Tenseur

En mathématiques, plus précisément en algèbre multi-linéaire et en géométrie différentielle, un tenseur dé-signe un objet très général, dont la valeur s’exprimedans un espace vectoriel. On peut l'utiliser entre autrespour représenter des applications multilinéaires ou desmultivecteurs. On pourrait abusivement considérer qu'untenseur est une généralisation à n indices du concept dematrice carrée (la matrice possède un indice ligne et unindice colonne — un tenseur peut posséder un nombrearbitraire d'indices inférieurs, covariants, et d'indices su-périeurs, contravariants, à ne pas confondre avec des ex-posants), mais la comparaison s’arrête là car une matricen'est qu'un simple tableau de nombres qui peut être utilisépour représenter des objets abstraits, alors que le tenseurest, comme les vecteurs et les applications multilinéaires,un objet abstrait dont les coordonnées changent lorsqu'onpasse d'une représentation dans une base donnée à celledans une autre base.On peut envisager l'outil tenseur dans 4 typesd'utilisation différents :

• Le cas simple, où on l'utilise pour ses capacités à re-présenter des objets algébriques complexes et où onn'a pas besoin des concepts de distances ni d'angles ;on n'introduira pas de produit scalaire, et dans cecas les coordonnées co-variantes représentent desobjets de type application linéaire et les coordon-nées contravariantes représentent des objets de type(multi-)vecteurs.

• Le cas où la base est orthonormée, et où il n'y apas de différence entre coordonnées covariantes etcontravariantes.

• Le cas où la base n'est pas orthonormée, et où le pro-duit scalaire est défini par un tenseur métrique. Dansce cas, le tenseur métrique permet de convertir lescoordonnées covariantes en coordonnées contrava-riantes (et vice versa).

• Le cas des espaces courbes de Riemann et plus tard,de la relativité générale, dans lesquels le tenseurmétrique est en fait un champ de tenseurs appe-lé métrique riemannienne (resp Métrique pseudo-riemannienne) et qui dépend donc de la position.

Dans tous ces cas, le terme tenseur est souvent utilisé parextension, pour désigner un champ de tenseurs, c'est-à-dire une application qui associe à chaque point d'un es-pace géométrique un tenseur différent.

En physique, les tenseurs sont utilisés pour décrireet manipuler diverses grandeurs et propriétés phy-siques comme le champ électrique, la permittivité, lesdéformations, les contraintes etc.La première utilisation de la notion et du terme de ten-seur s’est faite dans le cadre de la mécanique des mi-lieux continus, en relation avec la nécessité de décrire lescontraintes et les déformations subies par les corps éten-dus, à partir de laquelle fut formalisée la mécanique ra-tionnelle. En particulier, le tenseur des contraintes et letenseur des déformations sont utilisés dans la science desconstructions pour définir l'état de tension et de défor-mation en tout point d'une structure. Outre la mécaniquedes fluides et mécanique du solide, les tenseurs sont utili-sés dans de nombreux autres domaines de la physique,tels que l'électromagnétisme. Ils sont également large-ment utilisés en relativité générale, pour décrire rigou-reusement l'espace-temps comme variété courbe quadri-dimensionnelle.Les tenseurs sont également utilisés en géométrie diffé-rentielle pour définir sur une variété différentielle les no-tions géométriques de distance, d'angle et de volume. Ce-la se fait par le choix d'un tenseur métrique, c'est-à-direun produit scalaire défini sur l'espace tangent de chaquepoint. Grâce à ce concept, sont alors définies et étudiéesles questions liées à la courbure de la variété. D'autrestenseurs, tels que le tenseur de Riemann et le tenseur deRicci, sont des outils importants pour cette étude.

1 Introduction

Enmathématiques et en physique, un tenseur est un objettrès général, défini intrinsèquement à partir d'un espacevectoriel V (ou si on y ajoute un produit scalaire, à partirde l'espace euclidien tridimensionnel, ou bien l'espace-temps quadri-dimensionnel) et qui ne dépend pas d'unsystème de coordonnées particulier. Cette notion phy-sique de tenseur comme « objet indépendant du systèmede coordonnées » est utile pour exprimer beaucoup delois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas dessystèmes de coordonnées choisis.Par rapport à un système de coordonnées fixé, un vecteurde l'espace de dimension n s’exprime comme une suitefinie de nombres (ce sont les composantes du vecteur),soit : un n-uplet. Si on change de système de coordon-nées, ce vecteur s’exprimera alors par un autre n-uplet,différent selon une loi bien précise. Un tenseur, exprimé

