Exercice 4Corrigé

18MAELG11 1Centres Étrangers 201 8Bac - Maths - 201 8 - Série ESfreemaths . fr freemaths . fr

ObligatOire

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2018

MATHÉMATIQUES – Série ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 5

MATHÉMATIQUES – Série L

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 4

SUJET

ÉPREUVE DU LUNDI 11 JUIN 2018

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement (obligatoire ou spécialité).

Le sujet comporte 6 pages, y compris celle-ci.

Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigéfreemaths.fr

Centres Étrangers • OBLIGATOIRE

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EXERCICE n°4 (6 points)

On considère la fonction dérivable � définie sur 1 = [0; 20" par :

���� � 1000�� 5���*,�

Partie A – Étude graphique

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction �.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Résoudre graphiquement et de façon approchée l’équation ���� � 3000.

2. Donner graphiquement une valeur approchée de l’intégrale de � entre 2 et 8 à une unité d’aire près. Justifier la démarche.

Partie B – Étude théorique

1. On note �′ la dérivée de la fonction � sur �0; 20".

Démontrer que pour tout � de �0; 20", ����� � 200���*,�.

2. En déduire le sens de variation de � et dresser son tableau des variations sur l’intervalle �0; 20". Si nécessaire, arrondir à l’unité les valeurs présentes dans le tableau.

3. Démontrer que l’équation ���� � 3000 admet une unique solution 3 sur �0; 20", puis donner une valeur approchée de 3 à 10�� près à l’aide de la calculatrice.

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4. On admet que la fonction 4 définie sur l’intervalle [0; 20] par l’expression

4��� = −5000�� + 10���*,� est une primitive de la fonction � sur [0; 20].

Calculer5 ����6�7

� . On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à

l’unité.

Partie C – Application économique

La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle 80; 209 par la fonction � étudiée dans les parties A et B. Le nombre ���� représente la quantité d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à � euros. Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :

1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à 3000 objets ?

2. Déterminer la valeur moyenne de la fonction � sur l’intervalle [2; 8].Interpréter ce résultat.

1

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1. Résolvons graphiquement et de façon approchée ( ) = 3 000:

A l’aide du graphique: f ( x ) = 3 000 quand x = 6, 4 .

( 3 gros carrés et 2 petits carrés )

Graphiquement, l’équation f ( x ) = 3 000 admet pour solution: x = 6, 4 .

2. Donnons graphiquement une valeur approchée de 8

2 ( ) d :

8

2 ( ) d correspond, en unités d’aire et à l’unité près, à l’aire du domaine

compris entre la courbe ( �f ), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 2 et x = 8 .

Soit le domaine correspondant à 8

2 ( ) d sur le graphique .

Le domaine est représenté par la surface verte sur le graphique suivant:

EXERCICE 4

Partie A: Étude graphique

[ Centres Étrangers 2018 ]

2

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0

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

x

f (x)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

En comptant le nombre de carreaux, on obtient:

• 9 gros carreaux de 25 petits carreaux

+ • 46 petits carreaux .

Soit un total de: 271 petits carreaux .

Or, en unités d’aire, un petit carreau représente: 2 x 1 00025

= 80 .

Dans ces conditions: 271 x 80 = 21 680 unités d’aire .

Au total, une valeur approchée de 8

2f ( x ) dx est: 21 680 unités d’aire .

Partie B: Étude théorique

1. Démontrons que pour tout de [ 0 ; 20 ] , ’ ( ) = - 200 e - 0, 2 :

Ici: • f ( x ) = 1 000 ( x + 5 ) e - 0, 2 x ( u x v )

• Df = [ 0 ; 20 ] .

3

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Posons: f = f1 x f2 , avec: f1 ( x ) = 1 000 ( x + 5 ) et f2 ( x ) = e - 0, 2 x .

f est dérivable sur [ 0 ; 20 ] car f1 et f2 sont dérivables sur [ 0 ; 20 ] .

Ainsi, nous pouvons calculer f ’ pour tout x ı [ 0 ; 20 ] .

Pour tout x ı [ 0 ; 20 ]:

f ’ ( x ) = ( 1 000 ) x ( e - 0, 2 x ) + ( 1 000 ( x + 5 ) ) x ( - 0, 2 e - 0, 2 x ) ( u ’ x v + u x v ’ )

= - 200 x e - 0, 2 x .

Au total, pour tout x ı [ 0 ; 20 ] , nous avons bien: f ’ ( x ) = - 200 x e - 0, 2 x .

