traitement des incertitudes en simulation numérique · depuis une trentaine d’années,...

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Traitement des incertitudes en simulation numérique Cours 2 : Planification et analyse d’expériences numériques Bertrand Iooss – Amandine Marrel Module INSA Toulouse/GMM 5 Planification, risque et incertitudes 29 novembre 2013

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Page 1: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Traitement des incertitudes en simulation numérique

Cours 2 : Planification et analyse d’expériences numériques

Bertrand Iooss – Amandine Marrel

Module INSA Toulouse/GMM 5Planification, risque et incertitudes

29 novembre 2013

Page 2: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Module Traitement des incertitudes en simulation nu mérique

Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codesde calcul parfois très lourds pour modéliser des phénomènes complexes !La plupart des ingénieurs sont amenés à manipuler ces codes & processus

1) Il est nécessaire d’optimiser leur utilisation pour prendre des décisions !=> Analyse de sensibilité, planification d'expérience, développement de modèles réduits

2) La validation de leurs résultats est un problème crucial lorsqu’ils sont utilisésdans des cycles industriels (conception, sûreté, prévision, etc.)=> Gestion des incertitudes, calculs fiabilistes

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 2

3 cours de 3h15 pour INSA GMM 5 & Master Pro 2 UPS1.Cours 1 : Introduction, modélisation et propagation d’incertitudes2.Cours 2 : Planification et analyse d’expériences numériques3.Cours 3 : Modélisation d’expériences numériques, krigeage

3 séances de TP pour INSA GMM 51.TP 1 :Exercices en R2.TP 2 : Exercices en R3.TP 3 : Exercices en R

Une note sera délivrée via un compte-rendu réalisés à l’issue du dernier TP

Page 3: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Une problématique multi-sectorielle

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 3

Page 4: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

1. Introduction

2. Planification d’expériences numériques

3. Méthodes d’analyse de sensibilité

Plan du cours 2

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 4

Page 5: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Incertitudes en simulation numérique : les enjeux

Validation :

Modélisation :Explorer au mieux différentes combinaisons des entrées

Identifier les données influentes pour prioriser la R&D

Améliorer le modèle

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 5

Réduire l’incertitude de prédiction

Calibrer les paramètres du modèle

Utilisation :Études de sûreté : calculer un risque de défaillance (Fiabilité des structures - événements

rares), calculer des marges (par rapport à une réglementation)

Conception : optimiser les performances d’un système

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Étape B:Quantification des sources

ModèleModèle(ou processus de (ou processus de

mesure)mesure)G(x,d)

Variables Variables d’entréed’entrée

Incertaines : x

Variables Variables d’intérêtd’intérêtZ = G(x,d)

ÉtapeÉtape A : Spécification du problèmeA : Spécification du problème

Quantité Quantité d’intérêtd’intérêt

Ex: variance, probabilité ..

Étape C : Propagation des sources d’incertitude

Approches quantitatives : schéma générique introduc tif

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 6

des sources d’incertitudes

Modélisation par des distributions

G(x,d)Incertaines : xFixées : d

Z = G(x,d)

Critère de décisionEx: Probabilité < 10-b

Rebouclage(feedback)

probabilité ..

Étape C’ : Analyse de sensibilité, Hiérarchisation

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Enjeu : Arbitrer entre précision de l’estimateur et coût des calculs

Si possible, Monte Carlo est à privilégier : indépendant de la dimension des entrées, estimation non biaisée, fournit un intervalle de confiance sur l’estimationMais : coût important en nombre d’évaluations du modèle

Si le code de calcul est trop coûteux en CPU, il existe des méthodes alternatives :Méthodes quasi-Monte Carlo (cf. cours 2) - Mais : fléau de la dimension

Rappels sur la propagation d’incertitudes

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 7

Méthodes approchées : Cumul quadratique (développement de Taylor) - Mais : hypothèse linéairesMéthodes FORM/SORM : estimation rapide de pf . Cette première estimation peut être utilisée pour construire un tirage d’importance

Utilisation d’un modèle de substitution du code de calcul (cf. cours 3) ayant un coût pratiquement nul (métamodèle)

Attention : un nouveau terme d’erreur apparaîtLe calage du métamodèle demande aussi un certain nombre d’appels au vrai modèle G

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1. Introduction

2. Planification d’expériences numériques

3. Méthodes d’analyse de sensibilité

Plan du cours 2

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 8

Page 9: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Explorer le comportement des réponses d’un code à l’aide d’un nombre limité de calculs

Propager les incertitudes (calcul des moments des réponses)

Objectifs des plans exploratoires

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 9

Fournir des plans plus efficaces que les plans aléatoires purs pour estimer des indices de sensibilité

Fournir un plan initial pour construire un métamodèle

Page 10: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mauvais plan exploratoire : le plan « One-At-a-Time » (OAT)

Part de l’idée très répandue que pour analyser les causes d’un phénomène, il faut faire des expériences en ne bougeant qu’un seul facteur à la fois

X2P2P3

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 10

On voit aisément que : OAT apporte des informations, potentiellement fausses

L’exploration est pauvre :

• ne détecte pas les non monotonies, discontinuités, interactions

• laisse de grandes zones inexplorées dans l’espace des paramètres d’entrée (fléau de la dimension)

Remarque : OAT est un plan de résolution III mais aliases très mal définis

X1P1 P2

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Illustration du fléau de la dimension

7 points dans un espace 3D

p=2p=3 0

Faible recouvrement de l’espace

log(

rapp

ort)

pp

pr

+Γ==

2

1

12

)5.0( sphere vol.2/π

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 11

Surf. cercle/ Surf. carré ~ 3/4

Vol. sphere / Vol. cube ~ 1/2

p=10 Rapport ~ 0.00250 5 10 15 20

-15

-10

-5

k

log(

ratio

(k))

p

log(

rapp

ort)

volume de l’hypercube >> volume de l’hypersphère (incluse et tangente)

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Exploration « optimale » d’un domaine hypercubiquePlacer des points dans le domaine des entrées X є Rp dans le but de

« maximiser » la quantité d’information sur la sortie du modèle Y = G (X)

La précision (et donc le coût) de l’exploration dépend de p(contrairement à la prop. d’incert.)

