Solutions analytiques en dynamique non-lineaire avec

couplage fluide-structure

Romain Mege

To cite this version:

Romain Mege. Solutions analytiques en dynamique non-lineaire avec couplage fluide-structure.Autre. Universite Paris-Est, 2013. Francais. <NNT : 2013PEST1126>. <pastel-00971808>

HAL Id: pastel-00971808

https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00971808

Submitted on 3 Apr 2014

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

ès

Prés♥té ♣♦r ♦t♥r r

❯

❯❱ P

♣été é♥q s tér① t s trtrs

Prés♥té ♣r

♦♠♥

t tès

♦t♦♥s ♥②tqs ♥ ②♥♠q s strtrs ♥♦♥♥érs ♦♣strtr

♦t♥ é♠r ♥t r② ♦♠♣♦sé

rr Pr r Prés♥t r♦t♦ Pr r ♣♣♦rtr P♦t♦♣♦♦s r ♣♣♦rtr

Pr Pr r ①♠♥tr r♦♥ Pr r ①♠♥tr

♦rs♦ ①♠♥tr ♦rt ①♠♥tr

r ❱ r rtr tès

s ♠tèrs

♥tr♦t♦♥ t tès ♦♥t①t ♦

♦rt é♦t♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ r♦ss♠♥t s ♣r♦é♠tqs ♥r♦♥♥♠♥ts ♦t♦♥ r♦ss♥t s s♦♥s é♥rétqs ♠♦♥①

❯♥ s♦♥ r♦ss♥t sérté P♦s♦♣ st♦♥ rsq s ♥trs érs Pr♦t♦♥

trté r♥çss P ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s éq♣♠♥ts s P ♦♥s♦♥

s râtrs st♦ ♦♠sts sés sr♣t♦♥ s râtrs

♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrs ss♥ts ♠♠rés s♦♠ss à ♥ sés♠q♦♥q s ♠ét♦s ts ♠♥s♦♥♥♠♥t

é♦rs é♦♣♣és ♥s tt tès é♦r ♦♣ strtr é♦♣♣é ét♦ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q ♥♦♥♥ér

♣♣t♦♥s ♣♦sss ① trs ♦♠♥s é♥ P♦♥ts ♥♥s s ♣s à st♦♥ rt♥rs rs st♦ rs ♥ ♠ç♦♥♥r ♥t♥♥ t sérté s ♦rs ①st♥ts

r♥st♦♥ tès

t t ♠♦ést♦♥ ♥tért♦♥ strtr ♥tr♦t♦♥ é♠♥ts té♦r

♦♠rs ♠♥s♦♥♥s ❱rs ♠♥s♦♥♥s qt♦♥s s②stè♠ ss ♦té ét♦

t ♥ ♠♦è ssq ♦♣ strtr ♦♣ ♥tr ts♥♥s ♦♥♥trqs ét♦ rt③ sr♣t♦♥ é♦♠étrq

s ♥ éqt♦♥ s②stè♠ ♦t♦♥s ♠♦è rt③

♥♠♥t réér♥t t ♣♦ssé r♠è é♥érsé qt♦♥s éqr s②stè♠ ♥s ♥ réér♥t é♥ qt♦♥s éqr s②stè♠ ♥s ♥ réér♥t ♥♦♥é♥ é♥érst♦♥ à ♠♥s♦♥s é♥érst♦♥ ♣♦r ♥ s②stè♠ à strtrs é♥érst♦♥ s②stè♠ ♦♥t♥

♦t♦♥s ♥②tqs ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès tt rt t ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès ♦♥♥trqs t ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès ♥♦♥♦♥♥trqs ♦♠♣rs♦♥ s ér♥ts ♠♦ès

♦t♦♥s ♣s♦♥②tqs ♦♣ ♥ qr sr♣t♦♥ ♠♦è ♦ést♦♥ ♥♠st♦♥ é♥r t♦t étr♠♥t♦♥ s ♠trs ♦♣ strtr

éstts éstts ♣rss♦♥ sss ♠♦è ♦♣ strtr

♦♥s♦♥

t ♥ strtr ss♥t s♦s r♠♥t ss♠q tr♠♥s♦♥♥ ♥tr♦t♦♥ ②♣♦tèss ét

♦ést♦♥ r♦tt♠♥t ②♣♦tès ♥♦♥s♠♥t ♥① ss♠qs

t ♥ ♣♦tr ss♥t sr♣t♦♥ ♠♦é s ♥ éqt♦♥ ♣r♦è♠ Pr♦t♦♥ s éqt♦♥s sr s ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr

sè t é♥t♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré és♦t♦♥ ♣r♦è♠

é♥érst♦♥ à ♥ s②stè♠ ♦♠♣è① ♦♥s♦♥

éstts ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♣é strtrs ♠♠rés ss♥ts ♥tr♦t♦♥ ♣♣t♦♥ à s s s♠♣s

ss ♣♦♥t ♠♠ré ss♥t ②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♠ré ss♥t

Pr♦♣♦s ♠♣♦rt♥ts ♥ ♥tr♦t♦♥ s réstts Pr♠ètrs s s♠t♦♥s

②♣♦tèss sr strtr r♠♥ts ss♠qs ♦♥ts r♦tt♠♥t ②♣♦tèss ♦♣ strtr

❱t♦♥ ♠♦è ♥②tq ♥ s♥ ♦♣ strtr éstts ♠♦è ♠ss ss♥t s♥s ♦♣ strtr éstts ♠♦è ♠sssrss♦rt s♥s ♦♣ strtr éstts ♠♦è ♣♦tr s♥s ♦♣ strtr

❱t♦♥ ♠♦è ♥②tq ♥ ♣rés♥ ♦♣ strtr ♠♦ésé ♣r s ♠trs ♠sss ♦tés ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr ♣r

♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♠sssrss♦rt ss♥t ♦♣ strtr

♣r ♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r

♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♥②tq ♥ ♣rés♥ ♦♣ strtr ♠♦ésé

♣r s ♠trs ♠sss ♦tés ♣♥s tst♦♥ é♦♠étr éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr

♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ♥tré (0, 0)

éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ôté (0.1, 0)

éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ♦♥ (0.1, 0.1)

♦♥s♦♥

♦♥s♦♥ ♦♥t♥s tès ❱♦s ♠é♦rt♦♥ t rrs ♦♠♣é♠♥trs

♠é♦rt♦♥ s ♠♦ès ts ♦t♦♥s ♥②tqs ♥ ②♥♠q ♥♦♥ ♥ér ♦♣é strtrs

♥é♣♥♥ts Prs ♥ ♦♠♣t s♠♥t ♥s s s ♠sss ♦tés ♥♦

t♦♥s ♥rt ♦té

rt P❱P

rt ♦♥

♦tsés ♦♣ strtr s♦t♦♥s ♥②tqs ②♥♠q ♥♦♥♥ér tst♦♥ é♦♠étr tst♦♥ ♦♣ ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés

és♠é

ss s ♥① ♠♥s♦♥♥♠♥t ss♠q st ♥ ♥éssr ♠tr sr♠♥ts ♥tr♥s ♥s s strtrs ♥♦t♠♠♥t ♥ ts♥t s s♣♦sts ss♥ts ss♣♦sts ♣♦♥♥♥t s ♦rts ♥tr♥s ♥ é♥♥t ♥ ss♠♥t strtr ♥t♣♥♥t ♥éssr st♠r ♠♣t s é♣♠♥ts ♦r♣s r ♥♦t♠♠♥t ♣♦rs strtrs st♦és ♥s s résr♦rs ♥s s st ♥éssr ♣ré♥r s ♠♣ts♥tr strtr ss♥t t s ♦rs résr♦r ♣♦r ♦♥trôr s rsqs t Pr♠s strtrs ss♥ts ♠♠rés ♦♥ tr s ♣♦♥ts s strtrs ôtèrs ♥ ♠ç♦♥♥rs rtrs st♦ ♦♠st ♥ér

s éqt♦♥s ②♥♠q ss♦és ♦♠♣♦rt♠♥t s strtrs s♦♥t ♥♦♥♥érs t♥ésst♥t tst♦♥ s♠t♦♥s ♥♠érqs ♦ûtss ♥ t♠♣s t ♥ ♣r♠tt♥t♣s r s éts s♥sté r♣s ♥ ♣r♦♣♦s ♦♥ ♥ ♠ét♦ rés♦t♦♥ qs♥②tq s éqt♦♥s ♥ é♦♣♣♥t ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ét♦♥ ♥②tq s♠trs ♠sss ♦tés ♦♣ strtr ♥s ♥ s♦♥ t♠♣s rés♦t♦♥qs♥②tq ss♠♥t ♥ strtr q♦♥q ♠♠ré ♥s ♥ ♥tst♦♥ é♦♠étr ♠s

s réstts ♦t♥s ♣rés♥t♥t ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ s s♠t♦♥s ♥♠érqs t♦r♥t ♥ t♠♣s qs♠♥t ♥st♥t♥é ♦♠♣t s éts ♣r♠ètrqs ♦st♦stqs s strtrs

②♦rs strtr ♥trt♦♥s ♥②t s♦t♦♥s ♥♦♥ ♥r ②♥♠s ♦♠tr ♣t♥ strtr ♥trt♦♥ ♣t♥ ♠♠rs ♥♠♦s

strt

s t ss♠ ♦♥s r ♥rs♥ ♥ ♦r♥ t♦ t r♥t rt♦♥s rr♥rtq s♥ t s ♦ s♥ s ♥ strtrs s ♦♠♥ ♠♦r ♦♠♠♦♥ ss ♠tt t ♥tr♥ ♦rs ② rt♥ r ♦② s♥ t s t♥ ♥ssr② t♦st♠t t ♦ s♣♠♥t ♦ t strtr s♣② ♦♥r♥♥ strtrs tt r♠♠rs ♥ rsr♦r ♥ ts s t s♣♠♥t ♠st st♠t ♥ ♦rr t♦♣r♥t ♠♣ts t♥ t s♥ strtr ♥ t ♦♥rs ♦ t rsr♦r ❲ ♥ ♥s strtrs ♥ rs ♦st strtrs ♥ r ♥ ♠s♦♥r② ♦r ♥ t ♥r ♥str②t t ♥rtr st♦r rs

♦r♥♥ qt♦♥s ♦r t ♦r ♦ ts strtrs r ♥♦♥ ♥r ♥ ♠st s♦ s♥ t♠♦♥s♠♥ ♦♠♣tr s♠t♦♥s r ♥♦t t ♦r st♦st st② r♠t♦ ♦♥ssts ♥ rst② t♥ ♥②t② t ♠sss ♦ t strtr ♥trt♦♥ s♦♥② s♠♥②t s♦♥ ♦ t ♦r♥♥ qt♦♥s ♥♥ t ♣t♥♦ t ♠♥s♦♥s ♦ t ②rs srr♦♥♥ t s♥ strtr

rsts ♦ ts ♥ ♠t♦ r ♥ ♦r♥ t t ♥♠r s♠t♦♥s ♥ ♥ ♦t♥ ♥ s♦rt t♠ ♦r s♦♥s ♦rs t ♣♦sst② t♦ ♠ st♦st♥②ss ♦ t ♥♦♥ ♥r ♦r

♠r♠♥ts

tt tès été résé ♥s ♥ ♦♥t①t t♦t à t t②♣q t ♥rt ♣s ♣ êtr♥sé s♥s s♦t♥ t ♥♥ rt♥s ♣rs♦♥♥s q s♦t très s♥èr♠♥tr♠rr

r r ♠♦♥ rtr tès q s ♣r♠r ♠ ♠♦♥trr q rr♥étt ♣s ♥q♠♥t ♥ tr strt ♥ ♠s ♥ ♥ tr ♦♣ért♦♥♥♦t ♥s q rétté té t rést♦♥ ♥ ♥t ♥ ♣♣r♠♦r

♥ rr Prés♥t é♣rt♠♥t ♦ s P♦♥tsPrs ♣♦r♥♥ q sr ♠♦♥ ♣r♦rs ♣r♦ss♦♥♥ ♣s ♠♦♥ ♣r♠r ♦r ♥ t♥tqéè ♥s é♣rt♠♥t sqà ♦r s ♦♥ss ♦♥t t♦♦rs étéérés t tt tès ♥rt ♠s ♣ ♦r ♦r s♥s ss ♥tr♥t♦♥s réèrs

♥r♥ç♦s r♦♥ rtr é♣rt♠♥t ♦rt♦r r ♦s P♦♥tsPrs ♣♦r ♦r ♣té ♥s s♦♥ éq♣ ♥ ♦t♦r♥t ss t②♣q t♦r ♠té ♠ r ♣rt♣r à s ♣r♦ts ♦♥strt♦♥s rés

r③♦ r♦t♦ rtr ♦♥t ♦rt♦r P ♣♦r ♠♦r ♥♦♥t♦ ♥s s♦♥ éq♣ ♠ ♣r♠tt♥t ♥s ♦♥srr t♠♣s à rr♥ ♣rè ♠s ttés à ♦ s P♦♥ts

r ♠♠ rtr s éts ♦ s P♦♥tsPrs ♣♦r ♠♦r♦♥♥é ♣s rtés ♥s ♠ st♦♥ t♠♣s t ♦r s ♠s ♥és à st♥

s ♠♠rs ♠♦♥ r② tès ♣♦r r ♣rt♣t♦♥ à tt ét♣ ♠♣♦rt♥t ♠ rrèr

♥ Pr P é♦②♥♠q t trtr ♣♦r ♠♦r ♦♥♥é ♣ss♦♥ ②♥♠q s strtrs

ss♥ ♦③ ♠s rst♥ t ♦♥ ♠♠rs éq♣ é♣rt♠♥t ♣♦r qté r tr q♦t♥ t r s♦t♥ ♥s t♦ts s é♣rs sr♥s♣♥♥t rést♦♥ tt tès

♦♥♥s t♥♦ t rtr é rrs éq♣ t ②r ♦t rr ♣♦r s sss♦♥s r♥st♦r♠♥ sr s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣r♦è♠s♦♠♣①s t s ♥ts ♣ré♣rt♦♥ ♠♦ é♥q s trtrs

s ♠♠rs t s t♥♥s éq♣ ♣♦r r ♠té s ♠♠rs éq♣ s ♥t s ♣r♥ts Ps t P♣♣ ♣♦r rs ♥♦r♠♥ts t rs ♣rés♥s t♦t ♦♥ s ♥♥és à trrs s ♦s t s tés

♦♥ rèr t s ♠♠ ①♥r t é♠♥ ♣♦r r ♥s rét♦♥ ♠♥srt ♥ ♦r ♦r t s ♦rrt♦♥

r♥♠èr ♦♥q q s s♦t♥r ♠♦♥ ♦rt rr ♣r s ♦qs ♥sts ♣♦r t trs ♠ts éts ♥éssrs à ♣r♦t♦♥ s♥tq qté

♥♥ ♣♦r ss ♠♦♠♥ts ét♥t s rés t ♣r♦♣s à ♣r♦t♦♥ s♥tqà étr ♦ s P♦♥ts

s ér♦♣♦rts Prs r♥ ♥ ❨♦r ♦♥ ♦♥ ♦r ♥t♠♥t ♠s às♣♦st♦♥ s ss tt♥t ♠ ♣r♠tt♥t rér s ♣rts ♠ tès

s rs Prs ②♦♥ rs ré♥s ♦♥rs r♦ trs♦r♠str♠ ♦r ♥t♠♥t ♠s à s♣♦st♦♥ s ss tt♥t ♠ ♣r♠tt♥t rér s ♣rts ♠ tès

s ♦♦♦s é♠ ♥r♥ t ② ❨♥♥ ♥♠♥ ♦r♥t tr♥ s

♣♦r ss s♦rés ét♥t t ♦tr ♣rés♥ réèr à ♠s ôtés ♠ è q q ♥♥é ♠ r♣♣ s ♦ss ♠♣♦rt♥ts t ♠à rr s ♣s sr trr

s ♦és ♦ s P♦♥tsPrs ♣♦r tt ♠♥ s ♣rtèr t ss②♠♣tq

♥♥ é♥ ést♥ é r r é ♠ ♦r ②r♠ ②♥ rr ♥♥ ést♥ ♦r é rt♥ ♦rt ♥ r♦s ❲♠ ♣♦r ♥♥ qs ♦♥t sr tr t sr ♠

