th´eorie de la mesure

THEORIE DE LA MESURE

Notes de cours de B.Demange

Cours donne en 2012-2013

2

INTRODUCTIONCe cours a pour but de donner une bonne definition de l’integrale de fonctions d’une ou plusieurs variables

reelles, qui donne lieu a des espaces de fonctions integrables stables par passage a la limite (en un sens apreciser). L’integrale classique de Cauchy ou de Riemann est assez limitee de ce point de vue, la plupart destheoremes de passage a la limite necessitant une convergence uniforme.

L’approche de la theorie de la mesure est qu’une integrale est une aire. Au lieu d’approximer les fonctionspar d’autres fonctions qu’on sait integrer, on approxime des ensembles par des ensembles elementaires donton connait l’aire. L’ensemble

A = (x, y) t.q. f(x) ≤ y ≤ g(x),ou f et g sont deux fonctions continues sur [a, b] telles que f ≤ g, est un ensemble elementaire dont l’aire est

µ(A) :=

∫ b

a

(g(x) − f(x))dx. Soit A la famille de ces ensembles. La famille A contient la plupart des figures

geometriques usuelles simples du type rectanges, cercles, triangles,. . .Le but de la theorie de la mesure est d’etendre la fonction d’ensembles µ : A → R+ a une famille assez

grosse, i.e. intuitivement, une famille stable par decoupage, recollage, et passage a la limite. On posera que lamesure de la reunion disjointe d’une famille d’ensembles que l’on sait mesurer est la somme des mesures :

µ(A) =+∞∑n=1

µ(An)

pour tout ensemble A ⊂ R2 pouvant s’ecrire sous la forme A =+∞⋃n=1

An, avec An ∈ A deux-a-deux disjoints. Pour

que cette nouvelle definition de µ soit coherente avec l’ancienne, il faut demontrer que si A ∈ A est partitionnepar une suite An ∈ A, avec An ∈ A deux-a-deux disjoints, on a µ(A) =

∑µ(An). Cette propriete s’appelle

la σ-additivite. C’est une consequence du lemme de Dini : pour toutes fonctions f, fn : [a, b]→ R+ continues

positives, telles que pour tout t ∈ [a, b], f(t) =+∞∑n=1

fn(t), la serie est en fait uniformement convergente, d’ou

∫ b

a

f =+∞∑n=1

∫ b

a

fn.

On dispose donc d’une fonction mesurant l’aire d’ensembles elementaires (les domaines delimites par desgraphes), qui est σ-additive, et on cherche a l’etendre a une famille maximale tout en gardant la σ-additivite.Il y a des restrictions aux ensembles que l’on peut mesurer, ce qui complique enormement la theorie. Il estpossible de montrer, via l’axiome du continu de la theorie des ensembles (toute partie de R non denombrableest en bijection avec R), qu’on ne peut pas definir l’aire de toute partie de R2. Ceci est vrai en toute dimensiond’ailleurs : on ne peut pas definir la longeur de toute partie de R, le volume de toute partie de R3. . .

L’etude des mesures et de l’integrale associee. On construit une integrale qui a de bonnes proprietesvis-a-vis du passage a la limite (theoreme de convergence dominee). Cette partie est la plus facile de latheorie.

La construction des mesures elles-meme. La mesure de Lebesgue est la plus importante, mais on obtienten corollaire d’autres mesures similaires : les mesures de Haussdorf et de Stieljes.

Les applications de la theorie : en analyse (espaces Lp), en geometrie (integration sur les sous-varietes)et probabilites.

Table des matieres

1 Les mesures 7

I Preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.1 Calculs sur [−∞,+∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.2 Series sur [0,+∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.3 Fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.4 Images reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II.1 Applications σ-additives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II.2 σ-algebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.3 Espaces mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.4 σ-algebre engendree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II.5 Ensembles mesurables au sens de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.6 Transport de mesures et de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

III Exemples fondamentaux d’espaces mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Integration 15

I Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.3 Passages a la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.4 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II Integrale des fonctions a valeurs dans [0,+∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.1 Decomposition en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.2 Definition de l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.3 Linearite et croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.4 Theoreme de convergence monotone et lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.5 Relation de Chasle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II.6 Une propriete remarquable de l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

III Fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III.1 Fonctions a valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III.2 Fonctions a valeurs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

IV Theoreme de convergence dominee de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

V Integrales a parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

V.1 Continuite sous l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

V.2 Derivation sous l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

4 TABLE DES MATIERES

3 Comment construire des mesures 29I Mesures exterieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

I.1 Applications σ-sous-additives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.2 Mesure exterieure canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.3 Lien avec les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II Criteres de mesurabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.1 Cas des espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.2 Cas des mesures exterieures canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III Unicite des constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III.1 Mesures finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III.2 Mesures σ-finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 La mesure de Lebesgue et ses corollaires 35I La mesure de Lebesgue sur Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I.1 Construction par mesure exterieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.2 Generalisation du volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.3 Caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I.4 Ensembles et fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II Generalisations de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.1 Mesures de Haussdorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.2 Proprietes des mesures de Haussdorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.3 Definition alternative de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II.4 Longeur, aire, surface de parties courbees de Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II.5 Mesures de Lebesgue-Stieljes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Integration et derivation sur un intervalle [a, b] 45I Integration sur [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

I.1 Fonctions mesurables bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45I.2 Integrale indefinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47I.3 Approximation des fonctions sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48I.4 Compensations dans les integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

II Derivation sur [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.1 Nombres derives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.2 Integrale d’une derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.3 Derivee d’une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II.4 Derivee d’une fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III Fonctions a variation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.1 Variation totale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.2 Caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.3 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.4 Lien avec les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Theoremes de Fubini 61I Produit de deux espaces mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I.1 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61I.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

II Theoreme de Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III Theoreme de Fubini-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

TABLE DES MATIERES 5

7 Theoreme du changement de variable 67I Cas des applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67II Mesure des sous-varietes plongees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

II.1 Rappels du cours de calcul differentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68II.2 Theoreme du changement de variable pour les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68II.3 Corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68II.4 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

III Integration sur les sous-varietes plongees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.1 Mesure volume d’une sous-variete plongee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.2 Theoreme du changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.3 Dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8 Espaces de Lebesgue Lp 73I Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

I.1 Preliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73I.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74I.3 Inegalite de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74I.4 Inegalite de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75II.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75II.2 Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76II.3 Espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Application aux series de Fourier 79I Definitions des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

I.1 Definition geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79I.2 Definition analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79I.3 Inegalite de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

II Convergence des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80II.1 Convergence dans L2(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80II.2 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82II.3 Condition de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82II.4 Condition de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10 Construction de mesures par dualite 87I Liens entre integrale et formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

I.1 Theoreme de Stone-Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87I.2 Rappels sur la methode de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88I.3 Demonstration du theoreme de Stone-Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

II Theoreme de Fubini pour les produits infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11 Exercices par chapitre 93

6 TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Les mesures

References : Rudin, Dudley, Wagschal.

I Preliminaires

I.1 Calculs sur [−∞,+∞]

La droite reelle achevee est l’ensemble [−∞,+∞] = R ∪ +∞,−∞, aussi note R. Elle est munie :

d’une relation d’ordre en posant −∞ ≤ x ≤ +∞ pour tout x ∈ [−∞,+∞].

d’une topologie definie par la convergence des suites (vers une limite finie ou infinie).

d’une addition et d’une multiplication naturelles prolongeant les lois + et × usuelles sur R.

Les operations non autorisees sont (+∞) + (−∞) et (−∞) + (+∞) et on prendra toujours comme convention0×±∞ = ±∞× 0 = 0. On verifiera facilement que + et × sont associatives, commutatives et distributivesl’une par rapport a l’autre (la ou elles sont definies). De plus l’addition est continue (la ou elle est definie) etla multiplication est continue sauf en (0,±∞) et (±∞, 0).

La propriete de la borne superieure est valide : toute partie non vide de [−∞,+∞] admet une borneinferieure et superieure. De plus [−∞,+∞] est compact. Toute fonction f : [a, b] → [−∞,+∞] continue etstrictement monotone est un homeomorphisme (ou −∞ < a < b < +∞).

I.2 Series sur [0,+∞]

Les series sur [0,+∞] sont convergeantes (vers la borne superieure de leurs sommes partielles). Les proprietede commutativite des series sur [0,+∞[ restent vraies pour les serie sur [0,+∞] :

si (xn)n∈N∗ est une suite de [0,+∞], pour toute bijection ϕ : N∗ → N∗, on a+∞∑n=1

xn =+∞∑k=1

xϕ(k).

si xn et yn sont deux suites de [0,+∞] on a+∞∑n=1

xn + yn =+∞∑n=1

xn ++∞∑n=1

yn.

si (xk,`)(k,`)∈N∗2 est une suite double de [0,+∞], on a+∞∑k=1

+∞∑`=1

xk,` =+∞∑`=1

+∞∑k=1

xk,`.

7

8 CHAPITRE 1. LES MESURES

I.3 Fonctions indicatrices

Les fonctions indicatrice sont une commodite d’ecriture permettant de transformer des operations ensemblistes(intersections, unions. . . ) en des operations sur des fonctions. On fixe un ensemble de reference X sur lequelon travaille. Si E est une partie de X, la fonction indicatrice de E, notee 1E est la fonction valant 1 sur E et0 sur X \ E. Avec ces conventions, 1∅ = 0 et 1X = 1. On a par exemple

1E∩F = min(1E,1F ) = 1E1F , 1E∪F = max(1E,1F ), 1E∪F + 1E∩F = 1E + 1F ,

1X\E = 1− 1E, 1E\F = max(1E − 1F , 0) = 1E(1− 1F ), 1E∆F = |1E − 1F |,

E ⊂ F ⇔ 1E ≤ 1F , E = F ⇔ 1E = 1F , E ∩ F = ∅ ⇔ 1E + 1F = 1E∪F

Si (En)n∈N∗ est une suite de parties de X, on a

1∩nEn = infn1En , 1∪nEn = sup

n1En ≤

+∞∑n=1

1En ,

et surtout, un ensemble E est partitionne par une suite d’ensembles En deux-a-deux disjoints, si et seulement

si 1∪nEn =+∞∑n=1

1En . L’ensemble des parties de X sera note P(X) et l’ensemble des fonctions indicatrices 2X .

I.4 Images reciproques

Definition 1. Soient X et Y deux ensembles et f : X → Y une fonction. Pour tout A ⊂ Y on pose

f−1(B) = f ∈ B = x ∈ X t.q. f(x) ∈ B.

Proposition 1. Soient X et Y deux ensembles, f : X → Y une fonction, et A,An ⊂ Y . On a

f−1(⋃n∈N∗

An) =⋃n∈N∗

f−1(An), f−1(⋂n∈N∗

An) =⋂n∈N∗

f−1(An) et f−1(Y \ A) = X \ f−1(A).

En particulier, l’image reciproque d’une union disjointe est la reunion disjointe des images reciproques.

Si X et Y sont des ensembles, f : X → Y est une fonction, x ∈ X et E ⊂ Y , on notera par 1f(x)∈E laquantite 1f−1(E)(x), i.e. 1 si f(x) ∈ E et 0 sinon.

II Mesures

II.1 Applications σ-additives

Definition 2. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅, et µ : A → [0,+∞] unefonction d’ensembles, telle que µ(∅) = 0. On dit que µ est σ-additive si pour tout A ∈ A, pour toute suite

d’ensembles An ∈ A deux-a-deux disjoints tels que A =+∞⋃n=1

An, on a µ(A) =+∞∑n=1

µ(An).

II. MESURES 9

Exemple 1 : la mesure de comptage est definie pour tout A ⊂ X par µ(A) = Card(A) ∈ N ∪ +∞.Exemple 2 : on fixe x ∈ X. La mesure de Dirac en x est definie par δx(E) = 1x∈E = 1 si x ∈ E et 0 si x /∈ E.Exemple 3 : si I est un intervalle on definit la longeur de I par `(I) = sup(I)− inf(I). On propose de montreren TD que c’est une application σ-additive.Exemple 4 : si f, g : [a, b] → R sont deux fonctions continues telles que f ≤ g, on definit l’aire de la region

comprise entre f et g par

∫ b

a

(g(x)− f(x))dx. Voir TD.

Exemple 5 : soit X = 0, 1N∗ la famille des suites de 0 et de 1, A la famille des ensembles A ⊂ X de suitescommencant par une suite finie fixee x1, . . . , xn. On pose µ(A) = 2−n. On peut verifier que cette fonctiond’ensemble est σ-additive (ce n’est pas tout-a-fait evident).Remarque : pour qu’une application σ-additive soit consideree comme une mesure, on donnera aussi unecondition sur la famille A : il faut que A soit assez riche, pour que ses elements soient effectivement par-titionnables. Il existe plusieurs structures interessantes sur les familles d’ensembles, deduites des structuresd’algebre de Bool : les anneaux, les algebres. . . La notion la plus interessante pour la theorie de la mesure estla notion de σ-algebre.

II.2 σ-algebres

Definition 3. Une σ-algebre (ou encore une tribu) sur un ensemble X est une famille de parties de Xcontenant ∅ et X, stable par complementaire et par reunions denombrables.

Exemple : les familles ∅, X et P(X) sont respectivement la plus petite et la plus grosse des σ-algebres.Tout ensemble construit a partir d’un nombre fini ou denombrables d’operations

⋂,⋃, \ sur des elements de

A, est donc dans A. Le fait de pouvoir effectuer un nombre d’enombrable d’operations est fondamental pourles passages a la limite.

II.3 Espaces mesures

Definition 4. Une mesure est une application σ-additive sur une σ-algebre de parties d’un ensemble X.

Definition 5. Un espace mesurable est un couple (X,A), ou A est une σ-algebre sur X. Un espace mesureest un triplet (X,A, µ), ou A est une σ-algebre sur X et µ une mesure sur A.

Remarque : la famille des intervalles n’est pas une σ-algebre, ni la famille des ensembles compris entre deuxgraphes de fonctions continues. Ces deux familles ne sont que stables par intersections finies. Il est possibled’etendre la longeur et l’aire a des σ-algebres plus grosses, c’est l’objet des chapitres 3 et 4.

Proposition 2. Soit (X,A, µ) un espace mesure.

(1) Pour tous A,B ∈ A tels que A ⊂ B, on a µ(A) ≤ µ(B).

(2) Pour tout A ∈ A et toute suite An ∈ A tels que A ⊂+∞⋃n=1

An, on a µ(A) ≤+∞∑n=1

µ(An).

(3) Si An ∈ A est une suite croissante, de reunion A, on a limµ(An) = µ(A).


(4) Si An ∈ A est une suite decroissante, d’intersection A, et si µ(A1) < +∞, on a limµ(An) = µ(A).

Demonstration. (1) : on a µ(B) = µ(A) + µ(B \ A) ≥ µ(A).(2) : on pose B1 = A∩A1 et pour tout n > 1, Bn = A∩AN \ (A1 ∪ · · · ∪An−1). On obtient ainsi une partitionde A, donc

µ(A) =+∞∑n=1

µ(Bn) ≤+∞∑n=1

µ(An).

(3) : en posant A0 = ∅ on a A =+∞⋃k=0

(Ak+1 \ Ak), An =n−1⋃k=0

(Ak+1 \ Ak) et ces reunions sont disjointes. Donc

µ(An) =n−1∑k=0

µ(Ak+1 \ Ak)→+∞∑k=0

µ(Ak+1 \ Ak) = µ(A).

(4) : la suite Bn = A1 \ An est croissante de reunion B = A1 \ A. Donc µ(Bn) → µ(B). Par (1), tous lesensembles consideres sont de mesure finie. On en deduit que µ(An) = µ(A1) − µ(Bn) → µ(A1) − µ(B) =µ(A).

Remarque : la propriete (4) ressemble fortement a de la compacite : pour toute suite decroissante An ∈ Atelle que 0 < infn µ(An) < +∞, on a

⋂n∈N∗

An 6= ∅. Ceci suggere que l’existence des mesures sur des σ-algebres

sera en general complique a demontrer et lie a la topologie.

Definition 6. Soit (X,A, µ) un espace mesure. La masse de la mesure µ est sa valeur maximale, i.e. µ(X).Une mesure est dite finie si µ(X) < +∞. Une mesure de probabilite est une mesure de masse 1. Un espaceprobabilise (ou espace de probabilite) est un espace mesure de masse 1.

II.4 σ-algebre engendree

Intuitivement, la σ-algebre engendree par une famille d’ensembles A (par exemple les intervalles, les carres. . . )est la famille des ensembles que l’on construit recursivement avec les operations

⋂,⋃

et \. Le probleme estque la famille des ensembles ainsi obtenus n’est pas une σ-algebre en general (ce n’est qu’une algebre). On estdonc amene a considerer une definition implicite :

Definition 7. Soit X un ensemble, et A une famille de parties de X. La σ-algebre engendree par A estla plus petite σ-algebre contenant A, pour la relation d’inclusion. On la note σ(A).

Demonstration de l’existence. L’intersection de toutes les σ-algebres contenant A est une σ-algebre contenantA, et c’est par definition la plus petite. Remarquer qu’il existe toujours une telle σ-algebre : la famille detoutes les parties de X.

Toute la difficulte de la theorie de la mesure est qu’il n’y a pas de description explicite des elements de σ(A),sauf cas particuliers.Exemple 1 : Soit X = 1, 2, 3, 4 et A = 1, 2, 2, 3. Alors σ(A) = P(X).Exemple 2 : Soit X = 1, 2, 3, 4 et A = 1, 2. Alors σ(A) = ∅, 1, 2, 3, 4, X.Exemple 3 : Soit X un ensemble, et A une famille de parties de X. Si A est fini alors σ(A) est fini. Si A estinfini alors σ(A) est infini non denombrable (TD).

II. MESURES 11

On sera tres souvent amene a montrer qu’une propriete (P ), vraie pour les elements d’une famille d’en-sembles A, est vraie pour tout element de σ(A), bien qu’on ne sache pas decrire ses elements. On a deuxmethodes, la premiere etant un cas particulier tres simple de la seconde :Methode 1 : Soit C la famille des parties de X verifiant la propriete (P ). Si C contient A et si C est uneσ-algebre, alors σ(A) ⊂ C. C’est par definition de σ(A). Si cette methode ne marche pas (par exemple si onn’arrive pas a montrer que C est stable par intersections finies, ce qui arrivera dans au moins deux theoremesfondamentaux), on utilise une variante :Methode 2 : Methode des classes monotones.

Lemme 1 (des classes monotones). Soit X un ensemble, A et C deux familles de parties de X. Si

(1) pour toute suite finie A1, . . . , An ∈ A, on a A1 ∩ · · · ∩ An ∈ C,

(2) X ∈ C et pour tous E,F ∈ C tels que E ⊂ F , on a F \ E ∈ C,

(3) et pour toute suite croissante En ∈ C, on a⋃

En ∈ C.

Alors σ(A) ⊂ C.

Remarque : une collection C verifiant (2) et (3) s’appelle une classe monotone. On verifiera facilement qu’uneclasse monotone stable par intersections finies est une σ-algebre. La methode 1 est donc un cas particulier dela methode 2.

Demonstration. Soit C0 l’intersection de toutes les familles C verifiant (1), (2) et (3). C0 verifie encore ces troisconditions, et c’est la plus petite de ces familles. Donc C0 ⊂ C, et par (1) on a A ⊂ C0. On demontre que C0

(et non pas C) est une σ-algebre.→ Soit C ′ la famille des E ∈ C0 tels que E ∩ A ∈ C0 pour tout A ∈ A. C ′ verifie clairement (1). Les deuxidentites

(E \ F ) ∩ A = (E ∩ A) \ (F ∩ A) et(⋃

En

)∩ A =

⋃(En ∩ A)

montrent que C ′ verifie (2) et (3). Donc C ′ = C0, i.e. pour tout A ∈ A et tout E ∈ C0, on a A ∩ E ∈ C0.→ Soit C ′′ la famille des E ∈ C0 tels que E ∩ F ∈ C0 pour tout F ∈ C0. Le point precedent montre que C ′′verifie (1). Pour les meme raisons, C ′′ verifie (2) et (3). Donc C ′′ = C, i.e. C0 est stable par intersections finies.

Comme X ∈ C0, (2) montre que C0 est stable par complementaire. C0 est donc stable par reunions finies, etpar (3), C0 est stable par reunions denombrables : C0 est une σ-algebre. On a A ⊂ C0, donc σ(A) ⊂ C0 ⊂ C.

Nous utiliserons surtout le corollaire suivant du lemme des classes monotones :

Corollaire 1. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable par intersections finies, et C uneclasse monotone contenant A. Alors σ(A) ⊂ C.

Demonstration. Comme A est stable par intersections finies, (1) equivaut a A ⊂ C.

II.5 Ensembles mesurables au sens de Borel

Definition 8. Soit X un espace topologique. La tribu de Borel sur X est la σ-algebre engendree par lesouverts. On la note B(X). On appelle ses elements les boreliens de X ou les ensembles mesurables au sensde Borel. Une mesure de Borel sur un espace topologique X est une mesure sur B(X).

Proposition 3. Tout intervalle de R (respectivement [−∞,+∞]) est un borelien de R (resp.[−∞,+∞]).


(1) les intervalles du type ]a,+∞[, avec a ∈ R engendrent B(R).

(2) les intervalles du type ]a, b], avec −∞ < a < b < +∞ engendrent B(R).

(3) les intervalles du type ]a,+∞], avec a ∈ R, engendrent B([−∞,+∞]).

Demonstration. Un intervalle de R est de quatre type : [a, b], [a, b[, ]a, b] ou [a, b[. L’intervalle [a, b] est ferme,]a, b[ est ouvert, ]a, b] =]a, b[∪[b, b] et [a, b[=]a, b[∪[a, a], donc tout intervalle est un borelien.

Soit A la σ-algebre engendree par les intervalles du type ]a,+∞[, a ∈ R. Un intervalle ouvert peut etre dequatre types : ]a, b[, ]a,+∞[, ]−∞, b[ ou R, avec a, b ∈ R et a < b. On a

R =⋃n∈N

]− n,+∞[, ]−∞, b[= R \ [b,+∞[= R \

( ⋂n∈N∗

]b− 1/n,+∞[

),

et ]a, b[=]a,+∞[∩] −∞, b[. Ceci prouve que A contient les intervalles ouverts. Tout ouvert est une reuniondenombrable d’intervalles ouverts (ses composantes connexes), donc A contient tous les ouverts. Donc B(R) ⊂A. Comme tout intervalle ]a,+∞[ est ouvert, on a A ⊂ B(R). Les autres cas se traıtent de maniere similaire.

Remarque : on saura mesurer tous les boreliens de R (et meme un peu plus). Cela inclut les ouverts, lesfermes, les compacts, les Gδ, les Fσ, tout ensemble defini au moyen d’egalites ou d’inegalites sur des fonctionscontinues, continues par morceaux, monotones. . . et tout ensemble construit de maniere recursive a partir d’unnombre denombrable operations ∩,∪, \ sur des ouverts. Et il y en a d’autres.

II.6 Transport de mesures et de tribus

Definition 9 (σ-algebre et mesure induite). Soient X et Y deux ensembles, B une σ-algebre sur Y , etf : X → Y une application. Alors

A = f−1(B);B ∈ B

est une σ-algebre sur X. Elle s’appelle la σ-algebre engendree (ou induite) par f sur X, notee σ(f). Si µ estune mesure sur A, alors la fonction ν definie pour B ∈ B par

ν(B) = µ(f−1(B))

est une mesure sur B, appelee mesure image de µ par f .

Demonstration. La reunion, le complementaire, se comportent bien par rapport a l’image reciproque.

III Exemples fondamentaux d’espaces mesures

On presente ici les mesures que l’on utilisera dans le cours. A part le premier exemple, les autres sont difficilesa construire, donc on admettra leur existence jusqu’au chapitre 3.

→ Mesures atomiques : toute mesure sur un ensemble fini ou denombrable est de la forme µ =∑x∈X

αxδx,

avec αx ∈ [0,+∞]. Les mesures de probabilite sur X = 0, 1 s’appellent mesures de Bernouilli. Elles sont dela forme µ = pδ1 + (1− p)δ0, avec 0 ≤ p ≤ 1.→Mesures de Lebesgue sur R : c’est la plus importante du cours. Il existe une unique mesure de Borel surR telle que la mesure des intervalles soit leur longeur. On la note `. Elle est aussi appelee mesure de longeur.Il est possible de la prolonger (en une mesure) sur une σ-algebre un peu plus grande (la tribu de LebesgueL(R)), mais il est impossible de la prolonger a toutes les parties de R (modulo l’axiome du continu). Du point

III. EXEMPLES FONDAMENTAUX D’ESPACES MESURES 13

de vue de la theorie des ensembles, B(R)↔ R et L(R)↔ RR, donc L(R) a beaucoup plus d’elements. Mais lesensembles que l’on rajoute sont de mesure de Lebesgue nulle, donc du point de vue de la theorie de la mesure,L(R) a peu d’interret. Il n’y a pas de plus grosse tribu sur laquelle on peut definir la mesure de Lebesgue (oun’importe quelle mesure, sauf si evidemment la mesure peut etre definie sur toutes les parties).→ Mesures de Lebesgue-Stieljes : pour toute fonction continue et croissante ϕ : R → R, il existe uneunique mesure de Borel µ telle que µ([a, b]) = ϕ(b) − ϕ(a) pour tous a, b ∈ R avec a ≤ b. Pour ϕ(x) = xc’est la mesure de Lebesgue. Si ϕ = l’escalier du diable, on obtient une mesure de probabilite pour le moinsetrange.→ Mesure de Lebesgue sur Rn : il existe une unique mesure m sur les boreliens de Rn telle que

m(I1 × I2 × · · · × In) = `(I1)× · · · × `(In),

pour toute suite d’intervalles Ik ⊂ R. Elle permet de calculer l’aire, le volume. . . Pour toutes fonctionsf, g : [a, b]→ R continues telles que f ≤ g, la mesure de Lebesgue de l’ensemble (x, y) ∈ [a, b]×R t.q. f(x) ≤

y ≤ g(x) est bien

∫ b

a

(g(x)− f(x))dx.

→ Mesures de Haussdorf : c’est une famille (Hk)1≤k≤n de mesures de Borel sur Rn, permettant de calculerla longeur, l’aire, le volume. . . des parties courbees de Rn. La mesureH1 sera encore appelee mesure de longeur,notee `. La longeur d’un arc Γ parametre par une fonction f : [0, 1]→ Rn, sera la formule classique

`(Γ) =

∫ 1

0

‖f ′(t)‖dt si l’arc est regulier et sans point double.

L’aire d’une surface Σ parametree par une fonction f : [0, 1]2 → R3 sera la formule classique

Aire(Σ) =

∫ 1

0

∫ 1

0

∥∥∥∥∂f∂x ∧ ∂f∂y∥∥∥∥dxdy si c’est une surface plongee.

La mesure de Haussdorf Hn sera la mesure de Lebesgue, et la restriction de Hk aux sous espaces affines dedimensions k sera la mesure de Lebesgue k-dimentionnelle.→ Jeu de pile ou face : Soit Ω = 0, 1N∗ l’ensemble des suites de 0 et de 1. Il existe une unique mesure deprobabilite sur les boreliens de Ω (pour la topologie produit), telle que la probabilite qu’une suite commencepar une suite donnee de longeur n, soit 2−n. Ce resultat, bien qu’intuitivement evident, est en fait equivalenta l’existence de la mesure de Lebesgue : si on identifie un nombre a la suite de ses chiffres en base 2, la mesurede Lebesgue s’identifie a cette mesure.→ Mesure de Lebesgue en dimension infinie : il existe une unique mesure de probabilite µ sur lesboreliens de [0, 1]N

∗(muni de sa topologie produit), telle que

µ

(+∞∏n=1

In

)=

+∞∏n=1

`(In),

pour toute suite d’intervalles In ⊂ [0, 1]. C’est la mesure de probabilite qui modelise les suites de nombresreels choisis aleatoirement entre 0 et 1 de maniere uniforme et independante.

Chapitre 2

Integration

References : Rudin, Dudley, Wagschal.

I Fonctions mesurables

I.1 Definition

Definition 1. Soient (X,A) et (Y,B) deux espaces mesurables. Une fonction mesurable de (X,A) dans(Y,B) est une fonction f : X → Y telle que pour tout B ∈ B, f−1(B) ∈ A.

Remarque : une fonction constante est mesurable par rapport a n’importe quelle tribu. Cette definition estsimilaire a la notion de continuite d’une fonction entre deux espaces topologiques.

Proposition 1. Soient (X,A) et (Y,B) deux espaces mesurables. Soit F une famille engendrant B. Alorsune fonction f est mesurable de (X,A) dans (Y,B) ssi pour tout B ∈ F , f−1(B) ∈ A.

Demonstration. La famille C = B ⊂ Y t.q. f−1(B) ∈ A est une σ-algebre contenant F .

Remarque : si Y est topologique on prend par defaut comme tribu B = B(Y ). Dans ce cas il suffit donc deverifier que l’image reciproque d’un ouvert est mesurable. La plupart du temps, Y sera [−∞,+∞] ou C.

Corollaire 1. Soit (X,A) un espace mesurable. Une fonction f : X → [−∞,+∞] est mesurable ssi

∀a ∈ R, f > a := x ∈ X t.q. f(x) > a ∈ A.

Definition 2. Soient X et Y deux espaces topologiques. Une fonction f : X → Y est dite borelienne si elleest mesurable de (X,B(X)) dans (Y,B(Y )).

Exemple : les fonctions continues de X dans Y sont boreliennes.

I.2 Composition

Proposition 2. Soient (X,A), (Y,B) et (Z, C) trois espaces mesurables, f : X → Y et g : Y → Z mesurables.Alors g f : X → Z est mesurable.

Demonstration. Evident car (g f)−1(C) = f−1(g−1(C)).

15

16 CHAPITRE 2. INTEGRATION

Definition 3. Si f : X → [−∞,+∞] on definit f+ = max(f, 0) et f− = max(−f, 0). On a f+ ≥ 0, f− ≥ 0,|f | = f+ + f− et f = f+ − f−.

Remarque : la difference f+− f− a toujours un sens car on ne peut pas avoir f+ = f− = +∞. Bien noter quela partie negative d’une fonction f est max(−f, 0), et non pas min(f, 0) : on a bien f− ≥ 0.

