stabilité au déversement de traverses articulées ou semi-continues d’ossatures mixtes...

1Revue

Construction

Mtallique

STABILIT AU DVERSEMENT DE TRAVERSES ARTICULES OU SEMI-CONTINUES

DOSSATURES MIXTES ACIER-BTONEN PHASE DE CONSTRUCTION

par J.-M. Aribert

Rfrence

MIX-CAL 2-01

1. PRSENTATION DU PROBLEME

Ltude concerne la stabilit au dversement des poutres primaires et secondaires dunplancher mixte lorsque lon coule la dalle de bton, elle-mme de type mixte (cest--dire ralise avec une tle mince profile, ultrieurement collaborante). Les poteaux delossature sont en acier ou de type mixte acier-bton (par exemple partiellement enro-bs de bton) et sont supposs ici contrevents dans leurs deux plans verticaux deflexion.

La figure 1 montre une disposition classique en grillage de poutres de plancher avecune porte des poutres secondaires de lordre de 8 12 m et une porte des poutresprimaires de 6 9 m. Dans une maille dfinie par quatre poteaux, une ou deux solives(ici AB ) peuvent tre places paralllement aux poutres secondaires (AB et CD) demanire que la porte de la tle profile reste de lordre de 3 3,5 m, dans le but dvi-ter ltayage de la dalle en phase de construction.

Sur le plan de la terminologie, le terme de poutre primaire se conoit mieux en pr-sence de deux solives ( de lordre de 9 m) dans la mesure o AC devient alors lapoutre la plus charge. On conservera nanmoins ce terme pour AC en prsence duneseule solive.

Lorsque la tle profile est convenablement fixe aux poutres et solives, par exemple laide de goujons souds au travers de la tle, on considre gnralement que cette der-nire apporte un maintien latral efficace aux semelles des poutres sur lesquelles elleprend appui. Ds lors, si les assemblages des poutres secondaires AB et CD sur les ailesdes poteaux peuvent tre considrs comme articuls, les poutres en question se trou-vent automatiquement labri du risque de dversement. En pratique, plus pour des rai-sons de limitation de flche en phase de construction que de capacit portante, on peutavoir intrt concevoir des assemblages mtalliques qui offrent une rigidit flexion-nelle non ngligeable, cest--dire des assemblages classifis comme semi-rigides dansles codes actuels.

La figure 2 donne deux exemples de tels assemblages, raliss dune part avec platineboulonne non dbordante, dautre part avec cornires boulonnes ( noter que ces

1

CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIELDE LA CONSTRUCTION MTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78470 Saint-Rmy-ls-ChevreuseTl.: 01-30-85-25-00 - Tlcopieur 01-30-52-75-38

Construction Mtallique, n 2-2001

J.-M. ARIBERT Professeur des Universits, Directeur du laboratoire de structures lINSA de Rennes

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64 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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assemblages restent, en gnral, semi-rigides et partiellement rsistants en phase defonctionnement mixte). Si la valeur de flche des poutres secondaires peut se trouverrduite de manire significative, en phase de construction, de part la semi-continuitintroduite par les assemblages poutres-poteaux, en revanche la stabilit au dverse-ment peut devenir critique du fait de la flexion ngative de la poutre qui en rsulte, avecune semelle mtallique infrieure comprime et non maintenue latralement. Ilconvient galement de signaler que la poutre adjacente (cest--dire celle en prolonge-ment de AB et non reprsente sur la figure 1) peut ntre que faiblement chargelorsquon ralise la dalle de la poutre AB en question; la zone de moment ngatif peutstendre alors sur une longueur importante, voir la totalit, de cette poutre adjacente.

Fig. 1 Disposition classique des poutres dun plancher avec dalle mixte

Le cas o la tle profile maintient latralement la semelle suprieure de la poutremtallique avec tout ou partie de la semelle infrieure en compression nest pas couvertpar lEurocode 3 vis--vis du risque de dversement (cf. clause 5.5.2 et Annexe F de [1]).Lobjet de la prsente rubrique est de proposer une solution pratique ce problme, seplaant du ct de la scurit et sappuyant sur une formulation diffrente tire de lanorme britannique BS 59 50 [2].

Fig. 2 Assemblages boulonns semi-rigides des poutres secondaires

Poutresecondaire

Poutresecondaire

Poutreprimaire

BA

BA

DC

5,0

5,0

Poutre secondaire

Poutre secondaire

Solive

Sens des nervuresde tle

Poutreprimaire


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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 65

3

En ce qui concerne les poutres primaires, de type AC, elles peuvent tre attaches auxpoteaux, au niveau de leur me, par des liaisons agissant perpendiculairement lmede ces poteaux, par exemple par lintermdiaire dun gousset soud perpendiculaire-ment lme lorsque celle-ci est enrobe de bton arm et plus souvent par des cor-nires boulonnes et sapparentant des articulations (cf. schma de droite de lafigure 2).

De mme, des cornires boulonnes peuvent tre utilises pour assurer la liaison, detype A, de la solive avec la poutre primaire comme le montre la figure 3.

Fig. 3 Assemblage articul de la solive sur la poutre primaire

Par ailleurs, les nervures de la tle profile tant parallles aux poutres primaires, on nepeut considrer que la semelle suprieure de ces poutres est maintenue par la tle ;seule la ou les solives situes entre les poutres secondaires apportent un entretoise-ment localis aux poutres primaires (points A et B sur la figure 1). Dans ces conditions,les mthodes couramment admises pour la vrification au dversement des poutresmtalliques non maintenues latralement, et donc celle de lEurocode 3, sappliquent.

