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Table des matières

1 Introduction générale 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Présentation du laboratoire d’accueil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Description générale du laboratoire LIRMM . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Les départements du LIRMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 L’équipe DEXTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Contexte et problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Cahier des charges et Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Etat de l’art 5

2.1 Les systèmes mécaniques sous-actionnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Le pendule inversé classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Description du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Modèle dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Représentation d’état et linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.4 Analyse du système en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Le pendule inversé de Furuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10




2.3.4 Analyse en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Le pendule inversé Segway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14




2.4.4 Analyse en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Le pendule inversé gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


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Table des matières

2.5.2 Modèle dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.3 Représentation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.4 Analyse en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Etude du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie 21

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Description du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Schéma de principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Modèle dynamique non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.1 Principe mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.2 Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.3 Dynamique du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Représentation d’état et linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Analyse du système en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Solution1 :Approches de commande prédictive 30

4.1 Principe générale des techniques de commande prédictive . . . . . . . . . . . . 304.2 Approche1 : La Commande Prédictive Généralisée (GPC) . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Principe de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2 Formulation de La GPC avec état final nul . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.3 Modèle de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Approche2 : La commande Prédictive non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.1 Principe de la commande prédictive non linéaire . . . . . . . . . . . . . 374.3.2 La génération des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3.3 L’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Application des approches prédictives sur le pendule inversé 40

5.1 Application de La GPC sur le Pendule inversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.1.1 Simulations dans le cas nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Résultats de Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Interprétations des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.2 Test de Robustesse de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques . . . . . . . . . . . . 42Robustesse vis-à-vis des non-linéarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.3 Expérimentation : Application en temps réel . . . . . . . . . . . . . . . 44Scénario1 : Cas nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ii Nahla TOUATI

Table des matières

Scénario2 : Cas de rejet des perturbations ponctuelles . . . . . . . . . . 44

Scénario3 : Cas de rejet des perturbations persistantes . . . . . . . . . . 45

Scénario4 : Combinaison de deux types de perturbations . . . . . . . . . 45

5.2 Application de La commande prédictive non linéaire sur le Pendule inversé . . 46

5.2.1 Simulations dans le cas nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Résultats de Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Interprétations des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.2 Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques . . . . . . . . . . . 47

6 Solution 2 :Approches de commande adaptative 53

6.1 Principe générale des approches adaptatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Approche1 : La commande adaptative à modèle de référence(MRAC) . . . . . 56

L’estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Calcul d’un correcteur RST robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3 Approche2 : La commande par retour d’état adaptative . . . . . . . . . . . . . 60

Principe de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Modèle de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Application des approches adaptatives sur le pendule inversé 62

7.1 Application de la commande MRAC sur le Pendule inversé . . . . . . . . . . . 62


Résultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.1.2 Test de Robustesse de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques . . . . . . . . . . . . 63

Robustesse vis-à-vis des non-linéarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Robustesse vis-à-vis des variations des paramètres . . . . . . . . . . . . 64

7.2 Application de La commande par retour d’état adaptative sur le Pendule inversé 65


Résultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2.2 Test de Robustesse de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques . . . . . . . . . . . . 67

Robustesse vis-à-vis des non-linéarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Robustesse vis-à-vis des variations des paramètres . . . . . . . . . . . . 68

Rapport de stage de Mastère iii

Table des matières

8 Conclusion et perspectives 76

8.1 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

iv Nahla TOUATI

Table des figures

2.1 Le pendubot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Schéma du principe de pendule inversé classique [20] . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Schéma de principe de pendule inversé de Furuta[17] . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Photo d’un prototype segway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Modélisation du segway [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Le pendule gyroscopique [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 Modélisation du pendule gyroscopique [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie [13] . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Vue de la plate forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volantd’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Illustrations des points d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Modèle mécanique équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Stratégie de la commande prédictive [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Structure de base de la commande prédictive [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 Dynamique du pendule et de volant d’inertie pour le cas de la GPC . . . . . . 41

5.2 Couple et puissance mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la GPC . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4 Robustesse vis-à-vis des incertitudes du paramètre I . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5 Evolution des états de système non linéaire dans le cas de la GPC . . . . . . . 44

5.6 La commande et la puissance de système non linéaire dans le cas de la GPC . 45

5.7 Résultats d’expérimentation de cas nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.8 Résultats d’expérimentation du cas de rejet de perturbations ponctuelles . . . 47

5.9 La perturbation persistante sur le pendule inversé . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.10 Résultats d’expérimentation du cas de rejet de perturbations persistantes . . . 48

5.11 La combinaison de deux types de perturbations sur le pendule inversé . . . . . 49

5.12 Résultats d’expérimentation du cas de rejet de la combinaison des perturbations 49

v

Table des figures

5.13 L’évolutions des états du système pour le cas de la commande non linéaire . . 505.14 L’évolutions du couple et de la puissance pour le cas de la commande non linéaire 515.15 L’évolutions du paramètre d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.16 Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la commande non linéaire . . . . . 525.17 Test de robustesse de la commande prédictive non linéaire . . . . . . . . . . . 52

6.1 Principe des systèmes de commande adaptative [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2 Commande adaptative supervisée [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3 Commande adaptative à gain préprogrammé [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4 Correcteur auto-ajustable [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.5 Commande adaptative à modèle de référence [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.6 Structure d’un régulateur RST [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.7 Commande par retour d’état linéaire [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.1 Dynamique du pendule et de volant d’inertie dans le cas de la commande MRAC 637.2 Couple et puissance mécanique dans le cas de la commande MRAC . . . . . . 647.3 Evolution des paramètres du pendules inversé dans le cas de la commande MRAC 657.4 Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la commande MRAC . . . . . . . 667.5 La sortie du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.6 La commande du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.7 Evolution des états de système non linéaire dans le cas de la commande MRAC 687.8 Couple et puissance mécanique de système non linéaire dans le cas de la com-

mande MRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.9 Evolution des paramètre de système non linéaire dans le cas de la commande

MRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.10 La position angulaire du pendule inversé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.11 Evolution des paramètres de système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.12 Dynamique du pendule et de volant d’inertie dans le cas de la RE adaptative . 717.13 Couple et puissance mécanique dans le cas de la RE adaptative . . . . . . . . 717.14 ’évolution des paramètres du pendules inversé dans le cas de la RE adaptative 727.15 Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la RE adaptative . . . . . . . . . 727.16 Robustesse vis-à-vis des incertitudes du paramètre I pour la RE adaptative . . 737.17 Evolution des états de système non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.18 Couple et puissance mécanique de système non linéaire . . . . . . . . . . . . . 757.19 Evolution des paramètre de système non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

vi Nahla TOUATI

Chapitre 1

Introduction générale

1.1 Introduction

Devant les problèmes délicats de modélisation et de commande de systèmes complexes, les ou-tils utilisés deviennent de plus en plus pointus. L’un des axes les plus importants de rechercheau sein du LIRMM concerne la commande de systèmes complexes.Le travail envisagé dans le cadre de ce stage rentre dans le contexte de conception de lois decommande pour la stabilisation des systèmes mécaniques sous-actionnés.Dans ce contexte notre choix s’est porté sur le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie.C’est un système mécanique sous actionné largement étudié dans la communauté automati-cienne, vu sa dynamique non linéaire et instable. La commande à concevoir, doit être capablede stabiliser le pendule inversé autour de son point d’équilibre instable et de le maintenir danscet état.Pour atteindre cet objectif, deux solutions sont proposées : la première consiste à proposer deslois de commande issues des techniques prédictives ( commande prédictive généralisée(GPC), et commande prédictive non linéaire), la deuxième quant à elle consiste à proposer descommandes issues des techniques adaptatives ( commande adaptative à modèle de référence(MRAC) , et commande par retour d’état adaptative).Ces approches seront appliquées en simulation (environnement matlab), puis validées en tempsréel sur la plate forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie dispo-nible au LIRMM. La comparaison entre ces deux familles d’approches, selon différents critères(rapidité, robustesse, . . .),permettra de choisir la meilleur à appliquer sur le système réel.

1

1.2. Présentation du laboratoire d’accueil

1.2 Présentation du laboratoire d’accueil

1.2.1 Description générale du laboratoire LIRMM

Le Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier (LIRMM)est une Unité Mixte de Recherche (UMR)de l’Université Montpellier 2 (UM2) et du CentreNational de la Recherche Scientifique (CNRS).Le LIRMM couvre un large spectre de compétences dans les domaines des Sciences et Tech-nologies de l’Information et de la Communication (STIC). Ces activités de recherche sontréparties au sein de trois départements scientifiques de recherche :– Informatique (INFO)– Microélectronique (MIC)– Robotique (ROB)

1.2.2 Les départements du LIRMM

Le département informatique :Les thématiques de ce département intègrent l’essentiel de la recherche menée actuellementen informatique :

Algorithmique : bioinformatique, cryptographie, graphes, réseaux ;

Bases de Données et Systèmes d’Information : intégration de données, fouille de don-nées, maintien de la cohérence ;

Génie Logiciel : langages de programmation, objets, composants, modèles ;

Intelligence Artificielle : apprentissage, contraintes, représentation des connaissances, sys-tèmes multi-agents ;

Interaction Homme/Machine : hypermédia, langage naturel, visualisation, Web séman-tique et e-learning.

Le département microélectronique :Ce département mène depuis plusieurs années des recherches de pointe dans les domaines dela conception et du test de systèmes intégrés et de microsystèmes, et plus précisément, sur lesaspects ayant traits à la modélisation et à la méthodologie. Les activités de recherche conduitesau sein du département de Microélectronique s’articulent autour de deux équipe-projets quilui sont propres ainsi qu’une équipe-projet commune avec le département Robotique :– Conception et test de systèmes microélectroniques (SysMIC) ;– DEambulation et Mouvement ARtificiel (DEMAR) et Modélisation et commande du sys-

tème sensori-moteur humain, neuroprothèses.

2 Nahla TOUATI

Chapitre 1. Introduction générale

Le département robotique :Ce département mène des recherches en automatique/robotique, traitement du signal et del’image, productique et informatique industrielle. Les activités de recherche conduites au seindu département Robotique s’articulent autour de cinq équipes projets :

– DEMAR : (DEambulation et Mouvement ARtificiel) et Modélisation et commande du sys-tème sensori-moteur humain, neuroprothèses ;

– DEXTER : Conception, commande, manipulation, robotique parallèle, robotique médicale ;– ICAR : (Image, Computing and Augmented Reality) Image, signal, vision, modélisation 3D,

informatique graphique, réalité virtuelle ;– NERO : (NEtwork RObots) Commande collaborative de flottilles de véhicules sous-marins

et terrestres ;– IDH : (Interaction Digital Humain)

1.2.3 L’équipe DEXTER

L’équipe-projet DEXTER se positionne résolument suivant un axe mécatronique avec pourobjectif de concevoir, réaliser et commander des robots performants et robustes destinés à lamanipulation. Les thèmes scientifiques abordés sont la définition de méthodologies de concep-tion, le développement de protocoles d’estimation et la synthèse de lois de commandes. Lesoutils théoriques développés sont validés et mis en oeuvre dans le domaine de la robotiqueparallèle pour des applications de manipulation rapide et de la robotique médicale pour desapplications de manipulation fine.L’équipe possède dans les deux domaines de la robotique parallèle et médicale une visibilitéet une lisibilité nationale et internationale.Les contributions majeures de l’équipe sont donc réparties en 4 thèmes :

– Robots médicaux et chirurgicaux ;– Robots parallèles et redondance ;– Robots parallèles à forts débattements angulaires ;– Identification et commande de robots.

L’équipe est composée de 9 chercheurs/enseignants chercheurs et 13 thésards.

