techniques de calcul de la somme d'une série entière

Techniques de calcul de la somme dune srie entire

Essaidi Ali

30 dcembre 2014

RsumLe but de ce travail et de proposer quelques techniques de calcul de la somme dune srie entire

anz

n coefficient dansK = R ou C.

1 Utiliser un changement de variables :Soient

anz

n une srie entire de rayon de convergence R et de somme f .Pour dterminer f on peut utiliser un changement de variables u = (z) et on obtient une srie entire

bnu

n dont la sommeest faile calculer. On obtient alors |z| < R, f(z) = g(1(u)).Cas classiques :

1. Pour la srie entirenanz

n avec C on utilise le changement de variables u = z.2. Pour la srie entire

nanz

pn avec p N on utilise le changement de variables u = zp.3. Pour les sries entires relles valeurs relles

an sin(n)x

n etan cos(n)x

n avec R on calcule la sommede la srie entire

einanx

n avec le changement de variables u = eix et on passe aux parties relle et imaginaire.4. Pour les sries entires complexes

an sin(n)z

n etan cos(n)z

n de rayon de convergence R > 0 avec R, on calcule les sommes des sries entires

einanz

n eteinanzn laide, respectivement, des changements

de variables u = eix et u = eix. On a alors |z| < R,+n=0

an sin(n)zn =

1

2i

+n=0

(ein ein

)anz

n et

+n=0

an cos(n)zn =

1

2

+n=0

(ein + ein

)anz

n.

Exemples dapplication :

1. Calcul de la somme de la srie entire nxn

2n:

Le rayon de convergence denxn est 2. On considre le changement de variables u = x

2donc x ]2, 2[,

+n=0

nxn

2n=

+n=0

nun = u

+n=1

nun1 =u

(1 u)2 =x

2(1 x2)2

=2

(2 x)2 .

2. Calcul de la somme de la srie entiren1

x3n

n:

Le rayon de convergence den1

x3n

nest 1. On considre le changement de variables y = x3 donc x ]1, 1[,

+n=1

x3n

n=

+n=1

yn

n= ln(1 y) = ln(1 x3).

3. Calcul de la somme de la srie entire

sin(n)xn

n!avec R :

Le rayon de convergence deein x

n

n!est +. On considre le changement de variables u = eix donc z ]

1, 1[,

+n=0

einxn

n!=

+n=0

un

n!= eu = ee

ix.

On dduit que |z| < 1,+n=0

sin(n)xn

n!= =m(eeix) = ex cos sin(x sin).

2 Penser driver et intgrer :Soit

anx

n une srie entire relle de rayon de convergence R > 0 et de somme f . Donc f est C sur ] R,R[ et sesdrives successives sobtiennent par drivation terme terme : k N, x ] R,R[, f (k) =

+n=k

n(n 1) (n k +

1

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1)anxnk.

On calcule alors lune ds drives de f , si cest faisable, on on pass f par intgration terme terme .

Exemple : Calcul de la somme de la srie entiren2

xn

n(n 1) :

Le rayon de convergence de la srie entiren2

xn

n(n 1) est 1 donc sa somme f est C sur ]1, 1[ et on a |x| < 1, f (x) =

+n=2

xn1

n 1 et f(x) =

+n=2

xn2 =+n=0

xn =1

1 x .

On a f (0) = 0 donc x ] 1, 1[, f (x) = f (x) f(0) = x0

f (t)dt = x0

dt

1 t = ln(1 x).

De mme, on a f(0) = 0 donc x ]1, 1[, f(x) = f(x)f(0) = x0

f (t)dt = x0

ln(1t)dt = x+(1x) ln(1x).

3 Utilisation des quations diffrentielles :Soit

anx

n une srie entire relle de rayon de convergence R > 0 et de somme f .Pour dterminer f on peut chercher une quation diffrentielle, faile rsoudre, vrifie par f .

Exemple : Calcul de la somme de la srie entire (1)n(2n)!

(n!)2xn :

On pose n N, an = (1)n(2n)!