Au sujet de la dfinition dun critre de flche des poutres mtalliques dun planchermixte lors de la phase de construction, on ne trouve pas vraiment de limite prcise dansles textes normatifs actuels. Ainsi, un commentaire du Document dApplication Natio-nale de lEurocode 4 [3], donn la clause 5.2.1(4), est le suivant :

Pour les poutres non tayes o le niveau de rfrence est la face suprieure de lapoutre, il ny a pas lieu de compter dans la composante 1 de max la flche prise par lapoutre mtallique rsistant seule. Lattention est attire toutefois sur le supplment decharge rsultant de la surpaisseur de bton compensant la flche (effet de mare).Pour mmoire, 1 est la composante de la flche due aux actions de courte dure et maxla flche totale de la poutre mixte (comme expliqu la clause 4.2.2 de lEurocode 3 [1]).En consquence, il y aura intrt limiter raisonnablement leffet de mare au niveaudune poutre porteuse en adoptant un critre similaire celui utilis pour les dallesmixtes (cf. clause 7.3.2(4) de [3]). On conviendra ici que : Sous le poids propre du pro-fil, de la tle et du bton frais, la flche lELS, mi-porte des poutres, reste inf-rieure la plus petite des deux valeurs /250 et 20 mm.

Le plan de cette rubrique se prsente alors comme suit :

On donne tout dabord quelques notions de lanalyse globale lastique dune tra-verse avec assemblages semi-rigides fixs sur des poteaux prsentant une forte rigi-dit flexionnelle.

Solive

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On expose ensuite la mthode de vrification simplifie vis--vis du dversementselon les BS 59 50 qui est propose ici pour les poutres secondaires. On rappelle ga-lement comment la mthode de lEurocode 3 sapplique sans difficults aux poutresprimaires.

Un exemple pratique est trait, pour illustrer les mthodes prcdentes.

Une analyse plus complte est donne, titre indicatif, pour montrer comment leffetde flexibilit des poteaux peut tre pris en compte.

Enfin, quelques considrations sont avances au sujet de la rsistance de la tle parles connecteurs.

2. ANALYSE GLOBALE LASTIQUE DUNE POUTRE

AVEC DES ASSEMBLAGES SEMI-RIGIDES

2,1. Calcul des rotations et moments flchissants au droit des assemblages

On considre la poutre AB de la figure 4, soumise une charge uniformment rpartie ppar unit de longueur et fixe des supports rigides par lintermdiaire dassemblagesde rigidit Sj en rotation. Soit EI la rigidit flexionnelle de la poutre et sa porte.

Fig. 4 Poutre lastique avec assemblages semi-rigides

Dsignant par MAB le moment exerc par lassemblage en A sur la poutre et par A larotation de lextrmit A de la poutre, la relation de comportement lastique de lapoutre est donne par :

MAB = + A , (1)

compte tenu de la gomtrie du problme (B = A).

Le moment exerc sur lassemblage tant MAB, la relation de comportement lastiquede celui-ci scrit :

MAB = Sj A (2)

Des relations (1) et (2), on dduit immdiatement :

A = (3)1

2EI/ + Sj

p2

12

2EI

p2

12

EI,

M, > 0

Sj Sj

A B

p


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5

et

MAB = (4)

noter que les expressions (3) et (4) redonnent bien, la limite, des valeurs classiques.Ainsi :

si Sj 0, A et MAB 0;

si Sj , A 0 et MAB .

2,2. Calcul de la flche mi-porte (Fig. 5)

Fig. 5 Dforme lastique de la poutre

De la relation moment-courbure dans une section quelconque de poutre (dabscisse x) :

= (5)

et de lexpression du moment flchissant :

M(x) = MAB + ( x) , (6)

on dduit par intgration :

EI( A) = MABx (3 2x)

(puisque = A pour x = 0), puis par nouvelle intgration compte tenu de = :

EI (x) = EIAx MAB x3 (puisque = 0 pour x = 0).

x 4

2

p

12x 2

2

ddx

px 2

12

px

2

M(x)

EI

d

dx

)x(

M, > 0

A Bx

)x( > 0A

p2

12

p3

24EI

1

1 + 2EI / (Sj)p2

12

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La flche maximale est donc donne par :

max = (/2) = A MAB + (7)avec A et MAB exprims en (3) et (4).

la limite, on retrouve selon (7) les valeurs classiques de flche. Ainsi :

pour la poutre simplement appuye :

A = , MAB = 0 et max = ;

pour la poutre parfaitement encastre :

A = 0, MAB = et max = .

