statistiques en 3 ème m-s contenu disciplinaire : séries statistiques à un caractère :...
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Statistiques en 3ème M-S
• Contenu disciplinaire :• Séries statistiques à un caractère :
paramètres de position, de dispersion.
• Séries statistiques à deux caractères : Tableau à deux entrées, distributions
marginales, fréquences marginales - paramètres de position et de dispersion des distributions marginales. Nuage de points, point moyen.
Aptitudes à développer
• Résumer une série statistique à un caractère et déterminer ses paramètres de position et de dispersion.
• Interpréter une distribution normale.• Organiser une série statistique à deux
caractères dans un tableau à deux entrées et déterminer ses distributions marginales ainsi que leurs paramètres de position et de dispersion.
• Représenter à l’aide d’un nuage de points une série statistique à deux caractères et déterminer son point moyen.
• L’étude des séries statistiques se fera sur des exemples puisés dans l’environnement de l’apprenant.
• On initiera l’apprenant à faire des raisonnements statistiques pour interpréter les résultats.
• Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en rapport avec l’environnement.
• En particulier , ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle tatistique ou probabiliste
Statistiques en 4ème M-S
• Contenu disciplinaire : Séries statistiques à deux caractères
• Ajustements affines (méthode des moindres carrés, méthode de Mayer), droites de régression,
• corrélation linéaire, coefficient de corrélation linéaire, covariance.
• Exemples d’ajustements non affines.
Aptitudes à développer
• Déterminer et tracer une droite de régression.
• Calculer la covariance d’une série statistique double.
• Calculer le coefficient de corrélation linéaire et interpréter le résultat
• L’étude des séries statistiques se fera sur des exemples puisés dans l’environnement de l’apprenant.
• On initiera l’apprenant à faire des raisonnements statistiques pour interpréter les résultats.
• Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en rapport avec l’environnement.
• En particulier, ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle statistique ou probabiliste
Paramètres de position
et dedispersion
Paramètres de position
et dedispersion
On considère la série
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17
Son effectif est Son étendue est Sa moyenne est Sa variance est Son écart type est Sa médiane est Son 1er quartile est Son 3ème quartile est Son écart interquartile est
17
16
9
24
4.89
9
5
13
8
On considère la série
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17
Son effectif est Son étendue est Sa moyenne est Sa variance est Son écart type est Sa médiane est Son 1er quartile est Son 3ème quartile est Son écart interquartile est
17
29
11
71.29
8.44
9
5
13
8
On considère la série
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-25-27-30
17
16
9
24
4.89
9
5
13
8
2ème application2ème application
Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit :
Loyer x (dinars)
[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[
Nombre 21 26 15 12 6
Loyer x (dinars)
[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[
Nombre 21 26 15 12 6
Effectifs cumulés
21 47 62 74 80
Classe modale : [150 , 200[
Polygone des effectifs cumulés croissants ?
Médiane ?
Quartiles ?
Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit :
Loyer x (dinars)
[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[
Nombre 21 26 15 12 6
Loyer x (dinars)
[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[
Nombre 21 26 15 12 6
Effectifs cumulés
21 47 62 74 80
Classe modale : [150 , 200[
Loyer x (dinars)
[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[
Nombre 21 26 15 12 6
Effectifs cumulés
21 47 62 74 80
Médiane : 150 21
Me 40
200 47
2147
150200
2140
150
Me
Me = 186.538
Quartile Q1 : 100 0
Q1 20
150 21
021
100150
020
1001
Q
Q1 = 147.619
Loyer x (dinars)
[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[
Nombre 21 26 15 12 6
Effectifs cumulés
21 47 62 74 80
Quartile Q3 : 200 47
Q3 60
250 62
4762
200250
4760
2003
Q
Q3 = 243.333
Loyer x (dinars)
[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[
Nombre 21 26 15 12 6
Effectifs cumulés
21 47 62 74 80
Quartile Q3 : 200 47
Q3 60
250 62
4762
200250
4760
2003
Q
Q3 = 243.333
Loyer x (dinars)
[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[
Nombre 21 26 15 12 6
Effectifs cumulés
21 47 62 74 80
Me = 186.538
Q1 = 147.619
2ème application bis2ème application bis
Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit :
Loyer x (dinars)
[100 , 140[ [140 , 200[ [200 , 240[ [240 , 320[ [320 , 440[
Nombre 21 26 15 12 6
Loyer x (dinars)
[100 , 140[ [140 , 200[ [200 , 240[ [240 , 320[ [320 , 440[
Nombre 21 26 15 12 6
Densité d’effectif
0.525 0.4333 0.375 0.15 0.05
histogramme
Classe modale:
[100,140[
Comparaison de deux séries
Comparaison de deux séries
Personnes traitées pour toxicomanie dans certains pays d’Europe.
