trisection

8/14/2019 Trisection

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TRISECTION DE L'ANGLEà la règle et au compas

Note : Cette illustration signée "Rousso" (Robert Rousso, dessinateur et

caricaturiste) est une version colorisée à partir d’une copie en noir et blanc de

mauvaise qualité, sans savoir où le dessin original a été publié. A cette

occasion, un hommage est rendu à l’artiste, en particulier pour cette caricature

qui serait pertinente en bien des circonstances.



Jean Jacquelin, "Trisection de l'angle", 25 novembre 2007. [ Mis à jour : 17/12/2012 ] 1

TRISECTION DE L'ANGLE

à la règle et au compas.

Jean Jacquelin

1. INTRODUCTION :

De nos jours, il peut paraître étonnant que certains espèrent encore trouver du nouveau au

sujet de la fameuse et antique trilogie de problèmes géométriques : la quadrature du cercle, la

duplication du cube et la trisection de l'angle, ceci dans le contexte des constructions dites "à la règle

et au compas". Pourtant, il ne manque pas d'écrits récents affirmant qu'une réponse satisfaisante a

été donnée à ces questions, posées près de 2000 ans plus tôt : L'impossibilité de ces constructions est

prouvée, sauf dans des cas particuliers bien expliqués.

Les preuves de ces impossibilités sont loin d'être triviales. S'il en avait été autrement, il

n'aurait pas fallu deux millénaires pour surmonter la difficulté. Ce serait une fameuse gageure à

relever que d'exposer les preuves en quelques pages seulement, dans un article didactique et

accessible à un large public. Je suis certain que si un auteur audacieux et avisé relevait le défi, il

trouverait un accueil enthousiaste de la part d'un grand nombre de lecteurs.

Le but du présent papier est beaucoup plus modeste. A l'opposé d'une démonstration

d'impossibilité, il s'agit d'un survol de ce qui est possible, impliquant immanquablement des entorses

aux règles de construction "à la règle et au compas" édictées par les Grecs Anciens. Il n'est pas non

plus question de réaliser une revue exhaustive de soi-disant solutions proposées tout au long des

siècles passés. Un bibliothèque n'y suffirait probablement pas, pour rassembler les documents

sérieux et plus encore, l'immensité des élucubrations. Le terme de survol est même excessif, puisque

seulement un petit nombre d'exemples, typiques et choisis parmi les plus simples, prétend donner un

aperçu éclectique de différentes catégories de solutions proposées. Et encore plus restreinte, notre

investigation ne portera que sur le problème antique de la trisection de l'angle.

Nombre d'auteurs, peu pointilleux, se contentent de vérifications graphiques pour montrerque leur construction divise bien en trois parties égales l'angle donné, ceci à l'épaisseur près du trait

de crayon. Ils n'ont pas pris conscience du peu d'intérêt de leur travail, dans la mesure où sont déjà

connues de longue date des méthodes graphiques (de principe très simple) qui peuvent donner des

résultats aussi précis que l'on veut : Ce sont des résultats largement satisfaisants du point de vue

pratique. Mais pas satisfaisants du point de vue théorique : ce ne sont jamais que des résultats

approchés, même si l'écart est indiscernable sur le dessin. Une méthode typique est la dichotomie,

qui sera exposée au §.2. Les amateurs de constructions approximatives pourront comparer leurs

trouvailles avec quelques exemples élémentaires décrits dans les §.3 et 4, ceci des points de vues

simplicité de la méthode et précision des résultats.

Mais la preuve d'une division correcte par trois ne peut pas se contenter de vérifications

graphiques. Il est indispensable de recourir à des démonstrations géométriques et/ou analytiques.L'affaire devient plus sérieuse. On entre alors dans le domaine des constructions géométriquement

exactes et qui semblent apporter une solution mathématiquement correcte au problème de la

trisection! Bien sûr, il y a toujours quelque chose qui cloche, plus ou moins difficile à mettre en

lumière. Cela sera illustré par un exemple très simple à tirer au clair, §.5.

Il convient de prévenir que le contenu de cet article ne présente rien de vraiment original.

