thermodynamique a molaire associée....- l’application des deux principes aux machines thermiques....

Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM THERMODYNAMIQUE 97

Thermodynamique Pour une grandeur extensive « A », on note « a » la grandeur massique associée et « Am » la grandeur

molaire associée.

1 Révisions première année

Revoir les chapitres concernant :

- le premier principe de la thermodynamique,

- le deuxième principe de la thermodynamique

- importance des deux identités thermodynamiques, et

- l’application des deux principes aux machines thermiques.

2 Etude des systèmes ouverts

2.1 Définition

Echange de matière

Un système ouvert ne se contente pas d'échanger de l'énergie avec le milieu extérieur mais aussi de la

matière : de la masse peut entrer et sortir d'un système ouvert en apportant avec elle de l'énergie et de

l'entropie (grandeurs extensives).

En pratique, on définit une frontière : surface délimitant un système, on parlera de section d’entrée

(orientée vers l’intérieur du système) ou de section de sortie (orientée vers l’extérieur)

Bilan de matière

Dans le référentiel du laboratoire, considérons le système ouvert ∑ défini par le contenu matériel d'une

surface de contrôle (S) qui possède une entrée de matière Ae et une sortie As.

Entre les dates t et t + dt, la masse dme entre dans ∑ et la masse dms en sort.

On considère le système fermé ∑f constitué à la date t par dm1 et le contenu matériel de (S) et,

à la date t + dt par dm2 et le contenu matériel de (S).

Le bilan de masse donne : dM = M (t + dt) − M (t) = dme – dms.

Grandeurs massiques associées à une grandeur extensive

La matière entrant (ou sortant) par une ouverture A est caractérisée par ses coordonnées

thermodynamiques et mécaniques : pression P, température T, altitude z, vitesse d'écoulement c.

dme

(t)

M(t)

U(t)

f (t) = M(t) + dme

ue

he

ece

epe

ee

se

f (t+dt) = M(t+dt) + dms

(t+dt)

M(t+dt)

U(t+dt)

dms

us

hs

ecs

eps

es

ss

A s : Ps

Ts

zs

cs

A e : Pe

Te

ze

ce

W et Q

(t)

M(t)

U(t)

(S)


Toute grandeur extensive dX apportée par la masse dm passant par A est associée à une grandeur

massique (intensive) x définie par : dX = x dm.

Débit massique

La masse est conservative, la variation de masse du système est égale à la somme des débits massiques :

2.2 Les deux principes appliqués à un système ouvert

Bilan d’énergie

La surface (S), dont le contenu à la date t constitue le système ouvert ∑ est supposée indéformable, fixe

dans le référentiel du laboratoire.

Pendant la durée dt, ∑ reçoit le travail mécanique W et le transfert thermique Q.

A la date t, l'énergie de ∑ est U(t), elle est U(t + dt) = U(t) + dU à la date t + dt.

Pendant la durée dt, entre par Ae la masse dme et l'énergie dEe = ee dme et sort par As la masse dms et donc

l'énergie dEs = es dms.

Le premier principe appliqué à ∑ f donne :

dU = ee dme – es dms + W + Q

avec : e = (u + c2/2 + g z )

Bilan entropique

dS = se dme – ss dms + Sr + S

p

dS = se dme – ss dms + Q /Ta + S p;

en appelant Ta la température sur la partie de (S) ou à lieu l'échange thermique.

2.3 Système ouvert en régime permanent

Régime permanent

Le régime permanent désigne le fonctionnement au cours duquel toute grandeur intensive est constante

dans le temps, en tout point du système.

Les hypothèses suivantes sont aussi supposées vérifiées :

le système étudié possède une seule entrée et une seule sortie ;

les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur sont négligeables.

Bilan de masse

En régime permanent, la conservation de la masse se traduit par la nullité de la somme des débits entrant

par les divers accès.

Si le système ne comporte qu’une entrée et qu’une sortie :

En notant e l'entrée et s la sortie, le bilan de masse conduit à : dme = dms = dm

Expression des deux principes

On raisonne sur un système ouvert en régime permanent ne comportant qu’une entrée et qu’une sortie.

Par ailleurs, on néglige pour l’instant l’énergie cinétique associée au mouvement macroscopique du

fluide ainsi que l’énergie potentielle macroscopique.

Le premier principe appliqué au système fermé donne : dU = W + Q + [ue – us ] dm = 0

le travail W se décompose en travail des forces de pression à l'entrée et à la sortie et en travail utile noté

Wu.

Wpression = Pe dVe − Ps dVs = Pe ve dme − Ps vs dms.