1.3 Contexte et problématique

Mon travail s’inscrit dans le cadre d’un projet de Mastère réalisé au sein de l’équipe DEXTERdu laboratoire d’Informatique de Robotique et de Microélectronique de Montpellier(LIRMM).Il consiste à appliquer différentes lois de commandes sur le système du pendule inversé stabilisé

Rapport de stage de Mastère 3

1.4. Cahier des charges et Objectifs

par volant d’inertie. Ce système est conçue au sein du LIRMM. Il est très utile dans leslaboratoires d’automatiques. En effet, il présente l’avantage d’avoir une dynamique proche decelles de systèmes beaucoup plus complexes tels que les fusées, les avions à décollage vertical(PVTOL) , certains robots bipèdes , les bâteaux . . . De plus il s’avère être l’outil idéal pourtester rapidement et à moindre coût différentes techniques de commande allant de la plusclassique à la plus novatrice.Notre travail alors consiste à développer des lois de commandes (prédictives et adaptatives) quiagissent sur le volant pour amener le pendule de sa position de repos à sa position d’équilibreinstable et de le maintenir dans cet état.

1.4 Cahier des charges et Objectifs

Le travail à réaliser consiste à développer des lois de commande pour stabiliser le penduleinversé à volant d’inertie. Cette étude devra respecter le cahier de charge suivant :– Les lois de commande développées ,telles que la commande prédictive généralisée (GPC),

la commande adaptative à modèle de référence (MRAC) et la commande par retour d’étatadaptative, sont des approches linéaires qui doivent être appliquées sur un système linéaire,or le pendule inversé à volant d’inertie est un système non linéaire quant doit le linéariser.

– les lois de commandes développées doivent être capable de stabiliser le pendule inversé àvolant d’inertie autour de sa position d’équilibre instable et de le maintenir dans cet état

– Les lois de commandes développées doivent satisfaire une certaine robustesse vis-à-vis denon linéarité système vu quand applique une approche de commande linéaire sur un systèmeinitialement non linéaire (linéarisé autour de l’équilibre)

– Les lois de commandes développées doivent satisfaire une certaine robustesse vis-à-vis desincertitudes paramétriques.

– Les lois de commandes adaptatives développées doivent être robustes vis-à-vis des variationsdes paramètres de systèmes quant mesure à chaque pas d’échantillonnage.

4 Nahla TOUATI

Chapitre 2

Etat de l’art

2.1 Les systèmes mécaniques sous-actionnés

Les systèmes mécaniques sous-actionnés sont définis comme étant des systèmes dont le nombred’actionneurs est inférieur au nombre de degrés de liberté [19].La conception de ces systèmes peut être plus économique, plus simple et plus fiable que lessystèmes complètement actionnés mais leur control est généralement plus complexe [19].Il existe plusieurs systèmes sous actionnés dans la robotique tels que Le pendubot (cf.figure2.1) , l’acrobot et les pendules inversés [20].

Figure 2.1 – Le pendubot

Le pendule inversé est un système classique très intéressant et largement étudié dans la com-munauté automaticienne, vu sa dynamique non linéaire et instable. Il a toujours constitué undéfi intéressant pour le contrôle .Ils existent plusieurs types des pendules inversés : tels que les pendules inversés classiques, de

5

2.2. Le pendule inversé classique

Furuta, gyroscopiques . . . On détaillera dans ce qui suit les principes,les modèles dynamiqueset les comportements en boucles ouvertes correspondants à chaque types de ces pendulesinversés.

2.2 Le pendule inversé classique

2.2.1 Description du pendule

Le pendule inversé classique (cf. figure 2.2) est un système mécanique sous actionné à deuxdegrés de liberté et un seul actionneur. Il est constitué d’un chariot libre en translation le longd’un rail de guidage, et un pendule pesant solidaire du chariot et libre en rotation [20].Le mouvement du pendule se limite quant à lui au plan vertical formé par le chariot et lapiste.Par une force F (cf. figure 2.2) appliquée au chariot et variable à chaque pas du temps, sonprincipe de base consiste à maintenir le pendule inversé en position d’équilibre instable enfaisant en sorte que l’angle θ qu’il fait avec la verticale soit le plus proche possible de laconsigne θd = 0 (position verticale) [20].

Figure 2.2 – Schéma du principe de pendule inversé classique [20]

2.2.2 Modèle dynamique

En considérant une tige rigide de masse négligeable. On définit donc :

– θ : l’angle entre la tige et la verticale,– m : la masse du pendule,– M : la masse du chariot,– l : la longueur de la tige,– g : l’accélération de la pesanteur.

6 Nahla TOUATI

Chapitre 2. Etat de l’art

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne [14] : ennotant x(t) la position du chariot, θ(t) : l’angle du pendule par rapport à la verticale , lesystème étant soumis à la gravité g et à une force F, extérieure et selon l’axe x, le lagrangienest défini par :

L = T − V (2.1)

Avec :– T : l’énergie cinétique totale de système,– V : l’énergie potentielle totale de système.On a ainsi :

L =1

2MV 2

1 +1

2mV 2

2 −mgl cos θ (2.2)

Avec V1 la vitesse du chariot et V2 celle de la masse m.On peut exprimer V1 et V2 à partir de x et θ :

V 21 = x2 (2.3)

V 22 = (x2 + lθcosθ)2 + (lθsinθ)2 (2.4)

Ce qui peut s’écrire encore :

V 22 = x2 + 2xlθcosθ + l2θ2 (2.5)

Le lagrangien résultant est alors donné par :

L =1

2(M +m)x2 +mlθcosθ + 1/2ml2θ2 −mglcosθ (2.6)

Les équations de la dynamique du système sont obtenues en se basant sur l’équation d’EulerLagrange :

d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q= Qi (2.7)

Avec– q(t) : vecteur des coordonnées généralisées ;– q(t) : vecteur des vitesses généralisées ;– Qi : vecteur des forces généralisées ;– L :le lagrangien.


2.2. Le pendule inversé classique

Les équations d’Euler-Lagrange qui dépendent des coordonnées généralisées indépendantes denotre système ( x et θ ) sont les suivantes :

d

dt

∂L

∂x− ∂L

∂x= F (2.8)

d

dt

∂L

∂θ− ∂L

∂θ= 0 (2.9)

En simplifiant ces équations, on obtient les équations non-linéaires du mouvement du pendule :

(M +m)x+mlθcosθ −mlθsinθ = F (2.10)

ml(−gsinθ − xcosθ + lθ) = 0 (2.11)

2.2.3 Représentation d’état et linéarisation

La dynamique non-linéaire du système va être linéariser autour de l’équilibre afin d’obtenirun système qui s’écrit sous la forme suivante de la forme suivante : x = Ax+Bu . En prenantcomme vecteur d’état x = [ x x θ θ ]T et u = F .Le système dynamique non-linéaire peut s’écrire sous la forme : x = f(x(t), u(t)) , en dévelop-pant la fonction f en série de Taylor du premier ordre autour de l’équilibre (x0 est le vecteurnul) , on peut écrire alors le système linéarisé sous la forme suivante [16] :

x = Ax+Bu (2.12)

avec :

A =∂f

∂x |x=x0

et B =∂f

∂u |x=x0

(2.13)

La représentation d’état du système autour de sa position d’équilibre instable est donné par :x = Ax+Bu

y = Cx(2.14)

avec :

A =

0 1 0 0

0 0 −mgM

0

0 0 0 1

0 0 (M+m)gMl

0

, B =

x

x

θ

θ

et C =[

0 0 1 0]

(2.15)

8 Nahla TOUATI


Paramètre Valeur

M [Kg] 0.5

m[Kg] 0.2

l[m] 0.2

g[ms−2] 9.81

Table 2.1 – Paramètres du pendule inversé classique

2.2.4 Analyse du système en boucle ouverte

Afin d’étudier le comportement de système en boucle ouverte, on doit savoir les valeurs nu-mériques des paramètres de système qui se résument dans le tableau 2.4 :

Etude de la stabilité en boucle ouverte :

Les pôles du système (valeurs propres de la matrice A) en boucle ouverte sont calculés encherchant les solutions de l’équation caractéristique det(A − λI) = 0 [11]. Dans le cas dupendule inversé classique, l’équation caractéristique s’écrit :λ2(λ2 + (M+m)g

Ml) = 0

Cette équation admet un pôle nul donc le pendule inversé classique est un système instable.La commandabilité du système :

On dit que le système continu est commandable à l’instant t1 s’il est possible de trouver unvecteur d’entrée U(t) (avec t > t1 ), qui permet d’atteindre à partir de l’état X(t1) un étatX(t2) quelconque en un temps fini t2 − t1 [11].On définit la matrice de commandabilité C, de dimensionn,de la façon suivante :

C = [B AB A2B . . . An−1B] (2.16)

Le système est dit complètement commandable si et seulement si : rang(C) = dim(X) = n),Lamatrice C est alors dite de rang plein [11].Dans le cas du pendule inversé classique : C = [B AB A2B A3B] avec n = 4. Soit :

C =

0 2 0 26.16

2 0 26.16 0

0 −6.6667 0 −91.56

−6.6667 0 −91.56 0

(2.17)

det(C) = 4 6= 0 ⇒ Rang(C) = 4 = n

⇒ Le système est donc complètement commandable.L’observabilité du système :


2.3. Le pendule inversé de Furuta

On dit que le système continu est observable à l’instant t1 si à partir de la connaissance duvecteur de sortie Y et du vecteur d’entrée U, il est possible en un temps fini t2 > t1 dedéterminer l’état X(t1) [11].On définit la matrice d’observabilité O, de dimension n, de la façon suivante :

O =

C

CA...

CAn−1

(2.18)

Le système est dit complètement observable si et seulement si : rang(O) = dim(X) = n),Lamatrice O est alors dite de rang plein [11].

Dans le cas du pendule inversé classique : O =

C

CA

CA2

CA3

, avec n = 4. Soit

O =

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 45.78 0

0 0 1.047 0

(2.19)

det(O) = 0 ⇒ Rang(O) < n

⇒ Le système n’est pas observable.

2.3 Le pendule inversé de Furuta


Le pendule inversé de Furuta (cf. figure2.3) a été conçu par K. Furuta. C’est un système àdeux degrés de liberté et un actionneur. Le bras actionné en rotation permet une course infiniece qui facilite la conception du contrôle.A l’autre extrémité du bras vient s’ajouter un pendule libre en rotation dans le plan verticalorthogonal au bras [17].La rotation du bras actionné permet de balancer le pendule inversé de Furuta , qui se déplacelibrement dans le plan perpendiculaire à celui du bras rotatif, jusqu’à atteindre la positiond’équilibre.

10 Nahla TOUATI


Figure 2.3 – Schéma de principe de pendule inversé de Furuta[17]


La figure 2.3 représente le schéma du principe du pendule inversé de Furuta ainsi que sesparamètres :

– θ1, θ1 et θ1 sont la position, la vitesse et l’accélération angulaire du bras rotatif,– θ2, θ2 et θ2 sont la position, la vitesse et l’accélération angulaire du pendule,– J1 et J2 sont respectivement les moments d’inertie du bras et du pendule autour de leur

centre de masse,– l1 et l2 sont respectivement les distances qui séparent les centres de rotation du bras rotatifet du pendule de leurs centres de masse,

– m1 et m2 sont les masses respectives du bras et du pendule,– g est l’accélération de pesanteur, g = 9.81ms−2 ;– L1et L2 sont respectivement les longueurs du bras et du pendule,– τe est le couple moteur.