Grille régulière à n niveaux N =n p simulations

fléau de la dimension

Ex: p =2, n =3N =9

p = 10, n=3

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 12

fléau de la dimension

Pour minimiser N, on a besoin d’échantillons assurant une bonne couverture de l’espace des entrées

Un échantillon purement aléatoire (Monte Carlo) ne le permet pas

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

V1

V2

0.2 0.4 0.6 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

V1

V2

Monte CarloPlan optimisé

Ex: p = 2N = 10

N = 59049

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Plan factoriel complet 23

Plan factoriel fractionnaire 23-1

Experimental Design can be defined as the strategy for setting up experiments [ performing simulations ] in such a manner that the information required is

obtained as efficiently and precisely as possible (Lewis & Phan-Tan-Luu, 2000)

Plans d’expériences

Plans classiques (facteurs discrétiséssuivant des niveaux)

Exemples :

Plans classiques (facteurs continus)Plans optimaux consistant à minimiser unevariance ou le déterminant d’une matrice decovariance par rapport à un modèle spécifié(linéaire, polynôme d’ordre deux, …)

Plans pour simulations numériques

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 13

paramètre 1

paramètre 2

paramètre 3

Spécificités

• expériences déterministes (erreur=0),

• grand nombre de facteurs,

• larges domaines de variation,

• variables d’intérêt multiples,

• modèles fortement non linéaires, …

space filling designs

Biblio : Fisher (1917), Box et Wilson (1954), Taguschi ( 1960), Mitchell (1958), …

Biblio : Kleijnen (1970), McKay (1979), Morris(1995), Sacks ( 1989), …

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..

.

..

COMPOSITE FCCFACTORIEL 2p FACTORIEL 3p COMPOSITE CCD

.

Recueil de plans standard (tabulés)

Quelques plans d’expériences « classiques »

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 14

BOX-BEHNKEN HYBRID RECHTSHAFFNERHOKE D6

Recueil de plans standard (tabulés)

[ Corre, 2005 ]

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Exploration du domaine : propriétés attendues

Répartir « régulièrement » un certain nombre de points N dans l’espacep-dimensionnel des entrées (χ), pour construire le plan

N ~ 50 à 1000 et p ~ 5 à 50

S’assurer de la robustesse de cette répartition vis-à-vis de la réduction dedimension

( )pjNi

ijN x

...1,...1

)(

===Ξ

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 15

dimensionRègle d’or à connaître : la plupart du temps, ce sont les effets d’ordre faible

qui sont influents

On va donc chercher des plans d’expériences qui répondent à ces objectifs

Question préliminaire :

Comment définit-on les « bonnes » répartitions ?=> différents critères possibles

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Comment échantillonner un espace de grande dimensio n ?Warning: un échantillon aléatoire pur remplit mal l’espace (surtout si p est élevé)

1. Plans « space filling » sont de bons candidats pour bien remplir l’espace

Ces plans sont basés :• soit sur un critère de distances entre les points du plan : minimax, maximin, …

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

V1

V2

0.2 0.4 0.6 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

V1

V2

Echant.Echant.MonteMonteCarloCarlo

SpaceSpaceFillingFillingDesignDesign

Ex: p = 2, N = 10

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 16

• soit sur un critère de distances entre les points du plan : minimax, maximin, …• soit sur un critère de répartition uniforme des points (discrépance)

2. Propriété de projections uniformes sur les margesobtenue via un plan Hypercube Latin (LHS)chaque entrée est bien échantillonnée.

Ex : p = 2, N = 4

3. Plans LHS optimisés pour avoir les propriétés 1 et 2

good bad

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Minimax design DMI : Minimise la distance maximale entre un point du domaine et un point du plan

Aucun point du domaine [0,1]p n’est trop loin d’un point du plan DMI

),(min),( re whe

),(max),(maxmin

)0(

)0(xxdDxd

DxdDxd

Dx

MIxxD

∈=

= [ Johnson et al. 1990 ][ Koehler & Owen 1996 ]

Critères géométriques de remplissage (1/2)

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 17

=> L’un des meilleurs plans mais trop coûteux à construire pour p > 3

Page 18: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

p = 1 ; Xi = (2i-1)/(2N) ; φmM = 1 / 2N

p > 1 : recouvrement de sphères

Plans minimax

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[ www.spacefillingdesigns.nl ]

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Critères géométriques de remplissage (2/2)

- Distance mindist : (norme L2 usuellement)

Maximin design ΞNMm : maximise la distance minimale entre les points du plan

),(min)( )2()1(

, )2()1(xxd

Nxx

N

Ξ∈=Ξφ

),(min),(minmax )2()1(

,

)2()1(

,Mm

)2()1()2()1(xxdxxd

NNN xxxx Ξ∈Ξ∈Ξ=

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 19

- Moyenne des distances de chaque point à son plus proche voisin,

- Mesure de recouvrement = coefficient de variation de ces distances,

- …

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p = 1 ; Xi = (i-1)/(N-1) ; φmM = 1 / (N-1)

p > 1 : empilage de sphères

Plans maximin

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 20

[ www.spacefillingdesigns.nl ] [ www.packomania.com ]

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Un critère statistique : la discrépance

Mesure la déviation maximale entre la répartition des poin ts de l’échantillon et une répartition uniforme (~ statistique de Kolmogorov-Smirnov)

Interprétation géométrique :Comparaison entre le volume des intervalles du domaine et le nombre de points contenus dans ces intervalles

×××==⊂ pp tttQQ 21 [,0[[,0[[,0[)(,[1,0[)( tt Kχ

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 21

Plus faible est la discrépance, plus la répartition uniforme

des points dans l’espace est bonne

La discrépance intervient dans la majoration de l’erreur d’intégration d’une fonction

∏=∈

−=

×××==⊂p

ii

Q

Q

p

tN

N

tttQQ

p1

)(

[1,0[)(

21

sup)plan(ediscrépanc

[,0[[,0[[,0[)(,[1,0[)(

t

t

tt Kχ

Page 22: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Lien avec le problème de l’intégration d’une foncti on

( )

( ) ( )

