Chapitre 2. Les theories traditionnelles de lacroissance

K. Schubert

Octobre 2009

I. La croissance comme accumulation du capital : lemodele de Solow1. Les hypotheses du modele de Solow

1. Croissance de la population au taux n exogene et marche dutravail en equilibre de long terme : Lt = L0e

nt

2. Fonction de production neoclassique Yt = F (Kt , Lt)Rendements d’echelle constantsPas de progres technique dans un premier tempsEn grandeurs par tete : yt = f (kt)

3. Equilibre sur le marche des biens (eco. fermee, pas d’Etat) :

Yt = Ct + It

avecIt = Kt + δKt

4. Seule hypothese de comportement : constance du tauxd’epargne

st =Yt − Ct

Yt= s , 0 < s < 1

I. La croissance comme accumulation du capital : lemodele de Solow2. La resolution du modele

kt

kt=

Kt

Kt− Lt

Lt=

ItKt− (n + δ) = s

Yt

Kt− (n + δ) = s

yt

kt− (n + δ)

d’ou l’equation d’evolution du capital par tete :

kt = sf (kt)− (n + δ)kt avec k0 donne

qui est l’equation fondamentale du modele de Solow.

1. Existe-t-il un unique equilibre stationnaire k∗ ?

2. S’il existe, cet equilibre est-il stable ?

Si oui, le capital par tete converge vers un etat stationnaire ; quandcet etat est atteint, capital et travail croissent au meme taux n etl’economie se trouve sur un sentier de croissance equilibree

Si k∗ existe, il est determine par l’equation fondamentale danslaquelle kt = 0 :

f (k∗) =n + δ

sk∗

-

6

ktk∗

(n + δ)kt

sf (kt)

f (kt)

��

��

��

��

��

��

���

Fig.: Resolution du modele de Solow (1)

-

6

ktk∗

s f (kt)kt

gk

n + δ

6

?

Fig.: Resolution du modele de Solow (2)

I L’equilibre stationnaire existe si et seulement si f est unefonction de production neoclassique satisfaisant les conditionsd’Inada :

limk→∞

f ′(k) = 0 limk→0

f ′(k) =∞

I Sous ces memes conditions l’equilibre stationnaire est unique

I Il est egalement stable

I. La croissance comme accumulation du capital : lemodele de Solow3. Le processus de convergence vers l’etat stationnaire dans le cas d’une fonction deproduction Cobb-Douglas

y = f (k) = Akα, 0 < α < 1, A > 0

Equation fondamentale :

k = sAkα − (n + δ)k

Changement de variable : soit b = KY le coefficient de capital

b = 1Ak1−α et b = 1

A(1− α)k−αk d’ou

b =1

A(1− α)k−α(sAkα − (n + δ)k)

= (1− α)(s − (n + δ)b)

equation differentielle lineaire du premier ordre a coefficientsconstants

Solution stationnaire :b∗ =

s

n + δ

d’oub = −(1− α)(n + δ)(b − b∗)

dont la solution est :

b = b∗ + (b0 − b∗)e−(1−α)(n+δ)t

Vitesse de convergencePartant de b0 quelconque, vitesse de convergence de b vers b∗ :

β = (1− α)(n + δ)

Avec n = 1% par an, δ = 5% et α = 0, 3, β = 0, 042Duree (en annees) du processus de convergence pour que b comble90% de la distance entre b0 et b∗ : T tel que

b∗ − bT = 0, 1(b∗ − b0)

soit :

T = − 1

(1− α)(n + δ)ln

b∗ − bT

b∗ − b0= − 1

βln 0, 1

T ' 54, 8 anneesDe meme, pour que la moitie de la convergence ait lieu, il faut :

T = − 1

βln 0, 5 = 16, 5 annees

Tres rapide

I. La croissance comme accumulation du capital : lemodele de Solow4. Taux d’epargne et taux de croissance

Long termeModification du taux d’epargne c’est-a-dire du rythmed’accumulation des equipements :

I pas d’incidence sur le taux de croissance de long terme n del’economie

I mais joue sur le niveau de la production et du capital par tetestationnaires

∂k∗

∂s=

f (k∗)

s[

f (k∗)k∗ − f ′(k∗)

]positif en raison de la concavite de la fonction de production

-

6

ktk∗0 k∗1

��

��

��

��

��

��

���

(n + δ)kt

s0f (kt)

s1f (kt)

Fig.: Effet d’une croissance du taux d’epargne sur k∗

Transition

gk =kt

kt=

sf (kt)

kt− (n + δ)

et∂gk

∂s=

f (kt)

kt> 0 pour kt 6= k∗

la politique economique ne peut avoir d’influence durable sur lacroissance mais seulement une influence transitoire ; en revanche,elle peut avoir une influence durable sur les niveaux des variablespar tete

-

6

ktkτ k∗0 k∗1

n + δ

s0f (kt)kt

s1f (kt)kt

gk0

gk1

6

6

?

