MA 111 - ESISAR 2013-2014

TD 19 : Probabilits

1 DnombrementExercice 1 En supposant quil ny a pas de rptitions,

1. Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former laide des 6 chiffres 2,3,5,6,7 et 9 ?2. Combien de ces nombres sont infrieurs 400 ?3. Combien sont pairs ?4. Combien sont impairs ?5. Combien sont des multiples de 5 ?

Exercice 2 Une urne contient n boules distinctes numrotes 1, 2, ...,n. On effectue un tirage de p boules,p n.

1. Combien y-a-t-il de tirages possibles si les boules sont extraites simultanment.2. On suppose dans cette question que les tirages sont successifs et sans remise.

(a) Combien y-a-t-il de tirages possibles ?(b) Combien y-a-t-il de tirages commenant par la boule numro 1 ?

3. On suppose dans cette question que les tirages sont successifs et avec remise.(a) Combien y-a-t-il de tirages possibles ? Combien parmi ces tirages sont tels que le premier numro

obtenu soit strictement infrieur au dernier ?(b) Combien y-a-t-il de tirages pour lesquels deux numros exactement sont apparus ?

Exercice 3 Combien danagrammes peut-on former avec toutes les lettres de chacun des mots : lapin,mississipi et hippopotamesque ?

2 ProbabilitsMthode de rsolution dun exercice de probabilit

1. Dterminer lexprience. Dterminer lunivers des possibilits (prciser le modle).2. Dcrire lvnement, si ncessaire dterminer les vnements lmentaires qui le composent.3. Dterminer la probabilit (,P(), P ).

Si le nombre de rsultats possibles est fini et quaucun rsultat nest privilgi (cest dire si tous les rsultatssont quiprobables), alors on munit lespace probabilisable de la probabilit uniforme. Dans ce cas,

P (A) = Nombre de cas favorablesNombre de cas possiblesRemarque 1 Dans le cas dun tirage de boules, si lnonc est imprcis, indiquer si vous choisissez dtudierle cas avec remise ou sans remise.

Exercice 4 Soient A, B, C trois vnements. Exprimer, en fonction de A, B, C, les vnements suivants :1. Seul A est ralis. 2. A et B se produisent mais pas C.3. Lun au moins des vnements se ralise. 4. Au plus deux des vnements se produisent.

1

Exercice 5 Pour chaque exprience alatoire, proposer un univers dont on indiquera le cardinal :1. Lancer trois fois une pice.2. Lancer une pice et un d en mme temps.3. Choisir mille franais (pour un sondage ...).4. Choisir deux lves (dont lordre nimporte pas) de la promotion.5. Choisir deux lves de la promotion, dans un certain ordre.6. Attendre le bus et noter le temps pass.7. Choisir une famille avec deux enfants puis noter si lain et le cadet sont des filles ou des garons.

Exercice 6 Dans un sac se trouvent 10 jetons : 8 noirs et 2 blancs. Les jetons sont indiscernables au toucher.1. On tire au hasard et simultanment 2 jetons du sac.

(a) Quelle est la probabilit de lvnement A = aucun jeton blanc nest tir ?(b) Quelle est la probabilit de lvnement B = un jeton blanc exactement est tir ?(c) On note A B lvnement contraire de A B. Calculer la probabilit de A B.

2. On tire au hasard et successivement 10 jetons en remettant chaque tirage le jeton dans le sac. Quelleest la probabilit des vnements suivants :(a) C = 2 jetons blancs exactement sont tirs (b) D = seul le premier jeton tir est blanc (c) E = au moins un des jetons tir est blanc (d) F = au plus un des jetons tir est blanc

3. Combien de jetons faut-il tirer du sac, successivement et avec remise, pour que la probabilit dobtenirun jeton blanc soit suprieure 90%?

Exercice 7 Une dlgation de 4 tudiants de lESISAR est choisie pour reprsenter lESISAR un tournoi.1. De combien de manires diffrentes peut-on former la dlgation sil y a 12 tudiants qui veulent

participer ?2. De combien de manires, si, parmi eux, il y a deux tudiants qui refusent de participer ensemble ?3. De combien de manires, si 2 de ces tudiants ne veulent participer quensemble ?

