transmission des signaux numériques sur guide d’ondes circulaire a grande distance

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TRANSMISSION

SUR GUIDE D'ONDES

Marc B R A Y E R Docteur 6s sciences physiques,

Ing6nieur contractuel *

DES SIGNAUX NUMt~RIQUES

CIRCULAIRE A GRANDE DISTANCE

par

et Jean-Claude L E G U E N Ing6nieur. Institut Sup6rieur d'Eleetronique de Paris

Ing6nieur eontractuel **

R~SUM~. - - Dans cette dtude, apr~s avoir introduit l 'enveloppe complexe d 'un signal el la notion de modulant , les auteurs traitent de la propagation des s ignaux numdriques sur guide d'ondes circulaire ~ grande distance. L ' in format ion peut dtre transmise en modulation d'ampli lude, ou en modulation de phase diffdrentielle, de type M-airc . Deux mdthodes de calcul sont utilisdes pour obtenir la rdponse en ligne : une mdthode directe d'intdgration (par transformde rapide de Fourier) , dont l 'application & quelques probl~mes fondamentaux en prdsence de perturbations fera l'objet d'une future publication ; el une mdthode d'approche analyt ique basde sur l' emploi de la fonction complexe err (z) . E n application, les auteurs prdcisent les possibilitds en t ransmiss ion d'une ligne (en guide de 50 m m de diam~tre) fonctionnant ~ 108 el 290 Mdgabaud. De nombreux probl~mes concernant la distorsion des s ignaux modulds en amplitude el modulds en phase, leurs distances critiques, leurs transformations ou ddgdndrescences successives, sont rdsolus. On prdcise de m~me, en premiere introduction, cerlains aspects de la correction de phase du guide, des f luctuations de sa loi d 'af faibl issemenl el de la conser-

vation de sa vitesse de groupe.

PLAN. - - �9 I: Rdponse gdn~rale de la ligne en rdgime impulsif 1.1. Introduction : A n n e x e A . 1.2. Format ion des modulan t s ; 1.3. La ligne rdelle el son approche analyt ique; A n n e x e B. 1.4. Gdndralisation aux filtres gaussiens. �9 I I : Principaux r~sultats de l'approche analytique II.1. La phase asymptotique el ses ddter- mina t ions ; A n n e x e C. II.2. Retour sur les impulsions gaussiennes el le fonct ionnement g~n~ral de la ligne ; Annexe D. II.3. Le phdnom~ne de transfert des inversions de phase; II.4. Indicalions gdn~rales sur les possibilitds de transmission de la l igne; Annexe F. II.5. Inlroduction d la correction de phase de la l igne; II.6. Premiers rdsultats relatifs aux probl~mcs de fluctuations. A n n e x e G. II.7. E n mati~re de conclusion.

Bibliographic (26 r~f.)

G ~ N ~ B A L I T ~ S

Diff6rents syst6mes de transmission, sp6cialement con~us pour l ' exp lo i t a t ion des liaisons num6r iques par guide circulaire h grande distance, sont en vole de ddve loppemen t dans cer tains pays industr iels . Ces 6quipements f o u c t i o n n e n t dans la gamme des ondes mi l l im6tr iques ; et la p lupa r t sont dot6s, en fr6quence in term6dia i re , d ' u n e modu la t i on de phase diff6ren- tielle (*) doIlt la rapidi t4 de modu la t i on peu t a t te indre plusieurs ceuta ines de m6gabauds. E n France , on a t o u t sp6cia lement 6tudi6 deux syst6mes quaternaires , h 108 et 290 mdgabaud , don t les fr4quences porteuses s '6 tendent , ac tue l l ement , de 30 h 60 GHz environ

[1 h 41. Paral l61ement au d6ve loppement de ces mat6riels,

plusieurs l ignes exp4r imentales , longues de 8 h 30 k m selon le cas, sont ou do iven t fitre install6es dans des cond i t ions rdelles d ' exp lo i t a t ion [5]. Elles p e r m e t t e n t de v6rifier les hypoth6ses relat ives au

choix des guides, de contr61er le f o n c t i o n n e m e n t et la qual i t6 du syst6me, et f ina lement d '6valuer , avec une marge suffisante de s6eurit6, la longueur op t imale du pas de r6g6ndrat ion.

Lo r squ ' on ana lyse le syst6me, ces parcours const i - t uen t , r e l a t i v e m e n t fi l ' onde por teuse TE01, u n quadri- p6le ligne d o n t la fonc t ion de t r ans fe r t peu t s 'dcrire [6] :

(1) H(f) = e - [ % ( f ) + < A T ( f ) > J L [1 + 8A ( f , L)]

avec :

Yo(f) L

< Ay(f) > L :

exposan t nomi na l de t r ans fe r t (guide suppos6 p a r f a i t e m e n t recti l igne),

exposan t add i t ionne l moye n ( r6su l t an t du trac6, des ddfectuosit6s du guide et des condi t ions de pose de la ligne),

~A (f, L) : fac teur al6atoire de reconvers ion (sa va leu r m o y e n n e < ~A (f, L) > est tou jours nulle).

Ces trois t e rmes con t r ibuen t , chacun pour sa par t , h la dd t e r mi na t i on de la va leur max ima le ut i l i sable de L. E n par t icul ier , la quan t i t d < [~A (f, L)I2 > , qui

* Au CNET-Lannion, groupement TRANSMISSIONS, SYSTEMES DE M O D U L A T I O N E T A C O U S T I Q U E , d6partement ]~QUIPE-

MENTS DE T R A N S M I S S I O N E T LASERS. ** Au CNET-Lannion, groupement CALCUL I~LECTRONIQUE ET I N F O R M A T I Q U E , ddpartement CALCULATEURS ET SYSTI~MES

I N F O R M A T I Q U E S . (*) DO type M-aire, c'est-~t-dire ayant M 6tats de phase disponibles h ehaque intervalle 616mentaire de temps.

1/42 A. T~'LEC., 29, n ~ 11-12, 1974

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reprdsente la puissance normal is6e du bru i t de

reconvers ion est sens ib lement p ropor t ionne l le h la longueur du parcours. El le l imi te donc in61uctable-

m e n t la port6e du sys t6me ; mais n ' i n t r o d u i t cepen-

dan t pas de d6t@iora t ion i m p o r t a n t e qu 'au-de l~ d 'une

t r en t a ine de ki lom~tres, lo rsque le guide est bien

filtr6. On pen t clone, pour l ' 6 tude ini t ia le de la section

d ' ampl i f i ca t ion , n6gliger le t e r m e compl6menta i r e de

(1) et re teni r l ' exponen t i e l l e en

y(f )L = [Y0(f )+ < Ay(f) >1 L = l ~ ( f ) + j ~ ( f ) l L .

P o u r p e r m e t t r e une r6g6ndrat ion sat isfa isante du

signal, ce t te section doi t sat isfaire, h l ' en t r6e du d6modula teur , h deux impdra t i f s essentiels :

1. on cer ta in n iveau re la t i f de la por teuse (C[N) , cor re spondan t h nn t a u x d ' e r r eu r m in ima l de r~f6-

rence, gdn~ralement compr is en t re 10 - s e t 10-9 ;

2. un re ta rd r6siduel m a x i m a l Ala i du temps de p ropaga t ion de groupe.

On peu t p rendre C ] N = 20 dB. Cela condui t , c o m p t e t enu des puissances actuel les des sources

mi l l im6tr iques , h une pe r t e globale de t ransmiss ion

&env i ron 60 dB. En en rdse rvan t 10 h 15 dB au prof i t des filtres d ' a igu i l l age et de b ranehemen t , il

res te entre 45 et 50 dB pour l ' a t t 6 n u a t i o n moyenne

de la ligne. On pour ra i t donc prdvoir , sur la base de

l ' a f fa ib l issement , ~0(f) d ' u n guide de 50 m m de dia-

m~tre, un pas de r6g~ndrat ion d ' au moins 25 kin,

d~s 45 GHz. Malheureusemen t , l ' inf luence de ~ A ~ ( f ) ~

est loin d ' e t re ndgligeable, et les mesures actuelles conduisen t (dans la bande 30-60 GHz) h des longueurs

uti les de 15 h 20 km, selon le t y p e de guide. Une am6-

l iora t ion est possible, sans a u g m e n t e r les dimensions

du guide, mais au pr ix d ' i m p o r t a n t s probl~mes techno- logiques.

De mSme, on peu t p rendre , pour ma in ten i r le

n iveau de l ' in te r f6rence i n t e r symbo le h un seuil

d ' e n v i r o n - - 3 0 dB : AIaM = 2 ns. Mais d~s que la

f r6quenee por teuse est basse, ce r e t a rd appara i t tr~s r i t e le long du guide, h cause de sa loi na ture l le de

dispersion. Les dis tances l imi tes L M qui lui corres-

p o n d e n t sont alors n e t t e m e n t insuffisantes, comme

le eonf i rme le t ab l eau I.

men t s d 'ex t r~mit6 , ne serai t -ee q u ' h cause des filtres

et des r accordement s en guide rec tangula i re , on comprend qu ' i l soil indispensable d 'dgaliser, et aussi

f inement que possible, le t emps de p ropaga t ion de

groupe de la section [23]. Cet te 6gal isat ion est prdvue,

en principe, pour une longueur donn~e L 0 du par-

cours. I1 en r6sulte, lorsque les correc teurs sont pr~- rdglds en usine, l ' ex i s tence d ' u n e plage d 'accord en

fonct ion de L qui est d ' a u t a n t plus res t re in te que la rapidi t6 de m o d u l a t i o n est grande , et la frdquence

por teuse plus basse.

La correct ion du t emps de p r o p a g a t i o n de groupe,

comme le conf i rme le t ab l eau I, d6pend essentielle-

merit de la fr6quence. I1 exis te donc, pour un correc-

t eu r donn6, une au t re p lage d ' a cco rd en fonct ion de

f0 qui var ie sens ib lement c o m m e la premiere. De tou te fa~on, pour ob ten i r un pas de rdgdn6ration de

20 km avec 300 MHz de bande , il f au t pouvoi r r6a-

liser une correc t ion l in6aire v a r i a n t p a s h pas de 7 h

145 ns /GHz, dans la bande de f r6quence envisag6e.

La portde max ima le , en a d m e t t a n t que l 'affaiblis-

sement de la l igne puisse 8tre en t i~ rement compensd par des ampl i f ica teurs , d6pend du bru i t de reconver-

sion et des distorsions rdsiduelles de la ligne. Dans

ce dernier cas, c 'es t p r i n c i p a l e m e n t la s t ruc tu re fine

(non corrigible) de < Ay(f) > L qui in te rv ien t . Nous pr6ciserous ce probl~me u l t6 r i eu remen t ; mais ce t te

port~e d6passe ais6ment , si la qual i t~ du guide est suffisante, une c i n q u a n t a i n e de ki lom~tres.

La port~e ut i le s ' ob t i en t h l ' a ide d 'une es t imat ion

precise du t a u x d 'e r reur , d i r e c t e m e n t p a r a m e t r i c en t e rmes de distorsion r~siduelle et de b ru i t de recon-

vers ion d~pendant tous deux de L o . El le est d ' a u t a n t plus sore qu 'e l le peu t faire in te rven i r , contr616 par

l 'exp6rience, le v6r i tab le c o m p r o m i s qui existe entre

le n iveau de b ru i t h l ' en t r6e du d~modula t eu r et le

broui l lage in t e r symbole r6siduel en ce m~me poin t [7].

P R E M I I ~ R E P A N T I E

T A B L E A U I

(DiamOlre du guide : 50 mm Bande passanle effectioe du signal : 300 MHz)

R ~ P O N S E G~.N~.RALE D E LA L I G N E ]~N R ] ~ G I M ~ . I 1 V I P U L S I F

fo (GHz)

30 40 50 60 70 80

LM (kin)

0,92 2,27 4,52 7,89

12,60 18,88

Correction lin~aire pour 20 km

(ns)

43,49 17,61 8,85 5,07 3,17 2,12

Comme Atg,~, doi t aussi t en i r c o m p t e des 6quipe-

1.1. Introduct ion .

P o u r 8tre v r a i m e n t effieace, la synth~se d ' un sys- t~me num6r ique n6cessite une r e s t i t u t i on aussi fid~le

que possible de l ' a m p l i t u d e et la phase des t ra ins

d ' impuls ions h r6gdn~rer. P o u r eela, une t ransfor- m a t i o n inverse de Four ie r ( f - -~ t) est indispensable.

Diff6rentes m6thodes pr6cises d ' in t6gra t ion , plus ou moins sp6eialis6es, p e u v e n t eonven i r h cet u s a g e ;

mais leur pr ix de r ev i en t est g6ndra lement prohibi t i f ,

A. T~'L~C., 29, n os 11-12, 1974 2/42

J. BRAYER. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX SUR GUIDE A GRANDE DISTANCE 5 8 7

d~s la moindre rd i tdra t ion des calculs. On leur prdf~re donc des procddds tr~s rapides, type TF{F (*), qui ont en outre l ' a v a n t a g e d 'u t i l i ser d i rec tement des in t6grands complexes. E n revanche, leur puissance ana ly t ique dol t ~tre considdrable, t a n t h cause de la bande de fr~quence n6cessaire h la res t i tu t ion m~me des impuls ions br~ves, que la finesse h imposer au pas de rdsolution, si l ' on v e u t tenir compte de toutes les distorsions du guide.

E n fait, une pu issance de 2 ~ serait n~cessaire (en mode complexe et double precision) pour aborder t o u s l e s probl8mes propres h l ' ensemble du syst~me ; mais elle ddpasse la capaci td mdmoire actuelle de nos calculateurs . Nous pourr ions disposer, grfice h l ' a imable co l labora t ion du CCETT de Rennes , d ' une puissance de 2~4; mais nous obtenons ddjh, avec 2 I~, des rdsul tats sa t isfa isants . Pa r exemple, nous pou- vons met t re en ~vidence, au-delh du 3 e ordre, Fact ion des corrections successives du temps de propagat ion de groupe, pour des dis tances supdrieures ou dgales h 30 kin. De mSme, nous dtudions ac tuel lement , h l ' a ide d ' une t r a n s f o r m a t i o n de Hilbert , l 'effet per tur - ba t eu r de l ' e x p o s a n t add i t ionne l ~ A~,(f) ~ L, lorsque ses f luctuat ions d e v i e n n e n t aussi rapides que quelques dizaines de mdgaher tz . Ces rdsul tats sont cependan t t rop part iels pou r 8tre analysds ici, et feront l ' ob je t d ' une fu ture pub l ica t ion .

I1 existe 6galement , en ce qui concerne la ligne, une approche a n a l y t i q u e basde sur une approx ima t ion de son exposant de t r ans fe r t et la rdponse impuls ive correspondante . Bien que beaucoup moins souple que la prdcddente, elle est assez rapide ; et, dans cer- ta ins cas, p resque aussi prdcise. Elle nous a permis de bien 6valuer les possibili t6s en t ransmiss ion du guide, d ' en t revo i r l ' in f luence de la forme des impulsions, et d 'appr~cier les condi t ions rdelles dans les- quelles le message se ddtdriore au cours de son t rans- fert. E n outre, elle a permis de met t re au po in t une correction a u t o m a t i q u e de la phase ; et certains programmes de v i sua l i sa t ion spdcialisds soit dans le t r a i t emen t du message, soit dans le d iagramme de d~cision.

L1.1. Rappels prdliminaires.

A v a n t d 'd tud ie r la l igne p ropremen t dite, nous rassemblons, dans ce pa ragraphe , t o u s l e s 61dments de

th~orie de la t r ansmis s ion qui v o n t devenir indispen- sables par la suite.

I . l . l .1 . La t r a n s f o r m a t i o n rdeiproque de Four ier ddfinie par

sera s y s t ~ m a t i q u e m e n t no t r e : f ( t ) ~ F(I), en abr~g~.

F(f) e i2~fl d f ,

f(t) e -j2~ft d f ,

(*) T rans fo rm~e R a p i d e de Four ie r , t r a d u c t i o n du t e r m e ang l a i s F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m (FFT) .

1.1.1.2. Dans u n sys tbme de t ransmiss ion , t o u t signal modul6 peu t se repr6senter , en fr6quence in ter -

mddiaire f t , par l ' express ion usuelle :

(3) (r(t) ---- a(t) cos [2 ~ f l t + ~i § ~(l)] s i r

off a(t), et q)(t) sont des fonct ions aldatoires. E n thdorie du signal, en i n t r o d u i s a n t :

( u ( t ) = a(l) cos q~(t) , (4)

i v(t)---- a(t) sin q~(t) ,

on la ddveloppe sous la forme plus eohdrente :

(4 bis) (~(t)= cos u(t) s in [2ref i t+ ~i ] ~: v(t) cosSin [ 2r:fit + (pI ] "

telle que l ' inf luenee de la m o d u l a t i o n soit enti~re- m e n t reportde sur les composan tes dites en phase : u(t), et en q u a d r a t u r e : v(t), du signal a(t).

L 'enve loppe complexe de a(t) est alors, pa r ddfini t ion :

w(l) = u(l)+ j v(l).

Elle t r anspor t e la to ta l i td de l ' i n f o r ma t i on utile. E n p a r t a n t de (4), il v i e n t auss i t6 t :

(5) w(t) = a(t) e j~(t) .

E n pra t ique , c 'est sous cet te forme que l 'on cons- t r u i t w(t), les composan tes en phase et quad ra tu r e s 'en ddduisan t na tu re l l emen t .

On associe h a(t) u n s igna l complexe (on dit aussi exponent ie l ) ddfini par :

(6) ~(l) = ~ ( l ) + jT)( t )= w ( l ) e j[2~flt+vi] .

I1 rdalise la cor respondance :

Re ~ ( l ) = Ira{ ~(0 },

d o n t l ' in tdr~t f o n d a m e n t a l p rov i en t de ce que les Re

op~rateurs I r a ( } et ( ) . ( ) (convolut ion) p e u v e n t

c o m m u t e r g~n~ralement . Dans ce cas, la rdponse du syst~me s 'dcrit :

Re as(t) = h(t) ~r a l ( t ) = h(t) ~ Ira{ ~l(t)}

Re Re -- i m { h ( t ) ~ ~1(1)) = i m { ~ e ( l ) } ,

et s ' ob t i en t ainsi en u t i l i s an t d i r ec temen t (et avec une tr~s grande s impl i f ica t ion des calculs) les s ignaux complexes ~k(t) cor respondants .

Cette m~thode s ' a p p l i q u e tou jours aux syst~mes l in6aires p h y s i q u e m e n t rdalisables, puisque leur rdponse impuls ive h(t) est rdelle. Elle peu t m~me

s 'd tendre h des syst~mes plus gdndraux ( h ( t ) c o m - plexe), mais en p e r d a n t le bdndfice des ~k(l) p u r e m e n t rdels.

Lorsque les changemen t s de frdquence sont r~alisds par une m o d u l a t i o n l indaire, le signal complexe associd h l ' onde de ddpar t dans le guide (h frdquence por teuse f0) conserve l ' enve loppe ini t ia le w(t), et s 'dcrit :

(7) z(t) = x(t) + jy(t) = w(t) e i[27:fot+~o] .

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5 8 8 J . B R A Y E R . -- TRANSMISSION DES S I G N A U X SUR G U I D E A GRANDE D I S T A N C E

1.1.1.3. Un s ignal ~(t) est d i t analgl ique s ' i l peu t s '6crire :

~(t) = ~(t) + j "~(t) ;

~(t) 6 t an t la t r ans fo rm~e de H i l b e r t (*) de ~(t), d6finie p a r :

1 ] z ' ~ ~(x) d= = { } = =

En gdndral , ni l ' e n v e l o p p e complexe w(t), ni le signal complexe ~(l) en f rdquence i n t e rm6d ia i r e ne sont a n a l y t i q u e s . P o u r que le s ignal c o m p l e x e z(t) dans le guide le soi t , it f au t avo i r y(t) = 3:(l), c ' es t -h- dire encore la r e l a t i on :

u(t) sin (2 7zfot + ~o) + v(t) cos (2 xfol + ~o)

JE { u(t) cos (2 nfo t + (~o) - - v(/) sin (2 rcfot + ~o) } .

Or, dans un sys t~me sur guide d ' ondes , la b a n d e effective de w(t), qui n ' e s t gu~re diff6rente de la b a n d e de base , est t o u j o u r s tr~s inf6rieure h la f r6quence por teuse /Co" U n des th~or~mes du p r o d u i t de H i l b e r t (cas des t r an s fo rm6es h suppor t s d is jo in ts ) :

J ~ ( u c o s ( ) - v s i n ( ) } : u J ~ { c o s ( ) } - - v J ~ ( s i n ( ) }

= u s i n ( ) + v c o s ( ) ,

s ' app l ique a lors p o u r v6rif ier la re la t ion prdc6dente . Dans ces cond i t ions , le s ignal complexe z(/) dans le guide est v d r i t a b l e m e n t ana ly t ique .

1.1.1.4. Soi t h(t) ~ H(f ) la rdponse impu l s ive de la ligne. Si za(t) es t le s ignal complexe h l ' en t r~e , celui qui sor t de la l igne est :

(8) z2(t) = h(t) ~ zl(t ) ;

soit encore, pu i sque Z , ( f ) = Z l ( f ) H ( f ) :

( 8 b m oj2~ft Zl(f) H(f ) d f .

Mais c o m m e on p e u t poser s6pa r6ment :

Za(/) = Wl(/) ej[2r~fot+% ] , (9)

I z f l ) = w2(t ) , eJ[27Zfot+ q~o]

il v ien t , avec w~(t) ~ W~(f) et la r e l a t ion :

(10) Z,(f) = e jvo WI( f - fo) ,

z2(t ) = e i%/: W , ( f - - fo) H(f) e ju~ft d f .

Le c h a n g e m e n t de v a r i a b l e : f - - f0 ~ u ; d f - - du, t r a n s f o r m e ce t t e in t6gra le en :

(11) z2(t ) = e i [ 2 = f d + % ] f : W ~ ( u ) H ( f + fo) e i 2 ~ t du.

Mais c o m m e on sa l t qu ' h la t r a n s l a t i o n de f rdquence h gauche, d ' a m p l i t u d e fo, appl iqude sur H(f ) , correspond la fonc t ion de t r a n s f e r t :

(12) HG(f) -- H ( f + fo) ,

il v i e n t i m m 6 d i a t e m e n t , avec (9), (11) e t (12) :

(13) W2(t) = f o g Wl(U) HG(U)e j27vut d u . J - -GO

(*) L ' i n t ~ g r a l e e s t h p r e n d r e en v a l e u r p r i n c i p a l e de C a u c h y h l ' d p o q u e L

En i n t r o d u i s a n t ho(t) ~ - H o ( f ) , (13) se r emplace pa r la convo lu t ion d q u i v a l e n t e :

(13 bis) w2(t) = ho(t) ~ wl(t ) .

Lorsque zi(t ) est a n a l y t i q u e , z2(t ) l ' es t au s s i ; e t (13) p rend la forme r~du i te :

(14) w2(t) ~ H a ( u ) e j27~ut du .

L a re la t ion (13) est f onda me n ta l e . Elle m o n t r e qu ' i l sufflt, pou r ~ tud ie r les d is tors ions i n t rodu i t e s p a r la l igne, d ' e n v i s a g e r la t r ansmis s ion de l ' enve loppe complexe du s ignal h t r a v e r s une ligne fictive, d i te t r ans la t6e h gauche d '6qu iva lence .

Cet te m~thode ne fac i l i te pas tou jours l ' ana ly se , ear la fonct ion de t r a n s f e r t HG(f) ne poss~de p lus les sym~tr ies r e m a r q u a b l e s de H( f ) p a r r a p p o r t h l 'o r i - gine. En revanche , elle cen t r e a u t o m a t i q u e m e n t les calculs numdr iques sur le s u p p o r t connu et mesu rab l e de W(f) , ce qui g a r a n t i t l a prdcision et la va l id i t6 m~me de l ' e n v e l o p p e w~(/).

1.1.2. La ligne id~ale.

La ligne ideate a p o u r e x p o s a n t de t r ans f e r t , p a r d6fini t ion m~me :

(15) v(f) L = O + j~ ( f ) L ,

= j 2 to { t -

Darts ee t te express ion , fo d~signe la f rdquence de eoupure du guide, et t o = L [ v = L ~ la dur~e de p r o p a g a t i o n d ' o n d e dans l ' e spaee l ibre.

On peu t ~crire a lors :

y (u § fo) L = j 2Veto{ (u + fo) 2 - - f2}112

= j 2 ~ t o { - - [-- (u s + 2 u f o + f~ - - f~)] }I,2

soit encore, en p o s a n t s = ](f0 + re) et d = J ( f0 - - fc) et en r e g r o u p a n t le c roche t sous la forme ( j u + s) ( j u + d) :

(16) y ( u § fo) L : j 2 x t o ( - - ( j u + s) ( j u § d )} ~j2.

Pour que la d ~ t e r m i n a t i o n de y ( u + fo) L soi t convenable (pa r t i e r~elle 1> 0), il f au t p r e nd re la rac ine carrde c o m p l e x e dans le demi -p l an inf~rieur, ce qui condu i t ~ pose r :

(16 bis) y(u + fo) L = 27~t o { ( j u + s) ( ju + 4)} 113 .

On eons t ru i t a lors , avec (12) et (1), la fonc t ion de t r ans fe r t de la l igne t r a n s l a t 6 e h gauche d '~qu iva lenee :

(17) HG(U) = e -2~t~ ,

Sa r6ponse impu l s ive est (A nne xe A) :

O

(18) hG(t) =

: l ~ t o ,

e-J2~foto ~ ( t - to) - -

e_J2=fot (2xfc)2 to J1 (Z(t)} : t /> t o , z(t)

avec :

(19) Z(t) = 2 z~fe ~/~ - - t~ .

Celle de la l igne v~ r i t ab l e se d6du i t de (12) et s '~cr i t :

(20) h(t) = e j2~fot hG(t ) .

A. TkL~C., 29, nos 11-12, 1974 4/42

J . BRAWE!R. -- T R A N S M I S S I O N DES SIC, N A U X SUR G U I D E A GIRANDE D I S T A N C E 5 8 9

Elle est , c o m m e h6(t) , c ausa l e et r6a l i sable . Les i n t6g ra l e s

t [2 nfo,r ] J 1 { Z ( v ) } c o s sin Z(v) dv ,

ne son t m a l h e u r e u s e m e n t pas r6so lubles ; et (13 bis) ne poss~de pas de s o l u t i o n d i rec te , h o r m i s le cas du r6g ime p e r m a n e n t . Mais alors, wi(t ) = 1, et (13) d o n n e p lu s r a p i d e m e n t :

(21) W~(I )= / : a ( u ) H ~ ( u ) e j2r~ut d u = H a ( 0 )

= e-J2rCto{ f~ - -~} t t2= e - T ( f o ) L ,

D a n s le eas gdn6ral , il f a u t t r a n s f o r m e r pas h pas ou p a r t ~ t o n n e m e n t s l ' i n t d g r a l e i n i t i a l e af in d ' o b t e n i r l a r6ponse cherch6e. C 'es t t o u t le m6r i t e de ce r ta ins m a t h d m a t i c i e n s d ' a v o i r o b t e n u , au p r i x d ' u n l a b e u r

et ( f o n c t i o n gdn~ra t r i ce ) :

A0(~) = W l ( / - - lo~ ) e j2~fo( t - to~) ,

sous la f o r m e pa r t i eu l i~ re :

(24) w2(t) = e-i2rrf~ I A o ( ~ ) Jo {Z(~)} +

n=i \ ~ + lj Jn{Z (~)} ~= to

D a n s ce t t e express ion , la su i te des Bn(~) p r o v i e n t des ddr ivdes snccess ives de la g6n~ra t r i ee :

D O ~ A o ; D~(~) = t0 Ao(~) , ,

et de la loi de f o r m a t i o n :

Bi(~) = 2 Di(~) ,

B2(~) = 2~D~(~) - - 2 Do(~) ,

s o u v e n t cons idd rab l e , q u e l q u e s s o l u t i o n s r igoureuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n(n--3) de ce probl~me [8 h 12]. Elles s'appliquent g~n6ra- Bn(~)=2nDn(~)--2n-2nDn-2(~)+2n-4 2! Dn-4(~)--

l e m e n t h z2(t ) ; ma i s on les a d a p t e a i s 6 m e n t h l ' e n v e - loppe c o m p l e x e c o r r e s p o n d a n t e . P a r exemple , dans le cas de l ' i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e :

( 1 : l > 0 (22) wi(t ) ~ U ( t ) - - U ( t - - T) ; U ( t ) = i 0 t < 0

on o b t i e n t , avec la rdponse u n i t a i r e de P. Po ince lo t [8, 9], l ' e x p r e s s i o n f o n d a m e n t a l e :

w 2 ( t ) = U(t-- to)e-J2r~fd Jo{Z(t)} + ~ ( j ) n K n • ~lm|

t - ~ o ] a n { Z ( t ) } J - - U ( t - - T - - t o ) e-j2~fo(t-T) x

( 2 3 ) ~ ~ (,2 T__lo~n,. J o { Z ( t - - T ) } § Z ( j ) n K , •

i,=, T + to/

Jn {Z(t-- T)}]

ofa Z(I) est donn6 par (19), et Kn par :

- - ~/ \fc/ 1) n"

On vdrif ie a i s 6 m e n t , l o r s q u e L -+ 0, que t o -+ 0 et w2(t ) -+ wl( t ) en v e r t u de la r e l a t i o n :

oo eJ2rC/o t = J0{2~cfct} + ~ ( j )n K n Jn{2 T:fct} .

r l : |

De m ~ m e , l o r s q u e t - + oo, c h a c u n des crochets n e u t r a l i s e son f a c t e u r e x p o n e n t i e l ; e t :

w2(t ) -+ ( 1 - - 1) ------ 0 ,

p u i s q u ' i l n ' e x i s t e a u c u n rdg ime p e r m a n e n t dans le guide. L. Vogler , en i n t 6 g r a n t (pa r p a r t i e s successives) la

c o n v o l u t i o n (8) mi se sous la fo rme :

z~(t) = zi( t -- x) h(v) dv ,

(oh l ' o n p r e n d : x = t, si zl(t ) est c a u s a l ; x = ~ , d a n s le cas c o n t r a i r e ) a o b t e n u u n e fo rme gdndrale de z2(t ) [12].

On p e u t u t i l i se r sa m 6 t h o d e en p a r t a n t de (13 bis). Mais il es t p l u s s imp le de t r a n s f o r m e r la s o l u t i o n de Vogler en p o s a n t :

Z(~) = 2 =fdo %/~2 _ 1 ,

~. a n ( n - - 5 ) (n - -6 ) (n - -7 ) 2n_8 9 ( n - - 4 ) (n - -5 ) D n - e (~)-}- 2.--- - - • 3 I 41

D n - s ( ~ ) - - . . . . . . ; n >~ 3

que l ' o n s t o p p e d~s q u ' u n coeff ic ient s ' a n n u l e d a n s F u n q u e l c o n q u e de ses t e rmes .

I1 est faci le de vdr i f ie r que (24) se r 6 d u i t h (23), l o r sque wi( t ) est d o n n 6 p a r (22).

L o r s q u ' o n passe a u x m d t h o d e s n u m 6 r i q u e s d ' i n t 6 - g r a t i o n , il n ' y a p lus de diffdrence f o n d a m e n t a l e e n t r e la f o n c t i o n de t r a n s f e r t c o n s t r u i t e su r (15) e t l ' ex - p re s s ion gdn6ra le (1). Les t e c h n i q u e s de ca lcu l s o n t ddl ica tes d a n s les d e u x c a s ; et il n ' e x i s t e , en ce qu i c o n c e r n e l a t r a n s m i s s i o n des s i g n a u x n u m 6 r i q u e s , que p e u de r 6 s u l t a t s s igni f ica t i f s pub l id s j u s q u ' 5 ce j ou r . On n o t e r a c e p e n d a n t que lques r e m a r q u e s in t6 re s - s an t e s de E. S c h u l z - D u b o i s sur la f o r m a t i o n de l ' e n v e - l oppe c o m p l e x e , d a n s le cadre d ' u n e i m p u l s i o n r e c t a n - gula i re , e t a u v o i s i n a g e i m m 6 d i a t de la f r d q u e n c e de c o u p u r e [13].

ANnEXE A

I1 est commode, pour obteni r la t ransform6e inverse de (17), d 'u t i l i ser une variable symbol ique sous la forme : p ~ ] 2 ~u. I1 v ien t alors, en posant ~ = j 2 r: ( ] + /c) et p = j 2 ~ (/o - - /o) :

ha(t) = ~ j Ha(p) e~ t d p ,

' /2 (A-I) = ~ e_to{(p+a) (p+p)}l]2 e~ t dp .