(n!)2. On a n N,

an+1an = (2n+2)!(n+1!)2 (n!)2(2n)! = 2(2n+1)(n+1) 4 donc le rayon de convergence deanx

n est R = 14

.Soit f la somme de la srie entire

anx

n donc f est C sur] 1

4, 14

[. On a n N, (n+ 1)an+1 + 2(2n+ 1)an = 0 donc

x ] 14, 14

[, (n+1)an+1x

n+2(2n+1)anxn = 0 do x

]1

4,

1

4

[,

+n=0

(n+1)an+1xn+4

+n=0

nanxn+2

+n=0

anxn =

0.On dduit que x ] 1

4, 14

[, f (x) + 4xf (x) + 2f(x) = 0 donc x ] 1

4, 14

[,(

4x+ 1f(x))

=

4x+ 1f (x) +24x+1

f(x) = 14x+1

((4x+ 1)f (x) + 2f(x)) = 0.Donc R, x ] 1

4, 14

[, f(x) =

4x+1. Or f(0) = a0 = 1 donc x

] 14, 14

[, f(x) = 1

4x+1.

4 Somme de la srie entire

P (n)zn lorsque P est un polynme :Soit la srie entire

P (n)zn avec P un polynme non nul de degrm. Le rayon de convergence de

P (n)zn estR = 1

donc sa somme est bien dfinie pour tout |z| < 1.La famille (1, (X + 1), (X + 1)(X + 2), . . . , (X + 1) (X +m)) forme une base de Km[X] donc 0, . . . , m K telsque P = 0 + 1(X + 1) + + m(X + 1)(X + 2) (X +m) do |z| < 1 :

+n=0

P (n)zn =

+n=0

(0zn + 1(n+ 1)z

n + + m(n+ 1) (n+m)) zn

= 0

+n=0

zn + 1

+n=0

(n+ 1)zn + + m+n=0

(n+ 1) (n+m)zn

=0

1 z +1

(1 z)2 + +m!m

(1 z)m+1

Remarques : Pour dterminer les coefficients 0, . . . , m, on calcule P (k) pour k = 1, . . . ,m, 0 dans cet ordre et on trouve,

respectivement, 0, . . . , m. Cette mthode permet, aussi, de calculer la somme de

(1)nP (n)zn en caclulant celle deP (n)zn et en remplaant

x par x.Exemple : Calcul de la somme de la srie entire

n2zn :

On a (1, (X+1), (X+1)(X+2)) est une base de R2[X] donc a0, a1, a2 R, X2 = a0 +a1(X+1)+a2(X+1)(X+2). Pour n = 1 : a0 = P (1) = 1. Pour n = 2 : a0 a1 = P (2) = 4 donc a1 = 3. Pour n = 0 : a0 + a1 + 2a2 = P (0) donc a2 = 1.

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On dduit que X2 = 1 3(X + 1) + (X + 1)(X + 2) et par suite n N, n2 = 1 3(n+ 1) + (n+ 1)(n+ 2).On a |z| < 1 :

+n=0

n2zn =

+n=0

(1 3(n+ 1) + (n+ 1)(n+ 2))zn

=

+n=0

zn 3+n=0

(n+ 1)zn +

+n=0

(n+ 1)(n+ 2)zn

=1

1 z 3

(1 z)2 +2

(1 z)3=

z2 + z

(1 z)3

Donc |z| < 1,+n=0

n2zn =z2 + z

(1 z)3 .

On a aussi |z| < 1,+n=0

(1)nn2zn = z2 + z

(1 + z)3.


F (n)zn lorsque F est une fraction :Soit la srie entire

F (n)zn avec F une fraction ples entiers. Le rayon de convergence de

F (n)zn est R = 1 donc

sa somme est bien dfinie pour tout |z| < 1.Dans ce cas, on dcompose F en lments simples, si F ne lest pas dj, dans C (attention, dans C) et on utilise la formule

|z| < 1, n0 N,+n=n0

zn

n= ln(1 x) x x

2

2 x

n01

n0 1 .

Remarques : Cette mthode ne marche pas si les ples de F ne sont pas des entiers. Cette mthode permet, aussi, de calculer la somme de

(1)nF (n)zn en caclulant celle deF (n)zn et en remplaant


n1

xn

n3 + 3n2 + 2n:

On a 1X3+3X2+2X

= 1X(X+1)(X+2)

donc a, b, c R tels que 1X3+3X2+2X

= aX

+ bX+1

+ cX+2

.

On a 1(X+1)(X+2)

= a+ bXX+1

+ cXX+2

donc pour x = 0 on obtient a = 12

.

On a 1X(X+2)

= a(X+1)X

+ b+ c(X+1)X+2

donc pour x = 1 on obtient b = 1. On a 1

X(X+1)= b(X+2)

X+ c(X+2)

X+1+ c donc pour x = 2 on obtient c = 1

2.