Corollaire 2. Soit (X,A) un espace mesurable.

(1) La somme (si elle a un sens) et le produit de fonctions mesurables, a valeurs dans [−∞,+∞] ou C, sontmesurables.

(2) Si fn : X → [−∞,+∞] sont mesurables, alors sup(fn) et inf(fn) sont mesurables.

(3) f : X → [−∞,+∞] est mesurable si et seulement si f+ et f− sont mesurables.

(4) f : X → C est mesurable si et seulement si Re(f) et Im(f) sont mesurables.

(5) Si f : X → C est mesurable, alors |f | est mesurable.

Demonstration. (1) : les lois + et × sont continues sur C. La loi + est bien continue sur [−∞,+∞] (la ou elleest definie), et la loi × est continue sauf en (0,±∞) et (±∞, 0). Or, on a

(x, y) ∈ [−∞,+∞]2 t.q. xy = 0 = [−∞,+∞]× 0 ∪ 0 × [−∞,+∞].

Cet ensemble est ferme, donc borelien, donc la loi × est borelienne, cqfd.

(2) : pour tout a ∈ R, x ∈ X t.q. sup(fn) > a =⋃n

x ∈ X t.q. fn(x) > a et inf(fn) = sup(−fn).

(3) : decoule de (1) et (2).(4) et (5) : la partie reelle, la partie imaginaire, et le module complexe, sont des fonctions continues.

I.3 Passages a la limite

Theoreme 1. Soit (X,A) un espace mesurable, Y un espace metrique. Soit fn : X → Y une suite de fonctionsmesurables, convergeant simplement vers une limite f : X → Y . Alors f est mesurable.

Demonstration. Soit U un ouvert de Y , et F son complementaire. On rappelle que la fonction distance a unensemble est continue (et meme lipschitzienne), donc chaque fonction d(fn, F ) est mesurable de (X,A) dans(Y,B(Y )). Comme U est ouvert, on a f(x) ∈ U si et seulement si fn(x) ∈ U (i.e. d(fn(x), F ) > 0) a partird’un rang. Cela se traduit par

f−1(U) =⋃k∈N∗

⋃`∈N∗

⋂n≥`

d(fn, F ) ≥ 1/k.

Comme fn est mesurable, chaque ensemble d(fn, F ) ≥ 1/k est dans A (c’est l’image reciproque d’un fermepar une fonction mesurable), cqfd.

Definition 4. Si un est une suite d’elements de [−∞,+∞], on definit

lim supn→+∞

un := limn→+∞

supk≥n

uk et lim infn→+∞

un := limn→+∞

infk≥n

uk.

Demonstration de l’existence des limites. La suite vn := supk≥n uk est decroissante, donc est convergente dans[−∞,+∞]. La suite wn := infk≥n uk est croissante, donc converge dans [−∞,+∞].

Proposition 3. Soit un une suite de [−∞,+∞].

I. FONCTIONS MESURABLES 17

(1) lim supun est la plus grande valeur d’adherence de un, lim inf un la plus petite.

(2) lim inf un ≤ lim supun, avec egalite ssi la suite converge dans [−∞,+∞].

Demonstration. (1) : soit ` ∈ [−∞,+∞] et ϕ strictement croissante telle que uϕ(n) → `. Comme ϕ(n) ≥ n,wn ≤ uϕ(n) ≤ vn. Passage a la limite : lim inf un ≤ ` ≤ lim supun. Il reste a montrer que lim supun et lim inf unsont effectivement des v.a. Soit ` = lim supun.

Si ` = −∞, on a un ≤ vn → −∞, donc un tend vers −∞. Si ` = +∞, on choisit kn ≥ n t.q ukn ≥ vn − 1,et ukn tend vers +∞. Si ` ∈ R, on choisit kn ≥ n tel que vn− 1/n ≤ ukn ≤ vn et on a ukn → `. Raisonnementsimilaire pour la limite inferieure.(2) : s’il y a egalite, un a une seule valeur d’adherence, et comme [−∞,+∞] est compact, un est convergente.

Corollaire 3. Soit (X,A) un espace mesurable, et fn : X → [−∞,+∞] une suite de fonctions mesurables.Alors lim sup fn et lim inf fn sont mesurables.

Corollaire 4. Soit (X,A) un espace mesurable, et fn : X → [−∞,+∞] ou C une suite de fonctionsmesurables. Si la serie de fonctions

∑fn est bien definie et converge simplement, sa somme est mesurable.

I.4 Exemples fondamentaux

Proposition 4. Soient a, b ∈ R avec a < b. Les fonctions suivantes sont boreliennes :

(1) les fonctions continues de [a, b] dans C.

(2) les fonctions monotones f : [a, b]→ [−∞,+∞].

(3) toute fonction obtenue comme somme, produit et limite simple de telles fonctions.

Remarque : en particulier les fonctions en escalier, les fonctions continues par morceaux, les fonctions mono-tones par morceaux, et plus generalement les fonctions reglees sont boreliennes.

Demonstration. (1) : deja fait. (2) : si J ⊂ [−∞,+∞] est un intervalle, et f est monotone, alors f−1(J) estun intervalle, donc un borelien.

Definition 5. Soit X un espace topologique. Une fonction f : X →] − ∞,+∞] est dite semi-continueinferieurement (sci) si pour tout α ∈ R,

x ∈ X t.q. f(x) > α

est ouvert. Une fonction f : X → [−∞,+∞[ est dite semi-continue superieurement (scs) si et seulement sipour tout α ∈ R,

x ∈ X t.q. f(x) < α

est ouvert.

Remarque : ce sont donc des fonctions boreliennes.

Proposition 5. Les sommes finies de fonctions sci sont sci. La borne superieure d’une famille de fonctionssci est sci, et une serie de fonctions sci positives est sci. Une fonction f est sci ssi −f est scs. L’indicatriced’un ouvert est sci et l’indicatrice d’un ferme est scs.


Demonstration. Somme : soient f, g et t ∈ R. Soit x ∈ X tel que f(x) + g(x) > t, et ε =f(x) + g(x)− t

2.

Soit η > 0 tel que pour tout y ∈ X t.q. d(x, y) < η, f(y) > f(x)− ε et g(y) > g(x)− ε. Alors f(y) + g(y) >f(x) + g(x)− 2ε = t, cqfd.

Borne superieure : si (fi)i∈I est une famille de fonctions s.c.i, pour tout t ∈ R,

supifi > t = ∪ifi > t = reunion d’ouverts.

Serie : si fn sont s.c.i positives, alors+∞∑n=1

fn = supn

n∑k=1

fk.

Fonctions indicatrices : si U est ouvert, 1−1U (]α,+∞]) vaut ∅ si α ≥ 1, U si 0 ≤ α < 1 et X si α < 0. Si F est

ferme, 1−1F ([−∞, α[) vaut ∅ si α ≤ 0, X \ F si 0 < α ≤ 1 et X si α > 1.

II Integrale des fonctions a valeurs dans [0,+∞]

On fixe un espace mesure (X,A, µ).

II.1 Decomposition en serie

Lemme 1. Si f : X → [0,+∞] est mesurable, il existe une suite αn ∈ R+ et une suite En ∈ A tels que

f =+∞∑n=1

αn1En .

Demonstration. On designe par [·] la partie entiere d’un nombre reel. Pour tout y ∈ R+, on a

y =∑n∈Z

[2n+1y]− 2[2ny]

2n+1.

C’est en fait la representation de y en base 2. Pour le voir, remarquer que c’est une serie telescopique et que[2ny]

2ntend vers y en +∞ et est nul si n est loin dans les negatifs. Le nombre [2n+1y] − 2[2ny] est le n-ieme

chiffre apres la virgule de y en base 2. Il vaut 1 si 2k + 1 ≤ 2n+1y < 2k + 2 pour un certain k ∈ N, et 0 sinon.

La reunion de ces intervalles est un borelien En. On a donc y =∑n∈Z

1

2n+11En(y) pour tout y ∈ R+.

Soit f : X → [0,+∞] mesurable, et pour tout k ∈ Z, Fk = x ∈ X t.q. f(x) ∈ Ek = f−1(Ek) ∈ A, etF = x ∈ X t.q. f(x) = +∞ = f−1(+∞) ∈ A. Par composition on a pour tout x ∈ X,

f(x) = (+∞)1F (x) +∑k∈Z

1

2k+11Ek

(f(x)) =∑k∈Z

(1

2k+11Fk

(x) + 1F (x)

), cqfd.

Lemme 2. Soient, pour n ∈ N∗, an, bn deux suites de R+, et An, Bn deux suites de A. On suppose que pour

tout x ∈ X,+∞∑n=1

an1An(x) ≤+∞∑n=1

bn1Bn(x). Alors+∞∑n=1

anµ(An) ≤+∞∑n=1

bnµ(Bn).

II. INTEGRALE DES FONCTIONS A VALEURS DANS [0,+∞] 19

Demonstration. On procede par degre de difficulte croissant.

→ si a1A ≤ b1B, avec a, b ∈ R+ et A,B ∈ A. Alors soit la fonction a1A est nulle, i.e. a = 0 ou A = ∅, soitelle est non nulle, i.e. a > 0 et A 6= ∅, et alors a ≤ b et A ⊂ B. Dans tous les cas on a bien aµ(A) ≤ bµ(B).

→ siN∑n=1

an1An ≤ b1B, avec N ≥ 2, an, b ∈ R+ et An, B ∈ A. O procede par recurrence sur N . En multipliant

la relationN∑n=1

an1An ≤ b1B respectivement par 1A2\A1 , 1A1∩A2 , 1A1\A2 et 1X\(A1∪A2), on obtient :

N∑n=1

an1An∩A2\A1 ≤ b1B∩A2\A1 ,N∑n=1

an1An∩A1∩A2 ≤ b1B∩A1∩A2 ,N∑n=1

an1An∩A1\A2 ≤ b1B∩A1\A2 ,

etN∑n=1

an1An\(A1∪A2) ≤ b1B\(A1∪A2). Chacune de ces inegalites a un ou deux termes en moins : le terme n = 1

est nul dans la premiere, les deux premiers termes se combinent dans la seconde, le terme n = 2 est nul dansla troisieme et les termes n = 1 et n = 2 sont nuls dans la derniere. On obtient par recurrence quatre relationssur les mesures :

N∑n=1

anµ(An ∩ A2 \ A1) ≤ bµ(B ∩ A2 \ A1),N∑n=1

anµ(An ∩ A1 ∩ A2) ≤ bµ(B ∩ A1 ∩ A2),

N∑n=1

anµ(An ∩A1 \A2) ≤ bµ(B ∩A1 \A2), etN∑n=1

anµ(An \ (A1 ∪A2)) ≤ bµ(B \ (A1 ∪A2)). Comme les quatre

ensembles A1 \A2, A1 ∩A2, A2 \A1 et X \ (A1 ∪A2) partitionnent X, la somme de ces quatre relations donneN∑n=1

anµ(An) ≤ bµ(B), par additivite de µ.

→ siN∑n=1

an1An ≤M∑n=1

bn1Bn avec N,M ∈ N∗, an, bn ∈ R+ et An, Bn ∈ A, on procede par recurrence sur M ,

on multiplie la relation par 1B1\B2 , 1B1∩B2 , 1B2\B1 et 1X\(B1∪B2), et on raisonne comme ci-dessus.

→ si+∞∑n=1

an1An ≤+∞∑n=1

bn1Bn , avec an, bn ∈ R+ et An, Bn ∈ A, on multiplie la relation par 1XMavec XM =

X \ (B1 ∪ · · · ∪BM). On obtient, pour tous N,M ∈ N∗,

N∑n=1

an1An∩XM≤

+∞∑n=1

an1An∩XM≤

+∞∑n=1

bn1Bn∩XM=

M∑n=1

bn1Bn∩XM.

Le cas precedant donneN∑n=1

anµ(An ∩ XM) ≤M∑n=1

bnµ(B ∩ XM) ≤+∞∑n=1

bnµ(Bn), par croissance de µ. On fait

tendre M → +∞ (la suite XM est croissante de reunion X), puis N → +∞, et on a le resultat.

II.2 Definition de l’integrale


Definition 6. Soit f : X → [0,+∞] mesurable. Le nombre

+∞∑n=1

anµ(An) ∈ [0,+∞]

est independant de la suite an ∈ R+ et An ∈ A telles que f =+∞∑n=1

an1An. C’est par definition l’integrale

de f par rapport a la mesure µ, notee

∫fdµ.

Remarque : cette definition est independante de la decomposition de f choisie par le lemme 2. L’integraleclassique des fonctions continues et continues par morceaux est definie de meme, mais avec des indicatricesd’intervalles. En effet, on peut montrer qu’une fonction en escalier f : [a.b]→ R+ se decompose sous la forme

f =N∑k=1

an1In ,

avec an ∈ R+ et In ⊂ [a, b] intervalle, et qu’une fonction f : [a, b] → R+ continue, continue par morceaux, etplus generalement reglee, se represente sous forme d’une serie uniformement convergeante

f =+∞∑n=1

an1In ,

avec an ∈ R+, In ⊂ [a, b] intervalles, et c’est une caracterisation des fonctions reglees (exo). En theoriede l’integrale de Lebesgue, les In ne sont plus forcement des intervalles, et la serie peut etre simplementconvergeante. On obtient donc beaucoup plus de fonctions integrables.

II.3 Linearite et croissance

Proposition 6. Pour toutes fonctions f, g : X → [0,+∞] mesurables telles que f ≤ g, on a

∫fdµ ≤

∫gdµ.

Demonstration. C’est exactement le lemme 2.

Proposition 7. Pour toutes fonctions f, g : X → [0,+∞] mesurables, et tous α, β ∈ R+, on a∫(αf + βg)dµ = α

∫fdµ+ β

∫gdµ.

Demonstration. Soient ak, bk ∈ R+, Ak, Bk ∈ A tels que f =+∞∑k=1

ak1Aket g =

+∞∑k=1

bk1Bk. Alors une

representation possible de αf + βg est+∞∑k=1

αak1Ak+

+∞∑k=1

βbk1Bk, donc

∫(αf + βg)dµ = α

+∞∑k=1

akµ(Ak) + β+∞∑k=1

bkµ(Bk) = α

∫fdµ+ β

∫gdµ.


Proposition 8 (Inegalite de Tchebitchev). Soit f : X → [0,+∞] mesurable et α ∈ R∗+. On a

µ(x ∈ X t.q. f(x) ≥ α) ≤ 1

α

∫fdµ.

Demonstration. Soit E = f−1([α,+∞]) ∈ A. On a α1E ≤ f par definition de E, puis on integre.

Definition 7. On dit qu’une proriete P (x) dependant de x ∈ X est vraie presque partout s’il existe N ∈ Atel que µ(N) = 0 et P (x) est vraie pour tout x /∈ N .

Proposition 9. Soit f : X → [0,+∞] mesurable. On a

∫fdµ = 0 si et seulement si f(x) = 0 p.p.

Demonstration. Supposons que

∫fdµ = 0. Alors par l’inegalite de Tchebichev, les ensembles

Nn = x ∈ X t.q. f(x) ≥ 1/n

sont de mesure nulle, pour tout n ∈ N∗. Ces ensembles forment une suite croissante, donc leur reunion N estde mesure nulle. Pour tout x /∈ N , on a f(x) > 0.

Reciproquement, supposons que f(x) = 0 p.p. Soit N ∈ A tel que f(x) = 0 pour tout x /∈ N et µ(N) = 0.

Soit an ∈ R+ et An ∈ A tels que f =+∞∑n=1

an1An . On a f = f1N car f(x) = 0 si x /∈ N , donc f =+∞∑n=1

an1An∩N .

Chaque An ∩N est de mesure nulle, puisque inclus dans N , donc

∫fdµ =

+∞∑n=1

anµ(An ∩N) = 0.

Proposition 10. Soit f : X → [0,+∞] mesurable telle que

∫fdµ < +∞. On a f(x) < +∞ p.p.

Remarque : reciproque fausse.

Demonstration. Soit E = x ∈ X t.q. f(x) = +∞. Alors f ≥ n1E pour tout n ∈ N∗, donc nµ(E) ≤∫fdµ,

et en faisant n→ +∞ on trouve µ(E) = 0.

II.4 Theoreme de convergence monotone et lemme de Fatou

Theoreme 2 (Theoreme de convergence monotone, dit de Beppo-Levi). Soit (fn)n≥1 une suite de fonctionsmesurables positives.

(1) on a

∫ (+∞∑n=1

fn

)dµ =

+∞∑n=1

∫fndµ.

(2) si fn ≤ fn+1 pour tout n, alors

∫lim fndµ = lim

∫fndµ.

(2) si fn+1 ≤ fn pour tout n et si

∫f1dµ < +∞, alors

∫lim fndµ = lim

∫fndµ.

Remarque : dans (1), les deux series ecrites sont necessairement convergentes (dans [0,+∞]). Dans (2) et

(3), lim fn et lim

∫fndµ existent necessairement, par monotonie.


Lemme 3. Soient f, g : X → [0,+∞] mesurables telles que f ≤ g. Il existe h : X → [0,+∞] mesurable telleque g = f + h.

Demonstration. On pose h(x) = g(x)− f(x) si f(x) < +∞ et h(x) = 0 si f(x) = +∞. On a bien g = f + h.Un autre ecriture pour h est h = g1E − f1E, avec E = x ∈ X t.q. f(x) < +∞ = f−1([0,+∞[) ∈ A. Lesdeux fonctions g1E et f1E sont donc mesurables, et leur difference est bien definie, donc h est mesurable.

Demonstration. (1) : pour tout n on a une representation de fn sous la forme fn =+∞∑k=1

ak,n1Ak,n. Une

representation possible de∑

fn est+∞∑n=1

fn =+∞∑n=1

+∞∑k=1

ak,n1Ak,n. Donc

∫ (+∞∑n=1

fn

)dµ =

+∞∑n=1

(+∞∑k=1

ak,nµ(Ak,n)

)=

+∞∑n=1

∫fndµ.

(2) : on pose g1 = f1, et pour tout n ≥ 2, soit gn : X → [0,+∞] telle que fn = fn−1 + gn. Par linearite et (1),∫ ( n∑k=1

gk

)dµ =

n∑k=1

∫gndµ et

∫ (+∞∑k=1

gk

)dµ =

+∞∑k=1

∫gkdµ.

Or fn =n∑k=1

gk et donc lim fn =+∞∑k=1

gk, cqfd.

(3) : pour tout n ≥ 1, soit gn : X → [0,+∞] mesurable telle que fn = fn+1 + gn. Une recurrence immediate

donne f1 = fn +n−1∑k=1

gk et donc f1 = lim fn ++∞∑k=1

gk. Par linearite et (1) :

∫f1dµ =

∫fndµ+

n−1∑k=1

∫gkdµ,

∫f1dµ =

∫lim fndµ+

+∞∑k=1

∫gkdµ

et par passage a la limite dans la premiere,

∫f1dµ = lim

∫fndµ+

+∞∑k=1

∫gkdµ. En particulier

∫lim fndµ+

+∞∑k=1

∫gkdµ = lim

∫fndµ+

+∞∑k=1

∫gkdµ =

∫f1dµ < +∞.

La serie+∞∑k=1

∫gkdµ est donc finie, on peut la retrancher de chaque membre, cqfd.

Theoreme 3 (Lemme de Fatou). Soit fn : X → [0,+∞] une suite de fonctions mesurables. On a∫ (lim infn→+∞

fn

)dµ ≤ lim inf

n→+∞

(∫fndµ

).

Demonstration. Soit gn = infk≥n fk et In = infk≥n

∫fkdµ. Pour tout k ≥ n on a gn ≤ fk donc∫

gndµ ≤∫fkdµ ∀k ≥ n donc

∫gndµ ≤ In.

Ensuite on passe a la limite en utilisant le theoreme de convergence monotone.


II.5 Relation de Chasle

Definition 8. Soit E ∈ A et f : X → [0,+∞] une fonction mesurable. On definit l’integrale de f sur E parrapport a (X,A, µ) par ∫

E

fdµ :=

∫(f1E)dµ.

Theoreme 4. Soit f : X → [0,+∞] mesurable. L’application

E →∫E

fdµ

est une mesure sur A. On l’appelle la mesure de densite f par rapport a µ.

Demonstration. Pour tout E ∈ A, soit

ν(E) :=

∫E

fdµ.

Soit En ∈ A, deux-a-deux disjoints, et E leur reunion. On a

1E =+∞∑n=1

1En donc f1E =+∞∑n=1

f1En .

Le theoreme de convergence donne ν(E) =+∞∑n=1

ν(En).

Theoreme 5. Soit f : X → [0,+∞] une fonction mesurable, et ν la mesure de densite f par rapport a µ.Pour toute fonction g : X → [0,+∞] mesurable, on a∫

gdν =

∫gfdµ, (2.1)

ce qui justifie la notation dν = fdµ.

Demonstration. On pose f =+∞∑k=1

ak1Aket g =

+∞∑`=1

b`1B`, avec ak, b` ∈ R+ et Ak, B` ∈ A. On a

∫fgdµ =

∫ (+∞∑k=1

+∞∑`=1

akb`1Ak∩B`

)dµ =

+∞∑k=1

+∞∑`=1

akb`µ(Ak ∩B`)

∫gdν =

+∞∑`=1

b`ν(B`) =+∞∑`=1

b`

∫ (+∞∑k=1

ak1Ak∩B`

)dµ =

+∞∑`=1

+∞∑k=1

b`akµ(Ak ∩ b`).

II.6 Une propriete remarquable de l’integrale

Proposition 11. Soit (X,A, µ) un espace mesure et f : X → [0,+∞] une fonction mesurable. Alorsl’integrale de f ne depend que des valeurs de µ sur les ensembles f > t, avec t > 0. Plus precisement,∫

fdµ = limn→+∞

+∞∑k=1

2−nµ(f > k2−n).


Demonstration. Soit fn definie par fn(x) = 0 si f(x) = 0, et sinon fn(x) =k

2n, ou k est l’unique entier tel

que k < 2nf(x) ≤ k + 1. Alors fn+1(x) =2k

2n+1ou

2k + 1

2n+1. On voit donc que fn converge en croissant vers f

(simplement). Un autre ecriture pour fn, utilisant les fonctions indicatrices, est

fn =Card(N∗ ∩ [0, 2nf(x)[

2n=

+∞∑k=1

2−n1f>k2−n .

Donc

∫fndµ =

+∞∑k=1

2−nµ(f > k2−n). Or par convergence monotone,

∫fndµ→

∫fdµ, cqfd.

Corollaire 5. L’integrale ne depend pas de la σ-algebre rendant la fonction mesurable.

III Fonctions sommables

III.1 Fonctions a valeurs dans R

Definition 9. Soit f : X → R. On dit que f est integrable (ou sommable) si elle est mesurable et si∫|f |dµ < +∞. Alors f+ et f− ont une integrale finie. On pose

∫fdµ :=

∫f+dµ−

∫f−dµ.

L’ensemble des fonctions integrables est note L(X,A, µ) ou pour simplifier L(µ).

Demonstration. 0 ≤ f+ ≤ |f | et 0 ≤ f− ≤ |f |.

Theoreme 6. L’integrale ainsi definie verifie les proprietes suivantes :

(1) la nouvelle definition de l’integrale est coherente avec celle des fonctions positives.

(2) L(X,A, µ) est un espace vectoriel et l’integrale est une forme lineaire.

(4) l’integrale est croissante, et verifie l’inegalite triangulaire :

∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |dµ.

Demonstration du theoreme. (1) : car si f ≥ 0, f− = 0 et f+ = f .(2) : soient f, g ∈ L(X,A, µ) et h = f + g. On a pour tout x ∈ X,

h+(x) + f−(x) + g−(x) = h−(x) + f+(x) + g+(x).

Donc par linearite de l’integrale des fonctions positives :∫h+dµ+

∫f−dµ+

∫g−dµ =

∫h−dµ+

∫f+dµ+

∫g+dµ, cqfd. (2.2)

Si λ ∈ R+ on a par linearite de l’integrale des fonctions positives,∫(λf)+dµ =

∫λ(f+)dµ = λ

∫f+dµ et

∫(λf)−dµ = λ

∫f−dµ,

IV. THEOREME DE CONVERGENCE DOMINEE DE LEBESGUE 25

donc

∫λfdµ = λ

∫fdµ. Enfin,

∫(−f)dµ =

∫(−f)+dµ−

∫(−f)−dµ =

∫f−dµ−

∫f+dµ = −

∫fdµ.

(4) : si f et g sont sommables et f ≤ g alors g = (g−f)+f donc

∫gdµ =

∫fdµ+

∫(g−f)dµ. Or g−f ≥ 0

donc

∫(g − f)dµ ∈ R+, et donc

∫fdµ ≤

∫gdµ. L’inegalite triangulaire decoule alors des relations f ≤ |f |

et −f ≤ |f |.

III.2 Fonctions a valeurs dans C

Definition 10. Une fonction f : X → C est sommable elle est mesurable et si

∫|f |dµ < +∞. Alors

Re(f) et Im(f) sont sommables. On pose∫fdµ =

∫Re(f)dµ+ i

∫Im(f)dµ.

On utilisera aussi la notation L(X,A, µ).

Demonstration. on a |Re(f)| ≤ |f | et | Im(f)| ≤ |f |.Proposition 12. La definition est coherente, L(X,A, µ) est un C-espace vectoriel et l’integrale est C-lineaire.On a de plus l’inegalite triangulaire ∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |dµ.Demonstration. Evident sauf l’inegalite triangulaire. On choisit θ ∈ R tel que

∫fdµ = eiθ

∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣. Alors∣∣∣∣∫ fdµ

∣∣∣∣ = Re

(e−iθ

∫fdµ

)=

∫Re(e−iθf)dµ ≤

∫|f |dµ.

IV Theoreme de convergence dominee de Lebesgue

Theoreme 7 (de convergence dominee de Lebesgue). Soient fn : X → C une suite de fonctions sommables,convergeant simplement vers une fonction f : X → C. On suppose qu’il existe une fonction ϕ : X →[0,+∞] telle que

∫ϕdµ < +∞ et |fn(x)| ≤ ϕ(x) ∀x ∈ X ∀n ∈ N∗. Alors

(1) la fonction f et les fonctions fn sont sommables.

(2) limn→+∞

∫|f − fn|dµ = 0.

(3) lim

∫fndµ existe et vaut

∫fdµ.


Demonstration. On a |fn| ≤ ϕ et |f | ≤ ϕ, donc par croissance de l’integrale, fn et f sont sommables. Soitgn = 2ϕ−|f −fn|. C’est une fonction mesurable et positive puisque |f −fn| ≤ |f |+ |fn| ≤ 2ϕ. Par hypothese,gn converge simplement vers 2ϕ. Le lemme de Fatou donne∫

2ϕdµ ≤ lim infn→+∞

∫gndµ.

Or lim infn→+∞

∫gndµ = 2

∫ϕdµ − lim sup

n→+∞

∫|f − fn|dµ, donc la suite

∫|f − fn|dµ = 0 a une limite superieure

≤ 0. Comme elle est positive, c’est qu’elle tend vers 0. Pour (3) remarquer que∣∣∣∣∫ fdµ−∫fndµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f − fn|dµ.Theoreme 8 (de convergence dominee pour les series). Soit fn : X → C une suite de fonctions mesurables,telles que

+∞∑n=1

∫|fn|dµ < +∞.

Alors chaque fn est sommable, la serie de fonctions∑fn(x) converge p.p vers une fonction S : X → C

sommable, la serie∑∫

fndµ est convergente dans C, et

+∞∑n=1

∫fndµ =

∫Sdµ.

Demonstration. Soit ϕ(x) =+∞∑n=1

|fn(x)|. C’est une fonction mesurable positive d’integrale finie. Elle est donc

finie presque partout, et la suite de fonctions Sn(x) = f1 + · · ·+fn converge donc presque partout. Soit N ∈ Ade mesure nulle telle que Sn(x) converge pour tout x /∈ N . On note S(x) cette limite, et on pose S(x) = 0 six ∈ N . Par construction, Sn1X\N converge simplement vers S, donc S est mesurable. De plus |Sn| ≤ ϕ pourtout n ∈ N∗. Le theoreme de convergence dominee donne le resultat.

Corollaire 6 (Relation de Chasle). Soit f : X → C sommable et En une suite d’ensembles mesurables

deux-a-deux disjoints. La serie∑∫

En

fdµ est convergente, et

∫∪nEn

fdµ =+∞∑n=1

∫En

fdµ.

Remarque : on a donc une application σ-additive qui n’est pas positive. On appelle cela une mesure signee.

Corollaire 7 (Reciproque du theoreme de convergence dominee). Soient f, fn : X → C mesurables telles que

limn→+∞

∫|f − fn|dµ = 0. Il existe une sous-suite (fnk

)k∈N∗ convergeant vers f presque partout.

Demonstration. Soit ϕn = |f − gn|. Soit nk telle que

∫ϕnk

dµ ≤ 2−k. On a donc+∞∑k=1

∫ϕnk

dµ < +∞. Le

theoreme de convergence dominee pour les series donne en particulier ϕnk→ 0 p.p.

V. INTEGRALES A PARAMETRE 27

V Integrales a parametre

V.1 Continuite sous l’integrale

Theoreme 9. Soit (X,A, µ) un espace mesure, (Y, d) un espace metrique. Soit f : X × Y → C unefonction telle que

(1) pour tout y ∈ Y , f(·, y) est mesurable.

(2) pour tout x ∈ X, f(x, ·) est continue,

(3) il existe ϕ : X → [0,+∞] d’integrale finie, telle que pour tout (x, y) ∈ X × Y , |f(x, y)| ≤ ϕ(x).

Alors pour tout y ∈ Y , x→ f(x, y) est sommable, et

F (y) :=

∫X

f(x, y)dµ(x)

est une fonction continue sur Y .

Demonstration. Soit y ∈ Y . On a∫X

|f(x, y)|dµ(x) ≤∫X

ϕ(x)dµ(x) < +∞,

donc f(·, y) est sommable. F est donc bien definie. Montrons qu’elle est continue. Soit (yn)n≥1 une suite deY convergent vers y. Pour tout x, f(x, yn) converge vers f(x, y). Par le theoreme de convergence dominee,

limn→+∞

∫X

f(x, yn) existe et vaut

∫X

f(x, y)dµ, cqfd.