L'enthalpie massique s'écrit h = u + P v,

on obtient l'expression suivante du premier principe : Wu + Q = [ hs – he ] dm ;

Pour se ramener à une masse unité de matière traversant (S), on introduit :

- le travail massique indiqué (ou utile) : wi = Wu / dm, c'est le travail effectivement reçu par 1 kg de

fluide traversant la machine limitée par (S), il est nul en l'absence d'une partie mobile dans (S).

- la chaleur massique q e = Q / dm échangée avec l'extérieur ; c'est le transfert thermique effectivement

échangé avec le milieu extérieur à travers (S) par un kg de fluide transvasé de l'entrée vers la sortie.

On obtient l’expression suivante traduisant le premier principe appliqué à un système ouvert :

∆h = (hs – he ) = wi + qe


L’expression précédente donne, en introduisant le débit massique Dm = dm / dt :

Dm (hs – he ) = Pu + Pth

Pu et la puissance mécanique utile et Pth la puissance thermique reçue par le fluide transvasé.

Le deuxième principe conduit à :

∆s = ss – se = sr + s

p

Système à ouvertures multiples

L’expression, Wu + Q = [ hs – he ] dm, devient : (hi dmi ) + Wu + Q = 0.

En divisant par dt, on introduit les puissances Pu et Pth et les débits massiques Dmi = dmi / dt, on trouve :

∑ ( hi Dmi ) + Pu + Pth = 0

Le débit massique est positif pour une entrée de matière, négatif pour une sortie de matière.

Influence des énergies cinétique et potentielle

Dans ce cas, l’énergie totale prend la forme suivante :

Remarque : l’énergie cinétique microscopique d’agitation thermique et l’énergie potentielle d’interaction

entre particules sont comptées dans l’énergie interne.

Expression de l’énergie massique :

Ecriture du premier principe :

(hs – he) + (vs2 – ve

2)/2 + g (zs – ze)= wi + qe

2.4 Exemples

Détente de Joule Thomson

Un gaz circule, en régime permanent, dans une conduite horizontale, rigide, adiabatique ; le gaz traverse

lentement un ajutage ou une bourre de coton destinés à diminuer sa pression.

Turbine

C’est un dispositif permettant de récupérer de l’énergie mécanique

(wi < 0) grâce à la mise en rotation d’un système arbre+aubes

entrainé par un fluide. On distingue les turbines suivantes :

– turbines à gaz : détente du gaz à haute température et haute

pression.

– turbines hydrauliques (types Kaplan, Pelton, Francis) : température

ordinaire, entraînement par un flux d’eau.

et

L’énergie récupérée est –wi.

Le bilan de masse s’écrit :

Compte-tenu des hypothèses, le premier principe s’écrit alors :

Pour déterminer le travail massique, il faut d’autres hypothèses, par exemple considérer la détente du

fluide comme adiabatique réversible, soit Pour une turbine réelle, le travail récupéré est plus faible à cause des irréversibilités. On définit alors le

rendement de la turbine par :

Compresseur

Un compresseur fonctionne à l’inverse d’une turbine. On s’intéresse au

travail wi fourni à la machine.

On s’intéresse aux compresseurs à aubages : une roue à aubages tournant


autour d’un arbre impose au gaz un écoulement axial ou radial qui le comprime. On fera en général les

approximations suivantes : le gaz séjourne peu de temps dans le compresseur, le fonctionnement est

adiabatique. et

Le premier principe s’écrit :

Pour déterminer le travail massique, il faut d’autres hypothèses, par exemple considérer la compression

du fluide comme adiabatique réversible, soit Pour un compresseur réel, le travail qu’il faut fournir à la machine est plus élevé à cause des

irréversibilités. On définit alors le rendement du compresseur par :

Laminage

Ecoulement d’un fluide dans un conduit à parois fixes permettant la

détente du fluide à travers un obstacle (c’est une détente de Joule-

Thomson). On le réalise par passage à travers une paroi poreuse ou une

vanne à pointeau.

Propriétés : wi = 0 ; ; ; ( si le système

est calorifugé).

La détente est irréversible. On l’utilise dans des systèmes de refroidissement.

Echangeur thermique

Dispositif statique (wi = 0 ), sans échange de matière permettant un échange

thermique entre 2 fluides par conduction thermique.

- Les 2 fluides circulent à contre-courant.

- Le transfert thermique est favorisé par de grandes surfaces d’échange

thermique.

