théorie de réseaux de files d’attente

Théorie de Réseaux de Files

d’Attente

Ramon Puigjaner

Universitat de les Illes Balears

Palma, Espagne

Université Paul Sabatier. Toulouse

Université Paul Sabatier. Toulouse.

2

INDICE

Introduction

Types de réseaux

Méthodes analytiques exacts

Méthodes approchées


3

THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE

Introduction

Types de réseaux




4


Introduction La performance des systèmes informatiques est

caractérisée par plusieurs points de congestion à cause du partage des différentes ressources.

Il est trop restrictif et simpliste de représenter la performance du système par une seule station.

Il faut modeler explicitement les différents points de congestion du système. Le modèle résultant est un réseau de files d’attente.


5


Introduction Formellement un réseau de files d'attente est un

graphe orienté dont les nœuds sont les stations de service. Les arcs entre ces nœuds indiquent les transitions possibles des clients entre stations de service.

Les temps de transit entre stations sont toujours nuls.

Les clients que circulent à travers le réseau peuvent être de classes différentes.


6


Introduction

Types de réseaux




7


Types de réseaux Réseau monoclasse: Tous les clients ont le même

(aléatoire) comportement. Tous les clients sont (statistiquement) indistinguibles.

Réseau multiclasse: Les clients de différente classe ont différentes caractéristiques de temps de service et/ou de parcoure à travers le réseau. Tous les clients d’une même classe sont (statistiquement) indistinguibles


8

THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE Types de réseaux

Réseaux ouverts. Elles sont caractérisées par: l'existence d’une source de clients, au moins

l'existence d’un puits de clients, au moins

la possibilité de trouver un chemin que, à partir de chaque nœud, mène (éventuellement) hors du réseau.

El nombre de clients est inconnu et varie avec le temps.

La productivité ou débit (throughput) est connu et égal à la fréquence d’arrivée au système, si le système est stable.


9


Types de réseaux Réseaux fermés. Les clients ni entrent ni sortent, et

donc, son nombre est constant. On peut considérer comme si la sortie était connectée à l’entrée. Le débit de clients à travers la connexion "sortie-entrée'' définit la productivité du réseau fermé.

Réseaux mixtes. Dans un réseau avec multiples classes de clients, il est possible que la réseau soit ouvert pour un type de clients et fermé pour un autre.


10


Types de réseaux: réseau ouvert

CPU

Disque 2

Disque 3

Disque 4

Disque 1

Arrivées

Sorties


11


Types de réseaux: réseau fermé

CPU

Disque 2

Disque 3

Disque 4

Disque 1

Arrivées

Sorties


12


Types de réseaux: réseau mixte

Terminaux

Sous-systèmecentralTravaux transactionnels

Travauxinteractifs


13


Introduction

Types de réseaux




14


Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP N, stations de service. C, classes de clients, que peuvent changer de classe

quand ils passent d’une station à une autre. Routage probabiliste pi,c;j,d: probabilité qu’un client de

classe c quand il sort de la station i s’en aille à la station j en classe d.

La matrice P = [pi,c;jd] est la matrice de routage. Un

client quitte la réseau avec probabilité

N

j

C

djdicic pp

1 1,0, 1


15


Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP (i,c), état du client.

L’ensemble des états des clients forme un ou plusieurs sous-ensembles disjoints (o sous-chaînes): deux états de client appartiennent à la même sous-chaînes s’il et a une probabilité non nulle qu’un client puisse passer par ces deux états pendant sa vie dans le réseau.

Sous-chaînes : E1, E2, …, EK (K 1):

ouvertes

fermées


16


Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP S état du réseau

M(S) nombre de clients dans l’état S

M(S, Ek) nombre de clients dans la sous-chaîne Ek, quand le réseau est à l’état S.


17


Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP Arrivées externes générées par des processus de Poisson:

indépendants de l’état du système

dépendants de l’état du système à travers le nombre de clients qu’il y a dans le réseau, [M(S)]. Une arrivée va à la station i en classe c avec probabilité p0,ic

dépendants de l’état du système par m processus de Poisson, un par sous-chaîne, de fréquence [M(S,Ek)]. Une arrivée à la k-ème sous-chaîne va à la station i en classe c avec probabilité p0,ic


18


Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP Quatre types de stations de service:

type 1.