Même si des méthodes décrites ici diffèrent un peu de certaines connues depuis longtemps, les

variantes sont évidentes à tout esprit un tant soit peu imaginatif . Néanmoins, j'espère que cela

pourra être matière à réflexion pour les personnes peu au courant, mais néanmoins intéressées par

ces vieux problèmes.




2. CONSTRUCTION DICHOTOMIQUE :

D'une façon générale, les procédés par dichotomie, c'est-à-dire mettant en œuvre des

divisions successives par deux, sont intimement liés à la numération binaire. Il en a déjà été tiré parti

dans un article : "Tracé d'un angle quelconque à la règle et au compas", publié dans le magazine

Quadrature n°52, p.4. Le cas présent est encore plus simple. On y met en application la série

géométrique suivante :

1

1 1 1 1 1...

4 16 64 256 4n

n

∞

=

= + + + + = ∑1

3

Bien entendu, la série ne sera pas infinie, mais limitée au nombre de termes que l'on voudra, ce qui

permet d'approcher 1/3 avec autant de précision qu'on le souhaite. En pratique, la procédure est la

suivante (figure 1) :

- L'angle α étant donné, on le partage en (1 /2) et deux fois(1 /4) en traçant les bissectrices B1 puis B2.

- L'angle formé par B1 et B2 vaut également α /4. Cet angle est partagé de la même façon en (1 /2) et

deux fois(1 /4) en traçant les bissectrices B3 puis B4. On obtient ainsi un angle égal à α /16 qui

s'ajoute au précédent α /4.

- L'angle formé par B3 et B4 vaut α /16. Toujours de la même façon, on le partage en (1 /2) et deux

fois(1 /4) en traçant les bissectrices B5 puis B6. On obtient ainsi un angle égal à α /64 qui s'ajoute au

précédents α /4 et α /16.

- Et ainsi de suite, pour autant que l'on veuille améliorer la précision. En fait, il n'y a pas à aller trèsloin pour atteindre une limitation graphique : l'angle restant à diviser se confond avec l'épaisseur

d'un trait. On obtient ainsi la représentation graphique de α /3 avec le maximum de précision

matériellement possible. (Sur la figure 1, les bissectrices B7 et B8 ne sont pas tracées pour conserver

une lisibilité suffisante).

Le processus pouvant, si nécessaire, être poursuivi aussi loin que l'on veut, les amateurs de

trisections ne peuvent pas revendiquer, pour les constructions qu'ils proposent, une précision

supérieure à celle de la méthode qui vient d'être décrite. Tout au plus peuvent-ils espérer obtenir un

aussi bon résultat par un plus petit nombre de manipulations des instruments et avec moins de tracés.

De surcroît, si l'on considère comme avantage notoire la facilité à mémoriser la procédure que nous

avons vue, il est douteux que l'on puisse en trouver une autre qui la surpasse.




3. CONSTRUCTION POUR DE PETITS ANGLES :

La construction est représentée figure 2 :

L'angle ϕ étant donné, on porte sur l'un de ses cotés les points P, Q et R tels que OP=PQ=QR, delongueur arbitraire. On construit la parallèle à l'autre coté de l'angle, passant par Q. Elle coupe le

cercle de centre Q et de rayon QR au point S. L'angle θ, défini par OR et OS, est approximativement

égal à ϕ /3. La valeur exacte de θ est :

( )3 5 7sin( ) 1 1arctg

2 cos( ) 3 81 972O

ϕ ϕ θ ϕ ϕ ϕ

ϕ

= = − − + +

Dans ces formules, les angles ϕ et θ sont exprimés en radians.

L'écart δ = ϕ/3 − θ est d'autant plus faible que ϕ est petit. Les écarts maximum sont les suivants

: Si ϕ<62° : δ<1° ; si ϕ<29° : δ<0,1° et si ϕ<13° : δ<0,01°On ne peut pas rêver d'une construction plus simple. Par contre, elle n'est satisfaisante, du point de

vue de la précision graphique, que pour des angles assez petits, ce qui nuit à son intérêt dans le cas

général.

