense donc nous avons utilisé 816k points dans la zone de Brillouin pour tous les

composés.

III.1.2. Traitements des résultats obtenus

Toutes les informations sur les moments magnétiques totales calculés, moments magnétique

obtenue en fonction du site et les paramètres réseau de ces composés sont résumées dans Le tableau

1. Les valeurs correspondantes des moments magnétiques pour d'autres travaux théoriques et

expérimentales sont également répertoriés pour une comparaison dans Tableau 1.

Tableau1 les moments magnétiques total M ( μB ) et individuel pour chaque site atomique avec les

valeurs expérimentales et théoriques disponibles pour les composés Fe, Co, Fe3Co et FeCo3. Le

DOS calculée à EF pour spin majoritaires et minoritaires (N↑ (EF) et N↓ (EF), États/eV) et de la

47


polarisation du spin P (%) à EF sont également indiqués.

Composés M M

(Structure,

Lettice constat.) N↑ (EF ) N↓ (EF ) P (%) FeI FeII CoI CoII (total)Fe theory 1.08 0.16 74.19 - 2.19 - - 2.19

(2.86A) expt - - - - - - - 2.22

[53]

Fe3Co theory 0.60 1.92 52.38 2.56 2.35 - 1.79 9.27

(5.657 A) expt - - - - - - - 9.23

[52]

Co theory 0.13 1.82 86.66 - - - 1.73 1.73

(2.82 A) expt - - - - - - - 1.3-1.7

[54]

FeCo3 theory 0.57 3.66 73.05 - 2.57 1.77 1.77 7.78

(5.714 A) expt - - - - - - - 7.74

[55]

Cette augmentation du moment magnétique est due à l'environnement des proches voisins

des site de FeI, FeII et du cobalt pour la structure Fe3Co et aussi est due au site CoI, CoII et le fer. Le

moment magnétique augmente régulièrement pour atteindre un maximum de 3.1∼ μB. En raison de

la présence de grandes moments magnétiques, ces composés sont censés avoir une rotation

importante de effet de Kerr.

Beaucoup de composés intermétalliques est connus pour être des composés demi métallique

ferromagnétiques (HMF) sont considérées comme potentiels candidats pour la spintronique. Le

concept de HMF a été présenté pour la première fois par de Groot et al[48].

Le modèle suggère que la densité des états (DOS) présente un gap pour électrons minoritaires afin

que ces matériaux sont censés être polarisé à 100% au niveau de EF. La polarisation du spin est

définie comme:

P=N ↑ ( EF )−N↓ ( EF )N↑ ( EF )+ N↓ ( EF )

(III.1.1)

48


N↑ (EF ) et N↓ (EF ) sont la densité des états dépendant de l'orientation du spin à EF pour les spins

majoritaires et minoritaires, respectivement. P disparaît pour les matériaux antiferromagnétiques,

même au-dessous de la température de transition magnétique, et aussi pour matériaux

paramagnétiques. Toutefois, elle a une valeur finie pour les matériaux ferromagnétique ou

ferrimagnétique en dessous de la température de Curie. Cette propriété d'exception rendrait HMF un

candidat idéal pour les dispositifs à injection de spin pour être utilisé dans l'électronique de spin.

49


Figure.III.1. a.Total DOS et structure de band pour le Fe3Co ; FeCo 3 ; Co ; Fe .

50


51


Figure.III.1.b.d DOS et structure de band pour le Fe3Co ; FeCo 3 ; Co ; Fe .

Le DOS total calculé au niveau de Fermi (EF) et de polarisation du spin sont également

répertoriés dans le tableau 1. On observe que, avec augmentation de la concentration moyenne du

Co, la densité d'état de spin minoritaire à E F augmente. Parmi les composés binaires, Fe3Co montre

52


une polarisation minimale de 28,6 % alors que FeCo3 a sa valeur comme 76,2 %. Ceci suggère que

la concentration de Co dans ces composés joue un rôle crucial pour décider de la polarisation de

spin et le HMF. La polarisation de spin peut être encore augmentée par convenablement le dopage

FeCo3 comme a été prédit pour le CO2 CrAl par Miura et al.[50] et Antonov et al. [51]

Le DOS pour les composés Fe3Co et Co3Fe obtenue par FPLAPW sont présentés dans la

figure 1. Nous observons que les courbes du DOS sont assez semblables en nature pour tous les

composés étudiés montrant la contribution majeure des États de spin de minorité au-dessus de EF

c'est-à-dire dans la bande de conduction. Nous constatons que la contribution du total DOS est due

au orbitales d, Comme prévu, pour tous ces composés. La différence des états occupée du DOS

-pour états majoritaires et minoritaires est responsable pour des valeurs plus grandes de moment

magnétique dans ces composés.

Le tenseur de conductivité optique peut être exprimé comme un somme de deux

contributions : intra bande et inter bande. Nous avons considéré dans notre calcules seulement les

contributions inter bandes. La figure 2 présente la courbe de conductivité optique (d'absorption σ1xx

(ω)) et dispersive (σ2xx (ω)) pour les composées Fe3Co et Co3Fe.

Nous avons utilisé un élargissement (Broading) de 0,4 eV pour Fe3Co et FeCo3 .

Figure.III.2. spectre absorption calculé (parte réel) σ1xx (ω)des composés Fe3Co et FeCo3.