2,3. Illustration de leffet de liaison semi-rigide

Adoptons par exemple la valeur :

Sj = 6 (8)

pour la rigidit en rotation des assemblages. Pour mmoire, cette valeur est un peu inf-

rieure la valeur limite partir de laquelle une ossature contrevente peut tre

considre nuds rigides (cf. clause 6.9.6.2 de [1]) ; dautre part, cette valeur est assezleve pour conduire par la suite des zones significatives de moment ngatif, adja-centes aux assemblages, et une rduction importante de la flche maximale. Ainsi, lesexpressions (3), (4) et (7) donnent successivement avec la valeur (8) choisie pour Sj :

A = , (9)

MAB = , (10)

et : max = . (11)

La flche est donc rduite dans un rapport de 2,5 par rapport celle de la poutre simple-ment appuye.

p4

192EI

p2

16

p3

96EI

8EI

EI

p4

EI

1

384p2

12

p4

EI

5

384p3

24EI

p4

128

2

8

1

EI

2


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3. MTHODES DE VRIFICATION SIMPLIFIE VIS--VIS DU DVERSEMENT

3,1. Cas des poutres secondaires avec assemblages semi-rigides et maintien

latral de la semelle suprieure

Comme expliqu plus haut, la mthode qui suit est base sur la norme BS 5950-Partie 1[2], plus prcisment sur lAnnexe G de cette norme o il est affirm dailleurs que lamthode se place en scurit. Cette annexe sapplique des poutres ou tronons depoutre maintenus leurs extrmits de manire efficace vis--vis de la torsion (avecentretoisement des deux semelles en acier), la semelle suprieure tant maintenue vis--vis du dplacement latral de manire continue sur toute sa longueur, et la semelleinfrieure tant libre de se dplacer latralement. Pour simplifier la prsentation, seul lecas des poutres section constante est trait ci-aprs, mais il faut signaler que lAnnexeG peut sappliquer galement au cas de poutres section variable et lorsque la positionde la ligne de maintien latral diffre de laxe de la semelle suprieure.

Llancement au dversement de la poutre ou du tronon de poutre est calcul laidede la formule de base suivante :

LT = nt uvt (12)

o :

est llancement /iz de llment entre deux sections droites entretoises vis--visde la torsion (iz correspondant au rayon de giration de la section de poutre autour delaxe faible) ;

u est un paramtre dinstabilit (proche de 0,9) qui, pour les sections symtriques(avec semelles) autour de laxe faible, est donn par :

u = [2Wpl /(Ahs)]1/2 (13)

o A et Wpl sont respectivement laire et le module plastique de la section droite depoutre, et hs la distance entre les centres de cisaillement des semelles ;

vt est un facteur dlancement donn par :

vt = 1 + 2

1/2

(14)

o x est un indice de torsion gal, pour les sections (avec semelles) symtriquesautour de laxe faible, :

x = 0,566hs (A/It)1/2 (15)

o It est linertie de torsion de la section (au sens de St. Venant).

Enfin, nt est un facteur de correction dtermin partir du diagramme de moment deflexion. Comme le prcise la clause G.3.6 de lAnnexe prcite, la valeur de nt peut tredduite de la relation suivante (dont la forme rsulte dune intgrale calcule numri-quement laide de la formule de Simpson) :

nt = [M (1)Sd + 3M (2)Sd + 4M (3)Sd + 3M (4)Sd + M (5)Sd + 2(MS ME)]1/2

(16)1

12Mpl.Rd

x

1

40

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Ici :

M (1)Sd M(5)Sd sont les valeurs des moments exercs respectivement une extrmit, au

quart, la moiti, aux trois quarts et lautre extrmit de la longueur comprise entreles deux sections maintenues en torsion. Toutefois, seuls les moments ngatifs M (i)Sd(cest--dire amenant la semelle infrieure tre comprime) doivent tre considrs etpris en valeur absolue dans la formule (16) ;

Mpl . Rd est le moment de rsistance plastique de la section droite de poutre (par rapport laxe fort), indpendamment de la classe de la section ( noter que cette dernire estprise en considration plus loin, la relation (17)) ;

MS est le maximum de M(2)Sd, M

(3)Sd et M

(4)Sd, et

ME est le maximum de M(1)Sd et M

(5)Sd ;

seules les valeurs positives de (MS ME) doivent tre retenues dans la formule (16).

La figure 6 donne deux exemples dapplication de la formule (16), dune part pour unepoutre assemble de manire semi-rigide deux poteaux intrieurs et charge par lepoids du bton frais, dautre part pour une poutre adjacente assemble un poteauintrieur et un poteau de rive et non encore charge par le bton frais (en gnral, laliaison avec un poteau de rive est considre comme une articulation).

Remarque : lexpression (12) de LT prsente en fait une forme assez similaire lexpression (F-20) de lAnnexe F de [1], en notant que numriquement le terme

1 + 2

0,25

nest pas trs loign de 1 + 2

0,5

et quen flexion uniforme, on

a : 1/C 10,5 = nt = 1.

Une fois llancement LT calcul laide de (12), on peut dduire llancement relatif LT

tel quil est dfini dans lEurocode 3 (clause 5.5.2(5) de [1]), savoir :

LT = (LT /1)w0,5 (17)

o 1 est llancement limite lastique :

1 = (E/fy )0,5 (18)

et o w est le facteur correctif selon la classe de section :w = 1 pour les sections de classe 1 ou 2 ;w = Wel /Wpl pour les sections de classe 3 (o Wel est le module lastique de flexion et

Wpl le module plastique de flexion).

Lorsque la valeur LT ne dpasse pas 0,4, on considre quil nest pas ncessaire de vri-

fier llment vis--vis du dversement (clause 5.5.2(7) de [1]).