Les équations de la dynamique de système sont obtenues en se basant sur l’équation d’Euler-Lagrange (2.7). L’énergie cinétique totale de système est la somme de l’énergie cinétique dubras rotatif et celle du pendule.Avec :

– L’énergie cinétique du bras rotatif s’écrit :

T1 =1

2m1L

21θ1

2+

1

2J1θ1

2(2.20)


2.3. Le pendule inversé de Furuta

– L’énergie cinétique du pendule est donnée par :

T2 =1

2J2θ2

2+

1

2m2[(L1θ1 +

1

2θ2cosθ2)2 + (l2θ2sinθ2)2] (2.21)

L’énergie potentielle totale du système est la somme des énergies potentielles du bras et celledu pendule.– L’énergie potentielle du bras rotatif V1 est nulle ;– L’énergie potentielle du pendule est :

V2 = m2gl2cosθ2 (2.22)

le lagrangien de système est définit comme suit :

L = T1 + T2 − V1 − V2 (2.23)

L’application de l’équation de lagrange donne les équations de la dynamique qui s’écrivent :

(J1 +m2L21)θ1 + (m2L1l2cosθ2)θ2 − (m2L1l2sinθ2)θ2

2= τe (2.24)

(m2L1l2cosθ2)θ1 + (J2 +m2l22)θ2 + (m2l2gsinθ2) = 0 (2.25)


En prenant comme vecteur d’état x = [ θ1 θ1 θ2 θ2 ]T et u = τe et en considérant le prin-cipe de linéarisation autour du point de l’équilibre instable x0 = [ 0 0 0 0 ]T , on trouve lareprésentation d’état du système qui s’écrit sous la forme suivante :x = Ax+Bu

y = Cx(2.26)

Posons– h1 = J1 +m2L

21 ;

– h2 = m2L1l2 ;– h3 = J2 +m2l

22 ;

– h4 = m2l2g .Les matrices d’état du pendule inversé de Furuta sont définies alors par :

A =

0 1 0 0

0 −h3c1 h2h4 h2c2

0 0 0 1

0 h2c1hlh3−h2

2− h4

h3−h22

h1

− c2

h3−h22

h1

, B =

0h3

hlh3−h22

0−h2

hlh3−h22

et C =

[1 0 0 0

0 0 1 0

](2.27)

12 Nahla TOUATI


Paramètre Valeur Paramètre Valeur

m1[Kg] 0.83 l1[m] 0.3

m2[Kg] 0.1 l2[m] 0.1

L1[m] 0.6 J1[Kgm−2] 0.00208

L2[m] 0.3 J2[Kgm−2] 0.001

τe[Nm] 0.0981 g[ms−2] 9.81

Table 2.2 – Paramètres du pendule de Furuta

2.3.4 Analyse en boucle ouverte

Les valeurs de paramètres de système se résument dans le tableau 2.2 :Etude de la stabilité en boucle ouverte :

L’équation caractéristique du pendule inversé de Furuta est :λB(λ) = 0. La présence d’un pôlenul pour cette équation montre que le système du pendule inversé de Furuta est instable.La commandabilité du système :

La matrice de commandabilité correspondante au pendule inversé de Furuta est la suivante :C = [B AB A2B A3B] avec n = 4. Soit :

C =

0 2.93 −1.4401 0.70778

2.93 −1.44 0.7078 −0.3479

0 0 0 0

−8.78 −4.46 −6.58 −5.5397

(2.28)

det(C) = 4 6= 0 ⇒ Rang(C) = 4 = n.


La matrice d’observabilité du pendule inversé de Furuta est la suivante :

O =

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 −4.915 14.65 0

0 0 0 0

0 0.2416 −7.203 0

0 0 0 0

(2.29)


2.4. Le pendule inversé Segway



2.4 Le pendule inversé Segway


Le segway (cf.figure 2.4) est un véhicule à deux roues en auto balance, il est capable de roulersur une surface plane. Son principe est basé sur le développement de résultat dynamique dupendule inversé. La capacité de balance sur deux roues est très efficace pour la mobilité et pourla facilité de changement de direction dans un espace serré. Le prototype est équipé de quelquescapteurs pour mesurer l’angle, la vitesse de rotation et la vitesse linéaire de déplacement [9].

Figure 2.4 – Photo d’un prototype segway


La figure 2.5 représente le paramétrage cinématique ainsi que les paramètres du segway :Les paramètres du segway sont les suivants :– J(Nm2) : Moment dŠinertie dŠune roue par rapport à son axe ,– K(Nm2) : Moment dŠinertie du chassis par rapport lŠaxe des roues,– Met m sont respectivement les masses du châssis et de la roue ,– R(m) : rayon de la roue ,– h(m) : Hauteur du chassis ,– θ(rad) : angle de rotation ,– C est le couple moteur ,– g est l’accélération de pesanteur, g = 9.81ms−2.

14 Nahla TOUATI


Figure 2.5 – Modélisation du segway [3]

LŠétude mécanique, faisant intervenir les paramètres du segway, sŠeffectue simplement enutilisant les outils de mécanique du solide (théorèmes du moment et de la résultante cinétique,roulement sans glissement, etc) ainsi que la mécanique lagrangienne [16].Les équations du mouvement du segaway sont les suivante :

(K + 2m+2J

h2)x+Mh(θ cos θ − θ2) =

2C

R(2.30)

(K +Mh2)θ +Mh(x cos θ −Mgh sin θ = −2C (2.31)


En prenant comme vecteur d’état x = [ x x θ θ ]T etu = C et en considérant le principe delinéarisation autour du point de l’équilibre instable x0 = [ 0 0 0 0 ]T , on trouve la représenta-tion d’état du système qui s’écrit sous la forme suivante :x = Ax+Bu

y = Cx(2.32)

Les matrices d’état du Segway sont définies alors par :

A =

0 1 0 0

0 0 g(1− 43LMchassis

X) 0

0 0 0 1

0 0 gMchassis

X0

, B =

0

4LY3X− 1

MchassisL

0YX

et C =

[1 0 0 0

0 0 1 0

](2.33)


2.4. Le pendule inversé Segway


L’étude du système en boucle ouverte nécessite la connaissance des paramètres du systèmequi se résume dans le tableau 2.3 :

Paramètre Valeur

Mchassis[Kg] 90

Mroue[Kg] 7

m[Kg] 0.7

R[m] 0.2

L[m] 1

Table 2.3 – Paramètres du Segway


Les valeurs propres de la matrice d’état A sont :4.3955,−4.3955 et une racine double nulles.La présence de deux pôles nuls et un pôle positif montre l’instabilité du segway.La commandabilité du système :

La matrice de commandabilé de système s’écrit sous la forme suivante : C = [B AB A2B A3B]

avec n = 4. Soit :

C =

0 0.237 0 255.36

0.237 0 255.36 0

0 −16 0 −309.12

−16 0 −309.12 0

(2.34)

det(C) = 4 6= 0 ⇒ Rang(C) = 4 = n.


La matrice d’observabilité de système est la suivante :

O =

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 −15.96 0

0 0 19.32 0

0 0 0 −15.96

0 0 0 19.32

(2.35)

16 Nahla TOUATI


det(O) = 4 6= 0 ⇒ Rang(O) = 4 = n.

⇒ Le système est donc observable.

2.5 Le pendule inversé gyroscopique


Il s’agit d’un pendule avec une masse symétrique (disque) fixé à l’extrémité qui est libre detourner sur un axe parallèle à l’axe de rotation du pendule. C’est un système donc à deuxdegrés de liberté. Le disque est actionné par un moteur à courant continu et le couple généréepar l’accélération angulaire du disque peut être utilisé pour activer le système de control[15].

Figure 2.6 – Le pendule gyroscopique [2]


La figure 2.7 sert à la modélisation du pendule gyroscopique :Les paramètres du pendule gyroscopique sont les suivants :

– θ : l’angle formé entre la tige et la verticale ;– m1 : la masse du pendule ;– I1 : le moment d’inertie du pendule ;– I2 : le moment d’inertie du disque ;– m2 : la masse du disque ;– l1 : la longueur du pendule ;– g : l’accélération de la pesanteur.


2.5. Le pendule inversé gyroscopique

Figure 2.7 – Modélisation du pendule gyroscopique [15]

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne : en notantq1 l’angle du pendule, q2 l’angle de la disque et τ le couple moteur. Le lagrangien est : L = T−V. Avec :

– T : l’énergie cinétique totale de système ;– V : l’énergie potentielle totale de système.

On a ainsi :

T =1

2m1vG1 + I1q1

2 +1

2m2vG2 + I2q2

2 (2.36)

V = (m1lc1 +m2l1)g cos(q1) (2.37)

On trouve alors les équations suivantes :

d11q1 + d12q2 + φ(q1) = 0 (2.38)

d21q1 + d22q2 = τ (2.39)

Avec :d11 = m1l

2c1 +m2l

21 + I1 + I2 ;

d12 = d22 = d21 = I2 ;φq1 = −(m1lc1 +m2l1)gsinq1 = mgsinq1 ;m = m1lc1 +m2l1 .

18 Nahla TOUATI


2.5.3 Représentation d’état

On prend comme vecteur d’état du système le vecteur : x = [ q1 q1 q2 ]T

On commence par la linéarisation des équations de mouvement autour de la position d’équilibreinstable.Pour θ = 0, sinθ ' θ.En remplaçant ces linéarisations dans le système d’équations on trouvela représentation d’état suivante :

q1

q1

q2

=

0 1 0mg

d12−d11 0 0

− mgd12−d11 0 0

q1

q1

q2

+

01

d12−d11d11

d12(d11−d12)

Cθ (2.40)

y =[

1 0 0]

q1

q1

q2

(2.41)


L’étude de système en boucle ouverte nécessite la connaissance des paramètres de système quise résume dans le tableau suivant :

Paramètre Valeur

m1(Kg) 0.02

m2(Kg) 0.3

l1(m) 0.125

lc1(m) 0.063

I1(Kgm2) 47.10−6

l2(Kgm2) 32.10−6

Table 2.4 – Paramètres du pendule gyroscopique

Etude de la stabilité en boucle ouverte :L’ équation caractéristique de système admet deux racines : 0 et 1.0609 ce qui implique l’in-stabilité du système.La gouvernabilité du système :La matrice de gouvernabilité de système s’écrit sous la forme suivante :Go = [B AB A2B]


2.6. Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

avec n = 3. Soit :

Go =

0 −208 0

−208 0 1.6491.104

208 0 −1.64991.104

(2.42)

Rang(Go) = n = 3

⇒ Le système est entièrement gouvernable.L’observabilité du système :La matrice d’observabilité de système est la suivante :

Ob =

1 0 0

0 1 0

−79.1261 0 0

(2.43)

Rang(Ob) = 2 < n

⇒ Le système est est non observable.

2.6 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est constitué d’un pendule libre en rotationautour d’un axe lié au sol, l’autre extrémité du pendule étant reliée à un disque actionné quine peut que tourner.le principe de fonctionnement de ce pendule est assez simple ,la rotation de volant d’inertieprovoque par les effets dynamiques qu’il induit, la rotation du pendule autour de sa liaisonpassive avec le bâti.Le principe de base, le fonctionnement et la modélisation de ce pendule seront détaillés dansle chapitre 3.

20 Nahla TOUATI

Chapitre 3

Etude du pendule inversé stabilisé par

volant d’inertie

3.1 Introduction

Le pendule inversé stabilisé par un volant d’inertie (cf. figure3.1) est un système constituéd’un volant d’inertie et d’un pendule. En effet la rotation de du volant d’inertie provoque parles effets dynamiques qu’elle induit la rotation du pendule autour de sa liaison passive avec lebâti [13]. Notre but est de trouver la meilleur commande qui agit sur le volant pour amenerle pendule à sa position d’équilibre instable et de le maintenir dans cet état.Dans ce chapitre, on s’intéresse à la description du pendule inversé, la modélisation mécaniqueainsi que l’étude du système de pendule en boucle ouverte.

Figure 3.1 – Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie [13]

21

3.2. Description du système

3.2 Description du système

Architecture de la maquetteLa maquette du pendule inversé (cf. figure 3.2) est constituée de cinq composants principaux :un calculateur, un inclinomètre, un groupe moteur/variateur/réducteur et deux codeurs.

