td 12 equations différentielles

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 12 Equations diffrentiellesExercice 1 : Rsoudre les quations diffrentielles :1)y = xexy sur R 2)(1 + x2)y = x(1 y) sur R 3)y = y2ex sur R4)(x+ 1)y = xy sur R 5)x2y = 1 + y sur R 6)y = 2 yx sur ]0,+[Exercice 2 : Montrer que toute solution y de lquation diffrentielle E : y = sin y est borne, monotone et sup y inf y pi.Exercice 3 : Soient a, b ]0,+[ et n N. Montrer que toute solution de E : y = a byn telle que y(0) = 0 est croissantemajore.Exercice 4 : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, I un intervalle de R, a C (I,L (E)) et b C (I, E).Montrer que toute solution de x(t) = a(t)(x(t)) + b(t) se prolonge de faon unique en une solution globale de E .Exercice 5 : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, I un intervalle de R, a C (I,L (E)), b C (I, E) et(I1, x1), . . . , (Ip, xp) (p N) des solutions de E0 : x(t) = a(t)(x(t)).Montrer que si t0

pk=1

Ik,1, . . . , p E tels que 1x1(t0) + + pxp(t0) = 0 alors t pk=1

Ik, 1x1(t) + +pxp(t) = 0.

Exercice 6 : Montrer que((

1t

),

(t1))

est un systme fondamental de solutions de lquation homogne associ lqua-

tion E :{

(1 + t2)x = tx y + 2t(1 + t2)y = x+ ty 1 , puis rsoudre E .

Exercice 7 : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, a L (E) et F un sous-espace vectoriel de E a-stable.Soit x une solution globale de E : x(t) = a(x(t)). Montrer que si t0 R tel que x(t0) F alors t R, x(t) F .Exercice 8 : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, a, b C (R,L (E)) et b C (R, E).Montrer que si a est impaire et b paire alors lquation E : x(t) = a(t)(x(t))+b(t) admet une unique solution globale impaire.Exercice 9 : (Wronskien, Formule de Liouville) SoitE unK-espace vectoriel norm de dimension finie n N,B une base deE,I un intervalle de R, a C (I,L (E)), b C (I, E) et x1, . . . , xn des solutions globales de lquation E0 : x(t) = a(t)(x(t)).On appelle Wronskien de (x1, . . . , xn) lapplication W : t I 7 detB(x1(t), . . . , xn(t)).Montrer queW est solution de lquation diffrnetielleW = tr(a)W , en dduire que t, t0 I,W (t) =W (t0) exp

tt0

tr(a(u))du.

Exercice 10 : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, a L (E) et E : x(t) = a(x(t)).1 : On suppose que quil existe un vecteur propre x0 de a associ une valeur propre . Montrer que x(t) = e(tt0)x0 estlunique solution globale de E telle que x(t0) = x0.2 : On suppose que a est diagonalisable et soit (u1, . . . , un) une base de E forme de vecteurs propres de a associs aux valeurspropres (1, . . . , n). Montrer que la famille (e1tu1, . . . , e1tun) forme un systme fondamental de solutions de E .3 : Application : Rsoudre le systme dquations diffrentielle :

{x = 2x+ 3yy = x+ 4y .

Exercice 11 : Soit A C (R,Mn(R)) et E : X (t) = A(t)X(t).1 : On suppose que Soit U Mn1(R) non nul et C (R) tels que t R, A(t)U = (t)U . Montrer que X(t) = (t)Uest solution de E si, et seulement si, est une solution dune quation du premier ordre.2 : En dduire la solution globale de E qui vrifie X(0) = U .3 : On suppose queMn1(R) admet une base (U1, . . . , Un) forme de vecteurs propres de A. Dterminer un systme fonda-mental de solutions de E .4 : Application : Rsoudre le systme

{x = x+ (2t 1)yy = 2ty .

Exercice 12 : Soit A Mn(R) et B C (R,Mn1(R)).Montrer que si Sp(A) iZ = alors lquation E : X (t) = AX(t) +B(t) admet une unique solution 2pipriodique.Exercice 13 : Soit un intervalle I de R et une application P C 1(I,Mn(R)) telle que t R, (P (t))2 = P (t).1 : Montrer que t I, P (t)P (t)P (t) = 0.2 : On pose t I,Q(t) = P (t)P (t) P (t)P (t). Montrer que t I, P (t) = Q(t)P (t) P (t)Q(t).3 : Soit t0 I . Montrer que lquation diffrentielle U = QU admet une unique solution U qui vrifie U(t0) = In.4 : Montrer que t I, U(t) est inversible. En dduire que t I, P (t) = U(t)P (t0)(U(t))1.Exercice 14 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, a L (E) et E : x(t) = a(x(t)).1 : Soient r, s K distincts et u, v E. Montrer que si x(t) = ertu + estv est une solutions de E alors y(t) = ertu etzt) = estv sont deux solutions de E .2 : Soient r K et u, v E avec v 6= 0. Montrer que si x(t) = ert(u+tv) est une solutions de E alors u nest pas proportionnel v et dimker(a ridE)2 2.Exercice 15 : Rsoudre les systmes diffrentiels suivants :