Un seul canal

Temps de service réparti exponentiellement, de temps moyen 1/[i Fi(mi)], identique pour toutes les classes, avec mi (mi = mi1 + mi2 + … + miC), nombre de clients

Discipline de la file, FIFO.

Fi(mi), capacité du serveur avec Fi(1) = 1 (nous pouvons réprésenter serveurs múltiples en faisant Fi(mi) = min(mi, ni), où ni est le nombre maximum de serveurs).


19



type 2.

Un seul canal

Discipline de service: serveur partagé

Chaque classe de client a une distribution des temps de service, différente et arbitraire et avec transformée de Laplace rationnelle (ou avec distribution coxienne)

La capacité du serveur peut être fonction du nombre de clients, Fi(mi).


20



type 3.

Nombre de canaux plus grand ou égal que le nombre maximum de clients



21



type 4.

Un seul canal

Discipline de la file LIFO avec interruption provoquée par le dernier client en arriver


La capacité du serveur peut être fonction du nombre de clients, Fi(mi).


22


Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP Etat du réseau S défini par le vecteur

(S1, S2, …, SN)

Si = (mi1, mi2, …, miC)


23


Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP Suposition que le système atteint un régime

stationnaire de probabilités des états p(S)

Équations d’equilibre:

Équation de normalisation

'

a ' de passage de fréquence'

de sortie de fréquence

S

SSSp

SSp

1S

Sp


24

THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP

Equations de l'équilibre du débit dans le réseau

Si le réseau est ouvert, on peut le résoudre sans

difficulté puisque quelque p0,jd est non nulle.

Si le réseau est fermé, toutes les p0,jd sont nulles: système

d’équations homogène; il faut trouver une des infinies

solutions différente celle qui est identiquement nulle.

N

ijd

C

cjdicicjd ppee

1,0

1,


25


Méthodes analytiques exacts: Théorème de

BCMP

G constante de normalisation pour que l'addition de toutes les probabilités d’état soit égal à 1.

Si le système est fermé, le nombre d’états du système est fini et le problème est numérique.

Si le système est fermé, le nombre d’états du système est infini et le problème est analytique.

N

iii SgSd

GSp

1

1


26


Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP d(S) est une fonction telle que si la réseau est fermé elle

vaut 1 et si la réseau est ouvert vaut

si la fréquence d’arrivée dépend de M(S),

si la fréquence de arrivée à chaque sous-chaîne dépend

de M(S,Ek)

1

0

SM

i

i

K

k

ESM

ik

k

i1

1,

0


27



BCMP Les fonctions gi(Si) valent

si la station est de type 1

si la station est de type 2 ó 4

c

c

m

i

C

c

mic

iciii e

mmSg

1

!

1!

1

cm

ic

icC

c iciii

e

mmSg

1 !

1!


28



BCMP Las fonctions gi(Si) valent

si la station est de type 3

cm

ic

icC

c icii

e

mSg

1 !

1


29


Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen Réseau fermé

N stations

M clients, tous de la même classe

Etat du réseau: m = (m1, m2, …, mN),

mi est le nombre de clients dans la station i

m1 + m2 + … + mN = M

pij probabilité de routage


30


Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen i, capacité de service que peut dépendre du nombre

de clients k, i(k)

si, temps moyen de service si le service est indépendant de la charge, si = 1/i.

Théorème de BCMP réduit à l'énoncé par Gordon et Newell

N

iiiN mf

MGmmmp

121

1,...,,


31


Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen

si la station i a un service indépendant de la charge

i

i

m

ki

mi

ii

k

emf

1

ii mi

miiii Xsemf


32


Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen Equations de l'équilibre du débit dans chaque station

G(M) est la constante de normalisation

NjpeeN

iijij ..., 2, ,1 para ,

1

NimMmmmmNMS

mfMG

i

N

iiN

NMSm

N

iii

0 ,0y ,|,...,,,1

21

, 1


33


Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen Nombre total d’états

fonction auxiliaire

avec G(M) = gN(M) et G(m) = gN(m).

nmSm

n

iiin mfmg

, 1

1

1

N

NM


34



m

knn

m

k nkmSm

n

iiin

m

kkm

nmSm

n

iii

nmSm

n

iiin

kmgkfmfkf

mfmfmg

n

01

0 1, 1

0 , 1, 1


35


Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen Si la capacité de service est indépendante du nombre

de clients dans la station

fn(k) = (en sn)k = Xnk = Xn fn(k - 1)