Lorsque LT 0,4, il convient de dterminer le moment rsistant de calcul au dverse-

ment laide de la relation :

Mb.Rd = LT (LT)wWplfy /M1 (19)

o LT est le coefficient de rduction pour le dversement (donn aux clauses 5.5.2(2) et(3) de [1]) et o M1 est le facteur partiel de scurit gnralement pris gal 1,10.

x

1

40

x

1

20


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nt = (M (1)Sd + M (5)Sd)0,5

a) Trave intrieure charge par le poids du bton frais

nt = (4M (3)Sd + 3M (4)Sd + M (5)Sd)0,5

b) Trave de rive non encore charge par du bton frais

Fig. 6 Exemples de dtermination du facteur de correction nt

Il est utile de prciser ici que la section de rfrence concerne par Mb.Rd est celle osexerce le moment le plus svre sous flexion ngative (cest--dire M (5)Sd sur les deuxcas montrs la figure 6). En particulier, lorsque lon utilise une analyse globale las-tique ltat limite ultime, le moment rsistant au dversement ne doit pas tre inf-rieur au moment ngatif de calcul le plus svre, considr ici en valeur absolue (parexemple, Mb.Rd M

(5)Sd sur la figure 6.b).

3,2. Cas des poutres primaires articules aux extrmits et sans maintien

latral continu de la semelle suprieure

On revient maintenant au cas des poutres de type AC la figure 1, avec un entretoise-ment localis en A apport par la prsence dune solive (ou ventuellement de deuxentretoisements localiss sil y a deux solives).

1

12MRd

)2(SdM

)5(SdM

A B

)3(SM

)4(SM

Poids de la poutre mtallique et de la tle

Articulation

1

12MRd

)3(SdM

)4(SdM

)2(SdM

)5(SdM

A B

)1(SdM

Assemblagesemi-rigide

Poids de la poutre mtallique, de la tle et du bton frais

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La poutre tant suppose articule aux poteaux, lEurocode 3 (clause 5.5.2 et Annexe Fde [1]), permet en principe de rsoudre le problme sans difficults particulires.

Si la poutre est seulement entretoise mi-trave, le moment critique lastique vis--visdu dversement pour la section de rfrence situe ici mi-trave (donc sous momentpositif) est donn par la formule gnrale de lEurocode 3 :

Mcr = C1 + + (C2zG)20,5

C2zG (20)dans la mesure o la section droite est doublement symtrique (le coefficient C3 ninter-vient pas) et en dsignant, pour les notations non encore prcises, par :

Iz : le moment dinertie de flexion de la section autour de son axe faible ;

Iw : le moment dinertie de gauchissement de la section;

C1 : un facteur qui traduit leffet du type de chargement de la poutre ;

C2 : un facteur qui traduit leffet dstabilisant du chargement vertical lorsque celui-ciest appliqu au-dessus de laxe moyen de la poutre ;

zG : la distance (compte ici positive) entre la niveau dapplication du chargement et lecentre de cisaillement de la section (ici le centre de gravit).

En pratique, dans un souci de simplification, on peut considrer que la poutre est essen-tiellement soumise une charge concentre en A , venant du report des charges desdeux solives situes de part et dautre. Le diagramme du moment flchissant est alorstriangulaire sur la demi-trave 0,5 (Fig. 7), et le tableau F.1.1 de [1] donne la valeur sui-vante du facteur C1 :

C1 = 1,879 (21)

mais il ne propose pas de valeur du facteur C2 ; en fait lEurocode considre implicite-ment dans le tableau en question que les distributions linaires de moment flchissantrsultent de moments dextrmit appliqus au niveau du centre de gravit de la sec-tion impliquant zG = 0, ce qui ne signifie pas pour autant que C2 soit nul. De toute faon,pour la vrification au dversement concerne ici, la valeur de zG est relativement faibledans le mesure o laxe moyen des solives nest que lgrement dcal de laxe moyende la poutre primaire (Fig. 3) et que leffort concentr apport par les solives transite mi-hauteur des cornires boulonnes. Leffet du terme C2zG dans le relation (20) pourradonc tre raisonnablement nglig.

Fig. 7 Diagramme de moment flchissant adopt pour la poutre primaire

AA C

4/PSd

Entretoisementlatral

5,05,0PSd

(0,5 )2GIt2EIz

IwIz

2EIz(0,5 )2


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Une fois calcul Mcr, llancement relatif LT peut tre dtermin son tour par la rela-

tion :

LT = (w Wpl fy /Mcr)0,5 (22)o le facteur w a dj t explicit loccasion de la relation (17).Lexpression (19) du moment rsistant de calcul au dversement Mb.Rd reste toujoursvalable, en soulignant encore une fois que la section de rfrence laquelle ellesapplique est celle mi-trave (section A de la figure 7).

Il va de soi que lon procderait de manire analogue ce qui prcde pour le cas dunepoutre primaire qui serait entretoise au tiers et aux deux-tiers de sa trave par la pr-sence de deux solives; le tiers de trave central serait videmment le plus critique vis--vis du dversement puisque soumis au plus grand moment flchissant, de surcrot uni-forme, amenant utiliser dans (20) la valeur classique :

C1 = 1. (23)

4. EXEMPLE DAPPLICATION

La configuration de maille de plancher est celle de la figure 1 o :

les poutres primaires, de porte l = 6 m, sont des profils IPE 360 en acier S235;

les poutres secondaires et la solive, de porte l = 9 m, sont des profils IPE 300 enacier S235;

la tle mince nervure utilise est de type HI-BOND 55, dpaisseur 1 mm, en vue decouler une dalle dpaisseur totale 120 mm.

