télécommunications numériques -...

TélécommunicationsNumériques

GrenobleINP: ENSE3 3°année / Filière ASI,Nov/Dec 2014

Laurent ROS

1

Contexte: système de télécommunication

But : échange d’information à travers un réseau entre différents utilisateurs

� Organisation des informations: domaine des « réseaux »

� Transmission d’information (numérique) : domaine des « communications (numériques) »

Processus de communication (ici 1 utilisateur, modèle de Shannon)

Lois de la physique (propagation …) / traitement du signal (codage, modulation, détection, estimation, …) / Electronique et optoélectronique (réalisation des dispositifs)

2

source destinataire

bruit, perturbations

signal émis signal reçucanal

Positionnement du cours dans le modèle OSI

Couche Physique du modèle OSI : « Transmission »

bits bits

signal

3

7 Application (Interfaçage avec les systèmes utilisateurs)

6 Présentation (Syntaxe et présentation des données)

5 Session (Mise en place du dialogue entre tâches distantes, synchronisation, vérification des droits d'accès)

4 Transport (transport des messages, constitution et contrôle des paquets)

3 Réseau (établissement et rupture des communications, routage et contrôle de flux)

2 Liaison logique (établissement d'une communication point à point, protocoles d'échanges desdonnées et correction des erreurs, contrôle de l'accès au support de transmission)

1 Physique (modulation/démodulation, transcodage pour le support utilisé, émission /réception, régénération du signal)

Support de transmission Couche physique

Couche physique

4

D’après la revue des télécommunications d’Alcatel, année 2005

= nombreux standards de communication ((GSM, UMTS, WIFI, ADSL, …), diffusion (TNT, …), de diffusion (GPS, Galiléo), transmission par fibre optique ou câble …

Domaines d’application

OBJECTIF du cours : les premières briques de base seulement …

Bases théoriques de la transmission numériquepermettant d’acheminer une source d’information « numérique» (ou numérisée) au travers d’un « support physique analogique » dans le cas élémentaire (Canal à Bruit Blanc Additif Gaussien)

• Principe des « modulations » numériques, principaux paramètres, transmission sur/sans fréquence porteuse,

• conditions d’optimalité d’un émetteur/récepteur pour un canal « idéal » à Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG),

• formats usuels de modulation numérique et performances

=> choix d’une modulation (vs Bande, TEB, Puissance, …)

+ Introduction / ouverture aux Technique de Multiplexage entre plusieurs utilisateurs

5

PLAN

I- Introduction à la transmission numérique [2,5h]

transmission en Bande de Base ou sur fréquence porteuse, numérique vs analogique,

numérisation d’une source analogique, TEB, Eb/N0, Capacité de canal (Théorie de l’information)

II- “Modulation” en Bande de Base (“Codes en Ligne”) [3,5h]

Formats linéaires ou non, cyclo-stationnarité, Densité Spectrale de Puissance, calcul de Eb.

III- Transmission (en B.B.) optimale (Canal à Bruit Blanc Additif Gaussien) [3h]

Filtre adapté /corrélateur, Critères de Nyquist, Transmission à Bande limitée,

performances, comparaison aux limites de la Théorie de l’Information,

IV- Transmission numérique sur fréquence porteuse [1h]

Modulation/démodulation I/Q, représentation complexe équivalente en B.B.,

Modulations Linéaires courantes (PSK, QAM, …),

+ 2 séances de TD [4h]6

Principaux outils utilisés dans le cours:• notions de base en traitement du signal déterministe

analogique et numérique

• notions de base en traitement du signal aléatoire et

probabilités / statistiques

Références bibliographiques• A. Glavieux, M. Joindot. “Communications Numériques,

Introduction”, Coll. Pédagogique de Télécommunication, 1996

• J.G. Proakis. “Digital Communications”. McGraw-Hill, 3rd edition, 2000.

• S. Haykin. “Digital Communications”. Wiley, 1988.

7

I) INTRODUCTIONTransmission et Communications Numériques

8

A) Transmission Numérique : définition

Message transmis au travers d’un support

Numérique (physique)(ou numérisé) Analogique

Séquence de symboles signal continu

∈ Alphabet fini (taille N) ex: ondes radio ou acoustiquescâble, ondes optiques,

Exemple du Télégraphe (code Morse, 1832) : N ≈ 60 caractères, convertis en impulsions envoyée sur un câble électrique

9

B) Adaptation du signal au canal:

Transmission en Bande de Base (B.B.)

Signal transmis réel de type passe bas

(‘spectre’ autour de 0 Hz)

Transmission sur Fréquence Porteuse f0

Signal transmis réel de type passe bande.

(‘spectre’ autour de ± f0 , nul en 0 Hz)

10

B = bande Passante, ou Largeur de bande (mono-latérale)

-B 0 +B

f

- f0 0 +f0

f

B << f0B

11

------------------- Transmission Analogique ----- ----------------

« CanalAnalogique »

Message

Critère deQualité ?

peut inclure : Transposition de Fréq. ,ou autre mod. analogique

t

...0110 =>

Message

t

------------------- Transmission Numérique ------- ---------------

t ...0110

peut inclure Transposition de Fréq.(si porteuse)

déc

isio

n

« CanalAnalogique »

C) Transmission Numérique vs Analogique

Transmission Numérique vs Analogique (2)

trans. Analogique

• Message: fonction continue du temps avec une infinité de valeurs possibles

(<-> information analogique)

• Critère de Qualité : fidélité, Rapport Signal à

Bruit (RSB)

trans. Numérique

• Message: série de symboles (discrets),pris dans un alphabet fini(bits si N=2) connu à laréception

• Critère de Qualité :Taux d’Erreur Binaire (TEB)

12

Avantages• faible SNR requis• Protection « infinie »

contre le bruit possible grâce au codage : C. Shannon, 1948(Cf cours de Théorie de l’Information)

• Facilité des traitements numériques: pour multiplexer, transformer, régénérer, mémoriser, …

Inconvénients• Bande passante +large

… mais possibilité de compression, de modulation à plus grand nombre d’états, …

• Délai dû au codage/décodage ou aux autres traitements numériques

• Consommation si puissance de calcul importante

13

Transmission Numérique vs Analogique (3)

D) Numérisation d’un signal analogique (Rappel)

14

• Échantillonnage : discrétisation en temps pas de perte d’information (respect du théorème d’échantillonnage Fech ≥ 2.fmax )

• Quantification : discrétisation en amplitude, par approximation à la valeur la plus proche parmi Q niveaux de quantification.

perte irréversible d’information (distorsion, bruit de quantification)

Cas de la quantification uniforme sur n bits � Q = 2n niveaux

si amplitude a∈ [-A; +A[ => pas de quantification q = 2A/ 2n.

Bruit de quantification : b_q[k] = a[k] - a_q[k] ∈ [-q/2; +q/2[ ,

Une Modélisation : suite indépendante, même loi uniforme.

Application : RSB_q dû à la quantification pour une sinusoïde d’amplitude A :

RSB_q = (A2/2)/(q2/12) = 1,5 ×22n => (RSB_q)dB ≈ 6,02 ×n + 1,76 dB

Exemple : signal de parole en téléphonie (bande 300 Hz-3400Hz)

fréquence d’échantillonnage Fe = 8 kHz sur 8 bits (=> RSB_q ≈ 49,76 dB)

Numérisation à Débit = 64 kbit/s, mais compression avec perte à 13 kbit/s pour le GSM)

Exemple : transmission temps-réel d’un Son Haute Fidélité

Qualité Compact Disque : ‘0-20 kHz’ x 2 en stéréo (Droite / Gauche),

RSB Audio requis (destination) ≥ 96dB

=> Comparer pour une transmission (en bande de base) :

• Transmission Analogique (multiplexage fréquentiel des 2 voies D/G)

• Transmission Numérique (par simple modulation binaire filtrée, après Numérisation Audio, et sans code correcteur d’erreur)

1) la bande nécessaire de transmission Bmin

2) le RSB requis dans la bande de la transmission

Donnée : pour une modulation binaire polaire en bande de base, nous verrons (ch III) que : Bmin = Débit Binaire / 2 , et RSB (avec Bmin) = 12dB @TEB = 10-8

15

E) Probabilité d’erreur binaire (Pe) et Taux d’Erreur Binaire (TEB)

• Pe : probabilité d’erreur par élément binaire restitués au destinataire.