PC de commande

Alimentation(12V)

Variateurde vitesse

Carte interface(MAGMA)

Inclinomètre

Pendule

Volant d’inertie

Figure 3.2 – Vue de la plate forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volantd’inertie

Le calculateur : appelé aussi PC de commande, est le coeur du système car c’est lui quiest en charge d’interroger les différents capteurs, de calculer la loi de commande et depiloter le variateur.

Le variateur de vitesse : doit être en mesure de fournir une puissance électrique de 200W( caractéristiques du moteur), d’asservir le moteur en couple et de fonctionner en mode4 quadrants (essentiel pour recycler l’énergie réactive produite par le moteur en phasede freinage).

Inclinomètre : est un capteur capable de mesurer la position angulaire du pendule parrapport à la verticale. Pour respecter l’intégrité de la maquette, il est inconcevable d’in-corporer un codeur incrémental sur l’axe de rotation du pendule pour la mesure de saposition angulaire (solution généralement adaptée pour ce type de mesure).

Moteur : Le dimensionnement du moteur électrique est étroitement lié au dimensionnementdu volant d’inertie, étant donné qu’il est dédié exclusivement à son entraînement. Plusqu’un simple actionneur, c’est un moteur couplé avec un réducteur et un codeur incré-mental. Le réducteur permet dans le cadre de ce projet, de privilégier le couple aux

22 Nahla TOUATI

Chapitre 3. Etude du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

dépens de la vitesse de rotation. Le codeur incrémental ,quant à lui, est mesurer laposition angulaire et par conséquent celle du volant d’inertie.

Système d’exploitation : Le temps d’exécution d’une tâche et sa répétitivité sont deuxcontraintes fortes dans le domaine de la commande temps-réel. Le non respect de l’uned’elles peut avoir des conséquences graves, aussi bien sur le comportement du système quesur son environnement direct. C’est à ce titre, que le système d’exploitation implémentésur le calculateur est un système temps réel strict. Dans le cas de pendule inversé lenoyau temps réel utilisé est le RTX(Real-time Extension for Control of Windows) dechez Ardence.

deux codeurs : pour mesurer l’angle du pendule et la position angulaire du volant d’inertie

Récapitulatif des variables du systèmeLe tableau 3.1 regroupe l’ensemble des notations qui seront utilisées dans la modélisation (cf.section3.4)du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie.

Variable Unité Description

C1 Nm Couple perturbateur

C2 Nm Couple appliqué du volant d’inertie sur le pendule

θ1 rad Position angulaire du pendule

θ1 rad.s−1 Vitesse angulaire du pendule

θ1 rad.s−2 Accélération angulaire du pendule

θ2 rad Position angulaire du volant

θ2 rad.s−1 Vitesse angulaire du volant

θ2 rad.s−2 Accélération angulaire du volant

θr rad Position angulaire de référence

θr rad.s−1 Vitesse angulaire de référence

θr rad.s−2 Accélération angulaire de référence

Table 3.1 – Récapitulatif des variables utilisées dans la modélisation

Le tableau 3.2 regroupe l’ensemble de ses paramètres géométriques et dynamiques :

3.3 Schéma de principe

Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie (cf. figure3.1) est un système mécanique sousactionné. Dans , il dispose de deux axes de rotation et un seul actionneur (le volant d’inertie).


3.4. Modèle dynamique non linéaire

Paramètre Description Valeur unité

m1 Masse du pendule 3.30810 Kg

m2 Masse du volant 3.33081 Kg

l1 Distance pivot / centre de gravité du pendule 0.06 m

l2 Distance pivot / centre de gravité du pendule 0.044 m

i1 Moment d’inertie du pendule 0.0314683 Kgm2

i2 Moment d’inertie du volant d’inertie 0.0004176 Kgm2

E2 Épaisseur du volant d’inertie 0.02 m

RE2 Rayon extérieur du volant d’inertie 0.04 m

RI2 Rayon intérieur du volant d’inertie 0.03 m

g Accélération due à la gravité terrestre 9.81 ms−2

Table 3.2 – Paramètres géométriques et dynamiques du système

La figure 3.3 montre que le système est constitué de trois corps : un bâti (0), une tige rigideou pendule (1) et un volant d’inertie (2). La tige rigide est en rotation libre (liaison passive)autour du bâti alors que le volant d’inertie possède un axe de rotation solidaire de cette mêmetige. Le schéma de la figure3.3 met en exergue la géométrie du système dans un référentielGaliléen [13]. Le pendule inversé présente deux points d’équilibres :• Le point d’équilibre stable : qui correspond à l’état dans lequel le pendule est dirigévers le bas. En l’absence d’une quelconque force de contrôle, le système reste naturellementdans cet état.• Le point d’équilibre instable : qui correspond à l’état dans lequel le pendule est pointévers le haut. Ce point d’équilibre est dit instable car en l’absence d’une force de contrôle, lependule, sous l’effet d’une quelconque perturbation liée à son environnement, est incapable derester dans cette position.

3.4 Modèle dynamique non linéaire

Afin d’élaborer le modèle dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, leshypothèses suivantes sont considérées :

– Hypothèse 1 : Les masses du pendule et de la roue d’inertie sont considérés comme étantdes masses ponctuelles situées à leur centre de gravité (respectivement G1 et G2).

– Hypothèse 2 : L’étude de la dynamique du pendule inversé est réalisée en négligeant lesphénomènes mécaniques liés aux frottements.

24 Nahla TOUATI


Figure 3.3 – Illustrations des points d’équilibre

– Hypothèse 3 : La dynamique du moteur actionneur associée au volant d’inertie n’est pasprise en compte dans le cadre de la modélisation du système.

3.4.1 Principe mécanique

En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PFD) , on peut démontrer trèssimplement la façon dont la partie actionné (volant d’inertie) agit sur l’angle du pendule afinde l’asservir en position verticale .Cette démonstration s’appuie sur un modèle mécanique équivalent (cf. figure 3.4 le volantd’inertie est remplacée par une barre rectiligne pour modéliser de manière imagée le coupleinduit par sa rotation), pour en faciliter sa compréhension [13]. Les équations du principefondamental de la dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie sont :

~Mo~FA + ~Mo

~FB + ~Mo~FG1 + ~Mo

~FG2 =∑

~MD (3.1)

Soit :

~CV I + ~CP =∑

~MD (3.2)

avec :

~CV I = ~Mo~FA + ~Mo

~FB (3.3)


3.4. Modèle dynamique non linéaire

et

~CP = ~Mo~FG1 + ~Mo

~FG2 (3.4)

Le pendule est mis en mouvement lorsque le couple généré par le volant d’inertie CV I estsupérieur ou inférieur au moment résistant (MD −MP ). La synthèse ci-après précise l’état dusystème en fonction de ces différences de moment :- ~MMoment = ~0 le pendule en équilibre statique ;- ~MMoment > ~0 le pendule est en phase ascendante ;- ~MMoment < ~0 le pendule est en phase descendante.Remarque : Dans la réalité, les forces mises en jeu pour mettre en rotation le volant d’inertiesont réparties d’une façon homogène sur la totalité de sa circonférence.

Figure 3.4 – Modèle mécanique équivalent

3.4.2 Lagrangien

Le modèle dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est obtenu en applicantle formalisme de Lagrange [?]. Cette approche nécessite le calcul des énergies cinétiques etpotentielles des différents composants du système en fonction de coordonnées généralisées. LeFormalisme d’Euler-Lagrange repose sur l’équation de Lagrange :

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= Qi (3.5)

avec L = T − V– L : le lagrangien– T : l’énergie cinétique totale du système

26 Nahla TOUATI


– V : l’énergie potentielle totale du système– Qi= : Forces généralisées associées à qi

– q =

[q1

q2

]=

[θ1

θ2

]: le vecteur de coordonnées généralisées

L’énergie cinétique totale T : T = TP + TV I , avec :-TP = 1

2(m1V

2G1 + i1θ1

2) , avec VG1 = l1θ1

-TV I = 12(m2V

2G2 + i2θ2

2) , avec VG2 = l2θ2

Donc :

T =1

2(m1l

21 +m2l

22 + i1)θ1 + i2(θ1 + θ2) (3.6)

L’énergie potentielle totale V : V = VPendule + VV olantInertie, avec :

VPendule = m1l1g cos θ1 (3.7)

VV olantInertie = m2l2g cos θ1 (3.8)

Donc :

V = (m1l1 +m2l2)g cos θ1 (3.9)

L = T − V Donc :

L =1

2Iθ2 + i2(θ1 + θ2)− mlg cos θ1 (3.10)

Avec : ml = m1l1 +m2l2 et I = m1l21 +m2l

22 + i1

3.4.3 Dynamique du pendule

Les équations de la dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie déduites deséquations d’Euler-Lagrange décrivent l’accélération angulaire du pendule θ1 et l’accélérationangulaire du volant d’inertie θ2.

θ1 =1

I[C1 − C2 + mlg sin θ1] :Accélération angulaire du pendule (3.11)

θ2 =1

Ii2[−i2C1 + (i2 + I)C2 − i2mlg sin θ1] :Accélération angulaire du volant d’inertie(3.12)

Les équations de la dynamique du pendule inversé sont mises sous la forme :

G(x)x+H(x, x)x+ I(x) = Qx (3.13)

Donc : [I + i2 i2

i2 i2

] [θ1

θ2

]+

[−mlg sin θ1

0

]=

[C1

C2

](3.14)


3.5. Représentation d’état et linéarisation

3.5 Représentation d’état et linéarisation

La représentation d’état du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est obtenue par lalinéarisation de son modèle dynamique autour du point d’équilibre instable [16]. En prenantcomme vecteur d’état X = [ θ1 θ1 θ2 θ2 ]T et U = C1

Les équations d’état sont de la forme :

X = AX +BC1

Y = CX(3.15)

Avec :

A =

0 1 0 0

a21 0 0 0

0 0 0 1

a42 0 0 0

, B =

0

b1

0

b2

et C =[c1 0 0 0

](3.16)

Avec : a21 = mlgI

= −a41 , b1 = 1I

= −b2 et c1 = 1.Remarque : Le couple perturbateur est considéré nul pour simplifier l’étude du pendule inversé.

3.6 Analyse du système en boucle ouverte


Les pôles du système en boucle ouverte sont calculés en cherchant les solutions de l’équationcaractéristique det(A− λI) = 0. Dans le cas du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie,l’équation caractéristique est :λ(λ2 − a21) = 0 et les pôles sont : 0 ;

√a21 ; −

√a21

La présence de pôles à partie réelle nulle ou positive, vient confirmer le fait que le penduleinversé stabilisé par volant d’inertie est un système naturellement instable.La commandabilité du système :

La gouvernabilité a un impact direct sur la conception de la loi de commande d’un système.Un système est dit gouvernable, s’il existe une commande permettant d’amener le systèmedepuis l’état x(t0) vers l’état x(t1).Un système est entièrement gouvernable si le rang de sa matrice de gouvernabilité (Go =

[B AB . . . An−1B]) est égal à la dimension du système (n).

28 Nahla TOUATI


Dans le cas de notre système : C = [B AB A2B A3B] avec n = 4. Soit :

C =

0 22.7 0 −1078.6

−22.7 0 −10786 0

0 2417.4 0 1078.6

2417.4 0 1078.6 0

(3.17)

det(C) = 4 6= 0 ⇒ Rang(C) = 4 = n.