Les poteaux sont supposs ici suffisamment rigides en flexion (cet aspect sera revu auparagraphe 5).

La rigidit des assemblages des poutres secondaires aux poteaux est supposeatteindre la valeur mentionne en (8), les poutres primaires tant supposes articulessur les poteaux.

4,1. Vrification des poutres secondaires (type AB)

Les charges prendre en compte dans les calculs sont les suivantes (ramenes desvaleurs par mtre linaire) :

charges permanentes :

poids du bton frais : G = (0,12 0,055/2) 3 25 = 6,94 kN/m

poids de la tle nervure : G = 0,15 3 = 0,45 kN/m

poids du profil en acier : G = 0,42 kN/m;

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charge variable (estime pour la phase de construction) :

Q = 0,5 kN/m2 3 m = 1,5 kN/m.

La combinaison de ces charges conduit pour les vrifications lELS et lELU auxvaleurs de charges rparties suivantes :

pSd(ELS) = 6,94 + 0,45 + 0,42 + 1,5 = 9,31 kN/m;

p(Sd)(ELU) = 1,35(6,94 + 0,45 + 0,42) + 1,5 1,5

= 12,80 kN/m.

Le moment rsistant de calcul de la poutre IPE 300 (de classe 1 en flexion) est gal :

Mpl.Rd = Wpl fy /Mo = 2 314 103 235/1,0 Nmm= 147,6 kN m.

Il est intressant de noter que si les liaisons en A et B taient de simples articulations, lavrification en rsistance serait satisfaite puisque :

pSd(ELU) 2/8 = 12,8

92/8 = 129,6 kNm 147,6 kNm,

mais la flche (sous charges non pondres) serait excessive :

max = =

= 45,3 mm,

soit environ 1/200e de la porte et donc bien suprieure aux 20 mm exigs vis--vis deleffet de mare (cf. paragraphe 1).

La prise en compte de la semi-rigidit des liaisons en A et B permet dviter ltayage dela poutre puisque, conformment (11), on a alors :

max = = 45,3 mm = 18,1 mm.

Par ailleurs, la vrification en rsistance flexionnelle de la poutre est trs largementsatisfaite ; conformment (10), on a le mme moment flchissant (au signe prs) mi-trave et chaque liaison :

MSd = = 12,8 92/16 = 64,8 kNm 147,6 kNm

(mais ce type de vrification deviendrait plus critique au stade dfinitif de construction,non tudi dans la prsente rubrique).

noter que, par cohrence avec lanalyse globale lastique utilise dans ce calcul lELU avec une rigidit initiale en rotation Sj des assemblages suppose resterconstante, il semblerait opportun de confrer ces assemblages un moment rsistantde calcul suprieur (cf. figure 6.9.8 de [1]), de lordre de :

Mj, Rd 64,8 kNm = 97,2 kNm,

cest--dire de lordre de 0,65 fois le moment plastique de calcul de la poutre, ce qui esttout fait ralisable avec des assemblages suffisamment boulonns par platine ou parcornires, du type de ceux reprsents la figure 2.

3

2

pSd(ELU) 2

16

2

5

pSd(ELS) 4

EI1

192

9,3 94 1012

2,1 105 8356 1045

384

pSd(ELS) 4

EI5

384


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Enfin, il reste vrifier la poutre vis--vis du risque de dversement. La semelle sup-rieure tant maintenue par la tle nervure, la mthode expose en 3.1 peut sappli-quer (en notant que seulement une longueur de 15 % de la trave, chaque extrmit,est sous flexion ngative) :

nt = 2 0,5

= 0,271

= /iz = 9000/33,5 = 268,7

u = 0,5

= 0,5

= 0,90

x = 0,566hs (A/It)0,5 = 0,566(300 10,7) 0,5

= 27,2

/x = 9,88.

Do :

LT = = 35,3.

Llancement limite lastique valant :

1 = (210000/235)0,5 = 93,9,

llancement relatif au dversement est donc gal :

LT = 35,3/93,9 = 0,375,

donc est infrieur 0,4. On est en droit de considrer quil ny a pas de risque de dver-sement.

4,2. Vrification des poutres primaires (type AC)

La charge concentre mi-trave de la poutre primaire a pour valeur :

ltat limite de service :

P Sd(ELS) = 9 9,31 = 83,8 kN;

ltat limite ultime :

P Sd(ELU) = 9 12,80 = 115,2 kN.

Vrification de la flche :

Avec le moment dinertie I = 16270 104 mm4 dun IPE 360, on a :

max = = = 11,0 mm,

valeur qui est bien infrieure min (/250, 20 mm).

83,8 103 63 109

48 2,1 105 16270 104PSd

(ELS) 3

48EI

0,271 0,90 268,7

[1 + 9,882/40]0,5

5380

194700

4 314 103

5380(300 10,7)

2WplAhs

64,8

147,6

1

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Vrification de la rsistance flexionnelle :

Le moment rsistant de calcul de la poutre IPE 360 (de classe 1 en flexion) est gal :

Mpl.Rd = 2 510 103 235/1,0 Nmm= 239,7 kNm

Le moment flchissant maximal MSd est bien infrieur ce moment rsistant :

PSd(ELU) /4 = 115,2 6/4 = 172,8 kNm 239,7 kNm.

