statistique 01

Elment du Module:

1 - Statistique

CHERIF Walid - Statistique Anne universitaire: 2013/2014

Enseign par:

CHERIF Walid

ENSAJ

Ch. 01: Introduction la Statistique

1. Rappels et Gnralits:

CHERIF Walid - Statistique

La Statistique: mthode scientifiqueLes statistiques: produit de la statistique

Population et Individu: lunit {vivant sous le mme toit: mnage; liens demariage/sang: famille}

Echantillon: Maroc: a 6 000 000 mnages7200 : est un chantillon

: on peut mesurer lerreur dchantillon

Caractre: - qualitatif : * nominal: sexe.* ordinal: degr de satisfaction (peu, assez)

- quantitatif : * continu: ge* discret: taille du mnage

Ch. 01: Statistique un seul caractre

2. Tableaux statistiques et reprsentations graphiques:


Tableau statistique

Ex: Rpartition des mnages marocains selon les classes de dpense (en dh) entre 1999 et 2010

Classes de dpense Nombre de mnages

] 0 ; 1500 ] 500

] 1500 ; 5000 ] 250

] 5000 ; 15000 ] 650

] 15000 ; 30000 ] 100

] 30000 ; 100000] 10 ( * )

* : donne approximative (refus de dclaration)

Lgende : pour prciser plus dinformations

Tableau 01: rpartition des mnages marocainssuivant les classes de dpenses

Titre

Source 01: Enqute nationale sur la consommation. Direction de la statistique (2011)



Tableau statistique

Classes de dpense Nombre de mnages

] 0 ; 1500 ] 500

] 1500 ; 5000 ] 250

] 5000 ; 15000 ] 650

] 15000 ; 30000 ] 100

] 30000 ; 100000] 10

Effectif absolu

1510Total

Frquence relative

33,11 %

16,55 %

43,04 %

6,62 %

0,66 %

500

1510

250

1510




Tableau statistique

Classes de dpense Frquences absolues Frquences relatives Frquences cumules F . Cumules inverse

] 0 ; 1500 ] 500 33,11 % 33,11 % 100 %

] 1500 ; 5000 ] 250 16,55 % 49,66 % 66,99 %

] 5000 ; 15000 ] 650 43,04 % 92,7 % 51,33 %

] 15000 ; 30000 ] 100 6,62 % 99,33 % 7,3 %

] 30000 ; 100000] 10 0,66 % 100 % 0,66 %

1510Total

=

=

=1

= 100% 1




Tableau statistique

Modalit Frquences absolues Frquence corrige

1 400 400

2 500 250

3 360 120

4 40 10

5 100 20

Frquence corrige :

=




Reprsentation graphique

a. Caractre qualitatif : Diagramme en tuyau dorgues / diagramme circulaire

Degr de satisfaction des clients

satisfait

moyen

peu

non0

10

20

30

40

Hommes Femmes

Nombre d'accidents

Nombred'accidents





b. Caractre quantitatif discret : Diagramme en bton

0

2

4

6

1999 2003 2007 2011

Tailles des mnages

Tailles desmnages





c. Caractre quantitatif continu: Histogramme

0

100

200

300

400

500

600

Dpenses des mnages

Dpenses desmnages





Polygone de frquence: Relie les points ( ; )

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12

Evolution deschanges

ci : centres des classes


Caractristiques de tendance centrale de position ou de location


Yule :

Les caractristiques de tendance centrale doivent vrifier les conditions de Yule :- Proches des observations (1, 2 )- Etre bien dfinies- Tenir compte de toutes les observations (1, 2 )- Etre simples calculer- Avoir une signification- Se prter au calcul algbrique- Etre peu sensible aux fluctuations dchantillonnage.