=⇒==Ε

=

=

=

=∑

NO

N

GIII

x

xGN

I

dxxGI

NN

pNi

i

N

i

iN

p

1)(VarVar;

[1,0[ dans points de aléatoire séquence une avec

)(1

: Carlo Monte

)(

MCMC

...1)(

1

)(MC

[1,0[

ε

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 22

( ) ( ) NNNN

Propriété générale (Koksma-Hlawka inequality) :

Avec une suite à faible discrépance D (séquence quasi-Monte Carlo) :

Une suite est uniformément répartie sur [0,1[p si limn->∝ Disc(Dn) = 0Choix bien connus : suite de Sobol’, Halton, Faure, …

( )

=

N

NO

plnε

)(disc)( DGV ×≤ε

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( )

( )2/12

[1,0[ 1)(

*2

1)(

[1,0[

*

))(Volume(11

))(Volume(11

sup

)(

)(

−=Ξ

−=Ξ

∫ ∑

=∈

=∈

tt

t

tx

txt

dQN

D

QN

D

p

i

ip

N

iQ

N

N

iQ

N

Discrépances L 2

Plusieurs définitions, dépendant de la norme et des intervalles considérés

Choix permettant de faciliter les calculs : discrépance L2

Discrépance L2 à l’origine :

[ Hickernell 1998 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 23

Une propriété manquante : prise en compte de l’uniformité des projections des points sur des sous-espaces de [0,1[p

=> Discrépance L 2 modifiée

( ){ }

) dans scoordonnée de unité (cube sur )( de projection la )(et

,...,1 avec

))(Volume(11

Ø

2

1)(2 )(

uCQQ

pu

dQN

D

uu

u C

u

N

iQ

N

uu

iu

tt

tttx

−=Ξ ∑ ∫ ∑≠ =

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Calculs de la discrépance en pratique

• Discrépance L2 centrée (intervalles ancrés en un sommet de l’hypercube)

Formule analytique :

∑∏

∑∏

= =

= =

−−−+−++

−−−+−

N

ji

p

k

jk

ik

jk

ik

N

i

p

k

ik

ik

pN

xxxxN

xxN

C

1, 1

)()()()(2

1 1

2)()(2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

12

13)(

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 24

• Discrépance L2 wrap-around (supprime les effets de bord en enveloppant le cube unité)

..

. .

.

.

.

. .

..

. ...( )∑∏

= =

−−−−+

=ΞN

ji

p

k

jk

ik

jk

ik

pN xxxx

NW

1, 1

)()()()(2

2 12

31

3

4)(

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Construction d’une suite à discrépance faible

Séquence 1D de Van der Corput

Ecriture d’un nombre i en base b :

Pour obtenir un nombre à l’intérieur de l’intervalle unité :

∑=

−≤≤=

=m

jj

jj

b

babai

aaaaaib

0

01234

10 , : décimal Système

)( : Base K

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 25

Suite de Halton (dimension p) : pour chaque dimension, prendre une base (nombre premier) différente

∑=

−−=

=m

j

jj

b

babih

aaaay

0

1

3210

),( : décimal Système

).0( K

{ }),(,),3,(),2,( pbihihih K

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Exemples en 2D : Suite de Sobol vs. échantillon alé atoire vs. grille régulière

[ Kucherenko, 2010 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 26

Page 27: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Exemple - N = 150 - Dimension = 8

Sobol Sobol scrambling Owen

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 27

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Exemple - N = 150 - Dimension = 8 Halton

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 28

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Pathologies sur les projections 2DHalton

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 29

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Propriété importante : robustesse en sous-projectio ns

Le code de calcul G (X) a souvent de faibles dimensions effectives :- au sens de la troncature (nombre de variables influentes << p )- au sens de la superposition (+ gd ordre d’interaction influente << p )

Il est donc nécessaire que le SFD conserve les propriétés space-filling sur les sous-espace de faibles dimensions (par importance : en dimension p ’=1, puis p ’=2, ...)

• p ’ = 1 – Le plan LHS nous assure de bonnes projections 1D

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 30

good bad

• p ’ ≥ 2 - Les discrépances L2 modifiées (centrée, wrap-around, …) prennent en compte les sous-projections dans leurs définitions

Par contre, les critères de distances vus précédemment n’assurent pas de robustesse en sous-projections

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Les Hypercubes Latins (LHS)

Propriété : Projections uniforme sur les marginales

Principe : p variables, N points ⇒ LHS(p,N)- On divise chaque dimension en N intervalles

- Tirage aléatoire d’un point dans chaque strate : Exemple : p =2, N =4

Souvent, seules quelques variables sont influentes

[ McKay et al. 1979 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 31

Chacun des niveaux est pris une fois et une seule par chaque facteur⇒⇒⇒⇒ chacune des colonnes du plan est donc une permutation de { 1,2,..,N }

Exemple : p =2, N =4

Choix du LHS par optimisation de différents critères� Remplissage� Indépendance� Uniformité

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Algorithme LHS( p,N) – Méthode de Steinran = matrix(runif(N*p),nrow=N,ncol=p) #tirage de N x p valeurs selon loi U[0,1]

x = matrix(0,nrow=N,ncol=p) # constructi on de la matrice x

for (i in 1:p) {

idx = sample(1:N) #vecteur de permutations des entie rs {1,2,…,N}

P = (idx-ran[,i]) / N # vecteur de probabilités

x[,i] <- quantile_selon_la_loi (P) }

Exemple : p =2, N =10, X1 ~ U[0,1], X2 ~ N(0,1)

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 32

Exemple : p =2, N =10, X1 ~ U[0,1], X2 ~ N(0,1)

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Méthode simple : générer un grand nombre (par ex. 1000) de LHS différents. Puis, choisir le meilleur au sens d’un critère φ (.) (« space filling »)

MAIS : le nombre de LHSpossibles est énorme :

Méthode par algos d’optimisation (ex : minimisation de φ(.) par recuit simulé) :

Optimisation de LHS => Space-filling LHS

Exemple : LHS(2,16)

critère maximin ( )pN!

