1

SYLLABUS DU COURS ALGEBREE LINEAIRE – FMT 3231

Nombre de crédits du cours 3 crédits

Nombre de séances par semestre 26 séances

Etudiants concernés Première année, Semestre 2

Enseignant Coordonnées Branche

Fares Fares

fares.fares.84@gmail.com

www.facebook.com/upa.actualites

Baabda

1- Description du cours

1. Espaces vectoriels et Applications linéaires

1.1. Espaces vectoriels

1.1.1. Définition et exemples

1.1.2. Sous-espaces vectoriels

1.2. Familles génératrices, familles libres, bases et dimensions.

1.3. Applications linéaires

1.3.1. Définitions et propriétés

1.3.2. Endomorphismes, isomorphismes, automorphismes

1.4. Noyau et image d’une application linéaire

1.5. Rang d’une application linéaire, théorème du rang.

2. Matrices

2.1. Matrice associée à une application linéaire

2.2. Matrice nulle, égalité de matrices, transposition

2.3. Matrices carrées particulières (diagonale, triangulaire et symétrique)

2.4. Trace d’une matrice carrée

2.5. Opérations sur les matrices : addition, produit des matrices

2.6. Matrice carrée inversible

2.7. Rang d'une matrice carrée

2.8. Méthode élémentaire d'inversion d'une matrice

2.9. Changement de base :

2.9.1. Changement de base d'un vecteur

2

2.9.2. Changement de base d'une application linéaire

2.10. Matrices semblables

2.11. Matrices équivalentes

3. Déterminants

3.1. Propriétés d’un déterminant

3.2. Calcul pratique du déterminant

3.3. Calcul de l’inverse d'une matrice carrée :

3.3.1. Mineurs

3.3.2. Cofacteurs

3.3.3. Co matrice

3.3.4. Formule d'inversion

4. Système d'équations linéaires

4.1. Définition

4.2. Résolution du système lorsque n = p et det (A) ≠0

4.2.1. Inversion d’une matrice

4.2.2. Méthode de Cramer

4.2.3. Méthode du pivot de Gauss

4.3. Théorème de Rouché –fontené

5. Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation, trigonalisation

5.1. Polynôme caractéristique

5.2. Valeurs propres, vecteurs propres

5.3. Espace propre

5.4. Théorème 1 (somme et produit des valeurs propres)

5.5. Théorème 2 (vecteurs propres indépendants)

5.6. Théorème 3 (cas de n valeurs propres distinctes)

5.7. Théorème 4 (cas de p<n valeurs propres)

5.8. Diagonalisation

5.9. Trigonalisation

6. Applications à la diagonalisation

6.1. Puissances d’une matrice

6.2. Suites récurrentes

6.3. Exponentielle d’une matrice

6.4. Résolution des systèmes d’équations différentielles linéaires.

2- But / Objectifs généraux

Ce cours a pour principal objectif d’introduire les notions fondamentales de l’algèbre linéaire,

reliées au calcul matriciel et à la résolution de systèmes linéaires. On vise d'abord une certaine

aisance dans l'emploi du langage géométrique (vecteurs, applications linéaires) et du langage

matriciel ; on vise aussi la pratique du calcul matriciel (addition, produit, inversion), du calcul

des déterminants, de la résolution de systèmes d’équations linéaires, et de la réduction

(diagonalisation, trigonalisation) des matrices après calcul des valeurs propres et des vecteurs

3

propres, afin de fournir aux étudiants des outils efficaces pour l'étude des phénomènes

rencontrés en mécanique et en sciences physiques.

3- Objectifs spécifiques / Acquis d’apprentissage

Notions du cours Compétence acquise

Chapitre 1 : Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, familles génératrices, familles libres,

bases et dimensions, application linéaire

injective, surjective et bijective.

Ker f, Im f, et rang f

L’étudiant devra être capable de

� Connaître la définition d’un espace

vectoriel et d’un sous-espace vectoriel

� Déterminer la base et la dimension

d’un espace ou d’un sous espace

vectoriel

� Montrer si une famille est libre, liée ou

génératrice

� Identifier si l’application est un

endomorphisme, isomorphisme ou

automorphisme.

� Déterminer le noyau, l’image et le rang

d’une application linéaire.

� Donner une base et la dimension de

Ker f et Im f.

Chapitre 2 : Vecteur, matrice, trace, transposée.

rang, base.

