traitement du signal - synthèse des filtres numériques
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Traitement du SignalSynthèse des filtres numériques
20 octobre 2014
Nancy Bertin - [email protected] entièrement sponsorisé par l’IILaR
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Introduction
On souhaite concevoir un filtre pour obtenir un effet donné surle signal (et sur son spectre) en vue d’une application.On souhaite que ce filtre soit réalisable en pratique (causal,stable, composé d’élements simples : additions, retards, gains).En particulier on se limitera ici aux filtres dont la fonction detransfert est une fraction rationnelle en z−1.
2 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Synthèse des filtres numériques
1 Spécifications des filtres numériques
2 Synthèse par la méthode de la fenêtre
3 Synthèse par la méthode de Remez
4 Synthèse de filtres RII
5 Introduction aux bancs de filtres
6 Travaux pratiques
3 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Spécifications des filtres numériques
1 Spécifications des filtres numériquesSpécification par gabaritBestiaire des filtres numériquesDegrés de liberté et contraintes de phaseQualités désirables d’un filtre
2 Synthèse par la méthode de la fenêtre
3 Synthèse par la méthode de Remez
4 Synthèse de filtres RII
5 Introduction aux bancs de filtres
6 Travaux pratiques
4 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Gabarit d’un filtre
Il est habituel de définir le filtre que l’on souhaite réaliser parun gabarit du module de sa réponse en fréquence, caractérisépar :
La ou les fréquences de coupures (avec tolérances)Le gain dans la bande passante (avec tolérances)Le gain dans la bande atténuée (avec tolérances)
Les écarts au gabarit se traduisent par des ondulations (ripple)et l’existence d’une bande transition plus ou moins large(sharpness)Ce gabarit ne dit rien des contraintes que l’on peut vouloir sedonner sur la phase du filtre.
5 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Exemple de gabarit
Illustration de Corinne Mailhes.
6 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Synthèse par pôles et zéros
Une première idée pour réaliser ces gabarits est de s’appuyersur l’interprétation géométrique du diagramme pôles-zéros
placer des zéros proches du cercle unité dans la bande atténuéeplacer des pôles proches du cercle unité dans la bande passante
Simple et intuitif à bas ordre, mais peu efficacePour des filtres à ordre élevé il existe des algos et des abaques
7 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Bestiaire des filtres numériques
D’un point de vue qualitatif grossier, on catégorise les filtresbasiques en fonction de leur action sur le spectre :
Filtre passe-bas (paramètre : fréquence de coupure)Filtre passe-haut (paramètre : fréquence de coupure)Filtre passe-bande (paramètres : bande passante)Filtre réjecteur (paramètres : bande coupée)
mais il existe une vaste terminologie pour des cas particuliers ouplus spécifiques (lisseur, moyenneur, dérivateur, en peigne...) quipeuvent “techniquement”entrer dans les catégories précédentes (cf.exemple de la moyenne glissante qui est aussi un passe-bas).
8 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtre passe-bas
Un filtre passe-bas est un filtre qui préserve le contenufréquentiel jusqu’à une certaine fréquence et l’atténue au-delà.Filtre passe-bas idéal :
f
|H(f)|
fc−fc
RII (RI = sinus cardinal), non causal.Irréalisable en analogique (même avec des récursions : une TZrationnelle ne peut pas avoir une infinité de zéros).
9 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Passe-bas d’ordre faible et gabarit
Passe-bas récursif d’ordre 1 : H(z) = 11+az−1 avec |a| < 1
a “proche de -1” dans le plan complexepas d’ondulations, bande passante étroitetransition molle, mauvaise atténuationréponse impulsionnelle infinie, distortion de phase
Exemple avec a = −0.95
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−80
−60
−40
−20
0
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pha
se (
degr
ees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
20
30
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
10 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Passe-bas d’ordre faible et gabarit
Passe-bas récursif d’ordre 2 : H(z) = 1(1+a1z−1+a2z−2)
pôles réels ou complexes conjugués (RI réelle)réponse impulsionnelle infinie, distortion de phase
Exemple avec a1 = −1.25 et a2 = 0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−80
−60
−40
−20
0
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pha
se (
degr
ees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
20
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
11 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtre passe-haut
Un filtre passe-haut est un filtre qui atténue le contenu fréquentieljusqu’à une certaine fréquence et le préserve au-delà.