Nous verrons, §.4 , que diverses variantes assez évidentes permettent d'étendre cette construction

aux grands angles.

Remarque : la construction que nous venons de décrire est susceptible de modifications mineures,

telles que, par exemple, celles présentées sur la figure 3 :




L'angle ϕ a été choisi intentionnellement trop grand de façon à exagérer les différences et rendre le

dessin plus lisible. ( Pour des angles ϕ plus petits, tels qu'indiqués dans la table suivante, les demi-droites OST, OSO, OSM et OSQ seraient presque confondues, à l'épaisseur près du trait de crayon ).

Le point S peut être pris à l'intersection de (D) avec :

- soit la perpendiculaire (T) à OR en R , ce qui est une variante d'usage courant.

- soit le cercle (CO) de centre O et de rayon OR

- soit le cercle (CQ) de centre Q et de rayon QR , celle que nous utiliserons.

- soit le cercle (CM) de centre M et de rayon MR

Les résultats sont comparés dans le tableau suivant :

ϕ maximum tel que l'écart soit :Variantes de

constructions : δ < 1° δ < 0,1° δ < 0,01°

Développements en série :

( ϕ et θ en radian)

Perpendiculaire (T) ϕ < 31° ϕ < 14° ϕ < 7° ( )3 5 78 8

3 81 243O

ϕ θ ϕ ϕ ϕ = + + +

Cercle (CO) ϕ < 36° ϕ < 17° ϕ < 8° ( )3 5 75 1

3 81 108O

ϕ θ ϕ ϕ ϕ = + + +

Cercle (CQ) ϕ < 62° ϕ < 29° ϕ < 13° ( )3 5 71 1

3 81 972O

ϕ θ ϕ ϕ ϕ = − − +

Cercle (CM) ϕ < 93° ϕ < 60° ϕ < 38° ( )5 780

3 6561Oϕ θ ϕ ϕ = + − +

On voit que, du point de vue de la précision, la méthode correspondant à (CM) est nettement la

meilleure. Par contre, elle nécessite la construction du point M de telle sorte que MQ=PQ/8, par

tracés successifs de médiatrices : La médiatrice de PQ, donnant son milieu K, puis celle de KQ,

donnant L et enfin celle de LQ. Cela fait beaucoup de manipulations supplémentaires des

instruments. Nous verrons (§.4) que d'autres possibilités existent pour améliorer spectaculairement

la précision, au prix de peu de complication, dans le cas d'un grand angle à diviser. C'est la raison

pour laquelle la construction correspondant (CQ), c'est-à-dire celle représentée figure 2, simple et

suffisamment précise, sera préférée pour la suite.




4. CONSTRUCTIONS POUR DE GRANDS ANGLES :

4.1. Approche par division, puis multiplication :

Bien que l'on ne sache pas diviser un angle en trois exactement, par contre, le multiplier par

trois, ou par n'importe quel entier, est élémentaire. De cette banalité, l'idée de la variante de

construction suivante n'est pas longue à germer (figure 4) :

L'angle α étant donné, on trace les bissectrices successives B1 et B2. Ceci ramène à la figure 2 avec

ϕ=α /4. On se donne OP arbitraire et Q, R tels que OP=PQ=QR. La parallèle à B2 passant par Q

coupe le cercle de centre Q et de rayon QR en S. On obtient ainsi l'angle (ROS)= θ. Finalement, laconstruction de β=4θ donne une approximation de α /3.

Les écarts δ = α/3 − β maximum sont les suivants :

Si α<160° : δ<1° ; si α<75° : δ<0,1° et si α<35° : δ<0,01°Bien évidemment, on peut augmenter la précision autant que l'on veut. Il suffit, par exemple, de

tracer une bissectrice de plus au début pour que ϕ=α /8 et β=8θ. Les écarts δ diminuent rapidement :

Dans ce cas, δ<0,3° quel que soit α ; si α<120° : δ<0,1° et si α<55° : δ<0,01°




4.2. Approche par soustraction puis addition :

Cette approche différente, mais qui relève du même ordre d'idées que la précédente, est

présentée en figure 5 :

- L'angle α étant donné et pouvant être grand, on trace "à vue de nez" un angle γ , très grossièrement

au tiers de α. Cet angle γ est presque arbitraire : il n'a nul besoin d'avoir une valeur particulière. On

lui demande seulement que, multiplié par trois, il donne l'angle (3γ ) pas trop différent de α.