Propriétés : wi = 0 ; ; ;

Si le système est calorifugé, on obtient alors

Mélangeur ou séparateur

C’est une enceinte calorifugée à n entrées et p sorties, à l’intérieur de laquelle divers fluides sont

mélangés. On aura :

Un mélangeur possède plusieurs entrées et une sortie.

Un séparateur a 1 entrée et 2 sorties : pour des installations

diphasiques :

Tuyère

Conduit fixe, profilé (convergent ou divergent), permettant au fluide d’acquérir de l’´energie cinétique

aux dépens de sa pression ou de sa température. De l'air assimilé à un gaz parfait, circule dans une tuyère

de section variable, horizontale, rigide et adiabatique ; l'écoulement est permanent.

Propriétés : wi = 0 ;

Le premier principe s’écrit :

ce qui donne la vitesse de sortie dans le cas idéal :

Pour déterminer la vitesse de sortie, il faut d’autres hypothèses, par exemple considérer la détente du

fluide comme adiabatique réversible, soit


2.5 Travail de transvasement massique

Hypothèses classiques et modélisation élémentaire

d’une machine thermique

Un régime permanent est établi et on néglige les variations

d'énergie cinétique et d'énergie potentielle.

Les éléments (compresseurs, turbines, détendeurs, échangeurs

thermiques) de l'installation ont généralement une entrée et

une sortie. La température et la pression ne varient pas dans

les canalisations reliant les différents éléments.

On schématise ci-contre l’installation. Le piston effectue des mouvements de va-et-vient imposés par un

moteur. Deux soupapes permettent la liaison avec une conduite amont et une conduite aval. Le vecteur

unitaire est orienté du moteur vers le piston. Si on considère les transformations quasi-statiques, la force exercée par la moteur sur le piston s’écrit :

On peut représenter l’évolution du système par deux diagrammes :

- le diagramme de Clapeyron en coordonnées (p,v) avec p pression dans l’enceinte et v volume massique

du fluide ;

- le diagramme de Watt en coordonnées (p,V) avec p pression dans l’enceinte et V volume de l’enceinte.

Diagramme de Watt Diagramme de Clapeyron

- (3) (1) phase d’admission, soupape Se ouverte, système ouvert,

- (1) (2) les soupapes sont fermées, système fermé,

- (2) (3) phase de refoulement, soupape Ss ouverte, système ouvert.

Travail massique de transvasement

En reprenant les hypothèses précédentes, on peut déterminer le travail

pour chaque phase :

- (3) (1) W31 = −pe V1

- (1) (2)

- (2) (3) W23 = ps V2

L’aire hachurée correspond au travail total fourni par l’extérieur au

système au cours d’un cycle. Ce travail est appelé travail de transvasement. Il s’agit du travail échangé

entre le piston et le fluide lors du transvasement et de la compression.

La valeur prise par ce travail dépend de la nature de la transformation (1) (2).

On peut également définir le travail de transvasement massique, travail total des forces de pression lors

du transfert d’un kg de fluide entre l'entrée et la sortie d'un élément d'installation thermique.

Pe Ps

Se Ss


Equations des systèmes ouverts

Pour la transformation réelle (réversible ou irréversible), on doit retenir le premier principe, le second

principe de la thermodynamique, l’identité thermodynamique et le travail de transvasement massique.

Dans certaines transformations adiabatiques irréversibles (compresseurs, turbines…), on tient compte des

irréversibilités mécaniques dues aux forces de frottements internes (forces de viscosité). Elles se

traduisent par un travail des forces intérieures de viscosité . Ce travail des forces intérieures se

manifeste par une dissipation d’énergie et donc un échauffement du fluide. On définit le transfert

thermique massique dû aux frottements comme l’opposé du travail massique des forces intérieures de

viscosité .

Cas d’une transformation adiabatique irréversible

Dans ce cas, on mettra en évidence deux chemins (transformation réelle irréversible et transformation

fictive réversible) pour aller du même état initial au même état final.

- Pour la transformation réelle irréversible, on écrit les 4 équations ci-dessus avec .

- Pour la transformation fictive réversible, les équations précédentes s’écrivent :

Pour déterminer dans une transformation réelle, on calcule dans la transformation fictive avec

. Tout se passe comme si le fluide recevait un transfert thermique massique correspondant à

l’échauffement du fluide à cause des frottements fluides internes (forces de viscosité).

Relation entre travail indiqué et travail de transvasement

Si on peut négliger la variation d’énergie cinétique et d’énergie potentielle

Dans le cas d’une transformation réversible,

On montre que le travail de transvasement est le travail maximal que peut délivrer une turbine.

Le travail de transvasement est le travail minimal à fournir au compresseur.