Cette t ransform6e de Laplace se r~sout faei]ement l 'a ide d ' u n e table de Campbel l -Foster [14]. On ob t ien t tout d ' abord , avec la paire (601) :

(A-2) e-x~ r-- ~ ( t - - x ) ,

puis ensui te , pour t > x, avec la paire (863.1) :

1 (A-3) e_X{(p+~ ) (pWp)}l t2_ e_xP e - ~ x(p+(~) t " -

x ( p - ~,) e- ~(~,+,,)t

5 ] 4 2 A. Tf.L~C., 29, n ~ 11-12, 1974

590 J . B R A Y E R . - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

Coimne on a ici :

X = t o ; ( 0 + ~ ) 1 2 - j 2 ~ / o , 1

on peut transfdrer, h l 'a ide de (A-2), le deuxieme terme de (A-3) dans le inembre des or iginaux, et 6crire (A-I) sous la forum :

j 2 n/do e -j27:f~ (A-~) hG(t) = e -j27zfoto ~ ( t - - to) - - ~/t ~ - t~ X

I11 2=]c ~ I ' T : t >/ t~

Mais la fonct ion de Bessel modifiee se t r ans fo rman t selon la relat ion : Jl(z) = j Ii(zJj), on retrouve, avec (A-&), la formule (19).

1.2 . F o r m a t i o n des m o d u l a n t s .

Le message est r e p r e s en t e , en f r e q u e n c e in te r - m e d i a i r e , p a r u n e su i t e d ' i n t e r v a l l e s 6 lementa i res , de d u r e e T, p e n d a n t lesquels soi t l ' a m p l i t u d e , soit la phase de la po r t euse , s o n t d e t e r m i n e e s p a r l ' i n fo r - m a t i o n n u m e r i q u e ~ t r a n s m e t t r e . O n appe l l e modulant u n e s e q u e n c e r e d u i t e ( N i n t e r v a l l e s ) de ce t t e por- t euse , d o n t l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e w(t) va r i e de la m ~ m e fa~on que d a n s u n s y s t e n i e reel. Sa fo rme ana- l y t i q u e d @ e n d e v i d e m m e n t d u t y p e de m o d u l a t i o n ( a m p l i t u d e ou phase) ehoisi.

1 .2 .1 . C a s d e let m o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e .

U n e i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e , de c e n t r e t o et de l a r g e u r T, p e u t se r e p r e s e n t e r (22) p a r la d i s t r i b u t i o n :

(25) p T ( t - - t o ) = U ( t - - t o § T / 2 ) - - U ( t - - t o - T[2).

d o n t la t r a n s f o r m d e de F o u r i e r s ' ec r i t :

(26) PT( / ) : T e - j 2 ~ t o / s i n 7efT ~ f T

U n t r a i n de N i m p u l s i o n s , t o u t e s e q u i d i s t a n t e s de T, s ' e c r i t alors :

(27) s(t) = ~, a n P T ( t - - n T ) , n ; N

e t a p o u r t r a n s f o r m e e :

(28) S(f) = T sinTcfT ~ an e - j 2 = n T F . 7~fT n ; N

Le coeff ic ient an q u i t r a n s p o r t e l ' i n f o r m a t i o n est a l e a t o i r e ; ma i s la t r a n s m i s s i o n d ' u n message donne i m p l i q u e e v i d e m m e n t N v a l e u r s b i e n d e t e r m i n d e s de ce de rn ie r .

d is t r ibut ion gdndratrice en posant , par exemple :

I l : t ~ > O , U(t) = 0 : t < 0 .

D 'aut res solutions sont possibles (*), mais do ivent routes admet t re (26) comme transformde de Fourier, de sorte que (28) a pour l imite, en app l iquan t la formule de Poisson :

sin ~]T S ( / ) - n f ~ Tn= ~-~-~e-j2~zfnT'

s i n n f T / n \ - - - 2 2 ~ \ / - - ~ ) = ~ ( ] )

, I T . . . . . "

On pourra done, pour la t ransmiss ion d 'un t ra in, utiliser (29) sans hesitat ions.

C 'es t le s igna l

~ M A ( I ~ ) = S ( t ) e i(2~fit+gi)

qu i con t r e l e , en m o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e , la f r e q u e n c e i n t e r m e d i a i r e . Mais c ' e s t u n s igna l ideal , a u x v a r i a - t i ons b r u s q u e s , et encore t r o p 61oign6 de la real i te . P o u r F e n r a p p r o c h e r , on u t i l i se u n fi l tre de fo rme (H( f ) ~ h(/)) te l , q u ' h sa sor t ie , le s ignal ~(t) poss~de l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e w(t) r eche rchee :

~(l) = h(t) * ~MA(t) = w(t) e j ( 2~ fg§ .

Le f o n c t i o n n e m e n t m e m e de ce fi l tre p r o v e n a n t d ' u n c e n t r a g e c o n v e n a b l e de ses c a r a c t e r i s t i q u e s p a r r ap - p o r t h la f r e q u e n c e i n t e r m e d i a i r e f i , on le def in i t , en p r a t i q u e , sous la fo rme Hc( f ) s y m e t r i q u e :

(30) H( f ) - Hc ( f - f0 ~ Hc ( f ) -- H ( f + f d .

On ver i f ie i m m e d i a t e m e n t , avec (12), que ce t t e fo rme cen t r ee Hc( f ) r e p r e s e n t e u n e t r a n s l a t i o n d ' a m p l i t u d e fi a p p l i q u e e h la f o n c t i o n de t r a n s f e r t H(f) . On p e u t donc , h l ' a i de de (13), 6crire a u s s i t e t :

w (t) = _ ~ _ ~ S ( u ) H c ( u ) e j2nut d u ,

= ~ an T - - HC(U) e j2~u(t-nT) du n ;N ~ u T

Cela conduit, en posant :

/ ~ s i n n u T H c ( u ) eJ2T:u t du (31) f(t) = T oo rouT Hc(0 )

~_ la fo rme c o n d e n s e e :

(32) w(/) = H c ( 0 ) '~, an f(t - - n T ) , n ; N

d o n t n o u s ach~ve rons , au p a r a g r a p h e 1.2.3, la r e p r e s e n t a t i o n .

On n o t e r a que le cho ix de (31) c o n d u i t , avec (29), h la r e l a t i o n f o n d a m e n t a l e :

(33) ~_~ f ( t - - n T ) = 1 . /1 --oo

Remarque :

Lorsque U(t) est ddfinie par (22), la relat ion

(29) ~ p T ( t - - n T ) = I , n : - - o o

n 'es t r igoureusement vdrifide que presque par tout . Pour qu'elle le devienne f ina lement Vt, il suffit de modifier la

1 .2 .2 . C a s d e la m o d u l a t i o n d e p h a s e .

L a phase iddale de la p o r t e u s e s 'dcr i t , en m o d u -

(*) Comme l'6chelon unit6 Y(t), partout defini avec T(0) = 1/2. I1 est cependant vivement deconseill6 ici, car sa valeur ponctuelle 1]2 perturbe inutilement, en modulation de phase, les expressions cissoidales utilisees.

A . T ~ L ~ C . , 2 9 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4 6/42

J . BRA_YER. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX SUR GUIDE A GRANDE DISTANCE 591

la t ion diff6rentielle :

(34) tF(t) = q~r + ~ (I)n pT(t - - n T ) . n ; N

off la va r iab le al6atoire (I)n prend, pour chaque n, l ' une des M valeurs possibles :

(I)n = (:Pn-1 + (A(~k)n

construi tes h l ' a ide des M sauts de phase primaires :

A ~ k ~ k2Tc/M 0 ~ k ~ M - - 1 ;

et off ~r est une phase de rdf6rence dont le r61e n ' im- porte gu~re ici.

Cela 6 tant , la re la t ion (*)

j Z (~npr(t--nT) (35) e n;N : 1 + ~ ( e - J |

n ; N

permet de poser, avec (34) et (35) :

j tF(t) j [ ~ r + Z ~PnpT(t--nT)] = ~ n;N

: ~Jq~r~ 1 + n ; N ~ ( o J ~ n - - 1 ) p T ( l - - n T ) ~ .

Le signal id6al qui contr61e la frdquence inter- m6diaire :

~MP(/) = eJLF(t) eJ(2=/lt+~) ,

peut alors se t r ans fo rmer (en abso rban t ~r dans ~i) e n :

(36)

~MP(t) = E 1 + n ; N ~ (eJ(I)n - - 1 ) p T ( I - - n T ) ~ ej(2~flt-4-q~i)"

On le rapproche du signal v6ri table en le fa isant passer, comme prdcddemment , h t ravers un filtre de forme H(f). I1 v i e n t ainsi :

~(t) : h(/) * ~Mp( / ) = W(l) oJ(2~flt+w) ;

ce qui condui t , en exp l ic i t an t la t ransformde K(u) du crochet de (36) :

[1 + ~ ( ) p()/~-~ K(u) = ~(u) +

T ~ (eJ(I)n - - 1) e-J 2r~nTu sin~u__ T , n;N 7~uT

l ' express ion in t6gra le de l ' enveloppe de ~(l) (cf. w 1.2 .1) :

(37) w(t) = / : K(u) Hc(u ) e j2:vut d u .

A l 'a ide de (31) et de :

/ : 8(u) Hc(u ) e j2~ut d u , He(0)

on lui donne f i na l emen t la forme condensde homo- logue de (32) :

F1 + ~ (e j q ) n - 1 ) f ( t - - n T ) ] . (38) w ( l ) HE(0) L n ; N A

Cette expression, lorsque le t r a in est infini, se r6dui t

(*) Qui n'est partout v6rifide que lorsque U(t) est choisie conform6ment aux indications du paragraphe 1.2.1.

(cf. (33)) h celle de l ' enve loppe classique :

(38 bis) w(t) = Hc(0 ) ~ e j(I)n f ( l - - nT) . n=--co

L2 .3 . N o r m a l i s a t i o n s .

1.2.3.1. La c ons t a n t e He(0 ) n ' i n t r o d u i t q u ' u n e phase et une ampl i tude arbi t ra i res , et n ' a pas d ' inf luence r6elle sur la fo rma t ion des modu lan t s . On p e n t donc l '61iminer en i n t r o d u i s a n t une proc6dure de no rma- l isat ion :

w(0 : w(0 /Hc(0 ) ;

qui s '6tend, pas h pas, h t o u s l e s filtres du syst~me. Elle se just i f ie i m m 6 d i a t e m e n t sur la l igne iddale. E n effet, d 'apr~s (21), le signal au tonorm6 de d6par t :

wl(/) = I =~ ~l ( t ) -- 1 ,

est iden t ique h sa propre rdponse :

~2(t) = w2(t)/HG(0 ) = w2(t)/e-Y(fo)L= 1 .

Or ce r6sul ta t ne fai t que t r adn i r e Fun des principes f o n d a m e n t a u x de la thdorie des lignes : nne ligne de t ransmiss ion n ' i n t r o d u i t j amais de distorsion, en r~gime h a r m o n i q u e p e r m a n e n t .

1.2.3.2. I1 est in tdressant , dans les appl icat ions , de choisir l ' impu l s ion cen t ra le du m o d n l a n t comme sup- port effectif du t emps de p ropaga t ion de groupe. On impose donc n = 0 h cet te impuls ion , et on y rap- porte s y s t d m a t i q u e m e n t l 'or igine des temps. Mais le filtre de forme a y a n t (en principe) une phase

! B(f) = - - 27eft o l in6aire, l ' ensemble de ce t r a in est t ransla t6 , d~s sa sortie, h l '6poque t o . On le recentre , en effectuant , dans les expressions pr6c6dentes, le changemen t de n o t a t i o n f(t) -~ g(t) d6fini par g(t) -- f(t - - t~).

On t rouve ainsi, apr~s recent rage et normal i sa t ion , les expressions ddfini t ives [cf. (32) et (38)] des modulan ts h uti l iser pour la t r ansmiss ion des s ignaux num6r iques darts le guide :

a) en m o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e :

(39) w(t)---- ~, an g ( t - - n T ) ; n ; N

b) en m o d u l a t i o n de phase :

(40) w ( t ) ~ 1 + ~ (e i ( I ) n - 1 ) g ( t - n T ) . n ; N

Par la suite leurs t ransform6es de Four ier seront not6es W(f), i n d 6 p e n d e m m e n t du choix de la modulat ion.

La formule (40) s ' appl ique , en tou te r igueur , h la modu la t i on d ' u n e por teuse pe rmanen te . E n posant , grace h (33) :

1 - - • g ( t - - n T ) = ~ g ( t - - n T ) , n ; N n ~ - - ~

on lui donne la forme : o~

(40 bis) ~(t) = ~ e jq~n g ( t - nT) + ~ g ( t - - n T ) ; n~--r

n ; N ~N

7/42 A. T~=L~:C., 29, n ~ 11-12, 1974

592 J . BRA~ 'ER. -- T R A N S M I S S I O N DES S I G N A U X s u n G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

mieux adaptde au f o n c t i o n n e m e n t d ' u n t ranscodeur , puisque son t e rme compldmenta i re pen t se r6duire, en pra t ique , h quelques impuls ions margina les de pa r t et d ' au t r e du t ra in .

Une impuls ion isolde, de phase nomina le (D o = A(I)k (cf. w 1.2.2) a donc pour enveloppe complexe, au choix :

w(t) = 1 § (e j(I)o - - 1) g(t) ,

(40 ter) ~ ( t ) = e j(I)~ + ~ g ( / - - n T ) . 11=- o0

~ 0

1.2.3.3. Le filtre de forme in t rodu i san t , par d~fi- n i t ion m~me, une cer ta ine distorsion d ' ampl i tude , la valeur au centre de l ' impu l s ion de d6par t est gdn6ra- l ement infdrieure h 1 (cf. w 1.4). I1 en r6sulte en modu la t ion diff6rentielle, une erreur de phase qui peu t devenir impor t an t e . E n effet, d 'apr~s (40 ter),

la phase au cent re :

a r g ( ~ ( 0 ) } : a r g ( e i(I)o + 1 - - g(0)}

diff~re d v i d e m m e n t de (I)o, d~s que g(0) :/: 1. Plus exac tement , avec l ' impu l s ion gauss ienne n ~ 2 et g(0) : 0,943401 , on t rouve , pour (Do : ~ /2 : w(0) : 0,056598 + j 0 ,943401 . L 'e r reur de phase cor respondante est d ' e n v i r o n 3,5 o.

Cette erreur n ' e s t pas tol6rable, et on doit corriger g(/) (rdduction) pour ob ten i r des phases centrales, au d6part , aussi bonnes que possible. Th6or iquement , cela pen t ~tre effectud par le calcula teur , qui corrige pas h pas (apr~s contr61e du modu lan t ) chacune des valeurs (Dn h utiliser. E n fair, on simplific dnormdment les calculs, en i m p o s a n t (*) d i rec tement h g(t) sa va leur r6dui te g ( 0 ) : 1.

Lorsque la phase du filtre n ' e s t plus lin~aire, les impuls ions g(t) cessent d 'Stre sym~tr iques , et le centre du t r a in ne coi'ncide plus avec l '6poque t~. Cependant , ces distorsions r e s t en t tou jours tr~s limitdes et une seconde correct ion de g(t) n ' e s t f ina lement pas ndcessaire.

1.3. La ligne r6elle et son approche analytique.

La l igne r6elle reste 6 v i d e m m e n t compat ib le avec les m6thodes du pa rag raphe 1.1.1. On p e n t donc, en p a r t a n t de sa fonc t ion de t rans fe r t (1) anise sons la forme r6dui te (cf. G6n6ralitds) (**) :

(41) H(f ) = e - '~( f )L ,

calculer d i rec tement , h l ' a ide de (12) et (13), l ' enve- [oppe complexe h l ' a r r iv6e :

(*) Par la substitution : g(t) -e- g(t)/g(0), effectu~e dans la m6moire du calculateur. Ce proc6d~ est d 'autant mieux justifid que les valeurs g ( - - n T ) sont ndgligeables.

(**) Le terme al~atoire additionnel peut ~tre r6introduit dans Ies calculs du taux d'erreur, sous forme d'un bruit de reconversion.

/ - o o

H~(u) ei2nut : HG(0) / : W I ( u ) ~ du .

On la normalise en a p p l i q u a n t h w~(/) la d6finit ion pr6c~dente, et en r e m p l a ~ a n t Wl(t ) pa r Fun quelconque des modu lan t s d6finis pa r (39) et (40). On forme ainsi une expression trbs g6n6rale, p e r m e t t a n t d '6 tudier la quali t6 mSme des s ignaux t r ansmis par la l igne :

(42) ~2(l) ~ / : " V V ( u ) P t ( u ) e j2rcut d u ,

R ( u ) = H G ( u ) / H G ( 0 ) �9

E u g6n~ral, la solut ion a n a l y t i q u e de (42) n 'exis te pas, pour des raisons ana logues h celles expos6es au paragraphe 1.1.2. Mais la fonc t ion R(u) peu t ~tre t ransform6e pour p e r m e t t r e :

a) soit l ' i n t6gra t ion directe, par u n proc6d~ pure- m e n t num6r ique , du second m e m h r e de (42) ;

b) soit (apr~s s impl i f icat ion) l ' u t i l i sa t ion d ' une formule d ' in t~gra t ion r igoureuse, qui s 'appl ique h une classe assez g6n6rale de s ignaux et de filtres inter- mddiaires.

L3.1. Intdgralion directe.

On commence pa r t r ans fo rmer R(u) en posant , avec (12) et (41) :

(43) R ( u ) : H(u + f o ) / H ( f o ) = e -[ '~(u+fo)-T( fo)]L ;

puis on caract6rise la l igne en in t rodu i san t , dans (42), son temps de p ropaga t ion de groupe :

dd--~ 27~1 d~(f)df (44) tg(f) = f L - - L ,

et son exposant de dis tors ion propre :

(45) F(u, f0) L ~- [y(u + fo) - - ~/(fo)] L - - j 2~utg(fo).

Cela condui t h l ' express ion plus coh6rente :

(46) d u ,

qui, d~s que l 'on sait calculer l ' in t6grale :

(47) "~(t) = = W ( u ) e - r ( u , fo)L e j2=ut d u ,

a pour solut ion directe :

(48) w2(t) = 7( t - - tg(fo) ) .

E n r ecen t r an t ce signal h l '6poque tg(fo), on vol t i mm6d i a t e me n t que l ' enve loppe complexe h l 'arr ivde s 'expr ime tou t s imp lemen t pa r la fonct ion "r (t).

Celle-ci ne d6pend que du signal et du facteur de distorsion exp ( - - I~ (u , fo)L) de la ligne. Tou t se passe, alors, comme si la l igne pouva i t t r ansmet t r e , sans distorsion apparen te , u n signal fictif don t l ' enveloppe serait d6jh cond i t ionn6e par le facteur de distorsion. Plus exac temen t , en i n t r o d u i s a n t sa t r ans - form6e de Four ier :

(49) m(t) ~--- e -F(u , fo )L ,

A. T~L~C., 29, n ~ 11-12, 1974 8/42

J . B R A X Z E R . - - T R A N S M I S S I O N ( 2 D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E F R E Q U E N C E 5 9 3

la so lu t ion f ina le d u p r o b l 6 m e s ' e x p r i m e pa r la c o n v o l u t i o n :

(50) 7 (t) = re(t) ~ 7~(t),

r e l i a n t les e n v e l o p p e s n o r m a l i s 6 e s a u x d e u x ex t rdmi tds de la l igne. M a l h e u r e u s e m e n t , l ' imposs ib i l i t6 de c o n n a t t r e u n e fo rme a n a l y t i q u e prdcisc de m(t) impose p r e s q u e t o u j o u r s , en p r a t i q u e , de rdsoudre l ' i n t dg ra l e (47).

Remarques.

a) Pour que la l igne soit effect ivemeat sans distorsion, il faut avoir, d 'apr6s (50) :

re(t) =-- 8(t) =z~ e - F ( u , f o ) L - - 1 .

Cela est vdrifi6 darts le cas (purement thdorique) off ~(])L est une constante et ~ ( / ) L = 2 r: tg/une fonct ion une fonction lindaire de la frdquence, car [ y ( u + ]o)-- Y(/o) ] L -- j 2 ~ u tg impose alors, par (45) : F(u, ]o )L -- 0.

b) Toute correction de phase par/aite de la ligne rend iden t iquement nul le la par t ie imaginaire de son exposant de distorsion propre. Mais sa par t ie rdelle subsiste, et le facteur de distorsion cor respondant , j ouan t le rSle d 'un filtre de forme, in t rodu i t une distorsion d 'ampl i tude rdsiduelle.

En prat ique, la correct ion de phase n 'es t parfaite que pour u = 0. I1 existe donc, en suppldment , une distorsion rdsiduelle de phase, croissant d i rec tement avec l 'dtendue du spectre de ~V(u), c 'est-h-dire f ina lement la rapidit6 de modulat ion. Notons enf in que, dans certains cas, les fluc- tua t ions de < A y ( / ) > sont t e l lement rapides que le facteur de distorsion cor respondan t n 'es t jamais nul, quelle que soit la frdquenee u.

c) Sans revenir sur F in tdgra t ion de (47), il est ben de pr6ciser ici ua point sur sa validit6. Le temps de t ransi t tg(/o) est, en pra t ique , de l 'ordre de quelques millisecondes. La durde T de l ' in te rva l le dldmentaire est, en revanche, toujours infdrieure h 10 nanosecondes. La plage d 'uti l i- sat ion I t - - t g ( ] o ) l / T des mo d u l a n t s ne ddpassant jamais quelques uuitds, l ' intdgrale (47) est presque stat ionnaire. I1 suffit donc que ses l imites d ' in tdgra t ion permet ten t une res t i tu t ion correcte des sauts de phase et des fluctuations, pour que la prdcision et ]a fiddlitd des calculs (comme par exemple, eelui des phases diffdrentielles) deviennent remarquables. C'est lh un aspect tr6s part icul ier des syst6mes de t ransmission numdriques , off n ' i n t e r v i e n n e n t finalement, au n iveau de la rdgdndration, que le brouillage intersymbole exis tant aux dpoques mdmes de l 'dldment binaire rdgdn6rer.

en p o s a n t :

(52 bis) Q(u) = [27:u y~ + (1 /2) (27:u) ~ yg'] L .

Les s i g n a u x d a n s le gu ide 6 t a n t t o u j o u r s h b a n d e d t ro i te , le t e r m e c o m p l d m e n t a i r e c(u) r es te n~gli- geab l e (cf. w II .5) . La rdponse de la l i gne s 'dcr i t alors , avec (42), (43) e t (52) :

e-Q(u) eJ2 u, du. (53) ~ ( t )

Mais c o m m e on c o n n a i t ce t t e fois ( c o n t r a i r e m e n t au cas de (49)), la fo rme exac te de la t r a n s f o r m ~ e :

l(t) ~ - e -Q(f) ,

l a c o n v o l u t i o n 6 q u i v a l e n t e h (53) :

(54) ~ ( t ) = l(0 * ~( t ) ,

s ' i n t 6 g r e r i g o u r e u s e m e n t , d a n s u n c e r t a i n n o m b r e de c a s .

P l u s p r d c i s d m e n t , on m o n t r c , en A n n e x e B- I , que la r~ponse i m p u l s i v e l(t) est :

e j~/~ e - j (t--~g)2]4(~L (55) l(t) - - { 4 ~ , ~ L } l t ~

avec les p a r a m ~ t r e s :

(55 bis) t 2~g = roLl! , ffJ = -- Yo/2 i �9

Les r e l a t i o n s (39) e t (40) d d f i n i s s a n t u n e loi de c o m p o s i t i o n g(t) -~ w(t) l indai re , il suffit , p o u r rdsoudre (54), de c o n n a i t r e la r6ponse 61dmenta i re :

g2(t) = l ( t ) . g(t),

et de r e c o n s t r u i r e l ' e n v e l o p p e cherchde p a r la r ecom- p o s i t i o n :

g2(/) -+ x~2(l).

L a rdponse g2(t) est d o n n d e p a r l ' i n t d g r a l e :

(56) gu(/) = X : g ( / - - r l(v) d r ,

d o n t o n c o n n a i t , s u i v a n t la f o rm e a n a l y t i q u e de g(t), u n c e r t a i n n o m b r e de so lu t ions . P a r m i les f onc t i ons g(/) i n t d g r a b l e s , celle ddcr i te p a r l a f igure 1 est p a r t i c u -

L3.2. Approche analytique.

El le est basde s u r le d d v e l o p p e m e n t de y(f ) :

1 u2 d2y(fo ) y ( u + fo) = Y(f0) + u + ~ . d f 2 + c ( u ) ;

q u ' i l es t p r6fdrab le de m e t t r e sous la fo rme :

(51) y ( u + fo) = Y(fo) + 27:u ~,~ + 112 (27zu) 2 y g ' + c(u),

en n o t a n t exclusivement sous a c c e n t les d~ r iva t i ons p a r r a p p o r t h la p u l s a t i o n 6 ) : 2 7 : f :

yg = d ~ / d ~ b o ~g' - d ~ v / d ~ ] 1 o .

I1 c o n d u i t h :

(52) [y(u § fo) - - Y(fo)] L = Q(u) + c(u) L ,

~g(t)

t l

p,

t~.t . t2 t2-t~ T

, t

FIG. 1. - - Fonction gdndratrice dldmentaire; le niveau v correspondant h la largeur nominale T e s t arbitrairement

choisi entre 0 et 1.

9 /42 A. T E L ~ C . , 2-q, n ~ 11-1 '), 1.076

594 J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

l i~re lnent in tdressante . El le co r re spond , grfice au ehoix du n iveau de d~f in i t ion de sa dur~e nomina le T, fl t o u s l e s eas possibles de fone t ions t rapdzo ida les et t r i angu la i r e s . En outre , p a r d ' d v i d e n t s passages la l imi te , elle s ' ident i f ie h l ' i m p u l s i o n rec tangula i re , la fone t ion r ampe-dehe lon et l ' dehe lon un i td t r ad i - t ionnel .

E n f ixan t les pa r am~t r e s : ~, T , t ~ (eentrage) ,

tin, t' m; et en i m p o s a n t :

t 2 = t I - t i n + ( t i n + t i n ) + T >/ (t t + tin) ,

on d~fini t c o m p R t e m e n t g(t) p a r la r ep r6sen ta t ion :

(57) g(t) -=

0 : / < / 1 ,

( l - - l l ) ] l m : l t ~ t < ( 1 1 + tin) ,

I : (t l + tin) <~ t <. t 2 ,

(t~ + t' - - t)/t'm : t~ < t <<. (t 2 + t'm) m

o : ( t 2 + t'~) < t .

On m o n t r e alors (cf. A n n e x e B - I I ) que la solut ion r igoureuse de (56) est :

(58)

1 ~D i, 2 [ g2(t) = ~. [ e r f ( ~ 2 } - - e r f { ~ } ] - - 2--~m ~ ~

1 ( e _ ~ e ~o) + - x erf{~~ + ~ - - 2tin

] 1 ( e - ~ e - ~ ) ~a[erf{~a}-- erf(~2} l + ~ -- .

avec (el. (55 bis)) :

= 4 , ~ L I j

! ~ ( t ) = [ t - - t2- -~6g] ~ l l 2

( 5 9 ) ) ; ~a( t )= D u a l ( ~ ) : t 2 - ~ l 1

[t - - (t~ + t~) - - ~ ] ~o(t) = ~)~t ~ ;

~2(l) Dua l (~o) : (t2 + tin) -~ ( / 1 + t in).

L a fo rmule (58) co r re spond fl l ' a l l u r e g6ndrale de la f igure 1. Mais lorsque t m = l'm = 0, c ' es t -h-d i re lo r sque g(/) se rddu i t h l ' i m p u l s i o n r ec t angu la i r e de l a r g e u r T, ce t te formule p r e n d la fo rme simplifide (cf. A n n e x e B - I I I ) :

(60) g~(/) = [erf {~2(/)} - - erf {~1(/)}]12 ,

darts l aque l le on pose, pou r la c o m m o d i t 6 des calculs :

4 i A = {~Lpp (61) } ~2(t ) = 2 [ t - - t , - - ~ g ] ~/~/&T,

L'interpr5tation physique de ces coefficients est tr6s claire sur une ]igne id~ale. En effet, si ~g = 0, il vient aussitbt :

~ = [~0 L = tg( f o) [cf. (44) ] .

De m~me, si ~o = 0, il v i e n t

~L = - - 112 ~ 'L = -- t~(fo)/2 ,

c 'es t -h-d i re encore , avec (15) :

, ~ J L - 1 to(/e~2 1 4~ fo \ foJ [1 - - (fclfoT] a'2,

&off :

A = (2~/ff /T) 4t;l(fo) I

(62) -- ~/~ T f0 [ 1 - (/d/o)2p ' ' "

C'est le p a r a m ~ t r e de d is tors ion de phase de la l igne id~ale, qui v a r i e p r a t i q u e m e n t comme ~/L lT( fo )a t2 . I1 m o n t r e t o u t l ' i n t~ r~ t que pr~sente le choix d ' u n e por teuse fo 61ev6e (pour l ' amd l io ra t i on des s ignaux h l 'arr iv~e) , pu i sque le fa i r de passer de 32 h 55 GHz rev ien t h d iv i se r p a r 5 la longueur d lec t r ique de la ligne. Dans le cas g6n~ral, le complexe ~g fixe, fl la fois, le t e m p s de p r o p a g a t i o n de groupe et la d i s tor - sion & a m p l i t u d e r e l e v a n t de ~o ; t and i s que le com- p lexe A repr~sen te le p a r a m 6 t r e de d is tors ion (ampl i - t u d e et phase) de la l igne r~elle.

L ' i m p u l s i o n (60) est cent rde h l ' dpoque :

t o = q + t , ( f 0 ) + T ] 2 .

On la recen t re , c o m m e p r~e~demment , en c h a n g e a n t de n o t a t i o n et en p o s a n t :

q(t) = [err { z 2 ( t ) } - erf{zl(t)}]/2 , (63)

avec :

(64) I z2(t) = [2 t + T - - 2 J Im{~g}l ~/]-/AT,

(z1(/) = [2 t - - T - - 2 i Im{~g}] ~/]- [AT.

La forme g6n6rale de q(t) s'obtiendrait de m4me, en partant de (58) au lieu de (60). Finalement, la loi de composition g2(t) -+ w2(t) se transforme en

q(t) -+ 7(0,

pour donner l ' e n v e l o p p e "r(t) recent rde h l ' a r r iv6e (cf. w II.1).

On m o n t r e (cf. A n n e x e B- IV) que la r6ponse (63) est sym~t r ique lo r sque la l igne est iddale. Dans le cas d ' une l igne rdelle, nous m o n t r e r o n s que la d i s sym6t r i e qui a p p a r a i t res te n~gl igeable , de sorte que la ddfor- m a t i o n du message est essen t ie l lement due h la dis- tors ion de phase du guide et du brou i l l age in te r - symbole en t re impu l s ions ad jacen tes .

Lorsque t m - + ~ , l ' impu l s ion g(t) t e n d vers une fouct ion r a m p e - ~ c h e l o n - u n i t C On v~rifie alors ais~-

m e n t que ~o -+ - - oo , erf (~0) --> - - 1, et que ]e -~~ ~< 1. I1 en r~sulte, h la l imi te , la d i spa r i t i on du second t e rme de (58) dans l ' exp re s s ion c o r r e s p o n d a n t e de g2(t).

Lorsqu 'h son t o u r tm -§ 0 pour former un v6 r i t ab l e ~chelon uni td , le t ro i s i~me t e r m e de (58) -~ 0 (cf. Annexe B - I I I ) ; e t il r es te f ina lement :

(65) g2(t) = 2 I - erf I Ol t3 ! j .

C 'est la rdponse n o r m a l e de la l igne rdelle h l ' dche lon unitd. Si l ' on fa i t t e n d r e t 1 vers - - ~ , cet ~chelon reprdsente d v i d e m m e n t (cf. Fig. 1) le r~gime p e r m a - nent . L a fonc t ion e r r{} prdcddente t end a lors vers + 1, et (65) a p o u r l imi te g2(t) - 1, c o m m e pr6vu.

A. T~L~C. , 29, n~ 11-12, 1974 10/42

J . BRAYER. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX SUR GUIDE A GRANDE DISTANCE 595

Cela se vdri f ie i m m d d i a t e m e n t sur (53), en f a i s an t @(u) -~ 8(u).

E n f i n , on n o t e r a que g2(t) n ' e s t pas causa le , b i e n que l ' d che lon u n i t d g(t) le soit. C 'es t lh u n p r o b l ~ m e c lass ique p o u r l ' e m p l o i de erf (z), su r l eque l nous r e v i e n d r o n s au p a r a g r a p h e I I .5 .