f
|H(f)|
fc−fc
12 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Passe-haut d’ordre faible et gabarit
Passe-haut récursif d’ordre 1 : H(z) = 11+az−1 avec |a| < 1
a “proche de 1” dans le plan complexepas d’ondulations, bande passante étroitetransition molle, mauvaise atténuationréponse impulsionnelle infinie, distortion de phase
Exemple avec a = 0.95
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
20
40
60
80
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pha
se (
degr
ees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
20
30
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
13 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtre passe-bande
Un filtre passe-bande est un filtre qui préserve le contenu fréquentieldans une certaine bande de fréquences et l’atténue en dehors.
Peut être construit comme la combinaison d’un passe-bas etd’un passe-haut.Peut être construit par translation en fréquence d’un passe-bas.
f
|H(f)|
f2−f2 f1−f1
14 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtre passe-bande d’ordre 2
Si a1(1 + a2) < 4a2
existence d’un maximum (élevé si les pôles se trouvent près ducercle unité)
fréquence de résonance : fR = 12π arccos(−a1(1+a2)
4a2)
surtension : HR = 1(1−a2)sin(2πfR)
la sélectivité en fréquence reste médiocre
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100
−50
0
50
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pha
se (
degr
ees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
0
10
20
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
15 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtre réjecteur
Un filtre réjecteur de bande est un filtre qui préserve le contenufréquentiel hors d’une certaine bande de fréquences et l’atténue àl’intérieur. Exemple : l’inverse du filtre précédent.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−50
0
50
100
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pha
se (
degr
ees)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−20
−10
0
10
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
Un meilleur réjecteur : H(z) = 1−e2iπν0z−1
1−ρe2iπν0z−1
16 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Degrés de liberté et contraintes sur la phase
Le gabarit ne donne pas de contraintes sur la phase du filtre.En particulier, on peut toujours construire un filtre de mêmegain mais de réponse en phase différente grâce au théorèmesuivant :
Théorème.
Soit un filtre de fonction de transfert rationnelle H(z) = B(z)A(z) et
soit b un zéro du filtre.Alors, en remplaçant b par 1/b̄ dans B(z), on ne change pas lemodule de la réponse en fréquence du filtre.
17 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Effets de la phase d’un filtre (+/- corrigé TP5)
Reprenons l’exemple du filtre passe-tout du cours 5 :
H(z) =z−1 − b̄1− bz−1
et appliquons-le au signal suivant :
t
x(t)
−1
1T0
t
x(t)
−1
1T0
t−1
1T0
t−1
1T0
18 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Phase et effet du filtre passe-tout
Chacune des composantes du signal subit un déphasage différent.
t
x(t)
−1
1T0
t−1
1T0
t−1
1T0
La sortie (à gauche) est différente de l’entrée (à droite).
t
x(t)
−1
1T0
6=
t
x(t)
−1
1T0
19 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtre à minimum de phase
Un moyen de contraindre la phase d’un filtre est de choisir, parmiceux ayant le même gain, le filtre à minimum de phase.
Définition. Filtre à minimum de phaseSoit H un filtre dont la fonction de transfert est une frationrationnelle. H est dit à minimum de phase si les pôles et leszéros de sa fonction de transfert sont à l’intérieur du cercle unitédans le plan complexe.
Remarques :
Parmi tous les filtres dont les fonctions de transfert ont le même gain, le filtre àminimum de phase Hmin est celui qui répond le plus “rapidement”, dans le sensoù, si x[n] est un signal causal et y = H(x) :
|ymin(0)| > |y(0)|,∑nk=−∞ |ymin(k)|2 >
∑nk=−∞ |y(k)|2
L’inverse d’un filtre causal, stable, à minimum de phase possède les mêmespropriétés.
