théorie des probabilités - problèmes et solutions

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Corina Reischer Raymond Leblanc Bruno Rmillard Denis Larocque

2002 Presses de l'Universit du Qubec Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bur. 450 Sainte-Foy (Qubec) Canada G1V 2M2

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Donnes de catalogage avant publication (Canada)

Vedette principale au titre :

Thories des probabilits ; problmes et solutions

ISBN 2-7605-1197-9

1. Probabilits Problmes et exercices. 2. Statistique mathmatique Problmes et exercices. 3. Variables alatoires Problmes et exercices. 4. Probabilits. I. Reischer, Corina, 1931-

QA273.25.T43 2002 519.2'076 C2002-941248-X

Nous reconnaissons l'aide financire du gouvernement du Canada par l'entremise du Programme d'aide au dveloppement de l'industrie de l'dition (PADI) pour nos activits d'dition.

Conception graphique de la couverture : RICHARD HODGSON

1 2 3 4 5 6 7 8 9 PUQ 2002 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Tous droits de reproduction, de traduction et d'adaptation rservs 2002 Presses de l'Universit du Qubec

Dpt lgal 4e trimestre 2002 Bibliothque nationale du Qubec / Bibliothque nationale du Canada Imprim au Canada

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Table des matires

Introduction v Liste de notations vii Alphabet Grec xi I Modles finis 1 1 Espace fini d'vnements 3

1.1 Notions de base - Dfinitions et proprits ........................................................31.1.1 Expriences alatoires, preuves et vnements ....................................31.1.2 Relations entre les vnements ..............................................................41.1.3 Evnements contraires ...........................................................................51.1.4 Oprations sur les vnements ..............................................................51.1.5 Espace probabilisable ............................................................................7

1.2 Problmes et solutions .......................................................................................81.3 Problmes proposs .........................................................................................201.4 Indications et rponses .....................................................................................24

2 Espace fini de probabilit 31

2.1 Notions de base - Dfinitions et proprits ......................................................312.1.1 Dfinition classique de probabilit ......................................................312.1.2 Dfinition axiomatique de probabilit .................................................332.1.3 Espace probabilis ...............................................................................342.1.4 Probabilit conditionnelle ....................................................................342.1.5 vnements indpendants ...................................................................352.1.6 Formules de calcul ..............................................................................37

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ii TABLE DES MATIRES

2.1.7 Modles classiques de probabilit ...................................................... 40 2.2 Problmes et solutions .................................................................................... 41 2.3 Problmes proposs ........................................................................................ 91 2.4 Indications et rponses .................................................................................. 105

3 Variables alatoires 123 3.1 Notions de base Dfinitions et proprits ............................................. 123

3.1.1 Dfinition d'une variable alatoire. Loi de probabilit ..................... 123 3.1.2 Fonction de masse et fonction de rpartition .................................... 125 3.1.3 Quelques lois de probabilit classiques ............................................ 130 3.1.4 Variables alatoires indpendantes ................................................... 132 3.1.5 Oprations sur des variables alatoires ............................................. 132 3.1.6 Valeurs typiques d'une variable alatoire ......................................... 136 3.1.7 Couple de variables alatoires .......................................................... 139 3.1.8 Fonction de rpartition d'un couple alatoire .................................... 141 3.1.9 Covariance et coefficient de corrlation ........................................... 145 3.1.10 Ingalit de Tchebychev ................................................................. 148

3.2 Problmes et solutions ............................................................................... 149 3.3 Problmes proposs ................................................................................... 217 3.4 Indications et rponses .............................................................................. 233

II Modles infinis 253

4 Espace de probabilit 255 4.1 Notions de base Dfinitions et proprits ................................................ 255

4.1.1 s-algbres et espaces probabilisables ................................................ 255 4.1.2 Probabilits et espaces probabiliss .................................................. 257 4.1.3 Mesures ............................................................................................ 260

4.2 Problmes et solutions .................................................................................. 261 5 Variables alatoires et lois de probabilits 281

5.1 Notions de base Dfinitions et proprits ............................................... 281 5.1.1 Variables alatoires .......................................................................... 281 5.1.2 Lois de probabilits .......................................................................... 283 5.1.3 Quelques lois de probabilits discrtes ............................................. 286 5.1.4 Quelques lois de probabilits continues ........................................... 288 5.1.5 Fonctions de rpartition .................................................................... 291

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TABLE DES MATIRES iii

5.1.6 Esprance et moments ....................................................................... 296 5.1.7 Fonctions caractristiques ................................................................. 303 5.1.8 Formules d'inversion ......................................................................... 305 5.1.9 Fonctions gnratrice des moments .................................................. 305

5.2 Problmes et solutions ................................................................................... 309

A Mthodes d'numration 431

Tables de la loi normale N (0, 1) 437 Table de la fonction de rpartition ....................................................................... 439 Table des quantiles .............................................................................................. 441

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Introduction

Le livre Thorie des probabilits prsente un recueil de problmes qui constitueune banque importante d'exercices varis pour familiariser les tudiants aux notions deprobabilits qui soutiennent la formation des statisticiens, des actuaires et desingnieurs. Nous estimons que l'apprentissage et la matrise des concepts et desnotions abstraites que proposent les probabilits passent ncessairement par larsolution de problmes et par la rdaction dtaille et rigoureuse de solutions.

Les auteurs fournissent pour chaque chapitre un cadre succinct prsentant etrsumant les concepts, les dfinitions, la thorie et les modles ainsi que laterminologie ncessaire pour aborder les exercices qui sont gnralement prsents parordre croissant de difficult. Nous incluons galement une liste des principalesnotations employes dans le milieu scientifique.

Chaque chapitre propose une srie de problmes accompagns des solutionscompltes et dtailles. Cette approche propose aux lecteurs des modles de ladmarche suivre pour rsoudre un problme et fournit galement des spcimens deprsentation des arguments qui constituent une preuve ou une dmonstration. Plusieurschapitres se terminent par une suite de problmes qui viennent complter et validerl'assimilation des concepts en invitant le lecteur rsoudre lui-mme les exercices.Nous fournissons alors des indications et des rponses pour permettre la vrificationdes rsultats obtenus par les tudiants et ainsi assurer la validit de leur propredmarche. Souvent les problmes permettent de faire des liens avec d'autres domainesde la connaissance mathmatique comme ceux de l'arithmtique, de l'algbre, de lagomtrie, etc..

Le texte se divise en deux grandes parties ce qui permet de traiter les

v

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vi Introduction

concepts probabilistes dans le cas des modles finis sparment de ceux des modlesinfinis. Le lecteur peut ainsi mieux grer son cheminement et adapter l'ouvrage ses besoins spcifiques et sa propre connaissance des outils mathmatiques employs enprobabilit.

Le document aborde les grandes lois classiques de la thorie des probabilits et introduit le lecteur aux proprits fondamentales des modles et des distributions si souvent utilises en statistique et en recherche.

Les auteurs sont convaincus que ce recueil peut rpondre plusieurs types debesoins tant au niveau collgial qu'universitaire.

Les auteurs remercient deux collgues du dpartement de mathmatiques et d'informatique de l'Universit du Qubec Trois-Rivires : le professeur Harry White pour ses informations concernant l'histoire des mathmatiques et ses conseilsconcernant l'usage du franais, et le professeur Kilani Ghoudi pour sa collaboration et son soutien au niveau de la prparation du manuscrit l'aide du systme TEX employpour produire ce document.

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Liste de notations

Symbole Usage Signification

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viii Liste de notations

Abrviations standard Signification

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Liste de notations ix

Lettres avec une Signification signification fixe

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x Liste de notations

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Alphabet Grec

xi

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Partie I Modles finis

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Chapitre 1

Espace fini d'vnements

1.1 Notions de base Dfinitions et proprits

1.1.1 Expriences alatoires, preuves et vnements

La thorie des probabilits traite des expriences dont les rsultats dpendent du hasard.Dans ce contexte, on parle d'expriences alatoires ou plus simplement d'expriences.

Dfinition 1. Les diffrents rsultats possibles d'une exprience alatoire s'appellent lespreuves ou les ralisations de l'exprience.

L'ensemble de toutes les ralisations possibles s'appelle l'espace chantillonnal) oule rfrentiel, et on le reprsentera par .

Les expriences peuvent avoir un nombre fini ou infini d'preuves. Par consquent,l'ensemble peut tre fini ou infini. Dans ce chapitre, nous considrons seulement descas o est fini.

Dfinition 2. On appelle vnement alatoire ou plus simplement vnement (rattach l'exprience) toute situation qui peut tre ralise par une ou plusieurs preuves.

Un vnement alatoire est donc totalement dtermin par l'ensemble des preuvespar lesquelles l'vnement se ralise. On peut donc interprter ou identifier chaquevnement avec un sous-ensemble de de toutes les preuves de l'exprience.

Nous reprsenterons les vnements alatoires par des lettres majuscules comme

A, B, C, E, ... , A1, .. .

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4 Chapitre 1. Espace fini d'vnements

et les diffrentes preuves ou ralisations d'une exprience par la lettre grecqueminuscule , comme

, 1,..., i,...

Pour cette raison, si un vnement A se ralise par les preuves i, i, ..., k on le reprsentera souvent par A = {i, j, ..., k}.

Dfinition 3. Les vnements qui sont ralisables par une seule preuve s'appellent vnements lmentaires et correspondent aux singletons, les sous-ensembles comportant un seul lment ; les autres vnements s'appellent vnements composs, ou simplement vnements.

Pour des raisons qui deviendront claires par la suite, en liaison avec une exprience,on ajoute aussi les deux vnements singuliers suivants :

l'vnement qui se ralise chacune des preuves, nomm l'vnement certain. Cet vnement correspond l'ensemble de toutes les preuves possibles del'exprience, donc , l'espace chantillonnal lui-mme et pour cette raison il sera reprsent par .

l'vnement qui ne peut tre ralis par aucune preuve de l'exprience alatoire,nomm l'vnement impossible. Cet vnement est associ l'ensemble vide et pour cette raison il sera reprsent par .

Dans le contexte que nous venons de dfinir, nous identifierons tout vnement d'une exprience alatoire avec le sous-ensemble de l'espace chantillonnal auquel il est associ. Dornavant, souvent nous ne distinguerons pas entre l'vnement lui-mme et le sous-ensemble de auquel il est identifi.