Exercice 8 On dispose dun jeu de 32 cartes et dun jeu de 52 cartes. On choisit au hasard un jeu et unecarte de ce jeu. On tire un as, quelle est la probabilit pour que cet as provienne du jeu de 32 cartes ?

Exercice 9 On tire au hasard, successivement et sans remise, 4 lettres du mot attachant. Quelle est laprobabilit dobtenir le mot chat ?

Exercice 10 Soit n N, on considre une urne contenant n boules numrotes de 1 n.1. On tire successivement deux boules dans lurne. Quelle est la probabilit pour que la deuxime boule

tire ait un numro suprieur ou gal celui de la premire boule(a) lorsque le tirage est avec remise. (b) lorsque le tirage est sans remise.

Indication : on pourra introduire pour 1 k n, lvnement Ak :la deuxime boule tire porte lenumro k et utiliser la famille dvnements (Ak)1kn.

2. On tire successivement p boules dans lurne.(a) Quelle est la probabilit pour que la p-ime boule tire ait un numro suprieur ou gal aux

numros des (p 1)-premires boules tires lorsque le tirage est sans remise ? Indication : onpourra introduire pour 1 k n, lvnement Ak :la p-ime boule tire porte le numro k etutiliser la famille dvnements (Ak)1kn.

2

(b) Montrer par rcurrence sur n que pour tout (n, p) dentiers tels que 0 < p n,n

k=p

(k 1p 1

)=(n

p

).

En dduire une expression simple de la probabilit cherche.

Exercice 11 Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On tire n boules en la remettant sielle est rouge et en ne la remettant pas si elle est blanche. Quelle est la probabilit de tirer exactement uneboule blanche en n tirages ?

Exercice 12 (Paradoxe du Chevalier de Mr)Comparer les probabilits des deux vnements avoir au moins un as avec six ds et avoir au moinsdeux as avec 12 ds .

3 Probabilits conditionnelles3.1 Probabilits conditionnellesExercice 13 Le quart dune population a t vaccin contre une maladie contagieuse. Au cours dunepidmie, on constate quil y a parmi les malades un vaccin pour 4 non vaccins. On sait de plus quaucours de cette pidmie, il y avait un malade sur 12 parmi les vaccins. Quelle est la probabilit de tombermalade pour un individu non vaccin ? Le vaccin est-il efficace ?

Exercice 14 Deux pices de monnaie amnent pile avec les probabilits respectives p1 et p2 et face avec lesprobabilits respectives q1 = 1 p1 et q2 = 1 p2. (0 < p1 < 1, 0 < p2 < 1). Au dpart, on choisit une desdeux pices au hasard. Puis on joue le premier lancer avec la pice choisie. Si le rsultat est pile, on rejoueavec la mme pice. Sil est face, on change de pice pour le deuxime lancer. On itre ce processus et lonjoue une suite de lancers en conservant la mme pice si le lancer prcdent amne pile, ou en changeant depice sil amne face ?

1. Quelle est la probabilit que lon joue le deuxime lancer avec la pice numro 1 ?2. Sachant que lon a jou le deuxime lancer avec la pice numro 1, quelle est la probabilit de jouer le

quatrime lancer avec la pice numro 2 ?3. On joue le deuxime lancer avec la pice numro 1. Quelle est la probabilit que le premier lancer ait

t effectu avec la pice numro 2 ?4. (a) Quelle est la probabilit que, pour la premire fois, on joue avec la pice numro 1 au nime

lancer ?(b) Calculer la somme des probabilits prcdentes lorsque n varie de 1 +

5. Va-t-on finir par jouer avec la pice numro 1 ?

Exercice 15 Un joueur est en prsence de 2 urnes A et B. Dans lurne A, il y a 3 boules blanches et 5boules rouges. Dans lurne B, il y a 7 boules blanches et 5 boules rouges. Il dispose dautre part de 2 dsnon pips quil lance une fois. Si le total des points obtenu est infrieur ou gal 7, il choisit lurne A. Si cetotal est strictement suprieur 7, il choisit lurne B.Il tire alors dans lurne choisie successivement 4 boules avec remise.