= probabilité de prendre une mauvaise décision sur un élément binaire.

exemple téléphonie : Pe ≤ 10-6 (parole) ; image : Pe ≤ 10-9 typiquement

En pratique, Pe estimée par la mesure du :

• TEB (Taux d’Erreur Binaire) =

TEB est un estimateur sans biais et convergent de Pe (hypothèse erreurs indépendantes)

Modélisation : Nerr ~ Loi Binomiale(Pe, N)

⇒ Vérifier: moyenne E{ TEB } = Pe, et Variance{ TEB } = Pe(1-Pe)/N

⇒ Exemple: nombre de bits pour estimer Pe = 10-6 avec σTEB ≤ 10% de Pe ?

16

N

Nerr

ansmisde bits tralnombre tot

ésbits erronnombre de =

D) Rapport Eb / N0 :

paramètre d’entrée du récepteur (ou “état” du canal)

17

r (t) = x(t) + n (t)

Traitementde Réception

BitsDécidés

( Eb , N0 )

(TEB)

En radio-électricité : N0 = k T, où k = constante de Boltzmann (1,38.10-23 Joule/Kelvin),

T = température «équivalente» de bruit (Kelvin) ≥ T0 = t. ambiante (prise à 17° = 290 Kelvin).

Pour T = T0 , => 10 log(N0 / 1mWatt) = -174 dBm / Hz (dBm: décibels relatifs au milliwatt)

Eb : Energie (moyenne) par bit du signal analogique utile en entrée du récepteur

N0 : Densité Spectrale de Puissance (DSP) mono-latérale

du bruit blanc en entrée du récepteur (donc DSP bi-latéraleΓ(f) = N0/2)

=> Mesure de performance: TEB= f( Eb / N0 )

• Energie par bit: Eb = P / Db = P × Tb

- P = P(x) : puissance moyenne de x(t), en Volt^2, ou Watt

calculé en pratique par

et en théorie à partir des outils des signaux aléatoires

- x(t) : signal analogique utile en entrée du récepteur,

(passe-bas si trans. en B.B., ou passe-bande si trans. sur porteuse)

- Db = 1/Tb : débit binaire, en bit/sec, Tb : Temps bit

• Rapport Eb /N0 = P / (N0 Db) est aussi le rapport entre puissance du signal et puissance du bruit mesurée dans un bande Db Hertz.

=> sorte de RSB par bit (mais ce n’est pas « le RSB d’entrée », car la bande du signal n’est généralement pas égale à Db Hz; elle peut être très inférieure ou supérieure selon les cas).

18

Rapport Eb /N0 : annexe

∫+

∞→≈

Tt

t

dttxP0

0

2

T)(

T

1 lim

19

Convers. A to N

Source Coding

Mux

(Line Coding)

SOURCE(S)

ChannelCoding

IF

Binary rate (bit/s) : Db(U) < Db(B)

IF

RF stage Trans .

Up Transp. Amplification

filtering

RF stage Receiver

Filtering,Low Noise Amp.

Down Transp.AGC

Symbolsmapping

a[m]

MOD

I/Q

Modulatorvoies

I

Q

PhysicalRF channel

signal

TransmittedSignal

ReceivedSignal

x(t)

r(t)

bits

U

bits

B

(Line Decoding)

Demux

Source Decoding

conversion N to A

DESTINATION(S)

ChannelDecoding

bits

U’

bits

B’

* With « hard » decision channel decoding

IF: intermediar frequency, typically 70MHz to 400 MHzRF: radio-frequencies, typically 900 Mhz to 40 GHz

LINE

DEC.

LINE

COD.

DemodulatorDEMOD

I/Q

DECISION

Synchronization

processing

Annexe: Typical Scheme * of a digital transmission (via RF carrier modulation)

SOURCEDiscrètebinaire

AU = {0, 1}

Normalisée

Procédé d’émission

UDESTINATAIRE

Procédé de Détection

U’

normalisé

capacité ( en Sh/sec):

Ct = B.log2(1 + RSBin )

Ht (U) Sh/sec

= Db(U) bit/sec si U sans redondance

Il existe un procédé de transmission (émission + détection) fiable à volonté (i.e. avec une probabilité d’erreur après détection: Ped < ε , ∀ ε >0) au travers d’un canal à BBAG (de largeur de bande B Hz et Rapport signal à Bruit dans la bande RSBin) si et seulement si le débit d’information de la source est inférieur à la capacité du canal:

H t (U) ≤ Ct = B.log2(1 + RSBin) Sh/sec

20

x(t)

Signalcontinu

Canal continu BBAG

r(t)

Signalcontinu

E) Capacité du canal continu BBAG (2° Théorème de Shannon)

Note: en pratique le procédé Emission/Détection est le + souvent décomposé en :

Procédé d’émission = « Codage canal » + « Modulation numérique » Procédé de Détection = « Dé-modulation » + « Dé-codage canal »

Annexe: clef de la démonstration => transmission par blocs de grande taille !

1) Cas d’une transmission à Bande limitée fixée à B > 0 :Large débit d’information possible si l’on a un grand RSBin dans la bande.

Exemples d’application: Modulation à grand nombre d’états, ou « bit loading » en trans.multi-porteuse: ajustement du débit/taille modulation par sous-porteuse selon RSB local.

2) Cas d’une transmission à Rapport signal à Bruit fixé à RSBin > 0 :Large débit d’information possible si l’on a une large bande mais attention augmentation de la bande nécessite augmentation de la Puissance dans ce scénario.

Exemple d’application : transmission à étalement de spectre fiable malgré un RSBin << 1 (signal noyé dan s le bruit) en utilisant une très large bande.

3) Cas d’une transmission à Puissance utile fixée P > 0 :Etant donné dépendance entre RSBin = P/(N0B) et la bande B, la Capacité croit avec

B vers une limite : �� =�

�.�

� (�)bits d’information /sec

Conséquence : transmission fiable possible ssi��≥ln(2) ≈ 0,69 (soit -1,6 dB)

21

Interprétations (formule/ théorème de Shannon-Capacité canal BBAG)

Ct = B×log2(1 + RSBin) bits d’informations/sec

22

ANNEXE : « Théorie de l’Information »Cas du canal continu à Bruit Blanc Additif Gaussien

2 Livres de références :T.M. Cover, J.A. Thomas, “ Elements of Information Theory”, Wiley, 2nd ed., 2006.

Gérard Battail, « Théorie de l’information : application aux techniques de communication », collection pédagogique de Télécom., MASSON, 1997Polycopié Sicom2a « Théorie de l’Information », chapitre IV:http://chamilo2.grenet.fr/inp/main/document/document.php?cidReq=PHELMAA2SICOM4PMSTHI&id_session=0&gidReq=0

• Théorie de l’Information se généralise au cas des lois de probabilités continues:=> Entropie différentielle d’une V.A. continue X de densité de probabilité pX(x):

Hd X = −� pX(x)�

! log2{ pX(x) }dx (en bits d’Information)

• En particulier, le théorème de Shannon-Capacité se généralise au cas du canal bruité sans mémoire à entrée/sortie continues de type BBAG: la transmission de manière fiable d’information discrète est toujours possible tant que la quantité de cette information ne dépasse pas une valeur critique (capacité de ce canal continu).

• Plan: - Modèle(s) du canal BBAG (pour signal complet analogique / pour 1 échantillon)- Formules de capacité C pour 1 échantillon, et Ct pour 1 seconde de signal,

Annexe T.I (2): Modèle(s) du canal continu BBAG

sortie

r(t)

= x(t)+n(t)

entrée

x(t)

bruit BAG de DSP bilatérale N0 / 2

n(t)

signal réel analogique, (aléatoire stationnaire)de Puissance moyenne P,de bande limitée B(support spectral [-B; B])de moyenne nulle.

Canal BBAG

Pré-traitementlimitant à la bande Bdu signal utile: Passe-bas idéal

y(t)

= x(t)+b(t)

• À Amplitude Continue et Temps continu (modèle complet pour signaux analogiques)

• À Amplitude Continue et Temps discret (puis pour 1 échantillon) :

x(t) et y(t) « échantillonnable » sans perte d’information à la fréquence : Fe = 2B ech/sec

=> Modèle pour 1 seul échantillon: où X, Y, Z : 3 V.A. continues

X et Z indépendants,σσσσX

2 = P; σσσσZ2 = N0.B

et σσσσY2 = σσσσX

2 + σσσσZ2 Z

XY = X + Z

23

Annexe T.I (3): Capacité du Canal continu BBAG

Démarche : calcul de C = max&'{)(*; ,) } Sh/ech

1) Information Mutuelle :

I(X; Y) = Hd(Y) – Hd( Y | X) = Hd(Y) - Hd(Z)

D’où C = max&'{H-(,) } - H-(.), obtenue en choisissant la d.d.p. d’entrée /* qui

maximise Hd(Y) (obtenue dans ce cas de symétrie de la ddp en maximisantHd(X)).