[ Park 1993; Morris & Mitchell 1995 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 33

1. Initialisation d’un plan Ξ (LHS initial) et d’une température T

2. Tant que T > 0 : 1. générer un voisin Ξ new de Ξ (voisin = permutation de 2 composantes dans une colonne)

2. remplacer Ξ par Ξ new avec la probabilité

3. faire décroître T

3. Critère d’arrêt => Ξ contient la solution optimale générée par le recuit simulé

Ξ−Ξ− 1 , )()(

expmin new

T

φφ

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Exemples

Exemple : LHS(2,16)

Maximin LHS LHS à faible discrépance

Sur des tests numériques (N =100), on voit qu’à partir de la dimension 10, le LHS

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 34

Sur des tests numériques (N =100), on voit qu’à partir de la dimension 10, le LHS maximin se comporte comme un LHS standard (dimension 40 pour un LHS à discrépance centrée faible)

Cela confirme la pertinence de la discrépance L² centrée en terme de sous-projection

En pratique, par exemple, on peut lancer plusieurs (~10) optimisations suivant un critère de discrépance, et on compare les résultats suivant un critère de distance afin de choisir le meilleur plan

Page 35: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Récapitulatif sur la planification d’expériences nu mériquesEnjeu : Echantillonner un espace de grande dimension de manière « optimale »

(obtenir le plus d’informations possible sur le comportement de la sortie Z / X є Rp)

Problème : un échantillon aléatoire pur (Monte Carlo) remplit mal l’espace

1. Plans « space filling » sont de bons candidats pour bien remplir l’espace :

- Basés sur un critère de distances entre les points du plan (minimax, maximin, …), justification théorique pour la construction du métamodèle de krigeage

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 35

justification théorique pour la construction du métamodèle de krigeage

- Basés sur un critère de répartition uniforme des points (discrépance) ; justification théorique lorsque l’on calcule la moyenne de la fonction f (X)

2.Propriété de projections uniformes sur les marges peut être obtenue via les plans hypercubes latins (LHS)

3.Il est possible de coupler les 2 propriétés en construisant des LHS optimisés

Page 36: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Synthèse : propriétés des Space Filling Designs

Orthogonalité des colonnes

Motifs, alignement

Plan séquentiel

Réduction dimension

Monte Carlo Non Non Oui Oui

Faure, Halton, Sobol

Oui Oui, en dim. élevée

Oui Oui, mais pathologies

LHS à discrép Non ? Non Oui

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 36

LHS à discrépcentrée faible

Non ? Non Oui

LHS maximin Non Oui Non Non

• A part le Monte Carlo, tous ces plans sont dits « à bon remplissage de l’espace »• les suites à faible discrépance remplissent le cube unité de manière extrêmement régulière (et parfois trop => techniques de scrambling)

Page 37: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

1. Introduction

2. Planification d’expériences numériques

3. Méthodes d’analyse de sensibilité

Plan du cours 2

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 37

Page 38: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Étape B:Quantification des sources

ModèleModèle(ou processus de (ou processus de

mesure)mesure)G(x,d)

Variables Variables d’entréed’entrée

Incertaines : x

Variables Variables d’intérêtd’intérêtY = G(x,d)

ÉtapeÉtape A : Spécification du problèmeA : Spécification du problème

Quantité Quantité d’intérêtd’intérêt

Ex: variance, probabilité ..

Étape C : Propagation des sources d’incertitude

Approches quantitatives : schéma générique introduc tif

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 38

des sources d’incertitudes

Modélisation par des distributions

G(x,d)Incertaines : xFixées : d

Y = G(x,d)

Critère de décisionEx: Probabilité < 10-b

Rebouclage(feedback)

probabilité ..

Étape C’ : Analyse de sensibilité, Hiérarchisation

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Deux notions pour l’analyse de sensibilité

sensibilité, par exemple

Donne une idée de la manière dont peut répondre la réponse en fonction de variations potentielles des facteurs

« contribution » = sensibilité x importance, par exemple

Permet de déterminer le poids d’une variable d’entrée (ou groupe de variables) sur l’incertitude de la variable d’intérêt (la sortie)

iXY ∂∂

)( ii

XX

Y σ∂∂

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 39

C’est l’impact vis-à-vis de la quantité d’intérêt qui est étudié :• variabilité globale (variance, entropie, …)• quantile, probabilité de dépassement, …

DDXX DDYY

f

XXYY

Distinction local vs. global

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Analyse de sensibilité locale

• Cumul quadratique

Contribution de Xi sur la sortie Y :( )

( )∑=

∂∂

∂∂= p

ii

ii

XY

XYXC

1

2X

2

2X

2

i

i)(σ

σ

( ) ( ) ∑=

∂∂+=

p

iii

Xi

XXX

YYY

1

00 )(0

XX

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 40

Calcul des dérivées par différences finies, dérivées exactes, différentiation automatique de codes (fortran, C)

• Autres indices de sensibilité locaux

Indices issus des méthodes FORM/SORM mesurent les sensibilitéspar rapport au dépassement d’un seuil (autour du point de conception)

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Analyse de sensibilité globale : objectifs

Réduction de l’incertitude de la sortie d’un modèle par hiérarch. des sources

Variables à fixer pour obtenir la plus forte réduction (ou une réduction donnée) de l’incertitude de la sortie

Variables les plus influentes dans un domaine de valeurs de la sortie

si réductibles, priorité de R&D

Simplifier un modèle

détermination des variables non influentes, que l’on pourra fixer

construire un modèle simplifié, un métamodèle

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 41

construire un modèle simplifié, un métamodèle

Approche statistique (échantillonnage Monte Carlo) Propagation Sensibilités globales

coût élevé pour probas faibles coût α p

Page 42: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Enjeu : décomposer la variabilité globale de la sortie Z = G (X) (due aux incertitudes sur les entrées X) en part de variabilité due à chaque entrée Xi , i=1,…,p

Problème : comme pour la planification, le coût en nombre N d’évaluations de G (.) dépend de p

1. Le criblage (screening) :

- plans d’expériences classiques, - plans d’expériences numériques

N ~ p/2 à 10 p

Analyse de sensibilité globale

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 42

N ~ p/2 à 10 p

2. Les mesures d’influence globale : - corrélation/régression sur les valeurs/rangs, - décomposition de la variance fonctionnelle (Sobol),