Donc 1X3+3X2+2X

= 12X 1

X+1+ 1

2(X+2)do n N, 1

n3+3n2+2n= 1

2n 1

n+1+ 1

2(n+2).

On dduit que x ] 1, 1[ non nul :+n=1

xn

n3 + 3n2 + 2n=

1

2

+n=1

xn

n

+n=1

xn

n+ 1+

1

2

+n=1

xn

n+ 2

=1

2

+n=1

xn

n

+n=2

xn1

n+

1

2

+n=3

xn2

n

=1

2

+n=1

xn

n 1x

+n=2

xn

n+

1

2x2

+n=3

xn

n

= 12

ln(1 x) + ln(1 x) + xx

ln(1 x) + x+x2

2

2x2

=x2 ln(1 x) + 2x ln(1 x) + 2x2 ln(1 x) x x2

2

2x2

=(x 1)2 ln(1 x) + 3

2x2 x

2x2



On dduit que |x| < 1,+n=1

xn

n3 + 3n2 + 2n=

(x1)2 ln(1x)+ 3

2x2x

2x2si x 6= 0

0 si x = 0

On a aussi |x| < 1,+n=1

(1)nn3 + 3n2 + 2n

xn =

(x+1)2 ln(1+x)+ 3

2x2+x

2x2si x 6= 0

0 si x = 0

6 Somme de la srie entire P (n)

n! zn lorsque P est un polynme :

Soit la srie entire P (n)

n!zn avec P un polynme de degrm. Le rayon de convergence de

P (n)n!

zn estR = + doncsa somme est bien dfinie sur C.La famille (1, X,X(X 1), . . . , X(X 1) (X m + 1)) forme une base de Cm[X] donc 0, . . . , m K tels queP = 0 + 1X + + mX(X 1) (X m+ 1) do z C :

+n=0

P (n)

nzn =

+n=0

0 + 1n+ + mn(n 1) (nm+ 1)n!

zn

= 0

+n=0

1

n!zn + 1

+n=0

n

n!zn + + m

+n=0

n(n 1) (nm+ 1)n!

zn

= 0

+n=0

1

n!zn + 1

+n=1

1

(n 1)!zn + + m

+n=m

1

(nm)!zn

= 0

+n=0

1

n!zn + 1z

+n=0

1

n!zn + + mzm

+n=0

1

n!zn

= 0ez + 1ze

z + + mzmez

= (0 + 1z + + mzm)ez

Remarques : Pour dterminer les coefficients 0, . . . , m, on calcule P (k) pour k = 0, . . . ,m dans cet ordre et on trouve, respective-

ment, 0, . . . , m. Cette perme de calculer la somme de la srie entire

(1)n P (n)

n!zn en remplaant z par z dans la somme de P (n)

n!zn.

Exemple : Calcul de la somme de la srie entire n3

n!zn :

On a (1, X,X(X 1), X(X 1)(X 2)) est une base de R3[X] donc a0, a1, a2, a3 R, X3 = a0 + a1X + a2X(X 1) + a3X(X 1)(X 2).

Pour x = 0 : a0 = P (0) = 0. Pour x = 1 : a0 + a1 = 13 = 1 donc a1 = 1. Pour x = 2 : a0 + 2a1 + 2a2 = 23 = 8 donc a2 = 3. Pour x = 3 : a0 + 3a1 + 6a2 + 6a3 = 33 = 27 donc a3 = 1.

On dduit que X3 = X + 3X(X 1) +X(X 1)(X 2) et par suite n N, n3 = n+ 3n(n 1) + n(n 1)(n 2).Donc z C :

+n=0

n3

n!zn =

+n=0

n+ 3n(n 1) + n(n 1)(n 2)n!

zn

=

+n=1

zn

(n 1)! + 3+n=2

zn

(n 2)! ++n=3

zn

(n 3)!

= zez + 3z2ez + z3ez

= (z + 3z2 + z3)ez

On deduit que z C,+n=0

n3

n!zn = (z + 3z2 + z3)ez .

On a aussi z C,+n=0

(1)n n3

n!zn = (z + 3z2 z3)ez .




xn

an+b avec a, b R :Soit la srie entire

xn

an+bavec a, b R. Son rayon de convergence est R = 1.

On a x ]0, 1[,+n=0

xan+b1 = xb1+n=0

xan =xb1

1 xa donc, en intgrant,+n=0

xan+b

an+ b=

x0

tb1

1 ta dt do+n=0

xan

an+ b=

xb x0

tb1

1 ta dt.