2) Résultat : l’entropie différentielle Hd(X) d’une V.A. continue X de d.d.p. /*(x) et de variance σX

2 est bornée parHd(X) ≤ log2(σX 212 ) , ce maximum étant

atteint si X~N(0; σX2) : V.A. Gaussiennecentrée, /*(x) =

3

4X 56 exp(−9:

54X:) .

24

3) Il en résulte : ; =3

5.log2(1 +RSBin) Sh/ech avec RSBin =

4X:

4Z: =

>

��.?

Et Capacité par seconde ;@ = ;. 2A du canal BBAG complet (signaux analogiques):

;@ = A.log2(1 +RSBin) Sh/sec (ou bits d’information/sec)

H(Y)H(X)

H(X |Y) H(Y |X)I(X,Y)

II) “MODULATION” EN BANDE DE BASE (“CODES EN LIGNE”)

Transmission et Communications Numériques

25

contenu

2.1 Codes en Ligne : cas général

modèle, exemples, distance eucilidienne minimale

2.2 Cas de la Modulation d’une Impulsion en Amplitude (“PAM” : Pulse Amplitude Modulation),

(ou modulation linéaire en Bande de Base)

26

27

2.1 Codes en ligne : en général

source Codeur en Ligne

Filtre

g2(t)

{ }Zibi ∈ ; x(t)

« Émetteur » ou « Modulateur »numérique en Bande de Base

s(t) vers canal

Structure de la chaîne d’émission en bande de base

N.B : La plupart du temps le « filtrage de R.I. g2(t) » n’est pas une opération supplémentaire après le codeur en ligne mais les 2 opérations sont réalisés simultanément (+ avantageux !).

(optionnel)

Séquencement pour une modulation de taille M = 2n : émission d’1 signal parmi M possibles par intervalle de temps Ts , en correspondance à 1 groupe de n bits.

n bits

Mlog

1

2

bb

ss

D

n

D

TD ===

temps

Rapidité de modulation Rou Débit Symbole Ds = R(Bauds, ou signaux/sec, ou symb/sec),

Tb : temps bit

Ts : Temps symbole

))(( kms

Débit BinaireDb = 1/Tb ( bits/sec)

28

))1(( +kms ))2(( +kms

Modèle mathématique du signal en sortie du Codeur en Ligne :

• M=2n mots de n bits � M signaux possibles en sortie du 'codeur en ligne’

=> Dictionnaire de M signaux WWWW = {s(1)(t) , s(2)(t) , …, s(M)(t)}

support de s(m) (t) ∈ [0; Ts], avec Ts = nTb.

Choix des signaux et affectation bits/signal (mapping) dépend de la modulation

• 1 nouveau signal est émis (décalé) au temps k.Ts, où k ∈ Z (indice temporel):

29

{ }Mkmsk

km kTtsts ..., ,2 ,1)( ,)()( ))(( ∈−= ∑+∞

−∞=Notes:- le signal choisi pour l’instant k sera noté simplement sk(t) au lieu de s(m(k))(t) - après filtrage, x(t) = s(t)⊗ g2(t) s’exprime aussi à partir d’un dictionnaire de M signaux x(m)(t) = s(m)(t)⊗ g2(t), mais de support non nécessairement limité à [0,Ts]

Exemplescas de modulations “sans mémoire” (1)

“Pulse-Position Modulation” (M-PPM)

largeur d’impulsion constante ∆ = Ts/M, et M positions possibles durant Ts

Ex: M = 4, n=2 bits:

“00” “01” “11” “10”

s(1)(t) s(2)(t) s(3)(t) s(4)(t)

30

• applications à Puissance moyenne limitée mais très large-bandes (si M↑)

Signaux orthogonaux < s(m) ; s(m’) > = 0, => robustesse au bruit si M↑ (Cf TD )

• Exemples d’utilisation: communications optiques, communication sans filultra large-bande entre objets proches (capteurs à faible puissance)

0 Ts

t

0 Ts

tWWWW = { Ts

t

0 Ts

t

0

}; ; ;

Exemplescas de modulations “sans mémoire” (2)

“Audio frequency-shift keying” (AFSK) => M fréquences discrètes (audibles) d’un signal de type sinusoïdal

Ex: M = 2, n=1 bit: “0” “1”

signaux : s(1)(t) s(2)(t)

31

• Applications simples et bas débit (télécommande, monitoring, ..),

• OK même si composante continue non transmise (transport de voix, musique, …)

• Signaux orthogonaux (comme sur l’illustration), ou non

• Exemple du Modem Bell 202 : jusque 1200 bit/sec (f1 = 1200 Hz, f2 = 2200 Hz), utilisé sur le réseau téléphonique commuté en Amérique du Nord pour la signalisation (numéro « Id caller »), les systèmes d’alarmes ou commerciaux.

(Exemple généralisé : « Dual-Tone Multi-Frequency signaling » (DTMF))

0 Ts

tWWWW = { Ts

t

0};

Exemple d’extension au cas de modulation “avec mémoire” :

Code en ligne « Bi-phase-Mark Code » (BMC)

Codage binaire (M=2) basé sur des inversions de signe du signal: • changement de signe systématique à chaque nouveau temps symbole, • en cas de bit « 0 », conservation de la valeur durant toute la période symbole Ts,

alors qu’en cas de bit « 1 », changement de signe supplémentaire en milieu de Ts.

Codage du bit “ 0 ” Codage du bit “ 1 ”

32

Utilisé dans le standard “Sony/Philips Digital InterFace” (S/PDIF)• Interface Audio-Numérique pour le transport de données audio-numériques par cable coaxial

(ou fibre optique si offset), par exemple entre sortie d’un lecteur DVD et « Home cinema ».

• Trame de 32 bits (20 bits par échantillon audio D ou G + 12 bits de données auxiliaires),

• 2.048 Mbit/s (Fe = 32 kHz, satellite), 2.8224 Mbit/s (44.1 kHz, CD), 3.072 Mbit/s (48 kHz, DAT)

Ts

tTs

t00

s(1)(t) ou s(1)’ (t)

Ts

tTs/20

s(2)(t) ou s(2)’ (t)

Ts

tTs/20

Distance Euclidienne minimale du dictionnaire et Probabilité d’erreur

• Soit l’observation: r(t) = s(i)(t) + n(t)

où les M signaux s(m)(t), m=1, …, M du dictionnaire WWWW sont supposéségalement probables, et n(t) est un B.B.A.G de DSP bilatérale N0/2.

• Récepteur optimal: probabilité d’erreur Pes dans la décision du signaltransmis est minimum en choisissant le signal du dictionnaire (indice îparmi m=1,…, M ?) le plus « proche » de l’observation au sens de ladistance Euclidienne d(r ; s(m)) :

avecd(r ; s(m))5 ≝ C − D(E)

5≝ � C(F) − D(E)(F)

5GF

�

!

• Borne de l’Union: on montre que la probabilité d’erreur Pes est alorsinférieure à une fonction exponentiellement décroissante avec la distanceEucilidienne minimale du dictionnaire dmin :

HIJ ≤ L!3

6exp

!MNOP:

Q��avecGETU

5 ≝ minEWU

d(s(m) ; s(n))

5

33

(MIA, ou en anglais “Pulse amplitude Modulation” : PAM)

• Modèle mathématique

• Exemple de formats (unipolaire, polaire, bi-polaire (codes NRZ, RZ, ), code Manchester, …)

• Représentation convolutive

• Propriété de cyclo-stationarité, Densité Spectrale de Puissance (moyenne).

34

2.2 Codes en ligne : par « Modulation d’Impulsion en Amplitude »

Modèle mathématique Modulation d’Impulsion en Amplitude (Modulation Linéaire en B.B.)

• Dictionnaire de M signaux WWWW = {s(m) (t) ; m = 1, …, M } construit à partir:

- d’un signal élémentaire unique se (t) = Ts . g(t)

- et de M amplitudes a(m) issues d’un alphabet réel Amod = {a(1) , …, a(M)} :

s(m)(t) = a(m) . se(t)

• Signal en sortie du codeur en ligne :

g(t) : Réponse Impulsionnelle (R.I.) réelle du filtre de mise en forme,

(ou Ts.g(t) : forme d’onde du codeur en ligne),

ak : symbole ∈ Amod , à transmettre à l’instant d’indice k ∈ Ζ.

