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D.U N° d'Ordre: 343 THESE présentée A L'UNIVERSITE BLAISE PASCAL Clennont-Ferrand II U.F R. DE RECHERCHE SCIENTIFIQUE El' TECHNIQUE pour obtenir le titre de DOCTORAT D'UNIVERSITE Spécialité: ELECTROTECHNIQUE par l', .\'7 ,",: J ! / ' ,/ , KOALAGA Zacharie CONTRIBUTION A L'ETUDE EXPERIMENTALE ET THEORIQUE DES PLASMAS D'ARCS ELECTRIQUES LAMINES Soutenue publiquement le 2 Juillet 1991, devant la Commission d'Examen: M. ACKERMANN P. M. ANDANSON P. M. VACQUIE S. M. AYMAMI J.A. M. GLEIZES A. M. LEFORT A. Mie.PARlZET M.J. Président Rapporteurs Examinateurs

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D.UN° d'Ordre: 343

THESEprésentée

A L'UNIVERSITE BLAISE PASCAL

Clennont-Ferrand II

U.FR. DE RECHERCHE SCIENTIFIQUE El' TECHNIQUE

pour obtenir le titre de

DOCTORAT D'UNIVERSITE

Spécialité: ELECTROTECHNIQUE

par

l', .\'7 ,",:

J!

/ ',/ ,

KOALAGA Zacharie

CONTRIBUTION

A L'ETUDE EXPERIMENTALE ET THEORIQUE

DES PLASMAS D'ARCS ELECTRIQUES LAMINES

Soutenue publiquement le 2 Juillet 1991, devant la Commission d'Examen:

M. ACKERMANN P.

M. ANDANSON P.M. VACQUIE S.

M. AYMAMI J.A.M. GLEIZES A.M. LEFORT A.Mie. PARlZET M.J.

Président

Rapporteurs

Examinateurs

A ma famille au BURKINA-FASO

A la mémoire de Madame B. CHEMINAT

Ce travail a été effectué au sein de l'équipe" Arc Electrique" du Laboratoire dePhysique des Matériaux de l'Université Blaise Pascal (Clennont-Ferrand II)

J'exprime toute ma reconnaissance à Monsieur le Professeur A. LEFORT de m'avoiraccueilli dans son Laboratoire et dirigé ce travail après la disparition de mon Directeur de thèseMadame B. CHEMINAT, Docteur es Sciences. Je le remercie pour l'intérêt qu'il a donné à mestravaux, ainsi que pour ses conseils et ses encouragements.

A la regrettée Madame B. CHEMINAT, j'exprime toute ma gratitude en lui dédiant cemémoire.

Je remercie Monsieur le Professeur P. ACKERMANN, Directeur du C.U.S.T, d'avoiraccepter de présider le jury de ma thèse.

A Monsieur S. VACQUIE, Directeur de Recherche au CNRS - C.P.A.T. Toulouse et àMonsieur le Professeur P. ANDANSON, Directeur de l'I.U.T. de Clermont-Ferrand, j'exprimemes vifs remerciements, pour l'intérêt qu'ils ont accordé à mon travail, en acceptant d'êtrerapporteur de ma thèse.

Je remercie Monsieur A. GLEIZES, Directeur de Recherche au CNRS à TOULOUSE,pour avoir accepté de participer au jury.

Je remercie Mademoiselle M.J. PARIZET, Professeur à l'I.U.T. de Clennont-Ferrand,pour sa disponibilité, son aide précieuse et sa participation aujury.

Je remercie Monsieur J.A. AYMAMI de la Direction Recherche et Développement de laTélémécanique Electrique, pour avoir bien voulu juger mon travail et participer au jury. Mesremerciements vont également Monsieur M. LAURAIRE (Télémécanique).

je remercie Messieurs R. BESSEGE, F. BLANC, R. AUBY et M. LIEUTIER pourleur aide et leur disponibilité.

A Monsieur M. ABBAOUI, qui tout au long de ce travail m'a apporté son soutien etses conseils, j'adresse mes plus vifs remerciements.

Mes remerciements vont particulièrement à Madame C. MASCLAUX et MademoiselleS. MASCLAUX, qui ont bien voulu se charger de la dactylographie de ce mémoire.

Je remercie le personnel technique du Laboratoire Messieurs R. PEllET, P. ANDRE,L. ROUDIL pour leur aide, ainsi que le personnel de l'imprimerie.

Je remercie également tous mes camarades de Laboratoire pour leur amitié et leurentraide.

SOMMAIRE

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 : RAPPELS THEORIQUES

EQUATIONS DE BASE 4

41

41

42

46

485556

56

6

9

10

11

13

17

1-1 : Equation de Boltzmann .

1-2 : Equations de transfert .

1-2-1 : us vecteurs fiux .

1-2-2 : Les équations de transfert .

1-3: Résolution de l'équation de Boltzmann .

1-4 :us intégrales de collision .

1-4-1 : us potentiels d'interaction .

1-4-2 : Calcul des intégrales de collision .

1-5 : Fonnulation et expressions simplifiées des coefficients

de transport 23

1-5-1 : Formulation des coefficients de transport 24

1-5-2 : Expressions simplifiées des coefficients de transport 26

1-6: Fonctions thennodynamiques ................. ...... .... .............. 32

1-6-1 : Masse volumique ,.... 32

1-6-2 : Enthalpie spécifique .. ,... .... .... . .. .. . ... .. 33

1-6-3: Chaleur massique à pression constante 34

1-6-4 : Vitesse du son dans le plasma ........ .. ................ ...... 34

1-7 : Composition d'équilibre .......... ............... . ............. ... ...... 35

1-7-1 : Modèle de calcul de la composition d'équilibre. 36

1-7-2 : Les fonctions de parti!ion,intemes des particules. . ... ... .... 38. .~,t,'-:r \~.l'.. _- J ~<: ' ~'.

1-8 : Conclusion /~ ~ '. ~~ .~~ .. ~ '." ..•.: ... . .. .... . . .. . .. 40

CHAPITRE 2 : APPLICAT~(AIDl!d~LA~~S CxHyOzNt •••.Il " ' . ril

\ \ \', / ,:;:/2-1 : Calcul de la composition-(i'éqùüibrê ,.i~~<'~ .

2-1-1 : Equations du modèle' '".::::':~ ..

2-1-2 : Fonctions de partition internes .

2-1-3 : Méthode de résolution .

2-2: Calcul des intégrales de collision ..

2-2-1 : Interactions neutre-neutre ..

2-2-2 : Interactions électron-neutre 58

2-2-3 : Interactions neutre-ion. ... .. ... ........ . . .. .. .. .. ..... . ... ... 60

2-2-4 : Interactions chargé-ehargé 62

2-2-5 : Formule de récurrence........................................... 63

2-3 : Propriétés thermodynamiques et de transport 63

2-3-1 : Calcul des coefficients de transport........... . 63

2-3-2: Calcul des fonctions thermodynamiques '" 66

2-3-3 : Autres grandeurs caractéristiques - Conclusion ... .. .. 66

CHAPITRE 3 : RESULTATS THEORIQUES

~~llftlUE1r~1rI()~ •••••.•••••••••••••••..•.•••••• 67

3-1 : Résultats du calcul de la composition d'équilibre '" 69

3-2 : Résultats du calcul des coefficients de transpon....................... 86

3-2-1 : Influence des intégrales de collision 86

3-2-2 : Conductivité thermique 89

3-2-3 : Conductivité électrique 93

3-2-4 : Viscosité dynamique 99

3-3 : Résultats du calcul des fonctions thermodynamiques .. .. ....... . ... 104

3-3-1 : Masse volumique .. .............. .... ..... .... ....... ......... .. 104

3-3-2 : Enthalpie spécifique .. ......... ... ....... ..... ...... .......... .. 108

3-3-3 : Chaleur massique à pression constante 112

3-3-4 : Vitesse du son dans le plasma .... .... .. .... ............... ... 116

3-4 : Autres grandeurs caractéristiques 116

3-4-1 : Densité d'énergie 120

3-4-2 : Flux de puissance " " ........ .. .. 124

3-4-3 : Cœnpressibilité ....... .... .... ................ .... .............. 128

3-4-4 : Viscosité cinématique 130

3-5 : Comparaison de nos résultats avec

ceux obtenus par d'autres auteurs 130

3-5-1 : Composition d'équilibre 130

3-5-2 : Conductivité thermique 133

3-5-3 : Conductivité électrique 140

3-5-4 : Viscosité dynamique 140

3-5-5 : Masse volumique .. ..... ................................. ....... 141

3-5-6: Enthalpie spécifique 141

3-5-7: Chaleur massique à pression constante 141

3-5-8: Vitesse du son 141

3-6 : Conclusion ............. ... ............ ....... ........ ... ........... ... ... 141

3-7 : Cas particulier du plasma de YfFE 145

CHAPITRE 4 : ETUDE EXPERIMENTALE •••••••••••..••.••••••• 154

4-1 : Les différentes techniques de coupure .. .. 155

4-1-1 : <Jénéralités ..... ..... ........... ........ ........... ..... ....... .. 155

4-1-2 : Processus de coupure . . 155

4-1-3: Les différentes techniques de coupure 157

4-1-4 : Les différentes chambres de coupure existantes ... ...... .. 160

4-2 : La nouvelle technique de coupure .. .... ......... . .... .... . .... ........ 161

4-3 : Dispositif expéritnental ... ............ ............... .... ............ ... 163

4-3-1 : Chambre à arc - maquette utilisée ... ............. .... ........ 163

4-3-2 : Circuit d'alimentation de l'arc 165

4-3-3 : Capteurs de mesure ......... ......... ....... ... ...... ........ .. 165

4-3-4 : Cloche à vide ou à atmosphère contrôlée 166

4-3-5 : Chaine d'acquisition de données 167

4-4 : Résultats expérimentaux - Analyse ........ ... .. .. ................. ... 168

4-4-1 : Courant - tension - puissance dissipée

d'un arc électrique laminé 168

4-4-2 : Champ électrique .. .. ..................... ..... .............. ... 171

4-4-3 : Pression ..... ............ ........... ........ .... ................. 171

4-4-4 : Essais sous vide et sous atmosphère contrôlée ... .. ...... .. 174

4-5 : Conclusion .. ...... ........................ ............. ..... ........ ..... 176

CONCLUSION

ANNEXES:

Annexe A

AnnexeB

177

179

181

BIB LlO G R APHIE................. 183

INTRODUCTION GENERALE

L'arc électrique est généralement défini comme une décharge à fort courant TI seprête à des applications diverses telles que, l'éclairage, les appareillages de coupure, lesaccélérateurs de particules ete...

Du fait de l'étendue de ses applications, il a suscité de nombreux travaux derecherche tant sur le plan expérimental que sur le plan théorique [1].

Si dans la plupart des applications, l'arc doit être maintenu le plus longtempspossible, son extinction rapide est recherchée dans les appareils de coupure. En effet, cesappareils de coupure sont conçus pour assurer la commande manuelle ou automatique descircuits électriques (contacteurs) ainsi que la protection des installations contre les courts­circuits (disjoncteurs).

Notre étude se situe dans le cadre de l'interruption du courant électrique au moyende l'arc électrique. TI est alors utilisé comme dissipateur de l'énergie par échanges thenniquesavec le milieu environnant

TI existe plusieurs techniques de coupure [2] dont les limites de performances sontpresque atteintes. Toutes sont basées sur l'aptitude de l'arc à passer rapidement de l'étatconducteur, à l'état isolant (résistance infinie).

Ce mémoire est consacré à l'étude d'un nouveau procédé de coupure bassetension, fort courant mis au point par Télémécanique Electrique et décrit par Belbel etLauraire [3]. Cette nouvelle technique de limitation n'est plus basée sur l'allongement rapidede l'arc entre des contacts, mais sur un laminage de celui-ci entre deux pièces isolantes. Unécran isolant, propulsé rapidement, entraîne l'arc hors de la zone des contacts et le contraint àprendre une section très réduite entre deux parois isolantes. TI en résulte [3], au vu de larelation :

U = E.l =1.1 1CJ.S

que l'on peut avoir des tensions d'arc assez importantes, entraînant ainsi des limitations decourant très efficaces. Les performances de limitation obtenues sont équivalentes àcelles desfusibles et indépendantes de la nature du matériau des contacts.

Le type de décharge étudiée (arc laminé à parois ablatives) est caractérisé par desinteractions fortes entre l'arc et les parois [4]. La chambre de coupure est alorsessentiellement remplie de vapeurs d'isolant issues des parois ([4] et [5]).

1

Par conséquent la nature du matériau de paroi ainsi que la géométrie de la chambre

de coupure apparaissent comme les paramètres les plus importants à prendre en

considération.

L'amélioration des perfonnances et l'optimisation de l'efficacité de l'appareillage

passe par une bonne connaissance des processus physiques mis en jeu lors de la coupure.

C'est dans cette optique que nous avons entrepris avec Télémécanique une étude

expérimentale et théorique de cette technique de coupure. A terme, cette étude devra conduire

à un modèle physique décrivant au mieux le comportement ou l'évolution des grandeurs

caractéristiques des arcs électriques laminés.

L'étude expérimentale a nécessité la mise en place d'une chambre de coupure de

géométrie particulière et la mise en oeuvre de diverses méthodes de diagnostic.

L'ensemble des essais effectués constitue un prolongement des études entreprises

au laboratoire par Gentes [6] et Blanquart [7].

Nous avons donc réalisé des mesures de caractéristiques électriques de l'arc

(courant-tension-ehamp électrique). Des mesures de pression ont également été effectuées.

La connaissance de la pression est indispensable au calcul de la composition d'équilibre du

milieu et à la modélisation de l'arc.

L'ensemble des résultats expérimentaux donne lieu à des critères de choix dumatériau des parois et de la géométrie de la chambre de coupure.

Panni les nombreux échantillons étudiés, les polymères se révèlent être les plus

intéressants. La comparaison de nos résultats avec ceux d'autres auteurs demeure délicate àcause d'importantes différences au niveau des objectifs et des conditions expérimentales. La

recherche bibliographique sur les arc confinés entre des parois isolantes montre que peu de

travaux ont été faits sur ce sujet.

Toutefois nous pouvons citer les travaux de Niemeyer [8], Ibrahim [9], Ruchti et

al [10], Tslaf [11], Frind [12] et Lukomski et al [13].

L'étude théorique constitue une part importante de ce travail. Dans cette étude leplasma est caractérisé à l'aide de coefficients de transport et de fonctions thermodynamiques.

Après avoir décrit les phénomènes élémentaires, les mécanismes de transport et discuté les

critères d'existence de l'équilibre thermodynamique, nous établissons les équations et les

fonnules nécessaires au calcul des différentes grandeurs.

2

L'application des lois fondamentales de la thennodynamique permet de déterminerla composition d'équilibre du plasma et par conséquent son degré de complexité.

Un programme en Fortran 77 sur un calculateur HP 9000 a été élaboré. TI permetd'effectuer le calcul de la composition d'équilibre, des propriétés thermodynamiques et detransport des plasmas du type CxHyOzNt ; x, y, z et t étant des variables entières oufractionnaires. C, H,O et N représentent respectivement les atomes de carbone,d'hydrogène, d'oxygène et d'azote. La formule CxHyOzNt regroupe la majorité deséchantillons utilisés et ayant donné de bons résultats dans l'étude expérimentale.

Le calcul des coefficients de transport du plasma de PTFE (CF2) a été égalementeffectué. Cet isolant ne présente pas beaucoup d'intérêt pour le laminage de l'arc. En effet, illaisse passer des courants importants même pour de faibles valeurs de la largeur de fente(1600 A pour une fente de 0,65 mm de largeur). Dans les mêmes conditions d'essai, onobtient pour le plasma de PMMA (par exemple) un courant maximal de 750 A. Les résultatsdu PTFE sont donnés à la fm du chapitre 3.

Ce mémoire est divisé en quatre chapitres. Dans le premier chapitre nous faisonsun rappel de la physique de l'arc électrique et nous en déduisons les formules nécessairesaux différents calculs.

Le chapitre II est consacré à l'application aux plasmas du type CxHy0zNt

Les résultats théoriques obtenus pour ces plasmas sont exposés et discutés auchapitre III.

Le dispositif expérimental et les résultats expérimentaux font l'objet du quatrièmeet dernier chapitre.

3

CHAPITRE 1 : RAPPELS THEORIQUES· EQUATIONS DE BASE

INTRODUCTION

Ce chapitre est consacré à la physique de l'arc électrique. II fournit les bases

nécessaires à la compréhension des mécanismes ayant lieu dans le plasma, ainsi que les

fannules indispensables au calcul de certaines grandeurs macroscopiques caractéristiques.

La connaissance de ces grandeurs est nécessaire pour déterminer les propriétés

thennodynamiques et de transport des plasmas.

Pour caractériser les phénomènes de transport, nous avons considéré les

coefficients suivants dits coefficients de transport :

- le coefficient de conductivité thennique: Â.,

- le coefficient de conductivité électrique: 0,

- le coefficient de viscosité : 11·

Ils correspondent aux transferts d'une certaine propriété physique à travers le

plasma. La viscosité concerne le transport de la quantité de mouvement. Les conductivités

thermique et électrique sont relatives respectivement au transport de l'énergie thermique etdes charges électriques. n faut aussi noter l'existence d'un transport de masse lié à la

diffusion.

Ces phénomènes de transport résultent d'un mouvement d'ensemble dans le

plasma. La modélisation de tels phénomènes collectifs nécessite la bonne connaissance des

processus élémentaires au niveau microscopique. Le plasma étant un milieu totalement ou

partiellement ionisé, il est possible de lui appliquer la théorie cinétique des gaz sous réserve

de certaines conditions (exposées dans ce chapitre). Dans cette théorie cinétique, les

propriétés microscopiques sont décrites par les fonctions de distribution des vitesses......fi (r,viot) des particules présentes dans le gaz. Ces fonctions sont solutions d'une équation

intégro-différentielle connue sous le nom d'équation de Boltzmann.

Les fonctions thermodynamiques que nous avons retenues sont l'enthalpie

massique (h), la masse volumique (p), la chaleur massique (Cp), et la vitesse du son dans le

plasma (a). Ces fonctions thennodynamiques permettent la description des mécanismes

d'évacuation de l'énergie produite dans le plasma. En outre, elles sont indispensables à lamodélisation des plasmas d'arc.

4

La détermination des coefficients de transport et des fonctions thennodynamiques

exige la connaissance de la composition d'équilibre du milieu. Cette composition d'équilibre

pennet de déterminer la densité numérique des différentes espèces en présence, ainsi que leur

évolution en fonction de la température.

L'utilisation de certaines formules nécessite l'hypothèse de l'équilibre

thermodynamique local (E.T.L.). Les critères d'existence de cet E.T.L. sont discutés au

chapitre 2.

1.1. Equation de Boltzmann

Considérons fi =fi (;,~,t), la probabilité pour qu'une particule i de masse ffiï, se

trouve au point; avec une vitesse ~ à l'instant 1. Cette fonction fi est solution de l'équation

de Boltzmann qui rend compte de l'évolution temporelle et spatiale de fi [17].

(1-1)

(àfi ) d lli .àt coll est un terme tenant compte es co Slons.

Fi: est la force totale due à un champ externe agissant sur la particule.

Dans le cas où (à~ )C011 = 0, on est à l'équilibre.

Les collisions ne modifient plus la fonction de distribution fi =fi (;,~,t). On

obtient alors la fonction de distribution de Maxwell :

( )

3/2 ( - 2)mi mi Viif = ni 21tkT exp - 2kT (1-2)

où ffiï et Dï sont respectivement la masse et la densité numérique, T est la température

absolue, k est la constante de Boltzmann, Vi est la vitesse particulière (Annexe A).

L'application de cette théorie établie pour l'étude des gaz neutres dilués aux

plasmas d'arc qui sont hors équilibre, nécessite la prise en compte du terme de collision

(àfy'ë)t)coll. En outre les hypothèses suivantes doivent être admises:

- les collisions inter-particules sont binaires,

- les forces d'interaction ont une faible portée,

5

(1-3)

-la répartition des vitesses hors de la sphère d'interaction a un caractère aléatoire,

- les fonctions de distribution varient lentement entre deux collisions.

Dans ces conditions l'équation (1-1) devient:

dfi .... dfi jÇ dfi ~ III ( ) ....dt + Vi -.. + -.- ----::;- =~ fifj - fifj gij b.db.dE.dvjdr ml dvi j

OÙ f' i et r j sont les fonctions de distribution relatives aux particules i et j après la collision,

gij = Iv: -~ est le module de la vitesse relative de la particule i par rappon à la particule j,

b et E sont respectivement les paramètres d'impact et angulaire de la collision (figure l-l-a) .

L'intégrale Jgyj représente l'intégrale triple IIIdvjx dVjy dVjz.

Le second membre de l'équation (1-3) représente la variation totale du nombre de......panicules dans l'état (r,vi), sous l'effet des collisions binaires avec toutes les espèces

présentes dans le milieu.

TI existe plusieurs modèles d'équations cinétiques, tous pouvant se mettre sous la

forme de l'équation de Boltzmann. La différence fondamentale entre les différents modèles

(équation de Fokker-Planck, théorie cinétique ondulatoire, théorie unifiée) réside dans la

méthode de calcul du terme collisionnel (dfldt)coll'

Une théorie plus rigoureuse pour les gaz complètement ionisés a été dérivée des

équations B.B.G.K.Y.I * qui prennent en compte les corrélations entre panicules.

Cependant, l'utilisation de l'équation de Boltzmann conduit à des résultats satisfaisants.

1.2. Equations de transfert

Ce sont des équations qui traduisent la conservation de la masse, de la quantité de

mouvement et de l'énergie du système. Etablies à partir de l'équation de Boltzmann, elles....

peuvent être traitées de manière similaire et caractérisées par un vecteur flux 'If.

Les définitions et les expressions des différentes vitesses apparaissant dans les

formules sont indiquées en Annexe A

1.2.1. Les vecteurs flux

L'existence de gradients de composition, de masse et de température dans un

plasma hors équilibre est à l'origine du transpon de masse (m), de quantité de mouvement

(m~), et d'énergie cinétique (1/2 mi V~).

1 • B.B.G.K.Y. = Born - Bogolioubov· Green - Kirwood - Yvon

6

2 7t.b.db = d(7t.b2)

i

"'X':-:~-:-N:«W'''''':-:':-:':':':-:':':-'':-'':-;':-»»:':':':':';'»~«Y:-:«-''' "';';-:-:-:';-:-:':';';':-;"v;.;.;.:-;,;.;,»»»;,:-:.x,;,:,:,:,:,:,:,~,:':';':';';';';'::';':';';';';~~~~~~~mf~J~~t1tti~";::-~:'

FIKJlfe l-l-a : ColhslOn entre deux molécules 1 et J ~~~:~:~~~~~~~~:MH~;ttà::f..

"__~~1~

···w·················································· .1 ~\~ ~~ii ~-:~\ __

1 - :~)1

Moléculej

z

'~~::~~ ;-:- ;.., "........... : :.: : :.;.....•.....: : ; : :-; ; : : ;.:.; ;.;.;.; ;.;.;.:.. ; ;.; :.; ;.;.; ; ..

:b:::: Figwe I-I-b : Représentation plane d'une collision binaire entre deux molécules i et j:..,:~~i~~M r . distance intermoléculaire:~~~~ .:m~ 9 : angle d'inclinaison de r par rapport l l'axe X

9ur valeur de 9 correspondant l rminimaleb : paramètre d'impact .

.<' ~««w.<.:«o:_..,_.«~ .:.~~~.~<~~~~~»x~»»:.:.:.»x.:.x.:.>:.x<.:.x.:«<*<..,:.:.>>.'x.:·:',:·x·x*~x·:·x·:·:·:««·:·x·:·:·:·x·»>:·x..,:·:·:·x·:·:~__~

7

On peut exprimer les vecteurs flux relatifs au transport de chacune de ces

grandeurs par :

-Vi = JVi.fi (;. Vi. t) Vi.dVi (1-4)

où Vi est une variable pouvant prendre les trois valeurs suivantes mi. miVi. Ifl mi V~.

1.2.1.1. Transport de masse

Dans le cas Vi =mi. on a alors:

(1-5)

1.2.1.2. Transport de la quantité de mouvement

Dans la direction x. le vecteur de flux correspondant s'écrit (Vi =MiVïx> :

(1-6)

On obtient des relations analogues dans les autres directions y et z. On définit donc trois

vecteurs flux associés au transport de moment mi.Vi. Les neuf composantes de ces trois

vecteurs défmissent un tenseur relatif à la pression partielle Pi =ni.mi.Vi.Vi de la iàM

particule.

Le tenseur pression du mélange est obtenu par sommation:

P= LPi =Li i

-=::;-::;

ni.mi· Vi·Vi (1-7)

1.2.1.3. Transport d'énergie cinétique

Pour Vi =Ifl Mi Vr, la relation (1-4) s'écrit:

- 1 J 2- - 1 . ~ ­Vi = 2 mi Vi .Vi.fi.dVi = 2 ni.mi.Vi .Vi = qi

Le vecteur flux de chaleur du milieu est alors défmi par :

- ~- ~ 1 ~q =~ qi =~ 2 ni.mi.Vi .Vi1 1

8

(1-9)

(1-8)

1.2.2. Les équations de transfert

En multipliant les deux membres de l'équation (1-3) par Vi ' puis en intégrant par

rapport à ~, on peut écrire [17] :

d ( ----:::;' ) fd'lfi (- d'lfi) (~d'Ifi )}+ a; ni Vi Vi - ni \ at + Vi a; + ~ d~

= ~ IIII Vi (( ~ - fi fj) gij b.db.df.d~.dVj (1-10)J

Cette équation est connue sous le nom d'équation générale de transfert d'Enskog

pour la quantité Vi associée à la particule i. La sommation sur l'indice i conduit à l'équation

de transfert pour V et pour le milieu.

Hirschfelder et al. [17] montrent que la conservation de la masse, de la quantité demouvement et de l'énergie cinétique durant la collision entraîne:

~ IIII Vi (( ~ - fi fj ) gij b.db.df.d~.dVj = 0 (1-11)J

avec

1.2.2.1. Equation de conservation des particules

Pour Vi =IDï, on aboutit à :

dp d -T + a; (p vo) = 0

avec P (r ,t) = L ni mii

(1-12)

C'est l'équation de continuité pour le gaz dans son ensemble. ~ est défini en

AnnexeA.

9

1.2.2.2. Equation de quantité de mouvement du milieu

-Vi = miV; ,l'équation (1-10) devient:

a;: (- a -] 1 a =al" + Va a; Va = - p a; p

il est le tenseur pression du gaz.

1.2.2.3. Equation de bilan d'énergie

Pour Vi = 1/2 ffiï Vr'on obtient:

1", -­+ - L ni FiexP i

(1-13)

où Vtr est la contribution de l'énergie de translation à l'énergie interne:

-q est le vecteur flux de chaleur.

1.3. Résolution de l'équation de Boltzmann

(1-14)

Divers auteurs ont proposé des solutions approchées de l'équation de Boltzmann.

Chapman et Enskog [18] utilisent une technique de perturbation qui est une méthode

d'approximations successives. La méthode de résolution développée par Grad [19] permet

l'étude des systèmes dans des états très éloignés de l'équilibre.

Ces deux méthodes coïncident à l'ordre 1. Dans ce travaille calcul des propriétés

de transport est fait au moyen de la méthode de Chapman-Enskog, les plasmas étudiés étant

supposés être à l'Equilibre Thermodynamique Local (E.T.L.).

Chapman et Enskog écrivent la fonction de distribution fi sous la forme d'une

série en l; à l'ordre n :

(1-15)

l; étant un paramètre de perturbation (11l; représente la fréquence des collisions)

fio est défini par la relation (1-2).

10

Dans le cas où ç est très petit, les collisions sont très fréquentes et le plasma est

considéré comme un milieu continu en équilibre local.

Les tennes d'ordre ~ 2 sont négligeables, on a alors:

fi = ~ + ç ~1) ou encore :

(1-16)

<Pi est une fonction de perturbation permettant de passer de la distribution de Maxwell­

Boltzmann fio à celle du premier ordre fi(1).

Un calcul détaillé de <Pi est fait par Hirschfelder et al [17]. <Pi dépend de grandeurs

j\, Bi et ~ (j) qui sont des fonctions de la vitesse réduite Wh de la composition ni et

de la température locale. Les quantités j\, Bi et c: (j) et par conséquent la fonction de

perturbation <Pi peuvent être développées en une série de polynômes de Sonine.m .

Sem) ( ) = ~ (-1)1 (m + n)! j (1 17)n x ~=O (n + j)! (m _j)! j! x ­

J-

avec: m, j EN; X ER; n E Q+. Dans la relation (1-17) la variable x désigne la vitesse

réduite.

Le nombre de termes retenus dans la série définit l'ordre d'approximation du

calcul des coefficients de transport.

Connaissant <Pi' on détermine la fonction de distribution fi et on déduit les

coefficients de transport pour l'approximation souhaitée. Les expressions explicites de Ah

Bi et ~ (j) font apparaître des coefficients dits d'expansion de Sonine aim, bim, Cïm(h •k )

qui sont des combinaisons complexes d'intégrales définies par Hirschfelder. Ces dernières

peuvent être écrites sous forme de combinaisons linéaires d'un groupe d'intégrales ~l's

appelées intégrales de collision [17].

1.4. Les intégrales de collisions

Elles dépendent des collisions inter-particules qui sont fonction des forces

d'interaction existant entre les particules. Les paramètres .Q. et s dépendent du nombre de

termes retenus dans le développement en polynômes de Sonine.