1

2 3 DÉFINITION ET EXEMPLES

Les composants du tenseur des contraintes, un tenseur dedeuxième ordre, en trois dimensions. Le tenseur dans l'image estle vecteur ligne σ =

[T(e1)T(e2)T(e3)

]des forces agissant sur les

faces e1 , e2 et e3 du cube. Ces forces sont représentées par desvecteurs colonnes. Les vecteurs ligne et colonnes qui composentle tenseur peuvent être représentées par une matrice :

σ =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

dans un système de coordonnées particulier, est une sortede n-uplet généralisé qui peut avoir 1 dimension (un n-uplet), ou 2 (une matrice) ou plus. Par un changement dusystème de coordonnées, les composantes d'un tenseur,comme celles d'un vecteur, sont modifiées par une loi pré-cise.Dans le langage de l'algèbre linéaire, la notion mathéma-tique de tenseur est réalisée d'unemanière plus rigoureusepar l'algèbre multilinéaire et la définition d'un tenseurpeut être donnée sans faire référence aux systèmes de co-ordonnées (aux bases), en utilisant la notion d'applicationmultilinéaire et d'espace vectoriel dual.

2 Histoire

Le mot tenseur est issu de l'anglais d'origine latine tensor,mot introduit en 1846 parWilliam Rowan Hamilton pourdécrire la norme dans un système algébrique (finalementnommé algèbre de Clifford). Le mot a été utilisé avec sonsens actuel par Woldemar Voigt en 1899.Le calcul différentiel tensoriel a été développé vers 1890sous le nom de calcul différentiel absolu, et fut rendu ac-cessible à beaucoup de mathématiciens par la publicationpar Tullio Levi-Civita 1900 du texte classique de mêmenom (en italien, suivi de traductions). Au XXe siècle, lesujet devient connu sous le nom de analyse tensorielle, etacquiert une reconnaissance plus large avec l'introductionde la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein,autour de 1915.

La relativité générale est complètement formulée dans lelangage des tenseurs. Einstein a appris à les utiliser, avecquelque difficulté, du géomètre Marcel Grossmann oupeut-être de Levi-Civita lui-même. On utilise égalementles tenseurs dans d'autres domaines, comme par exemplela mécanique des milieux continus.

3 Définition et exemples

3.1 Définition

Un tenseur est une application multilinéaire. L'algèbredes tenseurs est appelée algèbre tensorielle ou algèbremultilinéaire.La définition des tenseurs exposée ici est la plus intrin-sèque, parce qu'elle ne fait pas usage des bases, et est laplus utilisée en mathématiques.Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corpscommutatif K . L'espace dual V* est l'espace vecto-riel formé de toutes les formes linéaires définies sur V.L'espace V* est aussi de dimension n. Les éléments de Vet V* sont appelés respectivement vecteurs et covecteurs.Un tenseur est une application multilinéaire

T : V ∗ × . . .× V ∗︸ ︷︷ ︸h

×V × . . .× V︸ ︷︷ ︸k

→ K

Un tenseur T associe alors à k vecteurs v⃗1, . . . , v⃗k et hcovecteurs w⃗1, . . . , w⃗h un scalaire

T (w⃗1, . . . , w⃗h, v⃗1, . . . , v⃗k).

La multilinéarité garantit que la fonction est linéaire surchaque variable.L'ordre ou type du tenseur est le couple (h,k). On donneaussi le nom d'ordre ou de rang à la somme h+k.Article détaillé : Tenseur (mathématiques).

3.2 Représentation

Dans le cas où l'espace vectoriel V est de dimension fi-nie n, on se donne une base de V (e⃗1, . . . , e⃗n) (avec lesindices situés en bas), V* étant alors muni de la baseduale, notée ici (e⃗ 1, . . . , e⃗ n) (avec les indices notés enhaut). En calculant l'action du tenseur sur ces vecteursde base, on peut représenter le tenseur T par une gran-deur indicée h+k fois où chacun des indices va de 1 àn, (Ti,j,k,...)1≤i,j,k...≤n . On appelle composante chacundes nombres Ti,j,k,... .Chaque indice multiplie le nombre de composantes né-cessaires par n. Représenter un tenseur d'ordre donné né-cessite donc nordre composantes.

