Universite Antonine Semestre-2Annee 2013-2014

Feuille 1Fonctions de deux variables

Exercice 1. Les fonctions suivantes ont-elles une limite lorsque (x, y) tends vers (0, 0) ?

x2 − y2

x2 + y2;|x + y|x2 + y2

;x3y3

x2 + y2;

xy2

x2 + y2.

Exercice 2. Soit f la fonction definie sur R2 par

f(x, y) =x2y

x4 + y2.

Etudier la limite de f(x, y) au point (0, 0) quand (x, y) parcourt d’abord :

1. Une droite passant par l’origine y = mx, (m fixe).

2. La parabole y = x2.

3. Que peut-on conclure ?

Exercice 3. Etudier la continuite sur R2 des fonctions suivantes :

1. f(x, y) = (x+y)2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

2. f(x, y) = (x2 + y2) sin 1x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

3. f(x, y) = x4y3

x6+y4 si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

Exercice 4. Soit f(x, y) = x2

x2+y2 . Calculer les limites suivantes :

limy→0

[limx→0

f(x, y)] ; limx→0

[limy→0

f(x, y)] ; lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

Exercice 5. Soit f la fonction de deux variables definie par

f(x, y) =x2y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

a) Etudier la continuite de f sur R2.

b) Calculer les derivees partielles f ′x et f ′y. Quelles sont les valeurs de f ′x(0, 0) et f ′y(0, 0) ?

Exercice 6. Soit f la fonction de deux variables definie par

f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

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a) Calculer f ′x(0, y) et f ′y(x, 0).

b) En deduire les derivees partielles du second ordre f ′′xy(0, 0) et f ′′yx(0, 0). Ces deux deriveessont -elles egales ?

Exercice 7. Calculer les derivees partielles, premieres et secondes, des fonctions suivantes :

1. f(x, y) = excosy.

2. f(x, y) = (x2 + y2)cos(xy).

3. f(x, y) =√

1 + x2y2.

Exercice 8. Montrer que la fonction definie sur R2 par

f(x, y) =x2y3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

est de classe C1.

Exercice 9. Soit la fonction f definie sur R2 par

f(x, y) =

{y4

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) Montrer que f est de classe C1 sur R2.

b) Montrer que ∂2f∂y∂x

(0, 0) et ∂2f∂x∂y

(0, 0) existent et sont egales.

c) Montrer que ∂2f∂y∂x

et ∂2f∂x∂y

ne sont pas continues en (0, 0). Conclusion

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