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Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (1)

Équations de Lagrange

Si l’on choisit comme coordonnées généralisées, on peut définir pour un

système linéaire à n degrés de liberté :

Les équations de Lagrange s’écrivent alors :

n1,...,i ,q i

n

1i

n

1jjiijp qqk

2

1EL’énergie potentielle :

L’énergie cinétique :

n

1i

n

1jjiijc qqm

2

1E

L’énergie de dissipation :

n

1i

n

1jjiijd qqc

2

1E

jiij kk où

jiij mm où

jiij cc où

ii

p

i

d

i

c

i

c fq

E

q

E

q

E

q

E

dt

d

Les seconds membres représentent les forces généralisées autres que celles dérivant du potentiel

Ep , et telles que le travail global des forces extérieures s’écrive :

n

1iii

n

1iii qf

dt

dWsoit dqfdW

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Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (2)

Remarque : 1. Pour calculer les dérivées

i

c

i

c

q

Eet

q

E

les variables ii qet q sont supposées indépendantes entre elles et ne sont pas fonctions du temps

2. Quant au calcul des dérivées

i

c

q

E

dt

d

les variables ii qet q doivent être considérées comme fonctions du temps

Applications. En appliquant les équations de Lagrange, on obtient n équations linéaires caractérisant l’état vibratoire du système :

n1;....;i f qkqmqm ijijjij

n

1jjij

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Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (3)

Dans le cas d’un système en vibrations libres et dissipatif, on obtient

n1;....;i 0 qkqmqm jijjij

n

1jjij

On cherche un vecteur solutions sous la forme :

n1;....;i ea q tjii

Obtenant ainsi un système de n équations algébriques linéaires et homogènes par rapport aux coeff ai

n1;....;i 0amk j

n

1j

2ijij

Système qui n’admet de solution non triviale que si le déterminant est non nul çad :

0 MK 2

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Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (4)

L’équation d’annulation du déterminant est une équation de degré n en le carré de la fréquence (appelée équation caractéristique du système.

Sa résolution donne les pulsations propres en nombre au plus égal à n !!!!

Les oscillations correspondant à ces différentes pulsations sont appelées les modes propres ou fondamentaux du système.

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Exemple triple pendule.

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Exemple triple pendule (2)

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Une des méthodes élégantes de résolution d'un système a n degrés de liberté est la méthode de la base modale qui consiste a ramener le problème de n ddl couplés, a un ensemble de systèmes a 1 ddl découplés

– en normalisant l'équation du mouvement par rapport a la masse.– en réalisent une transformation de coordonnées pour se placer dans la base modale

ou les équations du mouvement sont découples.

Système à 2 (n) degrés de liberté - Méthode de la base modale-

Soit le système à n degrés de liberté écrit sous sa forme matricielle

dont on veut déterminer la réponse libre pour les conditions initiales :

La première étape consiste a normaliser la matrice masse. En utilisant le changement de variable et en multipliant le système d'équations du mouvement par

On remarque alors que :

Finalement, le système peut s‘écrire :

Les conditions initiales se réécrivent :

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est en générale non symétrique Recherche des valeurs propres et vecteurs propres

M est symétrique et définie positive il existe une base de vecteurs propres i il existe aussi n valeurs propres >=0

n degrés de liberté : « cadre générale »

Soit le système à n degrés de liberté. En générale l’équation du mouvement s’écrit sous la forme matricielle suivante:

)(...

tFqKqCqM

1) Vibrations libre non amorties 0..

qKqM

1.1) Méthode générale

Découpler les équations par un changement de base.

M symétrique définie positive M est inversible. Alors on peut écrire 0qKM1..

q

KM1