V.2 Derivation sous l’integrale

Theoreme 10. Soit (X,A, µ) un espace mesure, I un intervalle ouvert de R, non vide. Soit f : X×I → Cune fonction telle que

(1) pour tout t ∈ I, f(·, t) est mesurable et sommable.

(2) pour tout x ∈ X, f(x, ·) est derivable sur I.

(3) il existe ϕ : X → [0,+∞] d’integrale finie, telle que pour tout (x, t) ∈ X × I, |∂tf(x, t)| ≤ ϕ(x).

Alors pour tout t ∈ I, ∂tf(·, t) est mesurable et sommable sur X. Soit, pour t ∈ I, F (t) :=

∫X

f(x, t)dµ(x).

F est derivable sur I et pour tout t ∈ I,

F ′(t) =

∫X

∂tf(x, t)dµ(x).


Demonstration. On considere une suite quelconque tn ∈ I tendant vers t, telle que tn 6= t pour tout n ∈ N∗.Et on pose

∆n(x, t) =f(x, tn)− f(x, t)

tn − t.

Par l’inegalite des accroissements finis, |∆n(x, t)| ≤ ϕ(x) pour tous (x, t) ∈ X × I. De plus ∆n convergesimplement vers ∂tf . Ceci prouve que ∂tf est sommable. Le theoreme de convergence dominee montre que∫∂tfdµ = lim

n→+∞

F (x, tn)− F (x, t)

tn − t.

Remarque : Par l’inegalite des accroissements finis, on peut supposer dans (1) que f(·, t) est sommable pourune valeur de t, car (3) impliquera qu’elle l’est pour tout t ∈ I. On laisse en exercice la generalisation dutheoreme de derivation dans pour les cas ou l’on doit deriver plusieurs fois sous l’integrale.

Chapitre 3

Comment construire des mesures

La methode la plus generale pour construire des mesures est celle utilisee originellement par Lebesgue, et qui aete amelioree par Caratheodory. On definit la mesure exterieure et interieure d’un ensemble arbitraire. Si ellessont egales, on dit que l’ensemble est mesurable, et on montre que l’application ainsi definie est σ-additive.

I Mesures exterieures

I.1 Applications σ-sous-additives

Definition 1. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X, et µ : A → [0,+∞] une fonction telle queµ(∅) = 0. On dit que µ est σ-sous-additive si pour tout A ∈ A, pour toute suite An ∈ A (n ∈ N∗),

A ⊂+∞⋃n=1

An ⇒ µ(A) ≤+∞∑n=1

µ(An).

Remarque : une application σ-sous-additive est donc croissante.

Definition 2. Une mesure exterieure est une application µ : P(X)→ [0,+∞] σ-sous-additive.

I.2 Mesure exterieure canonique

Proposition 1. Soit X un ensemble, A une famille quelconque de parties de X contenant ∅, et µ : A →[0,+∞] une application telle que µ(∅) = 0. Pour tout E ⊂ X on pose

µ∗(E) = inf

+∞∑k=1

µ(Ak), avec Ak ∈ A et E ⊂⋃k≥1

Ak

,

avec la convention µ∗(E) = +∞ s’il n’existe pas de telle suite Ak. Alors :

(1) µ∗ est une mesure exterieure.

(2) si µ est σ-sous-additive, alors µ∗ prolonge µ.

µ∗ s’appelle la mesure exterieure canonique associee a µ.

29

30 CHAPITRE 3. COMMENT CONSTRUIRE DES MESURES

Demonstration. (1) : soient E et En ⊂ X tels que E ⊂⋃n≥1

En. Soit ε > 0. L’inegalite µ∗(E) ≤+∞∑n=1

µ∗(En)

est evidente si l’un des µ∗(En) est infini. Sinon, pour tout n, il existe une suite (Ak,n)k≥1 telle que En ⊂⋃k≥1

An,k et+∞∑k=1

µ(Ak,n) ≤ µ∗(En)+ε2−n. La famille (Ak,n)k,n≥1 est denombrable et recouvre E, donc pour tout

ε > 0,

µ∗(E) ≤+∞∑n=1

+∞∑k=1

µ(An,k) ≤+∞∑n=1

µ∗(En) + ε2−n =+∞∑n=1

µ∗(En) + ε.

On a bien µ∗(∅) = 0 (prendre Ek = ∅ ∀k), donc µ∗ est une mesure exterieure.

(2) : supposons que µ est σ-sous-additive (sur A), et soit A ∈ A. Pour toute suite Ak de A telle que A ⊂⋃k≥1

Ak,

on a donc µ(A) ≤+∞∑k=1

µ(Ak), ce qui donne µ(A) ≤ µ∗(A). On obtient µ∗(A) ≤ µ(A) en prenant A1 = A et

Ak = ∅ pour k ≥ 1.

Exemple : pour construire la mesure de Lebesgue, on prend X = R, A = les intervalles, µ = leur longeur.Il existera toujours une suite Ak recouvrant tout E ⊂ R : prendre la suite constante Ak = R. Tout ensembleborne aura une mesure exterieur finie, mais il y a enormement d’ensembles de mesure exterieure infinie.

I.3 Lien avec les mesures

Definition 3. Soit X un ensemble et µ une mesure exterieure sur X. Une partie A ⊂ X est µ-mesurable si

∀E ⊂ X, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) = µ(E).

Remarque :X et ∅ sont toujours µ-mesurables. Pour montrer qu’un ensemble E est µ-mesurable, il suffitde verifier que pour tout E ⊂ X tel que µ(E) < +∞, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) ≤ µ(E). En effet, l’inegaliteest triviale si µ(E) = +∞, et l’inegalite inverse est toujours vraie par σ-sous-additivite. Si µ(X) < +∞, laquantite µ(X)−µ(X \E) represente la mesure interieure de E. Un ensemble est donc µ-mesurable si sa mesureinterieure et sa mesure exterieure sont egales. C’est comme ca que Lebesgue definissait les parties mesurablesde [a, b].

Definition 4. Soit µ une mesure exterieure sur un ensemble X. Un ensemble µ-negligeable est une partieA ⊂ X telle que µ(A) = 0. Tout ensemble µ-negligeable est µ-mesurable.

Demonstration. Par croissance, µ(E ∩ A) + µ(E \ A) ≤ µ(A) + µ(E) = µ(E).

Theoreme 1 (de Caratheodory). Soit X un ensemble, µ une mesure exterieure sur X, et A la familledes parties µ-mesurables. Alors A est une σ-algebre, et la restriction de µ a A est une mesure.

Demonstration. Il est clair que A est stable par compementaire et contient ∅. On montre qu’elle est stablepar reunions finies. Soient A1, A2 ∈ A, E ⊂ X et A = A1 ∪ A2. On a

µ(E ∩ A) + µ(E \ A) = µ(E ∩ A ∩ A1) + µ(E ∩ A \ A1) + µ(E \ A)

= µ(E ∩ A1) + µ(E ∩ A2 \ A1) + µ((E \ A1) \ A2) = µ(E ∩ A1) + µ(E \ A1) = µ(E), cqfd.

II. CRITERES DE MESURABILITE 31

En particulier A est aussi stable par difference et intersections finies. Il suffit donc de montrer qu’elle eststable par reunions denombrables disjointes. Soient An ∈ A deux-a-deux disjoints, A leur reunion et E ⊂ X.Pour tout n ∈ N∗, comme An est µ-mesurable,

µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An)) = µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An) \ An) + µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An) ∩ An)

= µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An−1)) + µ(E ∩ An) = · · · =n∑k=1

µ(E ∩ Ak).

Doncn∑k=1

µ(E ∩ Ak) ≤ µ(E ∩ A) pour tout n, ce qui donne+∞∑k=1

µ(E ∩ Ak) ≤ µ(E ∩ A). L’inegalite inverse

est toujours vraie par σ-sous-additivite, donc il y a egalite. En prenant E = X on voit que µ est σ-additive.Comme A1 ∪ · · · ∪ An ∈ A, on a aussi

µ(E) = µ(E ∩ (A1 ∪ · · · ∪ An)) + µ(E \ (A1 ∪ · · · ∪ An))

=n∑k=1

µ(E ∩ Ak) + µ(E \ (A1 ∪ · · · ∪ An)) ≥n∑k=1

µ(E ∩ Ak) + µ(E \ A)→ µ(E ∩ A) + µ(E \ A), cqfd.

Corollaire 1 (de la demonstration). Soit µ une mesure exterieure sur un ensemble X. Pour tout E ⊂ X,l’application A→ µ(A ∩ E) est une mesure sur la tribu des ensembles µ-mesurables.

Remarque : on peut utiliser ce corollaire pour montrer que toute mesure sur une σ-algebre A 6= P(X) peutetre prolongee sur une σ-algebre strictement plus grosse.

II Criteres de mesurabilite

Construire une mesure a partir d’une mesure exterieure n’a d’interret que si la famille des ensembles mesurablesest assez riche. On dispose de deux criteres pour identifier ces ensembles.

II.1 Cas des espaces metriques

Ce critere est le plus important.

Lemme 1 (Critere de Caratheodory). Soit (X, d) un espace metrique, µ une mesure exterieure sur X. Lesboreliens de X sont µ-mesurables si et seulement si pour toutes parties A et B de X telles que d(A,B) > 0,on a µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B).

Remarque : on dit que µ est additive a distance strictement positive.

Demonstration. La condition est necessaire : soit U = x ∈ X t.q. d(x,B) < d(A,B)/2. U est ouvert doncmesurable : µ((A ∪B)) = µ((A ∪B) ∩ U) + µ((A ∪B) \ U). Or (A ∪B) ∩ U = A et (A ∪B) \ U = B, cqfd.La condition suffit : on montre que les fermes F de X sont µ-mesurables. Soit E ⊂ X tel que µ(E) < +∞.Pour n ≥ 1 on pose

Un =x ∈ E t.q. 0 < d(x, F ) <

1

n

, Vn =

x ∈ E t.q. d(x, F ) ≥ 1

n

, et εn = µ∗(Un).

Comme F est ferme, E \ F = Un ∪ Vn. De plus d(E ∩ F, Vn) ≥ d(F, Vn) ≥ 1

n> 0, donc

µ(E ∩ F ) + µ(E \ F ) ≤ µ(E ∩ F ) + µ(Un) + µ(Vn) = µ((E ∩ F ) ∪ Vn) + εn ≤ µ(E) + εn.


Pour tout n on a 0 ≤ εn+1 ≤ εn ≤ µ(E) < +∞. Donc ` = lim εn existe. On montre que ` = 0. Commed(Un \ Un+1, Un+2) ≥ d(Vn+1, Un+2) ≥ 1

n+1− 1

n+2> 0, on a

µ(Un \ Un+1) + µ(Un+2) = µ((Un \ Un+1) ∪ Un+2) ≤ µ(Un).

Donc µ(Un \ Un+1) ≤ εn − εn+2. Par σ-sous-additivite,

εn = µ(Un) = µ

(+∞⋃k=n

Uk \ Uk+1

)≤

+∞∑k=n

µ(Ak \ Ak+1) ≤+∞∑k=n

εk − εk+2 = εn + εn+1 − 2`.

En passant a la limite on a ` = 0.

Corollaire 2. Sous les hypotheses du lemme, la restriction de µ a B(X) est une mesure.

Remarque : ce critere montre qu’en toute generalite, construire une mesure est fortement lie a la naturetopologique de l’espace X. La classe la plus generale d’espaces topologiques sur lesquels on sait construire debonnes mesures sont les espaces polonais (metriques, separables, complets).

II.2 Cas des mesures exterieures canoniques

Lemme 2 (critere de mesurabilite). Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅, µ : A →[0,+∞] telle que µ(∅) = 0, et µ∗ la mesure exterieure canonique associee. Une partie A de X est µ∗-mesurablessi pour tout B ∈ A,

µ∗(A ∩B) + µ∗(B \ A) ≤ µ(B).

Demonstration. Necessite : si A est mesurable, alors µ∗(A ∩ B) + µ∗(B \ A) = µ∗(B), et comme B ∈ A,µ∗(B) ≤ µ(B).Suffisance : soit E ⊂ X tel que µ∗(E) < +∞ et ε > 0. Il existe une suite En ∈ A, recouvrant E, telle que+∞∑n=1

µ(En) ≤ µ∗(E) + ε. Comme µ∗ est σ-sous-additive,

µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \ A) ≤+∞∑n=1

µ∗(En ∩ A) + µ∗(En \ A) ≤+∞∑n=1

µ(En) ≤ µ∗(E) + ε.

Remarque : ce critere n’est pas a retenir, on l’enonce car il nous servira dans des demonstration.

Corollaire 3 (Theoreme d’extension de Caratheodory). Soit X un ensemble, A une famille de parties de Xcontenant ∅, stable par intersections finies et difference, et µ : A → [0,+∞] une application σ-additive. Alorsµ se prolonge en une mesure sur σ(A).

Demonstration. En particulier µ est σ-sous-additive donc µ∗ prolonge µ. Elle est aussi en particulier finimentadditive donc le critere est verifie : tous les elements de A sont mesurables. La restriction de µ∗ a σ(A) estdonc une mesure (theoreme des mesures exterieures), prolongeant µ.

III Unicite des constructions

III.1 Mesures finies

III. UNICITE DES CONSTRUCTIONS 33

Theoreme 2 (d’unicite des mesures I). Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable parintersections finies, et µ et ν deux mesures finies sur σ(A), de meme masse, et egales sur A. Alors ellessont egales sur σ(A).

Remarque :µ et ν peuvent etre egales sur A sans avoir la meme masse. Exemple :

X = 1, 2, 3, A = 1, 1, 2, σ(A) = P(X), µ = δ1, ν = δ1 + δ3.

Demonstration. Soit C la famille des E ∈ σ(A) tels que µ(E) = ν(E). Si E,F ∈ C avec E ⊂ F , on aµ(F \ E) = µ(F ) − µ(E) = ν(F ) − ν(E) = ν(F \ E), et si En est une suite croissante de C, µ(∪En) =limµ(En) = lim ν(En) = ν(∪En). On a donc une classe monotone, et le lemme des classe monotones donneσ(A) ⊂ C.

III.2 Mesures σ-finies

Theoreme 3 (d’unicite des mesures II). Soit X un ensemble, A une famille de parties de X stable parintersections finies, et µ et ν deux mesures σ(A). On suppose que µ = ν sur A, et qu’il existe une suitecroissante Xn ∈ A, de reunion X, telle que µ(Xn) = ν(Xn) < +∞ ∀n. Alors µ = ν.

Demonstration. Les deux mesures E → µ(E ∩Xn) et E → ν(E ∩Xn) sont egales par le theoreme d’unicite I.Puis on fait n→ +∞.

Remarque : Le theoreme ne peut etre vrai en toute generalite pour les mesures infinies. Par exemple, lamesure de Lebesgue et son double sont distinctes, mais egales sur la famille des intervalles du type [a,+∞[,qui engendrent les boreliens.

Chapitre 4

La mesure de Lebesgue et ses corollaires

I La mesure de Lebesgue sur Rd

I.1 Construction par mesure exterieure

Definition 1. Un pave de Rd est un ensemble de la forme P = I1×I2×· · ·×Id, ou les Ik sont des intervalles.On pose Vol(P ) = `(I1) × · · · × `(Id). C’est le volume du pave P . P est un cube si les Ik sont bornes et ontmeme longeur.

Remarque : les intervalles peuvent etre de longeur infinie ou nulle. On utilise la convention 0×∞ = 0.

Definition 2. Soit P la famille des paves.

La mesure exterieure de Lebesgue, notee m, est la mesure exterieure canonique associee a la fonctionVol : P → [0,+∞].

La tribu de Lebesgue L(Rd) est la famille des ensembles m-mesurables. On les appelle les ensemblesmesurables, ou s’il faut preciser, les ensembles mesurables au sens de Lebesgue.

La restriction de m a L(Rd) est la mesure de Lebesgue. On la note encore m.

Remarque : pour d = 1 on la note plutot ` comme longeur. La mesure (exterieure) de Lebesgue d’un ensemble

E ⊂ R est donc la borne inferieure des sommes+∞∑n=1

`(In), ou In est une suite d’intervalles recouvrant E (une

telle suite existe toujours).

I.2 Generalisation du volume

Theoreme 1. Proprietes fondamentales de la mesure de Lebesgue.

(1) m est invariante par translations : pour tout x ∈ Rd, pour tout E ⊂ Rd, m(x+ E) = m(E).

(2) pour tout pave P , m(P ) = Vol(P ).

(3) B(Rd) ⊂ L(Rd).

35

36 CHAPITRE 4. LA MESURE DE LEBESGUE ET SES COROLLAIRES

Lemme 1 (de Borel). La fonction Vol : P → [0,+∞] est σ-sous-additive.

Demonstration. En denombrant les points x d’un intervalle I, de la forme x =k

n, avec k ∈ Z, on voit que

limn→+∞

nCard(I ∩ n−1Z) = `(I) (que I soit borne, non borne, d’interieur vide ou non vide). Donc pour tout

pave Q,lim

n→+∞n−dCard(Q ∩ (n−1Z)d) = vol(Q).

Soit Q un pave, recouvert par une famille (Qk)k≥1 de paves. Si Q est compact, et si les Qk sont ouverts, ilexiste N tel que Q ⊂ Q1 ∪ · · · ∪QN . Par sous-additivite du cardinal, pour tout n ≥ 1,

n−dCard(Q ∩ (n−1Z)d) ≤N∑k=1

n−dCard(Qk ∩ (n−1Z)d).

On fait tendre n→ +∞ et on obtient vol(Q) ≤N∑k=1

vol(Qk) ≤+∞∑k=1

vol(Qk).

Dans le cas general, on choisit un pave compact Qε ⊂ Q tel que vol(Qε) → vol(Q), et des paves ouvertsQεk contenant Qk, tels que vol(Qε

k) = vol(Qk) + ε2−k. On a donc pour tout ε > 0,

vol(Qε) ≤+∞∑k=1

vol(Qk) + ε2−k =+∞∑k=1

vol(Qk) + ε, cqfd.

Preuve du theoreme. (1) : la fonction volume des paves est invariante par translation, donc la mesure exterieurecanonique associee aussi.(2) : par le lemme de Borel, la fonction Vol et la mesure exterieure canonique associee coıncident sur les paves.(3) : on remarque que les boreliens de Rd sont engendres par les paves du type I1 × · · · × Id, avec Ik = Rsauf pour une valeur, pour laquelle Ik est un intervalle du type ]a,+∞[. On demontre par exemple queP =]a,+∞[×Rd−1 est mesurable, pour tout a ∈ R. Soit Q = J1 × · · · × Jd un pave quelconque. On a

Q ∩ P = (J1∩]a,+∞[)× J2 × · · · × Jd et Q \ P = (J1∩]−∞, a])× J2 × · · · × Jd.

Comme J1∩]a,+∞[ et ] − ∞, a] ∩ J1 sont des intervalles disjoints dont la reunion est l’intervalle J1, il estevident que `(J1∩]a,+∞[) + `(J1∩]−∞, a]) = `(J1). On a donc Vol(Q ∩ P ) + Vol(Q \ P ) = Vol(Q). CommeQ ∩ P et Q \ P sont des paves, (2) donne m(P ∩Q) = Vol(P ∩Q) et m(Q \ P ) = Vol(Q \ P ). En particulier,m(P ∩Q) +m(Q \P ) ≤ Vol(Q), pour tout pave Q. Le critere de mesurabilite du chapitre (3) est verife, doncP est bien mesurable.

Remarque : on notera aussi m la restriction de la mesure exterieure de Lebesgue aux boreliens.

I.3 Caracterisation

Theoreme 2. Soit µ une mesure de Borel sur Rd.

(1) si µ est invariante par translations et si µ([0, 1]d) = 1, alors µ = m.

(2) si µ est invariante par translations et µ([0, 1]d) < +∞, alors µ est proportionnelle a m.

I. LA MESURE DE LEBESGUE SUR RD 37

Definition 3. Un cube dyadique est un cube de la forme

d∏i=1

[ki2−n, (ki + 1)2−n[,

avec ki ∈ Z pour tout i ∈ 1, . . . , d, et n ∈ Z.

Proposition 1. Pour tout n ∈ Z, la famille des cubes dyadiques de generation n est une partition de Rd.Pour tous cubes dyadiques P et Q, on a soit P ∩Q = ∅, soit Q ⊂ P , soit P ⊂ Q.

Demonstration. Si x ∈ R verifie k2−n ≤ x < (k + 1)2−n, avec n ∈ Z et k ∈ Z, alors k = [2nx], etreciproquement. Ceci montre que pour tout x ∈ Rd, pour tout n ∈ Z, il existe un unique cube dyadiquede cote 2−n contenant x.

Soient P =d∏i=1

[ki2−n, (ki + 1)2−n[ et Q =

d∏i=1

[ì2−m, (ì + 1)2−m[ deux cubes dyadiques se rencontrant, avec

n < m. Soit x ∈ P ∩Q. Pour tout i ∈ 1, . . . , d,

ki2m−n ≤ 2mxi < (ki + 1)2m−n et ì ≤ 2mxi < ì + 1.

Comme 2m−n est un entier, cela implique que ki2m−n ≤ ì < ì + 1 ≤ (ki + 1)2m−n, i.e. Q ⊂ P .

Lemme 2 (de recouvrement de Whitney). Tout ouvert de U de Rd est reunion denombrable disjointe de cubesdyadiques de cote aussi petit que l’on veut.

Demonstration. Comme U est ouvert, pour tout x ∈ U , il existe un cube dyadique P de cote 2−n assez petit,tel que x ∈ P ⊂ U . On choisit n minimal avec n ≥ 0. P est alors unique, on l’appelle P (x).

Par la proposition, P (x)∩P (y) 6= ∅ ⇒ P (x) ⊂ P (y) ou P (y) ⊂ P (x). Par minimalite, P (x) = P (y). Doncla famille de ces cubes du type P (x) partitionne U . En bissectant, on obtient des cubes de cote aussi petitque l’on veut.

Demonstration du theoreme. (1) : soit c = µ([0, 1[d). On a 0 ≤ c ≤ 1. Pour tout n ∈ N, [0, 1[d est la reuniondisjointe de 2nd cubes dyadiques de cote 2−n. Par invariance par translations, c = µ([0, 1[d) = 2ndµ([0, 2−n[d).On voit donc que pour tout cube dyadique Q de cote ≤ 1, µ(Q) = c × m(Q). Par le lemme de Whitney,µ(U) = c × m(U) pour tout ouvert U . On applique ensuite le theoreme d’unicite des mesures qui donneµ(E) = c×m(E) pour tout E ∈ B(Rd). En particulier

1 = µ([0, 1]d) = c×m([0, 1]d) = c donc m = µ.

(2) : si µ([0, 1]d) = 0, l’invariance par translation donne µ = 0. Sinon, on applique (1) a la mesureµ

µ([0, 1]d).

I.4 Ensembles et fonctions mesurables

Proposition 2 (Regularite de la mesure de Lebesgue). Soit E ∈ L(Rd).

(1) pour tout ε > 0, il existe un ouvert U et un ferme F tels que F ⊂ E ⊂ U et m(U \ F ) < ε.

(2) il existe A,B ∈ B(Rd) tels que A ⊂ E ⊂ B et m(B \ A) = 0.

(3) Regularite exterieure : m(E) = infm(U) avec U ouvert et E ⊂ U.

(4) Regularite interieure : m(E) = supm(K) avec K compact et K ⊂ E.


Demonstration. (1) : pour tout n ≥ 1 soit En = E∩[−n, n]d. En est borne, donc de mesure finie. Par construc-

tion de la mesure de Lebesgue, il existe une suite de cubes (Qk,n)k≥1 recouvrant En, tels que∑k

vol(Qk,n) ≤

m(En) + 2−nε. On choisit un cube ouvert Q′k,n contenant Qk,n, tel que vol(Q′k,n) = vol(Qk,n) + 2−n−kε. Soit

Un =⋃k

Qk,n et U =⋃n Un. U est ouvert, contient E, et

m(U \ E) = m

(⋃n

Un \ En

)≤∑n≥1

m(Un \ En) =∑n≥1

(∑k≥1

vol(Qk,n) + 2−n−kε

)−m(En)

≤∑n≥1

m(En) + 2−nε+ 2−nε−m(En) = 2ε. (4.1)

En appliquant ceci au complementaire on trouve V ouvert avec Rd \ E ⊂ V et m(V \ (Rd \ E)) ≤ 2ε. Enposant F = Rd \ V on a m(E \ F ) = m(E ∩ V ) = m(V \ (Rd \ E)) ≤ 2ε, cqfd.

(2) : pour tout n ∈ N∗ il existe un ouvert Un et un ferme Fn tels que Fn ⊂ E ⊂ Un et m(Un \ Fn) < 1/n.

Soient B =⋂

Un et A =⋃Fn. Ce sont des boreliens tels que A ⊂ E ⊂ B et pour tout n ∈ N∗,

m(B \ A) ≤ m(Un \ Fn) < 1/n→ 0.

(3) : immediat.

(4) : par (1), m(E) = supm(F ) avec F ferme et F ⊂ E. Il suffit donc de montrer (4) pour E ferme. Dans cecas, Kn = E ∩ [−n, n]d est une suite croissante de compacts de reunion E, donc limm(Kn) = m(E), cqfd.

Definition 4. Une fonction f : Rd → C ou [0,+∞] est dite mesurable si elle l’est pour la tribu de Lebesguesur Rd et la tribu de Borel sur C ou [0,+∞].

Remarque : les fonctions mesurables pour les tribus de Lebesgue au depart et a l’arrivee sont un cas particulier.

Proposition 3. Lien entre fonctions mesurables et boreliennes ;

(1) les fonctions boreliennes et les fonctions nulles p.p. sont mesurables.

(2) toute fonction mesurable est la somme d’une fonction borelienne et d’une fonction nulle p.p.

Remarque : on utilisera presque exclusivement les fonctions boreliennes, et la proposition montre qu’on yperd rien. On montre en TD qu’une fonction integrable au sens de Riemann n’est pas forcement borelienne,mais est toujours mesurable.

Demonstration. (1) : on montre qu’une fonction nulle presque partout est mesurable quelle que soit la tribud’arrivee. Soit N ⊂ Rd et f : Rd → C ou [0,+∞] tels que f(x) = 0 pour tout x /∈ N et m(N) = 0. N estnegligeable, donc toute partie de N est mesurable (de mesure nulle). Soit E ⊂ C ou [0,+∞]. Si 0 /∈ E, alorsf−1(E) ⊂ N , donc f−1(E) ∈ LRd). Si 0 ∈ E, alors Rd \ f−1(E) ⊂ N , donc on a aussi f−1(E) ∈ L(Rd).

(2) : il suffit de faire le cas des fonctions f : Rd → [0,+∞] mesurables. Soient An ∈ L(Rd) et an ∈ R+ tels

que f =+∞∑n=1

an1An . Pour tout n ∈ N∗, on choisit un borelien Bn ⊂ An tel que m(An \ Bn) = 0. Alors

g =+∞∑n=1

an1Bn est borelienne, et h =+∞∑n=1

an1An\Bn est nulle p.p. Clairement, f = g + h.

II. GENERALISATIONS DE LA MESURE DE LEBESGUE 39

II Generalisations de la mesure de Lebesgue

II.1 Mesures de Haussdorf

On fixe un espace metrique (X, d). Le diametre d’une partie E non vide de X est

diam(E) = supd(x, y) avec (x, y) ∈ E2

∈ [0,+∞].

Par convention diam(∅) = 0. On sait bien mesurer des distances sur un espace metriques. Pour mesurer deslongeur (de courbes par exemples), des aires. . . on utilise les mesures de Hausdorf.

Definition 5. Soit ϕ : R+ → R+ une fonction quelconque telle que ϕ(0) = 0 (on l’appelle la jauge), et(X, d) un espace metrique. Soit Aε la famille des parties de X de diametre ≤ ε et µε : Aε → [0,+∞]definie par µε(E) = ϕ(diam(E)). Soit Hε la mesure exterieure canonique associee a µε. On rappelle qu’elleest definie pour tout E ⊂ X par

Hε(E) = inf +∞∑n=1

ϕ(diam(En)), ou (En)m∈N∗ est un recouvrement de E tel que diam(En) ≤ ε ∀n ∈ N∗.

La fonction ε → Hε(E) est decroissante. On pose H(E) := limε→0Hε(E) = sup

ε>0Hε(E). H est une mesure

exterieure sur X et une mesure sur B(X), appelee mesure de Haussdorf pour la distance d et la jauge ϕ.

Demonstration. Si ε < ε′, on a Aε ⊂ Aε′ , donc ε → Hε est bien decroissante. La borne superieure d’unefamille de mesures exterieure en est une (exo). Il reste a demontrer que les boreliens sont H-mesurables.Soient A,B ⊂ X tels que d(A,B) > 0. Soit ε tel que 0 < ε < d(A,B). On se fixe un recouvrement (En)n≥1

de A ∪B avec diam(En) ≤ ε pour tout N ∈ N∗, tel que

+∞∑n=1

ϕ(diam(En)) ≤ Hε(A ∪B) + ε.

Soit I l’ensemble des indices k tels que Ek rencontre A, et J l’ensemble des indices ` tels que E` rencontre B.Comme d(A,B) > ε, on a I ∩ J = ∅, et la famille (Ek)k∈I est un ε-recouvrement de A et la famille (E`)`∈J estun ε-recouvrement de B. Donc

Hε(A) +Hε(B) ≤∑k∈I

ϕ(diam(Ek)) +∑`∈J

ϕ(diam(E`)) =∑n∈I∪J

ϕ(diam(En)) ≤ Hε(A ∪B) + ε.

En faisant ε→ 0 on a H(A) +H(B) ≤ H(A ∪B), et l’inegalite inverse decoule de la sous-additivite.

Remarque : on peut se convaincre facilement en faisant un dessin que mesurer la longeur d’une courbe revient aprendre la jauge ϕ(r) = r. Les jauges utilisees en pratique sont les fonctions puissance r → rα, avec 0 < α ≤ d.

II.2 Proprietes des mesures de Haussdorf

Proposition 4. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces metriques, ϕ : R+ → R+ telle que ϕ(0) = 0. Soit Hla mesure de Haussdorf sur X pour la distance d et la jauge ϕ, et H′ la mesure de Haussdorf sur Y pour ladistance δ et la jauge ϕ. Si f : X → Y est une isometrie, alors pour tout E ⊂ X on a H′(f(E)) = H(E).


Demonstration. on a diam(f(E)) = diam(E).

