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Syst ` emes MIMO et codage Spatio Temporel Didier Le Ruyet Conservatoire National des Arts et M´ etiers Email [email protected] Cours ELE 203 v2.0 CNAM Cours ELE 203. – p.1/77

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Systemes MIMO et codage SpatioTemporelDidier Le Ruyet

Conservatoire National des Arts et Metiers

Email [email protected]

Cours ELE 203

v2.0

CNAM Cours ELE 203. – p.1/77

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Plan

Canal radiomobile et diversité

Système MIMO

Capacité et modèles de canaux

Probabilité d’erreurs et critères de construction

Codes spatio-temporels en bloc

Codes en treillis spatio-temporel

CNAM Cours ELE 203. – p.2/77

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Canal radiomobile

atténuation proportionnelle à1/dα avecα compris entre 2.5 et 5

bruit thermique

phénomène de masquage ( variation suffisamment lente pour pouvoir

être corrigée par un contrôle de puissance)

multi-trajets engendrant des évanouissements (variationrapide)

interférence entre utilisateurs, cellules, ...

CNAM Cours ELE 203. – p.3/77

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Modèle Bande étroiteRéponse équivalente en bande de base :

rb(t) = hb(τ, t) ∗ xb(t)

=

N∑

n=0

αn(t)e−jφn(t)xb(t− τn(t))

avecφn(t) = 2πf0τn(t) − φDn

lorsque l’étalement temporel est trés inférieur au temps symbole, on a :

rb(t) =

N∑

n=0

αn(t)e−jφn(t)xb(t)

CNAM Cours ELE 203. – p.4/77

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Modèle Bande étroiteUne petite variation du retard entraîne une grande variation de la phase

du trajet associée

On peut aussi considérer que les retards comme les phases associés aux

N + 1 trajets varient indépendamment et de façon imprévisible. Le

signal reçu est donc un processus aléatoire.

Théorème limite centrale : lorsque le nombre de trajets est grand, la

réponse rb(t) peut être modélisée par un processus complexegaussien.

La distribution du module derb(t) est une distribution de Rayleigh

la phase est distribuée uniformément sur l’intervalle[0, 2π]

CNAM Cours ELE 203. – p.5/77

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Distribution de RayleighSoit la variable aléatoireR obtenue comme suit:

R =√

X2

1+ X2

2(1)

Si X1 etX2 sont deux v. a. indépendantes centrées gaussiennes et de varianceσ2, alors

R est une v. a. dont la distribution est de Rayleigh.

pR(r) =r

σ2exp

(

−r2

2σ2

)

(2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

r

p R(r

)

CNAM Cours ELE 203. – p.6/77

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Correlation temporelle• Lorsque la somme résultante est nulle ou proche de zéro, on dit qu’il se

produit un évanouissement Les évanouissements sont principalement liés aux

variations des phases

CNAM Cours ELE 203. – p.7/77

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Canal de Rayleigh

x i

h i b

i

y i

Si le canal est non sélectif en fréquence :yi = hixi + bi

• ||hi|| = r suit une loi de Rayleigh en absence de trajet direct.

• La phase dehi est distribuée uniformément entre[0; 2π].

CNAM Cours ELE 203. – p.8/77

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Performance sur canal gaussien

ni

xi yi

bE±

00,2

NN

� �

� �

� �

TEB =1

2erfc

(

deucl

2√N0

)

avec erfc(a) =2√π

∫ +∞

a

exp(−x2)dx

=1

2erfc

(

Eb

N0

)

CNAM Cours ELE 203. – p.9/77

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Performance sur canal de Rayleigh

x i

h i b

i

y i

E′b = ||hi||2Eb = r2Eb (3)

• Le taux d’erreurs bit s’obtient en intégrant surr :

TEB =

∫ +∞

0

1

2erfc

(

r2Eb

N0

)

p(r)dr

CNAM Cours ELE 203. – p.10/77

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Performance sur canal de Rayleigh• Après calcul, on obtient :

TEB =1

2

(

1 −√

γ

1 + γ

)

avecγ le rapport signal à bruit moyen :