♣tr

♥tr♦t♦♥

t tès

♣rés♥t ♦♠♥t ♣rés♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs t qs♥②tqs ♣♦r ét ♦♠♣♦rt♠♥t strtrs ss♥ts t ♠♠rés s♦♠ss à s sés♠s q♦♥qs ♣r♦è♠ s♠♣é ♠♦és ♥♦t♠♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s râtrs st♦ ♦♠st ♥s s ♥trs ♥érs ♣s ♣♦♥t stés ♥ss ③♦♥s ♦rt♠♥t ss♠qs ♦ résr♦rs st♦ ♣♦t ♦ sé

♦t s ♠♦ès t ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♣r♦♣♦sés st ♣r♠ttr ♥ qs♥st♥t♥é s ♠sss ♦♣ strtr t ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠qs strtrs ♠♠rés r♦tt♠♥t t♠♣s st très qqss♦♥s ♣♦r ♥ s♥ ss♠q ♥ ré s♦♥s ♣r r♣♣♦rt ① s♠t♦♥s éé♠♥ts♥s ssq♠♥t tsés ♣♦r ♥r rés♦t♦♥ t♠♣s ♥r♦♥ ♥ r ♣♦r ♥ s♥ ss♠q ♥ ré s♦♥s

t♠♣s qs♥st♥t♥é ♥♦s ♣r♠t ♦♠♣①r ♠♦è tsé ♥♦t♠♠♥t ♥ t♦rs♥t tst♦♥ é♦♠é

tr ♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♠♦rtss♠♥t é à rt♦♥ t♠♣♦r s♠sss ♦♣ strtr

r ♥ r♥ ♥♦♠r s♠t♦♥s rt♦♥ rt♥s ♣r♠ètrs ♦r ♦ à s s♠t♦♥s st♦stqs q s♦♥t t♦t à t ♥qés ♣♦r s♣r♦è♠s ♥♦♥♥érs ♦♠♣♦rt♠♥t ♦tq

♥ ♣rés♥tr ♦r ♦♥t①t ♦ ♠♥tt♦♥ s s♦♥s é♥rétqs ♥ ♠♦♥ ♣s ♥♦s ♣résr♦♥s s ♣r♥♣s ♠♥s♦♥♥♠♥t s éq♣♠♥tss ♥trs ♥érs ♥♥ ♥♦s étr♦♥s s ♠ét♦s ts ♥s qs q ♥♦s é♦♣♣r♦♥s ♥s tt tès ♥♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s trs ♦ts♣♣t♦♥ s té♦rs

♦♥t①t ♦

♦rt é♦t♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥

♦♥t①t ♦ ♥s q s♥sèr tt tès st ♥ ♦♠♣①t♦♥ r♦ss♥ts ♣r♦è♠s t ♣r♦é♠tqs és é♦♣♣♠♥t ♥ ♠♦♥ s t♦♥s❯♥s ♣r♦tt♥t ♥ très ♦rt ♠♥tt♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ [] r (1.1)♣rés♥t ér♥ts ♣r♦t♦♥s ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ ♣r♠ sqs ♣r♦t♦♥♠é♥ ♦♥♥ ♥ ♦r ♥

r Prés♦♥s é♦t♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ []

é♦t♦♥ é♠♦r♣q ♣rét ♣r s t♦♥s ❯♥s ♥st ♣♥♥t ♣s ♥♦r♠q ♣②s ♥ é♦t♦♥ é♠♦r♣q ♣r♦♣r q st réstt é♦t♦♥ s♦♥t♦♥s ♥♦t♠♠♥t s ♦♥t♦♥s ♠és s ♣♦tqs ♦♥trô ♦ ♦rst♦♥ ♥tté ①♠♣ ♥ étt é♦♣♣♠♥t ♣②st s rs (1.2) ♣rés♥t♥t s ♣r♦t♦♥s s t♦♥s ❯♥s rs♣t♠♥t ♣♦r ♣②s é♦♣♣és r♥ tts❯♥s t ♣②s ♥ é♦♣♣♠♥t ♥ t ♥

r ♦t♦♥s ♣♦♣t♦♥ t à r♥ t à ♦t ❯ s à ♥ s à r♦t ♥ []

s é♦t♦♥s é♠♦r♣qs s trs♥t ♥ r♦ss♠♥t ♣é♥♦♠é♥ s s♦♥s ♥ éq♣♠♥ts ♥rstrtrs tr♥♣♦rts ♦♠♥ts ♥trs ♣r♦t♦♥é♥r ♥trs ♣r♦t♦♥ rsss s♣ ♥♦tr ♣♥èt st ♠té tr♦ss♠♥t s s♦♥s ♠♣♦s♥t ♥ ♦rt ♦♥♥trt♦♥ r♥ t ♦♥ s s♦t♦♥s ♥♦s ♣♦r ♣r♠ttr ♦♥♥s ♦♥t♦♥s tt t tr ♥s♥ ♦♥t①t ♣s ♥ ♣s rt s♦t♥t s ♣r♦r♠♠s ♣s ♥ ♣s ①trê♠s ts q t♥♥s r♥ ♦♥r sts ♥tsqs t♦rs r♥ tr♥rstrtrs ♣r♦t♦♥ é♥r t♦♦rs ♣s ♣ss♥ts t ♣s sûrs t

r♦ss♠♥t s ♣r♦é♠tqs ♥r♦♥♥♠♥ts

tt ♥éssté é♦♣♣♠♥t s♦t ♥ ♦♠♥♣rés♥ s ♣r♦é♠tqs♥r♦♥♥♠♥ts s é♦♥♦♠s s ♣②s ♥strsés s é♦♣♣♥t ♦rt♠♥t t♦r s ♥♦① ♦♠♥s ♦♠♣ét♥ s ♥① é♦♣♣♠♥t r♦♥t t♠♥t êtr ♥sérés ♥s t♦t ♣r♦t ♦♥strt♦♥s ♥♦s ré♥♦t♦♥rétt♦♥ ât♠♥ts t ♥rstrtrs ①st♥ts t ♣s é♥ér♠♥t s

♣r♦é♠tqs ♦♥t ♦♠♣♥r é♠r ré①♦♥ ♥é♥r ♦rs ♥ s ét♣s é♦♣♣♠♥t ♥ ♣r♦t

Pr♠ s ♥① ♥♦s tr♦♥s érr s rss♦rs ♥trs ♠♥èr ♦♣t♠sé ssrr ♦♥♦rt t s♥té s tstrs t s s♦étés Présrr ♦rsté t ♣s r♠♥t rs♣t ♠♦♥ ♥tr P♥sr ♦♥♣t♦♥ ♥ ât♠♥t t ♥ ♥rstrtr ♥s s ♦té ♦♥♣

t♦♥ ♦♥strt♦♥ s r② é♠♥tè♠♥t ♥ Pr♦tér s s♦étés ♦♥tr s és ♥trs ♥strs ♠♥s ♥r s ♥① s♦ét① ♦① t ♠♦♥① ♥s é♠r ♣r♦t

tt st ♦♥ êtr ①st ♥① ♥tr♥ ♥ ♦♠♣①t♦♥ s ♣r♦sss ♦♥♣t♦♥ ♦♥strt♦♥ ♦r és♦♥ t r♠s ♥ s ♣r♠♥♥t ss♦t♦♥s t♥qs ♣r♦♣♦sés ♣r s ♥é♥rs rqrt ♣rt s ♥é♥rsq é♦♣♣♥t s ♣r♦ts ♥ s♦♣ss s♣rt ♥ ♣té é♦t t ♥ ♣ttà t♥r ♦♠♣t ♠t♣s trs ♥♦♥ strt♠♥t t♥qs s ♦♥t à érr ♥♠♦♥ é♦♥t ♦♠♣qé rs ♦♠♣①

♦t♦♥ r♦ss♥t s s♦♥s é♥rétqs ♠♦♥①

tt r♦ss♥ é♠♦r♣q ss♦é à ♣rs ♦♥s♥ s ♣②s é♦♣♣és s♥srr ♥s é♦♣♣♠♥t r t à ♥éssté é♦♣♣♠♥t s ♣②sé♠r♥ts ♠♣q ♥ ♠♥ r♦ss♥t é♥r ♥ ♠♦♥ ét s♦♥s♦♠♠t♦♥s ♥s ♥ ♦♥s ♦♥♥s éq♥t ♣étr♦ ♥tr t s♦♥t♣rés♥tés ss♦s s sé♠s (1.3, 1.4) ♣rés♥t♥t ré♣rtt♦♥ é♦r♣q tt♦♥s♦♠♠t♦♥ s sé♠s (1.5, 1.6) ♣rés♥t♥t ré♣rtt♦♥ ♣r s♦r é♥r

r ♦t♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ é♥rétq ♠♦♥ ♥tr t ♥ P ❬❪

s ♣r♦t♦♥s é♦t♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ é♥rétq ♥ ♠♦♥ s ♦♥ts♦♥ ① sé♥r♦s ♣r♥♣①

r éts ré♣rtt♦♥ ♥ ③♦♥ é♦r♣q ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ ♥é♥r ♥ t ❬❪

r ♦t♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ ♠♦♥ ♣r t②♣ s♦rs é♥r ♥tr t ❬❪

sé♥r♦ P P♦s ♥r♦ ♦♥sèr s ♣♦tqs é♥rétqst♠♥t ♥♥♦♥és ♦ ♥ ♣♣t♦♥ ♥ s ér♥ts étts ♣rés♥t ♥é♦t♦♥ rést ♥ s♥ss s s

sé♥r♦ ♦♥sèr s ♣♦tqs ♣s ♠ts ♥ tr♠s ♠tt♦♥ ♣r♦t♦♥ q ♥ s♦♥t ♣♦r ♥st♥t ♣s ♥♦r ♠ss ♥ ♦r ♥s s♣②s ♠♣qés ♥s tt ♥②s

s ♣r♦t♦♥s ♦♥r♥♥t ré♣rtt♦♥ ♣r ré♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ é♥r ♠♦♥ t s ♦♥r♥♥t ré♣rtt♦♥ ♣r s♦r é♥r s♦♥t rs♣t♠♥t♣rés♥tés ♥s s rs (1.7) t (1.8)

tt ♠♥ é♥rétq r♦ss♥t ♥ q ♠♦♥ ♥ésst ♥ é♦♣♣♠♥t♦ s rss♦rs é♥rétqs s♦t ♣r s é♦♥♦♠s é♥r s♦t ♣r s ♦rs é♥s ♥tr♥t♦♥① s♦t ♣r s ♦♥strt♦♥s ♥♦s t s ♠é♦rt♦♥s

r éts ré♣rtt♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♥ é♥r ♠♦♥ ♣r s♦rsé♥r ♥ t ♥ ❬❪

r Pr♦t♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ s ♦♥s♦♠♠t♦♥s ♥s ♠♦♥s ♣rré♦♥ ♠♦♥ ❬❪

éq♣♠♥ts ①st♥ts r r♥r ♣♦♥t st ♦♥ ♥s♣♥s ♣♦r ♥ sétts ♦♥strr ♠é♦rr ♥trt♥r t é♦♣♣r s ♠♦s ♣r♦t♦♥ étrté ♥s é♦♣♣♠♥t st ♠♣♦rt♥t ♦♥sérr s ♠♣ts s♦ét① t♥r♦♥♥♠♥t① q ♠♦ ♣r♦t♦♥ é♥r ♥ s♥srr ♥s ♥é♠r é♦♣♣♠♥t r

♥s tt tès ♥♦s ♥♦s ♦sr♦♥s sr ♣r♦t♦♥ é♥r ♥ér q s♦♥s ♦♥♥és ♥tr♥t♦♥ ♥r② ♥② rt ♣ssr s♦♥ s st♠t♦♥ss ♣s ♠♥♦r♥ts P ♥ à P ♥ r♣rés♥t ♥♠♥tt♦♥ ♣r♦t♦♥ é♥r t②♣ ♥ér ♥tr t t ♦♥ s ♦♥strt♦♥s ♥rstrtrs ♣r♦t♦♥ é♥r ♥ér ♥♠♦♥ s♦t ♠♥t♥ ♠é♦rt♦♥ t ♠s à ♥ srté s♥stt♦♥s ①st♥ts

r Pr♦t♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ s ♦♥s♦♠♠t♦♥s ♥s ♠♦♥s ♣rs♦rs é♥r ❬❪

❯♥ s♦♥ r♦ss♥t sérté

♥ ♣rè tt r♦ss♥ ♥tr s s♦♥s é♥rétqs t ♥rstrtrss s♦étés ♥♥♥t ♣s ♥ ♣s rss ① rsqs tt rs♦♥ ① rsqs stt♥t ♣s s♥s q st é à ♣r♣t♦♥ rsq ♣s q rsq ♦t♥s ♥ ♥ ♣rr ♥ rsq ♥str ét ♠ê♠ ♦♠♠ ♠♦♥s ♣tq♥ rsq ♥tr ♠ê♠ rté ♠s ♣s r♥ réq♥ ♦r♥ strt ♥s ♦♠♥ ♥ér ♥ s♥t ♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥tr ♥ér ♦♥ts ♣r♦tés ♦r♥ ♥t r s♦♥t ♣s s q s ♥ts ♥trs ♠ê♠ rté

P♦s♦♣ st♦♥ rsq s ♥trs érs Pr♦t♦♥ trté r♥çss P

♥ ♥ ♦♠♣r♥r qté ♠♥s♦♥♥♠♥t s ♦rs é♥ t s éq♣♠♥ts s ♥trs ♥érs st ♥éssr ♣rés♥tr s ♠ét♦s♥t♣t♦♥ t q♥tt♦♥ s rsqs tsés ♥s str ♥ér

♥ é♥t rsq à ♣rtr ① ♦♠♣♦s♥ts ♥é♣♥♥ts rté t ♣r♦té ♦rr♥ ♦♠♠ q rr♦♣ réq♥ t ré ①♣♦st♦♥ s① ♦♠♣♦s♥ts s♦♥t ssés sr ♥ r♣q ♣rés♥t♥t ♥ sss ♣r♦té♦rr♥ t ♥ ♦r♦♥♥é rté r♣q ♣rés♥t ♥ t♥♥ é♥ér ♠♥t♦♥ ♣r♦té ♦rr♥ ♣♦r s éé♥♠♥ts s ♦♥séq♥s s♣s r♠tqs tt ♦r t♥♥ st ♣♣é ♦r r♠r é♥ttr♦s ③♦♥s rsq ♥ q♦t♥♥ rsq ♠♦②♥ t♠♣s ♥ t♠♣s trsq ♦t rr ♥s tt r♥èr ③♦♥ ♦♥ tr♦ s rsqs ♠rs ♣r♠ sqss rsqs és ① ♥ts ♥érs

tt r♣rés♥tt♦♥ ♣r♠t trr rt♥s ♦♥s♦♥s ♦t ♦r ①st ①♠♥èrs érr rsq

r ♦r r♠r ♣♣t♦♥ trt♠♥t ♦s♣tr ❬❪

♥ ♣t r sr ♣r♦té ♦rr♥ rsq r♦♥t ♣r♥♣ ûrté

♥ ♣t ♠♥r s ♦♥séq♥s ♥ éé♥♠♥t r à s♣♦sts ts♦ ♣sss

❯♥ t♦♥ ♦♠♥é sr s ① ♣r♠ètrs ♣r♠t r♥r ♣t ♦rr♥ rsqs ♥t♠♥t r à ♦rt ♣r♦té ♦rr♥ ♦♥ sss ♦r r♠r s éé♥♠♥ts ♣ts

st ♠♣♦rt♥t ♥♦tr q ♥①st ♣s ♣r♦té ♥ ♣♦r s éé♥♠♥ts① ♦♥séq♥s r♠tqs ♠t à ♠ t♥♥ s ♣②s ♥strsés à♦r ♥ rs♦♥ ① rsqs t à rr à ♥♥r ♣♦♥t ♥ ♣s r♦♥ ♣t s ♣♦sr qst♦♥ q st ♥ ♣r♦té ♣t ♦rr♥ ♥♥t ♥ér ♠r