3 Diagrammes thermodynamiques d’un gaz parfait

3.1 Principales transformations d’un gaz parfait

Lorsqu’on utilise les grandeurs massiques, l’équation d’état d’un gaz parfait devient

Transformation isotherme

Une transformation isotherme est une évolution idéale infiniment lente où toute variation de température

est instantanément compensée par un transfert thermique avec l’extérieur.

- isotherme en vase clos, on montre que :

et

- isotherme avec transvasement, on montre que :

et

donc, pour une isotherme, , et

Transformation isobare

- isobare en vase clos, on montre que :

et L’isobare en vase clos est un cas théorique ne correspondant à aucune situation industrielle courante.

- isobare avec transvasement, on montre que :


Une transformation isobare avec transvasement est typique d’un écoulement pur sans pertes de charge et

avec échange de chaleur (échangeur, chaudière, . . . ).

Transformation isochore

- isochore en vase clos, on montre que :

et L’isochore en vase clos ne peut échanger que du transfert thermique avec l’extérieur.

- isobare avec transvasement, on montre que :

L’isochore avec transvasement est un cas théorique ne correspondant à aucune situation industrielle

courante.

Isenthalpe

Dans un système passif sans partie mobile (robinet, coude, milieu poreux, ...), il ne peut y avoir

d’échange de travail entre le fluide et l’extérieur, et .

Les pertes ne sont pas négligeables en général, mais si on néglige les échanges de chaleur, alors

et où représente l’enthalpie totale. Si, de plus, les variations d’énergie cinétique et

potentielles sont négligeables, alors l’enthalpie est constante. Un tel écoulement est dit isenthalpe. Dans

le cas d’un gaz parfait cet écoulement est également isotherme puisque .

Dans une telle transformation isenthalpe, le travail de transvasement est entièrement dissipé en pertes.

Adiabatique réversible ou isentropique

On montre alors (en utilisant l’identité thermodynamique) les relations équivalentes :

- pour une évolution en vase clos, on montre que :

- pour une évolution avec transvasement, on montre que :

Loi d'évolution polytropique

Une transformation polytropique est un modèle qui repose sur l’hypothèse de proportionnalité entre les

quantités de chaleur -échangées avec l’extérieur ou générées par les frottements- et l’enthalpie :

est une constante positive ou négative.

D’après le premier principe, dans une transformation réversible avec transvasement où , on a :

soit

soit

En posant la constante k telle que

On montre que l'évolution polytropique d'un gaz parfait est définie par les relations suivantes dans

lesquelles k est l'exposant de la polytropique :

; ;

On vérifie qu’une évolution polytropique est un cas plus général dans lequel on retrouve :

1. L’adiabatique réversible (isentropique) où et 2. L’isobare où , et le travail de transvasement est nul : .

3. L’isochore où , et le travail en vase clos est nul.

Travaux de transvasement

isobare :

isochore :


isotherme :

isentropique :

polytropique :

3.2 Gaz parfaits et diagrammes

Diagramme de Clapeyron (p,v)

Dans ce diagramme la pression est

représentée en fonction du volume

massique.

o Différentes évolutions

- transformation isotherme : la pente

locale de la courbe est

- transformation isobare : droite

horizontale ;

- - transformation isochore : droite

verticale ;

- transformation isentropique : la pente

locale de la courbe est

- transformation polytropique : la pente locale de la courbe est

o Représentation des travaux

Soit une évolution quelconque entre un état 1 et un état 2.

Le travail d’évolution en vase clos est représenté par l’aire hachurée sur la figure 1. Il est négatif s’il est

décrit dans le sens horaire.

Le travail de transvasement est représenté par l’aire hachurée sur la figure 2. Il est négatif s’il est décrit

dans le sens horaire.

figure 1 : travail en vase clos figure 2 : travail de transvasement

Pour un cycle, le travail de transvasement est égal à l'aire du cycle et donc au travail d'évolution en vase

clos.

Diagramme entropique (T,s)

C'est un diagramme entropie température : entropie massique s en J.kg−1

.K−1

en abscisse, température T

en K est en ordonnée.

o Différentes évolutions

- transformation adiabatique réversible : droite verticale ;

p

v

1

2

p

v

1

2


- transformation isobare : en combinant l’équation de l’énergie et la loi d’état des GP, on peut écrire

l’expression de l’entropie massique,

Le long d’une isobare, où dp =0, la pente locale de la courbe est

égale à

Les isobares sont donc représentées par un réseau de courbes

exponentielles, décalées horizontalement les unes des autres d’une

constante égale à comme sur la figure dans

laquelle p2 > p1.