36



1

1

11

1

1

011

1

011

111

01

mgXmg

kmgkfXmg

kmgkfmg

kmgkfmg

kmgkfmg

nnn

m

knnnn

m

knnn

m

knnn

m

knnn


37


Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen Initialisation

pour m = 0, 1, …, M, et

gn(0) = 1, pour n = 1, 2, …, N

m

mSm

mSm iii

Xmfmf

mfmg

111,

11

1,

1

11


38


Méthodes de calcul: Variables opérationnelles Probabilités

km

NMSmNi

i

mmmpkmP,

21 ,...,,


39



MGkMG

XXMG

X

XMG

mmmpkmP

ki

NkMSm

N

j

mj

ki

km

NMSm

N

j

mj

km

NMSmNi

j

i

j

i

, 1

, 1

,21

1

,...,,


40



Variables opérationnelles: Utilisation

1 kMGXkMGMG

XkmP i

ki

i

MGMG

XmP iii

11


41


Méthodes de calcul: Variables opérationnelles Variables opérationnelles: Productivité

MGMG

eMG

MG

s

X

s ii

i

i

ii

11


42


Méthodes de calcul: Variables opérationnelles Variables opérationnelles: Longueur de file

M

k

ki

M

ki

M

kii

MG

kMGXkmP

kmkPMm

11

1


43

THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE Méthodes de calcul: Variables opérationnelles

Variables opérationnelles: Longueur de file

111

1

11

1

1

1

1

1

1

21

MmMm

MG

kMGX

MG

MGX

kMGXMG

X

MG

kMGX

MG

MGX

MG

kMGXMm

iiiii

M

k

kiii

M

k

ki

ii

M

k

kii

M

k

kii


44


Méthodes de calcul: Variables opérationnelles Variables opérationnelles: Temps de réponse

1111

Mms

MmMmR ii

i

ii

i

ii


45


Méthodes de calcul: Algorithmes exacts

Méthode de convolution: est l'extension de

l’algorithme de Buzen aux réseaux BCMP

Analyse de la valeur moyenne


46


Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne vecteur del nombre total de clients de chaque classe

vecteur de zéros partout sauf à la c-ième composante

nombre moyen de clients dans la station i quand il y a de un client moins de classe c dans la réseau