1)

{x = yy = x

2)

{x = 3x 4yy = 2x y 3)

{x = x+ 2yy = 2x y 4)

{x = 2x 3yy = 3x+ 4y

5)

{x = 3x yy = x+ y

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Exercice 16 : Rsoudre les systmes diffrentiels suivants :

1)

x = 2x+ y 2zy = 3y 2zz = x+ y + z

2)

x = 2x y + zy = 2x+ 2y zz = x+ 2y z

3)

x = x+ 4y 2zy = 6y 3zz = x+ 4y

4)

x = 2y zy = 3x 2yz = 2x+ 2y + z


1)

{x = x+ y + e2t

y = 3x y + te2t 2){x = y + cos ty = x+ sin t 3)

{x = x 2y + e2ty = 2x 2y + et 4)

{x = 2x y + ty = x+ y + t2


1)

x = 3x+ y + z + e2t

y = x+ y + 3zz = x+ y + z

2)

x = x+ z + et

y = x+ y + 2et + e2t

z = y + z + cos pi3 t3)

x = x+ 2y + ty = x+ z + et

z = 2x z e2tExercice 19 : Soit a0, . . . , an1 C (R). Montrer que les zros des solutions non nulles de lquation diffrentielles x(n)(t) +an1(t)x(n1)(t) + + a0(t)x(t) = 0 sont isols.Exercice 20 : Rsoudre les quations diffrentielles :1)y + y = ex 2)xy + 2y = ex 3)(sinx)y (cosx)y = x (x ]0, pi2 [) 4)(x2 + 1)y + 3xy = x2 .Exercice 21 : Problme de raccord : Rsoudre les quations diffrentielles :1)(x+ 2)y + y = 2 2)x(x+ 2)y + 2(x+ 1)y = 1 3)x(x+ 1)y + y = x 4)x(x2 1)y + 2y = x2 .Exercice 22 : Montrer que lquation xy y = x2ex admet une infinit de solutions telles que y(0) = 0.Exercice 23 : Soit a C (R) borne et k > 0. Montrer que lquation E : y ky = a admet une unique solution globaleborne sur R.Exercice 24 : Soit a, b C (R) priodiques de priode T > 0 avec b non identiquement nulle.1 : Montrer quune solution globale y de E : y = ay + b est T -priodique si, et seulement si, y(0) = y(T ).2 : On suppose que lquation y = ay admet une solution non nulle qui est non T -priodique. Montrer que lquation E admetune unique solution T -priodique de E .3 : On suppose que lquation homogne y = ay admet une solution T -priodique non identiquement nulle. Montrer que

lquation E admet des solutions T -priodiques si, et seulement si, T0

b(t) exp

( t0

a(u)du

)dt = 0.

Exercice 25 : Soit f C1(R) tel que limt+(f(t) + f

(t)) = l R. Montrer que limt+ f(t) = l R.

Exercice 26 : Rsoudre les quations :1)y + 2y 8y = 4(3x+ 5)e2x 2)y 2y + y = x2 3)y 3y + y = sinx+ ex 4)y 3y + 2y = xchx .Exercice 27 : Mthode de la variation de la constante : Rsoudre les quations :1)y + y = 1cos x sur

]pi2 , pi2 [ 2)y + 3y + 2y = t1t2 et sur ]0,+[Exercice 28 : Soit f C 2(R) telle que f + f + f soit priodique de priode T > 0.1 : Montrer que g(x) = f(x+ T ) f(x) est solution de lquation diffrentielle y + y + y = 0.2 : En dduire que f est T -priodique.Exercice 29 : Soit f C (R). Montrer que toutes les solutions de lquation E : x + x = f sont priodique de priode 2pi si,et seulement si, f est 2pi-priodique et

2pi0

f(t) cos tdt =

2pi0

f(t) sin tdt = 0.

Exercice 30 : Soient T > 0 et a, b C (R,R) de fonctions T -pridiques. Montrer quune solution globales x de lquationE : x(t) + a(t)x(t) + b(t)x(t) = 0 est T -priodique ssi x(0) = x(T ) et x(0) = x(T ).Exercice 31 : Soit f C (R) 2pi-priodique. Montrer que lquation diffrentielle (E) : x(t)x(t) = f(t) admet une uniquesolution 2pipriodique.Exercice 32 : Soit f C 2(R) telle que f f et f(0) = f (0) = 0. Montrer que f 0.Exercice 33 : Rsoudre lquation lquation E : (x 1)y + (1 2x)y + xy = 0 (Remarquer que y(x) = ex est solution deE ).Exercice 34 : Rsoudre lquation diffrentielle E : (1 + x2)y 2y = 4x(x2 + 1). (Commencer par chercher une solutionpolynomiale).Exercice 35 : Rsoudre lquation diffrentielle E : x2y+ xy y = 2x. (Commencer par chercher des solutions de la formey = xp avec p Z).Exercice 36 : Rsoudre lquation diffrentielle E : x(x 1)y + 3xy + y = 0. (Chercher des solutions dveloppables ensries entires en 0).Exercice 37 : Problme de raccord : Rsoudre les quations :1)x2y + xy y = 0 2)(1 x2)y 2xy + 2y = 0 4)(x2 1)y 12y = 0 .Exercice 38 : Soit a, b C (I) et E : x(t) + a(t)x(t) + b(t)x(t) = 01 : Montrer que les zros des solutions non nulles de E sont simples. En dduire quils sont en nombre fini sur tout segment.2 : Montrer que lensemble des zros des solutions non nulles de E est au plus dnombrable.