1.1.2 Relations entre les vnements

1) quivalence des vnements

On appelle vnements quivalents, des vnements qui se ralisent simultanment. L'quivalence de deux vnements revient l'galit des ensembles des preuvescorrespondant aux vnements. Nous reprsenterons l'quivalence des vnementsA et B par A = B.

2) L'implication des vnements On dit que l'vnement A implique l'vnement B si la ralisation de l'vne-

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1.1. Notions de base Dfinitions et proprits 5

1.1.3 vnements contraires

Dfinition 1. L'vnement contraire A, ou encore, non A est l'vnement qui seralise si et seulement si A ne se ralise pas. Cet vnement sera not Ac.

Remarquons que (Ac)c = A. Les sous-ensembles des preuves rattaches auxvnements A et Ac sont complmentaires par rapport l'ensemble W de toutes lespreuves de l'exprience.

Exemple 2. Dans l'exprience qui consiste lancer un d, l'vnement A "obtenir unnombre impair" et l'vnement B "obtenir un nombre pair" sont des vnementscontraires.

1.1.4 Oprations sur les vnements

Dans l'ensemble de tous les vnements relis une exprience on peut introduireplusieurs oprations.

1) Runion d'vnements

tant donns deux vnements A et B, leur runion est l'vnement qui se ralisesi et seulement si au moins un des vnements A ou B se ralise. Larunion des vnements A et B est reprsente A U B que l'on lit "A ou B"

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ou encore "A runion B" . 2) Intersection d'vnements tant donns deux vnements A et B, leur intersection est l'vnement qui se ralise si et seulement si les vnements A et B se ralisent simultanment. L'intersection des vnements A et B est note A B que l'on lit "A et B" ou encore "A inter B" .

Remarque 1. Les oprations de runion et d'intersection peuvent tre tendues un nombre fini quelconque d'vnements. Soit A1 ... , An, une suite d'vnements d'une exprience alatoire, alors la runion

est l'vnement qui se ralise si et seulement si au moins un des vnements Aj se ralise. De mme, l'intersection

est l'vnement qui se ralise si et seulement si tous les vnements Aj se ralisentsimultanment. Ces oprations sont commutatives et associatives, autrement dit pourtous vnements A, B, C on a

De plus, la runion est distributive par rapport l'intersection et l'intersection est distributive par rapport la runion, autrement dit pour tous vnements A, B, C on a

Dfinition 2. Deux vnements A et B sont incompatibles ou disjoints si A B = , c'est--dire qu'ils ne peuvent pas se raliser simultanment. Dans

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le cas contraire on dit que les vnements sont compatibles. 3) Diffrence d'vnements

La diffrence des vnements A et B est l'vnement qui se ralise chaque fois que conjointement A se ralise et que B ne se ralise pas. Nous noterons cet vnement A \B que l'on lit "A moins B." On a

Remarque 3. Notons que si on rattache un vnement l'ensemble des preuvesassocies, alors les oprations entre les vnements reviennent aux oprationsrespectives entre les ensembles des preuves correspondantes, et donc les rsultats desoprations avec des vnements relis une exprience sont encore des vnementsrelis la mme exprience.

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Soit un ensemble fini o = {1, ... , n}, et soit A = P(). Dans cet espace finid'vnements, on trouve

vnements, o n est le nombre d'vnements lmentaires, c'est--dire la cardinalitde l'espace chantillonnal .

Dfinition 4. Soit l'ensemble de toutes les preuves possibles correspondant uneexprience et A un espace d'vnements sur . On appelle espace probabilisable lecouple (, A).

Remarque 5. Dsormais chaque fois qu'on trouvera une relation entre plusieursvnements, on supposera que les vnements en question appartiennent tous au mmeespace d'vnements.

1.2 Problmes et solutions 1. Donner l'espace chantillonnai associ au tirage simultan de deux cartes de jeu,

si on s'intresse seulement la couleur des cartes obtenues (carreau, coeur, piqueou trfle).

Solution. En notant Q un carreau, C un coeur, P un pique et T un trfle, on trouve

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1.2. Problmes et solutions 9

2. Quelles sont les preuves de l'exprience suivante : on extraitsimultanment, deux boules d'une urne qui contient 3 boules blanches et 2 boulesnoires ? Solution. Dsignons les boules blanches par bi, b2, b3 et les boules noires par ni,n2. Reprsentons par {ai, ai}, ai, ai {bi, b2, b3, ni, n2} la ralisation qui consiste extraire les boules ai et ai. Les preuves (les vnements lmentaires) del'exprience sont :

Il y a (5/2) = 10 preuves o (5/2) reprsente le nombre de combinaisons que l'onpeut former en choisissant 2 objets parmi 5 sans tenir compte de l'ordre deslection.

3. Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires. On extrait au hasarddeux boules.

i) On considre les vnements :

Al - "obtenir deux boules noires",

A2 - "obtenir au moins une boule blanche",

A3 - "obtenir une seule boule blanche",

A4 - "obtenir une seule boule noire",

A5 - "obtenir deux boules vertes".

Dterminer si chaque vnement est d'une part, alatoire, certain, impossible et,d'autre part, s'il est lmentaire ou compos.

ii) Trouver les rponses du point i), en utilisant les ensembles d'preuvesrattaches aux vnements.

Solution. i) A1, A2, A3, A4 sont des vnements alatoires, car chaque fois quel'exprience est ralise, chacun de ces vnements se ralise ou ne se ralise pas.Par exemple, si le rsultat de l'exprience est {b1, b2}, l'vnement Al ne se ralisepas, mais si le rsultat de l'exprience est{n1, n2}, l'vnement Al se ralise. (Ici on a utilis la notation du problmeprcdent.)

L'vnement A5 est l'vnement impossible, car pour tout rsultat de l'exprience,A5 ne se ralise pas.

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Al est un vnement lmentaire, car il se ralise seulement par une seulepreuve, savoir : {n1, n2}.

A2 est un vnement compos, car il se ralise par plusieurs preuves.

A3 et A4 sont galement des vnements composs.

A5 n'est ni lmentaire ni compos.

ii) On a :

4. On considre les vnements A1, A2, A3, A4 du problme prcdent. Trouver lespaires d'vnements quivalents, les paires d'vnements compatibles, les pairesd'vnements incompatibles, les paires d'vnements contraires, les pairesd'vnements dont le premier implique le second.

Solution. A3 = A4, car obtenir une seule boule blanche (la ralisation del'vnement A3) implique l'obtention d'une seule boule noire, donc cela revient la ralisation de l'vnement A4, et vice-versa. On peut obtenir le mme rsultatde l'galit des ensembles d'preuves rattaches aux vnements.

Les paires d'vnements suivants sont compatibles :

{A2, A3}, {A2, A4}, {A3, A4},

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7.

8.

On contrle la qualit de dix produits. Soit A l'vnement "au moins un desproduits est dfectueux" et B l'vnement "au plus deux des produits sont bons".Dcrire les vnements Ac et Bc.

Solution. Ac est l'vnement "tous les produits contrls sont bons", tandisque Bc est l'vnement "au moins trois produits sont bons".

Soit = {a, b, c}, A = {a} et B = {b}. numrer les lments des vnementssuivants :

9. Dans l'ensemble des polynmes de degr plus petit que ou gal n et dont lescoefficients appartiennent l'ensemble des nombres entiers de l'intervalle[5 000, 5 000], on choisit au hasard un polynme, disons P(x). Soit Al'vnement "P(x) est divisible par le binme x 1" et soit B l'vnement"la drive P'(x) est divisible par le binme x -1". Dcrire les vnements A Bet A U B.

Solution. L'vnement A B signifie que le polynme P(x) ainsi que sa driveP'(c) sont divisibles par le binme x 1, autrement dit, le polynme P(x) admet1, au moins, comme racine double.

L'vnement A B signifie que P(1) = 0 ou P' (1) = 0, c'est--dire que 1 est uneracine pour le polynme P(x) ou P'(x), ou pour les polynmes P(x) et P'(x).

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10. Trouver des expressions plus simples pour dsigner les vnements :

11. Soit A, B, C trois vnements quelconques. Exprimer les vnements suivants.Parmi A, B, C :

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

vii)

viii)

A seul se produit.

A et B se produisent mais non C.

Les trois vnements se produisent en mme temps.

Au moins un des vnements se produit.

Au moins deux des vnements se produisent.

Un et un seulement se produit.

Deux et deux seulement se produisent.

Aucun vnement ne se produit.

Solution. i) A Bc Cc.

12. Une machine a produit n pices. Soit Ai l'vnement "la i-ime pice estdfectueuse", i = 1, . . . ,n. crire les vnements suivants :

i) Bl - "aucune pice n'est dfectueuse".

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ii)

iii)

iv)

v)

vi)

B2 - "au moins une pice est dfectueuse".

B3 - "une seule pice est dfectueuse".

B4 - "deux pices sont dfectueuses".

B5 - "au moins deux pices sont dfectueuses".

B6 - "au plus deux pices sont dfectueuses".

Solution. i)

13. On choisit au hasard un nombre parmi les 5 000 premiers nombresnaturels. Soit A l'vnement "le nombre choisi commence par le chiffre3" et soit B l'vnement "le nombre choisi finit par le chiffre 5." Quereprsente l'vnement A \ B ? Solution. On a A \ B = A Bc, donc le nombre choisi doit commencerpar le chiffre 3 et finir par tout chiffre diffrent de 5.

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14. On choisit au hasard un nombre parmi les 5 000 premiers nombresnaturels. Soit A l'vnement "le nombre choisi est divisible par 2" ; Bl'vnement "le nombre choisi est divisible par 3" ; C l'vnement "lenombre choisi finit par le chiffre 0". Dcrire les vnements :

Solution. i) Le nombre choisi finit par 0 et il se divise par 2, par 3 oupar 6.

ii) Le nombre choisi est divisible par 6, ou se termine par 0, ou estdivisible par 6 et se termine par 0.

iii) Le nombre choisi est divisible par 2 et finit par 0, ou le nombrechoisi est divisible par 3 et finit par 0, ou il est divisible par 6 et finit par0.