P♦r ré♣♦♥r à t é♥r qst ♥ ♥t ♥ér ♠r t rttr à ♥ réér♥t ①st♥t ♥ ♣r ♥t ♥ér ♠r ♦rsq ② srts ♠♥rs érés à ①térr ♥tr t②♣ rsqs st ♦♥ ♦♠♣r① ♥ts ♥trs ♠rs ♠♣réss sés♠ r ♠é♥r ts♥♠ t ♠été♦rt r ss♦s r♣rés♥t s rsqs ♥trs t s rsqs ♥strs♠rs

♥s ♦♠♥ ♥ér ♦♥ ♦♥sèr ♥ rsq ♠r ♣t ♦rsq♦♥tr♦ ♥ ♣r♦té ♦rr♥ 10−6 ♣r ♥ q ♣t s r ♥ ♥t ♥ér♠r t♦s s ♠♦♥s ♥♥é s ♥trs ts s♦♥t ♦♥çs t ♠é♦rés ♣♦r

r sqs ♦r♥ ♥str à r♦t sqs ♦r♥ ♥tr[]

r ①♠♣ ét î♥ ♣r♦té ♦tss♥t à ♥ rt ♠♣♦rt♥t ♠tèrs r♦ts []

érr tt ♣r♦té ♣r♦té ♠♥s♦♥♥♠♥t P ♦rrs♣♦♥ à ♥♣r♦té ♦r♥ s♦♥ ♦r 4.10−7 ♣r ♥tr ♣r ♥

♠ét♦ ♦t♥t♦♥ tt ♣r♦té ♦♥sst à é♥r s ♥s ♦♥séq♥s ♦tss♥t à éé♥♠♥t r été t ss♦r s ♣r♦tés é♥s ér♥ts s②stè♠s ♣rtr s ♣r♦tés ♦♥ ét s î♥s éé♥♠♥ts♦tss♥t à ♥ ♥t ① ♦♥séq♥s ♥♣ts t ♦♥ ♦t♥t ♥ ♣r♦té♦rr♥ t ♥t ♦r 1.11

♠rqs ♣♥♥t ♦r st ♦♥sttr q t r♠ttr ♥ s tt ♠ét♦ ét♦♥ rsq ♦♥ ♥ ♣♦rrt ♣s ①♣qr t q ♥♦s ♦♥s t♦s♦♥♥s ♠♦♥s qtr ♥ts ♥érs ♠rs ♦rs s r♥èrs ♥♥és r s s♥ ♠rs r♥♦② r ♦ r s♣t♠r s♠ ♠rs ♥♥t ♣s s ♥ts ♥érs és① ttés ♠trs ♦♥♥t ♦♥ ♣r♥r ♥ rt♥ r sàs s éts♣r♦sts sûrté résés ét♥t ♦♥♥é q s ♣r♦tés é♥ ♠♥s♦♥t ♠♥t q♥ts t rt♥s ♥s ♦♥séq♥s s♦♥t ♥♦r ♥♦♥♥s

tt ♠ét♦ s♣♣♦s q ♥♦s ②♦♥s ♥ ♦♥♥ss♥ ♣♣r♦①♠t s ♣r♠ètrsrtérs♥t s s♦tt♦♥s s ♠tér① s strtrs s ♦♥♥ss♥s ♣♣r♦①♠ts s♦♥t tsés ♣♦r étr résst♥ q éq♣♠♥t ♥ t ♣r♦té r♣tr ♦t♥ st ♥séré ♥s ♥ éé♥♠♥t ♥ ♣ss ♥stà éq♣♠♥t s♥t sqà ♦t♥r ♣r♦té ♦r♥ ♥ ♥t ♠r♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t ♦r ♦♠♠♥t st ♦t♥ tt ♣r♦té r♣tr t ♣sé♥ér♠♥t ♦♠♠♥t s♦♥t ♠♥s♦♥♥és s éq♣♠♥ts ♥tr

ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s éq♣♠♥ts s P

s éq♣♠♥ts stés à ♥térr ♥tr s♦♥t ♠♥s♦♥♥és ♥ ts♥t ①♠ét♦s ♠ét♦ étr♠♥st t ♠ét♦ st♦stq ♠ét♦ étr♠♥st ♦rrs♣♦♥ à ♠ét♦ st♦rq ♠♥s♦♥♥♠♥t s P t ♠ét♦st♦stq ♦♠♠♥ à êtr ♥tr♦t ♥s ét♦♥ s rsqs

t♠♥t s ① ♠ét♦s s♦♥t tsés ♠♥èr ♦♠♣é♠♥tr ♠ét♦st♦stq é réq♥ ♦rr♥ s ér♥ts éé♥♠♥ts é♥rs s♥ts ♥ér t s♦♥ ♥t♥sté ♠ét♦ étr♠♥st st ♥st tsé ♣♦rrésr ♥s♠ s s s strtrs à ♣rtr ♥ tr rs s♥ srs ét♦rs é♥s ♣r ♠ét♦ st♦stq ♥ ♦t♥t ♥ ré♣♦♥s sr é♥ ♦ ♥♦♥ éq♣♠♥t ♥ t ♥st trs trs ét♦rs sqà♦t♥r ♣r♦té é♥ éq♣♠♥t

tt ♠ét♦ st t♦♦rs ♥ ♣s é♦♣♣♠♥t étr♠♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♣r♦tés ♥ésst ♥ ♦rt ♦rt t♠♥t ♥ ♦rs ♥s s r♥s♥strs ♥érs r♥çss ♥ ♣rè st ♥éssr é♦♣♣r s♠ét♦s étr♠♥sts r♣s ♣♦r r s rsqs é♥ sr ♥r♥ ♥♦♠r trs s♥ s rs ét♦rs

ét♦ étr♠♥st

♠ét♦ étr♠♥st ét♦♥ sûrté t ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ ♥stt♦♥ ♥ér ♦♥sst à s♣♣♦sr ♥ é♥ séèr s♥ s②stè♠ t étrs♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ rét♦♥ à tt é♥ ♥ ♣t tr s ①♠♣s ts q ♣tr ♦t♥ ♥ t②tr ♣r♠r st ♥ r♣tr t②tr♥st♥t♥é q ♣rt t②tr s é♣ ♥s ♥ rt♦♥ ♠étr♠♥t♦♣♣♦sé ♣rss♦♥ ♥tr♥ ♣r♦♦q ♥ t q ♠♣ é♣♠♥t t♠♥t t rè tt t rè ♥♥ très ♦rt♠♥t ét t t ♦♥ ♠♥t♦♥ ♣rss♦♥ rt ♣r♠r

♣tr ♦t♥ ♥ t②tr rtté rt ♣r♠r ♥ ♥ ♣q st ♣r ①♠♣ r♣tr ♣q ♥ ①♣♥s♦♥ ♣rssrsr ♣r♥♣ st s♠r à r♣tr ♦t♥ ♥ t②tr ♣r♠r ♥ ♠ètr t②tr ♣s ♥ t②tr s♦♥r ♣s s♦♣ q t②tr ♣r♠r q t♥♥ à ♠♥tr t rè t ♥ ♦r♥tt♦♥ r♣tr ♣r♣♥r à ① t②tr ♣r♠r q st ♦rt♠♥t♠♥s♦♥♥♥t ♣♦r s ♥rs rt ♣r♠r t②♣ r♣tr st rré ♦rss é♣rs ②rqs ♣ré♠♥rs é♠rr s rétrs ❲

t ♥ ♣♦♥t r♦♥t ♦rrs♣♦♥ à ♥ éè♥♠♥t s♦♥r r♥t ♣♦♥t sr♥r st à ♥ sés♠ ♣r ①♠♣

és♠ rtérstqs ♣réé♥s ♦s étr♦♥s ♣♦♥t ♣r st

❯♥ ♦s éè♥♠♥t é♥♥t étr♠♥é s éts s♦♥t tés ♣♦r étr♠♥rs ♦♥t♦♥s s ♣s ♣é♥s♥ts ♣♦r s strtrs t s éq♣♠♥ts t♦és ♥ ♦♥t♦♥ strtr ♦ rtèr ♠♥s♦♥♥♠♥t ♦♥r♥és ♦♥ tsr ér♥ts♦♥t♦♥s ♥ts é♥♠♥t éé♥♠♥t Prés♦♥s sr ♥ ①♠♣

①♠♣ t ♥ rr ♦♠st sr ♥ strtr ♦rs s♦♥tr♥s♣♦rt ♣r ♥ ♣♦♥t r♦♥t

♦s ♦♥sér♦♥s t ♥ rr ♦♠st sr ♥ strtr ♦rs s♦♥tr♥s♣♦rt rr ♦♠st st tté à s♦♥ ①tré♠té t ♣♦♥t r♦♥téé♥♠♥t ♦♥séré st ♥ r♣tr s♣♦st ♦♥♥t♦♥ ♣♦♥t r♦♥t ♣♦♥t♥tr♥r à t♦t ♥st♥t ♦rs tr♥s♣♦rt é♣♠♥t ttér rt ♦ ♣♦♥t à rrêt♥ ♦♥sèr ssq♠♥t ① ts ♣♦sss ♥ t rt rr ♦♠st t ♥ t r♦tt♦♥ rr ♦♠st ♥trî♥♥t ♥♠♣t ♥ rr ♣rt♠♥t ♦r③♦♥t r 1.12

r s r♠♥t ♦♥sérés t rt r♦t t ♦r③♦♥t

♥s ♣r♠r s r♠♥t tr t st ♣s ♠s ③♦♥♠♣t ét♥t rét ♦♥ ♦sr ♥ ♣♦♥ç♦♥♥♠♥t ♣♥r ♥s ①è♠ s tr t t ♦♥ é♥r ♥étq à ss♣r st ♥tt♠♥t ♣s r♥♠s ③♦♥ ♠♣t st ♣s ♦♥séq♥t ①è♠ s st ♠♥s♦♥♥♥t ♦rsq♦♥ét ♥ t ♦♠st sr ♥ éq♣♠♥t ♥s s ③♦♥ ♠♣t ♣têtr très ♣tt

é♥t♦♥ ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥t étr♠♥st ♥ s ♦♥♥tr q sr étr♠♥t♦♥ s♦tt♦♥ s♣♣♦s ♥ t ♥ ♦♥♥ss♥ ♣rt strtr ♥ t st ♥éssr ♦♥♥îtr ♥ ♠♥èr ss été s strtrs t s éq♣♠♥ts ♠♣tés ♣r éè♥♠♥t ♦♥séré s♣♣♦s ♥ ♦♥♥ss♥ ♣rt é♦♠étr s rtérstqs s ♠tér① tsés étt ♦♥tr♥t ♥t st♦rq tst♦♥ s éq♣♠♥ts ♣♦r ér r ss♠♥t t s é♦t♦♥s s rtérstqs ♠tér① ss♦és ♥ ♠♦ést♦♥

♣té ① r♠♥ts t ① rtèrs ♦♥sérés ♥st ♠s s t résé r♣rés♥t ♦♥ ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥ ♠♦ést♦♥ rété

①♠♣ é♥t♦♥ r♠♥t ss♠q s éq♣♠♥ts

♥t♥sté sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥t

♣♣r♦ r♥çs rt♥ ♣♦r é♥t♦♥ é ss♠q st è ♦♥♠♥t ûrté ❬❪ r♣♦s sr ♥ ét st♦rq été s sés♠s②♥t ♥ r♥ tt st♦r ss♠q r♥çs st st♠é ♣♦♦r r♣rés♥trss③ è♠♥t ♥t♥sté s sés♠s ♣r ③♦♥ ss♠q sr ♥ ♣ér♦ ♦rr ♥s ♥ ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s♣t ét♦r ♣♦st♦♥♥♠♥t é♣♥tr sés♠ ♦♥ ♦♥sèr q♥ sés♠ st ss♣t s r♣r♦r ♥s ♣♦st♦♥ ♣s é♦r ♣♦r ♥tr t♦t ♥ rst♥t ♦♠♣t s ♦♥♥és é♦♦qst ss♠qs ♥ ♦♥sèr ss q♥ sés♠ ♥ ③♦♥ tt♦♥q ♦s♥ ♣t rér♥ r♠♥t ss♠q ♠♥s♦♥♥♥t ♣♦r ♦r ♥s ♦♥ s♣♣♦s q s sés♠ss ③♦♥s tt♦♥qs ♥ts ♣♥t s ♣r♦r à ♠t ③♦♥ tt♦♥q à ♣s ♦rt st♥ ♥tr ① ②♥t sr ③♦♥ ss♠q ♦rs♦♥t s♣♣♦sés s ♣r♦r à rt ♦r

tt ét st♦rq ♣r♠t é♥r ♥t♥sté ♥ ♦ ♣srs és♠s ①♠① st♦rq♠♥t ❱rs♠s ❱ tt ♥t♥sté s①♣r♠ ♥ é ♣♦♥rr♥ ♥ ♠♥s♦♥♥r s ♥trs ① sés♠s ①♣t♦♥♥s ♦♥ ♦t rtrr♠♥t ♥ ré ♥t♥sté ❱ ♣♦r é♥r s és♠♦ré érté tt ♠r ♣r♠t ♦rr ♥ réét♦♥ é♥t ❱ ♦ s♦♥ s♣tr rést♥t ♣r♦rès s ♦♥♥ss♥s ♠ét♦♦♦qs ♦st♦rqs ♦s

ISMS = ISMHV + 1

ù s ♥t♥stés s♦♥t ①♣r♠és ♥ é ♦♥t♥ s♣tr sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥t

♦♥t♥ s♣tr s♦tt♦♥ st ét ♥②s st♦rq ss♠q sttt ét ♣r♠t étr ♣♦r q sés♠ ♥t♥sté sés♠ à é♣♥tr ♦ s♦♥♥t♥sté sr ♥ ♦r s♦♥t♥sté ♣♣é s♦sést s éts s rtérstqs s♦ ♣r♠tt♥t ♥②sr ♣r♦♣t♦♥ s ♦♥s ss♠qs ♣♦r q sés♠st♦rq t ♥ ér ♣♦st♦♥ é♣♥tr t ♣r♦♦♥r ♦ st♥♥tr é♣♥tr t ♦②r t ♦♥t♥ réq♥t sés♠ à sr

♥ ♦t♥t ♥s s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t és♠ ♦ré érté s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♣♥t êtr ♠t♣s ♣♦r ♥ ♠ê♠♠♣♥tt♦♥ ♦rrs♣♦♥ à ér♥ts ♦st♦♥s é♣♥tr t ♦♥ ér♥ts♦♠♣♦st♦♥s s♣trs sés♠ s s♣trs s♦♥t ♥st tsés sr s ♠♦ès s♠♣és strtrs t ♦♥ ♦t♥t s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♣♥r ♦rrs♣♦♥♥t ① éért♦♥s rss♥ts ♥ ♣♥r éq♣♠♥t ♦♥séré

r (1.13) ♣rés♥t ♥ ①♠♣ s♣tr ♥ sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥t rét ♥ ♣♥r ♠ ♣♦r ♥ ♠♦rtss♠♥t sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥trét ♦rrs♣♦♥ à s ♦♥rt♦♥s tr♥st♦rs éq♣♠♥t s ♦♥rt♦♥sét♥t t♠♣♦rrs ♦♥ ♦♥sèr ♥ sés♠ ♣s ♦rrs♣♦♥♥t ♣s s♦♥t à ♥♥t♥sté ❱

r ①♠♣ s♣tr sés♠ ♠♥s♦♥♥♠♥t rét ♣♥r ♠ ♠♦rtss♠♥t

s s étr♠♥sts ♥♦♥♥érs s♦♥t tés à ♣rtr s♥① ss♠qs t♠♣♦rs ♥ ré ♥r♦♥ s♦♥s s s♥① t♠♣♦rs s♦♥t ♦t♥s à ♣rtr ss♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t s s♦♥t é♥érés ♥ tr♥t ét♦r♠♥t s é♣ss ♥♦♥t♦♥ s réq♥s s♣tr ♣s ♥ râ♥t s s♥① t♠♣♦rs ♦t♥s ♥ r♣rés♥tr ♠① ♦♠♣♦rt♠♥t ssq ♥ sés♠ ré ♥ ♣s ♥t♥sté r♦ss♥t ♥ ♣s ♦rt t ♥♥ ♥ ♣s râ ♠♦rtss♠♥t s rs (1.14) (1.15) t (1.16) ♣rés♥t♥t ♥ ①♠♣ sés♠ é♥éré à ♣rtr ♥s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t

st ♥éssr é♥érr ♠t♣s s♥① t♠♣♦rs à ♣rtr ♥ s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ ♦rr t♦s s sés♠s ♣♦sss s ♣ss ét♥t trés ét♦r♠♥t st ♣♦ss tr♦r s s♥① t♠♣♦rs ♠♦♥s ♣é♥s♥ts ♥ ♦♥t♦♥s trs s trs rs ét♦rs r♦♥♥t ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥tst♦stq

r ①♠♣s s♥ ss♠q s②♥tétq éért♦♥ s♥t ①

r ①♠♣s s♥ ss♠q s②♥tétq éért♦♥ s♥t ②

ét♦ st♦stq

♦s ♦♥s ♥s ♣rt ♣réé♥t q é♥ért♦♥ s♥① t♠♣♦rs s②♥tétqs à ♣rtr s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t st ♥tr♥r s trs ét♦rs sé♣ss ♥s s ♥ strtr s♦s r♠♥t ss♠q ♦♥♥ttsr ♣s rs ét♦rs ♥ ♣t tr s r♦♠♠♥t♦♥s trP♦r sr ♥sttt ❬❪