Exercice 39 : Soit a, b C (I), E : x(t)+a(t)x(t)+ b(t)x(t) = 0 et x, y deux solutions globales de E non proportionnelles.Montrer que si u et v sont deux zros conscutifs de x alors y(u)y(v) 6= 0 et y sannule exactement une fois sur lintervalle]u, v[. On dit que les zros de x et y sont enrelacs.Exercice 40 : Soit a C (R) strictement positive.1 : Montrer que toute fonction convexe (resp. concave) majore (resp. minore) sur R est constante.2 : En dduire que toute solution globale de E : x(t) + a(t)x(t) = 0 sannule au moins une fois.Exercice 41 : Soit q C (R) continue strictement ngative.1 : Montrer que la fonction nulle est lunique solution borne de lquation y + qy = 0 (considrer la fonction z = y2).2 : Montrer que toute solution non nulle sannule au plus une fois.Exercice 42 : Soient f C ([a, b]) avec t [a, b], f(t) 0.1 : Montrer que toute solution globale non nulle de E0 : x(t) + f(t)x(t) = 0 admet au plus une raine sur [a, b].2 : Montrer que u : x 7 (x(a), x(b)) est un isomorphisme de lespace S0 des solutions globales de E0 vers R2.3 : Soient , R. Montrer que le problme

{x(t) + f(t)x(t) = 0x(a) = , x(b) =

admet une et une seule solution globale.

Exercice 43 : Soient f, g C (I) tels que t I, f(t) < g(t) et x, y deux solutions globales respectives de x(t)+f(t)x(t) =0 et y(t) + g(t)y(t) = 0.1 : Montrer que si x admet deux zros conscutifs a et b alors y admet un zro dans ]a, b[.2 : Application : Soit h C (R) telle que A R,a > 0,x A, h(x) > a2.2 - a : Montrer que lensemble des zros de toute solution globale de x(t) + h(t)x(t) = 0 est infini dnombrable.2 - b : Soit y une solution globale de x(t) + h(t)x(t) = 0 et (tn) la suite croissante des zros A de y. Montrer quen N, tn+1 tn > 2pia .Exercice 44 : Soit q C (R) telle que x R, q(x) 0 et y une solution globale de E : x(t) + q(t)x(t) = 0.1 : Montrer que si y sannule en deux points alors y est nulle sur R.2 : Montrer que si y sannule en un point et lim

t+ y(t) = 0 alors y est nulle sur R.Exercice 45 : Soit q C (R) strictement ngative et y une solution de E : x(t) + q(t)x(t) = 0.1 : Montrer que y2 est convexe sur R. y peut-elle tre borne ?2 : On suppose que y est non nulle. Montrer que y et y sannulent au plus une fois sur R.3 : Montrer que yx2 admet une limite en +.Exercice 46 : Soient f C (R+) intgrable sur R+.1 : Montrer que si x est solution borne de x(t) + f(t)x(t) = 0 alors lim

x+x(t) existe. Calculer cette limite.

2 : Montrer que lquation admet au moins une solution non borne.Exercice 47 : Soient q C 1(R+) strictement positive et croissante et E : y + qy = 0.1 : Montrer que toute les solutions globales de E vrifient t R, y(t)2 y(0)2 + 2

t0

q(u)y(u)y(u)du = 0 et y(t)2 +

q(t)y(t) = y(0)2 + q(0)y(0)2 + t0

q(u)y(u)2du = 0.

2 : En dduire une majoration de qy2 et que toute les solutions de E sont bornes.Exercice 48 : Soit f C (R) borne et a > 0.Montrer que lquation diffrentielle (E) : x(t) ax(t) = f(t) admet une unique solution borne sur R.Exercice 49 : (Lemme de Grnwall) Soient , , u C ([a, b],R) avec 0. Montrer que si :

t [a, b], u(t) (t) + ta

(s)u(s)ds

Alors :

t [a, b], u(t) (t) + ta

(s)(s) exp

( ts

(r)dr

)ds

(Indication : On pourra introduire v(t) = exp( ta

(s)ds

) ta

(s)u(s)ds.

Exercice 50 : Soit q C ([0,+[) intgrable sur [0,+[ et y une solution globale de E : x(t) + (1 + q(t))x(t) = 0.1 : Montrer que , C 1([0,+[) telles que y = cosx+ sinx et y = sinx+ cosx.2 : En dduire que les solutions de E sont bornes (On peut utiliser le lemme de Grnwall).


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