15. Que peut-on dire des vnements A et B d'un mme espaced'vnements si :

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17. Montrer que

Solution. i) L'vnement Ac Bc signifie la non ralisation de l'vnement A et la non ralisation de l'vnement B et par consquent, l'vnement contraire de cet vnement savoir (Ac n Bc)c signifie la ralisation au moins d'un des vnements A et B, donc

D'autre part, si l'vnement A U B se ralise, donc au moins, un des vnementsA et B, alors l'vnement Ac Bc ne se ralise pas, ce qui implique quel'vnement (Ac Bc)c se ralise, et

De (1.5) et (1.6) on obtient l'galit dsire. ii) En posant dans l'galit i) Ac = C et Bc = D, on obtient

d'o en passant aux vnements contraires,

Ce problme peut tre rsolu d'une autre faon en tenant compte des relations de De Morgan et du fait que (Ac)c = A.

18. Montrer que les relations suivantes

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20. On considre l'exprience qui consiste tirer une boule d'une urne contenant

4 boules blanches numrotes 1, 2, 3 et 4, et une boule noire numrote 5.

i)

ii)

iii)

iv

Dcrire l'espace probabilisable reli cette exprience.

Combien d'vnements y-a-t-il dans l'espace des vnements ?

numrer les vnements lmentaires.

) numrer les implications de l'vnement {1}.

Solution. i) L'espace probabilisable est (, A) o = {1, 2, 3, 4, 5} et A = P() est donc donn par l'ensemble

{0, {k}, {i, j}, {i, j, k}, {i, j, k, l}, {1, 2, 3, 4, 5}} o i, j, k, l prennent indpendamment les valeurs de 1 5, mais avec la restrictionque dans le cadre d'un mme groupe tous les indices soient diffrents et deux groupes avec le mme nombre d'indices diffrent au moins par un indice. On anot par {k} la slection de la boule numrote k, par {i, j} la slection des boules numrotes i et j, etc. et {1, 2, 3, 4, 5} = reprsente l'vnement certain.

ii) Le nombre d'vnements dans l'espace des vnements est

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iii) Les vnements lmentaires sont :

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}.

1.3 Problmes proposs 1. On lance deux pices de monnaie (une de 1 cent et une de 10 cents) et on

considre les rsultats qui apparaissent.

i) Quelles sont les preuves de l'exprience ?

ii) Soit les vnements :

Al - "l'apparition d'une face sur une des pices de monnaie",

A2 - "l'apparition de face sur la pice de 10 cents".

Les vnements Al et A2 sont-ils compatibles ou incompatibles?

2.

3.

D'une urne contenant 20 boules dont 6 sont blanches et 14 sont noires, on extrait,au hasard sans remise, deux boules. Soit A l'vnement "parmi les deux bouleschoisies, il y a au moins une boule blanche" et B l'vnement "les deux boulessont blanches". Les vnements A et B sont compatibles ou incompatibles ?S'agit-il d'vnements lmentaires ou composs ?

On lance un d. Notons A l'vnement "l'apparition de la face 1 ou 4" et Bl'vnement "l'apparition de la face 2 ou 3 ou 5 ou 6." Quelle est la relation entreles vnements A et B ?

4. On pige 10 pices d'un lot de pices fabriques par une machine. Reprsentonspar A l'vnement "toutes les pices choisies sont bonnes" et par B l'vnement"au moins une pice est dfectueuse". Quel est le type d'vnement de

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1.3. Problmes proposs 21

i)

ii)

A U B,

A B ?

5. Deux tudiants jouent une partie d'chec. Soit A l'vnement "le premier tudiantgagne la partie" et soit B l'vnement "le deuxime tudiant gagne la partie". Lapartie se termine sur une nulle.

i)

ii)

i)

ii)

iii)

iv)

Est-ce qu'un des vnements A ou B s'est ralis ?

crire l'vnement ralis en utilisant les vnements A et B.

6. Soit = {a, b, c, d}, A = {a, b} et B = {d}. numrer les lments desvnements suivants :

Ac,

A U Bc,

A n B,

Ac n B.

7. On lance un d deux fois de suite.

i) Prciser les vnements suivants :

Al - "on obtient la face 1 suivi d'un nombre pair" ,

A2 - "la somme est 5" ,

A3 - "les deux chiffres obtenus sont gaux".

ii) Que pouvez-vous dire des vnements A, B, C tels que

A est ralis quand Al et A2 sont raliss,

B est ralis quand A2 et A3 sont raliss,

C est ralis quand A2 est ralis et que Al ne l'est pas.

8. L'espace chantillonnal tant un jeu de 52 cartes. Soit T le sous-ensemble destrfles, Q celui des carreaux, C celui des coeurs, P celui des piques, N celui descartes nobles (dix, valet, dame, roi et as). Dcrire les sous-ensembles suivants etdonner le nombre d'lments qu'ils contiennent :

i) T N,

ii) (T P) U N,

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iii) (T n Q) U Nc, iv) (P n Cc) u (PC n C).

9. De l'ensemble des nombres naturels de l'intervalle [1, 499] on choisit au hasardun nombre. Soit A l'vnement "le nombre choisi est divisible par 5" et soit B l'vnement "le nombre choisi se termine par le chiffre 0". Dcrire l'vnementA \ B ?

10. On crit au hasard un polynme, disons P(x), de l'ensemble des polynmes dont les coefficients sont des entiers de l'intervalle [-10, 20]. Considrons les vnements :

Al - "le polynme P(x) est divisible par x 2", A2 - "le polynme driv P'(x) est divisible par x 2", A3 - "la driv seconde P"(x) est divisible par x 2", B - "2 est au moins une racine triple du polynme P(x)", C - "2 est une racine double pour le polynme P(x)". Exprimer les vnements B et C l'aide des vnements Ai, i = 1, 2, 3.

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1.3. Problmes proposs 23

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21.

22.

On lance une pice de monnaie. Dcrire l'espace des vnements rattachs cetteexprience.

Dcrire l'espace des vnements rattachs l'exprience qui consiste lancer und.

23. Dcrire l'espace des vnements rattachs l'exprience qui consiste lancersimultanment une pice de monnaie et un d et observer les faces suprieuresprsentes aprs le lancer.

24.

Dcrire l'espace des vnements rattachs l'exprience suivante : on crit unnombre de deux chiffres choisis au hasard, parmi les chiffres 1, 5, 8.

1.4 Indications et rponses 1. i) Les preuves sont :

sur les deux pices apparaissent des piles,

sur les deux pices apparaissent des faces,

sur la pice de monnaie de 1 cent apparat pile et sur la pice de monnaiede 10 cents apparat face,

sur la pice de monnaie de 1 cent apparat face et sur la pice de monnaie de10 cents apparat pile.

Symboliquement on peut crire (P, P), (F, F), (P, F), (F, P).

ii) Al et A2 sont des vnements alatoires, car en effectuant l'exprience, ilspeuvent ou non se produire. Ce sont des vnements composs, car chacun peuttre ralis par plusieurs preuves. Les vnements Al et A2 sont compatibles, carils peuvent se produire simultanment par l'preuve (F, F).

2.

3.

A et B sont des vnements compatibles, car ils peuvent se produire en mmetemps, savoir quand on extrait de l'urne deux boules blanches. A et B sont desvnements composs.

Les vnements A et B sont contraires, car si A se ralise, alors B ne peut pas seraliser et rciproquement, B = Ac et A = Be. Les vnements A et B sontincompatibles.

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1.4. Indications et rponses 25

4. i) vnement certain.

ii) vnement impossible.

5. i) Non.

ii) Ac Bc = (A U B)c.

6. i) Ac = {c, d},

ii)

iii)

iv)

A U Bc = {a, b, c},

A B = ,

Ac B = {d}.

7. D'abord l'espace chantillonnal contient 36 vnements lmentaires, savoirles couples (a, b) de nombres compris entre 1 et 6.

i) Al = {(1, 2), (1,4), (1, 6)},

A2 = {(1, 4), (2,3), (3,2), (4,1)},

A3 = {(1,1), (2,2), ..., (6,6)1.

ii) A = {(1, 4)}, donc A est un vnement lmentaire, il se ralise quand onobtient la face avec 1, puis un nombre pair et la somme est 5.

B = , car la somme de deux nombre gaux ne peut tre 5, donc B estl'vnement impossible.

C = {(2, 3), (3, 2), (4, 1)}, car la somme est 5 et on n'a pas obtenu un 1 suivi d'unnombre pair.

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5En interprtant les vnements comme des sous-ensembles des preuves par lesquelles ils seralisent, rsoudre ce problme comme les suivants de mme type, revient dmontrer l'galitd'ensembles. Pour habituer le lecteur au raisonnement propre la thorie des probabilits nousavons prfr des dmonstrations telles que proposes.

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15. i) L'vnement A U B U C signifie la ralisation d'au moins un des vnementsA, B, C, son contraire, (A U B U C)c signifie la ralisation du Ac Bc Cc, donc

De faon analogue on montre l'implication inverse, d'o l'galit dsire. _

ii)

iii)

On procde comme pour le point i).

On utilise la preuve par rcurrence. Pour le cas deux et trois vnements onvrifie les relations du problme 16 i), Section 1.2, et du point i) du prsent problme.

donc l'galit est vraie pour tout nombre naturel n.

iv) On procde comme pour le point iii).

16. Se dmontre par rcurrence tout en utilisant les proprits de distributivit des oprations U et .

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Rciproquement, la ralisation de A \ (A B) signifie la ralisation del'vnement A et la non ralisation de l'vnement A B, donc la nonralisation de B et par consquent la ralisation de l'vnement A \ B. Donc

ii), iii) se dmontrent de la mme faon que i).

iv) L'vnement (A U B) \ C signifie la ralisation de A U B et la non ralisation de C, donc la ralisation de (A \ C) U (B \ C), par consquent

Rciproquement, (A \ C) U (B \ C) signifie la ralisation de A et la nonralisation de C, ou la ralisation de B et la non ralisation de C, donc laralisation de A ou B et la non ralisation de C, donc

v) On le montre de la mme faon que le point iv).

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ici i, j, k,1, m prennent indpendamment toutes les valeurs de 1 6, (voir larestriction faite dans le problme 20, Section 1.2). On a not par {k} l'apparitionde la face avec k points, par {i, j} l'vnement qui signifie l'apparition de la faceavec i points ou de la face avec j points, donc {i, j} = {i} U {j}, etc.

