stimuler l'intérêt et la dynamique des calculs en...

Pascale et Philippe SAINT-MAXENT Collège Albert Camus 62380 LUMBRES

Stimuler l'intérêt et la dynamique des calculs en proposant des défis dans le

but de réactiver, de structurer des connaissances de divers champs.

Tous niveaux du collège. Projet 1 : Pascale et Philippe SAINT-MAXENT

Motivations Les lacunes des élèves s'installent de plus en plus profondément avec le manque de réinvestissement personnel et volontaire : les notions vues les années précédentes ou depuis le début de l'année en cours sont rapidement oubliées faute de réactivation. Les révisions sont très rapides voire inexistantes à l'approche d'un devoir, d'une épreuve commune et même du DNB. La pratique du calcul mental s'essouffle durant les quatre années du collège. La spontanéité se perd et les élèves se tournent trop facilement vers la calculatrice pour des calculs élémentaires.

Acquisition d'automatismes

Mener à bien le calcul mental

Utilisation de planches de calcul mental inspirées de celles disponibles sur le site

http://maths.ac-orleans-tours.fr

Activités inspirées des Jeux n°9 de l'APMEP

Principe : trouver exactement 6 carrés de sommes identiques.

Ces fiches ont été présentées lors de la semaine des maths.

A partir des fiches existantes

1) Fiche 1 APMEP 2) Fiche 2 créée

1 carré et la somme sont donnés 1 carré donné mais pas la somme


3) Fiche 3 créée 4) Fiche 4 créée

somme donnée mais pas de carré ni carré ni somme

5) Fiche 5 créée 6) Fiche 6 créée

somme donnée et grille à trous pas de somme et grille à trous

Ces deux derniers types d'exercices sont bien moins simples et immédiats qu'il n'y paraît.

Il faut garder à l'esprit qu'il faut trouver exactement 6 carrés de sommes identiques.

Prolongements possibles

La création d'une carte peut être demandée aux élèves à l'occasion

d'un DM, d'une séance AP …

Cette activité peut se concevoir en travail individuel ou travail de groupe.

Dans un deuxième temps, les cartes créées seront proposées par les élèves

à leurs camarades. La dynamique de travail est alors non négligeable,

les élèves, surtout les plus jeunes, étant sensibles au fait de soumettre

à la classe leur propre production.

Des fiches peuvent être créées avec des produits.


Progression des activités de calcul mental

La progression suit différents critères :

* Les modèles de fiches exposées précédemment proposent, pour une même opération et un même type

de nombres, des difficultés croissantes.

* Pour graduer les difficultés, la multiplication peut faire suite à l'addition.

* La progression suit également les niveaux de la 6ème à la 3ème selon les nombres utilisés (nombres

entiers, nombres décimaux, nombres relatifs, nombres fractionnaires, racines carrées, calcul littéral …)

Fiches APMEP


Articulation calcul manuel et TICE

Pour les grilles d'entiers, de décimaux et de nombres relatifs (opérations : addition et multiplication)

Elèves en grande difficulté

Il est possible de reproduire les grilles APMEP sur le tableur et de demander à l'élève d'utiliser le tableur

pour vérifier ses réponses ... Voir Fichier TableurGrilles.xls

On peut aussi envisager d'automatiser ces grilles sur un tableur : en créant des grilles où sont placés des

nombres aléatoires entre 0 et 5, d'autres grilles où sont placés des nombres aléatoires entre 0 et 10 …

Des cases étant sélectionnées, la somme s'affiche ... Voir Fichier TableurAleaoire.xls

Autres élèves

Document papier

Une grille 4 4 est donnée. Elle présente des nombres entiers, des décimaux ou des nombres relatifs.

1) Combien de sommes peuvent être trouvées en suivant la consigne déjà donnée dans les fiches

précédentes ?

2) Calculer ces sommes et les organiser dans un tableau.

Passage au tableur

A. Une première grille 4 4 est proposée sur une feuille de tableur.

1) Quelle formule faut-il entrer en F5 pour obtenir la somme du contenu des cellules du carré rouge ?

2) A partir de cette programmation comment obtenir toutes les sommes possibles ?

3) Combien y a-t-il de sommes égales à 50 ?


B. Une deuxième grille 6 6 est proposée sur une feuille de tableur.

4) En observant cette feuille de tableur, préciser à quoi correspond la valeur 6 affichée en N9.

5) Combien la grille compte-t-elle de carrés dont la somme est 15 ?

6) Comment trouver cette réponse grâce au tableur ?

7) Dans cette grille 6 6, comment situer à l'aide du tableur le maximum de carrés de même somme ?