( Pour tracer la figure, on a volontairement pris γ trop petit, de façon à avoir une lisibilité suffisante,

soit ϕ assez grand, ce que l'on devrait normalement éviter de faire )

- Il suffit ensuite de diviser l'angle ϕ=(α-3γ ) selon la méthode "des petits angles" vue au §.3, ce qui

donne l'angle θ. Le résultat final, c'est à dire l'angle β=γ +θ est une approximation de α /3 avec une

précision aussi bonne que celle qui était obtenue précédemment dans le cas des petits angles.

Il est douteux que l'on puisse imaginer plus simple ! Néanmoins, si quelque esprit chagrin se

plaignait de ne pas avoir "le compas dans l'œil" et de ne pas savoir comment tracer l'angle γ , il est

aisé de donner satisfaction, ainsi que nous allons le voir.

4.3. Approche par dichotomie préalable :

Pour systématiser la méthode précédente, on retourne à la dichotomie, §.2, mais en la limitant à sestoutes premières étapes. Cela revient à la terminer prématurément, d'une façon "propre", grâce à la

construction "petit angle" susdite.

Le résultat est déjà intéressant en ne traçant que les bissectrices B1 et B2 qui partagent α en

α /2 et deux fois α /4, puis en appliquant le procédé "petit angle" à (α /4), ce qui est représenté en

figure 6 :




Toutefois, la précision n'est pas excellente pour de grands angles, bien qu'acceptable dans la plupartdes graphismes courants. Les écarts δ = α/3 − β sont inférieurs aux valeurs suivantes :

Quel que soit α : δ<0,4° ; si α<118° : δ<0,1° et si α<55° : δ<0,01°

Il ne coûte pas beaucoup de tracer les deux bissectrices de plus, B3 et B4, figure 7 :

La précision devient excellente : quel que soit α, l'écart δ est inférieur à 0,006°. et si α<102° :

δ<0,001° ( tout ceci en théorie, car l'épaisseur des traits masque une telle précision)

Nombreux sont les procédés de trisections approximatives qui ont été publiés, mettant en

œuvre des idées du même genre, sous diverses formes et dont l'explication mathématique passe, de

façon plus ou moins directe, par des séries limitées, comme les exemples précédents ont permis de

l'observer. C'est intentionnellement qu'un petit nombre seulement de constructions ont été présentées

ici : leur accumulation deviendrait vite rébarbative. Dans la littérature et sur la toile, on en trouve

une pléthore de différentes sortes. Par exemple, une revue largement plus étendue que la présente est

donnée à cette adresse : http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm




5. CONSTRUCTION EXACTE BIAISEE ( NEUSIS ) :

Une méthode célèbre est attribuée à Archimède : La dite construction est exacte dans le sens

que, si les instruments étaient parfaits et la précision de tracé idéale, l'angle obtenu serait

effectivement égal à α /3 ( l'angle donné étant α ). La procédure est la suivante (figure 8) :

- Tracer un cercle de centre 0 et de rayon R quelconque. Il coupe en A et B les demi-droites données

qui définissant l'angle α .

- En maintenant l'écartement du compas, marquer n'importe où sur la règle deux points p et q

distants de R. Donc R = pq = OA = OB.

- Faire glisser la règle de telle sorte que le point p se déplace sur la droite qui porte OA et que l'arête

de la règle passe sur le point B.- On s'arrête lorsque le point q de la règle tombe exactement sur le cercle. Ainsi se trouvent

déterminés les points P de la droite et Q du cercle, coïncidant respectivement avec p et q de la règle.

- On a obtenu l'angle (OPQ) = α /3 . Il est élémentaire de donner une preuve géométrique de cette

égalité.