20 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtres à phase linéaire
On note H(e2iπf ) = G(f)e−iϕ(f) (gain et phase)Le retard subi par une composante à la fréquence f vaut :
τ(f) = − 1
2πϕ′(f)
Un filtre est dit à phase linéaire si l’argument de sa fonctionde transfert s’écrit :
ϕ(f) = ϕ0 + 2πfτ
Dans ce cas, toutes les composantes du signal d’entréesubissent le même retard.Il n’y a pas de distortion de phase (souhaitable danscertaines situations).
21 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtres à phase linéaire en pratique
En pratique, deux cas sont intéressants :Si ϕ0 = 0 on obtient un filtre à phase linéaire si h[n] est réelleet symétrique.Si ϕ0 = π/2 le filtre est à phase linéaire si h[n] est réelle etantisymétrique.Cela implique de tronquer symétriquement autour de n = 0 etd’introduire un retard pour préserver la causalité.
22 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Typologie des filtres à phase linéaire
Si l’on combine toutes les contraintes, on peut en fait exprimer tousles filtres RIF réels, causaux, stables à phase linéaire selon quatre“types” :
N impair N pairh symétrique Type I Type II
Tous filtres Pas de passe-hauth antisymétrique Type III Type IV
Ni passe-bas ni passe-haut Pas de passe-bas
Les conditions de parité permettent d’expliciter l’expression desfiltres (on utilise les formules d’Euler pour faire apparaître des sinusou des cosinus).
23 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Exemple : filtre de type I
H(e2iπf ) =
N−1∑n=0
h[n]e2iπf
= h[N − 1
2]e(N−1)iπf +
(N−1)/2−1∑n=0
h[n]e2iπnf +
N−1∑n=(N−1)/2+1)
h[n]e2iπnf
Par changement d’indice n = N − 1−m et utilisation de la symétrie, on obtient :
H(e2iπf ) = e−2i(N−1)πf(N−1)/2∑n=0
a[n]cos(2nπf)
avec {a[0] = h[(N − 1)/2]
a[n] = 2h[(N − 1)/2− n]
24 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Qualités désirables d’un filtre
Causalité et stabilitéCoût d’application (mémoire et calcul)Préférence aux RIFPhase linéaire(Sensibilité aux erreurs de précision numérique)(Architecture d’implémentation)
25 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Synthèse par la méthode de la fenêtre
1 Spécifications des filtres numériques
2 Synthèse par la méthode de la fenêtrePrincipe de la méthode de la fenêtreInfluence des paramètres
3 Synthèse par la méthode de Remez
4 Synthèse de filtres RII
5 Introduction aux bancs de filtres
6 Travaux pratiques
26 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Principe de la méthode de la fenêtre
Écrire la fonction de transfert idéale (sans oublier lapériodicité).Calculer sa réponse impulsionnelle (qui est infinie) pardécomposition en série de Fourier.La tronquer temporellement par l’application d’une fenêtre.Si nécessaire, ajouter un retard pour s’assurer de la causalitédu filtre.Le résultat est un filtre RIF dont la réponse dépend :
du type de fenêtrede sa longueur (ordre du filtre RIF)
27 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Avec une fenêtre rectangulaire
Meilleure approximation de la RII (moindres carrés).Problème : phénomène de Gibbs → il peut être impossible derespecter le gabarit de cette manière.
(N = 4, N = 10, N = 50. Illustration tirée de (Prandoni et Vetterli, 2008).
28 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Choix de la fenêtre
La forme de la fenêtre influe sur :La largeur de la bande de transition (convolution avec le lobeprincipal de la TF de la fenêtre)Les ondulations (convolution avec les lobes secondaires)
29 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Exemple
Si l’on remplace la fenêtre rectangulaire par une fenêtre deHamming de même longueur, les ondulations sont réduites mais lapente de la transition diminue.
Illustration de Gaël Richard.
