Chapitre 4. Cinématique

La mécanique est la science du mouvement ; la cinématique s'intéresse à la description des mouvements mais pas à leurs causes.

Trois types de mouvements sont possibles :

les mouvements de translation : tout le corps subit le même changement de position, sans modifier son orientation dans l’espace.

les mouvements de rotation : le corps change d’orientation dans l’espace.

les mouvements de déformation : le corps change de forme ( non abordés dans ce cours).

Hypothèses :

Nous allons considérer le mouvement d’un point un corps de dimensions négligeables) dans le vide, sans frottement et sur une trajectoire plane (à une ou deux dimensions).

1. Position -Vitesse- Accélération dans un mouvement de translation

1.1 Position et déplacement au cours du temps

Pour décrire le mouvement d’un point, il est nécessaire de connaître sa position à chaque instant.

La position d’un point est déterminée par son vecteur position à partir d’une origine au choix.

Unité SI : Dimension :

1

Mouvement rectiligne dans un plan :

Choisissons un système d’axes perpendiculaires Ox et Oy

Si au temps t1, le point se trouve en A, son vecteur position est dont les composantes

scalaires sont (x1, y1). Si au temps t2, le point se trouve en B, son vecteur position est dont les composantes scalaires sont (x2, y2)

Le vecteur déplacement est

La trajectoire est la succession des positions instantanées occupées par le point : c’est le chemin suivi. L’espace parcouru est la longueur de ce chemin suivi. L’espace parcouru peut être différent du déplacement : c’est le cas sur une trajectoire curviligne.

Le temps sera mesuré par un chronomètre qui est enclenché à un instant choisi arbitrairement. Il correspond à une suite d’instants à ne pas confondre avec la durée qui correspond à la différence entre un instant final et un instant initial.

Unité : ……………………..

Dimension : T

durée Δt = t – t0

instant final = t

instant initial = t0

N.B : Avec le chronomètre, l’instant initial sera généralement zéro (t0 = 0) et la durée correspondra alors à l’instant final t .

2

1.2 Vitesse

Le vecteur vitesse d’un point est le taux de variation du vecteur position par rapport au temps.

Mouvement à une dimension :

Vitesse moyenne :

Vitesse instantanée :

3

t

x

Mouvement dans le plan :

La vitesse moyenne durant un intervalle de temps Dt est

La vitesse moyenne est donc un vecteur de même sens que le déplacement et dont la grandeur est le rapport du déplacement sur la durée de celui-ci.

Si l’intervalle de temps Dt devient de plus en plus petit, la position B occupée par le point au temps t2 se rapproche de la position A occupée au temps t1 et la vitesse moyenne tend vers la vitesse du point en A à l’instant t1. C’est la vitesse instantanée.

La vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

La vitesse instantanée est tangente à la trajectoire en chacun de ses points.

Unité SI : ……………………….

Unité pratique : entre autres km/h

Dimension : LT-1

Exemple : au championnat du monde d’athlétisme, M. Green a gagné le 100 mètres en 9,82 secondes. Calculons sa vitesse moyenne :

Cette vitesse n’est pas sa vitesse instantanée : il est parti du repos (vitesse nulle), sa vitesse a ensuite augmenté et sa valeur instantanée a pu dépasser cette valeur moyenne à certains instants.

4

x

y

Ordre de grandeur de valeurs de vitesses :

Record du 100m 36 km /h ≈ 10 m/s

Chute libre 200 km /h (bras et jambes tendus)

300 km /h (tête en bas)

………

TGV 300 km /h

Avion 800 km /h

Son 1224 km/h = Mach 1

Avion supersonique max @ Mach 10

Vague du tsumami (hauteur de 20 m - 26/12/2004)

600 km /h

1.3 Accélération

Le vecteur accélération d’un point est le taux de variation du vecteur vitesse par rapport au temps.

5

Les vecteurs vitesses aux temps t1 et t2 sont et tangents à la trajectoire au point A et au point B.

Le vecteur accélération moyenne pendant l’intervalle de temps Δt = t2 - t1 est

En rapprochant l’instant t2 de t1 c’est-à-dire en faisant tendre Δt vers zéro, on obtient

L’accélération instantanée est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

Unité SI : ………………………….