♦♠♥t r♦♠♠♥ tst♦♥ rs ét♦rs s rr♦♣♥t s♥t r♦♣s rs sr é ss♠q XSpectrumShape (1.17) XHor (1.18) t XV ert rs sr ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠q strtr XDamp XFreq XModShapeXTors XModesComb XTr XInc XV SV GM XSSI t XDirComb

rs sr résst♥ strtr fC XAug fY XEqc XEqf XDlim t XRug

s rs ♣♦rt♥t sr r♠♥t ss♠q ♦♥t été é♦♣♣és ♥s ♣rt♣réé♥t

s rs ♣♦rt♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠q strtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t ♠s ♦♥♥ss♥ étt ré strtr ♥ ♣t tr ♥♦t♠♠♥t srs ét♦rs ♣♦rt♥t sr ♠♦rtss♠♥t s réq♥s ♣r♦♣rs t ♦r♠ s♠♦s ♣r♦♣rs

s rs ♣♦rt♥t sr résst♥ strtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t ♠é♦♥♥ss♥ st♦rq r♠♥ts strtr s ♥♦♠♠♠♥ts é♥ts t ss♠♥t s ♠tér① ♥ ♣t tr s rs ét♦rs ♣♦rt♥t sr ♦♥tr♥t

r ①♠♣s s♥ ss♠q s②♥tétq éért♦♥ s♥t ③

r ①♠♣s é♥t♦♥ s rs ét♦rs sr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t

♠t éstté ♦♥tr♥t t♠ résst♥ ♥ trt♦♥ t ♦♥tr♥t t♠ résst♥ ♥ ♦♠♣rss♦♥

♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stq s ér♦ ♥st ♥ ét♣s étr♠♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♣r♦tés s ér♥ts rs ét♦rs r ét♦r ♣r♠ s rs ét♦rs strtr é♥ ♦ ♥♦♥

♣r♠èr ét♣ st résé ♣r♦r t ① é♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♣r♦tésss♦és à q r ét♦r s ① ét♣s s♥ts s ♦♥t ♠♥èr tért ♥ tr ♥ rs ét♦rs t ♦♥ ①ét ♥ strtr ♦♥t réstt st ♥ é♥ ♦ ♥♦♥ strtr ♥ ré♣èt s ét♣s sqà q s♦♥t♦♥s ♣r♦té q rs s♦♥t ♥ r♣rés♥tés ♥ ♥ ét ♥♣r♦té é♥ éq♣♠♥t ♦♥r♥é

tt ♠ét♦ ♥st ♣♦r ♥st♥t ♣s é ♣r t♦rté rté ér

r ①♠♣s tr ét♦r sr ré♣rtt♦♥ s s♦tt♦♥s ♦r tstst

♦♥s♦♥

s ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦♥t tsés ♣♦r é♥r s r♠♥ts ♥tés♦♠♠ ss ♣♦sss ♥t ♥ér ♠r s ♠ét♦s s♦♥t ♥st tsés♣♦r str t♥ s éq♣♠♥ts t é♥ à s r♠♥ts t♠♥ts ♠ét♦ étr♠♥st st♦rq st é ♣r ♠s s sss♦♥s s♦♥t♥ ♦rs ♣♦r ♥tr♦r s ♠ét♦s st♦stqs ♥♦t♠♠♥t ♥s ét♦♥ ré s s s ♥trs s ♠ét♦s ♣r♠ttr♥t ♥♦t♠♠♥t stt♦♥ ♠♥tt♦♥ ré s ♥trs ♥érs r♥çss t♠♥t♥ ①♣♦tt♦♥ q ♥ srt ♣s ♦ré♠♥t ♣♦ss ♥ ♠ét♦ étr♠♥st

s râtrs st♦ ♦♠sts sés

♥s s ♥trs ♥érs rt ♣r♠r t s éq♣♠♥ts sûrté r♥t ♠♦rté s tt♥t♦♥s s ♥é♥rs ♥tr♥♥t sr ♦♥♣t♦♥ t s♦♥t ♦♥çs ♣♦rrstr ♣r♥♣♠♥t ♥s ♦♠♥ éstq rrs ♥rs♦♥s ♥s ♦♠♥♣stq ♥s s s s♦tt♦♥s ①trê♠s r♣tr ♦t♥ ♦♠♥t étt rt ♣r♠r é♥♠♦♥s ①st trs ③♦♥s P ♥s sqs s♦♥tst♦és ♥ r♥ q♥tté r♦tté st ♥♦t♠♠♥t ♣s♥ st♦ ♦♠st ♥ t sé

s ♣s♥s s♦♥t ♣rés ♣♦r ♦♥t♥r ss♠s ♦♠st ♠①♠♠s♦t éq♥t ♥r♦♥ ♦rs ♦♠♣ts t♥t ♦♥♥é s tés ♦stqs t sérté s tr♥s♣♦rts s ♦♠sts ♥érs ① s♦♥t st♦és ♥s r♠♦rté ♣♥♥t qst♦tté ré ♥tr s♦t ♥tr t ♥s s s♦tt♦♥s ss♠qs ♦♥sérés s♦♥t ♦♥ s ♠ê♠s q s ♣s ♣é♥s♥tstsés ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥tr

s éq♣♠♥ts s♦♥t très ♦♠♣①s à ♠♥s♦♥♥r ét♥t ♦♥♥é

♠t♣té s ♣♦sstés r♠♣ss s râtrs é♥♠♥t s ♠♦s ♥s q ♥ ♦♥t s strtrs s♦♣s ♠ss ♠♣♦rt♥t é♣é ♣♦r s ♠♦s s ♣s rés s ♣r♦♣rétés ♦♥tt q é♦♥t ♦rs ♦①②t♦♥ t rrt♦♥ s

ér♥ts srs r t ♦♥ ♣s♥ ♦rt ♦♥♥♠♥t s ♠s ♦rt ♦♣ strtr ♥ éé s♦tt♦♥ ss♠q ♣♥r s♣♣♦rt s râtrs st ♣s

♠♣♦rt♥t q s♦tt♦♥ s♦r ♥ s♦

sr♣t♦♥ s râtrs

s râtrs st♦ ♦♠st s♦♥t stés ♥s ♣s♥ ât♠♥t ♦♠st st ♦♠♣♦sé ♥ rt♥ ♥♦♠r ♠♦s ♦♥♥tés s ♥s ① trs r (1.19) r♣rés♥t ♠♣♥tt♦♥ ♥ râtr ssq

r Ps♥ éstt♦♥ s ♦♠sts sés ❬❪

q ♠♦ st ♥ strtr ♥ r ♥♦①② ♦♠♣♦sé ♥ rr♥♠♥t rt rt♥r é♦s rrés s é♦s s♦♥t ♦♥çs ♣♦r r s ss♠s ♦♠sts rêt♠♥t ♥térr s é♦s st t r r♥♦ré ♥♦r ♥ ♦♥trôr r♦tté t ♥trr t♦t rét♦♥ ♥ î♥ ♥tr s ss♠s ♦♠sts ♥ts s rs (1.20) t (1.21) r♣rés♥t♥t ♥ ♠♦♥ ssq

s ♠♥s♦♥s ♥ ♠♦ é♣♥♥t ♥♦♠r é♦s ♠s s s♦♥t ssq♠♥t ♠ × ♠ ♣♦r s ♣q s t ♥r♦♥ ♠ tr ♦♥t ♠♦rrs♣♦♥♥t à tr s rrs ♦♠sts s♦♥t ♠♠rés ♥s ♥ ♣s♥♥ ♣r♦♦♥r ♠ ♥r♦♥ ♥ ♣r♠ttr tr♥s♣♦rt s rrs ♦♠st♥s ♥ ♠♥t♥♥t ♥ ♣r♦♦♥r ♠♠rs♦♥ ♠

q ♠♦ st ♦♥♥té ♠♦ ♥t ♥ s ♣q s é♣ssà ♥ ♣q ♦♥♥t♦♥ é♣ss tt s♦♥ ♥ ♣ ♠♦ ♦♥♥t ♠♥èr r s ♣qs s s ♠♦s ♥s tt ♦♥♥t♦♥ ♠♣ê ss♠♥ts s ♠♦s q ♥ r s♥ sr♥t à ♠♦♥r s♦tt♦♥

r ❱ ♥s♠ ♥ ♠♦ ♥ ❬❪

s ♠♦s r♣♦s♥t s♠♣♠♥t sr s♦ à ♣s éq♣és ♣t♥s ②♥rqs ①és sr s ♣qs s s t♦rs♥t ss♠♥t s ♠♦s sr♦tt♠♥ts s ér♥ts srs ♦①②t♦♥s t rrt♦♥s s srs s ♣s t ♥r ♣s♥ ♦r♥ss♥t ♥ r♥ rété ♦♥ts r♦tt♠♥t ré♠♥tt♦♥ t♠♥t ♥ r r♦♠♠♥ tsr s ♦♥ts r♦tt♠♥ts♦ ♣♦♥t rr ♥tr t ♥ ♠①♠sr s♦t é♣♠♥t strtrs♦t s ♦♥tr♥ts ♥s s râtrs

s sss ♣s ♣rés ♣♥t ♠♦♥trr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣s ♦♠♣① q♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ s♦ s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♦♠♣①s s♦♥t s♦♥t ♦tqs ts à ♠♦ésr ♣♣r♦①♠t♦♥ ♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ s♦ ♣r♠t ♥tr s s ♠ts ♥ étr ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠♥t ♠①♠♠ s râtrst ♦♥tr♥ts ♠①♠s

♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrs ss♥ts ♠

♠rés s♦♠ss à ♥ sés♠ q♦♥q

s té♦rs é♦♣♣és ♥s tt tès ♦♥r♥♥t ♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrsss♥ts ♠♠rés s♦♠ss à ♥ sés♠ q♦♥q ♠♥s♦♥♥♠♥t ♦♥sst àétr s ss♠♥ts ♠①♠① ♥s q s ♦♥tr♥ts ♠①♠s s♥ s strtrs ♥ s réstts ét♥t ♦t♥s ♣♦r s ♦♥ts r♦tt♠♥t ♣s ♦♠♦♥s éés t♠♥t ♦♥ ♦st ♥ ♦♥t r♦tt♠♥t ♣té à ét té t ♦♥ étt s rs ①tr♠s ♣r♠ètr ♣té ♦♥tr♥ts ♠①♠s♥s s ♣qs s♦rs t ♦♥♥t♦♥s ♦ é♣♠♥ts ♠①♠① ♥ ♣ ♦ ♥ têt ♠♦s

r ♦♣ rt t ♦r③♦♥t ♥ ♠♦ ♥ ❬❪

s ♠ét♦s ts ♠♥s♦♥♥♠♥t

❯♥ ♦s ♦♥t r♦tt♠♥t ♦s s ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t tss①t♥t ♥ ① ♦s étr♠♥t♦♥ s ♠sss ♦♣ strtr ②♣♦tèss s ♠sss ♦tés

à ♣rtr é♦♠étr ♥t ♥ ②♥♠q ♥♦♥♥ér à ♣rtr ♥ s♥ ss♠q ♦s

étr♠♥t♦♥ s ♠sss ♦♣ strtr

t♠♥t ①st ① t②♣s ♠ét♦s étr♠♥t♦♥ s ♠sss ♦♣strtr s ♠ét♦s ♣♣r♦és ♥②tqs ♦ qs♥②tqs s ♠ét♦s♥♠érqs

ét♦s ♥②tqs s ♠ét♦s ♥②tqs ♣♣r♦és s♥s♣r♥t té♦r ♠ss ♦♣ rt③ ❬❪ ♥tr ① ②♥rs ♦♥♥trqs ♥♥s❯♥ sér ts ♦♥rs♦♥ ♦♥t été résés ♣♦r s ♦r♠s ♥♦♥②♥rqs ♥s s strtrs ss rt♥rs s rts ❬❪ ❬❪ t ❬❪ ♦r♥ss♥t sréstts qs♥②tqs ♣♣r♦és ♣♦r s ♠sss ♦♣

♦s s ♠♦ès ♣♣r♦és ♦♥♥♥t s ♠sss ♦♣ ♣♣r♦és ♥s s ♦♥rt♦♥s s♠♣és ♦♥rt♦♥ ♥tré ♦ ♠♥t ①♥tré ♦♣s strtr ♥és s éért♦♥s ♠♦ ♣s t ♦♥ é♦♠♥t ♦ ♣♣r♦é ♥ é♦♠♥t rt ♠♥♥t ♥ ♦♥t rtrr tss

s ♣r♠tt♥t ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ r♣ s ♠sss ♦♣ strtr ♠♣qé ♥s ♠♦è st s♦♥t ♥éssr ♦♠♣étr s ♠♦ès s♠t♦♥éé♠♥ts ♥s ♣♦r sssrr q♦♥ s tr♦ ♥s ♦♠♥ té ♠♦è tsé s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣r♠tt♥t sr s tst♦♥s é♦♠étr s ♣♣r♦①♠t♦♥s ♣r♦s ♦rts sr é♦♠♥t ♦ s ♣r♦♣rétés s②♠étr ♦ ♦♥té s ♠trs ♦♣

ét♦s ♥♠érqs

P♦r s é♦♠étrs ♦♠♣①s ♦ s s ♣s ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ srr ♦♥ ts s ♦s ♥♠érq ①st t♠♥t ♣srs t②♣s s♠t♦♥s ♥♠érqs s ♠♦ést♦♥s é♦♠♥t s éé♠♥ts ♥s ♣rss♦♥ s ♠♦ès ♣r♦♣t♦♥ tr♠q s ♠♦ès ♣rts

s ♠♦ès é♦♠♥t

s s♥s♣r♥t s ♦s é♦♠♥t ér♦♥tq ♣♥♥t s s♦♥t ♣s s♦♥t ♣tés à s é♦♠♥ts ♥♦♥ ♦♥♥és t s s ♦s♥t sr ét ♦♠♣♦rt♠♥t é♦♠♥t tr♥t é♥t♠♥t ♥♦♥ stt♦♥♥r s ♥ s♦♥t ♣s♣tés à ét s ♠sss ♦♣ strtr q ♠♣♦s♥t s é♦♠♥ts♥♦♥ tr♥ts

s éé♠♥ts♥s ♣rss♦♥

tt ♠ét♦ ♦♥sst à ♠r ♥ ♦♥sér♥t s ♣r♦♣t♦♥s ♦♥s ♥s ♦♥séré ♥ ♠♣♦s ♥st s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥ é♣♠♥t t ♥♣rss♦♥ ♣r♠tt♥t ♥♦t♠♠♥t ♠♦ésr sr r ♣s♥

♣♥♥t té♦r s ♠sss ♦tés s♣♣♦s ♥ ♣rt ♥♦♠♣rss q st ♥♦♠♣t ♥ ♣r♦♣t♦♥ ♦♥s ♥s st ♦♥ ♥éssr s ♠ttr à ♠t s rtérstqs ♥ t♦ér♥t ♥ ♦♠♣rssté ♥tr♦t ♥ rrr ♥s réstt ♦t♥