1. Calculer la probabilit quil obtienne 2 boules blanches et 2 boules rouges.2. Quelle est la probabilit quil nobtienne que des boules rouges ?3. Le joueur nobtient que des boules rouges. Quelle est la probabilit que ce soit lurne A qui ait t

choisie ?4. Comment modifier la condition du choix des urnes, partir du total des points obtenus, pour que la

probabilit du 3. soit infrieure 12 ?

3

3.2 Formule des probabilits totalesExercice 16 On considre n urnes U1,. . .,Un. Lurne Uk contient k boules blanches et n k boules noires.On choisit une urne au hasard, puis on tire successivement deux boules de cette urne.

1. Quelle est la probabilit dobtenir deux boules blanches, si le tirage se fait avec remise ?2. Mme question si le tirage se fait sans remise.

Exercice 17 Tirage alternatif dans 2 urnes suivant un protocoleOn a une urne U qui contient une boule blanche et une boule noire, et une urne V qui contient une boulenoire et deux boules blanches. On tire successivement une boule avec remise dans lune des deux urnes enrespectant le protocole suivant : on commence par tirer dans U , si on tire une boule blanche on effectue letirage suivant dans la mme urne, sinon on change durne. Calculer la probabilit de tirer dans lurne U aun-ime tirage. Calculer la probabilit de tirer une boule blanche au n-ime tirage.

Exercice 18 Un voyageur X peut prendre le train ou lavion.Si au jour i 1 il prend le train, la probabilit quil prenne lavion au jour i est 0.5.Si au jour i 1 il prend lavion, il prend le train au jour i. Soit pn la probabilit que X prenne le train aujour n.Donner lexpression de pn en fonction de n, sachant quau premier jour, X prend le train (Indication : donnerune relation entre pn+1 et pn).

3.3 Formule de BayesExercice 19 Une maladie rare touche un individu sur 100000.On dispose dun test de dpistage qui est positif pour 95% des personnes malades et pour 0.5% des individussains.Un individu est test positif. Quelle est la probabilit quil soit effectivement malade ?

3.4 IndpendanceExercice 20 On jette un d 2 fois de suite et on considre les vnements :A = le premier point obtenu est pair B = le second point obtenu est pair C = la somme des points obtenus est paire Les vnements A, B, C sont-ils indpendants deux deux ? Sont-ils indpendants ?

Exercice 21 On considre deux vnements A et B tels que P (A) = 0.6 et P (B) = 0.4. Calculer P (AB)dans les trois cas suivants :

1. A et B sont incompatibles. 2. La ralisation de B entrane celle de A. 3. A et B sont indpendants.

4 Variables alatoiresExercice 22 Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues.

1. On tire 4 boules successivement, sans remise. On dsigne par X la variable alatoire gale au nombrede boules rouges obtenues. Dterminer la loi de X, puis calculer E(X) et V (X).

2. On tire maintenant 4 boules successivement avec remise. Reprendre les questions prcdentes avec lavariable alatoire Y gale au nombre de boules rouges obtenues.

3. Comparer E(X) et E(Y ). Commenter ce rsultat. Comparer (X) et (Y ).

Exercice 23 Une puce se balade dans un carr constitu de 9 cases : P0, P1, P2, P3, P4 et I1, I2, I3, I4.

4

P1 I1 P2I4 P0 I2P4 I3 P3

On suppose que la puce est initialement situe dans la case centrale P0. La puce saute au hasard dunecase vers une autre case adjacente, cest--dire ayant un cot commun la case de dpart.

1. Aprs un nombre de pairs de sauts, sur quelles cases la puce peut-elle se trouver ?2. La puce tant situe dans la case Ij, (1 j 4), quelle est la probabilit pour quelle soit en P0 au

prochain saut ?3. On note X la variable alatoire correspondant au nombre de sauts ncessaires pour le premier retour

de la puce en P0. Dterminer la loi de X.4. Soit Y la variable alatoire gale au nombre de passages en P0 en 2n sauts. Dterminer la loi de Y etE(Y ).

Exercice 24 Soit n N. Une urne contient n boules vertes et n boules jaunes ; on tire les boules une une sans remise jusqu lobtention de la dernire boule jaune. X dsigne le nombre de tirages ncessaires.

