suites récurrentes : la toile sur tableur

Suites récurrentes : La toile sur tableur

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Suites récurrentes : La toile

sur tableur- N° 3 - Janvier 2007 - Le dossier du numéro -

Publication date: samedi 27 janvier 2007

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On a tellement l'habitude d'avoir des calculatrices qui ont cette option "web" dans les classesterminales qu'il est intéressant de regarder comment on peut "faire la toile" sur un tableur. Pédagogiquement, l'exercice est intéressant à proposer dans les classes scientifiques car c'est- au minimum - un changement de cadre significatif de la récurrence : rendre compte del'initialisation ? Bon, OK. Et de l'hérédité ? Ah ! là, il faut peut-être réfléchir un peu ... Cet article comporte deux parties : tout d'abord un exemple d'utilisation en Terminale,ensuite une application plus sophistiquée utilisable, sur les suites récurrentes, utilisable enBTS ou encore en L1.

Première partie : On travaille sur un exercice de base (annales du Bac), avec une parabole ayant un seul point fixe.

On part donc de cette feuille :

Il y a la courbe sur [0 ; 1,2], la droite y=x, et le point fixe, simplement calculé par




Les élèves savent déjà tracer les suites en fonction de n, on cherche cette fois à construire la spirale qui s'enroule -ou non - autour du point fixe.

L'initialisation consiste à tracer le segment [UV] avec U(u0, 0) et V(u0, f(u0)). Il faut deux lignes sur le tableur.

L'hérédité peut être de construire deux segements : le premier, horizontal, d'un point de la courbe à la droite y = x,et un second, vertical, de cette droite au point suivant de la courbe. Pour faire cela il faut donc 4 lignes du tableur.

Recherche en classe : il est particulièrement intéressant de laisser les élèves chercher,par exemple aprés avoir faitl'initialisation ensemble. Il peut y avoir plusieurs nivaux de recherche : Que va (doit ?) être l'hérédité ? Que va-t-onfaire avec la poignée de recopie (l'appplication de la récurrence) ?

Selon l'aisance (ou la non aisance) des élèves, on peut proposer à un moment de la recherche une schématisationau tableau construisant les deux segments mentionnés ci-dessus, laissant alors à la charge des élèves le seulcodage "tableur" de cette schématisation ... et l'application de la poignée de recopie.

Si on devait l'écrire, on peut proposer par exemple :

La poignée de recopie s'appliquant alors à la sélection des lignes 3 à 6. Il est toujours amusant (il faut être honnète)de voir les premiers résultats. En général les élèves, non seulement quand ils cherchent seuls, mais même quand onleur proposet ce tableau, ne prennent pas en compte le recopie en ligne 5 de la ligne 4 (une "probable erreur du prof"- tester alors ce que cela fait). C'est l'occasion de rappeller que c'est ... en cherchant qu'on a des chances de trouver.En général les élèves mettent un point d'honneur à "réussir la spirale". Cela va plus vite dès que quelques uns y sontparvenus et expliquent aux autres.

On finit alors par arriver, plus ou moins rapidement à [1] :


#nb1



qui correspond à une convergence rapide [2] de la suite, qu'on peut aussi représenter ainsi :

un exemple de convergence plus lente


#nb2



ce qui correspond à la suite u(n) :

Quand a augmente, la suite ne converge plus, le point fixe devient répulsif, comme on peut le voir ici (avec la valeurinitiale très proche du point fixe) :




Donc on voit plus clairement sous forme de suite qu'il y a deux valeurs d'adhérence, c'est-à-dire - pour le lycée -deux sous suites qui convergent vers deux valeurs différentes :

Télécharger le fichier correspondant (SpiraleSesam.xls) : <a href="sites/revue.sesamath.net/IMG/SpiraleSesam.xls" title='Excel - 58.5 ko' type="application/vnd.ms-excel">




Seconde partie : Les suites homographiques sont un classique des activités de terminale avec l'utilisation d'une suiteannexe - géométrique ou arithmétique selon le cas - pour montrer la convergence. Cette partie propose l'utilisation en classe entière, soit en Terminale soit en BTS, d'une feuille de calcul quipermet de faire le point, sur l'ensemble des problèmes de ce type.

Le dossier de calcul proposé ici n'est pas à construire par les élèves, mais simplement à manipuler. L'objectif est devisualiser les mécanismes d'attractivité et de répulsivité des points fixes.

En pratique, l'hyperbole correctement dessinée dans tous les cas du paramètre est plus complexes à réaliser que laparabole de la première partie si on veut conserver un comportement régulier à l'approche de l'asymptote verticale.

On part donc de cette première feuille de calcul




On y repèrera l'hyperbole et ses asymptotes (beu clair), les intersections de la parabole associée avec l'axe desabscisses qui correspondent aux points fixes de la fonction f (traits de rapppel en marron) et donc aux deuxcandidats potentiels à la convergence de la suite.

Puis on place les itérations, d'abord dans un cas (relativement) quelconque comme ici (u0 proche du point répulsif) :




On notera donc le résultat général rappelé dans la feuile de calcul et qui, en classe peut se démontrer simplementavec le calcul formel d'une Voyage 200 ou d'une ClassPad par exemple, à savoir que l'un des points est attractif etl'autre répulsif, selon la valeur absolue de k. Le calcul principal est le suivant ; il donne la valeur de k :

On sait la convergence géométrique de rapport k.On peut vérifier qu'elle est trés lente pour k proche de 1. Parexemple ci-dessous, une valeur initiale proche du point répulsif fait que l'itération est longue à être repoussée :




Alors que ce n'est pas du tout le cas pour k assez grand, la convergence vers l'autre racine (géométrique de rapport1/k) est plus significative :

On peut vérifier la même chose dans l'autre sens pour k < 1 :




Enfin une autre feuille de calcul du dossier s'intéresse au cas de la racine double l. On sait qu'alors l'inverse de u(n)-l est arithmétique, ce qui suffit à montrer que la suite converge vers la racine double. Le calcul est plus délicat car ilfaut prendre en compte que le discriminant est nul. Ci-dessous la vérification à la Voyage 200 qu'il y a bien une suitearitmétique : on trouve que la raison arithmétique est 2c/(a+d) :

On obtient alors :




En pratique un côté est attractif et l'autre répulsif. On voit ici, avec une valeur initiale inférieure à la racine, que lepoint fixe est répulsif à gauche et attractif à droite, et que la discontinuité assure la convergence.

On peut aussi faire la même figure en géométrie dynamique, ci-dessous avec Cabri-géomètre, mais peut aussi biense faire avec un autre logiciel <dl class='spip_document_82 spip_documents spip_documents_left' style='float:left;'> <ahref="sites/revue.sesamath.net/IMG/SuitesHomoSesam.xls" title='Excel - 204.5 ko'type="application/vnd.ms-excel">

[1] Il y a une "erreur" fabuleuse que je n'ai pas réussi à reproduire, c'est quand la spirale est en mode d'ajustement non linéaire : elle ressemble

alors à un joli escargot

[2] au sens usuel du terme et non pas dans la typologie "rapide, géométrique, lente" de la vitesse de convergence des suites.


#nh1

#nh2


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