Dimension : LT-2

Ordre de grandeur d’accélérations :

Voiture accélérant de 0 à 100 km/h en 10s …………….. ……………..

Formule 1 accélérant de 0 à 100 km/h en 2s

Accélération due à la gravité

Décélération d’une voiture de 150 km/h à 120 km/h en 1s

Arrêt d’une voiture de 108 km/h en 3s

6

Effets physiologiques de l’accélération :

Le corps humain est sensible aux variations de vitesse plutôt qu’aux vitesses elles-mêmes. Il est donc sensible aux accélérations.

Exemples : ascenseur, lancement de fusée, ouverture de parachute,…

La réaction du corps humain dépend de la valeur, de la durée et de la direction de l’accélération.

Pour des grandes accélérations durant plus de 0.2 s, le déplacement de la masse sanguine entraîne un flux excessif ou insuffisant dans certaines parties de l’organisme. La diminution de pression dans la tête entraîne rapidement une perte de vision, puis la perte de connaissance.

La valeur de l’accélération est mesurée en fonction de g (g=9.81m/s2)

La direction est soit longitudinale (selon un axe allant de la tête aux pieds) soit transversale (selon un axe allant de l’avant vers l’arrière)

L’organisme peut supporter une accélération de 45g pendant 0.1 s sans effets néfastes.

Pour une période de 1s, le seuil de tolérance tombe à 10g.

Une accélération de 100g durant 0.1s occasionne des blessures graves voire fatales

Quelques exemples d’accélérations pouvant être néfastes:

- Ascenseurs : a = 0.2g pendant 3 s

- Atterrissage en parachute : a = 2-6g pendant 0.2à 0.3 s

- Chute dans un filet de pompier : a= 20g pendant 0.1s

- Atterrissage en chute libre (non mortel): a = 150g pendant 0.02 s

- Accident de voiture : a = 20à100g pendant 0.02à 0.1s

- Accident de voiture mortel: a = 150 à1000g pendant 0.001à 0.01s

7

2. Mouvements rectilignes

Le mouvement rectiligne (c’est-à-dire selon une droite) correspond au mouvement de translation. La trajectoire est une droite que l’on choisira comme axe de référence pour décrire le mouvement. Les grandeurs vectorielles intervenant dans ce mouvement étant orientées selon cette direction unique (mais avec deux sens possibles), on pourra effectuer la simplification suivante :

Un vecteur est défini par

- sa direction

- son sens

- son point d’application

- sa grandeur

Après avoir choisi un axe de référence et son origine, le vecteur sera défini par

- sa grandeur

- son signe

Appelons l’axe x ,l’axe de référence orienté dans la direction du mouvement :

Les vecteurs position , vitesse et accélération sont tous orientés le long de l’axe x et

sont caractérisés par leurs grandeurs : x , et

Les grandeurs scalaires x , v et a sont positives si les vecteurs sont orientés dans le même sens que l’axe x ou négatives si ils sont orientés en sens contraire à l’axe x.

8

2.1 Mouvement rectiligne uniforme ( MRU)

Le mouvement rectiligne uniforme est caractérisé par une vitesse constante et donc une accélération nulle.

La vitesse instantanée étant constante, elle est égale à la vitesse moyenne ; le point parcourt des espaces égaux (Δx) en des intervalles de temps égaux (Δt).

Les équations du MRU sont

……………………..

……………………..

……………………..

x0 est la position du point à l’instant initial t = 0 et le temps t est l’instant repéré grâce à un chronomètre enclenché au début du mouvement.

Représentation graphique

Marche avant :

…………………….. ……………………..

9

Marche arrière

…………………….. ……………………..

2.2 Mouvement rectiligne uniformément variés (MRUV)

Le mouvement rectiligne uniformément varié est caractérisé par une accélération constante

positive : mouvement uniformément accéléré (MRUA)

négative : mouvement uniformément décéléré (MRUD)

Exemple: une bille qui roule sur un plan incliné, une pierre lancée vers le haut.