ANNEXE B

I. a) Avec les no ta t ions de l 'Annexe A, on peut dcrire la t ransform6e de e-Q(u) sous la forme symbol ique :

l(t) - - 2~:j e-Q(P) eP t dp ,

= ~ d ( - - % L l i l P + ( ' ~ g L # l f ] e~ t d p .

La table de Campbel l -Fos ter donne alors, avee la paire (729) :

(B-l) e [~'p-kt~p2] f ~ e-(t-F~-)2/t~P,

mais comme on a ici :

;~ = - - VoLIj = - - ~g

l ( i~)v" :~L

on retrouve, avec (B-l), l 'expressiou (55) :

e~,~l~ l(t) - - {~r:.~L}Zl ~ e--J(t--~;g)2/4r �9

b) Ce rdsul ta t f ondamen ta l peut 8tre retrouvd par une mdthode ana ly t ique , qui en prdcise les domaines de validit6. En effet, la t ransformde de Fourier de e-Q(u) s'dcrit encore (en terme de pulsat ion ~ : 2 ~u, pour sou- lager l 'dcriture) :

soit, avec (55 b/s) :

(B-2) l(t) : ~ J - o o eJ[(t--~g)~+d3L~z] d~ .

Comme le crochet peut s'6crire :

(t-- '~g) ~ [- (t ~ "(~g) ~2 - - ~ L (2 ~(~L) ~ + . ~ L L 2 .T~L + ~ '

l ' intdgrale prdcddente se t ransforme en

(B-3)

l(t):e--J(t--~" g)2 l~d~L~ • zT~

d~.

Avec le c h a n g e m e n t de variable ddfini par

{ , , ~ / } l l z [ ( t _ _ ~ g ) 1 2 ~ L + 5] : ~ ; {'-q~L} 112 d~ : d~ .

il vient, dans (B-3) :

1 / : e J : ~ d ~ . l(t) = e- -J ( t -~g )2]ar 2 7~{,T~L} ~t 2

Mais l ' in tdgrale en ~, qui est paire :

/_:e Z (B-~) I = J~" d~ = 2 eJ~ ~ d~

se t ransforme ais6ment , avec la variable ~ = ~/2-~]= ~ en

une fonction intdgrale complexe de Fresnel. Plus prdci- sdment, h par t i r de la d6finit ion classique :

F+(z) = C(z) -F iS(z) • ~o-ZeJrr/2X 2 d z ,

il vient ici :

Z = ~ / ~ (l + j ) /2 = ~/~- { j } ' / ~ = ~ / ~ - e J = # "

puisque C ( ~ ) = S(cx3)= 1]2. F ina lement , l(t) s 'dcrit :

(B-5) l(t) = e--J(t-~g)~/a~L eJ ~/~ ,"

ce qui redonne bien (55), lorsque tou t le dduomina teu r rentre sous le radical.

Remarque.

En route r igueur, la t ransformde e-Q(u) n ' es t rdguli6re l ' inf ini que lorsque ~ ' > 0. Cette condit ion, si l 'on excepte

certaius probl6mes de f luctuat ions (qui ne sont d 'ai l leurs v@itablement pas traitds par cette m~thode), est tou jours remplie par l 'a f fa ibl issement moyen d ' un guide h grande distance. L ' appa r t enance de ,~L au demi-plan sup@ieur lui est dquivalente et assure alors l 'existence de (B-l), et la convergence de (B-a) et (B-4).

On salt, par ailleurs, que F+(z) a pour domaine de convergence les premier et troisi6me quadran t s du plan complexe z [15J. Comme on vdrifie aisdment, avec (B-6), que

(B-5 bis) F+(z ) _ (1 + i ) erf{~/~-(l - - j) z /2} ; 2

on en ddduit que la fonct ion d 'erreur converge darts les deux nappes opposdes du eSne : largz[ ~ r~]a.

C'est b ien dans ces nappes qu 'on t dtd condui ts t o u s l e s calculs relatifs ~ la seconde pat t ie de cette dtude.

II . L ' intdgrale (56) se d6veloppe, avec (55), (55 bis) et (57) :

OJT~] ~ I ft--t2 E . c - - t ~ - t , 2:-tt,,~ • g2(t) - - { ~ L - ~ 2 [../ -t_ (ta+tm ) ' tin'

f t--(tl +tm) e--('r--g' g)2/O3dv -k e-( ' r-~g)2/G0 dz + ./ t_t2

(tl.f_tm) tm

Avec le changemen t de variable :

( ~ - 2~g) d v Z -- {2~ , ~ L } ~1~ ' dE -- {2zr ,~iL}tl 2

et en posant :

et- (t. + i'2__ Xo = {2n ,~5L }11 ~ ; X2 = Dual Xo : vm _~ tm

[ t - t 2 - - "Gg] Z 1 - - { 2 r : , ~ L } 11~ ; ;(3 = Dual Zx: t2--+ tl

elle se t ransforme en :

e j r r [ { 2 ~ , ~ L } 112 f X x g,(t)-- ~/~ L tm JZo (Z--x~ dx +

Z X . d z + Xz e - J r: Z2/2 lm X

Z X 3 ( X 3 - - x ) e - J ~ x 2 ] 2 d x ] - X2

11/42 A. T~L~:C., 29, n o~ 11-12, 1974

596 J . B R A Y E R . - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D ~ A G R A N D E D I S T A N C E

Avec le nouveau ehangement de variable ~ = j X,

et (59), elle prend la forme :

l 2 ~2e_~2d~ + t,, ~ x g2(t) = }

A ~ ~*12 2 L ~ 3 ( ~ 3 - - ~ ) e - - ~ Z d ~ I t s - _ ' (~ - ~o) e-? d~ + j - ~

En utilisant la fonetion d 'er reur eomplexe ddfinie par :

2/o (B-6) erf(z) ~ e - ~ ~ d~ ,

On int~gre part iel lement l 'expression prdcddente de g2(t) :

g2(O : : Eerf (~,)--erf (~,) + ~)'12 I t-~ [erf (~Ja) - - err (~2) ] - -

~o [erf (~1) - - erf (~o)] + 2 tm "ff~o ~ e-~ ~ d ~ - - tm

2 t., ~ e -~ ~ d~ ,

on peut poursuivre le calcul en intdgrant par parties les deux derniers termes, (.)Qu d v = u v - - 0( 'v d u) avec :

u = ~, du = I ; 2

de = , / ~ e - ~ 2 d~ , v = erf (~) ; * 4

ce qui donne :

(B-7) t ~)'l 2 U

g2(t) : 7 [erf (~z) - - erf(~,)] + ~ L[:'- ~o)] erf(~,) - - 2 t m

L ~ i err(:) d : 7 _ _ ~)i/~ ~3 ~-mlE[~3--~2]erf(~2)-- L erf (~)d~J.

A v e c l a relation bien connue :

/ erf (z) dz = z erf (z) + - ~ e - ~ 2

on met les deux int6grales de (B T) ,apr~s quelques manipu- lations 616mentaires, sous la forme :

~)*I 2 E 2tin [ [ 3 - - [ 9 ] e r f ( ~ 2 ) + ~3 [ e r f ( [ s ) - - e r f (~2 ) ] +

J[ ~2 ~ ~ D I / 2 ~/~- ( e - ~ - - e -~) / - -_ j ~ 2 t., [~' - - ~o] erf (~,) 4-. ~o [erf (~1) - -

erf (~o]) + ~ ( e-~* - - e-~o)

ce qui, compte tenu des termes tout int6gr6s de (B-7), restitue finalement la forme (58) recherch~e.

ce qui montre que le I er terme du crochet de (58) a pour limite :

t~z 2 ff),l~ ~-~ ~1 e -~2 + 01(t/,,) .

De m~me, ~ partir de : t t

2 m~ 1 2 t'm

~ ~ ~ i - - ~ ~, :*" e -~2 m e - ~ e r ,

le second terme de ce crochet a pour limite :

2 ,', ~,] 1 t~,, 2

L'ensemble du crochet associd ~ t;n a done pour limite l ' infiniment petit d 'ordre supdrieur [0~(t~,) + 02(t~,)], ce qui prouve que le second terme de (58) ---> 0 avec t;,,.

b) De m~me, si tm --> O, t --> t, + O(tm) et ( t - - tx) /tm ~+ 0 dans la 2 e ligne de g(t). Ensuite, h partir de

~2 = ~3-- tin/~Dll2 ,

on montrerait , comme pr~e6demment, que le 3 e terme de (59) ~ 0 avec t ....

e) Si t,, et t ' , ~ 0, g(t) se confond avec l ' impulsion rectangulaire de largeur t 2 - - fi ~ T (*), dont la r~ponse (58) se r6duit 6videmment h (60). C'est l ' introduetion de

qui fait passer de (59) h (61).

IV. Si la ligne est id6ale, Im{'i~g}=0 et J[z=a. En prenant deux valeurs de t sym6tr iques par rappor t ~t l 'origine : t = + lit et t = - - I t l , on a, avec (63) et (6Q :

,B-8) q<+[t D=-~Ferf!(2[t[2[ ( aT + T ) ~ / ~ ! , - e r f i ( 2 1 t l a ; , 4 ] 1 7 "

De m~me :

q(--ItI) = : Eerfl. ( - 2 l t ] ~ T ) ~ / ] - 1 _ e r f I . ( - -2 l ' ~TT)4 ] - I J ;

mais eomme erf(z) est impaire, il vient :

(B-9)

= J ) ' / ' = l + erfl'(2]'[ ~ / ) ~ / ] - i ] "

Comme (B-9) est identique ~ (B-8), la parit~ de q(t) est d~montr~e.

Ce r~sultat se g~n~ralise h toute valeur complexe du d~nominateur AzT, puisque erf(z) reste impaire sur son domaine d'existence. La dissym~trie de (63) provient done exelusivement de Im{]~g}, c'est-~t-dire du terme ~6 de la ligne.

I I I . Sit;,, ou t,, tendent vers 0, chacun des termes de (58) ---> 0 par un passage h la limite de la forme 0[0 -+ 0 que nous allons prdciser.

a) Si t',~ -+ 0, on remarquera , dans la L~e ligne de g(t), que t --> t2+ tin--' 0 (t,',), de sorte que ( t 2 J F t m, - - l ) ] t ' m --> O.

Le crochet de (58), associ6 h t~,,, tend aussi vers 0, mais toujours h l 'ordre supdrieur, de sorte que [...][t;, tend encore vers 0.

En effet, ~ part ir de

~o = ~, - t . l ~ ) ' ' 2

et du d6veloppement limit6 :

f ( a - - h) = f(a) - - hf'(a) + 0(h) ,

on peut 6crire : t;~ 2

err (~o) = erf (~,) - - ffp/2 /~ - e - ~ + 0(t~) ,

1.4. G 6 n 6 r a l i s a t i o n a u x f i l tres g a u s s i e n s .

L a c16 de (55) est l ' exp re s s ion (52 bis). I1 en r6sulte que t o u t filtre i n t e rm6d ia i r e d o n t l ' e x p o s a n t de t r ans - fer t est une fo rme q u a d r a t i q u e :

HE(f) = e -[c~

= He(0 ) e--[ci2rcf+cz(2r:f) 2]

(66) = He(0 ) e -Qc(u)

(*) Dont la vraie valeur en t 2 est 1, de fa$on h v6rifier partout (29). Cette impulsion se d6duirait de (25) en posant :

I 1 : t > O, U(t) 0 : t ~ < 0 .

A. T~L]~C., 29, n o~ 11-12, 1974 12/42

J . B R A Y I ~ R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G B A N D E D I S T A N C E 597

s ' adapte i m m 6 d i a t e m e n t h la ligne pr6c6dente, d~s que ses coefficients c~ = al -? jb~ lui assurent sa r6gu- larit6 h l ' inf ini . On l ' appel le alors filtre gaussien g6n6ralis&

Sa r6ponse impuls ive (normalis6e) est :

he(t) ~ - Hc ( f ) /Hc (0 ) - : exp{ - - Qc(u)} .

Celle du syst~me cons t i tu6 pa r le filtre et la ligne s 'en ddduit par convo lu t ion . Pa r exemple, dans le cas d ' u n filtre de d6part , (54) et (13 bis) d o n n e n t :

~2(l) = 1(/) -)(- (hc(t) . 5 ( 0 )

= ( l ( t ) . h e ( t ) ) . ~ ( t ) = lc(t) * '~(t),

&off :

(67) le(/) ~ e -[Q(u)§ .

E n prat ique, il suffit, pou r 6tudier ce syst~me, de remplacer les pa ram~t res (55 bis) par :

i 2 ~ g = l (68) ] (%L + c~) ,

, : B - - 2 j Y i ' + ,

dans routes les formules du paragraphe prdc6dent. En particulier , son t emps de p ropaga t ion de groupe est :

Im {~g} = tg(fo) + b~.

Cette t echn ique de calcul se gdn6ralise h route une chaine de filtres gaussiens qui pour ra ieu t d6crire les 61dments du syst~me :

~;g = ~ (7;L + 2] c~(~)), (68 bis)

- - 1 2 c2(~)1

et dont nous r e t rouve rons u l t~r ieurement une applicat ion i m p o r t a n t e avec u n filtre de forme au d6part et un filtre dgaliseur de t emps de propaga t ion de groupe h l 'arr ivde.

A l 'aide de (68), et en fa i san t L = 0, on d6dui t de (55) la r6ponse impuls ive d ' u n filtre gaussien :

1 e_(t+jcl)s]4% (69) hc(t) -- (4~ e s } * / s "

De m~me, on p e u t d6duire de (58) tou t m o d u l a n t g(/) co r respondan t h u n s ignal iddal f(l), susceptible d '6tre reprdsent6 par (57). E n part iculier , si on re t ien t pour f(/) le s ignal r ec tangu la i re p~.( t -- to) du paragraphe 1.2 (avec t o = t, -k TI2), l ' impuls ion centrde (h l '6poque t 0' ~- t o + b~) qu i eu r6sulte est, d 'aprbs (63) :

1 [ 12t+ T+ 2ja~) (70) g(/) = ~ erf 4 (c2}'12 t +

l erf 4 {c~}t/s "

Le ea leula teur p e u t ainsi former ehaque m o d u l a n t g(t), d~s que sa b ib l io th~que de programmes est mun ie des fonctions exp (z) et erf (z). I1 eonst ru i t alors syst~- m a t i q u e m e n t , selon les ind ica t ions du paragraphe 1.2.3-III, sa forme r6dui te g(l)/g(0). Dans le eas de (70), la va leur au cent re :

pour ra i t 6tre complexe. Mais comme on impose toujours (pour ne pas cr6er de dis torsion de phase au d6part ) la condi t ion b 2 = 0, la quan t i t~ (c2}112 est r6elle. I1 en r6sulte, pu i sque erf(z*) ~ (e r f (z ) )* ,

que g(0) reste rdelle, V a 1 . Nous avons utilisd, pour l ' 6 tude de la distorsion

in t e r symbole produi te par la ligne, quelques impul - sions gaussiennes rdelles (a 1 = 0). Leurs propri6t6s se ddduisent dv idemmen t de (70) ; mais il est commode, pour expl iquer leur fo rmat ion , de revenir h la fonct ion de t rans fe r t or iginale (normalis6e) du filtre. E n effet, elle a pour module , d 'apr~s (30) et avec 0 r (2r: ) 2 a s :

H(f) I H e ( f - - f~) = e_~c(f_fl)2 . H(fi) = I He(0)

Mais comme on peu t encore 6crire, eu i n t r o d u i s a n t la ba nde h 3 dB (AfB) du filtre :

H(f) 2 e_loge2(f_fi)Sl(AfBi2)2

= e--aloge2T2(f--fl)S/(AfBT)~ ;

il existe, ddduite des deux r6sul ta ts ci-dessus, la re la t ion :

~t = (~/2 1oge 2 T I A f B T ) 2 ,

condu i san t h poser : a 2 = (z2T) s, avec :

Z= = ~ A f B T .

La forme prise par l ' impu l s ion , pour une rapidi t6 de m o d u l a t i o n donn6e, ne d~pend donc que du param~tre ut i le A f B T , don t quelques valeurs l imites sont pr~- cisdes en t ab l eau II.

TABLEAU II Caracldristiques principales des impulsions gaussiennes

(rapiditd de modulation : 290 MBaud)

N o 22_'

2 T[2 3 T]2 4 IT[2

AfBT

1 2,5 0,85

Zs

0,187390 0,074956 0,220459

g(0)

0,943401 0,999997 0,891224

On a rassembld, en figure 2, quelques impuls ions rdduites d i rec tement visualis6es par tab le t ragante . On y v6rifie que l ' impu l s ion gauss ienne n ~ 2 (qui servira souven t de rdf6rence, parce qu 'e l le correspond h A f B T = 1) est tr~s proche de l ' impu l s ion fonda- m e n t a l e (*) :

1 sin [(2~] T) (t--t1--T)] (70b i s ) g ( t ) = 4 ( t _ t l _ T ) S ,. �9 .,,, . , t 2 7 : / T ~ ( t - - t l - - T ~ �9

1 T 2

(*) Dite ~ raised-cosine ,,.

13/42 A. T~L~C., 29, n ~ i l - 1 2 , 1974

5 9 8 J , B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G B A N D E DISTANClq-

{U.N.)

1,00

0,75

0,50

0,25

0,00 1,0 115 2,0 ',~ 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

FIG. 2. - - Quelques impulsions de base. 0) : impulsion dite raised-coslne ; (~ et (~ : impulsions gaussiennes n os 2 et 3 ; en pointilld : impulsion reetangulaire de r6f6renee.

Son 61a rg i s semen t es t d o n e t rbs p r o c h e du m a x i m u m

to ld rab le , e t le t r a cd de l ' i m p u l s i o n n ~ 4 c o n f i r m e r a i t

q u e t o u t e v a l e u r A f B T < 1 n ' a gu~re d ' i n td r~ t , en p r a t i q u e .

L ' i m p u l s i o n n ~ 3 es t b i en me i l l eu re , m a i s sa l a r g e u r de b a n d e es t t e l l e m e n t i m p o r t a n t e q u ' o n do i t la

cons iddre r , en p r a t i q u e , c o m m e un cas l i m i t e e x t r e m e de rda l i s a t i on .

On u t i l i se , a v e c la m d t h o d e d i r ec t e d ' i n t d g r a t i o n ,

b i e n d ' a u t r e s i m p u l s i o n s de d6pa r t . N o u s n e d iseu-

t e r o n s pas ici de l e u r eff icaci td r e l a t i v e ; m a i s il es t

u t i l e de s i g n a l e r q u ' u n e i m p u l s i o n d i t e en cos inus surd levd, d ' e x p r e s s i o n rddu i t e :

(70 ter)

0

1 [1 - - cos[7: (t - - t i ) / k T ] ]

1 g(t) =

1 [ l ~ c o s [7:(t~+ T [ I + Z ] - - t ) / k T ] ]

: t < t i ,

: t~<~t<~ti+kT,

: l l+XT<~t<~ q + T,

: tl+T<-..t<-..tl+ T(1 § X),

: t i § T(1 § X) ~<t,

e t de p a r a m ~ t r e k = 0,455, r e s t e p r a t i q u e m e n t con-

f o n d u e , t o u t le l o n g des f lancs d e s c e n d a n t s , h l ' i m p u l - s ion g a u s s i e n n e n ~ 3.

S E C O N D E P A R T I E

PRINCIPAUX RI~SULTATS DE L'APPBOCHE ANALYTIQUI~.

norma l i sde r'(t) = ~ ( t ) e x p (~0(t)) se r ep rdsen te , se lon

le m o d e de m o d u l a t i o n ut i l i sd , p a r l ' u n e des exp re s - s ions :

(71) 7 (0 = ~_~ anq(t - - n T ) (OMA) n;N

(72) ~'(l) = 1 § Z (e j(I)n - - 1) q ( t - n T ) (OMP) n;N

L ' i n f o r m a t i o n n u m d r i q u e e s t t r a n s m i s e , en m o d u -

l a t i o n d i f fdren t ie l le , p a r les v a r i a t i o n s m ~ m e s de la

phase 0(/). Cel le -c i n ' a d6 j~ plus , au ddpa r t , Fa i l u r e iddale de tF(t) [cf. (34)] , c a r le fi l tre de f o r m e lu i

impose , h c h a e u n de ses sau t s , un t e m p s de t r an s i -

t i on d d p e n d a n t , h la fois, de g(t) et de k. N d a n m o i n s ,

ce de rn i e r r e s t e b i e n t r o p fa ib le p o u r m o d i f i e r les

phases d i f fdren t ie l les (of. w 1.2.3-3) e t cel les-ci res t i -

t u e n t p a r f a i t e m e n t le m e s s a g e au ddpar t .

T o u t le l o n g d u p a r c o u r s , e t h cause de la loi de d i spers ion du gu ide , l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e se dd fo rme ,

de sor te que c h a c u n e des p h a s e s s ign i f i ca t ives (au

c e n t r e des i m p u l s i o n s ) c o n v e r g e , h g r a n d e d i s t a n c e ,

ve rs sa v a l e u r a s y m p t o t i q u e . C o m m e t o u t e s ees p h a s e s

l imi te s s o r t d q u i v a l e n t e s (h 2 kT: prbs) h u n e p h a s e de v a l e u r nu l le , on c o m p r e n d q u e la n o t i o n de p h a s e

d i f fdrent ie l le d i s p a r a i s s e p r o g r e s s i v e m e n t le l o n g de

la l igne, et c ause a ins i des e r r eu r s s y s t d m a t i q u e s de

t r a n s m i s s i o n l i m i t a n t i n d l u c a t b l e m e n t la p o r t d e du

sys t~me.

P lus p r d c i s d m e n t , ce s o n t les p a r a m ~ t r e s ~ e t ~6g,

v a r i a n t r e s p e c t i v e m e n t c o m m e ~/L- e t L [of. (61) e t

(55 his)], q u i d d g r a d e n t 0(t) en d 6 f o r m a n t c o n t i n f i m e n t

sa f o n c t i o n g d n d r a t r i c e q(t). Q u e l q u e s - u n e s de l eurs

va l eu r s ( s y s t d m a t i q u e m e n t r a p p o r t d e s h la d i s t a n c e

uni td) , e t qu i v o n t b i e n t S t nous ~tre u t i les , s o n t r a s sembldes en t a b l e a u I I I .

TABLEAU I I I Valeurs des param~tres Jt et ~ g , pour L ~ 1 km

(T ~ 3,448 ns)

A f0 (en GHz) ~ g (en ns)

35

42

55

77

0,6905 q- j 4,7017.10 -5 3 408,6734 § j 1,1658" 10 -3

0,5198 -}- j 4,2546.10 -5 3 385,1131 - - j 3,3789-10 -a

0,3435 § j 7,3830.10 -5 3 363,2366 § j 3,0126-10 -a

0,2061 § j 1,6645-10 -a 3 348,4900 q- j 3,0567.10 -~

II.1. La phase asymptot ique et ses d6termi- nat ions.

A t o u t m o d u l a n t w ( t ) ~ ~(t) exp (j~0t)) ddf ini p a r

(39) ou (40), l a l igne f a i t c o r r e s p o n d r e , h l ' a r r i vde ,

un s igna l a n a l y t i q u e d o n t l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e

N o u s r e v i e n d r o n s , d a n s un p r o c h a i n p a r a g r a p h e ,

sur le r61e de q ( t ) ; m a i s ce lu i du p a r a m ~ t r e de dis- t o r s ion d e v i e n t 6 v i d e n t d~s q u ' o n rddu i t le t r a i n h

une i m p u l s i o n u n i q u e de p h a s e n o m i n a l e ( l ) ~ 2/7z. E n effet, ce l le -c i a p o u r e n v e l o p p e c o m p l e x e , d ' ap r~s (72) :

~(t) : 1 § (e j r : /2 - - l ) q(t) ;

A. T~L~C., 29, n o8 11-12~ 1974 14/42

J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 599

et donc p o u r v a l e u r au c e n t r e :

(73) ~(0) = 1 - - (1 - - j) q(0) = 1 - - ~/~- e - - i = / i q (0 ) ,

en p r e n a n t [cf. (63)] :

(74) q(0) = (1/2) [err (zu(0)} - - erf {zl(0)}].

Ce t te q u a n t i t ~ est u n e f o n c t i o n de L q u i t e n d vers l ' o r ig ine , h g r a n d e d i s t a n c e , c o m m e l ' i n d i q u e la f igure 3 [cf. A n n e x e C-I). I1 en r6su l te que (73) p e u t

-1

-1.

Im

,Sm~&..%"'"$'""~ .....

~ 50km

20

Re

F I ~ . 3 . - - E v o l u t i o n , e n f o n c t i o u d e l a d i s t a n c e , d e s v a l e u r s au centre q(0) et F(0).

. . . . . . . . . . : q(O) ; : ~'(o) (AO k = ~) ; fo = 3 5 G H z ; T = 3 , 4 4 8 n s .

s 'dcrire, avec (C-4) :

(75) F(0) ~ 1 - - ~ = 1 + ~ ~ e i [ = - - a r g { A } ] .

L ' a r g u m e n t de A r e s t a n t t o u j o u r s , d ' ap r~s (C-6), compr i s e n t r e 0 et 7:]4, le h o m b r e c o m p l e x e ~(0) t e n d n d c e s s a i r e m e n t vers 1, p a r la gauche , e t au -dessus de l ' a x e rdel, l o r s q u e ]A] d e v i e n t tr~s g r a n d . On en dddu i t q u e la phase 0(t) associde h �9 = 7:]2 a p o u r v a l e u r a s y m p t o t i q u e 0.

Si l ' o n a v a i t pr is (I) = 7:, au l ieu de 7:]2, il a u r a i t f a l lu p a r t i r de

(76) 7(0) = 1 -- 2 q(0) ;

d o n t les v a r i a t i o n s s o n t i n d i q u d e s f igure 3. On y ver i f ie alors que 7(0) t e n d ve r s 1, sous l ' a x e r6el, avec u n ang le de - - 1 3 5 ~ . L a p h a s e associ6e fi O = 7 : a donc p o u r v a l e u r a s y m p t o t i q u e 2 n .

E n f i n , en a d m e t t a n t d p = 37: /2 , il v i e n t :

7(0) = 1 - - (1 + j) q(O) = I - - %/~- e i n /~ q(O),

que (C-4) t r a n s f o r m e en :

(77) 7 ( 0 ) ~ 1 - - ~ j = 1 + ~x

2 e i [ = + (rr/2)-arg{A}] I~1

L ' a p p r o c h e de 1 se f a i t ce t te fois h gauche , sous l ' axe r6el, de sor te que la v a l e u r a s y m p t o t i q u e de 0(t), h g r a n d e d i s t ance , es t encore 2 7:.

F i n a l e m e n t , la phase a s y m p t o t i q u e au c e n t r e d ' u n e i m p u l s i o n u n i q u e es t nu l l e , h u n e d d t e r m i n a t i o n de 2 7: r a d i a n s pr~s.

Ce r 6 s u l t a t se g6n6ra l i se h la t r a n s m i s s i o n d ' u n t r a i n n u m 6 r i q u e , b i e n que c h a c u n e de ses i m p u l s i o n s in t e r f e re a lors 6 t r o i t e m e n t avec celles qu i l ' e n t o u r e n t . La phase au c e n t r e ( pou r une v a l e u r (lbn donn6e ) d e v i e n t u n e f o n c t i o n m u l t i f o r m e d u t e m p s , d o n t la v a l e u r a s y m p t o t i q n e res te nu l le , m a i s grace h u n e d 6 t e r m i n a t i o n 2 kT: d i r e c t e m e n t li6e h l ' 6 c r i t u r e d u message . C o m m e il en est a ins i V n, les phases diff6- ren t ie l l es p e r d e n t u n e h u n e l eu r v a l e u r n o m i n a l e , et t e n d e n t t o u t e s p r o g r e s s i v e m e n t ve r s z6ro.

C e p e n d a n t , m a l g r ~ ce t t e d i s to r s ion , 0(t) c o n s e r v e assez l o n g t e m p s la t r a ce in i t i a l e d u message . P l u s e x a c t e m e n t ce lu i -c i est soumis , d~s le d6pa r t , h u n e ddformation c r o i s s a n t e ( in te r f6 rence e n t r e s y m b o l e s , p a r e x e m p l e ) due h l ' e f fe t d ispers i f de la l igne . I1 s u b i t ensu i t e u n e destruction s y s t 6 m a t i q u e qu i r6sul te , h la fois, des d6fec tuos i t~s de la l igne e t d ' u n e d6gra- d a t i o n c o n t i n u e de son spec t re (b ru i t s , a b s o r p t i o n p rogres s ive des f r6quences tr~s 6lev6es, etc.) . L a d 6 f o r m a t i o n j o u e u n rSle essent ie l d a n s la d e s t r u c t i o n du message , ca r ce n ' e s t que lo r sque les c h a n g e m e n t s d ' 6 t a t s o n t d6jh sub i u n e r 6 d u c t i o n , s u f f i s a n t e , que les t r a n s i t i o n s c o r r e s p o n d a n t e s p e u v e n t se d d n a t u r e r de fa~on i r r6ve r s ib l e ; et r e n d r e a ins i le m es sage t o t a l e - m e n t i n in t e l l i g ib l e . P a r c h a n c e p o u r le gu ide , les dis- t a n c e s c o r r e s p o n d a n t ~ ce c o n d i t i o n n e m e n t d6f in i t i f s o n t l a r g e m e n t sup~r ieu res au pas de r6g6n6ra t i on . L a c o r r e c t i o n de phase , qu i n ' a g i t a lors p r a t i q u e m e n t que p o u r c o m p e n s e r les d 6 f o r m a t i o n s , es t g 6 n 6 r a l e m e n t tr6s efficace. Mais il f a u t c e p e n d a n t r e m a r q u e r qu ' e l l e n ' e m p ~ c h e :

a) n i u n e c e r t a i n e r ~ d u c t i o n s y s t 6 m a t i q u e des sau t s de phase , c r o i s s a n t avec la d i s t a n c e (h cause de ses p rop res i m p e r f e c t i o n s ) ;

b) n i l ' a c t i o n effect ive de t o u t e s les d i s to r s ions rdsi- duel les p r o v e n a n t des d~fec tuos i t6s m 6 m e s de la l igne .

I1 ex i s te donc , m a l g r 6 sa pr6sence , u n e l i m i t a t i o n a u x poss ib i l i t 6 s de t r a n s m i s s i o n du guide .

N o u s r e v i e n d r o n s u l t 6 r i e u r e m e n t su r ce p r o b l ~ m e f o n d a m e n t a l e t d o n n o n s , f igure 4, u n e x e m p l e s imp le de d 6 f o r m a t i o n s . I1 suppose , en m o d u l a t i o n b i n a i r e , n n t r a i n de 9 i m p u l s i o n s d o n t le m o d u l a n t , c o n s t r u i t su r l ' i m p u l s i o n g a u s s i e n n e n ~ 2, a p o u r phases s ignif i - ca t ives : 0, 0, 7:, 0, 7:, 0, 0, ~, 0 (*). Le p a r a m ~ t r e de d i s t o r s ion 6 t a n t ici t r~s i n f luen t , les phases (I)_~, q)0, (I)a assocides h 7: a t t e i g n e n t d6jh, h 7,5 k m de p a r c o u r s (cf. Fig. 3), des v a l e u r s p roches de 37: ]2 . C o m m e les v a r i a t i o n s de 0(t) s o n t n d e e s s a i r e m e n t m i n i m a l e s , les

(*) L a t a b l e t r a q a n t e a f o n c t i o n n 6 , p o u r c e t t e 6 t u d e , e n v a r i a b I e �9 = tiT s t r i c t e m e n t p o s i t i v e . L ' i m p u l s i o n c e n t r a l e d u t r a i n e s t d o n c t r a n s l a t 6 e a u c e n t r e d e l a f e u i l l e , c o m m e p a r e x e m p l e e n 3 ,5 s u r l a f i g u r e 4 B . E l l e y r e s t e , f i g u r e 4 A , g r ~ c e a u d 6 c a l a g e d e l ' o r i g i u c , d ' u n e u n i t ~ ~ d r o i t e .

15/42 A. TEL~C., 29, n ~ 11-12, 1974

6 0 0 J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

Phase

2rr -

, /I [ !l I I Jl ................ t i : i k

i(..~,o=) .4 k i Y -~ /

: J / 't, X 't, o ~ , .,-," / I \ /" I I \ ~ / . I I \ \ ~ ~_

- 3

Fro. 4. - - Exemple de var ia t ions de la phase cont inue 0(t). A : phase v~ritable ; B : phase corrig~e; eu tiret~s : suite symbolique des impulsions g ( ~ - n) de

contr61e; [o = 35 GHz; rapidit~ de modulation : [r = 290 Mdgabaud.

phases (b_z, (bz et (b2 p r e n n e n t la dd te rmina t ion 2n ,

t and i s que (b-4, (b-a et (b4 d e m e u r e n t dans le vois inage du zdro nominal . I1 se prdpare ainsi la fo rmat ion

d ' u n e impuls ion unique , don t les 9 composan tes v o n t

deveni r , h tr~s g rande dis tance, p r a t i q u e m e n t impos-

sibles h s6parer.