1. La mdiane :

Observations individuelles : 1, 2 Observations groupes : 1 1 , 2 2

]1, 2] , ]1, 2] ]1, 2]

Dfinition:Valeur du caractre qui spare la population en 2 parties: 50% se situent au-dessous de la mdiane et 50% se situent au dessus

Exemple:Les notes de 5 tudiants: 15, 12, 03, 11, 02On classe les notes,La mdiane est la valeur du milieu: 11




1. La mdiane :

Pour N impair : = +12

Pour N pair : On aura 2 valeurs: = 2

et = +22

Par convention, on prend: = 2

] ; ]

] ; ]

] ; ]

ou

Cas des observations groupes:




1. La mdiane :

= ()

= ()

= ()

Cas dun caractre quantitatif discret

() =

50%

tel que:

() < 50% ()

()

On prend:




1. La mdiane :

10 1 5 % 5 %

20 2 10 % 15 %

28 3 14 % 29 %

52 4 26 % 55 %

70 5 35 % 90 %

20 6 10 % 100 %

Cas dun caractre quantitatif discret

= 4

On a: 3 = 29 %

4 = 55 %

3 < 50% 4

Donc :

200


47

53

45

50

55

24 ? 29



1. La mdiane :

Cas dun caractre quantitatif continu

=

= ,

[, ]

tel que:

= 50%

On a:

=

i.e:()()

()()=

a.n:

53 5053 47

=29 2924

c/c:

a

A

bB




1. La mdiane :

1) La mdiane rend minimale la somme des carts absolus des observations % nombre u :

= =1

| u|

Ceci explique que la mdiane est la valeur la moins loigne des observations.(conditions de Yule)

2) La mdiane est invariable par transformation linaire :Si: , ont pour mdiane .Alors: , telles que : = . +

ont pour mdiane: = . +

3) Pour deux fonctions :croissante, et dcroissante, on a: = pour = .

Proprits de la mdiane :




2. Le mode :

Dfinition:Valeur du caractre pour laquelle les frquences relatives sont les plusleves

Exemple:

Le nom Mohammed pour les prnoms arabes musulmans

4 Taille modale




2. Le mode :

Cas dune distribution continue

Classe modale

Dterminer le mode : m

m




2. Le mode :

Cas dune distribution continue

Remarque

Plusieurs populations => Plusieurs modes




3. La moyenne:

3.1 - Moyenne arithmtique

1, 2 : des observations individuelles = =1

Proprits :

1) =1 ( ) = 0

2) Thorme de Koenig: =1 ( ) =

=1 ( ) +

2

3) B = =1 ( ) atteint son minimum pour : =




3. La moyenne:

Proprits : 1) =1 ( ) = 0

2) Thorme de Koenig: =1 ( ) = =1

( ) + 2

3) B = =1 ( ) atteint son minimum pour : =

4) Si: = + Alors: = +

5) Soit une sous population de taille 1, et de moyenne 1, et une autre sous

population de taille 2, et de moyenne 2, alors: =11+22

1+2

6) Gnralisation: = =1

=1





3. La moyenne:

- Cas dun caractre quantitatif discret:


- Observation individuelles: = =1

- Observation groupes:

= =1 =1

- Cas dun caractre quantitatif continu:

= =1 =1 : centre de classe =

1+2




3. La moyenne:

3.2 - Moyenne gomtrique

Gnralisation:

= 1 +

= . 1

= 11

:

= 1. (1 + )

= 1. (1 + )

1 = 2. (1 + ) = 1. 1 + = 2. (1 + ) = 1. (1 + )

1




3. La moyenne:


Application:

Vous avez investi en bourse le Mercredi : 05/02/14 un montant de 1000 dh.

Le jeudi : 06/02/14 a connu une croissance de 1 %.

Le vendredi : 07/02/14 a connu une baisse de 1 %.

Pouvez-vous retirer votre argent le vendredi?


=

=1



3. La moyenne:


Gnralisation:

= 1. 1 + 1 = 2. 1 + 2 . 1 + 1 =

1 2 3 4

= 0. =1

1 +

1 + (1 + )

= 0. (1 + )

1 + =

=1

1 +




3. La moyenne:

3.3 - Moyenne harmonique

Application:

Sur lautoroute El Jadida Casablanca, la vitesse de la voiture varie d 1 Km un autre.