X : nombre de personnes traitées en 2001
Y : âge moyen des personnes
PaysNbre de
personnes âge moyen
Danemark 4 079,00 31,10
Allemagne 13 607,00 26,80
Grèce 3 679,00 27,80
Espagne 49 376,00 31,50
France 16 670,00 30,80
Irlande 4 778,00 25,10
Italie 150 400,00 32,30
Hollande 10 139,00 32,80
Suède 1 336,00 31,80
Angleterre 40 184,00 28,30
8.2942410
294248x
83.2910
3.298y
1863534081)( xV
62161)( yV
670.43168)( x
4932.2)( y
Personnes traitées pour toxicomanie dans certains pays d’Europe.
X : nombre de personnes traitées en 2001
Y : âge moyen des personnes
PaysNbre de
personnes âge moyen
Danemark 4 079,00 31,10
Allemagne 13 607,00 26,80
Grèce 3 679,00 27,80
Espagne 49 376,00 31,50
France 16 670,00 30,80
Irlande 4 778,00 25,10
Italie 150 400,00 32,30
Hollande 10 139,00 32,80
Suède 1 336,00 31,80
Angleterre 40 184,00 28,30
8.2942410
294248x
83.2910
3.298y
1863534081)( xV
62161)( yV
670.43168)( x
4932.2)( y
8.2942410
294248x
83.2910
3.298y
1863534081)( xV
62161)( yV
670.43168)( x
4932.2)( y
Écart type relatif de x :
467.1)(
x
x
Écart type relatif de y :
083.0)(
y
y
Comparaison des variables x et y:
Écart type relatif
Nbre de personnes (x)
1 336
3 679
4 079
4 778
10 139
13 607
16 670
40 184
49 376
150 400
Écart interquartile relatif
4079)(1 xQ
10139)( xme40184)(3 xQ
36105407940184)( xe
561.310139
36105
)(
)(
xm
xe
e
âge moyen (y)
25,10
26,80
27,80
28,30
30,80
31,10
31,50
31,80
32,30
32,80
Écart interquartile relatif de x et y:
8.27)(1 yQ
8.30)( yme8.31)(3 yQ
48.278.31)( ye
130.08.30
4
)(
)(
ym
ye
e
Comparaison des variables x et y:
Écart type relatif
467.1)(
x
x 083.0)(
y
y
Écart interquartile relatif
561.3)(
)(
xm
xe
e
130.0)(
)(
ym
ye
e
Loi normaleLoi normale
On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.
Durée (t) en minutes
Nombre de communications
0.5 1
1 4
1.5 16
2 38
2.5 74
3 80
3.5 67
4 39
4.5 15
5 5
6 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 2 4 6 8
On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 2 4 6 8
Durée (t) en minutes
Nombre de communications
0.5 1
1 4
1.5 16
2 38
2.5 74
3 80
3.5 67
4 39
4.5 15
5 5
6 1
On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.
99.2t
67.0)( tv82.0)( t
82.3,16.2, tt
65.4,33.12,2 tt
48.5,51.03,3 tt
Durée (t) en minutes
Nombre de communications
0.5 1
1 4
1.5 16
2 38
2.5 74
3 80
3.5 67
4 39
4.5 15
5 5
6 1
On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.