C. Grille 6 6 créée sur une feuille de tableur par les élèves avec des nombres aléatoires.

8) En utilisant si besoin le document ci-dessous et un dictionnaire, créer une grille 6 6 de nombres

entiers aléatoires entre 0 et 5.

9) Utiliser judicieusement le tableur pour déterminer le maximum de carrés de même somme que l'on

précisera.

10) Comment générer un nombre illimité de grilles ?

Remarques : - La création des grilles étant aléatoire, l'existence de plusieurs carrés de même somme n'est pas assurée. - Ce mode de génération des grilles permet un nombre infini de grilles différentes.

Apports du tableur Auto vérification Retrouver son erreur Utilisation de grands nombres et de nombres aléatoires Pédagogie différenciée

Remarque concernant les fichiers tableur TableurGrilles.xls et TableurAleaoire.xls Au moment d'ouvrir le fichier, la macro ne sera pas active. Donc en cliquant sur le bouton A toi de jouer il ne passera rien. Cliquez sur Sécurité des macros pour activer toutes les macros. Il reste à remplir toutes les grilles comme celles de l'APMEP, et indiquer la somme voulue dans les cellules contiguës à SOMME = . Il suffira donc de répondre à toutes les boîtes de dialogues.


Tâche complexe : création d'un jeu de cartes

Fiche professeur

Cahier des charges

Jouons cartes sur table ….

Les acteurs du jeu - Des élèves créateurs (concepteurs de cartes).

- Des élèves joueurs.

Première étape : la création de questions

Dans un premier temps des nombres sont choisis par le professeur qui a en tête des objectifs précis

applicables plutôt avec un nombre qu'avec un autre. Dans un deuxième temps, les élèves pourront choisir

leur propre nombre.

Il est demandé aux élèves créateurs de trouver des questions pour lesquelles la réponse est le nombre

choisi au départ.

Les questions doivent correspondre au niveau de connaissances du créateur :

par exemple, un élève de quatrième pourra proposer des questions correspondant aux programmes de

sixième, de cinquième et de quatrième (dans la limite de ce qui a déjà été étudié).

Le défi lancé est de chercher la variété et l'originalité des questions touchant aux domaines numérique

et géométrique.

Deuxième étape : la création de cartes

Ne sont retenues que les questions "originales" qui différent des questions déjà posées. Elles sont

classées selon le premier des quatre niveaux (sixième, cinquième, quatrième, troisième) qui est en

mesure d'apporter la réponse en fonction du programme. Une question retenue est recopiée sur une

carte blanche qui aura un dos coloré. On prévoit une couleur par niveau (6ème : rouge, 5ème : jaune,

4ème : vert, 3ème : bleu).

Exemple : Les questions auxquelles un élève de cinquième peut répondre seront imprimées sur une

feuille à dos jaune. Les élèves de quatrième et troisième peuvent également y répondre. Ces questions

ne seront pas proposées aux élèves de sixième.

Troisième étape : le jeu

Par exemple, un élève de quatrième sera interrogé sur les cartes de niveau 6ème, 5ème et 4ème.

Le joueur doit trouver la réponse à la question posée.

Quatrième étape : les points remportés

Il est possible d'envisager différentes "récompenses" notées ici par des étoiles *.

Quelques pistes :

une question est évaluée par les créateurs en fonction de sa difficulté : plus elle est difficile plus la

réponse rapporte d'étoiles. Le nombre d'étoiles est noté sur la carte question (1* ou 2* ou 3*).

quand une réponse appelle des justifications, elle peut rapporter des étoiles supplémentaires en

fonction des explications données par le joueur. (* ou **)

une étoile supplémentaire est attribuée si le joueur peut dire en quelle classe il a découvert la notion

travaillée.

un joueur qui se trompe ou qui ne sait pas répondre perd 2 étoiles et doit céder sa place au joueur

suivant.

un joueur qui signale qu'il n'est pas en mesure de donner la réponse à une question parce que le point

correspondant du programme n'a pas encore été étudié reçoit malgré tout les étoiles prévues pour la

bonne réponse.


Objectifs

Les élèves réitèrent la pratique du calcul mental dans des petites situations mathématiques (sans TICE et avec TICE), en jouant avec les cartes.

Le jeu offre des possibilités de différenciation (niveaux différents de difficulté).

Dans un deuxième temps les élèves se voient proposer la tâche complexe de la fabrication de nouvelles cartes de jeu ... De nouvelles compétences sont alors nécessaires et évaluables dont l'autonomie et la prise d'initiative.