De mme, x ]0, 1[,+n=0

(1)nxan+b1 = xb1+n=0

(1)nxan = xb1

1 + xadonc, en intgrant,

+n=0

(1)nan+ b

xan+b =

x0

tb1

1 + tadt

do+n=0

(1)nan+ b

xan = xb x0

tb1

1 + tadt.

Soit x ] 1, 1[ non nul :

Si x ]0, 1[ alors+n=0

xn

an+ b=

(x

1a

)anan+ b

= xba

x 1a0

tb1

1 ta dt.

Si x ] 1, 0[ alors+n=0

xn

an+ b=

+n=0

((

(x) 1a)a)n

an+ b=

(1)nan+ b

((x) 1a

)an= (x) ba

(x) 1a0

tb1

1 + tadt.

Remarque : Cette mthode permet aussi de calculer la somme de la srie entire (1)n

an+bxn en remplaant x par x dans la

somme de

xn

an+b.

Exemple : Calcul de la somme de la srie entire xn

2n+ 1:

On a x ]0, 1[,+n=0

x2n =1

1 x2 donc, en intgrant,+n=0

x2n+1

2n+ 1=

x0

dt

1 t2 = argth(x) do+n=0

x2n

2n+ 1=

argth(x)

x.

De mme, x ]0, 1[,+n=0

(1)nx2n = 11 + x2

donc, en intgrant,+n=0

(1)n2n+ 1

x2n+1 =

x0

dt

1 + t2= arctan(x) do

+n=0

(1)n2n+ 1

x2n =arctan(x)

x.

Soit x ] 1, 1[ non nul : Si x ]0, 1[ alors

+n=0

xn

2n+ 1=

+n=0

(x)2n

2n+ 1=

argth(x)

x.

Si x ] 1, 0[ alors+n=0

xn

2n+ 1=

+n=0

((x)2)n2n+ 1

=(1)n2n+ 1

(x)2n = arctan(

x)x .On dduit que :

+n=0

xn

2n+ 1=

argth(x)

xsi x ]0, 1[

1 si x = 0

arctan(x)x si x ] 1, 0[

On a encore :

+n=0

(1)n2n+ 1

xn =

argth(x)x si x ] 1, 0[

1 si x = 0

arctan(x)

xsi x ]0, 1[


xn

(pn)! avec p N :Soit la srie entire

xn

(pn)!avec p N. Son rayon de convergence est R = +.

On pose = e2ipip donc p = 1. On a n N, n = 1 p|n donc :

p1k=0

nk =

p1k=0

(n)k =

p si p|n1np1n = 0 sinon



On ddui que x R :+n=0

xn

(pn)!=

1

p

+n=0

(1 + n + + n(p1))xn

n!

=1

p

+n=0

xn

n!+

1

p

+n=0

nxn

n!+ + 1

p

+n=0

n(p1)xn

n!

=1

p

+n=0

xn

n!+

1

p

+n=0

(x)n

n!+ + 1

p

+n=0

(p1x)n

n!

=1

p

(ex + ex + + ep1x

)Remarque : Cette mthode permet, aussi, de calculer la somme de

(1)n(pn)!

xn en caclulant celle de

xn

(pn)!et en remplaant


xn(3n)!

:

On pose j = e2ipi3 = 1

2+ i32

donc j2 = j et n N, 1 + jn + j2n ={

3 si 3|n0 sinon

.

On ddui que x R :+n=0

xn

(3n)!=

1

3

+n=0

(1 + jn + j2n)xn

n!

=1

3

+n=0

xn

n!+

1

3

+n=0

jnxn

n!+

1

j

+n=0

j2nxn

n!

=1

3

+n=0

xn

n!+

1

3

+n=0

(jx)n

n!+

1

3

+n=0

(j2x)n

n!

=1

3

(ex + ejx + + ej2x

)=

1

3

(ex + e

( 1

2+i32

)x

+ e

( 1

2i32

)x

)

=1

3

(ex + e

x2

(ei32x + ei

32x

))

=1

3

(ex + 2e

x2 cos

(3

2x

))

On dduit que :+n=0

xn

(3n)!=

1

3

(ex + 2e

x2 cos

(3

2x

)).

On a aussi :+n=0

(1)n(3n)!

xn =1

3

(ex + 2e

x2 cos

(3

2x

)).


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