Fig.: Effet d’une croissance du taux d’epargne sur gk

I. La croissance comme accumulation du capital : lemodele de Solow5. La remuneration des facteurs

f ′(k) = r + δ

f (k)− kf ′(k) = w

I Salaire reel d’equilibre w∗ constant le long du SCE et non pascroissant comme le suggerent les observations empiriques

I Salaire reel, taux d’interet reel et repartition varient au coursde la transition :

w = −kf′′(k)k

du signe de k (f′′

< 0)

r = f′′(k)k

du signe opposeQuand le capital par tete est trop faible (k < k∗), k > 0,w > 0 et r < 0 jusqu’a ce que la technique de production soitdevenue suffisamment capitalistique

I. La croissance comme accumulation du capital : lemodele de Solow6. Le modele de Solow avec progres technique

PT portant sur le travail, neutre au sens de HarrodTaux exogene et constant λ

Y = F (K , eλtL)

ou encoreY = F (K ,E )

avec E = eλtL le travail efficaceCas particulier de la fonction Cobb-Douglas :

Y = AKα(eλtL)1−α

= A[eλ 1−αα

tK ]αL1−α

Analyse precedente conservee, a condition de remplacer L par E etde raisonner en unites de travail efficace : y = Y /E , k = K/ELe long du SCE :

I k et y constants

I Y /Y = K/K = E/E = n + λ, L/L = n

I w = eλt(f (k)− kf ′(k)) croissant au taux λ

I r + δ = f ′(k) constant

La croissance de l’economie est la somme de la croissancedemographique et du progres technique

II. La dimension normative du modele de Solow1. La regle d’or

S’il n’est pas possible de changer durablement le taux de croissancede l’economie, peut-on changer le niveau de revenu par tete et celuide consommation par tete, afin d’atteindre le « meilleur » SCE ?Pas de PT (simplification)Economie sur SCE, taux d’epargne s, capital par tete k∗,consommation par tete c∗

Si l’economie accumule davantage (augmente son taux d’epargne),ceci

I diminue mecaniquement la consommation par tete

I mais fait croıtre temporairement plus vite le capital par tete etla production par tete, donc la consommation par tete

On cherche le « meilleur » taux d’epargne, et donc le « meilleur »SCE (au sens de la consommation par tete la plus grande) parmitous les SCE possibles, sans tenir compte de la situation initiale del’economie

consommation par tete = produit par tete moins epargne par tete :

c(k) = f (k)− sf (k)

Le long d’un SCE :

sf (k∗)︸ ︷︷ ︸epargne

= (n + δ)k∗︸ ︷︷ ︸investissement

Donc le long d’un SCE la consommation par tete vaut :

c(k∗) = f (k∗)− (n + δ)k∗

Il faut choisir k∗ pour que c(k∗) atteigne un maximumCeci advient pour k∗ = k∗g tel que :

dc(k∗g )

dk∗g= f ′(k∗g )− (n + δ) = 0⇐⇒ f ′(k∗g ) = n + δ

6

-

y

k

sf (k)

f (k)

k∗g

(n + δ)k

n+δs k

""

""

""

""

""

""

"""

��

��

��

��

��

��

���

n + δ

n + δ

���*

����

Fig.: La regle d’or

Interpretation : pour atteindre la consommation par tete la plusforte, la regle consiste a egaliser le taux d’interet reel et le taux decroissance naturel de l’economie :

r∗g = n

Avec PT on aurait :r∗g = n + λ

r etant une variable endogene il faut, pour atteindre la regle d’or,agir sur une variable exogene qui ne peut etre que le taux d’epargneIl doit valoir :

sg =(n + δ)k∗g

f (k∗g )

Il n’y a aucune raison pour qu’il prenne cette valeur spontanement

II. La dimension normative du modele de Solow2. L’inefficience dynamique

On se place a l’instant initial. k0, donne

I Cas s1 > sg : la consommation par tete initiale vautc0(s1) = (1− s1)f (k0) < (1− sg )f (k0) = c0(sg ), et laconsommation par tete de long terme vaudra c∗1 < c∗g

I Cas s2 < sg : la consommation par tete initiale vautc0(s2) = (1− s2)f (k0) > (1− sg )f (k0) = c0(sg ), et laconsommation par tete de long terme vaudra c∗2 < c∗g

I Or convergence vers l’etat stationnaire associe a un tauxd’epargne donne toujours monotone