Que l'élève soit joueur ou créateur, le jeu de cartes offre aussi la possibilité de structurer et synthétiser les connaissances acquises lors des années collège. En proposant cette activité, l'enseignant aide à apprendre et entretenir les connaissances.

Chaque groupe peut présenter à la classe la démarche suivie pour la création de sa carte en précisant la motivation du choix de la notion réinvestie (notion oubliée ou jamais apprise, notion réinvestie dans un cours de l'année, recherche d'originalité, implication d'autres disciplines …), le niveau qui a permis de découvrir la notion, quelques autres propriétés de la leçon …

Les élèves peuvent envoyer leur proposition de carte par mail avec pièce jointe.

La carte peut être créée avec un logiciel pour être ensuite intégrée dans une planche de 9 cartes. Un modèle de planche est créé, nécessitant l'organisation d'une page de traitement de texte, des zones de texte, … Pour obtenir des cartes avec des dos de couleur spécifique à chaque niveau, l'impression recto-verso pourra être présentée.

L'enseignant trouvera là une opportunité de nombreuses évaluations dans le cadre du socle commun. Elles seront variables selon le thème choisi et le travail rendu (carte faite à la main ou sur planche).


Fiche élève : le devoir à la maison

Sujet du DM donné en classe de 3ème (Un sujet équivalent a été donné en classe de 6ème) Le but de ce devoir est de créer des cartes de jeu sur lesquelles apparaîtront des questions dont la réponse est un

nombre préalablement choisi.

Les questions permettront de mettre en œuvre différents moyens de calcul (calcul mental, calculatrice, calcul posé

ou tableur).

Les cartes seront représentées par des rectangles de dimensions 8,5 cm sur 6,5 cm de type "paysage".

Sur les cartes trouvées, il faudra indiquer :

- le niveau de difficulté : * , ** , ***

- par un icone , , le moyen de calcul possible

L'absence d'icone signifie que le calcul est à effectuer mentalement.

Il faudra aussi préciser à partir de quel niveau (6ème

, 5ème

, 4ème

ou 3ème

) la question peut être posée.

Les questions posées sur ces cartes devront faire référence à des leçons (aussi bien numériques que géométriques)

déjà traitées, y compris les années précédentes.

L'originalité, la variété des questions et le soin apporté à la réalisation des cartes seront pris en compte dans la

notation des exercices.

Quelques exemples de cartes déjà créées dont la réponse est 25 :

Classe de 6ème

Classe de 5ème

Classe de 4ème

Classe de 3ème

Exercice n°1

Dans un premier temps, en vous inspirant des modèles donnés, créer 3 cartes dont la réponse est 25.

Exercice n°2

La classe comporte 24 élèves que le professeur répartit en 6 groupes de 4 élèves. Chaque groupe se verra attribuer

un nombre qui devra être la réponse aux questions créées par le groupe.

Quand chaque élève a créé au moins 3 cartes, le groupe se réunit pour évoquer les notions abordées et éliminer les

cartes faisant double emploi (il faudra alors chercher de nouvelles idées) et évaluer le niveau de difficulté des

questions posées.

Les nombres attribués sont : 60 (groupe 1) 1

2 (groupe 2) 1 (groupe 3)

1

3 (groupe 4) 24 (groupe 5) 10 (groupe 6)

Compléter après instruction du professeur : J'appartiens au groupe ....... donc je travaille autour du nombre .......

Exercice n°3

A chacun d'entre vous maintenant de choisir un nombre (que vous préciserez dans la copie) et de créer au moins 3

cartes dont la réponse sera ce nombre.

Exercice n°4

Ce type de devoir sera à nouveau proposé plus tard dans l'année afin de réinvestir de nouvelles notions.

A votre avis, que peut vous apporter la création d'un tel jeu ?

Comment et à quelles occasions sera-t-il intéressant de pouvoir l'utiliser ?

**

Une pyramide a une base

rectangulaire de dimensions

5 cm et 2,5 cm et une

hauteur de 6 cm.

Calculer son volume.

*

82°

73° ?

A

C B

Déterminer la mesure de ACB.