Donner la loi de X. Puis, montrer que2nk=n

(k

n

)=(

2n+ 1n+ 1

)et en dduire E(X) et V (X).

Exercice 25 On considre une urne contenant n boules numrotes de 1 n. On tire au hasard k boules(0 k n) simultanment dans cette urne, et on note X le plus grand des numros tirs. Dterminer lafonction de rpartition FX de X, puis en dduire la loi de X.

5 Couple de variables alatoiresExercice 26 On considre un couple de variable alatoire (X, Y ) dont la loi conjointe est reporte dans letableau suivant.

Y/X 1 23 a 2a4 3a 4a

1. Dterminer la valeur de a.2. Complter les marges du tableau prcdent.3. Calculer E(X), E(Y ), V (X), V (Y ), (X) et (Y ).4. Dterminer E(XY ), puis calculer cov(X, Y ) et X,Y .5. Les variables alatoires X et Y sont-elles indpendantes ?6. Dterminer la loi conditionnelle de X sachant que lvnement (Y = 3) est ralis, puis la loi condi-

tionnelle de Y sachant que (X = 2) est ralis.

Exercice 27 Soient X et Y deux variables de Bernoulli indpendantes de mme paramtre p.1. Dterminer les lois des variables S = X + Y et D = X Y .2. Dterminer la loi du couple (S,D). Calculer cov(S,D).3. Les variables S et D sont-elles indpendantes ?

Exercice 28 Soient X1 et X2 deux variables alatoires indpendantes et soient F1 et F2 leur fonctionsde rpartition. Dterminer les fonctions de rpartition des variables alatoires Y = max(X1, X2) et Z =min(X1, X2) en fonction de F1 et F2.

Exercice 29 On lance m ds non truqus.

5

1. Soit X1 la variable alatoire relle gale au nombre de ds amenant le 6. Donner sans calcul la loi deX1, son esprance et sa variance.

2. On relance les ds qui nont pas amen de 6. Soit X2 le nombre de ds qui amnent 6 lors du deuximelancer.(a) Calculer PX1=l(X2 = k) (on discutera suivant les valeurs de k).

(b) Montrer que(m

l

)(m lk

)=(m

k

)(m kl

).

(c) Dduire des questions prcdentes la loi de X2.

Exercice 30 Un restaurant propose 3 menus diffrents M1, M2, M3 et on suppose que chaque client choisitau hasard lun quelconque des trois menus, les choix des diffrents clients tant indpendants les uns desautres. Un jour donn, n clients se prsentent et on note X1 (respectivement X2, X3) le nombre alatoire declients choisissant le menu M1 (respectivement M2, M3).

1. Quelle est la loi de X1 (respectivement X2, X3) ? Dterminer son esprance et sa variance.2. Quelle est la loi de la variable nX3 ?3. (a) Que vaut X1 +X2 +X3 ? En dduire la loi de X1 +X2 et sa variance.

(b) Dterminer la covariance du couple (X1, X2).4. Quelle est la probabilit que tous les clients choisissent le mme menu ? Quelle est la probabilit que

le restaurateur soit oblig de prparer au moins une fois chacun des menus ?Exercice 31 Un secrtaire effectue n appels tlphoniques vers n personnes distinctes (n N est suprieurou gal 2). On admet que les n appels constituent n expriences indpendantes et que pour chaque appel,la probabilit dobtenir le correspondant demand est p ]0, 1[. On note q = 1 p. X dsigne le nombre decorrespondants obtenus.

1. Quelle est la loi de X ? Donner E(X) et V (X).2. Aprs ces n recherches, le secrtaire demande une deuxime fois, et dans les mmes conditions, cha-

cun des n X correspondants quil na pas russi joindre la premire fois. Soit Y le nombre decorrespondants obtenus dans la deuxime srie dappels et Z = X + Y , le nombre de correspondantsobtenus.(a) Quelles sont les valeurs prises par Z ? Calculer P (Z = 0) et montrer que P (Z = 1) = npq2n2(1 +

q).(b) Calculer pour k [[0, n]] et ` [[0, n k]], la probabilit conditionnelle PX=k(Y = `).(c) En dduire la loi de Y et reconnaitre une loi usuelle. On pourra utiliser, aprs lavoir dmontr la

formule :(n

k

)(n ki

)=(n ik

)(n

i

).