Calculer le temps moyen du trajet.

1 2 3 90

1 V2 90 3

= 1

=

1 = =1 1

:

=

=1 1

/:




3. La moyenne:

3.4 - Moyenne quadratique

Application: Donnez le ct moyen des carrs

= =1

Gnralisation:

()= =1

= =1

Soit :


Notons les cts des carrs:

Les superficies des carrs sont donc:

La superficie moyenne des carrs est: =1

Do, le ct moyen est:



3. La moyenne:

3.5 Comparaison des moyennes

Comparez les 4 moyennes : (n=2)

- =1+2

2

- = 1. 2

- =21

1+1

2

- =1+2

2


Caractristiques de dispersion et de forme


1. Dispersion:

Htrognit

1, 2 : caractre quantitatif

: =

Exemple: N=31, 2, 3 12 = 2 1

13 = 3 1

23 = 3 2

=12 + 13 + 23

3

=(2 1) + (3 1) + (3 2)

3=2(3 1)

3=2( )

3=2

3

:




1. Fractiles:

Htrognit


: =

1

2

3

fractile25 %

50%

75%


Fractile dordre 50 % = Mdiane



1. Fractiles:


Exemple :

10 %

25 %

30 %

] ; ] 10 %

] ; ] 20 %

] ; ]

= (10 %)

= (90 %)

(1) ()



2. Ecart absolu:


=1

=1


=1

=1



2. Ecart type:


=1

=1

( )


= V(X): Variance de X

: est appel coefficient de variation



2. Ecart type:


Proprit:

Si: a pour cart type Alors: ( + ) a pour cart type

=

- Dmontrez la proprit.

- Dmontrez que:

Complment


Mdiale et indice de Gini


1. Mdiale: la distribution de 250 employs selon leur salaire

Salaire(en 1000 dh)

Centres de classes

Effectifs .

. cumuls croissants

[8 - 8,4[ 8,2 10 82 82

[8,4 - 8,8[ 8,6 30 258 340

[8,8 - 9,0[ 8,9 60 534 874

[9,0 - 9,2[ 9,1 72 655,2 1 529,2

[9,2 - 9,6[ 9,4 40 376 1 905,2

[9,6 - 10,2[ 9,9 24 237,6 2 142,8

[10,2 - 10,9[ 10,55 14 147,7 2 290,5

Total 250 2 290,5

On appelle mdiale le salaire Ml correspondant la moiti de la masse des salaires distribus

/2 = 1145,25

- Pour moins de 9000 dh, la somme des salaires est : 874 000 dh- Pour moins de 9200 F CFA, la somme des salaires est : 1 529 200 dhComme pour la mdiane, on dduit le salaire mdial: 9083 dh

La mdiane partage la masse des effectifs en deux fractions de mme poids.La mdiale partage la masse des . en deux fractions de mme poids.

Complment




2. Indice de GINI :

Lindice de Gini est une mesure statistique de la dispersion d'une distribution dans unepopulation donne, variant de 0 1:0 signifie l'galit parfaite et 1 signifie l'ingalit totale.Il est trs utilis pour mesurer l'ingalit des revenus dans un pays. Sil dpasse 0.67, le payspasse un tat critique.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0% 5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

55%

60%

65%

70%

75%

80%

85%

90%

95%

100

%

Part cumule de la population

Part cumule du revenu

Complment




2. Indice de GINI :

Analytiquement, pour n tranches, le coefficient de Gini s'obtient par la formule de Brown:

= 1 =0

1

+1 . +1

: part cumule de la population. : part cumule du revenu.