Figure.III.3 spectre absorption calculé ( parte imaginaire) σ1xx (ω)des composés Fe3Co et FeCo3.

53


Nous avons présenté les résultats pour les deux σ1xx (ω) et σ2xx (ω) jusqu'à 13 eV. Dans

l'intervalle d'énergie 1-5 eV, le pic principal est bien reproduit par les calculs, comme également la

chute vers des valeurs plus faibles avec l'augmentation de l'énergie. Ce résultat est valable pour les

deux parties réelle et imaginaire de conductivité de la partie diagonale, qui est en accord avec la

relation de Kramers-Kronig (KK) des deux parties réelle et imaginaire. Sur la figure .III.2, nous

constatons que la position du pic pour σ1xx (ω) à 2,2∼ eV. La caractéristique de tous les spectres est

la présence de trois pics, en raison de transitions inter bande, à 2,7∼ eV, 6.5 eV et 10 eV. Comme

indiqué dans le panneau inférieur de la figure.III. 3, la forme de σ2xx (ω) de spectres à des énergies

plus faibles (<2 eV) change avec la diminution de la concentration de Fe dans la compound alors

que pour des énergies plus élevées (>5 eV), Les caractéristiques sont presque les mêmes pour les

deux composés. Des tendances similaires sont observées aussi pour σ1xx(ω) les spectres dans la

présente gamme d'énergie plus élevée de tous les composés. Ainsi, la réponse optique dans

l'ultraviolet lointain (région de l'énergie > 5 eV) est identique pour ces deux composés.

La comparaison de σ1xx (ω) des spectres de Fe3Co et Co3Fe , avec ceux de pure Fe et Co,

obtenus à partir de nos calculs FPLAPW est illustré à la figure .III.4. Il est intéressant de noter que

tous les composés ont des caractéristiques similaires montrant trois pics d'absorption inter bande.

Les spectres de ces deux composées sont plus proches de que pour bcc Fe jusqu'à 9 eV, en

particulier la seconde crête à 7∼ eV qui montre l'impact du Fe sur les deux composées. Au-delà de

10∼ eV, les deux composées ont une amplitude plus grande que celle du Fe et Co.

Figure.III.4. Comparaison des spectres d'absorption (real part) de la conductivité optique σ1xx (ω)de Fe3Co et

FeCo3, Co et Fe .

54


Figure.III.5. Comparaison des spectres de Kerr rotation θk et ellipticité εk de FeCo3 , Fe3Co, Fe et Co.

Nous comparons les spectres de Kerr calculés pour tous les composés à la Figure III.5. Les

spectres révèle que tous les composés étudiés ont des caractéristiques similaires dans la gamme

d'énergie choisie, en particulier jusqu'à ~9 eV. À ce stade, il convient de rappeler que la polarisation

de spin P dans ces composés varie considérablement (de 28% à 76%) avec l'augmentation de la

concentration du cobalt bien que la rotation de Kerr est à peine influencée.

Figure.III.6 Comparaison des spectres d'absorption (partie imaginaire) du paramètre , ωσ2xy de Fe3Co,FeCo3,Co et

Fe.

55


Il y a deux pics négatifs autour de 1,5 et 5 eV qui indique la dominance de LCP de la

lumière polarisée. Par la suite autour de 6,5 eV, il y a prédominance de la RCP caractère avec un pic

positif de 0,4◦ dans la rotation Kerr de tous les composés.

Afin de connaître l'origine des spectres Kerr étudiés, il est utilisée de considérer la partie

d'absorption de la conductivité optique σ2xy (ω) puisque elle joue un rôle très important dans

l'explication de l'effet Kerr par l'équation (II.7.7). La plus grande amplitude de σ1xx (ω) correspond

à un minimum de l'amplitude dans la rotation de Kerr que celle-ci est directement proportionnelle à

σ2xy(ω). Une forte ressemblance dans les spectres Kerr des composés indique que tous ont la même

origine. Le premier pic négatif pour le spectre Kerr correspond à la crête dominante dans le spectre

ωσ2xy(ω) sont observés à des mêmes énergies près de 2.5 eV qui suggère que la principale

contribution à des spectres Kerr est de ωσ2xy (ω). En outre, la valeur positive de ωσ2xy(ω) donne une

négative rotation de Kerr (éq. (II.7.7)). D'autre part, Fe et Co ont très différents ωσ2xy (ω) au-delà

de 9 eV, par conséquent leurs spectres Kerr trop sont très différents dans ce domaine d'énergie

malgré les deux ayant les mêmes σ1xx (ω).

56

Conclusion générale

Conclusion générale:

Conclusion générale:

Nous avons utilisé la méthode DFT par le code WIEN2k avec l’approximation LSDA pour

étudier les alliages de Heusler de Type DO3, pour les composées Fe3Co et Co3Fe.

o Le moment magnétique sur le site Co reste proche à celui de l'élément Co en

structure cfc.

o Aucune différence significative sont observées dans les spectres Kerr des composées

Fe3Co et Co3Fe en comparaison avec ceux de Fe et Co pur en structure cubique

centré.

o Par conséquent, les spectres magnéto-optiques à effet de Kerr sont similaires dans

tous les composés qui due à l'environnement cubique centré de tous les éléments.

o L'origine des différentes structures dans les spectres de Kerr est analysée en fonction

de la conductivité optique pour tous les composés.

58

Références

Références :

Références :

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