(d) Dterminer la loi de Z et reconnaitre une loi usuelle. On pourra utiliser, aprs lavoir dmontr

la formule :(n

k

)(k

i

)=(n ik i

)(n

i

).

6

Exercices supplmentaires non vus en TD corrigs ou non

Exercice 32 On lance n fois une pice quilibre (o n N).1. Donner lunivers . Quel est le nombre de rsultats possibles ?2. Quelle est la probabilit dobtenir 3 fois Pile en 5 lancers ?3. Quelle est la probabilit de lvnement A :obtenir autant de Pile que de Face en 2n lancers ?4. Quelle est la probabilit de lvnement B :obtenir plus de Pile que de Face en 2n + 1 lancers ? (on

pourra introduire lvnement C :obtenir plus de Face que de Pile en 2n+ 1 lancers).5. Mme question que prcdemment, si on fait 2n lancers.6. Une puce lectronique se dplace sur une droite infinie. Au dpart (instant t = 0), elle est loriginex. A chaque minute, on jette une pice quilibre, si le rsultat est Pile, la puce se dplace dune unitvers la gauche, si le rsultat est Face, elle se dplace dune unit vers la droite. On admettra quobtenirni Pile, ni Face est un vnement quasi-impossible. Quelle est la probabilit dtre lorigine en t = 2n(t exprim en minutes) ?

Exercice 33 Une urne contient N boules numrotes de 1 N . On retire en une fois de cette urne unepoigne alatoire de p boules (1 p N).

1. Soit k [[p,N ]]. Calculer la probabilit de lvnement Bk : le plus grand numro de la poigne estk ?

2. En dduire la formule :Nk=p

(k 1p 1

)=(N

p

).

Exercice 34 On tire successivement n boules dans une urne, en les remettant aprs chaque tirage. Lurnecontient 20% de boules blanches, 30% de boules rouges et 50% de boules bleues. Soient x, y et z trois entierstels que x + y + z = n, on note Ex,y,z lvnement au cours des n premiers tirages, on a obtenu x boulesblanches, y rouges et z bleues. Calculer les probabilits des vnements E4,0,5, E3,4,2 et Ex,y,z.

Exercice 35 Une urne contient 15 boules : 1 noire, 5 blanches et 9 rouges.1. On tire simultanment et au hasard trois boules de cette urne. Quelle est la probabilit des vnements :

(a) A :"le tirage est tricolore".(b) B :"parmi les boules tires figurent la noire et au moins une rouge".(c) C :"les trois boules tires sont de la mme couleur".

2. On suppose que le tirage seffectue successivement, avec remise. Dterminer les probabilits de A, Bet C.

3. On effectue prsent n tirages successifs (n N). Aprs chaque tirage, on note la couleur de la bouleobtenue, puis on la replace dans lurne. Notons Nn lvnement "on obtient au moins une fois la boulenoire au cours des n tirages". Calculer la probabilit de Nn.

Exercice 36 Paul possde cinq boules numrotes de 1 5 et quatre botes numrotes de 1 4. Il rangeau hasard ses boules dans les botes.

1. Quel est le nombre de rangements possibles ?2. Quelle est la probabilit pour que :

(a) 1 et 1 seule bote soit occupe ? (b) exactement 2 [resp. 3] botes sont occupes ?3. En dduire la probabilit pour quaucune bote ne soit laisse vide.4. Retrouver directement ce rsultat en utilisant la formule de Poincar.

7

Exercice 37 Pour se rendre au lyce, un lve a le choix entre 4 itinraires A, B, C et D. La probabilitquil choisisse A (resp. B, C) est 13 (resp.

14 ,

112). La probabilit darriver en retard en empruntant A (resp.

B, C) est 120 (resp.110 ,

15). En empruntant D, il nest jamais en retard.

1. Quelle est la probabilit que llve choisisse litinraire D ?2. Llve arrive en retard. Quelle est la probabilit quil ait emprunt litinraire C ?