Pour n personnes ayant des revenus indics par ordre croissant ( +1):

=2 =1 . =1 + 1

Complment




2. Indice de GINI :

Rsum



1. Frquences:

=

= =1

:

=

Rsum



2. Mode, mdiane et mdiale:

- Mdiane: Valeur du caractre qui spare la population en 2 parties:50% se situent au-dessous et 50% se situent au dessus.

- Mode: Valeur du caractre pour laquelle les frquences relativessont les plus leves.

- Mdiale: Valeur du caractre qui spare lensemble des valeurs observesen 2 parties: 50% se situent au-dessous et 50% au dessus.

Rsum



3. Moyennes :

Moyenne Formule Utilisation Exemple

= =1

Observations indpendantes - Moyenne des salaires- Moyenne des tailles

=

=1

Observations dpendantes

Variation en (1+)- Taux bancaires- Bourse- Gomtrie

=

=1 1

Ecriture en 1

- Moyenne des vitesses- Moyenne des concentrations

= =1

Ecriture en - Moyenne des surfaces carrs

Rsum



3. Ecarts :

=1

=1

=1

=1

=1

=1

( )

=

Fin du chapitre 1



Ch. 02: Statistique deux caractres


Comparaison

Dfinition Une srie statistique deux caractres est une srie dont les valeurs etles valeurs peuvent tre observes simultanment. Elles sont donnes pardes couples (; ).Leur reprsentation dans un repre orthogonal forment les points decoordonnes (; ). On lappelle nuage de points.

Statistique un seul caractre Statistique deux caractres

Taille 1,80 1,75 1,95 2,05 1,70

Athltes 30 20 12 3 15

Salaire [5000, 8000[

[8000, 11000[

[11000, 14000[

Employs 30 20 12

Taille dun chantillon de 80 athltes

Tranches de salaires des employsdune socit

Taille 1,80 1,75 1,95 2,05 1,70

Poids 75 74 90 93 85

Taille et poids dun chantillon dathltes



Exemple 1 :Tailles et Poids des 10 athltes

Poids 80 90 93 75 86 97 124 88 90 75

Taille 1,82 1,88 1,97 1,65 1,92 1,99 2,01 1,88 1,93 1,75

Donner le nuage de points associ cette srie statistique

1,61,65

1,71,75

1,81,85

1,91,95

22,05

2,1

70 90 110



Exemple 2 : La moyenne des tudiants suivant le nombre dheures deprparation des examens

Nombre dheures 2 10 30 15 13 28 22

Moyenne 6 14 15 16 10 18 14


02468

101214161820

0 10 20 30 40

Ch. 02: Statistique 2 variables :

Exemple 3 : La part consacre au logement dans le budget dun foyer ( en 1000 dh).


Revenu 8,6 10,5 9,5 8,1 9,7 6,5 7,1

D. Logement 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8 3,5


0

1

2

3

4

5

6

6 7 8 9 10 11

Logement


2.1 - Point moyen


0

1

2

3

4

5

6

6 7 8 9 10 11

Le point moyen dun nuage de points est le point G de coordonnes ( ; ) o :

=1

=0 =

1

=0


2.2 - Ajustement par la mthode des moindres carrs

Effectuer un ajustement de en dun nuage de points par la mthode desmoindres carrs consiste trouver la fonction f du modle retenu qui minimise la

somme des carrs des carts entre les valeurs observes et les valeurs f()donnes par le modle.

La fonction f doit donc minimiser lexpression: =1

( f())


Interprtation graphique:

Cela revient minimiser la somme des carrs des distances verticales entre la courbe et les points du nuage :

(1 1) + (2 2) + + ( )




Remarque :

1. Pour une valeur 0 donne du caractre , la fonction f permet de prvoir le rsultat correspondant de la variable .

On supposera que 0 f(0).