♠♦è ♣rés♥t ♥♦♥é♥♥t ♥ ♣s ♣r♠ttr ♠♦t♦♥ é♦♠étrs♥s r♠r t♦tté ♣s ♣rés♥t s r♥s rt♦♥s ts rtérstqs ♥tr s ♠s ♥tr♠♦s é♣ssr qqs ③♥s ♥t♠ètrs s ♠s térs s♦♥t qqs ♥t♥s ♥t♠ètrs t ♠ sss s râtrs qqs ♠ètrs é♣ssr ♥ ♦r ♥ ♦♥♥♦♥r♥ st ♥éssr ♠r t♦tté s ♠s②♥t s ♠♥s♦♥s ♦rr ♣s ♣tt ♠♥s♦♥ ♠♣♦s ♥q♥tté é♥♦r♠ éé♠♥ts ♥s t ♦♥ ♥ t♠♣s ♦♥sér

Pr ♦♥tr ♣r♠t ♣rs ♥ ♦♠♣t s ts ♦♥ t é♦♠♥trt é à sr r ♣s♥

♦ès ♣r♦♣t♦♥ tr♠q

s ♠♦ès r♣♦s♥t sr s ♥♦s ♥tr s♦♥ tr♠q t s té♦rs é♦♠♥ts ♣♦t♥ts s rés♦♥t éqt♦♥ ♣r♦♣t♦♥ tr♠q ∆T = 0 str♠s s♦rs t ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥ t♠♣értr t ♥ ① tr♠q ♥s tt♥♦ s ① tr♠qs r♣rés♥t♥t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥ é♣♠♥t

tt ♠ét♦ ts s ♠ê♠s éqt♦♥s q s ♣r♠tt♥t s ♠sss♦tés Pr ♦♥tr ♣rés♥t s ♠ê♠s ♠ts q s éé♠♥ts ♥s ♣rss♦♥

♦és ♣rts

♥s ♠♦è st ♠é ♣r ♥ ♥s♠ ♣rts r♣rés♥t♥t ♥ ♦♠ ♥r♦♥♥♥t t ♦♠ ♣t rr ♥ ♣rt à trt ♣r♠t rér ♥♦♠r éé♠♥ts t♦tté s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣♥têtr ♠♦ésés é♦t♦♥ é♦♠étr st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣r ♥ ♠♦t♦♥ sts rtérstqs s ♣rts s ♥ s ♥♠♥t ♦rt é♦♠étrrt♥s ♣rts s ♣♥t êtr rés ♦ s♣rîtr tt ♠ét♦ st ♣s♣r♦♠tts ♠s ♣rés♥t ♥ ♥stss♠♥t très ♦r ♥ tr♠ ♣té t t♠♣s ♥ ♣r♠t ♣s t♠♥t r s s sr ♥ é♦♠étr ♦♥♥é♥ ♠♦♥s qqs ♠♥ts ♥ ♣r♠t ♣s ♣♦r ♥st♥t r s s♠t♦♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♠♦♥s ♣srs rs

②♥♠q ♥♦♥♥ér

s ♠ét♦s ②♥♠q ♥♦♥♥ér ts ♦♥t ♣♣ ① ♦s s ♥♠érqs t ♣r♥♣♠♥t s ♠ét♦s éé♠♥ts♥s s rés♦t♦♥s t♠♣♦rs s s éé♠♥ts♥s ♣♥t êtr ①♣t ♦ ♠♣t

sé♠ ①♣t s♣♣♦s ♥s♠ s r♠♥ts ♦♥♥s à ♥st♥t t ♣♦r rés♦r s é♣♠♥ts strtr à ♥st♥t t+ dt sé♠ ♠♣t ♥ésst rés♦t♦♥ s é♣♠♥ts ♥ t+ dt s r♠♥ts ①térrs és à ♥st♥tt + dt st ♦♥ ♥éssr rés♦r s éqt♦♥s s r♠♥ts ①térrs♦♠♠ ♥♦♥♥s ♦♠♥t ❬❪ ♣rés♥t ♥ ①♣t♦♥ été s ér♥ts sé♠s ♥tért♦♥ t♠♣♦r

s sé♠s ♠♣ts ♠ré r ♦♠♣é①té ♣rés♥t♥t ♥ stté ♥♦♥t♦♥♥s sé♠s ①♣ts ♥ésst♥t ♦sr ♥ ♥tr dt ss♠♠♥t ♣tt ♣♦r♣r♠ttr ♥ ♦♥r♥ rs s♦t♦♥ ♣♥♥t ss s ♦rt♠s ①♣ts♣r♠tt♥t trtr s ♣r♦è♠s ♥♦♥♥érs q st s ♥♦tr ét

Pr♠ s ér♥ts ♦s éé♠♥ts♥s ♣♦sss ♦♥ ♣t tr ♦❴str ❨ qs P②t♦r t à s ér♥s t②♣s éé♠♥ts s♣♦♥ss tés ♣r♠étrst♦♥ s ♣tés sst♦♥ t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♠♣①té s ér♥s ♣r♥♣s ♦♥r♥♥t ♥♦tr ♣r♦è♠ ♣♦rt♥t sr ♠♦ést♦♥ ♦♣ strtr t r♦tt♠♥t ♥s q sr ♦♠♣tté ♥trs ① éé♠♥ts

♦s ♦♥s ♦s♦♥ tsr ♦❴str t ❨ ♥s r tt tèss réstts s♦♥t s♠rs t s♦♥t tés ♥s s t♠♣s ♦♠♣rs ♥s ♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr t ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♥t ♦♥♥é st ♥♥r♦♥ ♥ r ♣♦r ♥ s♥ ss♠q ♥ ③♥ s♦♥s

♠rqs

rt♥s rts trt♥t ♦♣ ♥tr ① ♦s ♥♠érqs ♥ ♥t s♠sss ♦♣ strtr à ♣rtr s é♣♠♥ts tsés strtrt tr ①ét♥t t♠♣♦r éé♠♥ts♥s ♥♦♥♥érs sr ♥ ♣s t♠♣st ♥s st ♣♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣t ♣t ♥tr♦r s s ♥♦♥ ♥és t é♥t♠♥t ♦♥♥r ♥ ♦♥r♥ rs ♥ s♦t♦♥ q ♥st ♣s s♦t♦♥ ré ♦♥♥t ♦♥ r ♥ ♥②s très ♥ ♦♥r♥ s♦t♦♥ ♣♦r ♥ ♣s r rrr ♣r♦s ♦♥séq♥t

é♦rs é♦♣♣és ♥s tt tès

♦t ♣r♥♣ té♦r é♦♣♣é ♥s tt tès st ♣r♠ttr ♥ ♣s ♣r♦ ♣♦ss rété ♥ t♠♣s qs♥st♥t♥é ♣r♠ttsr ♥ ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stq ♥ s♠r ♥ r♥ ♥♦♠r sés♠s t ♦♥t♦♥s ♥ts ♣♦sss q s♦♥t ①trê♠♠♥t ♠♣♦rt♥ts ♣♦r ♣r♦è♠ t♠♥t ♦tq

é♦r ♦♣ strtr é♦♣♣é

♥ ré♣♦♥r ① ♦ts q ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ①és ♥♦s ♦♥s é♦♣♣r ♥♠ét♦ ♥②tq ♣♣r♦é s ♠sss ♦♣ strtr tt♠ét♦ ♥②tq ♣r♠t ♥ qs♥st♥é ♣té à ♥♦s ①♥s

♠♦és ♦♣ ♥tr ♠♦s s♥ ♥ qr ♠♦s ♦♣ ♣r♥ ♥ ♦♠♣t s ♦rts ♥♦♥ ♥és s éért♦♥s s ♠♦s q♦♥♥♦♠♠r t ♦♥ ♠ét♦ ♠♣♦②é ts s éqt♦♥s ♦♥srt♦♥ ♠ss ss♦és à ♥♦♠♣rssté ♥ ♥st é♥r ♥étq ♥ ♥é♥t é♥r st♦é ♥s s ③♦♥s à é♦♠♥t ♦♠♣① s ♥trst♦♥s ♥tr ♠s ♥ ♠♥♠sr ♥♥ tt é♥r ♣♦r ♥ ér s ♣r♦s ♣rss♦♥ s♥ s ♠s t ♥ ér s ♠sss ♦♣ ♥tr ♠♦s

s ♠sss ♦♣ s♦♥t és ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq q♦♥qt ♣t ♦♥ êtr tsé s é♣♠♥ts s ♠♦s

ét♦ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q ♥♦♥♥ér

♠ét♦ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♦t ré♣♦♥r à s♦♥ t♦rà ①♥ qs♥st♥t♥é t à ♣rs ♥ ♦♠♣t ♠♦rté srtérstqs strtr ré ts ♦♥stt q ♥♦♥♥érté ♣r♦è♠ ♣♦rt sr é♦t♦♥ s ♠sss ♦♣ strtr t rét♦♥

s♦ ♥ ♦♥t♦♥ t♠♣s Pr ♦♥tr ♥② ♣s ♥♦♥♥érté sr ♦♠♥ é♥t♦♥ s ♦♦r♦♥♥és s♣ts ♥ ♣t ♦♥ srétsr ét t♠♣♦r ♥ s r♠♥r à ♥ ♣r♦è♠ qs♥ér ♣r ♠♦rç① t ♥ rés♦t♦♥ s♣t ♥ér♥ ts♥t s ♠♦s ♣r♦♣rs

♠♦è ♥s é♦♣♣é ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s é♦t♦♥s t♠♣♦rs s ♠sss ♦♣ strtr ♥s q rs ts ss♣ts sr ♦♥ ♥éssr étr♠♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés s②stè♠ ♣s ♦♥ ♣r♦tr s éqt♦♥s éqrsr s ♠♦s ♣r♦♣rs s ts ss♣ts sr♦♥t s♣♣♦sés ♦♠♠ s ♠♦rtss♠♥ts♠♦① Ps ♦♥ ♦♥sérr ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣♦r s♣♣♦sr s r♠♥ts ①térrs ♦♥st♥ts t ♦♥ rés♦r s éqt♦♥s s♦s s ②♣♦tèss ♥♥ ♦♥tstr s ♥♠♥ts ♦♥t♦♥s ♦♥tt à ♥ ♣s t♠♣s s s♦t♦♥sqs♥②tqs s♦♥t qs♥st♥t♥és

♣♣t♦♥s ♣♦sss ① trs ♦♠♥s é

♥

♦♠♥ ♣r♥♣ ♣♣t♦♥s té♦r q sr ♣rés♥té ♥s s ♣trss♥ts ♦♥r♥ ♥ér ét♥t ♦♥♥é ♠♣t ♣♦t♥t ♥ é♥ ♥s str t s ①♥s ré♠♥trs q s♦♥t ss♦és ♥♦t♠♠♥t ♥s ♦♠♥ss♠q ♥ésst♥t ♥ r♠s à ♥ ♣r♠♥♥t é♥♠♦♥s s té♦rs t résttsq sr♦♥t ♣rés♥tés ♥ s ♠t♥t ♣s ♥ér

P♦♥ts ♥♥s s ♣s à st♦♥ rt♥rs

s ♦rs é♥ ts q s ♣♦♥ts s♦♥t ♥ ♦♠♥ ♣♣t♦♥ ♣♦ss té♦r ♣rés♥té ♥s tt tès s ♦rs s♦♥t ♥ s ♣rtr s ♠ét♦stsés ♥ ♦♥sèr ♥ ♦♠♥ ♥♥ ♥s rt♦♥ ♣r♣♥r ♣♦♥t t ♥ qr ♥rt♦♥♥ strtrs

s r♦tt♠♥ts sr♥t à ♠♦ésr s ♣♦♥ts ♠ç♦♥♥r ♦ù s ♦s ♣♥t ssrs ♥s sr s trs r ♦ s ♣♦♥ts ♣s ré♥ts sr sqs s♣♣q♥t r♥s s♦tt♦♥s ss♠qs r s r♥rs s s♣♦sts s♣♣♦rt t♦rs♥t ss♠♥t ♥s♠ ♣ ♣♦♥t st ♥♦t♠♠♥t s ♣♦♥t ♦♥♥tr♦♥r♥t rè à ♣é♥♥s Pé♦♣♦♥ès r

rs st♦

Pr♠ s ♦♠♥s ♣♣t♦♥ ♦♥ ♣♦rr tr s ♥rstrtrs st♦ r♥ t ♣t ♦♥r♥r s résr♦rs ♣♦t s r♥s s♥s s s s ♣s ♥♥♥s s ♥rstrtrs ♣rés♥t♥t ♥ ré ♥ ét♥t ♦♥♥éq st s♦♥t strtrs ①st♥ts ♥♥♥s q ♦♥♥t réér s ♥♦s ♥♦r♠s ss♠qs ♦rsqs s♦♥t ré♥♦és r 1.24 ♦♥♥r♦♥ tsr s té♦rs s ♣s ré♥ts ♦♣ strtr s♦s r♠♥tsss♠qs ♥ ♦t♥r s réstts s ♣s ♣rt♥♥ts ♣♦sss

r P♦♥t ♥② sr ♦r ❬❪

r P♦♥t ♦♥♥tr♦♥ ❬❪

Pr♠ s trs ♥rstrtrs st♦ ♦♥ ♣♦rr tr s ♥trs rt♥t rstrt♦♥ ♣ ♥ r trt♠♥t térr s ♥trs st♦r♣rés♥t♥t r♥s ♦♠s ♣s s♦♥t és r♥ ♣ t ♦♥t ♦♥ ♣rt♥tér♥t ♦rs ♣s r♥ t ♥st ♦♥ ♣s ét♦♥♥♥t tr♦r ♥♥tr rt♥ ♣ s♦s s sts s ♥trs ♦♠♠r① s ♣r♥st r (1.25) r♣rés♥t ♥tr rt♥ ♣ sté s♦s st r♥ ❯♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t ♣rés s ♥rstrtrs st ♥éssr ét♥t ♦♥♥é ♦ ♥ srté ♥rstrtr st♦ t strtr sté sss

s ♣r♦é♠tqs s♦♥t ♦♠♠♥s à t♦s s ♣②s é♦♣♣és r (1.26) ♣rés♥t ♣s r♥ ss♥ rét♥t♦♥ ♠♦♥ st résé ♣♦♥ ♥s ♠étr♦♣♦ ♦②♦ t sét♥ ♥tr ♦♠♠♥ t♠ t ♦②♦

r ésr♦r st♦ ♣♦t ♦♥ts♦rs ♥rt♦♥ ♥ []

r ss♥ rét♥t♦♥ ♣ P♥ ♥t♥s sté s♦s st r♥ []

rs ♥ ♠ç♦♥♥r

s ♦rs ♥ ♠ç♦♥♥r ♣♥t ss tsr té♦r q sr é♦♣♣é ♥stt tès s ♦♥ts ♥tr ♦s ♣rt♣♥t qs♠♥t ①s♠♥t à ss♣t♦♥é♥r ♦rs s ♠♦♠♥ts strtr tt ss♣t♦♥ é♥r ♣♦rr êtr♠♦ésé ♥ ts♥t s s②stè♠s s ♠sss ♦♣ strtr ②♥t♥ ♠♣t t ♥ r♥ rt♦♥ t♠♣♦r mH(t) << 1 t mH(t) ♦rr

♠ê♠ ♠♥èr r♦tt♠♥t s♦ ♦rs é♣♠♥t r♣rés♥t trs tsss♣ts s é♣♠♥ts s♦s strtr ♥♦t♠♠♥t ♥ s ①tré♠tés ♠r ♦ s ♠rs ♦s r♠♣ss ♦r r (1.27) s rs s ♠sss ♦♣ t s ♦♥ts r♦tt♠♥t ♣♦rr♦♥t êtr rés ♣rès ér♥ts s♠t♦♥s t ♥ s é♣♠♥ts s ér♥ts ♦s

♥t♥♥ t sérté s ♦rs ①st♥ts

r s ♦rs ①st♥ts ♣r♠ s ♥① srté ♣r♥♣① ♦♥r♥♥t ♠♥q♥♦r♠t♦♥s sr étt strtr ♥①st s♦♥t ♣s ♣♥ strtr ré ss♠♥t s ♠tér① ♥st ♣s été

r ésr♦r é♥t à t♠ ♥s ♥ ♦②♦ []

r r à ♦ ♣r♠♥ts ♦s r♠♣ss ❬❪

rt♥s ♠tér① t rt♥s t♥qs ♦♥strts ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s t♠♥t