γ = E

(

E′b

N0

)

= E

(

r2Eb

N0

)

• Lorsqueγ est grand en utilisant la relation de Taylor

γ

1 + γ= 1 − 1

2γ+O

(

1

γ2

)

• Nous obtenons l’approximation suivante :

TEB ≈ 1

4γ CNAM Cours ELE 203. – p.11/77

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Diversité• Plus il y a de branches indépendantes, plus la probabilité d’être

simultanément dans un évanouissement diminue :

Pour 2 branches :

Pe ≈ 31

(4γ)2

PourL branches :

Pe ≈ CL2L−1

1

(4γ)L

CNAM Cours ELE 203. – p.12/77

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Diversité temporelle, fréquentielle etspatiale

Il est possible d’améliorer les performances d’un système en exploitant

ses différentes diversités

temporelle : le signal est transmis sur plusieurs trames (temps de

cohérence). L’entrelacement est généralement utilisé à cet effet.

Possible uniquement sur des canaux variant dans le temps

fréquentielle : le signal est transmis sur plusieurs bandesde fréquence

(bande de cohérence). Possible uniquement sur les canaux sélectifs en

fréquence. Exemple de technique utilisant cette diversité:

RAKE,OFDM.

spatiale : en utilisant plusieurs antennes à l’émission et àla réception.

Ces antennes doivent être espacées suffisamment pour que

l’évanouissement sur chaque antenne soit indépendant (distance de

cohérence)

CNAM Cours ELE 203. – p.13/77

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Système SISO

TX RX

h

h

x

n

y

S E

C = log2(1 + ||h||2ρ) en Sh/2D

avecρ = Es

N0

.

Pour le canal de Rayleigh, la capacité est une variable aléatoireCNAM Cours ELE 203. – p.14/77

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Système MISO

TX RX

TX 1

TX N t

TX 2

RX 1

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Système MISO

1 h

1 x

n

y S

t

E

N

2 h

2 x

Nt h

Nt x

S

t

E

N

S

t

E

N

C = log2(1 +ρ

Nt

Nt∑

i=1

||hi||2)

CNAM Cours ELE 203. – p.16/77

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Système SIMO

TX RX

TX 1

RX 1

RX N r

RX 2

CNAM Cours ELE 203. – p.17/77

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Système SIMO

1h

x

1n

1y( )SE

2h

Nrh

2y

Nry

2n

Nrn

• la capacité est atteinte par combinaison linéaire optimale(MRC) : on

multiplie chaqueyi parh∗i

ρinstant =Es(∑Nr

i=1 ||hi||2)2N0(

∑Nr

i=1 ||hi||2)=Es(∑Nr

i=1 ||hi||2)N0

=

Nr∑

i=1

||hi||2ρ

C = log2(1 +

Nr∑

i=1

||hi||2ρ) CNAM Cours ELE 203. – p.18/77

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Système MIMO

codage etmodulation

c1

décodage etdémodulation

c2

cNt

y1

y2

yNr

h11

hNrNt

entrée binaire sortie binaire

y = Hc + n avec H =

h11 ... h1Nt

......

...

hNr1 ... hNrNt

CNAM Cours ELE 203. – p.19/77

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Capacité des systèmes MIMO• hypothèse : canal connu parfaitement à la réception

• r ≤ min(Nt, Nr) est le rang de la matrice de canalH

• Nt ≤ Nr

• Décomposition SVD de la matriceH (dimensionNr ×Nt):

H = UΣVH

Nr × Nt Nt × Nt Nt × Nt

oùU etV sont des matrices unitaires etΣ est la matrice diagonale :

Σ =

√λ1

√λ2

. . .√

λr

0

(4)

oùλi (i = 1, ..., r) sont les valeurs propres non nulles deHHH (Nt ×Nt)CNAM Cours ELE 203. – p.20/77

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Capacité des systèmes MIMO

c y

n

H= ΣH U V

y = UΣVHc + n

CNAM Cours ELE 203. – p.21/77

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Capacité des systèmes MIMO

c UHVy

n

y~c~

précodage postcodage

HVΣUH=

UHy = UH(UΣVH)Vc + UHn

y = Σc + n

où n est encore gaussien avec la même variance quen.