Voici donc l'angle divisé en trois, aussi parfaitement que les contingences matérielles le

permettent. En tout cas, il est bel et bien divisé en trois de façon théoriquement exacte. L'antique

problème de trisection serait-il donc résolu ? Et bien non. Les Grecs Anciens en étaient parfaitement

conscients. En effet, l'une des sacro-saintes conventions a été transgressée : Il s'agit de l'interdiction

de porter des marques ou des tracés sur la règle ( Cet instrument étant avantageusement désigné par

le mot "latte", pour distinguer d'une règle graduée, bien évidemment non permise ).

Qu'à cela ne tienne, me direz-vous. Avec un peu de dextérité, je vais procéder ainsi :Le compas conservant son écartement, je défini les point p et q , non pas par des marques sur la

règle, mais tout simplement par les pointes du compas que je maintiens adroitement appliquées

contre l'arête de la règle. A part cela, je procède de la même façon.

Objection : une autre convention est transgressée. Lorsqu'on déplace le compas, il doit aller se

planter à un point fixe bien défini par un tracé antérieur. Ceci exclu toute manœuvre visant à trouver

la position optimum de certains points ( P et Q dans le cas présent) en déplaçant continûment le

compas.

La construction que nous venons de voir (figure 8) se révèle donc être géométriquement

exacte. Par contre, elle est biaisée relativement à la "construction à la règle et au compas" selon le

sens traditionnel donné à cette expression.




6. CONCLUSION :

Parler de "trisection de l'angle à la règle et au compas" est un raccourci faisant oublier des

conventions précises et restrictives qui définissent l'usage de ces instruments. Si ces règles ne sont

qu'imparfaitement connues et si elles ne sont pas toutes respectées (volontairement ou non), il n'est

pas difficile de trouver de nombreuses façons pour réaliser la trisection de l'angle. On a mêmeattribué un qualificatif ( neusis ) à ces constructions biaisées, dont bon nombre sont décrites dans la

littérature et sur la toile. Voir par exemple :

http://mathworld.wolfram.com/AngleTrisection.html

http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm

Ce qu'il y a de tire-bouchonnant dans les histoires de trisection d'angles, c'est que ceux que

cela excite encore de nos jours, parfois n'ont même pas compris l'énoncé exact du problème, ou n'en

ont pas une connaissance précise : Ils en restent à une question posée de façon vague, qu'ils

connaissent approximativement par ouï-dire, contrairement à la définition rigoureuse de la

"construction à la règle et au compas " au sens traditionnel.

Généralement, lorsqu'on parle du problème de la trisection d'un angle, on ne parle pas detrisection approchée, puisque de nombreuses méthodes, parfois très astucieuses, sont connues

depuis longtemps. Le problème dont on parle est celui de la trisection exacte et non biaisée qui a bel

et bien reçu une réponse définitive (cette réponse étant la preuve d'impossibilité dans le cas général,

c'est-à-dire des angles quelconques et non pas de certains angles particuliers ayant des valeurs bien

répertoriées).

Sans vouloir heurter les adeptes purs et durs de la "croyance en l'immaculée trisection",

observons qu'il est difficile d'avoir une discussion saine et claire avec des personnes qui s'expriment

le plus souvent avec autant d'approximations dans leur langage que dans leur démarche

mathématique. Le plus souvent, cela dégénère en un dialogue de sourds. Certes, la preuve

d'impossibilité de la trisection de l'angle, à la règle et au compas, demande un bon niveau de culture

mathématique. Sans cette compétence, l'affirmation d'impossibilité peut être difficile à accepter et

ressentie à tort comme un dogme dont on pourrait encore douter !