Solution :Notons A (resp. B, C, D) "llve choisit litinraire A" (resp. B, C, D) et R "llve est en retard".{A,B,C,D} est un systme complet dvnements.

Donc P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1, P (A) = 13 , P (B) =14 , P (C) =

112 , do P (D) =

13 .

On a PA(R) =120 , PB(R) =

110 , PC(R) =

15 et PD(R) = 0. De plus, P (A) =

13 , P (B) =

14 , P (C) =

112 et

P (D) = 13 . On veut PR(C) =P (R C)P (R) =

P (C)PC(R)P (A)PA(R) + P (B)PB(R) + P (C) + PC(R) + P (D)PD(R)

= 27 .

Exercice 38 Une cellule se dplace entre trois points distincts A, B et C. A chaque tape, elle quitte saposition et gagne indiffremment (cest dire avec la mme probabilit, 12) lun des deux autres points. Onnote an, bn et cn les probabilits quelle se trouve en A, B et C lissue de la n-ime tape. On suppose lacellule en A initialement.

1. Donner les valeurs de a0, b0 et c0.2. Calculer a1, b1 et c1, puis a2, b2 et c2.3. Exprimer an+1, bn+1, cn+1 en fonction de an, bn et cn.4. En dduire les expressions de an, bn et cn en fonction de n par trois mthodes diffrentes :

soit partir de la question prcdente, en montrant que an, bn et cn sont des suites arithmtico-gomtriques.

soit partir de la question prcdente, en montrant que an, bn et cn sont des suites linaires rcurrentesdordre 2.

soit en crivant les relations trouves dans la question prcdente sous forme matricielle, et encalculant la puissance n-ime de la matrice associe laide des formules de changement de bases.hors programme en 1A

Exercice 39 Pour aller son travail, Robert prend soit le train, soit sa voiture. Il se dcide de manireindpendante dune fois sur lautre, en choisissant la voiture avec probabilit 0.4. Le service de trains nestpas trs fiable et, quand Robert prend le train, il arrive en retard avec probabilit 1/10. La circulationroutire entre le domicile de Robert et son travail peut tre trs dense, de sorte que quand Robert prend savoiture, il arrive en retard avec probabilit 1/4.

1. Quelle est la probabilit que Robert arrive en retard au travail aujourdhui ?

Bernard et Roger sont tous deux collgues de Robert. Quand ils ne voient pas Robert lheure o ildevrait dj tre arriv (cest--dire les jours o Robert arrive en retard), ils parient sur le moyen detransport utilis par Robert. Bernard parie toujours que Robert a pris la voiture, et Roger parie quila pris le train. Bernard met 5 euros dans une corbeille, Roger met x euros dans la corbeille, et, quandRobert arrive et rvle le moyen de transport quil a employ, celui qui a gagn le pari empoche lecontenu de la corbeille.

2. (a) Calculer la probabilit p que Bernard gagne le pari.(b) Dterminer la valeur quil faut donner x pour que le jeu soit quilibr, cest--dire que lesprance

du gain de chacun des parieurs soit nulle (le gain dun parieur est la diffrence entre ce quil agagn et la somme quil a mise).

Dans toute la suite de lexercice, on choisira x = 3.

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3. Soit X le nombre de paris qui se sont jous jusqu ce que Roger gagne. Quelle est la loi de X ?Dterminer E(X).

4. Ce mois-ci, Robert est arriv 10 fois en retard.(a) Dterminer la loi du nombre N de fois o Bernard a gagn son pari ce mois-ci.(b) Calculer la probabilit que Bernard gagne au moins deux paris.(c) On appelle S la somme des gains de Bernard au cours de ces 10 paris. Dterminer lesprance de

S. Calculer P (S > 0).

Exercice 40 On sait que la population franaise est constitue de 10% de gauchers. On considre donc quela probabilit pour quun individu pris au hasard soit gaucher est gale 0, 1.

1. Dans une entreprise de couture on recrute 8 employs. Soit X le nombre demploys gauchers recruts.(a) Quelle est la loi de X ? son esprance ? son cart type ?(b) Calculer la probabilit pour que le groupe contienne :

i. Exactement un gaucher. ii. Au moins un gaucher. iii. Exactement 3 gauchers.2. Latelier dans lequel les employs vont travailler a 7 paires de ciseaux pour droitiers et de 3 pour

gauchers. Quelle est la probabilit que chacun des 8 membres du personnel trouvent une paire deciseaux lui convenant ?