11

Pour une collision entre deux particules i et j, l'intégrale de collision ~jl,s s'écrit:

1

1

( ]

112<1,5) 27tkT - - 2 (25+3)

Qij = fa fo exp (- 'Yij)·'Yij .(1 - COSlxij) b.db.d'YijJlij

ou encore:

n<1.. ,5) =( kT ]112 J- 2 (2s+3)....J.""IJ 0 exp (- 'Yij)·'Yij . Vij (e).d'Yij

27tJlij

(1-18)

(1-19)

Dans l'expression (1-19) Qï/' est la section efficace de transport défmie par la

relation suivante:

(1-20)

Dans ces trois expressions (1-18) à (1-20) :

mimjJlii est la masse réduite des particules i et j en collision : Jlii = --=---~

~ ~ mi + mj

'Yij est la vitesse relative initiale réduite,

-r;::'Yij = gij~ 2kf

gij est définie en Annexe A,

cr (e, Xij) est la section efficace différentielle de collision,

e est l'énergie relative des particules (e = kT 'Yi/) ,

Xij est l'angle de déviation des particules i etj lors de la collision (figure 1-1-b page 7). fi est

défini par:

Xij (gij. b) = lt - 2bf 1 - (~r q> (r)

1 22" Jlij gij

-1(2

(1-21)

où q> (r) est le potentiel d'interaction, r la distance inter-particules, rm la distance minimale

d'approche, b est le paramètre d'impact.

Le calcul de Xij et par suite des intégrales de collisions nécessite la connaissance

des potentiels d'interaction entre les différentes espèces chimiques du plasma (électrons,

ions, atomes et molécules). La méthode de calcul des coefficients de transport ainsi que les

valeurs obtenues dépendent beaucoup de la nature du potentiel d'interaction retenu. Le choix

de ce potentiel est déterminé par les particules en présence.

12

Nous pensons qu'il est utile de procéder à un bref résumé des principales interactions

existantes et susceptibles d'être utilisées.

1.4.1. Les potentiels d'interactions [17]

1.4.1.1. Modèle des sphères rigides (figure l-l-a)

Les particules i et j sont assimilées à des sphères rigides impénétrables de rayon Ri

et Rj- Le potentiel considéré est répulsif et est défini comme suit:

<p (r) =00 r < CJ

(1-22)

<p (r) = 0 r > CJ

Cette méthode n'est pas assez précise. Elle peut induire des erreurs assez

importantes sur les valeurs des coefficients de transport. Par conséquent nous ne ferons

appel à ce modèle simple que dans le cas où nous ne disposons pas de données nécessaires

pour utiliser les autres potentiels d'interaction.

En entourant le modèle des sphères rigides d'une force attractive s'étendant

jusqu'à RCJ, on aboutit au modèle des sphères rigides attractives. On a alors comme

expression du potentiel:

<p (r) = 00

<p (r) =-e

<p (r) = 0

r < CJ

CJ < r < RCJ

r> RCJ

(1-23)

avec R étant la distance limite de la force attractive.

Cette dernière forme de potentiel tient compte des forces de répulsion et

d'attraction (figure 1-2-b).

1.4.1.2. Le modèle de Sutherland (figure 1-2-c)

Il est identique au modèle des sphères rigides attractives, mais la force attractive

varie en fonction de la distance d'interaction r :

<p (r) = 00

Ôest l'indice d'attraction.

r < CJ

r > CJ

13

(1-24)

Potentiel des sphèresrigides attractives :

cp(r) = 00 r < Racp(r) =-f. a < r < Racp(r) =0 r> Ra

o

E - - - -

r

figure 1-2-a

Fi&UJ"e 1-2 : Exemples de formes de quelques potentiels..JV.I'.N'..h" ,.." - - - - $';0;,.

figure 1-2~

Potentiel des sphèresrigides:

cp(r) =00 r < acp(r) =0 r > a

r

r

- - - --

figure 1-2-e

cp(r) = 00 r < acp(r) =-f. (a/rl' r > a

Potentiel deSUTHERLAND :

Potentiel deLENNARD-JONES(6-12) :

12 6cp(r) =4 f. {(aIr) - (aIr) }

(J

o

o

o -

E-----

....................................................................: : .

1

14

1.4.1.3. Le modèle de Buckingham (figure 1-2-d)

(1-25)

r~ rmuE

cp(r) = ---1- 6/a

Nous donnons la fonne du potentiel modifié:

cp (r) =00

où rm est la valeur de r pour l'énergie minimum. La valeur usuelle du coefficient a est de

13.5 [17].

Le modèle initial qui tient compte des interactions du type dipôle quadripôle estplus réaliste que le potentiel de Lennard-Jones (§ 1-4-1-4). Mais sa mise en œuvrenumérique présente beaucoup de difficultés.

1.4.1.4. Le potentiel de Lennard-Jones (figure 1-2-e)

C'est le potentiel d'interaction le plus réaliste pour les collisions entre espèces nonpolaires, soit:

(1-26)

OÙ: E est l'énergie maximale d'interaction

CJ est le diamètre collisionnel, cp (CJ) =o.Ce modèle tient compte des forces répulsives ( (CJ/r)12) et des forces attractives (- (CJ/r)6).

1.4.1.5. Le potentiel de Coulomb écranté

TI s'agit du potentiel de Coulomb, mais muni d'un écran à la distance de Debye

Â.D Cette représentation sous entend que le nombre de particules chargées à l'intérieur de la

sphère de Debye est suffisamment grand pour assurer l'écrantage.

Le potentiel écranté s'écrit:

(1-27)

où Zï.e et Zj.e sont respectivement les charges des particules i etj.

15

La longueur de Debye Â.O est défmie par :

L Z~.ni,Z;i

avec: <Z> = ----

[MKSA] (1-28)

Ileoù ni,zi est la densité numérique de l'ion i de charge Zï.e ; ne est la densité électronique.

Ce potentiel est utilisé pour des interactions chargé-chargé.

1.4.1.6. Le modèle des points centres de répulsion (figure 1-2-f)

Il est possible de considérer les particules en interaction comme des points qui serepoussent ou qui s'attirent avec un potentiel de la fonne:

cp(r)=±dr-~ (1-29)

Sest l'indice de répulsion et d est une caractéristique de l'interaction.

Pour S = 4 on obtient le potentiel de Maxwell souvent utilisé pour décrire

l'interaction entre un ion et une particule neutre. La relation (1-29) prend alors la fonne

suivante :

(1-30)

où ~.e est la charge de l'ion et a la polarisabilité de la particule neutre.

1.4.1.7. Le modèle de Stockmayer

Il résulte de la superposition du potentiel de Lennard-Jones et d'une interaction du

type dipôle-dipôle.

Une expression approchée de ce potentiel est donnée par Krieger [20] et Monchick

et al [21] :

16

•. S (1-31)

s* caractérise l'kart par rapport à un comportement non polaire de la particule polaire

considérée. Ce potentiel est presque exclusivement utilisé pour des gaz polaires.

1.4.1.8. Le modèle de Morse

La forme de ce type de potentiel est indiquée par Capitelli et al [22] et Kong [23] :

(1-32)

2{

CP (rnJ = -Eoù: c = ~ml~ (J ; rmet 0 sont définis par: cp (0) = 0

1.4.1.9. Le modèle du potentiel exponentiel répulsif

(1-33)

fi est soit répulsif CPo > 0 , soit attractif CPo < 0

Notons qu'il existe d'autres types d'interactions. Certains des potentiels

correspondant à ces interactions sont des cas particuliers ou résultent de combinaisons de

potentiels de formes analytiques simples [24] et [25].

En résumé, les potentiels d'interaction peuvent être mis sous une forme

caractérisée par deux constantes 0 et E :

,(r) = E. f ( : )

1.4.2. Calcul des intégrales de collisions

Si on se place dans le cas idéal où les particules i et j en interaction sont assimilées

à des sphères rigides, les intégrales de collision peuvent se mettre sous la forme:

(1-34)

17

L'écart entre les collisions de particules réelles et les collisions entre particulesassimilées àdes sphères rigides est caractérisé par les intégrales de collision réduites définies

par:

*(11) (1.5) [ <1.5)]o.. = n.. 1 n.."~J IJ IJ

SR

(1-35)

Les quantités ~l1,s) sont souvent obtenues à partir des valeurs tabulées des

intégrales de collision réduites n*i/l,S).

Elles peuvent parfois être données sous forme de grandeurs moyennes telles que:

-:tQ..5) 2 *(1.5)nl·J· = R... n.. (1-36)IJ IJ

~5) -:il,s)Qij = 1t • n ij (1-37)

avec: Rij = Ri + Rj

~Q.. 5) 1 . ffiest a sectlon e lcace moyenne.IJ

Le calcul des intégrales de collision est fait en considérant quatre catégories

d'interactions:

- interactions neutre-neutre- interactions neutre-ion- interactions électron-neutre

- interactions chargé-ehargé.

Dans chaque cas nous indiquons les expressions des intégrales de collision

obtenues par divers auteurs.

1.4.2.1. Cas des interactions neutre-neutre

n s'agit des collisions entre 2 atomes ou 2 molécules ou entre un atome et une

molécule. En utilisant le potentiel des points centres de répulsion, Kihara et al [26] ontobtenu pour les intégrales de collision l'expression suivante:

n~5) = { 1t kT ]112 (~12/" r (s + 2 _1..). A<.O.> (8)2 J.1ij kT 8

(1-38)

où r (x) est la fonction gamma. Les valeurs des A(1) (8) sont tabulées par les mêmes

auteurs.

18

Monchick [27] propose la fonne suivante pour un potentiel exponentiel répulsif:

( )

1/2<1.s) 7t kT 2 2

0ij = 4 -- a . p . 1 (l,s)2~ij

où a = ln (<Po / kT) avec <Po étant défmi par le potentiel.

(1-39)

Les 1 (1,s) sont des intégrales tabulées par Monchick pour 1 = 1,2,3 et s = 1, 1+1,

1+2 avec a variant de 3.5 à 28.5.

A partir du potentiel de Sutherland et pour 'Y = 6, Kotani [28] donne pour les

intégrales de collision:

<1.s)0.. =IJ (

2 7t kT )1/2 ~. _0 (~)OlJ . l-'~. 2kT

~ij

(1-40)

Les valeurs de Fs1 sont tabulées par Kotani en fonction de x =Eï.j / 2kT.

Hirschfelder a tabulé les valeurs des intégrales de collision réduites O\/l,s) à

l'aide du potentiel de Lennard-Iones en fonction de la température réduite T* =kT / E.

Le potentiel de Stockmayer permet à Krieger [20] de déterminer les valeurs de

0(2,2) en fonction de T* pour les interactions entre particules polaires, ô* étant compris

entre 0 et 2.

Dans le cas d'un potentiel attractif du type exponentiel, Brokaw [29] démontre que

l'on peut calculer les intégrales de collision en utilisant la relation (1-39).

Notons qu'il est possible d'obtenir les intégrales de collision à l'aide:

- des tables de Samoilov [30] et [31](potentiel de Morse corrigé)

- des tables de Smith [32]

(potentiel de Morse classique)

- des tables de Klein [33]

(potentiel de Lennard-Iones)

19

- de la formule empirique de Neufeld [34](potentiel (12-6) de Leonard-Jones)

0<1,1) = 2 [A + C + E + Gro •••1'*.B e(D·T ) e(F.T ) e(H·T )

(1-41)

où T* =kT 1E est la température réduite. Les paramètres A, B, C, D, E, F, G, H, R, S, W

et P sont tabulés pour différents couples (.0. ,s) par Neufeld.

ro est défmi par: ro = 21/6 . (J •

- de l'expression donnée par Mason [35] en utilisant le potentiel de Buckingham :

(1-42)

Les quantités Z(.o.,s) sont tabulées par Mason pour a =12, 13, 14 et 15 et pour

T* variant de 0 à 200.

Mexmain [25] et Aubreton [24] donnent plus de détails pour ces derniers cas.

1.4.2.2. Cas des interactions neutre-ion

Ce type d'interaction apparaît lors de la collision entre une particule neutre A avec

un ion de même espèce (A+) ou d'espèce différente (B+). Comme il peut se produire des

transferts de charges affectant profondément les valeurs des sections efficaces, nousdistinguons 2 cas.

a) Collision A-B+

Ce type de collision est considéré comme purement élastique./~'

20

TI Y a naissance d'un dipôle induit de moment (e Cl / r2). L'interaction peut être

caractérisée par le potentiel de Maxwell. Dans ces conditions, Tan [36] propose comme

intégrales de collision:

(1-43)

Les valeurs de A(1)(4) sonttabulées par Kihara et al [26], pour 1 = 1, 2, 3. Cl est

la polarisabilité de l'espèce neutre; r (s + 3/2) est donnée par :

r (3) 1 x 3 x 5 x ... x (2s+1) 1s+- = 'V1t2 25+1

A titre d'exemple A(l)(4) = 0,6547 et A(2)(4) = 0,3852.

(1-44)

b) Collision A-A+

Dans ce deuxième cas, la collision est dominée par des transferts de charges

surtout aux hautes températures.

Pour des sections efficaces de transport Qn(1 ) où 1 est pair, Mason et al [37]

montrent que ce transfert de charges n'intervient pas. La collision est considérée comme

purement élastique (Devoto [38]).

Par contre, pour les valeurs impaires de 1 (collisions de type diffusion), les effets

(prépondérants) des transferts ne peuvent être négligés. Dans"ce cas Mason et al [37]

suggèrent l'approximation suivante:

QOO = 2 Q(foT)n Ir

(1-45)

où Qtr(ToT) est la section efficace totale de transfert de charges.

Les collisions étant gouvernées par des interactions comportant plusieurs courbes

d'énergie potentielle, on peut écrire d'après Capitelli et al [22] :

Q~oT) = L Pn rJ:) /L Pnn n

(1-46)

où Pn est le poids statistique de l'état n.

Qu.(n) représente la section efficace de transfert de charges correspondant à cet nième état.

21

Le calcul de Qtr(n) se fait à l'aide de la relation donnée par Dalgamo [39] :

(1-47)

An et Bn sont des constantes et gAA+ est la vitesse relative des particules A et A+.

Devoto [40] indique une relation donnant directement Qtr(ToT) et obtenue

théoriquement par Dalgamo [39].

Q(I"troT) = 1 (A B ln ( ) )2" - . ~+ (1-48)

Les valeurs de An et Bn de la relation (1-47) sont obtenues à partir de données

expérimentales [40] ou de calculs théoriques [41].

Les intégrales de collision prennent la forme suivante [38] :

-t.s 1 { 2 ( BX)2 Bç B2n·· =- A -ABx+ - +- (Bx-2A)+-

IJ 2 2 41t

+ ~ [B (x + S) -2A ] ln (~H ~ ln (~)r}(

. 2 s+1 )~ _L _1 +ç2

6 n=1 n2

(1-49)

où : x =ln (4 R) ;s+1

ç= L(l...)-yn=1 n

R est la constante des gaz parfaits, M la masse molaire du gaz et y la constante d'Euler.

1.4.2.3. Cas des interactions électron-neutre

Lorsque les sections efficaces de transport sont connues, une intégration numé­

rique de l'équation (1-19) permet la détermination des intégrales de collision pour ce type

d'interaction.

1.4.2.4. Cas des interactions chargé-chargé

Le potentiel d'interaction pour ce type de collision est du type coulombien

classique. On constate une divergence des intégrales de collision, due à la longue portée du

champ coulombien. Cette particularité est résolue par l'introduction d'un paramètre de

coupure ou d'écrantage. La coupure a lieu à la distance de Debye ([42] et [43]) qui

représente la distance au-delà de laquelle l'interaction entre les 2 particules n'a plus d'effet

22

Plusieurs auteurs ont proposé différentes méthodes de calcul des intégrales de

collision en utilisant le potentiel de Coulomb écranté défini par la relation (1-24).

Liboff [44] utilise ce modèle en introduisant toutefois une distance L comprise

entre la valeur moyenne de la plus courte distance d'approche fJ. = Z;~e2 / 2kT et la

longueur de Debye Q..o> (fJ. S L S Â-O>. telle que:

- pour des distances inférieures à L. les interactions sont régies par le potentiel de

Coulomb.

- pour des distances supérieures à L on utilise le potentiel écranté.

A partir des sections efficaces de transport de Liboff. Devoto [38] propose pour

les sections efficaces moyennes les expressions ci-dessous:

Q(l.s) = 4xs (s+l)

(1-50)

s-1où 'V (s) = L (1..-) avec 'V (1) = O. yest la constante d'Euler.

n=1 n

Remarque: bo = fJ. défini ci-dessus.

(1-51)

Les intégrales de collision peuvent être détenninées à partir des tables de Mason et

al [45]. La longueur de Debye est calculée en négligeant l'écrantage provoqué par la présence

des ions. Â-ne = (kT /4xnee2)I/2.

Spitzer et al [46] et Cohen et al [43] proposent les intégrales de collision sous la

forme suivante:

nlL') = a. In ( 2~D1

1.5. Formulation et expressions simplifiées des coefficients de transport

Hirschfelder [17] fannule les vecteurs flux sous la forme d'une somme de termes

proportionnels aux gradients de concentration. de pression. de température. etc...• les

coefficients de proportionnalité étant les coefficients de transport

23

Nous avons comme coefficients :

- les coefficients de diffusion ordinaire et de diffusion thennique pour le flux demasse,

- le coefficient de viscosité pour le tenseur de pression,- le coefficient de conductivité thermique pour le flux de chaleur,- le coefficient de conductivité électrique pour la densité de courant

Dans la pratique, nous serons amenés à utiliser des expressions approchées poureffectuer le calcul de ces coefficients.

1.S.1. Formulation des coefficients de transport

Les vecteurs flux peuvent être exprimés en fonction des coefficients de transport si

on connaît l'expression de la fonction de perturbation ~ i.

1.S.1.1. Le coefficient de conductivité thermique Â.

111r

t1i

1ti1~'

Hirschfelder propose pour le vecteur flux de chaleur :

v v- dT 5 "" =+ "" 1 T-q = - Â.' -. + -2 kT ~ nj Vj - nkT ~ . Dj . dj

de j=l j=l nj mj

=+Vj est la vitesse de diffusion de l'espèce j, définie par :

(1-52)

(1-53)

dj (ou d:) englobe toutes les forces de diffusion dues aux gradients de concentration, de

-pression et aux forces extérieures Fjex.

(1-54)

DjT est le coefficient de diffusion thermique de l'espèce j.

Â.' qui n'est pas le coefficient de conductivité thennique usuel, est déterminé par :

Â.' = - 2... kL nj ( 2kT) If}. ajl (ç)4 j mj

24

-On aboutit au coefficient de conductivité thermique  en exprimant le vecteur q en

terme de vitesse de diffusion et du gradient de température.

[T T]2k ~ n·n· D. D.

 = Â' _ _ ~ 1 J 1 _ J2n ij Dij (1) ni mi nj mj

(1-55)

où Dij(1) est le coefficient de diffusion ordinaire Dij défini à l'ordre 1 pour un mélange

binaire.

Dij dD? (ou DjT) s'expriment en fonction des coefficients d'expansion de Sonine 8ïo (ç) et

CioG,i) (ç).

1.S.1.2. Le coefficient de conductivité électrique

Le plasma étant considéré comme un gaz ionisé, il existe également un phéno­

mène de transport de charges électriques. Si un champ électrique Ë est appliqué, il y a

naissance d'un courant dont la densité i est définie par i = uË. (u représente la conductivité

électrique).

Une étude menée par Devoto [47], dans l'approximation de Chapman-Enskog,

fournit pour u la fonnule suivante :

vu= e

2n L

pkT j=2

vnj mj Zj Dlj - Zj L ni mi Zï Dji

i=l(1-56)

où p est la masse volumique et Zj est le nombre de charge de la particule j.

La mobilité des électrons étant beaucoup plus élevée que celle de particules lourdes

(me / mh « 1), on peut en première approximation négliger la contribution des ions au

courant électrique. On a alors :

~ e2 n ~v ~ nj mj Zj Dlj

pkT j=2

L'indice 1 est relatif aux électrons.

25

(1-57)

1.5.1.3. Le coefficient de viscosité

En exprimant le flux de la quantité de mouvement (ou tenseur pression) en tenne

de fonction de perturbation, Hirschfelder [17] écrit :

-P=pU- 2 11S

où : p est défIni par la relation (1-7)

P = n kT est la pression d'équilibre

S aV: 1 d fi de·saill= - ..- est e tenseur es orees Cl ementar

U est le tenseur unité

11 est le coefficient de viscosité qui s'exprime en fonction des coefficients d'expansion

bjo (l;) de Sonine par :

11 (l;) = ~ kT~ nj bjo (l;)J

(1-58)

1.5.2. Expressions simplifiées des coefficients de transport

li apparaît clairement que les valeurs des coefficients de transport vont dépendre

du nombre de termes retenus dans le développement en polynômes de Sonine.

Devoto [47] a développé des expressions théoriques exactes qui permettent de

calculer les coefficients de transport des mélanges gazeux à v composants jusqu'à l'approxi­

mation d'ordre 4 à l'exception de la viscosité. Pour cette dernière, il utilise l'approximation

d'ordre 2. Cependant les calculs deviennent très compliqués pour des gaz constitués de

nombreuses particules (notre cas) dès l'approximation d'ordre 3.

Le même auteur [48] montre qu'on peut apporter des simplifications aux

expressions des coefficients de transport d'un mélange à v composants dont une des espèces

chimiques a une masse très faible par rapport à la masse des autres espèces. Un gaz ionisé

contient des électrons qui ont des masses beaucoup plus faibles que celles des autres

constituants. Lors d'une collision binaire, électron-particule lourde, seules la quantité de

mouvement et la vitesse des particules lourdes sont inchangées. On admet aussi que la

variation de la fonction de perturbation «Pi des espèces lourdes est faible comparée à celle des

électrons.

26

Dans ces conditions les propriétés de transport des électrons et des particuleslourdes peuvent alors être traitées indépendamment et définies avec de bonnesapproximations au moyen d'expressions qui vont être présentées ci-après.

1.5.2.1. Le coefficient de conductivité tbermique

Meador et Staton [49] proJX>sent d'écrire le vecteur flux de chaleur défini par larelation (1-52) sous la forme:

- dT ( )aTq =-Âtot • a; = - Âtr + Âmt + ÂR a; (1-59)

où Âtot ' Âtr ,Âint et ÂR sont respectivement les coefficients de conductivité thermique

totale, de translation, interne et de réaction. Cette formulation est basée sur le fait qu'unemodification de température induit dans le gaz :

- une modification de l'énergie cinétique (terme de translation: Âtr )

- une modification de la composition chimique par déplacement des équilibres

d'ionisation et de dissociation (terme de réaction: ÂR )

- une modification de l'énergie interne de chaque composant (terme interne: Â.ïnt).

Elle est due à l'existence de degrés internes de liberté de vibration et de rotationdes particules présentes dans le gaz.

La détermination de la conductivité thermique Âtot se ramène donc au calcul des

trois composantes Âtr ' Âint et ÂR .

a) Conductivité thermique de translation

En séparant la contribution des électrons (Âtre) et des particules lourdes (Âtrh)

Devoto [48] écrit :

(1-60)

• expression de Âtl

La contribution Âtre à la conductivité thermique totale n'est pas entièrement

indépendante des propriétés des particules lourdes. En utilisant l'approximation d'ordre trois

(~= 3) dans la méthode de Chapman-Enskog; Devoto [48] écrit:

27

'\ e = 75 2 k ( 21tkT ) 1(1. 1Atr 8 ne . Ille ------

qll _(q12) 2/q22

où Ille et ne sont respectivement la masse et la densité numérique des électrons.

qll =8 ff.n; <f.2) + 8~ ne nj[~ ~~.1) _ 15 ~~.2) + 12 ~}.3)]J

q12 =8 ff n2[7 r/.2.2) _2 r/.2.3)] + 8~ . [175 r/.~.l) _315 r/.~.2). e 4 "lee "lee ~ ne nJ 16 "leJ 8 "leJ

J

+ 57 <l~.3) - 30 ~~.4) ]

(1-{)1)

(1-62)

(1-63)

q22 =8 ff.n; [~~ <f'2) - 7 <f.3) + 5 <f.4) ] + 8~ ne nj [1~5 ~~.1)J

_735 ~~.2) + 399 ~~.3) _ 210 ~~.4) + 90 ~~.5) ] (1-64)8 ~ 2 ~ ~ J

La sommation porte sur toutes les particules lourdes G=2 à v).

• expression de Â.trh

Elle est complètement indépendante des propriétés des électrons. En effet les

collisions électrons-particules lourdes ne sont pas prises en compte dans l'évaluation de Â.trh

proposée par Muckenfuss et Curtiss [50]. Ces auteurs ont établi une expression simplifiée

pour l'approximation d'ordre 2 pour un mélange de gaz àv constituants:

Ln

Â.h

=4tr

LvIXl

(1-65)

LvI

où Xi est la fraction molaire de la particule i. Les 4j sont fonction des intégrales de collision

~j1,s, des masse molaires Mi et de la composition Xi'

(1-66)

28

Lü = - 4 x~ _i [ 2.Xi.Xk

Âü k=2 Âik.(Mi + Mj) 2.A~

(ki!i)

(1-67)

Les termes A*ij et B*ij sont fonction des intégrales de collision ~jl,s [17].

• -=<2,2) -=11.1)Aij = nij 1nij (1~8)

(1~9)

(1-70)(i =j, pour Âü)2:lij . Po

•A..TIJ

Âü est la conductivité thermique d'un gaz pur et Âij celle d'un mélange binaire de gaz donnée

par Hirschfelder [17].

25Âij =-

8

(1-71)

où : Po est la pression, T est la température

2:lij est le coefficient de diffusion binaire (ou mutuelle) donnée par la relation [17] :

( )

1123 (k T) 3f}. Mi + M·2:1 .. - J

IJ - 16{; . P .~;.l) . 2 Mi.Mj

a) Conductivité thermique de réaction

Du fait de l'existence de réactions chimiques dans les plasmas (dissociations,

ionisations et leurs réactions inverses: associations et recombinaisons) le transfert d'énergie

peut s'effectuer sous la forme d'enthalpie chimique. La conductivité thermique de réaction

rend compte des processus non élastiques.

Dans un mélange de gaz comportant V espèces chimiques (Xk, k = 1 à v) où il se

produit J.l réactions chimiques, on peut écrire :

vL ait Xk = 0, avec: i =1 à J.l

k=1

ilïk est le coefficient stœchiométrique pour l'espèce Xk lors de la ième réaction.

29

La conductivité thermique de réaction de ce mélange de gaz est calculée au moyen

de la théorie de Butler et Brokaw [51].

(1-72)

où AHi représente la variation d'enthalpie due à la ième réaction chimique. R est la constante

des gaz parfaits.

Meador et Staton [49] montrent que cette expression (1-72) peut être étendue au

cas des gaz partiellement ionisés. Les variations d'enthalpie sont alors dues à des

dissociations (AHd) et à des ionisations (AHi)' Elles sont calculées de la manière suivante:

* réactions de dissociation

A2 ~ 2 A ou AB -+ A + B

~ = Ed+RT [2 C;(A)-C;(A2)]. . . ]ou~ = Ed+RT Cp (A) +Cp(B) - Cp (AB)

où Ed est l'énergie de dissociation.

* réactions d'ionisation

A ~ A+ + e-

MIi = Ei + RT [C; (A+) - C; (A) ] + ; RT

~ est l'énergie d'ionisation.

(1-73)

(1-74)

Dans les relations (1-73) et (1-74) les Cp*(i) (i =A, AB, A+, B) représentent la

dérivée première de la fonction de partition interne de l'espèce i.

Les termes ~j de l'expression (1-72) sont défmis par :

(1-75)

où i, j = 1 à Il ; P est la pression. !lij est défIni par la relation (1-71).

30

c) Conduetiyité thermigue interne

Elle exprime le transfert de l'énergie dû à des mouvements internes (rotation etvibration) dans le molécules. Par extension de la théorie d'Euken fonnulée pour un gaz pur,Yun et al [52] proposent comme expression analytique:

V

Âint = Li=1 v

1+ L 2:lü • .5-. 1 2:1.. XiJ= IJ

j~

(1-76)

avec (Âint>i étant la conductivité thennique interne du ième composant défini par :

( ) P2:lü ( 5)Âint i = RT Cpi - 2"" R (1-77)

où Cpi est la chaleur massique à pression constante de la ième particule,

Cpi = :r [~ RT + RT2 :r ln (Qinth] (1-78)

où (Qint>i est la fonction de partition interne de la particule i.

1.5.2.2. Le coefficient de conductivité électrique

(1-79)

/

qOO

qOl

q02

3 2 2 ( 2x )1/2a ="2 e ne

mekT

Devoto [48] a développé une expression théorique simplifiée pour le calcul de laconductivité électrique d'un gaz partiellement ionisé. En négligeant la contribution des ions ilobtient à la troisième approximation:

qll q12

ne est la densité numérique des électrons et IDe leur masse. Les quantités qIl, q12 et q22

sont définies par les relations (1-62), (1-63) et (1-64).

qOO = 8 Ile L nj ët1..1)• .j

J

q01 = 8 Ile~ nj [~ Cie~jl) - 3 Cie~2) ]J

(1-80)

(1-81)

31

q02 = 8Ile~ nj [ 3: ft.Jl) _2; ft.~2) + 6ft.~3) ]J

avec j =2 àv.

1.5.2.3. Le coefficient de viscosité

(1-82)

Le coefficient de viscosité caractérise le transport de la quantité de mouvementdans le gaz. Il est indépendant des propriétés des électrons en raison de leur faible masse parrapport à celle des particules lourdes. Une très bonne approximation [17] de ce coefficientest obtenue au moyen d'une expression simple établie par Buddengerg et Wilke [53] :

vTl = L

i=2

2x·1

2 Vx· ~ RT_1 + 1,385 ~ Xi.Xj _

Tli j=2 P.Mi .!lij

(1-83)

où ffiï et Xi sont respectivement la masse et la fraction molaire de l'espèce i.

Tli est le coefficient de viscosité d'un gaz pur défini par Hirschfelder [17] :

5 (Mi kT)1/2Tli = (1-84)

1&fiï (f?..2)1,1

1.6. Fonctions thermodynamiques

Pour déterminer certaines propriétés de transport du plasma, il est nécessaire d'enconnaître les propriétés ou fonctions thermodynamiques, telles que la chaleur massique àpression constante (Cp) et la dérivée première de la fonction de partition interne.