2. Si 0 appartient est compris entre 1 et :on parle dinterpolation.

3. Si 0 est en dehors de lintervalledobservation du caractre x:

on parle dextrapolation




Ajustement affine par la mthode des moindres carrs:

On appelle covariance de et de le nombre :

cov , =1

=1

( )( )

La variance du caractre est:

V =1

=1

Elle est utilise pour le calcul de lcart type :

() = ()

V = cov ,


Thorme :


Lors dun ajustement affine par la mthode des moindres carrs:

La droite (D) servant lajustement de en :- a comme coefficient directeur:

=(, )

()- passe par le point moyen du nuage: G( , ).

1. Ces deux donnes permettent de dterminer une quation de cette droite.

2. Cette droite est appele droite de rgression de y en x.


Exemple : On prend lexemple des parts du logement, mais en remplaant lavariable par = 1978 (prendre le rang des annes)


Anne 1978 1984 1992 1994 2000 2004 2009

Rang des annes 0 6 14 16 22 26 31

Part en % 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8 3,5

On a dj vu que: = 16,42 et = 3, 81.Pour calculer la variance et la covariance:

La liste 1 (1) contient les La liste 2 (2) contient les La liste 3 (3) contient , cest--dire : 3 = 1 16,42 La liste 4 (4) contient ( ), cest--dire : 4 = 3. La liste 5 (5) contient , cest--dire: 5 =2 3, 81 La liste 6 (6) contient ( ) ( ), cest--dire 6 = 3 5

On a alors: =(, )

()(, )=

(6)

7()=

(4)

7

La droite de rgression: = (,)

() + b. Elle passe par G (on obtient b).


Droite d'ajustement affine : Mthode de Mayer


Dans le cas d'un nuage de points de forme allonge, et afin de faciliter l'tude de la srie, il est possible de remplacer ce nuage par une droite appele droite d'ajustement affine.Pour tracer cette droite, on utilise la mthode de Mayer.Exemple : Le tableau suivant donne le chiffre d'affaire ralis au cours des 6 derniers mois par un site de vente en fonction du nombre de commandes reues:

Nombre de commandes

6 400 8 350 9 125 9 600 10 050 12 000

Chiffre daffaire mensuel

250 000 320 000 335 000 350 000 370 000 400 000




Reprsentation du nuage de points :

200000

250000

300000

350000

400000

450000

5000 7000 9000 11000 13000




Calcul des coordonnes des points moyens 1 et 2:

On partage le nuage de points en deux groupes de mme importance suivant les valeurscroissantes de , et on calcule les coordonnes des points moyens 1 et 2 de chaquegroupe de points:

1=6400+8350+9125

31(1, 1) 1=

250000+320000+335000

3

2=9600+10050+12000

32(2, 2) 2=

350000+370000+400000

3

On trace la droite d'ajustement qui passe par les deux points 1 et 2

Equation de la droite d'ajustement affine :

= + o: =21

21 = 1 . 1 = 2 . 2


Exercice 01:


Depuis 1900, les chercheurs ont relev des tats de contamination du virus RG2 chezcertaines races doiseaux.Leur recherche les a men lier la cause du virus au climat des rgions concernes.Le tableau suivant regroupe le nombre doiseaux atteints par ce virus:

Climat 81 84 89 93 97 99

Nombre doiseaux

2 500 3 200 4 500 3 300 1 900 4 900


Corrlation


Question 01 :Existe-t-il une relation entre les investissements publicitaires duneentreprise et lvolution de son chiffre daffaires ?

Question 02:Existe-t-il une relation entre la place dun tudiant dans la classe et sa notefinale?

Ltude de la corrlation entre deux sries permet didentifier ladpendance ou lindpendance qui existe entre deux sries. Ce degr dedpendance peut tre vrifi en calculant le coefficient de corrlation ouvrifi par les droites dajustement.


Corrlation



Corrlation


Interprtation:

-1 r 1

Lorsque la corrlation est forte (r ):les droites de rgression sont trs proches et le nuage peut treapproxim par une droite.

Lorsque la corrlation est faible, le nuage de points ne peut pas treajust par une droite, mais il se peut quune autre courbe permette unbon ajustement.