N ~ 2p à 1e4 p

3. Exploration fine des sensibilités - N ~ 10p à 100 p- Méthodes de lissage (param./non param.)- Métamodèles

X1

X3

X2

Y

Page 43: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Criblage avec N < p (plans supersaturés)

Beaucoup d’entrées (p >> 10) et code coûteuxContrainte : réaliser moins de calculs qu’il n’y a d’entréesHypothèses :

Nombre d’entrées influentes << pMonotonie du modèle, pas d’interaction entre entréesConnaissance du sens de variation de la sortie / chaque entréePossibilité de planification séquentielle

Exemple: méthode des bifurcations séquentielles

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 43

Exemple: méthode des bifurcations séquentielles

Y+X1

X2

X3

X4 X… Xp

2 calculs

Y-

Page 44: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Criblage avec N < p (plans supersaturés)

Beaucoup d’entrées (p >> 10) et code coûteuxContrainte : réaliser moins de calculs qu’il n’y a d’entréesHypothèses :

Nombre d’entrées influentes << pMonotonie du modèle, pas d’interaction entre entréesConnaissance du sens de variation de la sortie / chaque entréePossibilité de planification séquentielle

Exemple: méthode des bifurcations séquentielles

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 44

Exemple: méthode des bifurcations séquentielles

Y+X1

X2

X3

X4 X… Xp

X1X2

X3

X4

X…

Xp

X…

-

+

2 calculs 1 calcul

Y-

Y1si Y+≠Y-

Page 45: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Criblage avec N < p (plans supersaturés)

Beaucoup d’entrées (p >> 10) et code coûteuxContrainte : réaliser moins de calculs qu’il n’y a d’entréesHypothèses :

Nombre d’entrées influentes << pMonotonie du modèle, pas d’interaction entre entréesConnaissance du sens de variation de la sortie / chaque entréePossibilité de planification séquentielle

Exemple: méthode des bifurcations séquentielles

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 45

Exemple: méthode des bifurcations séquentielles

Y+X1

X2

X3

X4 X… Xp

X1X2

X3

X4

X…

Xp

X…

-

+

2 calculs 1 calcul

Y-

Y1si Y+≠Y- si Y1 ~ Y+

Page 46: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Criblage avec N < p (plans supersaturés)

Beaucoup d’entrées (p >> 10) et code coûteuxContrainte : réaliser moins de calculs qu’il n’y a d’entréesHypothèses :

Nombre d’entrées influentes << pMonotonie du modèle, pas d’interaction entre entréesConnaissance du sens de variation de la sortie / chaque entréePossibilité de planification séquentielle

Exemple: méthode des bifurcations séquentielles

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 46

Exemple: méthode des bifurcations séquentielles

Y+X1

X2

X3

X4 X… Xp

X1X2

X3

X4

X…

Xp

X…

-

+

2 calculs 1 calcul

Y-

Y1

X1X2

X3

X…

si Y+≠Y- si Y1 ~ Y+ ……

N ~ p / 2

Quelques Xiinfluents

Page 47: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Un criblage plus informatif : la méthode de Morris

• Méthode de « screening » (criblage)

� un modèle comportant beaucoup de variables d’entrée est difficile à explorer …… mais souvent, seulement quelques entrées sont influentes

� objectif qualitatif : identifier rapidement ces entrées

• La méthode de [Morris 91] permet de classer les entrées en trois

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 47

• La méthode de [Morris 91] permet de classer les entrées en trois groupes selon leurs effets :

1. effets négligeables2. effets linéaires et sans interaction3. effets non linéaires et/ou avec interactions

• Pas d’hypothèses sur le modèle… … mais mieux vaut une certaine régularité…

Page 48: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

∆X2

Criblage : Méthode de Morris

• Discrétisation de l’espace

P1

• Nécessite p+1 expériences

• OAT (One-at-A-Time)

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 48

X1

• Permet de calculer un effet élémentaire pour chaque entrée

P2P3

Page 49: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

X2

4

3

2

• Le plan d’expériences est répété R fois (au total : N = R*(p+1) expériences)

• Ceci donne R-échantillons pour chaque effet élémentaire

Criblage : Méthode de Morris

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 49

X1

1

5

• Mesures de sensibilité

Moyenne des effets

Dispersion des effets

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Criblage : Méthode de Morris

• est une mesure de la sensibilité :

valeur importante � effets importants (en moyenne)� modèle sensible aux variations de l’entrée

• est une mesure des interactions

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 50

• est une mesure des interactionset des effets non linéaires :

valeur importante � effets différents les uns des autres� effets qui dépendent de la valeur :

• soit de l’entrée elle-même : effet non linéaire• soit des autres entrées : interaction(la méthode ne permet pas de distinguer les 2 cas)

Page 51: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Criblage : Méthode de Morris => Exemple

20 facteurs210 simulations� Graphe (mu*, sigma)

On distingue les 3 groupes:3

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 51

σ

Cas test : fontion non monotone de Morris (source Saltelli)

On distingue les 3 groupes:

1. Effets négligeables2. Effets linéaires3. Effets non linéaires

et/ou avec interactions

1 2

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Exemple : code combustible HTRCode de calcul ATLAS (CEA) : simulation du comportementdu combustible à particules sous irradiation

Noyau de matière fissileCarbone pyrolytique poreuxCarbone pyrolytique denseCarbure de Silicium

Sources de contamination : rupture de particulesNombre de particules dans un

réacteur : de 109 à 1010 !

< 1mm φ

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 52

Sources de contamination : rupture de particulesEtudes de fiabilité [Cannamela 07]

La rupture d’une particule peut être provoquée par la rupture des couches denses externes (IPyC, SiC, OPyC)

Les réponses sont choisies pour être représentatives du phénomène de rupture : contraintes orthoradiales maximales dans les couches externes

réacteur : de 109 à 1010 !