23. D'abord l'espace chantillonnal sera = 1 x 2, c'est--dire le produit cartesien de l'espace chantillonnal 1 = {P, F}, rattachs l'exprience qui consiste lancer une pice de monnaie, (voir problme 21) et de l'espace chantillonnal 2= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, rattachs a l'exprience qui consiste lancer un d, (voirproblme 22), donc

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Chapitre 2 Espace fini de probabilit 2.1 Notions de base Dfinitions et proprits 2.1.1 Dfinition classique de probabilit

o m est le nombre d'preuves qui ralisent A et n le nombre total d'preuves dansl'espace chantillonnal rattach l'exprience. Ainsi P(A) est le rapport entre lenombre de cas favorables la ralisation de l'vnement A et le nombre de caspossibles, tous cas possibles tant galement vraisemblables.

Pour calculer la probabilit d'un vnement quelconque A, il faut donc dterminerle nombre de

cas favorables, c'est--dire, le nombre d'lments de l'ensemble des preuvesrattaches l'vnement A,

cas possibles, c'est--dire, le nombre d'lments de l'ensemble des preuvesrattaches l'vnement certain .

La probabilit P(A) est le rapport de ces deux nombres.

31

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32 Chapitre 2. Espace fini de probabilit

o card(A), card() reprsentent la cardinalit respective des ensembles A et .

Remarque 2. On peut utiliser cette dfinition classique ou frquentiste de probabilitseulement pour les expriences o les vnements lmentaires sont quiprobables,c'est--dire galement vraisemblables.

On dit que les preuves sont quiprobables, c'est--dire que les probabilits desvnements lmentaires sont gales.

La probabilit d'un vnement lmentaire d'une telle exprience est 1/n(n tant le nombre total d'preuves). Cette probabilit est la mme pour tout vnementlmentaire, car le nombre de cas favorables est ncessairement gal 1.

Exemple 3. Quand on lance une pice de monnaie bien quilibre, on prsume que lespreuves "pile" et "face" sont galement possibles. Dans ce cas les probabilitsclassiques seraient 1/2 pour les vnements lmentaires. On dit que ces vnementssont quiprobables.

De mme, quand on lance un d bien quilibr, les diffrents rsultatspossibles sont tous galement probables et les probabilits pour les vnementslmentaires sont toutes 1/6.

Remarque 4. En considrant la dfinition 1, on constate que la notion de probabilitd'un vnement a les proprits suivantes :

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2.1.2 Dfinition axiomatique de probabilit

Dfinition 1. Une mesure de probabilit, ou une probabilit P dfinie sur un espaceprobabilisable (, A) est une fonction P : A R qui associe tout vnement A de Aun nombre rel P(A), A P(A) qui satisfait les axiomes suivants :1

1Cette dfinition axiomatique de probabilit a t donne en 1933 par Andre Nikolaevitch Kolmogorov (1903-1987), mathmaticien russe.

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Pour tout A A, P(A) est la somme des probabilits des vnements lmentairesqui composent l'vnement A.

Signalons que la dfinition classique de probabilit satisfait bien sr tous lesaxiomes de la dfinition axiomatique car on obtient la premire de la seconde commecas particulier o pl = = pn = 1 / n

2.1.3 Espace probabilis

Dfinition 1. Un espace probabilis est un triplet (, A, P), o (, A) est un espaceprobabilisable, et P est une probabilit sur (, A).

Dfinition 2. Un systme complet d'vnements est un ensemble d'vnements{Ak ; k = 1, . . . , m} qui satisfait les conditions suivantes :

En fait un systme complet d'vnements est une partition de 52 en vnements disjoints.

Il s'ensuit que si les vnements {Ak ; k = 1, ... , m} forment un systme complet d'vnements alors

Remarque 3. L'ensemble de tous les vnements lmentaires associs uneexprience forme un systme complet d'vnements.

2.1.4 Probabilit conditionnelle

Soit A un vnement tel que P(A) > 0.

Dfinition 1. On appelle probabilit conditionnelle de l'vnement B par rapport l'vnement A, ou encore, la probabilit de B tant donn A, le nombre

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Cette formule fait le lien entre les probabilits conditionnelles rciproque pour deuxvnements.

Notons que la probabilit conditionnelle satisfait aux axiomes de la dfinition 1, de2.1.2, donc elle est galement une probabilit sur (, A).

On peut interprter la probabilit conditionnelle P(B \ A) comme la probabilit del'vnement B sachant que l'vnement A s'est ralis.

En comparant les probabilits P(B) et P(B \ A), on peut dterminer si la ralisationde l'vnement A influence ou non la ralisation de l'vnement B, ce que nousabordons maintenant.

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Exemple 5. Considrons un ttradre dont les faces sont colores de la faon suivante:une face est blanche, une face est noire, une face est rouge et la dernire facecomprend les trois couleurs. On lance le ttradre sur une table et on regarde lacouleur de la face sur laquelle le ttradre est tomb. Soient les vnements

Al - "on voit la couleur blanche", A2 - "on voit la couleur noire", A3 - "on voit la couleur rouge".

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On peut appliquer cette formule la situation suivante. la suite d'une exprience, unvnement B peut apparatre. Cependant cet vnement peut apparatre commeconsquence den vnements A1, ... , An qui forment un systme complet d'vnements(c'est--dire, B peut apparatre simultanment avec un et seulement un des vnementsAk, k = 1, ... , n). Supposons que l'on connaisse les probabilits des vnements A1 ... ,An (qui s'appellent galement probabilits a priori des vnements A1, ..., An) et quel'on connaisse aussi la probabilit d'apparition de l'vnement B comme consquencede l'vnement Ak, c'est--dire P(B \ Ak), k = 1, ... , n. En supposant qu' la suite del'exprience l'vnement B se soit produit, la formule de Bayes permet de trouversparment pour chaque k = 1, . . . , n, la probabilit que l'vnement Ak soit apparue cause de l'vnement B, c'est--dire la probabilit P(Ak \ B), k = 1, ..., n (lesprobabilits P(Ak \ B), k = 1, ... , n s'appellent aussi les probabilits a posteriori desvnements A1, ... , An).

En comparant les probabilits P(Ak \ B) et P(Ak) on peut connatre l'effet del'vnement B sur la probabilit de l'vnement Ak lorsqu'on sait que l'vnementB s'est produit.

2Thomas Bayes (1702-1761), rvrend et mathmaticien anglais.

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2.1.7 Modles classiques de probabilit

1) Modle de Bernoulli3 ou modle binomial

Le modle de Bernoulli consiste en une exprience qui ne peut produire que deuxrsultats. On peut soit obtenir l'vnement A avec probabilit p, ou bien son contraireAc avec probabilit 1 p. Si on rpte cette exprience n fois, indpendamment etdans des conditions identiques, la probabilit P(n ; k) qu' la suite des n expriences,l'vnement A soit apparu k fois est donne par

Parce que la probabilit P(n ; k) correspond au coefficient de xk dans le dveloppementdu binme (p+(1-p)x)n, ce schma s'appelle aussi le modle binomial.

Le modle binomial peut tre ralis l'aide d'une urne contenant des boules dedeux couleurs (disons blanches et noires). On tire une seule boule la fois et chaquefois on remet la boule dans l'urne pour assurer que les conditions ne changent pas d'untirage l'autre. Aprs n rptitions, on dnombre les apparitions de la couleur blanche.Cette situation correspond au modle binomial et pour cette raison ce schma estgalement connu aussi sous le nom de modle de l'urne avec remise.

2) Modle de Bernoulli plusieurs tats ou modle multinomial

Considrons une exprience qui peut produire un et un seul des vnements{Ak ; k = 1, . . . , s} qui forment un systme complet d'vnements et posons

On rpte l'exprience n fois, indpendamment et dans des conditions identiques. La probabilit P(n ; m1, m2, ... , m8) que dans les n expriences l'vnement Ak soit apparu mk fois, k = 1, ... , s est donne par

3Jacob (Jacques) Bernoulli (1654-1705), le premier mathmaticien de la famille Bernoulli, famille de mathmaticiens suisses bien connue.

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Ce schma est connu sous le nom de modle multinomial.

3) Modle de Poisson4

Pour le modle de Poisson, on considre n expriences indpendantes. Commersultat de la k-ime exprience, on peut avoir l'vnement A avec probabilit pk, oubien l'vnement Ac avec probabilit 1 pk, k = 1, . . . , n. La probabilit que dans lesn expriences l'vnement A soit apparu m fois est le coefficient Pm de xm dans lepolynme

Le schma de Poisson peut tre ralis par une squence de n urnes contenant, dans des proportions diffrentes, des boules de deux couleurs (disons blanches et noires).On extrait successivement une boule de chaque urne. Remarque 1. La schma de Bernoulli peut tre obtenu comme un cas particulier du schma de Poisson en prenant pl == pn.

Extraire n boules de l'urne revient extraire n fois une seule boule, mais sansretourner la boule pige dans l'urne, ce qui justifie le nom de ce schma.

2.2 Problmes et solutions 1. On extrait au hasard une boule d'une urne qui contient 20 boules numrotes

de 1 20. Trouver la probabilit que le nombre inscrit sur la boule soit :

i)

ii)

un nombre premier.

un nombre pair. 4Denis Poisson (1781-1840), clbre mathmaticien franais.

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iii) un nombre divisible par 3.

Solution. Le nombre de cas possibles pour cette exprience est 20. Trouvons lenombre de cas favorables pour chaque vnement considr :

i)

ii)

iii)

Le nombre de cas favorables est 8 savoir les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, donc p = 8/20 = 2/5.

Le nombre de cas favorables est 10, savoir les nombres 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, donc_ p = 10/20 = 1/2

Le nombre de cas favorables est 6, savoir les nombres 3, 6, 9, 12, 15, 18,donc p = 6/20 = 3/10

2. Chacune des 26 lettres de l'alphabet est crite sur une carte et introduite dans une urne. Trouver la probabilit qu'en choisissant au hasard et sans remise quatrecartes l'on obtienne dans l'ordre de slection le mot PAIX.

Solution. Le nombre de cas favorables est 1, car il faut choisir les quatre lettresdu mot P, A, I, X dans cet ordre.