En u t i l i san t un saut de 7:/2 au lieu de 7:, la phase associ6e h (bn = 0 serai t rest6e un i forme, et le t ra in

se serai t 6crasd sur l ' axe des t emps . De m~me, en

m o d u l a t i o n qua te rna i re , p lus ieurs combinaisons au- r a i en t pu s 'obtenir , avec diffdrents paliers, selon

l ' o rd re des 61dments du message.

Les var ia t ions de la phase con t inue posent , dans cer ta ins cas, des probl~mes d6licats d ' in te rpr6 ta t ion . On p e n t les r6soudre en o b s e r v a n t les oscillations

qu ' e f fec tue au cours du t e m p s l ' e n v e l o p p e complexe

~(l). Ce sont des sortes de spirales, plus ou moins dtoi-

Ides, qui se d~forment avec la d i s tance et don t les t rans-

fo rma t ions successives sont carac t~r i s t iques du signal

et de son dvolut ion. A t i t r e indicat i f , l ' enve loppe

g6n6ratr ice du t ra in prdcddent est reprdsent6e figure 5. Les 6poques centra les des impuls ions y sont numd-

rot6es de 1 h 9 (dans l ' o rd re croissant du temps, c o m m e indiqu~ sous l ' axe imagina i re ) e t le point

(1 + j 0) est le po in t d ' a c c u m u l a t i o n pr6cddant

l ' a r r ivde du message. On vo l t n e t t e m e n t c o m m e n t la

spirale, en passan t de 3 h 4, en toure l 'o r ig ine dans le sens positif , e t donne na issance h la ddtermi-

na t ion 27: de la figure 4 A. Les oscil lat ions post6- r ieures, n ' i n c l u a n t pas l 'or ig ine , conse rven t pa r t ou t

ce t t e d6 te rmina t ion sup6rieure. Le r e tour de 8 h 9 neu t ra l i se la boucle pr6cddente , et ram~ne 0(t) h sa

dd t e rmina t ion pr incipale ; la fin du message s'effec-

t u a n t pa r une seconde a c c u m u l a t i o n sur (1 + j0).

, 'd / g

5

- - 0 0 1 0 1 0 0 1 0 " 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FIG. 5. - - Reprdsentation de l'enveloppe complexe ~'(t) associ~e h la figure 4 A.

Nous rev iendrons sur les t r an s fo rm a t ions de ce t te

enveloppe , mais on p e n t ddjh affirmer, pu isque son

cent re 5 suit la figure 3, qu 'e l le a pivot~ sur el le-mSme

d ' e n v i r o n n /2 , t andis que ses branches 4 et 6 se

d6 tenden t p rog res s ivemen t pour rddnire la spirale (h tr~s grande dis tance) h une por t ion d ' a rc presque

ponc tue l le au vo is inage immdd ia t du po in t d 'accu-

mula t ion . Dans ees condi t ions , le ba l ayage de l 'ori-

gine et les changemen t s de dd te rmina t ion sont

indvitables. Quelles que soient ses var ia t ions , la phase cont inue

ne p e u t ~tre reprdsentde, sur t ab le t ra~ante , qu ' en

dd te rmina t ion principale . On dol t done r amene r

s y s t d m a t i q u e m e n t h l 'o r ig ine rou t e va l eu r supdrieure 2 ~ et order ainsi des discont inui tds apparen tes

de la phase. E n fair, comme les phases ndgat ives sont

indvi tables , 0(t) est t racde sur la bande : ] - - 7: ; 2 7:[, e o m m e le m o n t r e la figure 4 B. E n pra t ique , ce t t e opal-

r a t ion est beaucoup plus ddlieate qu ' i l ne para i t . T o u t

d ' abo rd , en p a r t a n t de l ' e n v e l o p p e ~(t), le ca leu la teur ne p e u t conna i t r e 0(t) q u ' e n t r e - - ~: et 7:. I1 fau t done

ins ta l ler un sys t~me de tes ts logiques, eontr616 par le

message et un ealeul de var ia t ions , pour res t i tue r h

0(t) sa cont inui td vdr i tahle . L ' exdcu t ion des tracds

diff~re ensuite avec le mode de m o d u l a t i o n utilisd.

En binaire , c o m m e en m o d u l a t i o n d ' a m p t i t u d c , on

symhol ise l 'dcr i ture du message par des impuls ions

de contr61e et on effeetue, dans eer ta ins cas, un re tour a u t o m a t i q u e h la dd te rmina t ion de base (zone de

reeentrage) , lo rsque (bn = 0. Ces correct ions, ddtail-

1des figure 4 A, sont mani fes tes figure 4 B. E n qua- te rnai re , on laisse la phase f luc tuer a u t o u r de ses

n iveaux de codage, reprdsentds par q u a t r e paliers h o r i z o n t a u x dga lement eontr616s par le message. Dans

tous les cas, h cause des t rans i to i res lids aux impuls ions

flancs raides, des oscil lat ions dues h t e r ra ins compo-

A. T~L~C., 29, n ~ 11-12, 1974 16/42

J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 601

sants (filtres, etc.), et des rdactions de la l igne ou du signal aux l imites m6mes de fonc t ionnement , cette correction a u t o m a t i q u e de 0(t) prdsente quelques difficultds, d o n t nous souhai tons que le lec teur se rendre compte dans les rdalisations qui von t lui ~tre soumises.

A N N E X E C

II. Quel que soit le ffltre de forme, (68) s'dcrit :

~ = (1/2) [-- ~ : + J (~o+ 2 adL) ] .

Comme a 2 et - - [3 o' sont essentiellement positifs, ~ appar- tient ndcessairement au premier quadrant du plan complexe (cf. Annexe B-I). I1 en rdsulte, d'apr6s (61), que l 'argument du param6tre de distorsion A vdrifie la relation, quel que soit L :

(C-6) 0 ~ arg {A} < r~/~.

I. Les arguments de (74) s'dcrivent, avee (6~) :

(cq) Zl{O) = _ ~ - ~ a + 2 J I T { ~ ' } ~

A Ce sont, ~ travers Y~ et ~ , des fonctions de L.

a) Admettons tout d'abord que Im{~g} puisse 6tre (pour simplifier) ident iquement nul. II vient alors :

(C-2) q(0) = e r f{~ / j - /~ ) ,

soit encore, en ddveloppant err0 ~ l'origine :

(C-3) q(0) ~ 2~/j-/~/~-A.

Cela prouve que q(0) -+ 0 lorsque L -~ ~:), avec la phase (7:]4--arg{A}). Mais comme arg{A} reste ndgligeable (cf. tableau III), on peut affirmer que q(0) tend vers l'origine en conservant, comme direction asymptotique, celle de la premi6re bissectrice du plan complexe reprdsentatif.

Remarque.

Si on utilise (68), arg{A} peut n'~tre plus n6gligeable aux faibles valeurs de L. Mais sa valeur asymptotique reste la m~me, et (C-3) s'applique encore sans restriction.

b) Dans le cas gdndral, Im{23g} est ~ 0. Mais il est facile de montrer, h l 'aide du tableau III , que laquant i t6 [2 Im {~g}/T I reste ndgligeable devant I tant flue L ~< L M , L~ dtant une distance maximale largement supdrieure un pas de rdgdndration. Par exemple, ~ 35 GHz, il vient 2 Im {"~g}IT < 3 , 6 : - t 0 -2 , d6s que L ~< L M = 50 kin. On montrerait encore que L M peut varier, en fonction de la ligne et de la frdquence, entre 50 et 300 km environ.

I1 est donc justifid de ddvelopper (76) ~ l'origine, et d'dcrire ainsi :

(C-~) q(0) ~ (~12) [ ( 2 1 ~ - ) z~ (0 ) - (2&/~) z~(0)] ,

= 0 1 4 ~ - ) [z~(0)- z,(0)],

puisque les quantitds en Im {'~g} se neutralisent deux deux dans la diffdrence des arguments.

Finalement, t an t que L crolt en restant infdrieur ou de l'ordre de grandeur de L ~ , q(0) tend toujours vers l'origine en iongeant la premi6re bissectrice. Ce rdsultat fonda- mental a pu ~tre vdrifi6 ~ l'aide d'une intdgration numdrique par TRF, sur 10 GHz de bande (cf. w IA). I1 est donc essentiellement d~ h la loi de dispersion du guide, et non aux propridtds analytiques de erf(z).

Remarque.

On pourrait 6tre tent6 de rechercher la limite rigoureuse de q(0) h l 'iufini, en uti l isant Im {~g} ~ - - ~ L -~ ~:). En fair, cette op6ration n 'a pas de sens, puisque q(t) a 6t6 centrd sur Re (Z;g} = tg(/o), et non ~g lui-m6me. Mais par l'artifice d 'un temps complexe, on retrouve le rdsultat prdcddent, rigoureusement.

II.2. Retour sur les impulsions gaussiennes et le fonctionnement g6nfral de la ligne.

E n modu la t i on d ' a m p l i t u d e , la fonct ion g~n6ra- trice q(t) s ' ob t i en t en fa isant , dans (71) :

N = 1 ; n = O; a o ~ 1.

Le calcul donne alors, avec une impuls ion gauss ienne pr6vue pour un sys tbme h 290 M6gabauds ( T = 3,448 ns) les r6ponses ~ ( t ) = Iq(t)l rassembl6es figure 6. On y cons ta te i m m d d i a t e m e u t l ' impor t ance de la dis torsion d ' a m p l i t u d e subie par l ' impuls ion , puisque sa d is tance cr i t ique Lc (*) ne d6passe gudre 5 km (cf. t ab leau IV), t and i s que sa forme mSme a p r a t i q u e m e n t d isparu au-delh de 30 km.

TABLEAU IV Variations de la largettr normalisde "~6 & 6 dB

el du taux d'interfdrenee intersymbole p (triplet 101) (fo = 35 GHz ; impulsion gaussienne n ~ 2 : T = 3,448 ns

L (km) "v~ = T ' / T p = R(0)/R(1)

0,5 1,5 3 5 6,5

10 15 30 50

1,02 1,06 1,34 1,93 2,39 3,57 > 4

0,083

0,474 0,949 1,324 2,787 2,201 1,197 1,074

Distance critique (km) Lc = 5,40 Lc ~ 3,20

Ces rdsul tats ne do iven t pas surprendre , pu isque cer tains t r a v a u x (d6jh anciens) on t mont rd que la t ransmiss ion directe d ' impu l s ions hau te frdquence n ' e s t v r a i m e n t possible (dans la bande des 35 GHz, et sur guide de 50 m m de diam~tre) que lorsque leur durde T est supdrieure, ou dgale, h 10 ns. D'ai l leurs , dans ee dernier eas, une es t ima t ion rapide de L c ,

par (62), donne 45 k m environ. La correction de phase

(*) La distance critique est atteinte lorsque la largeur T' de l'impulsion, ~ mi-hauteur, dgale 2 T. L'exploitation normale de ce signal binaire, en modulation d'amplitude, est alors impossible.

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6 0 2 J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

Amplitude Amplitude r~duite

0,5

-2 -I 0 I �89

FIG. 6. - - R6ponses R(t), en m o d u l a t i o n & a m p l i t u d e , h l ' impu ls ion gaussienne n ~ 2. fo -- 35 G H z ; T = 3,448 n s ; L 'u t i l i sa t ion de deux 6chelles permet d 'apprdcier l 'erreur commise par Ia non-

r6duction de l ' impulsion.

de l a l i gne c o m p e n s e 6 v i d e m m e n t , d a n s les s y s t ~ m e s

a c t u e l s , c e t d t a l e m e n t de q(t) . C e p e n d a n t , h c a u s e de

l a d i s t o r s i o n r 6 s i d u e l l e d e p h a s e e t de l ' i n f l u e n c e de

< A y ( f ) > L, l a d i s t a n c e c r i t i q u e s u b s i s t e enco re ,

m a i s c o n s i d 6 r a b l e m e n t am61iorde.

E n m o d u l a t i o n d i f f d r e n t i e l l e , c ' e s t le j e u d e b a s c u l e

o r g a n i s d p a r q(/) , a u s e c o n d m e m b r e de (72), q u i

c o n d i t i o n n e l a p h a s e de l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e ~(t) . I1

d d p e n d d o n c de la f o r m e de l a g 6 n d r a t r i e e e t l a

f igure 7 i n d i q u e , p o u r (D o ~ ~:, les v a r i a t i o n s de l a

p h a s e c o n t i n u e 0(t) q u i c o r r e s p o n d a u x l o n g u e u r s

p r d c d d e n t e s de l a l igne . O n y c o n s t a t e u n e am61io-

r a t i o n i m p o r t a n t e de l a r d p o n s e , p u i s q u e l a d i s t a n c e

c r i t i q u e p a s s e de 5 ,4 h 11 k m e n v i r o n (*).

I1 e s t i n d i s p e n s a b l e , a v a n t de p o u r s u i v r e l ' 6 t u d e

de ces i m p u l s i o n s , d ' i n t e r p r d t e r , h l ' a i d e des v a r i a t i o n s

de l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e ~( t ) ~ 1 - - 2 q( / ) r e p r o d u i t e s

f igure 8 (**), le c h a n g e m e n t de d d t e r m i n a t i o n f o n d a -

m e n t a l de la f i gu re 7.

A l ' e n t r d e d e l a l i g n e , l ' e n v e l o p p e q( t ) se c o n f o n d

a v e c l a f o r m e r d d u i t e de (70) e t ~(0) ~ - - 1. Si l ' i m p u l -

s ion p o u v a i t 8 t r e r e c t a n g u l a i r e , son p o i n t f i g u r a t i f

s ' a c c u m u l e r a i t s u c c e s s i v e m e n t : s u r - - 1 p o u r t i n t 6 -

r i e u r h l ' i n t e r v a l l e [ - - T/2, T/2] e t H- 1, p o u r t ex t6 -

r i e u r h c e d e r n i e r . L a s p i r a l e s e r a i t a in s i r 6 d u i t e h c e s

d e u x p o i n t s d ' a c c u m u l a t i o n . Mais c o m m e q(t ) e s t d ' a l -

l u r e c o n t i n u e , sa s p i r a l e q u i t t e § 1 d~s l ' a r r i v d e d e l ' i m -

p u l s i o n , fr61e l ' a x e rdel e n p a s s a n t a u - d e s s u s de l ' o r i -

g ine e t r e j o i n t le p o i n t - - 1, p a r des sous , l o r s q u e t ~ 0.

(*) En modula t ion diff~rentielle de type binaire, la distance crit ique est a t t e in te d6s que la valeur absolue de la phase diffdrentielle est inf6rieure h [A~/2] .

(**) Si q(0 dtai t sym6tr ique, le trac6 de 7 ( 0 serait la super- position rigoureuse des deux parcours identiques : l < 0, t > 0. En faR, il ne l 'es t pas (of. Annexe B-IV) et les trac6s exacts aura ient la forme indiqude, en pointill6, pour L ~ 30 kin. Pour simplifier les trac6s, les seuls parcours ! > 0 sont repr~- sent6s figures 8, 10 et 13.

2 ~ 7 t Phase (Rad) ~ l o k m

-1 0 1 T FI~. 7. - - R~ponse 0(l) h l ' impuls ion gaussienne n ~ 2 (modu-

lat ion de phase b inai re : r = ~). f0 = 35 G H z ; T = 3,448 ns.

Le t r a c 6 de r e t o u r , p o u r t > 0, se c o n f o n d p r a t i q u e m e n t

a v e c cc lu i de l ' a l l e r e t s ' e n r o u l e s u r -}- 1, h l a f in d e

l ' i m p u l s i o n , p o u r a c h e v e r l a s p i r a l e de d ~ p a r t .

T o u s ces t r a c 6 s o n t p o u r e n v e l o p p e c o m m u n e l a

c o u r b e 7 (0 ) de l a f i g u r e 3, q u i s e r t de r6 f6 rencc , e n

c o u r s de p r o p a g a t i o n , h l a p h a s e c e n t r a l e d u t r a i n .

D~s q u e la d i s t a n c e a u g m e n t e , le p a r a m b t r e de d is -

t o r s i o n i n t c r v i e n t e t m o d i f i e p r o f o n d 6 m e n t l a s p i r a l e

i n i t i a l e . E l l e d6co l le t o u t d ' a b o r d de l ' a x e r6el

L = 0,5 k m ) , p u i s p i v o t e s u r e l l e - m ~ m e e n q u i t t a n t

A. T~LL.c., 29, n ~ 11-12, 1974 18 /42

J . B R A Y : E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 603

./...-...

/ - / /

// \ k

~ - 0 5 ,

|m

~,5

0 ,5

15km

3ok~,% \ o

o \

FIG. 8. - - ReprGsentation de l 'enveloppe complexe F(t) asso- ciGe h la figure 7 ; on a report~ sur les trac~s, pour faciliter leur contrGle, los ~poques principales : - - 2, - - 1, 0, 1, 2

figurant sous l ' impulsion en pointilld.

de plus en p lus t S t ( resp . . . . r e j o i g n a n t ... t a r d ...) son p o i n t d ' a c c u m u t a t i o u ( p h ~ n o m ~ n e de l 'G ta l emen t )

e t se c o n d e n s e enf in , p e t i t h pe t i t , sur son p o i n t

a s y m p t o t e + 1. I1 e x i s t e d o n c u n e d i s t a n c e t e l l e

q u ' e l l e ddpasse , au cou r s de c e t t e r o t a t i o n , l ' o r i g ine

du plan. L a p h a s e c o r r e s p o n d a n t e sub i t alors, en

partant de 0(0), un c h a n g e m e n t de d d t e r m i n a t i o n h la t r a v e r s d e de l ' a x e rdel pos i t i f , e t c ' e s t e x a c t e m e n t

ce q u ' i n d i q u e l a f igure 7.

Remarques.

a) A premiere vue, ce phGnom~ne peut sembler para- doxat et on pourra i t ~tre ten t~ de rechercher, pour 7(t), un point de b r anchemen t ou une coupure, qui eonserverai t pa r tou t la dd te rmina t ion pr incipale de son argument . A vrai dire, eela n ' a gu~re de sens, puisque eet te enveloppe ne cesse de cireuler, en modu la t i on quaternaire, entre los qua t re sommets du plan : 1, j , - - 1 , - - j . De m~me, les f luctuations de phase a u t o u r de 0 et rc interdisent , en binaire, tou te coupure sur l ' axe rdel.

b) Il existe une seconde in terprd ta t ion de la figure 8, correspondant h la fo rma t ion nature l le de l ' impulsion, par exemple en su ivan t un trac~, lorsque t crolt de - - ~ vers 0. On constate alors qu ' i l existe , d~s que ce tracd franchit l 'origine, une vdri table inversion de phase dont nous allons prGciser la significat ion phys ique vdritable.

c) Les composantes en phase et en quadra ture de l ' enveloppe q(t) sont, V Z , des fonctions oscillantes du temps. L ' ampl i tude de la seconde, au centre de l ' impulsion, est toujours nGgligeable au d~part. Mais elle croit avec L e t finit par rejoindre, h grande distance, celle de la premiere, jus t i f ian t ainsi la direct ion asympto t ique de 45 ~ la courbe q(0) de la figure 3. La composante en quadra ture s 'annule toujours , aux distances qui nous int~- resseut, entre 0 et ~: T ; elle est ndgat ive lorsque [t I = T, tandis que la composan te en phase conserve, dvidemment , sa va leur posit ive.

L 'enveloppe complexe de l ' impuls ion s'~crit avec (~0 ter) :

(78) 7 ( t ) = - - q ( t ) + ~ q ( t - - n T ) . n=--co

~ 0

Elle ne balaye l 'or igine que si Im {~'(t)} passe par z6ro. Cola ne peut se produire , le p remier terme de (78) r ' dtant prdpond6rant , qu ' au vois inage du zdro de la composante en quadra tu re de q(t). Oft calcule aiusi, avec (78), les

valeurs ponctuelles remarquables (*) :

pour L ~ 5 km :

(78) t iT = - - 0,7 : "~(t) = 0,018305 + j 0,~0~59~ ; t / T : - - 0 , 6 : ~ ' ( t ) : - - 0 ,095318- - j 0,039130;

pour L : 6,5 km : (80) t / T = - - 0,8 : 7(t) = 0,105336 ~- j 0,125190 ;

t ] T : - - 0 , 7 : ~ ( t ) : - - 0 , 0 1 6 9 1 8 - - j 0,087888;

qui conduisent aux conclusions su ivan tes :

Tan t que L reste au voisinage de 5 kin, la composante en quadra tu re de ~'(t) dev ien t ndgat ive, au passage m~me du f ront de l ' impulsion. Mais sa composan te en phase, cause de la cont r ibut ion m~me de celle de - - q(t),ddcrolt encore plus r i te , de sorte que la phase de l ' enveloppe a l 'a l lure iudiqude figure 7, comme le confi rme en outre l ' in te rpo la t ion linGaire de (79). Au cm~traire, quelques kilo- m~tres plus loin, et ~ cause de rGta lement de l ' impulsion, la ddcroissance de la composante en phase prend du retard sur celle de la composante en quadra tu re , de sorte que la phase de r enve loppe subit une vdr i table inversion de signe, conform~ment aux tracds supGrieurs de la figure 7 ou h l ' in te rpola t ion liudaire de (80).

e) F ina lement , c 'es t pour une s imple raison de conve- nance et pour respecter la cont inui t6 de la phase 0(0) prise (arbi t rairement) comme rdfdrence le long du guide, que ce t te inversion de phase apparaf t , figure 7, comme un changement de ddterminat ion. Mais en rdalitd, il n 'ex is te qu ' un simple changement de signe au tour de l 'axe des temps (analogue h u n cheminemen t 0 --> 3 re]2 refusd au profi t d ' un parcours 0 -->- - - ::]2) ; en toute r igueur :

- - la phase h l ' ins tan t t : 0,

- - les phases aux instants t = :L T, - - les valeurs algdbriques, modulo 2 n, des deux phases

diffdrentielles correspondantes ,

sont des fonct ions s t r i c t ement cont inues de la distance. I1 n ' y a donc pas, h p rop remen t parler , de proht~me de discont inui t~ de phase le long d ' u n guide. C'est d 'ail leurs une consdquence directe de l ' ex is tence de la phase gGnGrale 0(t).

L ' e n v e l o p p e c o m p l e x e d ' u n e i m p u l s i o n isolGe, qu i

s 'Gcrit , d ' a p r ~ s (40 ter) :

(81) ~ ( t ) = e iO0 q ( t ) § ~ q ( t - - n T ) , n~--oo

~0

d ~ p e n d e s s e n t i e l l e m e n t , p o u r q(t) f ix6e, de la v a l e u r

de (I) 0 . Sa r~ponse en p h a s e ~ g a l e m e n t , e t on donne , f igure 9, les v a r i a t i o n s de 0(t) c o r r e s p o n d a n t a u x

v a l e u r s n o m i n a l e s du s y s t ~ m e : (I) o = 7:]2 (A) ;

O o = 3T:/2 (B). Les c o m p o s a n t e s en p h a s e e t q u a d r a t u r e de q(t)

e t ~(t) c h a n g e a n t de nora , il n ' y a p lus d ' i n v e r s i o n

de p h a s e , m a i s des phGnom~nes p a r a s i t e s de r e b o n -

d i s s e m e n t q u i l i m i t e n t h e n v i r o n 7,5 k m la d i s t a n c e

c r i t i q u e pr6cGdente . Le s e g m e n t [ - - 1 , 1] s u p p o r t a n t

l ' e n v e l o p p e idGale associGe h (I) o = 7: se t r a n s f o r m e ici

(cf. F ig . 10) en :

[ j , 1] p o u r �9 o = : : ] 2 ; [ - - j , 1] p o u r �9 o = 3 T : / 2 .

L e p a r a m ~ t r e de d i s to r s ion de l a l i g n e i n t e r v i e n t

c o m m e p r ~ c G d e m m e n t , e t on r e t r o u v e les phGnom~nes

(*) Avec seulement 2 impulsions marginales au lieu d 'une infinit~.

19/42 A. T~L~c . , 29, n ~ 11-12, 1974

60Z~ J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

Phase (rad) B

10 / / I /

2 A

f

1

3Okra

• -1 0 1 T

Fro. 9. - - R6ponse 0(0 h l ' impulsion gaussienne n ~ 2 (A : #P0 = n / 2 ; B : r = 3 r~/2).

fo = 35 G H z ; T = 3,448 ns.

de r o t a t i o n , d ' 6 t a l e m e n t e t de c o n d e n s a t i o n , d6 jh cit6s.

C ' e s t p a r c e q u e le s o m m e t de la sp i r a l e s ' e n r o u l e ve rs

l ' i n t 6 r i e u r de ce l le-c i q u ' a p p a r a i t le r e b o n d i s s e m e n t

f inal ( a u - d e l h de 10 k m ) de 0(0. Son r e b o n d i s s e m e n t

in i t i a l (0 < L ~ 5 k m ) p r o v i e n t de la t r a v e r s d e de

[m

(QSIr~) 0

~.~ ~

Re

A/',. "-.., g -... %

_ , / , - ",,,o s" i '-. %

vr s

FIG. 10. - - Representa t ion de l 'enveloppe 7(t) associ6e ~ la figure 9.

: qb o = ~ / 2 ; . . . . . . . . . . : (I) o = 3 = / 2 . fo = 35 GHz; T = 3,448 ns.

isol6e (*) de 3 ,448 ns a d m e t , en m o d u l a t i o n diffd-

r en t i e l l e , u n c d i s t a n c e c r i t i q u e d e 7,5 h 11 k m , s e lon

sa v a l e u r n o m i n a l e . Mais l ' u t i l i s a t i o n d ' u n t r a i n c o m -

p l e t r e m e t t o u t en c a u s e , c a r ses i m p u l s i o n s , en i n t e r -

f d r a n t e n t r e el les, t r a n s f o r m e n t l ' 6 c r i t u r e du m e s s a g e

d 'of l des e r r e u r s de t r a n s m i s s i o n q u ' u n e c o r r e c t i o n

pr6c ise de p h a s e p e u t seu le 6 l iminer .

Le m e s s a g e t y p e , d a n s ce d o m a i n e , es t le t r i p l e t 101.

Amplitude [ Amplituder6duite

1~1

0,5 ~o.m 15kin

5 k i n ~lOkm krn 0 5 k m

2 T

FIG. l l . - - II~ponse I:~(t), en modulation d'amplitude, ~ un tr iplet d ' impulsions gaussiennes no 2.

fo = 35 G H z ; fr = 290 MBaud.

l ' a x e i m a g i n a i r e , e t il e s t fac i le de c o m p r e n d r e ,

f igure 10, p o u r q u o i il nc p e u t e x i s t e r p o u r (I) o = 3 ~ / 2 .

11.2.1. C a s du triplet 101.

N o u s v e n o u s de v o i r q u ' ~ 35 G H z , u n e i m p u l s i o n

Sa r6 p o n s e en a m p l i t u d e e s t d o n n 6 e f igure 11. E l l e

s ' y r6v~le t rbs s e n s i b l e h l ' e f f e t c u m u l a t i f de l ' 6 t a l e -

(*) C'est-h-dire, en prat ique, un train r6current de la torme : ._00100 .... ~ 290 MBaud.

A. 'reLeC., 29, .o. 11-12, 1974 20/42

J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U B G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 6 0 5

ment , et l ' a m p l i t u d e au centre 1~(0), qui a t t e in t tr6s r a p i d e m e n t sa va leur l imi te R(1)/2 (cf. t ab leau II), impose au t r ip le t une port6e max ima le de 3,20 km. Le broui l lage in t e r symbole rddui t donc de 40 %, en m o d u l a t i o n d ' amp l i t ude , la dis tance cr i t ique de l ' impu l s ion de base.

D~s que L ddpasse Lc , le t r ip le t dfg~n~re. Par exemple, h 5 k m et en l ' absence de correction, il serait ddcod6 comme un message 111. A 15 kin, sa ddg6ndrescence est complete, et il appara i t alors comme une impuls ion rdsiduelle isolde. II poss~de 6v idemment , comme l ' impuls ion de base, une distance cr i t ique associ6e au correcteur. A d6faut d ' u n calcul plus pr6cis, on peu t admet t re , si ~ mesure la largeur normalisde de l ' impu l s ion de base (corrigde), qu'elle correspond sens ib lemen t h la dis tance telle que ~ = 2.

E n m o d u l a t i o n diff6rentielle, la rdponse en phase d ' u n t r ip le t ddpend essent ie l lement de la symdtrie relat ive de ses phases extrSmes et centrale. Lorsqu' i l y a an t i symdt r ie , elle peu t ~tre excellente, comme le confirme la figure 12. E n effet, au voisinage de la

81Phase (Rad)

2~ .

4 - - - -

2

0 ~ 05k

-1

. t -~ ' ' 6 2 T

FIG. 12. - - R6ponse 0(t) h u n triplet d'impulsions gaussiennes n ~ 2 ((I) o = 0 ; ( I )_ I e t (I) 1 = r: ) .

fo ~ 35 GHz; fr = 290 MBaud.

d is tance cr i t ique prdcddente, il appara i t , en modula t ion binaire , une invers ion de phase imposan t la dd t e rmina t ion - - 2 7:. Mais comme elle t rans forme le t r ip le t original ~ 0 ~ en r: (2 ~ ) ~ , aucune erreur n 'cs t commise, ct le message d 'e r reur 111 disparai t . I1 n ' en est pas tou jours de m6me en modu la t i on quaternai re , comme avec le t r ip le t (7r/2) 0 (7:/2) par exemple. Une seconde invers ion de phase (un peu a v a n t 10 km) ram~ne la d6 t e rmina t i on principale, figure 12, et r e t r ans fo rmc le t r ip le t en 0 ~ 0. La dis tance cri t ique cor respondante , qui correspond h une erreur de phase diffdrentielle lue aux fronti~res ext6rieures du tr iplet , est alors l~g~rement sup~rieure h 10 km, c 'est-h-dire presque iden t ique h celle de l ' impuls ion de base isol6e

pr6c6dente. Au contraire , dans le cas d ' u n t r ip le t (7:/2)0(rr la d is tance cri t ique, qui est cet te fois due h une erreur de phase diff6rentiellc ccntrale , v a u t env i ron 5,20 kin, soit p r a t i q u e m e n t celle de l ' impu l - sion de base modul6e en ampl i tude . On d~couvre ainsi l ' ex is tence de deux principes f o n d a m e n t a u x , qui r6gissent l ' exp lo i t a t ion cn modu la t i on de phase diff~rentielle :

1. la t r ansmiss ion d ' impuls ions est tou jours meilleure en m o d u l a t i o n de type binai re qu ' en m o d u l a t i o n qua te rna i re ;

2. en m o d u l a t i o n qua te rna i re , les erreurs de t rans - mission p r e n n e n t naissance, le long du guide, sur une plage ddlimitde (grosso modo) par les dis tances sui- van tes : d is tance cr i t ique de l ' impu l s ion de base en m o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e , dis tance cr i t ique de l ' impu l - sion de base en m o d u l a t i o n b ina i re de phase.

Comme par ail leurs la t ransmiss ion d ' u n t ra in , en m o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e , est tou jours n e t t e m e n t moins bonne que celle de son impuls ion de b a s e ; on comprend que l ' a v a n t a g e reste acquis, en ddfini t ive, par la m o d u l a t i o n de phase.

L ' impu l s ion d6gdn6rde de la figure 12 a une la rgeur de 1,6 T h 15 km, et il fau t a t te indre 21 km (apr~s une troisi~mc invers ion) pour qu 'appara i sse la dcrni~re erreur de phase qui rend le message t o t a l e m e n t incomprdhensib le , en l ' absenee de correct ion h l 'arr iv6e.