Page 53: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

3 sources d’incertitudes en entrée• 10 paramètres de fabrication des particules (épaisseurs, …)

Spécifications de fabrication lois normales tronquées

• 5 paramètres d’irradiation (température, …)Intervalle [min,max] lois uniformes

• 28 lois de comportement (fonctions des température, flux, …)Avis d’expert constantes multiplicatives (de loi U[0.95,1.05])

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 53

Exemple : loi de densification

du PyC

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Résultats de Morris

Grande sensibilité àces entrées (épaisseurs, température d’irradiation)Interactions faibles

Les lois sur le fluage

p = 43 entrées, 20 répétitions, n = 860 calculs, coût unitaire ~ 1 mn 14h

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 54

Les lois sur le fluageet la densification du PyCsont les lois auxquelles lecode est le plus sensible

Conclusion : La méthode de Morris donne une idée de la manière dont peut répondre la sortie en fonction de variations potentielles des entrées…

Utile pour identifier les entrées potentiellement influentes

Page 55: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Enjeu : décomposer la variabilité globale de la sortie Z = G (X) (due aux incertitudes sur les entrées X) en part de variabilité due à chaque entrée Xi , i=1,…,p

Problème : comme pour la planification, le coût en nombre N d’évaluations de G (.) dépend de p

1. Le criblage (screening) : - plans d’expériences classiques, - plans d’expériences numériques

N ~ p/2 à 10 p

Rappels sur l’analyse de sensibilité

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 55

N ~ p/2 à 10 p

2. Les mesures d’influence globale :

- corrélation/régression sur les valeurs/rangs, - décomposition de la variance fonctionnelle (Sobol),

N ~ 2p à 1e4 p

3. Exploration fine des sensibilités - N ~ 10p à 100 p- Méthodes de lissage (param./non param.)- Métamodèles

X1

X3

X2

Y

Page 56: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale

Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> pÉtape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 56

Page 57: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale=> Représentation graphique : scatterplots

YX

σσρ ),cov(=

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

02

46

810

i3

p23

N calculs

Graphe Sortie / chaque entrée

Exemple :N = 300

Mesure le caractère linéaire du nuage de points

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 57

YXσσ

yx

N

iii

ss

yyxxN ∑=

−−= 1

))((1

ρ̂

Page 58: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale=> Modèle de crues - Scatterplots – Sortie S

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 58

Echantillon Monte Carlo – N = 100

Page 59: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale=> Modèle de crues - Scatterplots – Sortie Cp

Monte Carlo – N = 100

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 59

Limite majeure : analyse seulement les relations du premier ordre et pas les effets des interactions entre les entrée s

Page 60: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale

Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> p

? Relation linéaire ?

Oui

(R²)

Non ? Relation monotone ?

Étape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)

Méthodologie d’analyse de sensibilité quantitative[Saltelli et al. 00, Helton et al. 06 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 60

Oui

Régression linéaire

entre Xi et Y

Coefficients de régression

IndicesDe

sensibilitéIndices de Sobol

Non

Oui Non

Régression sur les rangs

(R²*)

Page 61: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Indices de sensibilité dans le cas d’une relation entrées/sortie linéaire

Variables d’entrées indépendantes

Echantillon : N réalisations de

L’indice SRC :

Le signe de β donne le sens de variation de Y / X

∑=

+=p

iii XY

10 ββ

( ))Var(

)Var(:SRC

Y

XX i

ii β=

( )Y,X

( )pX,X ...,1=X

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 61

Le signe de βi donne le sens de variation de Y / Xi

Similaire au coefficient de corrélation linéaire (Pearson)

Validité du modèle linéaire via les diagnostics de la régression et le R² :

On a , ce qui permet d’interpréter aisément les SRC

61

( )( )∑

=

=

−−=

N

ii

N

iii

YY

YYR

1

2

1

2

2

ˆ

1

( )∑=

=p

iiXR

1

22 SRC

Page 62: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Indices de sensibilité – relation entrées/sortie lin éaireFlood model - Output S

Monte Carlo sample – N = 100

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 62

28% 12% 15% 26% 3%Sensitivity indices (SRC2)

Le modèle linéaire est valide (R²=0.99)Les coefficients SRC sont suffisants

Page 63: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale

Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> p

? Relation linéaire ?

Oui

(R²)

Non ? Relation monotone ?

Étape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)

Méthodologie d’analyse de sensibilité quantitative[Saltelli et al. 00, Helton et al. 06 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 63

Oui

Régression linéaire

entre Xi et Y

Coefficients de régression

IndicesDe

sensibilitéIndices de Sobol

Non

Oui Non

Régression sur les rangs

(R²*)

Page 64: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Transformation des rangs : à chaque individu X(j) (j=1,…,N), on associe son rang RX

(j) (le rang varie de 1 à N )

Indices de sensibilité dans le cas d’une relation entrées/sortie monotone

13

105

00

44

yx

22

44

11

33

yx rr

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 64

Le coefficient de corrélation des rangs (Spearman) = mesure le caractère monotone de la relation entre Xi et Y

Relation monotone = relation linéaire sur les rangsIndices de sensibilité : SRRC

Validation : diagnostics de la régression, R 2*

YX RR

YXS

RR

σσρ ),cov(=

22

Page 65: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale

Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> p

? Relation linéaire ?

Oui

(R²)

Non ? Relation monotone ?

Étape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)

Méthodologie d’analyse de sensibilité quantitative[Saltelli et al. 00, Helton et al. 06 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 65

Oui

Régression linéaire

entre Xi et Y

Coefficients de régression

Indicesde

sensibilitéIndices de Sobol

Non

Oui Non

Régression sur les rangs

(R²*)

)Var(

)]Var[E(

Y

XYS i

i=

Page 66: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Propriétés ( xi ~ U[O,1] pour i=1,…,p , les xi sont indépendants)

pLf ]1;0[)()( 2 ∈∈ xxx

( ) ( ) ( )ppi ij

jiij

p

iii xxxfxxfxfffy ,...,,...,)( 21,...,2,1

10 ++++== ∑∑∑

>=

x

avec

Mesures d’influence globale : décomposition fonctio nnelle

Il existe une infinité de décompositions possibles

MAIS, la décomposition est unique si : sjiiii iijdxxxfss

,...,0),...,( 1... 11=∀=∫

[ Hoeffding 1946 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 66

Propriétés ( xi ~ U[O,1] pour i=1,…,p , les xi sont indépendants)

Exercice :

( ) )E(0 ydff == ∫ xx

( ) 00 )|E()( fxyfdxfxf iiii −=−= ∫ −x

( ) 0)|E()|E(),|E(, fxyxyxxyxxf jijijiij +−−=

?),(;?)(;?)(;?