3.4 Notation 3

On distingue les indices qui correspondent à un vecteurou à un covecteur en les disposant soit en haut, soit en bas.Un vecteur de V s’écrit x =

∑xie⃗i , et les xi = e⃗ i(x)

s’appellent composantes contravariantes. Un vecteur deV* s’écrit y =

∑yie⃗

i , et les yi = y(e⃗i) s’appellentcomposantes covariantes. De même, en ce qui concerneles composantes du tenseur, on mettra les indices enhaut pour les contravariants, en bas pour les covariants.Par exemple, avec un tenseur du type (1,2), on poseraT (e⃗ i, e⃗j , e⃗k) = T i

jk pour chacune des n3 composantesde T.

3.3 Ordre

• Un tenseur d'ordre 0 est un scalaire. En effet, celui-ci est un simple nombre, qui ne dépend d'aucunebase. Par exemple en mécanique classique masse,température, et autres quantités scalaires sont destenseurs d'ordre 0.

• Un tenseur d'ordre 1 est assimilable à un vecteurou à un covecteur. En effet, si l'espace V est de di-mension n, un tenseur d'ordre 1 dispose de n com-posantes dans une base donnée, tout comme unvecteur. Si l'on change de base, les composanteschangent, mais le tenseur ou le vecteur correspon-dant reste le même. En tant qu'application, le ten-seur est une forme linéaire définie sur V ou surV*, et est donc un élément de V* ou de V. Force,déplacement et autres quantités vectorielles sont destenseurs d'ordre 1.

• Un tenseur d'ordre 2 est une forme bilinéaire. Unebase étant choisie, cette forme est décrite par unematrice M et possède n2 coefficients qui dépendentde la base de V. Le tenseur représente toutes lesmatrices obtenues à partir de M par changement debase.

• Plus généralement, on peut envisager des objets dé-finis avec trois, quatre,m indices (Aijk...) . Un ob-jet défini par m indices et vérifiant les formules dechangement de base est un tenseur d'ordre m . Surun espace vectoriel de dimension finie n, chaque in-dice peut prendre les valeurs de 1 à n. Un tenseurd'ordre m sur cet espace vectoriel a donc nm coef-ficients selon une base donnée. Si le tenseur « re-lie »m espaces vectoriels de dimensions différentesn1, n2, ...nm , alors le tenseur contient ∏m

i=1 ni co-efficients. Par exemple, si le tenseur d'ordre m re-présente une application multi-linéaire de V×V×…×V dans K , alors :

T(⃗a , b⃗ , . . . , l⃗ ) =∑

i,j,...,u

aibj . . . lu T(ei, ej , . . . , eu)

Tij...u=T(ei,ej ,...,eu)

3.4 Notation

Dans les notations, Tijk... représente la composante dutenseur T d'indices (i, j, k, ...) . Quand on veut désignerun tenseur dans sa globalité tout en indiquant l'ordre dece tenseur, on peut souligner le nom du tenseur d'autantde traits que l'ordre du tenseur. Ainsi, avec cette nota-tion, un vecteur sera noté u plutôt que u⃗ , et un tenseurde contraintes mécaniques (d'ordre 2) sera noté σ . Ce-ci est particulièrement utile quand on manipule des ten-seurs d'ordres différents, ce qui est le cas en déformationélastique, pour laquelle on caractérise le comportementde déformation des matériaux par un tenseur M d'ordre4, et les déformations ϵ et contraintes σ par des tenseursd'ordre 2. Dans le cas le plus simple de comportementélastique linéaire, σ = M : ϵ .

3.5 Valence

Dans les applications physiques, on distingue les indicesmatriciels, selon qu'ils sont contravariants (en les met-tant en exposant) ou covariants (en les mettant en in-dice), en fonction du comportement de la grandeur ten-sorielle considérée face à des transformations linéaires del'espace. La valence d'un tenseur est le nombre des in-dices matriciels associé au type de chacun d'eux ; des ten-seurs de même ordre mais de valences différentes ne secomportent pas de la même façon lors de changement dusystème de coordonnées. Par ailleurs, un indice covariantpeut être changé en indice contravariant par produit ten-soriel contracté avec le tenseur métrique. On appelle cetteopération élever ou abaisser des indices.On note la valence en disant que le tenseur est de type(h,k) où h est le nombre d'indices contravariants et kle nombre d'indices covariants. La valence ne note pasl'ordre des indices. La valence est aussi utilisée quand onnote le tenseur par une lettre, un indice en haut signifiealors que le tenseur est contravariant pour cet indice, unindice en bas signifie que le tenseur est covariant pour cetindice. On notera donc les vecteurs avec un indice haut,et les formes linéaires avec un indice bas. Ainsi :

• Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre 1 contrava-riants. Ils sont donc tenseurs de valence (1,0)

• Les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 co-variants. Ils sont de valence (0,1)

• Pour le changement de base d'un tenseur (1,1), onaura une multiplication par la matrice de change-ment de base, et une multiplication par son in-verse, exactement comme pour les matrices d'uneapplication linéaire en algèbre linéaire. Un tenseur(1, 1) peut en effet être considéré comme une ap-plication linéaire. Soit T un tenseur (1,1) défini surV ∗ × V . À un couple (w,v) formé d'une forme li-néairew et d'un vecteur v, il associe un scalaire. Pour

4 4 COMPOSANTES

tout vecteur v, l'application qui à w associe T(w, v)et qui est notée T(.,v) ou T(v) est alors une formelinéaire sur V*, c'est-à-dire un vecteur de V. Ainsi,T associe à un vecteur v un vecteur T(v). En outre,cette correspondance est linéaire.

• Pour le changement de base d'un tenseur (0,2), onaura deux multiplications par la matrice de change-ment de base, exactement comme pour les matricesd'une forme bilinéaire. Un tenseur (0, 2) est en effetune forme bilinéaire.

L'intérêt d'une telle notation, c'est qu'en cas de change-ment de base, elle donne directement le nombre de mul-tiplications par la matrice de changement de base à effec-tuer : k, et par son inverse : h.

3.6 Exemples en physique

En physique, un exemple simple : considérons un bateauflottant sur l'eau. On veut décrire l'effet de l'applicationd'une force sur le déplacement du centre du bateau dansle plan horizontal. La force appliquée peut être modéli-sée par un vecteur, et l'accélération que subira le bateaupar un autre vecteur. Ces deux vecteurs sont horizontaux.Mais leurs directions, qui devraient être identiques pourun objet de forme ronde, ne le sont plus pour un ba-teau, qui est plus allongé dans un sens que dans l'autre.La relation entre les deux vecteurs, qui n'est donc pasune relation de proportionnalité, est cependant une rela-tion linéaire, au moins si on considère une force petite.Une telle relation peut être décrite en utilisant un ten-seur de type (1,1) (1 fois contravariant, 1 fois covariant).Un tel tenseur peut être considéré comme une applicationlinéaire qui transforme un vecteur du plan (la force) enun autre vecteur du plan (l'accélération). Dans une basedonnée, ce tenseur peut être représenté par une matrice,qui, lorsqu'on la multiplie par les composantes d'un vec-teur, donne les composantes d'un autre vecteur. De lamême manière que les nombres qui représentent un vec-teur changent quand on change de système de coordon-nées, les nombres qui représentent le tenseur dans la ma-trice changent quand le système de coordonnées change.En mécanique, on peut également décrire les tensions, lesforces intérieures subies par un solide ou un fluide parun tenseur. Le mot tenseur vient effectivement du verbetendre, qui signifie soumettre à une tension. Considéronsun élément de surface à l'intérieur dumatériau ; les partiesdu matériau situées d'un côté de la surface exercent uneforce sur l'autre côté de la surface (et réciproquement).En général, cette force n'est pas orthogonale à la surface,mais dépendra linéairement de l'orientation de la surface.Nous pouvons la décrire par un tenseur d'élasticité li-néaire, tenseur de type (2,0) (2 fois contravariant, 0 foiscovariant), ou plus précisément, par un champ de ten-seurs de type (2,0), puisque les forces de tension varientde point à point.

Article détaillé : Champ tensoriel.