L’observabilité est une propriété fondamentale pour la conception d’un observateur d’état. Unsystème est dit observable, si la connaissance de son vecteur de sortie entre les instants t0 et t1permet de déduire l’état x(t1). Un système est entièrement observable si le rang de sa matriced’observabilité (Ob = [CT [CA]T . . . [CAn−1]T ]T ) est égal à n la dimension du système.La matrice d’observabilité du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est la suivante :

O =

1 0 0 0

0 1 0 0

47.4793 0 0 0

0 47.4793 0 0

(3.18)




Chapitre 4

Solution1 :Approches de commande

prédictive

4.1 Principe générale des techniques de commande pré-

dictive

Introduction à la commande prédictive

La commande prédictive est née à la fin des années 1970 et s’est considérablement développéedepuis, à la foie dans la communauté de la recherche en automatique et dans l’industrie.Le terme de commande prédictive ne désigne pas une stratégie de commande spécifique maisun ensemble de méthodes de l’automatique qui utilisent explicitement un modèle du processusà commander, afin d’obtenir le signal de commande par la minimisation d’une fonction de coût. Ces méthodes donnent des correcteurs linéaires qui ont pratiquement tous la même structureet qui se basent tous sur les idées suivantes [4] :

– Utilisation d’un modèle pour prédire les sorties du procédé des instants futurs (notion d’horizon de prédiction) ;

– Calcul de la séquence des commandes qui minimise une fonction de coût dans le futur (notiond’ horizon de commande) ;

– Chaque instant d’échantillonnage, l’horizon de prédiction est déplacé vers le futur, et seule lapremière des commandes calculées est effectivement appliquée au système (notion d’ horizonfuyant).

Avantages et inconvénients de la commande prédictiveLa commande prédictive présente un certain nombre d’avantages, par rapport aux autresméthodes, parmi lesquels on trouve [4] :

– son principe très intuitif et le réglage relativement facile de ses paramètres ;

30

Chapitre 4. Solution1 :Approches de commande prédictive

– elle peut être utilisée pour commander une grande variété de processus, ceux avec desdynamiques simples ceux plus complexes, par exemple les systèmes grand retards, phasenon minimale ou instables ;

– le correcteur obtenu est une loi de commande linéaire facile à implémenter et qui requiertpeu de temps de calcul ;

– le traitement de contraintes sur le système commander peut être inclus.

Bien sûr, il y a aussi quelques désavantages [4] tels que :

– Bien que le correcteur obtenu soit simple à programmer, son obtention est beaucoup pluscomplexe que pour les correcteurs de type PID classiques ;

– Dans le cas d’une commande prédictive, un nombre important de calculs doit être menéchaque instant d’échantillonnage. Lorsque des contraintes sont considérées, le nombre descalculs nécessaires est encore plus grand.

– Le plus grand des inconvénients est le besoin d’un modèle approprié du système. L’algo-rithme de calcul du correcteur prédictif se base sur une connaissance a priori du modèle,il est donc évident que les bénéfices obtenus avec la commande prédictive sont affectés parles écarts qui peuvent exister entre le processus réel et le modèle utilisé.

Principe générale de la commande prédictiveLe principe général de tous les correcteurs de la classe prédictive se caractérise par la stratégiesuivante, représentée sur la figure 4.1 :

1. les sorties futures sur un horizon déterminé de taille N, appelé l’ horizon de prédiction,sont prédites chaque instant k l’aide du modèle du processus. Ces prédictions sont notéesy(k+j|k) avec j = 1..N . Elles dépendent des valeurs connues jusqu’à l’instant k (entréeset sorties passées) et des commandes futures u(k + j|k) avec j = 1..N − 1, , qui sontcelles envoyer au système et qui doivent être calculées ;

2. l’ensemble des commandes futures est calculé en optimisant un critère déterminé pourgarder le process aussi proche que possible de la trajectoire de référence r(k+j).Ce critèreprend généralement la forme d’une fonction quadratique des erreurs entre le signal desortie prédit et les consignes futures. L’énergie de commande est incluse dans la fonctionde coût dans la plupart des cas. Une solution explicite peut être obtenue si le critèreest quadratique, le modèle linéaire et s’il n’y a pas de contraintes, sinon une méthoded’optimisation itérative doit être utilisée. Des hypothèses sont également faites sur lastructure de la loi de commande future, comme par exemple qu’elle sera constante àpartir d’un instant donné (horizon de commande).

3. La commande u(k|k) est envoyée au système et les autres valeurs de commande sontoubliées, parce qu’à l’instant d’échantillonnage suivant la mesure y(k+1) est déjà connue


4.1. Principe générale des techniques de commande prédictive

et que l’étape n1 est répétée avec cette nouvelle valeur, toutes les séquences étant misesà jour. Alors on calcule la commande u(k + 1|k + 1) , qui est différente de u(k + 1|k) àcause des nouvelles informations prises en compte.

Figure 4.1 – Stratégie de la commande prédictive [12]

Modélisation du système

Pour l’implémentation de la stratégie prédictive, la structure de base de la figure 4.2 est miseen oeuvre. Un modèle sert à prédire les futures sorties du système, grâce aux valeurs couranteset passées de la commande et aux commandes optimales futures. Ces dernières sont calculéespar une méthode d’optimisation, qui prend en compte la fonction de coût (qui dépend aussides consignes futures), et éventuellement des contraintes [12]. Le modèle du système joue doncun rôle central dans le correcteur. Le modèle choisi doit être capable de rendre compte de ladynamique du processus pour prédire précisément les sorties futures et aussi doit être simpleimplémenter et comprendre.La description du procédé peut être sous forme de fonction de transfert ou la représentationdans l’espace d’état, qui décrit facilement les systèmes multivariables.

32 Nahla TOUATI


Figure 4.2 – Structure de base de la commande prédictive [4]

4.2 Approche1 : La Commande Prédictive Généralisée (GPC)

4.2.1 Principe de la commande

Proposée par Clarke en 1987, la commande prédictive généralisée (GPC ) est devenue l’un desalgorithmes de commande prédictive les plus répandus. Elle a montré de bonnes performanceset un certain degré de robustesse. Elle peut traiter beaucoup de problèmes de commandepour une large étendue de systèmes et met en jeu un nombre raisonnable de paramètres, quel’utilisateur doit spécifier en fonction de sa connaissance a priori du procédé commander et deses objectifs de commande [4].L’idée de la base de la commande GPC est de calculer une séquence de commandes futures detelle façon qu’une fonction coût à plusieurs composantes soit minimale sur un certain horizonde prédiction. L’indice à optimiser est une fonction quadratique qui mesure la distance entrela sortie prédite du système et une séquence de référence, plus une fonction quadratique quimesure l’effort de commande. Les spécificités de la commande GPC sont l’existence d’unesolution optimale analytique (en l’absence de contraintes), le fait qu’elle soit compatible avecdes systèmes instables ou à phase non minimale, et enfin la notion d’horizon de commande etd’increments de commande [4].


4.2. Approche1 : La Commande Prédictive Généralisée (GPC)

4.2.2 Formulation de La GPC avec état final nul

Le choix de cette formulation de GPC est dû au fait que la formulation avec fonction de trans-fert ne garantie pas le contrôl des différents états de notre système, donc on a pensé à uneformulation qui intervient tout les états de système et qui introduit une condition (sorte de pé-nalité) à l’état final du système qui doit être nul [6](θ1 = 0rad , θ1 = 0rads−1 et θ2 = 0rads−2

).Modèle de représentation de la GPC avec état final nul

Pour cette approche, on doit utiliser la représentation d’état du système échantillonné quis’écrit sous la forme : x(k + 1) = Ax(k) +B∆u(k)

y(k) = Cx(k)(4.1)

avec : A, B et C sont les matrices de représentations d’état.La fonction côut

Le critère quadratique utilisé par la procédure de la commande est de la forme suivante :

J(N1, Np, Nu, Q, λ) = (x(k +Np)− wx(k +Np))TQ(x(k +Np)− wx(k +Np))

+

Np∑j=N1

(y(k + j)− w(k + j))T (y(k + j)− w(k + j)) +Nu∑j=1

λ(j)(∆u(k + j − 1))T (∆u(k + j − 1))(4.2)

avec :– wx : l’état désiré du système à la fin de prédiction– N1 : Horizon d’initialisation– Np : Horizon de prédiction– Nu : Horizon de commande– Q : Pondération sur les états de systèmes– λ : Pondération sur la commandeCalcul de prédiction de la grandeur de sortie

Pour minimiser le coût, on doit tout d’abord calculer la sortie prédite du système y(k+j),j = 1 . . . Np à chaque pas d’échantillonnage en se basant sur les informations disponibles surle système aux instants qui précédent l’instant k.On a :

x(k + 1) = Ax(k) +Bδu(k)

x(k + 2) = Ax(k + 1) +Bδu(k + 1) = A2x(k) +Bu(k + 1)

x(k + 1) = Ax(k) +Bδu(k) = A3x(k) + A2B∆u(k) + AB∆u(k + 1) +B∆u(k + 2)

34 Nahla TOUATI


...

x(k + j) = Ajx(k) +

j−1∑i=0

Aj−i−1Bδu(k + i) (4.3)

Donc la sortie estimée du système à j pas s’écrit sous la forme :

y(k + j) = CAjx(k) +

j−1∑i=0

CAj−i−1Bδu(k + i) (4.4)

Si on utilise maintenant, l’approche de la commande (GPC) qui pour tout i ≥ Nu donneu(k + i) = 0, et si on note :

y =

y(k + 1)

y(k + 2)...

y(k +N1)...

y(k +Np)

et ∆u =

∆u(k)

δu(k + 1)

δu(k + 2)...

δu(k +Nu)

(4.5)

on peut écrire la sortie prédite sous la forme suivante :

y = G∆u+ f (4.6)

avec G et f sont données par :

G =

CB 0 0 . . . 0

CAB CB 0 . . . 0...

...... . . .

...CAN1−1B CAN1−2B CAN1−3B . . . 0

......

... . . ....

CANp−1B CANp−2B CANp−3B . . . CANp−NuB

et f =

CA

CA2

...CAN1

...CANp

x(k) (4.7)

Si on prend en compte le critère coût, la sortie prédite se réécrit de la façon suivante :

y =

CAN1−1 CAN1−2 CAN1−3 . . . 0

......

... . . ....

CANp−1 CANp−2 CANp−3 . . . CANp−Nu

∆u+

CAN1

...CANp

x(k) (4.8)

Calcul de la commande optimale

On doit maintenant calculer la loi de commande qui dérive du critère 4.2. On considère dans


4.2. Approche1 : La Commande Prédictive Généralisée (GPC)

la suite que : wx = 0, w(k+ j) = 0 pour tout j, N1 = 1,Np = Nu = N , Q ≥ 0 et λ(j) = λ > 0.le critère 4.2 peut s’écrire alors sous la forme suivante :

JN = xT (k+N)(Q+CTC)x(k+N)+∑

y(k + j)Ty(k + j) + λ∆u(k + j − 1)T∆u(k + j − 1)

= xT (k +N)(Q+ CTC)x(k +N) +∑

xT (k +N)TCTCx(k + j) + λ∆u(k + j − 1)T∆u(k + j − 1)(4.9)

L’évolution de l’état du système est donnée par :

x(k +N) = ANx(k) +∑

i = 0N−1AN−i−1B∆u(k + i)

= ANx(k) + [AN−1B AN−2B . . .B]

∆u(k)

∆u(k + 1)...

∆u(k +N − 1)

= ANx(k) + C∆u (4.10)

Le critère coût maintenant peut s’écrire de la façon suivante :

JN =1

2[H + 2CTQC]∆u+ [b+ 2xT (k)(AN)TQC]∆u+ f0 + xT (k)(AN)TQANx(k) (4.11)

Avec :– H = 2[GTG+ λI] ;– b = 2fTG ;– f0 = fTf .Les matrices G et f sont définis dans 4.7. Le critère coût 4.11 se réécrit sous la forme suivante :

JN =1

2∆uH∆u+ b∆u+ f0 (4.12)

Avec :– H = 2[GTG+ λI + CTQC] ;– b = 2xT (k)[LTG+ (AN)TQC] ;– f0 = xT (k)[LTL+ (AN)TQAN ]x(k) .La commande optimale est obtenue à partir de l’annulation du dérivé partiel du critère J parrapport à ∆u : δj

δ∆u= 0. Le vecteur optimal ∆u s’écrit alors comme suit :

∆u∗ = −H−1bT

36 Nahla TOUATI


= −(GTG+ λI + CTQC)−1(GTL+ CTQAN)x(k)

= −Kx(k) (4.13)

On note bien que la séquence de commande envoyée au procédé est le premier élément duvecteur ∆u .