Système équivalent àr canaux SISO en parallèle dont les puissances

sont données par les valeurs propres.

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Water filling (cas général)hypothèse :N canaux gaussiens parallèles indépendants

Es =∑N

i=1Esi

bi : C(0, N0i)

x N

b N

y N

b 1

x 1

y 1

1No2No

3No4No

1Es

2Es

3Es

4Es

channel

energy

µ

C =

N∑

i=1

log2

(

1 +Esi

N0i

)

Esi = µ−N0i si N0i ≤ µ

Esi = 0 sinonCNAM Cours ELE 203. – p.23/77

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Capacité des systèmes MIMO

1~c 1

~y

1~n

rc~

ry~

rn~N0i = N0

λi

C =

Nt∑

i=1

log2

(

1 +Esi

N0λi

)

CNAM Cours ELE 203. – p.24/77

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Capacité (suite)Foschini98 Telatar95

hypothèse : canal inconnu à l’émission

la même énergieEsi = Es

Ntest appliquée sur chacune desNt antennes

d’émission

soitρ = Es

Nole rapport signal à bruit à la réception

C(ρ,Nt, Nr) =r∑

i=1

Ci

=

r∑

i=1

log2

(

1 +ρ

Ntλi

)

= log2 det

(

INr+

ρ

NtHHH

)

(5)

CNAM Cours ELE 203. – p.25/77

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Capacité ergodique et de coupureLa capacité ergodique s’obtient en calculant l’espérance sur toutes les

réalisations possibles du canal MIMO.

C(ρ,Nt, Nr) = E

{

log2 det

(

INr+

ρ

NtHHH

)

}

(Sh/2D) (6)

Si la durée du bloc d’information est limitée devant le tempsde cohérence du

canal, on utilise la capacité de coupureq% Cout,q. Elle est définie comme le

débit d’information garanti pour(100 − q)% des réalisations du canal, i.e,

P (C ≤ Cout,q) = q%.

CNAM Cours ELE 203. – p.26/77

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Capacité ergodique C=f(RSB)

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

35

RSB (dB)

C (

bit/s

/Hz)

Capacité ergodique en fonction du RSB

(1,1) iid(2,2) iid(3,3) iid(4,4) iid(2,2) corr.(3,3) corr.(4,4) corr.

Les capacités ergodiques pour canaux i.i.d gaussiens et pour canaux de transmission corrélés (lien

montant, à l’émission : distance entre antenne =0.5λ, angle de départ= 20 ˚, à la réception

distance entre antenne =4.0λ, angle d’arrivée= 50 ˚, angle de dispersion azimutal= 5 ˚).

La capacité croît en fonction demin(Nt, Nr) log(SNR)CNAM Cours ELE 203. – p.27/77

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Modèle de canaux de transmission

• Modèle i.i. d. gaussien

• Modèle de Kronecker :

H = R1/2recΘR

1/2tx

Rtx etRrec sont respectivement les matrices de corrélation à l’émission et à

la réception

Θ est une matriceNr ×Nt i.i.d. gaussienne

• Modèle "trou de serrure"

CNAM Cours ELE 203. – p.28/77

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Codes spatio temporel en blocOn considère des canaux à évanouissement par bloc ( constantpendantT

intervalles de temps élémentaires)

Q symbole d’informationS = [s1, s2, ..., sQ]T de dimensionQ× 1 sont

encodés par la matrice codeC de dimensionNt × T :

C =

c11 · · · c1T

......

...

cNt1 · · · cNtT

(7)

Le rendement du code MIMO code est égal àRMIMO = Q/T .

On a alors la relation suivante :

Y = HC + N (8)

oùY etN sont respectivement les matrices de réception et de bruit de

dimensionNr × T .