35

)( . . )( s

kks kTtgaTts −= ∑

+∞

−∞=

)(..)( )()( tgTats smm =

Le plus souvent Ts.g(t)

construit à partir de

Π[0,T[(t) ou Π[0,T/2[ (t)

Codes en ligne binaires :

De nombreux codes binaires possibles …

**

Cas des modulations sans mémoire

• Relation entre les bits et les symboles « mapping »: Bijection entre les M groupes de n bits possibles B(m) et les M symbolespossibles a(m) , m = 1…M. => ak ne dépend que de Bk , à l’instant k.

• Formats classiques binaires (et sans mémoire)

- Uni-polaire, ou polaire (différent de Bipolaire ! )

Exemple pour les codes “Non Return to Zero” NRZ (= NRZ-L(Level) ), ou les codes “Return to Zero” RZ

- Manchester (= bi-phase-L)

37

Annexe: exemples de Cas de Modulation avec mémoire

• Codes incluant un codage différentiel: NRZ-M (Mark), NRZ-S (Space), …

=> ak dépend des groupes de bits présent Bk et précédent Bk-1 .

• Code bi-polaires: RZ-bipolaire, NRZ-bipolaire = AMI (Alternate Mark Inversion)

=> changement du signe de ak si bk = 1, et ak = 0 si bk = 0

at

+A

0

-A

x(t)

Ts = Tb -A +A

« 0 » « 1 »

EXEMPLE: Modulation à M états d’amplitude (format polaire)a ∈ { ±1, ±3, ..., ±(M-1)}.A, et Ts.g(t) = ΠTs(t)

Affectation

« mapping »

38

«00 » «01 » «11 «10 » a

bits bi : « 1 1 0 1 0 0 1 0

t

+3A

+A

0

-A

-3A

x(t)

Ts = 2Tb

Modulation : 4-PAM: M = 4, i.e. n = 2 bits /symbolea ∈ { ±1, ±3 }.A

Modulation : 2-PAM: M = 2, i.e. n = 1 bit/symbolea ∈ {- A; +A }

Codage de Gray vs codage naturel

(idem NRZ polaire)

Représentation Convolutived’un codage en ligne par MIA

Filtrage:

où :

exemple avec ak ∈ {-A ; +A} et une impulsion rectangulaire

39

s(t)

⊗ g(t)t

Ts

t

Ts

)( )( )( tgtats ⊗=

)( . . )( s

kks kTtaTta −= ∑

+∞

−∞=

δ

{ } ka

)(ta

40

Structure de la chaîne d’émission en bande de base (cas MIA)

)(.)( s

kks kTtgaTts −= ∑

)( . . )( se

kks kTthaTtx −= ∑

+∞

−∞=

source Codeur en Ligne

Filtre

g2(t){ }Zibi ∈ ;

x(t) vers canal

s(t)

he(t) = g(t) ⊗⊗⊗⊗ g2(t) : R.I. réelle du filtre de mise en forme global d’émission, ou forme d’onde de l’émetteur (incluant le filtre)support non nécessairement limité à [0,Ts]

He(f) = G(f) . G2(f) : Fonction de Transfert, obtenue par T.F.

Cyclo-stationnaritépour une Modulation Linéaire

• Avec des symboles aléatoires, fonction d’ (auto-) corrélation du signal modulé x(t) en B.B. :

• Cyclo-stationnarité (2nd ordre), avec périodicité temp. de Ts:

41

{ } )( . )( ),( * ττγ −= txtxEtx

) ,( ) ,( τγτγ sxx Ttt +=

{ } { } τ∀∀+= t, )( )( sTtxEtxE

Calcul de la fonction de corrélation pour une Modulation Linéaire en B.B.

• Hypothèse: stationnarité des symboles aléatoires,

de corrélation (discrète) et moyenne

=>

• En prenant la moyenne temporelle (sur une durée Ts) :

• Si symboles non-corrélés ( ) et centrés (ma=0):

=> ;

42

{ } . * ][

def

nkkna aaE −=γ

)().(.),( *][

2 τγτγ −+−−= ∑ ∑ sses

n k

enasx nTkTthkTthTt

∑ −−−=k

seseasx kTthkTthTt )().(. .),( *22 τστγ

2

][2

][ . anana m+= δσγ

∑+∞

∞=

−=-n

)(..)( ][ shenasx nTCT ττττγγγγττττγγγγ >−<=−= ∫+∞

∞−

)(;)()()()( * ττττττττττττ ththdtththC eeee

def

he avec

)(.)( 2 ττττσσσσττττγγγγ heasx CT . =

{ }k

def

a aEm =

Puissance Moyenne et Energie par bit Ebpour une Modulation Linéaire en B.B.

• Puissance moyenne du signal x(t) (avec symboles non-corrélés) :

où :

=> Cas particuliers fréquents où le 2° terme est nul:support de he limité à Ts, ou Che(nTs) = 0 ∀ n∈ Z*, ou symboles centrés

• Cas de symboles non corrélés et centrés:Puissance : Px = σa

2 . Ts ║he║2 et Energie par bit : Eb = σa2 . Ts ║he║2.Tb

43

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== dffHdhh eee222

)()( ττ

{ }

terme2

)(C. . E 0

he

2

2

22

2

444 3444 21

43421

°

+= ∑≠

+n

sases

aa

kx nTmThTaP

mσ

Densité Spectrale de Puissance (DSP) (moyenne)

pour une Modulation Linéaire en B.B. (formule de Bennet)

où :

ΓΓΓΓ1a(f) : DSP continue ΓΓΓΓ2

a(f) : spectre de raies

= DSP des symboles centrés (ak – ma). espacées de 1/Ts

(=> porte l’information)

N.B. : calcul à partir de la Transformée de Fourier de la moyenne temporelle (durant une période symbole Ts) de la fonction d’auto-corrélation.

Et en utilisant la relation:

44

2)( )( )( fHff eax ×Γ=Γ

∑∑ −+−=Γn s

an

s anasa T

nfm fnTjm- Tf )(. )2exp(). (.)(

22 ][ δπγ

)2exp().()( ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

=−n

ss

n sfnTjT

T

nf πδ

45

----10/T10/T10/T10/T ssss ----8/T8/T8/T8/Tssss ---- 6/T6/T6/T6/T ssss ---- 4/T4/T4/T4/Tssss ---- 2/T2/T2/T2/T ssss 0000 2/T2/T2/T2/T ssss 4/T4/T4/T4/T ssss 6/T6/T6/T6/Tssss 8/T8/T8/T8/Tssss 10/T10/T10/T10/Tssss-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

D S P (d B )

Fr éq u en ce

Exemple : DSP du code RZ unipolaire

222 )( . )(. . )( fHT

nfm Tf e

n saasx

−+=Γ ∑δσ

DSP pour une Modulation Linéaire en B.B. (2)

=> Cas des symboles non corrélés :

46

2

2 )( . )( fHTf esax σ=Γ

----10/T10/T10/T10/T ----8/T8/T8/T8/T ----6/T6/T6/T6/T ----4/T4/T4/T4/T ----2/T2/T2/T2/T 0000 2/T2/T2/T2/T 4/T4/T4/T4/T 6/T6/T6/T6/T 8/T8/T8/T8/T 10/T10/T10/T10/T -60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

DSP (dB)

Fréquence

----10/T10/T10/T10/T ----8/T8/T8/T8/T ----6/T6/T6/T6/T ----4/T4/T4/T4/T ----2/T2/T2/T2/T 0000 2/T2/T2/T2/T 4/T4/T4/T4/T 6/T6/T6/T6/T 8/T8/T8/T8/T 10/T10/T10/T10/T -60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

DSP (dB)

Fréquence

Exemples: Code NRZ (polaire) Code Manchester

DSP pour une Modulation Linéaire en B.B. (3)

=> Cas des symboles non corrélés et centrés :

Annexe : note sur les dimensions

• Signal x(t), symboles ak : amplitude (volt)

• R.I. filtre he(t), g(t), g2(t): Hertz (ou sec-1)

• F. de transfert He(f), G(f), G2(f): sans dimension (gain)

• Densité Spectrale de Puissance Γ(f): Volt2/Hertz

47

III) TRANSMISSION (EN B.B.) OPTIMALE POUR UN CANAL À BRUIT BLANC ADDITIF GAUSSIEN

Transmission et Communications Numériques, chapitre III

48

Contenu

(par défaut : symboles binaires, mod. linéaire polaire, canal BBAG)

3.1- Problème : obtenir Pe = f(Eb/N0) minimum

3.2- Cas d’un seul symbole transmis, Filtre Adapté (FA)

3.3- Interférence Entre Symboles (IES) et Critère de Nyquist

3.4- Conclusion pour la chaîne optimale : Filtre de Nyquist equi-réparti entre émission et réception

3.5- Conséquences pour la Transmission à Bande Limitée

Annexes : Théorie de la Détection Optimale (Modulation Quelconque),

49

x(t)

Filtre (global)d’Emission (Tx)

he

3.1) Problème à résoudre (1)

• Modulation linéaire (binaire) :

Hypothèses sur les symboles par défaut:binaires, réels ai ∈ {-A ; +A}par défaut équi-probables pA = p-A = ½ = > moyenne nulle : E {ak } = 0non-corrélés E {ak. ai* } = 0 si i ≠ k

Canal : Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG) n(t), DSP bi-latérale : N0/2

50

{ } ka

A) Problème à résoudre (2)

• Réception Linéaire*et décisions symbole par symbole :

Quels couples de filtres émission/réception (he , hr ) amènent au

minimum de la Prob. d’Erreur Pe, pour un Eb / N0 donné ?