La spirale in i t ia le de ~(t), figure 13, comprend deux allers et re tours successifs. Elle p ivote ensui te sur

\ .~u~ r o,5

(10kin)0 ~

-0~, ............... 7

Im

~ (IOkm)

' 2 "-~-(3km)

(~5~m)

FIG. 13. - - Reprdsentation de l'enveloppe complexe F(l) associ6e h la figure 8. Certaines 6poques principales du triplet sont report6es, comme en figure 8, direetement sur les trac6s.

elle-m~me pour former, en dca r t an t ses b ranches l ' u n e de l ' au t re , une boucle sur laquelle glissent cont i - n u e m e n t (6 ta lement) les dpoques r6dui tes : J: 1 ; • 2 ; :k 3 ; ..., etc. Cette boucle, en s ' a r ron- dissaut , se rapproche du poin t d ' a c c u m u l a t i o n , l ' en toure , et s 'y condense progress ivement pour ne laisser f ina lement d6border que le sommet de la spirale, comme en figure 8. Nous comprenons ma in -

21/42 A. T~L~:fi., 29, n ~ 11 -12 , 1974

~ 0 ~ J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X SUI~ G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

t e n a n t beaucoup m i e u x l ' 6vo lu t ion gdndrale de la f g u r e 5. A pa r t i r des trois allers et re tours ini t iaux,

chacun des t r ip le ts 345 et 789 s 'organise sur sa

b ranche principale , c o m m e en figures 13 et 8, respecti-

vemen t . Au-delh de 10 kin, la boucle 67 de raccor-

demen t d ispara i t en t r a v e r s a n t l ' axe rdel, de sorte

que la branche rdsiduelle ( t r a n s m e t t a n t lc message 101

ddgdndrd) cont inue h p i v o t e r pour se condenser,

f inalement , sur son po in t d ' a ccumula t i on . Le message cst alors, 6v idemment , inddchiffrable.

Les rdsultats prdcddcnts , basds sur l ' app roche ana-

la d is tance c r i t ique Lc = 3,20 dddui te p rdcddemment

du t r ip le t 101. De m~me, la fo rmule (81) donne, h

100 MBaud, L c = 26,52 km, t and is que no t re es t imat ion

prdcddente de 45 km (pour une impuls ion isolde de

10 ns) condui t , avec la r~gle des 40 %, h :

L c = 4 5 • 0 , 6 = 2 7 k m .

L ' a p p r o c h e ana ly t i que n ' e s t donc pas en cause, et les

conclusions prdcddentes r e s t en t p a r f a i t e m e n t valables. A v a n t de conclure ce pa rag raphe , on donne en

figure 14 les va r i a t ions du m o d u l e d e l ' enve loppe

1,5

1,0

0,5

MODULE

~0,Skm

rkm VlOkm

Fro. 14. - - Rdponse l~(t) ~ un triplet d'impulsions gaussieunes n ~ 2. fo = 35 GHz; fr = 290 MBaud.

l y t i que de la ligne, p o u r r a i e n t pa ra i t r e imprdcis. Or,

en s ' a idan t d ' une md thode de calcul proposde par

H. K a d e n [16], on mon t r e , en A n n e x e D, que la dis-

t ance cr i t ique du t ra in inddfini : ...010101010... pen t

s 'dcrire, en m o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e :

(81) L~ = 1,854611~(fo+1/2 T)+~(fo--1]2 T ) - - 2 ~(f0)l,

1 , 8 5 4 6 1 ( = / T ) 2 ]tg '(fo)[ �9

On calcule alors, t ab l eau V, quelques va leurs de Lc

co r respondan t aux trois p r i nc ipaux diam6tres du guide : 50, 60 et 70 ram.

T A B L E A U V

Dislance critique L e it 290 MBaud (kin)

fo (GHz)

30 35

42

55 8O

Diam~tre du guide

50 mm 60 mm 70 mm

1,9364

3,1527 5,5624

12,7365 39,7554

2,8697

4,6354 8,1251

18,4923 57,4693

3,9732 6,3881

11,1543

25,2954 78,4055

La va leu r ob tenue , h 35 GHz, est trbs proche de

complexe , en m o d u l a t i o n binaire. R ien de bien signifi-

ca t i f n ' a p p a r a i t a v a n t 10 kin, con fo rmdmen t aux

conclusions prdc6dentes. P a r contre , dds que la

ddgdndrescence in te rv ien t , des osci l lat ions apparais-

sent ; qui se p r o p a g c n t vers les It] croissants t a n t que la boucle rdsiduelle de }'(l) n ' eng lobe pas le po in t

d ' accumula t ion . Elles s ' am or t i s s en t ensui te tr6s rapi-

dement , et t enden t , h la l imi te , h fo rmer un pal ier p a r f a i t e m e n t hor izonta l , d ' a m p l i t u d e § 1. En qua-

t e rna i re (mais seu lement lo rsque la l igne est ddjh

suf i i samment corrigde), les va r i a t i ons de R(I) p rennen t

une al lure tr~s carac tdr i s t ique qui pe rme t , chacun des

qua t r e 6tats 6 tan t identif id une fois pour toutes , de

reconna i t re p r a t i q u c m e n t le message t ransmis .

ANNEXED

I. Pour obtenir un train d'impulsions alterndes, en modulation d'amplitnde, il suffit d'imposer, dans (70 ter), X= 1, t l = - T[2. L'enveloppe correspondante (non centrde) :

(D-l) wz(t) = (1 -[- sin ra/T)]2,

pour transformde de Fourier, avec ]p~ T]2 : 1 1 1

A. T~LI:C., 29, n ~ 11-12, 1974 22/42

J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N DES SIGNAUX SUR G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 607

Sa r@onse en ligne est, d 'apr6s (~2) :

(D-3) ~r2(t ) = ~ R(0)@ eJ2rzfp t R ( - - /P) e--J2r:fpt.

La fonct ion de t ransfer t normalis6e de la ligne provient de (43) et s 'dcrit, en a d m e t t a n t que son affaiblissement reste inva r i an t entre les frdquences/o - - ]p e t /o + /p (*) :

R(/) = e--J[~(f+fo)--~(fo )]L .

Cela condui t ~ met t re (D-3) sous la forme (non centrde) :

(D-~) ~ ( t ) = I + ~e--J[~(fo+fp)L--~(fo)L--2~:fP t j -

e--J[ ~(f~ L--~(f~ L + 2nfpt]~ �9

II . En i n t rodu i san t les phases contractdes :

~ = (~/2) [ ~ ( / o + / , ) + ~(/o--/v)], a ~ = (112) [~( /o+ ] p ) - - ~ ( / o - - / ~ ) ] ,

(D-4) s'6crit encore :

~2(t) = ~ ~1 + e--J(~m--~(fo))L2~{e-- j[A~L--27:fPt]--

eJ [A ~L--2 ~fpt]) ~ ;

soit f inalement :

(D-5) ~2(t ) = 21 [~ + e_j(~m_~(fo))L sin (2 ~:/pt - - A~L)]

C'est le module de (D-5) :

~(t) i

= ~ 41~-2COS( ~ m - - ~ ( ]0) )L s i n (2~]pt--A~L)-~-sin~(2n]pt--A~L),

qui t ransporte l ' i n fo rmat ion numdrique. En posant :

(D-6) A~3L = 2 rz]pt r , t - - t r = ~ ,

I ~ m - ~(/o)[ L = ~,

il prend la forme simple :

(D-7) 1~2(6' ) = ~ ] -~ 2 COS8 s i n T ~- sine T- "

I I I . L 'explo i ta t ion normale du train condui t h l 'dchan- t i l lonner aux ins tan t s Centre autres) : v = - T]2 et v - T/2 , successivement . Elle n ' i n t rodu i t aucune erreur que lorsque la condi t ion

R2(-- T / 2 ) I R 2 ( T ] 2 ) = ~/ ( l - - cos 8 ) / ( l + c o s 8)= tg$ /2 ~ 1]2

est rdalisde, c 'est-~-dire encore si

(9-8) 8 ~ 0,9273 = 2 arc tg (1/2).

Cela entraine, par (D-6), l ' exis tence de la distance critique :

(D-9) L e = 0 ,92731]~m-- ~(]o)1,

Lc = 1,85&6]] ~(/o+ 112 T) + ~(]o-- 112 T)--2/~(]o)l �9

Remarque.

En in t rodu i san t le temps de propagat ion de groupe t~(/o) de la ligne, on forme le ddveloppement [cf. (51)] :

~(/o + 1) L = ~(/o) L + 2~r/tg(/o) + ~ (2~:1) 2 t~(/o) + 0(/)

(*) Hypoth~se admise ici pour simplifier les calculs, mais qui reste justifi~e, en pratique, d~s qu'il n'existe pas de fluctuations importantes de ~ A ~ f f ) > darts la bande.

qui condui t h dcrire, au 3 e ordre pros :

1 ~mL ~ ~(/o) L + ~ (2~/p) ~ t~(/0),

A ~ L ~ 2n ]p tg(fo) �9

On en ddduit, avec (D-6), que le re tard effectif tr du t ra in est p ra t iquemen t iden t ique ~ tg(/o), et que (D-9) peut prendre la forme simplifi6e, tr6s utile pour l ' in t ro- duct ion direete de la rapidi td de modula t ion :

(9-10) L~ ~ 1,85461(~/T)2 ItS(]o)].

II .3 . Le p h 6 n o m ~ n e de t r a n s f e r t des i n v e r - s i o n s de p h a s e .

L ' i n v e r s i o n de phase se m a n i f e s t e h la f o r m a t i o n m d m e de ce r t a in s f ron t s d ' i m p u l s i o n s . El le se p r o d u i t donc , t o u t a u m o i n s au d 6 b u t de la t r a n s m i s s i o n , en t r e d e u x dpoques p r i nc ipa l e s (cf. Fig. 13). L a phase diff6- ren t ie l l e c o r r e s p o n d a n t e , q u i f a i t le b i l a n (modu lo 2 7:) des v a r i a t i o n s de 0(t) s u r v e n u e s e n t r e ces d e u x ins - t a n t s , n ' e s t donc u u l l e m e n t affect6e p a r son a p p a r i t i o n su r la l igne. Cet te p rop r i6 t6 se conse rve n o r m a l e m e u t su r la l igne, b i e n que la t r a n s f o r m a t i o n progress ive de l ' e n v e l o p p e ~(t), en 61oignant ses b r a n c h e s de l ' o r i - g ine t r ans f~re ce t te i n v e r s i o n vers le d 6 b u t (ou ta fin) du message . Ces p h 6 n o m ~ n e s , 6 tudi6s en d6ta i l au p a r a g r a p h e I I .2 , d o n n e n t n a i s s a n c e a u x e r reurs n o r m a l e s de t r a n s m i s s i o n .

Mais l ' i n t e r f d r e n c e i n t c r s y m b o l e , en d 6 f o r m a n t p lu s ou m o i n s l ' e n v e l o p p e p rdc6den te , c o n d i t i o n n e 6 v i d e m m e n t son passage h l ' o r ig ine , c ' e s t -h -d i re encore l ' a p p a r i t i o n de l ' i n v e r s i o n de phase su r l '6chel le des t e m p s . D a n s ce r t a ins cas, l o r s q u e la c o m p o s a n t e en q u a d r a t u r e de ~(t) b6n6f ic ie d ' u n e c o m b i n a i s o n favo- r ab le des c o m p o s a n t e s vo i s ines d ' i n t e r fd r ence , ce t t e i n v e r s i o n de phase es t a n o r m a l e m e n t rejet6e en dehors de son i n t e r v a l l e d ' o r i g ine . Les phases diffd- r en t i e l l e s c o r r e s p o n d a n t e s , en p e r d a n t on g a g n a n t son t r a n s f e r t , s u b i s s e n t alors u n e v a r i a t i o n tr~s r ap ide qu i gdn~re, p r e s q u e t o u j o u r s , u n e e r r e u r de t r a n s m i s s i o n .

U n e x e m p l e prdcis de ce p h d n o m ~ n e est d o n n 6 f igure 15. A cause de sa d i s s y m 6 t r i e , le message ne p r6sen te , h 5 k m , q u ' u n e seule i n v e r s i o n n o r m a l e h

= t i T = 2,92. Le d 6 b u t de son t rac6 , qu i d e v r a i t se s i tuer , c o m m e en f igure 12, h la d 6 t e r m i n a t i o n - - 2 7:, a fa i t l ' o b j e t d ' u n e c o r r e c t i o n a u t o m a t i q u e qui l ' a a ins i s y s t 6 m a t i q u e m e n t r a p p o r t 6 ( p o u r v < 2,92), h la d d t e r m i u a t i o n p r inc ipa l e . Les v a r i a t i o n s de 0(t) d e v i e n n e n t donc c o n f o r m e s h l ' 6 c r i t u r e du message , et a u c u n e e r r eu r de t r a n s m i s s i o n n ' e s t 6 v i d e m m e n t commise . L o r s q u e la d i s t a n c e a u g m e n t e , u n e seconde i n v e r s i o n ne t a r d e pas h se p r o d u i r e ( c o m m e en f igure 7), en t r e 4,5 e t 5,5 ; la d d t e r m i n a t i o n 27: qu ' e l l e e n t r a i n e est 6 g a l e m e n t corr ig6e h la f in du trac6. A 9 k in , d e u x t r a n s f e r t s (de 0,27) h peu pros s y m d t r i q u e s o n t eu l ieu, et il n ' e x i s t e enco re a u c u n e e r reur de t r a n s m i s s i o n . Mais h 10 k m , la p r e m i e r e i n v e r s i o n a ddpass6 la b o r n e 2,5 de son i n t e r v a l l e d 'o r ig ine , de sor te q u ' i l est a p p a r u , e n t r e 9 e t 10 k m , d e u x er reurs

23/42 A. TI~LI~C., 29, n ~ 11-12, 1974

~ 0 ~ J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N DES S I G N A U X SUR G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

( R a d i a n s )

/ ~... / '~ . . . . . . . . . . . . . / i.: k / ,~ "~"... .....

o _ii-i .... , 0 o,5 Lo ~,5 Zo 2.5 3.0 3.5 4,o 4.5 5;0 5,5 6.o 6,5 7,0 " ~

F I ~ . 15. - - U n e x e m p l e de t r a n s f e r t d ' i n v e r s i o n d e p h a s e .

: 5 k m ; : 9 k i n ; * * * * * : 1 0 k i n ; . . . . . . . . . . : 15 k i n ;

en t i r e t d : s u i t e s y m b o l i q u e de s i m p u l s i o n s g ( ~ - n) de con t r61e .

f0 ~ 35 G H z ; fr ~ 290 M B a u d .

successives de phase diff6rentielle : l ' uue sur l '51~ment

centra l du message, l ' au t r e sur le t rois i6me 61~ment ~.

L ' invers ion de phase se propage, comme indiqu6 pr~c~-

d e m m e n t , vers le d6but du message, et il ne subsiste,

h 15 kin, q u ' u u e e r reur ~vidente sur l '61~ment central .

Un ph~nom~ne ana logue se p rodu i t h la fin du mes-

sage, off le deux i~me dl6ment 0 est, f ina lement , m a n i f e s t e m e n t erron6.

Ce ph6nom6ne, en se m a n i f e s t a n t a u x fronti~res mSmes des in te rva l l e s 616mentaires, ne p e u t profon-

d~ment modi f ie r les dis tances cr i t iques. On r e t rouve

ainsi, f igure 15, une va leu r d ' env i ron 10 km, comme

il 6tai t p r 6 e d d e m m e n t pr~vu. Sa jus t i f i ca t ion par t ie l le

est donnde figure 16, off les condi t ions du t r ans fe r t

-1

11'm

- 1 �84

Re

........ 1 1 1 0 1 0 0 . . . . . . . 1 2 3 4 S 6 7

F I 6 . 16. - - R e p r e s e n t a t i o n d e l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e F(t) a s soc i6e ~ l a f i g u r e 15. L e s 6 p o q u e s p r i n c i p a l e s d u m e s s a g e s o n t r e p o r t 6 e s s u r les t r a c 6 s , c o m m e i n d i q u ~ s o u s l ' a x e

i m a g i n a i r e .

: L = 9 k i n ; . . . . . . . . . . : L = 10 k m .

( t raversde de l ' a x e rdel pa r le po in t 3, ~ z ~ 2,5) dfi h la r o t a t i o n de la spirale, sont ~videntes.

11.4. Indications g~n~rales sur les possibilit6s de transmission de la ligne.

H.4.1. A 108 M~gabaud.

Ii ~tait indiqu~, h 108 M~gabaud, de contr61er le

fonc t ionnemeu t de la l igne en d tudiant , en m odu la t i on

d ' ampl i tude , la t r ansmis s ion d ' u n t ra in d ' impuls ions

rectangulaires . Les r~sul ta ts obtenus fu ren t tous

conformes aux pr~vis ions , h l ' cxcep t ion d 'un seul qui,

pa radoxa l emen t , s embla i t t o u t r eme t t r e en cause : l ' emplo i d ' une impuls ion de forme rectangulai re .

Pour bien c o m p r e n d r e ce phdnom~ne, il f au t d ' abo rd

observer que la rdponse (53) est avan t t o u t condi-

t ionn~e par la d is tors ion de phase du guide (*). Dans

le cas d 'une impuls ion rec tangula i re , cela se t r a d u i t

par Fact ion d i rec te du p a r a m ~ t r e de distorsion (**) sur l ' a r g u m e n t de la fonc t ion err (z) [cf. (63) et (64)]. Or

celle-ci poss~de, le long de la p remie re bissectrice, des

propri~t~s osci l lantes tr~s caractdr is t iques (***), qui

se t r adu isen t pa r des f luc tua t ions plus ou moins

impor tan tes de la rdponse ~(t). L 'a l lure gdndrale de ce t t e rdponse peu t se recons-

t i tue r h l ' a ide de l a f igure 17, en r eg roupan t cha-

eun des traeds dans l ' o rd re croissant du pa ram~t re

de distorsion. On t r o u v e ainsi, au fur et h mesure que

l 'onde se p ropage darts le guide : des oscil lat ions fines

et tr6s rapides au s o m m e t e t h la base de l ' impuls ion ;

des rebondissements de moins en moius n o m b r e u x , mais d ' a m p l i t u d e e ro i s san te ; un rebond i s sement cen-

t ra l (pouvan t a t t e i n d r e 30 %) flanqu6 de t ra iuages h

l ' ex t~r ieur de l ' impu l s ion . Celle-ci, qui a p r a t i q u e m e n t conservd ju squ ' i c i sa durde nominale , c o m m e n c e

(*) I1 s'agit de la rdponse d'une tigue non perturb6e (~ Ay(f) ~ ~ 0). Nous avons en outre v6rifi~, en imposant c~(f) ~ Cste, que la distorsion d'alnplitude ne cause, dans ]es exemples qui snivent, que certaines dissym6tries.

(**) Les valeurs de ~4c sont quasi r6elles, comme en tableau III.

(***) Tr~s caract6ristiques (cf. Int6grales de Fresnel).

A. T~L~C., 29, n ~ 11-12, 1974 24/42

J . B R A Y E R , - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 609

(U.N.) 1,4

1,2

1,0

8

6

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

I __~___2_____ r 0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 3,5 4,0 4,5

4 , s s,o 5 ,56 ,o " 5,5 7,0

? 5,5 6,0 6,5 7,0

h L 7,5 ~0 T

FIG. 17. - - ReprGsentation, en modulation d'amplitude, du train binaire 0101001. A : 35 GHz (Re {tic} = 0,9959); B : de gauche h droite : 46 GHz (Re{J/c} = 0,6516),

55 GHz (Re{A} 0,4955), 78 GHz (Re{A} = 0,2914).

L = 15 k m ; fr = 108 MBd.

ensui te h s 'd ta ler p rogress ivemen t , j u s q u ' h ce que son

a m p l i t u d e et sa dur6e pe rden t , f inalernent, rou te s ignif icat ion v6ri table .

Ce sont ces phdnombnes qui sont en cause. Ils

p e u v e n t pa r a i t r e su rp renan t s , vo i re suspec t s ; mais

le lec teur int6ress6 v6r i f iera ais6ment , pa r exemple h

l ' a ide des r6f6rences [17] et [18], que des rdsultats iden t iques on t d6jh 6t6 ob tenus avec des int6grales

complexes de Fresnel F• con fo rm6men t h (B-5 his). Cela 6rant, il est man i fes te qu ' i l exis te figure 17 A

(cf. le r ebond i s semen t de 59 %, pour = = 2,5) une

er reur de t ransmiss ion dbs 15 k i n ; alors que la dis- t ance c r i t ique est de l ' o rd re de 23 krn, h 108 M6gabaud. On pou r r a i t penser , pour r6soudre ce probl~me, que

la mdthode d ' app roehe a n a l y t i q u e ne p e r m e t plus, h

ce t t e dis tance, une r e s t i t u t i on correcte de 7(l). Cela est peu t -6 t re plausible dans le cas d ' impuls ions trbs

br~ves, de dur6e infdrieure ou 6gale h une nano- seconde (* ) ; mais n ' e s t pas justif i6 h 108 M6gabaud,

soit h cause du t ab leau V, soit encore parce que l 'on

re t rouve , avec erf (z), des rdsul ta ts tr~s g6n6raux

ob tenus par T R F en impuls ion non rec tangula i re .

E n r6alit6, c ' es t la r ep r6sen ta t ion speetrale de l ' impuls ion rec tangu la i r e (c 'es t -h-dire sa forme en

sinus cardinal) qui ne c o n v i e n t pas, h cause de son e x t r e m e sensibili t6 (en l ' absence de correct ion) h la

dis tors ion de phase du guide. On con~oit en effet que

(*) Off Lc , d'apr~s (81), ne vaut que 268 m~trest

25/42

ce spectre , r e l a t i v e m e n t t rop 6 tendu eu dgard aux

va r i a t ions de ~(f), soit for ternent d6sorganis6 par le

f ac teu r de dis tors ion exp { - - F ( u , f0)L} de la l igne

(cf. w 1.3.1), et conduise ainsi h une rdponse 7(t) mddiocre. Cela est d 'a i l leurs dvident figure 17, pu i sque

l ' a u g m e n t a t i o n de la f rdquence por teuse ne prof i te pas

h la durde de l ' impuls ion , rnais seu lement h la ra ideur de ses flancs e t son al lure g6ndrale. A la lirnite, lo rsque

le p a r a m ~ t r e de distorsion de la l igne s~annule, on

d6rnontre, en A n n e x e E, que la fonc t ion err (z) res- t i tue e f f ee t i vemen t une impuls ion rec tangula i re .

L 'e rnplo i de ce t t e impuls ion (comrne rnod~le de suppor t d ' i n f o r m a t i o n s nurn6riques sur guide h g rande

d is tance , d e v i e n t done suspect) en p r a t i q u e , d~s que

Re{A} d6passe 0,5. La mise en place d ' u n fi l tre de bande (h ne pas eonfondre avec un filtre de forme) peu t r6soudre le probl~rne, mais impose en revanche ,

s 'il n ' e s t pas gaussien, l ' a b a n d o n de la m6 thode

d ' a p p r o c h e ana ly t ique . I1 est alors in t6ressant , avec

une m 6 t h o d e d ' in t6gra t ion num6r ique , de ~rechercher

des spectres c o n v e n a b l e m e n t d61irnit6s; et don t les impuls ions classiques, t ype (70 ter) par exemple , ne

sont q u ' u n e p remie re 6tape. On n o t e r a c e p e n d a n t

qu 'e l les p e u v e n t , en t ra ine r c o m m e les impuls ions

gaussiennes, h une baisse d ' a m p l i t u d e parfois irnpor- t a n t e (*).

(*) Avec (D-7), il viendrzit, pour ~ = 1,5 et 2,5 respectivement : 0,6751 et 0,2103. Cela => t g ( ~ / 2 ) = 0,3115, et done Lc > 15 km.

A. T~L~C., 29, n ~ 11-12, 1974

6 1 0 J . B R A Y E R . - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

N o u s n e p o u v i o n s a b a n d o n n e r l ' i m p u l s i o n r e c t a n -

g u l a i r e s a n s eu a v o i r r e c h e r c h 6 , a u p r d a l a h l e , e e r t a i n e s

r d p o n s e s en p h a s e . L a p l u p a r t s e r o n t rdu t i l i sdes p a r

l a s u i t e c o m m e 616ments de e o m p a r a i s o n ; e t cel les

r a s s e m b l d e s f igure 18, o u t r e l a b o n n e i l l u s t r a t i o n

p r 6 e 6 d e m m e n t .

M a n i f e s t e m e n t , a u c u n e e r r e u r d e p h a s e n ' e s t c o m -

ra i se s u r c h a c u n de s t r a e d s de l a f igure 18. O n en

d 6 d u i t d o n c q u e l a d i s t a n c e c r i t i q u e , h 403 M B a u d ,

e s t s u p 6 r i e u r e ~ 10 k in . E n fa i t , 6 t a n t d o n n 6 q u e

(Radians)

5

4

3

1

o

-1 6 ~ ~5,5 I i ,o ~,5 " 2 , o

,I P h ~ P

3,{ I 7,5 t

/

FIG. 18. - - Influence de la rapidit6 de modulat ion sur la r6ponse en phase, h 55 GHz. (j) : T ~ 6,667 ns fr = 150 MBaud R e { ~ } = 0,5619 (2) : T ~ 4 ns fr = 250 MBaud 1Re{J~} = 0,9365

: T = 2,481 ns fr = 403 MBaud ]Re{~} = 1,5098 L = 10 km.

q u ' e l l e s d o n n e n t de l a r 6 p o n s e e n p h a s e d ' u n t r a i n

d ' i m p u l s i o n s r e c t a n g u l a i r e s , n o u s d o n n e n t u n e p r e -

m i e r e id6e de l ' i n f l u e n c e de la r a p i d i t 6 de m o d u l a t i o n .

E l l e s c o m p o r t e n t 6 v i d e m m e n t , c o m m e en f igure 17,

des p h 6 n o m ~ n e s de f u c t u a t i o n s , p u i s q u e ceux -c i p r o -

n o u s t r o u v e r o n s (h 55 G H z ) : L c = 15 k m , p o u r

f0 ~ 485 M B a u d , o n p e u t e s t i m e r q u ' e l l e v a u t ici,

en m o d u l a t i o n b i n a i r e , e n v i r o n 22 k in .

L ' a m 6 1 i o r a t i o n d u e a u c h o i x d ' u n e i m p u l s i o n g a u s -

s i e u n e es t 6 v i d e n t e f igu re 19. E l l e s ' e x p l i q u e , a n a l y -

(Radians)

5

4

3

2

1

0

, Phase

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 T

FIG. 19. - - Influence de la forme de l ' impulsion sur la r~ponse en phase. A gauche : impulsion rectangulaire ; A droi te : impulsion gaussienne n ~ 2. fo = 35 G H z ; L = 7,5 k m ; fr ~ 108 MBaud.

v i e n n e n t de la f a ~ o n d o n t la s p i r a l e de q( t ) s ' e n r o u l e

a . u t o u r d e son p o i n t d ' a c c u m u l a t i o n t e m p o r a i r e (le

p o i n t 4- 1 d u p l a n ) , p e n d a n t la d e m i - d u r 6 e de l ' i m p u l -

s ion . Ma i s e n o u t r e , c o m m e Iq(t)l d d c r o i t t r~s r a p i -

d e m e n t a u x e x t r d m i t d s d e c e t t e d e r n i ~ r e , l a c o m p o -

s a n t e e n p h a s e de ~'(t) s ' a n n u l e ici p r o s de ses p o i n t s

f r o n t i ~ r e s , e t r e n d a i n s i O(t) e x t r ~ m e m e n t s ens ib l e a u x

f l u c t u a t i o n s de l a c o m p o s a n t e e n q u a d r a t u r e . I1 a p p a -

r a f t d o n c de v i o l e n t e s o s c i l l a t i o n s , v o i r e des c h a n g e -

m e n t s r a p i d e s de d 6 t e r m i n a t i o n , c o m m e en f igure 18.

Ces p h ~ n o m ~ n e s d i s p a r a i s s e n t d ' a i l l e u r s t r~ s r a p i d e -

m e n t , d~s q u e l a c r o i s s a n e e de I ~ l p e r m e t h l a sp i r a l e

d ' a m o r e e r sa r o t a t i o n s u r e l l e - m ~ m e , c o m m e i n d i q u 6

t i q u e m e n t , p a r l ' e x i s t e n c e d ' u n e v 6 r i t a b l e p a r t i e

i m a g i n a i r e d e ~ [ d u e h a 2 , cf. (68) e t ( 6 1 ) ] ; q u i

a n n i h i l e , en i m p o s a n t h ses a r g u m e n t s u n e r o t a t i o n

n o n n d g l i g e a b l e ell d i r e c t i o n de l ' a x e rdel , les osci l -

l a t i o n s p r d c d d e n t e s de e r r (z). I1 v i e n t a ins i , f igu re 19 :

a) i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e :

= 0 ,704221 § j 4 , 7 9 5 0 6 8 . 1 0 -5 ,

b) i m p u l s i o n g a u s s i e n n e n ~ 2 :

= 0 , 7 8 6 3 7 6 § j 0 ,3499416 .

P h y s i q u e m e n t , o n p e u t e n c o r e d i r e q u e e e t t e a m d -

l i o r a t i o n p r o v i e u t de l a s u p p r e s s i o n des f l a n c s r a i d e s

A. Tg-z .~c . , 29 , 11 ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4 26 /42

J . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 6 1 ]

de l ' i m p u l s i o n , p a r l ' e m p l o i d ' u n s p e c t r e e n s inus c a r d i n a l gaussien.

L a s p i r a l e de r ' ( t ) ( c ' e s t - h - d i r e la n o u v e l l e e n v e l o p p e

g a u s s i e n n e ) n ' e s t p a s e n c o r e v d r i t a b l e m e n t d d f o r m d e h

108 M d g a b a u d . E l l e p e u t d o n c se r e p r d s e n t e r , schd-

m a t i q u e m e n t , p a r d e u x s e g m e n t s de d r o i t e l d g ~ r e m e n t

ddcalds , d e d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e s 00 e t 0 o -~ 7: e t d o n t

t r i c t i o n s en q u a t e r n a i r e ) n ' e s t v 6 r i t a b l e m e n t a c t i v e

q u e d a n s la b a n d e des 35 G H z . Mais el le i m p o s e ,

15 k m , des 6 c a r t s d e p h a s e d ' a u m o i n s 10 h 15 ~ , q u i j u s t i f i e n t u n e c o r r e c t i o n as sez p r6c i s e de l a l i g n e ;

a u - d e l h de 50 G H z , o n p e u t e s t i m e r q u ' e l l e n ' e s t p l u s

s t r i c t e m e n t i n d i s p e n s a b l e . L ' e m p l o i d ' u n e i m p u l s i o n

r e c t a n g u l a i r e e n t r a i n e , c o m m e p r 6 c ~ d e m m e n t , des

(R~dians) 6 Phase

5

4

3

2

1

0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5

|

Fz~. 20. - - Influence de la fr~quence sur la r~ponse en phase, h 108 MBaud.

(~I) : 35 G H z ; (~ : 55 G H z ; ~ : 78 GHz. Impulsion gaussienne n ~ 2 : L = 15 kin.

t

T

le r a c c o r d s ' e f f e c t u e p a r u n e b o u c l e r d s i d u e l l e qu i

c o n t o u r n e l ' o r i g i n e . I1 en r ~ s u l t e la p o i n t e c a r a c t ~ -

r i s t i q u e de l a f i g u r e 19. L a l o n g u e u r d u p a r c o u r s

d t a n t t r~s i n f ~ r i e u r e h sa d i s t a n c e c r i t i q u e ( e n v i r o n

70 k m ) , l a p h a s e d i f f d r e n t i e l l e n e s u b i t , f i gu re 19,

q u ' u n e ldg~re d i m i n u t i o n de 1o72. Cel le-ci d o u b l e h

p e i n e h 15 k m (cf. F ig . 20), b i e n q u e la r o t a t i o n de

la sp i r a l e c o m m e n c e h s ' a m o r c e r . Cela cesse d ' a i l l e u r s

d~s q u e l a f r d q u e n c e p o r t e u s e a u g m e n t e , e t l a r d d u c -

t i o n c o r r e s p o n d a n t e de l a c o m p o s a n t e en q u a d r a t u r e

de ~(t) e s t t e l l e m e n t r a p i d e q u e l a p o i n t e p r d c d d e n t e

a t o t a l e m e n t d i s p a r u h 80 G H z .

L a f igure 21 e s t u n e s d l e c t i o n des p h a s e s d i f fd r en -

t ie l les i ssues de c e r t a i n s m e s s a g e s t y p e s , e t d o n n e

u n b o n a p e r g u d u f o n c t i o n u e m e n t g d n d r a l de l a l i gne

h 108 M B a u d . O n y c o n s t a t e t o u t de s u i t e q u e l ' e x -

p l o i t a t i o n d u g u i d e , e n m o d u l a t i o n de p h a s e b i n a i r e ,

e s t p o s s i b l e s a n s e r r e u r d e t r a n s m i s s i o n j u s q u ' a u

m o i n s 35 k m , e t c e l a q u e l l e q u e so i t l a f r d q u e n c e

p o r t e u s e , p u i s q u e les d i s t a n c e s c r i t i q u e s , d a n s la

b a n d e 30-80 G H z , s o n t p a r t o u t s u p d r i e u r e s h 50 k m .