4.2.3 Modèle de représentation

La représentation d’état de notre système dans le cas discret est de la forme X(k + 1) =

f(x(k), u), avec X = [ θ1(k + 1) θ1(k + 1) θ2(k + 1) ]T , or pour appliquer la GPC avecétat final nul, on doit représenter le système sous la forme suivante X(k + 1) = f(x(k),∆u)

[6].La représentation initiale de notre système est la suivante :X(k + 1) = AX(k) +Bu

y(k) = CX(k)(4.14)

On a ∆u(k) = u(k)− u(k − 1), on peut donc représenter le système sous la forme suivante :[X(k + 1)

u(k)

]=

[A B

0 1

] [X(k)

u(k − 1)

]+

[B

1

]u (4.15)

y(k) =[C 0

] [X(k)

u(k − 1)

](4.16)

4.3 Approche2 : La commande Prédictive non linéaire

4.3.1 Principe de la commande prédictive non linéaire

Le problème simple issu de la minimisation du critère prédictif dans le cas d’un système linéaireinvariant se complique singulièrement lorsque l’on envisage le cas de la commande prédictived’un système non-linéaire.Cette approche s’applique aux systèmes non-linéaires en se basant pour la prédiction no-tamment sur un modèle non-linéaire du système,évitant ainsi le recours à une linéarisationpréalable. Elle repose sur la résolution d’un problème d’optimisation à chaque pas d’échan-tillonnage. Ce dernier consiste à minimiser une fonction coût sur un horizon de prédiction [12].


4.3. Approche2 : La commande Prédictive non linéaire

Le principal obstacle dans la synthèse de lois de commande pour les systèmes non linéaires estla présence des non linéarités dans le modèle et d’autre part, qu’il existe un nombre importantde techniques efficaces de synthèse dans le cas de modèles linéaires. Si l’on est capable pardes transformations adéquates de transformer le modèle non linéaire en un modèle linéaire,on peut ensuite utiliser les techniques de synthèse de lois de commande des systèmes linéaires.C’est la philosophie de la linéarisation par bouclage [7].Donc, cette technique consiste à chercher un changement de variables non linéaire dans lequel la nouvelle formulation soit linéaire.Donc susceptible d’appliquer toutes les méthodes ettechniques des systèmes linéaires.On a l’équation de mouvement de suivante pour le pendule inversé :

θ1 =1

I[−u+ mlg sin θ1] (4.17)

On choisit la commande u sous la forme :

u = mlg sin θ1 − Iv (4.18)

On trouve θ1 = v , la dynamique est alors linéaire.Pour la poursuite de trajectoires de référence, la sortie doit suivre une trajectoire de référenceθ1desiree (θ1 → θ1d )et de même pour θ1 → ˙θ1det θ1 → θ1d.Il suffit donc de choisir :

v = (θ1 − θ1d)−Kv(θ1 − ˙θ1d)−Kp(θ1 − θ1d) (4.19)

Le choix de θ1d, ˙θ1d et θ2d sera détaillé dans la section suivante.

4.3.2 La génération des trajectoires

Le principe de la commande prédictive non linéaire consiste à définir une trajectoire de réfé-rence à suivre pour la sortie de système.Le choix de la trajectoire de référence doit amener lesystème vers la position d’équilibre instable donc θ1d(∝) = 0.dans notre cas on a choisit une trajectoire de référence de second ordre.Les systèmes du second ordre, sont représentés par une équation différentielle linéaire du se-cond ordre :

d2y

dt2+ 2ξw

dy

dt+ w2y = v0w

2 (4.20)

Avec :y :la réponse désiré de système (θ1d) ;

38 Nahla TOUATI


ξ :Coefficient d’amortissementw :pulsation proprev0 :gain statiqueLa réponse indicielle de système qui amène la sortie(θ1) de sa position initiale vers θ1 = 0 estla suivante, avec v0 : la condition initiale de pendule au début de chaque horizon de prédiction.

θ1d = v0[1√

1− ξ2e−ξwt sin(wt

√1− ξ2 + arccos(ξ))] (4.21)

D’ou

˙θ1d = v0we−ξwt[cos(wt

√1− ξ2 + arccos(ξ))− ξ sin(wt

√1− ξ2 + arccos(ξ))√

1− ξ2] (4.22)

et

θ1d = v0we−ξwt[

xξ2√1− ξ2

sin(wt√

1− ξ2 + arccos(ξ))− 2ξw cos(wt√

1− ξ2 + arccos(ξ))](4.23)

4.3.3 L’optimisation

La fonction coût J à optimiser pour notre problème est la vitesse de volant au carré à la finde chaque horizon de prédiction. Donc, J = θ2(tf ) avec tf est l’horizon de prédiction.Le choix de cette fonction est dû au fait qu’on veut contrôler la vitesse de volant et essayer dela minimiser au maximum en utilisant une commande que ne dépend que de θ1.Sur chaque horizon de prédiction, on cherche à trouver ξ optimal qui correspond au minimumde J, on l’applique sur cet horizon et on recommence le cycle pour l’horizon suivant.


Chapitre 5

Application des approches prédictives sur

le pendule inversé

5.1 Application de La GPC sur le Pendule inversé

5.1.1 Simulations dans le cas nominal

Résultats de Simulations

L’objectif de cette simulation est de stabiliser le pendule inversé stabilisé par volant d’inertieà partir de la condition initiale X0 = [θ1 = 18◦ θ1 = 0 θ2 = 0]T .On fixe les paramètres de la GPC à :

– L’horizon d’initialisation N1 = 1 ;– L’horizon de prédiction N2 = 40 ;– L’horizon de commande Nu = 40 ;– La pondération sur la commande λ = 40 ;– La pondération sur les états Q = I(3, 3).

La figure 5.1 présente l’évolution de la position et de la vitesse du pendule, ainsi que la vitessedu volant d’inertie.La figure 5.2 présente l’évolution de la commande, et la puissance mécanique du volant d’iner-tie.

Interprétations des résultats

D’après la figure 5.1 on remarque que la position angulaire du pendule oscille autour de 0rad

entre (18 degré et 13 degré), elle se stabilise complètement au bout de 1,45s.Les vitesses angulaires du pendule et du volant d’inertie oscillent aussi autour de 0 et sont

40

Chapitre 5. Application des approches prédictives sur le pendule inversé

Figure 5.1 – Dynamique du pendule et de volant d’inertie pour le cas de la GPC

nulles à partir d’1.2s.Pour la vitesse du volant d’inertie, on constate qu’elle oscille entre 5067 et -1321tr/min .Ces résultats semblent satisfaisante cependant, cette vérification n’est pas suffisante. Il fautvérifier aussi que la puissance maximale des moteurs actionneurs n’est pas atteinte. Pour celal’idée consiste à tracer la vitesse angulaire de l’arbre du moteur (valeur absolue en tour/min)en fonction du couple moteur (valeur absolue), et vérifier qu’on reste bien dans la région d’ad-missibilité donnée par le constructeur.Le rapport des réducteurs de vitesse, utilisé avec notre moteur estR = 13

3. Les formules sui-

vantes sont utilisées pour passer de la vitesse du volant d’inertie à la vitesse niveau moteur,et du couple du volant d’inertie au couple niveau moteur :

Vmoteur =Vvolant ×R× 60

2π(5.1)

Cmoteur =CvolantR

(5.2)

Le test de la puissance admissible des moteurs est concrétisé donc par le tracé de la vitesseniveau moteur en fonction du couple niveau moteur. Il est superposé au gabarit de la puissanceadmissible. Si le tracé reste bien à l’intérieur du gabarit, on en déduit que les puissances sont


5.1. Application de La GPC sur le Pendule inversé

Figure 5.2 – Couple et puissance mécanique

admissibles. Dans le cas de notre scénario de simulation ces courbes sont tracées sur la figure5.3 , qui justifie que la puissance maximale reste bien dans la zone admissible.

5.1.2 Test de Robustesse de la commande

Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques

Le test de la robustesse de la commande nous permet de vérifier si la commande appliquéepeut s’adapter aux incertitudes des paramètres de système qui peuvent être dû à la précisiondes capteurs , les forces de frottements, les facteurs externes imprévisible. Ces derniers n’ontpas été prise en compte dans la modélisation du système.On choisit d’introduire une incertitude ∆I sur le paramètre I qui est une combinaison deplusieurs paramètres : I = m1l

21 +m2l

22 + I1 et on observe ce que se passe sur la sortie.

On remarque bien d’après la figure 5.4 que le système peut surmonter cette incertitude etamener le système vers la stabilisation.

42 Nahla TOUATI


Figure 5.3 – Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la GPC

Figure 5.4 – Robustesse vis-à-vis des incertitudes du paramètre I

Robustesse vis-à-vis des non-linéarités

Le pendule inversé est un système non linéarisé qu’on linéarise autour de la position d’équilibre.On veut voir ici si, on appliquant la commande linéaire sur le système non linéaire est ce qu’onpeut arriver à stabiliser le système et à le maintenir dans cet état.Les figures 5.5 et 5.6 illustrent l’évolution des états et de la commande de notre système.Même si on applique la commande sur le système non linéaire, on constate que le pendulearrive à se stabiliser ainsi que touts les états de système.


5.1. Application de La GPC sur le Pendule inversé

Figure 5.5 – Evolution des états de système non linéaire dans le cas de la GPC

5.1.3 Expérimentation : Application en temps réel

Scénario1 : Cas nominal

Les courbes ci dessous de la figure 5.7 mettent en évidence les résultats de l’expérimentationdans le cas nominal sur le pendule inversé pour une durée de 30 secondes.D’après ces courbes ,on remarque que la position et la vitesse angulaire du pendule ainsi que lavitesse du volant d’inertie oscillent autour de 0rd jusqu’à atteindre la valeur nulle. On trouvedes erreurs entre la simulation et l’expérimentation qui sont dûes à différents facteurs tels quela précision des capteurs , les forces de frottements et les facteurs externes imprévisible. Cesderniers n’ont pas été prise en compte lors de la modélisation du système.

Scénario2 : Cas de rejet des perturbations ponctuelles

Cet essai met en évidence la robustesse de la commande vis à vis des perturbations ponctuellessur le système réel qui interviennent à t = 9s, t = 14s, t = 20s et t = 24s.Les résultats des expérimentations se résument sur la figure 5.8 :

On remarque l’effet de perturbations(les pics sur les courbes) mais le système tend toujoursà revenir à la position d’équilibre après la perturbation.

44 Nahla TOUATI


Figure 5.6 – La commande et la puissance de système non linéaire dans le cas de la GPC

Scénario3 : Cas de rejet des perturbations persistantes

On applique maintenant une force constante(perturbation persistante) sur le système du pen-dule inversé quand le voit sur la figure 5.9 :

Les résultats d’expérimentations sont illustrés sur la figure 5.10 :Le système cherche à compenser la valeur de la perturbation et par la suite appliquer unecommande plus élevée pour atteindre la position d’équilibre.

Scénario4 : Combinaison de deux types de perturbations

On essai maintenant d’appliquer au système la combinaison de deux types de perturbationsponctuelles et persistantes(cf.figure 5.11.

Les résultats d’expérimentations sont illustrés sur la figure 5.12 :On observe des pics sur les courbes relatives à la perturbation constante.Le système cherche à compenser la valeur de la perturbation constante et par la suite appliquerune commande plus élevée pour atteindre la position d’équilibre.