Le nombre de cas possibles est 26 x 25 x 24 x 23. En effet, la premire lettrepeut tre n'importe laquelle des 26 lettres de l'urne, donc pour la premire extraction on a 26 cas possibles. Pour la deuxime lettre il reste seulement 25cas possibles, et chaque cas peut tre associ avec les 26 cas possibles de lapremire lettre choisie, donc on obtient au total, 26 x 25 cas possibles pour lechoix des deux premires lettres. Il y a 24 cas possibles pour le choix de latroisime lettre (car dans l'urne il ne reste que 24 lettres), qui combins avec tousles cas possibles pour les deux premires lettres donnent 26 x 25 x 24 caspossibles pour le choix des trois premires lettres. Finalement, pour la dernire lettre il reste 23 choix possibles, qui combins avec les 26 x 25 x 24 choixpossibles pour le choix des trois premires lettres, donnent 26 x 25 x 24 x 23 caspossibles quand on choisit sans remise les quatre lettres, doncp = 1 / 26x25x24x23

Remarque. Le nombre de cas possibles peut tre obtenu d'une autrefaon. Extraire successivement 4 fois une lettre en tenant compte del'ordre de slection revient extraire d'un coup 4 lettres, mais en tenantcompte de l'ordre des lettres dans la formation des groupes, donc le nombrede choix possibles est donn par le nombre d'arrangements de 4 objetsqu'on peut former partir de 26 objets. Deux groupes diffrent

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au moins par la nature d'un objet ou par l'ordre des objets, donc ce nombreest A26/4 = 26 x 25 x 24 x 23.

3. Dix boules numrotes de 1 10 sont alignes au hasard une aprs l'autre.Trouver la probabilit que la boule numrote 5 apparaisse aprs la boulenumrote 4.

Solution. Le nombre de cas possibles est P10 = 10 !

Le nombre de cas favorables est 9 x 8 !. En effet, la boule numrote 4 peutoccupe n'importe quelle des 9 premires places, tout en tant suivie par la boulenumrote 5. Il y a donc 9 faons de placer les boules 4 et 5 l'une aprs l'autre.Les 8 autres boules peuvent tre places sur les 8 places laisses disponiblesde 8 ! faons diffrentes. Par suite chaque cas d'arrangement des boules 4 et 5doit tre associ avec les 8 ! cas possibles d'arrangement des 8 autres boules, etau total il y a 9 x 8 ! faons diffrentes de placer les 10 boules sous la conditionque la boule 4 soit suivie par la boule 5.

La probabilit cherche est donc p = 9x8! / 10! = 1/10

4. On lance n fois deux ds. Trouver la probabilit que le double six apparaisse aumoins une fois.

Solution. Dans ce problme, il est plus facile de calculer la probabilit del'vnement contraire. Cherchons donc la probabilit q qu'en lanant n fois deuxds le double six n'apparaisse jamais.

Le nombre de cas possibles est (36)n. En effet, chaque lancer de deux ds il y a36 cas possibles, car chacune des 6 faces du premier d peut tre combine avecn'importe laquelle des six faces du deuxime d, donc au total 6 x 6 = 36. Pourles n lancers des deux ds il y a donc (36)n cas diffrents possibles.

Le nombre de cas favorables est (35)n. En effet, chaque lancer de deux ds il y35 cas favorables (de 36 cas possibles il faut liminer le cas o la face 6 apparatsur les deux ds). Pour les n lancers il y a donc (35)n cas favorables.

Donc q = (35/36)n et par consquent, la probabilit cherche est

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5. Montrer que la probabilit d'obtenir au moins un six quand on lance 4 fois un dest plus grande que la probabilit d'obtenir au moins un double six, quand onlance 24 fois deux ds.5

Solution. Soit A l'vnement "obtenir au moins un six quand on lance 4 fois un d" et B l'vnement "obtenir au moins le double six, quand on lance 24 fois deuxds." Alors, en faisant le mme raisonnement que dans le problme 4, on trouve

Note. Le chevalier De Mr6, un grand joueur de ds du XVII-ime sicle, aobserv partir de sa propre exprience, qu'il y a plus de chances de gagner si onparie que sur 4 lancers d'un d, le six apparatra au moins une fois, que si onparie que dans 24 lancers de deux ds, le double six apparatra au moins une fois.De Mr a constat que dans une grande srie de paris de ce type, dans lepremier cas la frquence du gain est plus grande que 1/2, donc le nombre de jeuxgagnants est plus grand que le nombre de jeux perdants, le rsultat final tant ungain pour le joueur, tandis que dans le deuxime cas, le rsultat final amneraune perte pour le joueur. De Mr considrait que cette observation contredisaitle calcul mathmatique, car 4 faces par rapport 6 (le nombre de cas possiblesquand on lance un d) est dans le mme rapport que 24 faces par rapport 36 (lenombre de cas possibles quand on lance deux ds) et donc les chances de gagnerdoivent tre gales dans les deux cas. De Mr a soumis ce problme Pascal,qui l'a rsolu, en introduisant cette occasion la dfinition de probabilit d'unvnement. La probabilit est plus grande que 1/2 dans le premier cas, tandis quela probabilit est plus petite que 1/2 dans

5 Ce problme, connu aussi sous le nom du "Paradoxe du chevalier De Mr", a une importancehistorique, tant le premier problme de probabilit rsolu par Blaise Pascal (1623-1662), clbremathmaticien et physicien franais qui avec Pierre De Fermat (1601-1665), non moins clbremathmaticien franais, a tabli les bases du calcul des probabilits.

6Antoine Gombaud chevalier De Mr (1607-1685), crivant franais.

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le second cas, ce qui correspond exactement avec l'observation de De Mr.

Si dans le second cas, on demande qu'en 25 lancers de deux ds le double sixapparaisse au moins une fois, alors la probabilit de gagner devient plus grandeque 1/2 (voir problme 7, Section 2.3).

6. On extrait au hasard une boule d'une urne contenant boules blanches et boules noires. Trouver la probabilit que la boule extraite soit blanche ; laprobabilit que la boule extraite soit noire.

Solution. Il y a + cas possibles et a cas favorables pour extraire une bouleblanche, donc p = / + ; la probabilit d'extraire une boule noire estq = 1 - p = / +

7.

i)

Une urne contient 6 boules blanches et 8 boules noires. On extrait une boulequ'on met de cot. Par la suite on extrait une seconde boule.

Sachant que la premire boule pige est blanche, trouver la probabilit que ladeuxime boule pige soit galement blanche et la probabilit que la deuximeboule pige soit noire.

ii) Sans connatre la couleur de la premire boule extraite, trouver la probabilitque la deuxime boule extraite soit blanche et la probabilit que la deuximeboule extraite soit noire.

Solution. i) Le nombre de cas possibles est 6 x 13 = 78. En effet, pour laslection de la premire boule il y a 6 possibilits (le nombre de boules blanchesdans l'urne) et pour la slection de la deuxime boule il y a 13 possibilits(le nombre de boules restant dans l'urne).

Le nombre de cas favorables est 6 x 5 = 30, car pour la premire slection il y a6 cas favorables tandis que pour la deuxime slection 5 cas sont favorables(avant la deuxime slection il y a dans l'urne 5 boules blanches). Parconsquent, la probabilit que la deuxime boule pige soit blanche, sachant quela premire boule pige est blanche est p = 30/78 = 15/13

Pour que la deuxime boule slectionne soit une noire, sachant que la premireboule extraite est blanche, il y a 78 cas possibles et 6 x 8 = 48 cas favorables,donc q = 48/78 = 8/13. On peut obtenir directement q, car q = 1 - p.

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ii) Le nombre de cas possibles est 14 x 13 = 182, car il y a 14 cas possibles pourle choix de la premire boule et chaque cas doit tre combin avec les 13 caspossibles lors du choix de la seconde boule, donc 14 x 13 = 182 cas possibles.

Le nombre de cas favorables est 30 + 48 = 78. En effet, si on suppose d'abordque la premire boule pige est blanche, alors il y a 6 cas favorables pour lechoix de la premire boule et 5 cas pour la deuxime boule, donc 6 x 5 = 30 casfavorables. Si on suppose maintenant que la premire boule pige est noire, alorsil y a 8 cas favorables pour le choix de la premire boule et 6 cas pour ladeuxime boule, donc 8 x 6 = 48 cas favorables dans ce dernier cas. Au total il ya 30 + 48 = 78 cas favorables et par consquent, la probabilit que la deuximeboule pige soit blanche est p1 = 78/182 = 3/7. Pour la probabilit del'vnement que la deuxime boule soit noire, sans connatre la couleur de lapremire boule, un raisonnement analogue donne q1 = 52/91 = 4/7 oudirectement q1 = 1 - p1.

Remarque. Les probabilits obtenues dans les deux cas du problme diffrentcar la probabilit d'un vnement dpend essentiellement des conditionsdonnes.

Pour une autre mthode de rsolution, voir problme 33.

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Remarque. Notons que la condition k < min( - 1, - 1) assure que aprs ktirage, il reste dans l'urne, au moins une boule blanche et au moins une boulenoire.

La probabilit d'obtenir une boule blanche (respectivement noire) la(k + 1)-ime pige est gale la probabilit d'obtenir une boule blanche(respectivement noire) la premire pige, quand on n'a pas extrait au pralable kboules de l'urne (voir problme 6).

9. Une urne contient 10 boules parmi lesquelles 3 sont rouges, 4 sont jaunes, 1 estbleue et 2 sont blanches. Les boules rouges, jaunes, bleue et blanches sontmarques de 2, 5, 10 et 20 points respectivement. Trouver la probabilit qu'entirant 2 boules sans remise, on obtienne

i)

ii)

iii)

sept points.

au moins 7 points.

une boule ayant plus de 10 points et un boule ayant moins de 10 points.

Solution. i) La probabilit que parmi les 2 boules piges, l'une soit rouge etl'autre jaune est

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10. Dix ballons sont mis au hasard dans trois botes, B1, B2, B3. Trouver la probabilit que la bote B2 contienne exactement 3 ballons.

Solution. Le nombre de cas possibles est 310. En effet supposons que l'on numrote les ballons de 1 10. Alors le premier ballon peut tre distribu dansn'importe quelle bote, il y a donc 3 cas possibles, le deuxime ballon peut treaussi distribu dans n'importe laquelle des trois botes, donc seulement pour deuxballons il y a 32 cas possibles (car chaque cas possible pour le premier ballon secombine avec tous les cas possibles pour le deuxime ballon). De la mme faonon trouve que pour trois ballons il y a 33 cas possibles et, pour 10 ballons, 310 cas possibles.

o p est la probabilit trouve en i).

Solution. i) Le nombre de cas possibles est Nn. En effet, supposonsqu'on numrote les boules de 1 n. Alors la premire boule peuttre distribue dans n'importe laquelle des N urnes, la deuxime boulepeut tre distribue dans n'importe laquelle des N urnes, donc s'ily avait seulement que 2 boules, il y aurait N2 cas possibles (car chaque cas

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et donc la double ingalit dsire.

