CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TP MAPLEAlgèbre linéaire

Exercice 1: Construire les éléments de la base canonique de R10.Exercice 2: Vérifier si les matrices suivantes sont nilpotentes et déterminer, si c’est le cas, l’indice de nilpotence :

A =

1 0 −1 00 0 0 02 −2 −2 11 −3 −1 1

B =

1 1 −1 2−3 −3 −1 −22 2 2 0−2 −2 −2 0

C =

0 −2 0 01 0 −1 00 −2 0 00 −2 −2 2

Exercice 3: Soit A =

−1 4 32 1 23 2 0

et B =

1 0 −3−5 2 −2−6 2 1

.

1: Déterminer une base de kerA, une de ImA, une de kerB et une de ImB.2: Déterminer les réels λ tels que la matrice A+ λB ne soit pas inversible.

3: Résoudre les systèmes AX = Y et BX = Y pour les deux cas Y =

111

et Y =

110

.

Exercice 4: Construire la matrice A = (aij) ∈Mmn(R) dans les cas suivants :1)m = 3, n = 4, aij = 2i3j 2)m = 5, n = 3, aij = |i− j| 3)m = n = 3, aij =

iji+j

4)m = n = 5, aij =

{1 si i+ j est paire0 sinon

5)m = n = 7, aij =

{1 si i = 1 ou j = n

0 sinon6)m = n = 5, aij =

{0 si i > j

j − i+ 1 sinonOn reprend les matrices précédentes dans le cas m = n = 5. Calculer le rang, la trace, le noyau, le déterminant et l’inverse (sila matrice est inversible).Exercice 5: Construire les éléments de la base canonique deM3,5(R).Exercice 6: Soit n ≥ 2.1: Calculer les rangs des matrices carées d’ordre n : (|i− j|)ij et (i+ j)ij pour n variant de 2 à 10.2: Quelles conjectures peut-on déduire ?3: Montrer que ces conjectures restent vraies pour n ∈ J2, 100K.Exercice 7: Soit f ∈ L(R4) défini par f(x, y, z, t) = (x− y − z − 3t, y + 3z + t,−x+ y + z + 3t,−3x+ y + 3z − 2t).1: Donner la matrice de f dans la base canonique (e1, e2, e3, e4) de R4.2: Donner la dimension de Imf , ainsi qu’une base.3: Donner la dimension de ker f , ainsi qu’une base.4: Imf et ker f sont-ils supplémentaires ?

Exercice 8: Soit la matrice A =

(1 11 1

). Résoudre l’équation matricielle X2 +X = A.

Exercice 9: Soit la matrice A =

2 3 11 1 −12 3 0

. Déterminer les matrices X ∈M3(R) telles que AX = XA.

Exercice 10: Résoudre le système

2x+ 3y + z = 1x+ 2y + 3z = 23x+ y + 2z = −1

.

Exercice 11: Donner une base du sous-espace de R5 défini par x1 + 2x2 + −x3 + 3x4 + x5 = 0x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0

2x1 + x2 − 5x3 − 4x5 = 0

Exercice 12: On considère les vecteurs v1 = (2, 4, 5, 6), v2 = (1, 2, 5, 3), v3 = (3, 1,−1, 0) et v4 = (4, 3, 4, 3).

1: Donner une base du sous-espace vectoriel engendré par v1, v2, v3 et v4.2: Le vecteur w = (4, 3,−1, 3) est-il dans ce sous-espace vectoriel ? Si oui, exprimez-le comme combinaison linéaire desvecteurs de la base.Exercice 13: Soit l’application f : R2[X] → R2[X] définie par f(P ) = le reste de la division euclidienne de X3P par(X − 1)(X − 2)(X − 3).1: Construire f et calculer f(1), f(X), f(X2) et généralement f(x+ yX + zX2).2: Montrer que f est un endomorphisme de R2[X].3: Donner la matrice de f .4: Montrer que f est un automorphisme de R2[X].5: Déterminer f−1.

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