STT-3220Méthodes de prévision

Section 5

Estimation de la fonction d’autocovariance (k) et de la fonction d’autocorrélation (k)

Version: 11 décembre 2008

STT-3220; Méthodes de prévision2

Cas où la moyenne est connue

On veut estimer , où

Un estimateur naturel de repose sur

0, kk

.,,cov

ktt

ktt

ZZE

ZZk

0, kk

kn

ttkt ZZ

1

STT-3220; Méthodes de prévision3

Étude des c’(k)

On note:

Ceci nous amène à poser:

kknk

ZZEZZE

kn

t

kn

ttkt

kn

ttkt

1

11

.0,'

,,0

,10,1

'1

kkc

nk

nkZZkn

kc

kn

ttkt

STT-3220; Méthodes de prévision4

Fonction d’autocovariance échantillonnale ( connu)

On dit que est la fonction d’autocovariance échantillonnale.

C’est une première définition. On se rappelle que est définie non-

négative. Ce n’est pas le cas pour . Pour retrouver cette propriété, on doit

considérer de diviser par n et non pas n-k.

Zkkc ,'

Zkk , Zkkc ,'

STT-3220; Méthodes de prévision5

Étude des c’’(k)

On pose alors:

On perd l’absence de biais, mais pour k fixé:

.0,''

,,0

,10,1

''1

kkc

nk

nkZZn

kc

kn

ttkt

kkn

kkc

n

knEkcE

n

1'''

STT-3220; Méthodes de prévision6

Étude des c’’(k) (suite)

On obtient donc que les c’’(k) sont asymptotiquement sans biais (ASB).

Pour estimer:

Estimateur:

1

1

11 n

nk

kn

k

nZV

1

1

''11ˆ

n

nk

kcn

k

nZV

STT-3220; Méthodes de prévision7

Fonction d’autocovariance échantillonnale ( inconnu)

On considère:

C’est la fonction d’autocovariance échantillonnale de délai k. On remarque que la variance échantillonnale est:

.0,

,,0

,10,1

1

kkc

nk

nkZZZZn

kc

kn

ttkt

n

kt ZZ

nc

1

210

STT-3220; Méthodes de prévision8

Propriétés des c(k) (i) , où , où

K est fixé par rapport à n.

(ii) Si n est fixé, le biais est de l’ordre de 1/n, et le biais croît en général avec k.

(iii) L’autocorrélation échantillonnale c(k) est convergente en moyenne quadratique pour (k).

(iv) Si alors on a que:

kkcEn

lim 10 nKk

TT kkcc ,,0,,,0 γc

cΣ0γc ,21 NnL

STT-3220; Méthodes de prévision9

Fonction d’autocorrélation échantillonnale ( inconnu)

On rappelle que l’autocorrélation de délai k est donnée par:

Afin d’estimer (k), on introduit les r(k):

0 kk

11,

0

1

2

1

nkZZ

ZZZZ

c

kckr n

tt

kn

ttkt

STT-3220; Méthodes de prévision10

Propriétés des r(k) Sous des hypothèses générales sur le processus

, en particulier sur les hypothèses de moments

(i) , où , où K est fixé par rapport à n.

(ii), Pour n fixé, le biais de r(k) est de l’ordre de 1/n, et il croît en général avec k.

(iii) L’autocorrélation r(k) est un estimateur convergent en moyenne quadratique de r(k), pour

.

ZtZ t ,

kkkkk 2,

kkcEn

lim 10 nKk

Kk 1

STT-3220; Méthodes de prévision11

Propriétés des r(k), (suite)

(iv) La structure de covariance entre r(h) et r(k) est donnée par:

(v) Si , alors on a que

2222

,covlim

khhkkh

khkhkrhrnn

TT kkrr ,,1,,,1 ρr

rL

Nn Σ0ρr ,21