L’étudiant devra être capable de

� Déterminer la matrice associée à une

application linéaire dans les bases

canoniques

� Effectuer des opérations matricielles.

� Déterminer la trace d’une matrice.

� Déterminer la matrice transposée.

� Donner les coordonnées d’un vecteur

selon une base.

Chapitre 3 : Déterminant, mineurs, cofacteurs,

comatrice.

L’étudiant devra être capable de

� Calculer le déterminant d’une matrice

� Déterminer la matrice inverse.

Chapitre 4 : méthode de pivot de Gauss,

méthode de Cramer, Théorème de Rouché-

Fontené.

L’étudiant devra être capable de

� Résoudre des systèmes d’équations

linéaires de n équations à n inconnues

en utilisant 4 méthodes différentes.

� Discuter l’existence et l’unicité des

solutions d’un système d’équations

linéaires à n variables.

Chapitre 5: valeurs propres, vecteurs propres,

polynôme caractéristique, espace propre, sous

espaces vectoriels propres, diagonalisation,

trigonalisation.

L’étudiant devra être capable de

� Déterminer le polynôme

caractéristique d’une matrice.

� Donner les valeurs propres et les

vecteurs propres d’une matrice.

� Diagonaliser et trigonaliser une

matrice.

4

� Déterminer la matrice associée à une

application linéaire

Chapitre 6: Puissance et exponentielle d’une

matrice, suites récurrentes, systèmes

d’équations linéaires.

L’étudiant devra être capable de

� Résoudre un système d’équations

différentielles linéaires du premier

ordre.

� Calculer la puissance nième et

l’exponentielle d’une matrice

diagonalisable.

� Calculer en fonction de n les termes

d’une suite récurrente linéaire.

4- Activités d’Enseignement et d’Apprentissage

13 séances de travaux dirigés sont prévues pour ce cours.

5- Programme et calendrier des activités

Séances1 Date Cours

Séance 1

Début du chapitre 1 : Espaces vectoriels et

Applications linéaires

1.1- 1.3

Séance 2

Suite et fin du chapitre 1

Début du chapitre 2 : Matrices

2.1- 2.5

Séance 3

Suite du chapitre 2 :

2.6- 2.9

Séance 4 Suite et fin du chapitre 2

Séance 5

Début du chapitre 3 : Déterminants

3.1-3.2

Séance 6 Suite et fin du chapitre 3

Séance 7

Début du chapitre 4 : Systèmes d’équations

linéaires 4.1- 4.2

Séance 8 Suite et fin du chapitre 4

1 La répartition des séances doit correspondre au nombre de crédits du cours (1 crédit = 9, 10 séances, 2 crédits = 18

séances, 3 crédits = 26 séances)

5

Séance 9

Début du chapitre 5 : Valeurs propres,

vecteurs propres, diagonalisation,

trigonalisation :

5.1- 5.3

Séance 10

Suite du chapitre 5 :

5.4-5.7

Séance 11 Suite et fin du chapitre 5

Séance 12

Début du chapitre 6 : Applications à la

diagonalisation

6.1-6.2

Séance 13 Suite et fin du chapitre 6

6- Critères d’évaluation :

Critères d’évaluation Résolution des systèmes d’équations linéaires

Application des méthodes de diagonalisation et trigonalisation d’une matrice.

Résolution des systèmes d’équations différentielles linéaires du premier ordre.

7- Modalités d’évaluation :

La note finale du cours est notée sur 100% et sera répartie comme suit :

Séance Date

Prévue Pourcentage Commentaire

Quiz(s) 220% - Durée : 15 à 20 minutes par Quiz

Examen

Partiel 35%

- Durée : 1 h

- Documents : Interdits ou bien � Permis

- Calculatrice non programmable :

� Interdite Permise

Examen

Final

45%

- Durée max. : 1h30

- Documents : Interdits ou bien � Permis

- Calculatrice non programmable :

� Interdite Permise

6

8- Matériels et Références du cours [1] Hage, Algèbre linéaire M 121; cours et exercices; Libanographe.

[2] Jacques Pichon, Algèbre linéaire, cours et conseils de travail, Exercices et problèmes corrigés;

Collection Ellipses.

[3] Claude Deschamps, André Warusfel et al., Mathématiques 2eme année MP, MPSI, PC, cours et

exercices corrigés; collection J'intègre, Ed. Dunod.