Avant-propos

Ce livre couvre le programme d’algèbre et de géométrie de deuxième année MP, etpoursuit la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année.Comme pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officiel est unprincipe que nous avons suivi à la lettre. Par ailleurs, le programme prévoit la repriseet l’approfondissement en deuxième année de certains points abordés en premièreannée : polynômes, espaces vectoriels, applications linéaires, calcul matriciel, déter-minants, étude affine et métrique des courbes, espaces euclidiens. Nous avons misà profit cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant sans ambiguïtédestiné aux élèves de deuxième année, présente plusieurs chapitres utilisables enpremière lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les « révisionsestivales » entre la première et la deuxième année.

Le programme de deuxième année, « la tradition pédagogique » et le souci de garderune bonne cohérence dans la séquence d’algèbre linéaire nous ont amenés à placeren tête de cet ouvrage un chapitre d’algèbre générale suivi d’un chapitre de complé-ments sur les polynômes. Ce chapitre sur les polynômes se place dans la continuitéde celui de première année et le complète par la présence d’exercices d’oraux de2007 et d’exercices qui diffèrent de ceux proposés dans l’ouvrage de première annéeen raison de la plus grande maturité qu’ils exigent. A la frontière du programmemais présents dans certains exercices d’oraux, les notions de nombres algébriques ettranscendants sont également abordées. Les chapitres qui suivent traitent des espacesvectoriels et des applications linéaires, puis du calcul matriciel. Les notions nou-velles de sommes directes, de trace et de matrices semblables sont illustrées par denombreux exercices. De manière délibérée, les exercices proposés ont été sélection-nés pour clarifier et maîtriser l’articulation entre le point de vue matriciel et le pointde vue vectoriel, plus géométrique. Ces chapitres permettent de réviser et d’appro-fondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste des exer-cices donnés à l’oral. Les systèmes linéaires et les déterminants nous ont permis,par les exercices choisis, de montrer l’efficacité d’une démarche méthodique sur desexemples simples qui s’appuient sur les acquis première année. La réduction des©

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xii Avant-propos

endomorphismes est un point essentiel du programme de deuxième année en rai-son de son intérêt pour la formation de l’élève (toutes les notions d’algèbre linéairesont sollicitées), de son intérêt pour la préparation aux concours (toutes les épreuvesde concours, ou presque, abordent ces questions) et de son intérêt pour l’évolutionfuture de l’élève-ingénieur qui rencontrera ces notions utilisées dans de nombreuxdomaines scientifiques. Les espaces préhilbertiens et euclidiens réalisent une syn-thèse encore plus profonde entre les outils techniques et la démarche conceptuelle.Nous avons tenté de rendre compte par les rappels de cours et le choix des exercicesde la richesse de ces concepts en privilégiant l’approche méthodique et en montrantà l’élève les vertus unificatrices de notions qui dépassent largement la géométrieet s’appliquent aussi bien à l’analyse qu’à l’algèbre. Dans le chapitre « quadriqueset coniques », la classification et la méthode de réduction sont présentées de façondétaillée et illustrées par de nombreux exemples. Notre expérience d’examinateursd’oral nous montre que les courbes polaires et paramétrées sont souvent négligées parles élèves. Par des exercices venant de tous les concours, nous souhaitons leurs mon-trer que cette négligence est risquée. Nous avons rédigé ce chapitre de manière pro-gressive en y intégrant les éléments de programme de première année pour construireun ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces définies parun paramétrage ou par une équation cartésienne. C’est sous l’éclairage de ce doublepoint de vue que sont abordées les notions fondamentales de vecteur normal et deplan tangent en un point régulier. Un choix judicieux et progressif d’exercices deconcours permet aux étudiants de se familiariser avec les surfaces usuelles. Le der-nier chapitre intitulé « compléments de géométrie » regroupe des exercices de tous lesconcours abordant les questions de géométrie (affine, euclidienne, isométries affineset vectorielles, lieux géométriques, calcul d’extrema). Absentes des programmes dedeuxième année, ces notions ne sont pas absentes des concours. Enfin, nous avonsapporté un soin tout particulier aux figures qui illustrent ces derniers chapitres.

Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entreles principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première annéeet ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avionschoisi de présenter et d’illustrer de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une aprèsl’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales etencore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choiside présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser parétapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaquechapitre est donc constitué de trois parties :

– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimila-tion immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complicationinutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et uneseule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois uni-tés » : un exercice, une difficulté, une solution ;

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Avant-propos xiii

– des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage enquestions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confron-tant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ;

– des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation deconcours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initia-tive, d’intuition et de maîtrise technique.

La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure estparfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellementpasser directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercicesd’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’as-similation.

Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pasmoins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétéro-gènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première foiset n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié leprogramme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis àdes concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différencessont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séancesde « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux delecture et d’utilisation de l’ouvrage.

Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pasd’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cetteliberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptéeet la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles accep-table pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Iln’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteuracceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avonsdonc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autantque d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage dela rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dansnos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infi-nité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer lesconcours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :

– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettentd’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;

– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’ap-puyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plu-sieurs concours depuis plusieurs années ;

– privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nom-breux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvrages depremière année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sous leursdifférentes apparences) ;©

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xiv Avant-propos

– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différents etne pas hésiter à proposer un sujet de PC ou PSI si son intérêt pédagogique lejustifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en MP. . .

– convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années.

Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective,une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pourréférence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, dated’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « clas-sement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quoti-dien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, lesélèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience d’en-seignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a permis d’ob-server en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . .ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédaction pour qu’ilspassent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expé-rience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exer-cices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif péda-gogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédactiondétaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maî-triser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul unemajorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si unsujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui noussemblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé cer-tains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donnerun aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours,chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaiten’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité,parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernièrenous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites.

C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC*du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nousadressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribuépar leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nosefforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplificationdes corrigés.

Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventurehumaine dans laquelle nous avons été aidés.Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliserses moyens informatiques et ses ressources documentaires.Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documen-taires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujoursreçus avec sourire et efficacité.Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaque

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Avant-propos xv

samedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques.Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, MichelEguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sen-siblement amélioré le présent ouvrage.Que tous soient sincèrement remerciés.

Notre collègue de l’Institut Elie Cartan de Nancy, Françoise Géandier, a relu unepartie du manuscrit... et a du supporter dans notre bureau commun la présence del’ensemble de l’équipe. Nous la remercions et nous lui demandons de nous excuserpour le désordre conséquent.

Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux quiont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons queceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adressesuivante Elhaj.laamri@iecn.u-nancy.fr.

Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en estsans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leursoutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’abou-tissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est verselles que nos pensées se tournent.

Nancy le 15 avril 2008

El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux,

Marc Rezzouk, David Rupprecht, Laurent Schwald

Les exercices qui nous ont semblé les plus difficiles sont signalés par un ou deuxsymboles�.

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