En outre, la connaissance de l'enthalpie massique (h), de la masse volumique (p)

et de la vitesse du son dans le plasma (a), pennet de calculer des paramètres fondamentauxpour la modélisation des plasmas d'arc. Certains de ces paramètres sont: la densité d'énergie

(p.h) et le flux de puissance (p.h.a). Ils peuvent être utilisés pour comparer les

performances d'extinction de l'arc pour les isolants étudiés.

1.6.1. Masse volumique

La masse volumique p est donnée par la relation suivante :

(1-85)

32

(1-96)

où nj et D1j sont respectivement la densité numérique et la masse de la particule j.

Pour nos calculs, nous avons utilisé la formulation de Kovitya [14] :

MPp = R T (1-86)

où P est la pression.M est la masse 1OO1aire moyenne du plasma donnée par la relation ci-dessous:

vM = L Xj Mj

j=1

Dans cette relation Xj est la fraction molaire de l'espèce j et Mj est sa masse molaire.n·

Xj est détenninée par: Xj = __J - (1-87)vL njj=1

1.6.2. Enthalpie massique

Les évolutions des processus thenniques existant dans les plasmas, peuvent êtreexprimées du point de vue thennodynamique à l'aide de quantités d'énergie (par exemplel'enthalpie).

Raffanel [54] écrit:

où (J.1i - L\Jl.i) est la différence d'énergie entre le niveau fondamental de chaque espèce i et un

niveau de référence commun. Le choix du niveau de référence commun est justifié dans lechapitre 2.

Capitelli et al [55] expriment l'enthalpie massique h sous la fonne:

v [( ) ]h = kT L ni éHn (Q~ + EiP i=1 aln (T) P,DI

avec Qi étant la fonction de partition totale de la particule i.

33

(1-89)

Comme les deux relations (1-88) et (1-89) sont égales, on en déduit que:

f (d ln (Q ~ 1 = (~ + T d ln (Qint~1dln (T) Capitelli 2 dT Raffanel

\ HC.~lli = (~ - ,\~ )Roff~1

1.6.3. Chaleur massique à pression constante.

Capitelli et al signalent qu'il n'existe aucune expression analytique pennettant le

calcul de la chaleur massique à pression constante Cp. Toutefois, on peut déterminer une

chaleur massique moyenne par dérivation numérique de l'enthalpie massique h :

hT+~T - hTCp =----

~T

(1-90)

où ~T =100K est l'incrément de température utilisé par Capitelli et al.

1.6.4. Vitesse du son dans le plasma

C'est la vitesse à laquelle se propagent des petites perturbations (ondes ou plus

précisément des gradients de température et de vitesse) dans un fluide compressible. Elle est

définie par :

a2 = (dP )dp s

où S est l'entropie du système.

Hansen [56] montre que:

1+(~){~)p="( (T)(dZ)1+ Z dT p

(1-91)

(1-92)

où "( =CplCv est le rapport des chaleurs massiques à pression constante (Cp) et à volume

constante (Cy). Z est la compressibilité du milieu.

34

(1-94)

Hansen [56] fait remarquer que le second terme du membre de droite de l'équation(1-92) est en général proche de l'unité, d'où:

a2 = "( P (cas des gaz parfaits) (1-93)P

Pour déterminer Cy, nous utilisons une expression proposée par Drellishak et al [57] :

Cv _ Cp ( Zr + Zr )2

R-R- (u~)Zr+ZT 1- -h-

où Zr est le facteur de compressibilité défini par la relation: Zr = _P- ,pRT

z-( oZr)rr - oln(T) p'

~ = (~~~~ 1Test un terme introduit par Drellishak et al, en utilisant

une transfonnation jacobienne des coordonnées thermodynamiques;

la pression et la température ont été choisies conune variables indépendantes.

~ est une fonction linéaire pour toute température et pour toute pression,

U est l'énergie interne massique donnée par :

U = h-PV =h-kTI, (~)j=1 P

Dans cette dernière relation, Vest le volume massique.

Remarque:

La compressibilité Z et le facteur de compressibilité sont liés par la relation:

Z=MoZroù Mo est la masse molaire initiale du plasma non dissocié.

La détermination des coefficients de transport et des fonctions thermodynamiquesnécessite la connaissance de la composition d'équilibre du milieu.

1.7. Composition d'équilibre

Les densités numériques des particules contenues dans les plasmas sontdétenninées à partir des lois fondamentales de la thennodynamique, lesquelles nécessitent en

35

règle générale l'équilibre thermodynamique (E.T). Cette hypothèse de l'E.T n'est pas

remplie par les plasmas d'arc électrique qui sont caractérisés par des gradients de

température, de concentration et de champ électrique E, notamment au voisinage de la paroi.

Cependant, l'introduction de la notion d'équilibre thennodynamique local (E.T.L)

pennet l'utilisation des lois de la thennodynamique.

Divers auteurs ont étudié les critères d'existence de l'E.T.L :

- Cheminat [58] montre que l'E.T.L peut être admis en première approximation à

partir de considérations générales (plasma argon - cuivre),

- Drellishak et al [57] supposent que dans le cas général, un plasma est en

équilibre thennodynamique quand les champs externes (E) appliqués sont faibles, et les

pressions supérieures à 0.04 105 Pa.

- Compton [59] suggère la condition E/P < c, où c est une constante dépendant du

gaz, E le champ électrique local et P la pression,

-Griem [60] en se basant sur la densité électronique d'un plasma d'argon pur,

propose pour l'E.T.L le critère suivant: Ile ~ 2.1023 électrons par m3.

Le calcul de la composition d'équilibre est fait à partir d'un système d'équations,

dont le nombre est détenniné par le nombre de particules prises en compte dans le plasma.

Certaines de ces équations nécessitent la connaissance des fonctions de partition internes des

différentes particules.

1.7.1. modèle de calcul de la composition d'équilibre

Dans la gamme de température considérée, les espèces présentes dans le plasma

sont les électrons, les atomes et les molécules diatomiques ainsi que leurs ions respectifs.

Les densités numériques sont parfaitement détenninées à l'aide d'un système

d'équations fonné à partir :

- de la loi des gaz parfaits,

- de la loi de neutralité électrique,

- des lois de Saha-Eggen,

- des équations de Guldberg et Waage,

- des proportions des espèces en présence.

1.7.1.1. Loi des gaz parfaits ou loi de Dalton

Elle suppose que le plasma dans son ensemble ainsi que chacun de ses

constituants, se comportent en gaz parfait.

36

On écrit donc:

vP = k T L ni (1-95)

i=loù P est la pression totale, ni la densité numérique de l'espèce i, k la constante de Boltzmann

et v est le nombre de particules.

1.7.1.2. Loi de neutralité électrique

Elle traduit le fait que le plasma est électriquement neutre localement à l'échelle

macroscopique:

vIle - L Zi ni,:z; = 0

i=l(1-96)

où ni,:z; est la densité numérique des particules lourdes i de charge Zi.e,

ne celle des électrons.

1.7.1.3. Lois de Saha-Eggert

Elles régissent l'équilibre entre le nombre d'atomes, d'ions et d'électrons par unité

de volume. Pour une réaction du type A~ A++ e-, la loi de Saha-Eggert s'écrit:

(1-97)

où ll1e est la masse de l'électron. nA+ et nA sont respectivement les densités numériques des

particules A+ et A. (Qint)A+ est la fonction de partition interne de l'espèce A+ et (QinVA

celle de la particule A. EA est l'énergie d'ionisation de A. ~EA est l'abaissement de l'énergie

d'ionisation dû à un phénomène de polarisation du plasma au niveau microscopique. Il

dépend de la charge et des densités numériques des particules chargées, ainsi que de la

température du plasma. SA est appelée constante d'équilibre d'ionisation. L'espèce A peut

être soit une particule neutre, soit une particule chargée.

Capitelli et al [55] proposent pour l'abaissement du potentiel d'ionisation

l'expression suivante:

(1-98)

La sommation porte sur toutes les particules lourdes chargées. Z:i est le nombre de chargesde l'espècej.

37

1.7.1.4. Equations de Guldberg-Waage

Elles traduisent les équilibres dissociation - recombinaison existant dans le plasma.

Pour une réaction du type XY -+ X + Y (X peut être égal à Y), elle s'écrit:

( )

3/2Kxy = nx ny = 2ll k T mx my (Qint)x (Qint)y e (_~)

IlXY h2 lI1XY (Qint)xv xP kT(1-99)

où nX' mX' (Qint)X sont respectivement la densité numérique, la masse et la fonction de

partition interne de l'espèce X. Ed est l'énergie de dissociation de la particule XY. Kxyest

appelée constante d'équilibre de dissociation.

1.7.1.5. Equations de proportions

Elles expriment la teneur en éléments de base du plasma. Ces éléments de basesont les atomes neutres (C, H, 0 et N) contenus dans la fonnule chimique du gaz ou du

corps donnant naissance au plasma.

1.7.2. Fonctions de partition internes des particules

Elles sont indispensables au calcul de la composition d'équilibre, des coefficients

de transport et des fonctions thennodynamiques du plasma. Elles peuvent être déterminées

soit à partir de la littérature (par lissage numérique de valeurs tabulées), soit à l'aide des

fonnules que nous exposons ci-dessous.

1.7.2.1. Fonctions de partition internes des espèces monoatomiques

L'expression générale de la fonction de partition interne des espèces

monoatomiques est:

Qint (T) =l ~ exp (- ~) (1-100)n

La sommation porte sur tous les niveaux d'énergie En de poids statistique gn.

Pour éviter une divergence de cette sommation, on se limite à En < ~ - ~~ ;~

étant l'énergie d'ionisation de la particule.

Ces fonctions de partition internes sont généralement connues et tabulées en

fonction de la température et de l'abaissement de l'énergie d'ionisation ~~.

38

1.7.2.2. Fonctions de partition internes des espèces diatomiques

Elles peuvent être déterminées àpartir de la fonnule proposée par Herzberg [61] :

(1-101)

(1-102)

où Qn est la fonction de partition pour l'état électronique n de la molécule défmie par :

gn exp(-~]

où gn' En, ~n' COn sont respectivement le poids statistique, l'énergie, la constante de rotation

et la constante de vibration de l'état n de la molécule.

(J est un facteur de symétrie «(J = 1 pour les molécules hétéronucléaires et (J = 2 pour les

homonucléaires). h est la constante de Planck et c la célérité de la lumière.

Les grandeurs En, ~n' Oln sont définies par:

COn =Ole - Xe Ole

l3n = ~e - ne2

~ =T. +î( Ole - ~ Ole Xe]

(1-103)

Ole' OleXe' ~e' (Xe sont des constantes, fonction de l'état de vibration et de rotation pour un

état donné dans l'approximation de l'oscillateur hannonique et du "rotateur rigide" [61].

Te est l'énergie électronique de l'état considéré. Ces constantes sont en général connues et

tabulées.

Les valeurs de Te, Ole' ~e' OleXe et (Xe pour chaque état électronique n de certaines

molécules diatomiques sont données par Herzberg.

Pour d'autres particules diatomiques, les valeurs des différentes constantes sont

consignées dans les tables de lanaf [62].

Il est important de noter que nmax est choisi comme étant l'état électronique

d'énergie Enmax inférieure à l'énergie de dissociation de la molécule considérée.

39

1.7.2.3. Fonction de partition interne des électrons

Elle est définie par : Qmt (T) = 2

1.8. Conclusion

Nous disposons maintenant des équations et des fOImules nécessaires au calcul

des coefficients de transport et des fonctions theImodynamiques.

La détennination des coefficients de transport nécessite la connaissance des

intégrales de collision entre les particules présentes dans le plasma.

Les fonctions thennodynamiques sont extrêmement dépendantes des fonctions de

partition internes (par leur dérivée première).

Tous ces calculs ne peuvent être effectués qu'une fois la composition d'équilibre

du milieu déterminée.

Dans le chapitre suivant, nous effectuons le calcul de la composition d'équilibre,

des propriétés de transport et des propriétés thermodynamiques des plasmas du type

CxHyOzNt

C, H, 0 et N représentent respectivement les atomes de carbone, d'hydrogène,

d'oxygène et d'azote. x, y, z et t sont des variables. Le choix de ce type de plasma est

justifié dans le même chapitre.

40

CHAPITRE 2 : APPLICATION AUX PLASMAS CxHyOzN t

Les mesures expérimentales de certaines caractéristiques de l'arc laminé, telles que

le champ électrique ont montré que le gaz plasmagène est essentiellement constitué de

vapeurs d'isolant provenant de la vaporisation des parois constituant la chambre de coupure.

Il apparaît donc que la nature du matériau des parois est un paramètre

caractéristique très important à prendre en considération.

La grande majorité des échantillons étudiés, sont des polymères contenant des

atomes de carbone (C), d'hydrogène (H), d'oxygène (0) et d'azote (N). Nous considérons

de plus que les vapeurs métalliques issues de la vaporisation du fil fusible, sont très

rapidement expulsées et remplacées par les vapeurs d'isolant.

Cette approximation permet dans un premier temps de limiter notre étude aux

plasmas du type CxHyOzNt.

L'objectif de ce chapitre est d'appliquer les formules précédemment établies, pour

déterminer la composition d'équilibre, les propriétés de transport et les fonctions

thermodynamiques des plasmas considérés.

Les résultats obtenus seront présentés, discutés et comparés à ceux trouvés par

d'autres auteurs pour certains plasmas dans le chapitre 3.

La détermination des différentes propriétés, permet de prévoir l'influence des

éléments de base (atomes C, H, 0 et N) sur les performances d'extinction de l'arc. Elle

constitue une base de données pour une modélisation des plasmas d'arcs électriques laminés.

Tous les calculs sont faits, pour des températures comprises entre SOOO K et

ooסס3 K, et pour des pressions allant de 1.0 lOS Pa à 10.0 lOS Pa, couvrant largement le

domaine expérimental.

2.1. Calcul de la composition d'équilibre

La connaissance de la composition d'équilibre du plasma, est indispensable au

calcul des coefficients de transport et des fonctions thermodynamiques. En outre, elle

indique l'importance relative de la population des différentes espèces chimiques en présence,

41

et leur évolution en fonction de la température.

Etant donné la gamme de température considérée, les particules prises en compte

sont :

- les électrons

- les carbonées pures

- les hydrogénées pures

- les oxygénées pures

- les azotées pures

- les hétérogènes

: C, C+, C++, C2' C2+

: H, H+, H2' H2+

: 0,0+, 0++, 02, 02+

: N, N+, N++, N2' N2+

: CH, CO, CN, OH, HN, NO,

CH+, CO+, CN+, OH+, HN+, NO+.

Pour simplifier la notation dans les formules, nous considérons que la densité

numérique de la particule i est aussi notée i sauf pour les électrons (notée nJ. Par exemple,

C représente la densité numérique des atomes de carbone C.

2.1.1. Equations du modèle

Le nombre total de particules prises en compte est de trente deux. TI nous faut

donc constituer un système comportant autant d'équations.

2.1.1.1. Loi des gaz parfaits

Elle nous fournit la première équation:

P=nkT (2-1)

où n est la densité numérique totale des particules présentes dans le plasma et k la constante

de Boltzmann.

Dans notre cas, on a :

n =ne + C + C+ + C++ + C2 + C2+ + H + H+ + H2 + H2+ + 0 + 0+

+ 0+++ 02 + 02+ + N + N+ + N++ + N2 + N2+ + CH + CO + CN

+ OH+HN +NO+ CH+ +CO+ + CN+ +OH+ + HN+ +NO+ (2-2)

avec De étant la densité numérique des électrons.

42

2.1.1.2. Loi de neutralité électrique

La relation (1-96) devient:

ne = C+ + 2c++ + C2+ + H+ + H2+ + 0+ + 20++ + 02+ + N+

+ 2N++ + N2+ + 01+ + CO+ + CW + OH+ + HW + NO+ (2-3)

2.1.1.3. Lois de Saha-Egert

Elles définissent 17 constantes d'équilibre correspondant à 17 réactions

d'ionisation (cf tableau 2-1). Par conséquent, la relation (1-97) appliquée aux 17 réactions

d'ionisation donne 17 équations.

Les valeurs des énergies d'ionisation nécessaires au calcul des constantes

d'équilibre Si (i = 1 à 17), ainsi que les références bibliographiques sont données dans le

tableau 2-2.

2.1.1.4. Equations de Gulberg-Waage

La relation (1-99) écrite pour la dissociation des molécules diatomiques C2' H2'Û2, N2' 01, CO, CN, OH, HN et NO, pennet d'établir dix équations relatives à l'équilibre

chimique du plasma.

Le tableau 2-3 résume les différentes réactions de dissociation, les constantes

d'équilibre Ki (i = 1 à 10), ainsi que les valeurs des énergies de dissociation

correspondantes.

2.1.1.5. Equations de proportions

Les équations thennodynamiques établies ci-dessus, nous fournissent un système

de 29 équations à 32 inconnues.

A ce système, il faut ajouter des équations supplémentaires définissant les

proportions en atomes de carbone, d'hydrogène, d'oxygène et d'azote.

Dans le cas où les variables x, y, z et t sont toutes non nulles, on peut écrire

3 équations de proportions indépendantes;

43

O+~O+++ e-

4

9

3

6

7

~ C =·e-·····s·:~~··:····~2·:~·+··e-·:1:~~~······1

2 H ----..H+ + e- S2= n~ ft 11 OI----..CH++ e- SII= n~~H+ 1

+ :~

12 CO ~CO++ e- S12= fi ~~O :~

8

H 13.595 [63] CH 11.130t 0.22 [64]

o 13.617 [63] CO 14.013 [64]

N 14.548 [63] CN 14.300tO.1O [64]

1·:::f-----+-------+-----__ll----..;;~_+_---__l-----_I

15.427

44

yx

soit:

2C2 + 2c; +C+ C++C*+CH +CO+CN +CH++CO++ CN+- =

2H2 + 2H; +H +H++CH+ OH+HN +CH++ OH++ HN+(2-4)

y- =z

z- =t

2H2 + 2H; + H + H+ + CH + OH + HN + CH+ + OH+ + HN+ ­

202 + 20; + 0 + 0+ + 0++ + CO + OH+ NO + CO+ + OH+ + NO+

2Û2 + 20; + 0 + 0+ + 0++ + CO + OH + NO + CO+ + OH+ + NO+

2N2 + 2N; +N + N++ N+++CN +HN + NO + CN++ HN+ + NO+

(2-5)

(2-6)

On obtient donc un système de 32 équations à 32 inconnues.

Si nous considérons le cas où une (ou plusieurs) des variables x, y, z et t est (ou

sont) nulle(s), on remarque que certaines particules disparaissent. Il en résulte que certaines

équations du système sont non définies. Il faut alors adapter le système d'équations au

nombre de particules restantes.

Pour permettre cette adaptation, nous faisons appel aux équations suivantes:

X 2C2 + 2C; + C + C+ + C++ + CH + CO + CN + CH+ + CO+ + CN+(2-7)- =

t 2N2 + 2~ + N +N+ +N++ + CN + HN +NO +CN+ +HN+ +NO+

y 2H2 + 2H; +H +H+ +CH +OH + HN +CH+ +OH+ + HN+(2-8)- =

t 2N2 + 2N; + N + N+ + N++ + CN + HN + NO + CN+ + HN+ + NO+

x 2C2 + 2c; + C + C+ + C++ + CH + CO + CN + CH+ + CO+ + CN+(2-9)- =z +

2Û2 + 20; + 0 + 0+ + 0++ + CO + OH + NO + CO+ + OH+ + NO

Par la suite, ces équations sont appelées "équations complémentaires".

La détermination des équations défmies, parmi les équations (2-4) à (2-9), est

indiquée dans la méthode de résolution du système.

La détermination des constantes d'équilibre Si (i = 1 à 17) et Kj (j = 1 à 10)

définies dans les tableaux 2-2 et 2-3, nécessite la connaissance des fonctions de partition

internes des espèces chimiques présentes dans le plasma.

45

Les tables de Drawin et Felenbock [67] permettent d'obtenir les fonctions de

partition internes des espèces C, C+ et C++.

2.1.2.2. Espèces diatomiques

Nous avons utilisé les valeurs tabulées par Capitelli et al [55], [66], pour les

p3!ticules suivantes: H2' H2+,02,02+, N2 et N2+.

Pour les autres particules diatomiques, à savoir C2' CH, CO , CN, OH, RN, NO,

CH+, CO+, CN+, OH+ ,HN+ et NO+, le calcul de la fonction de partition est faite à

l'aide des formules (1-101) et (1-102).

Les valeurs des quantités COn, ~n et En sont données par Janaf [62], pour les

particules C2' CH, CN, OH, HN, NO, CN+, OH+ et NO+. Les constantes proposées par

Rosen [68], sont utilisées pour les espèces CO, œ+ et CO+.

Nous ne disposons pas de données pour les ions moléculaires C2+ et HN+. Les

fonctions de partition internes de ces deux particules, ne peuvent être déterminées. De ce fait,

les densités numériques de ces particules sont prises égales à zéro, quelles que soient la

température et la pression.

Une autre méthode consisterait à ignorer ces deux particules lors du décompte des

espèces presentes dans le plasma. Mais dans ce cas, le système formé ne présente plus

l'avantage d'être facilement adaptable à des plasmas ayant d'autres éléments de base. Les

équations du système doivent être reconsidérées.

Dans la configuration adoptée, le système d'équations reste toujours valide; les

changements ne concernent que les données indispensables aux différents calculs.

Remarque:

Le calcul des fonctions de partition est fait en considérant qu'elles sont

indépendantes de la pression. n faut toutefois signaler que le processus itératif utilisé par

Raffanel [54], conduit à des fonctions de partition des particules °et N qui dépendent de la

pression, pour des températures supérieures à 17000 K.

Les résultats expérimentaux que nous avons obtenus, montrent que la pression est

comprise entre 0 et 10.0 105 Pa. On peut, par conséquent, admettre que la pression a très

peu d'influence sur les valeurs des fonctions de partition internes.

47

2.1.3. Méthode de résolution du système

Le système d'équations retenu est un système non linéaire.Pour former ce système de trente deux équations à trente deux inconnues, nous

avons considéré dans un premier temps, que tous les paramètres x, y, z et t sont non nuls.

En utilisant les relations définissant les constantes d'équilibre d'ionisationSi (i =1 à 17) et de dissociation Ki (i =1 à 10), on peut ,par substitution, réduire le systèmeà un système non linéaire de cinq équations à cinq inconnues. Les cinq inconnues sont lesdensités numériques des électrons (ne)' des atomes de carbone (C), d'hydrogène (H),

d'oxygène (0) et d'azote (N).

C SI ( ss) H S2 0 S3 ( S6) N S4 ( 51)-1+-- 1+2-+--+-- 1+2-+-- 1+2-Ile Ile Ile Ile Ile Ile Ile Ile Ile Ile Ile

PIC HON CC HH 002- - - +- + - + - + - +- -- +- -- + ---kT Ile Ile Ile Ile Ile Ile KI Ile K2 Ile K3

NN CH CO CN HO HN+- -- +- -- + - -- + - -- +- -- + ---Ile K4 Ile Ks ne K6 Ile K7 ne Kg ne K9

o N+---Ile KlO

C SI Ss 0 S3 S6 N S4 S7---- -------- =0

Ile Ile Ile Ile Ile Ile Ile Ile Ile(2-11)

C C (SI6) H H ( sg) C ( SI SI ss)2y - - 1+- -2x- - 1+- +y - 1+-+--Ile KI Ile Ile K2 Ile Ile ne Ile Ile

H (S2] C H (su) C 0 ( S12]-x - 1+- +(y-x) --- 1+- +y --- 1+-Ile Ile Ile Ks ~ Ile K6 Ile

C N ( SIS) H 0 ( S14] H N ( S17)+y-- 1+--x-- 1+--x--- 1+-=0Ile K7 Ile Ile Kg Ile Ile ~ Ile

48

(2-12)

H H (S8) 0 0 ( S9) 0 ( S3 S3 S6)2z-- 1+--2y--- 1+--y- 1+-+--Ile K 2 Ile Ile K3 Ile Ile Ile Ile Ile

H ( S2) C H (su) H 0 ( S14)+z - 1+- +z - -- 1+- +(z-y) - -- 1+-Ile Ile Ile K 5 Ile Ile Kg Ile

_y~~(I+S12)+Z H !i-(I+S17

)_y 0 ~(I+S15)=0 (2-13)Ile K6 Ile Ile K9 Ile Ile KI 0 Ile

o 0 (~) N N ( SIO) 0 ( S3 S3~)2t - -- 1+- -2z- -- 1+- +t - 1+-+--Ile K3 Ile Ile K4 Ile Ile Ile Ile Ile

N ( S4 S4 S7) C 0 (SI2) 0 N ( SIS)-z- 1+-+--+t-- 1+-+(t-z)--- 1+-Ile Ile Ile Ile Ile K 6 Ile Ile K 10 Ile

-z C !i-(I+S13

)+t H Q(I+S14

)_Z H !i..(I+ S17 ) =0 (2-14)Ile K7 Ile Ile K 8 Ile Ile ~ Ile

où Pest la pression, T la température et k la constante de Boltzmann.

Les équations (2-10) à (2-14) peuvent être écrites sous la forme suivante :

fi ( ne' C, H, 0, N, x, y, z, t, Si' Kj) =0 (2-15)

avec i = 1à 5 (équations) ; 1 =1 à 17 (ionisations) ; j = 1 à 10 (dissociations).

La résolution du système est alors effectuée à l'aide d'une méthode itérative(Méthode de Newton-Raphson [69] ), basée sur la linéarisation du système non linéaire. Onobtient alors les densités numériques ne' C, H, 0 et N, et par suite les concentrations desautres particules.

Les différentes phases de calcul de la composition d'équilibre, peuvent êtrerésumées par les organigrammes des figures (2-1) et (2-2).

49

Lecture des données initialesNeo , Co , Ho , 00 , No ,Pt, lm, e, x, y, Z, t

P=PnT=5000

oui

1

1COMP05 : sous programme

Ttampon : mémoire tampon

e : précision des calculs;::>~

d'°té ° tfilm : nombre 1 ranons k>~omal ;;;:;:';:::tnaX1 ~.::;'X

~l1!NT : compteur d'itérations :1

. . ~iPn : preSSIOn atmosphénque 1ft

normale ,W> •

Pt : pression de travail

Sauvegarde etVisualisationdes Résultats

COMP05

oui

oui

50

*DP5

~il

1:::::::

~l~

il~:::"::::

1~1*pARTI5 :pennet le calcul des Ilii

fonctions de partition m~

~~~;t:~~; et Si 1::::~~

*SYLEQ5 : sous programme de @:.,~.

résolution du système M

:::::grammede 1calcul des dérivées ::::~.

partielles i*REDET : sous programme de if

~=~o(;;~ent lîi1111

m::11~:m::::::::

~::11:

~rf~~~i~

~~J

jjjMft~l~

~l~

Ne =Ne+dNeC =C +dCH =H +dHo =0 +dON =N +dN

FIN COMP05

Calcul des fonctionsft, 12, f3, f4, f5

Calcul des densitésnumériques des

différentes particules

Choix des équationsdu sytème en fonctionde x, y ,z et t

w····················································· .

~~~~~~

~~f:;

~1~~~1

~~ffi~~~~~~~~

Iltll

~~~~~~

1111'1

~~~~~

t1~

Ill!i'* ~~==~;;;;;;;;;:;;;;;;;;~==~~~~~~~rnm

~ :.. :;I«I.ltl[::.:.~~:~~:~:~:~:~~~~~~~:~~·.:~~~~·::~~~~~:~~~~~::::]rillilr.II"~;~;:: .51

2.1.3.1. Principe de la méthode de Newton· Raphson

Dans les équations du type (2-15), les inconnues sont ne' C, H, °et N. On peut

écrire :

fi (ne' C, H, 0, N) = fi (ne' C, H, 0, N, x, y, z, t, S.o.' Kj) (2-16)

Le système réduit devient:

fI (ne' C, H, 0, N) =0f2 (ne' C, H, 0, N) =0

f3 ( ne' C, H, 0, N ) =0f4 ( ne' C, H, 0, N ) =0

f5 ( ne' C, H, 0, N ) =0

(2-17)

(2-18)

(2-19)

(2-20)

(2~21)

Soient (neo, Co' Ho, Do, No), une première approximation des cinq racines du

système formé par les équations (2-17) à (2-21). A chaque équation du système, nous

pouvons appliquer la formule de Taylor arrêtée au premier ordre autour du point

(neo, Co, HO' 00, N~; soit:

f2= f,+(::rdn. +(~rdC+(:rdH +(:rdO+(:~rdN

f3 = ~+(~rdn. +(~rdC+(:rdH+(~rdO+(:rdN

f4 = f. +(::rdn. +(~rdC+(:~rdH+(:;rdO +(:~rdN

f, =fs+(::rdn. +(~rdC+(:rdH+(:rdO+(:rdN

avec fi =fi ( ne , C, H, 0, N ) ; ~ =fi ( neo , Co , Ho , 00 , No )

(afi)O ( afi )0 . .

et aa = aa (neO, Co , Ho , 00 , No), 1 =1 à 5 ; a=ne, C, H, 0, N

52

(2-22)

(2-23)

(2-24)

(2-25)

(2-26)

Si le point (ne()t Co, Ho, 00' No,) est solution, les termes de gauche des équations(2-22) à (2-26) sont nuls. On est donc ramené à un système linéaire qu'il faut résoudre, pour

obtenir les écarts doc, dC, dH, dO et dN entre les coordonnées du point initial et celles du

point solution.