Proposition 5. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces metriques, ϕ : R+ → R+ croissante telle que ϕ(0) = 0.Soit K > 0 et ψ : R+ → R+ definie par ψ(r) = ϕ(Kr). Soit H′′ la mesure de Haussdorf sur X pour ladistance d et la jauge ψ, et H′ la mesure de Haussdorf sur Y pour la distance δ et la jauge ϕ. Si f : X → Yest K-lipschitzienne, alors pour tout E ⊂ X on a H′(f(E)) ≤ H′′(E).

Demonstration. on a diam(f(E)) ≤ Kdiam(E).

Corollaire 1. Les mesures de Haussdorf sur Rd associees a une norme quelconque et la jauge ϕ(r) = rα avecα > d, sont identiquement nulles.

Demonstration. Soit H la mesure de Haussdorf consideree. Elle est invariante par translations car les trans-lations sont des isometries. Il suffit donc de voir que H([0, 1]d) = 0. Or, [0, 1]d est la reunion de 2nd cubes decote 2−n, donc de diametre c2−n, ou c est la diametre du cube unite pour la norme consideree. Donc, avec lesnotations de la definition,

Hc2−n([0, 1]d) ≤2nd∑i=1

(c2−n)α = cα2(d−α)n.

Le membre de gauche tend vers H([0, 1]d) et le membre de droite vers 0, lorsque n→ +∞.

II.3 Definition alternative de la mesure de Lebesgue

Theoreme 3. Pour tout x ∈ Rd, soit ‖x‖∞ = max|x1|, . . . , |xd|.

(1) La mesure de Haussdorf sur Rd pour la jauge ϕ(r) = rd et la norme ‖·‖∞ est la mesure de Lebesgue.

(2) Si on prend la meme jauge mais une norme arbitraire, on obtient un multiple non nul de m.

Lemme 3. Soit E ⊂ Rd borne. Il existe un cube P contenant E, de meme diametre pour la norme ‖·‖∞.

Demonstration. Soit δ = diamE. Pour tout 1 ≤ i ≤ d, soit ai = infxi avec x = (x1, . . . , xd) ∈ E. On aai ≤ xi = ai + xi − ai ≤ ai + δ. Donc P = [a1, a1 + δ]× · · · × [ad, ad + δ] convient.

Demonstration. Comme la distance consideree est une norme, les translations sont des isometries. Les mesuresde Haussdorf correspondantes sont donc invariantes par translations.(1) : il s’agit de voir que H([0, 1]d) = 1. Soit ε > 0 et En une suite de parties de Rd recouvrant [0, 1]d, dediametre ≤ ε. Par le lemme, m(En) ≤ (diam(En))d, ce qui donne

1 = m([0, 1]d) ≤+∞∑n=1

m(En) ≤+∞∑n=1

(diam(En))d.

Ceci montre que 1 ≤ Hε([0, 1]d) pour tout ε > 0, et en passant a la limite on obtient 1 ≤ H([0, 1]d). Pourl’inegalite inverse, on remarque que pour tout n ∈ N∗, [0, 1]d est partitionne en nd cubes de cote 1/n. On a

donc H 1n([0, 1]d) ≤

nd∑k=1

(1/n)d = 1. Puis on fait n→ +∞.

(2) : il s’agit de voir que 0 < H([0, 1]d) < +∞. La norme N utilisee est equivalente a la norme ‖·‖∞. Il existec ∈ R∗+ tel que

c−1 × ‖x‖∞ ≤ N(x) ≤ c‖x‖∞


pour tout x ∈ Rd. Autrement dit, l’application identite est c-lipschitzienne de (Rd, ‖·‖∞) dans (Rd, N), ainsique son inverse. On a donc

1 = m([0, 1]d) ≤ cdH([0, 1]d) et H([0, 1]d) ≤ cdm([0, 1]d) = cd,

soit c−d ≤ H([0, 1]d) ≤ cd.

Corollaire 2. On rappelle que les isometries euclidiennes de Rd sont les composees de translations, rotationset symetries orthogonales.

(1) la mesure de Lebesgue est invariante isometries euclidiennes.

(2) si 1 ≤ k < d, pour tout E ⊂ Rk et toute f : E → Rd lipschitienne, f(E) est negligeable.

(3) tout sous-espace vectoriel et toute sous-variete de Rd de dimension 1 ≤ k < d est negligeable.

Demonstration. (1) : prendre la norme euclidienne.(2) : par les propriete des mesures de Haussdorf on a m(f(E)) ≤ CdH(E), ou H est la mesure de Haussdorfsur Rk pour la jauge ϕ(r) = rd. Or H est identiquement nulle puisque k < d.(3) : soit E un sous-espace vectoriel de Rd de dimension 1 ≤ k < d. Il existe f : Rk → Rd lineaire telle queE = f(Rk). Comme f est en particulier lipschitzienne, on a m(E) = m(f(Rk)) = 0. Soit M une sous-varietede Rd de dimension k. M est localement l’image d’un ouvert de Rk par une fonction de classe C1. Une tellefonction est lipschitzienne si l’ouvert est suffisamment petit.

Definition 6. Si E est un espace affine euclidien de dimension d, la mesure de Lebesgue est l’unique mesurede Borel sur E, invariante par translations, telle que la mesure des boules de E, soit la mesure des bouleseuclidiennes de Rd de meme rayon.

Demonstration. On doit montrer l’existence et l’unicite. Soit f : E → Rd une isometrie affine. La mesure imagede m par f convient. Reciproquement, si µ convient, sa mesure image par f−1 est invariante par translation,et est egale a m sur les boules euclidiennes. Elle est en particulier finie sur [0, 1]d, donc proportionnelle a m.Le coefficient de proportionalite ne peut etre que 1.

Remarque : on parlera donc de la mesure de Lebesgue sur un sous-espace vectoriel E de Rd. Elle n’a rien avoir avec la mesure de Lebesgue sur Rd.

II.4 Longeur, aire, surface de parties courbees de Rd

Definition 7. On munit Rd de sa norme euclidienne canonique ‖x‖2 =√x2

1 + · · ·+ x2d. Pour k ∈

1, . . . , d, on designe par Hk la mesure de Haussdorf sur Rd, pour la distance euclidienne et la jaugeϕ(r) = ckr

k, ou ck est une constante de renormalisation choisie de sorte que Hk([0, 1]k × 0d−k) = 1.Pour k = d on a la mesure de Lebesgue , donc on utilisera la notation m. Pour k = 1, on notera plutotcette mesure ` comme longeur.

Demonstration de l’existence de ck. Soit E = [0, 1]k×0d−k, µ la mesure de Haussdorf sur Rd, pour la distanceeuclidienne et la jauge ϕ(r) = rk, et ν la meme mais sur Rk. On sait que ν est un multiple non nul de la mesurede Lebesgue sur Rk. L’application x→ (x, 0) est isometrique de Rk dans Rd, donc µ(E) = ν([0, 1]k) ∈]0,+∞[.Il suffit de poser ck = ν([0, 1]k)−1.


Remarque : contrairement au cas k = d, les mesures changent si on prend une autre norme. Comme on achoisi la norme euclidienne, Hk est invariante par isometries affines, mais ce ne serait pas le cas sinon. Toutborelien E de Rd a donc une longeur, une aire, un volume. . .Exemple 1 : soit C le cercle unite de R2. On a `(C) = 2π et H2(C) = 0 (l’aire d’un cercle est nulle). Parcontre si D est le disque unite, on a `(D) = +∞ et H2(D) = π.Exemple 2 : soit S la sphere unite de R3. On a `(S) = +∞, H2(S) = 4π et H3(S) = 0. Si B est la bouleunite de R3, on a H1(B) = +∞, H2(B) = +∞ et H3(B) = 4π/3.Exemple 3 : Soit γ : [a, b]→ Rd un arc parametre de classe C1, et Γ son image dans Rd. Exo: on a

`(Γ) ≤∫ b

a

‖γ′(t)‖dt.

Faire un dessin. On montrera plus tard qu’il y a egalite si γ est un arc regulier sans points doubles.Remarque : exo : pour tout E ⊂ Rd, il existe au plus une valeur reelle 0 < s ≤ d telle que 0 < Hs(E) < +∞(c’est la dimension de Haussdorf de E). Ce n’est pas forcement un entier.

Proposition 6. Soit k ∈ 1, . . . , d et C ∈ R∗+.

(1) pour toute application C-lipschitzienne f : Rd → Rd, Hk(f(E)) ≤ CkHk(E).

(2) Hk est invariante par translations, rotations et symetries, et est k-homogene.

(3) la restriction de Hk aux sous-espaces affines de dimension k est la mesure de Lebesgue.

Demonstration. (1) : deja fait.(2) : isometries deja fait. Si t ∈ R∗+, x → tx est t-Lipschitzienne, et son inverse est t−1-Lipschitzienne. Doncpour tout E ⊂ Rd,

Hk(tE) ≤ tkHk(E) et Hk(E) = Hk(t−1(tE)) ≤ t−kHk(tE).

(3) : Hk est invariante par translations et Hk([0, 1]k × 0d−k) = 1. Sa restriction a Rk × 0d−k est donc lamesure de Lebesgue. Tout sous-espace affine de Rd de dimension k est isometrique a Rk × 0d−k, cqfd.

II.5 Mesures de Lebesgue-Stieljes

Les mesures les plus interessantes sur R sont celles pour lesquelles les fonctions continues sont integrableslocalement, c’est-a-dire sur tout intervalle borne. Autrement dit la mesure de tout ensemble borne est finie.

Proposition 7. Soit µ une mesure de Borel sur R finie sur les ensembles bornes. Il existe une fonctionϕ : R → R, unique a constante additive pres, telle que µ(]a, b]) = ϕ(b) − ϕ(a) pour tous (a, b) ∈ R2 tels quea < b. Une telle fonction est necessairement croissante et continue a droite.

Demonstration. Pour tout 0 ≤ x < +∞ on pose ϕ(x) = µ(]0, x]) et pour tout −∞ < x ≤ 0, ϕ(x) = −µ(]x, 0]).Si 0 ≤ a < b < +∞, on a ϕ(b) − ϕ(a) = µ(]0, b]) − µ(]0, a]) = µ(]a, b]). De meme si −∞ < a < b ≤ 0,ϕ(b) − ϕ(a) = −µ(]b, 0]) + µ(]a, 0]) = µ(]a, b]), et enfin si a ≤ 0 ≤ b, ϕ(b) − ϕ(a) = µ(]0, b]) − (−µ(]a, 0])) =µ(]a, b]).

L’unicite est immediate : si ψ est un autre candidat, ϕ(b)− ϕ(a) = ψ(b)− ψ(a) pour tous (a, b) ∈ R2 telsque a < b, donc ϕ − ψ est constante. Comme µ ≥ 0, ϕ est necessairement croissante. De plus, si bn est unesuite tendant vers b en decroissant, l’intersection des ]a, bn] est ]a, b], et comme µ(]a, bn]) < +∞, on a

ϕ(b)− ϕ(a) = µ(]a, b]) = limn→+∞

µ(]a, bn]) = limn→+∞

ϕ(bn)− ϕ(a),

ce qui donne la continuite a droite.


Remarque : pour µ = δ0, la fonction de Heavyside ϕ = 1R+ convient. On voit que ϕ n’est pas continue agauche. Si µ est une mesure finie, sa fonction de repartition, definie par ϕ(x) = µ(]−∞, x]), convient.

Theoreme 4. Soit ϕ : R → R croissante, continue a droite. Il existe une unique mesure de Borel µ surR telle que pour tout a, b ∈ R avec a < b,

µ(]a, b]) = ϕ(b)− ϕ(a).

Cette mesure s’appelle la mesure de Lebesgue-Stieljes associee a ϕ, ou mesure derivee de ϕ, notee dϕ.

Remarque : on verifiera facilement que

µ([a, b]) = ϕ(b)− ϕ(a−), µ([a, b[) = ϕ(b−)− ϕ(a−), µ(]a, b[) = ϕ(b−)− ϕ(a), µ(a) = ϕ(a)− ϕ(a−).

Si ϕ est de classe C1, alors µ est la mesure a densite ϕ′(t)dt, puisque

∫ b

a

ϕ′(t)dt = ϕ(b)− ϕ(a).

Remarque : pour les besoins de la demonstration, on prolonge la mesure de Lebesgue a [−∞,+∞] en posantm(±∞) = 0. Autrement dit, c’est la mesure image de la mesure de Lebesgue sur R, par l’inclusion canoniquede R dans [−∞,+∞].

Demonstration. Le theoreme d’unicite s’applique. Pour tout y ∈ R on pose

Iy = x ∈ R t.q. ϕ(x) ≥ y = ϕ−1([y,+∞[).

Comme ϕ est croissante, Iy est un intervalle (eventuellement vide). Soient ` = inf ϕ,L = supϕ ∈ [−∞,+∞].Pour tout y > L on a Iy = ∅ et pour tout y ≤ ` on a Iy = I. Si ` < y ≤ L, Iy est un intervalle non vide minore(car ϕ est continue a droite) et infini a droite. On definit ψ :]`, L] → R en posant ψ(y) = min(Iy), de sorteque Iy = [ψ(y),+∞[. C’est une fonction croissante, donc borelienne.

Soient a, b ∈ I avec a < b. Pour tout y ∈]`, L[, on a par definition de ψ, a < ψ(y) ≤ b si et seulementsi a /∈ Iy et b ∈ Iy, i.e. ϕ(a) < y ≤ ϕ(b). Donc ψ−1(]a, b]) =]ϕ(a), ϕ(b)]. La mesure image de la mesure deLebesgue sur ]`, L] par ψ convient, puisque par definition,

µ(]a, b]) = m(ψ−1(]a, b])) = m(]ϕ(a), ϕ(b)]) = ϕ(b)− ϕ(a).

Corollaire 3. Soient a, b ∈ R tels que a < b et ϕ : [a, b] → R+ croissante et continue a droite. Il existe uneunique mesure de Borel µ sur [a, b] telle que

µ([a, x]) = ϕ(x)

pour tout x ∈ [a, b].

Remarque : on a µ([a, b]) = ϕ(b) < +∞ donc µ est finie.

Demonstration. Prolonger ϕ sur R par ϕ(a) et ϕ(b). Soit ν la mesure derivee. Alors la restriction de ν+ϕ(a−)δaa [a, b] convient. Le theoreme d’unicite s’applique.

Chapitre 5

Integration et derivation sur un intervalle [a, b]

Dans ce chapitre [a, b] designera un intervalle compact de R. Les fonctions f : [a, b]→ [0,+∞] ou C considereesseront boreliennes ou mesurables au sens de Lebesgue, sommables par rapport a la mesure de Lebesgue.

L’integrale sera notee

∫ b

a

f(t)dt au lieu de

∫[a,b]

fdm.

I Integration sur [a, b].

I.1 Fonctions mesurables bornees

Theoreme 1 (Inegalite de la moyenne). Si f : [a, b] → R est mesurable et bornee, alors f est sommablesur [a, b], et

(b− a) inft∈[a,b]

f(t) ≤∫ b

a

f(t)dt ≤ (b− a) supt∈[a,b]

f(t)

Remarque : il y a des fonctions sommables non bornees.

Demonstration. On a

∫ b

a

|f(t)|dt ≤∫ b

a

sup|f |dt = (b− a)sup|f | < +∞ donc f est sommable. Soit M = supf

et m = inff . Pour tout t ∈ [a, b],

m ≤ f(t) ≤M donc m(b− a) =

∫ b

a

mdt ≤∫ b

a

f(t)dt ≤∫ b

a

Mdt = M(b− a).

Definition 1. la moyenne d’une fonction f : [a, b]→ C sommable est1

b− a

∫ b

a

f(t)dt.

Proposition 1. Soit f : [a, b]→ C une fonction arbitraire, et N l’ensemble de ses points de discontinuite. SiN est denombrable, alors f est borelienne. Si N est negligeable, alors f est mesurable.

Remarque : donc si f est de plus bornee, elle est sommable. On rappelle que dire que f est continue en toutpoint de [a, b] \N n’equivaut pas a f continue sur [a, b] \N , sauf si N est ferme (et par exemple finie).

45

46 CHAPITRE 5. INTEGRATION ET DERIVATION SUR UN INTERVALLE [A,B]

Demonstration. Soit U un ouvert de C et E = f−1(U). Pour tout x ∈ E \ N , f est continue en x, donc ilexiste un voisinage ouvert V (x) de x tel que f(y) ∈ U pour tout y ∈ V (x), i.e. V (x) ⊂ E. On a donc

E = (E ∩N) ∪

⋃x∈E\N

V (x)

.

E ∩N est une partie de N , donc denombrable ou de mesure nulle, et le second terme est un ouvert.

Corollaire 1. Soit f : [a, b]→ C une fonction bornee. Si f est continue sauf en un nombre fini de points (enparticulier si f est continue par morceaux), monotone, ou monotone par morceaux, alors f est sommable. Laderivee d’une fonction derivable est borelienne.

Remarque : une fonction continue sauf en un nombre fini de points n’est pas forcement continue par morceaux,meme si elle est bornee.

Definition 2. Une fonction f : [a, b] → C est dite reglee si elle a une limite finie a droite en tout pointx ∈ [a, b[ et une limite finie a gauche en tout point x ∈]a, b].

Lemme 1. Soit f : [a, b] → R reglee. Pour tout ε > 0, il existe deux fonctions g et h en escalier sur [a, b]telles que g ≤ h ≤ h et ‖h− g‖∞ ≤ ε.

Remarque : en particulier une fonction reglee est bornee, ce qui peut se montrer directement.

Demonstration. Soit ε > 0 et I l’ensemble des x ∈ [a, b] tel que la propriete soit verifiee sur [a, x]. I estclairement un intervalle contenant a.→ I contient un voisinage de a : comme f admet une limite ` quand x → a+, il existe a < x0 < b tel quepour tout a < y < x0, |f(y)− `| < ε/2. On definit g et h sur [a, x0] par g(a) = h(a) = f(a), g(y) = inf ]a,x0] fet h(y) = sup]a,x0] f pour a < y ≤ x0. Les deux fonctions g et h sont en escalier et on a bien g ≤ f ≤ h et|h(y)− g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x0].→ on a sup(I) = b : supposons par l’absurde que x := sup(E) ∈]a, b[. Par hypothese, f admet une limitea gauche ` et une limite a droite L en x. Soient a < x1 < x < x2 < b tels que |f(y) − `| < ε/2 pour touty ∈ [x1, x[ et |f(y)−L| < ε/2 pour tout y ∈]x, x2]. Comme x1 < x, il existe g et h en escalier sur [a, x1] tellesque

g ≤ f ≤ h et |h(y)− g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x1].

On prolonge g et h sur ]x1, x2] en posant g(y) = inf]x1,x[

f et h(y) = sup]x1,x[

f pour x1 < y < x, g(x) = h(x) = f(x),

g(y) = inf ]x,x2] f et h(y) = sup]x,x2] f pour x < y ≤ x2. Alors g et h sont en escalier, g ≤ f ≤ h et ‖h− g‖∞ ≤ εsur [a, x2]. On a donc x2 ∈ I et x2 > x = sup(I), une contradiction.→ I = [a, b] : soit ` la limite a gauche de f en b, et x3 ∈]a, b[ tel que |f(y) − `| < ε/2 pour tout x3 < y < b.Comme x3 < b on a x3 ∈ I, donc il existe g et h en escalier sur [a, x3], telles que

g ≤ f ≤ h et |h(y)− g(y)| ≤ ε pour tout y ∈ [a, x3].

On prolonge g et h en posant g(y) = inf]x3,b[

f et h(y) = sup]x3,b[ pour x3 < y < b, et g(b) = h(b) = f(b). Alors g

et h sont en escalier, g ≤ f ≤ h et ‖h− g‖∞ ≤ ε sur [a, b].

Corollaire 2. Toute fonction reglee f : [a, b]→ C est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier.

Remarque : c’est en fait une definition equivalente des fonctions reglees.

Corollaire 3. Toute fonction reglee f : [a, b]→ C admet un nombre au plus denombrable de discontinuites.

I. INTEGRATION SUR [A,B]. 47

Remarque : donc les fonctions reglees sont sommables.

Demonstration. Soit fn : [a, b]→ C en escalier convergeant uniformement vers f . La reunion N des points dediscontinuite des fn est denombrable. Soit x ∈ [a, b] \N et ε > 0. Soit n ∈ N∗ tel que ‖fn − f‖∞ < ε. Commefn est constante au voisinage de x, il existe un voisinage V (x) de x tel que pour tout y ∈ V (x), fn(y) = fn(x).Pour tout y ∈ V (x), on a donc

|f(y)− f(x)| ≤ |f(y)− fn(y)|+ |fn(y)− fn(x)|+ |fn(x)− f(x)| ≤ ‖f − fn‖∞ + 0 + ‖f − fn‖∞ < 2ε.

Definition 3. Une fonction f : [a, b]→ R est integrable au sens de Riemann si pour tout ε > 0, il existe u, v

en escalier sur [a, b] telles que u ≤ f ≤ v et

∫ b

a

|v(t)− u(t)|dt < ε. Une fonction f : [a, b]→ C est integrable

au sens de Riemann si ses parties reelles et imaginaires le sont.

Proposition 2. Une fonction bornee f : [a, b] → C est integrable au sens de Riemann si et seulement si ilexiste N ⊂ [a, b] de mesure de Lebesgue nulle tel que f est continue en tout x ∈ [a, b] \N .

Demonstration. Il suffit de considerer les fonction reelles. Soit un et vn deux suites de fonctions en escalier

telles que un ≤ f ≤ vn et

∫ b

a

|vn(x)− un(x)|dx ≤ 2−n. Alors par convergence monotone,

∫ b

a

+∞∑n=1

|vn(x)− un(x)|dx < +∞,

donc vn − un tend vers 0 presque partout. Soit N de mesure de Lebesgue nulle tel que vn(x) − un(x) → 0pour tout x /∈ N . Quitte a ajouter N un ensemble denombrable, on peut supposer que un et vn sont continues(donc localement constantes) en chaque point de [a, b] \N .

On montre que f est continue en chaque point x /∈ N . Soit ε > 0 et x /∈ N . Pour tout y ∈ [a, b] et toutn ∈ N∗, on a

|f(y)− f(x)| ≤ |f(y)− un(y)|+ |un(y)− un(x)|+ |un(x)− f(x)|≤ |vn(y)− un(y)|+ |un(y)− un(x)|+ |vn(x)− un(x)|.

Comme x /∈ N , il existe n tel que |vn(x)− un(x)| < ε. Comme un et vn sont constantes au voisinage de x, ilexiste η > 0 tel que pour tout |y − x| < η, on a un(y) = un(x) et vn(y) = vn(x). On a donc

|f(y)− f(x)| ≤ |vn(x)− un(x)|+ 0 + |vn(x)− un(x)| < 2ε.

Reciproque admise (TD).

Corollaire 4. Les fonctions integrable au sens de Riemann sont integrables au sens de Lebesgue.

I.2 Integrale indefinie

Definition 4. Soit (X,A, µ) un espace mesure et f : X → [−∞,+∞] mesurable. On dit que f a une integraleconvergente dans [−∞,+∞] si f+ = max(f, 0) ou si f− = max(−f, 0) a une integrale finie. Dans ce cas onpose ∫

X

dµ =

∫X

f+dµ−∫X

f−dµ ∈ [−∞,+∞].


Remarque : on verifiera que l’integrale ainsi definie est lineaire.

Definition 5. Soit f : [a, b] → [−∞,+∞] mesurable, d’integrale convergente dans [−∞,+∞]. L’integraleindefinie de f est la fonction F : [a, b]→ [−∞,+∞] definie par

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt :=

∫[a,x]

fdm.

Remarque : ce n’est pas une primitive, car F n’est pas forcement derivable.

Proposition 3. Soit f : [a, b]→ [−∞,+∞] mesurable, d’integrale convergente dans [−∞,+∞]. Son integraleindefinie F est continue a gauche. Si f+ et f− ont une integrale finie, alors F est continue.

Demonstration. Il suffit de faire le cas ou f est positive, et d’appliquer le resultat a f+ et f−. Soit f : [a, b]→[0,+∞] mesurable, F son integrale indefinie et µ la mesure de densite f par rapport a la mesure de Lebesgue.On rappelle que pour tout E ⊂ [a, b] mesurable,

µ(E) =

∫ b

a

1E(t)f(t)dt,

et que pour tout x ∈ [a, b], F (x) = µ([a, x]) = µ([a, x[) (la mesure de Lebesgue d’un point etant nulle). Fest croissante, donc admet des limites a droite et a gauche en tout point. Soit xn ∈]a, b] une suite strictement

croissante, convergeant vers x ∈]a, b]. Alors⋃n

[a, xn[= [a, x[, donc

F (x−) = limn→+∞

µ([a, xn[) = µ([a, x[) = F (x),

ce qui prouve que F est continue a gauche. Supposons que f a une integrale finie. Si xn est une suite

strictement decroissante convergeant vers x ∈ [a, b[,⋂n

[a, xn] = [a, x], et µ est une mesure finie (de masse∫ b

a

f(t)dt < +∞), donc F (x+) = limn→+∞

µ([a, xn]) = µ([a, x]) = F (x), et F est continue a droite.

Remarque : si f est mesurable et bornee, F est lipschitzienne. Si f est continue, F est de classe C1. Si f estreglee, F est derivable a droite et a gauche.

I.3 Approximation des fonctions sommables

Pour la definition des fonctions semi-continues, voir chapitre 2.

Proposition 4. Soit a, b ∈ R avec a < b et f : [a, b] → R une fonction sommable. Pour tout ε > 0, il existeune fonction s.c.s u et une fonction s.c.i v telles que

u ≤ f ≤ v et

∫ b

a

|v(t)− u(t)|dt < ε.

Remarque : on rappelle que u est a valeurs dans [−∞,+∞[ et v dans ] −∞,+∞], donc la difference v − u

est bien definie, est une fonction borelienne positive. Comme

∫ b

a

|v(t)− u(t)|dt < +∞, on a u et v finies p.p.

Une fonction sommable n’etant pas necessairement bornee, on ne peut pas supposer que u et v sont continuesen general.


Demonstration. Il suffit de faire le cas des fonctions positives, car la somme de fonctions s.c.i (ou s.c.s) le reste,et car l’oppose d’une fonction s.c.i est s.c.s. Soit Ak ⊂ [a, b] une suite d’ensembles mesurables, et ak ∈ R∗+ telsque

f =+∞∑k=1

ak1Ak.

Soit ε > 0. On choisit un ferme Fk et un ouvert Uk (de [a, b]) tels que Fk ⊂ Ek ⊂ Uk et m(Uk \ Fk) <ε

2kαk.

Soit, pour tout n ∈ N∗, un =n∑k=1

αk1Fket v =

+∞∑k=1

αk1Uk. Comme v est une serie de fonctions s.c.i positives,

elle est s.c.i, et comme un est une somme finie de fonctions s.c.s, elle est s.c.s. On a clairement un ≤ f ≤ v.

De plus v − un =n∑k=1

ak1Uk\Fk+∑k>n

ak1Uk, et comme Uk ⊂ (Uk \ Fk) ∪ Ak,

∫ b

a

|v(t)− un(t)|dt ≤+∞∑k=1

akm(Uk \ Fk) +∑k>n

akm(Ak) < ε+∑k>n

akm(Ak).

La serie+∞∑k=1

akm(Ak) est finie (de somme

∫ b

a

f(t)dt), donc le membre de droite est < 2ε si n est assez grand.

Proposition 5. Soit f : [a, b] → C sommable. Pour tout ε > 0, il existe u : [a, b] → C continue telle que∫ b

a

|f(t)− u(t)|dt < ε.

Demonstration. Soit E ⊂ [a, b] mesurable. Soit U ouvert et F ferme tels que F ⊂ E ⊂ U et m(U \ F ) < ε.Soit la fonction g definie pour t ∈ [a, b] par

g(t) =d(t, [a, b] \ U)

d(t, F ) + d(t, [a, b] \ U),

ou d est la fonction distance a un ensemble. Elle est bien definie et continue, car la numerateur ne s’annulepas (F et [a, b] \ U sont fermes et disjoints). On a g(t) = 0 si t /∈ U et g(t) = 1 si t ∈ F , donc∫ b

a

|1E(t)− g(t)|dt =

∫U\F|1E(t)− g(t)|dt ≤ m(U \ F ) < ε.

On a donc le resultat pour les fonctions indicatrices, et donc pour leur combinaisons lineaires.

Si f : [a, b] → R+ est sommable, on ecrit f =+∞∑k=1

ak1Akavec Ak ⊂ [a, b] mesurable et αk > 0. On a∫ b

a

f(t)dt =+∞∑k=1

akm(Ak) < +∞. Soit ε > 0 et n ∈ N∗ tel que∑k>n

αkm(Ek) < ε, et g : [a, b] → R+ continue

telle que

∫ b

a

∣∣∣∣∣g −n∑k=1

ak1Ak

∣∣∣∣∣ < ε. On a

∫ b

a

|f − g| < 2ε. Dans le cas general ou f est a valeurs complexes, on

applique le resultat aux quatre fonctions positives et sommables Re(f)± et Im(f)±.


I.4 Compensations dans les integrales

Le phenomene de compensation dans les integrales se rencontre notamment dans les series de Fourier. Onintegre des fonctions oscillant enormement, et le resultat de l’integration est cense etre petit, ce qui ne se voitpas du tout en utilisant l’inegalite triangulaire et l’inegalite de la moyenne.

Theoreme 2 (second theoreme de la moyenne). Soient u : [a, b]→ R monotone et v : [a, b]→ R sommable.Il existe x ∈ [a, b] tel que ∫ b

a

u(t)v(t)dt = u(a)

∫ x

a

v(t)dt+ u(b)

∫ b

x

v(t)dt.

Demonstration. Soient m = infx∈[a,b]

∫ x

a

v(t)dt et M = supx∈[a,b]

∫ x

a

v(t)dt et ε > 0. L’application x →∫ x

a

|v|

est continue, donc uniformement continue sur [a, b]. On choisit η > 0 tel que

∫ y

x

|v(t)|dt < ε pour tous

(x, y) ∈ [a, b]2 tels que |x − y| < η. Soit t0 = a < t1 < · · · < tn = b une subdivision de [a, b] de pas < η. Onpose pour tout t ∈ [a, b] et n ∈ N∗,

w(t) =u(t)− u(b)

u(a)− u(b)et In =

n−1∑k=0

w(tk+1)

∫ tk+1

tk

v(t)dt.

