TP MATH-G-1101

TP 11 - Fonctions de deux variables II

Introduction

Durée du TP: 3hRappel de la théorieCorrection de certains exercices à préparerTest en classeCorrection du test

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RappelFonctions à plusieurs composantes (vectorielles).

Ex. 1 : (x,y) (y+1, x+2y+1, x2-3) (2 variables, 3 composantes)

Ex. 2 : (r,) (r cos, r sin) transformation coordonnées polaires – coordonnées cartésiennes (2 variables, 2 composantes)

Pour ces fonctions la notion de dérivée s’élargit en celle de matrice jacobienne de la fonction : c’est la matrice des dérivées partielles des composantes (une ligne pour les dérivées de chaque composante, dans l’ordre) :

Dans le cas des transformations de variables la matrice jacobienne est carrée.

cossin

sincos,

r

rrJ

02

21

10

),(

x

yxJ

RappelSoit f(x, y)0 et D un sous-ensemble de l’ensemble de définition de f. L’intégrale double de f sur D, noté

est le volume V du solide délimité par la surface représentative de f et le domaine d’intégration D.Si f=0 en D : I = 0, si f≤0 en D : I = -V.Si f change de signe en D : I = V1-V2 ou V1 et V2 sont les volumes relatifs respectivement à la partie positive et à la partie négative de la surface.Si f=k (constante) : I = k ∙ Aire de D Si D est le domaine simple :

Ce calcul se fait en 2 étapes :a) d’abord l’intégrale en dy (entre parenthèses) en traitant x

comme une constante ;b) ensuite une deuxième intégrale définie d’une fonction en x.

)()(,),( 21 xyyxybxayxD

dxdyyxfI

b

a

xy

xy

2

1

),(

D

dxdyyxfI ,

Rappel Si D est le domaine simple :

Parmi les domaines simples il y a évidemment les rectangles.

Si D a une autre forme on cherche un changement de variable qui le transforme, si possible, en un domaine simple.

Ex. Passage en coordonnées polaires (x=r cosθ, y=r sinθ) :

où est le domaine transformé et r est le « Jacobien » de la transformation, i.e. le déterminant de la matrice carrée jacobienne de la transformation (jouant le même rôle que la dérivée pour les changements de variables dans les intégrales de fonctions en une seule variable).

drdrrrfdxdyyxfD D

~ )sin,cos(),(

D~

)()(,),( 21 yxxyxdycyxD

dydxyxfI

d

c

yx

yx

2

1

),(

Ex.1 Exercices supplémentaires

Une fonction constante 3 est intégrée sur une aire qui vaut 4x6 l’intégrale vaut 3x4x6 = 72.

Une fonction constante -2 est intégrée sur une aire qui vaut 3x1 l’intégrale vaut (-2)x3x1 =-6.

Une fonction constante 1 est intégrée sur une aire qui vaut pr²=p3²=9 p l’intégrale vaut 1x9 = p 9 .p

La fonction f(x,y)=x étant impaire sur en [-1,1] l’intégrale vaut 0.

Ex.2 Exercices supplémentaires

(a)

(b)

0

1

0sin dyydxxI

0

1

0const. sin

sin2

²dyy

xy

0sin

2

1ydy

10cos2

1cos

2

1cos

2

1

0

y

dydxyxI

1

0

1

0dyyx

xy

1

0

1

0

2

const. 2

1

0 2

1dyy 1

2

1

2

1

22

11

0

2

y

y

Ex.2 Exercices suppl. (suite)

(c) On peut écrire D comme suit :

Puisque D est un domaine simple on calcule :

1

0

1

0

2 dxdyyxIx

1

0

1

0const. 3

)³(dx

yxx

x

1

0 3

³

3

1dx

x 1

0

4

123

1

x

x4

1

12

3

12

1

3

1

xxyyxyxyxD 1)(0)(,10),( 21

Ex.2 Exercices suppl. (suite)

(d) Le passage en coordonnées polaires

permet de changer D dans le domaine simple suivant : rdrddxdyryrx ,sin,cos

2,02,1~ D

D D D

drdrrdrdrdxdyy~ ~

23222 sinsin

ddrr

2

0

2

1

3 ²sin

2

0

2

1

4

const.sin 4²sin

2d

r

2

0 2

)2cos(1

4

15d

4

15

4

2sin

2

1

4

152

0

2

0

2sin4

15d

Ex.2 Exercices suppl. (suite)

(e) D est domaine simple par rapport à x et à y. Par rapport à x :

Par rapport à y :

yyxxyxyRyxD 21

2 0,10,

dyxdxIy

1

0 0dy

ydy

xy

1

0

2

0

1

0

2

22 6

1

6

1

0

3

y

1,10, 212 xyyxxyxRyxD

dxxdyIx

1

0

1 dxxxdxxyx

1

0

211

0 6

1

3

1

2

1

32

1

0

32

xx

Le schéma de S est celui d’un paraboloïde (on peut le reconnaître à l’aide de ses intersections avec des plans parallèles aux plans coordonnés). Le volume entre le plan z=0 et S est le solide en couleur.

L’intersection avec le plan z=0 donne le cercle de rayon √2. En passant aux coordonnée polaires :

Ex.3 Exercices supplémentaires

2,0,2,0,~ rrD

D D

rdrdrdxdyyx~

22 ²)2()2(

drdrr

2

0

2

0²)2(

dr

r

2

0

2

0

4

4²

2)12(

2

0 d

Ex.4 Exercices supplémentaires

Le schéma de S est celui d’un hyperboloïde à 1 nappe.

Les intersections avec z=0 et z=4 donnent respectivement :

x2+y2=9 et x2+y2=25, i.e. des cercles

de rayon 3 et 5. Le domaine d’intégration

est alors :

La fonction à intégrer est :

53, 222 yxRyxD

9, 22 yxyxf

Ex.4 Ex. suppl. (suite) Pour le calcul il est utile le passage en coordonnées polaires, car le

domaine devient un rectangle :

D D

rdrdrrdxdyyx ~222222 9sincos9

2

0

5

3

2~

2 99 drdrrrdrdrD

dr

drdrr

2

0

2

0

5

3

2

32

5

32

12

23

9

2

129

2

1

3

128

3

6424

3

116

3

1 2

0

32

32

0 dd

Test 11

V1=1m3 < V2=πr2∙h=0.5π. C’est bien le cylindre 1.

On obtient :

On obtient :

13212 xx

2283 3

x

x

x

x

Test 11

Si on nomme x l’inconnue, on déduit :

43. Au maximum il y a 12 étudiants nés en 1994 et 365 nés en 1995. Par conséquent 420-12-365=43 sont au minimum les nés en 1996.

80603

4

75,0

60605,15,0 xx

Test 11

C.

où on applique la formule :

101

22101

2...3

22

2il

25751

2

102101

21

2

101

1

i

n nni

1 2

1

Test 11

E. Si c’est faux d’avoir réussi au moins 3 lancers, ça signifie que j’ai réussi max 2 lancers et par conséquent j’en ai raté au moins 3.

D.

xfxf xx 42222 22

Test 11

A. La fonction valeur absolue est déplacée à gauche d’une unité.

E. Les limites droite et gauche sont différentes :

1sin

limsin

limsin

lim00

2

0

x

x

x

x

x

xxxx

1sin

limsin

limsin

lim00

2

0

x

x

x

x

x

xxxx