Notons que pour de grandes valeurs des nombres n, N et k, l'application directede la formule obtenue pour la probabilit p au point i), devient fastidieuse, et dansce cas il est prfrable d'utiliser les approximations trouves au point ii).

12. Considrons n boules et N urnes, N > n. On distribue au hasard les n boules dansles N urnes. Trouver la probabilit que :

i) n urnes fixes contiennent une seule boule.

ii) qu'un groupe quelconque de n urnes parmi les N urnes contienne chacuneune seule boule.

Solution. i) Il y a Nn cas possibles (voir problme 11 i)).

Il y a n! cas favorables. En effet, les n boules peuvent tre places dans n urnes(une boule dans une urne) de Pn manires diffrentes (on place n objets sur npositions), et par suite

13. Trouver la probabilit qu'au moins deux personnes parmi 20 aient la mme datede naissance, savoir mme jour et mme mois. Considrer qu'une anne compte365 jours.

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Solution. Soit A l'vnement "les 20 personnes ont des dates de naissancediffrentes". On cherche la probabilit P(Ac) = 1 - P(A). Pour trouver P(A), onpeut raisonner de la faon suivante en considrant l'exprience qui consiste tirer avec remise 20 boules d'une urne qui contient 365 boules diffrentes.Posons B l'vnement "tirer 20 boules diffrentes". Alors P(A) = P(B). Lamanire de reprsenter les rsultats de cette exprience est d'utiliser des20-tuplets, la i-ime composante reprsentant le rsultat du i-ime tirage. Or lenombre possible de 20-tuplets pour cette exprience est 36520 et le nombre de20-tuplets contenant 20 boules diffrentes est

14. Dix tudiants parmi lesquels il y a 5 filles et 5 garons sont assigns au hasard,deux par deux, 5 pupitres. Trouver la probabilit qu' chaque pupitre il y aitune fille et un garon.

Solution. Il y a (10! / 25) cas possibles. En effet, numrotons les pupitres de1 5. Au premier pupitre, on peut asseoir 2 tudiants qu'on peut choisir parmiles 10 tudiants; il y a (10 / 2) choix possibles. Au deuxime pupitre, on peutchoisir 2 tudiants parmi les 8 qui restent ; il y a (8 / 2) choix possibles. Doncseulement pour ces deux pupitres, il y a (10 / 2) (8 / 2) choix possibles. Oncontinue de la mme faon pour le troisime pupitre. Il y a 6 / 2) pairesd'tudiants qu'on peut former partir des 6 tudiants restants, (aprs avoir djassign deux paires d'tudiants, une paire au premier pupitre et une paire audeuxime pupitre). Pour le quatrime pupitre, il y a (4 / 2) manires de choisirune paire d'tudiants parmi les 4 tudiants restants et enfin pour le cinquimepupitre il y a (2 / 2) choix possibles. Donc au total pour les 5 pupitres, il y a

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choix possibles.

Il y a (5!)2 cas favorables. En effet, au premier pupitre on peut asseoir n'importelequel des 52 couples (une fille et un garon) qu'on peut former en groupant detoutes les faons possibles un garon avec une fille parmi les 10 tudiants (il y a 5x 5 = 25 possibilits). Ensuite pour le deuxime pupitre on peut asseoir n'importelequel des 42 couples qu'on peut former en groupant de toutes les faons possiblesun garon et une fille des 4 qui restent. En raisonnant de la mme faon, ontrouve que pour le troisime pupitre il y a 32 possibilits de choisir un paire, pourla quatrime pupitre il y a 22 possibilits et enfin pour le cinquime pupitre il y a12 possibilits, donc en total il y a 52 x 42 x 32 x 22 x 12 = (5!)2 possibilitsd'assigner les 10 tudiants deux par deux un pupitre, de manire telle qu'chaque pupitre il y ait une fille et un garon.

La probabilit cherche est donc

15. Lotto 6/49 Calculer la probabilit des vnements suivants :

i) "Avoir exactement 3 bons numros sur 6".

ii) "Avoir exactement 4 bons numros sur 6".

iii) "Avoir exactement 5 bons numros sur 6, sans le complmentaire".

iv) "Avoir exactement 5 bons numros sur 6 ainsi que le numro compl-mentaire".

v) "Avoir les 6 numros".

vi) "Recevoir un prix en argent la Lotto 6/49", c'est--dire avoir aumoins 3 bons numros sur 6.

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16. La ruine du joueur Une personne dsire accumuler un capital de N dollars.Elle dispose initialement d'un capital de k dollars, 0 < k < N. Pour accrotre soncapital, elle dcide de jouer un jeu de hasard o la probabilit de raliser ungain de 1 dollar est p, et la probabilit d'une perte de 1 dollar est 1 - p, 0 < p < 1.Elle jouera jusqu' ce qu'elle ralise son rve ou qu'elle soit ruine.

i)

ii)

Trouver la probabilit qu'elle se ruine ventuellement.

Trouver la probabilit qu'elle accumule ventuellement N dollars.

Dduire que l'une ou l'autre de ces deux possibilits surviendra avecprobabilit 1.

Solution. i) Soit Rk l'vnement "le joueur se ruine partir d'une fortune initialede k dollars", et pk = P(Rk), 0 < k < N. Alors on trouve que p0 = 1 et pN = O. SoitA l'vnement "le joueur perd au premier jeu". Alors

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qui est le mme systme d'quations satisfaites par P1,... , PN. Comme lasolution de ces quations est unique, on obtient rk = pk et donc que qk = 1 - pk.Par consquent

c'est--dire que, ventuellement, le joueur sera ruin ou aura accumul N dollars.

17. On a k couleurs diffrentes et n boules de chaque couleur. Ces kn boules tombentau hasard dans n urnes qui ne peuvent contenir plus de k boules chacune.Trouver la probabilit que dans chaque urne on retrouve toutes les couleurs(c'est--dire une boule de chaque couleur).

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Il y a (n!)k cas favorables. En effet, en plus de numroter les urnes de 1 n,numrotons les couleurs de 1 k. Pour la premire urne choisissons d'abord uneboule de couleur 1, il y a n possibilits. Choisissons ensuite une boule de couleur2, il y a n possibilits et ainsi de suite, pour le choix d'une boule de couleur k il ya n possibilits. On obtient donc nk possibilits pour la premire urne. Pour ladeuxime urne c'est le mme procd sauf qu'il reste n - 1 boules pour chaquecouleur. On a donc (n - 1)k possibilits pour cette deuxime urne et ainsi de suite.On obtient

Remarque. Le problme 14 s'obtient comme cas particulier en prenantici k = 2 et n = 5. Note. Pour de grandes valeurs de k et n, le calcul de p peut devenir fastidieux etmme dpasser les capacits d'un micro-ordinateur. Par exemple, pour n = 15 etk = 9, on a dj (n!)k = 8.5506E96. On peut alors utiliser l'approximationdonne par la formule de Stirling7

18. Une urne contient n boules numrotes de 1 n. On en tire m boules. Notons par le plus petit nombre et par le plus grand nombre apparaissant sur les bouleschoisies. Soit x et y deux entiers entre 1 et n. Considrant le cas des slectionsavec et sans remise, trouver :

7James Stirling (1692-1770), mathmaticien cossais.

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i) ii)

P(a > x), P( = x). P( < y), P( = y).

Solution. Slections avec remise

i) L'vnement > x signifie que les boules sont choisies parmi les boulesnumrotes x + 1, x + 2, . . . , n. Pour chaque pige il y a n - x cas favorables et ncas possibles. La probabilit est donc n-z / n. Si on fait m slectionsindpendantes, la probabilit cherche est le produit des probabilitscorrespondant chaque pige, donc

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21. Montrer que les vnements

22. On choisit au hasard une carte d'une srie de 18 cartes numrotes de 1 18.Quelle est la probabilit que le numro soit un multiple de 3 ou de 7 ?

Solution. Considrons les vnements

A - "le numro est un multiple de 3",

B - "le numro est un multiple de 7".

23. On pige au hasard une boule d'une urne qui contient n boules comprenanta blanches, b noires, c rouges et d jaunes. Trouver la probabilit que la boulepige soit blanche ou rouge.

Solution. Soit Al l'vnement "la boule extraite est blanche" et A2 l'vnement"la boule extraite est rouge." Comme les vnements Al et A2 sontincompatibles, on a

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24. Soit A, B et C trois vnements indpendants. Prouver que

i)

ii)

A et Bc sont indpendants.

A \ B et C sont indpendants.

Solution. i) On a

25. Trois tireurs tirent simultanment sur la mme cible. Les probabilits respectivesque chaque tireur touche la cible sont p1 = 0, 4, p2 = 0, 5 et p3 = 0, 7. Trouver laprobabilit que la cible soit touche exactement une fois.

Solution. Soit A l'vnement "la cible est touche exactement une fois" et A1,A2, A3 les vnements "la cible est touche par le premier, le deuxime et letroisime tireur" respectivement. Alors

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29. Considrons deux urnes U1 U2 avec les compositions suivantes :

Urnes Nombre de boules blanches

Nombre de boules noires

U1 a b U2 c d

On extrait de l'urne Ul une boule et sans connatre sa couleur on l'introduit dansl'urne U2. Ensuite on extrait une boule de l'urne U2. Trouver la probabilit quela boule extraite de l'urne U2 soit blanche.

Solution. Reprsentons par A l'vnement "la boule extraite de l'urne U2 estblanche". Cet vnement peut tre ralis par deux vnements incompatiblesAl et A2, o

Al signifie "la boule transfre de l'urne Ul est blanche et est suivie par laslection d'une boule blanche de l'urne U2",

A2 signifie "la boule transfre de l'urne Ul est noire et est suivie par laslection d'une boule blanche de l'urne U2".

On a A = Al U A2 et donc P(A) = P(A1) + P(A2), car Al A2 = Or _

LINUM2

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30. On considre le jeu suivant. D'une urne contenant a boules blanches et b boules noires, deux joueurs tirent successivement une boule sans la remettre dans l'urne.Le premier qui extrait une boule blanche est gagnant.

i)

ii)

Trouver la probabilit que le joueur qui commence le jeu gagne.

Montrer que

pour tous nombres naturels a et b.