- transformation isochore :

Le long d’une isochore, où dv =0, la pente locale de la courbe est

égale à . Cette pente est plus grande ce celle de

l’isobare passant par le même point.

Les isochores sont également représentées par

un réseau de courbes exponentielles décalées

horizontalement les unes des autres d’une

constante égale à .

- transformation polytropique : on a vu, avec

constant,

Dans un repère (T,s) toutes les évolutions

polytropiques sont représentées par des

exponentielles.

o Compresseur adiabatique réversible

Les 4 équations de la page 102 permettent de déduire

On en déduit que et

Pour un compresseur .

- Interprétation graphique dans le diagramme (T,s)

La transformation est adiabatique réversible, donc isentropique. On

définit le point 1’ tel que h1’ = h1, ce qui correspond à T1’ = T1 pour

un gaz parfait.

Le travail indiqué massique isentropique est noté wis.

Sur l’isobare p2, , soit

o Compresseur adiabatique réel

Dans un compresseur réel, il faut tenir compte des frottements fluides internes, il y a irréversibilité

mécanique.


- On considère une compression isentropique de la même pression

initiale p1 à la même pression finale p2. L’état final est noté 2is. La

température augmente lors de la compression, donc T2is > T1. On se

déplace sur une verticale dans le diagramme (T,s).

- La transformation réelle irréversible est représentée en pointillés. A

cause des frottements internes, il y a dissipation d’énergie, donc

échauffement du fluide : T2 > T2is.

- On envisage deux chemins pour aller de 1 à 2 :

transformation réelle adiabatique irréversible

transformation fictive réversible. Le gaz reçoit alors de

l’extérieur qef > 0, transfert thermique massique correspondant à

l’échauffement du fluide.

En écrivant les deux principes pour ces transformations, on aboutit à :

- Evaluation de

et

: aire

sous 1’-2 =aire A1+ A2

donc est représenté par l’aire A1.

o Comparaison et

On peut conclure que

Diagramme enthalpique

o Description

C’est le diagramme qui décrit le fluide dans le plan (h,s) : entropie massique s en J.kg-1

.K−1

en abscisse,

enthalpie massique en kJ.kg-1

en ordonnée.

Il est employé pour les fluides réels dans les cas où il permet une lecture plus précise qu’avec le

diagramme entropique, puisque ce sont les variations de l’enthalpie qui donnent des informations directes

sur les énergies mises en jeu dans les transformations avec transvasement.

La pente de l'isobare est égale à la température T : dh = T ds + v dP soit (dh/ds)P = T.

Dans le cas du gaz parfait on passe du diagramme T-s au diagramme h-s en remplaçant T par h = cP T.

Pour les gaz réels, l'air par exemple, les isothermes sont quasi rectilignes aux basses températures.

o Rendements indiqués

Une variation d'enthalpie massique est mesurée sur l'axe des ordonnées.

On constate qu'au cours d'une compression, le travail indiqué réel est plus grand que le travail indiqué

isentropique, le rapport des deux est le rendement indiqué par rapport à l'isentropique :

rendement indiqué d'un compresseur :

Le module du travail de détente d'une turbine réelle est plus faible que celui d'une turbine

isentropique : rendement indiqué d'une turbine :

o Annexes 1 et 2

Diagramme enthalpique de l’air.

3.3 Cycles industriels sans changement d’état

Machines dithermes

Revoir le cours de première année : schéma, application des deux principes et cycle de Carnot.

Machines motrices

Moteurs thermiques, revoir le théorème de Carnot pour les moteurs dithermes.


Moteurs à explosion

cycle Beau de Rochas cycle Diesel

Machines frigorifiques

Revoir le cours de première année et en particulier le calcul de l’efficacité pour les machines dithermes.

Compresseur à piston

Cycle de Joule : turbine à gaz

Un fluide subit un cycle dans un moteur composé d’un compresseur

rotatif (CR), une chambre de combustion (CC), une turbine de détente

(TD) et un échangeur isobare. En appliquant le 1er

principe avec les

hypothèses habituelles sur les composants :

On montre que :

Diagrammes :

4 Transitions de phase d’un corps pur

4.1 Les différentes transitions de phase

Mise en évidence

Trois expériences simples mettent en évidence les transitions de phase.

- Ebullition de l'eau à 100°C sous 1 bar et condensation de la vapeur formée sur une paroi froide.


- Fusion de l'étain : en chauffant de l'étain solide dans une coupelle, on constate qu'il fond à 232°C

et que la température reste constante tant qu'il reste du métal solide en équilibre avec le liquide.