CMMMM ,...,, 21

ci eMm

0,...,0,1,0,...,0,0ce


47

THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne

Pour des stations de service de types 1, 2 et 4

Pour des stations de service de type 3

Vic le nombre moyen de visites à la station i des clients de classe c

icic sMR

cicic eMmsMR 1


48


Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne

iciccic

N

iicic

cc

RVm

RV

M

1


49


Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne Exemple

1

2

3


50



11 21 31 12 22 32 sic11 0 0.5 0.5 0 0 0 1

21 1 0 0 0 0 0 1

31 1 0 0 0 0 0 2

12 0 0 0 0 1 0 2

22 0 0 0 1 0 0 1

31 0 0 0 0 0 0 2


51



V11 = 1 V21 = 0.5 V31 = 0.5

V12 = 1 V22 = 1 V32 = 0


52



Pas 1 m1(0,0) = m2(0,0) = m3(0,0) = 0

Pas 3 R11(1,0) = 1

R21(1,0) = 1

R31(1,0) = 2

Pas 4 1(1,0) = 1/(1 1 + 1 0.5 + 2 0.5) = 0.4

Pas 5 m1(1,0) = 0.4

m2(1,0) = 0.2

m3(1,0) = 0.4


53



Pas 3 R11(2,0) = 1 (1 + 0.4) = 1.4

R21(2,0) = 1 (1 + 0.2) = 1.2

R31(2,0) = 2 (1 + 0.4) = 2.8

Pas 4 1(2,0) = 2/(1.4 1 + 1.2 0.5 + 2.8 0.5) = 0.588

Pas 5 m1(2,0) = 0.588 1.4 1 = 0.824

m2(2,0) = 0.588 1.2 0.5 = 0.353

m3(2,0) = 0.588 2.8 0.5 = 0.824


54


Pas 3 R11(2,0) = 1 (1 + 0.4) = 1.4

R21(2,0) = 1 (1 + 0.2) = 1.2

R31(2,0) = 2 (1 + 0.4) = 2.8

Pas 4 1(2,0) = 2/(1.4 1 + 1.2 0.5 + 2.8 0.5) = 0.588

Pas 5 m1(2,0) = 0.588 1.4 1 = 0.824

m2(2,0) = 0.588 1.2 0.5 = 0.353

m3(2,0) = 0.588 2.8 0.5 = 0.824


55


Pas 3 R12(0,1) = 2

R22(0,1) = 1

R32(0,1) = 2

Pas 4 2(0,1) = 1/(2 1 + 1 1 + 2 0) = 0.333

Pas 5 m1(0,1) = 0.667

m2(0,1) = 0.333

m3(0,1) = 0


56


Pas 3 R12(0,2) = 2 (1 + 0.667) = 3.333

R22(0,2) = 1 (1 + 0.333) = 1.333

R32(0,2) = 2 (1 + 0) = 2

Pas 4 2(0,2) = 2/(3.333 1 + 1.333 1 + 2 0) = 0.429

Pas 5 m1(0,2) = 0.429 3.333 1 = 1.429

m2(0,2) = 0.429 1.333 1 = 0.571

m3(0,2) = 0.429 2 0 = 0


57


Pas 3 R11(1,1) = 1 (1 + 0.667) = 1.667

R21(1,1) = 1 (1 + 0.333) = 1.333

R31(1,1) = 2 (1 + 0) = 2

R12(1,1) = 2 (1 + 0.4) = 2.8

R22(1,1) = 1 (1 + 0.2) = 1.2

R32(1,1) = 2 (1 + 0.4) = 2.8

Pas 4 1(1,1) = 1/(1.667 1 + 1.333 0.5 + 2 0.5) = 0.3

2(1,1) = 1/(2.8 1 + 1.2 1 + 2.8 0) = 0.25

Pas 5 m1(1,1) = 0.3 1.667 1 + 0.25 2.8 1 = 1.2

m2(1,1) = 0.3 1.333 0.5 + 0.25 1.2 1 = 0.5

m3(1,1) = 0.3 2 0.5 + 0.25 2.8 0 = 0.3


58


Pas 3 R11(2,1) = 1 (1 + 1.2) = 2.2

R21(2,1) = 1 (1 + 0.5) = 1.5

R31(2,1) = 2 (1 + 0.3) = 2.6

R12(2,1) = 2 (1 + 0.824) = 3.647

R22(2,1) = 1 (1 + 0.353) = 1.353

R32(2,1) = 2 (1 + 0.824) = 3.647

Pas 4 1(2,1) = 2/(2.2 1 + 1.5 0.5 + 2.6 0.5) = 0.471

2(2,1) = 1/(3.647 1 + 1.353 1 + 3.647 0) = 0.2

Pas 5 m1(2,1) = 0.471 2.2 1 + 0.2 3.647 1 = 1.765

m2(2,1) = 0.471 1.5 0.5 + 0.2 1.353 1 = 0.623

m3(2,1) = 0.471 2.6 0.5 + 0.2 3.647 0 = 0.612


59


Pas 3 R11(1,2) = 1 (1 + 1.429) = 2.429

R21(1,2) = 1 (1 + 0.571) = 1.571

R31(1,2) = 2 (1 + 0) = 2

R12(1,2) = 2 (1 + 1.2) = 4.4

R22(1,2) = 1 (1 + 0.5) = 1.5

R32(1,2) = 2 (1 + 0.3) = 2.6

Pas 4 1(1,2) = 1/(2.429 1 + 1.571 0.5 + 2 0.5) = 0.237

2(1,2) = 2/(4.4 1 + 1.5 1 + 2.6 0) = 0.339

Pas 5 m1(1,2) = 0.237 2.429 1 + 0.339 4.4 1 = 2.068

m2(1,2) = 0.237 1.571 0.5 + 0.339 1.5 1 = 0.695

m3(1,2) = 0.237 2 0.5 + 0.339 2.6 0 = 0.237


60


Pas 3 R11(2,2) = 1 (1 + 2.068) = 3.068

R21(2,2) = 1 (1 + 0.695) = 1.695

R31(2,2) = 2 (1 + 0.237) = 2.474

R12(2,2) = 2 (1 + 1.765) = 5.530

R22(2,2) = 1 (1 + 0.623) = 1.623

R32(2,2) = 2 (1 + 0.612) = 3.224

Pas 4 1(2,2)=2/(3.0681 +1.6950.5+2.47 0.5) = 0.388

2(2,2)=2/(5.5301+1.6231+3.2240 )= 0.280

Pas 5 m1(2,2)=0.3883.0681+0.2805.5301 = 2.737

m2(2,2)=0.3881.6950.5+0.2801.62 1 = 0.783