Comme w est decroissante et positive, on a∣∣∣∣∫ b

a

w(t)v(t)dt− In∣∣∣∣ ≤ n−1∑

k=0

∫ tk+1

tk

|w(tk+1)− w(t)||v(t)|dt ≤ εn−1∑k=0

(w(tk)− w(tk+1)) = ε(w(t0)− w(tn)) = ε.

Or, grace a un changement d’indice (on rappelle que w(b) = 0),

In =n−1∑k=0

w(tk+1)

∫ tk+1

a

v(t)dt−n−1∑k=0

w(tk+1)

∫ tk

a

v(t)dt =n∑k=1

w(tk)

∫ tk

a


w(tk+1)

∫ tk

a

v(t)dt

=n−1∑k=0

w(tk)

∫ tk

a


w(tk+1)

∫ tk

a

v(t)dt =n−1∑k=0

(w(tk)− w(tk+1))

∫ tk

a

v(t)dt,

(5.1)

donc In ≤n−1∑k=0

(w(tk)−w(tk+1))M = M(w(a)−w(b)) = M, et de meme In ≥ m. Finalement en faisant tendre

ε vers 0 on trouve m ≤∫ b

a

w(t)v(t)dt ≤M . Il existe donc x ∈ [a, b] tel que

∫ b

a

w(t)u(t)dt =

∫ x

a

v(t)dt,

ce qui est exactement le resultat.


Corollaire 5 (deuxieme inegalite de la moyenne). Soient u : [a, b]→ R monotone, et v : [a, b]→ C sommable.Alors ∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ ≤ maxx∈[a,b]

∣∣∣∣u(a)

∫ x

a

v(t)dt+ u(b)

∫ b

x

v(t)dt

∣∣∣∣.Demonstration. Soit θ ∈ R tel que

∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ = eiθ∫ b

a

u(t)v(t)dt. On a

∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ =

∫ b

a

u(t)Re(e−iθv(t))dt.

La fonction v : t→ Re(e−iθv(t)) est reelle et sommable, donc il existe x ∈ [a, b] tel que∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ = u(a)

∫ x

a

u(t)v(t)dt+u(b)

∫ b

x

u(t)v(t)dt = Re

(e−iθu(a)

∫ x

a

u(t)v(t)dt+ e−iθu(b)

∫ b

x

v(t)dt

).

Corollaire 6. Soient u : [a, b]→ R+ croissante et v : [a, b]→ C sommable. On a∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ ≤ u(b) maxx∈[a,b]

∣∣∣∣∫ b

x

v(t)dt

∣∣∣∣.Demonstration. modifier u en posant u(a) = 0.

Corollaire 7. Soient u : [a, b]→ R+ decroissante et v : [a, b]→ C sommable. On a∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ ≤ u(a) maxx∈[a,b]

∣∣∣∣∫ x

a

v(t)dt

∣∣∣∣.Demonstration. modifier u en posant u(b) = 0.

Exemple 1 : si u : [a, b]→ R est monotone alors pour tout n ∈ N∗,∫ b

a

u(t)eintdt = O(1/n) quand n→ ±∞.

Exemple 2 : le resultat ci-dessus est vrai pour toute combinaison lineaire de fonctions monotones, et enparticulier les fonctions lipschitzienne (exo). Pour les fonctions continues et C1 par morceaux (qui sontlipschitziennes), c’est une bete integration par partie.

Exemple 3 : soit ϕ : R+ → R+ strictement croissante, convexe, de classe C1 au voisinage de +∞, telle queϕ′(t)→ +∞ quand t→ +∞. Alors l’integrale ∫ +∞

0

eiϕ(t)dt

est semi-convergeante. Typiquement : ϕ(t) = t1+ε avec ε > 0, ou ϕ(t) = t ln(t). . .


II Derivation sur [a, b].

II.1 Nombres derives

Definition 6. Soit F : [a, b]→ R une fonction arbitraire. On definit pour tout x ∈ [a, b[

f(x) = lim supy→x+

F (y)− F (x)

y − x∈ [−∞,+∞], g(x) = lim inf

y→x+

F (y)− F (x)

y − x∈ [−∞,+∞] et

h(x) = lim supy→x−

F (y)− F (x)

y − x∈ [−∞,+∞], k(x) = lim inf

y→x−

F (y)− F (x)

y − x∈ [−∞,+∞]

pour tout x ∈]a, b]. Ce sont les nombres derives superieurs et inferieurs, a droite et a gauche, de F .

Remarque :F est derivable en x ∈]a, b[ si et seulement si ses quatre nombres derives sont egaux et finis.

Lemme 2. Les quatre nombres derives d’une fonction reglee sont des fonctions boreliennes.

Demonstration. On montre par exemple que f est borelienne, et pour cela il suffit de voir que chaque fonctionfη (pour η > 0 fixe), definie pour x ∈ [a, b[ par

fη(x) = supF (y)− F (x)

y − xavec y ∈ [a, b] tel que x < y < x+ η

,

est borelienne. Soit N l’ensemble (denombrable) des points de discontinuite de F , α ∈ R et E = x ∈[a, b[ t.q. fη(x) > α. Par definition de fη, pour tout x ∈ E, il existe y ∈ [a, b[ tel que x < y < x + η etF (y)− F (x)

y − x> α. Si F est continue en x, il existe un voisinage ouvert V (x) de x tel que pour tout x ∈ V (x),

F (z)− F (y)

z − y> α et z < y < z + η, et on a alors V (x) ⊂ E. Autrement dit

E = (E ∩N) ∪

⋃x∈E\N

V (x)

.

E est la reunion d’un ensemble denombrable et d’un ouvert, donc est borelien.

Lemme 3 (du nombre derive). Soit F : [a, b] → R une fonction reglee et f son nombre derive superieur adroite. On suppose que

pour tout t ∈]a, b], F (t−) ≤ F (t),

pour tout t ∈ [a, b[, f(t) 6= −∞ et

∫ b

a

f−(t)dt < +∞.

Alors

∫ b

a

f(t)dt ≤ F (b)− F (a).

Remarque : comme f− est sommable, f a une integrale convergeante dans ] −∞,+∞], et le lemme montre

qu’en fait

∫ b

a

|f(t)|dt < +∞. En particulier, f(t) < +∞ presque partout. On remarque que si F (x) > F (x+),

alors f(x) = −∞ donc les discontinuites de F doivent verifier F (x−) ≤ F (x) ≤ F (x+).

Contre-exemple : si a < c < b, F = 1[a,c], on a 0 =

∫ b

a

f(t)dt > F (b)− F (a) = −1.

II. DERIVATION SUR [A,B]. 53

Demonstration. Soit ε > 0. On definit fε = min(f+, 1/ε)− f−. Alors −f− ≤ fε ≤ 1/ε, donc fε est sommable

sur [a, b]. Par convergence monotone, on a

∫ b

a

fε(t)dt →∫ b

a

f(t)dt. Comme fε est sommable, il existe une

fonction s.c.s uε : [a, b] → [−∞,+∞[ telle que uε ≤ fε et

∫ b

a

|fε(t) − uε(t)|dt < ε. Alors

∫ b

a

|uε(t)|dt ≤∫ b

a

|fε(t)|dt + ε < +∞, donc x →∫ x

a

uε(t)dt est une fonction continue de [a, b] dans R. Pour tout x ∈ [a, b]

on pose

ϕε(x) = F (x)− F (a) + 2ε(x− a)−∫ x

a

uε(t)dt.

Soit E l’ensemble des x ∈ [a, b] tels que ϕε(x) ≥ 0. E est non vide car il contient a. Pour toute suite xn ∈ Estrictement croissante, de limite x, on a ϕε(xn) ≥ 0 pour tout n, donc ϕε(x

−) ≥ 0, mais comme ϕε(x−) ≤ ϕε(x),

on a x ∈ E. Ceci prouve que E a un maximum, que l’on notera x. Le but est de montrer que x = b. Parl’absurde, supposons que x < b. Soit x < y ≤ b. On a ϕε(x) ≥ 0 et ϕε(y) < 0 donc ϕε(y)− ϕε(x) < 0, i.e.

F (y)− F (x) + 2ε(y − x) <

∫ y

x

uε(t)dt.

Comme uε est scs et uε(x) ≤ fε(x) < fε(x) + ε, il existe η > 0 tel que pour tout |t− x| < η, uε(t) < fε(x) + ε.Pour tout x < y < x+ η on a donc

F (y)− F (x) + 2ε(y − x) <

∫ y

x

uε(t)dt <

∫ y

x

(fε(x) + ε)dt = fε(x)(y − x) + ε(y − x),

ce qui peut encore s’ecrireF (y)− F (x)

y − x< fε(x) − ε, pour tout y ∈ [a, b] tel que x < y < x + η. Donc

f(x) = lim supy→x+

F (y)− F (x)

y − x≤ fε(x)− ε, une contradiction. Finalement, x = b, donc

∫ b

a

fε(t)dt ≤ ε+

∫ b

a

uε(t)dt ≤ ε+ 2ε(b− a) + F (b)− F (a),

et on fait ε→ 0 pour avoir le resultat.

II.2 Integrale d’une derivee

Theoreme 3 (Theoreme fondamental du calcul). Soit a, b ∈ R avec a < b, F : [a, b] → C derivable, de

derivee sommable. Alors pour tout x ∈ [a, b], F (x) = F (a) +

∫ x

a

F ′(t)dt.

Remarque : la derivee d’une fonction derivable n’est pas toujours sommable, mais est toujours borelienne.

Demonstration. F est derivable donc continue, et son nombre derive superieur a droite f est egal a F ′, doncet partout fini, et sommable par hypothese. En particulier f− est sommable. Le lemme donne∫ b

a

F ′(t)dt ≤ F (b)− F (a).

Pour avoir l’inegalite inverse, on remplace F par −F .


Corollaire 8. Soit F : [a, b]→ R croissante et derivable. Alors F ′ est sommable et

∫ b

a

F ′(t)dt = ϕ(b)−ϕ(a).

Remarque :F ′ est borelienne et positive, donc a une integrale dans [0,+∞].

Demonstration. F est derivable donc continue, et f est egal a F ′, donc f− = 0. Le lemme donne∫ b

a

F ′(t)dt ≤ F (b)− F (a) < +∞.

F ′ est donc sommable, et le theoreme fondamental du calcul donne l’egalite.

II.3 Derivee d’une integrale

Theoreme 4 (Theoreme de differentiation de Lebesgue). Soit f : [a, b]→ C sommable. Alors la fonction

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

est derivable p.p., de derivee f .

Remarque : si f est continue par morceaux, F presente des points anguleux en chaque discontinuite de f .

Demonstration. Soient x, y ∈ [a, b] tels que y 6= x. Par l’inegalite triangulaire,∣∣∣∣F (y)− F (x)

y − x− f(x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

y − x

∫ y

x

(f(t)− f(x))dt

∣∣∣∣ ≤ 1

|y − x|

∫ y

x

|f(t)− f(x)|dt.

Il suffit donc de montrer que lim supy→x,y 6=x

1

|y − x|

∫ y

x

|f(t)− f(x)|dt = 0 presque partout.

Soit ε > 0 et u : [a, b]→ C continue telle que

∫ b

a

|f(x)− u(x)|dx < ε. On pose

G(x) =

∫ x

a

|f(t)− u(t)|dt et g(x) = lim supy→x+

G(y)−G(x)

y − x.

G est continue, et g positive. Le lemme du nombre derive donne∫ b

a

g(t)dt ≤ G(b)−G(a) =

∫ b

a

|f(t)− u(t)|dt < ε.

Comme u est continue, on a limy→x+

1

y − x

∫ y

x

|u(t)− u(x)|dt = 0 pour tout x ∈ [a, b[, donc en utilisant l’identie

|f(t)− f(x)| ≤ |f(t)− u(t)|+ |u(t)− u(x)|+ |u(x)− f(x)|, on trouve

ϕ(x) := lim supy→x+

1

y − x

∫ y

x

|f(t)− f(x)|dt ≤ g(x) + |f(x)− u(x)|

pour tout x ∈]a, b]. La fonction ϕ est borelienne positive et independante de ε, et le membre de droite aune integrale ≤ 2ε pour tout ε > 0, donc ϕ(x) = 0 p.p. On montrerait de meme en considerant la fonction

t→ f(−t) que lim supy→x−

1

x− y

∫ x

y

|f(t)− f(x)|dt = 0 presque partout, cqfd.

II. DERIVATION SUR [A,B]. 55

II.4 Derivee d’une fonction monotone

Ce theoreme est aussi du a Lebesgue. On a un enonce analogue pour les fonctions decroissantes.

Theoreme 5. Soit F : [a, b]→ R croissante. Alors F est derivable presque partout.

Remarque : les quatre nombres derives de F sont donc egaux presque partout et si f est l’un d’entre eux,

le lemme du nombre derive donne

∫ b

a

f(t)dt ≤ F (b) − F (a). L’escalier du diable est un exemple pour lequel

l’inegalite est stricte : c’est une fonction F : [0, 1] → [0, 1] continue strictement croissante, telle que F ′ = 0p.p.

Demonstration. Soient f, g, h, k les quatre nombres derives de F comme dans la definition. Ce sont desfonctions boreliennes positives, puisque F est croissante. On montre qu’ils sont egaux et finis p.p.

Le lemme du nombre derive applique a F et f donne

∫ y

x

f(t)dt ≤ F (y)− F (x) < +∞ pour tous a ≤ x <

y ≤ b. En particulier f (et g puisque 0 ≤ g ≤ f) sont finies p.p. Le lemme applique a x→ −F (−x) donne que

h et k sont finies presque partout et

∫ y

x

h(t)dt ≤ F (y) − F (x) < +∞ pour tous a ≤ x < y ≤ b. En divisant

par y − x et en passant a la limite inferieure on obtient :

lim infx→y−

1

y − x

∫ y

x

f(t)dt ≤ lim infx→y−

F (y)− F (x)

y − xet lim inf

y→x+

1

y − x

∫ y

x

h(t)dt ≤ lim infy→x+

F (y)− F (x)

y − x.

Comme f et h ont une integrale finie sur [a, b], elles sont egales p.p. a une fonction sommable. Le theoremede differentiation de Lebesgue montre donc que le membre de gauche de la premiere inegalite est f(y) p.p.,et celui de la seconde est h(x) p.p. Finalement on a f ≤ k et h ≤ g p.p. Comme g ≤ f et k ≤ h partout, onobtient que f, g, h et k sont egales et finies presque partout, cqfd.

Theoreme 6 (de Rademacher). Soit F : [a, b]→ C lipschitzienne. Alors F est derivable presque partout.

Si f est l’un de ses quatre nombres derives, on a

∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a).

Demonstration. Soit K la constante de Lipschitz et f l’un des quatre nombres derives de F . C’est une fonctionborelienne et bornee par K, donc sommable. Pour tout x ∈ [a, b], on pose G(x) = F (x)+Kx. Si a ≤ x ≤ y ≤ b,on a

G(y)−G(x) = F (y)− F (x) +K(y − x) ≥ −K|y − x|+K(y − x) = 0,

donc G est croissante. Elle est donc derivable p.p. (ainsi que F ). De plus∫ b

a

(f(t) +K)dt ≤ G(b)−G(a) i.e.

∫ b

a

f(t)dt ≤ F (b)− F (a).

On obtient l’inegalite inverse en appliquant le resultat a −F .


III Fonctions a variation finie

III.1 Variation totale.

Definition 7. Soit f : [a, b]→ C. La variation de f sur [a, b] est

V f(a, b) = sup

n∑k=1

|f(tk)− f(tk−1)|

∈ [0,+∞],

ou la borne superieure est prise sur les subdivisions a = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b]. Une fonctionest dite a variation finie ou a variation bornee sur [a, b] si V f(a, b) < +∞. L’ensemble des fonctions avariation finie sur [a, b] est note VF(a, b).

Proposition 6. Soient (a, b) ∈ R2 tels que a < b et f : [a, b]→ R une fonction arbitraire.

(1) si f est monotone sur [a, b], alors f est a variation finie et V f(a, b) = |f(b)− f(a)|.

(2) si f est C-lipschitzienne, f est a variation finie et V f(a, b) ≤ C(b− a).

(3) |f(b)− f(a)| ≤ V f(a, b). En particulier ‖f‖∞ ≤ |f(a)|+ V f(a, b).

(4) pour tout a ≤ x ≤ b, V f(a, x) + V f(x, b) = V f(a, b).

(5) la somme, le produit, les parties reelles et imaginaires de fonctions a variation finie le sont.

Remarque : le point (4) (relation de Chasle) montre qu’une fonction a variation finie par morceaux, est avariation finie. En particulier, les fonctions monotones par morceaux, C1 par morceaux, lipschitziennes parmorceaux, sont a variation finie.

Demonstration. (1) : si f et croissante par exemple,n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)| =n−1∑k=0

f(tk+1)− f(tk) = f(b)− f(a).

(2) :n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)| ≤ Cn−1∑k=0

|tk+1 − tk| = C(b− a).

(3) : prendre la subdivision particuliere a, b.(4) : si t0 = a < t1 < · · · < tn = x est une subdivision de [a, x] et s0 = x < s1 < · · · < sm = b est unesubdivision de [x, b], alors on obtient une subdivision de [a, b] en concatenant, donc

n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)|+m−1∑`=0

|f(s`+1)− f(s`)| ≤ V f(a, b).

Par passage a la borne sup on voit que V f(a, x) + V f(x, b) ≤ V f(a, b). Si t0 = a < t1 < · · · < tn = b est unesubdivision de [a, b], soit ` tel que t` ≤ x ≤ t`+1. Alors

n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)| =∑

0≤k<`

|f(tk+1)− f(tk)|+ |f(t`)− f(t`+1)|+∑

`<k≤n−1

|f(tk+1)− f(tk)|

≤∑

0≤k<`

|f(tk+1)− f(tk)|+ |f(x)− f(t`)|+ |f(t`+1 − f(x)|+∑

`<k≤n−1

|f(tk+1)− f(tk)|+ |f(b)− f(t`)|

≤ V f(a, x) + V f(x, b),

III. FONCTIONS A VARIATION FINIE 57

ce qui donne V f(a, b) ≤ V f(a, x) + V f(x, b).(5) : soient f, g ∈ VF(a, b) . Par l’inegalite triangulaire,

n−1∑k=0

|(f + g)(tk+1)− (f + g)(tk)| ≤n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)|+n−1∑k=0

|g(tk+1)− g(tk)|,

donc V (f + g)(a, b) ≤ V f(a, b) + V g(a, b) < +∞. De plus,

n−1∑k=0

|(fg)(tk+1)− (fg)(tk)| ≤n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)||g(tk+1)|+ |f(tk)||g(tk+1)− g(tk)|,

ce qui donne V (fg)(a, b) ≤ ‖g‖∞V f(a, b) + ‖f‖∞V g(a, b) < +∞.

Remarque : f → V f(a, b) est une semi-norme. VF(a, b) est complet pour la norme f → |f(a)|+ V f(a, b).

III.2 Caracterisation

Theoreme 7. Une fonction f : [a, b] → C est a variation finie si et seulement si elle est combinaisonlineaire de fonctions monotones.

Remarque : donc une fonction a variation finie sur [a, b] est sommable sur [a, b]

Demonstration. Par la proposition (points (1) et (4)), les combinaisons lineaires de fonctions monotones sonta variation finie. Reciproquement, soit f : [a, b]→ R a variation finie. Pour tous a ≤ x ≤ y ≤ b, on a

V f(a, x) + f(x)− f(y) ≤ V f(a, x) + |f(y)− f(x)| ≤ V f(a, x) + V f(x, y) = V f(a, y),

donc x → V f(a, x) + f(x) est croissante. De meme, x → V f(a, x) − f(x) est croissante. Or on a pour tout

x ∈ [a, b], f(x) =1

2(V f(a, x) + f(x))− 1

2(V f(a, x)− f(x)).

III.3 Derivation

Lemme 4. Soient a ≤ b ≤ c et F : [a, c]→ C mesurable. On a pour tout ε > 0 tel que b+ ε ≤ c, on a∫ b

a

|F (t+ ε)− F (t)|dt ≤ εV F (a, c).

Remarque : si le membre de droite est fini, alors F est a variation finie, donc mesurable.

Demonstration. On rappelle que t→ V F (a, t) est croissante, donc sommable. On a donc∫ b

a

|F (t+ ε)− F (t)|dt ≤∫ b

a

V F (t, t+ ε)dt =

∫ b

a

V F (a, t+ ε)dt−∫ b

a

V F (a, t)dt

=

∫ b+ε

a+ε

V F (a, t)dt−∫ b

a

V F (a, t)dt =

∫ b+ε

b

V F (a, t)dt−∫ a+ε

a

V F (a, t)dt

≤∫ b+ε

b

V F (a, c)dt = εV F (a, c).


Corollaire 9. Soit F : [a, b]→ C a variation finie. F est derivable presque partout, et

∫ b

a

|F ′(t)|dt ≤ V F (a, b).

Demonstration. Les fonctions monotones sont derivables p.p., donc F aussi. On prolonge F en posant F (t) =F (b) pour t > b. Par le lemme, pour tout ε > 0 on a∫ b

a

|F (t+ ε)− F (t)|ε

≤ V F (a, b+ ε) = V F (a, b),

car F est constante sur [b, b+ ε]. Le lemme de Fatou donne l’inegalite.

Corollaire 10. Soit f : [a, b]→ C sommable et pour tout x ∈ [a, b], F (x) =

∫ x

a

f(t)dt. Alors F est a variation

finie et V F (a, b) =

∫ b

a

|f(t)|dt.

Demonstration. Si a = t0 < t1 < · · · < tn = b est une subdivision de [a, b], on a

n−1∑k=0

|F (tk+1)− F (tk)| =n−1∑k=0

∣∣∣∣∫ tk+1

tk

f(t)dt

∣∣∣∣ ≤ n−1∑k=0

∫ tk+1

tk

|f(t)|dt =

∫ b

a

|f(t)|dt,

ce qui prouve que V F (a, b) ≤∫ b

a

|f(t)|dt < +∞. L’inegalite inverse est donnee par le corollaire 9 et le

theoreme de differentiation de Lebesgue.

Corollaire 11. Soit F : [a, b]→ C derivable. Alors F est a variation finie si et seulement si F ′ est sommable.

On a alors V F (a, b) =

∫ b

a

|F ′(t)|dt.

Demonstration. Si F est a variation finie, par le corollaire 9, F ′ est sommable. Si F ′ est sommable, le theoreme

fondamental du calcul donne que F (x) = F (a) +

∫ b

a

F ′(t)dt et le corollaire 10 donne le resultat.

III.4 Lien avec les mesures

Definition 8. Soit (X,A) un espace mesurable. Un mesure signee sur (X,A) est une combinaison linerairesur C de mesures finies. Autrement dit, une mesure signee est de la forme

µ = µ1 − µ2 + iµ3 − iµ4,

ou µ1, . . . , µ4 sont des mesures (positives) finies sur (X,A).

Remarque : on ne peut pas faire de combinaison lineaire de mesures prenant des valeurs infinies.

Proposition 7. Soit µ une mesure de Borel signee sur [a, b]. Alors ϕ : [a, b]→ C definie par ϕ(x) = µ([a, x])est a variation finie et continue a droite.

Demonstration. On l’a deja montre si µ est une mesure finie positive, et on conclut par linearite.

Lemme 5. Soit ϕ : [a, b]→ C a variation finie, continue a droite. Alors x→ V ϕ(a, x) est continue a droite.

III. FONCTIONS A VARIATION FINIE 59

Demonstration. Il s’agit donc de voir que infy∈]x,b]

V ϕ(a, y) = V ϕ(a, x) pour tout x ∈ [a, b[, car x → V ϕ(a, b)

est croissante. Soit x ∈ [a, b[ fixe et ε > 0. Soit t0 = x < t1 < · · · < tn = b une subdivision de [x, b] telle

quen−1∑k=0

|ϕ(tk+1) − ϕ(tk)| > V ϕ(x, b) − ε. Comme ϕ est continue a droite en x, il existe y ∈]x, t1[ tel que

|ϕ(x) − ϕ(y)| < ε. On obtient la subdivision t0 = x < y < t1 < · · · < tn = b de [x, b]. Par l’inegalitetriangulaire,

V ϕ(x, b) < ε+n−1∑k=0

|ϕ(tk+1)− ϕ(tk)| ≤ 2ε+ V ϕ(y, b),

soit V ϕ(a, y)− V ϕ(a, x) = V ϕ(x, y) = V ϕ(x, b)− V ϕ(y, b) ≤ 2ε.

Proposition 8. Soit ϕ : [a, b]→ C, a variation finie continue a droite. Il existe une unique mesure signee µsur [a, b] telle que

µ([a, x]) = ϕ(x)

pour tout a ≤ x ≤ b.

Demonstration. Soient µ et ν deux mesures de Borel signees sur [a, b] telles que µ([a, x]) = ν([a, x]) pour toutx ∈ [a, b]. On ecrit µ = µ1 − µ2 + iµ3 − iµ4 et ν = ν1 − ν2 + iν3 − iν4, avec µi et νi mesures de Borel positivesfinies. En prenant les parties reelles et imaginaires on trouve

(µ1 + ν2)([a, x]) = (ν1 + µ2)([a, x]) et (µ3 + ν4)([a, x]) = (ν3 + µ4)([a, x])

pour tout x ∈ [a, b]. Le theoreme d’unicite donne µ1 + ν2 = ν1 + µ2 et µ3 + ν4 = ν3 + µ4, soit µ = ν.Supposons d’abord que ϕ est croissante. On prolonge ϕ sur R en posant ϕ(x) = ϕ(a) si x < a et ϕ(x) = ϕ(b)

si x > b. Alors ϕ est croissante et continue a droite sur R. Soit ν la mesure de Lebesgue-Stieljes associee. Elleverifie en particulier

ν(]a, x]) = ϕ(x)− ϕ(a)

pour tout x[a, b]. La mesure µ = ν + ϕ(a)δa convient. Si ϕ est a variation finie et reelle, les deux fonctionsx→ V ϕ(a, x)+ϕ(x) et x→ V ϕ(a, x)−ϕ(x) sont croissantes et continues a droite, donc il existe deux mesuresde Borel positives et finies sur [a, b] telle que

µ1([a, x]) = V ϕ(a, x) + ϕ(x) et µ2([a, x]) = V ϕ(a, x)− ϕ(x)

pour tout x ∈ [a, b]. La mesure µ = (µ1 − µ2)/2 convient. Si F est complexe, on applique ceci a ses partiesreelles et imaginaires, qui sont bien a variation finie et continues a droite.

Chapitre 6

Theoremes de Fubini

I Produit de deux espaces mesures

I.1 Tribu produit

On fixe deux espaces mesurables (X,A) et (Y,B).

Definition 1. La tribu produit sur X×Y est la tribu engendree par les ensembles du type A×B avec A ∈A et B ∈ B. Un tel ensemble sera appele un ensemble produit, et la tribu produit est notee A⊗ B.

Remarque : la famille des ensembles produit n’est pas une σ-algebre, mais elle est stable par intersectionsfinies ou denombrables. On verifiera facilement que pour tous A,A′ ∈ A et B,B′ ∈ B,

(A×B) ∩ (A′ ×B′) = (A ∩ A′)× (B ∩B′) et (A×B) \ (A′ ×B′) = [(A \ A′) ∩B] ∪ [(A ∩ A′)× (B \B′)].

Proposition 1. Pour tous k, ` ∈ N∗, B(Rk)⊗ B(R`) = B(Rk+`).

Demonstration. Les paves de Rk+` sont les produits de paves de Rk par des paves de R`.

I.2 Mesure produit

On fixe deux espaces mesures σ-finis (X,A, µ) et (Y,B, ν), c’est a dire qu’il existe deux suites croissantesXn ∈ A et Yn ∈ B, de reunion X et Y respectivement, telles que µ(Xn) < +∞ et ν(Xn) < +∞ pour toutn ∈ N∗. Le cas des mesures finies est le plus important.

Definition 2. Il existe une unique mesure m sur A⊗ B telle que

m(A×B) = m(A)×m(B)

pour tous A ∈ A et B ∈ B. C’est la mesure produit de µ par ν, que l’on note m = µ⊗ ν.

Remarque : si les espaces ne sont pas σ-fini, une telle mesure existe mais n’est pas focement unique.

61

62 CHAPITRE 6. THEOREMES DE FUBINI

Demonstration. La famille des ensembles produits est stable par intersections finies. Et la suite Xn × Yn estune suite croissante de A⊗B de reunion X×Y , telle que µ(Xn)ν(Yn) < +∞. Le theoreme d’unicite s’applique.

Soit m la mesure exterieure canonique associee a la fonction d’ensemble A×B → µ(A)ν(B), definie de lafamille des ensembles produits a valeurs dans [0,+∞]. Soient A,A′ ∈ A et B,B′ ∈ B. Par sous-additivite,

m((A×B) ∩ (A′ ×B′)) +m((A×B) \ (A′ ×B′))≤ m((A ∩ A′)× (B ∩B′)) +m((A \ A′)×B) +m((A ∩ A′)× (B \B′))≤ µ(A ∩ A′)ν(B ∩B′) + µ(A \ A′)ν(B) + µ(A ∩ A′)ν(B \B′)= µ(A)ν(B). (6.1)

Le critere de mesurabilite est verifie, donc les ensembles produit sont m-mesurables. La restriction de m aA⊗B est donc une mesure. Il reste a montrer que m(A×B) = µ(A)×ν(B). D’apres les resultats du chapitre3, ce sera la cas si (et c’est meme equivalent a)

A×B ⊂+∞⋃k=1

Ak ×Bk ⇒ µ(A)ν(B) ≤+∞∑k=1

µ(Ak)ν(Bk),

pour tous A,Ak ∈ A et B,Bk ∈ B. Or la premiere condition equivaut a 1A(x)1B(y) ≤+∞∑k=1

1Ak(x)1Bk

(y)

pour tous (x, y) ∈ X × Y , on obtient donc l’inegalite en integrant par rapport a µ puis par rapport a ν, ou lecontraire.

Corollaire 1. Soit n ∈ N∗ et (Xk,Ak, µk)k=1...n une suite finie de n espaces mesures σ-finis. La fonctiond’ensemble definie pour tous Ak ∈ Ak par

µ(A1 × · · · × An) = µ1(A1) · · ·µn(An)

se prolonge de maniere unique en une mesure sur la σ-algebre engendree.