Les esprits vraiment terre-à-terre ne manqueront pas de faire remarquer que se restreindre à

l'utilisation d'un compas et d'une règle non graduée, avec des conventions d'utilisation aussi strictes,

c'est bien se compliquer la vie à plaisir, alors qu'un simple rapporteur ferait l'affaire, ou même des

moyens un peu plus sophistiqués, trisecteurs, courbes trisectrices, etc... Il y aurait beaucoup à dire au

sujet de ces autres moyens et instruments. Mais ce n'est pas ainsi que les penseurs de l'antiquité se

sont posé des questions auxquelles il a fallu deux millénaires pour trouver les réponses. Ils avaient

bien raison ces Anciens : le challenge a été un formidable stimulant pour faire progresser

d'importants domaines des mathématiques. Dans la brève revue de méthodes présentée ici, ne nous

étonnons pas de ce qu'il n'apparaisse rien de cette extraordinaire avancée : ce n'était ni l'objet del'article, ni compatible avec son modeste niveau.




ADDITIF :

D'un point de vue purement pratique, il est probable que les antiques architectes, les artisans

du Moyen-Age et beaucoup d'autres, aient employé un procédé très pragmatique lorsqu'ils

rencontraient le besoin de diviser un angle en trois. En effet, à la précision près d'une épaisseur de

trait de crayon, on y arrive aisément par simple tâtonnement :

On repère approximativement "à vue d'œil" le tiers de l'angle. Ceci, reporté deux fois nedonne pas exactement l'angle initial. Mais, le petit écart, lui-même divisé en trois, encore à vue

d'œil, permet d'apporter une légère correction à la première estimation. En répétant une ou deux fois

ces opérations, on tombe "juste", bien entendu à la précision maximum permise par l'imperfection

des instruments. C'est tout aussi vite fait que par des méthodes géométriques bien plus compliquées

et le résultat concret est tout aussi satisfaisant du point de vue purement utilitaire.

Néanmoins et bien que répondant au besoin concret, ce procédé empirique est insatisfaisant

pour l'esprit. On comprends que, depuis les Grecs de l'antiquité, on ait cherché des méthodes de

construction géométrique plus rigoureuses.

Au temps du compagnonnage, les Maîtres enseignaient des méthodes, des procédés, des

recettes, propres à résoudre au mieux (mais pas toujours parfaitement) les divers problèmes

pratiques rencontrés dans leurs métiers respectifs :« Le Compagnonnage est une association ouvrière qui a pour but le perfectionnement

professionnel, moral et spirituel de ses membres après avoir jadis défendu par surcroît leurs intérêts

matériels. L'affiliation s'effectue par cooptation, après des épreuves de capacité et l'accomplissement

de certains rites qui lui confèrent le caractère d'une initiation. Les rites diffèrent selon les

professions, tout en possédant un fond commun. » [c.f.: Luc Benoist]

Par exemple, une méthode de trisection approximative de l'angle, qui était utilisée par les

compagnons, est citée ici :

http://www.chateau-de-mezerville.org/curiosites-geometriques/trisection-angle.php

En voici la description:




- Etant donné l'angle (AOB), avec A et B sur un cercle (C) de centre O;

- Soit C le point diamétralement opposé à B.

- Tracer le cercle de centre C et de rayon CB, ainsi que le cercle de centre B et de rayon BC. Le

point D est à l'intersection de ces deux cercles du coté opposé à A relativement à BC.

- La droite AD coupe BC en E.

- Diviser le segment EB en trois. Pour ce faire, tracer une demi-droite quelconque (EF). Porter

dessus les points équidistants G, H et I, selon une distance quelconque EG=GH=HI.- Tracer BI, puis les parallèles à BI passant respectivement par G et H. Elles coupent BC en J et K

respectivement.

-Tracer les droites DI et DK. Elles coupent le cercle (C) respectivement en N et M.

Les angles (BOM), (MON) et (NOA) sont approximativement égaux.

L'angle donné (AOB) se trouve ainsi approximativement divisé en trois.

Quel que soit l'angle (AOB) compris entre 0 et 180°, l'erreur sur l'angle (BOM) est inférieure

à un degré et plus précisément, inférieure à 0,622 degré. On comprend que cela ait présenté un

intérêt pratique, les compagnons n'ayant pas à se poser de question quant à l'imprécision en fonction

de l'angle à diviser.

L'erreur est nulle pour (AOB)=0° et pour (AOB)=180°L'erreur est maximum au voisinage de (AOB)=59°,5..