CNAM Cours ELE 203. – p.29/77

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Compromis diversité - rendement Lu03

• Si T ≥ Nt alors

R ≤ Nt − dt + 1

dt diversité à l’émission

Démonstration : borne de Singleton

•Si T < Nt alors

R ≤ Nt −Nt(dt+ 1)

T

CNAM Cours ELE 203. – p.30/77

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Compromis facteur de diversité -facteur de multiplexage Zheng03

facteur de diversité d = dtNr = − limSNR→∞

logPe(SNR)

logSNR

facteur de multiplexage r = limSNR→∞

R(SNR)

logSNR

Si T ≥ Nt +Nr − 1, on a la relation limite : d = (Nt − r)(Nr − r)

Multiplexing gain, r

Div

ersi

ty g

ain,

d(r

)Diversity−multiplexing tradeoff

(0,NtN

r)

(1,(Nt−1)(N

r−1))

(r,(Nt−r)(N

r−r))

(min(Nt,N

r),0)

Multiple antenna channel

Single antenna channel

(2,(Nt−2)(N

r−2))

(0,1)

(1,0) CNAM Cours ELE 203. – p.31/77

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Probabilité d’erreurs par paire Tarokh98

• Probabilité d’erreurs par paireP {C → C′|H} : probabilité que le

récepteur décode le blocC′ alors que le blocC a été transmis.

Soit la matrice de différence

D =

c11 − c′11 ... c1T − c′1T

c21 − c′21 ... c2T − c′2T

. . .

cNt1 − c′Nt2... cNt2 − c′Nt2

(9)

Soit la matrice hermitiqueE = DDH . Il existe une matrice unitaireT et une

matrice réelle diagonaleU tel queTETH = U. Les éléments de la diagonale

deU sont les valeurs propres deE, i.e.λi; i = 1, 2, .., Nt.

CNAM Cours ELE 203. – p.32/77

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Probabilité d’erreurs par paire

P (C → C′|H) =1

2erfc

(

Es

4NtN0d2(C,C′)

)

≤ exp

(

− Es

4NtN0d2(C,C′)

)

avec d2(C,C′) =

Nr∑

j=1

hjDDHhHj =

Nr∑

j=1

hjTHUThH

j

=

Nr∑

j=1

Nt∑

i=1

λi||βij ||2

oùhj = [ hj1 hj2 ... hjNt] est la j-ième ligne deH. βij est le ième

élément du vecteurβj = hjTH .

CNAM Cours ELE 203. – p.33/77

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Probabilité d’erreurs par pairePour calculerP (C → C′), il faut moyenner sur l’ensemble des||βij ||,

P (C → C′) ≤ E|βij |

Nr∏

j=1

Nt∏

i=1

exp

(

− Es

4N0

1

Ntλi||βij ||2

)

βij sont des variables aléatoires complexes gaussiennes centrées de variance

1/2 par dimension (canal de Rayleigh) :

P (C → C′) ≤Nt∏

i=1

(

1 +Es

4N0

1

Ntλi

)−Nr

Pour les rapports SNR suffisamment élevés on obtient

P (C → C′) ≤(

Es

4N0

1

Nt

)−rdNr

(

rd∏

k=1

λk

)−Nr

(10)

où rd est le rang de la matriceE etλk correspond aux valeurs propres non

nulles de la matrice de différenceD. CNAM Cours ELE 203. – p.34/77

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Critères de construction• Objectif : minimiserP {C → C′} pour toutes les paires possibles.

• On dérive deux critères : le critère de rang et le critère de déterminant

• Critère du rang:Afin d’obtenir le degré maximum de diversitéNtNr, la

matrice de différenceD doit avoir un rang plein pour toutes les paires

distinctes de mot de code. Si le rang minimum est égal àrd, le gain de

diversité sera égal àrdNr.

rd = minC 6=C′

rank(C − C′) (11)

• Critère du déterminant:le termerd∏

k=1

λk représente le gain de codage.