♦s ♥♦♥s ♣s ♦♥♥ss♥ st♦r s r♠♥ts sr strtr t ♦♥♦♥ ♥ ♦♥♥t ♣s ♥♦♠♠♠♥t strtr t s ♠tér①

s s♥s ♦♥♥és ♥ésst♥t r ♥ rt♥ ♥♦♠r ②♣♦tèss t éts♦♠♣é♠♥trs sr strtr s ♥♦r♠t♦♥s ♦♠♣é♠♥trs ♥ésst♥t ♣r♦ss sss strts sr strtr ♥ étr ♥t♣r ♦♠♣♦rt♠♥t strtr ♠ré s ♥rtts st ♥éssr tsr s ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stqs s s♦t♦♥s ♥②tqs é♦♣♣és ♥s tt tès s réè♥t♦♥ ♣rtèr♠♥t ts

r♥st♦♥ tès

♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s ♣tr ♦♥t①t ♦ ♠♥tt♦♥ s s♦♥é♥rétqs ♠♦♥① t s♦♥ sérté s ♣♦♣t♦♥s ♦s ♦♥s ♥st été ♦♠♠♥t s s♦♥s s♦♥t ♥térés ♥s ♠♥s♦♥♥♠♥t s ♥trs ♣r♦t♦♥ é♥r t ♥♦t♠♠♥t s ♥trs ♥érs trrs ♥tr♦t♦♥ ♣r♦rss s ♠ét♦s st♦stqs s ♥♦s ♠ét♦s ♠♣♦s♥t é♦♣♣♠♥t ♠♦ès s♠♣és s ♣r♠tt♥t ♥ r♣ ♣r♦è♠s ♦♠♣①s ②♥♠q ♥♦♥ ♥ér s ♦♣s strtr q sr ♦♠♥ ét

r s ♦r♠s r r♥sés ♥s ❬❪

♥♦tr tès ♦s ♦♥s ♥st été s ♦♥t♥s s♥tqs q sr♦♥t tsés t s♦♠♥s ♣♣t♦♥ ♣♦sss s té♦rs q sr♦♥t é♦♣♣és ♥s s ♣trs t

♣tr ♣♦rt sr s ♠ét♦s étr♠♥t♦♥ s ♠sss ♦♣ strtr ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥ ét ♦r♣q étt rt ♣s ♥♦s rés♠r♦♥s s ss té♦rqs té♦r s ♠sss ♦tés Ps ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s♥♦s ♠ét♦s s ♠sss ♦tés ♥s s ♦♣ ♥tr ① rt♥s ♥s s ♣♦st♦♥s ♦♥♥trqs t ♥♦♥ ♦♥♥trqs ♥♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s♥ ♠ét♦ ♦♣ ♠tstrtr ♥s ♥ qr strtrsà s rt♥r t ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s réstts s ér♥ts ♠♦és q ♥♦s♦♠♣rr♦♥s ① ♠♦ès ①st♥ts

♣tr é♦♣♣ s ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♦♣é tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s ét ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♣♦tr ss♥t ♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ s♦ ♠♠ré ♥s ♥ t s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q s ♠trs ♠sss ♦♣ tsés♥s ♣tr s♦♥t sss s ♠♦ès é♦♣♣és ♥s ♣tr ♦s ♣rés♥tr♦♥ss ♠ét♦s étr♠♥t♦♥ s ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♦rrs♣♦♥♥t ①ér♥ts étts ♦♥tt ♣s ♥♦s ♦♥♥r♦♥s ♥ ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♥②tqsr ♥ ♣s t♠♣s ①é ♥♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s ♠ét♦s ♣ss ♥ ♣s t♠♣s ♣s t♠♣s s♥t ♥s s s ♥♠♥t ♦♥t♦♥s ♦♥tt sréstts ♣r♦è♠ ♦♣é sr♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♣tr ❱

♣tr ❱ ♣rés♥t s réstts sss s té♦rs é♦♣♣és ♥s s ♣trs t s s♦♥t ♦t♥s ♥ ♦♠♣r♥t s réstts ♣s♦♥②tqs tès às s♠t♦♥s ♥②tqs sr s ♦♥rt♦♥s ♥tqs ♣r♠t r s♠♦ès é♦♣♣és sr s s s♠♣és Ps ♦♥ ts ♣♥♠♥t s ♠ét♦s

rés♦t♦♥ r♣ s ♣r♦è♠s ♥♦♥♥ér ♦♣és tst♦♥ é♦♠étr t♣rs ♥ ♦♠♣t s tr♠s ♥♦♥ ♦♥① s ♠trs ♦♣ ♥ ♣rés♥tr ♥♥ s ♣r♠ètrs t♠♥t ♥éés ♥s ré♣♦♥s strtr ♥♥♥♦s ♠♦♥trr♦♥s q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦tq s②stè♠ ♥ ♣r♠t ♣s ♦♥♥rs rès é♥érs sr s ♠♦ès tr♦♣ s♠♣és t q st ♥éssr ♠♦ésr ♣s ♥♠♥t ♣♦ss ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r strtr à ♠♥s♦♥♥r

♣tr ❱ ♦♥♥r ♥ ♦♥s♦♥ à tr rr t ♣r♦♣♦sr s ♣sts♠é♦rt♦♥ t é♦♣♣♠♥t

♦r♣

❬❪ ts Prs s♦trr♥ é♠♥t t ♦♠s

❬❪ t r♥①♣♦rt♦♥♦♠

❬❪ ❲♦r P♦♣t♦♥ Pr♦s♣ts t s♦♥ ❯♥t t♦♥s P♦♣t♦♥ s♦♥ ❱rs♦♥ ♥

❬❪ t ❲♣♦r ❲♦r ♣♦♣t♦♥ tt♣ ♥♣♦r❲♦r❴♣♦♣t♦♥

❬❪ t tt♣ ♠♦♥rst♦♠

❬❪ ❱♦t t♦♥♥r rss♦♥é rttr r♥çs ❳ ❳❱sè

❬❪ ② ❲♦r ♥r② ttsts ♥tr♥t♦♥ ♥r② ♥②

❬❪ ♦r♠t♦♥ P r

❬❪ tt♣ rstrtr

❬❪ tt♣ ♣♥tt♣♦♠

❬❪ tt♣ ♥s♥♥ts♦♠

❬❪ ♥❨♦♥ ♠ t♦r ♥ ♥♥ ②st♠ ♦r P♦r ♥♥r♥ ♦

❬❪ rt ❯ ♣♥t t♦r

❬❪ tt♣ ♦str♦r❱♦tr♠♥❴rrr♣

❬❪ è ♦♥♠♥t ûrté r ♦t♦r

❬❪ qtsrts♦♥sr

❬❪ P tr P♦r sr ♥sttt

❬❪ rt③ t ♦ qs ♦♥ t ②♥♠ ♠♦t♦♥s ♦ ♠♠rs s♦s r♥s ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♦r ♥str②

❬❪ t ♥ ♥ ♠ t♦♥ ♦ ss♠ ♦s ♦♥ st♦r rs♥r ♦♥srt♦♥ ♦ strtr ♥trt♦♥ r♥s

❬❪ ♥ ♥ t ♦♠♣rs♦♥ ♦ r♥t ♥②t ♦r♠t♦♥s ♦r t♥ st♦r rs r♥s

❬❪ t ♥ ♥ strtr♥trt♦♥ ♦r t ♥②ss ♦ t ②♥♠s ♦ st♦r rs ♥ t s ♦ ss♠ ♦s r ♥♥r♥ ♥ s♥

♣tr

t t ♠♦ést♦♥ ♥tért♦♥

strtr

♥tr♦t♦♥

♣tr ♣♦rt sr ét ♦♣ strtr ♣♣qé à s strtrs àst♦♥ rt♥r ♠♠rés ♥s ♥ ♦♥t♥ ♥s ♥ résr♦r s rt♥r s ♠s ♦♥sérés ♥s s té♦rs q sr♦♥t é♦♣♣és ♥s ♣tr s♦♥t s♣♣♦sés ♦♥♥és stàr é♣ssr ♣r r♣♣♦rt ① r♥rsrtérstqs strtr ♥ ♠tr ♥♦tr ét ① é♦♠♥ts ♣♥ t♦r strtr ♥ ♠♦♠♥t

s ♠♦ès ♥②tqs ♦♥t été é♦♣♣és sr st ♥tr s ♥♥és t ♥s ♦♠♥ ér♦♥tq t é♥ s ♣r♦è♠s s ♣s ♣r♦s ♣♦rt♥tsr ét ♦♠♣♦rt♠♥t s rrs ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t s résr♦rs q❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ s♦s sés♠ ♦ rt♦♥s s ♣rés♥t♥t s ♠♦ést♦♥s ♠ss♠♦rt t ♠ss ♦s♥t ♣♦r rtérsr ♦♠♣♦rt♠♥t sr r

♥s s ♥♥és à s ♠♦és ♥②tqs ♦♥t été é♦♣♣és ♥s ♥str♥ér ♥♦t♠♠♥t ♣♦r érr ré s t②trs rt ♣r♠r s♥trs t t♥ s rêt♠♥ts s r②♦♥s ss♠ ♦♠st s ♦♠♥ts rst♥t ♣r♦♣rété tt ♥str t ♥♦♥t q rr♠♥t été sés ♥s ♦♠♠♥té s♥tq

♣rès s ♥♥és s ♠♦ès ♥②tqs s s♦♥t rréés ♣♦r s♦r♥tr rs srés♦t♦♥s ♥♠érqs q s♦♥t ♠♥t♥♥t ♥térés ♥s ♣♣rt s ♦s éé♠♥ts♥s réér♥ ♥ ♣♦rr tr ♥♦t♠♠♥t ♦❴str ❨ qs P②t♦rt s ♠♦ès ♥②tqs s♣rss♥t ♣ à ♣ ♣②s s♥tq s♣♦r ♣♣♦rtr s s♠♣t♦♥s ♥s s s ♥♦♠r① éé♠♥ts ♥ ♦t♣♣rtr s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣♦r s s① ts ❬❪ ❬❪ ❬❪❬❪ ❬❪ t ❬❪

é♦♣♣♠♥t s ♣r♦è♠s ♦♣és ②♥♠q ♦♠♣① ♦♣ strtr ♦♥♥é ♥ ♥♦ s♦ ① s♦t♦♥s ♥②tqs ♣♣r♦és t ♥♦t♠♠♥t♥s ♥str ♥ér ♥ s ss éq♣♠♥ts ②♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q

s♦rt♥t ♥tr♠♥t ♦♠♥ ♥ér st râtr st♦ ♦♠st ♥♦t ♦♥ rssrr s ♠♦ès ♥②tqs ét s ♥♥és st s srts ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪ ♣♥♥t ♣ss ♥ é♦♠étr ②♥rq à ♥ é♦♠étr rt♥r ♥ s t ♣s ♠♥èr s♠♣ t ♥♦♠rss②♣♦tèss s♠♣trs ♦♥t été tés ♠t♥t ♦rt♠♥t s ♦♠♥s tés ♠♦ès

♥ ♠é♦rr s réstts ♦♥ r à é♦♣♣r s ♠♦ès ré♣♦♥♥t ①♦ts q ♥♠♥t tt tès à s♦r ♦ésr ♣s ♥♠♥t ♣♦ss ♣②sq s②stè♠ ré é♦♣♣r s ♠♦ès ♥②tqs ♦ qs♥②tqs ♥ t♠♣s ♣s ♦rt s ♣♦ss ♣rsq ♥st♥t♥é

♥s ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s éé♠♥ts té♦rqs ss♦és ♦♣ strtr t ♥♦t♠♠♥t à té♦r s ♠sss ♦tés Ps ♥♦s étr♦♥s ♠♦è ♥②tq st♦rq é♦♣♣é ♣r rt③ ❬❪ ♦s étr♦♥s s ♦♣ ♥tr ① ♣♦trs ♥♥s st♦♥ rt♥rs ♦♥♥trqs t♥♦♥ ♦♥♥trqs ♥ é♦♣♣♥t ♥ ♥♦ té♦r ♥♦s ♦♠♣rr♦♥s ♥♦s résttsà ① s ♠ét♦s ①st♥ts t ① réstts éé♠♥ts♥s ♥♥ ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s♥ ♠♦è ♦♣ ♠tstrtr ♣té à ♥ qr strtrs ssrt♥rs

é♠♥ts té♦r

♥s tt ♣rt ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s s ss té♦rqs ♦♣ strtrt ♥♦t♠♠♥t té♦r s ♠sss ♦tés P♦r ♥♦s ♥♦s ♥s♣rr♦♥s s♥s♠♥t ♦r [] q st ♥ réér♥ ♥s ♦♠♥ s éqt♦♥s ♣r♠tt♥tétr té♦r s ♠sss ♦tés s♦♥t rt♠♥t sss t ♦r

♦s ♦♥sérr♦♥s ♥s ♥s♠ ♥♦tr ét ♥ ♥♦♠♣rss ♥s q st ♠♠ré ♥ s♦ é♦♠étr q♦♥q ♦s s♣♣♦s♦♥s q s ♦r①térr s♣♣q♥t sr s②stè♠ st rté ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥s ♥ ♣r♠rt♠♣s s ss té♦r ♦♣ strtr ♣s ♥♦s ♥tr♦r♦♥s rt♥s②♣♦tèss s♠♣trs ♥ ♣rés♥tr té♦r s ♠sss ♦tés

♦♠rs ♠♥s♦♥♥s

♥ ♣♦♦r ér ♥♥ sr ré♣♦♥s ②♥♠q râtr st♦ ♥♦s ♦♥s s♦♥ étr ♣s ♥ éts ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ st ré ♣r ♥ rt♥ ♥♦♠r r♥rs rtérstqsssq♠♥t s r♥rs ♠♥s♦♥♥s s♦♥t s ♥♦♠rs r♦ ②♥♦st ② t s♦♥t é♥s ♠♥èr s♥t

FR = U0√Lg

RE = ρFU0L

µ

CY =ρFU2

0

E

U0 ❯♥ tss rtérstq L ❯♥ ♠♥s♦♥ rtérstq ♦♠♥ ♦ù ♥trt♦♥ strtr g rté ρF ♠ss ♦♠q E ♠♦ ❨♦♥ s♦ µ s♦sté t t♠♣s

♣♥♥t ♥s s ♥ ♥trt♦♥ strtr r rtérstq tss U0 st trés à q♥tr t st ♥ ♦♥séq♥ ♣é♥♦♠è♥ q♥♦s r♦♥s à étr ♥s st ♣s ♦♠♠♦ tsr ♥ r♥r tssrtérstq rt♠♥t rtté s♦ ♣tôt q ♦s tsr♦♥s ♦♥cs éérté ♥ ♦♥ ♥s s♦ s ♥♦♠rs ♠♥s♦♥♥s tsés ♥♥♥t ♥♦♠r r♦ ②♥♠q ♥♦♠r t♦s t ♥♦♠r ♠ss

Fd =cs√gL

ST = ρF cSL

µ

M =ρF c2SE

= ρFρS

ù ρS st ♠ss ♦♠q s♦

❱rs ♠♥s♦♥♥s

♦s é♥ss♦♥s ♠ê♠ ç♦♥ s rs ♠♥s♦♥♥s s rs sér♥t

U = U

cS

p = p

ρF c2S

ù U st tss ré s ♣rts s t p st ♣rss♦♥ ♥ t♦t ♣♦♥t

t♠♣s ♠♥s♦♥♥ s é♥t ♦♠♠

t =tcSL

♥ ♠♥s♦♥♥ s rs és s♦ ♥s

ξ =ξ

ξ0

σ =σ

E

D = ξ0L

ù ξ = x − X st tr é♣♠♥t é♥ ♥ t♦t ♣♦♥t s♦ t σ st ♦♥tr♥t ré ξ0 st ♥ r♥r rtérstq é♣♠♥t strtrt D st ♥ r♥r ♣♣é é♣♠♥t rét q rtérs s ts r♥sé♣♠♥ts

qt♦♥s s②stè♠

♥t♥♥t q s rs q ♦♠♥ ♦♥t été é♥s t érr s éqt♦♥s éqr s s②stè♠s t s♦ ♥s q s éqt♦♥s ♦♥t♥té ①♥trs

qt♦♥s ♠♣ ♣♦r

♥♦♠♣rssté sért

divU = 0

t ♦♥srt♦♥ q♥tté ♠♦♠♥t

dU

dt= − 1

F 2D

ez −∇p+ 1

ST

∆U

qt♦♥s éqr s♦

éqr s②stè♠ sért

D∂2ξ

∂t2= − 1

F 2D

+ divσ

s rtérstqs ♠tér ♦♥♥♥t

D1

2

(∇tξ +∇ξ

)= (1 + ν)σ − νTr(σ)1

♦♥t♦♥s ♥tr

s ♦♥t♦♥s ♥tr ♥ é♣♠♥t s①♣r♠♥t

U(x) = D∂ξ

∂t(X)

x = x

L ♣♦st♦♥ t ♠♥s♦♥♥é s ♣rts

X = X

L ♣♦st♦♥ ♥t ♠♥s♦♥♥é s ♣rts s♦

s ♦♥t♦♥s ♥tr ♥ ♦♥tr♥t s①♣r♠♥t

M[−p(x)1 + 2

ST

d(x)

].n(x) = σ(x).n(x)

ù d = 1

2(∇tU +∇U)

n(x) tr ♥♦r♠ s♦rt♥t s♦

②♣♦tès ♣tts é♣♠♥ts

♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ① ♣tts ♠♦♠♥ts ♥ s♦ ♥s ♦s s♣♣♦sr♦♥s ♥t♠♥t r♣♦s ♥ ♣rss♦♥ ♥t s ②♣♦tèss s ♠♦és♥t♣r

D << 1, U = 0, P = P0.

r♠♥t ♣♣qé st é♣♠♥t s♦ ét♥t s♣♣♦sé st♥tr r ♥ é♦♣♣♠♥t ♠té s rs ♣r r♣♣♦rt ♣r♠ètrλ = D

U = 0 + λu, Σ = Σ0+ λσ.