Si l'on recherche plus de précision, ce qui n'était probablement pas nécessaire à ces époques,

il faut savoir que, pour que l'erreur soit inférieure à 0,1° il faudrait que l'angle donné soit inférieur à

12°. Ce n'était donc pas une méthode intrinsèquement aussi précise que les méthodes indiquées au

§.3. On le voit bien en comparant d'une part les développements en série donnés au §.3 dans le

tableau correspondant et d'autre part le développement en série :

( )2 3 41 1

3 99 3O

ϕ θ ϕ ϕ ϕ = + − + ( ϕ < 1 , en radian )

Ce développement comporte un terme en ϕ 2

contrairement aux précédents dont le terme secondaire

est en ϕ 3, donc plus petit.Mais, bien sûr, ces considérations théoriques sont loin de ce qui était utile aux compagnons

dans leur pratique courante.

Bien que cet exemple n'en soit qu'un parmi tant d'autres, cela valait la peine de le mentionner

en raison de son contexte historique.




DEMONSTRATIONS

A la suite de la publication, des lecteurs ont posé diverses questions, la plupart

concernant les formules dont la démonstration n’était pas incluse dans l’article.

C’est en effet volontairement que ces calculs relativement simples, mais

encombrants, n’avaient pas été détaillés de façon à ne pas alourdir le propos principal.Ces calculs, qui ne font appel qu’à des méthodes élémentaires de géométrie et

d’analyse, peuvent néanmoins intéresser certains lecteurs. A cet effet, les pages

suivantes en rendent compte. Sans perdre de vue que toutes ces méthodes sont

connues depuis très longtemps !




A propos du §.2 du texte principal : Construction dichotomique.

Série géométrique finie :

Série géométrique infinie :

Cas r = 1/4 :

Chaque terme est obtenu en divisant deux fois de suite par 2 le terme précédent.

Diviser par 3 revient alors à ajouter tous ces termes.




A propos du §.3 : Construction pour de petits angles

Cas du point ST sur la perpendiculaire (T) :

TRS QR tg( ) OR tg( ) 3 QR tg( )

1 1tg( ) tg( ) arctg tg( )

3 3

ϕ θ θ

θ ϕ θ ϕ

= = =

= → =

Développement en série limitée ( ϕ petit ) :

L’angle obtenu est approximativement égal à (1/3)ϕ avec un écart d’environ 8ϕ 3 /81.

(tous les angles étant exprimés en radian)




Cas d’un point S sur un cercle (Cc) centré en C sur l’axe des abscisses :

Ensuite, le développement en série limitée est un calcul systématique, dont le seulinconvénient est d’être laborieux et volumineux. Il serait sans utilité d’en donner tout le détail.

Après les simplifications, on aboutit à :

( )2

3 5 7

3

1 8 15 (2 3)(4 9)

3 81( 3) 972 ( 3)

L L LO

L Lθ ϕ ϕ ϕ ϕ

− − −= + + +

− −

Le calcul général précédent permet de traiter aisément les divers cas considérés dans le §.3

du texte principal. De plus, on voit d’hors et déjà que le cas particulier L=15/8 est avantageux car il

permet d’annuler le terme principal de déviation : Ce qui est appliqué en pratique dans la

construction correspondante au point SM de la figure suivante.




On remarquera que la formule générale est aussi valable pour le point ST, en considérant la

droite (T) comme la limite d’un cercle dont le rayon tend vers l’infini (donc L tendant vers – infini) :

Cas du point S sur le cercle (CO) de centre O , avec L=0

Cas du point S sur le cercle (CQ) de centre Q , avec L=2

Cas du point SM sur le cercle (CM) de centre M , avec L=15/8




A propos du §.4 : Constructions pour de grands angles (pour mémoire)

Ce paragraphe du texte principal est une description de constructions ne demandant pas de

calcul.

A propos du §.5 du texte principal : Construction exacte biaisée (Neusis) :

La construction est exacte du point de vue purement géométrique.




A propos de la construction "des compagnons" (Décrite dans l’additif au texte principal)

trisection

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