5.2. Application de La commande prédictive non linéaire sur le Pendule inversé

Figure 5.7 – Résultats d’expérimentation de cas nominal

5.2 Application de La commande prédictive non linéaire

sur le Pendule inversé


Résultats de Simulations

L’objectif de cette simulation est de stabiliser le pendule inversé stabilisé par volant d’inertieà partir de la condition initiale X0 = [θ1 = 18◦ θ1 = 0 θ2 = 0 θ2 = 0]T .On fixe les paramètres de la commande prédictive non linéaire à :

– L’horizon de prédiction H = 0.45s.– La pulsation propre w = 10.– Kp = 200.– Kv = 20.

La figure 5.13 présente l’évolutions des états de système :La figure présente 5.2.1 l’évolution de la commande ainsi que la puissance.la figure5.15 présente l’évolution du paramètre d’optimisation ξ à chaque horizon de prédic-

46 Nahla TOUATI


Figure 5.8 – Résultats d’expérimentation du cas de rejet de perturbations ponctuelles

tion :

Interprétations des résultats

On remarque bien la convergence de θ1, θ1 et θ2 vers 0.On remarque aussi que θ1 et θ1 suivent les trajectoires de références dont on a parlé dans lechapitre précédant.Le test de la puissance admissible des moteurs montre bien que les puissances sont admissiblestant que la puissance maximale reste bien dans la zone admissible (cf.figure5.16).

5.2.2 Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques

Le test de la robustesse de la commande nous permet de vérifier si la commande appliquéepeut s’adapter aux incertitudes des paramètres de système.On choisit d’introduire une incertitude ∆I sur le paramètre I qui est une combinaison deplusieurs paramètres :I = m1l

21 + m2l

22 + I1 et on observe ce que se passe sur la sortie et la

commande (cf.figure 5.17). On remarque bien que le système peut surmonter cette incertitudeet amener le système vers la stabilisation.



masse

perturbante

Figure 5.9 – La perturbation persistante sur le pendule inversé

Figure 5.10 – Résultats d’expérimentation du cas de rejet de perturbations persistantes

48 Nahla TOUATI


perturbationpersistante

perturbationponctuelle

Figure 5.11 – La combinaison de deux types de perturbations sur le pendule inversé

Figure 5.12 – Résultats d’expérimentation du cas de rejet de la combinaison des perturbations



Figure 5.13 – L’évolutions des états du système pour le cas de la commande non linéaire

50 Nahla TOUATI


Figure 5.14 – L’évolutions du couple et de la puissance pour le cas de la commande nonlinéaire

Figure 5.15 – L’évolutions du paramètre d’optimisation



Figure 5.16 – Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la commande non linéaire

Figure 5.17 – Test de robustesse de la commande prédictive non linéaire

52 Nahla TOUATI

Chapitre 6

Solution 2 :Approches de commande

adaptative

6.1 Principe générale des approches adaptatives

Le début des recherches sur la commande adaptative date des années 1950. Cependant à causede l’insuffisance de résultats théoriques et de l’absence des moyens techniques performants, cesrecherches furent très vite abandonnés. Les progrès rapides de l’électronique et des résultatsthéoriques fondamentaux établie dans les années1960 devraient susciter de nouveau l’intérêtpou ce sujet durant les années1970. Depuis lors des études considérables ont été réalisées etaujourd’hui elle sont mises en oeuvre à l’aide des microprocesseurs,micro-ordinateurs ou cir-cuits spécialisés [5].La commande adaptative est un ensemble des techniques destinées à ajuster automatiquementles paramètres du correcteur des systèmes de commande lorsque les caractéristiques du pro-cessus et les perturbations sont inconnues ou varient dans le temps. Son utilisation requiertla mesure d’un certain indice de performance qui est comparé à l’indice désiré. Suivant l’écartobtenu, le mécanisme d’adaptation (algorithme d’adaptation) modifie les paramètres du cor-recteur ajustable afin de maintenir l’indice de performance à la valeur désirée [5].Par principe ce type de commande est non linéaire puisqu’il comporte deux boucles de contreréaction imbriquées (cf.figure 6.1) : la boucle de correction et la boucle d’adaptation. Le prin-cipe de la commande adaptative est illustré dans la figure suivante : Ils existent principalementdeux classes de commande adaptatives,la commande adaptative directe et indirecte(cf.figure6.2).

Commande adaptative indirecte : Un modèle de comportement d’entrée-sortie du sys-tème à commander y est continûment mis à jour et est utilisé pour la synthèse durégulateur comme s’il était le meilleur modèle de commande que l’on aurait utilisé (cf.

53

6.1. Principe générale des approches adaptatives

Figure 6.1 – Principe des systèmes de commande adaptative [5]

figure 6.2.a). Les paramètres du régulateur sont ainsi adaptés de manière à réaliser lesperformances requises [10].

Commande adaptative directe : Les paramètres du régulateur sont directement adaptésavec un algorithme d’adaptation paramétrique approprié (cf. figure 6.2.b). La phase dedétermination des paramètres du régulateur à partir de ceux du modèle de commandeest ainsi contournée [10].

Figure 6.2 – Commande adaptative supervisée [10]

Il existe essentiellement trois approches de la commande adaptative :– La commande adaptative à gain préprogrammé :Cette méthode suppose que les non-linéarités sont connues, car il n’existe pas des correctionspour compenser une programmation incorrecte(fonctionnement en boucle ouverte). Elle acependant l’ajuster rapidement les paramètres du correcteur lors de changements rapidesde la dynamique du processus.

54 Nahla TOUATI

Chapitre 6. Solution 2 :Approches de commande adaptative

Cette approche est très utilisée pour réduire l’effet des variations des paramètres. Le schémade principe de la commande (cf. figure 6.3) comporte deux boucles une composée du pro-cessus et du contrôleur, l’autre pour ajuster les paramètres de contrôleur [1].

Figure 6.3 – Commande adaptative à gain préprogrammé [5]

– La commande adaptative à correcteur auto-ajustable :La contrôleur auto-ajustable consiste à estimer les paramètres de processus qui agissentpar la suite sur les paramètres du contôleur. Le schéma de la figure 6.4 comporte uneboucle interne, la boucle classique processus-correcteur, et une boucle externe comprenantun estimateur (identificateur des paramètres de processus) et un mécanisme d’adaptationqui minimise l’erreur entre la sortie du processus et son estimation [1].

Figure 6.4 – Correcteur auto-ajustable [5]

– La commande adaptative à modèle de référence :La commande adaptative à modèle de référence (cf.figure 6.5) fait partie d’un ensemble detechniques destinées à ajuster automatiquement les paramètres du correcteur des systèmesde commande lorsque les caractéristiques du processus et les perturbations sont inconnuesou varient dans le temps.Le comportement dynamique du processus est défini par le modèle de référence et les para-


6.2. Approche1 : La commande adaptative à modèle de référence(MRAC)

mètres du correcteur sont ajustés(à l’aide d’un algorithme d’ajustement) par la boucle ex-terne de façon à minimiser l’erreur de sortie processus-modèle. Ce modèle explique commentle processus devrait répondre au signal de commande. Pour la description mathématique dumodèle de référence et du système ajustable deux méthodes sont généralement utilisées :leséquations d’états ou les relations entrée-sortie. c’est la deuxième, appliquée à des systèmesdiscrets, qui sera considérée [1].

Figure 6.5 – Commande adaptative à modèle de référence [5]

6.2 Approche1 : La commande adaptative à modèle de

référence(MRAC)

Le principe de base de la commande MRAC consiste à estimer les paramètres de processus(qui sont mis à jour à chaque instant d’échantillonnage), calculer la commande (qui est dansce cas un régulateur RST)avec les nouveaux paramètres puis calculer de nouveau la sortie.La régulation RST est basée sur un algorithme de commande largement diffusé, et dont lastructure à trois branches R, S et T permet [8] :

– de gérer indépendamment les dynamiques de poursuite (asservissement) et la dynamique deréjection de perturbation (régulation),

– de spécifier indépendamment les temps de montée et le dépassement sur la consigne,– de tenir en compte du retard pur du process– d’obtenir une régulation robuste vis à vis(les variations du process et les changements des

points de consigne..)– d’obtenir des mesures plus proches de la consigne imposée et, en conséquence, des gains

potentiels en précision, qualité, énergie, matières premières.

56 Nahla TOUATI


L’estimation des paramètres

L’estimation des paramètres consiste à calculer les paramètres ai et bi de la fonction de trans-fert. Dans le cas du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, la fonction de transfert enboucle ouverte est la suivante :

y(z−1) =b1z−1 + b2z

−2

1 + a1z−1 + a2z−2(6.1)

Avec : b1 = b2 = −5.049.10−4 , a1 = −2.0021 et a2 = 1

Soient :A(z−1) = 1 + a1z

−1 + a2z−2

B(z−1) = b1z−1 + b2z

−2

L’erreur entre la sortie du procédé à l’instant k, y(k), et la sortie du modèle y(k) , est utilisée parun algorithme d’adaptation paramétrique qui, à chaque instant d’échantillonnage, va modifierles paramètres ai et bi du modèle afin de minimiser cette erreur.La sortie de procédé peut s’écrire sous la forme suivante :

y(k) = −a1y(k − 1)− a2y(k − 2) + b1u(k − 1) + b2u(k − 2) (6.2)

On peut l’écrire aussi de la façon suivante :

y(t) = ϕT (k − 1)θ (6.3)

Avec :

θT = [a1 a2 b1 b2] (6.4)

ϕT (t− 1) = [−y(k − 1) − y(k − 2) u(k − 1) u(k − 2)] (6.5)

θ est le vecteur à estimer à chaque instant d’échantillonnage.L’algorithme d’estimation utilisé est alors le suivant [1] :

ε(k) = y(k)− ϕT (k − 1)θ (6.6)

K(k) = P (k − 1)ϕ(k − 1)(λ+ ϕT (k − 1)P (k − 1)ϕ(k − 1))−1 (6.7)

P (t) =(I −K(k)ϕT (k − 1))P (k − 1)

λ(6.8)

θ(k) = θ(k − 1) +K(k)ε(k) (6.9)

Avec λ : est le facteur d’oubli.Le modèle ainsi validé va permettre de calculer, dans l’étape suivante , un correcteur RSTadapté.


6.2. Approche1 : La commande adaptative à modèle de référence(MRAC)

Calcul d’un correcteur RST robuste

Le correcteur RST est synthétisé par une méthode de placement de pôles algébrique. L’objectifest de donner à la boucle fermée le comportement d’un système décrit par une fonction detransfert modèle Fm = Nm(z−1)

Am(z−1)exprimée comme une fraction rationnelle en z−1 [8].

La structure d’un correcteur RST est donnée sur la figure 6.6 ou R, S et T sont des polynômesen z−1.