2. a. Déduisons-en le sens de variation de sur [ 0 ; 20 ]:

Nous allons distinguer 2 cas pour tout x ı [ 0 ; 20 ]:

• 1 er cas: f ’ ( x ) = 0.

f ’ ( x ) = 0 ssi - 200 x e - 0, 2 x = 0, cad: x = 0 .

( pour tout x ı ¨, e - 0, 2 x > 0 )

• 2ème cas: f ’ ( x ) < 0.

f ’ ( x ) < 0 ssi - 200 x e - 0, 2 x < 0, cad: x ı ] 0 ; 20 ] .

( pour tout x ı ¨, e - 0, 2 x > 0 )

Au total: • f est décroissante sur [ 0 ; 20 ] .

( car sur [ 0 ; 20 ] , f ’ ( x ) ≤ 0 )

2. b. Dressons le tableau des variations de sur [ 0 ; 20 ]:

Le tableau des variations de f sur [ 0 ; 20 ] est le suivant:

4

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x 0 20f ’ 0 -

fa

b

Avec: • a = f ( 0 ) => a = 5 000,

• b = f ( 20 ) => b = 25 000 e - 4 .

3. a. Montrons que sur [ 0 ; 20 ], l’équation ( ) = 3 000 admet une solution unique:

Nous allons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour répondre à cette question .

• Soit f une fonction continue sur [ a ; b ] .

Pour tout réel " K " compris entre f ( a ) et f ( b ), il existe au moins un réel " c " de [ a ; b ] tel que: f ( c ) = K .

Cela signifie que: l’équation f ( x ) = K admet au moins une solution appartenant à [ a ; b ] .

• Si de plus, la fonction f est strictement " croissante " ou " décroissante " sur [ a ; b ], l’équation f ( x ) = K admet une unique solution appartenant à [ a ; b ] .

Ici: • f est continue sur [ 0 ; 20 ] , donc sur ] 0 ; 20 ] .

•" k = 3 000 " est compris entre: f ( 20 ) = 25 000 e - 4

et: f ( 0 ) = 5 000 .

• f est strictement décroissante sur ] 0 ; 20 ] .

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Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons affirmer que l’équation f ( x ) = 3 000 ( k = 3 000 ) admet une unique solution appartenant à ] 0 ; 20 ] .

Au total: f ( x ) = 3 000 admet exactement une solution unique sur ] 0 ; 20 ] .

3. b. Donnons une valeur approchée de à l’aide de la calculatrice:

A l’aide d’une machine à calculer, nous trouvons comme valeur approchée de :

≈ 6, 88 à 10 - 2 près .

Au total: ≈ 6, 88 à 10 - 2 près, avec: ] 0 ; 20 ] .

4. Calculons 8

2 ( ) d :

Ici, il s’agit de calculer: = 8

2f ( x ) dx .

f est continue sur [ 2 ; 8 ], elle admet donc des primitives sur [ 2 ; 8 ] et par conséquent: existe .

= 8

2f ( x ) dx

= [ F ( x ) ] 82

= [ - 5 000 x ( x + 10 ) e - 0, 2x ] 82

= ( - 5 000 ( 18 ) x e - 1, 6 ) - ( - 5 000 x ( 12 ) x e - 0, 4 )

= - 90 000 e - 1, 6 + 60 000 e - 0, 4.

Au total: • Une valeur exacte de est: = - 90 000 e - 1, 6 + 60 000 e - 0, 4,

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• Une valeur arrondie à l’unité de est: 22 048 .

Partie C: Application économique

1. Déterminons en dessous de quel prix unitaire, la demande est supérieure à 3 000 objets:

D’après l’énoncé: • f ( x ) représente la quantité d’objets demandés,

• x correspond au prix unitaire d’un objet, en euros .

Dans ces conditions, la demande est supérieure à 3 000 objets quand:

f ( x ) ≥ 3 000 .

Or, d’après la question Partie B, 3. b., f ( x ) ≥ 3 000 dès que: x ≤ 6, 88 .

( la fonction est décroissante )

Au total: la demande est supérieure à 3 000 objets dès que le prix unitaire passe en dessous de 6, 88 euros .

2. Déterminons la valeur moyenne de la fonction sur [ 2 ; 8 ] et interprétons:

Soit " m ", la valeur moyenne de f sur [ 2 ; 8 ] .

m est telle que: m = 18 - 2

8

2f ( x ) dx .

Or: 8

2f ( x ) dx ≈ 22 048, d’après la question Partie B, 4.

Ainsi, la valeur moyenne de f sur [ 2 ; 8 ] est: 22 0488 - 2

≈ 3 675.

Cela signifie que: pour un prix unitaire compris entre 2 et 8 euros, la quantité demandée sera en moyenne de 3 675 objets .