30 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Fenêtres
Comme dans le cours 3, on peut choisir judicieusement la fenêtreen fonction des spécifications (mais il n’y aura pas de miracle :compromis entre ondulations et transition)
Nom Expression Lobe principal AtténuationPorte ΠN [n] 2/N -12dB
Triangulaire ΠN ? ΠN 4/N -25dBHamming 0.54− 0.46 cos( 2πn
N−1) 4/N -43dB
Hann 0.5(1− cos( 2πnN−1
)) 4/N -32dBBlackmann 0.42− 0.5 cos( 2πn
N−1) + 0.08 cos( 4πn
N−1) 6/N -67dB
31 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Fenêtre de Kaiser-Bessel
La fenêtre de Kaiser-Bessel est une famille de fenêtres paramètréespermettant d’interpoler entre la fenêtre rectangulaire et la fenêtrede Blackman
wk[n] =I0
√A− ( 2n
N−1)2
I0(α)
I0 est la fonction de Bessel de première espèce, qu’onapproche en général par I0(x) = 1 +
∑+∞k=1((x/2)k/k!)2.
Longueur impaire, qu’on ajuste pour régler la bande detransitionα règle les ondulationsIl existe des méthodes empiriques pour déterminer N et α pourun gabarit donné.
32 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Influence du paramètre de la fenêtre de Kaiser
33 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Choix de l’ordre du filtre
Le choix de l’ordre du filtre (longueur de la troncature) influe sur laraideur de la pente de transition, le nombre d’ondulations, le retardà la sortie et la complexité du filtre.
Pour un filtre RIF à phase linéaire, on a la règle pifométrique :
M ≈ 2
3log10(
1
10δ1δ2
Fe∆f
)
Quand on utilise la méthode de la fenêtre on doit toujoursvérifier a posteriori que le gabarit est respecté.
34 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Avantages et inconvénients de la méthode de la fenêtre
Le principal avantage de la méthode de la fenêtre est sasimplicité.Mais les ondulations en bande passante et atténuée ne sontpas constantes (le gabarit doit être respecté pour la plusgrande des ondulations)Les ondulations en bande passante et atténuée ne peuvent pasêtre contrôlées séparément.Beaucoup de pifomètre et d’essais-erreurs.
35 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Synthèse par la méthode de Remez
1 Spécifications des filtres numériques
2 Synthèse par la méthode de la fenêtre
3 Synthèse par la méthode de RemezPrincipe de la méthode de RemezUtilisation en pratique
4 Synthèse de filtres RII
5 Introduction aux bancs de filtres
6 Travaux pratiques
36 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Méthode de Rémez : introduction
Méthode itérativeFormulation comme un problème d’optimisation pondéré ausens de ChebyshevProposé en 1896 pour calculer le polynôme de meilleureapproximation de degré inférieur ou égal à n d’une fonctionquelconque sur un intervalle compact, ce qui est exactementce qu’on cherche à faire pour synthétiser un filtre (mais Remezne connaissait pas le traitement du signal)
37 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Formulation
Réponse souhaitée : HD(e2iπf
W (e2iπf ) : onction de pondération contrôlant les oscillationsdans la bande passante et la bande atténuée, par exemple :{
W (e2iπf ) = δ2/δ1 dans la bande passanteW (e2iπf ) = 1 dans la bande atténuée
On écrit le filtre courant H(e2iπf ) = Q(e2iπf )P (e2iπf ) avecP (e2iπf ) =
∑N−10 a[n]cos(2πnf)
On veut minimiser l’erreur entre HD et H :
E(e2iπf ) = W (e2iπf )(HD(e2iπf )−Q(e2iπfP (e2iπf )
)= W̃ (e2iπf )
(H̃D(e2iπf )− P (e2iπf )
)en minimisant sur les coefficients de P :
mina[n](maxf |E(e2iπf )|)38 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Théorème d’alternance
Théorème d’alternance
P (e2iπf ) est l’unique et meilleure approximation pondérée au sensde Chebyshev si et seulement si E(e2iπf ) possède au moins M + 1extrema alternés.