Demonstration. Exo (recurrence immediate).

Remarque : on definit ainsi le produit d’un nombre fini d’espaces mesures. Il est possible de generaliser cela

aux produits infinis sous la condition (necessaire) que le produit infini+∞∏k=1

µk(Xk) converge, ce qui est le cas

par exemple on a des mesures de probabilite (reference : voir Dudley par exemple).

II Theoreme de Fubini-Tonelli

On fixe deux espaces mesures σ-finis (X,A, µ) et (Y,A, ν) (on note Xn et Yn les suites exhausitives correspon-dantes), et on munit X × Y de la tribu et de la mesure produit m = µ⊗ ν.

Theoreme 1. Soit f : X × Y → [0,+∞] mesurable. Alors chacune des integrales ci-dessous a un sens,et on a l’indentite∫

X×Yfdm =

∫X

(∫Y

f(x, y)dν(y)

)dµ(x) =

∫Y

(∫X

f(x, y)dµ(x)

)dν(y).

Remarque : la difficulte du theoreme est de montrer que chaque integrale existe. L’egalite sera immediate.

II. THEOREME DE FUBINI-TONELLI 63

Lemme 1. Soit f : X × Y → [0,+∞] mesurable. Pour tous (x, y) ∈ X × Y fixes, les fonctions partiellesf(x, ·) et f(·, y) sont mesurables et positives.

Remarque : donc

∫X

f(x, y)dµ(x) et

∫Y

f(x, y)dν(y) existent.

Demonstration. Soit px : Y → X×Y et qy : X → X×Y definies par px(y) = qy(x) = (x, y). Pour tout A ∈ Aet B ∈ B, on a

p−1x (A×B) =

∅ si x /∈ AB si x ∈ A

∈ B, q−1

y (A×B) =

∅ si y /∈ BA si y ∈ B

∈ A.

Les deux fonctions px et qy sont donc mesurables. Enfin on a f(x, ·) = f px et f(·, y) = f qy.

Corollaire 2. Pour tous (k, `) ∈ N∗2, L(Rk)⊗ L(R`) 6= L(Rk+`.

Demonstration. Soit E ⊂ Rk non mesurable. Alors E × 0` est mesurable, de mesure nulle, mais n’est pasdans la tribu produit car q−1

0 (0) = E /∈ L(Rk).

Lemme 2. Soit f : X × Y → [0,+∞] mesurable. Les integrales partielles x →∫Y

f(x, y)dν(y) et y →∫X

f(x, y)dµ(x) sont mesurables et positives.

Remarque : donc les deux integrales

∫X

(∫Y

f(x, y)dν(y)

)dµ(x) et

∫Y

(∫X

f(x, y)dµ(x)

)dν(y) existent.

Demonstration. On suppose d’abord que µ et ν sont finies. Soit C la famille des E ∈ A ⊗ B tels que x →∫Y

1E(x, y)dν(y) et y →∫X

1E(x, y)dµ(x) sont mesurables. Par le theoreme de convergence monotone pour

les series, pour tous (x, y) ∈ X × Y fixes,

E →∫X

1E(x, y)dν(y) et E →∫Y

1E(x, y)dµ(x)

sont des mesures finies sur A⊗B. C est donc une classe monotone. Si E = A×B, avec A ∈ A et B ∈ B, on a∫X

1E(x, y)dν(y) = ν(B)1A(x) et

∫Y

1E(x, y)dµ(x) = µ(A)1B(y),

ce qui prouve que C contient les ensembles produit. Comme la famille des ensembles produit est stable parintersections finies, le lemme des classes monotones donne C = A⊗ B, c’est-a-dire que pour tout E ∈ A⊗ B,les fonctions

x→∫X

1E(x, y)dν(y) et y →∫Y

1E(x, y)dµ(x)

sont mesurables. Dans le cas general ou µ et ν sont σ-finies, on applique le resultat aux mesures A→ µ(A∩Xn)et B → ν(B ∩ Yn), ce qui donne que

x→∫Xn

1E(x, y)dν(y) et y →∫Yn

1E(x, y)dµ(x)

sont mesurables pour tout n ∈ N∗. On fait n → +∞ en utilisant le theoreme de convergence monotone, etcomme la limite simple d’une suite de fonctions mesurables est mesurables, on a le resultat.


Si f : X × Y → [0,+∞] est une fonction mesurable arbitraire, il existe une suite εk ∈ R+ et Ek ∈ A ⊗ B,

telles que f =+∞∑k=1

εk1Ek. Par le theoreme de convergence monotone,

∫X

f(x, y)dµ(x) =+∞∑k=1

εk

∫X

1Ek(x, y)dµ(x) et

∫Y

f(x, y)dν(y) =+∞∑k=1

εk

∫Y

1Ek(x, y)dν(y),

et on remarque qu’une serie de fonctions mesurables positives est mesurable.

Demonstration du theoreme. Par le lemme 2, les deux applications m1 et m2 suivantes

m1(E) =

∫X

(∫Y

1E(x, y)dν(y)

)dµ(x) et m2(E) =

∫Y

(∫X

1E(x, y)dµ(x)

)dν(y)

sont bien definies pour E ∈ A ⊗ B. Par le theoreme de convergence monotone pour les series, ce sont desmesures. Si A ∈ A et B ∈ B, alors

m1(A×B) =

∫X

(∫Y

1A(x)1B(y)dν(y)

)dµ(x) =

∫X

1A(x)

(∫Y

1B(y)dν(y)

)dµ(x) = µ(A)ν(B),

et de meme m2(A×B) = µ(A)ν(B). La mesure produit etant unique, on a m = m1 = m2 = µ⊗ ν, donc∫X×Y

1Edm =

∫y

(∫X

1E(x, y)dµ(x)

)dν(y) =

∫X

(∫Y

1E(x, y)dν(y)

)dµ(x)

pour tout E ∈ A⊗B, et le theoreme est verifie pour les fonctions indicatrice. On conclut en decomposant unefonction mesurable arbitraire en serie de fonctions indicatrices, et en appliquant le theoreme de convergencemonotone a chacune des cinq integrales.

Definition 3. Soit E ∈ A ⊗ B. La section verticale de E a l’abcisse x ∈ X et la section horizontale de E al’ordonnee y ∈ Y sont les ensembles

Ex = y ∈ Y t.q. (x, y) ∈ E et Ey = x ∈ X t.q. (x, y) ∈ E.Corollaire 3. Soit E ∈ A⊗B. Pour tous (x, y) ∈ X×Y , Ex et Ey sont mesurables, les fonctions y → µ(Ey)et x→ ν(Ex) sont mesurables positives, et

m(E) =

∫X

ν(Ex)dµ(x) =

∫Y

µ(Ey)dν(y).

Corollaire 4. Soit f : [a, b]→ R+ borelienne, et A le domaine du plan defini par les conditions a ≤ x ≤ b et0 ≤ y ≤ f(x). Alors A est une borelien de mesure de Lebesgue

m(A) =

∫ b

a

f(x)dx.

Demonstration. A est l’image reciproque de [0,+∞[ par la fonction borelienne (x, y)→ f(x)− y, donc est unborelien. pour tout x /∈ [a, b], on a Ax = ∅ et pour tout x ∈ [a, b], Ax = [0, f(x)].

Exemple : l’aire d’un disque de rayon r est donc∫ r

−r2√r2 − x2dx = · · · = πr2,

le volume d’une boule de rayon r est ∫ r

−rπ(√r2 − x2)2dx =

4

3πr2,

et on peut faire le calcul en toutes dimensions par recurrence.Remarque : le theoreme de Fubini se generalise de maniere immediate par recurrence aux produits finisd’espaces mesures (exo).

III. THEOREME DE FUBINI-LEBESGUE 65

III Theoreme de Fubini-Lebesgue

On fixe deux espaces mesures σ-finis (X,A, µ) et (Y,A, ν) (on note Xn et Yn les suites exhausitives correspon-dantes), et on munit X × Y de la tribu et de la mesure produit m = µ⊗ ν.

Proposition 2. Soit f : X × Y → C mesurable. Alors f est sommable si et seulement si∫X

(∫Y

|f(x, y)|dν(y)

)dµ(x) < +∞, ce qui equivaut aussi a

∫Y

(∫X

|f(x, y)|dµ(x)

)dν(y) < +∞

Theoreme 2 (de Fubini). Soit (X,A, µ) et (Y,B, ν) deux espaces mesures σ-finis. On munit X × Y de latribu et de la mesure produit. Soit f : X × Y → C mesurable, sommable sur X × Y . On a :

Les deux ensembles

E :=

x ∈ X;

∫Y

|f(x, y)|dν(y) < +∞, F :=

y ∈ Y ;

∫X

|f(x, y)|dµ(x) < +∞

sont mesurables. Leurs complementaires sont de mesure nulle.

Les deux fonctions integrales partielles

I : X → C J : Y → C

x→

∫Y

f(x, y)dν(y) si x ∈ E

0 si x /∈ Ey →

∫X

f(x, y)dµ(x) si y ∈ F

0 si x /∈ F

sont mesurables et sommables, respectivement sur (X,A, µ) et (Y,B, ν).

On a ∫X×Y

fdm =

∫X

I(x)dµ(x) =

∫Y

J(y)dν(y).

Demonstration. D’apres le theoreme de Fubini-Tonelli, les deux fonctions

I∗(x) =

∫Y

|f(x, y)|dν(y) (x ∈ X), J∗(y) =

∫X

|f(x, y)|dµ(x) (y ∈ Y )

sont bien definies, mesurables, sommables, donc E ∈ A, F ∈ B, µ(Ec) = 0 et ν(F c) = 0.Le theoreme de Fubini-Tonelli donne donc, pour g = la partie positive ou negative de la partie reelle ou

imaginaire de f , que∫X×Y

gd(µ⊗ ν) =

∫X

(∫Y

g(x, y)dν(y)

)dµ(x) =

∫E

(∫Y

g(x, y)dν(y)

)dµ(x).

On conclut par linearite.

Remarque : generalisation immediate par recurrence aux produits finis d’espaces mesures σ-finis.

Chapitre 7

Theoreme du changement de variable

Dans tout le chapitre, on fixe d ∈ N∗ et k ∈ 1, . . . , d. On designe par Hk la mesure exterieure de Haussdorfde dimension k sur Rd, pour la distance euclidienne, et par mk la mesure exterieure de Lebesgue sur Rk.

I Cas des applications lineaires

Theoreme 1 (de changement de variables lineaires). Soit ϕ : Rk → Rd une application lineaire. Alorspour tout E ⊂ Rk,

Hk(ϕ(E)) =√

det(ϕ∗ ϕ)mk(E),

ou ϕ∗ : Rd → Rk est l’adjoint de ϕ, defini par la relation 〈ϕ(x), y〉 = 〈x, ϕ∗(y)〉 pour tous (x, y) ∈ Rk×Rd.

Remarque : la relation a un sens pour tout E ⊂ Rk puisqu’on considere les mesures exterieures mk et Hk.On montrera en fait plus tard que si E ⊂ Rk est mk-mesurable, alors ϕ(E) est Hk-mesurable.

Demonstration. Si ϕ n’est pas injective, on a det(ϕ∗ ϕ) = 0, et comme dim(Imϕ) < k, la restriction de Hk aImϕ est identiquement nulle. L’egalite est claire dans ce cas. Supposons que ϕ est injective. On identifie ϕ asa matrice A dans les bases canoniques de Rk et Rd.

Comme tAA est symetrique, definie positive, il existe une matrice orthogonale Q , et une matrice diagonaleD a coefficients diagonaux > 0, telles que tAA = Q−1DQ. Soient ∆ =

√D, B = Q−1∆Q et P = AB−1. Alors

tPP = t(AB−1)AB−1 = B−1tAAB−1 = B−1Q−1∆2Q = B−1B2B−1 = I,

et A = PB = PQ−1∆Q (c’est une decomposition polaire de la matrice A).Pour tout pave P (de Rk), ∆(P ) est aussi un pave, de mesure de Lebesgue δ1 · · · δkmk(P ). Si Pn est une

suite de paves recouvrant E, on a donc

mk(∆(E)) ≤+∞∑n=1

mk(∆(Pn)) = δ1 · · · δk+∞∑n=1

vol(Pn).

Par passage a la borne inferieure on a donc mk(∆(E)) ≤ det(∆)mk(E) pour tout E ⊂ Rd. En remplacant ∆par ∆−1 on voit qu’il y a egalite. Comme P , Q et Q−1 sont des isometries, pour tout E ⊂ Rk,

Hk(A(E)) = Hk(PQ−1∆Q(E)) = mk(∆(Q(E))) = det(∆)mk(Q(E)) = det(∆)mk(E) =

√det tAAmk(E).

Corollaire 1. Soit ϕ : Rk → Rk une application lineaire. Pour tout E ⊂ Rk, on a mk(ϕ(E)) = | det(ϕ)|mk(E).

Remarque : donc les endomorphismes de determinant ±1 laissent invariante la mesure de Lebesgue.

67

68 CHAPITRE 7. THEOREME DU CHANGEMENT DE VARIABLE

II Mesure des sous-varietes plongees

II.1 Rappels du cours de calcul differentiel

Definition 1. Soit U ⊂ Rk ouvert. Une fonction ϕ : U → Rd est un plongement de classe C1 si ϕ est declasse C1, est injective, et si pour tout x ∈ U , dϕ(x) est une application lineaire injective.

Dans la suite on fixe U ⊂ Rk ouvert et ϕ : U → Rd un plongement de classe C1 et on pose Γ = ϕ(U).Nous utiliserons les trois resultats suivants, demontres dans le cours de calcul differentiel :

ϕ : U → Rd est localement lipschitzienne (inegalites des accroissements finis).

Γ = ϕ(U) est localement un graphe C1 au-dessus de son espace tangent (theoreme du range constant).

ϕ−1 : Γ→ U est localement lipschitzienne (theoreme d’inversion locale).

II.2 Theoreme du changement de variable pour les mesures

Theoreme 2. Soient U ⊂ Rk ouvert et ϕ : U → Rd un plongement de classe C1. Pour tout E ⊂ Umk-mesurable, ϕ(E) est Hk-mesurable et

Hk(ϕ(E)) =

∫E

√det(dϕ(x)∗ dϕ(x))dx.

Remarque : le membre de gauche est defini pour tout E ⊂ U mais le membre de droite n’est defini que pour

E mk-mesurable. La notation

∫dx designe l’inegrale par rapport a la mesure de Lebesgue mk sur Rk.

II.3 Corollaires

Corollaire 2. La longeur d’une courbe reguliere sans point double γ : [a, b]→ Rd est

∫ b

a

‖γ′(t)‖dt.

Demonstration. γ :]a, b[→ Rd est un plongement de classe C1, et la longeur d’un point est nulle.

Corollaire 3. Soit U ⊂ R2 ouvert et ϕ : U → R3 une surface plongee dans R3, de classe C1. Son aire est∫U

∥∥∥∥∂ϕ∂x ∧ ∂ϕ∂y∥∥∥∥dxdy.

Demonstration. Soit u, v l’orthonormalisee de Gramm-Schmidt de la famille libre∂ϕ

∂x,∂ϕ

∂y. On pose w =

u ∧ v. La famille u, v, w est une base orthonormee de R3. On a

∂ϕ

∂x= a× u, ∂ϕ

∂y= b× u+ c× v, ∂ϕ

∂x∧ ∂ϕ∂y

= ac× w

avec a > 0, c > 0 et b ∈ R. De plus la matrice A de dϕ dans cette base est

A =

a b0 c0 0

, donc tAA =

(a2 abab b2 + c2

),

et donc det tAA = (ac)2.

II. MESURE DES SOUS-VARIETES PLONGEES 69

Corollaire 4. Soient U, V ⊂ Rk ouverts, ϕ : U → V un diffeomorphisme de classe C1. Pour tout E ⊂ Umk-mesurable, ϕ(E) est mk-mesurable et

mk(ϕ(E)) =

∫E

| det(dϕ(x))|dx.

Remarque : la notation

∫dx designe l’integrale sur Rk par rapport a la mesure de Lebesgue mk.

II.4 Demonstration

Lemme 1. Pour tout E ⊂ U borelien, ϕ(E) est un borelien de Rd.

Demonstration. Soit A la famille des E ⊂ U tels que ϕ(E) ∈ B(Rd). Comme ϕ est continue, A contient lescompacts. A est clairement stable par reunions denombrables. Tout ouvert etant σ-compact, A contient lesouverts. Enfin, comme ϕ est injective, pour tout E ∈ A, ϕ(U \ E) = ϕ(U) \ ϕ(E) ∈ B(Rd). A est donc uneσ-algebre contenant les ouverts, elle contient donc les boreliens.

Lemme 2. Pour tout E ⊂ U mk-negligeable, ϕ(E) est Hk-negligeable.

Demonstration. Soit E ⊂ U tel que mk(E) = 0. Soit P un cube dyadique tel que P ⊂ U . Comme ϕ est declasse C1, elle est lipschitzienne sur P . Soit C la constante de Lipschitz de ϕ sur P . On a

Hk(ϕ(E ∩ P )) ≤ Ckmk(E ∩ P ) ≤ Ckmk(E) = 0,

et comme U est partitionne par de tels paves, on a Hk(ϕ(E)) = 0.

Lemme 3. Pour tout E ⊂ U mk-mesurable, ϕ(E) est Hk-mesurable.

Demonstration. Comme E est la reunion d’un borelien et d’un ensemble mk-negligeable, ϕ(E) est la reuniond’un borelien et d’un ensemble Hk-negligeable, donc est Hk-mesurable.

Remarque : il est possible de montrer que tout E ⊂ Rd Hk-mesurable, de mesure finie ou σ-finie, est lareunion d’un borelien et d’un ensemble Hk-negligeable (pour k = d, tout ensemble a une mesure σ-finie).Toute partie Hk-mesurable de Γ est necessairement de mesure σ-finie. Cependant, il existe des parties de Rd

Hk-mesurables, qui ne peuvent pas se decomposer ainsi.

Lemme 4. Soient k, ` ∈ N∗ et f une fonction de classe C1 definie dans un voisinage de 0 de Rk, a valeursdans R`, telle que df(0) = 0. Pour tout ε > 0, il existe un voisinage U de 0 dans Rk, tel que pour tout borelienE ⊂ U , si ΓE est le graphe de f sur E,

1 ≤ Hk(ΓE)

m(E)≤ 1 + ε.

Demonstration. Pour x ∈ Rk au voisinage de 0 on pose ϕ(x) = (x, f(x)) ∈ Rk+`. On a

‖x− y‖2 ≤ ‖ϕ(x)− ϕ(y)‖2 = ‖x− y‖2 + ‖f(x)− f(y)‖2.

Par l’inegalite des accroissements finis, pour tous x, y au voisinage de 0, on a ‖f(x)− f(y)‖ < ε‖x− y‖. Onen deduit que ϕ est bi-lipschitzienne, avec lip(ϕ−1) ≤ 1 et lip(ϕ) ≤

√1 + ε2. Donc

m(E) = Hk(ϕ−1(ΓE)) ≤ Hk(ΓE) = Hk(ϕ(E)) ≤ (1 + ε2)k/2Hk(E) = m(E)(1 +O(ε)), cqfd.


Demonstration du theoreme. Pour tout E ⊂ U mesurable, on pose µ(E) = Hk(ϕ(E)). Pour toute suiteEn ⊂ U d’ensembles mesurables deux-a-deux disjoints, les ensembles ϕ(En) sont Hk-mesurables par le lemme3 et deux-a-deux disjoints, car ϕ est injective. Donc µ est une mesure. Le but est de montrer qu’elle est egalea la mesure ν de densite J(x) =

√det((dϕ(x)∗) (dϕ(x))) par rapport a la mesure de Lebesgue. Par le lemme

2, les deux mesures sont egales sur les ensembles mk-negligeables, donc il suffit de montrer qu’elles sont egalessur les cubes dyadiques, et d’appliquer le theoreme d’unicite des mesures.

On fixe un cube dyadique P tel que P ⊂ U de cote 2−N . Pour tout n ≥ N , soit In la famille des cubesdyadiques Q de cote 2−n inclus dans P . On pose

fn =∑Q∈In

Hk(ϕ(Q))

mk(Q)1Q.

Autrement dit, fn est la fonction etagee prenant la valeurHk(ϕ(Q))

m(Q)sur chaque cube Q ∈ In. Ces cubes etant

deux-a-deux disjoints, on a pour tout n ∈ N∗,∫P

fn(x)dx =∑Q∈In

Hk(ϕ(Q)) = Hk(ϕ(P )) = µ(P ).

Pour tout x ∈ P fixe, soit Qn(x) l’unique cube Q ∈ In tel que x ∈ Q. L’application lineaire dϕ(x) envoieQn(x) dans une partie En(x) de Im(dϕ(x)), qui a pour mesure mesure

Hk(En(x)) = J(x)mk(Qn(x))

par le theoreme de changement de variable lineaire. Comme ϕ(U) est localement un graphe au-dessus de sonplan tangeant (theoreme des fonctions implicites), le lemme 4 donne donc que fn(x) converge simplement versJ(x). Or ϕ est de classe C1, donc lipschitzienne sur P . Il s’ensuit que la suite de fonction fn est uniformementbornee sur P , par la constante de Lipschtiz. Le theoreme de convergence dominee donne

µ(P ) =

∫P

fn(x)dx→∫P

J(x)dx = ν(P ), cqfd.

III Integration sur les sous-varietes plongees

III.1 Mesure volume d’une sous-variete plongee

On fixe U ⊂ Rk ouvert et ϕ : U → Rd un plongement de classe C1. Soit Γ ⊂ Rd l’image de ϕ.

Definition 2. La mesure volume de Γ est la restriction de Hk a Γ.

Remarque : comme Γ est un borelien, σ est une mesure de Borel sur Γ (les boreliens de Γ sont les intersectionsde Boreliens de Rd avec Γ). Si k = 1, on l’appelle plutot longeur d’arc, notee ds. Si k = 2 c’est la mesure desurface, notee dσ. . .

III.2 Theoreme du changement de variables

III. INTEGRATION SUR LES SOUS-VARIETES PLONGEES 71

Theoreme 3. Pour toute fonction borelienne f : Γ→ [0,+∞], on a∫Γ

fdHk =

∫U

f(ϕ(x))√

det(dϕ(x)∗ dϕ(x))dx.

Pour toute fonction f : Γ → C borelienne, f est sommable sur Γ par rapport a Hk si et seulement si lafonction x→ f(ϕ(x))

√det(dϕ(x)∗ dϕ(x)) est sommable sur U par rapport a la mesure de Lebesgue mk.

Si c’est le cas, ∫Γ

fdHk =

∫U

f(ϕ(x))√

det(dϕ(x)∗ dϕ(x))dx

Demonstration. On connait le resultat pour les fonctions indicatrices d’ensemble mesurable, et on conclut endecomposant une fonction f : Γ → [0,+∞] mesurable en une serie de multiples de telles fonctions. Pour lescas des fonctions a valeurs complexe, on applique le cas precedant a |f | et aux parties positives et negativesdes parties reelles et imaginaires.

Remarque : le theoreme est vrai pour les fonctions Hk-mesurables.

Corollaire 5. Soient U, V deux ouverts de Rd et ϕ : U → V un diffeomorphisme de classe C1.

(1) pour toute fonction borelienne f : V → [0,+∞] on a

∫V

f(y)dy =

∫U

f(ϕ(x))| det(dϕ(x))|dx.

(2) pour toute fonction borelienne f : V → C, f est sommable sur V si et seulement si la fonction x →f(ϕ(x))| det(dϕ(x))| est sommable sur U . Si c’est le cas,∫

V

f(y)dy =

∫U

f(ϕ(x))| det(dϕ(x))|dx

Remarque : le corollaire est vrai pour les fonctions mk-mesurables.

III.3 Dimension 1

Theoreme 4. Soient a, b, c, d ∈ R tels que a < b et c < d. Soit x → y un changement de variables de ]a, b[dans ]c, d[. On se donne f :]a, b[→ C et on pose g(y) = f(x) (nouvelle fonction). Alors f est sommable si et

seulement si y → g(y)dx

dyl’est. De plus,

(1) si le changement de variable est croissant, on a

∫ b

a

f(x)dx =

∫ d

c

g(y)dx

dydy

(2) si le changement de variable est decroissant, on a

∫ b

a

f(x)dx = −∫ d

c

g(y)dx

dydy =

∫ c

d

g(y)dx

dydy

Remarque : le resultat s’ecrit dans tous les cas

∫ b

a

f(x)dx =

∫ d

c

g(y)

∣∣∣∣dxdy∣∣∣∣dy

Chapitre 8

Espaces de Lebesgue Lp

Dans tout le chapitre on fixe un espace mesure (X,A, µ).

I Espaces Lp

I.1 Preliminaires.

Lemme 1. Soient (a, b) ∈ [0,+∞]. Pour tout 1 ≤ p <∞, (a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp).

Demonstration. C’est evident si a = +∞ ou b = +∞. On fixe b ∈ R+ et pour a ∈ R+, soit

f(a) = 2p−1(ap + bp)− (a+ b)p.

On a f ′(a) = p((2a)p−1 − (a + b)p−1). Comme 1 ≤ p < ∞, f est donc croissante puis decroissante, maximaleen a = b, donc f(a) ≤ f(b) = 0.

Definition 1. Pour tout 1 < p < +∞, l’exposant conjuque de p est par definition q =p

p− 1. On pose par

convention q = 1 si p = +∞ et q = +∞ si p = 1.

Remarque : si 1 < p <∞, on a 1 < q <∞, et si p = 2, on a q = 2. La relation1

p+

1

q= 1 caracterise q.

Lemme 2. Soient (a, b) ∈ [0,+∞], 1 < p <∞, et q =p

p− 1. Alors ab ≤ 1

pap +

1

qaq.

Demonstration. C’est evident si a = +∞ ou b = +∞. On fixe b ∈ R+ et pour a ∈ R+, soit

f(a) =1

pap +

1

qbq − ab.

On a f ′(a) = ap−1 − b. Comme 1 < p <∞, f est decroissante puis croissante, minimale pour a = b1

p−1 . Donc

f(a) ≥ f(b1

p−1 ) = p−1bp

p−1 +p− 1

pb

pp−1 − b1+ 1

p−1 = 0.

73

74 CHAPITRE 8. ESPACES DE LEBESGUE LP

I.2 Definition

Definition 2. Soit 1 ≤ p <∞. Lp(X,A, µ) est l’ensemble des fonctions mesurables f : X → C telles que∫|f |pdµ < +∞.

Definition 3. On note par L∞(X,A, µ) l’ensemble des fonctions qui sont la somme d’une fonction f : X → Cmesurable et bornee, et d’une fonction g : X → C nulle presque partout. On dit qu’une telle fonction estessentiellement borne.

Remarque : pour X = N∗, muni de la mesure de comptage, on note ces espaces `p.

Proposition 1. Pour tout ≤ p ≤ ∞, Lp(X,A, µ) est un espace vectoriel.

Demonstration. Pour p =∞ ou p = 1 c’est evident, pour 1 < p <∞ cela decoule du lemme 1.

I.3 Inegalite de Holder

Theoreme 1. Soient 1 < p <∞, f, g : X → [0,+∞] mesurables et q =p

p− 1. On a l’inegalite de Holder :

∫fgdµ ≤

(∫fpdµ

)1/p(∫f qdµ

)1/q

.

Demonstration. Si le membre de gauche est nul ou si le membre de droite est infini, le resultat est evident.

Sinon, on a 0 <

∫|f |pdµ < +∞ et 0 <

∫|g|qdµ <∞. On pose

a = |f(x)|(∫|f |pdµ

)− 1p

et b = |g(x)|(∫|g|qdµ

)− 1q

.

On obtient l’inegalite de Holder en integrant l’inegalite ab ≤ p−1ap + q−1bq.

Corollaire 1. Si f ∈ Lp(X,A, µ) et g ∈ Lq(X,A, µ), avec 1 ≤ p ≤ +∞ et q son exposant conjugue, alorsfg ∈ L1(X,A, µ).

Corollaire 2. Soient 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp(X,A, µ) et E ∈ A tel que µ(E) < +∞. On a

∫E

|f |dµ < +∞.

Demonstration. La fonction g = 1E est dans Lq(X,A, µ).

Corollaire 3. Si 0 < p1 < p2 ≤ +∞ et µ(X) < +∞, on a Lp2(X,A, µ) ⊂ Lp1(X,A, µ).

Demonstration. Soit f ∈ Lp2 . Le cas p2 = +∞ est evident. Sinon, on pose r =p2

p1

∈]1,+∞[, et s =r

r − 1=

p2

p2 − p1

. Par Holder on a

∫|f |p1dµ =

∫|f |p1 × 1dµ ≤

(∫|f |p1rdµ

) 1r(∫

1sdµ

) 1s

=

(∫|f |p2dµ

) 1r

(µ(X))1s < +∞.

II. ESPACES LP 75

I.4 Inegalite de Minkowski

Theoreme 2. Soient 1 < p <∞ et f, g : X → [0,+∞] mesurables. On a l’inegalite de Minkowski :(∫(f + g)pdµ

) 1p

≤(∫

fpdµ

) 1p

+

(∫gpdµ

) 1p

.

Remarque : si p = 1 c’est evident et il y a egalite.

Demonstration. C’est evident si le membre de droite est infini ou si le membre de gauche est nul. Sinon, on a

0 <

∫|f |pdµ < +∞, 0 <

∫|g|pdµ < +∞ et 0 <

∫|f + g|pdµ ≤ 2p−1

∫|f |pdµ+ 2p−1

∫|g|pdµ < +∞.

Soit q =p

p− 1. On a pour tout x ∈ X,

(f(x) + g(x))p = (f(x) + g(x))p−1f(x) + (f(x) + g(x))p−1g(x).

On integre la relation et on utilise l’inegalite de Holder :∫(f + g)pdµ ≤

(∫(f + g)(p−1)qdµ

) 1q(∫

fpdµ

) 1p

+

(∫(f + g)(p−1)qdµ

) 1q(∫

gpdµ

) 1p

On a (p− 1)q = p. On obtient l’integalite en divisant par

(∫(f + g)pdµ

) 1q

.

II Espaces Lp

On fixe un espace mesure (X,A, µ).