Celui-ci doit être maximisé pour l’ensemble de toutes les paires de matrices

codesC.

cg = minC 6=C′

(

rd∏

k=1

λk

)

CNAM Cours ELE 203. – p.35/77

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Critères de construction

SNR

TEB

Gain de diversité Gain de codage

Soit la pseudo distancedg = minC 6=C′

(

Nt∏

k=1

λk

)

Si dg 6= 0, alors le code est à diversité maximale etdg est égal au gain de

codageCNAM Cours ELE 203. – p.36/77

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Code d’Alamouti Alamouti98

• Pour le casNt = 2 etNr = 1, Alamouti a proposé un code spatio-temporel

avecQ = T = 2 et doncRMIMO = 1.

A l’instant 1, les symboless1 ets2 sont transmis respectivement sur les

antennes1 et2 puis à l’instant 2, les symboles−s∗2 ets∗1 sont transmis sur les

antennes1 et2. Ainsi sous forme matricielle, on a :

CSTBC,2 =

s1 −s∗2s2 s∗1

(12)

[y11 y12] = [h11 h12]

s1 −s∗2s2 s∗1

+ [n11 n12]

Le code présente la propriété d’être orthogonal car nous avons

CSTBC,2CHSTBC,2 =

(

||s1||2 + ||s2||2)

I2

CNAM Cours ELE 203. – p.37/77

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Code d’AlamoutiCe système peut se mettre sous la forme équivalente

Y =

y11

y∗12

=

h11 h12

h∗12 −h∗11

s1

s2

+

n11

n∗12

= Hs + N

Pour ce code, le gain de diversité est égal à||h11||2 + ||h21||2.

CommeH est une matrice orthogonale, le décodage au sens du maximum de

vraisemblance (MV) s’obtient simplement en multipliant le vecteur reçu par

HH ,

s = HHY = (||h11||2 + ||h12||2)s + n

CNAM Cours ELE 203. – p.38/77

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Code d’Alamouti• 3 dB de moins que la diversité MRC à l’émission

SNR =Es(||h11||2 + ||h12||2)22N0(||h11||2 + ||h12||2)

=Es(||h11||2 + ||h12||2)

2N0

0 5 10 15 20 25 3010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Unc

oded

BE

RAlamouti (M=2,N=1)Alamouti (M=2,N=2)MRC (M=2, N=1) MRC (M=2, N=2)canal de Rayleigh

CNAM Cours ELE 203. – p.39/77

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Autres codes ST en bloc orthogonaux• Le code d’Alamouti est le seul code orthogonal complexe permettant

d’atteindre la diversité maximale avec un rendement égal àRMIMO = 1

Tarokh99.

• Il existe seulement quelques autres codes orthogonaux complexes ayant un

rendement inférieur à 1. Par exemple pourNt = 3,Nr = 1,Q = 3 etT = 4 et

doncRMIMO = 3/4 on a le matrice code suivante:

CSTBC,3 =

s1 s2 s3 0

−s∗2 s1∗ 0 −s3

−s∗3 0 s1∗ s2

(13)

• Comme précédemment, la structure orthogonale permet de décoder

simplement ce code.

CNAM Cours ELE 203. – p.40/77

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Codes ST en bloc presque orthogonaux• Sous réserve de sacrifier la propriété d’orthogonalité, il est possible de

construire des codes de rendement supérieur ou égal à 1.

Exemple :Nt = 4 etRMIMO = 1.

CSTBC,4 =

s1 −s∗2 −s∗3 s4

s2 s1∗ −s∗4 −s3

s3 −s∗4 s1∗ −s2

s4 s∗3 s2∗ s1

(14)

Cette matrice est obtenue à partir de deux matrices d’Alamouti et d’une

transformée de Hadamard.

• Contrairement aux codes STBC orthogonaux on a :

HHH =

4∑

i=1

(||h1i||2)I4 + J (15)

où la matriceJ est la matrice d’interférenceCNAM Cours ELE 203. – p.41/77

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Codes ST en bloc presque orthogonaux• la matrice de différenceB n’est pas de rang plein pour toutes les paires de

mot de code.