Solution. i) Soit A l'vnement "le premier joueur gagne" et pouri = 1, ... , b + 1, posons Ai l'vnement "on extrait la premire boule blanche lai-ime slection". On a

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31. Le tlgraphe utilise les signes (point) et (trait). On sait qu'en moyenne 2/5des points et 1/3 des traits sont altrs par la transmission. De mme on saitqu'en moyenne le rapport entre le nombre de points et le nombre de traits est5/3. Calculer la probabilit de recevoir le signal transmis si le signal reu est :

i)

ii)

un point .

un trait -.


A - "on a reu un point",

B - "on a reu un trait",

C - "on a transmis un point",

D - "on a transmis un trait".

32. Dans une urne il y a 10 boules dont 6 blanches et 4 noires. On extrait deux foisune boule de l'urne sans remettre la boule choisie dans l'urne. Soit A l'vnement"la deuxime boule pige est blanche" et B l'vnement "la premire boule pigeest noire." Montrer que les vnements A et B ne sont pas indpendants.

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33. Une urne contient 6 boules blanches et 8 boules noires. On extrait une boule qu'onmet de cot. Par la suite on extrait une seconde boule.

i) Sachant que la premire boule pige est blanche, trouver la probabilit que ladeuxime boule pige soit galement blanche et la probabilit que la deuximeboule pige soit noire.

ii) Sans connatre la couleur de la premire boule extraite, trouver la probabilitque la deuxime boule extraite soit blanche et la probabilit que la deuximeboule extraite soit noire.

Solution. Soit Bi l'vnement "la i-ime boule pige est blanche" , i = 1, 2 et soitAi l'vnement "la i-ime boule pige est noire" , i = 1, 2.

i) On cherche d'abord la probabilit conditionnelle P(B2 \ B1). Donc

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formule de la probabilit totale, on obtient

On peut obtenir directement P(A2), car P(B2) + P(A2) = 1. Voir aussi problme 7.

34. Un tudiant a trois disques colors des deux cots de la faon suivante :

un disque a les deux cots blancs,

un disque a un cot blanc et l'autre noir,

un disque a les deux cots noirs.

On choisi au hasard un disque et on constate qu'un cot est blanc. Trouver laprobabilit que le second cot soit galement blanc.

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37. Trois canons tirent simultanment sur une cible. Les probabilits d'atteindre lacible sont pl = 0, 6, p2 = 0, 8, p2 = 0, 7, pour les trois canons respectivement.Trouver la probabilit que la cible soit atteinte au moins une fois.

Solution. Soit A1, A2, et A3 les vnements que le premier, le deuxime etrespectivement le troisime canon atteigne la cible. On cherche la probabilit del'vnement A1 U A2 U A3. Les vnements Ak, k = 1, 2, 3 sont indpendantes etcompatibles, donc

38. Une personne crit n lettres n correspondantes. Elle mle les lettres et les placeau hasard dans n enveloppes sur lesquelles les adresses ont t crites l'avance.Trouver la probabilit qu'au moins un destinataire reoive la lettre qui lui estdestine.8

8Ce type de problme est connu sous le nom de problme des concordances ou desconcidences.

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Solution. Notons par Ak l'vnement "la k-ime lettre arrive son destinataire", k= 1, . . . , n ; on doit calculer la probabilit P(A1 U U An), o les vnementsAk, k = 1, ... , n sont compatibles, donc on utilise la formule

En effet, il y a n ! manires galement probables d'introduire les n lettres dansles n enveloppes et, parce qu'une lettre doit tre introduite dans son enveloppe,il y a (n - 1) ! cas favorables (les autres n - 1 lettres peuvent tre introduites dansles n - 1 enveloppes de (n - 1) ! manires diffrentes). De mme

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Cette srie converge assez rapidement. Pour n = 13 on a dj la valeur0,632 120 558 800. La valeur limite n'est autre que 1 - e-1 comme on peut le montrer en dveloppant e-1 en srie de MacLaurin.9

39. Des balles numrotes de 1 n sont places au hasard dans n urnes aussi numrotes de 1 n. On dit qu'il y a concordance lorsqu'une balle est placedans l'urne portant le mme numro.

i)

ii)

Trouver est la probabilit qu'il y ait au moins une concordance.

Trouver est la probabilit qu'il y ait exactement k concordances.

Solution. i) Notons par Ak l'vnement "la boule k est dans l'urnek", k = 1, ... , n ; on doit calculer la probabilit P = P(A1 U U An), o les vnements Ak, k = 1, ... , n sont compatibles. En procdant de la mme manire que dans le problme prcdant on trouve que P 1 - e-1.

ii) Le nombre de faons d'avoir exactement k concordances est le nombrede faons de choisir les k endroits des concordances multipli par lenombre de faons pour n'avoir aucune concordance parmi les n - k urnes restantes. Donc la probabilit d'avoir exactement k concordances est

si n est grand.

40. D'une urne qui contient 3 boules rouges, 3 boules vertes et 4 boules bleues, ontire sans remise, trois boules. Quelle est la probabilit que la premire boule soitbleue, la seconde verte et la troisime bleue ?


Al - "la premire boule tire est bleue",

A2 - "la deuxime boule tire est verte",

A3 - "la troisime boule tire est bleue".

9Colin MacLaurin (1698-1746), mathmaticien cossais.

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41. Un lot de 100 pices de machines est soumis un contrle de la qualit. Entestant 5 pices du lot, on rejette le lot si l'on trouve au moins une picedfectueuse. Trouver la probabilit que le lot soit rejet, s'il contienteffectivement 5% de pices dfectueuses.

Solution. Il est plus facile de trouver la probabilit de l'vnement contraire,c'est--dire la probabilit que le lot soit accept aprs avoir pass par le contrlede la qualit. Notons Ai l'vnement "la i-ime pice contrle est acceptable", i= 1, . . . , 5. On doit calculer la probabilit de l'vnement fl 1Ai. Parce que lesvnements Ai, i = 1, . . . , 5 ne sont pas indpendants, on doit utiliser la formule

42. Deux tireurs visent simultanment une cible. La probabilit d'atteindre la cibleest p1 = 0, 7 pour le premier tireur et p2 = 0, 6 pour le second tireur. Trouver laprobabilit que le premier tireur atteigne la cible et que le second ne l'atteignepas.

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Solution. Soit Al et A2 les vnements "le premier (respectivement le second)tireur atteint la cible"; les vnements Al et A2 sont indpendants. On cherche

43. On considre trois urnes d'aspect identique et dont la composition est donnedans le tableau suivant :



Ul 1 1 U2 5 3 U3 1 3

On choisit au hasard une urne dont on tire une boule. Trouver la probabilit quela boule extraite soit blanche. Solution. On applique la formule des probabilits totales. Soit B l'vnement "laboule pige est blanche" et Ak l'vnement "la slection provient de l'urne Uk", k= 1, 2, 3, alors B = (A1 B) U (A2 B) U (A3 B) et par suite

44. On considre deux urnes dont la composition est donne dans le tableau suivant :



Ul 2 1 U2 1 5

On pige une boule de l'urne Ul et on l'introduit dans l'urne U2. On extraitensuite une boule de l'urne U2. Sachant que la boule tire de

LINUM2

LINUM2

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l'urne U2 est blanche, trouver la probabilit que la boule transfre tait noire.

Solution. On applique la formule de Bayes. Soit B l'vnement "la boule pigede l'urne U2 est blanche" et Al (respectivement A2) l'vnement "la bouletransfre de l'urne Ul l'urne U2 est blanche (respectivement noire)" , alors

Notons que la probabilit a priori de l'vnement A2 est tandis que la probabilita posteriori de l'vnement A2 est 1/5.

45. Soit deux machines Ml et M2 produisant respectivement 100 et 200 objets. Lamachine Ml produit 5% d'objets dfectueux, la machine M2 en produit 6%. Ontire un objet parmi les 300 objets fabriqus et il est dfectueux. Quelle est laprobabilit pour qu'il ait t fabriqu par la machine M1 ?

Solution. On applique la formule de Bayes. Soit :

A - "l'objet est fabriqu par la machine Ml",

B - "l'objet est fabriqu par la machine M2",

D - "l'objet est dfectueux".

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46. Quatre chasseurs visent simultanment une fois sur une cible. Sachant que chaquechasseur atteint la cible 2 fois en 5 tirs, trouver la probabilit p que la cible soit atteinte par au moins un chasseur.

Solution. Il est plus facile de trouver la probabilit q de l'vnement contraire,c'est--dire aucun chasseur n'atteint la cible. On applique le modle de Bernoulli,

47. n tireurs visent en mme temps une cible mobile. La probabilit d'atteindre lacible est la mme pour tous les tireurs et est gale 1/k o k est un nombrenaturel. Trouver la probabilit p que la cible soit atteinte.

Solution. Calculons la probabilit q de l'vnement contraire, c'est--dire aucuntireur n'atteint la cible. On applique le modle de Bernoulli, o p = 1/ket 1 - p = k-1/k donc

48. la suite d'une exprience, la probabilit qu'un vnement A puisse se produireest 0,01.

i) Trouver la probabilit qu'en effectuant 10 fois l'exprience, l'vnement A seproduise 4 fois.

ii) Combien d'expriences faut-t-il faire pour que la probabilit d'apparition del'vnement A, au moins une fois, soit gale ou suprieure 0,5 ?

Solution. i) On applique le modle de Bernoulli avec n = 10, k = 4, p = 0, 01 et1 - p = 0, 99. La probabilit d'observer 4 fois l'vnement A est

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ii) Il est plus facile de calculer la probabilit de l'vnement contraire. Cherchonsla probabilit q qu'en n essais l'vnement A n'apparaisse jamais. On trouveq = (0, 99)n. On dtermine l'entier n partir de l'ingalit.

En prenant le logarithme, on obtient n log 0, 99 < - log 2, d'o n > 70.

Remarque. Au moins 70 expriences sont ncessaires pour que l'vnement Aapparaisse au moins une fois avec une probabilit gale ou suprieure 0,5. Ilserait faux de croire que si on fait deux fois plus d'expriences, la probabilitd'apparition, au moins une fois, de l'vnement A sera presque 1. Par exemple,vouloir s'assurer que l'vnement A apparaisse au moins une fois avec uneprobabilit gale ou suprieure 0,98 ncessite un minimum de 396 expriences(et non pas 140), car

1 - (0, 99)" > 0, 98

donne (0, 99)n < 0, 02 c'est--dire n log 0, 99 < log 0, 02, d'o n > 396.