Vrification vis--vis du dversement :

On applique la formule (20) avec la valeur (21) du facteur C1, en ngligeant le terme enC2 et avec :

Iz = 1043 . 104 mm4 ;

Iw /Iz = hs2/4 = (360 12,7)2/4 = 30154,3 mm2 ;

It = 362000 mm4.

Do la valeur du moment lastique critique ( mi-trave) :

Mcr = 30154,3 + 0,5

= 928583 103 N mm = 928,6 kNm

et celle de llancement relatif :

LT = (239,7/928,6)0,5 = 0,51.

Le moment rsistant de calcul au dversement se dtermine alors comme suit (confor-mment la clause 5.5.2 de [1]) :

LT = 0,5[1 + 0,21(0,51 0,2) + 0,512] = 0,663

LT = = 0,920

Mb. Rd = 0,920 239,7/1,10 = 200,5 kNm.

Le moment flchissant maximal MSd = 172,8 kNm est donc infrieur Mb.Rd. Le risquede dversement est exclu.

5. TUDE DE LEFFET DE FLEXIBILIT DES POTEAUX SUR LA VRIFICATION

AU DVERSEMENT DES POUTRES SECONDAIRES

Ltude que lon prsente maintenant est donne titre simplement indicatif pour mon-trer comment il est possible dintroduire un effet de flexibilit des poteaux dans les cal-culs dune trave intermdiaire. Le modle dossature est seulement 3 traves avec

1

0,663(0,6632 0,512)0,5

30002 80800 362000

2 2,1 1043 1091,879 2 2,1 1043 109

30002


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des assemblages supposs semi-rigides pour les deux poteaux intrieurs, tous lesautres assemblages tant articuls comme cela est indiqu la figure 8. La trave cen-trale est suppose charge par le bton frais, les traves de rive ne supportant que lespoids propres des profils et de la tle ; on notera par p1 la charge uniforme par unit delongueur applique aux traves de rive, et par p2 celle applique la trave intrieure.Le cas dune trave de rive charge par le bton frais serait galement vrifier, mais cenest pas vraiment lobjet du prsent paragraphe.

Fig. 8 Modle dossature avec poteaux flexibles

La hauteur et le moment dinertie en flexion des poteaux sont nots respectivement cet Ic.

En quelque sorte, le modle de la figure 8 se veut plus labor que celui de la figure 4,lobjectif tant davoir une ide sur lassouplissement de la condition de dversementpour la trave intrieure AB et sur limportance du risque de dversement pour les tra-ves de rive AG et BH.

En dsignant au nud A par c la rotation du poteau (suppos videmment continu),par j(AB) la rotation de lassemblage semi-rigide droite de A , et par j(AG) celle delassemblage semi-rigide gauche, on dispose des relations suivantes (voir figure 9pour les conventions de signe) :

Fig. 9 Conventions de signe pour les moments et rotations

C

G B

)AG(j

)AB(j

+

A

P1

G A B HI, I,

I,

Ic, c

Ic , c P2P1

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Relations de comportement lastique des poutres :

MAB = p2 + (c + j(AB )) (24)

MAG = p1 + (c j(AG)) (25)

Relations de comportement lastique des assemblages :

MAB = Sj j(AB ) (26)

MAG = Sj j(AG) (27)

quilibre en moments au nud A et comportement lastique des poteaux :

(MAB + MAG) = c (28)

Lensemble des relations (24) (28) se ramne aisment au systme des 3 quations ci-aprs, en c, j(AB ) et j(AG ) :

c + 1 + j(AB ) p2 = 0

c 1 + j(AG) + p1 = 0 (29)

5 + 6 c + 2j(AB ) 3j(AG) + (1,5p1 p2) = 0

Pour poursuivre ltude, il convient dadopter des valeurs numriques. Avec lexempletrait en 4, on a dj :

p1 = (0,42 + 0,45) 1,35 = 1,175 kN/m; p2 = 12,80 kN/m

= 9 m et Sj = 6EI /.

Pour les poteaux, on va considrer les valeurs :

c = 3 m et Ic = 2I correspondant des poteaux relativement souples (par exemple enprofil HEA 300).

Le systme (29) scrit alors :

Sa solution est :

c = 0,74 . 10 3 rd, j(AB ) = 5,37 . 10 3 rd et j(AG) = 0,91 . 10 3 rd.

c + 4j(AB ) 22,2 . 10 3 = 0

c 3j(AG) + 2,0 . 10 3 = 0

41c + 2j(AB ) 3j(AG) 38,2 . 10 3 = 0

3

12EI

IcI

c

3

24EI

Sj3EI

3

24EI

Sj2EI

6EIcc

3EI

2

8

2EI

2

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conduisant aux valeurs suivantes des moments exercs par le nud A sur les poutres :

MAB = + (0,74 + 5,37)103 Nmm

= 62,6 kNm,

MAG = + (0,74 0,91)103 Nmm

= 10,9 kNm.

Le moment de flexion ngatif pour la poutre AB nest donc que trs lgrement rduit,passant de 64,8 kNm 62,6 kNm par suite de leffet de flexibilit des poteaux. Lavrification vis--vis du dversement est automatiquement satisfaite puisquelle ltaitavec des moments ngatifs trs lgrement plus levs en 4.1.