]1;0[~;]1;0[~;),(

211222110

212121

====+=

xxfxfxff

UxUxxxxxf

Page 67: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Propriétés ( xi ~ U[O,1] pour i=1,…,p , les xi sont indépendants)

pLf ]1;0[)()( 2 ∈∈ xxx

( ) ( ) ( )ppi ij

jiij

p

iii xxxfxxfxfffy ,...,,...,)( 21,...,2,1

10 ++++== ∑∑∑

>=

x

avec

Mesures d’influence globale : décomposition fonctio nnelle

Il existe une infinité de décompositions possibles

MAIS, la décomposition est unique si :sjiiii iijdxxxf

ss,...,0),...,( 1... 11

=∀=∫

[ Hoeffding 1946 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 67

Propriétés ( xi ~ U[O,1] pour i=1,…,p , les xi sont indépendants)

Exercice :

( ) )E(0 ydff == ∫ xx

( ) 00 )|E()( fxyfdxfxf iiii −=−= ∫ −x

( ) 0)|E()|E(),|E(, fxyxyxxyxxf jijijiij +−−=

0),(;2

1)(;

2

1)(;1

;]1;0[~;]1;0[~;),(

21122221110

21212121

=−=−==

⊥+=

xxfxxfxxff

xxUxUxxxxxf

Page 68: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

22121 34),( xxxxf +=

]21;21[, 21 −∈Uxx

3

1)34()(

2/1

2/1

2/1

2/1 212210 ∫ ∫− −

=+== dxdxxxyEf

3

14)34()|()( 2

1

2/1

2/1 22210111 −=+=−= ∫− xdxxxfxyExf

00 =f

2111 4)( xxf =

3)( xxf =

Un autre exemple

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 68

34)34()|()( 12/1 2210111 −=+=−= ∫− xdxxxfxyExf

222 3)( xxf =

0),( 2112 =xxf

[ JRC 2010 ]

20222 3)|()( xfxyExf =−=0),( 2112 =xxf

Page 69: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale : Indices de Sobol

Définition des indices de Sobol :

Indice de sensibilité d’ordre 1 : )Var(Y

VS i

i=

)()()()(Var 121

YVYVYVY p

p

jiij

p

ii L

L +++= ∑∑<=

ANOVA fonctionnelle [Efron & Stein 81] (hyp. de Xi indépendants) :

[ ] ... , )E(Var ; )]E([Var)(où jijiijii VVXXYVXYYV −−==

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 69

Indice de sensibilité d’ordre 1 :

Indice de sensibilité d’ordre 2 :

...

Exercice :

69

)Var(Yi

)Var(Y

VS ij

ij =

?;?

;]1,0[~;]1,0[~;),(

21

212122121

==⊥+=

SS

XXUXUXXXXXf

Page 70: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Mesures d’influence globale : Indices de Sobol

Définition des indices de Sobol :

Indice de sensibilité d’ordre 1 : )Var(Y

VS i

i=

)()()()(Var 121

YVYVYVY p

p

jiij

p

ii L

L +++= ∑∑<=

ANOVA fonctionnelle [Efron & Stein 81] (hyp. de Xi indépendants) :

[ ] ... , )E(Var ; )]E([Var)(où jijiijii VVXXYVXYYV −−==

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 70

Indice de sensibilité d’ordre 1 :

Indice de sensibilité d’ordre 2 :

...

Exercice :

70

)Var(Yi

)Var(Y

VS ij

ij =

31

15;

31

16

;]1,0[~;]1,0[~;),(

21

212122121

==

⊥+=

SS

XXUXUXXXXXf

Page 71: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

22121 34),( xxxxfy +== ]21,21[, 21 −∈Uxx

3

1)(0 == yEf ( )[ ]

106.0883.0

80.0111 ===

V

xfVarS

On a vu :

Mesures d’influence globale : Indices de Sobol

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 71

3

3

14)|()( 2

10111 −=−= xfxyExf

20222 3)|()( xfxyExf =−=

0),( 2112 =xxf

883.01 V

( )[ ]894.0

883.0

75.0222 ===

V

xfVarS

[ JRC 2010 ]

Page 72: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Indices de Sobol : interprétation graphique

2 4 6 8 10 12 14

02

46

810

per1

p23

0 50 100 150

02

46

810

kd2

p23

Les indices de Sobol du premier ordre mesurent la variabilité des espérances conditionnelles (courbes de tendance dans les scatterplots)

Indice nul

Indicefaible

Indiceélevé

Indicemoyen

810

810

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 72

faibleIndicemoyen

La courbe rouge correspond à un lissage, c’est-à-dire à E (Y | Xi )

Le lissage est réalisé ici par polynômes locaux :

Autres méthodes envisageables : moyenne mobile, polynômes, splines, modèlesadditifs, …

)(ˆ)(ˆ)(ˆ xβxxx += αf

0 20 40 60 80

02

46

kd1

p23

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

02

46

i3

p23

Page 73: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Question centrale de l’analyse de sensibilité : la sortie Y est-elle plus ou moins variable lorsque l’on fixe une des entrées Xi ?