4 Composantes

4.1 Vecteurs

En dimension 3 pour simplifier, soit une baseB(e⃗1, e⃗2, e⃗3) . Les composantes du vecteur u⃗ sont(u1, u2, u3). Dans une autre base B′(e⃗′1, e⃗′2, e⃗′3) , ellessont (u'1, u'2, u'3). On cherche comment passer de l'uneà l'autre des représentations.Dans la base B, les vecteurs de la base B' s’écrivent :

e⃗′i = e1i · e⃗1 + e2i · e⃗2 + e3i · e⃗3

On peut ainsi définir la matrice de changement de base Pde B vers B' :

P =

e11 e12 e13e21 e22 e23e31 e32 e33

Les colonnes de la matrice de changement de base sontles composantes des vecteurs de la nouvelle base dansl'ancienne. On a alors

u1

u2

u3

= P

u′1

u′2

u′3

u′1

u′2

u′3

= P−1

u1

u2

u3

Les nouvelles composantes s’obtiennent à partir des an-ciennes composantes par multiplication d'une seule ma-trice : le tenseur est dit d'ordre 1. En outre, cette matriceest l'inverse de la matrice de changement de base : cescomposantes sont dites contravariantes.

4.2 Matrices

Soit M une matrice représentant une application linéaireƒ d'un espace vers un autre pour une base donnée danschaque espace. On peut donc changer de base dansl'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. Soient P etQ les matrices de changement de base respectivementdans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. La ma-trice M' représentant ƒ pour les deux nouvelles bases estM ′ = Q−1MP . Le changement de base se fait par mul-tiplication de deux matrices de changement de base : letenseur est dit d'ordre 2. L'une des matrices utilisées est

5

la matrice de changement de base, l'autre est son inverse :le tenseur est du type (1,1).Si M est la matrice d'une forme bilinéaire définie sur V,alors, après un changement de base de matrice de passageP, la nouvelle matrice est M ′ =t PMP . Le change-ment de base se fait par multiplication de deux matricesde changement de base : le tenseur est dit d'ordre 2. Lesdeux matrices sont relatives à P et nullement à son in-verse : le tenseur est doublement covariant, du type (0,2).

4.3 Formes linéaires

Considérons une forme linéaire ƒ sur un espace V, de di-mension 3 par exemple. Celle-ci associe à un vecteur uun scalaire

f(u) = f1u1 + f2u

2 + f3u3

Les indices relatifs aux composantes du vecteur sont no-tés en haut, ceux relatifs à la forme linéaire en bas. Consi-dérons la base duale notée ici (e1, e2, e3) constituée desformes linéaires telles que :

ei(ej) = δij (symbole de Kronecker)

soit

ei(ej) = 1 si i = j

ei(ej) = 0 sinon

La forme linéaire s’écrit alors :

f = f1e1 + f2e

2 + f3e3

et l'on a :

f(u) =(f1 f2 f3

)·

u1

u2

u3

Si l'on fait un changement de base de l'espace V aumoyende la matrice de passage P, alors les composantes du vec-teur u dans la nouvelle base sont

P−1

u1

u2

u3

En revanche, les composantes de f dans la nouvelle baseduale sont

(f1 f2 f3

)P

On voit que dans le cas du changement de la base deformes linéaires, on multiplie par la matrice de change-ment de base, alors que dans le cas du changement de labase de vecteurs, on multiplie par son inverse. Le tenseurassocié à une forme linéaire est d'ordre 1, covariant, doncdu type (0,1).

5 Opérations sur les tenseurs

5.1 Somme et multiplication par un sca-laire

La somme de deux tenseurs de même ordre et même va-lence est un tenseur de même ordre et de même valenceque les deux tenseurs de départ, obtenu en sommant lescomposantes de deux tenseurs. Par exemple, dans le casde tenseurs T et U d'ordre 2, (T + U)ij = T

ij+ U

ij.

Le produit d'un tenseur et d'un scalaire est un tenseur demême ordre et de même valence que le tenseur de départ,obtenu en multipliant les composantes du tenseur par lescalaire.L'ensemble des tenseurs d'ordre et de valence donnésforment donc un espace vectoriel.

5.2 Produit tensoriel

Le produit tensoriel entre T d'ordre n, et U d'ordre p pro-duit un tenseur d'ordre n+p. Les n premiers indices sontrepris de T, et les p indices suivants sont repris à partirde U. Leurs valence est la même que l'indice dont ils pro-viennent. Chaque composante du résultat est le produit :

• de la composante de T associée aux n premiers in-dices de la composante du résultat

• de la composante de U associée aux p derniers in-dices de la composante du résultat.

Ainsi, le produit tensoriel du tenseur T ij par le tenseur

Ukl est le tenseur d'ordre 4 T ijUkl .