II.1 Definition

Definition 4. Soit 0 < p ≤ +∞. Lp(X,A, µ) est ensemble des classe d’equivalence de Lp(X,A, µ) pour larelation d’egalite presque partout.

Remarque : c’est donc formellement l’espace vectoriel quotient de Lp(X,A, µ) par le sous-espace vectoriel desfonctions nulles presque partout.

Definition 5. Pour 0 < p < +∞ et f ∈ Lp(X,A, µ) on pose

‖f‖p =

(∫|f |pdµ

) 1p

.

Pour f ∈ L∞(X,A, µ), on pose ‖f‖∞ = minm ∈ [0,+∞[ t.q. |f(x)| ≤ m p.p..

Remarque : ‖f‖∞ est bien un minimum. Si f = g p.p., on a ‖f‖p = ‖g‖p. La fonction f → ‖f‖p est doncbien definie sur Lp(X,A, µ).


Definition 6. Pour tout 1 ≤ p ≤ ∞, f → ‖f‖p est une norme sur Lp(X,A, µ).

Demonstration. L’homogeneite est evidente. Si f, g ∈ Lp(X,A, µ), alors l’inegalite de Minkowski appliquee a|f | et |g| donne

‖f + g‖p ≤ ‖|f |+ |g|‖p ≤(∫

(|f |+ |g|)pdµ) 1

p

≤(∫|f |pdµ

) 1p

+

(∫|g|pdµ

) 1p

= ‖f‖p + ‖g‖p.

Remarque : Une suite fn ∈ Lp converge vers f ∈ Lp si et seulement si

limn→+∞

∫X

|fn − f |pdµ = 0.

II.2 Completude

Proposition 2. Soit 1 ≤ p < +∞. Soit fn une suite de Cauchy de Lp(X,A, µ). Il existe une sous-suiteconvergeant presque partout.

Demonstration. Pour tout ε, soit N(ε) ∈ N∗ tel que pour tout m,n ≥ N(ε),∫|fn − fm|pdµ < ε.

Pour k ≥ 1, on pose nk := N(2−1) +N(2−2) + · · ·+N(2−k). C’est une suite strictement croissante de N∗ dans

N∗. Par construction de nk,

∫|fnk+1

− fnk|pdµ ≤ 2−k pour tout k ∈ N∗.Pour tout x ∈ X, soit

ϕ(x) :=+∞∑k=1

|fnk+1(x)− fnk

(x)|.

Par Minkowski,

(∫ϕpdµ

) 1p

≤+∞∑k=1

(∫|fnk+1

− fnk|p) 1

p

≤+∞∑k=1

2−k/p < +∞, donc ϕ(x) < +∞ p.p., et en

particulier fnk(x) converge p.p.

Theoreme 3 (de Riesz-Fisher). Pour tout 1 ≤ p ≤ +∞, Lp(X,A, µ) est complet.

Demonstration. Soit fn une suite de Cauchy de Lp. On veut demontrer qu’elle converge dans Lp. Il suffit devoir qu’elle a une valeur d’adherence, car une suite de Cauchy qui a une valeur d’adherence est convergente.

Il existe E ∈ A de mesure nulle, et une sous-suite fnktelle que fnk

(x) converge pour tout x /∈ E. On posef(x) = limk fnk

(x) si x /∈ E, et f(x) = 0 sinon. La fonction f ainsi definie est mesurable, puisqu’elle est lalimite simple des fnk

1E.Cas p = +∞. Pour tout k, ` ∈ N∗, soit Ek,l ∈ A de mesure nulle, tel que |fnk

(x)− fn`(x)| ≤ ‖fnk

− fn`‖∞

pour tout x /∈ Ek,`. Soit F la reunion de E et des Ek,`. C’est un ensemble de mesure nulle, et pour tout x /∈ F ,pour tout k, ` ∈ N∗,

|fnk(x)− fn`

(x)| ≤ ‖fnk− fn`

‖∞.

II. ESPACES LP 77

Soit ε > 0. Comme (fn) est de Cauchy dans Lp, il existe N ∈ N∗ tel que pour tous k, ` ≥ N , ‖fnk− fn`

‖∞ < ε.Pour tout x /∈ F et tous k, ` ≥ N on a donc |gnk

(x) − gn`(x)| < ε. En faisant tendre ` → +∞ on obtient

|gnk(x) − g(x)| ≤ ε pour tout k ≥ N et tout x /∈ F . Cela prouve que g est essentiellement bornee, et que

‖gnk− g‖∞ < ε pour tout k ≥ N .

Cas p < ∞. Soit ε > 0 et N ∈ N∗ tel que pour tout k, ` ≥ N , ‖fnk− fn`

‖p < ε. Par le lemme de Fatou,pour tout k, ` ≥ N , ∫

X

|fnk− f |pdµ ≤ lim inf

`→+∞

∫X

|fnk− fn`

|pdµ ≤ εp < +∞.

Ceci prouve d’une part que f ∈ Lp, et d’autre part que ‖fnk− f‖p < ε pour tout k ≥ N .

II.3 Espace L2

Definition 7. Soit E un espace vectoriel sur C (resp. R). Un produit scalaire est une application ϕ : E×E →C (resp. R) telle que

pour tous (x, y) ∈ E2, ϕ(·, y) et ϕ(x, ·) (resp. ϕ(x, ·) et ϕ(·, y)) sont lineaires.

pour tous (x, y) ∈ E2, ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (resp. ϕ(x, y) = ϕ(y, x)).

pour tout x ∈ E \ 0, ϕ(x, x) > 0.

Rappels : si 〈·, ·〉 est un produit scalaire sur E, alors ‖x‖ :=√〈x, x〉 est une norme. On a de plus l’inegalite

de Cauchy-Schwarz |〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖ (avec egalite si et seulement si x et y sont lies), et l’identite du paral-lelogramme :

‖x− y‖2 + ‖x+ y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.

Definition 8. Un espace de Hilbert est un espace vectoriel sur R ou C muni d’un produit scalaire, qui estcomplet pour la norme induite.

Exemple : soit (X,A, µ) un espace mesure. L2(X,A, µ,R) et L2(X,A, µ,C) sont des espaces de Hilbert pourle produit scalaire

〈f, g〉 =

∫fgdµ.

Par l’inegalite de Cauchy-Schwartz (i.e. l’inegalite de Holder pour p = q = 2), c’est bien defini.

Chapitre 9

Application aux series de Fourier

On utilisera la notation Lp(0, 1) pour l’espace Lp sur [0, 1] muni de la mesure et de la tribu de Lebesgue.

I Definitions des series de Fourier

I.1 Definition geometrique

Definition 1. Un polynome trigonometrique est une somme finie du type

P (t) =+n∑

k=−n

cke2iπkt,

ou t ∈ R, n ∈ N, et ck ∈ C. Le degre du polynome P est le plus petit n possible dans cette representation.On note Pn l’ensemble des polynomes trigonometriques de degre ≤ n, et P l’ensemble de tous les polynomestrigonometriques.

Remarque : la famille ek(t) = e2iπkt (k ∈ Z) est une famille orthonormee de L2(0, 1), donc en particulier libre.

Definition 2 (Definition geometrique). Soit f ∈ L2(0, 1). La serie de Fourier de f est la suite de fonctions(Sn(f))n∈N egale au projette orthogonal de f sur Pn.

Remarque : on a donc Sn(f) =n∑

k=−n

〈f, ek〉ek.

Definition 3. Soit f ∈ L2(0, 1). Les coefficients de Fourier complexes de f sont definis pour k ∈ Z par

ck(f) = 〈f, ek〉 =

∫ 1

0

f(t)e−2iπktdt.

I.2 Definition analytique

Definition 4. Le noyau de Dirichlet est defini pour tout n ∈ N et t ∈ R par Dn(t) =n∑

k=−n

e2iπkt On a

Dn(t) =sin(π(2n+ 1)t)

sin(πt)pour tout t ∈ R \ Z et Dn(t) = 2n+ 1 sinon.

79

80 CHAPITRE 9. APPLICATION AUX SERIES DE FOURIER

Remarque : on a

∫ 1

0

Dn(t)dt = 1, et comme Dn est pair,

∫ 12

0

Dn(t)dt =1

2.

Lemme 1. Pour toute f ∈ L2(0, 1) et t ∈ [0, 1], on a Sn(f)(t) =

∫ 1

0

f(s)Dn(t− s)ds.

Demonstration.

Sn(f)(t) =n∑

k=−n

(∫ 1

0

f(s)e−2iπksds

)e2iπkt =

∫ 1

0

f(s)

(n∑

k=−n

e2iπk(t−s)

)ds =

∫ 1

0

f(s)Dn(t− s)ds.

Definition 5 (Definition analytique). Soit f ∈ L1(0, 1). La serie de Fourier de f est la suite de polynomestrigonometriques definie pour t ∈ [0, 1] et n ∈ N par

Sn(f)(t) =

∫ 1

0

f(s)Dn(t− s)ds.

Remarque :Dn etant continue, l’integrale existe. On definira les coefficients de Fourier de f de la memefacon.

I.3 Inegalite de Bessel

Proposition 1 (Inegalite de Bessel). Soit f ∈ L2(0, 1), ck ses coeffcients de Fourier complexes. On a

∑k∈Z

|ck|2 ≤∫ 1

0

|f(t)|2dt.

Demonstration. Comme la famille (ek) est orthonormale, on an∑

k=−n

|ck|2 = ‖Sn(f)‖2. Comme Sn(f) est le

projette orthogonal de f sur Pn, on a ‖Sn(f)‖2 ≤ ‖Sn(f)‖2 + ‖f − Sn(f)‖2 = ‖f‖2 Donc

n∑k=−n

|ck|2 ≤∫ 1

0

|f(t)|2dt pour tout n ∈ N.

Remarque : la serie numerique∑k∈Z

|ck|2 est donc convergeante.

II Convergence des series de Fourier

II.1 Convergence dans L2(0, 1)

II. CONVERGENCE DES SERIES DE FOURIER 81

Theoreme 1. Pour toute f ∈ L2(0, 1), Sn(f) converge vers f dans L2(0, 1), c’est a dire

limn→+∞

∫ 1

0

∣∣∣∣∣f(t)−n∑

k=−n

cke2iπkt

∣∣∣∣∣2

dt = 0.

Definition 6. Le noyau de Fejer est defini pour n ∈ N et t ∈ [0, 1] par ϕn(t) =1

n

n−1∑k=0

Dk(t). On a

ϕn(t) =1

n

(sin(πnt)

sin(πt)

)2

pour tout t ∈ R \ Z et ϕn(t) = n sinon.

Remarque : on a ϕn ≥ 0 et

∫ 1

0

ϕn(t)dt = 1.

Lemme 2 (d’unicite). Soit f ∈ L1(0, 1) telle que ck(f) = 0 pour tout k ∈ Z. Alors f = 0.

Demonstration. Comme le noyau de Fejer est un polynome trigonometrique,∫ 1

0

f(s)ϕn(t− s)ds = 0 pour tous k ∈ Z et t ∈ [0, 1].

En particulier,∫ 1

0

|f(t)|dt =

∫ 1

0

∣∣∣∣∫ 1

0

(f(t)− f(s))ϕn(t− s)ds∣∣∣∣dt ≤ ∫ 1

0

∫ 1

0

|f(t)− f(s)|ϕn(t− s)|dsdt.

Soit ε > 0. Il existe g ∈ C(0, 1) telle que

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|dt < ε. Comme g est uniformement continue, il existe

η > 0 tel que pour tous (t, s) ∈ [0, 1]2 tels que |t − s| < η, on ait |g(t) − g(s)| < ε. L’inegalite triangulairedonne ∫ 1

0

|f(t)|dt ≤∫ 1

0

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|ϕn(t− s)dsdt+

∫ 1

0

∫ 1

0

|f(s)− g(s)|ϕn(t− s)dsdt

+

∫ 1

0

∫ 1

0

|g(t)− g(s)|ϕn(t− s)|dsdt

≤ 2

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|dt+

∫∫|t−s|<η

εϕn(t− s)dsdt+

∫∫|t−s|≥η

2‖g‖∞ϕn(t− s)dsdt.

≤ 2ε+ ε

∫ 1

0

∫ 1

0

ϕn(t− s)dsdt+ 2‖g‖∞∫ 1

0

∫ 1

0

1

nη2dsdt = 2ε+ ε+ 2

‖g‖∞nη2

< 4ε,

des que n est choisit tel que2‖g‖∞nη2

< ε. Comme ε est arbitraire, on a f = 0.

Demonstration du theoreme. Pour tous n,m ∈ N tels que m ≤ n, on a∫ 1

0

|Sn(f)(t)− Sm(f)(t)|2dt =∑

m<|k|≤n

|ck|2 → 0 quand n,m→ +∞,


puisque la serie∑|ck|2 est convergeante. La suite Sn(f) est donc de Cauchy dans L2(0, 1). Soit g ∈ L2(0, 1)

sa limite. Pour tout k ∈ Z et tout n ∈ N tel que n > |k|, on a ck(Sn(f)) = ck(f). Par passage a la limiten→ +∞, on a donc ck(f) = ck(g) pour tout k ∈ Z, et le lemme d’unicite donne f = g.

Corollaire 1 (Formule de Parseval). Pour toute f ∈ L2(0, 1) on a∑k∈Z

|ck|2 =

∫ 1

0

|f(t)|2dt.

Demonstration. ‖Sn(f)‖22 =

n∑k=−n

|ck|2, et on fait tendre n vers l’infini.

II.2 Convergence normale

Theoreme 2 (de convergence normale). Soit f ∈ L2(0, 1) telle que

∫ 1

0

f(t)dt = 0 et F definie pour

t ∈ [0, 1] par F (t) =

∫ t

0

f(s)ds. Alors la serie de Fourier de F converge normalement vers F .

Remarque : l’hypothese sur f permet de prolonger F en une fonction continue et 1-perodique sur R. Le casclassique est celui ou f est continue par morceaux, c’est-a-dire F continue et C1 par morceaux.

Demonstration. Soit k ∈ Z∗. Soient (ck) les coefficients de Fourier de F et (c′k) ceux de f . Par Fubini on a

ck =

∫ 1

0

∫ t

0

f(s)e−2iπktdsdt =

∫ 1

0

f(s)

∫ 1

s

e−2iπktdtds =

∫ 1

0

f(s)e−2iπks − 1

2iπkds =

c′k2iπk

.

En particulier, comme c′k ∈ `2(Z),+∞∑

k=−∞

|ck| < +∞. Soit pour t ∈ [0, 1],

S(t) =+∞∑

k=−∞

cke2iπkt.

La serie est normalement convergeante, donc S est continue, et par le theoreme de convergence uniforme, pourtout ` ∈ Z,

c`(S) =+∞∑

k=−∞

c`(ek) =+∞∑

k=−∞

ck1k=` = c`.

F et S ont les meme coefficients de Fourier, donc sont egales presque partout. Comme elles sont continue,elles sont egales partout.

II.3 Condition de Dini

Lemme 3 (de Riemann-Lebesgue). Soient (a, b) ∈ R2 tels que a < b et ϕ : R → R de classe C1, bornee, dederivee bornee. Alors pour toute f ∈ L1(0, 1),

limr→±∞

∫ b

a

f(t)ϕ′(rt)dt = 0.


Remarque : on l’applique en general a ϕ(t) = sin t, cos t ou eit. Le lemme se prouve directement par integrationpar parties si f est de classe C1.

Lemme 4. C1(0, 1) est dense dans L1(0, 1).

Demonstration. Soit f ∈ L1(0, 1) et ε > 0. On a monte au chapitre 5 qu’il existe h ∈ C(0, 1) telle que‖f − h‖1 < ε. On prolonge h sur R en une fonction continue. La fonction

g(x) =1

η

∫ x+η

x

h(t)dt

est de classe C1, et converge uniformement vers g sur [0, 1], lorsque η → 0. On a donc

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|dt < 2ε

si η est assez petit.

Demonstration du lemme de Riemann-Lebesgue. Soit ε > 0. Il existe une fonction g : [0, 1]→ C de classe C1

telle que

∫ 1

0

|f(t)− g(t)|dt < ε. On a∫ b

a

g(t)ϕ′(rt)dt =1

r[g(t)ϕ(rt)]t=bt=a −

1

r

∫ b

a

g′(t)ϕ(rt)dt = O(1/r),

donc ∣∣∣∣∫ b

a

f(t)ϕ′(rt)dt

∣∣∣∣ ≤ ‖f − g‖1 +C

r,

ou C ne depend que de g et ϕ, et en choisissant r assez grand on a

∣∣∣∣∫ b

a

f(t)ϕ′(rt)dt

∣∣∣∣ < 2ε.

Theoreme 3 (Dini). Soit f ∈ L1(0, 1) et 0 < t < 1. S’il existe ` ∈ C tel que la fonction

ϕ(s) =f(t+ s) + f(t− s)− 2`

s,

soit integrable au voisinage de 0, alors Sn(f)(t) converge vers `.

Remarque : il existe au plus une valeur possible pour `, car s→ s−1 n’est pas integrable au voisinage de 0.

Demonstration. On prolonge f sur R en une fonction 1-periodique en posant f(t+ k) = f(t) pour tous k ∈ Zet 0 ≤ t < 1. Comme les fonctions considerees sont 1-periodiques,

Sn(f)(t0)− ` =

∫ 1

0

(f(t)− `)Dn(t0 − t)dt =

∫|t−t0|< 1

2

(f(t)− `)Dn(t0 − t)dt.

On fait le changement de variables t = t0 + s pour t > t0, et t = t0 − s pour t < t0. On obtient

Sn(f)(t0)− ` =

∫ 12

0

(f(t0 + s)− `)Dn(−s)ds+

∫ 12

0

(f(t0 − s)− `)Dn(s)ds

=

∫ 12

0

f(t0 + s) + f(t0 − s)− 2`

sin πssin π(2n+ 1)sds. (9.1)

Par hypothese, la fonction s→ f(t0 + s) + f(t0 − s)− 2`

sin πsest integrable sur ]0, 1/2], et le lemme de Riemann-

Lebesgue donne le resultat.

Exemple : f satisfait a la condition de Dini si par exemple f est derivable en t.


II.4 Condition de Dirichlet

Theoreme 4 (Dirichlet). Soit f ∈ L1(0, 1). Soit 0 < t < 1 tel que f soit a variation finie au voisinage de

t. Alors Sn(f)(t) converge versf(t+) + f(t−)

2.

Lemme 5. Pour tout n ∈ N et tous 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, on a

∣∣∣∣∫ y

x

Dn(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 2.

Demonstration. On remarque que Dn est pair par rapport a t = 1/2. Il suffit donc de montrer que∣∣∣∣∣∫ 1

2

x

Dn(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤ 1

pour tout x ∈ [0, 1/2]. Si x = 0 on a

∫ 12

0

Dn(t)dt =1

2. Soit 0 < x ≤ 1/2.

La fonction t → 1

sin πtest decroissante et positive sur ]0, 1/2]. Par le second theoreme de la moyenne, il

existe x′ ∈ [x, 1/2] tel que∫ 12

x

Dn(t)dt =

∫ 12

x

sin(2n+ 1)πt

sin πtdt =

1

sin πx

∫ x′

x

sin(2n+ 1)πtdt =cos(2n+ 1)πx− cos(2n+ 1)πx′

(2n+ 1)π sin πx

La fonction t→ t

sin πtest croissante sur ]0, 1/2] (exo), en particulier sin πt ≥ 2t pour tout t ∈]0, 1/2], donc∣∣∣∣∣∫ 1

2

x

Dn(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤ 2

(2n+ 1)2πx=

1

(2n+ 1)πx≤ 1 si (2n+ 1)πx ≥ 1.

D’autre part, comme |Dn(t)| ≤ (2n+ 1)πt

2t=

(2n+ 1)π

2pour tout t ∈ [0, 1/2],∣∣∣∣∣

∫ 12

x

Dn(t)dt

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣12 −∫ x

0

Dn(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 1

2+

(2n+ 1)πx

2≤ 1 si (2n+ 1)πx ≤ 1.

Preuve du theoreme. Supposons d’abord que f est croissante sur [0, 1]. Soit 0 < t < 1, η tel que 0 < t− η <

t+ η < 1 et ` =f(t+) + f(t−)

2. Par parite de Dn on a pour tout η > 0 et n ∈ N∗,∫ t+η

t−ηDn(t− s)ds = 2

∫ η

0

Dn(u)du et

∫ t+η

t

Dn(t− s)ds =

∫ t

t−ηDn(t− s)ds =

∫ η

0

Dn(u)du.

En utilisant cela et la relation

∫ 1

0

Dn(t− s)ds = 1, on voit que

Sn(f)(t)− ` =

∫[0,1]\[t−η,t+η]

(f(s)− `)Dn(t− s)ds+

∫ t+η

t

(f(s)− f(t+))Dn(t− s)ds

+

∫ t

t−η(f(s)− f(t−))Dn(t− s)ds := I1 + I2 + I3. (9.2)


Soit ε > 0. On choisit η > 0 tel que 0 ≤ f(t + η) − f(t+) < ε et 0 ≤ f(t−) − f(t − η) < ε. Par le secondtheoreme de la moyenne et le lemme 5,

|I2| ≤ 2(f(t+ η)− f(t+)) ≤ 2ε et |I3| ≤ 2(f(t−)− f(t− η)) ≤ 2ε.

Comme sin π(t − s) ne s’annule pas sur [0, 1] \ [t − η, t + η], la fonction s → f(s)− `sinπ(t− s)

est sommable sur

[0, 1] \ [t− η, t+ η]. Par le lemme de Riemann-Lebesgue, I1 tend vers 0 si n→ +∞. On a donc

|Sn(f)(t)− `| ≤ |I1|+ |I2|+ |I3| ≤ ε+ 2ε+ 2ε = 5ε

pour tout n assez grand.Si f est a variation finie sur [0, 1], elle est combinaison lineaire de fonctions croissantes et on conclut

par linearite. Dans le cas general, soit V un voisinage ouvert de t tel que f|V soit a variation finie. Alorsf1 := f1V est a variation finie sur [0, 1] (elle est a variation finie par morceaux), donc Sn(f1)(t) → f1(t). Deplus f2 := f1[0,1]\V est integrable et nulle au voisinage de t, et par le critere de Dini, Sn(f2)(t)→ 0. On doncSn(f)(t) = Sn(f1)(t) + Sn(f2)(t)→ f1(t) + 0 = f(t).

Chapitre 10

Construction de mesures par dualite

Ce chapitre ne sera traıte que si le temps le permet. Reference : Dudley.

I Liens entre integrale et formes lineaires

I.1 Theoreme de Stone-Daniell

Theoreme 1. Soit X un ensemble, K un espace vectoriel de fonctions f : X → R. On suppose que

(1) pour toutes f, g ∈ K, max(f, g),min(f, g) et min(f, 1) sont dans K,

(2) I : K → R est une forme lineaire telle que pour toute f ∈ K positive, I(f) ≥ 0,

(3) pour toute suite fn ∈ K decroissante (fn+1 ≤ fn) et convergeant simplement vers 0, on a I(fn)→ 0.

Alors il existe une mesure µ sur la σ-algebre generee par les fonctions de K, telle que toute f ∈ K estsommable, et

I(f) =

∫fdµ.

Cette mesure est unique si de plus il existe une suite ϕn ∈ K, positive, croissante, convergeant vers 1.

Remarque : on ne suppose pas forcement que 1 ∈ K. Si c’est la cas, la condition min(f, 1) ∈ K est inutile, etla condition d’unicite est verifiee pour fn = 1. Si f ∈ K et t > 0, les fonctions suivantes sont dans K :

|f | = max(f,−f), f+ = max(f, 0), f− = max(−f, 0),min(f, t) = tmin(f/t, 1),max(f,−t) = −tmin(−f/t, 1)

On rappelle que la σ-algebre engendree par K est la plus petite σ-algebre rendant les fonctions de K mesurables,i.e. la σ-algebre engendree par les ensembles du type f > t, avec f ∈ K et t ∈ R.Exemple : l’exemple fondamental a avoir en tete est X = [a, b], K = l’ensemble des fonctions continues de[a, b]→ R, et I l’integrale classique selon Cauchy. Le point (3) est un consequence du lemme de Dini (toute suitedecroissante de fonctions continues sur [a, b], convergeant simplement vers 0, est uniformement convergente).Le theoreme de Stone-Daniell donne donc une construction alternative de l’integrale de Lebesgue.

Lemme 1. Sous les hypotheses du theoreme,

(1) I est croissante : pour toutes f, g ∈ K telles que f ≤ g, on a I(f) ≤ I(g).

87

88 CHAPITRE 10. CONSTRUCTION DE MESURES PAR DUALITE

(2) I est σ-sous-additive : pour toutes f, fn ∈ K positives telles que f ≤+∞∑n=1

fn, on a I(f) ≤+∞∑n=1

(fn).

(3) I est σ-additive : pour toutes f, fn ∈ K positives telles que f =+∞∑n=1

fn, on a I(f) =+∞∑n=1

(fn).

Demonstration. (1) : g − f ∈ K et g − f ≥ 0 donc I(g)− I(f) = I(g − f) ≥ 0.

(2) : la suite rn = max(0, f −n∑k=1

fk) est decroissante, positive, dans K et tend vers 0. Donc I(rn) → 0. Or

f ≤n∑k=1

fk + rn, donc par croissance et linearite, I(f) ≤n∑k=1

I(fk) + I(rn)→+∞∑k=1

I(fk).

(3) : par (1) et (2), pour tout n ∈ N∗, I(f1) + · · ·+ I(fn) = I(f1 + · · ·+ fn) ≤ I(f) ≤+∞∑n=1

I(fn).

I.2 Rappels sur la methode de Caratheodory

On a demontre au chapitre 3 le theoreme de Caratheodory :

Theoreme 2 (de Caratheodory). Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅ etµ : A → [0,+∞] telle que µ(∅) = 0. On suppose que µ est σ-sous-additive et que pour tous A,B ∈ A, on a

µ∗(A ∩B) + µ∗(B \ A) ≤ µ(B).

Alors µ se prolonge en une mesure sur σ(A) (et en particulier µ est σ-additive sur A).

Corollaire 1. Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅ et µ : A → [0,+∞] telle queµ(∅) = 0. On suppose que pour tous A,B ∈ A, on a A ∩ B ∈ A et B \ A ∈ A, et que µ est σ-additive. Alorsµ se prolonge en une mesure sur σ(A). Ce prolongement est unique s’il existe une suite croissante Xn ∈ A dereunion X, telle que µ(Xn) < +∞.

Demonstration. On demontre que µ est σ-sous-additive : soit A ∈ A et An ∈ A une suite recouvrant A. Ondefinit B1 = A∩A1 et pour n > 1, Bn = A∩An \ (A1 ∪ · · · ∪An−1) = An ∩ (A \A1)∩ · · · ∩ (A \An−1). AlorsBn ∈ A, et partitionnent A. Donc

µ(A) =+∞∑n=1

µ(Bn) ≤+∞∑n=1

µ(Bn) + µ(An \Bn) =+∞∑n=1

µ(An).

On en deduit que µ∗ prolonge µ. On a donc pour tous A,B ∈ A, µ∗(A∩B)+µ∗(B\A) = µ(A∩B)+µ(B\A) =µ(B) : le critere de mesurabilite est verifie, et tous les elements de A donc µ∗-mesurables. La restriction deµ∗ a σ(A) est donc une mesure prolongeant µ. Pour la condition d’unicite, le theoreme d’unicite s’applique,puisque A est stable par intersections finies.

I.3 Demonstration du theoreme de Stone-Daniell

Pour toutes fonctions f, g ∈ K telles que f ≤ g, on pose

]f, g] = (x, y) ∈ X × R t.q. f(x) < y ≤ g(x),

I. LIENS ENTRE INTEGRALE ET FORMES LINEAIRES 89

C’est l’ensemble des points (x, y) compris entre les graphes de f et de g. Soit A la famille de ces ensembles.On definit ν sur A par ν(]f, g]) = I(g)− I(f) ∈ R+. Un element de A se represente de plusieurs manieres sousla forme ]f, g] (on peut attribuer n’importe quelle valeur si f(x) = g(x)). Mais dans tous les cas, la valeur deg(x)− f(x) est unique, donc ν est bien definie.

Lemme 2. ν se prolonge en une mesure sur σ(A).

Demonstration. On verifie les hypotheses du theoreme de Caratheodory :

→ ν est σ-sous-additive : soient f, g, fn, gn ∈ K telles que f ≤ g, fn ≤ gn et ]f, g] ⊂+∞⋃n=1

]fn, gn]. Alors pour

tout x ∈ X, g(x)−f(x) ≤+∞∑n=1

gn(x)−fn(x). On obtient ν(]f, g]) = I(g−f) ≤+∞∑n=1

I(gn−fn) =+∞∑n=1

ν(]fn, gn]).

→ condition de mesurabilite : pour tous a, b, c, d ∈ R tels que a ≤ b et c ≤ d, on a

]a, b]∩]c, d] =] max(a, c),maxmax(a, c),min(b, d)],

et K est stable par les operations max et min. Donc A est stable par intersections finies. Soient f, g, h, k ∈ Ktelles que f ≤ h ≤ k ≤ g ∈ K. On a ]f, g]\]h, k] =]f, h]∪]k, g], donc

ν∗(]h, k]) + ν∗(]f, g]\]h, k]) ≤ ν(]h, k]) + ν(f, h) + ν(k, g) = ν(]f, g]).

Lemme 3. Pour toute f ∈ K positive, pour tout t > 0 et tous a, b ∈ R+ tels que 0 < a < b, on a

f > t×]a, b] ∈ σ(A) et ν(f > t×]a, b]) = (b− a)ν(f > t×]0, 1]). (10.1)

Demonstration. On pose fn = min(1, n(f −min(f, t))). On a bien fn ∈ K et fn ≥ 0. On affirme que⋃n∈N∗

]0, afn] = f > t×]0, a]. (10.2)

En effet, si 0 < y ≤ afn(x), alors en particulier fn(x) > 0, donc f(x) > t, et 0 < y ≤ afn(x) ≤ a.Reciproquement, si 0 < y ≤ a et f(x) > t, alors f(x) > t+ 1/n pour n assez grand, donc 0 < y ≤ a = afn(x).Par (10.2), f > t×]0, a] ∈ σ(A), et comme fn est croissante,

ν(f > t×]0, a]) = limn→+∞

I(afn) = a limn→+∞

I(fn) = aν(f > t×]0, 1]).