- Sublimation de CO2 : par détente brutale de CO2 contenu dans un extincteur, on obtient de la

neige carbonique qui se sublime (passage de l'état solide à l'état gazeux) à − 78°C sous un bar.

Propriétés importantes

Le changement d’état d’un corps pur, sous une pression donnée, s’effectue à température constante.

Le changement d’état nécessite un échange d’énergie thermique qui ne provoque pas de variation de la

température.

Les transitions de phase

sublimation : solide gaz

condensation : gaz solide

fusion : solide liquide

solidification : liquide solide

vaporisation : liquide gaz

liquéfaction : gaz liquide

4.2 Propriétés générales des changements d'état d'un corps pur

Condition d'équilibre d'un corps pur sous deux phases

Un corps A est en équilibre sous les deux phases 1 et 2 si son enthalpie libre massique est la

même dans les deux phases :

g1 = g2

Variance d’un système polyphasé

V = Np − Nr

L’équilibre sous 2 phases est monovariant (Np =2 (pression et température) Nr =1 (relation p = f(T) sur la

courbe d’équilibre) ). Si à T fixée, on modifie P, il y a rupture d’équilibre et disparition de l’une des

phases.

Représentation de l'état d'un corps pur dans le plan (P,T)

Ci-contre, on a représenté les trois courbes

PVaporisation(T), Pfusion(T) et PSublimation(T) de

l’eau dans le plan (P,T).

Les 3 courbes se coupent au point triple.

L’équilibre y est triphasé, la température

et la pression du point triple sont fixées.

La courbe de vaporisation est limitée par

le point triple et le point critique.

Etat fluide

Au-delà du point critique (P > PC et T >

TC), on ne peut plus distinguer la phase

liquide et la phase vapeur : on convient de

parler de fluide.

Chaleur latente de changement

d'état

La chaleur latente de transition de phase

de la phase 1 vers la phase 2 ou est la

variation d'enthalpie massique l12 qui accompagne le passage de un kilogramme de corps pur de la phase

1 vers la phase 2 à T et P constantes.

l12 = h2 − h1 = T (s2 − s1)

Formule de Clapeyron

On montre que : l12 = T (v2 − v1)(dP/dT)éq ;

v2 et v1 sont les volumes massiques du corps dans chacune des phases et (dP/dT)éq représente la pente de

la courbe Péq = f (T).


4.3 Etude de l'équilibre liquide vapeur

Réseau d'isothermes d'Andrews

Ce sont, pour un corps pur donné, les courbes

qui représentent P = f (v) à T constante.

à droite de R, gaz seul (vapeur sèche) : en R

apparaît la première goutte de liquide (point

de rosée). En E la vapeur est saturante.

ER : palier de liquéfaction correspondant à

l'équilibre liquide gaz.

à gauche de E : courbe de compressibilité

isotherme du liquide : en E disparaît la

dernière bulle de vapeur (point d'ébullition).

Lorsque T augmente, la longueur du palier de

liquéfaction diminue et il disparaît si T atteint

la température critique.

L'ensemble des points R est la courbe de

rosée, l'ensemble des points E est la courbe d'ébullition. Les deux courbes constituent la courbe de

saturation.

La pression d'équilibre est notée pression de saturation PS ou pression de vapeur saturante Pvap.

Titre en vapeur d'un mélange

Le taux de vapeur est défini par :

L’état d’un corps pur en équilibre liquide-vapeur est décrit par

deux paramètres intensifs : la température (ou la pression) et le

taux de vapeur.

On peut lire directement sur le diagramme les volumes

massiques : en A, v = vl (liquide saturant) ; en B, v = vg (vapeur

saturante) ;

Pour un système diphasique représenté par le point M, le volume massique du mélange L + V se lit

directement sur l’axe des abscisses :

règle des moments :

Equations approchées de la courbe de vaporisation

Loin du point critique : vl << vv ; la vapeur sèche est assimilable à un gaz parfait : Pvv = rT.

La chaleur latente de vaporisation varie linéairement en fonction de T :

lv = l0 – B T = (3334 – 2,9 T) en kJ.kg−1

pour l’eau.

On obtient la formule de Dupré qui, dans le cas de l’eau, s’écrit :

log(PS /P0) = 17,443 – 2795/T – 3,868 log T

Il existe aussi, pour T < 473 K, la formule de Duperray :

Réalisation de l'équilibre liquide vapeur par vaporisation

Vaporisation dans le vide : la vaporisation d'une petite quantité de liquide est quasi instantanée. Si le

liquide est en quantité suffisante, elle cesse dès que la pression atteint la pression de vapeur saturante

correspondant à la température de l'expérience.