Sous forme matricielle, le système s'écrit:

(~r (~~r (~~r (~r (~r

(~r (~~r (~~r (~r (~r

(;::r (~~r (~r (~r (~~r

(:::r (~~r (~~r (~r (:~r

(~~r (~~r (~r (~r (~r

Résolution du système:

dC

dH

dO

dN

=

-~

-~

-~

(2-27)

Pour P, T, x, y, z et t données, on calcule les fonctions de partition internes des

différentes espèces du plasma, et par suite les constantes d'équilibre Si et Kj-

En partant de valeurs arbitraires 11eo' Co' Ho, 00 et No, on vérifie d'abord si ellessont solutions du système à résoudre. Dans le cas contraire, les dérivées partielles des

fonctions fi (i = 1 à 5) sont déterminées.

Un sous programme (SYLEQ5), permet la résolution du système linéaire (2-27),

et fournit les accroissements doe' dC, dH, dO et dN. On obtient de nouvelles valeurs :

ne = neo +doeC =Co +dC

H=Ho+dHo =00 +dO

N =No+dN

53

On vérifie ensuite si les fonctions fi (i = 1 à S) sont nulles à la précision retenue

avec ces nouvelles valeurs. Si la solution obtenue n'est pas satisfaisante, une autre itération

est effectuée; les nouvelles valeurs constituant le nouveau point initial.

Ce processus d'itération est répété jusqu'à l'obtention de bonnes solutions pour

ne' C, H, 0 et N.

Connaissant les densités numériques ne' C, H, 0 et N, nous pouvons détenninerles concentrations des autres particules à partir des relations ci-dessous:

Relations ~ Relations ~ Relations ~

C2(2-28) NO= N.O (2-37) 0+ 0~S9 (2-46)C 2 = =

KI KW 2ne' K3

H2(2-29) C+ =

C. SI(2-38) N+ N~S1O

(2-47)H 2 = 2 =K2 ne ne' K4

0 2(2-30) H+ =

H. S2(2-39) CH+= C.H,SI I (2-48)O2 = K3 ne ne· KS

N2(2-31) 0+ =

0.S3(2-40) co+= C.O.Sl2

(2-49)N2 = K4 ne n e·K6

C.H(2-32) N+ =

N. S4(2-41) CN+= C.N.Sl3

(2-S0)CH = K S ne ne· K7

C.O(2-33) C++=

C.S l .SS(2-42) OH+= 0.H.SI4

(2-S1)CD = n 2K6 e ne' K8

C.N(2-34) 0++=

0.S3,S6(2-43) NO+= N.O.SlS (2-S2)CN =

n 2K7 ne· K 10e

O.H N.S4 .~ 2(2-3S) N++= (2-44) C~ =

C. S 16 (2-S3)OH = K8 n 2ne· K 1e

2H.N + R.Sg

(2-4S) HN+= H.N.S17HN= (2-36) H 2 = (2-S4)

K9 ne' K2 ne' K9

Considérons maintenant qu'un (ou plusieurs) des paramètres x, y, z et t soit (ent)

nul (s). Il est possible alors que les équations (2-12) à (2-14) ne soient pas définies. n faut,

selon les cas, remplacer ces équations par les équations complémentaires ou simplement les

supprimer.

54

Les équations complémentaires sont obtenues à partir des trois équations de

proportions qui avaient été mises à l'écart lors de la formation du système. Elles ont uneforme similaire à celle des équations (2-12) à (2-14).

Elles peuvent donc être écrites sous la fonne :

fi ( ne' C, H, 0, N, x, y, Z, t, S1' Kj ) =0

avec i = 6 à 8.

(2-28)

Un test effectué sur les variables x, y, Z et t permet, d'une part, de déterminer le

nombre d'inconnues du système réduit (équations (2-10) à (2-14». D'autre part, il fournit

également les équations qui sont définies parmi les fonctions fi (i = 3 à 8).

Le même test pennet de choisir les équations juste nécessaires à la résolution dusystème en fonction du nombre d'inconnues. La suite des opérations est effectuée comme

précédemment

Nous disposons maintenant des données nécessaires pour calculer les fonctions

thermodynamiques. Mais pour le calcul des propriétés de transport, il est indispensable de

déterminer les intégrales de collision relatives aux diverses interactions entre les particules en

présence.

Remarque:

Les densités numériques de C2+ et HN+ sont toujours nulles. Par manque de

données les fonctions de partition internes ne peuvent être calculées. Par conséquent, nous

avons considéré S16 = 0 et S17 = O. La prise en compte des relations (2-53) et (2-54) pennet

de rendre le système des trente deux équations très général.

En effet dans la configuration retenue, le système d'équations reste valide quels

que soient les éléments de base (c'est à dire les atomes) retenus. Les changements

concernent seulement les constantes (énergies d'ionisation, énergies de dissociation, rayons

atomiques, fonctions de partition internes).

2.2. Calcul des intégrales de collision

Un plasma comportant v composants, est caractérisé par C2V+l (combinaison)

collisions binaires. Dans ces condition, nous devons étudier 465 collisions pour un plasma

du type CxHy0zNt où x *0, y *0, Z *0 et t *O.

55

TI s'avàe bien évidemment que l'étude détaillée de chaque collision rendrait letravail très long et très lourd. C'est pourquoi, nous exposons les diverses méthodes de calculutilisées sans entrer dans les détails. Nous justifions les choix effectués.

TI faut noter que l'incidence des sections efficaces de collision sur les coefficientsde transport est pondérée par les densités numériques (ou fractions molaires Xi' i étant laparticule) des espèces en collision. Par conséquent, nous donnons plus de précisions sur lescollisions entre particules i et j caractérisées par un produit xi,Xj relativement important

2.2.1. Interactions neutre-neutre

Deux méthodes de calcul ont été appliquées pour déterminer les intégrales decollision correspondantes:

- méthode des températures réduites,- lissage des résultats publiés par divers auteurs.

2.2.1.1. Lissage de résultats

Pour certaines interactions neutre-neutre, les intégrales de collisioncorrespondantes, ont été déterminées par d'autres auteurs. Nous utilisons leurs résultats.C'est le cas des interactions suivantes:

Interaction N-N:

Nous utilisons les valeurs calculées par Capitelli et al [22], à partir du potentiel deMorse (trois états liés) et du potentiel exponentiel répulsif (un état). Les données relatives àces potentiels sont fournies par Konowalow et al [70], Mc Carroll [71], et Meador [72].

Interactions N-N2J'l,.N2,:N2 :

Ces interactions ont été étudiées par Cubley [73], qui les représente par unpotentiel exponentiel répulsif. Les intégrales de collision correspondantes sont proposées parCapitelli et al [22].

Gorse [85] adopte les mêmes valeurs après avoir comparé ces valeurs avec cellesobtenues à partir de potentiels mesurés expérimentalement par Belyaev et al [74], [75] et parLéonas [76].

Interactions H-H. H-H~2=Ü2 :

Divers auteurs ont calculé les intégrales de collision correspondant à cesinteractions. Nous avons retenu les valeurs proposées par Vanderslice et al [77].

56

Mais pour l'intégrale de collision °8 ,8(2,2), nous avons choisi les valeurs

reportées par Belov [78]. Cet autem considère un intervalle de température beaucoup pluslarge (6000K-30000K).

Interactions 0-0. 0-0~2:02:

Nous avons utilisé les valeurs obtenues par Mexmain [25] qui a effectué une étudedétaillée de ces interactions. Les calculs effectués par cet auteur font appel aux tables deSmith [79], de Monchik [27], de Brokaw [29] et de Mason [35].

2.2.1.2. Modèle des températures réduites

Pour les autres interactions entre espèces neutres non polaires, nous utilisons lesintégrales de collision réduites tabulées par Hirschfelder [17] en fonction de la températureréduite. Le potentiel utilisé est celui de Lennard-Jones.

La température réduite T* est déterminée àl'aide des relations suivantes:

k~=-T

E

E 3k =0.77 "2 Tb

(2-56)

où Tb est la température d'ébullition de la particule. E est le maximum d'énergie attractive

pour une interaction entre espèces similaires.

Pour l'interaction entre espèces différentes i et j, on détermine la constante de force

Eïj, àpartir de la loi empirique:

( )

112Eij = Ei Ej

Hirschfelder a étudié aussi les interactions entre espèces polaires (indice p) et nonpolaires (indice n). Les paramètres du potentiel de Lennard-Jones sont alors donnés par :

( )

112 2Enp = EnEp ç

1 ( ) -116Onp =2 On + Op ç

57

(2-57)

1 an •~avec ;=1+ - - ~ -2 3 P

cr Enn

an est la polarisabilité de l'espèce non polaire, (Jn son diamètre de collision. 8p* est unecaractéristique de l'espèce polaire.

On calcule les intégrales de collision relatives aux interactions entre particules

polaires en utilisant les intégrales de collision réduites tabulées par Monchik [21], en

fonction de la température réduite T* et du moment dipolaire réduit J.1* (ou ~*) défmi par :

• J.1J.1 =

(e (J3r'2(2-58)

~. = 1 .2-J.12

Le potentiel d'interaction utilisé est celui de Stoekmayer. Les quantités e, Tb' (J et ~*

nécessaires au calcul sont résumées dans le tableau 2-4. Le diamètre collisionnel est

déterminé à partir du rayon de Vanderwaals (R).

Monchik et al [21] signalent que les particules CO et NO qui sont faiblement

polaires peuvent être raisonnablement traitées comme non polaires.

Comme nous ne disposons pas de valeurs de ~* pour les espéces CN, OH et HN,

ces particules sont aussi considérées comme non polaires.

2.2.2. Interactions électron-neutre

Interactions e-H. e-O. e-H2~2.._Ç.:l':h. e-CO. e-OH et e-NO:

Nous avons utilisé les intégrales de collision publiées par Spencer et al [80].

Interaction e-N :

Nous avons retenu les valeurs proposées par Capitelli et al [22].

Interaction e-C :

Les intégrales de collision correspondantes sont calculées en utilisant les sections

efficaces de transport tabulées par Robinson et al [81] à l'aide de la relation (1-19).

58

C

H

a

N

e/k ou

enK

5890.67 5100.15[64] [64]

23.42 20.28[64] . [64]

104.17 90.19[64] [64]

89.34 77.35[64] [64]

5890.67 5100.15[64] [64]

Rayon RPolaire ?-10

en 10 m

1.70[113]

1.20[64]

1.40[64]

1.50[64]

2.14(b)

a*

0.96

0.43

0.73

1.00

0.64

37[17]

20.25[64]

1.51(b)

0.79

113 90.19[17] [64]

1.76(b)

1.60

79.8[17]

77.35[64]

1.89(b)

1.76

CH

co

CN

OH

HN

371.43(a)

88[17]

725.45(a)

49.39(a)

45.74(a)

81.65[64]

1.88(b)

1.97(b)

2.02(b)

1.65(b)

1.72(b)

oui[17]

oui[17]

oui[17]

oui[17]

0.00983[17]

1.39

1.95

1.63

0.75

0.75

NO 91[17]

121.35[64]

1.83(b)

oui 0.003371[17]

1.86

MIMl:lt ( a ) . calculées àpartIr de la relatlon EIJ - (E i Ej ) .

L~~=~~

59

Interactions e-C2' e-CH. e-CN. e-HN :

Pour ces interactions, nous avons utilisé la méthode des sphères rigides.

Une autre méthode consistait à utiliser le modèle de polarisabilité. Cependant, les

intégrales de collision correspondant à ces interactions ont très peu d'influence sur les

coefficients de transport.

En effet, aux basses températures la densité numérique des électrons n'est pas

assez importante. Aux hautes températures, les particules C2' CH, CN et HN sont

caractérisées par de faibles densités numériques.

Par conséquent, le produit xi,Xj (produit des fractions molaires des particules i etj)

reste faible et limite la contribution de la collision i-j lors du calcul des propriétés de

transport. Nous avons donc retenu la première méthode (sphères rigides).

2.2.3. Interactions neutre-ion

Pour l'interaction H-H+, nous avons retenu les intégrales de collision de type

diffusion (1 = 1) calculées par Capitelli et al [82] et les intégrales de type viscosité (1 =2)

calculées par Belov [78]. Ces calculs ont été faits à l'aide de courbes d'énergie potentielle

approximées par Belov. Il est possible d'utiliser aussi les valeurs proposées par

Aubreton [24].

Dans le cas de l'interaction N-N+, les intégrales de collision de type diffusion ont

fait l'objet de multiples études mais les valeurs proposées sont dispersées. A titre de

comparaison, la figure 2-3 donne les résultats de différents auteurs concernant la collision N-

N+. On remarque que l'écart est faible entre les valeurs théoriques de Yos [83] et celles

obtenues à partir des données expérimentales de Belyaev [84]. Nous avons retenu les

valeurs de Belyaev [84] et de Capitelli et al [22]. Les intégrales de collision de type viscosité

sont obtenues en lissant les valeurs calculées par Capitelli et al [22].

Pour l'interaction N2-N2+, les intégrales de collision de type diffusion ont été

calculées par Eymard [86].

Interactions 0-0+......Q2-02+ :

Ces interactions ont été étudiées par Mexmain [25], qui prend en compte le

transfert de charge à partir de plusieurs courbes de potentiel. Nous avons utilisé les valeurs

obtenues par cet auteur.

60

-+-z~ 1

Cza

25

20

-- ........ ­~---~------

.............. y------S.B

--. -- - - --- -K.M.V

--- .-.-~ -- .... ------ ---------,--.,--a__ tA•Tb

---------------­ C.Do 10 15

Température (103K)

20

FiiW'C 2-3 : Evolution de .n (1,1)+, en fonction de la température, pour différents auteursN-N

Y. : Vos [83] à partir de potentiels théoriques

B.B. : Gorse [85] àpartir des sections efficacesde transfen de charges de Belyeav et al [84]

K.M. V. : Mason et al [87]

A.T. : Gorse [85] à partir des potentielsde Andersen et al [88]

C.D. : Capitelli et al [22]

61

Les autres interactions neutre -ion :

Elles ont été considérées comme étant purement élastiques. Les intégrales de

collision sont alors déterminées à partir d'un potentiel de polarisation (potentiel de Maxwell),à l'aide de la formule (1-43).

(2-59)

Cl(arr)

Cl(arr)

Cl(arr)

C2(arr)

Q(1,2) 5= 8

Q(1,3) 35= 64

Q(2,2) 15= 16

En utilisant les relations (1-34), (1-35), (1-36), (1-37) et (1-43), les intégrales de

collision peuvent se mettre sous la forme suivante:

Q(1,l) = 34

Oua.üi [89] écrit Cl(arr) et C2(arr) sous la forme suivante:

c1(atr) =2.107 10-2~

C2 (atrj = 2.240 10-2~

où a (la polarisabilité) est exprimée en m3 et T en K.

Dans ces conditions, on obtient les intégrales de collision Q(l,s) en 10-20 ml.

Le transfert de charge est donc négligé pour les interactions H2-H2+, C2-C2+,

CH-CH+, CO-CO+, CN-CN+, OH-OH+, HN-HN+, NO-NO+ et C-C+. Les valeurs des

polarisabilités des espèces neutres nécessaires au calcul sont données dans le tableau 2-4.

Remarque:

Pour les interactions neutre-ion, nous avons donné une préférence aux valeurs

trouvées dans les références bibliographiques, si le transfert de charge est pris en compte.

2.2.4. interactions chargé-chargé

Les intégrales de collision correspondant aux interactions chargé-chargé, sont

obtenues à partir des expressions (1-50) et (1-51) établies par Devoto [38]. Devoto a obtenuces formules à partir des sections efficaces de transport de Liboff [44].

62

Remarque:

Raffanel [54] signale que ce modèle, même pour des températures basses, peut

conduire à des valeurs négatives des intégrales de collision pour les interactions entre:

- particules trois fois ionisées au delà de 10.0105 Pa,

- certaines particules deux fois ionisées pour des pression supérieures

100.0 105 Pa,

pour un plasma de mélange (azote -oxygène).

Dans notre cas, le problème ne se pose pas car les particules trois fois ionisées ne

sont pas prises en compte. De plus la pression de travail est limitée à 10.0 105 Pa.

2.2.5. Formule de récurrence

En général les intégrales de collision publiées dans les références citées

précédemment, sont données pour ~p,l) et ~i2,2).

Pour déterminer les autres intégrales de collision, c'est à dire ~P,5) et 0u<2,5)(s ~ 2), on utilise une formule de récurrence établie par Hirschfelder [17], soit:

O~5+1) = O~~,S) +1J 1J

T

s+2

~ (15)uO,.

1J (2-60)

Les diverses méthodes de calcul des intégrales de collision sont résumées dans le

tableau 2-5. L'association de ces intégrales de collision à la composition d'équilibre(précédemment déterminée), permet le calcul des propriétés thermodynamiques et de

transport des plasmas c;HyOzNt .

2.3. Propriétés thermodynamiques et de transport

2.3.1. Calcul des coefficients de transport

Les coefficients de transport (conductivité thermique totale Â, conductivité

électrique (J et viscosité dynamique 11) sont calculés à l'aide des expressions (1-59), (1-79) et

(1-83).

Les trois composantes de la conductivité thermique totale sont déterminées à partirdes formules (1-61), (1-65) et (1-72).

63

m~

(7)01

- T..c. "fi """''"' ,-".1' fi 1.,,,, """.1, nl'

.. " -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --r==: .....,... 1.<" -- v: --..,.,.... --Ir -- v: -- L.t:: -- 1< -- v: -- .". -- v: -- v;: -- Le': --."........ -- ............ -;1:

~::>I :>1 ...,... :::>1 ::::lllJi'1 ::::>1 :::>1 ::::>1 :::>1 :::lIîJi1 ::>1 :>1 ::>1 :::>1 :

-~ -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

""'&& -- -- -- -- -- -- -- --

""""" --.. - - - - - - - """ - -

-- -- -- -- --

-- -- --

""" -- -- -- --

~ --

;rc ;.r--=: ;V ;.r--=: ~ :Y" :Y" :Y" ;.r--=: ;.rc Y" ;.r--:: ;v: .j;fe' -gy: -uIr v: v: ...,... 1< v: v: ..,.. 1.<" 1< v: Le L.t': .....,.... -- v -;1~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ::>1 ~ ~ ~ ~ ~ ~

2.3.2. Calcul des fonctions thermodynamiques

Les fonctions thennodynamiques considérées sont:

- la masse volumique : p

-l'enthalpie massique : h

- la chaleur massique àpression constante : Cp- la vitesse du son dans le plasma : a

Elles sont calculées au moyen des expressions (1-85) à (1-94).

2.3.3. Autres grandeurs caractéristiques-Conclusion

A partir des coefficients de transport et des fonctions thennodynamiques calculésprécédemment, il est possible de détenniner certains paramètres importants pour l'analyse

des perfonnances d'extinction des arcs électriques, ainsi que pour leur modélisation.

Ces paramètres sont:

-la densité d'énergie (ou enthalpie par unité de volume) défmie par le produit p.h,

-le flux de puissance défini par le produit p.h.a,

- la compressibilité Z,

-la viscosité cinématique v définie par v =Tl/p.

Les valeurs des différentes grandeurs considérées peuvent être représentées sous

fonne graphique à l'aide d'un sous programme de tracé. L'assemblage de toutes les étapes

des différents calculs a pennis de constituer un logiciel pour le calcul des propriétés

thennodynamiques et de transport des plasmas de type CxHyOzNt. Les principalescaractéristiques de ce logiciel sont données dans l'annexe B.

66

CHAPITRE 3 : RESULTATS THEORIQUES. INTERPRETATION

Le calcul de la composition d'équilibre, des propriétés thennodynamiques et de

transport, a été effectué pour différents plasmas d'isolant (cf tableau 3-1-a). Le choix de ces

isolants a été motivé non seulement par leur appartenance à différentes classes de polymères

(cf tableau 3-1-b), mais aussi par les résultats expérimentaux obtenus.

Le calcul a été étendu à certains principaux gaz utilisés dans les appareils de

coupure, à savoir :

- l'hydrogène pour la coupure dans l'huile,- l'azote et l'air pour la coupure dans l'air ou dans l'air comprimé.

L'étude menée par Hettwer [91] sur les polymères, montre que l'ablation des

isolants provoque la fonnation de divers gaz, principalement de l'hydrogène (H2), et dumonoxyde de carbone (CO), pour des températures inférieures à 6OOOK. Madaràsz [92]

propose, pour un tube en matériau azobifonnamide, la composition d'équilibre suivante :

50% de N2' 32% de CO et 3% de C02'

Etant donné la gamme de température considérée, il s'ensuit dans tous les cas que

les plasmas que nous étudions, sont composés d'espèces provenant de ces gaz. TI apparaît

donc utile de présenter aussi les résultats concernant ces gaz "de base".

Comme l'efficacité de la coupure dépend étroitement des caractéristiques

thermique et électrique du milieu extincteur, il convient de choisir comme agent extincteur un

isolant présentant:

- une conductivité thermique élevée,

- une conductivité électrique variant rapidement avec la température

- une densité d'énergie faible,

- un flux de puissance important.

Sur certaines figures, les courbes représentatives des grandeurs physiques

étudiées ne sont pas tracées sur toute la gamme de température considérée. Dans ces cas,

nous estimons ne pas avoir suffisamment de points. Cette remarque est surtout valable, pour

la conductivité thermique et la chaleur massique à pression constante, dans la gamme detempératures 5000K-l0000K.

Sauf indication contraire, la pression de travail utilisée est la pression

atmosphérique (1.0 105 Pa).

67

PA6-6

PETP

POM

PE

Noms .Fonnules chimiques

PolyméthacrylateC5"S~de méthyle

C12"2202 N2Polyamide 6-6

(~"110N)*

Polyéthylène- CtO"S04téréphtalate *

(C5"4~)

Polyoxyméthylène C"20

Polyéthylène C"2

Nylon 6-6

Delrin

Perch 1()()()

Tableau 3-1-a : Les isolants utilisés (* : fonnule réduite)

ClassifICation des principales matières plastiques(Les numéros donnés entre 1Mren/hèses renvoient. en fin de t~ble~u.

~u nom commefCi~1princi".I.}

Ihermopluliques

cellulosiques

polyamides

polyoléfines

polyvinyliques

polyacryli'luP\

es/ers (nitrates. acétates et acétobutyrates de cellulose)éthers (méthyl-, éthyl., benzyl-et hydroxyéthylcelluloses1polyundécanamide ou polyamide-ll (1)poly(hexaméthylène adipamide) ou polyamide-fl.fI (2)poly(heuméthylène sébaçamide) ou polyamide-6.10poly((-caprolactame) ou polyamide-6 (3)polyesters aliphatiques. poly(téréphtalated'éthylène glycol) 141polycarbonatespolyuréthannes linéairespolyéthylènes haute et basse densité. polypropylène,polystyrène; copolymères correspondantspoly(chlorure de vinyle) ou pve, poly(chlorure devinylidène) 151. polymères fluorés divers dont lepolytétrafluoroéthylène (6). poly(acétate de vinyle).poly(alcool vinylique) et ses divers acétals (formaI. acétal.butyrall; copolymères correspondantspolyacrylates et polyméthacrylates divers dont lepoly(méthacrylatp de méthyle) 171, polyacrylonitrile et ses(opolymères (dont les AUS). polyacrylamide

polyép'oxydespolySlJoxaneslsilicones)

aminoplastespolyuréthannespolyesters

Ihennodurcissables •

phénnplasles résines phénol-formol. phénol-furfural.résorcinol-formol et leurs formes modifiéespar incorporation d'un ou de plusieurs autres phénolsou aldéhydesrésines urée-formol et mélamine-formoltridimensionnels (mousses. par ex.)insaturés. polycarbonates de diallyle.résines glycérophtaliquesaprès réaction avec un durcisseur (8)préparés soit à partir de monomères ayantune fonctionnalité supérieure à deux, soit parréticulation de polysiloxanes linéaires

(11 Rilsan. 121 Nylon. (JI Perlon. (41 Tergal. (5) Lps copolymères des chlorures de vinyleel de vinyli~nf' son, commercialis~ sous le nom de Saran. (6) Téflon. m Plexiglas.181 Araldi'e.'[ventuelkomenl. aprk addition d'un catalyseur de durcissement et de divers additifs.

Tableau 3-I-b : Principales matières plastiques [115]

68

3.1. Résultats de la composition d'équilibre

Dans un premier temps, le programme de calcul a été testé sur des plasmasconnus, tels que l'air, l'azote (N2)' l'hydrogène (H2) et l'oxygène (02). Les résultatsobtenus sont en accord avec ceux publiés par d'autres auteurs (Abbaoui{93] ; Capitelli et al[55], [66] ; Mexmain [25] et Raffanel [54] ).

Nous présentons à titre d'exemple, la composition d'équilibre d'un plasma d'air(79% d'azote et 21% d'oxygène) sur la figure 3-1. Pour ce même plasma, nous avonsreporté dans le tableau 3-2 nos résultats, ainsi que ceux de certains des auteurs précédents,pour deux valeurs de la température (5000K et 15000K).

Raffanel [54] Abbaoui [93] cette étude

5000K 15000K 5000K 15000K 5000K 15000K

e-

oN

NO

3.427 E-1 4.230 E-5

7.990 E-2 3.240 E-1

2.310 E-1 2.660 E-2

3.220 E-8 2.020 E-3

3.250 E-6 6.290 E-1

1.039 E-6 1.810 E-2

5.769 E-2 7.630 E-8

2.817 E-1 5.530 E-9

3.200 E-5 3.430 E-1

3.250 E-1 8.070 E-2

2.790 E-2 2.340 E-1

1.590 E-3 2.900 E-8

6.280 E-1 3.510 E-6

1.780 E-2 4.790 E-7

9.930 E-8 5.740 E-2

4.710 E-9 2.850 E-1

:::~/: O! 3.660 E-8 2.470 E-8 1.080 E-7 ~M;

N! 8.790 E-9 1.580 E-8 5.470 E-6

NO+ 4.017 E-6 4.230E-5 3.180E-5 3.000E-6

0++ 2.91 E-35 1.020 E-8

;:;:;{ N --- --- --- 1.62 E-31 1.100 E-6 :;:;::$

~!·!I:r~tililllllll\l:llt:.,,,.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.".:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.~:~~~.,:.~::.:.~~.:.::.:~~.:~:=:.:::'~.~:.:.~.~.:.:~:.~.~~!'.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:lllllr~lll.li

69

1 1 1 1 1 -. u t i

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10 -51 ~ / \ 1 \ "" ""~ ( 1 1 1 1 1

4 9 M ~ ~

Température (103 K)

10-4

10-3

10-2

10 -1

GJL·riCdrioE

Co·ri+JUCUL

LL

"o

Les différences observées sur certaines concentrations, proviennent certainement

du nombre de particules considérées. En effet, Raffanel [54] prend en compte la présence de

l'argon (Ar) dans l'air; soit une composition initiale de 78.084% de NZ' ZO.946% de Oz et

0.97% de Ar. Elle tient également compte du caractère non idéal du plasma (écart par rapport

à la loi des gaz parfaits). Les écarts relatifs entre nos valeurs et celles de cet auteur, restenttoutefois inférieurs à 1.3%, pour les particules de fraction molaire supérieure ou égale

à 1.0 10-5. Pour les autres particules, les écarts sont plus importants.

Les mêmes remarques peuvent être faites à propos de la comparaison de nos

résultats avec ceux obtenus par Abbaoui [93]. Cependant, les écarts observés sont plus

importants que précédemment pour les concentrations des électrons, des particules Oz et

NO+. Cet auteur utilise une composition initiale d'air similaire à celle que nous avons

retenue. Par conséquent, les écarts obtenus sont dus au calcul des fonctions de partitioninternes des particules.

Nous avons ensuite appliqué le calcul de la composition d'équilibre aux isolants

cités dans le tableau 3-1-a. Les formules mises entre parenthèses donnent la même

distribution en atomes C, H,°et N, et donc les mêmes résultats que les fonnules réelles (ou

complètes).

Les figures 3-Z à 3-6 représentent les variations des fractions molaires des

différentes particules, en fonction de la température, pour les cinq isolants considérés.

L'observation de toutes ces courbes, pennet de faire les remarques suivantes:

- les fractions molaires de molécules diatomiques neutres (par exemple Cz, NZ,CH ...), décroissent rapidement avec la température. Cette décroissance est liée aux faibles

valeurs des énergies de dissociation de ces molécules.

- pour les plasmas contenant de l'oxygène, nous remarquons que la concentration

en CO est relativement importante aux basses températures. Ceci s'explique par le fait que

cette particule possède une énergie de dissociation élevée. Il en résulte de faibles

concentration en atomes de carbone C et d'oxygène 0, pour des températures inférieures à7000K environ.

- une attention particulière doit être portée à la fraction molaire des atomesd'hydrogène H. En effet, leur concentration demeure la plus importante parmi les atomesneutres pour les isolants étudiés. En observant les figures 3-Z à 3-6 et les fonnules des

isolants correspondants, il convient de noter que les fractions molaires des particules

atomiques C, H,°et N présents dans le plasma dépendent de leur pourcentage initial.

71

Fi&ure 3-2 : Variation de la composition d'équilibre du plasma de PMMA,en fonction de la température, à la pression atmosphérique

72

1

1

1

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1 1 1 1 1 -,------------------

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2924

10-4

10-3

H-·-.~....,. - __-- --- .--._._~~.C::: ~ ~ . . .__'_. '_

...... .... .---........ ------.co " ,---------_.. .....""- ........... _ ~ ~ _"\ .. ....:"' -- -~--,/ /' -.._--~ ....... ~- -.. --- ---)c' ,". ~ .....,><",-;/ ""x""" "-. _----------.-.-. -'_._.~ ..............: \ p "....... ,~-- ...... '-'-'~. 0+1 ~/ w./ >..:.<.... ."-.. /' -.:::::,-c+

C2 1 \? Y' /' ".... "-.. ;4/ \ / /' ,'.... '-... /

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H2 1 / / ~......, .----. .__,/\ i\ \ / / / ..,:::.... '----;/-._._._.__'\: \ \ / / / ::--...... //i' / ....... "-.