* N.B.: Pour une modulation linéaire, ce récepteur à structure linéaire imposée donnera en fait après optimisation la même solution que le détecteur optimal obtenu directement en résolvant le problème de détection (sans imposer de structure, basé sur la distance) !

51

r(t) = x (t) + n (t)

hr

Echantillonnage(synchrone)

décisionpar seuil

symboledécidé

symboleestimé

Filtre deRéception (Rx)

t = k.Ts

+ retard t0

y(t) yk ka

Chaîne globale (émission-réception) équivalente en Bande de Base :

• Equations (transmission):

• Energie par bit : Eb = P(x).Tb = A2 . (Ts || he ||2 ) .Tb

( pour M= 2 => Tb = Ts , n = 1 bit/symb)

52

hr

Échantillonnage

t = k.Ts

+ retard t0 seuil

+

BBAGbi dsp N0 /2

he

)( . . )( se

iis iTthaTtx −= ∑

+∞

−∞=

kax(t) r(t)

n(t)

y(t) yk

{ } ka

n(t)txtr )( )( +=

Equations générales (1)

• avant échantillonnage :

où : • p(t) = he(t) ⊗⊗⊗⊗ hr(t) : R.I. du filtre global Emission/Réception

(ou Tx/Rx)

• b (t) = n(t) ⊗⊗⊗⊗ hr(t) : bruit Gaussien filtré, DSP : (N0 /2) .|Hr(f)|2

53

b(t)iTtpaTty s

iis )(. . )( +−= ∑

+∞

−∞=

54

• après échantillonnage synchrone : instants tk = t0 + k .Ts

(k∈ Z)

yk

=

Utile Interférence Entre Symboles

IES [k]

: échantillon (variable de décision) pour décider le symbole d’indice k

Bruitbk

Equations générales (2)

)kT(tbTiktpaTTtpakTty ss

kiissks ++−++=+ ∑

≠00 00 ))(( . )).(.( )(

55

Exemple de transmission

260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

temps (s)

temps (s)

Sortie codeur avant filtrage s (V)

horloge (V)

1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1

260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

temps (s)

temps (s)

Signal modulé émis x (V)

Signal bruité reçu r (V)

THe

260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8

-2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

THr

temps (s)

Après filtre de réception y (V)

Transmission NRZ à 100 Mbit/s

Extrait cours G. Maury INPG/Telecom 2007

56

Diagramme de l'œil

immunité au bruit

résistance à variation de l'instant d'échantillonnage

• qualité mesurée par le diagramme de l'œil en réception de y(t) :

• Constellations :

- Symboles émis ak

Ts

- Symboles estimés { yk }(avant décisions)

(échantillonnage)

3.2) Cas d’un seul symbole transmis

modèle sans IES : r (t) = a .Tshe(t) + n(t) => y (t) = a.Tsp(t) + b(t)

après échantillonnage en t = t0 : y = y (t0) = a.λ + b

57

+

n(t)BBAG

0 ∆T

t

0 ∆T

t

Symbole +A

Ou (même probabilité)

Symbole -A

+A. Ts.he(t)

-A. Ts.he(t)

r(t)

seuil

y >s => +Ay <s => -A

y

t = t0

échantillonnage

y(t)

* hr

Filtrede Réception

Problème : trouver hr , et le retard associé t0

pour décider + ou – A ?

?

Cas d’un seul symbole transmis (2)

décision à partir de : y = a.λ + b

où : b variable Gaussienne, centrée, de variance σ 2b

a : var. aléatoire centrée avec 2 états possibles, de variance Α 2

• Probabilité d’Erreur pour décision = sgn{ y } ( i.e. seuil s=0)

• RSBY : Rapport Signal à Bruit pour la var. de décision y

58

duexQu

x

2

2

21

)(−∞+

∫=π

(aire sous la queue de distribution Gaussienne)

( )yRSBQPe=

{ }{ }

. 2

2

bE

aERSBy

λ=

2

22.

b

ARSBy σ

λ=


Probabilité d’Erreur Pe minimum � RSBy maximum

• Pour un Eb/N0 donné (une puissance de transmission donnée),

i.e. sous la contrainte : || he ||2 = constante où

• Trouver hr (et t0 associé)qui maximise :

où� (amplitude) gain :

varie avec he and hr

� variance de bruit :varie avec hr

59

∫+∞

∞−

= dffHh ee22

)(

dfefHfHTtpT ftjress ∫

+∞

∞−

== 020 . )().(.)(. πλ

2

22.

b

ARSBy σ

λ=

dffHN

rb ∫+∞

∞−

= )(.2

202σ

RSBy maximum pour: Hr (f) = He*(f) . exp( -j2ππππft0 )

donc pour la R. Impulsionnelle: hr(t) = he*(- t + t0)

=> filtre de réception optimal est adapté (avec retard t0) au filtre d’émission: hr(t) = he

H(t)*δ(t - t0)=heH(t-t0)

Notations :

• Pour une fonction quelconque g, on note XY F ≝ X∗ −F• Filtre adapté (F.A.) au filtre de R.I. he et de Fonction de Transfert (F.T.) He(f) :

filtre de R.I. heH(t) = he*(-t) et de F.T. He*(f) (module identique, phase en opposition)

NB : en pratique t0 choisi pour que hr soit un filtre causal : t0 ≥ ∆Τ60


Solution( obtenue avec l’inégalité de Schwartz )

61

Filtre avec R.I.

hr(ττττ) = he*(-τ τ τ τ +t0 )

0 ∆T

t

±A .Ts he(t)

t = t0

⊗ 0

− ∆T+ t0 0+t0

τ

± A.Ts Che(0)

0

− ∆T+ t0 t0

t

+ ∆T+ t0

± A. Ts Che(t - t0)

=

Sortie du filtre Adapté (retardé de t0) , sans bruit :

• Mise en forme du symbole : p(t) = Che(t - t0) car (he ⊗ heH) = Che

fonction d’auto-corrélation de l’impulsion (filtre émission), retardée de t0 .

• Instant d’échantillonnage correspond au maximum de la fonction d’auto-corrélation :

=> (amplitude) gain :


2 . ; . )0( . eseeshes hThhTCT =><==λ

62

• (amplitude) gain :

• variance du bruit :

2 . s eT hλ =

Probabilité d’Erreur est minimum :0

2 bE

Pe QN

=

Rapport Signal à Bruit en sortie du F.A. bien échantillonné est maximum:


avec filtre de réception optimum (canal BBAG, symboles bi-polaires ):

0

2

N

ERSB b

y =

202 .2 eb hN=σ

63

+

BBAG (DSP N0 /2)

n (t)

0

∆T t

Ou (même probabilité)

-A. Ts.he(t)

r (t)

Détecteurà seuil

y >0 => +Ay <0 => -A

yy (t)Filtre de R.I.hr(ττττ) = he

*( - τ τ τ τ + ∆∆∆∆T)

0 ∆T

t

+ATs .he(t)

0 ∆T

τ⊗

Corrélation aveche au retard nul

X

∫

Échant.

t = ∆Τ∆Τ∆Τ∆Τ

0 ∆T

t

he(t) ∆T

0

2 bEPe Q

N

=

Eb = A2 . || Ts .he ||2

r(t) y

N.B: - En supposant synchronisation parfaite (instants connus à la réception)

- Ce récepteur linéaire à corrélation + seuils correspond au récepteur à distance minimale(optimum si signaux du dictionnaire équiprobables) pour le cas des mod. Linéaires.