L’accélération instantanée étant constante, elle est égale à l’accélération moyenne. La vitesse instantanée changeant au cours du temps, elle n’est plus égale à la vitesse moyenne: le point ne parcourt plus des espaces égaux (Δx) en des intervalles de temps égaux (Δt).

Les équations de ce mouvement sont

……………………..

……………………..

……………………..

v0 est la vitesse à l’instant initial t = 0.

10

Représentation graphique

Mouvement uniformément accéléré

…………………….. ……………………..

Mouvement uniformément décéléré.

…………………….. ……………………..

11

Exemple: Une voiture roulant à une vitesse de 72 km/h arrive à proximité d’un feu rouge. Si elle freine avec une décélération constante de 4 m/s², quelle distance parcourt-elle avant de s’immobiliser ? Faites les graphes de la position, de la vitesse et de l’accélération au cours du temps.

La vitesse initiale de la voiture v0 = 72 km/h = 20 m/s.

Les équations du mouvement de la voiture sont

a = ……………………..

v = ……………………..

x = ……………………..

2.3 Mouvements des corps soumis à la pesanteur

« En l’absence de résistance de l’air, deux corps lâchés de la même hauteur arrivent ensemble au sol. ». Galilée a vérifié cette loi à la fin du XVI ème siècle.

Il a également établi « qu’en absence de résistance de l’air, tous les corps qui tombent ont la même accélération due à la gravité quelle que soit leur taille ou leur forme ».

L’étude du mouvement des corps soumis à la pesanteur est un cas particulier de MRUA. L’accélération de la pesanteur au voisinage de la surface de la terre pour une latitude donnée est constante. Elle est dirigée verticalement vers le bas et sous nos latitudes, sa grandeur est

g = 9,81 m/s².

Dans les exercices, pour plus de facilité, on prendra g = 10 m/s² !!

12

a) Chute libre

C’est le mouvement d’un corps qu’on laisse tomber sans vitesse initiale.

Choisissons comme axe de référence un axe vertical y orienté vers le bas.

Les équations du mouvement sont

13

b) Corps lancé verticalement vers le haut

Un corps lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale v0 subit une accélération lors de sa montée (sa vitesse est orientée vers le haut, son accélération g est orientée vers le bas) et une déccélération lors de sa redescente ( sa vitesse est maintenant orientée vers le bas et son accélération g reste orientée vers le bas).

Si l’on choisit un axe de référence y vertical, vers le haut, les équations du mouvement de ce corps sont :

aussi bien pour la montée que pour la descente !

Remarquons un point particulier dans cette trajectoire: au sommet ( y = ymax), la vitesse (verticale) est nulle vy = 0

14

Exemple:

Une balle est lancée par un enfant à partir d’un mètre au- dessus du sol verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 10 m/s. Jusqu’à quelle hauteur la balle s’élève-t-elle ? A quel instant revient-elle au sol?

Choisissons un axe y orienté vers le haut avec son origine située au sol. Le point de lancement de la balle situé à 1 m du sol donne y0 = 1 m.

Lorsque le vecteur est en sens opposé de l’axe y, les équations de ce mouvement sont celles d’un mouvement décéléré :

a = - ~10 m/s²

v = 10 – 10 t

y = 1 + 10 t – 5 t²

Au sommet de sa trajectoire, la balle a une vitesse nulle: 0 = 10 – 10 t

Cela se produit donc à l’instant t = 10 / 10 = 1 s

A cet instant , la balle a atteint la position y = 1 + 10 .1– 5 . (1)² = 5 m

Au sol, d’après le choix de l’axe, y = 0. Pour trouver à quel instant la balle atteint le sol, il faut résoudre 0 = 1 + 10 t – 5 t² . Cette équation du second degré en t admet deux solutions t = - 0,1 s ( qui n’a pas de sens physique !) et t = 2,1 s qui est donc l’instant où la balle touche le sol.