3. Soit Y le nombre de personnes ayant trouv une paire de ciseaux leur convenance. Dresser un tableaudonnant Y en fonction du nombre de gauchers recruts. En dduire la loi de probabilit de Y ainsi queson esprance.

Exercice 41 Soit X une variable alatoire qui prend ses valeurs dans [[0, n]]. Pour tout k [[0, n]], on aP (X = k) = ln(ak) o a est un rel strictement positif. Dterminer a pour que X soit une variable alatoire.Calculer alors E(X) et V (X).

Exercice 421. Un d A - parfaitement quilibr - porte le nombre 1 sur 4 faces et 2 sur les deux autres. Soit X la

variable alatoire qui un lancer du d A associe le nombre obtenu. Un d B porte les nombres 2,1, 0, 1, 2 et 3. Ce d nest pas quilibr : les probabilits dobtenir ces nombres sont dans lordreindiqu en progression gomtrique de raison 12 . Quelles sont ces probabilits ?

2. On lance une fois simultanment des deux ds A et B. S dsigne la variable alatoire qui associe chaque lancer la valeur absolue de la somme des nombres obtenus. Dterminer la loi du couple (X,S),puis la loi marginale de S. X et S sont-elles indpendantes ?

Exercice 43 Soit n N, n 2. On considre une famille de n enfants. On considre les vnementsM :"avoir au moins une fille et au moins un garon" et E :"avoir au plus une fille". Les vnements M et Esont-ils indpendants ? On discutera selon les valeurs de n.

Exercice 44 Une urne U contient n jetons (n 2) numrots de 1 n. On prlve une poigne "alatoire"de jetons. On note N la variable alatoire gale au nombre de jetons prlevs et S la somme des points desjetons de la poigne. Si la poigne est vide, cest--dire, si N = 0, on convient que S = 0.

1. On suppose dans cette question que toutes les poignes possibles sont quiprobables.(a) Dterminer la loi de N et trouver son esprance.(b) Pour i [[1, n]], on note Xi la variable de Bernoulli qui vaut 1 si la poigne contient le jeton i et

0 sinon. Quel est le paramtre de Xi ?

(c) Montrer que S =ni=1

iXi. En dduire E(S).

(d) Montrer que les variables Xi sont indpendantes et en dduire la variance de S. hors programme

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2. On suppose dans cette question que N suit la loi uniforme sur [[0, n]], cest--dire que les "tailles" despoignes sont quiprobables.(a) Quelle est lesprance de N ?(b) Avec les notations de la question 1, calculer pour tout k [[0, n]] la probabilit conditionnelle

PN=k(Xi = 1) et en dduire le paramtre de la variable Xi.(c) Les variables Xi sont-elles indpendantes ? Que vaut cov(Xi, Xj) ? hors programme

3. On suppose que n = 3. Dterminer la loi de S dans le premier et dans le second cas.

Exercice 45 On effectue N lancers dun d quilibr. Si n est le nombre de 6 obtenus, on lance n fois unepice truque (la probabilit de faire Pile vaut p ]0; 1[). Soit Z le nombre de 6, X le nombre de Pile et Ycelui de Face.

1. Quelle est la loi de Z, E(Z), V (Z) ?2. En conditionnant par (Z = n), dterminer la loi de X puis celle de Y .3. Dterminer Cov(X, Y ) (Indication : calculer V (X + Y ) de deux faons diffrentes).4. X et Y sont-elles indpendantes ?5. Dterminer la loi du couple (X, Y ).

Solution :1) Z B

(N,

16

), donc E(Z) = N6 , V (Z) =

5N36 .