Figure 6.6 – Structure d’un régulateur RST [8]

La dynamique désirée de la boucle fermée (temps de réjection d’une perturbation, dépasse-ment maximal autorisé ) est fixée par le polynôme Am(z−1) , dénominateur de la fonction detransfert en boucle fermée. C’est celui qui fixe les pôles du système en boucle fermée .Am(z−1) est représenté par une fonction du deuxième ordre dont la pulsation w0 et l’amortis-sement ξ sont spécifiés par la dynamique désirée.Un système physique du second ordre est un système dont la relation entrée e(t) sortie y(t)

peut être décrite par une équation différentielle du second ordre que l’on peut souvent mettresous la forme suivante :

d2y

dt2+ 2ξw0

dy

dt+ w2

0y(t) = w20e(t)

On prendra pour Am un polynôme monique, c’est-à-dire tel que Am(z−1 = 0) = 1. Dans lasuite nous considérons que le procédé à asservir est donné par la fonction de transfert G(z)qui s’écrit en puissance de z−1 :

G(z−1) =z−dB(z−1)

A(z−1)(6.10)

ou z−d est le retard pur du procédé.Le polynôme T introduit un degré de liberté supplémentaire qui va permettre de faire de lapoursuite.Calcul des polynômes R(z−1) et S(z−1) :

58 Nahla TOUATI


Une fois Am(z−1) choisie, on résoud l’équation de diophantine suivante :

A(z−1)S(z−1) + z−dB(z−1)R(z−1) = Am(z−1) (6.11)

L’equation de diophantine a une unique solution solution ssi :

degre(Am) ≤ degre(A) + degre(B) + d− 1

degre(S) = degre(B) + d− 1

degre(R) = degre(A)− 1

ou les polynômes S et R sont définis par :

S(z−1) = 1 + s1z−1 + ...+ snsz

−ns

R(z−1) = r0 + r1z−1 + ...+ rnrz

−nr

Pour le cas de notre système, on a :

Am(z−1) = 1 + am1z−1 + am2z

−2

degre(S) = degre(B)− 1 = 1

degre(R) = degre(A)− 1 = 1

L’équation à résoudre est la suivante :

(1 + a1z−1 + a2z−2)(1 + s1z−1) + 1 + (b1z−1 + b2z−2)(r0 + r1z−1) = 1 + am1z−1 + am2z−2

On trouve ainsi le système suivant :1 0 0 0

a1 1 b1 0

a2 a1 b2 b1

0 a2 0 b2

1

s1

r0

r1

=

1

am1

am2

(6.12)

La détermination de vecteur X = M−1P doit se faire à chaque instant d’échantillonnage afind’ajuster les paramètres de correcteur . Les coefficients r0 , r1 et s1 sont ainsi déterminés, onpeut alors déterminer la commande u(k). A partir de la figure 6.6 on constate que :

u(k) =1

S(z−1)[T (z−1)yd(k)−R(z−1)y(k)] (6.13)

Pour le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, on a yd(k) est la consigne (l’angle θ1)alorsyd(k) = 0.u(k) s’écrit alors de la façon suivante :

u(k) = −r0y(k)− r1y(k − 1)− s1u(k − 1) (6.14)


6.3. Approche2 : La commande par retour d’état adaptative

6.3 Approche2 : La commande par retour d’état adapta-

tive

Principe de la commande

La commande par retour d’état adaptative est une commande adaptative qui se base sur leprincipe de l’estimation des paramètres de processus et la mise à jour des paramètres de lacommande,Le principe est de déterminer une commande telle que les pôles du système de la fonction detransfert du système bouclé soient convenablement placés dans le plan complexe et satisfassedes spécifications d’amortissement, de rapidité . . .Les pôles de la fonction de transfert étant les valeurs propres de la matrice d’état, le but estdonc de réaliser un asservissement modifiant convenablement la matrice d’état du système[18].Soit un système décrit par les matrices d’états A,B,C et D, le schéma de principe de lacommande(cf.figure 6.7) par retour d’état est alors le suivant :

Figure 6.7 – Commande par retour d’état linéaire [8]

On se restreint à la commande linéaire construite par rétro-action linéaire de l’état du systèmesur l’entrée :

u(t) = e(t)− Lx(t) (6.15)

Dans notre cas la consigne est nulle alors : u(k) = −Lx(k), avec les x sont les états du système.

Modèle de représentation

La commande par retour d’état adaptative nécessite une description de système sous formed’équation d’état avec l’estimation des paramètres de la fonction de transfert.

60 Nahla TOUATI


L’idée était de décrire le système sous sa forme commandable [18] :x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k)

y = Cx(k)(6.16)

Avec :

x(k) =

y(k)

y(k − 1)

u(k − 1)

A =

−a1 −a2 b2

1 0 0

0 0 0

B =

b1

0

1

C =[

1 0 0]

(6.17)

Estimation des paramètres

Le vecteur à estimer à chaque instant d’échantillonnage est θT = [a1 a2 b1 b2]. L’algorithmed’estimation utilisé est le même que dans le cas de la commande MRAC [1].


Chapitre 7

Application des approches adaptatives

sur le pendule inversé

7.1 Application de la commande MRAC sur le Pendule

inversé


Résultats des simulations

L’objectif de cette simulation est de stabiliser le pendule inversé stabilisé par volant d’inertieà partir de la condition initiale X0 = [θ1 = 18◦ θ1 = 0 θ2 = 0 θ2 = 0]T .On fixe les paramètres de l’estimateur à :

– P = 100 ∗ I(4, 4)

– Le facteur d’oubli λ = 0.9

Les paramètres du modèle de référence sont :

– w = 15

– ξ = 0.7

La figure 7.1 présente l’évolution des états de système au cours du temps.La figure 7.2 présente l’évolution de la commande, et la puissance mécanique du volant d’iner-tie. La figure 7.3présente l’évolution des paramètres de systèmes a1, a2, b1 et b2.

Interprétation des résultats

D’après la figure7.1, on remarque que la position angulaire du pendule ainsi que la vitesseangulaire atteignent le 0.D’après la figure7.3, on remarque que les paramètres de système se stabilisent à leurs valeurs

62

Chapitre 7. Application des approches adaptatives sur le pendule inversé

Figure 7.1 – Dynamique du pendule et de volant d’inertie dans le cas de la commande MRAC

idéales.La figure 7.4 présente bien le fait que les puissances de système sont bien admissibles :



Le test de la robustesse de la commande nous permet de vérifier si la commande appliquéepeut s’adapter aux incertitudes des paramètres de système .On choisit d’introduire une incertitude ∆I sur le paramètre I qui est une combinaison deplusieurs paramètres : I = m1l

21 +m2l

22 + I1 et on observe ce que se passe sur la sortie(cf.figure

??et la commande 7.6.On remarque bien que le système peut surmonter cette incertitude et amener le système versla stabilisation.


7.1. Application de la commande MRAC sur le Pendule inversé

Figure 7.2 – Couple et puissance mécanique dans le cas de la commande MRAC


Le pendule inversé est un système non linéaire qu’on linéarise autour de la position d’équilibre.On veut voir ici si on appliquant la commande linéaire sur le système non linéaire est ce qu’onpeut stabiliser le systèmes.La figure 7.7 montre l’évolution des états de système :La figure 7.8montre l’évolution de la commande et de la puissance de système :L’évolution des paramètres de système est illustrée dans la figure 7.9 :

Robustesse vis-à-vis des variations des paramètres

Ce test consiste à modifier un paramètre (on a choisi le paramètre I)au milieu de cycle etvoir si le système est capable de se stabiliser et normalement de passer vers des nouveauxparamètres système.La figure 7.10 montre que le pendule inversé se stabilise même si on change ce paramètre etla figure 7.11 montre bien la convergence des paramètres vers des valeurs différentes.

64 Nahla TOUATI


Figure 7.3 – Evolution des paramètres du pendules inversé dans le cas de la commandeMRAC

7.2 Application de La commande par retour d’état adap-

tative sur le Pendule inversé


Résultats des simulations

L’objectif de cette simulation est de stabiliser le pendule inversé stabilisé par volant d’inertieà partir de la condition initiale X0 = [θ1 = 18◦ θ1 = 0 θ2 = 0 θ2 = 0]T .On fixe les paramètres de l’estimateur à :

– P = 10 ∗ I(4, 4)

– Le facteur d’oubli λ = 0.9

On fixe aussi les pôles de système en boucle fermée à :0.87 , 0.8 et 0.75.La figure 7.12 présente l’évolution des états de système au cours du temps.La figure 7.13 présente l’évolution de la commande, et la puissance mécanique du volantd’inertie.La figure 7.14présente l’évolution des paramètres de systèmes a1, a2, b1 et b2.


7.2. Application de La commande par retour d’état adaptative sur le Pendule inversé

Figure 7.4 – Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la commande MRAC

Figure 7.5 – La sortie du système

Interprétation des résultats

D’après la figure 7.12, on remarque que la position angulaire du pendule ainsi que la vitesseangulaire atteignent le 0.D’après la figure 7.14, on remarque que les paramètres de système se stabilisent à leurs valeursidéales.La figure 7.15présente bien le fait que les puissances de système sont bien admissibles :

66 Nahla TOUATI


Figure 7.6 – La commande du système



Le test de la robustesse de la commande nous permet de vérifier si la commande appliquéepeut s’adapter aux incertitudes des paramètres de système .On choisit d’introduire une incertitude ∆I sur le paramètre I qui est une combinaison deplusieurs paramètres : I = m1l

21 +m2l

22 + I1 et on observe ce que se passe sur la sortie 7.2.2et

la commande ??.On remarque bien que le système peut surmonter cette incertitude et amener le système versla stabilisation.


Le pendule inversé est un système non linéarisé qu’on linéarise autour de la position d’équilibre.On veut voir ici si on appliquant la commande linéaire sur le système non linéaire est ce qu’onpeut stabiliser le systèmes.La figure 7.17montre l’évolution des états de système :La figure 7.18 montre l’évolution de la commande et de la puissance de système : L’évolutiondes paramètres de système est illustrée sur la figure 7.19 :



Figure 7.7 – Evolution des états de système non linéaire dans le cas de la commande MRAC

Robustesse vis-à-vis des variations des paramètres

Ce test consiste à modifier un paramètre(on a choisi le paramètre I)au milieu de cycle et voir sile système est capable de se stabiliser et normalement de passer vers des nouveaux paramètrespour le système.La première figure montre que le pendule inversé se stabilise même si on change ce paramètreet la deuxième montre bien la convergence des paramètres vers des valeurs différentes.

68 Nahla TOUATI


Figure 7.8 – Couple et puissance mécanique de système non linéaire dans le cas de la com-mande MRAC

Figure 7.9 – Evolution des paramètre de système non linéaire dans le cas de la commandeMRAC



Figure 7.10 – La position angulaire du pendule inversé

Figure 7.11 – Evolution des paramètres de système

70 Nahla TOUATI


Figure 7.12 – Dynamique du pendule et de volant d’inertie dans le cas de la RE adaptative

Figure 7.13 – Couple et puissance mécanique dans le cas de la RE adaptative



Figure 7.14 – ’évolution des paramètres du pendules inversé dans le cas de la RE adaptative

Figure 7.15 – Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la RE adaptative

72 Nahla TOUATI


Figure 7.16 – Robustesse vis-à-vis des incertitudes du paramètre I pour la RE adaptative



Figure 7.17 – Evolution des états de système non linéaire

74 Nahla TOUATI


Figure 7.18 – Couple et puissance mécanique de système non linéaire

Figure 7.19 – Evolution des paramètre de système non linéaire


Chapitre 8

Conclusion et perspectives

8.1 Conclusion

Le travail réalisé dans ce stage rentre dans le cadre de recherche sur la commande pour lastabilisation d’un système sous actionné instable et non linéaire : Le pendule inversé.C’est un outil qui présente de nombreux avantages pour illustrer de nouveaux principes decommande : il est pour l’essentiel d’ordre pratique (système régi par des principes élémen-taires) et d’ordre financier (faible coût de mise en oeuvre).Ils existent plusieurs types de pendule inversé tels que le pendule inversé classique, Furuta. . .Le prototype en question est un pendule inversé stabilisé par un volant d’inertie. C’est unsystème mécanique sous-actionné constitué d’un volant d’inertie et d’un pendule.Le travail consiste à modéliser le système puis le linéariser autour de son point d’équi-libre instable, ensuite élaborer des lois de commande pour le stabiliser autour de cette po-sition. Les approches de commandes proposées pour la stabilisation sont les approches prédic-tives(généralisée et non linéaire) et adaptatives(MRAC, retour d’état adaptative) .Les résultats prometteurs que cette étape a donnée, nous a ouvert la porte sur plusieurs pistesà explorer qui peuvent conduire à des résultats plus intéressants, ceci sera discuté dans lasection des perspectives.

8.2 Perspectives

Les améliorations qu’ont peut introduire à notre étude est de générer des cycles limitesstables(oscillation autour de point de l’équilibre) pour le pendule inversé car jusqu’à pré-sent l’étude s’est limité à la stabilisation. Dans un premier lieu on doit trouver des trajectoiresde références et après faire une poursuite sur ces trajectoires en utilisant une commande dy-namique.

76

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78 Nahla TOUATI

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