AFC/LDASta+s+quesCM4

Sébas+enCOUETTE

Master1AGES SE GBS VVT

CesanalysespermeBentuneréduc+ondedimensionalité,toutcommel’ACP.CeBeréduc+ondeladimensionaliténesefaitpasdansuncontexte«exploratoire»oùnoncontraintcommepourl’ACP,ellesefaitdansuncontexted’ordina+on.Celaimpliquequevousavezplusieursvariablesquan+ta+vesetdesgroupes.

AFC/LDA

AFC/LDA

Aquoiserventcesanalyses:

-AmeBreenévidencelesvariablesdiscriminantes

-Aprédirel’appartenanced’unsujetàungroupe

Exemples:QuellessontlesvariablesquipermeBentdedis+nguerlespoissonsd’unsiteAdeceuxd’unsiteB?

Peutonprédireuncancerdupoumonàpar+rdedonnéessurdespa+ents(nbdecigareBes,fréquencedetoux…)

AFC/LDA

2caspossibles

Variablesdiscrètes Variablescon+nues

ANALYSEFACTORIELLEDESCORRESPONDANCES

(AFC)

ANALYSEDISCRIMINANTE(LDA)

AFC

AFC

S’appliqueauxtableauxdecon+ngence,c.a.ddetableauxd’effec+fsquicon+ennentàl’intersec+ondelaligneietdelacolonnejdesindividuszij.Surcegenrededonnéesl’étudeclassiqueestderegarderladépendanceoul’indépendancede2variablesqualita+ves.C’estcequenousfaisonsavecletestdeChi2Dansnotrecasonimagineuntableauavecdenombreusesmodalitésdevariables.Ilestdoncnécessairederésumerl’informa+on

AFC

Dansletableaud’AFConappellera«individus»lesNmodalitésdelavariablesXet«variables»lesnmodalitésdelavariableY.Leszijsontappelésvaleurs

AFC

L’AFCestuneACPsurcetableau(ousatransforma+on).CeBeACPestdouble:UneACPdansl’espaceRndes«variables»(colonnes)danslequelonpeutreprésenterlenuagedesNpoints«individus»(lignes).Chaqueindividuapourcoordonnéesxij=

pijpi

AFC

L’AFCestuneACPsurcetableau(ousatransforma+on).CeBeACPestdouble:UneACPdansl’espaceRNdes«individus»(lignes)danslequelonpeutreprésenterlenuagedesnpoints«variables»(colonnes).Chaqueindividuapourcoordonnéesxij=

pijpj

AFC

Danscetespaceonpeutcalculer:Ladistanceentredeuxpoints(equivalentdeladistanceeuclidienned2)LecentredegravitédunuageLadistanceentre1pointetlecentredegravitéOnappelleiner+etotaleϕ2lasommedesdistancesentrechaquepointetsoncentroïde

AFC

Oncherchelesdirec+onsd’iner+emaximum

Onvadéfinirunensembledevecteurd’iner+emaximumorthogonaux

Puisonvatravaillersurlamatriced’iner+epourextrairelesvecteurspropres

Projec+ondespointssurcesnouveauxaxes

AFC

AFC

Projec+onbarycentriquedescolonnesdansl’espacedeslignes

AFC

Danscetespaceonpeutcalculer:Ladistanceentredeuxpoints(equivalentdeladistanceeuclidienned2)LecentredegravitédunuageLadistanceentre1pointetlecentredegravitéOnappelleiner+etotaleϕ2lasommedesdistancesentrechaquepointetsoncentroïde

AFC

Oncherchelesdirec+onsd’iner+emaximum

Onvadéfinirunensembledevecteurd’iner+emaximumorthogonaux

Puisonvatravaillersurlamatriced’iner+epourextrairelesvecteurspropres

Projec+ondespointssurcesnouveauxaxes

AFC

Projec+onbarycentriquedeslignesdansl’espacedescolonnes

AFC

Détermina+ondunombred’axes

AFC

L’AFCcorrespondà2ACPpondéréessurlesprofilslignesetlesprofilscolonnes

AFC

AFC

AFC

Extensiondel’AFC

Projec+ondelignesetcolonnessupplémentaires,quinepar+cipentpasàlaconstruc+ondesaxes

AFC

Extensiondel’AFC

Pop1Pop2....Popi

Var1Var2…...Varj

AFC

AFC

LDA

LDAL’analysediscriminantes’appliqueanvariablesquan+ta+vescon+nuesetunevariablequalita+ve(classes).L’analysediscriminanteestuneméthodederéduc+ondeladimensionalité.Lebutestdeprojeterlesdonnéesdanunespaceàdimensionsréduitesetenmaximisantlasépara+ondesclasses.LaLDAestassezsimilaireàl’ACP.Enplusdetrouverlesaxesquimaximisentlavariance,ellecherchelesaxesquimaximisentlasépara+onentreclasses.