SYNTHESE (illustration avec t0 = ∆T)

Annexe:Equivalence entre Filtre Adapté (plus

échantillonnage en t=ττττ0000) et corrélation (au retard ττττ0000)

64

r(t)Filtre Adapté à h

R.I. hH(t) = h*(-t)

y(t)

=

(r * hH)(t)

t- ∆T

y( ( ( ( t = τ= τ= τ= τ0 0 0 0 ) ) ) ) = Cr,h(τ0)

0

r(t)inter-corrélation

entre r et h au

retard ττττ0

0

h*(t -τ0 )

tττττ0000 ∆T

h(t )

Corrélation avec h au retard ττττ0

X

∫retard τ0

+ conjugué

Échantill.

t = ττττ0

∫+∞

∞

−=-

*def

hr )dtτ(tr(t).hC 00 , )(τ

N.B: ou encore: « F.A. à h retardé de t0 , heH(t-t0) » + « échantillonnage en t = τ0 + t0 »

r(t)Filtre adapté à h

hH(t) = h*(-t)

y(t)

=

(r * hH)(t)

t- ∆T

y( ( ( ( t = τ= τ= τ= τ0 0 0 0 ) ) ) ) = Cr,h(τ0)

0

Échant.

t = ττττ0

si r = h => fonction d’auto-corrélation

de h au retard τ0

module pair, phase impaire, Maximum réel pour ττττ0 = 0

0 ∆T -∆T

t0 ττττ0 ∆T

Ch,h(τ0)

RSB (avec BBA) est maximisé en sortie du F.A. (bien échantillonné)

Annexe (bis):Equivalence entre Filtre Adapté(plus échantillonnage en t = ττττ0000) et corrélation (au retard ττττ0000)

65

N.B: dans notre problème de détection à 2 hypothèses (supposant une synchronisation temporelle parfaite), on veut l’inter-corrélation au retard nul (donc τ0 =0) ce qui équivaut au F.A. (non causal) + échantillonnage en t = 0. Mais en pratique, on utilise un filtre rendu causal (FA retardé de t0) et on échantillonne ainsi en t0 .

3.3) Annulation de l’Interférence-Entre-Symboles et Critère de Nyquist

Modèle complet avec émission de symboles successifs (1/Ts bauds)

• Après échantillonnage synchrone : à l’instant tk = t0 + k .Ts

66

yk

=

Utile Interférence Entre SymbolesIES [k]

: échantillon utilisé pour décider le symbole d’indice k

Bruit bk

Quelle propriété doit avoir le filtre global Tx/Rx p(ττττ)

pour garantir : IES[k] =0 ∀∀∀∀ la suite de symboles {ai } ?

)kT(tbTiktpaTTtpakTty ss

kiissks ++−++=+ ∑

≠00 00 ))(( . )).(.( )(

Annulation de l’IES et Critère de Nyquist (2)

Critère de Nyquist : formulation en temps

Pour un filtre global Tx/Rx (jusqu’à l’échantillonneur, opérant en t0 + kTs) de Réponse Impulsionelle p(τ τ τ τ ) , et Fonction de Transfert P(f) = TF( p(ττττ) ) :

pas d’IES <=>

67

t0-2Ts t0-Ts t0 t0+Ts t0+2Ts t0+3Ts ...

τ

Les échantillons de p(τ) sont nuls pour τ = t0 + nTs , sauf pour n=0 (n∈Z*)

Ζ∈

≠=

=+ 0 ; 0

0 ; )() ( 0 0 n

n

n tpnTtp s

1 exemple pour p(τ)

NB: les filtres sont généralement choisis avec une symétrie paire autour de t0 (raison => Cf 3.4)

pas d’IES <=>

68

Le repliement (1/Ts périodisation) de P(f) (déphasée de 2πft0) est constant ∀ la fréquence

f

1 exemple pour P’(f) = P(f).exp(j2πft0)

1

sT− 1 1

.2 sT

− 1

sT+1 1

.2 sT

+0

P’(f-1/Ts)P’(f+1/Ts)

+B-B

⇒ Bande Minimum (monolatérale) pour une trans. B.B sans IES : B ≥≥≥≥ Ds /2

Annulation de l’IES et Critère de Nyquist (3)

Critère de Nyquist : formulation en fréquence

{ } ℜ∈∀=−−∑+∞

−∞=

f T

nftj

T

nfP

sn s constante )(2exp.)( 0π

s).T p(t avec 0constante=

3.4) CONCLUSION : chaîne optimale Pour canal BBAG et une Mod. Linéaire

peut être obtenue avec un récepteur linéaireopérant symbole par symbole ssi :

• Filtre de Réception est adapté (avec retard t0) au filtre d’émission:

Hr (f) = He*(f) . exp( -j2πft0 ), i.e. hr(t) = he*(- t + t0)

ET

• Absence d’Interférence-Entre-Symboles : Critère de Nyquist (temps

symbole Ts , et retard t0 ) est vérifié pour le filtre global Tx/Rx P(f) = He(f).Hr(f)

69

hr

Échant.synchrone

t = k.Ts

+ retard t0 seuilFiltre de

RéceptionFiltre

d’Emission

+

BBAG, DSP bi N0 /2

he{ } kaka

n (t)

y(t) x(t) r(t) yk

Conclusion chaîne optimale (2)

Propriétés avec filtrage Tx/Rx optimal• filtre de Nyquist P(f) à phase linéaire : P(f) = |He(f)|2.exp(-j2πft0 )

i.e. un (module) de R.I. pair autour du milieu t0 : p(t) = Che(t - t0)

avec Che (t) : fonction d’auto-correlation de he, telle que Che (t) = Che*(-t)

• Filtre Global de Nyquist P(f) équi-réparti entre Tx et Rx :

He et Hr sont appelés filtres en racine de Nyquist, ou encore filtres 1/2 Nyquist

• Filtres 1/2 Nyquist usuels choisis tels que leur R.I. réelle a une symétrie paire autour de t0/2, et identiques pour Tx et Rx :

hr = he , avec He(f) = |He(f)|. exp(-j2πft0 /2)

70

( ) ( ) ( )e rH f H f P f= =

Conclusion chaîne optimale (3)

Propriétés avec filtrage Tx/Rx optimal

Probabilité d’Erreur Optimale en fonction de Eb/N0pour des symboles antipodaux (polaires) :

• Idem Pe obtenue dans le cas de la transmission d’un seul symbole avec Filtre Adapté en réception

• indépendant de la forme de l’impulsion de mise en forme (he), du moment que les 2 conditions (« F.A. » et « pas d’IES ») sont vérifiées

71

0

2 bE

Pe QN

=

72

Bilan sur la probabilité d'erreur

ex :Transmission binaire en bande de base (symboles polaires)

=

02

1

N

Eerfc b

probabilité d'erreur sur un bit fonction du rapport énergie d'un bit / DSP de bruit au niveau du récepteur :

0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Eb/N0 (dB)

Pe

duexQavecu

x

2

2

2

1)(

−+∞

∫=π

0

2 bE

Pe QN

=

)2(2erfc(x)t xQe =

73

Cas de la transmission « PAM » M-aire

22

2 0

6log2( 1) .

log 1b

e

EMMP Q

M M M N

−≈ −

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Eb/N0 (dB)

Pe

M=2

M=4

M=8

M=16

+{ ak } He (f)

Filtre d’émission(mise en forme)

Filtre de réception(adapté au filtre d’émission)

He*(f).e-j2πft0

tk= t0 +kTs

ka

Décision (M-1 seuils)

)(tn

)(tx )(tr )(tyky

Même 2 conditions (FA et pas d’IES) pour obtenir la chaîne optimale, pour une Mod. Linéaire à M états

(BBAG)

75

3.5- Conséquence pour uneTransmission à Bande Limitée

Performance optimale toujours garantie ssi :

• Critère de Nyquist respecté

• Equi-répartition du filtre global de Nyquistentre l’émetteur et le récepteur.