• Pour obtenir un rang plein, on applique une rotation sur les symboless3 et

s4 :

CSTBC,4 =

s1 −s∗2 −s∗3e−jφrt s4ejφrt

s2 s1∗ −s∗4e−jφrt −s3ejφrt

s3ejφrt −s∗4e−jφrt s1∗ −s2

s4ejφrt s∗3e−jφrt s2∗ s1

(16)

CNAM Cours ELE 203. – p.42/77

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Code DAST Damen02

• les codes spatio-temporels DAST (Diagonal Algebraic SpaceTime Block)

sont une généralisation des modulations tournées introduites pour le canal de

Rayleigh par Boullé et Belfiore.

• Le codage spatio-temporel DAST est un code de rendementRMIMO = 1

avecQ = T = Nt construit à partir d’une matrice de rotationM . La matrice

code est de la forme

C = diag(t1, t2, . . . , tNt) (17)

avect = [t1 t2 . . . tNt]T = Ms

• La matrice de rotationM est le produit de la matrice de FourierFNtde

dimensionNt ×Nt et de la matrice diagonale composée des puissances

successives du paramètre de rotationα :

M = FNtdiag

[

1, α, α2, . . . , αNt−1]

(18)

CNAM Cours ELE 203. – p.43/77

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Code DAST• Les codes DAST atteignent la diversité maximale deNtNr grâce à

l’extension de constellation.

α est choisi afin de maximiser le gain de codage.

• α est déterminé soit par recherche exhaustive ou en utilisantles propriétés

de la théorie des nombres. Par exemple, pourNt = T = 2 et une modulation

MDP4 des symbolessi, on obtientα = exp( jπ4 )

C =

s1 + s2 exp j π4 0

0 s1 − s2 exp j π4

CNAM Cours ELE 203. – p.44/77

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Codes TAST Damen02 El Gamal 03

• Les codes TAST (threaded algebraic space time) sont une généralisation des

codes DAST . Ces codes permettent d’atteindre le compromis optimal entre

gain de diversité et de multiplexage. PourNt = 2,Nr ≥ 2 et un rendement

RMIMO = 2, on a la matrice de code suivante :

C =

s1 − ψtts2 ψ1/2tt (s3 + ψtts4)

ψ1/2tt (s3 − ψtts4) s1 + ψtts2

(19)

oùψtt = ejζtt et ζtt est un paramètre réel à optimiser pour obtenir le meilleur

gain de codage. On aζtt = 0.5 pour une modulation MDP4 etζtt = 0.448

pour une modulation MAQ16.

• Comme pour les codes non orthogonaux, on peut utiliser un décodage

linéaire (ZF ou MMSE), non linéaire (SIC) ou par sphère.

CNAM Cours ELE 203. – p.45/77

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Performances des codes TAST• Comparaison des performancesTEM = f(EB/N0) du code d’Alamouti

(2, 2) avec le code TAST(2, 2) pour un débit binaire de 4 bits par intervalle

de temps élémentaire ( MAQ 16 pour le code d’Alamouti et MAQ 4 pour le

code TAST).

5 10 15 20 25

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Alamouti codeTAST code

Tau

x d’

erre

urs

bloc

CNAM Cours ELE 203. – p.46/77

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Multiplexage spatial V-BLAST Foschini99

mod

ulat

ion

et c

odag

e

dém

odul

atio

n et

déc

odag

e

Exemple :Nt = Nr = N = 2,Q = 2, T = 1 soitRMIMO = 2 :

CV BLAST,2 =

s1

s2

Le signal reçu s’écrit alors :

y11

y21

= H

s1

s2

+

n11

n21

CNAM Cours ELE 203. – p.47/77

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Décodage linéaire• Décodeur par forçage à zéro

y = H−1y

s = décision(y)

• Décodeur MMSE

y = (HHH + σ2I)−1HHy

s = décision(y)

CNAM Cours ELE 203. – p.48/77

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Décodage par soustraction successived’interférence

1) Décomposition QR deH = QR oùQ est une matrice unitaire etR est une

matrice triangulaire supérieure. On calcule ensuite les deux matricesG etL :

G = diag−1(R)QH

L = diag−1(R)R − IN

2) Multiplication du vecteur reçu parG :

y = Gy = diag−1(R)Rs + Gn

3) Estimation successive des symbolessN , sN−1, . . . , s1

CNAM Cours ELE 203. – p.49/77

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Décodage par soustraction successived’interférence