Exemples :

• Si on représente deux formes linéaires par deux ten-seurs (donc tenseurs d'ordre 1 et covariants), alorsle produit tensoriel des deux tenseurs représente uneforme bilinéaire, linéaire par rapport à chacune desvariables des formes linéaires de départ. La notionde produit tensoriel provient donc directement de lanotion de produit de fonctions.

• Si on multiplie par le produit tensoriel, un vecteur etune forme linéaire, le résultat sera un tenseur d'ordre(1,1) qui pourra être représenté sous la forme d'unematrice carrée dont le déterminant sera nul. Ceci

6 5 OPÉRATIONS SUR LES TENSEURS

met en évidence qu'il existe de nombreux tenseursd'ordre élevé qui ne sont pas le résultat du produittensoriel.

5.3 Contraction

Demême qu’unematrice a un indice ligne et un indice co-lonne, et que quand on multiplie des matrices, on le faiten multipliant les lignes de la matrice de gauche par lescolonnes de la matrice de droite. Un tenseur peut avoirdes composantes covariantes et contravariantes, et quandon fait le produit contracté de deux indices, on le fait tou-jours entre composantes covariantes et contravariantes,ce qui explique que certains indices soient notés en hautet d'autres en bas, par exemple Tabc.Le contracté d'un tenseur sur deux indices i et j, l'un étantcovariant et l'autre contravariant est un tenseur d'ordren−2 où n est l'ordre du tenseur de départ. Les indices i etj ont disparu dans le tenseur résultat ; la valence des autresindices est inchangée.

T a = T acc

Ici on a fait la somme sur toutes les valeurs possiblesdes deuxièmes et troisièmes indices, quand ceux-ci sontégaux.Dans l'exemple ci-dessus, du produit tensoriel entre unvecteur et une forme linéaire, la contraction du tenseur ré-sultant nous donne le résultat de l'application de la formelinéaire au vecteur.On voit ici que le produit tensoriel est un moyen de com-biner deux objets tout en préservant l'ensemble de leurspropriétés et en différant certaines opérations (ie. les ob-jets restent plus ou moins séparables, si ce n'est que leproduit tensoriel d'objets qui étaient déjà combinés peutêtre décomposé de plusieurs façons). La contraction parcontre, revient à appliquer des opérations qui avaient étélaissées en suspens.

5.4 Produit tensoriel contracté

Le produit tensoriel contracté entre A d'ordre n, et Bd'ordre p, est un tenseur d'ordre (n+p−2). Les n−1 pre-miers indices proviennent de A (leurs valences respec-tives sont les mêmes que les n−1 premiers indices de A),les p−1 derniers proviennent de B (leurs valences respec-tives sont les mêmes que les p−1 derniers indices de B).Le produit tensoriel contracté est un produit tensoriel sui-vi d'une contraction entre l'indice n et l'indice n+1 du ten-seur d'ordre n+p.Une généralisation de ce produit contracté est le double-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordren+p−4), le triple-produit contracté (dont le résultat estun tenseur d'ordre n+p−6), etc. De manière générale,

le p-produit contracté définit un produit scalaire pourl'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Le double-produit contracté est notamment très utilisé pour décrirela déformation élastique des matériaux.

5.5 Convention d'Einstein

On adopte souvent la convention de notation d'Einsteinqui consiste à supprimer le signe de sommation et à leconsidérer comme implicite dès lors que l'indice est ré-pété en haut et en bas dans une expression, par exemple

∑j T

ji uj et

∑j T

ijf

j

se notent respectivement

T ji uj et T i

jfj

Avec cette convention, les expressions relatives au produitcontracté de deux tenseurs, se noteront de façon simple,comme pour le produit de deux matrices.

5.6 Produit scalaire et tenseur métrique

Le produit scalaire entre les vecteurs définit les notionsde norme et d'orthogonalité. Il n'est pas nécessaire maisajoute des outils très intéressants au calcul tensoriel. Dansune base orthonormée, il a une forme canonique simplequi consiste à multiplier une par une les composantes cor-respondantes des deux vecteurs ; comme on exprime alorsles produits contractés entre composantes covariantes etcontravariantes, on doit ajouter entre les deux vecteursune application bilinéaire qui permet de convertir lescomposantes contravariantes en composantes covariantes(ou le contraire). On a :x⃗ · y⃗ = xi1⃗i · 1⃗jyj = xiδijy