Si P < Ps, la vapeur est sèche, elle est souvent assimilée à un gaz parfait.

Vaporisation dans un gaz : la vaporisation est lente et s'arrête lorsque la pression partielle de la vapeur est

égale à la pression de vapeur saturante Ps correspondant à la température de l'expérience.


4.4 Diagramme entropique de la vapeur d'eau

Description

Le zéro d'entropie massique est pris à 0° C. La courbe de saturation sépare les domaines de la vapeur

sèche, des équilibres liquide vapeur et du liquide.

Les isobares du liquide sont confondues avec la courbe de saturation (sauf au voisinage du point critique).

Représentation de l'enthalpie massique de l'eau en un point


4.5 Machines thermiques à changement d'état liquide vapeur

Cycles de Rankine

4-4’ : compression adiabatique du liquide dans la pompe alimentaire.

4’-1 : chauffage isobare du liquide jusqu'au point d'ébullition.

1-2 : évaporation du liquide.

2-3 : détente adiabatique dans une turbine.

3-4 : condensation de la vapeur.

Cycle de Hirn

On réalise la détente 2-3 uniquement en phase gazeuse. Le

rendement est meilleur que celui de Rankine.

2-2' : surchauffe de la vapeur sèche.

2'-3 : détente adiabatique dans une turbine.

3-4 : condensation de la vapeur.

4.6 Diagramme de Mollier

Description

- C’est un diagramme enthalpique (h, s) dans la

zone diphasique. On prendra s = 0 et h = 0 au

point triple. Au lieu de faire des calculs d’aire

dans le diagramme (T, s), on lit directement

h = qp.

- Les isobares du liquide sont confondues avec la

courbe de saturation (sauf au voisinage du point

critique).

- A l'intérieur de la courbe de saturation

(équilibres liquide vapeur), isothermes et isobares

(dh/ds = T), sont des droites confondues de pente T.

- Pour la zone « vapeur », lorsque s ∞, les isenthalpes sont des isothermes, une isotherme aura une

asymptote horizontale. Les isobares sont des exponentielles : .


Représentation des cycles

cf. exercices et annexe 3.

4.7 Allure des différentes transformations dans différents diagrammes

Isobares

Exemples : chaudière, surchauffeur, condenseur

Ientropiques

Exemples : pompe, turbine, tuyère, compresseur,..


Isenthalpes

Exemples : détentes de Joule-Thomson, vannes de détentes

Isothermes

Rarement rencontrées en

pratique.

Isochores

Rencontrées lors de

transformations très rapides

(explosions) ou de

transformation en vase clos

(autocuiseur).

5 Diffusion thermique

5.1 Les modes de transfert thermique

Conduction ou diffusion thermique

Lorsque deux corps sont à des températures différentes, il y a transfert d'énergie thermique du plus chaud

vers le plus froid : un milieu dont la température n'est pas homogène est au moins le siège d'un transfert

thermique par conduction. on l’interprète par transfert d’énergie cinétique entre les molécules de deux

corps en contact par chocs inélastiques.

La conduction existe toujours lorsque deux systèmes sont en contact. Elle est souvent masquée par la

convection dans les fluides, car la convection est beaucoup plus efficace et rapide.

La convection

Dans les fluides, une variation de température modifie localement la masse volumique, ce qui entraîne un

mouvement d'ensemble du fluide : les parties chaudes, plus légères, vont s'élever.

Ce phénomène est la convection naturelle qui implique un déplacement macroscopique de matière et

concerne donc les fluides liquides ou gazeux.

La mise en mouvement artificielle d'un fluide permet d'accélérer les échanges thermiques : on parle de

convection forcée. C'est le cas de l'eau d'un chauffage central dont la circulation est activée par une

pompe.

Il s’agit d’un échange d’énergie avec échange de matière.

Le rayonnement

Tout corps porté à une température T émet un rayonnement électromagnétique dont le spectre est

caractérisé par la température T. Les photons absorbés sont transformés en énergie thermique.

Ce transfert thermique ne nécessite pas la présence d'un milieu matériel : il se produit aussi dans le vide.

Il s’agit d’un échange d’énergie à distance.


5.2 Diffusion ou conduction thermique : loi de Fourier

Flux thermique et densité de courant thermique

Le flux thermique th ou puissance thermique est la quantité d'énergie thermique non convective (c'est-

à-dire d'énergie interne non liée à un transfert de matière) qui traverse une surface par unité de temps.

th s'exprime en watt.

