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Universite Antonine Semestre-2Annee 2012-2013

TD chapitre 6 : Applications a la diagonalisation

1. On considere la matrice A =

1 0 20 −1 02 0 1

.

(a) Calculer le polynome caracteristique de A.

(b) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associes.

(c) Pourquoi A est-elle diagonalisable ? Donner D diagonale et P inversible telles que D =P−1AP .

(d) Calculer An pour tout n ∈ N.

2. Calculer la puissance nieme et l’exponentielle de la matrice A =

3 −3 2−1 5 −2−1 3 0

.

3. Determiner les suites (un), (vn) et (wn) donnees par :

u0 = −3 v0 = 1 w0 = 0 et

un+1 = −un

vn+1 = un − vn + wn

wn+1 = 3un + 2wn

4. Soit (un) une suite definie par recurrence par :

u0 = 3 u1 = 1 et un+2 = 3un+1 − 2un

Exprimer un en fonction de n.

5. On considere le systeme differentiel suivant :x′ = x + yy′ = x + zz′ = y + z

(a) Ecrire le systeme sous la forme Y ′ = AY ou A est une matrice 3×3, et Y (t) =

x(t)y(t)z(t)

.

(b) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

(c) Deduire la solution du systeme differentiel.

(d) Trouver des matrices P , P−1, et une matrice diagonale D telles que A = PDP−1.

(e) Calculer An.

(f) Calculer eAt.

(g) Retrouver la solution du systeme en utilisant eAt.

6. Reprendre les memes questions pour le systeme differentiel suivant :x′ = y + zy′ = x + zz′ = x + y