15

2.4 Composition de mouvements rectilignes

Situation 1 : trajectoire dans un plan horizontal

Jean se promène en ville. A t=0, il est à la position A de coordonnées (-500m ; +1200m) et une heure plus tard, il se trouve en B (+1000m ; -400m)

Schéma :

Vecteurs position :

Vecteur déplacement :

Vecteur vitesse :

Vecteur accélération :

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Situation 2 : Trajectoire dans un plan vertical

Expérience de Galilée (1564-1642)

Pour illustrer la caractéristique essentielle du mouvement d’un projectile, Galilée proposa l’expérience suivante. Supposons qu’une boule tombe du mât d’un bâteau se déplaçant à vitesse constante (voir figure ci-dessous). Où va-t-elle tomber ?

Galilée expliquait qu’au moment où elle est lâchée du sommet du mât, la boule a la même vitesse horizontale que le navire . Si l’on néglige l’effet de la résistance de l’air, elle va garder cette composante horizontale de la vitesse en accélérant dans la direction verticale.

Elle va par conséquent tomber au pied du mât.

Galilée a donc dégagé l’idée cruciale selon laquelle un projectile près de la surface de la Terre a deux mouvements indépendants : un mouvement horizontal à vitesse constante et un mouvement vertical dû à l’accélération gravitationnelle.

Galilée fut le premier à démontrer qu’il est possible d’analyser séparément les composantes horizontale et verticale du mouvement de projectiles.

Pour résoudre n’importe quel problème de mouvement de projectile, on choisit un système de coordonnées en précisant l’origine.

Pour un axe des x horizontal et un axe des y vertical et orienté vers le haut, la décomposition des mouvements se fait en prenant :

Axe x : MRU avec ax = 0

Axe y : MRUD avec ay = - g

Pour aborder la cinématique à deux dimensions et décrire des mouvements de projectiles tels qu’un saut en longueur, un lancer de ballon, un service en tennis, on décomposera le mouvement dans le plan en deux mouvements rectilignes indépendants l’un de l’autre mais concomitants ou simultanés: ils se produisent en même temps: un mouvement horizontal

17

qui, en négligeant la résistance de l’air, est un MRU et un mouvement vertical qui, suite à la pesanteur, est un MRUD. Leur superposition donne une forme parabolique à la trajectoire.

Dans ce qui va suivre, la résistance de l’air sera toujours négligée et le procédé de lancement du projectile sera ignoré.

Exemple 1 : Mouvement similaire à celui d’un paquet largué d’un avion en vol horizontal

Ce mouvement est composé

d’un MRUA: chute libre verticale (l’objet lancé ne possède pas de vitesse verticale au début de son mouvement)

d’un MRU horizontal : le paquet poursuit par inertie le mouvement horizontal communiqué par l’avion à la vitesse V0.

On peut choisir de placer l’origine du système d’axes au point de départ du paquet :

Dans ce système d’axes, les équations du mouvement sont :

Axe x : MRU

ax = 0

vx = Vavion= V0

x = V0 t

Axe y : MRUA

ay = g

vy = v0y + g t = g t (v0y = 0)

y = y0 + v0yt + g t² /2 = g t² /2 (y0=0)

La distance horizontale atteinte lorsque l’objet touche le sol est appelée la portée.

A tout instant, la vitesse résultante est la somme vectorielle des vitesses horizontale et verticale.

18

Exemple 2 : Mouvement similaire à celui d’un ballon de football lancé à partir d’une hauteur h au-dessus du sol

Le mouvement d’un ballon de football lancé à partir d’une hauteur h au-dessus du sol est composé du mouvement vertical d’un objet lancé vers le haut et d’un MRU horizontal.

On peut choisir le système d’axes x et y comme suit :

Les équations du mouvement dans ce système d’axes sont :

19

Axe x : MRU

……………………….

Axe y : MRUD

……………………….

A tout instant, la vitesse résultante est la somme vectorielle des vitesses horizontale et verticale.

Au sommet de la trajectoire, là où la position verticale y est maximum, la vitesse verticale vy

est nulle.

La distance horizontale atteinte lorsque l’objet touche le sol est appelée la portée.

Exemple : si un ballon de football est shooté avec une vitesse de 20 m/s formant un angle de 30° avec l’horizontale à partir d’une hauteur de 50 cm au-dessus du sol, quelle est la portée du tir ? Quelle est la hauteur maximum atteinte par le ballon ?