En revanche, la rotation du poteau c augmente lgrement le moment flchissantngatif la valeur MAG = 10,9 kNm de la poutre de rive alors que ce mme momentavec poteaux rigides natteignait que la valeur :

p1 = = 7,9 kNm.

Toutefois, il est immdiat de contrler le risque de dversement de cette poutre de rivedont les moments flchissants en trave, tels que dfinis la figure 6b, sont lessuivants :

MSd(2) = 10,9 + = + 6,2 kNm

MSd(3) = 10,9 + = + 6,4 kNm

MSd(4) = 10,9 + = + 0,7 kNm

MSd(5) = 10,9 kNm.

Le facteur nt de la relation (16) naurait alors que la valeur :

nt = 0,5

= 0,08.

Cette valeur de nt tant nettement infrieure celle trouve en 4.1 pour la traverse inter-mdiaire de mmes caractristiques, le risque de dversement est exclu.

Remarque au sujet de la flche ( lELS)

Si la flexibilit des poteaux na pas rendu plus critique le risque de dversement des tra-verses, on peut penser qu lELS la flche max de la traverse centrale va tre suprieureaux 18,1 mm trouvs en 4.1.

Pour calculer la nouvelle flche, on peut utiliser toujours lexpression (7) dans laquelle ilconvient de donner A , MAB et p les valeurs appropries lELS. En remarquant que

10,9

12 147,6

1,175 6,75 2,25

2

3

4

1,175 92

8

1

2

1,175 2,25 6,75

2

1

4

1,175 92

8 1,5

1

1 + 3EI /(Sj)

2

8

3 2,1 105 8356 104

9 1031,175

92 106

8

2 2,1 105 8356 104

9 10312,8

92 106

12

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les valeurs p1(ELS) et p2

(ELS) des charges de la figure 8 se dduisent pratiquement de p1(ELU)

et p2(ELU) par un facteur multiplicatif de 0,74, les solutions trouves prcdemment pour

c , j(AB) et MAB peuvent tre utilises sans avoir rsoudre de nouveau le systme (29).On a ainsi :

A = (c + j(AB)) 0,74 = (0,74 + 5,37) 103 0,74 = 4,52 103 rd;

M AB(ELS) = M AB

(ELU) 0,74 = 62,6 0,74 = 46,324 kNm.

Do, daprs (7) :

max = 4,52 103 4500

[ 46,324 106 92 106/8 + 9,31

94 1012/128] = 19,9 mm.

On constate donc que cette flche reste acceptable puisque satisfaisant encore le critremax min (/250,20 mm)

6. VRIFICATION DE LA FIXATION DE LA TOLE PROFILE

On se propose de montrer, pour terminer cette rubrique, que les efforts susceptiblesdtre engendrs sur les fixations de la tle la semelle suprieure de la poutre secon-daire (de type AB) restent tout fait acceptables en comparaison de leurs rsistances,permettant dassurer un maintien latral continu et efficace de cette semelle.

Les fixations sont assures par les connecteurs acier-bton devant fonctionner ultrieu-rement au sein du plancher mixte. En pralable lanalyse des efforts, il est ncessairedvaluer les rsistances de la tle seule au droit de ces connecteurs.

Si lon considre un goujon soud travers la tle, deux rsistances sont envisageressentiellement ici concernant la tle, que lon peut valuer sur la base des tableaux 8.4et 8.2 de [4] (les rsistances du goujon proprement dit en cisaillement et traction tantnettement suprieures celles de la tle) :

la rsistance de la tle en pression diamtrale :

Fb.Rd = 2,5 fu dt /M2, (30)

soit numriquement pour une tle dpaisseur t = 1 mm et en acier de rsistance ultimefu = 360 N/mm2, un goujon avec un diamtre de ft d = 19 mm, un coefficient de pince = 1,0 et un coefficient partiel de scurit M2 = 1,25 :

Fb.Rd = 2,5 360 19 1/125 N = 13,7 kN ;

la rsistance de la tle larrachement par traction dans laxe du goujon :

Fp.Rd = 1,1 d0 t fu /M2 (31)

o d0 est le diamtre du ft du goujon augment du collier de soudure (d0 1,10d ), soitnumriquement :

Fp.Rd = 1,1 1,1 19 1 360/1,25 N = 6,6 kN.

1

2,1 105 8356 104


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Si lon considre maintenant un clou en acier au carbone, enfonc au pistolet car-touche et utilis pour la fixation dune cornire nervure froid de type HILTI (avec 2clous en pied), les rsistances Fb.Rd et Fp.Rd deviennent (cf. Tableau 8.3 de [4]) :

Fb.Rd = 3,2fu dn t /M2 (32)

o dn est le diamtre du clou, soit numriquement :

Fb.Rd = 3,2 360 4,5 1/1,25 N = 4,1 kN;

Fp.Rd = dw tfu /M2 (33)

o dw est le diamtre de la rondelle dappui du clou, soit numriquement :

Fp.Rd = 15 1 360/1,25 N = 3,2 kN.

Ces rsistances sont multiplier par 2 pour une cornire HILTI.