01.3t
49.0)( tv70.0)( t
Durée (t) en minutes
Nombre de communications
0.5 1
1 4
1.5 16
2 38
2.5 74
3 80
3.5 67
4 39
4.5 15
5 5
6 1
82.3,16.2, tt
65.4,33.12,2 tt
48.5,51.03,3 tt
65% des effectifs sont dans l’intervalle
Durée (t) en minutes
Nombre de communications
0.5 1
1 4
1.5 16
2 38
2.5 74
3 80
3.5 67
4 39
4.5 15
5 5
6 1
82.3,16.2, tt
65.4,33.12,2 tt
48.5,51.03,3 tt
96% des effectifs sont dans l’intervalle
Durée (t) en minutes
Nombre de communications
0.5 1
1 4
1.5 16
2 38
2.5 74
3 80
3.5 67
4 39
4.5 15
5 5
6 1
65.4,33.12,2 tt
48.5,51.03,3 tt
99% des effectifs sont dans l’intervalle
Durée (t) en minutes
Nombre de communications
0.5 1
1 4
1.5 16
2 38
2.5 74
3 80
3.5 67
4 39
4.5 15
5 5
6 1
48.5,51.03,3 tt
0.99% des effectifs sont dans l’intervalle
Durée (t) en minutes
Nombre de communications
0.5 1
1 4
1.5 16
2 38
2.5 74
3 80
3.5 67
4 39
4.5 15
5 5
6 1
3,3 tt
65% des effectifs sont dans l’intervalle
tt ,
96% des effectifs sont dans l’intervalle
2,2 tt
La série x est normale ( ou gaussienne )
Double entréeDouble entrée
On a relevé le prix de vente Y ( en milliers de dinars) de 50 voitures
de même puissance , et de modèles
comparables, en fonction de leur âge X (en années) depuis
leur première mise en circulation. On a obtenu
le tableau suivant :
âge Xprix Y
4 5 6 7
[11 ,12[ 0 0 2 11
[12 ,13[ 0 0 10 4
[13 ,14[ 0 1 3 2
[14 ,15[ 0 7 0 0
[15 ,16[ 1 2 0 0
[16 ,17[ 6 1 0 0
distributions marginales des variables X et Y:
âge Xprix Y
4 5 6 7
[11 ,12[ 0 0 2 11
[12 ,13[ 0 0 10 4
[13 ,14[ 0 1 3 2
[14 ,15[ 0 7 0 0
[15 ,16[ 1 2 0 0
[16 ,17[ 6 1 0 0
âge Xprix Y
4 5 6 7
[11 ,12[ 0 0 2 11
[12 ,13[ 0 0 10 4
[13 ,14[ 0 1 3 2
[14 ,15[ 0 7 0 0
[15 ,16[ 1 2 0 0
[16 ,17[ 6 1 0 0
marge en X 7 11 15 17
distributions marginales des variables X et Y:
âge Xprix Y
4 5 6 7 marge en Y
[11 ,12[ 0 0 2 11 13
[12 ,13[ 0 0 10 4 14
[13 ,14[ 0 1 3 2 6
[14 ,15[ 0 7 0 0 7
[15 ,16[ 1 2 0 0 3
[16 ,17[ 6 1 0 0 7
marge en X 7 11 15 17 50
distributions marginales des variables X et Y:
âge Xprix Y
4 5 6 7 marge en Y
[11 ,12[ 0 0 2 11 13
[12 ,13[ 0 0 10 4 14
[13 ,14[ 0 1 3 2 6
[14 ,15[ 0 7 0 0 7
[15 ,16[ 1 2 0 0 3
[16 ,17[ 6 1 0 0 7
marge en X 7 11 15 17 50
âge moyen et le prix moyen des voitures vendues?
âge X 4 5 6 7
marge en X 7 11 15 17
50
17715611574X
50
292 84.5
âge moyen et le prix moyen des voitures vendues?