I Donc trajectoire associee a s1 toujours au-dessous de celleassociee a sg

I Mais trajectoires associees a s2 et sg se coupent

S’il est toujours « meilleur » (du point de vue de la consommationpar tete) de choisir sg plutot que s1, on ne peut pas classer lestrajectoires correspondant a sg et s2

-

6

t

c∗g sg

c∗1 s1

c∗2 s2

c0(s1)

c0(sg )

c0(s2)

ct

Fig.: Les trajectoires de consommation pour les taux d’epargnes1 > sg > s2 (cas c∗1 > c∗2 )

III. La convergence des revenus par tete1. Modele de Solow et faits stylises de la croissance

Predictions du modele de Solow avec PT conformes aux faitsstylises :

I existence d’un sentier de croissance equilibree stable

I croissance de la production, de la consommation et du stockde capital au taux n + λ, constance du ratio capital–produit etcroissance au taux λ de la productivite du travail

I absence de croissance des grandeurs en unites de travailefficace, croissance au taux λ des grandeurs par tete

I constance du taux d’interet et croissance au taux λ du salairereel

Mais :

1. Determinants de la croissance a long terme, demographie etsurtout progres technique, exogenes

2. Sur le SCE, r = f ′(k∗)− δ plus eleve dans pays a k∗ faibleque dans pays ou il est grand ; le capital devrait donc sedeplacer des pays riches vers les pays pauvres

3. Vitesse de convergence predite par le modele de Solow treselevee et peu realisteAvec λ = 2 %, n = 1 %, δ = 5 % et α = 1/3,β = 5, 3 % par anDemi-vie du processus de convergence : T = ln 2/β ' 13 ans(les pays comblent en treize ans la moitie de l’ecart qui lessepare de leur etat stationnaire)

III. La convergence des revenus par tete2. Tests empiriques : la prediction du niveau des variables stationnaires avec le modele deSolow

Cas d’une fonction de production Cobb–Douglas y = kα :

k∗ =

(s

n + λ + δ

) 11−α

et

y∗ =

(s

n + λ + δ

) α1−α

d’ou :

y∗t = y∗eλt = eλt

(s

n + λ + δ

) α1−α

Passage en log :

ln y∗t = λt +α

1− α(ln s − ln(n + λ + δ))

Mankiw, Romer et Weil (1992) estiment cette equation :

ln yi = a + b (ln si − ln(ni + 0.05)) + εi

I Donnees transversales, 98 pays indices par i

I Pour chaque pays, yi est la valeur de 1985, si et ni lesdonnees moyennes sur 1960-1985

I λ + δ = 0.05

Ils obtiennent :

ln yi = 6.87︸︷︷︸(0.12)

+ 1.48︸︷︷︸(0.12)

(ln si − ln(ni + 0.05))

R2 = 0.59

I coefficients de si et ni : bons signes et tres significatifs

I differences de si et ni expliquent une bonne partie desdisparites de PIB par tete

I mais b = α1−α est trop grand : donne α ' 0.6

D’ou le modele de Solow augmente :On introduit un troisieme facteur de production, accumulable, lecapital humain

Yt = Kαt Hγ

t (eλtLt)1−α−γ avec α + γ < 1

ie.yt = kα

t hγt

avec les equations d’accumulation :

˙kt = sK yt − (n + δ + λ)kt

˙ht = sH yt − (n + δ + λ)ht

on obtient :

y∗ =

(sαK sγ

H

(n + λ + δ)α+γ

) 11−α−γ

Passage en log :

ln y∗t = λt +1

1− α− γ(α ln sK + γ ln sH − (α + γ) ln(n + λ + δ))

Mankiw, Romer et Weil (1992) estiment cette equation :

ln yi = a+bK (ln sKi − ln(ni +0.05))+bH(ln sHi − ln(ni +0.05))+ εi

sKi : taux d’investissement Ii/Yi

sHi : proxy (pourcentage de la population en age de travailler quiest dans le secondaire)Ils obtiennent (meme echantillon) :

ln yi = 7.86︸︷︷︸(0.14)

+ 0.73︸︷︷︸(0.12)

(ln sKi−ln(ni+0.05))+0.67︸︷︷︸(0.07)

(ln sHi−ln(ni+0.05))

R2 = 0.78

Ceci donne α = 0.31 et γ = 0.28

III. La convergence des revenus par tete3. Y a-t-il rattrapage des pays riches par les pays pauvres ? La convergence conditionnelle

Fin du XIXeme siecle : rattrapage du leader mondial, laGrande-Bretagne, par les Etats-Unis2eme moitie du XXeme siecle : plusieurs vagues de convergencevers le PIB par tete des Etats-Unis, le leader mondial :

I Europe de l’OuestI JaponI NPI (Hong-Kong, Singapour, Coree du Sud, Taiwan)

Ensuite ?