E n m o d u l a t i o n q u a t e r n a i r e , la t r a n s m i s s i o n se d~ td -

r i o r e q u e l q u e p e u a u d d b u t de c e t t e b a n d e , e t il f a u t

d d p a s s e r 38 G H z p o u r r e t r o u v e r Lc ~> 50 k m . N d a n -

m o i n s , p u i s q u e Lc ~ 38 k m h 35 G H z , la c o n c J u s i o n

p r d c ~ d e n t e s u b s i s t e , d~s q u e fo d ~ p a s s e 35 G H z .

F i n a l e m e n t , a v e c u n e c o r r e c t i o n de l i g n e n o r m a l e

e t sous r ~ s e r v e q u e s o n a f f a i b l i s s e m e n t r e s t e de l ' o r d r e

de 1 d B / k m , des b o n d s de 45 h 60 k m s o n t p a r f a i -

t e m e n t r ~ a l i s a b l e s e n l i g n e h y b r i d e ( g u i d e h d l i c o i d a l §

g u i d e h r e v ~ t e m e n t d i ~ l e c t r i q u e ) , d a n s la b a n d e des

50 G H z . A v e c u n p a r c o u r s ( t o u t h~ l i co i da l ) de 15 h

20 k m , r o u t e l a b a n d e de f r d q u e n c e es t d v i d e m m e n t p r i n c i p a l e m e n t u t i l i s a b l e .

L ' i n t e r f d r e n c e i n t e r s y m b o l e (h qu i s o n t d u e s les res-

Ph. Diff. ( rad)

3,5

7T P"

\ ~ ] / " .Y �9 ,P-

zs A

t . . . . . _~.._. _~. _.~, . . . . . . . . . . . . . . . ~:.~_-

2 B

................ ' -'-"~'~..z~-.,,/~,..---:\./ ........... \-..~.~-.~,2-~2T~, ~ - _ --,,

2,

0 C L(km) ~ ~ ,

FIG. 21 (*). - - Fonc t i onnemen t g~n~ral de la ligne, 108 MBaud.

A : fo ~ 35 G H z ; B : fo ~ 55 G H z ; C : f0 ~ 77 GHz. Impulsion gaussienne n ~ 2 : ( : P, - . . . . : p) ; impulsion rectangulai re : ( . . . . . . . . . . : p ) ; message : P ~ 1110100; p ~ 0010100.

(*) Sur la figure 21 et les suivantes , on note syst~mati- quement P + , p + , i les trac~s relatifs au calcul de la phase diffdrentielle entre la phase centrale du t ra in et la phase adjacente, d~calde de -[- T (~-) ou de - - T (--) .

27 /42 A. T~L~C., 29, n ~ 11-12, t 9 7 4

612 J . B R A Y E R . - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

er reurs d ' a p p r 6 c i a t i o n pa r fo i s i m p o r t a n t e s . C ' e s t a insi q u ' u n r e b o n d i s s e m e n t e x c e p t i o n n e l c o n d u i t , h 3,5 k m (cf. Fig. 21 a), h u n 6ca r t de p h a s e de 27~ alors q u e

l ' e r r e u r m a x i m a l e v d r i t a b l e ne d6passe gu6re 3~ Ce

d6sacco rd d i m i n u e a v e c l a d i s t a n c e , m a i s il es t encore ,

17,5 k m , de : 38~ - - 22~ = 15o99.

L a ddc ro i s sance s y s t 6 m a t i q u e de la p h a s e diff6-

r en t i e l l e P - (cf. F ig . 21 A) p e u t p a r a i t r e s u r p r e n a n t e .

E n fai t , il n ' e n es t r i en : t o u t d ' a b o r d p a r c e qu ' e l l e

e n c a d r e c o r r e c t e m e n t l ' i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e ( d o n t

les seules f l u c t u a t i o n s s o n t c r i t i q u a b l e s , c o m m e en

f igures 2 1 B e t C), e t s u r t o u t p a r c e q u ' e l l e ne p r6pa re ,

c o m m e n o u s le v 6 r i f i e r o n s u l t d r i e u r e m e n t , q u ' u n e

s imple i n v e r s i o n de phase .

ANNEXE E

I. Lorsque la dis tors ion d ' ampl i tude de la ligne est nulle, on sait [cf. (61) h {62)] que ~3g = tg(/0 ). Si sa distorsion de phase peu t en outre tendre vers z@o, son para- m6tre de dis tors ioa s ' annule :

t~(/o) -~ o ~ A ~ 0 ,

et les a rguments de (63) dev iennen t infinis sur la premi6re bissectrice. Plus exac t emen t , la convergence de erf(z) dtant assurde ~t l ' in t6r ieur du cSne d 'ouver tu re • r:/4, on peut derire, lorsque t < - - T / 2 :

z~(t) + - - o0 => erf (z~(t)) -> - - t ,

z~(t) ~ - - ~ => erf (Zl(t)) ~ - - 1,

d'ofl la l imite de (63) :

(E-l) q ( t ) = (112) [ ( - - 1 ) - - ( - - 1 ) ] ---- 0 , t < - - T/2.

De m~me, lorsque t > T/2 , tous les z,(t) t enden t vers -t- (~, toutes les erf (z~(t)) t enden t vers § 1, et il v ient :

(E-2) q(t) = (112) [ ( 1 ) - (1)] -- 0, t > T / 2 .

II . Plus gdndralement , avec une impulsion gaussienne au ddpart , on t rouve les l imites suivantes , lorsque la distorsion de phase de la l igue tend vers zdro :

~ g + tg(/o) + b l - j al, f l z= (4IT) {,TaL}ll 2 --~ (~/T) ~/]-{ce} 1/2.

Elles conduisent aux formes l imites des arguments :

I z2(t) --> [2 t -? T A- 2 j a,] /4 {c2}112 ,

(E-4) z,(t) -~ C2t - T § 2 j al]1/~{c2}112 -- [T - - 2 t - - 2 j al]/4 {c2} 1]2,

qui permet ten t , dv idemment , d ' ident i f ie r (63) et (70).

I I I . Enfin, lorsque la distorsion d ' ampl i tude de la ligne ne peut ~tre ndgligde, il v ien t :

(E-5) 23g --> tg(/0) A- b~ - - j c~;L - - j a~,

Jt ~ (~IT) ~-{(~oL/2)+ ~}~,

qui ent ra inent les formes l imites :

z2(t) --> [2 tA- T ~ 2 j (ccgL-? a l ) ] [~ {(~oL/2)-f - c2} ~1~, (E-6)

I Zl(t) -->-- [ T - - 2 t - - 2 j (aDL+al)Jl6:{(%'L/2)+c2} ~1~.

q(t) diff6re alors de g(t) et la ligne, m~me corrig6e, reste imparfai te .

I I . 4 . 2 . ,4 2 9 0 M d g a b a u d .

E n c o m p a r a n t les f igures 4 e t 19, on apprdcie , h

35 G t I z , l ' i n f l u e n c e de la d i s t o r s i o n de phase , l o r s q u e

la r ap id i td de m o d u l a t i o n c r o i t de 108 h 290 M B a u d .

T o u t se passe c o m m e si la l o n g u e u r de la l igne d t a i t

d i l a t6e dans un r a p p o r t 7, de sor te que la f igure 4 c o r r e s p o n d r a i t s e n s i b l e m e n t h u n p a r c o u r s de 54 k m

108 M B a u d , t a n d i s q u e cc lu i de la f igure 19 sera i t ,

290 M B a u d , d ' e n v i r o n 1 k m .

Ce t t e d i s to r s ion r e l a t i v e d i m i n u e r a p i d e m e n t a v e c

la f r 6 q u e n c e (cf. F ig . 22) c t la r d d u c t i o n de p h a s e

(Radians) 6 Phase

:,,5] |

4.

o 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5

FIG. 22. - - Influence de la fr~quence sur la r~ponse en phase, h 290 N[Baud. (~ : 42 G H z ; (~ : 55 G H z ; @ : 78 GHz. Impulsion gaussienne n ~ 2 : L = 7,5 km.

T

Enfin, lorsque - - T / 2 < t < T /2 , on a :

z2(t ) - > + o0 ::~ erf(z2(t)) ~ § 1,

zl(t ) --> - - (X:) => erf(zl(t)) - + - - t ,

ce qui condui t ~t :

(E-3) q ( t )= (112) [(1) - - ( - - I ) ] --= 1, - - T / 2 < t < TI2.

En regroupan t les rdsul tats prdcddents, il est clair que q(t) rest i tue une impuls ion rectangulai re centrde.

d i f f6rent ie l le p o u r L = 7,5 k m (cf. w II .1) d e v i e n t a ins i :

/co ( G H z ) I 35 42 55 77

[ 1 3 , 2 2 % 4,66 ~o 2,07 ~o 0,96 ~o

L ' i n t e r f 6 r e n c e i n t e r s y m b o l e j o u e ici un rSle t r6s ac t i f ; e t c o m m e l ' 6 c a r t m a x i m a l de phase d i f f6ren-

t i e l le p e u t a t t e i n d r e , p o u r L = 7,5 k m et h fo = 55 G H z , un ang le de 21 o, la ra ise en oeuvre d ' u n e c o r r e c t i o n

A T E L ~ C . , 29 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4 28/42

M . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U B G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 613

de phase p rec i se de la l i gne est i nd i spensab le , sur t o u t e la b a n d e du guide . .

L a f igure 23 p e r m e t de c o m p r e n d r e le f o n c t i o n n e -

m e n t g6n6ral de la l igne . O n r e t r o u v e t o u t d ' a b o r d

On d o n n e , f igure 23, c e r t a i n e s r6ponses dues h

l ' i m p u l s i o n r e c t a n g u l a i r e . L e u r d 6 s a c c o r d a v e c les

r6ponses gaus s i ennes es t n e t t e m e n t m o i n s m a r q u 6 q u ' h 108 M B a u d , t o u t s i m p l e m e n t p a r c e que la loi

FIG. 23. - - Fonctionnement gdn6ral de la ligne, ~ 290 MDaud. A : fo ~ 35 GI-tz ; B : f0 ~ 42 GHz; C : fo = 55 G H z ; D : fo ~ 77 GHz. Impulsion gaussienne n ~ 2: : P ; . . . . . . : p ; " =k); impulsion rectangulaire : ( . . . . . . . . . . : P, p ) ; impulsion gaussienne n ~ 3 : : P ; message : P = 1110100; p = 0010100; =k ~ 0001000.

(P_, gros t r a i t ) un p h 6 n o m ~ n e de t r a n s f e r t (cf. w II .3)

qu i f ixe h 10 k m la d i s t a n c e c r i t i q u e de la l igne. E n

o b s e r v a n t e n s u i t e l ' i n v e r s i o n n o r m a l e de l ' i m p u l s i o n de base ( t r a i t m i x t e ) , on c o n s t a t e que ce t r a n s f e r t n ' e s t pa s un p h 6 n o m ~ n e auss i s ingu l i e r q u ' i l en a l ' a i r

e t ne r e p r 6 s e n t e f i n a l e m e n t q u ' u n e fo r t e m a n i f e s t a t i o n

i n t e r s y m b o l e . Cela es t e n c o r e 6v iden t , f igure 23 B,

off il a fai l l i se p r o d u i r e .

T o u s ces t r ac6s c o n f i r m e n t q u e l a p h a s e diff6ren-

t i e l le ( m o d u l o 2 ~) es t u n e f o n c t i o n s t r i c t e m e n t con-

t i n u e de la d i s t a n c e . Ils e x p l i q u e n t d g a l e m e n t l ' ex i s -

t e n c e de la p r e m i e r e p l a g e (L ~-~ 5 k m ; L ~ 10 km) de f o r m a t i o n des e r r e u r s de t r a n s m i s s i o n , ma i s

c o n f i r m e n t q u ' e l l e n ' e s t pa s la seule, ca r on do i t

lu i a d j o i n d r e t o u t e s cel les r e l a t i v e s a u x s i g n a u x de ddg6ndrescence , c o m m e p a r e x e m p l e celle due

l ' i m p u l s i o n d6g6n6rde du t r i p l e t 101 (21 kin), ou

cel le (66 k m ; on n ' e n d i s t i n g u e q u e l ' a m o r c e P+),

associ6e~ h l ' i m p u l s i o n r6 s idue l l e du m e s s a g e P, etc.

d ' 6 1 a r g i s s e m e n t (en T -1) du s p e c t r e a p r e s q u e c o m -

pens6 , v i s -h -v i s de la d i spe r s i on du gu ide , l eu r d t e n d u e

n o m i n a l e r e l a t i v e . Cela es t t r~s n e t a v e c l ' i m p u l s i o n n ~ 3, q u i r e s t e g a u s s i e n n e p a r l ' a m p l i t u d e de ses

v a r i a t i o n s , m a i s su i t f i d ~ l e m e n t les f l u c t u a t i o n s r e c t a n -

gu la i r e s , h cause de la r a i d e u r de ses f lancs.

T o u s ces p h d n o m ~ n e s se r d d u i s e n t p r o g r e s s i v e m e n t

h l eurs p h a s e s in i t i a les , l o r s q u e fo d6passe 50 GHz .

L a f igure 23 D p e r m e t a lors u n e l i a i son c o n t i n u e a v e c

la f igure 21, ou le f o n c t i o n n e m e n t de la l igne 108 M 6 g a b a u d .

U n e a u t r e a p p r o c h e de la l i gne c o n s i s t e h l ' 6 t ud i e r ,

p o u r u n e d i s t a n c e donn6e , en f o n c t i o n de l a r ap id i t 6 fr de m o d u l a t i o n . On t r o u v e a ins i , p o u r u n e d i s t a n c e

c r i t i q u e de 7,5 k m , les v a l e u r s m a x i m a l e s pe rmi se s

de fr ( m o d u l a t i o n b ina i re ) , c o m p t e t e n u du b rou i l l age i n t e r s y m b o l e :

fo ( G H z ) ] 35 42 55 77

fr ( M d g a b a u d ) I 350 446 668 > 1 000

29/42 A. T~L~C. , 29, n ~ 11-12 , 1974

614 M . B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

On o b t i e n t ainsi , h 290 M B a u d , les d i s t a n c e s cri- t i q u e s s u i v a n t e s , a u x m ~ m e s f r 6 q u e n c e s p o r t e u s e s :

(82) Le (km) [ 10 17 41 113

On v6r i f i e enf in , h 35 G H z , q u e des d i s t a n c e s cri-

t i q u e s de 15 e t 30 k m s ' o b t i e n n e n t , r e s p e c t i v e m e n t ,

�9 h 245 e t 168 M d g a b a u d .

Q u e l q u e s t racds re la t i f s h c e t t e 6 t u d e s o n t r a s sem-

bl6s en f g u r e s 24 e t 25. Ils c o n f i r m e n t q u e l ' i n f luence

FIG. 24. - - Influence de la rapidit~ de modulation, pour une liaison de 15 km.

Impulsion gaussienne n o 2 : ( : P_ ; - - : P+ ; . . . . . : p ) ;

impulsion rectangulaire : ( . . . . . . . . . . : p ) ; message : P = 1110100 ; p = 0010100.

d ' i n t e r f 6 r e n c e s c o r r e s p o n d a n t e s , c ' e s t - h -d i r e e n c o r e

p a r l ' 6 c r i t u r e m S m e du message . On d 6 c o u v r e a ins i

la n o t i o n a l d a t o i r e du t a u x d ' e r r e u r p u i s q u e , p o u r

un m e s s a g e d o n n 6 (L 6 t a n t fix6), s e u l e m e n t e e r t a i n e s des t r a n s i t i o n s p e u v e n t s ' e r r o n n e r . B i e n e n t e n d u ,

l o r s q u e le m e s s a g e es t assez long , son t a u x d ' e r r e u r r se c e n t r e s t a t i s t i q u e m e n t , e t d e v i e n t u n e f o n e t i o n

q u a s i - d 6 t e r m i n i s t e de L. L a d i s t a n c e c r i t i q u e es t a lors h chois i r e n t r e d e u x v a l e u r s ex t rSmes , d6finies p a r

~(Lc,m) = 0 ( a u c u n e des t r a n s i t i o n s n ' e s t e r ron6e)

e t r 1 ( t o u t e s les t r a n s i t i o n s s o n t e r rondes) . E n l ' a b s e n e e de c o r r e c t i o n , il es t 6 v i d e n t q u ' o n d o i t

poser Lc ~ L c , m . Son o r d r e de g r a n d e u r p e u t se

d 6 t e r m i n e r sans 6 t u d e s t a t i s t i q u e v~ r i t ab l e , e t h l ' a i d e

de q u e l q u e s m e s s a g e s t y p e : on t r o u v e a ins i q u ' e l l e

es t d ' e n v i r o n 35 % in f~ r i eu re h la d i s t a n c e c r i t i q u e

de l ' i m p u l s i o n de base , l o r s q u e (I) 0 = 7:[2. C e t t e r~gle, qu i m e s u r e l ' i n f l u e n c e du b rou i l l age i n t e r s y m h o l e ,

es t h r a p p r o c h e r de ce l le o b t e n u e au p a r a g r a p h e I I .2 .1

dans le cas de la m o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e .

On p o u r r a i t , de m ~ m e , d 6 t e r m i n e r L e , M , m a t s les r6su l t a t s p r 6 c 6 d e n t s s u g g ~ r e n t de la r e m p l a e e r a v a n -

t a g e u s e m e n t p a r l a d i s t a n c e c r i t i q u e Le(T:07:) du t r i -

p l e t ~07 : , en m o d u l a t i o n de p h a s e b ina i re . E n effet , h c e t t e d i s t a n c e , t o u t e s les t r a n s i t i o n s de p h a s e n o n

nul les s o n t e r rondes , e t le m e s s a g e b i n a i r e en t i~ re -

m e n t in in t e l l i g ib l e . A fortiori, t o u t m e s s a g e q u a t e r -

na i r e l ' e s t aussi . O n t r o u v e ainsi , h 290 M 6 g a b a u d :

f0 (GHz) I 35 42 55 77

Lc (n07 : ) ( k m ) ] 21 37 86 246

e t p lus g ~ n ~ r a l e m e n t , en f o n c t i o n de la f r ~ q u e n c e

p o r t e u s e : T A B L E A U V I

Valeur (en MBaud) de la rapidild de modulation corrcspondant d u n e distance critique Le(n0n) donnde

Fr6quence porteuse (GHz) Le(n0n)

(km) 35 42 55 77

7,5 15 30

480 350 240

650 450 320

890 690 490

1 500 1 000

830

FIG. 25. - - Comme en figure 24, mais pour une liaison de 30 km.

du b r o u i l l a g e i n t e r s y m b o l e c ro i t c o n s i d 6 r a b l e m e n t

a v e c f r , ce q u e les r e l a t i o n s (81) e t (62) l a i s s a i en t

p r6vo i r , p u i s q u ' e l l e s c o n d i t i o n n e n t L ( d o n c l ' e x p o s a n t de t r a n s f e r t l u i - m ~ m e ) c o m m e (fr) 2.

I1 en r6su l t e q u e l ' e s t i m a t i o n d ' u n e d i s t a n c e cr i- t i q u e , en m o d u l a t i o n q u a t e r n a i r e , d e v i e n t d61icate

d~s q u e fr ddpasse q u e l q u e s c e n t a i n e s de M 6 g a b a u d . E n effet , 6 r a n t d o n n d les 10 f o r m e s poss ib les de t r a n - s i t ions q u a t e r n a i r e s , la p l age d ' e r r e u r p r i m a i r e es t

r a p i d e m e n t b a l a y d e p a r les d i f f6 ren tes c o m b i n a i s o n s

F i n a l e m e n t , n o u s c o n n a i s s o n s les d e u x po r tde s :

m a x i m a l e Lc ,M [ c ' e s t - h -d i r e Lc(7~0~)] e t e f f e c t i v e

Le,m (*), d ' u n e l i gne n o n corr igde ; ma t s q u e d i re de sa p o r t 6 e u t i l e en p rdsenee de c o r r e c t i o n ? L a

q u a n t i t ~ c o r r e s p o n d a n t e Le.M n ' a 6 v i d e m m e n t

a u c u n in t6 r6 t p r a t i q u e , e t la d i s t a n c e ~Lc,m el le- m 6 m e , p a r c e q u ' e l l e es t r e l a t i v e m e n t cons idd rab l e ,

p e r d une g r a n d e p a t t i e de sa s ign i f i ca t ion .

E n effet , des ca l cu l s r6cen t s effectuds p a r T R F

38 G H z , en m o d u l a t i o n q u a t e r n a i r e h 290 M 6 g a b a u d , m o n t r e n t q u e l ' e r r e u r r6s idue l l e (sur les phases n o m i -

nales) a t t e i n t les v a l e u r s s u i v a n t e s , a v e c u n e co r r ec -

(*) Cf., figure 32 (trait plein, n ~ 4), au paragraphe II.7.

A. T~L~C. , 29, n ~ 11-12 , 1974 30/42

M. B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 615

t ion l in6aire pa r fa i t e du t emps de p ropaga t ion de groupe et pour L = 15 km :

7~]2 : 1o0839 7~ : 1o0692 371/2 : 1o0061

Ils coudu i sen t de mfime, en modu la t i on biuaire (35 GHz) et pour L : 30 k m :

0

Correct ion lin6aire 2o5216 2~

Id. -~ corr. q u a d r a t i q u e 0o5124 0o4315

Id. § corr. cub ique 0~ 0~

E n e x t r a p o l a n t ces rdsultats , on vo i t immddia te- m e n t que Lo,m p e u t d6passer 50, voi re ent re 75 et 100 kin, a v a n t que des 6carts d ' au moins 5 h 10 ~ ne

causent une r emon t6e s ignif icat ive du t a u x d'erreurs.

Dans ces condi t ions , la por tde ut i le Lu ne d6pendrai t p r a t i q u e m e n t plus de la phase du guide, mais seule-

m e n t de ses per tes globales de t ransmiss ion, en v6r i f lant :

(83) 0r L u ~ A N 6 p e r to l6 rab le "~ {:{max Lc,m �9

En r6alit~, le probl~me se pose d 'une fa~on tr~s

diff6rente, car c ' es t l ' enve loppe non corrigde du signal

qui est utilis6e, en f r6quence in term6diai re , sur la

p resque to ta l i t6 de la chaine de r6ception. En admet - t a n t (ce qui est m a n i f e s t e m e n t impossible) que ni les

6qu ipements d ' ex t r6mi t6s , n i l e syst~me n ' i n t rodu i sen t de bru i t et de dis tors ions suppl6menta i res , ce t t e enve-

loppe reste condi t ionn6e par l ' exposan t de distorsion p ropre (cf. 45) :

P(u,/o) L = F R L + j Pi L

(84) = P o n L § < A P R > L + j < A P I > L + j P0zL;

don t le dernier t e r m e peut , seul, ~tre compens6 par la cor rec t ion de phase [cf. w 1.3.1 : r e m a r q u e b)]. Tout

se passe alors c o m m e si la loi normale de dispersion

du guide 6tai t remplacde par une loi de f luctuat ions, don t l ' in f luence est loin d '6 t re n6gligeable.

Ces pe r tu rba t ions , sans g6n6rer d ' e r reurs syst6ma- t iques , font c e p e n d a n t eroi t re le t a u x d ' e r r eu r par

d6grada t ion du seuil global, r e l a t i v e m e n t au n iveau de brui t . Comme ellcs ddpenden t de la longueur

[cf. (84)], il exis te n6cessa i rement une dis tance s qui s 'associe h un t a u x d ' e r reu r z donnde, et c ' es t finale-

m c n t h l ' une de ces q u a n t i t f s ~(z) que correspond la d is tance ut i le de la liaison. E n pra t ique , t a n t que la synth~se effect ive d ' u n syst~me n ' es t pas en cause, il

suffit d 'u t i l i se r une dis tance 6quiva len te g(8~), 8{I}

d tan t une e r reur marg ina le l imi te , co r r ec t emen t

choisie.

I1 est 6v iden t que des calculs pr6cis p e r m e t t e n t

seuls de rel ier ~ h Lc,m. Cependant , il est possible d 'aff i rmer , p u i s q u ' u n t a u x d ' e r reu r mei l leur que 10 -s

a dt6 e x p d r i m e n t a l e m e n t ob t enu vers 38 GHz, pour L = 15 km [4], que :

(85) Lu ~ ~ (10 -s) ~ 2,34 Lc,m.

T a n t quc lc n iveau de cr~te des f luc tua t ions varie

r e l a t i v e m e n t peu avec la f r6quence por teuse , on peut

6tendre ce r6sul ta t , grosso modo, ~ t ou t e la bande

co r re spondan te du guide (cf. w II.7). I1 est d 'a i l leurs

p a r f a i t e m e n t confo rme h la th6orie, pu isque la

re la t ion

(86) 4,28 Lc,m <~ Le,M <~ 4,41 Lc,m

existe ent re les deux extr6mit6s de la bande. I1 existe une in t e rp r6 ta t ion r e m a r q u a b l e de la

portde m a x i m a l e d ' une l igne (non corrig6e), que nous

allons pr6ciser. Son signal de dis tors ion (cf. A n n e x e F) :

DT(t) = 7(0 - - ~( t )

puissance rddui te de dis tors ion (*)

(87)

engendre unc [cf. (F 12)] :

(88) N / C = PDT/P~

que l 'on a repr6sent6, figure 26, dans le cas d ' u n e

impuls ion gauss iennc n ~ 2, modul6e en ampl i tude . On y cons ta tc auss i t6 t que la va leu r Lc = 3,15 km

(cf. t ab leau V) cor respond h N]C = 0,253, d 'ofl un

r appor t ~/0,253 = 0,503 des composan tes de dis-

tors ion et de signal, t o u t h fai t conforme h la no t ion de dis tance c r i t ique envisagde. En d ' au t r e s t e rmes ,

l ' exp lo i t a t i on no rma le d ' une ligne de t ransmiss ion , en modu la t i on d ' a rnp l i tude , exige un r appo r t signal h

bru i t de dis tors ion supdrieur ou dgal h 4.

En supe rposan t les trac6s de la figure 23 h ceux

de la figure pr6c6dente , on consta te , pa r une s imple

t r ans la t ion (cf. Fig. 26), que la va leu r ~ e s t e n par-

Ph. Diff. sssx.

(rad) /

l

/

/ / / a m

r j

/ 50 100 200

bN

"1

0,5

L(km)

FIG. 26. - - Corr61ation entre l'inversion de phase et la puissance rdduite de distorsion.

Echelle de gauche : Echelle de droite (N]C) : . . . . . . . . . .

fai te corrdla t ion avec N]C = 0,938. Les d is tances

cr i t iques cor respondan tes , 16g~rement sup6ricures aux

abscisses de con tac t , sont donc tou tes associ6es h des

va leurs de N ] C comprises en t re 0,95 et 1. On d6couvre ainsi que la por t6e m a x i m a l e d ' une l igne de t rans-

mission, en m o d u l a t i o n de phase, s ' ob t i en t en m o d e

binai re [cf. (82)], et cor respond h u n r a p p o r t signal

h b ru i t sens ib lement 6gal h 1. Cela signifie 6videm-

ment , pour l ' u t i l i sa t ion de la ligne, le mei l leur ren-

d e m e n t possible cn t ransmiss ion.

(*) Qui n'est autre que l'inverse du rapport : signal h bruit de distorsion.

31/42 h . TI~LI~C., 29, n ~ 11-12, 1974

616 M. B R A Y E R . - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

A N N E X E F

I. Supposons que les signaux, h l'entrGe et h la sortie d 'un systGme de transmission, aient pour enveloppe complexe respective ,~(t) et F(t). Le signal de distorsion produit par ce dernier est alors, par d6finition m~me :

(F-I) DF(t) = F(t) - - ~(t).

Si p~(]) et PDV(]) repr6sentent les spectres de puissance respectifs de ~(t) et DF(t), on appelle respectivement puissance moyenne de signal et de distorsion les quantitGs :

(F-2) P~ = Z : p~7(/) d / ,

(F-3) PD~. = Z ~ pD~'(/) d / .

qui permet tent de d6finir la puissance rdduite de distorsion :

(F-4) N/C = PDT[P~.

II . Lorsque le systGme est une ligne de transmission, son exposant de transfert prend la forme gdndrale :

W ) L = Aft) + j B(]).

En introduisant les expressions :

Ah(u) = h (u + ] o ) - Afro),

AB(u) = B(u + f o ) - B(/o),

on 6crit formellement, avec (45) et (47) :

~'(t) = Z ~ "~V(u) e--AA(u)--j[AB(u)--2=t~(fo) u] eJ 2=ut du

ce qui conduit aussitGt, avec (F-l) , & l 'enveloppe de distorsion :

s W(u)[e--AA{ u) e--j[AB<u)--2=t,(fo )u] -- 1] • DF(t) ~ w

eJ 2=ut d u ,

dont la transformGe de Fourier est :

Dr'(t) ~ ~r [e--Ah(u) e--J[AB(u)--2=utg(fo)]- 1] �9

La puissance moyenne du signal de distorsion est donc, d'aprGs le thdor6me de Parseval :

PDT = / ~ : pvv(u) [e--AA(u) •

e--jEAB(u)--2=ut~(fo) ] - - l[ du,

(F-5) PD7 = f : p~(u)[1 -F e -2AA(u) - -

2 e--AA(u) cos {AB(u) - - 2= u t~(/o)}]~da.

Les calculs num6riques de (F-2) et (F-5) permettent ainsi, dans le cas g6n6ral, de connaitre la puissance rGduite de distorsion de la ligne.

I I I . Dans le cas d 'une approche analytique de la ligue, on peut 6crire, avec (44) et (52) :

1 AB(u) - - 2 = u t d / o ) = ~ (2=u) ~ t~(/o),

d'ofl :

(F-6) PDT = / _ p,~(u) [1 -F e -2AA(u) - -

2 e--A(u) cos {2==t~(]o) uS}] d u .

A c e niveau des calculs, il est intGressant d ' introduire la frGquence r6duite : v = uT, pour r66crire (F-2) et (F-6) sous la forme :

(F-7) P~ = ~ p~.(v) dv ,

1 F~o F (F-8) PDT : ~ / _ PTv(v)/l -~-e -2AA(v) - -

v 2 dr .

et obtenir, avec (F-4) :

(F-9) N[C- - T p ~ / : p ~ v ( v ) l , + e--2AA( v ) -

2 e--AA(v) cos t 2=~ t'g(/~

Pour 61iminer le coefficient de cette int6grale, il suffit d ' introduire le spectre de puissance normalis~ du signal, qui v6rifie :

(F-t0) Z ~ v ( v ) dv = 1 .

En comparant (F-7) et (F-10), on d6duit : 1

(F-11) P~T p~(v) = ~ ( v ) ,

ce qui permet d'6crire, finalement :

(F-12) N ] C = / : ~ T v ( v ) ~ l +e--2AA(v) -

2e--AA('j) cos 2= 2 T ~

IV. I1 est parfois diffleile d 'expr imer ~ ( v ) . Mais en modulation d 'ampl i tude, lorsque l ' impulsion de base est gaussienne, ce spectre normalis6 se d6duit faeilement de (70). En effet, la forme r6duite de g(t) ayant pour trans- form6e de Fourier :

g(t) e r f l 4• T -F err ~ ,_ T

1 1 erf t4• t g(o) 2err ~ 1 l ! l x

sin =1 T e_(2=• ; =IT

lo thGor~me de Parseval permet de poser imm6diatement :

(F-13) ~,(v) = K (sin = v~* e_S(x,=v)= \ ~v /

On calcule la constante K ~ par t i r d 'une application numG- rique de (F-10), mise sous la forme :

/ : ~ s i n = v 2 (F-14) ~,~(v) dv=2K f ( - - / e -8(• dr=,.

Jo \ =v /

C'est aprGs avoir rGsolu (F-I~) que nous avons pu tracer, avec (F-12), la figure 26.

En reprenant ces calculs avec diff6rents types d ' impulsions, on peut se faire une id6e (et sans faire aucune 6rude directe de propagation) de leur effmacit6 relative en transmissions. Nous avons ainsi v6rifi6 que l ' impulsion fonda- mentale (70 bis) (raised-cosine) est quelque peu meilleure que l ' impulsion gaussienne n ~ 2, comme le laissait prGvoir la bande limit6e de son spectre.

II .5. I n troduc t ion ~ la correc t ion de phase de la l i the .

L a loi de d ispers ion d ' u n gu ide p e u t s'Gcrire, quelle que soi t la v a r i a b l e u = f - - fo a u t o u r de la frGquence po r t euse fo :

(89) ~(fo q- u) L = BoL q- uBIL -F u~B2L q- d(u)L.