LDA

LaLDAen5étapes:-1:Calculdesdvecteursmoyenspourlesclasses-2:Calculdesmatricesdedispersion(variancesintraclasseet

interclasse)-3:calculdesvecteurspropres(e1,e2,…,ed)etdeleurs

valeurspropres(λ1,λ2,…,λd)-4:rangerlesvecteurspropresparvaleurspropres

décroissantes,choisirleskvecteurspropresaveclesplusgrandesvaleursproprespourcons+tuerlamatriceWàdxkdimensions(chaquecolonnereprésenteunvecteurpropre).

-5:U+liserladxkmatricepourprojeterlejeudedonnéesdanslenouveausousespace.Cecisefaitparleproduitmatriciel:

Y=XxW

Sinouspartonsd’unjeudedonnéesàddimensions,cejeudedonnéesseraprojetédansunsousespaceakdimensions(k<d)

LDAExemple:LesirisdeFisher3espècesIrissetosa(n=50)Irisversicolor(n=50)Irisvirginica(n=50)

Designparfaitementbalancé

4traits(variablesquan+ta+vescon+nues)Longueurdusépale(cm)Largeurdusépale(cm)Longueurdupétale(cm)Largeurdupétale(cm)

PeutontrouverdescaractèrespermeBantdedis+nguerlesespèces?

LDAExemple:LesirisdeFisher

Danscecasonvoitquelesvariablessurlespétalesontunpouvoirdiscriminantfort.Danslecasd’unfaiblenombredevariableonpeutfonc+onnerdeceBefaçon.

LDAExemple:LesirisdeFisherCondi+onsdevalidité:-  Lesvariablessontnormalementdistribuées-  Lesvariablessontsta+s+quementindépendantes-  Lesmatricesdecovariancesonthomogènespourtoutesles

classes

CeciestimportantpourlaLDAcommeprédicteur,pourlaréduc+ondedimensionscescondi+onsnesontpasforcementtenuesd’êtrerespectées.

LDA

Etape1:Calculdesdvecteursmoyenspourlesclasses

LDA

Etape2:Calculdesmatricesdedispersion(variancesintraclasseetinterclasse)

Lamatricededispersionintraclasses’écrit:

avec

Lamatricededispersioninterclasses’écrit:

LDA

Etape2:Calculdesmatricesdedispersion(variancesintraclasseetinterclasse)

LDA

Etape3:calculdesvecteurspropres(e1,e2,…,ed)etdeleursvaleurspropres(λ1,λ2,…,λd)

Apar+rdelamatricededispersion

Vecteurspropresquisontlesnouveauxaxesdevaria+on

ValeurspropresquisontlesIntensitésdesaxes

Cesvecteursdefinissentladirec+ondesnouveauxaxesmaisonttouslamêmevaleur:1

LDA

Etape4:Rangerlesvecteurspropresparvaleurspropresdécroissantes,choisirleskvecteurspropresaveclesplusgrandesvaleursproprespourcons+tuerlamatriceWàdxkdimensions(chaquecolonnereprésenteunvecteurpropre).

Lesvecteurspropresdéfinissentladirec+ondesnouveauxaxesmaisonttouslamêmevaleur:1Pourdéciderquelvecteurschoisirafinderéduireladimensionalité,onlesclasseparvaleurpropredécroissante.Lesvecteurspropresdontlesvaleurspropressontfaiblesportentpeud’informa+on

LDA

Etape5:U+liserladxkmatricepourprojeterlejeudedonnéesdanslenouveausousespace.Cecisefaitparleproduitmatriciel:

Y=XxW

Isotropiedanscenouvelespace

LDA

LDA

Coordonnéessurlesnouveauxaxes.

LDA

DistancedeMahalanobis

LDA

Laprédic+on

Permetd’aBribueruneprobabilitéd’appartenancedenouvellesobserva+onsàungroupe

LDA

Permetd’avoiruneidéedelaconfiancedumodèle

Laprédic+on

LDA

ExtensiondelaLDA

Laméthodedeskmeansoulesgroupessontchoisisaposteriori

LDA

ExtensiondelaLDA

Laclassifica+onascendantehierarchique(clustering)

Pourconclure

Pourconclure1varquan+

2ou

plusvarq

uali

ANOVAà2facteurs

Plusieursvariablesindépendantes

Plusieursv

ariablesdép

endantes

MANOVA

2varquan+

1varq

uali

ANCOVA

Pourconclure1varquan+

2ou

plusvarq

uali

ANOVAà2facteurs

Plusieursvariablesindépendantes

Plusieursv

ariablesdép

endantes

MANOVA

2varquan+

1varq

uali

ANCOVA

Variablesqualita+ves

AFC

Variablesquan+ta+ves

ACP

LDA