On a le meme resultat en remplacant a par b. Or, f > t×]0, a] ⊂]0, af/t], donc ν(f > t×]0, a]) ≤ν(0, af/t) = a/tI(f) < +∞, donc on peut soustraire les deux equations et on obtient (10.1).

La famille B = E ∈ σ(K) t.q. E×]0, 1] ∈ σ(A) est stable par intersections finies et par differences. Elleengendre σ(K) car elle contient les ensembles f > t, pour f ∈ K positive et t > 0. L’application definiepour E ∈ B par µ(B) = ν(E×]0, 1]) est σ-additive. Donc µ se prolonge a σ(K) en une mesure.

Lemme 4. Pour toute fonction f ∈ K, f est µ-sommable et

∫fdµ = I(f).

Demonstration. Il suffit de faire le cas des f ∈ K positives. On montre d’abord que pour tout n ∈ N∗,

]0, f −min(f, 2−n)] ⊂ En :=+∞⋃k=1

f > k2−n×](k − 1)2−n, k2−n] ⊂]0, f ]. (10.3)


Soit y > 0, et k ∈ N∗ l’unique entier tel que (k − 1)2−n < y ≤ (k + 1)2−n. Si 0 < y ≤ f(x)−min(f(x), 2−n),alors min(f(x), 2−n) < f(x), donc f(x) ≥ 2−n, et donc f(x) ≥ y + 2−n > k2−n. Ceci prouve la premiereinclusion. La seconde est evidente.

Par (10.1), on a ν(En) =+∞∑k=1

2−nµ(f > k2−n). On sait (chapitre 2) que ceci converge vers

∫fdµ. Or

I(min(f, 2−n))→ 0, donc (10.3) implique que ν(En)→ I(f), cqfd.

Lemme 5. La mesure du theoreme de Daniell-Stone est unique si il existe une suite fn ∈ K croissante,positive, telle que fn → 1.

Demonstration. Pour toute f ∈ K positive et t > 0, la fonction min(1, n(f −min(f, t))) est dans K, positive,et converge en croissant vers 1f>t. Donc µ est entierement determinee sur le ensembles du type f > t. Cettefamille engendre σ(K), et est stable par intersections finies puisque f > t ∩ g > s = min(f/t, g/s) > 1.L’hypothese donne que la suite d’ensemble fn > 1/n est croissante, de reunion X, et de mesure finie puisque

µ(fn > 1/n) ≤ n

∫fndµ = nI(fn) < +∞.

II Theoreme de Fubini pour les produits infinis

Theoreme 3. Soit (Xn,An, µn) une suite d’espaces probabilises. On pose X =+∞∏n=1

Xk. Il existe une

unique mesure de probabilite µ sur la tribu produit de X (qui est la tribu engendree par les produits infinisd’ensembles mesurables), telle que

µ

(+∞∏n=1

En

)=

+∞∏n=1

µn(En)

pour toute suite En ∈ An.

Remarque : le produit de droite converge puisque 0 ≤ µn(En) ≤ 1. Si chaque (Xn,An) est un espace metriquemuni de sa tribu borelienne, alors la tribu produit sur X est aussi la tribu borelienne pour la toplologie produit.

Demonstration. On applique le theoreme de Stone-Daniell a X =+∞∏n=1

Xn, K la famille des fonctions f : X → R

de la forme f(x) = fn(x1, . . . , xn), avec fn : X1 × · · · ×Xn → R mesurable (pour la tribu A1 ⊗ · · · ⊗ An) et

bornee, et I definie par I(f) =

∫fndµ1 ⊗ · · · ⊗ dµn. I est bien definie car chaque mesure est de masse 1. Les

hypotheses (1) et (2) du theoreme sont verifiees.Soit f ∈ K et x = (x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · × Xn. Soit fn : X1 × · · · × Xn → R mesurable, bornee,

representant f , avec m ≤ n. On pose Ix(f) =

∫fn(x1, . . . , xn, ·)dµn+1⊗ · · · ⊗ dµm. C’est encore une fois bien

defini, et par le theoreme de Fubini pour les produits finis, x→ Ix(f) est mesurable, bornee, et

I(f) =

∫Ix1,...,xn(f)dµ(x1) · · · dµ(xn). (10.4)

II. THEOREME DE FUBINI POUR LES PRODUITS INFINIS 91

On se donne une suite fk ∈ K decroissante et positives, et on suppose que infk∈N∗

I(fk) > ε pour un certain

ε > 0. Par convergence dominee et monotonie de fk (les fk sont uniformement bornees), on a

ε < infk∈N∗

Ik(f) =

∫X1

limk→+∞

Ix1(fk)dµ(x1) =

∫X1

infk∈N∗

Ix1(fk)dµ(x1),

donc il existe x1 ∈ X1 tel que infk∈N∗

Ix1(fk) > ε. On applique ce resultat a la suite Ix1(fk) et on trouve x2 ∈ X2

tel que infk∈N∗

Ix1,x2(fk) > ε pour tout k ∈ N∗. En iterant, on trouve une suite xn ∈ Xn telle que

Ix1,...,xn(fk) > ε

pour tout k ∈ N∗. Soit x la suite infinie des xn. Si n est assez grand in a Ix1,...,xn(fk) = fk(x), on voit doncque fk(x) ne tend pas vers zero. L’hypothese (3) du theoreme de Stone-Daniell est verifiee, d’ou l’existencede la mesure. Le theoreme d’unicite des mesures s’applique.

Exemple 1 : soit 0, 1N∗ l’ensemble des suites (xn)n∈N∗ avec xn = 0 ou 1. Le produit de Fubini infini de la

mesure1

2δ0 +

1

2δ1 par elle meme est une mesure de probabilite P sur (les boreliens de) 0, 1N∗ telle que la

probabilite de tirer une suite finie fixee x1, . . . , xn soit1

2n. Noter que la probabilite de tirer une suite infinie

determinee est nulle.Exemple 2 : en faisant le produit de Fubini des mesures µn = pnδ1 + (1 − pn)δ0 (ou pn est une suite denombres entre 0 et 1), on obtient une mesure de probabilite P sur 0, 1N∗ qui modelise les jeux de pile ou facetruques, ou la parametre de biais de la piece de monnaie change a chaque etape.Exemple 3 : le produit de Fubini infini de la mesure de Lebesgue sur [0, 1] par elle-meme est une mesurede probabilite sur [0, 1]N

∗qui modelise les suites de nombres xn ∈ [0, 1] choisis au hasard (au sens intuitif du

terme) et de maniere independante. En effet elle est caracterisee par

P(pour tout n ∈ N∗, xn ∈ In) =+∞∏n=1

`(In)

pour toute suite d’intervalles In ⊂ [0, 1].Remarque : le theoreme de Fubini se generalise a des produits non denombrables en prenant des precautions(tribu cylindrique). Le theoreme de Kolmogorov est une variante qui assure l’existence des mesures de proba-bilite plus complexes sur des produit infinis d’espaces polonais, mesures qui modelisent les processus stochas-tiques quelconques (Dudley).

Chapitre 11

Exercices par chapitre

Exercices du chapitre 1

Exercice 1 : Soit X un ensemble.

(1) Montrer que les mesures de Dirac et la mesure de comptage sont bien des mesures sur P(X).

(2) Si X est denombrable, montrer que toute mesure sur P(X) est une serie ponderee de masses de Dirac.

Exercice 2 : Soit X un ensemble, A une famille de parties de X et µ : A → [0,+∞] telle que µ(∅) = 0. Onsuppose que µ est σ-additive et que pour tous A,B ∈ A, les ensembles A ∩B et B \ A sont aussi dans A.

(1) Montrer que µ est croissante.

(2) Pour toute suite An ∈ A, montrer que Bn = An \ (A1 ∪ · · · ∪ An−1) ∈ A.

(3) Soit A ∈ A tel que A ⊂⋃

An. Montrer que µ(A) ≤∑

µ(An).

Exercice 3 : Soit Iσ la famille des reunions denombrables d’intervalles.

(1) Montrer que Iσ est stable par intersections finies et par reunions denombrables. Est-ce une σ-algebre?

(2) Montrer Iσ est la famille des ensembles qui sont la reunion d’un ouvert et d’un ensemble denombrable.

Exercice 4 : [Longeur] On definit la longeur d’un intervalle I par `(I) = sup(I)− inf(I) ∈ [0,+∞].

(1) Soient I et (In)n≥1 des intervalles tels que I ⊂+∞⋃n=1

In. Montrer que `(I) ≤+∞∑n=1

`(In). Indic : commencer

par le cas I compact et In ouverts et faire une recurrence.

(2) Soit In une suite d’intervalles deux-a-deux disjoints inclus dans un intervalle I. Montrer que+∞∑n=1

`(In) ≤

`(I). Indic : on commencera par le cas des suites finies.

Exercice 5 : [Aire] Soient a, b ∈ R tels que a < b, et A la famille des ensembles du type

A(f, g) = (x, y) ∈ [a, b]× R t.q. f(x) ≤ y ≤ g(x),

avec f, g : [a, b]→ R continues telles que f ≤ g. On pose µ(A(f, g)) =

∫ b

a

(g(t)− f(t))dt.

93

94 CHAPITRE 11. EXERCICES PAR CHAPITRE

(1) Soit fn une suite decroissante de fonctions continues sur [a, b], convergeant simplement vers 0. Montrerque la convergence est uniforme. Indic : considerer les compacts Kn = x ∈ [a, b] t.q. fn(x) ≥ ε.

(2) Soient f, fn : [a, b] → R+ continues telles que pour tout t ∈ [a, b], f(t) =+∞∑n=1

fn(t). Montrer que∫ b

a

f(t)dt =+∞∑n=1

∫ b

a

fn(t)dt. Indic : montrer que la serie∑fn converge uniformement.

(3) Montrer que µ est σ-additive sur A (on admettra le resultat de l’exercice 4).

Exercice 6 : Soit X un ensemble, et An une suite de parties de X.

(1) Determiner la σ-algebre engendre par l’ensemble A1.

(2) Determiner σ(A1, . . . , An) en fonction de σ(A1, . . . , An−1) et de An.

(3) Montrer que σ(A1, . . . , An) est fini.

Exercice 7 : Soit X un ensemble et A une σ-algebre sur X. On suppose que A est au plus denombrable.

(1) Pour tout x ∈ X soit E(x) l’intersection des A ∈ A tels que x ∈ A. Montrer que E(x) ∈ A.

(2) Soient x, y ∈ X tels que E(x) ∩ E(y) 6= ∅. Montrer que E(x) = E(y).

(3) Montrer que tout A ∈ A est reunion denombrable disjointe d’ensembles du type E(x).

(4) Montre que A est finie.

Exercice 8 : (exam 2012) Soit E la reunion d’une famille finie I d’intervalles. Le but est trouver deuxsous-familles I1, I2 telles que

· les intervalles de chaque famille sont deux-a-deux disjoints.

· la reunion des intervalles de I1 et des intervalles de I2 est egale a E.

(1) Montrer qu’il existe I1, . . . , In ⊂ I tel que E = I1 ∪ · · · ∪ In, avec n minimal.

(2) Montrer que dans chaque intervalle Ik, il y a au moins un point xk qui n’est dans aucun des autres.

On permute les Ik de sorte que x1 < x2 < · · · < xn.

(3) Montrer que I1 = Ik, k pair et I2 = Ik, k impair conviennent. Indication : si I et J sont deuxintervalles tels que I ∩ J 6= ∅, alors I ∪ J est un intervalle.

Soient µ et ν deux mesures de Borel sur R.

(4) soient E1, . . . , En ∈ B(R). On suppose que µ(Ek) ≤ ν(Ek) pour tous 1 ≤ k ≤ n. Montrer que

µ(E1 ∪ · · · ∪ En) ≤ n× ν(E1 ∪ · · · ∪ En).

Si I1, . . . , In sont des intervalles, montrer qu’on a plus precisement :

µ(I1 ∪ · · · ∪ In) ≤ 2× ν(I1 ∪ · · · ∪ In).

(5) montrer que la constante 2 est optimale.

95


Exercice 1 : Soient X et Y deux ensembles et f : X → Y une fonction. Soit B ⊂ X et (Bn)n≥1 une suite departies de Y , A ⊂ X et (An)n≥1 une suite de parties de X. On a

f−1(Y \B) = X \ f−1(B), f−1( ⋃n≥1

Bn

)=⋃n≥1

f−1(Bn), f−1( ⋂n≥1

Bn

)=⋂n≥1

f−1(Bn),

f(X \ A) ⊂ Y \ f(A), f( ⋃n≥1

An

)=⋃n≥1

f(An), f( ⋂n≥1

An

)⊂⋂n≥1

f(An)

Exercice 2 : soit µ la mesure de comptage sur N∗. Montrer que toute suite (xn)n≥1 ∈ [0,+∞] a pour integrale∫(xn)n≥1dµ =

+∞∑n=1

xn. Montrer qu’une suite (xn)n≥1 de nombre complexes est sommable si et seulement si

+∞∑n=1

|xn| < +∞.

Exercice 3 : soit X un ensemble et µ la mesure de comptage sur X. Soit f : X → C une fonction. Le supportde f est

supp(f) = x ∈ X t.q. f(x) 6= 0.Montrer que si f est sommable pour µ alors son support est denombrable. Indication : Tchebitchev.Exercice 4 : soit f : [a, b] → C derivable de derivee bornee. Montrer que f ′ est sommable sur [a, b]. En

utilisant le theoreme de convergence dominee montrer que f(b)− f(a) =

∫ b

a

f ′(t)dt.

Exercice 5 : soit f : [a, b]×[c, d]→ C continue. En utilisant le theoreme de derivation sous l’integrale, montrerque ∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy.

Indication : deriver par rapport a b.Exercice 6 : Soit [a, b] un intervalle compact de R. Une fonction f : [a, b]→ C est dite reglee si f admet unelimite epointee a droite finie, notee f(x+), en tout point x ∈ [a, b[, et une limite epointee a gauche finie, notef(x−), en tout point x ∈]a, b]. On note R(a, b) l’ensemble des fonctions reglees sur [a, b].

(1) Montrer qu’une fonction reglee est bornee. Indication : considerer un suite (xn) ∈ [a, b] telle que|f(xn)| → +∞ et utiliser la compacite de [a, b].

(4) Montrer que R(a, b) est stable par limite uniforme.

(5) Soit f ∈ R(a, b) et ε > 0. Soit E l’ensemble des x ∈ [a, b] tels qu’il existe ϕ : [a, x]→ C en escalier avec|f(y)− ϕ(y)| < ε pour tout y ∈ [a, x]. Montrer que a ∈ E. Montrer par que sup(E) < b est impossible,puis que b = max(E).

(6) Montrer que toute fonction reglee sur [a, b] est limite uniforme de fonctions en escalier, et reciproquement.En deduire que les fonctions reglees sont boreliennes, et qu’elles sont continues sauf sur un ensemble auplus denombrable.

Exercice 7 : soit I ⊂ R un intervalle ouvert, et f : I → R une fonction.

(1) La tangente maximale non centree de f est definie pour x ∈ I par

Tf(x) = sup∣∣∣∣f(z)− f(y)

z − y

∣∣∣∣ avec (x, y) ∈ I2 t.q. y < x < z.

Montrer que Tf est sci.


(2) Pour x ∈ I on pose

Df(x) = lim supy→x+

f(y)− f(x)

y − x.

Montrer que pour tout x ∈ I,

Df(x) = limn→+∞

supf(y)− f(x)

y − xavec y ∈ I et x < y < 1/n

.

(3) En deduire que si f est continue, Df est borelienne.

(4) Montrer plus generalement que si f est reglee, Df est borelienne (utiliser l’exercice precedent).


Exercice 1 : [admettre l’existence de la mesure de Lebesgue] soient f, g : [a, b] → R sommables. On suppose

que

∫ x

a

f(t)dt =

∫ x

a

g(t)dt pour tout x ∈ [a, b]. Montrer que f(t) = g(t) p.p.

Exercice 2 : Soit µ une mesure sur B(R), invariante par translations, telle que µ([0, 1[) = 1. Montrer queµ([k2−n, (k + 1)2−n[) = 2−n pour tous (k, n) ∈ Z. Montrer que µ(I) = `(I) pour tout intervalle I.Exercice 3 : Montrer qu’il existe au plus une mesure sur B(R) telle que µ(I) = `(I) pour tout intervalle I.Exercice 4 : Soit X = 1, 2, 3 et F = 1, 2, 2, 3. Montrer que F engendre la tribu P(X) et que deuxmesures de probabilite sur P(X), egales sur F , sont egales. Indication : resoudre le systeme lineaire 3 × 3correspondant.Exercice 5 : Soit X = 1, 2, 3, 4 et F = 1, 2, 2, 3. Montrer que F engendre P(X). Trouver deuxmesures de probabilites distinctes sur P(X), mais egales sur F . Indication : trouver deux solutions du systemelineaire 4× 4 correspondant.Exercice 6 : Soit X un ensemble, A une famille de parties de X contenant ∅, et µ : A → [0,+∞] uneapplication σ-additive. On suppose que pour tous A,B ∈ A, et A ∩ B ∈ A, et qu’il existe une suite Cn ∈ A

d’ensembles deux-a-deux disjoints tels que B \ A =+∞⋃n=1

Cn (ce qui est le cas par exemple si B \ A ∈ A).

(1) Soit A ∈ A et n ∈ N∗. Montrer par recurrence que si A1, . . . , An est une suite d’ensembles deux-a-deux

disjoints de A inclus dans A, on an∑k=1

µ(Ak) ≤ µ(A).

(2) En deduire que µ est croissante, puis qu’elle est σ-sous-additive.

(3) Montrer que les elements de A sont µ∗-mesurables. Que peut-on en deduire?

Exercice 7 : Soit X un ensemble, A une σ-algebre sur X, µ une mesure finie sur A. Le but est de prolongerµ en une mesure sur une σ-algebre strictement plus grosse (sauf si A = P(X)).

On fixe E ∈ P(X) \ A. Soit µ∗ la mesure exterieure canonique associee a µ.

(1) Montrer que les elements de A sont µ∗-mesurables (utiliser le critere).

(2) Montrer que A→ µ∗(A ∩ E) est une mesure (utiliser la definition des ensembles µ∗-mesurables).

(3) Montrer que la σ-algebre engendree par A ∪ E est la famille des ensembles du type A ∩ E ∪ B \ E,avec A,B ∈ A.

(4) On pose µ′(A ∩ E ∪ B \ E) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(B \ E). Montrer que µ′ est bien definie, et que c’est unemesure prolongeant µ.

97


Exercice 1 : Soient f, g : [a, b] → R+ sommables telles que

∫ y

x

f(t)dt ≤∫ y

x

g(t)dt pour tous a ≤ x ≤ y ≤ b.

Montrer que f(t) ≤ g(t) p.p. Indic : montrer que

∫U

f ≤∫U

g pour tout ouvert U .

Exercice 2 : Soit E ⊂ Rd. On suppose que pour tout ε > 0, il existe F ferme et U ouverts tels que F ⊂ E ⊂ Uet m(U \ F ) < ε

(1) Montrer qu’il existe deux boreliens A et B tels que A ⊂ E ⊂ B et m(B \ A) = 0.

(2) Montrer E est la reunion d’un borelien et d’un ensemble negligeable.

(3) Soit f : Rd → [0,+∞] ou C mesurable avec la tribu de Lebesgue sur Rd et la tribu de Borel sur [0,+∞].Montrer que f est la somme d’une fonction borelienne et d’une fonction nulle p.p. (et la reciproque).

(4) Montrer qu’une fonction nulle p.p. est L(R)-mesurable.

Exercice 3 : Une fonction f : [a, b] → R est Riemann integrable si pour tout ε > 0, il existe u, v : [a, b] → R

continues telles que u ≤ f ≤ v et

∫ b

a

(v − u) < ε.

(1) Montrer qu’il existe deux suites un et vn de fonctions continues [a, b] → R telles que un ≤ f ≤ vn etun → f(x), vn → f(x) presque partout.

(2) soit E l’ensemble des points tels que vn−un → 0. Montrer que f1[a,b]\E est nulle presque partout et quef1E est borelienne.

(3) Montrer que f est Lebesgue mesurable et integrable par rapport a la mesure de Lebesgue.

Exercice 4 :

(1) On considere le groupe R/Q des classes d’equivalences de R modulo Q. Montrer qu’il existe un ensembleE ⊂ [0, 1] forme d’un et un seul point de chaque classe d’equivalence.

(2) Soit ϕ : N→ Q ∩ [0, 1] bijective et En = ϕ(n) + E. Montrer que les En sont deux-a-deux disjoints.

(3) Montrer que [0, 1] ⊂⋃n≥1En ⊂ [0, 2]. En deduire que E /∈ L(R).

(4) Montrer qu’il n’y a pas de mesure µ definie sur tout P(R), invariante par translations, sauf les mesurestriviales.

Exercice 5 : On rappelle que tout nombre x ∈ [0, 1] a une representation en base 3 unique sous la forme

x =+∞∑n=1

xn3n,

avec xn ∈ 0, 1, 2, et (xn) non identiquement egale a 2 a partir d’un rang. Soit Kn l’ensemble des nombresx ∈ [0, 1] tels que xk ∈ 0, 2 pour tous 1 ≤ k ≤ n, et K l’ensemble des x ∈ [0, 1] tels que xn ∈ 0, 2 pourtout n ≥ 1 (K s’appelle le triadique de Cantor).

(1) Montrer que Kn est la reunion de 2n intervalles compacts de longeur 3−n. En deduire que K est uncompact de mesure nulle.


(2) Montrer que ϕ : K → [0, 1] definie par ϕ(x) =+∞∑n=1

xn2n+1

est strictement croissante et bijective.

(3) Soit E ⊂ [0, 1] un ensemble non mesurable (exercice 3). Montrer que ϕ−1(E) est mesurable mais n’estpas un borelien.

Exercice 6 : Soit ϕ : R→ R croissante et continue a droite, et µ sa mesure de Lebesgue-Stieljes. Montrer que

µ([a, b]) = ϕ(b)− ϕ(a−), µ([a, b[) = ϕ(b−)− ϕ(a−), µ(]a, b[) = ϕ(b−)− ϕ(a).

Exercice 7 : Soit µ une mesure sur B(R) et ϕ : R→ R une fonction.

(1) Montrer que si µ(]a, b]) = ϕ(b)−ϕ(a) pour tout a, b ∈ R tels que a < b, alors ϕ est croissante et continuea droite. Indication : propriete des mesures.

(2) Si on remplace ]a, b] par [a, b[, [a, b] ou ]a, b[, que dire de ϕ?

Exercice 8 : soit f : Rk → Rl continue.

(1) Montrer que pour tout Borelien E, f(E) est un borelien. Indic : les ensembles ayant cette proprieteforment une tribu.

(2) Meme question pour les ensembles mesurables au sens de Lebesgue, si f est Lipschitzienne (utiliserl’exercice 2 et montrer que l’image d’un ensemble negligeable est negligeable).

Exercice 9 : Soit f : [0, 1]k → Rd une application Lipschitzienne. Soit M l’image de f . Montrer que Hk(M) <+∞.Dans les exercices suivants, ` designe la mesure de longeur sur Rd, i.e. ` = H1.Exercice 10 : Soit γ : [0, 1]→ Rd de classe C1, et Γ son image. Montrer que

`(Γ) ≤∫ 1

0

‖γ′(t)‖dt.

Donner un exemple ou il n’y a pas egalite.Exercice 11 : Montrer qu’il n’y a pas de courbe lipschitzienne γ : [0, 1] → R2 dont l’image est dense dans[0, 1]2, mais qu’il existe une partie E ⊂ [0, 1]2 dense et de longeur finie et non nulle.Exercice 12 : Soit X un ensemble, A une σ-algebre sur X, et K ⊂ A contenant ∅, stable par intersectionsdenombrables et par reunions finies. On suppose que pour tout K ∈ K, X \K est la reunion d’une suite deK. On se donne une mesure µ sur σ(K), finie sur K.

(1) Montrer que pour tout K ∈ K, µ(X \K) = supµ(K ′) avec K ′ ⊂ X \K et K ′ ∈ K.

(2) Montrer que la famille E des E ∈ σ(K) tels que

µ(E) = supµ(K) avec K ⊂ E et K ∈ K

est stable par reunions et intersections denombrables.

(3) Montrer la famille des E ∈ E tels que X \ E ∈ E est une σ-algebre.

(4) Montrer que E = σ(K).

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Exercice 1 : Montrer qu’une fonction croissante est reglee. Montrer que x→ f(x+) est croissante et continuea droite.

Exercice 2 : soit f :]a, b[→ R croissante. Soit E l’ensemble des x ∈]a, b[ en lesquel f n’est pas continue, i.e.f(x−) < f(x+). Pour tout x ∈ E, soit ϕ(x) ∈ Q tel que f(x−) < ϕ(x) < f(x+). Montrer que ϕ : E → Q estinjective. En deduire que E est denombrable.

Exercice 3 : [Lemme de Darboux] Soit f : [a, b]→ R derivable. Montrer que f ′ verifie le theoreme des valeursintermediaires. Indication : soit γ strictement compris entre f ′(a) et f ′(b). Considerer un point ou la fonctiong(x) = f(x)− γ(x− a) est minimale ou maximale.

Exercice 4 : Soit f : [a, b] → R+ une fonction quelconque. On suppose que pour tout ε > 0, il existe

ϕ : [a, b]→ R+ borelienne telle que f ≤ ϕ et

∫ b

a

ϕ < ε. Montrer que f est nulle p.p.

Exercice 5 : Montrer le second theoreme de la moyenne, le theoreme fondamental du calcul, le theoreme deRademacher et le theoreme de differentiation de Lebesgue dans le cadre classique.

Exercice 6 : Soit f : [a, b] → C reglee. Montrer que F (x) :=

∫ x

a

f(t)dt est derivable a droite et a gauche en

tout point, de derivees respectivement f(x+) et f(x−).

Exercice 7 : Soit u : [a, b]→ R monotone et v : [a, b]→ C sommable. Montrer que∣∣∣∣∫ b

a

u(t)v(t)dt

∣∣∣∣ ≤ (|u(a)|+ |u(b)|) maxa≤x≤y≤b

∣∣∣∣∫ y

x

v(t)dt

∣∣∣∣.Indic : considerer t→ u(t)− u(b)

u(a)− u(b).

Exercice 8 : Montrer de deux facons differentes que le produit de deux fonctions a variation finie l’est. Montrerque VF(a, b) est un espace vectoriel norme complet pour la norme ‖f‖ = |f(a)|+Vf (a, b). Si f est a variationfinie sur [a, b], montrer que f est derivable p.p. et que∫ b

a

|f ′(t)|dt ≤ Vf (a, b).

Exercice 9 : Soit E ∈ B(R). Montrer que pour m-presque tout x ∈ E,

limr→0

m(E ∩ [x, x+ r]

r= lim

r→0

m(E ∩ [x− r, x]

r= 1.

Un tel point s’appelle un point de densite de E. Montrer que et pour m-presque tout x /∈ E,

limr→0

m(E ∩ [x, x+ r]

r= lim

r→0

m(E ∩ [x− r, x]

r= 0.

Indication : utiliser le theoreme de derivation de Lebesgue.

Exercice 10 : Soit µ une mesure de Radon non nulle, et ν une mesure quelconque sur B(R). On pose‖ν‖ = ν(R) et pour tout x ∈ R,

f(x) = supν(I)

µ(I)avec I interval ouvert borne tel que x ∈ I et µ(I) > 0

∈ [0,+∞].

(1) Montrer que f est bien definie et est sci.


(2) Soit α > 0 et U l’ouvert x ∈ R t.q. f(x) > α. Montrer que pour tout compact K ⊂ U ,

µ(K) ≤ 2

α‖ν‖.

Indication : recouvrir K par un nombre fini d’intervalles I tels que µ(I) <1

αν(I) et utiliser le probleme

du chapitre 1.

(3) Montrer l’inegalite maximale : µf > α ≤ 2

α‖ν‖. Indication : montrer que tout ouvert de R est reunion

denombrable croissante de compacts.

(4) En deduire que f(x) < +∞ pour µ-presque tout x.


Exercice 1 : soit E ⊂ Rk non Lebesgue-mesurable. Montrer que E×0 ⊂ Rk+` est Lebesgue mesurable. Endeduire que L(Rk)⊗ L(R`) 6= L(Rk+`).Exercice 2 : Soit Bd la boules euclidienne unite de Rd. Soit ωd la mesure de Lebesgue de Bd.

(1) calculer ω1 et ω2.

(2) trouver une formule de recurrence sur ωd. En deduire sa valeur.


Exercice 1 : Montrer que pour toute fonction borelienne f : R→ [0,+∞],∫Rf(x)dx =

∫R∗f(x− 1/x)dx.

Exercice 2 : Calculer le perimetre d’un cercle, l’aire d’un disque et d’une sphere, et le volume d’une boule.Exercice 3 : Par changement de variables polaire montrer que∫∫

R2

e−x2−y2dxdy =

∫ +∞

0

re−r2

dr.

En deduire que

∫Re−x

2

dx =√π.

Exercice 4 : Calculer en fonction de d la mesure de Haussdorf de dimenstion d − 1 de la sphere euclidienneunite de Rd.Exercice 5 : Calculer la longeur du graphe d’une fonction de classe f : [a, b]→ R de classe C1.Exercice 6 : Montrer que l’aire du graphe d’une fonction f : U → Rd de classe C1, ou U est un ouvert de R2,est ∫

U

√1 + ‖∇f‖2dxdy.

Exercice 7 : Soient a, b ∈ R tels que a < b. Soit f : [a, b]→ R sommable, et pour x ∈ [a, b], F (x) =

∫ b

a

f(t)dt.

(1) soit n ∈ N∗, et pour 0 ≤ k ≤ n, xk = a+k(b− a)

n. Montrer que εn := sup

0≤k≤n

∫ xk+1

xk

|f(t)|dt→ 0.

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(2) soit Ek le graphe de F sur [xk, xk+1]. Montrer que (diam(Ek))2 ≤ (xk+1 − xk)2 +

(∫ xk+1

xk

|f(t)|dt)2

(3) montrer que que la longeur du graphe de F est ≤∫ b

a

√1 + |f(t)|2dt.

(4) Montrer qu’il y a egalite. Indic : le graphe de F est compact.

th´eorie de la mesure

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