Le flux thermique est le flux du vecteur densité de courant thermique sortant de .

et

s'exprime en W.m−2

.

Loi de Fourier

Cette loi, établie expérimentalement par Fourier, traduit la proportionnalité entre la densité volumique de

courant thermique et le gradient de la température T(M,t) au point M et à la date t. Ce que l'on

écrit sous la forme :

Le coefficient k, toujours positif, est la conductivité thermique, exprimée en W.m−1

. K−1

.

Le signe moins traduit l'orientation de vers les basses températures : le transfert thermique se fait du

chaud vers le froid.

Le tableau suivant donne k en W.m−1

. K−1

pour certains matériaux :

cuivre acier inox verre eau à 20°C bois béton air isolant

390 16 1,2 0,6 0,23 0,92 0,024 0,004

Analogie avec la loi d'Ohm

Localement, la loi d'Ohm s'écrit :

Elle est formellement identique à la loi de Fourier.

Ces deux lois sont phénoménologiques (elles ne sont pas fondamentales), elles traduisent, à un certain

degré d'approximation, la proportionnalité entre l'effet (la densité de courant) et la cause (le gradient de

potentiel ou de température).

La conduction thermique et la conduction électrique ont toutes les deux le caractère irréversible : elles ne

sont pas invariantes par renversement du temps.

5.3 Equation de la diffusion thermique

Conduction pure à une dimension

On se place dans le cas ou la température du matériau ne dépend que de x et de t et ou il n'y a pas d'autre

apport d'énergie que par conduction (ni pertes latérales ni source d'énergie dans le système étudié).

C'est le cas d'une tige homogène, isolée, de masse volumique , de conductivité thermique k et de

capacité thermique massique c, de section S perpendiculaire à Ox.

Le bilan énergétique d’une portion de tige de longueur dx pendant la durée dt donne l'équation de

diffusion thermique :

On appelle diffusivité thermique le coefficient a = k / c exprimé en m2.s

−1.

Généralisation

Des apports énergétiques autres que conductifs peuvent intervenir dans le bilan précédent :

- apport par effet Joule : QJ = dR I 2

dt = (j 2

/ ) S dx dt = pJ d dt ;

- apport (algébrique) par la surface latérale : QL = − h (T – Text) dS L dt ; h étant le coefficient de

transfert thermique de surface exprimé en W K-1

m- 2

;

- apport de chaleur par réaction chimique : Qr = pr dt d.

En notant Qa l'ensemble des apports volumiques et p = Qa /dt d la densité volumique de puissance

thermique apportée en x, on obtient :


5.4 Cas des régimes permanents

Solution de l’équation de diffusion

L'équation se simplifie et donne : ∆T = 0 en l'absence d'échanges autres que conductifs.

Le cas le plus simple est celui de la conduction thermique unidimensionnelle dans une tige homogène de

section constante S, de longueur l et isolée sur les côtés.

On impose T(0) = T1 > T(l) = T2.

Par intégration, on trouve :

et

Résistance thermique

courant dans un conducteur rectiligne flux thermique dans la tige

loi d’Ohm loi de Fourier

La conductance thermique est l'inverse de la résistance thermique : Gth = 1 / Rth.

Le régime permanent interdit l'accumulation d'énergie thermique et impose donc la conservation du flux

thermique à travers des conducteurs thermiques placés en série.

Les règles d'association des résistances thermiques sont celles des résistances électriques.

5.5 Cas des régimes variables En général, l'équation n'a pas de solution analytique et la résolution se fait numériquement en tenant compte des

conditions initiales et des conditions aux limites (spatiales) imposées.

Conditions sur la température : T est imposée en certains points de la surface extérieure à tout instant.

Conditions sur le gradient de température : il faut connaître le flux thermique à travers un élément de la surface

latérale à chaque instant.

Conditions imposées par le milieu extérieur, à la température T0, qui est en contact avec le milieu étudié. L'échange

d'énergie à travers la surface suit la loi de Newton si la densité de flux thermique sortant (algébriquement) à travers

la surface du matériau est proportionnelle à l'écart de température entre le matériau et l'extérieur :

Le processus est dit convecto-conductif.

Pour une section S située à l'extrémité x0 d'une tige, il doit y avoir égalité entre les deux flux thermiques.

Contact entre deux solides : l'absence d'accumulation d'énergie au niveau du contact impose l'égalité des flux

thermiques en plus de l'égalité des températures.


ANNEXE 1


ANNEXE 2


ANNEXE 3

thermodynamique a molaire associée....- l’application des deux principes aux machines thermiques....

Documents