⇒ Bande Minimum (mono-latérale) pour une

transmission optimale : B ≥≥≥≥ 1/(2Ts)

Les + utilisés en pratique (trans. à bande limitée):

filtre (global) de Nyquist en cosinus surélevé

76

α: « roll-off » ou « excès de bande » par rapport à la bande minimum

ex de Nyq(f) : fonction en Cosinus Surélevé

α=0α=1

α=0,5

0 R/2 R( )α+12

R

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )α

αα

απ

α

α

α

α

+=

≤≤

−−=

=

12T

1>pour 0

+12T

1 -1

2T

1pour

5.0Tsin2

1

2

1

-12T

1<pour 1

s

ss

s

s

ffCS

f

ffCS

ffCS

| P(f) |

1

½

0 f

α =0

α =0,5

α = 1

rappel: R = Ds = (1/Ts)

77

f.Ts

t/ Ts

les + utilisés en pratique pour trans. à bande limitée (2) :

Filtre (global) de Nyquist en cosinus surélevé (2)

78

Figures extraites du cours ENST de R. Vallet

roll-off: α = 0.35

diagramme de l’Oeil

roll-off: α = 1


Filtre (global) de Nyquist en cosinus surélevé (3)

α: « roll-off » ou « excès de bande » par rapport à la bande minimum

79

• Forme en Racine de Cosinus surélevé pour le module de la Fonct. de Transfert

• R.I. réelle, avec symétrie paire autour du milieu de son support (Phase Linéaire)

• Bande-Passante : [-(1+ α)/(2Ts); +(1+ α)/(2Ts)] autour de ±f0.

f.Ts t / Ts


Filtres ½ Nyquist en Racine de cosinus surélevé


80


Filtres ½ Nyquist en Racine de cosinus surélevé (2)

Diagramme de l’œil en x(t)sortie du filtre ½ Nyquist d’émission (α = 0,22)

IV) TRANSMISSION NUMERIQUE SUR FREQUENCE PORTEUSE

Transmission et Communication Numériques, chapitre IV

81

PLAN

IV.1 Introduction : synoptique, modulation/démodulation I/Q, ...

IV.2- Représentation complexe équivalente en BB de la

chaîne de transmission sur fréquence porteuse

IV.3- Modulations linéaires– Emission (Modèle général, DSP, ...)

– Performances optimales avec canal BBAG,

82

Référence : polycopié « Transmission Numériques de Données » 2008, INPG/dpt Télécom ,chapitre 3: transmission numérique sur fréquence porteuse

http://chamilo2.grenet.fr/inp/main/document/showinframes.php?cidReq=PHELMAA2SICOM4PMSTCN&id_session=0&gidReq=0&id=41

IV.1) INTRODUCTION: Synoptique d’une modulation

numérique (dimension M) sur fréquence porteuse

(avec symboles intermédiares)

MOD. I / Q sur freq. Porteuse f0

« mapping » :

n bits =>

1 symbolecomplexe

Signalmodulé

x(t)

( Tb )

B transformation Analogique

(voies I et Q)( Ts )

aI [k]

aQ [k]

Bits(data)

Symboles de Mod.

xI (t)

xQ(t)

X

X

+cos(2πf0t )π/2

Signaux en BB

D

Codage Differentiel

(option)

Bits

83

MOD I/Q: x(t) = xI(t).cos(2πf0t ) + xQ(t).cos(2πf0t +π/2) (1)

Passage bits => symboles (de modulation)

Type de modulation définie par : M (taille) et correspondance bits / symboles

Débit binaire Db = 1/Tb (en bits/sec)

Rapidité de modulation R

(en symb/sec ou Bauds),

• 1 symbole est émis aux instants k.Ts ( k ∈ Z),

• Alphabet (taille M) complexe pour une trans. sur fréquence porteuse (correspondant à deux trains de symboles réels « I » et « Q »):

84

1 symboleà M = 2n états

n bits

1

n

DD

TR

bs

s===

temps

Tb : temps bit

Ts : temps symbole

ka~ 1~

+ka 2~

+ka

~QI j. aaa +=

Extraction des composantes I/Q (1)

=> À partir d’une démodulation I/Q cohérente et fil trage passe-bas :

xI(t)

xQ(t)

x(t)+π/2

2.cos{2πf0t }Filtrage passe-bas (fc ∈ ]B/2; 2f0 - B/2[ )

x

x

{ })2cos(2. 0tfx(t)BF π=

{ })2sin(2. 0tfx(t)BF π−=

BF{} garde les Basses Fréquences << f0 : BF{ cos(2π f0 t ) . cos(2π f0 t ) } = 1/2 ; BF{ cos(2π f0t ) . cos(2π f0t + π /2 ) } = 0

85

N.B. : En pratique opération de « synchronisation (ou Récupération ) de porteuse » nécessaire pour estimer la fréquence et phase de la porteuse à l’entrée du démodulateur (ou opération numérique de compensation équivalente en bande de base …)

86

( ) (t) (t)I Qx t x j.x= +% : signal complexeen bande de base (et enveloppe complexe de x relative à f0)

: signal complexe, passe-bande autour de +f0 : fréq. > 0 !(et signal analytique de x(t))

f+f0-f0 0

(+f0 )

( )X f+

( )fxz( )fX%( )X f

−

Représentation en fréquence(modules) :

: signal réel modulé I/Qà émettre passe-bande autour de ± f0

)(~

0ffX −=

2

)(~

0ffX −=

2

)(~

0* ffX −−=

IV.2) Représentation du signal modulé à partir du signal complexe en Bande de Base

1

2

{ } ).(~ Re)( 02 tfjetxtx π+= (2)

)(tzx

(-f0 )

87

cos( 2πf0 t )

+π/2 x (t)x

Mod. I/Q (f0)

n (t)x

+2cos( 2πf0 t )

r (t)

r I (t)

rQ (t)

Demod. I/Q (f0)

xI (t)

xQ (t)

x

x

+π/2

= xI (t) + j.xQ (t)

=r I (t) + j.rQ (t)

Chaîne complexe équivalente en Bande de Base (autour de 0 Hz)

BBAG (dsp bi N0/2 autour de ±f0)

Representation équivalente (avec un canal idéal BBAG)

BBAG complexe (nI et nQ sont indépendants,

avec une dsp bi = N0 autour de 0 Hz)

( ) x t ( ) r t

( ) n t

Chaîne réelle

+

+

= nI(t) + j.nQ(t)

Annexe 1: Représentation des signaux à bande-étroite :

illustration des relations entre DSP

88

f+f0-f0 0

( +/- f0 )

)( fx+Γ

)(fxzΓ)(~ fxΓ

)( fx

−

Γ

0~ )f(fz(f)xx +Γ=Γ

44 344 214434421)(

~

)(

~ 00 4

1

4

1

fx

x

fx

x )ff()f(f(f)x

−Γ+Γ

−−Γ+−Γ=Γ

B

43421

P

~.2

1

: moyennes puissances

xx P=

4

1

N.B.: signaux à modulation analogique ou numérique ne sont que des cas particuliers de signaux réels à bande étroite (tels que B << f0 ). Exemple : signaux naturels, bruits, …

A) Emission :

• définition

• exemples : Modulations numériques d’Amplitude (PAM), de Phase (PSK), et d’Amplitude en Quadrature (QAM),

• cyclo-stationnarité, Densité spectrale de Puissance, …

B) performances optimales pour un canal à Bruit Blanc Additif Gaussien

89

4.3) Modulations Linéaires

Modèle généralde la modulation linéaire

• L’enveloppe complexe est :

symboles numériques he(τ): impulsion de mise en formeou filtre d’émission

∈ alphabet complexe de taille M

Dans les applications basiques : he est une Rep. Impulsionnelle réelle Note:

90

)( . ~ . )(~ se


+∞

−∞=

φjQI Aejaaa =+=~

)( )(~ )(~ thtatx e⊗= )( . ~. )(~ s

kks kTtaTtaoù −= ∑

+∞

−∞=

δ

91

écriture réelle du signal modulé linéairement :

) (t-kThaTx) (t-kThaTxavec se

k

sQse

k

sI ∑∑ == . (t) ; . (t) : [k] Q [k] I

)2

2cos()( )2cos()( 00

πππ ++= tftxtftxx(t) QI

cos(2πf0 t)

+π/2x(t)

x

x

+

xI (t)

xQ (t)

{ aI [k] }

Source desymboles

réels

he

mise enforme

{ aQ [k] } he

t

aI (t)

aQ (t)

tTs

(1)

Mod. I/Q

{ } ).(~ Re (t) 02 tfjetxx π= (2)

Mod. Linéaires Basiques (dim. M)

• Pulse Amplitude Modulation : « M-PAM »

aI ∈ {±1, ±3, ..., ±(M-1)}.A’ et aQ = 0

=> seulement la voie I (symboles réels)

• Quadrature Amplitude Modulation : « M-QAM »

aI et aQ ∈ {±1, ±3, ..., ±(√ M -1)}.A’

=> 2 modulations PAM indépendantes (dim. √M ) pour voies I et Q

• Phase Shift Keying : « M-PSK »

CteAeMmM

m =

−≤≤+∈ t 10 ;2 0 πθφ

92

modulations linéaires Basiques : Remarques

• B-PSK modulation = 2-PAM φ ∈ {-π ; +π} et θ0 = 0 <=> aI ∈ {-A; +A} et aQ = 0

• Q-PSK modulation = 4-QAM φ ∈ {-π/2; 0; +π/2; +3 π/2} et θ0 = π/4 <=> aI et aQ ∈ {-A; +A} √ 2/2