On étudie et on prend sa moyenne sur les valeurs de Xi :

Plus est petit, plus X est influente

Indices de Sobol : autre interprétation

( )ii xXY =Var

( )[ ]ii xXY =Ε Var

( )[ ]xXY =Ε Var

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 73

Plus est petit, plus Xi est influente

Théorème de la variance totale :

On en déduit les indices de Sobol :

Au passage, si le modèle est linéaire :

( )[ ]ii xXY =Ε Var

( ) ( )[ ] ( )[ ]ii XYXYY Ε+Ε= VarVarVar

( )[ ])Var(

Var

Y

XYS i

i

Ε=

( )iXSi

2SRC=

Page 74: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

1≤∑i

iS

1=∑i

iS

Toujours

Le modèle est additif

∑− S1 Mesure le degré d’interactions entre variables

ki j k

ijki j

ij

p

ii SSSS ,...,2,1

1

...1 +++= ∑ ∑ ∑∑ ∑∑=

Propriétés des indices de Sobol

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 74

∑−i

iS1 Mesure le degré d’interactions entre variables

Exemples : p =4 donne 4 indices Si, 6 indices Sij , 4 indices Sijk, 1 indice Sijkl

Cas général : 2p-1 indices à estimer

Indice de sensibilité total :[ Homma & Saltelli 1996 ]

ij kj

ijkijiTi SSSSS ~,

1... −=+++= ∑ ∑

Page 75: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Indices de Sobol : application sur le modèle de crue s

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 75

Page 76: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Calcul des indices de Sobol

Formulations des indices pour Xi (1er ordre et total) :

Formulations des variances conditionnelles :

)Var(1et

)Var(~

Y

VS

Y

VS i

Ti

ii−==

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 76

Formulations des variances conditionnelles :

( ) ( )( ) [ ])(),(CovEE)]Var[E()( '~,~,

22iiiiiiiiii XXfXXfdXXYdXXYXYYV =−== ∫∫

[ ]),(),(Cov)]Var[E()( ~'

~,~~ iiiiii XXfXXfXYYV ==

XXX de teindépendan copie une 'et )(Soient ~, ii XX=

Page 77: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Estimation des indices de Sobol par Monte CarloSoient 2 échantillons i.i.d :

Variance (estimateur classique) :

Estimations des variances conditionnelles :

Indices 1er ordre : coût = n ( p +1)

( ) ( )∑∑==

=−=n

k

kn

k

k fn

fffn

YV1

)(0

1

20

2)( 1ˆ avec ˆ1)(ˆ XX

( ) ( ) 20

)()(1

)()(1

)(1

)()(1

)()(1

)(1

1

',...,',,',...,',...,,,,...,1

)(ˆ fXXXXXfXXXXXfn

YV kp

ki

ki

ki

kkp

ki

ki

ki

kn

ki −= +−+−

=∑

( ) ( ) njpij

injpij

i XX ,..,1;,..,1)(

,..,1;,..,1)( 'et ====

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 77

Indices 1 ordre : coût = n ( p +1)

Indices 1er ordre + indices totaux : coût = n ( p +2)

Astuce : on intervertit

En pratique, n ~ 1e4 => problème du coût en nombre d’évaluations nécessaires

( ) ( ) 20

)()(1

)()(1

)(1

)()(1

)()(1

)(1

1~ ,...,,',,...,,...,,,,...,

1)(ˆ fXXXXXfXXXXXf

nYV k

pk

ik

ik

ikk

pk

ik

ik

ik

n

ki −= +−+−

=∑

( ) ( ) )(ˆ dans 'et ~,..,1;,..,1)(

,..,1;,..,1)( YVXX injpi

jinjpi

ji ====

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Analyse de sensibilité globale

Échantillon ( X, Y (X ) ) de taille N > p , de préférence de taille N >> p

? Relation linéaire ?

Oui

(R²)

Non ? Relation monotone ?

Étape préliminaire : visualisation graphique (par ex : scatterplots)

Méthodologie d’analyse de sensibilité quantitative[Saltelli et al. 00, Helton et al. 06 ]

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 78

Oui

Régression linéaire

entre Xi et Y

Coefficients de régression

IndicesDe

sensibilité

Indices de Sobol

Non

Oui Non

Régression sur les rangs

(R²*)

? Temps de calcul?

ElevéNégligeable

MétamodèleN > 10 p

Monte CarloN > 1000 p

Faible

Quasi-MC, FAST, RBDN > 100 p

Page 79: Traitement des incertitudes en simulation numérique · Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes ... Le calage du métamodèle demande

Enjeu : décomposer la variabilité globale de la sortie Z = G (X) (due aux incertitudes sur les entrées X) en part de variabilité due à chaque entrée Xi , i=1,…,p

Problème : comme pour la planification, le coût en nombre N d’évaluations de G (.) dépend de p

1. Le criblage (screening) : - plans d’expériences classiques, - plans d’expériences numériques

N ~ p/2 à 10 p

Rappels sur l’analyse de sensibilité

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 79

N ~ p/2 à 10 p

2. Les mesures d’influence globale : - corrélation/régression sur les valeurs/rangs, - décomposition de la variance fonctionnelle (Sobol),

N ~ 2p à 1e4 p

3. Exploration fine des sensibilités - N ~ 10p à 100 p- Méthodes de lissage (param./non param.)- Métamodèles => cours 3

X1

X3

X2

Y

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Choisir sa méthode d’analyses de sensibilité

MétamodèleMorrisNon

monotone

Décomposition de la variance

Complexité/régularitédu modèle f

Calcul de tout type d’indices(Sobol, distribution, …)

+ effets principaux E(Y | Xi)

Criblage

Indicesde Sobol

Quantité d’intérêt = variabilité de la réponse

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 80

p 10p 1000p

Linéairedegré 1

Monotone +interactions

Monotonesans

interaction

2p

( p = nombre de variables d’entrée )

0 Nombred’évaluationsdu modèle f

Super criblage

Plan d’expériences

Régression sur les rangs

Régression linéaire

Echantillon Monte-Carlo

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Formation « Démarche Incertitudes », IMdR-LNE

Summer School SAMO, Fiesole, Italy, 2010

Fang et al., Design and modeling for computer experiments, Chapman & Hall, 2006

Kleijnen, The design and analysis of simulation experiments, Springer, 2008

Koehler & Owen, Computer experiments, 1996

Crédits & Bibliographie

B. Iooss – Traitement des incertitudes - Cours 2 – 29/11/13 - 81

Faivre et al., Analyse de sensibilité et exploration de modèles – Applications aux sciences de la nature et de l’environnement, Editions Quaé, à paraître

Saltelli et al., Sensitivity analysis, Wiley, 2000

Ce cours est disponible sur : http://www.gdr-mascotnum.fr/doku.php?id=iooss1#academic