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\ ' / / .....\ Il \ / / ......\ ri \ / / ......\ /;/'\ \ / /", \ \ / /

\ \ / /A-'\" \ \ / /

CJl//: '\~. oA \ / /(I/! " \ ...0.............\ \ / /

10 -sI 1 1/ { '0.\.~ \ 1 1 1 14 9 14 19

Température (103 K)

10-2

10 -1

QJL

-rieur-ioE

Co

-ri+JUeuL

LL

......w

Fiwe 3-4: Variation de la composition d'équilibre du plasma de POM,en fonction de la température, à la pression atmosphérique

1

J~

<:)+f } ~ 1

l ,'\ /\<+- l 1/ Il'\ ,1 ~ (

1 ! \/ "-'''- 1 1 Il

l' ! ~ '''-, 1 1 /

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1r-I

1

1

1

r1

1

1

fi

74

Fiwe 3-5 : Variation de la composition d'équilibre du plasma de PE,en fonction de la température, à la pression atmosphérique

1/1 /1 11 11 11 11 1

1 1

1 \1 \

::r: ü C\Jü

l'0....--l

C\J::r:

//

//

//

0>

75

r

~1

11

r

f

Fiwe 3-6: Variation de la composition d'équilibre du plasma de PA6-6,en fonction de la température, à la pression atmosphérique

::cooz

8Jr810W U01'4-JEJ .::l

76

1

i1

I~N

Considérons la figure 3-7. Cette dernière indique l'évolution des fractionsmolaires des particules pour un isolant "fictif' CHON, caractérisé par des proportions enatomes C, H, 0 et N initialement égales. Dans toute la gamme de température considérée, laconcentration des atomes H reste supérieure ou égale à celle des autres atomes.

Aux basses températures surtout pour T < 9OOOK, la fraction molaire des atomesH est nettement plus élevée que celles des particules C, 0 et N. Ceci est dû au fait que lesespèces moléculaires contenant de l'hydrogène possèdent les énergies de dissociation lesplus faibles (tableau 2-3). Elles sont donc les premières à être dissociées, et ceci pour destempératures plus basses que celles considérées dans cette étude.

En définitive, les densités numériques des atomes neutres dépendent étroitementdes valeurs des énergies de dissociation des molécules. Par contre, elles dépendent peu desénergies d'ionisation des différentes particules aux basses températures.

- La population électronique ne est due entièrement à l'ionisation du carbone auxbasses températures. Ceci est lié à la faible valeur de l'énergie d'ionisation du carbone,comparée à celles des autres particules monoatomiques neutres.

Excepté le PETP, l'ionisation des atomes H constitue la part la plus importante dela densité numérique des électrons, pour des températures supérieures à 15000K. Lacontribution des particules deux fois ionisées, n'est appréciable qu'aux très hautestempératures.

- Les populations des particules 02 et des ions moléculaires sont négligeables

devant celles des autres particules. Parmi les ions moléculaires, c'est CO+ qui possède la

concentration la plus importante. Ceci est probablement dû à la valeur élevée de la fraction

molaire de la particule CO.

- L'analyse des courbes de la figure 3-7 et des valeurs des énergies d'ionisation

des particules, laisse penser qu'aux très basses températures (T < 5000K), les ions CH+,

NO+ auront une influence relativement importante sur la densité numérique des électrons,

car les particules CH et NO ont des énergies d'ionisation très faibles (plus petites que celledu carbone).

77

Fi~e 3-7 : Variation de la composition d'équilibre d'un plasma d'isolant "fictif' CHON,en fonction de la température, à la pression atmosphérique

11

r1

1

8Jf810W UOr+JBJ~

78

..--...~

0> ('f).....-l 0

.,--j

ruL::J~CU

"<:t L.....-l 'ru

D-Erur-

Influence de la pression :

Nous nous sommes limités au cas d'un plasma issu du PMMA, pour donner les

résultats les plus significatifs. Les remarques faites sont valables pour les autres isolants.

Nous avons reporté sur les figures 3-8 à 3-11, la composition d'équilibre du

plasma de PMMA, pour des pressions de 1.0 105 Pa, 3.0 105 Pa, 5.0 105 Pa et

10.0 105 Pa. Sur chaque figure, les flèches indiquent le sens croissant des pressions.

On remarque que les concentrations des espèces monoatomiques neutres sont des

fonctions croissantes de la pression au delà d'une certaine température donnée. En dessous

de cette valeur de la température, ces concentrations décroissent (surtout pour les atomes

d'oxygène 0), quand la pression augmente. Pour les espèces moléculaires neutres, les

fractions molaires augmentent avec la pression.

On peut expliquer ces constatations par le fait suivant:

Pour une température donnée, le nombre des particules par unité de volume

augmente lorsque la pression augmente (P = n k T). L'énergie moyenne par particule va

donc diminuer. Comme les réactions de dissociation et d'ionisation sont des réactions

chimiques endothermiques, elles sont plus difficilement réalisables. Elles ont lieu à des

températures d'autant plus élevées que la pression est plus grande.

En ce qui concerne les réactions d'ionisation, la confirmation est donnée par la

décroissance des fractions molaires des électrons et des espèces ionisées (T S 20000K).

L'augmentation des concentrations des ions c+ et 0+, en fonction de la pression au delà des

températures T =20000K et T =24OOOK, est liée à la décroissance des fractions molaires de

C++ et 0++. On constate que ce phénomène ne concerne pas les ions H+ car il n'existe pas

d'ions H++.

Aux très hautes températures, les concentrations des électrons et de IV tendent

vers des valeurs limites indépendantes de la pression. L'observation des concentrations de

C+ et 0+, montre que l'on peut prévoir une évolution similaire pour les hautes pressions

(P> 10.0 105 Pa). Autrement dit, la deuxième ionisation des atomes C et 0 n'aura pas lieu

aux pressions très élevées, dans la gamme de température considérée.

Le sens de variation de la concentration des particules CO+ est lié à celui de la

concentration de la particule neutre correspondant (CO).

79

Fi&J1re'3-8 : Variation des concentrations des espèces atomiques neutres, en fonctionde la température, pour différentes valeurs de la pression

(1.0 loS Pa ; 3.0 loS Pa ; 5.0 loS Pa; 10.0 loS Pa)

10~

Il1

Plasma de PMMA

..............

.............. -..

.............. -.. -..

-.. -..

1O-5L.--__---l..- --L-__------.JL-__----L. ---L.-----J

4 9 14 19 24

Ternpérature (103 K)80

Hwe 3-9 : Variation des concentrations des espèces moléculaires neutres, en fonctionde la température, pour différentes valeurs de la pression

(1.0 105 Pa ; 3.0 105 Pa ; 5.0 105 Pa; 10.0 105 Pa)

1.--------------r------------.------.

Plasma de PMMA

C1J W-zL·riCOri0E

C0

·ri+JU W-JCOLl.L

Température (103 K)81

Fiwe 3-10: Variation des concentrations des électrons et des particules atomiques une foisionisées, en fonction de la température, pour différentes valeurs de la pression

(1.0 105 Pa ; 3.0 105 Pa ; 5.0 105 Pa; 10.0 105 Pa )

Plasma de PMMA

Ct•

.---.~.::::;:...~..:.-:~~~.~=-=..---tH.......- /' -:-.---.~ . /&::'

v 7-;-/'~7==::'. ;,olI!5.'----...~-~- --~--7:-.-1 ~.//.. /' -...... _ ......_ _ .......

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11111 lii1111U/i

1111i Iii1/11Uli1{Iii fii1/1/ iIii

1111 1iif1111 j tif

1111 1fti1111 ittl.... 'II'

, III

1O~~-----Ull-Ll.Ll------l.------'-----_.l...--_-------'-------'-------'

4 9 M ru ~ ~

ru 10-2L·riCOri0E

C0·ri+JÜ 10-3COL

LL

Température (103 K)82

Fi~ 3-11 : Variation des concentrations des ions moléculaires et des atomes deux foisionisés, en fonction de la température, pour différentes valeurs de la pression

(1.0 loS Pa ; 3.0 loS Pa ; 5.0 loS Pa; 10.0 loS Pa)

lr-------r----,-----.....------r-------""ï------,

Plasma de PMMA

_-t/ ./

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/ /// /

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/ / / // / / /

/ / / 1

1 / / /1 1 / /

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1 / / // 1 / /

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1 Il 11 Il 1

1 Il 11 /1 1

1 1/ 1

/ Il 11 /1 1

1 /1 11 /1 1

1 1/ /1 /1 /

1 /1 1

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Il/ // ;

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lO-5l--------lIiI...-----l...-~~..l..-~....LJ,....J.._----L....L.........J.....L....L.__.l....--__---'------'

4 9 M rn ~ ~

Température (103 K)83

Remarque:

Nous avons vu que la fraction molaire xe tendait vers une limite indépendante de la

pression, aux très hautes températures. Elle peut être déterminée à l'aide des considérationssuivantes:

- le plasma est totalement ionisé pour des températures élevées: n =ne + I. ni Z,la sommation s'effectue sur les particules chargées,

- il n'existe pas de particules deux fois ionisées aux hautes températures,

d'où: n =I. z: n· =I. n!e 1. 1,Z -'"l,Z

IleOn a alors: Xe =- =0.5n

Influence de l'égyation d'état :

Les résultats présentés précédemment, ont été obtenus en supposant que le plasma

obéissait à la loi des gaz parfaits. Pour permettre une appréciation des erreurs induites par

cette assertion, nous avons effectué le calcul de la composition d'équilibre du plasma de

PMMA, en admettant que celui-ci est "non idéal".

L'équation d'état devient:

où ôP est une réduction de la pression provoquée par les interactions de type coulombien

caractérisant les plasmas "non idéaux".

L'énergie interne due au potentiel d'interaction n'est plus négligeable devant

l'énergie d'agitation thermique. D'après Griem [60], la réduction de la pression peut

s'écrire:

.1P = e2

Ile ( 1 + ( Z ) )24 n E{) Â.D

(M.K.S.A)

où ne est le nombre d'électrons; ( Z) est défmi au paragraphe 1.4.1.5.

On peut évaluer l'influence de la correction de la pression à l'aide de la quantité

!J.P/P. Les figures 3-12 et 3-13 donnent les résultats obtenus pour des pressions de

1.0 loS Pa et 10.0 loS Pa.

84

• P = 1.0 105 Pa .P = 10.0 105 Pa

30

28

• •

26

• ••

24

22

• • •• ••

14 16 18 20Température (103K)

••

12

1086

Plasma de PMMA

.24+-_~_~_oIooo-_oIooo-_&...o.o"""''''''''''''''''''''''''''''''''''''.....r._......._.....r._.....r._-+

.22

.2

.18

. 16

.14

.12

. 1

.08

.06

.04

.02 ., ..O+-.............."'t'-+-+-+--i--;- -T--I--T--r--T- -+4

a.<1

.....roa.

lno

Figure 3-12 : Variation de l'abaissement de la pression~P, en fonctionde la température, pour deux valeurs de la pression

(1.0 105 Pa et 10.0 105 Pa)

• P = 1.0 10" Pa .p. 10.0 105 Pa2.4

2.2

2 • • •• •1.8 •• •1.6 • •.....Plasma de PMMA • • •~ 1.4 •

a. 1.2...... •a.<1 1 • • •• • •.8 • • • • •.6 • • • • • ••

.4 ••

.2 ••0 • •. · · · · · · ·4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Température (103 K)

Fiwe 3-13 : Variation du rapport ~P/P, en fonction de la température,

pour deux valeurs de la pression (1.0 105 Pa et 10.0 105 Pa)

85

Nous remarquons que la correction de la pression est inférieure à 1% à

1.0 105 Pa et qu'elle ne dépasse pas 2% à 10.0 105 Pa. Le calcul de la composition

d'équilibre à 100.0 105 Pa, montre que l'erreur relative AP/P reste inférieure à 4%. Les

écarts relatifs sur le nombre total de particules par unité de volume, sont peu importants (au

maximum 1% à 1.0 105 Pa et 2% à 10.0 105 Pa). Notons que les écarts les plus imponants

ne sont observés que pour des températures élevées (supérieures à 15000K). Par la suite, lescalculs sont faits, en supposant que le plasma se comporte comme un gaz parfait.

Disposant de la composition d'équilibre des plasmas d'isolant, il est possible dedétenniner les coefficients de transport et les fonctions thermodynamiques du milieu.

3.2. Résultats des coefficients de transport

Les propriétés de transport telles la viscosité, les conductivités thermique etélectrique, sont calculées au moyen d'expressions déduites de la théorie de Chapman­Enskog. Les valeurs des coefficients de transport dépendent étroitement des valeurs desintégrales de collision correspondant aux différentes interactions présentes dans le plasma.

3.2.1. Influence des intégrales de collision

Le calcul des coefficients de transport a été appliqué au plasma de ~, en utilisantles intégrales de collision résumées dans le tableau 2-5.

Sur la figure 3-14, nous avons reporté les valeurs obtenues pour la conductivité

thermique Â, en utilisant plusieurs méthodes de calcul des intégrales de collision. Les

courbes (a), (b) et (c) sont obtenues respectivement pour les méthodes suivantes:

- courbe (a) : méthode des sphères rigides pour les interactions C-C, C-C2 et

C2-C2 ; méthode de la polarisabilité pour l'interaction C-c+,

- courbe (b) : méthode des sphères rigides pour les interactions C-C, C-C2'

C2-C2 et C-c+,

- courbe (c) : méthode de température réduite T* pour les interactions C-C, C-C2

et C2-C2 ; méthode de la polarisabilité pour l'interaction C-c+.

Nous constatons que la conductivité thennique  du plasma de C2' est très faible

(presque nulle), pour des températures égales à5000K et 6000K pour la méthode (c).

86

Fiwe 3-14 :Influence des intégrales de collision sur la conductivité thermique Â.

du plasma de C2' à la pression atmosphérique

1

1

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<::) 8 <::)<::) <::) <::) <::) <::) qs 0; r-: cd LCi -«f N ~

87

Ces faibles valeurs de la conductivité thennique sont liées aux intégrales de

collision correspondant aux interactions C-C, C-C2 et CrC2' Car les valeurs de ces

intégrales de collision (~(.t,s» calculées à l'aide de la méthode de température réduite T*,

sont très élevées. Ces résultats s'expliquent par la valeur élevée de la température d'ébullition

du carbone.

La valeur du pic de la conductivité thermique  à 13000K, est liée à l'interaction

C-C+. L'influence de cette interaction, se manüeste par l'intermédiaire de la conductivité

thermique de réaction ÂR. Cette composante de la conductivité thennique est due aux

düférentes réactions de dissociation et d'ionisation des particules. Elle est très dépendante

des intégrales de collision de type düfusion ~/1,1). Pour une interaction entre un ion et son

"parent" neutre, le transfert de charge joue un rôle très important.

Le transfert de charge conduit à des intégrales de collision plus élevées que celles

calculées en considérant la collision conune purement élastique. fi en résulte que le pic de

conductivité thermique de réaction, et par suite de la conductivité thermique totale est moins

élevé que celui donné par la méthode (c).

Nous constatons également sur la figure 3-14, que la méthode des sphères rigides

donne un pic moins important que celui obtenu avec la méthode de la polarisabilité, pour

l'interaction C-C+. Comme nous ne disposons pas de données pour utiliser la méthode de

transfert de charge, nous avons retenu la méthode des sphères rigides pour l'interaction

C-C+. Nous reviendrons sur ce transfert de charge (collisions résonnantes) lors de la

comparaison des résultats de la conductivité thermique totale  avec ceux obtenus par

d'autres auteurs.

L'observation des düférentes courbes de la figures 3-14, nous a donc conduit à

retenir la méthode des sphères rigides pour les quatre interactions C-C, C-C2' C2-C2 et

C-C+.

Remarque:

Ikonomov et al [114] ont étudié la conductivité thermique d'un plasma de gaz

carbonique (C02)' La méthode des sphères rigides, conduit à des valeurs d'intégrales de

collision Oe.c+(.t,s) proches des valeurs (constantes) considérées par cet auteur.

88

3.2.2. Conductivité thermique

La figure 3-15 représente l'évolution de la conductivité thermique Â., pour les cinq

isolants étudiés, à la pression atmosphérique.

Excepté le PETP, nous observons peu d'écarts entre les valeurs de la conductivitéthermique des divers plasmas d'isolant. Cependant, nous pouvons apporter des nuancesdans le comportement thermique des différents plasmas d'isolant, en étudiant certaines zonesde température.

Les pics de Â. observés, à T = 7000K, correspondent à la dissociation des

molécules CO et N2. Les pics dus à la dissociation des autres molécules diatomiques issuesdes plasmas CxHyOzNt, se situent à des températures inférieures à 5OOOK. Le pic le plusélevé est celui du plasma de POM.

Pour les températures élevées, c'est à dire pour T ~ 20000K, les plasmas sontpresque totalement ionisés. La conductivité thermique est essentiellement due à la

conductivité thermique de translation des électrons Â.tre. Si on se reporte à l'étude de la

composition d'équilibre des différents plasmas, nous constatons qu'ils présentent tous lamême densité électronique, pour les températures élevées. Ceci explique la similitude del'évolution de la conductivité thermique des différents plasmas d'isolant au delà de 2OOOOK.

L'influence de l'ionisation des atomes simples C, H, 0 et N issus de CxHyOzNt,apparaît à partir de températures comprises entre 13000K et 16000K. Dans cette gamme detempérature, la conductivité thermique est étroitement liée aux intégrales de collision de type

diffusion (1 =1) correspondant aux interactions C-C+, H-H+, 0-0+ et N-W. On remarque

que c'est le plasma de POM qui donne le pic le plus important.

La conductivité thermique de réaction constitue la principale composante de laconductivité thermique totale, pour des températures correspondant aux températures dedissociation et d'ionisation des diverses particules.

L'allure des différentes courbes de la figures 3-15, laisse penser que le plasma dePE donnera un pic de conductivité thermique beaucoup plus important que celui des autresplasmas pour T < 5000K. Quant au plasma de PETP, il présentera un pic assez bas.

Pour confinner ces hypothèses, nous avons effectué le calcul de la conductivitéthermique des plasmas d'hydrogène, de PMMA, de PA6-6, de PETP et de PE, pour une

pression de 10.0 105 Pa. Cette méthode permet d'avoir des valeurs approchées de la

conductivité thermique à basse température. En effet, une élévation de la pression entraîne,comme nous l'avons w précédemment un déplacement des équilibres de dissociation versles hautes températures.

89

Fi&JIre 3-15: Evolution de la conductivité thermique Â. des divers plasmas d'isolant,

en fonction de la tempéraure, àla pression atmosphérique

i 1.11

,11

~i %! ~] ~I ~2tl1 1 1 10 C 04 X 0

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./ ~ +J./ A"" /' CO~. '/

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r-~~-.

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X O«JI

X 00 C 04

X CI ..041K 0 0

~

8 ~= = =

~ ~= ~ ~ ~~ co

~~

cd cO Lrl N

( >fWjM ) anb1WJa~+ 9+1/\1+8npU08

90

Les résultats obtenus sont représentés sur la figure 3-16. A 5000K, nous obtenons

les mêmes résultats que ceux calculés par Gorse [85] à T = 3000K et P = 1.0 105 Pa, pour

le plasma d'hydrogène. On constate que les plasmas de PMMA, de PA6-6 et de POM, ont

des valeurs de  assez proches à T =5OOOK. Pour cette même valeur de la température, le

PETP est le moins intéressant des cinq isolants choisis. Le plasma_de PE présente laconductivité thennique la plus grande.

Les études menées par différents auteurs (Hertz [96], Vacquié [95]), montrent que

la conductivité thennique joue un rôle très important sur la constante de temps d'arc t. Par

conséquent, l'allure de la courbe Â(f) donne des infonnations sur la qualité du gaz considéré

pour la coupure des arcs électriques.

L'importance de cette conductivité thermique, se manifeste particulièrement à

travers sa composante réactionnelle ÂR. A partir de l'étude de plusieurs gaz, Hertz [96]

propose une relation empirique liant la constante de temps d'arc t au maximun du coefficient

de conductivité thennique de réaction du gaz :

,\mut. AR =cte

Cette relation montre bien le rôle primordial que joue la conductivité thennique de réaction

dans la vitesse d'extinction des arcs. Plus les maxima de ÂR sont importants et plus la durée

de vie de l'arc est courte.

Le tableau 3-3 donne les pourcentages initiaux des divers atomes C, H, 0 et Ndans les isolants étudiés. En observant les deux figures 3-15, 3-16 et ce tableau, on peut direque:

- plus le pourcentage en atomes H est élevé et plus l'isolant présente une allure de

Â(f) intéressante,

- plus les pourcentages en atomes C et 0 sont proches et plus le pic apparaissantau environ de 7000K devient important Comme ce dernier provient des réactions

CO -+ C + 0 et N2 -+ 2N, il est probable que le pourcentage d'azote va aussi

jouer un rôle important sur la valeur du pic.

Pour mieux apprécier le rôle joué par les atomes C, H, 0 et N, il serait intéressantde faire varier les paramètres x, y, z et t indépendanunent Mais pour des raisons pratiques,nous nous sommes limités uniquement à l'étude de quelques isolants. Autrement, le volumedes résultats à présenter serait trop important.

91

Fi~ 3-16 :Evolution de la conductivité thermique Â. des divers·plasmas d'isolant,

en fonction de la température, pour une pression de 10.0 105 Pa

1 i j 11 11

i 1,

i 11,

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~1 i~! <1a....i

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11 ~ ... •

• X DO 11

~N --~

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~ruL:=J+-'COL,ru0.

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• ... :II 0 ..L--------1.__------','---_'---,_--'-'_------'---1_------'-,__-J-_-----'-_~ ~

§ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ô ~

( >fWjM ) anb1WJa~1- S3+1/\11-8npU08

92

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C HON

PE C H2 33.33 66.66

POM C H2 0 25.00 50.00 25.00

PMMA C5 H8~ 33.33 53.33 13.33

PETP GOH8 04 45.45 36.36 18.18

Influence de la pression :

Lorsque la pression augmente, les pics de la conductivité thennique À se déplacent

vers les températures élevées. Sur la figure 3-17, nous donnons les résultats relatifs auPMMA. La translation des pics est liée aux déplacements des équilibres chimiques que nousavons observés et expliqués lors de l'étude de la composition. Cette translation des pics

d'ionisation et de dissociation, s'accompagne d'une légère augmentation de la valeur de la

conductivité thennique.

3.2.3 Conductivité électrique

L'évolution de la conductivité électrique des isolants retenus, apparaît sur lafigure 3-18. Pour les températures élevées, les divers plasmas d'isolant présentent une

conductivité électrique similaire. A ces températures, tous les plasmas sont presquetotalement ionisés, et présentent la même densité électronique. La conductivité électrique

devient alors indépendante de la nature du gaz considéré.

Aux basses températures, c'est le plasma de POM qui possède la caractéristique

électrique la plus faible. Le plasma de PETP a une conductivité électrique légèrement plusgrande que celle des autres plasmas, dans toute la gamme de température considérée. Parcontre, les propriétés électriques des plasmas de PMMA, de PA6-6 et de PE sont identiques.

Les isolants ayant de forts pourcentages en atomes de carbone possèdent les

conductivités électriques les plus élevées. Ceci est lié à la faible valeur de l'énergied'ionisation du carbone par rapport à celle des autres particules atomiques neutres.

93

Figure 3-17 : Evolution de la conductivité thennique Â. du plasma de PMMA, en

fonction de la température, pour différentes valeurs de la pression

00«

o x .., 0

.., x 0o

L

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1 ~=

l , 1 1 l , 1 l ,

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( >fW/M

94

Fiwe 3-18 :Evolution de la conductivité électrique (J des divers plasmas d'isolant,

en fonction de la température, àla pression atmosphérique

...........~

ri')

0~'-""

ruL:J

0> +JCOL,ru0.Erut-

• 410 X

95

Sur la figure 3-19, nous avons représenté l'évolution de la conductivité électrique

des plasmas de 02' N2' H2' C2' C02 et d'air, en fonction de la température. A partir decette figure, nous pouvons faire les remarques suivantes:

- le plasma d'hydrogène présente la conductivité électrique la plus faible et unplasma constitué uniquement de carbone donne une conductivité électrique très élevée.

- aux basses températures, l'azote et l'hydrogène ont des conductivités électriquespresque identiques.

- la conductivité d'un plasma d'air est supérieure à celle des gaz d'oxygène etd'azote. Ceci s'explique par la faible valeur de l'énergie d'ionisation des molécules NO. Eneffet dans cette gamme de température, la densité électronique du plasma d'air est due àl'ionisation des molécules NO.

- le plasma de C02 possède une conductivité électrique inférieure à celles desplasmas de C2 et de Û2 pour T ~ 6500K. Un plasma de C02 est caractérisé par une forteconcentration des espèces CO. Or les particules CO ont des énergies de dissociation etd'ionisation assez élevées. TI en résulte donc une faible concentration des atomes de carbone,d'où une faible ionisation du plasma de C02.

Si nous nous reportons à la figure 3-18, on constate que c'est le plasma de POM

qui donne la courbe a(T) la plus intéressante. Cet isolant a des proportions égales en nombre

d'atomes Cet O. Ceci laisse supposer que la présence des molécules CO va entraîner unediminution de la conductivité électrique du milieu, à basse température.

TI est nécessaire d'orienter le choix de l'isolant vers les polymères caractérisés parun fort pourcentage en atomes H et des pourcentages en atomes Cet 0 assez proches.

Influence de la pression :

La figure 3-20 donne les résultats obtenus pour le plasma de PMMA. On constateque le plasma devient moins conducteur lorsque la pression augmente. L'élévation de lapression entraîne une augmentation des concentrations des espèces moléculaires. Lescollisions (e-particule lourde) sont alors plus importantes et plus fréquentes. Ce quiprovoque un freinage des électrons, et conduit à une diminution de la conductivité électrique.

A partir de 13000K, on observe une inversion de cette évolution de la conductivitéélectrique ; la conductivité électrique augmente lorsque la pression augmente. Aux hautestempératures, toutes les espèces moléculaires sont dissociées. Les collisions (e-particulelourde) deviennent négligeables. Comme à ces températures le plasma est caractérisé par unedensité électronique importante, on aboutit à des valeurs de conductivité électrique élevées.

96

Fiwe 3-19 : Evolution de la conductivité électrique CJ des plasmas de C2' H2' 02' N2'

~ et d'air, en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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97

T""'I

Figure 3-20 :Evolution de la conductivité électrique a du plasma de PMMA, en

fonction de la température, pour différentes valeurs de la pression

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98

3.2.4 Viscosité dynamique

L'évolution de la viscosité dynamique des cinq plasmas d'isolant, en fonction de latempérature, est donnée sur la figure 3-21. Cette figure montre que les plasmas les plusvisqueux sont ceux contenant un fort pourcentage d'oxygène et un faible pourcentaged'hydrogène et de carbone.

TI est possible d'expliquer l'évolution de la viscosité dynamique des plasmas

d'isolant, en étudiant les plasmas de 02' N2' H2' C2' C02 et d'air.

Sur la figure 3-22, nous avons reporté les valeurs obtenues pour ces derniers.Les résultats obtenus, pour les plasmas d'oxygène, d'azote et d'hydrogène et d'air, sont enbon accord respectivement avec ceux de Mexmain [25], de Raffanel [54], de Gorse [85] etde Oua.üi [89]. Sur cette figure, on remarque que le plasma d'oxygène est le plus visqueux.Les viscosités dynamiques des plasmas d'hydrogène et de carbone, sont assez proches.

Considérons maintenant les plasmas de gaz "non purs" (C02 et l'air).

Nous constatons que la viscosité de l'air est inférieure à celles des gaz purs qui lecomposent, pour des températures inférieures à ll000K. Au delà de cette température, elleest comprise entre celles de l'oxygène et de l'azote.

Les calculs effectués par Raffanel [54] indiquent plutôt que la viscosité de l'air estsupérieure à celles de l'oxygène et de l'azote. Les valeurs obtenues par cet auteur sont plusélevées que celles que nous avons calculées. A T = l()()()()K, l'écart atteint 33%. Par contreles écarts demeurent inférieurs à 10% pour les plasmas purs d'oxygène et d'azote. Nouspensons que les différences observées proviennent de la formulation du coefficient deviscosité, et des méthodes de calcul des intégrales de collision entre espèces azotées etespèces oxygénées.

Le plasma d'air est caractérisé par la présence de particules lourdes NO à destempératures relativement élevées, ceci devrait en principe contribuer à rendre le plasma d'airassez visqueux. Mais cette présence des espèces NO entraîne aussi une augmentation de ladensité électronique, à basse température.

On peut dire qu'il existe un antagonisme entre la contribution des particules NOaux collisions (e-particule lourde) et leur participation à la densité électronique. Cetantagonisme conduit plutôt à l'augmentation du nombre d'électrons dans le plasma. TI enrésulte une diminution du nombre total de particules lourdes. Ce qui tend à confirmer que la

viscosité de l'air devrait être inférieure à celles des gaz purs qui le composent.

99

Figure 3-21 :Evolution de la viscosité dynamique 11 des divers plasmas d'isolant,

en fonction de la température, à la pression annosphérique

1 1

1 1 1

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100

FifWI'e 3-22 :Evolution de la viscosité dynamique 11 des plasmas de C2' H2' 02' N2'

COz et d'air. en fonction de la température. à la pression atmosphérique

1 j 1 1

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101

Si nous considérons le plasma de CO2' on remarque que la viscosité de ce dernierest inférieure à celle de l'oxygène, mais supérieure à celle du plasma carbonique C2. Cetteconstatation est liée à la présence des particules CO. Leur influence sur la valeur de laviscosité du plasma de 002, est différente de celle des espèces NO dans l'air. Ceci est dû aufait que :

- la concentration des particules CO est plus importante que celles des moléculeshomonucléaires (C2,02),

- leur contribution à la densité électronique est négligeable.

En se reportant à la figure 3-21, on note que c'est le plasma de POM qui fournit laviscosité la plus importante. Il est à remarquer que ce plasma possède le plus fortpourcentage en atomes 0, mais également des proportions en atomes C et 0 identiques. Laprésence des particules CO jusqu'à des températures relativement élevées, justifie le caractèrevisqueux du plasma de POM.