I Le rattrapage est-il une regle generale ? Les pays vont-ils tousa terme atteindre le meme niveau de richesse par tete ?

I Le leader mondial actuel sera-t-il depasse ? Certains payspeuvent-ils faire plus que rattraper le leader mondial ?

I Le rattrapage n’est possible que si les pays pauvres ont unecroissance plus rapide que les pays riches

I Ne pas confondre rattrapage et diminution de la dispersiondes PIB par tete

Solow :

I sur le SCE, k∗ determine par :

sf (k∗) = (n + λ + δ)k∗

I Ne depend donc que de s, δ, n et λ, et des caracteristiquestechnologiques representees par la fonction de production f

I Des pays pour lesquels ces parametres sont identiques (memescaracteristiques structurelles) doivent donc converger vers lememe k∗ quel que soit k0

I Il y a bien dans ce cas rattrapage des pays riches par les payspauvres

I Mais existe-t-il des pays riches et des pays pauvres a memescaracteristiques structurelles ?

6

-k

sf (k)

k

n + λ + δ

k0p k0r k∗

gk < 0

gk > 0

6

6? ?

Fig.: La convergence de deux pays a memes caracteristiques structurelles

Pays a caracteristiques structurelles differentes :

Exemple : un pays riche et un pays pauvre, le premier ayant un k0

et un taux d’epargne plus eleve que le secondSolow :

I Plus k est proche de k∗ plus gk est faible

I Donc si le pays pauvre est initialement plus eloigne de sonetat stationnaire que le pays riche, son taux de croissance estplus eleve que celui du pays riche

I C’est l’inverse si le pays pauvre est initialement plus proche deson etat stationnaire que le pays riche

I Le modele de Solow ne dit rien sur la convergence de pays acaracteristiques structurelles differentes

6

-k

spf (k)

k

sr f (k)

k

n + λ + δ

66

? ?

k0p k∗p k0r k∗r

gkp gk r

Fig.: Pays a caracteristiques structurelles differentes

III. La convergence des revenus par tete4. Les tests empiriques de l’hypothese de convergence

Equation fondamentale dans le cas d’une fonction de productionCobb–Douglas :

˙kt

kt

= skα−1t − (n + λ + δ)

On log-linearise au voisinage de l’etat stationnaire k∗ et onobtient :

ln kt − ln k∗ = e−βt(ln k0 − ln k∗

)ie. :

ln kt = e−βt ln k0 + (1− e−βt) ln k∗

Production par tete :

yt = eλt yt = eλt kαt

donc :

ln yt = λt + α ln kt

= λt + α(e−βt ln k0 + (1− e−βt) ln k∗

)avec k0 = k0 = y

1α0 et k∗ =

(s

n+λ+δ

) 11−α

d’ou

ln yt = λt + α

(e−βt ln y0

α

+(1− e−βt)

(ln s − ln(n + λ + δ)

1− α

))= λt + e−βt ln y0

+α

1− α(1− e−βt) (ln s − ln(n + λ + δ))

ou encore :

ln yt − ln y0 = λt − (1− e−βt) ln y0

+α

1− α(1− e−βt) (ln s − ln(n + λ + δ))

Mankiw, Romer et Weil (1992) estiment cette equationHypothese : β identique pour tous les pays de l’echantillon et cespays ne different que par les conditions initiales et le taux d’epargneEstimation de mauvaise qualite sur l’echantillon de 98 pays,meilleure sur 22 pays OCDE (β estime : 0.017)

Estimation de l’equation correspondante du modele de Solowaugmente :

98 pays 22 pays OCDEconstante 2.46 3.55

(0.48) (0.63)ln y0 -0.289 -0.402

(0.061) (0.069)ln sK − ln(n + δ + λ) 0.500 0.396

(0.082) (0.152)ln sH − ln(n + δ + λ) 0.238 0.236

(0.060) (0.141)R2 0.46 0.86β 0.0142 0.0206α 0.48 0.38

III. La convergence des revenus par tete4. Autres analyses econometriques de la croissance

Analyses en coupe instantanees – Barro – centaine de paysVariables expliquee : taux de croissance du PIB/teteVariables explicatives (signe) :

I ln y (-)

I ln s (+)

I ln(n + δ + λ) (-)

I scolarisation masculine (+)

I ln esperance de vie (+)

I ln taux de fecondite (-)

I taux de consommation gouvernementale (-)

I indice du respect de la loi (+)

I indice de democratie (+)

I indice de democratie au carre (-)

I taux d’inflation (-)