Corrlation


Exemple:

Existe une corrlation entre la taille et le poids des athltes dun clubdescalade.Les donnes individuelles sont indiques dans le tableau suivant:


Corrlation



Corrlation


Droite dajustement (ou de rgression des moindres carrs):

Nous avons vu quil tait possible de calculer la droite dajustement dunesrie de donnes. De la mme faon il est possible de calculer la droitedajustement dune srie 2 variables.Cette dernire na de sens que sil existe une corrlation entre les deuxsries de donnes.

Rappel:Droite de la forme y = a.x + b de telle sorte que la somme des carts positifs la droite soit gale la somme des carts ngatifs


Corrlation


La droite trace se prsente ainsi, la corrlation de 0,949 est forte et lespoints sont resserrs autour de la courbe de tendance.


Corrlation


Exemple 1:

Dans lexemple suivant nous recherchons la corrlation entre lge dinvestisseurs et les plus-values ralises.


Corrlation


Exemple 1:

Dans lexemple suivant nous recherchons la corrlation entre lge dinvestisseurs et les plus-values ralises.

La droite trace correspond unecorrlation faible, et les pointssont disperss autour de la droite.

Un coefficient de corrlation de +1 correspond une courbe de tendance ascendante et une corrlation ngative une courbe descendante.


Corrlation


Exemple 2:

Nous tudions la corrlation entre le prix de vente dun article et le chiffre daffaires ralis. Un article vendu gnre 50 dh de CA et 5 articles gnrent 250 dh de CA.

La corrlation est totale le coefficient de +1=> La courbe est ascendante


Corrlation


Exemple 3:

Nous tudions la corrlation entre le nombre darticles achet et son prix dachat. Plus la quantit achete est importante et plus le prix dachat unitaire est faible.

La corrlation est total le coefficient de -1=> La courbe est descendante :


- Suite -

La socit Pol-Arctique est spcialisedans la commercialisation de vtementsde sport.On vous communique ci-dessous le CAdes 6 dernires annes et les dpenses depublicit

1. Existe-t-il une corrlation entre lesdpenses de publicit et le CA ?

2. Calculer le CA Prvisionnel de 2010

Exercice 02

Ch. 02 - TD


Apprciation graphique de la corrlation

Les courbes de rgression


Le tableau suivant donne la rpartition dun chantillon de mnages

ruraux selon la dpense annuelle totale X en milliers de dirhams et la

dpense annuelle en lectricit Y en centaines de dirhams.

Pour mesurer lintensit de la corrlation entre deux caractres quantitatifs, on

tudie les variations des moyennes conditionnelles ou

X \ Y 0-3 3-4 4-5 5-7,5 7,5-10 Total

0-5 6,3 1,1 0,4 0,4 0,4 8,6

5-7,5 3,6 1,5 0,8 1,7 0,2 7,6

7,5-10 2,5 1,1 1,7 1,3 0,4 7,0

10-14 4,4 5,0 2,8 4,2 1,5 17,9

14-18 0,4 2,9 3,8 6,3 2,2 15,6

18-24 0,6 1,5 2,8 7,0 2,3 14,2

24-30 1,3 0,5 3,2 14,0 9,6 28,9

Total 19,1 13,9 15,5 34,9 16,6 100,00





Complter le tableau de calcul:

Moyennes conditionnelles suivant Y

Moyennes conditionnelles suivant X

1 =2,5 6,3 + 6,25 3,6 + 8,75 2,5 + 12 4,4 + 16 0,4 + 21 0,6 + 27 1,3

6,3 + 3,6 + 2,5 + 4,4 + 0,4 + 0,6 + 1,3

X \ Y 0-3

0-5 6,3

5-7,5 3,6

7,5-10 2,5

10-14 4,4

14-18 0,4

18-24 0,6

24-30 1,3

Total 19,1





Dans le tableau de calcul: on a remplac chaque classe par son centre et

on a calcul les moyennes conditionnelles :