49. Sachant que la probabilit qu'un tudiant soit diplm est de 0,4, calculer pourun groupe de cinq tudiants, la probabilit

i)

ii)

iii)

iv)

v)

qu'aucun tudiant ne soit diplm.

qu'un seul tudiant soit diplm.

que deux tudiants soient diplms.

qu'au moins deux tudiants soient diplms.

que les cinq tudiants soient diplms.

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50. Une urne contient des boules blanches et noires. Les tirages se font avec remise.Soit p la probabilit d'extraire une boule blanche et 1 - p la probabilit d'extraireune boule noire.

i)

ii)

Trouver la probabilit que la premire boule blanche soit obtenue la k-imeslection.

On pige jusqu' ce qu'on obtienne h boules noires. Soit h + x le nombred'essais ncessaire pour y arriver. Trouver la probabilit que x = m.

Solution. i) Soit Ai l'vnement " la i-ime slection, on obtient une bouleblanche", alors Ac/i est l'vnement " la i-ime slection, on obtient une boulenoire" . Les vnements Ai sont indpendants, car les slections se font avecremise. On cherche la probabilit de l'vnement

ii) Pour obtenir h boules noires en h + x slections, la dernire boule extraitedoit tre noire (autrement on aurait atteint plus rapidement l'objectif d'obtenirles h boules noires). Il faut raliser deux vnements indpendants, savoir :dans les premires h + x - 1 slections, on doit obtenir h - 1 boules noires (laprobabilit de cet vnement s'obtient en utilisant le modle de Bernoulli) etlors de la dernire slection on doit obtenir une boule noire (avec probabilit(1 - p)). Par la suite la probabilit qu'en h + x slections on obtienne h boulesnoires est gale

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51. Un point M se dplace dans les noeuds d'un rseau du plan de la faon suivante.Si le point M se trouve un moment donn au noeud (x, y), alors dans la secondesuivante il peut passer au noeud (x + 1, y) avec probabilit p ou bien au noeud (x,y + 1) avec probabilit 1 - p. Le point M ne peut pas rester sur place, car p + (1 -p) = 1. Supposons que les coordonnes des noeuds sont des nombres entiers nonngatifs, limitant le mouvement au premier cadran des axes de coordonnes duplan.

i) Trouver la probabilit que le point M partant de l'origine O(0, 0) arrive aunoeud A(a, b).

ii) Trouver la probabilit que le point M partant de l'origine O(0, 0) atteigne lesegment C D o C(n, 0) et D(n, n).

Solution. i) On utilise le modle de Bernoulli, car chaque seconde il n'y a quedeux vnements qui peuvent se produire (le point M fait un pas horizontal versla droite ou bien un pas vertical vers le haut), avec les probabilits p et 1 - prespectivement. Ces probabilits restent les mmes n'importe quel instant et lesdplacements excuts des instants diffrents sont indpendants.

Pour que le point M arrive au noeud A(a, b) il doit effectuer a + b dplacementsparmi lesquels a sont horizontaux et b sont verticaux, donc

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52. D'un sous-marin on lance 4 torpilles contre un destroyer. La probabilit qu'unetorpille atteigne le destroyer est 0,3. Pour couler le destroyer il suffit que deuxtorpilles le touche, tandis que si une seule torpille atteint le destroyer, il couleavec probabilit 0,6. Calculer la probabilit de couler le destroyer.

53. Deux joueurs Jl et J2 ont pari un mme montant d'argent. Ils rpterontplusieurs fois un jeu. Le joueur qui obtiendra un nombre fix l'avance desuccs emportera la mise. Soit p la probabilit que Jl ait

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un succs ce jeu et q = 1 p la probabilit que le succs aille J2. Or unvnement impratif survient et les oblige interrompre le jeu avant la fin.

i) On partage le montant proportionnellement la probabilit de gagner si le jeuse poursuivent. Sachant qu'il reste m parties Jl pour gagner et n parties J2,calculer la probabilit que Jl gagne.10 ii) Montrer les identits : pour p, q > 0, p + q = 1, m et n des nombres naturels11

Solution. i) Au moment d'interrompre la partie, il manque Jl et J2respectivement m et n succs pour gagner. Notons par P et Q = 1 - P les probabilits que le jeu soit finalement gagn par Jl ou par J2

10Ce problme connu sous le nom du "Problme des parties" a une importance historique, tant un des premiers problmes discuts et rsolus dans la correspondance qu'changrent BlaisePascal et Pierre Fermat.

11Soulignons le fait que certaines ingalits ou identits numriques dont les dmonstrationsdirectes sont assez difficiles, peuvent tre tablies trs simplement par des considrationsprobabilistes (voir aussi problme 30 ii)).

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respectivement, si on pouvait continuer jouer. En bonne justice, on devrapartager la mise M dans le rapport P / Q. Les joueurs J1 et J2 devraient donc seretirer avec les montants PM et QM respectivement.

Le problme consiste bien sr calculer la probabilit P et nous allons prsentertrois mthodes diffrentes pour y arriver.

Mthode I

En combien de parties le joueur J1 peut-il raliser la victoire, c'est--direremporter les m succs qui lui manque avant que J2 remporte ses n succs ? Lafaon la plus simple et la plus chanceuse consiste gagner m fois de suite. Laplus longue consiste prolonger le stress pendant m + (n - 1) parties. Le nombrede parties possibles est donc : m, m + 1, m + 2, . . . , m + (n 1). Pour que J1remporte la victoire finale, il doit bien sr raliser un succs la dernire de cesparties.

Cherchons la probabilit que Jl gagne en exactement m + k parties,k = 0, 1, 2, ... , (n - 1). Pour cela, J1 doit d'abord gagner m - 1 parties dans lesm + k - 1 premires parties, puis il doit gagner la dernire. Considrons lesvnements :

Vm+k - "J1 gagne en m + k parties",

Vm+k-1;m-1 - "J1 remporte m - 1 succs en m + k - 1 parties",

A - "J1 remporte le dernier succs".

On peut alors crire ainsi les diverses probabilits :

puisque les vnements Vm+k-1;m-1 et A sont videmment indpendants.

On sait que la probabilit que J1 ait un succs une partie quelconque est p. Ona donc P(A) = p. D'autre part, pour calculer P(Vm+k-1;m-1) on utilise le modle deBernoulli. En effet, on a m + k - 1 rptitions indpendantes d'une mmeexprience ; chaque exprience se solde par un succs ou un chec pour J1 ; chaque fois, la probabilit du succs est p. Par suite

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Mthode II

On a vu que le maximum de parties jouer pour que Jl soit vainqueur estm + n - 1. Supposons que les deux joueurs s'enttent jouer toutes cesm + n - 1 parties, regardant ensuite les rsultats et proclamantle vainqueur la fin seulement. Le joueur Jl aura la victoire s'il a gagnm ou m + 1 ou m + 2 ou ... ou m + n - 1 parties sur ce lot. En effet, s'ila eu par exemple m succs sur m + n 1 parties, son adversaire n'en

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a ramass que n - 1 ce qui est insuffisant pour lui donner la victoire. Avec lanotation dj utilise, on peut crire

Mthode III

Notons par pm,n la probabilit que J1 remporte la victoire, quand il lui manqueencore m succs et qu'il en manque encore n son adversaire J2. Supposonsqu'ils jouent une partie de plus. J1 peut remporter la victoire de l'une des deuxfaons suivantes qui sont incompatibles :

a) J1 gagne cette partie (avec probabilit p). Il lui manque alors m - 1 succs etil en manque toujours n J2 pour gagner (probabilit pm-1;n).

b) J1 perd cette partie (probabilit q = 1 - p). Il lui manque alors toujours msuccs et il n'en manque que n - 1 J2 pour gagner (probabilit pm,n-1)

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On obtient donc la relation de rcurrence suivante :

Puisque P = pm,n, cette relation nous permet de calculer P par rcurrence, il fautrsoudre l'quation obtenu en (2.14) avec les conditions initiales suivantes :

En effet, (2.15) signifie que Jl ne peut pas gagner s'il ne manque plus aucunsuccs J2 pour gagner la victoire. J2 est dj vainqueur. D'un autre cot, (2.16)signifie que Jl est dj vainqueur puisqu'il lui manque 0 succs. Le symbole p0,0n'a pas d'interprtation probabiliste et on pose p0,0 = 0.

ii) Puisque P + Q = 1 les formules (2.11) et (2.12) de la mthode I, donnel'identit (2.8).

En galant les relations (2.11) et (2.13) obtenues pour P avec les mthode I et II,on obtient l'identit (2.9).

Puisque Q = 1 - P, en galant la formule (2.12) pour Q obtenue par la mthode Iavec 1 - P o P est donn par la formule (2.13) obtenue par la mthode II, onobtient l'identit (2.10).

54. D'une urne contenant 20 boules parmi lesquelles 8 sont blanches, 6 sont noires et6 sont rouges, on extrait successivement 5 boules, retournant chaque fois la boulechoisie dans l'urne. Trouver la probabilit que parmi les 5 boules il y ait2 blanches, 1 noire et 2 rouges.

Solution. On applique le modle multinomial ( plusieurs tats), c'est--dire laformule

media3


55. Les probabilits que le diamtre d'une pice d'une machine soit plus petit(respectivement plus grand) que les limites admissibles sont 0,05 et 0,10 et laprobabilit que le diamtre se trouve entre les limites fixes par les normes est0,85. On extrait au hasard 100 pices du lot. Trouver la probabilit que parmi cespices, 5 aient un diamtre plus petit que la norme et 5 aient un diamtre plusgrand que la norme.

Solution On applique le modle multinomial, c'est--dire la formule

Urnes Nombre de

boules blanches Nombre de

boules noires U1 10 4 U2 5 3 U3 2 6

LINUM2

media3


On choisit au hasard une boule de chaque urne. Trouver la probabilit qu'onobtienne 2 boules blanches et une boule noire.

Solution. On applique le modle de Poisson. On doit calculer le coefficient de x2du polynme

57. On exprimente quatre prototypes d'appareil, un appareil pour chaque prototype.Les probabilits qu'un prototype corresponde aux normes sont 0, 8; 0, 7; 0, 9 etrespectivement 0,85. Trouver la probabilit que tous les prototypes exprimentscorrespondent aux normes.

Solution. On applique le modle de Poisson. La probabilit cherche est lecoefficient de x4 du polynme

théorie des probabilités - problèmes et solutions

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