j .Dans la plupart des cas, cependant, la base n'est pas ortho-normée, et peut se représenter comme une transformationP de la base canonique. On a doncx⃗ = xi1⃗i , et x⃗ = xe

j e⃗j avec e⃗j = P kj 1⃗k

Il en résulte que x⃗ · y⃗ = xeie⃗i · yej e⃗j = xe

iP ki 1⃗k ·

1⃗lPljye

j = xeiP k

i δklPljye

j = xeigijye

j avec gij =

P ki δklP

lj

La nouvelle matrice gij définit le produit scalaire dansla nouvelle base E, et s’appelle le tenseur métrique del'espace avec la base E. Comme gij est défini en multi-pliant ensemble le premier et le second indice de p, il estautomatiquement symétrique.

5.7 Élévation et Abaissement d'indice

6.1 Tenseur symétrique 7

5.7.1 Élévation

Un indice bas peut être changé en indice haut par multi-plication avec le tenseur métrique gab :

T ac = gabTbc

Le résultat est un tenseur du même ordre mais de valencedifférente : un indice covariant est devenu contravariantdans le tenseur résultat.

5.7.2 Abaissement

Un indice haut peut être changé en un indice bas par mul-tiplication avec le tenseur métrique inverse, gab

Tac = gabTbc

(On utilise la convention d'Einstein, le signe somme surl'indice b est sous-entendu)Le résultat est un tenseur de même ordre mais de valencedifférente : un indice contravariant est devenu covariantdans le tenseur résultat.

5.8 Opérations sur les champs de tenseurs

5.8.1 Gradient

Le gradient d'un champ de tenseurs d'ordre n est la diffé-rentielle de ce champ. On obtient un champ de tenseursd'ordre n+1. Les n premiers indices ont la même valenceque le tenseur de départ. L'indice supplémentaire est co-variant.

5.8.2 Divergence

La divergence d'un tenseur d'ordre n est le produit tenso-riel doublement contracté entre la différentielle de ce ten-seur (autrement dit son gradient) et le tenseur métrique.On obtient alors un tenseur d'ordre n−1. L'indice man-quant est contravariant.

6 Typologie

Dans le cas de l'ordre 2, un tenseur peut être symétriqueou antisymétrique (ou ni l'un, ni l'autre).Pour un tenseur symétrique, on a la relation Tₐ = T ₐ.Pour un tenseur antisymétrique, on a la relation Tₐ = -T ₐ.En général, un tenseur n'est ni symétrique, ni antisymé-trique. Un tenseur quelconque peut cependant être dé-composé en une partie symétrique S et une partie anti-symétrique A, avec les relations :

• Sₐ = 1/2(Tₐ + T ₐ )

• Aₐ = 1/2(Tₐ - T ₐ )

Les parties symétriques et antisymétriques réunies ras-semblent autant d'information que le tenseur originel.Cette règle peut être étendue aux tenseurs d'ordre quel-conque. On dira alors que le tenseur est symétrique pourune paire d'indices, s’il est invariant par échange desdeux indices, et qu'il est antisymétrique pour une paired'indices s’il se transforme en son opposé par échangedes deux indices.Les indices de la paire considérée doivent avoir même va-lence.(Dans le cas contraire la propriété de symétrie dé-pendrait de la base choisie).Dans le cas particulier d'un espace vectoriel de dimension3, un tenseur antisymétrique d'ordre 2 porte le nom depseudovecteur.

6.1 Tenseur symétrique

Un tenseur est symétrique s’il est inchangé par des per-mutations des indices hauts ou une permutation des in-dices bas. Un tenseur d'ordre (0,2) ou bien (2,0) est sy-métrique si et seulement si ses composantes forment unematrice symétrique. Le fait pour un tenseur d'être symé-trique ne dépend pas de la base choisie.

6.2 Tenseur antisymétrique

Un tenseur est antisymétrique si, par une permutationquelconque des indices, il subit un changement de signequi est le signe de la permutation. Un tenseur d'ordres(0,2) ou (2,0) est antisymétrique si et seulement si sescomposantes forment une matrice antisymétrique. Pourun tenseur antisymétrique, les composantes dans les-quelles un indice se répète au moins deux fois sont toutesnulles. Par exemple, les j composantes Tiij du tenseurTabc sont nulles. De ce fait, un tenseur de type (h,k) aveck>n ou h>n est nécessairement nul, parce que l'on ne peutavoir k (ou h) valeurs différentes dans {1,..., n}. En outre(à unemultiplication par un scalaire près), il existe un seultenseur antisymétrique d'ordre (0,n) : le déterminant, outenseur de Levi-Civita.Les tenseurs antisymétriques sont utilisés pour construireles formes différentielles.