En prenant un système d’axes x et y comme plus haut, on peut commencer par décomposer la vitesse initiale en

Axe x : MRU

……………………….

Axe y : MRUD

……………………….

Résolution : …………………………

20

3. Résumé de la cinématique des mouvements rectilignes

[m]

[m/s]

[m/s²]

Equations

( à écrire séparément suivant chaque axe du mouvement en spécifiant les indices i= x ou j= y pour chacune des grandeurs)

MRU MRUA

ai = 0 ai = constante

vi = constante = v0i vi = v0i + a t

ri = r0 +v0i t ri = r0 + v0i t + ai t²/2

21

4. Exercices de cinématique des mouvements rectilignes

Pour plus de facilité, on prend g = 10 m/s².

1. La ligne de chemin de fer qui relie la gare X à la gare Y mesure 200 km. Un train A quitte la gare X à 10 h à la vitesse moyenne de 120 km/h. Un train B quitte la gare Y à la même heure à la vitesse moyenne de 130 km/h en direction de la gare X. Quels sont l’heure et le lieu de rencontre des deux trains ? Faites un schéma.

Solution : rencontre à 10h48 à 96 km de X

2. Une voiture roule à la vitesse constante de 20 m/s. Après combien de temps a-t-elle parcouru 50 km ? Quelle distance parcourt-elle en 10 minutes ?

Faites la représentation graphique de la position en fonction du temps et vérifiez sur le graphe les deux réponses au problème.

Solution : 41 min 40 s, 12 km, graphe : graduez l’axe de la position de 0 à 60 km (ordonnées) et l’axe du temps de 0 à 50 min (abscisses). Le graphe est la droite passant par les points (0,0) et (50 min, 60 km).

3. Pour relier deux villes A et B distantes de 250 km, un avion met 50 minutes à l’aller et 40 minutes au retour. Sachant que le vent souffle dans le sens BA, déterminez les vitesses de l’avion et du vent.

Solution : vitesse de l’avion = 337,5 km/h ; vitesse du vent = 37,5 km /h.

4. Pour traverser un fleuve de 100 m de large, on utilise une barque animée d’une vitesse de 50 m/min et dirigée perpendiculairement au courant dont la vitesse est de 20 m/min. Combien de temps faut-il à la barque pour traverser le fleuve ? Quelle distance a-t-elle parcouru ?

Solution : t = 2 min ; x = 40 m ; y = 100 m ; r = 107,7 m

5. Une auto roule à la vitesse de 36 km/h. Elle accélère de manière à atteindre 72 km/h après 20 secondes. Quelle est son accélération moyenne ?

Solution : 0,5 m/s².

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6. Une voiture roulant à 108 km/h s’arrête sur une distance de 100 m. Quelle est la valeur de sa décélération ? combien de temps lui faut-il pour s’arrêter ?

Solution : a = - 4,5 m/s² ; t = 6,67 s

7. Un objet part du repos avec une accélération constante de 5 cm/s².

Quelle est sa vitesse quand il a parcouru 200 m ?

Solution : 4,47 m/s

8. Un mobile part de l’origine avec une vitesse de 10 m/s et une accélération de 2 m/s² qu’il conserve pendant 20 s. Faites la représentation graphique de l’accélération, de la vitesse et de la position en fonction du temps durant ces 20 s.

Solution : a = 2 (droite horizontale), v = 10 + 2 t (droite), x = 10 t + t² (parabole)

9. Un automobiliste roulant à 72 km/h, voit un obstacle. Après un temps de réaction de 0,5 seconde, il commence à freiner avec une décélération de 5 m/s². Quelle sera la distance parcourue par la voiture entre le moment où l'obstacle est repéré et l'arrêt de la voiture? Faites la représentation graphique de la position, de la vitesse et de l’accélération en fonction du temps.

Solution : 50 m.

10. Un corps part du repos avec une accélération de 10 m/s² qui cesse lorsque la vitesse atteint 30 m/s. Il se déplace à cette vitesse pendant 5 secondes puis il freine jusqu’à l’arrêt avec une décélération de 5 m/s². Quelle distance a-t-il parcouru et en combien de temps ?

Solution : 285 m en 14 s.