G +

L

+ –

Réduction de l’interférence spatiale

décodeur

sN = décision((y)N)

sN−1 = décision((y)N−1 − sNLN−1,N)...s1 = décision((y)1 − sNL1,N − . . . − s2L1,2)

CNAM Cours ELE 203. – p.50/77

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Décodage par sphère• On utilise la relation réelle entrex ety (dimension2N × 1)

x = arg minx

||y − Bx||2

• avecbij =

<(hij) −=(hij)

=(hij) <(hij)

• Equivalent à la recherche du point le plus proche dans un réseau de point

• Au lieu de rechercher les22N points (modulation QPSK), on limite cette

recherche aux points situés dans l’hypersphère de rayon√C1 autour du point

reçuy

CNAM Cours ELE 203. – p.51/77

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Décodage par sphère

M(x(c)) = ‖y − Bx(c)‖2

= (x − x)T BT B(x − x) + yT (I − B(BT B)−1BT )y

= (x − x)T RT R(x − x) + yT (I − B(BT B)−1BT )y

où x = (BT B)−1BT y est la solution ZF

R = {rij}2N×2N est une matrice triangulaire avecBT B = RT R obtenue par

factorisation de Cholesky.

CNAM Cours ELE 203. – p.52/77

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Calcul de métrique

M(x(c)) =

2N∑

i=1

w(x2Ni ) + M′

où w(x2Ni ) =

(

qii

(

zi +

2N∑

j=i+1

qijzj

)2

zi = xi − xi, qii = r2ii, qij =rijrii

pour j > i

• La métrique peut être calculée séquentiellement sur un arbre en partant de

i = 2N (racine de l’arbre) jusqu’ài = 1 comme suit :

M(x2Ni ) =

2N∑

j=i

w(x2Nj ) + M(x2N

2N+1)

= M(x2Ni+1) + w(x2N

i )

avecM(x2N2N+1) = M′.

CNAM Cours ELE 203. – p.53/77

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Arbre de décision

Depth 2N

Depth 2N-1

Depth 2N-2

Initial value

Partial metric

Branch metric

)(' 212

NNMM += x

)( 22

NNM x

)( 212

NNM −x

)( 212

NNw −x

)( 22

NNw x

CNAM Cours ELE 203. – p.54/77

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Exemple de décodage par sphère• système SISO :N = 1 => réseau de point à 2 dimensions

• Constellation :64-QAMxi ∈ {−7,−5,−3,−1,+1,+3,+5,+7}

x = [1,−3]T

B =

0.5 −1

1 0.5

v = [0.58,−0.31]T

y = [4.08,−0.81]T

x = [0.984,−3.588]T

• Le carré du rayon de la sphèreC1 est fixé à49 (choisi en fonction de la

variance du bruit)CNAM Cours ELE 203. – p.55/77

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Exemple

x 1

x 2

x 1

x 2

CNAM Cours ELE 203. – p.56/77

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Exemple

x 1

x 2

CNAM Cours ELE 203. – p.57/77

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Exemple

14.5

14.5

x 1

x 2

CNAM Cours ELE 203. – p.58/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

CNAM Cours ELE 203. – p.59/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

CNAM Cours ELE 203. – p.60/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

CNAM Cours ELE 203. – p.61/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

CNAM Cours ELE 203. – p.62/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

CNAM Cours ELE 203. – p.63/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

CNAM Cours ELE 203. – p.64/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

CNAM Cours ELE 203. – p.65/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

2.5

2.5

x 1

x 2

x 2

x 1

CNAM Cours ELE 203. – p.66/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

2.5

2.5

x 1

x 2

x 2

x 1

4.9

7.4

CNAM Cours ELE 203. – p.67/77

Page 68: Systemes MIMO et codage Spatio` Temporel - …easytp.cnam.fr/leruyet/Cours/slide_mimo.pdf · Systemes MIMO et codage Spatio` Temporel Didier Le Ruyet Conservatoire National des Arts

Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

2.5

2.5

x 1

x 2

x 2

x 1

4.9

7.4

CNAM Cours ELE 203. – p.68/77

Page 69: Systemes MIMO et codage Spatio` Temporel - …easytp.cnam.fr/leruyet/Cours/slide_mimo.pdf · Systemes MIMO et codage Spatio` Temporel Didier Le Ruyet Conservatoire National des Arts

Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

2.5

2.5

x 1

x 2

x 2

x 1

4.9

7.4

0

2.5

CNAM Cours ELE 203. – p.69/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

2.5

2.5

x 1

x 2

x 2

x 1

4.9

7.4

0

2.5

CNAM Cours ELE 203. – p.70/77

Page 71: Systemes MIMO et codage Spatio` Temporel - …easytp.cnam.fr/leruyet/Cours/slide_mimo.pdf · Systemes MIMO et codage Spatio` Temporel Didier Le Ruyet Conservatoire National des Arts

Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

2.5

2.5

x 1

x 2

x 2

x 1

4.9

7.4

0

2.5

CNAM Cours ELE 203. – p.71/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

2.5

2.5

x 1

x 2

x 2

x 1

4.9

7.4

0

2.5

0.4

CNAM Cours ELE 203. – p.72/77

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Exemple

14.5

14.5

19.8

34.3

4.9

19.4

0

14.5

2.5

2.5

x 1

x 2

x 2

x 1

4.9

7.4

0

2.5

0.4

0

0.4

x = [1,−3]T

CNAM Cours ELE 203. – p.73/77

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Codage en treillis spatio temporel• Même critères de construction que les codes spatio temporel en bloc

exemple simple :

état 0

état 1

état 2

état 3

00

01

0203

00 01 02 03

10 11 12 13

20 21 22 23

30 31 32 33

D

antenne 2

antenne 1

01

2 3

modulation MDP4

antenne 1 antenne 2

• Ces codes atteignent le compromis diversité - rendement mais avec une

complexité exponentielle

CNAM Cours ELE 203. – p.74/77

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Cod

age

ST

BC

-OF

DM

•Dan

sle

cas

d’un

cana

lsél

ectif

enfr

éque

nce

do

nn

ée

s

d(n

)

. . . . . . . .

Démultiplexeur

TF

DI

TF

DI

. . . . . . . .

Multiplexeur

TF

D

TF

D

Ajout du

préfixe cyclique

Suppression

du préfixe cyclique

Ca

na

l

Ajout du

préfixe cyclique

Suppression

du préfixe cyclique

Conversion

série parallèle

Conversion

série parallèle

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Conversion

parallèle série

Conversion

parallèle série

espac

e tem

ps

freq

uen

ce

freq

uen

ce

espac

e tem

ps

ST

BC

-OF

DM

S

FB

C-O

FD

M

CN

AM

Cou

rsE

LE20

3.–

p.75

/77

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References[1] Alamouti, S. M. "A simple transmit diversity technique for wireless communications",

IEEE Journal on Selected Areas on Communication, 16, 1451–1458, 1998.

[2] M. O. Damen, K. Abed-Meraim, J. C. Belfiore, “Diagonal Algebraic Space Time Block

Codes",IEEE Trans. on Information Theory, vol. IT-48,nr3, pp. 628-636, March 2002.

[3] M. O. Damen, A. Tewfik, J. C. Belfiore, “A construction of a space time code based on the

theory of numbers",IEEE Trans. on Information Theory, vol. IT-48,nr3, pp. 753-760,

March 2002.

[4] H. El Gamal, M. O. Damen, “Universal Space Time Coding",IEEE Trans. on Information

Theory, vol. IT-49, pp. 1097-1119, May. 2003.

[5] Foschini, G. J., & Gans, M. J, "On the limits of wireless communications in fading

environment when using multiple antennas",Wireless Personal Communications, 6,

311–335, 1998.

[6] Foschini, G. J., Golden, G. D., Valenzuela, R. A., & Wolniansky, "Simplified processing for

high spectral efficiency wireless communication employingmulti-element arrays",IEEE

Journal on Selected Areas on Communications, 17, 1841–1852, 1999.

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