A. T/:L~C., 29, n ~ 11-12, 1974 32/42

M. BRAYER. -- TRANSMISSION DES SIGNAUK SUR GUIDE A GRANDE DISTANCE 617

Les deux premiers te rmes de cette expression, corres- p o n d a n t r e spec t i vemen t h la phase h l 'arriv6e et h la dur~e ( B x L ] 2 ~) de la p ropaga t ion dans la ligne, ne causent aucune distorsion. Le troisi~me engendre par contre la d is tors ion l in6aire du temps de p ropaga t ion de groupe (t .p.d.g.) , et le dernier l ' ensemble des distorsions r~siduelles de la ligne. Il ne m~rite cependan t cette appe l l a t ion que t a n t qu ' i l reste ndgligeable devan t le t e rme en B 2 . Cette restr ict ion, [d(u)[ d tan t fonct ion croissante de l u], d~pend essent iel lement de la bande effective A f M du signal. En ass imilant cette derni~re (pour s implif ier les applicat ions num~riques) h la bande pas san te h 20 dB de l ' impuls ion de base, on ob t ien t a isdment , avec un filtre de forme gaussien :

A f M -~ Af2 o = 2,5776 A f B ;

c'est-fi-dire encore, avec l ' impuls ion n ~ 2 ( tab leau II) :

(90) 108 MBaud : ( 1 / 2 ) A f M = 139 M H z ,

290 MB aud : (1/2) A r M : 374 MHz .

Les valeurs ut i les de [u I res tent toujours infdrieures h 1, d~s que l ' on expr ime dans (89), u et B n respecti- vemen t en GHz et (ns)n/km. On peut alors explici ter d(u), sans r isque de divergence, par la sdrie enti~re

o~ (91) d(u) = ~, u n B n ,

et ident if ier le second m e m b r e de (89) h u n d6ve- loppement de Taylor , condu i san t f ina lement au tab leau VI I .

avoir d ' i n t e rp rd t a t i on phys ique vdritable. Cela est i r rdfutable ; mais il f au t r econna l t re dgalement , sans remet t re en cause l ' ex is tence du principe de causalitd, que son appl ica t ion n ' e s t pas tou jours s t r i c t emen t indispensable en t ransmiss ion numdr ique . E n effet, h cause du codage et du principe m~me de la rdgdndration (qui n ' dc ha n t i l l onne le signal q u ' a u x brefs i n s t an t s de la ddcision), l ' i n fo rma t ion utile n ' e s t pas t a n t supportde par la d y n a m i q u e propre du signal que par le fait que ses dchant i l lons sat isfont aux cri- t~res imposds par la quan t i f i ca t ion . La fonct ion de t r ans fe r t a u t h e n t i q u e de la ligne, et sa forme ana ly- t ique approchde [non causale, mais d i rec tement intd- grable au sens de (50)], condu isen t h deux formes rdgdndrdes du signal qui, sans pouvoi r ~tre ~v idemment ident iques quel que soit t, le r es ten t cependan t sur un in terval le de t emps suf f i samment long pour les besoins de la d6modula t ion . I1 existe dans la l i t t6ra ture , au suje t de cette causali t6, une excellente discussion re la t ive h la p ropaga t ion de l '6chelon unit6 [19 h 22]. E n su i va n t le r a i s o n n e m e n t de C. Knop [21], on mon t r e a is6ment que la r6ponse ~(t) reste suffisam- m e n t proche de sa forme cansale, t a n t que

(92 ) It - - ~g[[ T ~ ( h i 4 ) I A ] 2 fo T [1 - - (folfo) 2] ;

c 'est-h-dire encore, avec (62) :

T < P \ f o / | - - ( f d f ~

L ( k m , ( f ~ ) 2 I 3333,3333 ~ ~/1 - - (fe]fo) 2 .

TABLEAU VII Progression des coefficients B~ de la loi de dispersion du guide (50 mm)

fo (GHz)

35 45 6O 8O

Bo B1]Bo - - B2[B x - - B3IB 2 - - B d B 3 - - B d B * - - B d B 5 (rad/km) (ns) (ns)

7,16836.105 9,29932.105 1,24725.10 e 1,66849.10 e

0,029877 0,000653 0,022825 0,000301 0,016918 0,000126 0,012605 0,000053

0,029877 0,030204 0,030523 0,030829 0,022825 0,022976 0,023125 0,023270 0,016918 0,016981 0,017044 0,017105 0,012605 0,012632 0,012658 0,012680

On en dddui t que l ' a p p r o x i m a t i o n (52 bis) est par- fa i tement just if ide sur t ou te la bande du guide, et que l 'e r reur m a x i m a l e de phase qu'el le en t ra ine ne peu t ddpasser, selon la rapid i td de modu la t ion : 0,428 % h 108 MBaud, et 1 , 1 5 1 % h 290 MBaud.

Cette erreur, grace h !a forme lindaire y ( f ) L de l 'exposant de t rans fe r t , se rdpercute imm~dia t emen t sur la distance. La va leu r Lc ~ 3,20 km du tab leau IV n ' e s t donc ainsi c o n n u e qu 'h 37 m pros ; ce qui, en compa- raison des rdsul ta t s du t ab l eau V, ne modifie e n r i e n les conclusions prdcddentes . On peut donc affirmer que la mdthode a n a l y t i q u e permet , t a n t que fr]fo ~ 0,025, une approche su f f i samment prdcise de la t r ansmiss ion dans les guides h g rande distance, en l ' absence de per tu rba t ions .

On lui reproche, en revanche, et h cause de sa rdponse impu l s ive non causale [cf. (55)], de ne pas

Avec L = 15 km et fr = 290 MBaud, on t rouve ainsi, h 35 G H z : It - - 2~gI]T < 673. Les modu lan t s aetuels, qui c o m p r e n n e n t r a r e m e n t plus d ' u n e v ing ta ine d ' impulsions, ne p e u v e n t donc ~tre affect6s d ' une erreur d ' e s t ima t ion qui p rov i end ra i t d ' u n e viola t ion fla- g ran te du principe de causalit6. On notera que It - - ~ g [ ne d6pend de L, dans (92), que pour expr imer que l ' in te rva l le de val idi t~ de (53) est d i rec tement p ropor t ionne l h l ' 6 t endne mdme du col de l ' in t6- grale. Mais il n ' y a pas de faux probl~me h la l imi te ; et b ien q u ' o n n ' a i t j ama i s d6montr6 , h notre connais- sance, que (55)--~ 8(t) lorsque L - ~ 0, un r a i sonnemen t simple commc celui de l ' A n n e x e E suffit h m o n t r e r que ~(t) - ~ ~(t), lorsque la longueur du parcours t e n d vers z6ro.

Les distorsions d 'a f fa ib l i s sement et de phase impo- sdes par la l igne s '6cr ivent , par ddfini t ion m~me :

33/42 A. TEL~C., 29, n ~ 11-12, 1974

618 M. B R A Y E R . -- TRANSMISSION DES S I G N A U X S U R G U I D E A GRANDE D I S T A N C E

i D ~ ( f ) = ~ ( f ) - - o~(fo) , (93)

D~5(f) ~ ( f ) - - ~3(fo) - - ( f - - fo) d ~ ( f o ) / d f ,

et i n t e r v i e n n e n t d i r e c t e m e n t [cf. (45) e t (47)] dans

la f o r m a t i o n de l ' e n v e l o p p e c o i n p l e x e ~(t).

T a n t q u e la p h a s e ~(f) res te , au v o i s i n a g e de f0 ,

une f o n c t i o n c o n c a v e de la f r 6 q u e n c e ( c o m m c elle

l ' e s t t o u j o u r s en l ' a b s e n c e de ~ A ~ ( f ) ~ ) , on p e u t

ca lcu le r la d i s t o r s i on m a x i m a l e de p h a s e DM~ subie

dans u n e b a n d e de f r 6 q u e n c e ( f _ , f+) donn6e . I1 v i e n t

ainsi , en v a l e u r r e l a t i v e :

(94) 5M~ = D M ~ / ~ ( f o ) = [ D ~ ( f + ) + D ~ ( f _ ) ] / ~ ( f o ) .

E n p r e n a n t p o u r b a n d e u t i l e la b a n d e e f f ec t i ve

ArM du s ignal , on d o n n e h (94) ( avec (89)) la f o r m e

s impl i f i~e :

D~,~ ~ 2((112 ) AfM)2 B 2 / B o ,

qui c o n d u i t , a v e c (90), h l ' e x c e l l e n t e a p p r o x i m a t i o n

(fo = 35 G H z ) :

i r i g o u r c u s e : - - 5 , 4 5 9 3 1 7 . 1 0 - ~ ,

~)M~ - a p p r o c h 6 e - - 5 , 4 5 7 8 7 2 . 1 0 ~.

On d~f in i t de m ~ m e la d i s t o r s i o n du t e m p s de p r o p a g a t i o n p a r :

(95) Dtg ( f ) = tg(f) - - tg ( fo) ,

et sa v a l o u r i n a x i m a l e dans u n e b a n d e d o n n d e ( t a n t

que tn(f) r e s t e u n e f o n c t i o n c o n v e x e ) :

(96) I ~ t g ~ D M t g / t g ( f o ) = [Dtg(f+) - - Dtg(f_) ] t g ( [ 0 )

(tg(f+) - - t~( f_) ) / tg( fo) .

E n p r a t i q u e , il es t t r~s i n t 6 r e s s a n t de d 6 c o m p o s e r (95)

en ses t e r m e s de d i s t o r s i on l inda i re e t n o n l in6a i re :

D t g ( f ) - (Dtg(f))lin~aire q- (Dtg(f))no n linSaire ,

e t de p o s e r :

(97 a) (Dtg(f))lin6aire : ( f - - f o ) dtdfo)/df,

(97 b) (Dtg(f)) .on ,~n~i~e: tg( f ) - - tg( fo)-- ( f - - fo) d tg( fo) /d f .

I1 v i e n t de m 6 m e , a v e c les d i s to r s ions m a x i m a l e s :

(f+ - - f_) d t d f o ) , (98 a) (~) M[g)lin6aire

tg(fo) d f

(98 b) ( D M / g ) n o n l i n 6 a i r e = I t g ( f + ) - - tg(f_) - - (f+ - - f_)•

Ces q u a n t i t 6 s o n t var i~ , lors des a p p l i c a t i o n s n u m ~ -

r i ques p r 6 c ~ d e n t e s (gu ide de 50 m m de d i a m ~ t r e ) , en t r e les l i m i t e s e x t r S m e s :

35 G H z (290 M B a u d )

[ )M/g

(5.x~lg)non lin~aire

- - 9 , 7 7 2 5 0 8 . 1 0 -a

- - 9 , 7 7 0 0 4 1 . 1 0 -4

- - 2,466982 . 10 -7

78 G H z (108 M B a u d )

- - 3 , 1 6 5 1 1 0 . 1 0 -5

- - 3 , 1 6 5 0 9 0 . 1 0 -5

- - 2 , 0 5 1 9 7 5 . 1 0 -1~

Ces r d s u l t a t s m o n t r e n t c l a i r e m e n t q u e le t e r m e de

d i s to r s ion l in6ai re es t le seul q u i agisse v 6 r i t a b l e m e n t ,

a u x rap id i t6s de m o d u l a t i o n uti l is6es. Sa v a l e u r a p p r o c h 6 e s 'dcr i t , a v e c (89) :

~)(M~g)lin~aire ~" 4(1 /2 ) A/M) B 2 / B 1 �9

El le e ro i t d ' u n f a c t e u r 30 e n t r e les l imi t e s p r6e6den tes

e t il es t faci le d ' a p p r ~ c i e r , en c o m p a r a u t les f igures 15

(pou r L ~ 15 k in) e t 27, son in f luence r e l a t i v e sur le s ignal . P lus p r ~ c i s 6 m e n t , il v i e n t dans les d e u x cas :

35 G H z (Fig . 15)

tg(f0) 51130 ,1188 ns

(DMtg)Un~alre - - 49 ,954336 ns

(DMtg)non lin~aire/T 14,49

78 G H z

(Fig. 27)

50221,5219 ns

- - 1,589556 ns

0,1717

I1 f a u d r a i t done i n e t t r e en oeuvre , p o u r r e t r o u v e r la

qua l i t~ de la f igure 27 (ou n n e d i s to r s ion r6du i t e de

0,1717) h 35 G H z , u n e c o r r e c t i o n l in6a i re de 9 8 , 8 1 % .

De m S m e , si la p e n t e m o y e u n e du e o r r e e t e u r 6 t a i t

e x a e t e m e n t de 66 ,7839 n s / G H z , la figt/re 27 cor res -

3

2 '

1

0

( R ad ia ns)

T 0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

FIG. 27. - - R~ponse en phase a 108 MBaud, pour L ~ 15 km. fo ~ 78 GHz.

o? : impulsion gaussienne de r6f~rence (n ~ 2). (!~ : phase 0(t).

p o n d r a i t h une v a r i a t i o n m a x i m a l e de 1,2 %, pr6ci -

s ion q u ' i l n ' e s t p a s i m p o s s i b l e d ' o b t e n i r en p r a t i q u e .

L a c o r r e c t i o n l i n6a i r e de t e m p s de p r o p a g a t i o n de

g r o u p e a p o u r b u t de n e u t r a l i s e r a u t a n t que poss ib le (97-a) [23]. E l l e i m p o s e d o n e au p a r a m ~ t r e ~ de dis-

t o r s i on la f o r m e r6 s idue l l e (E-5) . C o m m e cel le-ci ne

d 6 p e n d p lus q u e de ~ r , il en rdsul te , en a p p r o c h e

a n a l y t i q u e , une e s t i m a t i o n q u a s i - f a n t a i s i s t e des dis-

t a n c e s u t i les Lcm e t s en t o u t eas b i en t r o p o p t i m i s t e p o u r 8 t re r d e l l e m e n t u t i l i s ab le en p r a t i q u e .

N o u s rdse rvons d o n e h u n e p r o c h a i n e p u b l i c a t i o n , darts

le c ad re d ' u n e i n t 6 g r a t i o n n u m 6 r i q u e en p r6sence de

f i l t r age e t de p e r t u r b a t i o n s , la d i scuss ion des p ropr i6 t6s

gdndrales de la l i gne cor r ig6e . L ' a p p r o c h e a n a l y t i q u e r e s t e c e p e n d a n t tr~s u t i l e

dans ce r t a ins cas. P a r e x e m p l e , si l ' o n ddsire q u e le

c o r r e c t e u r soi t p rdrdgl6 en u s ine sur une d i s t a n c e L o

donn6e , el le p e r m e t d ' 6 v a l u e r l ' e r r e u r de p h a s e diffd- r en t i e l l e qu i rd su l t e de ce q u e le pas de r6g6n6ra t ion

diff~re t o u j o u r s , en p r a t i q u e , de L o . U n e a p p l i c a t i o n

es t donn~e, f igure 28, p o u r L o ~ 15 k m , e t le t a b l e a u V I I I en p r6c i se les d i f f6 ren tes p lages d ' a c c o r d ,

A. T~L~=C., 29, n ~s li-i2, 1974 34/42

M . B R A Y E R . - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D ] ~ D I S T A N C E 619

Fia. 28. - - Plage d'accord, en fonction de la distance, d 'un correcteur lindaire prdrdgM A 15 kin. A : fo = 35 GHz B : fo 42 GHz C : fo = 55 GHz D : f0 ~ 77 GHz Message : ( 1110100 ; 0101101 ; . . . . . 0010100 ; 0001000). Impulsion gaussienne n ~ 2 : fr = 290 MBaud.

TABLEAU VI I I

Plages d 'accord re la t i ves d u n e erreur m a x i m a l e de 5 ~

fo (GHz)

35 42 55 77

dtg(fo)/df (ns/GHz)

66,783865 37,852193 16,531165

5,945577

IL - - L o l I L o ( % )

4,3333 7,3333

15,3333 47,6666

5,059 4,948 5,248 5,405

l o r s q u ' o n f ixe h 5 ~ l ' e r r e u r t o l 6 r a b l e de p h a s e diff~-

r en t i e l l e .

On en d ~ d u i t aus s i tO t q u e la n o t i o n de p rd rdg lage

n ' a gu~re de sens , t o u t au m o i n s e n - d e s s o u s de 50 G H z ,

e t q u ' u n e c o r r e c t i o n d ' a s s e z g r a n d e a m p l i t u d e do i t

au c o n t r a i r e ~ t re s y s t d m a t i q u e m e n t p r d v u e en d d b u t

de b a n d e . C e r t a i n e s v a r i a t i o n s de p h a s e a p p a r a i s s e n t

m a n i f e s t e m e n t l i nda i re s , f igure 28, au v o i s i n a g e de

l ' a c c o r d . Mais ce p h d n o m ~ n e n ' e s t p a s g~n~ral ,

c o m m e le c o n f i r m e la f igure 29. E n fai r , les v a l e u r s

de k (cf. t a b l e a u V I I I ) c o n f i r m e n t q u e ces v a r i a t i o n s

o n t des p e n t e s p r o p o r t i o n n e l l e s h d t g ( f o ) / d f ; m a i s en

rda l i t6 l ' e r r e u r de p h a s e d i f fd ren t i e l l e , apr~s c o r r e c t i o n

de l igne , r e s t e con t r61de p a r les d i s t o r s i o n s d ' a m p l i -

FIG. 29. - - Fonct ionnement ddtaill6 du correcteur de la figure 28 A, aux trois phases nomiuales : re/2; ~ ; 3~/2

d 'une modulation quaternaire.

t u d e e t de p h a s e r~s iduel le , au v o i s i n a g e de fo

(cf. w I I .6) .

L ' 6 t e n d u e de la p l a g e d ' a c c o r d , f igu re 29, ne d d p e n d

p r a t i q u e m e n t p a s de la p h a s e On s i g n i f i c a t i v e . Cela

35/42 A . T ~ L ~ C . , 29, n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4

620 M. B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

s ignif ie q u e la c o r r e c t i o n de p h a s e ne f a v o r i s e pas une t r a n s i t i o n donn6e , m a i s ag i t au c o n t r a i r e uni- f o r m d m e n t sur c h a c u n e des i m p u l s i o n s du t ra in .

I1 es t d o n c poss ib le , l o r s q u e les p e r t u r b a t i o n s r6si- due l les e t les n i v e a u x de b r u i t r e s t e n t s u f f i s a m m e n t

fa ib les , d ' o b t c n i r u n e l i a i son de t r~s b o n n e q u a l i t C

Cela ndcess i t e n 6 a n m o i n s , i n d d p e n d a m m e n t du cor-

r e c t e u r , un rdg lage prdcis de la cha ine .

II.6. Premiers r6sultats relatifs au probl6me des fluctuations.

T a n t q u e l ' i m p d d a n c e t r a n s v e r s a l e de p a r o i d e m e u r e

n6g l igeab le , la p h a s e ~[ol](f) d ' u n gu ide hd l i co ida l res te

t r~s p r o c h e de cel le du g u i d e iddal (*). On t r o u v e

ainsi , a v e c un gu ide h hdl ice r en fo rcde , l o r sque

koci = 18 (fo ~ 34,38 G H z ) [24] :

= 2 , 4 9 6 4 5 7 . 1 0 -4 N p / m ~ = 703 ,4978160 r a d / m

~ = 0 ~ = 703 ,4975810 r a d / m .

Ces r 6 s u l t a t s s ign i f ien t , c o m m e il es t m o n t r 6 en

A n n e x e G, q u e la v a r i a t i o n de p h a s e

~ = ~ - - ~ = 2 , 3 5 . 1 0 -4 r a d / m

p r o v i e n t de l ' a p p a r i t i o n m ~ m e de l ' a f f a i b l i s s e m e n t

~ ( 3 ~ = ~ - - ~ = ~), e t lu i es t d ' a i l l e u r s s e n s i b l e m e n t

6gale. E l l e e n t r a i n e donc u n e v a r i a t i o n c o r r e s p o n d a n t e

du t e m p s de p r o p a g a t i o n de g r o u p e :

(99) ~ tg ( f ) = tg(f) - - t g ( f ) = - - ~tg(f) / (1 + z ) ,

off la c o n s t a n t e z, d o n n 6 e p a r (G-8) e t (G-9), va r i e e n t r e les l i m i t e s i nd iqu6es (en t i r e t s ) , f igure 30. A

t i t r e i nd i ca t i f , on t r o u v e a ins i , h 35 G H z , p o u r

L = 15 k m : ~ t g ( f o ) = - 0,026805 ns. Se lon c c t t e t hdo r i e c l a s s ique , ~ es t u n e c o n s t a n t e

e t tg(f) r e s t e i n v a r i a n t t o u t le l o n g du guide . Mais

c o m m e l ' c n v e l o p p e c o m p l e x e ~(t) s ' y d d f o r m e con t i -

n f i m e n t , ce la r e v i e n t h a d m e t t r e ( c o m m e en rdg ime m o n o c h r o m a t i q u e pu r ) q u e le t e m p s de p r o p a g a t i o n

de la l igne p c u t ne d d p e n d r e de la f o r m e d ' o n d e qu i

se t r a n s m e t . C e t t e h y p o t h ~ s e es t d v i d e m m e n t fausse,

m a i s la d d t e r m i n a t i o n des v a r i a t i o n s prdc ises du t . p .d .g , en f o n c t i o n de L , p o s e un p r o b l e m s difficile

d o n t on ne c o n n a i t pas e n c o r e de s o l u t i o n ddf in i t ive .

On p e u t t o u t d ' a b o r d , en s ' a p p u y a n t su r les thdo-

r~mes g 6 n 6 r a u x de la t hdo r i e du s igna l , ddf in i r l ' 6 p o q u e c e n t r a l e de l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e ~(t) h l ' a i d e du

m o m e n t

/ : I/?(,, t r ( z ) = tT(t, z) dt z) dt;

pu i s i d e n t i f i e r le t .p .d .g , au t e m p s de t r a n s i t effect i f

du s igna l d a n s la l igne, en p o s a n t :

(100) tg(fo) = tT(z ) - - tw(O ) .

(*) Dont les param~tres de transmission seront ddsormais surmont~s de l 'accent ^ .

Ce t t e f o r m u l e , b i e n q u ' e l l e c o n d u i s e h une s o l u t i o n e x a c t s en l ' a b s e n c e de pe r t e s , s o u l , r e , l o r s q u e l ' a f f a i -

b l i s s e m e n t n ' e s t p lus n6g l igeab le , c e r t a i n e s diff icul t6s

d ' i n t e r p r 6 t a t i o n dues h la v a l e u r g 6 n 6 r a l e m e n t c o m - p l exe de lg q u ' e l l e p r o c u r e .

On do l t a lors r e p r e n d r e le p r o b l ~ m e en s u b s t i t u a n t

h l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e du s ignal , soi t le m o d u l e de

c e t t e dern i~re , so i t l ' 6 n e r g i e 6 1 e c t r o m a g n 6 t i q u e q u ' i l

t r a n s p o r t e . J . K l a p k a , en r e m p l a ~ a n t la c o m p o s a n t e

l o n g i t u d i n a l e Pz(z, t) d u v e c t e u r de P o y n t i n g p a r sa

v a l e u r m o y e n n e Pz(z, t) pr i se sur l ' i n v e r s e de l a fr6- q u e n c e i n s t a n t a n 6 e ( p o u r ne t e n i r c o m p t e q u e de la

pu i s sance a c t i v e ) , dd f in i t le t . p .d .g , h l a d i s t a n c e z

c o m m e l ' 6 p o q u e assoc i6e au c e n t r o i d e de f lux d ' 6 n e r -

gie [25, 26] :

/ : t Pz(z, t) dt

tg(z) = t) dt

L a v i t e s s e de g r o u p e e o r r e s p o n d a n t e es t a lors

vg = (dtg/dz) -1. On p e u t c o n s e r v e r , a v e e la t h6o r i e

de K l a p k a , les e x p r e s s i o n s (99) e t (G-8), m a i s (G-9)

d e v i e n t :

(102) L(u , ~L) = 1 - - 1 / [1 + o~L/2v:(fT) ~ (1 - - u 2) Si(27:) 12,

Si(x) d 6 s i g n a n t la f o n c t i o n S inus i n t e g r a l :

Si(x) = f = s i n g dg . .J --oo y

On a r a s sembl6 , f igure 30, q u e l q u e s v a r i a t i o n s de la

,0., te ~3SGH~

1061 / ~ 55GHz

10"7 [ / 55GHz . - - l J 80GHz

i . . . . . f /

/ 10" i . / : . Llkm)

5 10 15 20 25 30 35 40

Fro. 30. - - Variations relatives de la vitesse de groupe. . . . . . . . : th~orie classique; : th~orie de

Klapka ;

q u a n t i t 6 e ca lcu ldes h 300 M B a u d . E l les c o n d u i s e n t

h p r e n d r e , p o u r z = 15 k m :

fo ( G H z ) 35 42 55 80

~tg(fo)(ns) - - 0 ,4362 - - 0 ,1846 - - 0,0947 - - 0 ,0162

Ces c o r r e c t i o n s s ' a p p l i q u e n t 6 v i d e m m e n t h l a fr6-

A. T~L~C., 29, n ~ 11-12, 1974 36/42

M . B R A Y E R . - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 621

q u e n c e p o r t e u s e ( t r ans i t ) . L a d i s to r s ion v d r i t a b l e du

t .p .d .g , s ' o b t i e n t en r e c h e r c h a n t les v a r i a t i o n s de

8 tg( f ) d a n s l a b a n d e e f f ec t ive du s ignal . U n ca lcu l

r a p i d e m o n t r e a lors q u e la d i s to r s ion l in6a i re de

8 ~ ( f ) es t de 0 ,045688 n s / G H z h 35 G H z . I1 en r6sul te , h 290 M B a u d , u n e d i s to r s ion s u p p l 6 m e n t a i r e de

0 ,034174 ns, q u i d e v r a i t s ' a j o u t e r a u x 49,954336 ns

o b t e n u e s au p a r a g r a p h e p r4c6den t . C e t t e c o r r e c t i o n

est v r a i m e n t n6g l igeab le , e t il n ' e s t d o n c pas n6ces-

saire , t o u t au m o i n s a u x r y t h m e s ac tue l s , de co r r ige r

les v a l e u r s n o m i n a l e s du t e m p s de p r o p a g a t i o n de

g r o u p e r 6 s u l t a n t de l ' e x i s t e n c e de ~0(f)- C e t t e c o n c l u s i o n suppose 6 v i d e m m e n t u n e loi d ' a f fa i -

b l i s s e m e n t n o n p e r t u r b 6 e . E l l e cesse de s ' a p p l i q u e r

d6s q u ' a p p a r a i s s e n t les f l u c t u a t i o n s de l ' e x p o s a n t a d d i t i o n n e l < A y ( / ) > L. Mais ses c o m p o s a n t e s

< A~(D > L < A ~ ( D > L 6 t a n t en r e l a t i o n de H i l b e r t (*), l ' u n e de l ' a u t r e [6] :

(103) < A ~ ( f ) > L =-- JE{ < A s ( f ) > L } ;

il suffit , p o u r o b t e n i r l ' e x p r e s s i o n r i g o u r e u s e de

la p h a s e a d d i t i o n n e l l e , de d 6 v e l o p p e r < A s ( f ) > L se lon un s y s t 6 m e de f o u c t i o n s p r i m a i r e s b i e n choisies .

Les v a r i a t i o n s du t . p .d .g . < Atg > s ' o b t i e u n e n t a lors

p a r une d d r i v a t i o n d i r e c t e de (103), sans difficult6. I1 f a u t s6pare r , p a r m i les v a r i a t i o n s u t i les de

A s ( f ) > L , d e u x classes b ien d i s t i n c t e s d 'osc i l -

l a t i ons :

L ' o n d u l a t i o n a d d i t i o n n e l l e c o r r e s p o n d , sur t o u t e

la b a n d e de f r d q u e n c e du gu ide , h son a f f a i b l i s s e m e n t

m o y e n e t r e p r d s e n t e en f a i t son l issage. E l l e c o m p r e n d

ainsi , o u t r e les r e m o n t 6 e s s y s t 6 m a t i q n e s a u x d e u x e x t r 6 m i t 6 s de la b a n d e , un c e r t a i n n o m b r e de bosses

e t d ' o n d u l a t i o n s d o n t les v a r i a t i o n s s ' 6 t e n d e n t t o u -

jou r s , au m i n i m u m , sur q u e l q u e s G H z au mo ins .

E l l e c o m p r e n d 6 g a l e m e n t , ma i s dans des cas t r6s

e x c e p t i o n n e l s , l a p a r t i e p r i n c i p a l e de c e r t a i n e s ra ies

de < Asc(f) > L. C e t t e e lasse d ' o sc i l l a t i ons n ' e n t r a i n e , en g6n6ral , q u ' u n e d i s t o r s i on de p h a s e ndg l igeab le .

m a i s el le p e u t i n t r o d u i r e , en r e v a n c h e , u n e assez f o r t e

d i s to r s ion d ' a m p l i t u d e qu i p e u t al ler , dans le cas d ' u n e ra ie i m p o r t a n t e , j u s q u ' a u b locage d6f in i t i f de

l a t r a n s m i s s i o n .

Les f l u c t u a t i o n s p r o p r e m e n t d i tes , d o n t l ' a m p l i t u d e

de cr~te d6passe r a r e m e n t q u e l q u e s c e n t i b e l s au k i lo- m 6 t r e , c o n t r 6 1 e n t d i r e c t e m e n t les v a r i a t i o n s du t . p .d .g .

E l les c o n d u i s e n t ainsi , su r q u e l q u e s c e n t a i n e s de

m 6 g a h e r t z , h des r e b o u d i s s e m e n t s crSte h cr~te p o u - r a n t a t t e i n d r e (vo i r e d6passe r dans ee r t a in s eas t r6s

d 6 f a v o r a b l e s ) , la n a n o s e c o n d e . L a d i s to r s ion de p h a s e

d e v i e n t a lors p r d p o n d d r a n t e e t p e u t c o n d u i r e , si la

r ap id i t 6 de m o d u l a t i o n es t lr~s 61evde, h u n e p e r t u r -

b a t i o n n o n n 6 g l i g e a b l e de l a t r a n s m i s s i o n .

L a q u a s i - t o t a l i t 6 des ca leu l s effeetu6s en a p p r o c h e a n a l y t i q u e le f u r e n t en s i m u l a n t c e r t a i n e s c o n t r a i n t e s

d ' a f f a i b l i s s e m e n t . L ' o n d u l a t i o n m o y e n n e c o m p r e n d

TABLEAU IX Un exemple type d'ondulation exceptionnelle

f (GHz)

42 44 45 46 47 48 50 52 55 60 64 66 66,2 67 68 68,5 71 75 77 84

Composantes de s(f)

Soft) (dB/km)

1,5203 1,4159

1,3229

1,2398 1,1651

1,0096 0,8834 0,8011 0,7647

0,7229 0,6848 0,6304 0,6058 0,5313

< As(f) > (dB/km)

2,1715 2,5792

3,4119

2,4258 1,8659

1,5982 2,1350 4,6879 8,9454

16,2078 8,9990 3,0827 2,3988 3,2893

Erreur de phase diff6rentielle corres aondante

(ligne non corrig6e correction lin4aire)

L = 7,5 kn] 108 MBaud

0~ 0~

- - 0030 - - 0033 __ 0026 - - 0043 - - 0084 _ _ 0093 - - 0080 _ _ 0032

0~ 0~ 1o163 0o38 1 ~ 0~ 0~ 0~ 0~

- - 0o076

(module) L ~ 15 km 290 MBaud

0oll 0034 1 ~ 0~ 0072 0~ 0o22 0~ 0~ 0~ 3~

126o22

35~ 0o25 0~ 0~

a) l ' o n d u l a t i o n m o y e n n e d i t e a d d i t i o n n e l l e ;

b) les f l u c t u a t i o n s p r o p r e m e n t di tes .

(*) La fonction de transfert additionnelle associde < A y ( f ) > L e s t dite alors h d6phasage minimal.

a ins i ( t a b l e a u I X ) :

a) ve r s 46 G H z , u n e p r e m i 6 r e bosse l a rge de 7 G H z

( p e n t e m a x i m a l e : 0,486 d B / k m . G H z ) ;

b) c en t r6e h 68,5 G H z , u n e i m p o r t a n t e ra ie p a r a -

s i te de 16 d B / k m d ' a m p l i t u d e ( p e n t e m a x i m a l e :

37/42 A. T E L ~ C . , 29, n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 7 4

622 M. B R A Y E R , -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X s u n G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

3,474 d B / k m . G H z ) , e t d o n t la l a r g e u r t o t a l e h 3 dB

est de 5 G H z .