m3(2,2)=0.3882.4740.5+0.2803.2240 = 0.480


61


Introduction

Types de réseaux




62



Diffusion

Décomposition-agrégation

Itératives


63


Méthodes approchées: Diffusion Réseau avec N stations d’un seul canal avec:

Distribution générale de temps de service avec moyenne, i, et coefficient quadratique de variation Ksi2.

Probabilité de transition pij, indépendante de l’état du système.

Fréquence d’arrivée 0 avec coefficient quadratique de variation des temps entre arrivées K0

2.

Probabilité d’arrivée p0i et de sortie pj(N + 1).


64


Méthodes approchées: Diffusion Supposition que la probabilité d’état a forme de

produit.

Processus d’arrivée et sortie

Pour appliquer la formule de diffusion il faut connaître le processus d’arrivée i et Kai2 et le temps de service si = i-1 et Ksi2.

i et Kai2 sont déterminées à partir des processus de sortie des autres stations et du processus de arrivée.


65


Méthodes approchées: Diffusion Processus de sortie de la station i.

Pendant les périodes d'occupation, la fréquence de sortie est i et le coefficient quadratique de variation Ksi2. Mais la station est occupée seulement avec probabilité i.

Fréquence moyenne de sortie, i iVariance des sorties, i Ksi2 i


66


Méthodes approchées: Diffusion Processus d’arrivée à la station i.

Superposition des processus de sortie.

1 ó 0

22

1 ó 0

111

jjijjjisj

iai

N

jjjjii

ppKK

p


67


Méthodes approchées: Diffusion Réseaux ouverts.

Fréquence d’arrivée à la station i

i = 0 ei

i = ei0i-1

N

jjijii pepe

10

N

jijjisjai eepKK

1

1222 11


68



Diffusion


Itératives


69


Méthodes approchées: Décomposition-agrégation Remplacement d’un groupe d’éléments par un élément

synthétique que reproduise son comportement.

En générale, on cherche des groupes d’éléments qui aient tous une dynamique similaire et que les clients circulent avec une grande probabilité entre eux et avec faible probabilité avec les éléments externes à l’ensemble considéré.


70

THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTEMéthodes approchées: Décomposition-agrégation

Réseau BCMP avec une seule station non-BCMP

2

p21

p24

p23 p

42

p43

p34

p31

p12

p13

3

1 4

p14

p11


71


Méthodes approchées: Décomposition-agrégation

2

p21

p24

p23 p

42

p43

p34

p31

p12

p13

1 4

p14

p11


72


Théorème de Norton Pas de décomposition:

court-circuit de la station non-BCMP. analyse du réseau résultant et calcul du débit à travers le

court-circuit X(m) pour m clients dans la réseau, où m = 1,

2, ..., M.

Pas d’agrégation: La réseau de files d'attente original se

réduit à la station court-circuitée et à une autre station

que représente approximativement la réseau court-

circuité, dont la capacité de service est X(m).


73


3

X (m )


74



Diffusion


Itératives


75


Méthodes approchées: Itératives En général, on part d’une conjoncture raisonnable

pour établir l’itération

En général, on ne démontre pas que l’itération soit convergeante, ni que, en cas de convergence, cette convergence le soit sur une valeur proche de la solution exacte.

Malgré sa manque de justification théorique par rapport à sa convergence fournissent une voie intéressante pour traiter des réseaux de files d’attente.


76


Méthodes approchées: Itératives Itération entre el traitement analytique d’un réseau

de files d’attente et le traitement analytique d’une file

Méthode des modèles subordonnés

Méthode du réseau auxiliaire

théorie de réseaux de files d’attente

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