39 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Algorithme
On choisit les M + 1 fréquences où l’erreur sera maximale.On se donne δ l’ondulation tolérée.W̃ (e2iπf )
(H̃D(e2iπf )− P (e2iπf )
)= (−1)iδ
En écrivant cette relation aux fréquences choisies on obtientune relation matricielle H̃D = AP où la matrice A ne dépendque des fréquences des extremaOn calcule A−1 puis P par interpolation de Lagrange.Les extrema de P ne sont pas forcément aux fréquenceschoisies au début → on les remplace et on itère jusqu’àconvergence.
40 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Utilisation en pratique
Fonction remez de Scilab ou Matlab (ouf).Même avec optimisations incluses, méthode qui reste coûteuse(ne convient pas à la synthèse de filtre en temps-réel).
41 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Synthèse de filtres RII
1 Spécifications des filtres numériques
2 Synthèse par la méthode de la fenêtre
3 Synthèse par la méthode de Remez
4 Synthèse de filtres RIINotionsEn pratique
5 Introduction aux bancs de filtres
6 Travaux pratiques
42 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Synthèse de filtres RII
Juste un mot pour votre culture...La synthèse de filtres numériques RII s’appuie généralementsur le savoir-faire en synthèse de filtres analogiques.On conçoit un filtre analogique répondant aux spécifications,via sa transformée de Laplace.On passe de la transformée de Laplace à la transformée en Z,par exemple par la transformation bilinéaire :
p =2
Te
1− z−1
1 + z−1
Evite de faire joujou au pif avec les pôles et les zéros mais sortdu cadre de ce cours (et de mes compétences).Permet des implémentations rapides.
43 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Exemples
Filtres de Butterworth :
|Hn(iω)| = 1√1 + (ω/ωc)2n
Chebyshev, elliptique, Bessel...
44 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Filtres RII en pratique
... les fonctions qui vont bien en Scilab / Matlab ! ...Exemple : [b,a] = butter(n,Wn,ftype)
45 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Introduction aux bancs de filtres
1 Spécifications des filtres numériques
2 Synthèse par la méthode de la fenêtre
3 Synthèse par la méthode de Remez
4 Synthèse de filtres RII
5 Introduction aux bancs de filtresDéfinitionsExemple
6 Travaux pratiques
46 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Définition d’un banc de filtres
Définition. Banc de filtresUn banc de filtres est un ensemble de filtres (H0(z), . . . ,HM−1(z))tel que :
Les bandes passantes des filtres forment (+/-) une partition del’ensemble des fréquences.Les réponses en fréquence se déduisent les unes des autres parcertaines relations.
Par exemple : Hk(z) = H0(ze−2iπ/M ).
47 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Décimation critique et traitement multicadence
Chaque sortie du filtre d’un banc est à bande étroite.On peut donc la décimer pour la traiter plus rapidement.Lorsque le facteur de décimation est égal au nombre de voies,on dit que le banc de filtres est à décimation critique.
48 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Reconstruction parfaite
Un banc de filtres est dit “à reconstruction parfaite” s’il existe unensemble de filtres (dits “de synthèse”) qui, lorsqu’on les appliqueaux sorties du banc initial et qu’on somme leurs sorties, reconstruitparfaitement le signal d’entrée (à un retard près).
49 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Illustration : schéma-bloc
50 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Illustration : réponse en fréquence
51 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Exemple
La TFCT est un banc de filtres à reconstruction parfaite :
X(ta, ν) =∑
nwa[n]x[ta + n]e−2iπνn
X(ta, νk) = (x ? hk)[ta] avec hk[n] = wa[−n]e2iπνkn
Réponse en fréquence de hk : Hk(e2iπν) = W̄a(e
2iπ(ν−νk))
52 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014
Spécifications Fenêtre Remez RII Bancs de filtres TP
Travaux pratiques
Réaliser plusieurs filtres passe-haut de fréquence de coupureF = 250Hz en utilisant les méthodes et outils vus en cours.Observez les réponses en fréquences, en phase, les réponsesimpulsionnelles.Les appliquer à phrase.wav, visualiser le spectre et écouter lesrésultats.Bonus : réaliser un filtre appliquant un effet de “flanger” (filtreen peigne) : H(z) = 1 + αz−K .
53 M1 RI Traitement du Signal 20/10/2014