On constate pour les isolants étudiés que le maximum de la viscosité correspond àune température située autour de 9OOOK-ll000K. Au delà de cette wne, on observe unedécroissance rapide de la viscosité dynamique liée à la disparition progressive des molécules,puis des atomes.

Influence de la pression :

La figure 3-23 montre l'évolution de la viscosité dynamique du plasma de PMMA,en fonction de la température et de la pression. A basse température, la viscosité dynamiqueest indépendante de la pression. A partir de T =9OOOK, on remarque que le maximum de laviscosité dynamique se déplace vers les hautes températures lorsque la pression augmente.

Cette évolution de 11 avec la pression, s'explique par le fait que les particules lourdes

disparaissent à des températures d'autant plus élevées que la pression est plus importante.

102

Figure 3-23 :Evolution de la viscosité dynamique Tl du plasma de PMMA, en

fonction de la température, pour différentes valeurs de la pression

~jLOI

c::> 1

~'d!;[i

D

D .., X 0

,Rl

1

103

3.3. Résultats des fonctions thermodynamiques

Nous allons présenter l'évolution, en fonction de la température, des propriétés

thermodynamiques suivantes:

-la masse volumique : p,

- l'enthalpie massique : h,

- la chaleur massique à pression constante: Cp,- la vitesse du son dans le plasma : a.

3.3.1. Masse volumique

La figure 3-24 indique la variation de la masse volumique p, en fonction de la

température, pour les plasmas des cinq isolants étudiés. L'évolution de P(T) est identique

pour ces cinq isolants. Pour une température donnée, la masse volumique décroît lorsque la

proportion d'hydrogène dans l'isolant augmente.

La masse molaire initiale de l'hydrogène est au minimum douze fois inférieure àcelle des autres particules. L'observation des courbes de la figure 3-25 montre que ce rapport

se conserve quand on étudie les masses volumiques des plasmas de Û2' de N2' de H2 et deC2. On constate sur cette figure que la masse volumique du plasma de C02 est supérieure àcelle de l'oxygène pur 02 ou du plasma organique C2. Ceci s'explique par la stabilité desparticules CO aux basses températures. Par contre, dans cette même gamme de température,

la masse volumique du plasma d'air est comprise entre celles de l'azote et l'oxygène.

En se reportant au tableau 2-3, on peut affinner que plus l'énergie de dissociation

des molécules est élevée et plus la masse volumique du plasma est importante, à bassetempérature. Les plasmas d'isolant caractérisés par un fort pourcentage d'hydrogène, ont les

masses volumiques les plus faibles.

Influence de la pression :

Comme précédemment, nous nous limitons aux résultats obtenus pour le PMMA.

Pour une température donnée, la masse volumique augmente lorsque la pression augmente.

Cette évolution s'explique aisement à partir de la relation P =~ ni kT.

Si nous considérons le rapport p/P, nous constatons que ce dernier augmente

légèrement avec la pression (cf figure 3-26). Ceci est dû aux déplacements des équilibres desdifférentes réactions de dissociation et d'ionisation vers les hautes températures. Ces

réactions contribuent à remplacer les espèces lourdes par des espèces plus légères (atomes,

ions, e-). Comme elles apparaissent beaucoup plus tardivement quand la pression augmente,

il en résulte pour une température donnée, une élevation du rapport p/P.

104

Fi~ 3-24: Evolution de la masse volumique p des divers plasmas d'isolant,

en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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105

Fitrnre 3-25 :Evolution de la masse volumique p des plasmas de C2' H2' 02' N2'

002 et d'air, en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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106

Fiwre 3-26 : Evolution du rapport plP, en fonction de la température, pour

différentes valeurs de la pression, pour le plasma de PMMA

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107

3.3.2. Enthalpie massique

La figure 3-27 représente la variation de l'enthalpie massique h, en fonction de latempérature, pour les plasmas des cinq isolants choisis. On observe que c'est l'isolant

possédant le plus fort pourcentage en atomes H qui fournit l'enthalpie massique la plus

grande. Ceci est dû à la faible valeur de la masse des atomes H. Il s'ensuit de faibles valeurs

pour la masse volumique p. Ce qui contribue à augmenter l'enthalpie massique h.

L'évolution du produit p.h est étudiée ultérieurement.

L'influence de proportions des atomes C, H, 0 et N sur l'enthalpie h des

différents isolants, peut être mise en évidence à l'aide de la figure 3-28. Cette figure donne

l'évolution de l'enthalpie massique des plasmas de gaz purs (Û2, N2' H2) et des plasmas de

C2' de C02 et d'air. Les variations de l'enthalpie de ces plasmas s'expliquent à partir des

fonctions de partition internes, des énergies de formation et des densités numériques des

différentes particules.

Les résultats présentés ont été obtenus à l'aide de l'expression (1-98) dans laquelle

(JJfAJ.1j) est prise égale à l'enthalpie de formation (MIf)j de chaque particule j. Le niveau de

référence commun choisi correspond aux enthalpies de fonnation de particules H2' 02' N2

et C (graphite) qui sont nulles par définition [64]. Les valeurs de (MIf)j ont été prises dans

les tables de Janaf [62] et dans la référence [64].

Pour T > 8000K, nous pouvons dire que l'enthalpie h est inversement

proportionnelle à la masse des atomes C, H, 0 et N, pour les plasmas purs d'oxygène, de

carbone, d'hydrogène et d'azote. On remarque que l'enthalpie massique de l'oxygène est

supérieure àcelle de N2 pourT S 8000K. Ceci est dû à l'évolution de leur masse volumique

(cf figure 3-25).

Raffanel [54] obtient les mêmes résultats pour l'oxygène pur et l'azote pur, en

étudiant des mélanges gazeux azote - oxygène.

Sur les figures 3-27 et 3-28, nous constatons qu'une forte concentration en

molécules N2 et CO entraîne de faibles valeurs pour l'enthalpie massique h, tant que la

température ne dépasse pas leur température de dissociation. Ceci explique le fait que

l'enthalpie h du plasma de POM soit inférieure à celle du plasmas de PETP pour

T S 14000K, bien que celui-ci ait un plus fort pourcentage en atomes H.

Influence de la pression:

Pour une température donnée, nous remarquons que l'enthalpie massique des

plasmas d'isolant diminue lorsque la pression augmente. Sur la figure 3-29, nous avons

reporté les valeurs obtenues pour le plasma de PMMA.

108

Fj~re 3-27 :Evolution de l'enthalpie massique hdes divers plasmas d'isolant,en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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109

Fi~re 3-28: Evolution de l'enthalpie massique hdes plasmas de C2' H2' 02, N2'C02 et d'air, en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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Fi~re 3-29: Evolution de l'enthalpie massique h du plasma de PMMA. en

fonction de la température. pour différentes valeurs de la pression

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111

TI est à noter que la diminution est plus marquée dans les zones de températures où

ont lieu les dissociations et les ionisations. Lorsque la pression augmente, les différentes

réactions de dissociation et d'ionisation se produisent comme nous l'avons déjà indiqué, à

des températures plus élevées. Autrement dit. pour une température donnée, l'élévation de la

pression entraîne une augmentation de la masse volumique du plasma et par suite une

diminution de l'enthalpie massique h. L'enthalpie massique et la masse volumique varient en

sens inverse, lorsque la pression augmente.

3.3.3. Chaleur massique à pression constante

Elle est déterminée par dérivation numérique de l'enthalpie massique h. Nous

avons représenté sur les figures 3-30 et 3-31 les chaleurs massiques des cinq plasmas

d'isolant et de divers autres plasmas. L'évolution de la chaleur massique Cp, se déduit de

celle de l'enthalpie h.

Pour les plasmas d'hydrogène, d'oxygène et d'azote, nos résultats sont très

proches de ceux obtenus par Capitelli et al [55], [66], Aubreton [24] et Mexmain [25].

On remarque que, les pics de la chaleur massique correspondent aux brusques

variations de l'enthalpie massique du fait des réactions de dissociation et d'ionisation. Pour

des raisons identiques à celles évoquées lors de l'étude de l'enthalpie, le pourcentage en

atomes H de l'isolant détennine la valeur plus ou moins élevée des pics de Cp.

Mexmain [25] et Aubreton [24] écrivent:

où (Cp)R caractérise la contribution des différentes réactions chimiques (ionisations et

dissociations). (Cp)f représente la composante continue de la chaleur massique Cp.

Les allures des différentes courbes d'évolution de la chaleur massique sur des

figures 3-30 et 3-31, traduisent bien cette écriture. Cette formulation permet de mieux

apprécier rapport des différentes réactions de dissociation et d'ionisation ayant lieu dans le

plasma.

Influence de la pression :

L'influence de la pression sur la chaleur massique du plasma de PMMA, est mise

en évidence sur la figure 3-32. On observe un déplacement des pics vers les températures

élevées et un léger abaissement de leurs valeurs. Ces constatations sont liées à l'évolution de

l'enthalpie massique h du plasma.

112

Fi~ure 3-30: Evolution de la chaleur massique Cp des divers plasmas d'isolant,

en fonction de la température. à la pression atmosphérique

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C02 et d'air, en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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Fi~re 3-32 :Evolution de la chaleur massique Cp du plasma de PMMA, enfonction de la température, pour différentes valeurs de la pression

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115

Dans la gamme de température étudiée, l'augmentation de la pression conduit àune évolution de fractions molaires des particules relativement douce. TI en résulte unevariation d'enthalpie plus lente et par conséquent, une légère diminution de la valeur des picsde la chaleur massique à pression constante.

3.3.4. Vitesse du son dans le plasma

La connaissance de la vitesse de propagation du son dans le plasma, est nécessaireà la modélisation des plasmas d'arcs.

L'évolution de la vitesse du son en fonction de la température, pour les cinqisolants, apparaît sur la figure 3-33. On remarque que la célérité du son est plus grande dansles plasmas issus des isolants à fone proportion d'atomes H. En comparant les courbes desfigures 3-33 et 3-34, nous constatons que même un faible pourcentage en atomes H conduità des vitesses du son plus élevées que dans tout autre plasma. Pour des températuresinférieures à 9OOOK, le son se propage moins vite dans l'azote. Pour les températures plusélevées, c'est le plasma d'oxygène qui possède la célérité du son la plus faible. La présencedes particules CO et N2 contribue à diminuer la vitesse de propagation du son dans le plasmaà basse température (cf figure 3-34).

Influence de la pression :

Pour une température donnée, la célérité du son dans le plasma diminue lorsque lapression augmente. La figure 3-35 indique cette évolution, pour le plasma de PMMA. Lesvariations sont beaucoup plus marquées dans les zones de températures où apparaissent lesréactions de dissociation et d'ionisation. Mais pour des températures basses (T < 7000K), lavitesse du son augmente légèrement avec la pression.

3.4. Autres grandeurs caractéristiques

TI est possible à partir des propriétés thermodynamiques et de transport de calculercenaines caractéristiques telles que:

- la densité d'énergie

- le flux de puissance

- la compressibilité

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116

FiiUre 3-33 : Evolution de la vitesse du son a, dans divers plasmas d'isolant,en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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Fiwe 3-34 :Evolution de la vitesse du son a, dans les plasmas de C2' H2' 02, N2'~ et d'air, en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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Fi&UTe 3-35: Evolution de la vitesse du son a, dans le plasma de PMMA, enfonction de la température, pour différentes valeurs de la pression

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119

3.4.1. Densité d'énergie

Le produit p.h représente l'enthalpie volumique du plasma.

Les figures 3-36 et 3-37 montrent l'évolution de la densité d'énergie p.h, en

fonction de la température, pour les cinq plasmas d'isolant et pour divers autres plasmas.

Nous constatons que les plasmas de PMMA, de PA6-6, POM et de PE, ont le même produit

p.h pour des températures supérieures à 9000K. On remarque que ce produit p.h est

compris entre 0.7 et 0.8 Ml/m3 pour des températures allant de l()()()()K à 3()()()()K, sauf

pour le plasma de PETP. Pour ce dernier corps, la densité d'énergie atteint 0.86 Ml/m3 dans

la même gamme de température.

Aux températures supérieures à 7oooK, c'est le plasma d'hydrogène qui présente

la densité d'énergie la plus faible (cf figures 3-36 et 3-37). Aux basses températures, les

densité d'énergies des plasmas de POM, de CÛ2, de N2 et d'air sont plus faibles que celle

du plasma d'hydrogène. On remarque sur les figures 3-40, que la densité d'énergie à basse

température (T ~ 7000) est d'autant plus élevée que l'isolant contient un fort pourcentage en

atomes H, et que l'écart entre les proportions initiales des atomes C et 0 est plus faible.

Dans la gamme de température 5OOOK-14000K, la densité d'énergie du plasma

organique C2 est supérieure à celle des autres plasmas de 60% à 80%. Ceci conduit

particulièrement à une forte dépendance de la densité d'énergie des plasmas d'isolant du

pourcentage d'atomes C, pour des températures comprises entre 9000K et 14000K.

La densité d'énergie de chaque plasma d'isolant peut être considérée en premièreapproximation comme variant très peu en fonction de la température. Ceci est dû au sens de

variation de la masse volumique et de l'enthalpie massique. En effet, lorsque la température

augmente, la masse volumique p décroît rapidement alors que l'enthalpie massique h croît

(voir l'étude des fonctions thermodynamiques). Cette évolution est observée pour tous les

plasmas. Dans la gamme de température 9OOOK-30000K, nous considérons que la densité

d'énergie des plasmas d'isolant est relativement constante.

Influence de la pression :

L'évolution de la densité d'énergie p.h du plasma de PMMA, en fonction de la

température et de la pression, est représentée sur la figure 3-38. Cette figure montre en fait

les variations du rapport p.hIP (densité d'énergie par 1.0 105 Pa) , en fonction de la

pression et de la température. On observe des variations peu importantes en dehors des

températures de réaction.

120

Fi~ 3-36 :Evolution de la densité dténergie p.h des divers plasmas dtisolantten fonction de la températuretà la pression atmosphérique

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122

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différentes valeurs de la pression, pour le plasma de PMMA

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123

Lorsque la pression passe de 1.0 105 Pa à 10.0 105 Pa, la variation maximale est

de 13% à T = 15000K. Si on néglige les ondulations observées dues probablement aux

différentes réactions, on peut approximativement considérer que la densité d'énergie p.h est

directement proportionnelle à la pression. Cette approximation est admise par divers auteurs

(Kovitya [15] et Frost et al [99]).

3.4.2. Flux de puissance

Ce paramètre est l'une des caractéristiques les plus importantes lorsque l'on

aborde la modélisation des plasmas. Le produit p.h.a (flux de puissance ou flux d'enthalpie)

détermine la capacité de transport d'énergie du plasma à travers les surfaces d'échappement

de la chambre de coupure [15].

Frost et al [99] utilisent, dans leurs études, le rapport F=p.h.a/P qui représente

l'écoulement ou le flux de puissance à travers l'unité de surface par unité de pression.

Les figures 3-39 et 3-40 montrent l'évolution du flux de puissance des cinq

plasmas d'isolant et de divers autres plasmas (hydrogène, azote, oxygène, C02 et air). Le

plasma d'hydrogène possède le plus grand flux de puissance. Viennent ensuite ceux des

plasmas d'isolant et de carbone; et enfin ceux des plasmas d'azote, d'air, du CÛ2 et de

l'oxygène.

Le classement pour les isolants est le suivant : Le PE, le PA6-6, le PMMA et

ensuite le POM et le PETP. Le plasma de PETP se comporte mieux que le plasma de POM

pour des températures inférieures à 15000K. Pour les températures élevées, c'est l'inverse

qui se produit. L'étude du flux de puissance p.h.a des isolants montre que le pourcentage

d'hydrogène dans le plasma influence énormément le flux de puissance.

Il est à noter que le flux de puissance du SF6, un des agents extincteurs le plus

utilisé dans la coupure des arcs est inférieur à celui des plasmas étudiés ([16] et [99]).

Influence de la pression :

La mise en évidence de l'influence de la pression sur le flux de puissance pour le

plasma PMMA, apparaît sur la figure 3-41. Les remarques faites lors de l'étude de

l'influence de la pression sur la densité d'énergie sont valables pour le flux de puissance

p.h.a. Dans ces conditions le flux de puissance est aussi approximativement proportionnel à

la pression. Ce qui revient à admettre que la vitesse du son dans le plasma varie très peu avec

la pression (cf figure 3-35).

124

Fi~ 3-39 : Evolution du flux de puissance p.h.a des divers plasmas d'isolant,

en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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125

Fi~ 3-40 :Evolution du flux de puissance p.h.a des plasmas de C2' H2' 02' N2'

~ et d'air, en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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différentes valeurs de la pression, pour le plasma de PMMA

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127

3.4.3. compressibilité

La compressibilité est considérée par Hansen [56], comme étant le nombre total de

moles formées à partir d'une mole initiale du plasma non dissocié (état de départ). Nous

avons vu que la compressibilité s'écrivait:

PMo MoZ=--=-

pRT M

où M = (p R T)/P.

Lors du calcul de la composition d'équilibre du plasma, l'équation d'état des gaz

parfaits a été utilisée sous la fonne P = 1: ni k T. Cette formulation suppose que l'on travaille

à volume unitaire (constant). Pour garder la pression constante, il faut donc que le nombre

de particules diminue si la température augmente. Comme les différentes réactions de

dissociation et d'ionisation conduisent à des particules plus légères et en nombre élevé, il

s'ensuit une diminution de la masse molaire moyenne du plasma (cf courbes des figures 3­

24 et 3-25). La compressibilité Z va donc croître lorsque la température augmente.

Ceci est confirmé par les courbes de la figure 3-42. Les valeurs de la

compressibilité montrent que c'est la masse molaire initiale qui détermine ces valeurs plus ou

moins importantes.

En effet, si nous considérons les plasmas de PA6-6 (CI2H22D.2N2) et de PA6

(C6HllON), ils présentent la même composition d'équilibre et donc la même masse

volumique. Mais la compressibilité du plasma de PA6-6 est égale à deux fois celle d'un

plasma de PA6. Nous avons utilisé comme masse molaire initiale de ces isolants leur poids

moléculaire (relatif à la formule du monomère [116]). Les résultats du plasma de PElP ont

été obtenus en utilisant le monomère ClOHg04' Le monomère CH2 est utilisé pour le PE.

Hansen [56] considère que la compressibilité est une correction par rapport à

l'équation d'état des gaz parfaits. En effet, à cause des réactions de dissociation et

d'ionisation, la nature des particules présentes dans le plasma change en fonction de la

température. On aboutit à chaque fois à une modification de la répartition des espèces

chimiques du plasma. Ce qui signifie que la relation P =1: ni k T doit être corrigée pour tenir

compte de ces modifications.

La compressibilité Z peut être utilisée pour caractériser l'activité réactionnelle du

plasma. Plus la compressibilité Z est élevée et plus le plasma est caractérisé par une multitude

de réactions (dissociations, ionisations).

Dans le cas d'un gaz parfait classique, cette compressibilité doit être égale à

l'unité.

128

Fi&J1re 3-42 :Evolution de la compressibilité Z des divers plasmas d'isolant,en fonction de la température, à la pression atmosphérique

i j 1 1,l1 i 1

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,lt, en, \ TI

\ , i, , to • 0

129

Influence de la pression :

Pour une température donnée, la compressibilité Z diminue lorsque la pression

augmente. Cette évolution de la compressibilité est due aux déplacements des équilibres de

dissociation et d'ionisation vers les hautes températures.

3.4.4. Viscosité cinématique

Les valeurs de la viscosité cinématique v relatives aux plasmas des cinq isolants,

sont reportées sm la figure 3-43. Les valeurs obtenues se déduisent de celles de la viscosité

dynamique 11 et de la masse volumique p du plasma.

3.S. Comparaison de nos résultats avec ceux obtenus par d'autres auteurs

3.S.1. Composition d'équilibre

Certains des isolants étudiés ont fait l'objet d'études antérieures.

Kovitya [14] a calculé la composition du plasma de PMMA, à la pression

atmosphérique. La méthode utilisée est celle de la minimisation de l'énergie libre de

Gibbs [94]. Nous avons comparé nos valems à celles obtenues par cet auteur, en limitant

aussi la fraction molaire significative à 1.0 10-3. Les courbes représentatives des différentes

concentrations sont similaires dans les deux cas.

Nous avons reporté, dans le tableau 3-4, les valeurs des fractions molaires des

différentes particules déduites des courbes proposées par Kovitya, pour trois valems de la

température. Nous admettons que les erreurs d'appréciation introduites sur les fractions

molaires des particules sont de l'ordre de 5%. Etant donné les écarts observés, nous

pouvons dire qu'il y a un bon accord entre nos résultats et ceux obtenus par Kovitya. L'écart

observé à T =5000K, pour la particule C2' ne porte que sur des concentrations relativementfaibles.

Pour une pression de 6.0 105 Pa, nous avons comparé les résultats obtenus pour

le plasma de POM avec ceux proposés par Zdanowicz [16]. Cet auteur utilise la même

méthode que Kovitya [14], mais en tenant compte de la correction de Debye-Hucke!.

Dans le tableau 3-5, nous avons reporté la composition d'équilibre du plasma de

POM obtenue par Zdanowicz à 5000K, 9000K et 15000K. Dans l'étude de Zdanowicz, la

présence de particules triatomiques (002 ,CH2) et d'ions négatifs ( C·, H-, 0-, 02-)' est

prise en compte.

130

Fi&1G 3-43 :Evolution de la viscosité cinématique v des divers plasmas d'isolant,

en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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131

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~®1· espèces Zdanowicz [16] cette étude mII chimiques 5000K 9000K 15000K 5000K 9000K 15000K @m $;t~ e- 1.33E-6 7.63E-3 2.05E-I 1.92E-6 8.14E-3 2.12E-I Œ

i C 2.33 E-3 2.26 E-I 8.80 E-2 2.60 E-3 2.27 E-I 8.61 E-2 1H 5.87 E-I 5.03 E-I 3.33 E-I 5.93 E-I 5.04 E-I 3.25 E-I

o 2.16E-3 2.33E-I 1.69E-I 2.53E-3 2.34E-I I.64E-I

C2 2.48 E-5 3.03 E-4 1.69 E-6 6.44 E-5 4.12 E-4 1.35 E-6

8 2 5.40 E-2 2.73 E-4 9.14 E-6 5.38 E-2 2.35 E-4 6.68 E-6

O2 6.64E-7 2.88E-5 8.36E-7 5.75E-7 2.35E-5 7.19E-7

CH 9.23 E-5 1.53 E-4 4.39 E-6 8.78 E-5 1.21 E-4 3.43 E-6

Tableau 3-5: Composition du plasma de POM à P=6.0 leP Pa,pour trois valeurs de la température

.•.....••..••l.:.:-:-:-:-:-:....:«.:-:-:«.x.....:.:.:-:-:«-:-:-:-e-:«-:-:-:-:'-':-:-:-:.x-':-:-:-:.:-:-:-:-:·:·:-:-:-:·:-:-:·:-:«-»:-:«-:-:-:«-:·X·:-:-:«·:"':·":·:-:-:-:-:-:·:-:·:-:-:·:·:·:-x-:-:·:-:-:,..:·:-:-:-:-:.o:«-:-:«..:....:-:-:-:-:....:-:«««<<<<-:-:.;-:-:<<<·:-:

132

La comparaison des diverses concentrations, fait apparaître certains écarts plusimportants que dans le premier cas. Les écarts les plus élevés (exemple de C2 à 5000K et de

Cà 9OOOK), ne sont observés que pour des particules à faibles concentrations « 1.0 10-3).

Ces différences proviennent probablement du choix des espèces chimiques prises enconsidération et de l'équation d'état.

3.5.2 Conductivité thermique

Sur la figure 3-44, nous avons reporté nos valeurs et celles de Kovitya [14] et [15]pour les plasmas de PMMA et PA6-6.

Nous constatons une divergence des résultats, particulièrement pour destempératures comprises entre 10000K et 18000K. L'ionisation des divers atomes C, H, 0 etN, a lieu dans cette gamme de température. L'écart relatif entre nos valeurs et celles obtenuespar Kovitya, atteint 30% autour de T = 15000K. Les valeurs que nous avons obtenues sontplus élevées que celles proposées par cet auteur pour des températures supérieures à 8000K.Par contre, aux basses températures nos valeurs sont plus faibles.

Les écarts observés peuvent provenir :

- de la composition d'équilibre: nous avons limité la fraction molaire significative

à 10-7,

- des méthodes de calcul des intégrales de collision, surtout celles concernantl'interaction C-C+.

Divers auteurs ont étudié l'évolution de la conductivité thennique de mélanges de

gaz comportant beaucoup de particules.

Les résultats obtenus par Raffanel [54] montrent que les mélanges azote-oxygène

conduisent à Â.azote (ou oxygène) S Â.mélange ' pour des températures élevées.

Les mélanges argon-hydrogène et argon-azote [85] donnent des résultatsanalogues à ceux des mélanges précédents autour de 15000K, pour les faibles concentrationsen argon (gaz monoatomiques).

L'étude de la conductivité thennique du mélange SF6-azote [95], donne pour des

températures comprises entre 10000K et 15000K: Â.SF6 S Â.mélange S Â.azote'

Sur la figure 3-45, nous avons représenté l'évolution des conductivités thenniquesdes plasmas de gaz purs (hydrogène, azote et oxygène) et d'air.

133

Fiwe 3-44 : Conductivité thermique des plasmas de PMMA et de PA6-6 :comparaisonavec les résultats de Kovitya ([14], [15]), à la pression atmosphérique

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134

Fiwe 3-45 : Evolution de la conductivité thermique des plasmas de H2, 02, N2et d'air, en fonction de la température, à la pression atmosphérique

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111,

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0 a "1

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~ § &3 a

135

Les résultats obtenus sont en bon accord avec ceux trouvés par Gorse [85],

Mexmain [25] et Oua,Üi [89]. Nous constatons que la conductivité thermique du plasma d'air

est supérieure à celle des gaz purs qui le composent (azote et oxygène)

pour l()()()()K < T < 17000K.

Si nous considérons les plasmas de type CxHy, HyOz et HyNt (contenant de

1'hydrogène), nous arrivons à des conclusions identiques à celles indiquées par

Raffanel [54] pour les mélanges azote-oxygène. Comme les plasmas issus du PMMA et du

PA6-6 contiennent des atomes H en nombre important (> 50%), on peut penser que la

conductivité thermique À. peut être supérieure à celle de 1'hydrogène aux températures

élevées.

Capitelli [l08] donne une explication de cette évolution de la conductivité

thermique des mélanges, autour de la température d'ionisation des atomes. Cette évolution

de À. est due à la conductivité thennique de réaction qui dépend étroitement des coefficients

de diffusion binaires. Ces derniers sont inversement proportionnels aux intégrales de

collision de type diffusion (.Q. =1). En effet, dans les zones de températures où ont lieu les

réactions, la conductivité thermique de réaction constitue la principale composante de la

conductivité thermique totale À. •

Dans les plasmas de mélange, il y a coexistence d'interactions résonnantes et

d'interactions non résonnantes. Or les coefficients de diffusion binaires (tlij) des interactions

non résonnantes sont supérieurs à ceux des interactions résonnantes. Par conséquent, la

conductivité thermique de réaction et par suite la conductivité thermique totale des plasmas de

mélange, peuvent être supérieures à celles des plasmas purs.

L'influence du transfert de charge lors d'une collision résonnante, est mise en

évidence sur les courbes de la figure 3-46. Nous avons représenté sur cette figure l'évolution

de la conductivité thermique du plasma d'azote, en fonction de la température, pour

différentes méthodes de calcul de l'intégrale de collision correspondant à l'interaction N-W.

Les courbes (a) à (g) sont relatives respectivement aux méthodes suivantes:

- (a) : valems de Capitelli et al [22] (transfert de charge),

- (b) : méthode de la polarisabilité,

- (c) : méthode des sphères rigides,

- (d) : méthode des sphères rigides avec un paramètre d'ajustement a que nous

prenons ici égal à 1.3,

- (e) : méthode des sphères rigides avec a = 1.4,

- (f): méthode des sphères rigides avec a = 1.5,

- (g) : valeur de Belyaev [84] (transfert de charge).

136

Fi&JIre 3-46 :Influence de la méthode de calcul des intégrales de collision correspondant à

l'interaction N-W, sur les valeurs de la conductivité thennique du plasma

d'azote, à la pression atmosphérique

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137

Nous avons choisi l'azote pour étudier l'influence du transfert de charge, car

l'interaction N-W" a été l'objet de différentes études (cffigure 2-3).

Nous constatons que les intégrales de collision calculées par Belyaev [84]

conduisent à un pic de conductivité thermique (ionisation des atomes N) plus faible que celui

obtenu avec les valeurs proposées par Capitelli et al. Nous remarquons également unabaissement de ce pic lorsque l'on passe de la méthode de la polarisabilité à celle des sphères

rigides (courbes (b) et (c». Cet abaissement devient plus important si on utilise la méthode

des sphères rigides avec un paramètre d'ajustement a > 1. Cette procédure empirique

donne, pour a = 1.4, des résultats presque identiques à ceux obtenus en utilisant les

intégrales de collision calculées par Capitelli et al.

On peut faire les mêmes remarques pour l'interaction 0-0+ en considérant un

plasma d'oxygène.

Pour l'interaction H-H+ (plasma d'hydrogène), le coefficient pennettant d'obtenir

les mêmes résultats qu'avec un transfert de charge [22], est plus élevé que dans le cas des

interactions N-N+ et 0-0+.

Si nous utilisons la méthode de la polarisabilité pour les interactions H-H+, 0-0+,

N-N+ et C-C+ respectivement dans le calcul de la conductivité thermique des plasmas purs

d'hydrogène, d'oxygène, d'azote et de carbone; on constate que:

- pour le plasma d'hydrogène, le pic de Â. atteint SOW/m.K dans la zone

d'ionisation des atomes H,- pour les autres plasmas, la valeur du pic est comprise entre 8.S et Ilw/m.K. Le

plasma carbonique possède le pic le plus bas parmi ces trois plasmas.