♥ ♥t♥t é♦♣♣♠♥t ♠té ♥s s éqt♦♥s éqr ♦♥ ♦t♥tà ♦rr ♥ λ

−∇P0 = − 1

F 2D

ez

♦rr ♥ λ s éqt♦♥s éqr sér♥t divu = 0∂u

∂t= −∇p+ 1

ST∆u

t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts

u =∂ξ

∂t

♦♠♠ ♥qé ♥s [] ♦♥t♦♥ ②♥♠q s♦t♥t ♣s ♠♥t t ①st♥ ♠♣ ♣ré♦♥tr♥t Σ0 t s rt♦♥s é♦♠étrqs ♥tr

♦s ♥ ♦♥♥r♦♥s ♦♥ q réstt ♦rt ♥♥tés♠ ♥tr

df = TdAX

dAX = dAX .n0

t T = M

[σ + (−∇P0) .ξ 1− P0

(divξ

)1− P0

(∇ξ)T]

.n0

ù dAX ♦rrs♣♦♥ à ♥ éé♠♥t sr ♦r♥té ♥s ♦♥rt♦♥ réér♥ strtr t n0 st ♥ tr ♥♦r♠ sr ♥s ♦♥rt♦♥ réér♥

♥ ♣r♦tt ♥st t ♦rt sr é♣♠♥t ♥ s♥t ②♣♦tès ♥ ②♥♠qs♠♣ ért ♣r ♥ s ♦♥t♦♥ t♠♣s

ξ (X, t) = q(t)φ(X)

♣r♦t♦♥ s ♦rts ①rés ♣r à ♥tr sr é♣♠♥t φ(X)t

FFS =

∫

∂ΩFS

φ.dF = F 0FS + λfFS

♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ① tt♦♥s t ♦rt ♦rs ♠s ♥ ♠♦♠♥t strtr s♦t

fFS = M∫

∂ΩFS

φ.σ.ndA−q(t)M∫

∂ΩFS

(φ.n)(∇P0.φ) + P0

[(divφ)(φ.n)− n.(∇φ)φ

]dA

①è♠ tr♠ ①♣rss♦♥ st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ é♣♠♥t strtr t♣t êtr ♥tr♣rêté ♦♠♠ ♥ rr s é♦♠♣♦s ♥ ❯♥ rr r♥t kGA = M

∫∂ΩFS

(φ.n)(∇P0.φ)dA

❯♥ rr ♦r♠ kFA = M∫∂ΩFS

[(divφ)(φ.n)− n.(∇φ)φ

]dA

♦s ♥ ♥♦s ♥térssr♦♥s ♣s ① éts s rrs q ♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♣s ♦♠♥ ♥♦tr ét ♦s ♥♦s ♦s♦♥s ♦♥ sr ét♦♥ ♦rt ♥♥tés♠ rt♦♥♥ ♥trt♦♥ ♥tr t strtr fFS t ♥♦t♠♠♥t sr sé♣♥♥ ♥ q(t) q st ♥téré ♥s ♣r♠r tr♠ ét♥t à étr♥s s é♥ér ♥♦s rstr♥♦♥s ♥♦tr ét ① ♦♥t♦♥s té té♦rs ♠sss ♦tés

ss ♦té

♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♠♥t♥♥t ♥s r té♦r s sss ♦tés r♣♦s sr ♥ ②♣♦tès ♣tts é♣♠♥ts ♦ù ♠♦♠♥t s♦ s t à ♥é t♠♣s ♦rt ♥t t♠♣s s♦♥ t ♥t t♠♣s ♣ss s♦♥s rté à sr s♦t

ST >> 1, FD >> 1.

Pr rs ♥ s♠♣r s s ♥♦s ♥é♦♥s ♣rss♦♥ ♥t P0 = 0 s ts tt ♣rér ♥♦♥t ♣s ♥♥ sr s ♠sss♦tés

s éqt♦♥s sér♥t ♦♥

divu = 0

∂u

∂t= −∇p

t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts

u.n =∂ξ

∂t.n

Mpn = −T

♥ s♣♣♦s ♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s r râtr st é♥ ♣r ♥ s♣r♠ètr q(t) t ♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠ φ(X) tt ♦♥t♦♥ ♦r♠ ért ♥tèr♠♥t ♠♦♠♥t ① ♥trs strtr

ξ(X, t) = q(t)φ(X)

q(t) st ♣r♠ètr r♠♥t s②stè♠ ♦r♠ s ♦♥t♦♥s♥é♠tqs t ♥érté s éqt♦♥s ♦♥ ♣t ①♣r♠r ♠♣s tss t ♣rss♦♥ à ♣r♠ètr ♥s

u(x, t) = q(t)φu(x),

p(x, t) = q(t)φp(x).

s éqt♦♥s réss♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s rés♥t à

divφu = 0

φu = −∇φp

♥tr

φu.n = φ.n

♥ é♠♥♥t φu ♦♥ s r♠è♥ à ♥ ♣r♦è♠ ♣ sr φp

∆φp = 0

s ♦♥t♦♥s ♥tr

−∇φp.n = φ.n

♥ ♣♦s♥t fFS ♣r♦t♦♥ sr φ s ♦rts ①rés ♣r sr ♥tr ♦♥tr♦

fFS =

∫

∂ΩFS

M (−pn) .φdA

♦t ♥ ts♥t ①♣rss♦♥ ♣rss♦♥

fFS = −q[∫

∂ΩFS

Mφpn.φdA

]= −mAq

♥ ♥tr♦t ♥s ♠ss ♦té ♠♥s♦♥♥ mA ♠♦ éqt♦♥ éqr ♠♥s♦♥♥ ♥ ♣rés♥ ♠♥èr s♥t

(1 +mA) q + q = 0

ét♦

♥s tt tès ♥♦s tsr♦♥s ♥ ♣r♦♣rété ♣rtèr ♠ss ♦té é à①♣rss♦♥ é♥r ♥étq ♥ t à ♥st♥t t é♥r ♥étq sért

Ec =

∫

ΩF

1

2M‖u‖2dΩ =

1

2q2∫

ΩF

M‖φu‖2dΩ

r

‖φu‖2 = ‖∇φp‖2 = div (φp∇φp)− φp∆φp

r♥r tr♠ st ♥ t ♦♥ ♣t érr

∫

ΩF

‖φu‖2dΩ =

∫

∂ΩF

φp∇φp. (−n) dA

♥ ts♥t s ♦♥t♦♥s ♥tr strtr t ♥ s♣♣♦s♥t q s trs♥trs s♦♥t s♦t ♠♠♦s (∇φp = 0) s♦t rs (φp = 0) ♦♥ tr♦

∫

ΩF

‖φu‖2dΩ =

∫

∂ΩF

φpφ.ndA

é♥r ♥étq s①♣r♠ ♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♠ss ♦té

Ec =

∫

ΩF

1

2M‖u‖2dΩ =

1

2mAq

2

♠ss ♦témA s♥t ♦♥ ♦♠♠ ♦♥t ♥rt q ♣r♠t ①♣r♠ré♥r ♥étq ♥ ♦♥t♦♥ r q é♥t tss s♦ q ♦stsr♦♥s tt ♦r♠t♦♥ ♠ss ♦té ♥s s té♦rs q ♥♦s é♦♣♣r♦♥s♥s s ♣rts 2.5 t 2.6

t ♥ ♠♦è ssq ♦♣

strtr ♦♣ ♥tr ts ♥♥s ♦♥♥trqs

ét♦ rt③

sr♣t♦♥ é♦♠étrq

rt [] st ♥ s ♣r♠rs à ♣♦sr s ss té♦r s ♠sss♦tés ♦s ♣rés♥tr♦♥s r♣♠♥t s réstts t rt ♦♥tr s②stè♠été st ♦♠♣♦sé ① ②♥rs ♥♥s ♦♥♥trqs sé♣rés ♣r ♥ ♠ ♥♥r ♥ ♥♦t a r②♦♥ ②♥r ♥tr♥ t b r②♦♥ ②♥r ①tr♥

♠♦è st ss ♣♦r s ②♥rs ♠♥s♦♥s ♥s ♥ ♥♦t♥t L ♦♥r sr q s ① ②♥rs s♦♥t ♥ sàs s ②♣♦tèss rt③ s ér♥tss③ ♥ s ♦♥ s♣♣♦s L >> b

♦tt♦♥s

②♥r ♥tr♥ ♥ tss V1 = x1ux ②♥r ①tr♥ ♥ tss V2 = x2ux♥ s♣♣♦s q é♦♠étr ♥ ♥ ♣s stàr q é♣♠♥t rt x2−x1st ♣tt ♣r r♣♣♦rt à st♥ ♥♥r b − a ♥ é♥ ♥ ♣♦t♥t φ(r, θ) ♣♦rr tss

Vr (r, θ) = −∂φ∂r

(r, θ) ; Vθ (r, θ) = −1

r

∂φ

∂θ(r, θ) r ∈ [a, b]

ù Vr st tss r t Vθ tss t♥♥t

s ♥ éqt♦♥ s②stè♠

♥ s♣♣♦s q q st ♥ ♣rt ♥♦♠♣rss s ♣r♦s s ②♥rss♦♥t s♣♣♦sés ♣rt♠♥t ét♥s ♥s s ♦♥t♦♥s ① ♠ts sér♥t

−∂φ∂r

(a, θ) = x1 cos θ

−∂φ∂r

(b, θ) = x2 cos θ

t ♥♦♠♣rssté s①♣r♠

− ∂

∂r

(r∂φ

∂r

)+

1

r

∂2φ

∂θ2= 0

♥ ts♥t ♠ét♦ sé♣rt♦♥ s rs s♦t♦♥ st rré s♦s ♦r♠

φ(r, θ) = f(r) cos θ

♥ ét (2.45) t (2.46)

r2f ′′ + rf ′ − f = 0

♦t♦♥s ♠♦è rt③

s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣r♠tt♥t étr♠♥r s tsss s♦t♦♥s ttéqt♦♥ ér♥t

Vr =

(B

r2− A

)cos θ

Vθ =

(B

r2+ A

)sin θ

B =b2a2

b2 − a2(x1 − x2)

A =x1a

2 − x2b2

b2 − a2

tss ♥ q ♣♦♥t ét♥t étr♠♥é ♣r ♥ ♥♦♠r rstr♥t ♣r♠ètrs (x1, x2) ♦♥ ♣t tsr s éqt♦♥s r♥ ♣♦r étr♠♥r s éqt♦♥s s②stè♠ ét♥t s♣♣♦sé ♣rt t é♦♠♥t rr♦tt♦♥♥ ♥ ♣♦ssè ♣s é♥r ♣♦t♥t ♥ ♦rs ss♣ts s♠♥t ♥ é♥r ♥étq ♦r ♣♣qé ♣r ♥ rét♦♥ à ♥ rt♦♥ ♣r♠ètr xi st ♦♥♥é♣r

Fi = − d

dt

∂T

∂xi

ù st é♥r ♥étq é♥ ♣♦r ♥ ♦♥r ②♥r L ♣r

T =1

2ρL

∫ b

a

∫ 2π

0

r(V 2r + V 2

θ )drdθ

♥ ♥ ét ①♣rss♦♥ ♦rt ①ré ♣r ♥ ré♣♦♥s ♠♦♠♥t ②♥r ♥térr x1 ♦ ①térr x2

F1 = −MH x1 + (M1 +MH)x2

F2 = (M1 +MH)x1 − (M1 +M2 +MH)x2

ù F1 t F2 s♦♥t rs♣t♠♥t s ♦rts ①rés ♣r sr ②♥r ♥térrt ①térr s ♠sss ♦tés ♥tr♦ts s♦♥t é♥s ♣r M1 = πa2Lρ ♠ss é♣é ♣r ②♥r ♥térr M2 = πb2Lρ ♠ss ♦♥t♥ ♣r ②♥r ①térr MH =M1

b2+a2

b2−a2 ♠ss ♦♣ ②r♦②♥♠q

s ♠sss M1 t M2 ♦rrs♣♦♥♥t à s ♦♠s rs♣t♠♥t é♣é t♦♥t♥ ♥s s ②♥rs s ♦♥t ♥ ♥♥ sr rs ②♥rs rs♣ts s♠rsà ♣♦ssé r♠è ♣♦♥t sr été ♥s ♣rr♣ §2.4

♠ss ②r♦②♥♠q MH ♦rrs♣♦♥ à ♠ss ♦♣♥t ré♠♥t s ♠♦♠♥ts ♥tr s ① ②♥rs ♠♥èr ♥rt ♥ s é♣♠♥ts♥t♠♥t ♥é♣♥♥ts

♥♠♥t réér♥t t ♣♦ssé r♠è

é♥érsé

♦s ♦♥s ♥s s ♣rts ♣réé♥ts q ♦♣ strtr t②♣♠ss ♦té ♥tr ① strtrs ♣t s①♣r♠r s♦s ♦r♠ ♥ ♠tr ♠ss ♦♣ strtr Pr♥♦♥s ①♠♣ ① strtrs t ♥♣t ♥s étr♠♥r s ♦rts ♣♣qés ♣r ♥trt♦♥ strtr sr ♥s strtrs ♠♠rés

(F IFS→A

F IFS→B

)=

(MA MAB

MABT MB

).

(UA

UB

)

♦s rr♦♥s ♥s st ♣tr q s ♠trs MA t MB t MAB sr♥t à

r s ♠trs M1A t M1

B q s♦♥t s ♠trs ♠sss é♣és tsés

♥s ♣♦ssé r♠è é♥érsé s s♦♥t ♦♥s ♦rsq ré♣rtt♦♥ ♠ss strtr st ♥♦r♠ t q s ①s ♣r♥♣① strtrs♦♥t ♥és ① r♣èr

♥ ♦♠♣r♥r ♣r♥♣ ♣♦ssé r♠è é♥érsé ♥♦s ♠tr♦♥s♥♦tr ét à rt♦♥ ex s②stè♠ ♥ ♦t♥t ♦♥ ♥ s②stè♠ s♠♣é s ♥sx ♥ s♦♥t ♣s tsés ♣♦r ♥ s♦s rté

(FIFS→A

FIFS→B

)=

(MA MAB

MAB MB

).