• Aussi « Amplitude Shift Keying Modulation » (M-ASK) seulement voie (I) utilisée mais avec des symb. réels positifs

• Dans les illustrations: imp. rectangulaires, et « mapping » (bits D => symb.) fait à partir des bits de données (D = B ) ou après codage différenTel (D≠ B)

93

I

Qt

+A0

-A

0

xI (t)

xQ (t)

« 1 » « 0 » « 0 » « 1 »

t

+A

0

-A

x (t)

0 π π 0+π 0 +π

Ts=Tb

-A +A

« 0 » « 1 »

EXEMPLE: BPSK Binary Phase Shift Keying

M = 2 , i.e. n=1 bit /symbol : bit {« 0 », « 1 »} => symbole aI ∈ {-A; +A} , aQ =0

Bits d

( I)

(Q)

ψ(t)

∆ψ

Signal

modulé

Constellation

Et trajectoires possibles

94

I

Q

t+A’0

-A’

0xQ(t)

« 1 0 » « 0 1 » « 1 1 » « 0 0 » « 0 1 » « 0 1 »

xI (t)

7π/4 3π/4 π/4 5π/4 3π/4+π -π/2 +π -π/2 0

Ts = 2Tb A’=A .√2/2

« 11 »

« 10 »

« 01 »

« 00 »

EXEMPLE: QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) (ou 4-QAM)

M = 4, i.e. n = 2bits /symb : {« 00 », « 01 », « 11 », « 10 »} <=> aI , aQ ∈ {-A-A; -A+A; +A+A; +A-A}.√2/2

Bits d

( I)

(Q)

φ(t)

∆φ (saut)

passages par zéro de l’enveloppe instant. (A(t)) du signal modulé x(t)

Constellation

et trajectoires possibles

95

N.B.: Extension au cas Offset-QPSK …

Constellation

t

+A’0

-A’

0

xQ(t)

« 1 1 0 1 » « 10 0 0 » « 0 1 0 1 » « 1 0 1 0 »

xI (t)

Ts = 4TbI

Q

«00 00» «01 00» «11 00» «10 00» «00 00» «01 00» «11 00» «10 00»

«00 01» «01 01» «11 01» «10 01»

«00 11» «01 11» «11 11» «10 11»

«00 10» «01 10» «11 10» «10 10»

EXEMPLE: 16-QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

M = 16, i.e. n = 4 bits /symb (2 bits pour I, pour Q) : aI et aQ ∈ {±1, ±3 }.A’

Bits d

( I)

(Q)

exemple de « Mapping » avec codage de Gray (meilleure performance)

96

Q

I

« 000 »

« 001 »« 011 »

« 010 »

« 110 »

« 111 »

« 101 »

« 100 »

Bits d

EXEMPLE: 8-PSK (Phase Shift Keying)

M = 8, i.e. n=3 bits /symb

aI + j aQ = A . exp{ jφ } avec

97

CteAeMmM

m =

−≤≤+∈ t 10 ;2 0 πθφ

Constellation

Propriétés des Mod. Linéaires sur fréquence porteuse (propriétés Mod. Lin. en bande de base généralisées pour des symboles complexes)

• symboles complexes stationnaires non corrélés :moyenne : variance :

fonction de corrélation :

• enveloppe complexe : est cyclo-stationnaire (périodicité Ts)

98

{ } 2

][2*

][][ ][ . ~ . ~ anankkna maaE +== − δσγ

{ }][~ ka aEm = { } 22

][ 2 ~ aka maE −=σ

)( . ~ . )(~ se


+∞

−∞=

Pour des symboles centrés et non-corrélés:

• Puissance moyenne du signal réel en bande portée:

=> Energie par bit : Eb = ½ . σa2 . Ts ║he║2.Tb

• DSP de l’enveloppe complexe :

• => DSP du signal réel en bande portée :

2

2 . . . 2

1esax hTP σ=

22~ )( . )( fHTf esax σ=Γ

( )2

0

2

02 )( )( .

4

1 )( ffHffHTsf eeax ++−=Γ σ

B) Performances optimales pour un canal à Bruit Blanc additif Gaussien

• Avec récepteur linéaire :

• r(t) = x(t) + n(t) avec n(t) BBAG réel, de DSP bi-latérale : N0/2• x(t) modulé lin. (sur porteuse f0) avec symboles centrés non corrélés ãk

99

4.3: Modulations linéaires

hr

ka+π/2

x

x

2cos(2πf0t)

r(t) r I (t)

rQ (t)

Démodulateur I/Q cohérent

hr

Décision par Comparaison(M classes)

yI (t)

yQ (t)

yI [k]

yQ [k]

tk= t0+ kTsFiltre de Réception

Chaîne globale (émission-réception) complexe équivalente en Bande de Base

• p(t) = he(t) ⊗⊗⊗⊗ hr(t)

• bI (t), bQ(t) : réels Gaussiens centrés stationnaires de DSP : N0 .|Hr(f)|2

• Eb = P(x).Tb = ½ . σσσσa2 . (Ts || he ||2 ) .Ts

100

+he

Filtre d’émission(mise en forme)

. ~ ~e][∑=

k

sks )(t-kTha T(t) x Bruit (BBAG)DSP bi 2N0

Filtre de réception

hr tk= t0+ kTs

[k]a

échantillonneur

circuit dedécision

)(~ tn

)(~ tx )(~ tr )(~ ty ][~

ky{ } ka~

(t)biTtpaTty s

iis

~ )(. ~ . )(~

+−= ∑+∞

−∞=)()(

~tjbtb(t)b QI +=

Performances optimalesPour canal BBAG et Mod. Linéaire, performance optimale obtenue avec un

récepteur linéaire (coherent) opérant symbole par symbole si et seulement si

• Filtre de Réception est adapté (avec retard t0) au filtre d’émission:

Hr (f) = He*(f) . exp( -j2πft0 ), i.e. hr(t) = he*(- t + t0)

ET

• Absence d’Interférence-Entre-Symboles : Critère de Nyquist

(temps symbole Ts , et retard t0 ) est vérifié pour le filtre global Tx/Rx

P(f) = He(f).Hr(f)

101

Et Bande Minimum (autour de fréquence porteuse + f0) pour une trans. sans IES

(cas général symboles complexes et R.I. filtrage he réelle) : B ≥≥≥≥ 1/Ts

102

• BPSK et QPSK :

=

02 NEbQPe

• M-QAM :

−−=

)1(2

)(log3.

2

)(log

)/11(4 2

2 0 M

M

N

EbQ

M

MPe

• M-PSK :

=

MM

N

EbQ

MPe

π22

2

sin)(log.2

)(log

2

0

Performance Optimum pour les modulations linéaires classiques (dim. M)

duexQu

x

2

2

21

)(−∞+

∫=π


Limite fondamentale (Théorie de l’information) pour le canal à BBAG

Pour signal x(t) de puissance moyenne finie Px (= Eb .Db) et bande limitée B, perturbé

par Bruit Blanc Additif Gaussien centré de puissance σσσσ2 (= N0 .B) dans bande B :

2 2 . log ( 1 ) / secx

tP

C B Shσ

= +• formule de la capacité :

pour qu’il existe un procédé de transmission fiable à volonté (débit d’information Ht (= Db) ≤≤≤≤ Ct )

• Efficacité spectrale maximale :

(Eb /N0) dB-1,6 dB

10

32

1

0,1

Bits / secHz

ηηηη====

Db/BRégion à Bande limitée: Ht / B >1

Région à Puissance limitée: Ht / B < 1

Mod. Num (sans codage) pour Pe = 10-5

BPSK

QPSK 8-PSK

16-QAM

MOD ⊥⊥⊥⊥ (64-FSK)

MOD ⊥⊥⊥⊥ (16-FSK)

Db bit/sec : débit binaire après codage de source supposé idéal (et avant codage canal éventuel)

Hz

bits/sec ).

N

E 1(log max

0

b2max ηη +=

104

Annexe: cas des Modulations (non-linéaires) utilisant un dictionnaire de M signaux orthogonaux

extraits du cours de « Communication Theory » de « University of Saskatchewan”:http://homepage.usask.ca/~hhn404/EE810/Signal-Constellations.pdf

Exemples de modulation à dictionnaire ⊥:- Modulations de fréquences M-FSK(avec indices bien choisie) ,- Modulations de position M-PPM,- Modulation avec codes de Walsh-Hadamard, …

télécommunications numériques -...

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