A partir de ces résultats, nous pensons qu'un paramètre d'ajustement a = 1.4 est

suffisant pour simuler le transfert de charge lors de la collision C-c+.

La figure 3-47 représente l'évolution de la conductivité thermique du plasma de

PMMA dans les quatre cas suivants (les méthodes citées ci-dessous ne concernent que

l'interaction C-C+) :

- (a) : méthode de la polarisabilité,

- (b) : méthode des sphères rigides avec a = l,

- (c): méthode des sphères rigides avec a = 1.4,

- (d): méthode des sphères rigides avec a =2.

138

Fi~ 3-47 : Influence de la méthode de calcul des intégrales de collision correspondant à

l'interaction C-c+, sur les valeurs de la conductivité thennique du plasma

de PMMA, à la pression atmosphérique

i ;

11, ,11 i. 1

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o •

o •

8<:ri

( >fWjM ) anb1WJaLl1- 91-1/\11-8npU08

139

Nous remarquons que même un coefficient d'ajustement a = 2, donne un pic

assez important fi reste plus élevé que celui trouvé par Kovytia [14]. En utilisant la valeurRC = 1.3 (rayon du carbone) proposée par Ouahes et al [97], on obtient des valeurs de picsencore plus importantes. Par conséquent, les valeurs des pics correspondant aux réactionsd'ionisation que nous avons obtenues, pour les plasmas de PMMA et de PA6-6, sontparfaitement justifiées.

Notons que l'analyse des résultats présentés ne change pas en fonction de la

méthode de calcul de l'intégrale de collision relative à l'interaction C-C+. En effet, nous

utilisons la même méthode de calcul pour tous les plasmas d'isolant étudiés. Par ailleurs,

l'influence de l'interaction C-C+ est pondérée par le produit des fractions molaires Xc et

Xc+. Dans la zone de température 13000K-15000K, ce produit est presque identique pour

les plasmas d'isolant étudiés.

3.5.3. Conductivité électrique

L'étude de la conductivité électrique des plasmas de PMMA et de PA6-6, a étéeffectuée par Kovitya [14] et [15]. La comparaison avec les valeurs que nous avonsobtenues montre des écarts importants aux hautes températures. Les écarts atteignent 25%pour le plasma de PMMA. Ceux observés sur les résultats du plasma de PA6-6 restentinférieurs à 13%.

Ces écarts proviennent des méthodes de calcul des intégrales de collision entres lesparticules chargées. Nous avons adopté la méthode proposée par Devoto [38] à partir dessections efficaces de transport de Liboff. Kovitya utilise les tables de Mason et al [45].

L'utilisation de ces deux méthodes par Ouajji [89], montre qu'elles conduisent àdes valeurs différentes de la conductivité électrique. Les intégrales de collision calculées avecla méthode de Devoto donnent des valeurs plus élevées que celles obtenues avec les tablesde Mason.

3.5.4. Viscosité dynamique

Pour les plasmas de PMMA et de PA6-6, nous avons comparé nos valeurs à cellesobtenues par Kovitya [14] et [15]. Les écarts observés sont importants aux températuresélevées. Comme précédemment, les différences observées sur toute la gamme de températuresont liées au calcul des intégrales de collision (écarts de 7% à 47%).

140

3.5.5. Masse volumique

Nous avons comparé les masses volumiques des plasmas de PMMA et PA6-6 àcelles trouvées par Kovitya [14] et [15]. L'écart relatif reste inférieur à 0.7% dans toute lagamme de température étudiée (cf figure 3-48).

3.5.6. Enthalpie massique

Les résultats obtenus pour les plasmas de PMMA et de PA6-6 sont en très bonaccord avec ceux proposés par Kovitya [14] et [15]. Les légers écarts observés « 1% )

proviennent probablement des calculs des fonctions de partition internes des particules(figure 3-49).

3.5.7. Chaleur massique à pression constante

Pour les plasmas de PMMA et de PA6-6, nos résultats concordent bien avec ceuxobtenus par Kovitya [14] et [15], sauf pour T =5000K. Pour cette valeur de la température,

l'écart entre nos résultats et ceux de Kovitya est de l'ordre de 40%. Pour les autres valeurs

de la température, les écarts restent inférieurs à 8%.

Les différences observées sont probablement dues à la méthode de calcul.

3.5.8. Vitesse du son

Nous avons comparé nos résultats à ceux de Kovitya [14] et [15], pour les

plasmas de PMMA et PA6-6. Nous observons des écarts de l'ordre de 2% pour la PA6-6.Par contre, ils atteignent 13% pour le PMMA.

3.6. Conclusion

La détennination des propriétés de milieu (composition, coefficients de transport,fonctions thermodynamiques), est nécessaire pour une meilleure compréhension desmécanismes régissant les plasmas d'arcs.

L'utilisation des formules établies au chapitre l, a permis l'élaboration d'un

logiciel de calcul des propriétés thermodynamiques et de transport des plasmas de type

CxHyOzNt La présence de vapeurs de cuivre n'a pas été prise en compte. Notons quel'utilisation d'électrodes en carbone, permet de s'affranchir de ce problème au niveau del'expérimentation.

141

Fi&Jlle 3-48 :Masse volumique des plasmas de PMMA et de PA6-6 :comparaisonavec les résultats de Kovitya ([14], [15]), à la pression atmosphérique

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142

Fi~re 3-49 : Enthalpie massique des plasmas de PMMA et de PA6-6 : comparaisonavec les résultats de Kovitya ([14], [15]), à la pression atmosphérique

j 1 \~.

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143

fi faut toutefois signaler que les travaux de certains auteurs (Ouaiji [89], Abbaoui[93] et Cheminat [100]) montrent que la présence du cuivre entraîne certaines modifications

dans le comportement thennique et électrique du plasma. En particulier, il y a augmentation

de la conductivité électrique (J à basse température, en raison de la faible valeur de l'énergie

d'ionisation du cuivre.

Nous avons limité l'étude théorique à quelques isolants (PE, POM, PA6-6,

PMMA et PETP). Pour une meilleure analyse des résultats des plasmas d'isolant, les calculs

ont été étendus aux plasmas d'oxygène, d'azote, d'hydrogène, de carbone, de dioxyde decarbone et d'air. Tous les calculs ont été effectués pour des températures comprises entre

5000K et 3OOOOK, et pour des pressions allant de 1.0 105 Pa à 10.0 105 Pa.

Les résultats obtenus ont pennis de montrer l'importance de certaines particules (H

et CO par exemple) et de souligner leur influence sur les propriétés thermodynamiques et de

transport des divers plasmas d'isolant. L'influence des proportions initiales en atomes C, H,

o et N sur les différentes grandeurs physiques étudiées a aussi été mise en évidence.

Le paramètre important pris en considération est la nature du matériau de paroi.

L'étude théorique des différents plasmas pennet de faire les remarques suivantes:

- les résultats obtenus sont très dépendants des fonctions de partition internes des

différentes particules. fis dépendent également des méthodes de calcul des intégrales decollision. Aux températures élevées (T > 10000K), les intégrales de collision de type

diffusion (1 =1) correspondant aux interactions résonnantes, ont beaucoup d'incidence sur

les valeurs de la conductivité thennique du plasma.

- les caractéristiques des plasmas d'isolant sont étroitement liées au pourcentage

d'hydrogène dans le plasma. Plus le pourcentage des atomes H augmente, et plus on tend

vers les bonnes perfonnances du plasma d'hydrogène pur.

- le pourcentage de carbone C dans la molécule CxHyOzNt, détermine la valeur dela conductivité électrique notamment à basse température (T < 10000K). Ceci est lié à la

faible énergie d'ionisation du carbone par rapport à celle des atomes H, 0 et N. L'influence

du carbone sur la conductivité thennique totale, se manifeste à travers sa composante de

translation des électrons.

- la présence des particules CO entraîne une diminution de la conductivité

électrique, mais aussi celle du flux de puissance p.h.a, à basse température.

- on constate que les plasmas d'isolant possèdent de meilleures caractéristiquesque les plasmas d'air, d'oxygène et d'azote.

144

11 est possible à partir de l'analyse proposée d'effectuer une sélection de matériau,en considérant les quatre principales grandeurs physiques suivantes:

- la conductivité thennique: Â,

- la conductivité électrique : 0,

-la densité d'énergie

- le flux de puissance

: p.h,

: p.h.a.

L'ensemble des résultats présentés laisse prévoir un mauvais comportement duPElP vis à vis de la coupure des arcs électriques. Cette étude ne permet pas de faire unedistinction entre les performances des plasmas de PMMA et de PA6-6. Par contre, celle-ciapparaît dans l'étude expérimentale. Pour apporter des éléments de réponse, il est nécessairede prendre en compte les dimensions de la chambre de coupure et la pression. Ceci ne peutêtre fait que lors de la modélisation des plasmas d'arc laminé. En effet, les résultats que nousavons présentés ne sont pas directement liés au phénomène de laminage de l'arc.

Pour les plasmas de PE et de POM, il a y concordance entre les résultatsthéoriques et expérimentaux.

Les résultats expérimentaux sont exposés dans le chapitre suivant.

3.7. Cas particulier du plasma de PTFE

Le calcul des coefficients de transport, a été effectué pour le plasma de PTFE. Cescoefficients de transport dépendent de la composition du milieu et des intégrales de collisionentre les différentes particules.

La composition d'équilibre du plasma de PTFE a été déterminée par Cheminat[110] et Abbaoui [111]. Entre SOOOK et 12000K, la composition d'équilibre est calculée àl'aide de la méthode de minimisation de l'énergie libre de Gibbs. Pour les températuressupérieures à 12000K, la méthode adoptée est identique à celle utilisée pour les plasmas dutype CxHyOzNt. La jonction des deux méthodes entraine, dans la zone de température11000K-13000K, de légers défauts sur certaines courbes.

Nous ne donnons ici que les résultats des coefficients de transport suivant:

- la conductivité thermique: Â,

- la conductivité électrique : 0,

-la viscosité dynamique : 11.

La pression de travail considérée est de 1.0 105 Pa.

145

3.7.1. Intégrales de collision

Les intégrales de collision nécessaires au calcul des coefficients de transport sontrésumées dans le tableau 3-6. Le tableau 3-7 regroupe les différentes données indispensablesau calcul Les ions moléculaires n'ont pas été pris en compte dans le calcul de la compositiond'équilibre et des propriétés de transport du plasma de P1FE.

:::~::: il' e- C F C2 F2 CF C+ F+ C++ F++

1~ 38 :.~ ~: ;; ~: ~; ~~ ~: ~ :;

C2 S.R T * S.R M.P M.P M.P M.P

F2 T * S.R S.R S.R S.R S.R

CF S.R M.P M.P M.P M.P

c+ 38 38 38 38

I~+ 38 :: ::

::::1:1 F++ 38

~

Particules

R en 10-10 m111111

C F Cz FZ CFI1.7 [113] 1.35 [64] 2.14 (a) 1.7 (a) 1.946 (a) il:III:::

10-30 3 0.96 053 0.64a en m [98]· [90] [17]

5890.67 5890.67 121.0[17][64] [64]

ou enK1 Tb 85.85 [90]

146

3.7.2. Résultats -Interprétation

3.7.2.1. Conductivité thermique

Sur la figure 3-50, nous avons représenté l'évolution de la conductivité thermique,

en fonction de la température, pour différentes méthodes de calcul des intégrales de collision.

Les différentes courbes correspondent respectivement aux méthodes suivantes:

- (a) : méthodes figurant dans le tableau 3-7,

- (b) : méthode des sphères rigides pour l'interaction F-P+,

- (c): méthode de la polarisabilité pour l'interaction F-P+,

- (d) : méthode de la polarisabilité pour les interactions F-P+ et C-c+.

On remarque que toutes les courbes de la figures 3-50 présentent deux pics. Ces

pics correspondent respectivement aux réactions d'ionisation des atomes de carbone C et de

fluor F. Ces différentes courbes mettent en évidence l'influence de l'interaction F-P+ sur les

valeurs de la conductivité thermique.

Pour la suite nous avons retenu les intégrales de collision permettant d'obtenir la

courbe (a). Cette courbe tient compte du transfert de charge lors de la collision F-P+.

Nous avons représenté sur la figure 3-51 l'évolution de la conductivité thermique

du plasma de PE, d'hydrogène et de P1FE. On remarque que la conductivité Â. du plasma de

PTFE reste inférieure à celles des plasmas de PE et d'hydrogène, dans la gamme 5000K­

3()()()()K. Ces résultats montrent l'importance des atomes d'hydrogène dans les isolants.

La conductivité thermique du plasma de PTFE, a été déterminée par Kovitya [14].

Nous avons reporté, dans le tableau 3-8, les résultats obtenus par cet auteur pour quelques

valeurs de la température. Pour T ~ 9000K, nos valeurs sont supérieures à celles calculées

par Kovitya. Aux basses températures, les valeurs proposées par Kovitya sont plus élevées

que les nôtres.

Comme pour les plasmas de PMMA et de PA6-6, les différences observées

peuvent provenir des méthodes de calcul des intégrales de collision.

147

Fiwe 3-50 :Influence des intégrales de collision sur les valeurs de la conductivitéthermique du plasma de P1FE, à la pression atmosphérique

j 1 1

i 1 1t

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0.--1---

~ruL=:J+JrdL

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"'<t-E

....... rul-

( ){W/M ) anb1WJaLf+ 9+1/\1+8npU08

148

Fi&Jlre 3-51 :Evolution de la conductivité thermique des plasmas de PTFE, de PEet de H2, en fonction de la température, à la pression atmosphérique

1 1

1 1

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c> N ..q- co CQ qcO co Lrl -<:f' M N ~

( >fUJ/M ) anb1WJaL/+ 9+1/\1+8npU08

149

0.414

5.0E 3

7.0E 3

......................................................................................................................................................................................................................................w.:;:;

Kovitya [14] cette étude l)!;Â 0 ~ Â 0 ~ 1

(w/m.K) (mho/m) (\(1"6 Pu) (w/m.K) (mh~) (l(f6 Pu)11.260 13.6 139.4 0.519 81.1 107.0 .~i::::

544.2 169.3 0.321 769.0 130.0

9.0E 3

13.0 E 3

17.0 E 3

21.0E 3

25.0E 3

30.0E 3

0.743

1.750

2.800

3.270

4.110

5.530

1986.0 184.6 1.230 2580.0 153.0

4918.0 124.7 3.570 7800.0 197.0

7433.0 60.3 3.730 10700.0 57.7

9702.0 21.0 3.830 13400.0 23.3

10790.0 16.6 4.870 15000.0 20.3

10750.0 12.4 6.680 15800.0 15.1 11111

3.7.2.2. Conductivité électrique

La figure 3-52 représente l'évolution de la conductivité électrique 0 des plasmas de

PTFE, de PE et d'hydrogène, en fonction de la température. On constate que la conductivité

électrique du plasma de PTFE est plus élevée que celle des plasmas de PE et d'hydrogène.

Si nous considérons l'équation régissant la tension d'arc U =El =(I..t)/(o.S) ; il

en résulte qu'une conductivité électrique très importante va conduire à des champs

électriques faibles. Ce qui est défavorable pour la coupure dans le cas des arcs électriques

laminés.

Dans le tableau 3-8, nous avons reporté quelques valeurs obtenues par Kovitya

[14]. Nos valeurs sont supérieures à celles obtenues par cet auteur dans toute la gamme de

température. Ceci s'explique par le fait que nous avons calculé les intégrales de collision

correspondant aux interactions chargé-ehargé à l'aide de la méthode de Devoto [38].

3.7.2.3. Viscosité dynamique

L'évolution de la viscosité du plasma de PTFE en fonction de la température, est

représentée sur la figure 3-53. Nous avons également reporté sur cette figure les résultats des

plasmas de PE et d'hydrogène.

150

Fi~ 3-52 : Evolution de la conductivité électrique des plasmas de PIFE, de PEet de m, en fonction de la température, à la pression annosphérique

1

1

~l Wl N

CLI CL ::t:1

~ 'l( 0

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~(Y)

0.,-1---

~ruL::J

+-JCOL,ruQ- E- ru~

en

151

Fi~ 3-53 :Evolution de la viscosité dynamique des plasmas de PTFE, de PEet de Hl, en fonction de la température, àla pression atmosphérique

1 1

1 1~I ~I ~~.

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en

152

Les variations de la viscosité dynamique du plasma de PTFE, s'expliquent de lamême manière qu'au paragraphe 3.2.4. Les valeurs élevées de la viscosité dynamique duplasma de PTFE, sont liées àla présence des atomes de fluor F dans le milieu.

Nous avons comparé nos résultats avec ceux de Kovitya (tableau 3-8). Onconstate principalement un décalage du pic de la viscosité dynamique. Le pic obtenu parKovitya, se situe à une température plus faible que celle que nous obtenons.

3.7.2.4. Conclusion

Les calculs des coefficients de transport du plasma de PTFE, ont été effectués à lapression atmosphérique, pour des températures comprises entre SOOOK et 30000K.

Les résultats obtenus montrent que la conductivité thermique est très liée auxintégrales de collision, principalement à l'intégrale de collision correspondant à l'interaction

F-P+.

Nous remarquons que ce plasma présente de moins bonnes caractéristiques (O',Â.),

comparées à celles des plasmas de PE et d'hydrogène. Ces résultats sont en accord avec lesobservations expérimentales.

153

CHAPITRE 4 : ETUDE EXPERIMENTALE

Pom bien maîtriser l'énergie produite par l'arc électrique dans les appareils decoupure, différentes techniques ont été et continuent d'être développées. C'est ainsi que lesétudes menées à la Télémécanique Electrique, ont permis d'imaginer une nouvelle techniquede coupme basée sur le laminage de l'arc entre deux pièces isolantes [3].

L'étude expérimentale que nous présentons a été entreprise pour pennettre :

- l'évaluation des perfonnances de limitation du courant de la nouvelle techniquede coupure,

- l'amélioration et l'optimisation des performances de cette dernière technique enfaisant varier les paramètres constructifs de la chambre de coupure (géométrie,matériaux de parois, pression etc...).

L'évaluation des performances de limitation du nouveau procédé de coupure estfaite à l'aide de mesures de grandeurs macroscopiques et de mesures spectroscopiques. Ledispositif expérimental a été conçu en prenant en compte deux principaux paramètres : la

nature du matériau de paroi et la largeur de fente laissée disponible à l'arc.

Le dispositifexpérimental présenté dans ce mémoire pennet d'effectuer:

- des mesures de grandeurs électriques telles que le courant, la tension et le champélectrique,

- des mesures de grandeurs de type mécanique, essentiellement la pression,- des mesures dans des conditions de fonctionnement particulières (videprimaire, atmosphère contrôlée).

L'efficacité de la coupure est déterminée principalement à l'aide des mesures ducourant et du champ électrique.

La connaissance de la pression est indispensable au calcul théorique exposé dansles chapitres précédents (composition d'équilibre, coefficients de transport et fonctionsthennodynamiques). Par ailleurs, elle pennet une estimation des contraintes mécaniquesprovoquées par le laminage de l'arc. Cette estimation est importante pour ledimensionnement de l'appareillage de coupure.

Les essais sous atmosphère contrôlée contribuent à la détermination de la naturedes plasmas étudiés.

154

Dans ce chapitre nous aborderons les points suivants:

- les différentes techniques de coupure existantes, afm de situer la technique deTélémécanique Electrique par rapport aux méthodes classiques,

- l'appareil de coupure de Télémécanique: description de son fonctionnement,

- le dispositif expérimental (maquette - capteurs de mesure - acquisition),

- les résultats expérimentaux obtenus.

4.1. Les différentes techniques de coupure [2] et (102]

4.1.1. Généralités

Dans certaines conditions de fonctionnement, en particulier en cas de court-circuitou de s1D1ension, l'interruption du courant doit intervenir impérativement et rapidement afmd'assurer la protection des circuits d'utilisation de l'énergie électrique.

Pour réaliser cette coupure, il suffit d'interrompre la continuité du circuitélectrique, autrement dit passer d'une résistance nulle à une résistance infinie. Si le principeparaît simple, la mise en œuvre l'est beaucoup moins.

En effet, l'interruption de tout circuit électrique ne peut s'effectuer sans unecertaine dépense d'énergie contenue dans le circuit, notamment en courant continu. C'estcette fonction essentielle de dissipateur d'énergie qui est attribuée aux appareils de coupure(disjoncteurs, contacteurs, sectionneurs etc...).

En cas de défaut, il y a séparation des contacts électriques et un arc électriqueapparaît inéluctablement Le problème majeur est de contrôler et d'éteindre ou d'étouffer aubesoin cet arc.

Différentes techniques ont été développées afin de maîtriser l'énergie produite parl'arc de coupure.

4.1.2. Processus de coupure

fi convient de faire la distinction entre la coupure en courant continu et en courantalternatif. Nous nous intéresserons essentiellement à la coupure en courant alternatif.

155

En courant continu :

Le courant doit être fOl'C~ à zéro et il faut obligatoirement dissiper une ~nergie au

moins ~gale ll'~nergie ~Iectromagn~tique contenue dans le circuit ~Iectrique (L.I2/1). Lest

l'inductance du circuit et 1 la valeur du courant continu. En g~néral, la coupure en courantcontinu est obtenue de deux manières:

- en accroissant la tension d'arc entre les contacts jusqu'à ce que cette dernière soitsupérieure à la f.e.m de la source pour que le courant s'annule,

- en provoquant une oscillation du courant grâce à des condensateurs, afin de créerun passage par zéro du courant

En cOurant alternatif :

Le passage naturel par zéro du courant (chaque lOIns en 50Hz) fournit une aideconsidérable. L'énergie à dépenser est alors minimale, elle ne peut être nulle [2].

Après la séparation des contacts, le courant électrique continue de passer à traversun arc ~Iectrique qui jaillit entre ces derniers. Cet arc électrique (ou plasma) est le résultat de

l'ionisation des atomes du fluide inter-contacts et du flux d'électrons arrachés aux électrodes.L'ionisation dure tant que la puissance apponée à l'arc sous forme "d'effet joule", estsuffisante pour compenser les pertes par conduction, par convection et par rayonnement

Dès que le courant décroît et s'approche de zéro, la puissance dégagée par l'arcdevient inf~rieure à la puissance thermique cédée au milieu environnant n se produit unrefroidissement de l'arc. On observe alors une baisse des mécanismes d'ionisation et parsuite une décroissance de la conductance de l'arc. L'arc électrique réalise ainsiautomatiquement la synchronisation entre le passage par zéro du courant, et la décroissancede sa propre conductance.

Toute la difficulté de la coupure, va résider dans la vitesse de variation de cette

conductance. Cette vitesse de variation traduit l'aptitude de l'arc à passer, plus ou moinsrapidement, de l'état conducteur à l'état isolant

nexiste quelques problèmes liés à la coupure en courant alternatif :

- l'appareil de coupure doit pouvoir absorber sans dommage l'énergie dépenséedans l'arc, pendant l'attente du zéro du courant,

- il existe des possibilités de réallumages thermique et diélectrique dus à desemballements thermiques, et donc des risqùes d'échec de la coupure.

156

4.1.3.2. Coupure dans l'huile

Cette technique doit son apparition à la nécessité d'élever la tension de réseaux.

La coupure dans l 'huile peut être assimilée à la coupure dans l'hydrogène. Eneffet, lors de la coupure, l'huile est décomposée par l'arc et il se forme une quantité

importante d'hydrogène (environ 70%). Ce dernier s'avère être un excellent agent extincteur.

n possède une faible constante de temps grâce à ses propriétés thermiques qui sont d'autant

plus efficaces que la pression est plus élevée.

Des méthodes de confinement de la bulle (par soufflage axial et transversal) dans

des pots de coupures, ont permis l'utilisation de faibles quantités d'huile. Mais la nécessité

d'une maintenance, l'irréversibilité de la décomposition et les risques d'explosion ont

entrainé son abandon progressif.

4.1.3.3. Coupure dans l'air comprimé

L'air comprimé se comporte comme un bon agent extincteur. Du fait de la pression

élevée, il possède une rigidité diélectrique élevée et des performances thermiques très

supérieures à celles de l'air atmosphérique.

Les appareils de coupure les plus récents utilisent un double soufflage radial de

l'arc. n s'ensuit un refroidissement énergique de l'arc; la désionisation est alors facilitée.

La coupure dans l'air comprimé est surtout utilisée en moyenne tension. Les

inconvénients présentés par les appareils de coupure à air comprimé sont:

-l'entretien du compresseur,

- le bruit de la détente de l'air comprimé lors des manoeuvres rend difficile leur

emploi près des villes.

4.1.3.4. Coupure dans l'hexanuorure de soufre (SF6)

La coupure dans l 'hexafluorure de soufre domine actuellement toute la haute

tension et occupe une place importante en moyenne tension.

De nombreuses recherches entreprises sur ce gaz, ont montré que ce dernier

possède des qualités remarquables liées à ses propriétés physico-chimiques. n présente, à

pression égale, une rigidité diélectrique supérieure à celle de la plupart des milieux connus.

Le caractère très électronégatif du fluor, donne à ce gaz une extraordinaire capacité

d'extinction de l'arc [102].

158

Tous les moyens de désionisatioo déjà utilisés pour les autres milieux, peuventêtre mis à profit dans le cas de la coupure dans l'hexafluorure de soufre.

4.1.3.5. Coupure dans le vide

A priori le vide apparaît comme un milieu idéal pour l'extinction de l'arc. En effet,l'absence de matière n'offre aucun support au maintien de l'arc électrique.

Cependant, dans la pratique on observe que:

- les vides réels ne sont pas parfaits,

- il Ya amorçage d'un arc électrique de forte intensité à la séparation des contacts;ce qui entraîne une vaporisation des électrodes.

Du fait de la dépression environnante, les vapeurs métalliques sont condensées surdes écrans métalliques disposés d'ailleurs à cet effet Cette technique de coupure dépendétroitement du matériau de contact, ainsi que de sa forme. Les formes des contacts sontétudiées pour empêcher la formation d'arcs concentrés (à fort courant).

Leur utilisation se limite à la moyenne et à la basse tension . Ils ont à leur avantagel'encombrement réduit, une endurance électrique et l'absence de maintien (excepté lesoudage des contacts).

4.1.3.6. Coupure statique

Ce type de coupure sans arc fait appel aux semi-conducteurs. Les principauxavantages des semi-conducteurs en coupure sont:

- l'obtention de coupure idéale sans surtension de manoeuvre,

-l'absence d'usure et d'entretien,

- la possibilité de prédéterminer parfaitement les performances de l'appareil.

Malheureusement, ils sont incapables de supporter des fortes surcharges mêmerelativement brèves. Toutefois, ce handicap pourra être sunnonté par le développement demoyens de synchronisation assez performants, afin de minimiser au mieux les contraintesthermiques auxquelles ils sont soumis.

159

4.1.3.7. Autres types de coupure (102]

Coupure dans des matériaux solides :

Cette méthode utilise le soufflage de l'arc par un courant gazeux provoqué par

l'ablation de matériaux solides entourant l'arc. Elle a été utilisée dans des interrupteurs de

charge et dans les fusibles de puissance. L'acide borique par exemple, est effectivement

employé comme source de gaz dans les fusibles à "expulsion" [103] et [104].

Coupure dans l'eau :

L'eau pure a été employée ([105], [106]), comme substitut non inflammable àl'huile. Mais des problèmes d'isolation ont limité son utilisation, et aucun appareil n'a étéconstruit.

4.1.4. Les différentes chambres de coupure existantes

Des chambres de coupure ont été étudiées et conçues pour permettre

l'allongement, le fractionnement et le refroidissement de l'arc électrique, afin d'obtenir sonextinction.

De manière générale, l'arc électrique créé à la séparation des contacts électriquesest déplacé en dehors de la région des électrodes vers une cheminée par soufflage

magnétique ou gazeux. A l'intérieur de la cheminée, la coupure est achevée en faisant subir à

l'arc un ou plusieurs des trois procédés de traitement (allongement, fractionnement et

refroidissement).

Il existe quatre types de chambres:

les chambres à lamina~ :

L'arc une fois amorcé, est introduit dans la chambre où il subit un allongement Il

passe ensuite par une fente étroite pour un refroidissement au contact des parois. Lelaminage simple est utilisé pour des faibles courants. Pour des courants plus importants, on

utilise le laminage multiple (plusieurs fentes en parallèle).

les chambres à chicanes :

Elles sont constituées de parois en matières isolantes, dont les nervures confèrent àl'arc un trajet en "ZIG -ZAG". Il s'ensuit un refroidissement assez rapide de l'arc.

160

les chambres à alvéoles :

Elles sont caractérisées par une swface de refroidissement très importante de l'arc,du fait d'un jeu de tuyères en céramique constituant des alvéoles.

les chambres à cloisons métalliques :

Elles sont conçues pour permettre l'accroissement de la tension d'arc parfragmentation, ainsi que son maintien à une valeur à peu près constante durant la coupure.Dans ces chambres, l'arc est divisé par un grand nombre de plaques métalliques.

4.2. La nouvelle tecbnique de coupure [3]

Dans l'appareillage de coupure classique ( exposé précédemment), la coupure estbasée sur l'allongement rapide de l'arc entre les contacts, suivi de son extinction parrefroidissement entre des ailettes métalliques. Les limites de performances de ces appareilsclassiques sont presque actuellement atteintes.

Les études menées à la Télémécanique Electrique sur les arcs de coupure, ontpermis la conception d'une nouvelle technique de limitation basée sur le laminage de l'arcentre deux pièces isolantes. L'une des deux pièces est fixe et peut appartenir au boîtier de lachambre de coupure, et l'autre est mobile (cf figure 4-2). Cette dernière appelée "écran" estde faible inertie et peut donc être mise rapidement en mouvement.