2) Soit 1 r n, alors P (X = r|Z = n) =(n

r

)prqnr, et si r / [[1, n]], alors P (X = r|Z =

n) = 0. Donc P (X = r) =Nn=r

P (X = r|Z = n)P (Z = n) =Nn=r

(n

r

)prqnr

(N

n

)(16

)n (56

)Nn=

Nn=r

N !(n r)!r!(N n)!p

rqnr(1

6

)n (56

)Nn. Faisons le changement de variable k = n r, alors P (X =

r) =Nrk=0

N !k!r!(N r k)!p

rqk(1

6

)r+k (56

)Nrk= N !(N r)!r!

(p

6

)r Nrk=0

(N r)!k!(N r k)!

(q

6

)k (56

)Nrk=(

N

r

)(p

6

)r (q + 56

)Nrdaprs le binme de Newton.

Donc X B(N,

p

6

).

De mme pour Y , si 1 s n alors P (Y = s|Z = n) =(n

s

)qspns, et un calcul similaire montre que

Y B(N,

q

6

).

3) X + Y = Z, donc V (Z) = V (X) + V (Y ) = 2Cov(X, Y ). Or, V (X) = 5N36 , V (X) =Np(6 p)

36 et

V (Y ) = Nq(6 q)36 , donc 2Cov(X, Y ) =N

36[5 p(6 p) q(6 q)

]= N36(1 + p

2 + q2). Comme p+ q = 1,

on a 1 = (p+ q)2 = p2 + q2 + 2pq. Donc Cov(X, Y ) = Npq36 .4) X et Y ne sont pas indpendants : par exemple (X = N) (Y = N) = , donc P

((X = N) (Y =

N))

= 0, mais P (X = N) =(p

6

)N, P (Y = N) =

(q

6

)N, donc P

((X = N) (Y = N)

)6= P (X = N)P (Y =

N).Autre faon : si X et Y taient indpendants, on aurait Cov(X, Y ) = 0, or ce nest pas le cas.5) Soit r, s 1 tels que r+s N , alors P

((X = r)(Y = s)

)= P

((X = r)(Z = r+s)

)carX+Y = Z,

donc P((X = r) (Y = s)

)= P (X = r|Z = r+s)P (Z = r+s) =

(r + sr

)prqs

(N

r + s

)(16

)r+s (56

)Nrs=

10

16N

N !r!s!(N r s)!p

rqs5Nrs.

Retrouvons la covariance de X et Y : E(XY ) =Nr=0

Nrs=0

rsP((X = r) (Y = s)

)=

N1r=1

Nrs=1

rsP((X =

r) (Y = s))(car si r = 0 ou s = 0, le terme additionn est nul, et si r = N , s = 0). Donc

E(XY ) =N1r=1

Nrs=1

N !(r 1)!(s 1)!(N r s)!p

rqs(1

6

)r+s (56

)Nrs

et en remarquant que N !(r 1)!(s 1)!(N r s)! = N(N 1)(r + s 2)!

(r 1)!(s 1)!(N 2)!

(N r s)!(r + s 2)! , ona

E(XY ) = N(N 1)36N1r=1

Nrs=1

(r + s 2r 1

)(N 2r + s 2

)(16

)r+s2 (56

)Nrsprqs

= N(N 1)36Nz=2

z1r=1

(z 2r 1

)(N 2z 2

)(16

)z2 (56

)Nzprqzr

(en posant z = r + s, donc avec s = z r 1 qui impose r z 1). Donc

E(XY ) = N(N 1)36Nz=2

(N 2z 2

)(16

)z2 (56

)Nz z1r=1

(z 2r 1

)prqzr

Or,z1r=1

(z 2r 1

)prqzr =

z2k=0

(z 2k

)pk+1qz2k+1 = pq(p+q)z2 = pq (en posant k = r1 et en utilisant

le binme de Newton), etNz=2

(N 2z 2

)(16

)z2 (56

)Nz=

N1k=0

(N 2k

)(16

)k (56

)N2k=(1

6 +56

)N2= 1

daprs le binme de Newton (en posant ce coup-ci k = z 2). Donc

E(XY ) = N(N 1)36 pq

On en dduit que Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = N(N 1)36 pq Np

6Nq

6 , donc

Cov(X, Y ) = Npq36

11

DnombrementProbabilitsProbabilits conditionnellesProbabilits conditionnellesFormule des probabilits totalesFormule de BayesIndpendance

Variables alatoiresCouple de variables alatoires