Revenant alors au problme du maintien latral de la semelle suprieure, on peut(pour simplifier les calculs) considrer le cas trs dfavorable o la semelle infrieureserait uniformment comprime sur la longueur de la poutre, le dplacement lat-ral de cette semelle tant partiellement empch par la flexion lastique de lme,celle-ci entranant une certaine distorsion de la section droite du profil comme illus-tr la figure 10. La tle profile est videmment suppose continue au passage duprofil et lon peut admettre, pour simplifier (et pour aller dans le sens de plusgrands efforts sur les connecteurs), que la rigidit flexionnelle de cette tle est nette-ment plus leve que celle de lme (un calcul rapide montrerait ici quelle est 3 4fois plus forte).

Lhypothse dune flexion ngative uniforme de la poutre est videmment svre,puisque lon notera que lutilisation dassemblages dont la rigidit en rotation est don-ne par (8) conduit navoir pratiquement que 15 % de la trave sous flexion ngative chaque extrmit. La rigidit k de lme par unit de longueur de poutre (Fig. 10) estgale :

k = , (34)

Fig. 10 Flexion de la semelle infrieure

bf

hs

v

tw

Tle nervure

NN

v

v0

Vue en long

Vue en section

k

Et 3w4(1 v2)hs3

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soit numriquement, avec un IPE 300 :

k = = 0,8528 N/mm2.

La charge critique de la semelle par flexion transversale est donne par :

Ncr = EIfz m2 + (35)

o m est le nombre de demi-ondes qui minimise le terme de droite [5]. Le momentdinertie de flexion de la semelle seule tant gal :

Ifz = = 3009375 mm4,

on a :

= = 90,892

et lon vrifie aisment que le nombre entier m = 3 est celui minimisant (35). Do :

Ncr = 9 + = 1470695 N = 1470,7 kN.

Soit v0 le dfaut de rectitude de la semelle, gnralement admis comme /500 lorsquelinstabilit ne comporte quune demi-onde (m = 1) ; dans le cas prsent (avec m = 3), ilsemble normal de nadmettre quun dfaut v0 = /1500. Laccroissement de la dformesous laction de leffort axial maximal N tant :

v v0 = v0 , (36)

les efforts reprendre au niveau de la fixation de la semelle suprieure (par unit delongueur de poutre) sont alors les suivants :

effort horizontal :

F = k (v v0) = kv0 ; (37)

couple :

C = Fhs. (38)

Numriquement, avec le moment maximal de 64,8 kNm obtenu en 4.1, on obtient :

N = = 223989 N = 224 kN,

N/Ncr = 224/14707 = 0,152

64,8 106

289,3

N /Ncr1 N /Ncr

N /Ncr1 N /Ncr

90,892

92,1 105 3009375 2

90002

0,8528 90004

4 2,1 105 3009375

k4

4 EI

10,7 1503

12

k4

m24 EIfz

2

2

2,1 105 7,13

4 0,91 289,33


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21

et donc :

F = 0,8528 = 0,917 N/mm.

Il est clair que la rsistance offerte par la tle en pression diamtrale au droit desconnecteurs est trs suprieure leffort horizontal F. Ainsi, mme en envisageant le casextrme dune seule cornire HILTI tous les 800 mm (espacement maximal autorispour les connecteurs) et en adoptant un coefficient de fonctionnement de 2 pour viterque la tle ne se dforme trop, la rsistance par unit de longueur aurait encore lavaleur :

FRd = 4100/800 = 5,1 N/mm.

En ce qui concerne la reprise du couple C par unit de longueur, valu en (38), enadoptant un modle de pied de biche sappuyant lextrmit de la semelle, lecouple rsistant larrachement serait :

CRd = (Fp.Rd /2) (bf /2)/800 = 3300 75/800 = 309,4 N,

en envisageant la situation dfavorable dun seul goujon tous les 800 mm (toujoursavec un coefficient de fonctionnement de 2). Or le couple maximal exerc nest jamaisque de :

C = 0,917 289,3 = 265,3 N.

En conclusion, on est en droit de considrer que la rsistance offerte par la tle fixe parles connecteurs est assez nettement suprieure leffort de stabilisation exig vis--visdu dversement (le cas dune semelle suprieure comprime nest mme pas envisa-ger puisque F aurait pratiquement la mme valeur et C serait nul).

RFRENCES

[1] Eurocode 3 et document dapplication nationale : Calcul des structures en acier Partie 1-1 : Rgles gnrales et rgles pour les btiments Norme AFNOR P22-311 Dc. 1992.

[2] BS 5950 Structural use of steelwork in building Part 1 Code of practice fordesign in simple and continuous construction : hot rolled sections. British Stan-dards Institution, London, 1990.

[3] Eurocode 4 et document dapplication nationale : Conception et dimensionne-ment des structures mixtes acier-bton Partie 1-1 : Rgles gnrales et rglespour les btiments Norme AFNOR P22-391 Sept. 1994.

[4] Eurocode 3 Part 1.3 Design of steel structures Cold formed thin gauge mem-bers and sheeting Revised version April 1992.

[5] Timoshenko S.-P. Thorie de la stabilit lastique. Dunod, Paris, 1966.

[6] Anderson D., Aribert J.-M., Bode H., Huber G., Jaspart J.-P., Kronenberger H.-J.and Tschemmernegg F. Design of Composite Joints for Buildings. E.C.C.S.Document n 109, 1999.

0,152

1 0,152

9000

1500

stabilité au déversement de traverses articulées ou semi-continues d’ossatures mixtes...

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