L'arc est contraint de prendre une section très réduite imposée par le jeudisponible entre les deux pièces isolantes. Le laminage de l'arc est réalisé hors de la zone descontacts.

En considérant l'équation régissant la tension d'arc U= E..t=(I.l)/(a.S), on voit

qu'il est possible de réguler cette tension en jouant sur la section imposée à l'arc. On obtientainsi des limitations de courant très efficaces. Les performances obtenues par cet appareil,sont indépendantes de la nature du matériau de contact et sont équivalentes à celles trouvéesdans les fusibles (cf figure 4-3).

Les avantages de cette nouvelle méthode de limitation du courant sont nombreux[3] :

- les performances obtenues sont très satisfaisantes même aux tensionsd'alimentation élevées,

- cette nouvelle technique ouvre la voie à un appareillage de coupure plusperformant et d'encombrement plus réduit que l'appareillage actuel,

161

a) Dispositif à écran 32 A

1

b) fusible 32 A aM

8

6

4

2

FiiJlre 4-3 : Comparaison des coupures par écran et par fusible(Jeff. présumé : 6 kA - U essai : 242 V)

162

- il est possible d'orienter le choix du matériau de contact pour garantir la nonsoudure et assurer un grand nombre de manoeuvres de l'appareil,

- on se garantit des reclaquages au niveau des contacts, et une très bonne tenuediélectrique de l'appareil de coupure après essais est assurée.

Le laminage de l'arc entraîne de fortes interactions et soumet l'appareil à descontraintes importantes. nva de soi que la nature du matériau de paroi et la géométrie de lachambre, vont jouer un rôle très important sur les perfonnances de limitation du courant

C'est dans ce sens que le diagnostic expérimental a été mis en œuvre.

4.3. Dispositif expérimental

11 comprend la chambre à arc, le circuit d'alimentation, les capteurs de mesure, lachaîne d'acquisition, ainsi que la cloche à vide ou à atmosphère contrôlée. Le dispositifexpérimental permet d'effectuer:

- des mesures de grandeurs électriques (courant - tension - champ électrique),- des mesures de la pression,- des essais sous vide primaire et sous atmosphère contrôlée.

4.3.1. Chambre à arc • maquette utilisée

Pour les études menées au laboratoire, une maquette particulière a été mise aupoint (figure 4-4). La configuration adoptée permet de s'affranchir du mouvementmécanique du dispositif réel. En outre, l'implantation des capteurs de mesure, le changementde matériaux à étudier et le réglage de la largeur de fente (ou zone) de laminage, sont trèslargement facilités.

La chambre à arc conçue comporte deux joues latérales sur lesquelles sont fixés lesmatériaux étudiés (cf figure 4-5). L'arc électrique prend forme dans une fente dont la largeurest réglable à l'aide d'un système de cales. La chambre est montée sur un support en bakélitesur lequel sont vissées les électrodes d'amenée du courant L'ensemble ainsi fonné, est reliéà un banc d'essai par des pièces de fixation pennettant une rotation du dispositif autour d'unaxe vertical.

La maquette obtenue est montée sur un système "Microcontrôle" de hauteprécision qui permet un déplacement de la chambre de coupure selon trois axes. Uneplaquette du matériau étudié, est plaquée contre le fond de la chambre à arc. En face avant,une lamelle en plexiglas empêche le soufflage de l'arc vers l'extérieur de la chambre.

163

support de,---------lachambre

de coupure

chambre à arc

___} pièces defixation

\IJ'~_"

électrodesd'amenéedu courant

......"" '." ::::~.:.;::~::

11

_ matériau isolant

Ij:::::j:f\W=!=j::ml cuivre ".:.:.:."

~~'=:wn 1........... ······:·:;@M~1.1r·"'x'."'.:.::."'.;., .."""''''.;...;.:·:·:·,,·.,·;·:·:·;·:v;·••·:·;·.:·:·,,·,,·.,·,,·;·;·;·:·:·:.:.;.;.:.:•••",.:.:.".;",•••;.:,,,,.;••, •••;.;.;.;.;.:.:.".".".;,""";':'"'''':';';''''';'.''':':''' ·VlfHM~\1f~:::~;;:;:·:~:::~;::::::;;;:}m~

MKt:Œ~ Fl~ 4-4 : Schéma de la maquette (vue de face) htr:::;:K:~i':: ......

. :i~:;1i~L:ii::>:'?<'i'::>:=~._w:'<'::>,~<.""<-.<:.. ::<i'''':::i~='~···ii''<:~~v':''=<:'''''''';·''''=~~W._'>':':'''i::iN'';;·,::~:~ ~'i:.",,:,:,~I~~l,*:::::,~;;. ..'..~I~m~~

:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.;.;.:.;.:.:.:.:.;.:.:.:.:.:.:.:.:.:.;.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:

Lamelle enplexiglass

Parois latérales ~1=i=t==::~~~~(échantillons d'étude)

Cale

Fil fusible

Electrode

164

Elle pennet de plus au plasma de rester en surpression, ceci par analogie avec la

situation réelle dans les appareils de coupure. Le choix du plexiglas est motivé par la

transparence de ce dernier au cours de la décharge. Cette transparence est indispensable àl'analyse spectrométrique de la décharge. Il convient de souligner que l'influence de la

lamelle est négligeable.

4.3.2. Circuit d'alimentation de l'arc (cf figure 4-6)

La tension nécessaire à l'amorçage et au maintien de l'arc, est fournie par une

batterie de condensateurs 520V, 2000A. Elle a été réalisée au laboratoire; la description

détaillée de cette alimentation est fait par Laurent [109].

L'amorçage de l'arc se fait par l'intermédiaire d'un fIl fusible en cuivre de O.lmm

de diamètre placé entre les deux électrodes d'amenée du courant. L'inductance de 38 J.1Hmise en série avec l'arc, permet d'obtenir une onde de courant dont la forme est proche de

celle d'une sinusoïde, ceci par similitude avec l'appareillage de coupure réel.

DDParois

Fil fusible

.........................................................

Mesuredu courant

Inductance

Groupe decondensateurs

::::1::·······b.~·~.m···m··m···m·····m·m····m·····~···m·····~·········~·····7'C·······~········7'C ~7'C0"'m· ·0"'7'C:..0"'·..:·7'C.:..:..:..:..:0"'..:..:..:..:..C"'C:: .. : ..:0"'..:::: m ~m:..:..:0""..:.. ======~

~::~,,:~~uit d'a!hnentarion de l'arc

4.3.3. Capteurs de mesure

Les grandeurs physiques considérées sont: le courant d'arc, la tension d'arc, le

champ électrique et la pression.

165

mesure du courant et de la tension d'arc :

La mesure du courant d'arc est effectuée à l'aide d'un capteur dont le principe de

fonetÎonnement est basé sur l'effet Hall. Le capteur utilisé est du type LEM LA 1500TS. nest placé en série avec l'arc.

La tension d'arc est prise entre les électnxles. La mesure est obtenue à l'aide d'un

capteur de type LEM de tension (même principe que précédemment).

Le fonetÎonnement de ces deux capteurs, est basé sur la compensation du courant

primaire par un courant secondaire dit de mesure. L'isolation galvanique entre la chaîne

d'acquisition et les grandeurs mesurées, est ainsi assurée.

mesure du champ électriqye :

Deux sondes en tungstène thorié de 0.8mm de diamètre implantées dans la

chambre (cf figure 4-7), pennettent la mesure du champ électrique. Nous avons supposé que

la chute de tension sonde-plasma est identique pour les deux sondes, et que le champ

électrique est constant dans l'intervalle inter-sondes.

mesure de la pression :

La figure 4-7 montre l'implantation du capteur de pression dans la chambre. lecapteur utilisé est un capteur piézoélectrique (Kistler 601A) de 0.55mm de diamètre. npermet la mesure de pressions comprises entre 0 et 250.0 105 Pa.

Sous l'effet d'une contrainte mécanique, le capteur piézoélectrique se polarise et

fournit une charge Q proportionnelle à cette contrainte. Les charges ainsi produites, sont

intégrées par un amplificateur de charge qui délivre une tension U définie par :

U=~Cg

où Cg est la capacité du condensateur de contre réaction du premier étage de l'amplificateur

de charge.

4.3.4. Cloche à vide ou à atmosphère contrôlée

Ce dispositif permet d'effectuer des essais sous vide primaire et sous atmosphère

contrôlée. Il est constitué d'une cloche et d'une pompe à vide. La chambre à arc est solidaire

du couvercle de la cloche. Des orifices ont été prévus pour pennettre la circulation de gaz et

l'implantation des capteurs de mesure.

166

4.4. Résultats expérimentaux - Analyse

Le dispositif expérimental précédemment décrit, pennet d'effectuer des mesures depression et des caractéristiques électriques de l'arc laminé à parois ablatives.

A partir des mesures, il est possible de déterminer par calcul d'autrescaractéristiques telles que la puissance dissipée et la résistance de l'arc.

Les performances de coupure de l'appareillage dépendent d'une bonne limitationdu courant d'arc et donc d'une valeur élevée du champ électrique. Une attention particulièreest donc à donner aux mesures du courant et du champ électrique.

4.4.1. Courant - tension -puissance dissipée d'un arc électrique laminé

La figure 4-9 donne l'allure des signaux obtenus pour ces trois grandeurs avec unéchantillon en céramique. La largeur de fente utilisée est de lIrun.

Le pic observé sur le front de montée de l'enregistrement du courant, correspond àla fusion du fIl fusible. Nous remarquons que la tension d'arc prend une valeur constante(U#300V) pendant toute la durée de la décharge.

La puissance dissipée durant la décharge est calculée à partir des valeursinstantanées du courant et de la tension d'arc.

L'intérêt du laminage de l'arc dans un appareil de coupure, peut être mis enévidence en comparant les courbes précédentes (cf figure 4-9) à celles de la figure 4-10.Cette dernière figure montre l'évolution du courant, de la tension et de la puissance dissipéedans le cas d'un arc électrique non laminé ( parois supprimées). Pour une puissanceéquivalente, l'intensité du courant est plus élevée dans le cas d'un arc non laminé, et lavaleur de la tension est plus faible.

Des essais ont été effectués en faisant varier la largeur de la fente et la nature dumatériau de paroi. Les matériaux testés sont des produits commerciaux courants (polymères,matériaux composites à base de polymères, céramiques). Pour un matériau donné et pour lesmêmes conditions expérimentales, l'intensité du courant d'arc décroit lorsque la largeur defente diminue.

Certains matériaux donnent des résultats similaires ; les plus significatifs sontdonnés par Cheminat [4]. Les matériaux donnant de fortes valeurs du courant, par exemplela céramique ou le PTFE, ne présentent pas beaucoup d'intérêt pour la coupure par laminagede l'arc.Une première sélection de matériaux, peut donc être effectuée à partir des valeursmaximales de l'intensité du courant.

168

la [ A1

1600

1200

800

400

DI.o-_..........~---"_-L_~_ ......... -J-_~_..J

5DO ..Ua [ V 1

400 ~

3DD -

200 ..

100 -

4ooDDO

3DODDO

2DODDO

IODOOO

2Ua x la [ V ]

6

Fi&Ure 4-9 : Courant, tension et puissance d'un arc électrique laminédans un chambre de hmn de fente (Céramique)

169

Fi~ 4-10 : Courant, tension et puissance d'un arc électrique non laminé

170

On remarque que:

- la céramique et le PTFE laissent passer des intensités de courant de l'ordre de1600A pour des fentes de O.65mm,

- les polymères retenus pour l'étude théorique donnent des courants dontl'intensité est comprise entre 600A et 9OOA, pour la même largeur de fente.

4.4.2. Champ électrique

Les enregistrements obtenus montrent que le champ électrique axial évolue de lamême manière que la tension d'arc (cf figure 4-9). Les mesures effectuées concernentuniquement le champ électrique axial; le champ radial étant négligeable ([6] et [7]).

Les performances de la nouvelle technique de coupure sont étroitement liées à lavaleur du champ électrique. Pour obtenir une bonne efficacité de la coupure, il est nécessaired'atteindre des valeurs de champ électrique très élevées.

L'évolution du champ électrique, en fonction de la largeur de fente et de la naturedu matériau de paroi, est mise en évidence sur la figure 4-11. Cette figure représente lesvariations du champ électrique E, en fonction de la largeur de fente 4, pour différentsmatériaux [101].

L'observation des courbes E=f(4) montre que:

- certains matériaux comme le PMMA, laissent espérer des valeurs de champélectrique plus élevées pour des largeurs de fente inférieures à O.55mm,

- d'autres comme le PETP, dont la courbe E= f(4) présente une concavité tournéevers les faibles valeurs du champ électrique, sont moins intéressants pour defaibles largeurs de fente.

Il faut noter que dans le dispositif réel, les largeurs de fente sont inférieures àO.55mm. Mais, la tension maximale de charge des condensateurs (520V ) ne permet pasd'effectuer des essais pour des largeurs de fente plus petites que O.55mm.

4.4.3. Pression

La connaissance de la pression permet de déterminer le rôle joué par la swpressionentraînée par la vaporisation des parois lors de la coupure.

La figure 4-12 représente l'évolution de la pression, en fonction du temps, pour lePA6-6, avec une largeur de fente de Imm.

171

~_......._a.-......L....A.....I........~.......__~_a.-..~......_+ ~

· X 4

~

· + "Lf)0'

w0..

0 1-0'

+ )C) C 4 " Lf) ........~E

E......"

<0-

· -11- ~ <1>

~

C<1>

0..<0-

L r' + OC 4 • Lf) <1>

0 W r-.. u0.. 0.. "L

+ <1:J<1>0>

· L• r-.. ro

\

oc{ ~LI.OL oc{0.. 0...0 o +

., X C

X C

.Lf)1.0

Fi&Ure 4-11 : Variation du champ électrique E, en fonction dela largeur de fente Lf, pour différents matériaux

172

2000 ICA)

1600

1200

B00

400

0 TCl' c)6 B 100 2 4500 ~UCV)

1-

400 ~

l-

l300 ~ -

~~

200 1-

"-

100 1-

-0 1 ..J- I , , \ 1 1 1

0 2 4 6 B TCuf c) 1040 PC 10"5 Pa)

30

20

10

0 TC II a) lb-10

Fiwe 4-12 : Courant, tension et pression d'un arc électrique laminédans une chambre de 1mm de fente (PA6-6)

173

L'expérimentation reste délicate en raison des risques d'amorçage sur le capteurpiézoélectrique. Ces risques proviennent des importantes contraintes thenniques auxquellesest soumis le capteur. La température de la zone froide entourant l'arc O'arc constituant lazone chaude), est estimée au environ de 3000K ([10] et [15]).

Sur la figure 4-11, on remarque que la variation de la pression comporte unevaleur moyenne sur laquelle se superposent des fluctuations. Ces fluctuations sont dues àdes oscillations provenant de la fréquence propre du capteur.

En effet, l'explosion du fIl fusible provoque une variation rapide de la pressiondans la chambre de coupure. fi en résulte une oscillation de fréquence 150kHz. Après labrusque montée de la pression, le signal passe par une valeur négative avant d'atteindre unpalier positif. La valeur de la pression repasse par un valeur négative après l'instant t=3ms.Le temps de retour du capteur à l'état de fonctionnement normal, est de l'ordre de 300ms.

Le signal négatif observé, provient d'un échauffement excessif de la membrane ducapteur piézoélectrique protégée par un adhésif de quelques dixièmes de mm d'épaisseur,lors des essais. Ces hypothèses ont été confirmées par le constructeur.

Cependant, ces problèmes altèrent peu la valeur moyenne de la pressioncorrespondant à l'instant où le courant est maximal.

Nous avons effectué des mesures de pression pour différents matériaux et pourdeux largeurs de fente (0.75mm et Imm). L'ensemble des résultats obtenus, est résumé dansles références [7] et [5].

Les valeurs obtenues pour les différents matériaux sont assez proches. Elles sont

comprises entre 2.5 105 Pa et 4.5 105 Pa. Toutefois, on constate, pour une largeur de fente

donnée et pour un courant identique, que les matériaux ayant les valeurs les plus élevées dela pression, sont ceux qui donnent des champs électriques importants.

Les valeurs de la pression ne permettent pas de faire un choix de matériaux, maiselles constituent un critère favorisant la coupure [5]. Par ailleurs sa connaissance estindispensable au calcul de la composition d'équilibre, des propriétés thennodynamiques ettranspon , ainsi que pour la modélisation de l'arc.

4.4.4. Essais sous vide et sous atmosphère contrôlée

Le but de ces essais est de montrer l'influence de la pression sur lescaractéristiques de l'arc, et de permettre aussi une détennination de la nature du plasma del'arc laminé.

174

essais sous vide primaire :

Le vide primaire créé (0.4 105 Pa), permet d'effectuer des mesures à basse

pression. Des essais ont été réalisés avec le PMMA, pour deux largeurs de fente (valeursextrêmes).

Le tableau 4-1 résume les résultats obtenus. Les essais sous aunosphère normale,avec et sans la cloche, permettent de détenniner l'influence de cette dernière.

On remarque que la dépression créée dans la cloche, accroît de façon importante lavaleur du courant. Il en résulte une faible valeur du champ électrique.

Cette faible valeur du champ électrique, provient probablement du fait que l'arc setrouve moins laminé. En effet, à cause de la dépression générale dans la cloche, les vapeursissues du fil fusible et des parois sont chassées loin de la zone de laminage de l'arc. Lesinteractions arc-parois sont moins fortes.

essais sous atmosphère contrôlée :

Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau 4-1. Le gaz plasmagène utiliséest l'argon.

On remarque que la coupure sous aunosphère contrôlée (sous argon), donne desrésultats presque identiques à ceux obtenus sous aunosphère normale avec la cloche (sousair). Ce qui signifie que le gaz plasmagène n'a que très peu (ou pas) d'influence sur lescaractéristiques de l'arc.

Cependant, les caractéristiques des plasmas d'air et d'argon, sont très différentes([58], [89] et [93]).

Dans ces deux conditions d'essai le plasma d'arc est contaminé par des vapeursd'isolant et des vapeurs de cuivre issues du fil fusible. Les études menées au laboratoire[93] ont montré que les vapeurs métalliques ont presque le même comportement dans lesplasmas d'air et d'argon. Par ailleurs, les vapeurs métalliques issues du fil fusible sontexpulsées de la chambre de coupure, dès les premiers instants de l'établissement de ladécharge.

On peut donc dire que la similitude des résultats obtenus, sous air avec la cloche etsous aunosphère contrôlée, provient du fait que la chambre de coupure est remplie devapeurs d'isolant.

175

sous la clocheatmosphère

nonnale

sous videprimaire

circulationd'argon

à 1.0 lOS Pa

largeurde fente

(mm)0.55

470

1

420

0.55

470

1

420

0.55

350

1

280

0.55 1

470

319 800 600 1200 3750 2860 750

14530 14530 14060 12500 #0 1640 14060

4.5. Conclusion

L'étude expérimentale pennet une évaluation des performances de coupure dudispositif de coupure mis au point la Télémécanique Electrique. Les essais effectués ontpermis d'accéder à des grandeurs caractéristiques du plasma créé dans la chambre decoupure.

Les mesures du courant, de la tension du champ électrique et de la pression ont étéréalisées avec une maquette conçue au laboratoire.

Les résultats obtenus pennettent de faire les remarques suivantes:

- les perfonnances de coupure obtenues avec la nouvelle technique de coupuresont équivalentes à celles des fusibles.

- les paramètres importants à prendre en considération sont : la nature du matériaudes parois et la largeur de fente,

-la chambre de coupure est essentiellement remplie de vapeurs d'isolant,- le choix du matériau des parois est fait, en fonction des valeurs du courant et

surtout du champ électrique,-le laminage de l'arc entraîne une augmentation de la pression dans la chambre de

coupure. Cette augmentation de la pression favorise l'extinction de l'arc créé dans lachambre.

176

CONCLUSION

L'étude présentée a été entreprise en collaboration avec la TélémécaniqueElectrique, sur une nouvelle technique de limitation du courant Cette nouvelle méthode decoupure est basée sur le laminage de l'arc électrique entre deux pièces isolantes.

Les performances de limitation obtenues sont très dépendantes de la nature dumatériau des parois, et de la largeur de fente dans laquelle se développe l'arc électrique.

La phase expérimentale a permis la détermination des caractéristiques électriquesde l'arc (courant - tension - champ électrique), ainsi que de la pression. Cette connaissancede la pression est indispensable au calcul des différentes propriétés thermodynamiques et detransport des plasmas créés. Par ailleurs, elle permet une estimation des contraintesauxquelles est soumise la chambre de coupure.

Les résultats des mesures du courant et du champ électrique, montrent que certainsmatériaux ne présentent pas beaucoup d'intérêt pour le laminage de l'arc (le PTFE parexemple). Les valeurs du courant, pour ces matériaux, restent élevées même pour de faibleslargeurs de fente.

L'étude de la variation du champ électrique E en fonction de la largeur de fente 4,montre que les matériaux comme le PMMA laissent envisager de meilleures performances delimitation pour le dispositif réel. En effet, le dispositif réel fonctionne à des largeurs de fenteinférieures à O.55mm.

Les essais sous atmosphère contrôlée ont permis de déterminer la nature du plasmacréé : la chambre de coupure est remplie essentiellement de vapeurs d'isolant.

Une amélioration des performances de limitation de l'appareil de coupure parlaminage, passe par une bonne connaissance des processus physiques mis en jeu lors de lacoupure. Ces processus physiques peuvent être représentés et traités à l'aide de grandeursphysiques telles que la densité numérique des particules, les coefficients de transport et lespropriétés thermodynamiques du milieu.

Un logiciel de calcul de la composition d'équilibre. des coefficients de transport etde propriétés thermodynamiques des plasmas de type CxHyOzNt a été élaboré aulaboratoire. n permet l'étude des principaux isolants employés pour l'étude expérimentale.essentiellement les polymères. Pour l'étude présentée, nous avons retenu cinq isolants detype CxHyOzNt> à savoir: le PEt le PMMA.la PA6-6. le POM et le PETP.

Notons aussi que l'étude théorique du plasma de PTFE a été également effectuée.

177

Tous les calculs ont été faits, pour des températures comprises entre 5000K et

30000K, et pour des pressions allant de 1.0 loS Pa à 10.0 loS Pa.

Les résultats obtenus ont mis en évidence le l'Ôle fondamental joué par les atomesd'hydrogène présents dans le plasma. n est souhaitable que la densité numérique des atomesH soit aussi élevée que possible.

Une sélection de matériaux peut être faite à l'aide des grandeurs À, 0, p.h et

p.h.a. n est à noter que ces résultats ne permettent pas de faire une distinction entre le

PMMA et le PA6-6. n convient de prendre en compte la pression et les dimensions de lachambre de coupure.

En associant les résultats théoriques et expérimentaux, il est possible de déterminerun modèle physique qui décrive au mieux le componement (ou l'évolution) temporel etspatial de la décharge. Ceci constitue une perspective d'avenir. Cette modélisation pennettrad'apporter une aide considérable à la prédétermination, ou à l'optimisation des performancesde limitation de l'appareillage de coupure par laminage.

178

ANNEXE A

NOTATIONS • DEFINITIONS ET EXPRESSIONS DES DIFFERENTESVITESSES

Nous donnons ici certaines notions relatives à des vitesses utilisées dans les

équations de transfert. En considérant que le mélange est composée de v particules

différentes. nous pouvons définir les grandeurs ci-dessous.

-..A.t. Vitesse liénaire vl(r.t)

C·est la vitesse de r espèce i dans un système de référence fixe dans r espace.

_. -Nous posons: vi(r.t) =Vi

- ..A.2. Vitesse moyenne de masse (ou vitesse de courant) vo(r,t)

Elle est définie par la relation suivante :

v_. 1 ~ ':::;vo(r,t) = - k ni mi Vi

p i=1

voù p = p(;,t) = L ni mi est la densité totale de masse.

i=1

ni =ni(;,t) est la concentration de l'espèce i de masse 1Jli.

':::;

Vi est la vitesse moyenne de l'espèce i définie par :

A.3. Vitesse particulière ~(;.t)

- - -Elle est détenninée par : Vi = Vi - Vo .

C'est la vitesse de la particule i dans un système de coordonnées mobiles (à la Vitesse~}

179

ANNEXE A

A.4. Vitesse de diffusion ~(r,t)

C'est la moyenne de la vitesse particulière. Elle est donnée par :

A.S. Vitesse relative initiale iij

C'est la vitesse de la particule i par rappott à la particule j. Elle est défmie par :- ........

La vitesse réduite correspondante s'écrit:

où tJij est la masse réduite des particules i etj donnée par la relation ci-dessous:

_..A.6. Vitesse réduite wl(r,t)

Elle est utilisée pour simplifier l'écriture de cenaines expressions. Elle est donnéepar la relation suivante :

180

ANNEXE B

Sauvegarde etVisualisationdes Résultats

Calcul des Intégralesde collisions

Calcul de Cp; a ;Jl ;p.h ;p.h.a

Lecture de la compositionLecture de diverses constantes

. :......................... ; : .';';'.':': :.: :....••........: ; : .

non

non

Calcul de Âe

; Âh

; Â. ;ÂR

;tr tr mt

 ·0·" p htotal' "1

I········w .

M

181

1 : Composition d'équilibre2 . Coefficients de transport et

. fonctions thermodynamiques

3 : TIlIcé de courbes 1Hj 1: Composition4 : Aide 2 : Coefficients de transport et

1Q: Pour quitter 3 fonctions thermodynamiques 1-

3: OptionsQ: Pour quitter

~2

.....CD1\)

1Menu principal 1

rB 1: Calcul1 2: Lecture des fichiers

Q: Pour quitter

rG 1: Calcul2 2: Lecture des fichiers

Q: Pour quitter

rf] 1: En fraction molaire1 2 : En densités numériques

Q: Pour quitter

1 : Conductivité thermique2: Conductivité électrique3: Viscosité dynamique4 : Masse volumique

l'""'"'""1li 5 : Enthalpie spécifique6 : Chaleur spécifique7: Vitesse du son

L......II 8: Compressibilité9: Viscosité cinématique10: Densité d'énergieIl: Flux de puissanceQ: Pour quitter

1: Â-etr2: Â-~

3: Â-int

1 ~4: Â-Rm 5: Â-t6 : Toutes les

composantes

Q: Pour quitter

, ~1 =

...... 41 ~formationsdIverses

1 : Graduation des abscisses

LB 2: Graduation des ordonnées3 3: Quadrillage

4: Taille écran (visualisation)Q: Pour quitter

...................................................................................................................,:,:,:,:,:,:,:,:,;:,:,:::,:,:,:,:,:,:::,:,:,:,:,:,:,;:,:,:",:::::':':':':':':':':':':':':::::':':':':::'::,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i'i'(':",i,i,i,i,i",i},i'i,i},i,i,:{{,i,i,i,i,',i,n"""ftiii,{{t'ttti;@ii,::i

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Imp Sciences 24, Avenue des Landais - 63177 AUBIERE Cedex - Dépôt légal

1er Trimestre 1992

CONTRIBUTION A L'ETUDE EXPERIMENTALE ET THEORIQUEDES PLASMAS D'ARCS ELECTRIQUES LAMINES

KOALAGA ZACHARIE Thèse de Doctorat d'Université, Clennont-Fd, 1991

~,-"-

La Télémécanique Electrique a mis au point une nouvelle technique de coupure basée sur

le laminage de l'arc entre deux pièces isolantes [3]. Ce mode de coupure entraîne de fortes

interactions arc-parois, et conduit à des plasmas constitués essentiellement de vapeurs d'isolant

De ce fait, la nature du matériau des parois et la largeur de la fente constituent les paramètres les

plus importants de cette méthode de coupure.

L'étude expérimentale présentée est un prolongement des études entreprises par Gentes

[6] ct Blanquart [7]. Le~ grandeurs physiques mesurées sont le courant, la tension, le champ

électrique et la pression. Le choix du matériau des parois est fait en considérant les valeurs

maximales du courant et surtout du champ électrique. Pour une meilleure efficacité de la coupure,

il convient d'atteindre des valeurs de champ électrique très élévées. Les polymères se révèl~nt

être les plus prometteurs.

Une grande partie de ce mémoire est consacrée à l'étude théorique des plasmas issus des

isolants de type CxHyOzN t" Cette étude théorique a pennis de déterminer la composition

d'équilibre, les coefficients de transport et les fonctions thennodynamiques de ces plasmas. Le

calcul des différentes propriétés des plasmas du type CxHy0zNt est effectué grâce à un logiciel

de calcul élaboré au laboratoire. L'utilisation de certaines lois exige l'hypothèse de l'équilibre

thennodynamique local. TI est possible d'effectuer un choix du matériau des parois à partir des

valeurs des conductivités thermique  et électrique cr, de la densité d'énergie p.h et du flux de

puissance p.h.a. Les résultats théoriques obtenus montrent que:

- plus le pourcentage d'hydrogène dans l'isolant est élévé plus on tend vers les

performances du plasma d'hydrogène,

- plus les pourcentages en atomes de 'carbone et d'oxygène sont proches plus la'

conductivité électrique du plasma est faible,

- les fonctions de partition internes des particules ont une forte incidence sur les valeurs

de la composition d'équilibre et des fonctions thennodynamiques du milieu,

- les valeurs des coefficients de transport sont très étroitement liées aux méthodes de

calcul des intégrales de collision correspondant aux différentes interactions considérées.

Pour les plasmas de PE, de POM, de PETP, de PTFE, les résultats théoriques sont en

bon accord avec les observations expérimentales. Par contre, pour les plasmas de PMMA et

PA6-6, il convient de prendre en compte d'autres paramètres tels que la pression et la géométrie

de la chambre de coupure. Ceci ne peut être fait que lors de la modélisation des plasmas d'arcs

laminés.

Mots clés: Arc électrique laminé, Plasmas d'isolant, Vapeurs d'isolant, Champ électrique,

Fonctions thennodynamiques, Coefficients de transport, Intégrales de collision.