2,5 6,25 8,75 12,00 16,00 21,00 27,00

2,4535 3,4135 3,8393 4,25 5,5288 5,8187 6,5969

Moyennes conditionnelles suivant Y

1,5 3,5 4,5 6,25 8,75

8,745 12,946 16,805 20,034 21,812

Moyennes conditionnelles suivant X

Analyse 1: La dpense moyenne en lectricit croit avec le centre

La dpense moyenne en lectricit croit avec le centre





Courbe de rgression Y en X Courbe de rgression X en Y





Quoiquil ny a pas de relation directe entre la dpense annuelle en

lectricit et la dpense annuelle totale dun mnage, on peut affirmer

que quand la dpense totale augmente, la dpense en lectricit

augmente, mais seulement en moyenne .

Dfinition:

On appelle:

courbe de rgression Y en X, la ligne brise qui joint les pointsMi(xi, yi).

courbe de rgression X en Y, la ligne brise qui joint les points Mj(yj, xi).

Ces deux courbes nous renseignent graphiquement sur le sens et le degr

de la corrlation entre X et Y.


1. Distributions marginales


On note le nombre dindividus prsentant les modalits et .

( =1 =1 = )

Tableau statistique dune tude simultane de deux caractres

Modalits du caractre X

Modalits du caractre Y Distribution marginale de X

1

1

11 1 1

1

1

1 .

.

.

Distribution de Y . 1 . . . . =


1. Distributions marginales


On appelle frquence du couple (ou frquence totale) des modalits et la

proportion dindividus qui prsentent simultanment les modalits et :

=

Distributions marginales :

Les effectifs . dfinissent la distribution marginale de X.La frquence marginale de la modalit est :

. = .

De mme pour Y, on dfinit les frquences marginales . =.


2. Distributions conditionnelles


La j me colonne du tableau statistique dcrit la sous population des individus possdant la modalit suivant le caractre X. La frquence conditionnelle

de la modalit sachant (ou lie ) est: =

.( f i sachant j)

De mme, la distribution conditionnelle sachant est :

= .

Remarque:

== . .

= . .


3. Indpendance et dpendance


Le caractre X est indpendant du caractre Y si les distributions

conditionnelles (|) sont identiques entre elles :

ne dpend pas de et

sont alors identiques la distribution de X.

Les colonnes du tableau statistique sont proportionnelles entre elles.

Exemple: - caractres indpendants -

Modalits du caractre X

Modalits du caractre Y

1 2 3 4

1

2

3

3 5 2 4

6 10 4 8

12 20 8 16


3. Indpendance et dpendance


Le Chi-deux : - mesure de lintensit de la dpendance entre X et Y -

Le Chi-deux permet de comparer le tableau des effectifs relevs cequil aurait du tre si les caractres avaient t indpendants.

= =1

=1

(

. . . )

. . .

= N ( =1

=1

. . . 1)

Proprits :

- Les caractres X et Y sont indpendants ssi X=0.- X 0 est dautant plus grand que la liaison entre X et Y est forte.


Application

Indpendance:


P1. X et Y sont indpendants si les distributions conditionnelles

selon le caractre Y, pour X fix sont identiques.

X/Y B1 B2 B3 B4 Total

A1 5 15 20 10 50

A2 8 24 32 16 80

A3 7 21 28 14 70

Total 20 60 80 40 200

(n11)

(n21)

(n.1) (n.2)

1. Considrons les individus qui prsentent la modalit B3, parmi ceux qui

prsentent les modalits A1, A2 et A3:100 x 20/50 = 40% pour A1

100 x 32/80 = 40% pour A2

100 x 28/70 = 40% pour A3

3/1 = 3/2

= 3/3= 40 %

3/1

3/2

.

P2. X et Y sont indpendants si et seulement si les frquencesconditionnelles

sont le produit des frquences marginales . et .

statistique 01

Documents