7 Voir aussi

7.1 Articles connexes

• Champ tensoriel

• Espace dual

8 7 VOIR AUSSI

• Produit tensoriel

• Tenseur antisymétrique

• Tenseur de Bel-Robinson

• Tenseur des contraintes

• Tenseur de Cotton-York

• Tenseur des déformations

• Tenseur d'Einstein

• Tenseur électromagnétique

• Tenseur énergie-impulsion

• Tenseur de Killing

• Tenseur de Killing-Yano

• Tenseur de Levi-Civita

• Tenseur (mathématiques)

• Tenseur métrique

• Tenseur de Riemann

• Tenseur de Ricci

• Tenseur symétrique

• Tenseur de Weyl

7.2 Bibliographie

• Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introductionau calcul tensoriel, Applications à la physique, Du-nod, 2007, (ISBN 978-2-10-050552-4)

7.3 Liens externes

• Mécanique : tenseurs 1re partie

• Éléments d'algèbre et d'analyse tensorielle à l'usagedes mécaniciens

• Algèbre et analyse tensorielle pour l'étude des mi-lieux continus

• Portail de la physique

• Portail des mathématiques

9

8 Sources, contributeurs et licences du texte et de l’image

8.1 Texte• Tenseur Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur?oldid=111891828 Contributeurs : FvdP, Looxix, Orthogaffe, Ellisllk, Cdang, Ha-

sharBot, R, Koyuki, Aldoo, Camion, OsMoSe, Archibald, MedBot, Titi2, Sam Hocevar, Phe-bot, Bibi Saint-Pol, Ethaniel, Touriste, Ze-james, Nicolas Lussier, Bap, Jef-Infojef, Sbrunner, Theon, Boudah, Mondrian~frwiki, Erasmus, Chobot, Peter17, RobotE, Amoreau, Ze-tud, Loloemr, Arnaud.Serander, Lerichard, RobotQuistnix, Tibault, YurikBot, Gene.arboit, Eskimbot, StéBot, MMBot, Vivarés, Cyril-leDunant~frwiki, Croquant, Pautard, Ektoplastor, Rc1959, NicoV, CalcXEF, Thijs !bot, Autiwa, JAnDbot, MSBOT, Xiawi, IAlex, He-lianthi~frwiki, MIRROR, Tofmao, VolkovBot, Fabrice Dury, Gz260, SieBot, JLM, Cfu, Catalysebot, Alecs.bot, Hercule, Tizeff, Ir4ubot,Mayayu, HerculeBot, Boson~frwiki, ZetudBot, Luckas-bot, Burakumin, Manutaust, Anne Bauval, Levieuxtoby, Coyote du 57, RedBot,EmausBot, EleferenBot, ChuispastonBot, MerlIwBot, Tomdbz, Dc481, Sergelucas, Gguille, EnzaiBot, Ramzan, Addbot, Geoffy~frwiki,D7i5d et Anonyme : 75

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svg Licence : CC BY-SA 3.0 Contributeurs :• Components_stress_tensor_cartesian.svg Artiste d’origine : Components_stress_tensor_cartesian.svg : Sanpaz• Fichier:Confusion_colour.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/Confusion_colour.svg Licence : Public

domain Contributeurs : Travail personnel Artiste d’origine : Bub’s• Fichier:Logo_physics.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Logo_physics.svg Licence :CCBY2.5Contri-buteurs : Aucune source lisible par la machine fournie. « Travail personnel » supposé (étant donné la revendication de droit d’auteur). Artisted’origine : Pas d’auteur lisible par la machine identifié. Guillom supposé (étant donné la revendication de droit d’auteur).

• Fichier:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg Licence : GPL Contributeurs : Derivative work from Image:Nuvola apps edu mathematics.png and Image:Nuvola apps edu mathematics-p.svg Artiste d’origine : David Vignoni (original icon) ; Flamurai (SVG convertion) ; bayo (color)

• Fichier:Racine_carrée_bleue.svg Source : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svgLicence : LGPL Contributeurs : Image:Nuvola apps edu mathematics-p.svg Artiste d’origine : historicair 17 :50, 4 June 2007 (UTC)

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