Retours d'expérimentations à partir des DM (classes de 3ème et 6ème)

Extraits de productions (cartes créées à la main et cartes créées à l'ordinateur selon le modèle retenu)

Florentin (3ème) Lucie (3ème)

Anaïs (3ème) Clément (3ème)

Guillaume (3ème) Florentin (3ème)


Marie (3ème) Kevin (6ème)

Kevin (6ème) Killian (6ème)

Quentin (6ème) Quentin (6ème)


Kevin (6ème) Laurine (6ème)

Rémi (6ème) Cyril (6ème) Copies ciblées avec compétences auxquelles les professeurs ne pensent pas

Florentin (3ème) Florian (3ème)


Retours d'expérimentations : créations de cartes "en externe" Classes de 5ème Clara et son groupe … Lors d'une séance d'AP, un groupe hétérogène de 6 élèves de 5ème ayant entendu parler de la création d'un jeu de cartes, a souhaité créer une carte spécifique à une leçon en cours d'étude dans leur classe. Ayant traité l'inégalité triangulaire, le groupe a produit la carte suivante après une heure de travail : les élèves ont mis un point d'honneur à trouver une carte n'offrant pas une réponse immédiate. Les recherches se sont faites au tableau, les élèves les plus forts expliquant aux plus faibles. Une séance très animée qui s'est prolongée par l'envoi par mail de la carte créée à l'ordinateur selon le modèle retenu. Lors d'une autre séance le groupe a souhaité ensuite "jouer" avec une carte déjà créée. Un degré de difficulté élevé a été réclamé, tout en assurant que les plus faibles ne seraient pas laissés en reste. Le professeur a proposé la carte ci-contre. Les meilleurs élèves ont exploité les conséquences de (AP) axe de symétrie de AB'PB. B' est le point de (MN) qui coïncide avec B lors du pliage. La situation est restée bloquée un certain temps jusqu'à ce qu'une élève faible attire l'attention sur la droite (MN). La recherche a été relancée … Chacun a ainsi apporté sa contribution à la solution. Classes de 4ème

Antoine (4ème) Bastien (4ème)


Camille (4ème) Charles (4ème)

Coleen (4ème) Julien (4ème)

Hugo (4ème) Mathilde (4ème)


D'autres cartes de niveaux divers …..


Compétences

Validations possibles

Pla

nch

es d

e

calc

ul m

enta

l

Uti

lisat

ion

gr

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ICE

DM

Cré

atio

n

de

cart

es

Jeu

de

cart

es

3 . Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des problèmes

Rechercher, extraire et organiser l’information utile x

Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des

consignes x x x x x

Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche

expérimentale ou technologique, démontrer x x x x x

Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus,

communiquer à l’aide d’un langage adapté x x

Savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques

Reconnaître des situations de proportionnalité, utiliser

des pourcentages, des tableaux, des graphiques.

Exploiter des données statistiques et aborder des

situations simples de probabilité

x x x

Connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et

fractionnaires. Mener à bien un calcul : mental, à la

main, à la calculatrice, avec un ordinateur x x x x x

Connaître et représenter des figures géométriques et

des objets de l’espace. Utiliser leurs propriétés x x x

Réaliser des mesures (longueurs, durées, …), calculer des

valeurs (volumes, vitesses, …) en utilisant différentes unités x x x


4 . La maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication

S'approprier un environnement informatique de travail

Utiliser, gérer des espaces de stockage à disposition x x

Utiliser les périphériques à disposition x x

Utiliser les logiciels et les services à disposition x x

Adopter une attitude responsable

Connaître et respecter les règles élémentaires du droit relatif à sa pratique

x

Créer, produire, traiter, exploiter des données

Saisir et mettre en page un texte x

Organiser la composition du document, prévoir sa présentation en fonction de sa destination

x

S'informer, se documenter

Identifier, trier et évaluer des ressources x

Chercher et sélectionner l’information demandée x

Communiquer, échanger

Écrire, envoyer, diffuser, publier x

Recevoir un commentaire, un message y compris avec pièces jointes

x

5 . La culture humaniste

Lire et pratiquer différents langages

Lire et employer différents langages : textes ; graphiques ; cartes ; images ; musique

x

6 . Les compétences sociales et civiques

Avoir un comportement responsable

Comprendre l’importance du respect mutuel et accepter toutes les différences

x

Respecter quelques notions juridiques de base x

7 . L'initiative et l'autonomie

Être acteur de son parcours de formation et d’orientation

Savoir s’autoévaluer et être capable de décrire ses

intérêts, ses compétences et ses acquis x x x x x

Être capable de mobiliser ses ressources intellectuelles et physiques dans diverses situations

Être autonome dans son travail : savoir l’organiser, le

planifier, l’anticiper, rechercher et sélectionner des

informations utiles x x

Identifier ses points forts et ses points faibles dans des situations variées

x x x

Faire preuve d'initiative

S’engager dans un projet individuel x x x

S’intégrer et coopérer dans un projet collectif x x

Manifester curiosité, créativité, motivation à travers des

activités conduites ou reconnues par l’établissement x x

Assumer des rôles, prendre des initiatives et des décisions

x

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