âge Xprix Y
4 5 6 7 marge en Y
[11 ,12[ 0 0 2 11 13
[12 ,13[ 0 0 10 4 14
[13 ,14[ 0 1 3 2 6
[14 ,15[ 0 7 0 0 7
[15 ,16[ 1 2 0 0 3
[16 ,17[ 6 1 0 0 7
marge en X 7 11 15 17 50
âge moyen et le prix moyen des voitures vendues?
prix Y centre marge en Y
[11 ,12[ 11.5 13
[12 ,13[ 12.5 14
[13 ,14[ 13.5 6
[14 ,15[ 14.5 7
[15 ,16[ 15.5 3
[16 ,17[ 16.5 7
50
75.1635.1575.1465.13145.12135.11Y
50
292Y 38.13
âge moyen et le prix moyen des voitures vendues?
écarts types de X et de Y ?
84.5X
38.13Y
âge Xprix Y
4 5 6 7 marge en Y
[11 ,12[ 0 0 2 11 13
[12 ,13[ 0 0 10 4 14
[13 ,14[ 0 1 3 2 6
[14 ,15[ 0 7 0 0 7
[15 ,16[ 1 2 0 0 3
[16 ,17[ 6 1 0 0 7
marge en X 7 11 15 17 50
âge X 4 5 6 7
marge en X 7 11 15 17
22 XX)X(V 284.550
174915361125716
09.184.550
1760)X(V 2
04.1)X(V)X(
84.5X
écarts types de X et de Y ?
84.5X
38.13Y
âge Xprix Y
4 5 6 7 marge en Y
[11 ,12[ 0 0 2 11 13
[12 ,13[ 0 0 10 4 14
[13 ,14[ 0 1 3 2 6
[14 ,15[ 0 7 0 0 7
[15 ,16[ 1 2 0 0 3
[16 ,17[ 6 1 0 0 7
marge en X 7 11 15 17 50
écarts types de X et de Y ?
prix Y centre marge en Y
[11 ,12[ 11.5 13
[12 ,13[ 12.5 14
[13 ,14[ 13.5 6
[14 ,15[ 14.5 7
[15 ,16[ 15.5 3
[16 ,17[ 16.5 7
22 YY)Y(V 2
222222
38.1350
7.5.163.5.157.5.146.5.1314.5.1213.5.11
94.238.1350
90985)Y(V 2
71.1)Y(V)Y(
38.13Y
écarts types de X et de Y ?
covariance du couple ( X , Y)?
Y.XY.X)Y,X(COV
XY
4 5 6 7
11.5 0 0 2 11
12.5 0 0 10 4
13.5 0 1 3 2
14.5 0 7 0 0
15.5 1 2 0 0
16.5 6 1 0 0
Y.X50
yxn jij,i
38.1384.550
3826
62.1)Y,X(COV
84.5X 38.13Y
Y a-t-il ajustement affine du couple (X , Y)?Equation de la droite de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés.
)Y()X(
)Y,X(COVr
62.1)Y,X(COV
04.1)X(
71.1)Y( 71.104.1
62.1
90.0r
r ≥ 0.86. L’ajustement affine entre X et Y
est justifié.2
3
62.1)Y,X(COV Soit D : y = ax + b la droite de régression de Y en X
)X(V
)Y,X(COVa 48.1
0944.1
6192.1
XaYb 02.2284.548.138.13
09.1)X(V
38.13Y 84.5X
02.22x48.1y:D
Y a-t-il ajustement affine du couple (X , Y)?Equation de la droite de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés.
02.22x48.1y:D 3y 02.22x48.13 85.12x
Avec 3 mille dinars, l’étudiant peut se permettre une voiture dont l’âge est entre 12 et 13 ans
a- Un étudiant n’a que 3 mille dinars. Peut-il acheter une telle voiture? et de quel âge?
b- A quel prix estime-t-on la vente d’une voiture neuve de cette catégorie ?
0x 02.22y On estime à 22.020 mille dinars le prix d’une voiture neuve de cette catégorie.
Ajustement affineet
non affine
Ajustement affineet
non affine
Un laboratoire développe un nouvel antibiotique A.Une personne a reçu le produit actif par voie intraveineuse. Les concentrations du produit dans le sang (mg/l) ont été mesurées à différents temps (en minutes ) après l’injection du produit :
Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240
Concentration x (mg/l)
5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45
Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240
Concentration x (mg/l)
5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45
34.3x
G(60.75, 3.34)
75.60t
écarts types (t) et (x)?
Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240
Concentration x (mg/l)
5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45
34.3x
75.60t 22 tt)t(V 2
2i 75.60
8
t 68.5937
05.77)t(V)t(
22 xx)x(V 36.2
53.1)x(V)x(
22
i 34.38
x
Coefficient de corrélation du couple (t, x) Equation de la droite de régression de x en t?
34.3x
75.60t
68.5937)t(V
05.77)t(
36.2)x(V
53.1)x(
x.tx.t)x,t(COV x.t8
xt ii
34.375.608
15.719 23.113
Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240
Concentration x (mg/l)
5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45
)x()t(
)x,t(COVr
53.105.77
23.113
95.0r
34.3x
75.60t
68.5937)t(V
05.77)t(
36.2)x(V
53.1)x(
23.113)x,t(COV
95.0r
Soit D : x = at + b la droite de régression de x en t
)t(V
)x,t(COVa 02.0
6875.5937
2390.113
taxb 50.475.6002.034.3
50.4t02.0x:D
Coefficient de corrélation du couple (t, x) Equation de la droite de régression de x en t?
50.4t.02.0x:D 34.3x
75.60t
t 1 5 10 20 30 60 120 240
x 5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45
z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798
00.1z
75.60t
68.5937)t(V
05.77)t(
598.0)z(V
77.0)z(
61.59)z,t(COV
99.0r
Soit D’ : x = at + b la droite de régression de z en t
)t(V
)z,t(COVa 01.0
6875.5937
61.59
tazb 60.175.6001.01
60.1t01.0z:'D
t 1 5 10 20 30 60 120 240
x 5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45
z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798
00.1z
75.60t
68.5937)t(V
05.77)t(
598.0)z(V
77.0)z(
61.59)z,t(COV
99.0r
Soit D’ : x = at + b la droite de régression de z en t
)t(V
)z,t(COVa 01.0
6875.5937
61.59
tazb 60.175.6001.01
60.1t01.0z:'D
t 1 5 10 20 30 60 120 240
x 5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45
z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798
60.1t01.0z:'D
60.1t01.0)xln(
60.1t01.060.1t01.0 eeex
t01.0e5x
La concentration du produit actif est donnée par la fonction :f(t) =
t.01.0e5
f(t) = Valeur moyenne de la fonction f sur [ 1 , 240]?
t.01.0e5
240
1
t.01.0 dte51240
1f
240
1
t.01.0e01.0
1
239
5
88.1f
48001.0e5)480(f
88.1f
3) f(t) = c- quelle devrait être la concentration du produit 8 heures après l’injection?
t.01.0e5
34.3x
04.0)480(f
Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240
Concentration x (mg/l)
5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45
Méthode de MayerMéthode de Mayer
Le tableau suivant donne les valeurs moyennes mensuelles des précipitations (x) en mm de pluie sur Tunis en fonction de la température (t) en °C
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67
Ajustement affine par la méthode de Mayer du nuage des points de la série double (t , x).
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67
Soit G1 le point moyen correspondant aux 6 premières entrées du tableau et soit G2 le point moyen correspondant aux 6 dernières entrées du tableau
6
95t1 83.15
6
231x1 5.38
6
126t 2 21
6
223x 2 16.37
G1(15.83 , 38.5)
G2(21 , 37.16)
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67
Ajustement affine par la méthode de Mayer du nuage des points de la série double (t , x).
G1(15.83 , 38.5)
G2(21 , 37.16)
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67
6
80t1 33.13
6
322x1 66.53
6
141t 2 5.23 6
132x 2 22
G1(13.33, 53.66) G2(23.5, 22)
M(t, x) (G1G2)
016.1066.53x16.3133.13t
54.94t11.3x
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67
066.532266.53x
33.135.2333.13t
6
80t1 33.13 6
322x1 66.53
6
141t 2 5.23 6
132x 2 22
G1(13.33, 53.66) G2(23.5, 22)
M(x, y) (G1G2)
016.1066.53y16.3133.13x
54.94t11.3x
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67
066.532266.53y
33.135.2333.13x
54.9411.3 tx
Mois J F M A M J J A S O N D
temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12
préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67