11. Une balle est lancée verticalement vers le haut. Qualifiez sa vitesse et son accélération au point le plus haut de sa trajectoire :

a) La vitesse est maximale et l’accélération nulle.

b) La vitesse et l’accélération sont nulles.

c) La vitesse est nulle et l’accélération est constante vers le bas.

Solution : c)

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12. Deux corps de masses différentes 1 kg et 2 kg tombent à partir d’une même hauteur h, dans le vide, sans vitesse initiale. Quel est le corps qui arrive au sol le premier ?

Solution : ensemble

13. On laisse tomber, en négligeant la résistance de l’air, un corps d’une falaise haute de 100 m. Quel est le temps de chute jusqu’au sol ?

Solution : 4,47 s

14. On laisse tomber, en négligeant la résistance de l’air, deux corps à une seconde d’intervalle. A quelle distance l’un de l’autre seront-ils 5 s après le départ du premier ?

Solution : 45 m

15. Un corps lancé verticalement vers le haut parvient à une altitude de 10 m . Avec quelle vitesse initiale a-t-il été lancé ?

Solution : 14,14 m/s.

16. On jette une balle vers le haut et on la rattrape 2 secondes plus tard. Quelle hauteur la balle a-t-elle atteinte ? A quelle vitesse l’a-t-on lancée ?

Solution : 5 m ; 10 m/s.

17. A 30 m au-dessus du sol, on lance un corps verticalement vers le bas.

Quelle doit être sa vitesse initiale pour qu’il atteigne le sol après 2 secondes ?

Solution : 5 m/s.

18. Un avion volant horizontalement à 700 m d’altitude avec une vitesse de 180 km/h largue un colis. Quelle est la durée de chute du colis ? Quelle distance horizontale a-t-il parcouru ? Où l’avion se trouve-t-il quand le colis touche le sol ? Quelle est la vitesse du colis quand il touche le sol (grandeur, direction, sens) ?

Solution : 11,83 s ; 591,61 m ; 700 m au-dessus du colis ; vy = -118,3 m/s, vx = 50 m/s, v = 128,45 m/s formant un angle de 67° sous l’horizontale.

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19. On sert une balle de tennis 2,5 m au-dessus du sol dans une direction faisant un angle de 5° au-dessus de l’horizontale. Sa vitesse initiale est de 30 m/s. A quel instant la balle touchera-t-elle le sol? Jusqu’où ira-t-elle?

Solution : 1,01 s ; 30,35 m.

20. Une balle de base-ball est lancée vers le haut à la vitesse de 40 m/s selon une direction qui fait un angle de 30° par rapport à l’horizontale. Quelle hauteur maximum atteint-elle ? A quel moment ? Quelle est sa portée si on la rattrape à la hauteur à laquelle elle a été lancée?

Solution : 20 m ; 2 s ; 138,56 m .

21. Au cours d’un saut, un skieur quitte le tremplin suivant une direction faisant un angle de 15° au-dessus de l’horizontale. Il retombe 3 secondes plus tard 20 mètres plus bas que son point d’envol. Quelle était sa vitesse initiale ? Quelle est la portée de son saut ?

Solution : 32,2 m/s ; 93,3 m .

22. Un ballon de football est lancé du sol à la vitesse de 20 m/s. Calculer sa portée si l’angle de tir vaut 30°, 45°, 60°.

Solution : 34,64 m ; 40 m ; 34,64 m.

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Chapitre 4. Cinématique.............................................................................................................1

1. Position -Vitesse- Accélération dans un mouvement de translation...................................1

1.1 Position et déplacement au cours du temps............................................................1

1.2 Vitesse.....................................................................................................................3

1.3 Accélération............................................................................................................5

2. Mouvements rectilignes......................................................................................................8

2.1 Mouvement rectiligne uniforme ( MRU)................................................................9

2.2 Mouvement rectiligne uniformément variés (MRUV).........................................10

2.3 Mouvements des corps soumis à la pesanteur......................................................12

2.4 Composition de mouvements rectilignes..............................................................16

3. Résumé de la cinématique des mouvements rectilignes...................................................21

4. Exercices de cinématique des mouvements rectilignes....................................................22

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