Ces o n d u l a t i o n s c o n d u i s e n t a u x v a l e u r s m a x i m a l e s

de d < Atg >]d f :

a) 1 , 29 .10 -~ n s / ( k m . G H z ) b) 4 , 3 0 . 1 0 -~ n s / ( k m . GHz) .

De m 6 m e , a v e c (90), el les c o n d u i s e n t a u x d i s to r s ions

l indai res s u i v a n t e s , h 15 k m :

108 . . . . . . M B a u d 290 M B a u d

( D M < i t g > ) l i n d a i r e = ( a ) 0,0538 ns 0,1447 ns (b) [ 0 ,1793 ns [ 0 ,4825 ns

A 108 M B a u d , ces d i s t o r s i o n s de p h a s e n ' o n t donc

p r a t i q u e m e n t pas d ' i n f l u e n c e . P a r con t r e , les d i s to r -

s ions d ' a m p l i t u d e assoeides a g i s s e n t m a n i f e s t e m e n t ,

f igure 31, c h a c u n e d a n s son d o m a i n e de f r d q u e n c e

, Ph. Diff. ( rad)

3 ~

3,4.

3,3-

3,2

3,1

3,0

2,9

2,8

vj ,v

. . . . . . . . . . . . . .5o

~ . . . . . . . . . . . . -5o

F (GHz) b ' ' b ' 3 4 0 5 0 6 70 8 0

FIG. 3 1 . - - Influence de la distorsion d 'ampli tude h 108 MBaud. Impulsion rectangulaire :

: L = 7,5 k m ; . . . . . . . . . : L = 15 kin.

r espec t i f . E l les e n t r a i n e n t d ' a i l l e u r s u n e d i s s y m d t r i e

du s ignal ( A n n e x e B - I V ) , n e t t e m e n t v i s ib le su r les

t rac6s p+ e t p _ des f igures 23, 25 e t 28. L a f igure 31 ( d o n t l ' d t u d e ffi t l ' u n e des p r e m i 6 r e s en t r ep r i s e s ) a dtd

m a l h e u r e u s e r n e n t c o n s t r u i t e h l ' a i d e d ' u n e i m p u l s i o n de base r e c t a n g u l a i r e . II en rdsu l te , h cause des f r anges

s u r a b o n d a n t e s de 0(t) (F ig . 17), d ' i m p o r t a n t e s f l uc tua - t i ons de phase d i f fd ren t ie l l e , q u i n ' o n t , c o m m e nous

l ' a v o n s v u au p a r a g r a p h e I I .4 , a u c u n sens rdel en p ra - t i q u e . Ces t racds f u r e n t doric r d c e m m e n t r d e x a m i n d s en

u t i l i s an t , o u t r e u n e t r a n s f o r m d e r a p i d e de F o u r i e r , u n e

i m p u l s i o n de base t y p e (70 ter). L ' e r r e u r m a x i m a l e

a t t e i n t , alors ( t a b l e a u I X ) : 1o50 en m o d u l a t i o n

b i n a i r e e t 2~ en m o d u l a t i o n q u a t e r n a i r e . D a n s ce d e r n i e r cas, on r e t r o u v e b i e n sur les phases le fac-

t e u r 7 qu i m e s u r e l ' i m p o r t a n e e r e l a t i v e des d e u x d i s to r s ions d ' a m p l i t u d e .

Cel les-ci a t t e i g n e n t , h 290 M B a u d : 5,46 et 38,98 dB,

r e s p e e t i v e m e n t . L ' i n f l u e n e e de l a s e e o n d e est eonsi-

dd rab le e t b l o q u e t o t a l e m e n t le f o n e t i o n n e m e n t de la l igne en t r e 66 e t 71 G H z ( t a b l e a u IX) . P a r con t r e ,

les q u e l q u e 5 dB de la p r e m i 6 r e ne p e r t u r b e n t pas e n c o r e le s ignal , c o n f o r m d m e n t h c e qu i a dtd v u h

108 M B a u d .

D e u x e x e m p l e s - t y p e s de f l u c t u a t i o n s o u t dtd dtu-

dids, h 32,5 G H z :

a) t y p e I : a m p l i t u d e m a x i m a l e : 0,2 d B / k m ;

l a r g e u r t o t a l e h m i - h a u t e u r : 500 M H z ;

b) t y p e I I : a m p l i t u d e c r~te h c r~ te :

(0,8686 + 0 ,1086) d B / k m ;

l a r g e u r t o t a l e ~ m i - h a u t e u r : 194 M H z ;

l a r g e u r t o t a l e h l a b a s e : 400 M H z .

Ils e o n d u i s e n t a u x v a l e u r s s u i v a n t e s de < Atg > ,

p o u r L = 15 k m :

c r~ te T y p e I T y p e I I

L a r g e u r t o t a l e c r~ te h 868 M H z 400 M H z

S a u t p r i n c i p a l 0 ,2200 ns 2,3885 ns

R e b o n d i s s e m e n t 0 ,0275 ns 0,5972 ns

L ' e x e m p l e I I c o r r e s p o n d , a v e c u n s a u t cr~te h cr~te de 3 us, h un cas ddjh e x t r e m e de p e r t u r b a t i o n . I1

en r d s u l t e ( * ) u n d o u b l e p h d n o m 6 n e de d i s to r s ion e t de

d d c e n t r a g e dfi a u x c o m p o s a n t e s n o n l indai res du t .p .d .g .

P l u s p rdc i sdmen t , le t r a i n sub i t , s e lon que la f rdquence

p o r t e u s e es t s i tude so i t au c e n t r e m 6 m e ou fi 200

M H z du s o m m e t de l a f l u c t u a t i o n : t a n t b t une f o r t e avar ice , t a n t 6 t u n t r a l n a g e rds idue l .

Ce p h d n o m ~ n e de d d c e n t r a g e es t e x c e s s i v e m e n t

g g n a n t p o u r l ' d t u d e du s igna l ( p r o g r a m m e de v i sua l i -

sa t ion) , e t m d r i t e a ins i q u e l q u e s e x p l i c a t i o n s . I1 p ro- v i e n t de ce q u e le s igna l e t l a f l u c t u a t i o n o c c u p e n t

grosso modo la m ~ m e b a n d e de f r d q u e n c e a u t o u r de

la po r t euse . L a f l u c t u a t i o n j o u e alors le r61e d ' u n

f i l t re de f o r m e h p h a s e n o n l inda i re , e t d d c e n t r e dvi-

d e m m e u t le t r a i n d ' i m p u l s i o n s . P l u s e x a c t e m e n t ,

l o r s q u ' o n fixe a r b i t r a i r e m e n t l ' a m p l i t u d e de la f luc-

t u a t i o n , l ' a v a n c e au c e n t r e e r o i t a v e c la b a n d e effec-

t i v e du s ignal , pas se n o r m a l e m e n t p a r un m a x i m u m

l o r s q u e cel le-ci r e c o u v r e c o m p l ~ t e m e n t le r e b o n d i s - s e m e n t de < Atg > ( m a x i m u m sdlec t i f de d i s to rs ion) ,

e t ddc ro i t en su i t e a s y m p t o t i q u e m e n t l o r s q u e le s ignal o c c u p e u n e b a n d e de f r d q u e n c e n e t t e m e n t sup6r ieure

h cel le de la f l u c t u a t i o n . C e p e n d a n t , l o r s q u e l ' a v a n c e

r d d u i t e au c e n t r e a t t e i n t 0,5 au v o i s i n a g e d ' u n m a x i -

(*) E t bien que le centrage du train [cf. (46)] soit rdalisd par le temps de propagation de groupe vdritable tg(fo) = tg(f o) A- < Atgo(fo) > en chaque point de la per- turbation.

A. T~L~c., 29, nO8 tl-I2, 197a 38/42

M. BRAYER. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX SUR GUIDE A GRANDE DISTANCE 623

m u m s6lec t i f , l a d i s t o r s i o n de p h a s e q u ' i l e n t r a i n e

d e v i e n t t r~ s r a p i d e m e n t i m p o r t a n t e . I1 en r 6 s u l t e q u e

la t r a n s m i s s i o n n u m 6 r i q u e se d 6 t 6 r i o r e f o r t e m e n t (ou

se b l o q u e ) a v e c l ' a u g m e n t a t i o n de f t . D a n s le cas de

l ' e x e m p l e I I , le b l o c a g e d e v i e n t ef fect i f a u x e n v i r o n s

de 270 M B a u d (cf. t a b l e a u X) .

TABLEAU X Perturbat ions au centre de la f luctuation I I (fo ~ 32,5 GHz)

(correction lindaire du t.p.cl.g, tgo(f ) parfai tement rdalisde)

& (MBaud)

108 145 200 250 290 350 400 500 580

Avance rdduite du t ra in

0,16 0,25 0,46 0,48 0,50 0,59 0,68 0,91 1,20

Errcur de phase diff~rentielle sans compen-

sation d 'avance

13o75 52o71 59~ 46~

106o57 173o79 (*) 172046 151o26 139o80

avance compens~e

4o01 16o50 37028 24~ 56~ 75~ 79o91 76o31 70~

(*) Avec rebondissement sur ~.

O n n o t e r a , . en t a b l e a u X , l ' e r r e u r c o n s i d 6 r a b l e

d ' e s t i m a t i o n q u e l ' o n p e u t c o m m e t t r e l o r s q u e les

d 6 c e n t r a g e s d ' u n t r a i n ( d i s t o r s i o n n o n l i n 6 a i r e d u

t . p . d . g . ) n e s o n t p a s s y s t 6 m a t i q u e m e n t c o m p e n s 6 s .

P a r c h a n c e , l a d 6 m o d u l a t i o n d i f fd ren t i e l l e , g r a c e a u

p r i n c i p e m ~ m e d e s o n f o n c t i o n n e m e n t , rda l i se i p so

fac to c e t t e c o m p e n s a t i o n , que l l e q u e so i t l a p h a s e

a l 6 a t o i r e d u t r a i n .

L e m a x i m u m sd lec t i f de l a f l u c t u a t i o n I I (38o), e s t

s i tu6 v e r s 190 M B a u d . C e t t e p e r t u r b a t i o n p e r d t r~s

r a p i d e m e n t t o u t e i n f l u e n c e , d~s q u e l a f r 6 q u e n c e p o r -

t e u s e fo s '61oigne d e s o n c e n t r e . P a r e x e m p l e , les

d i s t a n c e s ( en M H z ) h c o m p t e r d e s q u e l l e s l ' e r r e u r

m a x i m a l e de p h a s e d i f f d r e n t i e l l e t o m b e e n - d e s s o u s

d ' u n n i v e a u d e 45 ~ , 22~ ou 5 ~ s o n t les s u i v a n t e s ,

se lon l a r a p i d i t 6 d e m o d u l a t i o n :

f r ( M B a u d )

45 ~ 2205

5 ~

: 145 290

: - - 60

: - - 100

: 120 240

580

240

450

480

O n en d 6 d u i t q u e c e t t e f l u c t u a t i o n d e v i e n t i n o p 6 -

r a n t e h l a d i s t a n c e 0 ,8 f r de son c e n t r e . C e t t e d i s t a n c e

s ' am61 io re e n c o r e , e n p r a t i q u e , c a r les f l u c t u a t i o n s

r6e l les n ' o n t g 6 n 6 r a l e m e n t n i l ' a m p l i t u d e , n i l a l a r -

g e u r t o t a l e d u m o d u l e p r 6 c d d e n t . I I e n r 6 s u l t e q u e s i

l ' u n e d ' e l l e s p e r t u r b e a c c i d e n t e l l e m e n t F u n des c a n a u x

d u s y s t ~ m e , el le n ' a a u c u n e i n f l u e n c e s u r c h a c u n des

c a n a u x v o i s i n s .

Des r d s u l t a t s a n a l o g u e s s ' o b t i e n n e n t a v e e

l ' e x e m p l e I. M a t s le d 6 c e n t r a g e p r o v i e n t c e t t e lo is

d ' u n r e t a r d s y s t S m a t i q u e d u t r a i n , la d i s t o r s i o n r6si-

due l l e de l a l i g n e ( t e r m e s n o n l i nda i r e s de tgo(/) )

l ' e m p o r t a n t f i n a l e m e n t (h 32,5 G H z ) s u r l a p r 6 s e n c e

m ~ m e de l a f l u c t u a t i o n . O n t r o u v e a ins i , p o u r e r r e u r

m a x i m a l e de p h a s e d i f f 6 r e n t i e l l e :

f r ( M B a u d ) : 145 290 580

0096 4~ 17014

Mats ces r 6 s u l t a t s s o n t e n c o r e t r o p d 6 p e n d a n t s d e l a

f r d q u e n c e fo ~ 32,5 c h o i s i e p o u r c e n t r e r le d d f a u t . I1

a d o n c fa l lu , p o u r c o n n a i t r e s o n i n f l u e n c e v d r i t a b l e ,

s i m u l e r su r le c a l c u l a t e u r u n e c o r r e c t i o n p a r f a i t e de l a

l igne . Ce la a c o n d u i t , a p r ~ s c o m p e n s a t i o n de l ' a v a n c e ,

a u x 616ments d u t a b l e a u X I .

TABLEAU X I Perturbat ions au centre de la f luctuation I

(fo = 32,5 GHz) (correction parfai te du t .p .d.g.)

& (MBaud)

108 145 200 250 290 350 400 5OO 58O 70O 8OO

1 000 1 500 2 000 2 500

Avance r~duite du t ra in

0,015 0,023 0,038 0,055 0,068 0,850 0,100 0,125 0,140 0,166 0,187 0,230 0,336 0,442 0,550

Er reur maximale de phase diffdrentielle

0~ 0o51 1o14 2o17 3~ 5~ 7o12 8~

lloOO 13o41 14o61 16o04 17o18 17o34 15o60

I1 c o n f i r m e q u e c e t t e f l u c t u a t i o n f a i b l e n e p e u t

c a u s e r de b l o c a g e e n f o n c t i o n de fr p u i s q u e s o n m a x i -

m u m s61ectif (h p e i n e d 6 c e l a b l e , t a b l e a u X I , v e r s

400 M 6 g a b a u d ) a v i r t u e l l e m e n t d i s p a r u . Ce l a e s t

d ' a u t a n t m i e u x v6r i f i6 , e n p r a t i q u e , q u e les f l u c t u a -

t i o n s de ~ A~ ~ s o n t g 6 n d r a l e m e n t b i e n t r o p f ines

p o u r q u e ce t e f fe t s61ectif p u i s s e e n c o r e i n t e r v e n i r ,

a u - d e l h d ' u n e c e n t a i n e de M 6 g a b a u d . L ' e r r e u r de

p h a s e d i f f 6 r e n t i e l l e t e n d d o n c v e r s u n p a l t e r q u i

s ' o b t i e n t d ' a u t a n t p l u s r a p i d e m e n t q u e la b a n d e d e

f r ~ q u e n c e o c c u p ~ e p a r le d 6 f a u t e s t n 6 g l i g e a b l e d e v a n t

f r . O n n o t e r a c e p e n d a n t q u e :

a) le d 6 f a u t se c a r a c t 6 r i s e e s s e n t i e l l e m e n t p a r le

r a p p o r t : a m p l i t u d e c r ~ t e h c r ~ t e / l a r g e u r de b a n d e

3 d B ,

b) l ' e r r e u r de p h a s e d i f f 6 r e n t i e l l e c ro i t , d a n s sa

p a r t i e u t i l e , s e n s i b l e m e n t c o m m e f2 r .

E l l c e s t d o n n 6 e , t a b l e a u X I , a u c e n t r e m ~ m e d e

l a f l u c t u a t i o n . M a t s el le d 6 c r o i t t r~ s r i t e d~s q u e fo

s ' e n 61oigne e t a d m e t , j u s q u ' h e n v i r o n 500 M 6 g a b a u d ,

u n e b a n d e p a s s a n t e (h 3 d B ) i n f 6 r i e u r e h ce l le d u

d 6 f a u t . I1 e n r 6 s u l t e q u ' e l l e f l u c t u e a u m o i n s a u s s i

r i t e q u e ~ A ~ ~ , e t r e p r ~ s e n t e a i n s i u n e f o n c t i o n

q u a s i - a l 6 a t o i r e d e l a f r 6 q u e n c e . L ' a p p e l l a t i o n de b r u i t

39 /42 A. T~L~C., 29, n ~ 11-12, 1974

6 2 z ~ M. B R A Y E R . - - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E

de phase q u ' o n lu i d o n n e g 6 n e r a l e m e n t es t d o n c pa r -

f a i t e m e n t jus t i f i6e . L a v a l e u r du p a l i e r (17o), t a b l e a u X I , p e u t p a r a i t r e

excess ive . Cela t i e n t a u x c a r a c t e r i s t i q u e s m S m e s ehoi-

sies p o u r la f l u c t u a t i o n I, d o n t les v a r i a t i o n s s ' e t a l e n t

r d g u l i e r e m e n t su r q u e l q u e s 800 M H z de b a n d e I Son a m p l i t u d e c o r r e s p o n d h un t a u x de f l u c t u a t i o n de 7 %

bas6 sur un a f f a i b l i s s e m e n t m i n i m a l de la l igne d ' e n v i -

ron 2,8 d B / k l n . I1 es t a lo r s e v i d e n t q u ' a v e c des gu ides

s u r d i m e n s i o n n e s d o n t l ' a f f a i b l i s s e m e n t m i n i m a l va r i e

en t r e 1,5 e t 1 d B / k m , l ' e r r e u r p r e c d d e n t e a d m e t un

f a c t e u r de r e d u c t i o n d ' a u m o i n s 2 h 2,5. E n f i n , l ' o r g a - n i s a t i on q u a s i - a l d a t o i r e de < Atg > , b i en ve r i f i e e p a r

l ' e x p @ i e n c e , d o l t e n c o r e rddu i r e n o t a b l e m e n t (*) les

va l eu r s p r e c e d e n t e s . .

Le b r u i t de p h a s e d ' u n e l igne h e l i c o i d a l e p e u t

f i n a l e m e n t v a r i e r , l o r s q u e L - - 15 k m , e n t r e 3 e t 10 ~

se lon la qua l i t 6 du gu ide . On p e u t le cons ide re r , en

p r e m i @ e a p p r o x i m a t i o n , c o m m e i n d e p e n d a n t de la

f rdquence , m a i s il r e s t e e v i d e m m e n t p r o p o r t i o n n e l h la l o n g u e u r du p a r c o u r s , e t l i m i t e i n e l u c t a b l e m e n t ,

a v e c le b r u i t de r e c o n v e r s i o n , les poss ib i l i t es de t r a n s -

(som,vg-" ]

100 d'~ 13"1)

5O

~o+ / / / / " / f " j "

,o• / 5k,," . / . . ' "

1

I FIGHz) 11 ~o 20 20 20 ,; go

108 M eb/s

290Meb/s

FIG. 32. - - Influence gendrale de la frdquence sur les diff~- rentes distances critiques Lc.

mi s s ion de la l igne. Mais il au to r i s e n e a n m o i n s , mf ime . . . . . . . . : modulation d 'ampli tude ; au -de lh d ' u n e v i n g t a i n e de k i l o m e t r e s , des r a p i d i t e s 2 : impulsion de base en modulation de phase de m o d u l a t i o n t r e s i m p o r t a n t e s , de l ' o r d r e de 1 /~ binaire; 2 G B a u d . - . . . . . 4 : impulsion de base en modulation quaternaire ;

4 : Lc, m en modulat ion quaternaire. A : fr = 108 MBaud B : fr = 290 MBaud.

II.7. En guise de conclusion.

L a f igure 32 r e g r o u p e les d i f f@entes d i s t a n c e s cr i-

t i q u e s ca l cu lees sur u n e l igne ree l le (non p e r t u r b e e )

de 50 m m de d i a m e t r e , e t en l 'absence t o t a l e de cor-

r e c t i on de phase . E l l e sou l igne l ' a m e l i o r a t i o n i m p o r - t a n t e q u ' a p p o r t e , r e l a t i v e m e n t & u n e m o d u l a t i o n

c lass iquc en a m p l i t u d e , la m o d u l a t i o n de p h a s e diffd-

r en t i e l l e de t y p e b ina i r e . On r appc l l c q u ' e l l e p r o v i e n t e s s e n t i e l l e m e n t d ' u n e m e i l l e u r e s t a t ib i l6 de l ' e n v e -

l o p p e c o m p l e x e e t de l a r e d u c t i o n c o r r e s p o n d a n t e du

t a u x d ' i n t e r f @ e n c e i n t e r s y m b o l e (**).

Ce t t e t r a n s m i s s i o n se d e g r a d e q u e l q u e p e u en m o d u l a t i o n q u a t e r n a i r e , h cause de la d i s s y m e t r i e

n a t u r e l l e de q n a t r e des t r a n s i t i o n s sur dix , e t de

c e r t a i n s r e b o n d i s s e m e n t s . L e b r o u i l l a g e i n t e r s y m b o l e

c ro i t a lors en c o n s e q u e n c e , e t r~du i t f i n a l e m e n t

d ' e n v i r o n 35 % ta p o r t d e u t i l e de l ' i m p u l s i o n de base.

U n pas de r e g e n e r a t i o n de 15 k m est c e p e n d a n t g a r a n t i ( c ' e s t - M d i r e ici sans p a r t i c i p a t i o n e s sen t i e l l e de la c o r r e c t i o n de phase ) , h 290 M B a u d , des q u e

fo /> 50 G H z .

(*) Comme le sugg~re un de nos calculs relatifs ~ une distorsion harmonique du t.p.d.g., avec une p@iode de 25 MHz.

(**) En effet, dams ce dernier cas, deux impulsions succes- sires et de noms contraires se compensent toujours en signe, mutuellement, contrairement a c e qui se produit en modulation d 'amplitude. 11 en r6sulte une amelioration substan- tielle des transitions, analogue it celle obtenue, en bande de base, par l 'utilisation de signaux bipolaires. La reduction du brouillage intersymbole est manifeste lorsqu'on compare les distances critiques de l ' impulsion de base (2, Fig. 32 )aux valeurs Lc, m correspondantes de (82).

L a co r r ec t i on l i n e a i r e du t . p .d .g , r e v i e n t h m e t t r e

le de rn i e r t e r m e de l ' e x p o s a n t de d i s to r s ion (84) sous

la f o r m e :

F0(u , f o )L ==- [~(u § f0) - - ~3(f0)]L - - 27~utg(f0) - -

~ u 2 dtg(f~ ~ 0 ; df

mais res te sans in f luence , n i su r ses t e r m e s res idue ls ,

ni su r les t e r m e s a n a l o g u e s p r o v e n a n t des c o m p o s a n t s p r i n c i p a u x du s y s t e m e . I1 en r e s u l t e , o u t r e une dis-

t o r s ion d ' a m p l i t u d e g e n d r a l e m e n t n e g l i g e a b l e (cf. p a r a -

g r a p h e p r e c e d e n t ) u n e d i s t o r s i o n de p h a s e r e s idue l l e qu i c o n d i t i o n n e d i r e c t e m e n t , c o m p t e t e n u du b r u i t

de r e c o n v e r s i o n , la q u a l i t 6 m f i m e de la l ia i son [7].

N o u s r e v i e n d r o n s u l t @ i e u r e m e n t su r l ' i n f l uence de

ces d i s to rs ions , m a i s il e s t d Q h possible , a v e c la

f igure 32, d ' i n t e r p r e t e r c o r r e c t e m e n t ce r t a ines m e s u r e s

p o n c t u e l l e s de t r a n s m i s s i o n . E n effet , le l ong de c h a -

cun de ses t r aces , la d i s t o r s i o n l i nea i r e du t . p .d .g . r es te s e n s i b l e m e n t c o n s t a n t e (cf. (D-10) p. ex.). C o m m e

sa c o r r e c t i o n le d e m e u r e e g a l e m e n t , il suffit , p o u r q u e

le f o n c t i o n n e m e n t du s y s t e m e r e s t e assure sur t o u t e la b a n d e du gu ide , q u e les c a r a c t e r i s t i q u e s g loba le s

des r e p e t e u r s nc d e p e n d e n t p r a t i q u e m e n t pas de l a

f r e q u e n c e po r t euse . E n d ' a u t r c s t e r m e s , c h a q u e t r a c e de la f igure 32, p u i s q u e l ' e n v e l o p p e c o m p l e x e y r e s t e

i n v a r i a n t e , c a r a c t e r i s e , p o u r un m o d e d ' e x p l o i t a t i o n

donne , le s ignal d ' e n t r e e du sys t~me . Son o p t i m a l i - sa t ion f o r m e donc u n t o u t q u i es t realis6, p a r a d o x a -

l e m e n t , i n d d p e n d a m m e n t de l a f r e q u e n c e . P a r e x e m p l e , une v a l e u r s - s ) e x p e r i m e n t a l e a t t e i g n a n t 15 k in ,

Ao TEL~C., 29, n ~ 11-12 , 1974 40/42

M. B R A Y E R . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X S U R G U I D E A G R A N D E D I S T A N C E 6 2 5

38 G H z (cf. w I I .4 .2) , on p e u t p e n s e r a pr ior i que ce t a u x d ' e r r e u r d e v r a i t e n c o r e s ' ob t en i r , soi t h 48 G H z

p o u r L = 30 k m , ou 57 G H z p o u r L = 50 km. Bien

e n t e n d u , ces p r e m i e r e s e s t i m a t i o n s d o i v e n t 8tre eor-

r igdes en t e n a n t s o i g n e u s e m e n t c o m p t e des prof i ls

r6els de la l igne e t du sy s t~me , m a i s elles n ' e n d e m e u - r e n t pas m o i n s v r a i s e m b l a b l e s ( t o u t au m o i n s en ce

qu i c o n c e r n e la l igne) t a u t q u e l ' e r r e u r de p h a s e diffd-

r en t i e l l e ne ddpasse pas q u e l q u e s degr6s, c o m m e pr~c6- d e m m e n t p r6vu .

L e p r o b l ~ m e se p o s e d i f f d r e m m e n t l o r s q u ' o n r e c h e r c h e , h r p o r t e u s e c o n s t a n t e , la po r tde u t i l e du gu ide . E n effet , l a n o t i o n de d i s t a n c e cri-

t i q u e corrigde p e r d t o u t e s i g n i f i c a t i o n (cf. w II .4.2) e t

il ne subs is te , p o u r q u a l i f i e r la l ia ison, que l ' in f luence

c ro i s s an t e des d i s t o r s i o n s rds idue l les e t du b r u i t de r e c o n v e r s i o n . C ' e s t lh un p r o b l ~ m e difficile darts l eque l

i n t e r v i e n n e n t , d t r o i t e m e n t corr616es, les i m p e r f e c t i o n s de c h a q u e c o m p o s a n t e t la r a p i d i t d m ~ m e de m o d u -

l a t i on . N o u s esp6rons c e p e n d a n t ob t en i r , grfice h une s i m u l a t i o n s u f f i s a m m e n t f ine de la l igne, des infor-

m a t i o n s pr~c ises h ce s u j e t ; n o t a m m e n t au n i v e a u

de l a c a r a c t d r i s t i q u e de g a i n du sys t~me.

N o u s a v o n s v u q u e la r a p i d i t ~ de m o d u l a t i o n a n n e

t r~s g r a n d e in f luence sur l a p o r t 6 e u t i le d ' u n guide. E n a d m e t t a n t , en p r e m i e r e a p p r o x i m a t i o n , que son

p a r a m ~ t r e de d i s t o r s i o n p u i s s e enco re v a r i e r c o m m e ce lu i du g u i d e id6al ( c ' e s t - h - d i r e p r o p o r t i o n n e l l e m e n t

h fc f r ~ / L [ ( f o ) ~l ~), on c o n s t a t e q u e t o u t e a u g m e n t a t i o n de d i a m 6 t r e f a v o r i s e les r y t h m e s rap ides . P a r e x e m p l e

se lon que ce d e r n i e r pa s se h 60 ou 70 ram, le t a u x d ' e r r e u r p r 6 c 6 d e n t r e s t e g a r a n t i p o u r (L = 15 kin) h

350 ou 400 M B a u d . Cer tes , les f l u c t u a t i o n s p e u v e n t

m o d i f i e r le p r o b l ~ m e . Mais t a n t qu ' e l l e s ne c ro i s sen t pas a v e c le s u r d i m e n s i o n n e m e n t du guide , le t a u x

d ' e r r e u r s ' a m 6 l i o r e t o u j o u r s ; e t le d6b i t p e u t aug-

m e n t e r sous rdse rve , 6 v i d e m m e n t , q u e la qua l i t6 des rdpd teu r s ne d d p e n d e p r a t i q u e m e n t pas de c e t t e rap i -

d i td de m o d u l a t i o n . E n r e v a n c h e , la seule s o l u t i o n poss ib le p o u r l ' e m p l o i

6 v e n t u e l de m u l t i p l e x de l a h i6 ra rch ie sup6r ieure ( c ' e s t - h -d i r e f o n c t i o n n a n t h 2 fD est d ' a u g m e n t e r la f r d q u e n c e p o r t e u s e . T h 6 o r i q u e m e n t , d ' u n f a c t e u r

1,5874, en p r a t i q u e , d ' a u t a n t m o i n s que la d i s to r s ion

rds idue l le du g u i d e d i m i n u e enco re l o r sque f0 croi t . E n ce sens, d ' a p r ~ s ce q u i p rdc~de , ce n ' e s t pas t a n t l a r e m o n t 6 e n o r m a l e de l ' a f f a i b l i s s e m e n t en f o n c t i o n

de l a f r 6 q u e n c e q u e l ' a m p l i t u d e des f l u c t u a t i o n s qu i l ' a c c o m p a g n e n t , q u i d 6 t e r m i n e la l im i t e sup~r ieure de

la r a p i d i t 6 de m o d u l a t i o n . E n a p p l i c a t i o n h la l igne

s imul~e du p a r a g r a p h e I I .6 , i l s e m b l e c e r t a i n q u ' u n e b o n n e qua l i t d de t r a n s m i s s i o n p o u r r a i t ddjh s ' ob t en i r ,

580 M B a u d , dans la b a n d e des 50 G H z .

A N N E X E G

I. L 'onde Hox d 'un guide h paroi d ' imp6dances a pour 6quat ion carac tdr is t ique [2~] :

(G-l) Uo(scd + j Zt /6 )~c~ = o .

41/42

En posant , dans le cas d 'un guide hdlicoidal :

z t = (1 + j) R t ,

elle se t ransforme en :

(G-2) J,(sc/) : - - (1 + j) (Rt/j~o~cd (sci) Jo(sCd �9

R t 6 tant de l 'o rdre de 10 -4, la solution cherchde de (G-2) A

est tr6s proche de s c i = 3,8317 .... ce qui permet , en ddve-

loppan t Jo(sci) et Ji(sci) au voisinage de sc{, de met t re (G-2) sous la forme approchde :

En in t roduisant l ' exposant addi t ionnel de per turba t ion

et h l 'a ide des relations fondamenta les

s ~ ~ y~ + o)2~z ,

= + . . . . +

on obt ient faci lement, lorsque ]8~,] ~ I :

, - ( ls) v vls , &off, avec (G-3) :

(G-5) <

soit f inalement, avee (G-Q :

(G-6)

l I . l l v ient alors, par ddfinit ion m~me :

- - d ~ (d /do) + + ' ^ 46)

c'est-~t-dire encore, puisque Vg - - : d~

(G-7) Vg = d~z ^

En l ' absenee de per turbat ion , l 'a f fa ibl issement du guide peu t s '6erire, en posant u = 6)e]6) :

K u ~1 ~ (1 - - u~) ~1~

d'ofl, en ddr ivant :

da a (3 - - u ~) d6) 20~ ( t - - u ~)

Comme ~g et "~ dans un guide id6al, peuven t se met t re sous la forme :

la vitesse de groupe du guide rdel s 'dcrit :

(G-8) ~g = 2 u ~ 1 (1 - - u ~) L(u, ~L)

avec : c~L ( 3 - - ~ u ~ + u 4)

(G-9) L(~, ~L) - - 4 ~ L u2

A. T~LI~C., 29, n ~ 11-12, 1974

I0

626 M. BRAYER. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX SUR GUIDE A GRANDE DISTANCE

III . La variation relative de la vitesse de groupe se ddfinit par :

2 u 2 Vg--'Vg ( 1 - u ~) L(u, eL)

(O-~0) ~ __ Vg 1 2 u ~ L(u, aL)

( t - - u ~)

Celle du temps de propagation de groupe s'dcrit alors :

= =

d'od, finalemeut :

i = - - = = - - (G-ll) = +

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Le Direcleur de la publ ical ion : M m~ Y. BOUENAT

Impr imer i e Jacques et D e m o n t r o n d 26, rue E r n e s t - R e n a n - 25 000 Besangon - - Published in France D6p6t 16gal 1 er t r imes t re 1975, n ~ 8758

transmission des signaux numériques sur guide d’ondes circulaire a grande distance

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