Cours de Statistique Inférentielle Prof : A.koukous

par : Fatih Ibrahim Şırkuh FSJES-AGADIR

1

Séance 1 : le 19/03/2013 de 16h à 18h

Variable aléatoire continue :

Une variable aléatoire est dite continue si l’ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle dans .

I. Fonction densité de probabilité f( )

Si vérifie 3 propriétés :

1- ( )

2- ( ) est un intégral sur tout intervalle de

3- ∫ ( ) ( )

Exemple :

( ) {

1- ( )

2 ( )

3-

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

N’est pas dans l’intervalle = 0

∫

[

]

Donc ( ) Est une fonction de densité de probabilité

Cours de Statistique Inférentielle Prof : A.koukous

par : Fatih Ibrahim Şırkuh FSJES-AGADIR

2

II. Variable Aléatoire Associé à une fonction :

On dit que X et V.A.A à la fonction densité ( )

Si seulement si pour tout ⌈ ⌉

* + ∫ ( )

Et on note : soit ( ) ( ) ( )

Propriétés :

1- * + en effet

* + * + ∫ ( )

2- Conséquence

* + * + * + * +

III. Espérance, Variance et Ecart type :

Soit X Variable aléatoire ( ) ( )

Espérance de X noté ( ) :

( ) ∫ ( ) ∫ ( )

Variance (X), Var(X) :

Si ( )

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

∫ ( )

( )

Ecart-type ( ):

( ) √ ( )

Cours de Statistique Inférentielle Prof : A.koukous

par : Fatih Ibrahim Şırkuh FSJES-AGADIR

3

IV. Fonction de répartition de Variable aléatoire associé :

( ) ( ) Noté F ( ) est défini par

( ) * + ∫ ( )

Propriétés :

Soit ( ) ( ) et ( ) fonction de répartition

1- ( ) existe sur 2- li ( ) li ( )

3- ( ) est une fonction continue et croissante sur

4- Si ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( )

Proposition :

Soit la fonction de ( ) ( ) et ( ) fonction de répartition et ( )

* + ( ) ( )

C'est-à-dire la variable aléatoire continue X est complétement déterminée par sa fonction de répartition

associée

Remarque :

( ) ( ) Et ( ) fonction de répartition associée

Alors ( ) ( )

Proposition : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

Soit X une variable aléatoire continue tel que ( ) ( )

*| | +

*| | +