(UA

UB

)

qt♦♥s éqr s②stè♠ ♥s ♥ réér♥t é♥

Pç♦♥s♥♦s ♥s ♥ réér♥t é♥ s②stè♠ st ♦♠♣♦sé ① strtrs t s♦♠ss à rt♥s ♦rs ①térrs F T

ext = (Fext→A, Fext→B) ♥ ♣s ♦♣strtr F IFS ♥s s é♥ér s strtrs ♥ s♦♥t ♣s ♥é♣♥♥ts t ♦♥♣t érr éqt♦♥ é♥ér éqr ♥ réér♥t é♥ ♣♦r r♣♣ ♦♥ s ♠t à ét ♦♠♣♦rt♠♥t s♥t rt♦♥ ex

M.U + C.U +K.U = Fext + FIFS

♥ ét♥t ①♣rss♦♥ ♦♣ strtr tt éqt♦♥ s réér

M.U + C.U +K.U = Fext +

(MA MAB

MAB MB

).U

qt♦♥s éqr s②stè♠ ♥s ♥ réér♥t ♥♦♥é♥

♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♠♥t♥♥t ♥s ♥ réér♥t ♥♦♥é♥ ♥ s♣♣♦s q ♥ é♣♠♥t Us(t) ♣r r♣♣♦rt à ♥ réér♥t é♥ ♥ é♥t Ug tré♣♠♥t s ① strtrs ♥s réér♥t é♥ t Ung tr é♣♠♥ts ① strtrs ♥s réér♥t ♥♦♥é♥ s s♦♥t rés ♣r

Ung = Ug +

(Us(t)Us(t)

)

♥ ♥s ♣rr♣ ♣réé♥t éqt♦♥ éqr ♥s ♥ réér♥t é♥(2.59) ♥ ♣t ♥s érr éqt♦♥ éqr ♥s ♥ réér♥t q♦♥q

M.

[Ung −

(Us(t)

Us(t)

)]+ C.

[˙Ung −

(Us(t)

Us(t)

)]+K.

[Ung −

(Us(t)Us(t)

)]=

Fext +

(MA MAB

MAB MB

).

[Ung −

(Us(t)

Us(t)

)]

♥ ♦t ♥s ♣♣rîtr ♥♦① tr♠s

M.

(Us(t)

Us(t)

) ♦rrs♣♦♥ à éért♦♥ ♥trî♥♠♥t ssq st t

♠♥t tsé ♣♦r ♠♦ésr s r♠♥ts ss♠qs

C.

(Us(t)

Us(t)

) ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♦r ♠♦rtss♠♥t ♥trî♥♠♥t st ♥t

q♠♥t ♥ s ♠tr ♠♦rtss♠♥t st ♥q♠♥t ♦t♥ à ♠♦rtssrs rés ♦♥t s ①tré♠tés sss♥t ♠ê♠ tss é♣♠♥t réér♥t♥♦♥é♥ t ♦♥ ♥ ré ♥ ♦rt s♣♣é♠♥tr

K.

(Us(t)Us(t)

) ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♦r rr ♥trî♥♠♥t st ♥tq

♠♥t ♥ s ♠tr rr st ♥q♠♥t ♦t♥ à rss♦rts rés♦♥t s ①tré♠tés sss♥t ♠ê♠ é♣♠♥t réér♥t ♥♦♥é♥ t ♦♥♥ ré ♥ ♦rt s♣♣é♠♥tr

(MA MAB

MAB MB

).

(Us(t)

Us(t)

)=

(M1

AUs(t)

M1BUs(t)

) ♦rrs♣♦♥ à ♣♦ssé r♠è

st ♣♣qé sr q strtr ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ss é♣é M1A =

MA −MAB ♣♦r strtr t M1B = MB −MAB ♣♦r strtr ♥ ts

t♠♥t ①♣♦s♥t 1 ♣♦r é♥r tt ♠ss é♣é

♥ ♦♥sér♥t ♥ strtr s♠♣ ♦♠♣♦sé rrs t ♠♦rtss♠♥ts rés♦♥ ♣t érr éqt♦♥ éqr ♥s ♥ réér♥t q♦♥q

M.Ung + C. ˙Ung +K.Ung = Fext −[M −

(M1

A 00 M1

B

)].Us +

(MA MAB

MAB MB

).Ung

tt é♥t♦♥ ♣♦ssé r♠è été té ♥ ♦♥sér♥t ♥ réér♥t♥♦♥é♥ q♦♥q ②♥t ♥ ♥q rt♦♥ é♣♠♥t tt rt♦♥ ét♥t

q♦♥q ♦♥ ♣t é♥r ♥ ♣♦ssé r♠è é♥érsé ♦rrs♣♦♥♥t ① tr♦srt♦♥s é♣♠♥ts ♣♦sss ♥ tr♥st♦♥

é♥érst♦♥ à ♠♥s♦♥s

♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ♥s tt tès ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ♥ strtr♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q ♦s s ②♣♦tèss ♦♥ s♣♣♦s q ♥tr rté rr st ♥tr ♥ réér♥t é♥ réér♥t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t ♣r ①♠♣ ♣♥r sr q r♣♦s ♥♦tr strtr ♦♥ ♠r sr q♥t s♥rr ♥♦tr ♣ ♣♦♥t ♦ ♥ ♦r♣s ♣t♥t sr q ♥♦s ♥②s♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♥ ♦r♥ st s♣♣♦sé ♥♦♥é♥

s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ réér♥t ♦ ♣r r♣♣♦rt réér♥t é♥s♦♥t ♥♦tés

Ug(t) =

Ugx(t)Ugy(t)Ugz(t)

♥ s♣♣♦s q ♥② q s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ ♥tr s ① réér♥ts♦s ♣rés♥tr♦♥s r♣♠♥t ♥ ①t♥s♦♥ ♠♦è ① s ♦ù s ♠♥s♦♥s ssrs s♣♣♦rt s strtrs ♦♥sérés s♦♥t ♥♦♥ ♥és t ♥trî♥♥t sé♣♠♥ts ér♥s ♥tr s♣♣♦rts ① ♣♦rr♦♥t êtr ♠♦ésés ♣r ♥ r♦tt♦♥♥trî♥t♠♥t s♣♣é♠♥tr q ♦♠♣é① très s♥s♠♥t s éqt♦♥s éqr♥ réér♥t ♥♦♥é♥

♥ r à étr♠♥r éqt♦♥ éqr ♥s réér♥t ♦ ♥♦♥é♥s♦♠s r♠♥t ss♠q é♥ ♣réé♠♠♥t ♥ ts♥t ♥ ♠ét♦ s♠rà ♣rés♥té ♥s s ♥rt♦♥♥ ♦♥ ①♣r♠ éqr ♥s réér♥ts♦ é♥ t ♦♥ tr♥s♣♦s s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és rs réér♥t ♦

♥ tsr s ♥♦tt♦♥s s♥ts U = (UAxUAyUAzUBxUByUBz)

T st tr rr♦♣♥t s é♣♠♥ts tr♠♥s♦♥♥s s ① strtrs ♥s réér♥t ♦ ♥♦♥é♥

M =

(MmA 0

0 MmB

) st ♠tr ♠ss s②stè♠

C st ♠tr ♠♦rtss♠♥t s②stè♠ K st ♠tr rr s②stè♠

MIFS =

(MA MAB

MABT MB

) st ♠tr ♠ss ♦♣ strtr

MA =

MA

xx MAxy MA

xz

MAyx MA

yy MAyz

MAzx MA

zy MAzz

MB =

MB

xx MBxy MB

xz

MByx MB

yy MByz

MBzx MB

zy MBzz

tMAB =

MAB

xx MABxy MAB

xz

MAByx MAB

yy MAByz

MABzx MAB

zy MABzz

Fext =(F ext→Ax F ext→A

y F ext→Az F ext→B

x F ext→By F ext→B

z

)T st tr s r♠♥ts

①térrs trs q ♦♣ strtr t r♠♥t ss♠q Ug = (UgxUgyUgzUgxUgyUgz)

T st ♥ ①t♥s♦♥ ♥♦tt♦♥ é♣♠♥t s♦

s ♥♦tt♦♥s t ♥ ts♥t s ②♣♦tèss s♠rs à s ♣rr♣♣réé♥t ♦♥ st ♣ érr éqt♦♥ éqr ♥ réér♥t ♥♦♥é♥

(M +MIFS

).U + C.U +K.U = Fext −

(M −M1

).Ug

♦rsq ♠ss ♦♣ strtr r ♦rs t♠♣s ♥ ♠tr♠♦rtss♠♥t é à ♥trt♦♥ strtr ♣♣rît ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♠ét♦ ♦t♥t♦♥ tt ♠tr ♥s ♣tr ét♥t tst♦♥ s ♠sss♦tés ♥s ét ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r ♥♦♥♥ér ♥ strtr ♠♠ré ♥ ♠♦ ♣s s ♦♥s♦♥s q ♣♦rr♦♥t êtr ♣♣♦rtés ♥s ♣tr

♥ ♥tr♦t ♥ ♠tr ♠ss é♣é M1 ♥tr♥♥t ♥s ♣♦ssé

r♠è é♥érsé s♦t♥t à ♣rtr ♠tr ♠ss ♦♣ strtr

M1 =

(MA

1 0

0 MB1

)

s ♠trs MA1 t MB

1 s♦♥t é♥s ♣r ♥ ts♥t s é♥t♦♥s MIFS

MA1 =MA +MAB,

MB1 =MB +MAB

T ,

♠rqs ♥s s ♦♥rt♦♥s é♦♠étrqs s♠♣s ♠tr M1 st ♦♥

♦rsq ré♣rtt♦♥ ♠ss strtr st ♥♦r♠ ♠tr M1 st ♣r♦♣♦r

t♦♥♥ à ♠tr ♠ss strtr M ♥ ♦t ♥s ♣♣rîtr ♥ ♠ssrét strtr ♣♣qé r♠♥t ss♠q

♦rsq ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥st ♣s ♥♦r♠ ♥tr ♣♦ssé é♣é♥st ♣s sté ♠ê♠ ♥r♦t q ♥tr rté strtr ♥trî♥rs r♦tt♦♥s t ♠tr M1 ♥st ♣s ♦t♦r♠♥t ♦♥

♥s ♥♦tr ♠♦ést♦♥ ♥♦s ♦♥sérr♦♥s q s r♦tt♦♥s ♦t♥s ♥s s ♦ù ♥tr ♠ss é♣é t ♥tr rté strtr ♥ s♦♥t ♣s♦♥♦♥s s♦♥t ♥és Pr ♦♥tr ♥♦s ♥♠♣♦s♦♥s ♣s ♦♥t♦♥ sr ♦r♠ ♠tr M1 ♣♦rr rs ♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♥séré

♣♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ♥♦♥ ♥ér strtr ♠♠ré

é♥érst♦♥ ♣♦r ♥ s②stè♠ à strtrs

♦s ♦♥s ♥s ♣rr♣ §2.4.3 ♦♠♠♥t s♣♣q ♣♦ssé r♠èé♥érsé sr ♥ s②stè♠ à s ♦♥sér♦♥s ♠♥t♥♥t ♥ s②stè♠ ♦♠♣è① à s é♠r ♣réé♥t st ♣♣ ♣♦r étr♠♥r s éqt♦♥s éqrs♠♣és ♥s ♥ réér♥t ♥♦♥é♥ q ♦rrs♣♦♥ s ♥ strtr s♦♠sà ♥ sés♠

♦s ts♦♥s s ♥♦tt♦♥s U = (U1xU1yU1zU2xU2yU2z . . . UNxUNyUNz)

T st tr ♠♥s♦♥ r♥s♥ts é♣♠♥ts tr♠♥s♦♥♥s s strtrs ♥s réér♥t ♦ ♥♦♥é♥

M =

Mm1 0 . . . 0

0 Mm2 0 0

0 0 0

0 . . . 0 MmN

st ♠tr ♠ss s②stè♠ ♠♥s♦♥

3N × 3N C st ♠tr ♠♦rtss♠♥t s②stè♠ ♠♥s♦♥ 3N × 3N K st ♠tr rr s②stè♠ ♠♥s♦♥ 3N × 3N

MIFS =

M IFS11 M IFS

12 . . . M IFS1N

M IFS12

TM IFS

22 . . . M IFS2N

M IFS1N

TM IFS

2NT

. . . M IFSNN

st ♠tr ♠ss ♦♣

strtr M IFSij =

M ij

xx M ijxy M ij

xz

M ijyx M ij

yy M ijyz

M ijzx M ij

zy M ijzz

Fext =(F ext→1x F ext→1

y F ext→1z F ext→2

x F ext→2y F ext→2

z . . . F ext→Nx F ext→N

y F ext→Nz

)T st

tr s r♠♥ts ①térrs trs q ♦♣ strtr t r♠♥t ss♠q ♠♥s♦♥ 3N

Ug = (UgxUgyUgzUgxUgyUgz . . . UgxUgyUgz)T st ♥ ①t♥s♦♥ ♥♦tt♦♥ é♣

♠♥t s♦ ♠♥s♦♥ 3N

s ♥♦tt♦♥s t ♥ ts♥t s ②♣♦tèss s♠rs à s ♣rr♣♣réé♥t ♦♥ st ♣ érr éqt♦♥ éqr ♥ réér♥t ♥♦♥é♥

(M +MIFS

).U + C.U +K.U = Fext −

(M −M1

).Ug

P♦r s s②stè♠s à s ♦rsq ♠ss ♦♣ strtr r ♦rs t♠♣s ♥ ♠tr ♠♦rtss♠♥t é à ♥trt♦♥ strtr ♣♣rît

♥ ♥tr♦t ♥ ♠tr ♠ss é♣é M1 ♠♥s♦♥ × ♥tr

♥♥t ♥s ♣♦ssé r♠è é♥érsé s♦t♥t à ♣rtr ♠tr ♠ss ♦♣ strtr

M1 =

M11 0 . . . 0

0 M21 0

0 . . . 0 MN1

s ♠trs(M i

1

)i∈[1,N ]

s♦♥t é♥s ♣r ♥ ts♥t s é♥t♦♥s MIFS

M i1 =

N∑

j=1

Mij,

s r♠rqs ts ♥s ♣rr♣ ♣réé♥t s♦♥t t♦♦rs s

é♥érst♦♥ s②stè♠ ♦♥t♥

♥s ét ②♥♠q s②stè♠ ♦♣é strtr ♥♦s tsr♦♥s s ♦♥t♦♥s ♦♥t♥s ♣♦r érr s é♣♠♥ts strtr st ♦♥ ♥éssr ♥tr♦r ♥ ①t♥s♦♥ é♥t♦♥ ♣♦ssé r♠è é♥érsé à ♥ ♠♦è♦♥t♥

tt é♥t♦♥ ♦♥t♥ ♥ésst tst♦♥ ♠trs ♦♣ strtr♦♥t♥ s ♣♥t êtr étr♠♥és ♥②tq♠♥t ♦ à ♣rtr ♥ ♣r♦♦♥♠♥t ♦♥t♥ ♦♥t♦♥s srèts ♦s tsr♦♥s ♥q♠♥t s réstts tté♠r s♦s ♦r♠ ♥ ♠tr ♠ss ♦♣ strtr é♣♥♥t ♣♦st♦♥ x MIFS(x)

♥ tsr s ♥♦tt♦♥s s♥ts U(x) = (Ux(x)Uy(x)Uz(x))

T st tr r♥ç♥t s ♦♥t♦♥s é♣♠♥tstr♠♥s♦♥♥s ♥s réér♥t ♦ ♥♦♥é♥

M(x) =

Mxx(x) Mxy(x) Mxz(x)

Myx(x) Myy(x) Myz(x)

Mzx(x) Mzy(x) Mzz(x)

st é♥t♦♥ ♦♥t♥ ♠tr

♠ss s②stè♠

C(x) =

Cxx(x) Cxy(x) Cxz(x)

Cyx(x) Cyy(x) Cyz(x)

Czx(x) Czy(x) Czz(x)

st é♥t♦♥ ♦♥t♥ ♠tr ♠♦r

tss♠♥t s②stè♠

K(x) =

Kxx(x) Kxy(x) Kxz(x)

Kyx(x) Kyy(x) Kyz(x)

Kzx(x) Kzy(x) Kzz(x)

st é♥t♦♥ ♦♥t♥ ♠tr rr

s②stè♠

MIFS(x) =

MH

xx(x) MHxy(x) MH

xz(x)MH

yx(x) MHyy(x) MH

yz(x)MH

zx(x) MHzy(x) MH

zz(x)

Fext(x) =(F extx (x)F ext

y (x)F extz (x)

)T st tr s ♦♥t♦♥s r♠♥ts ①té

rrs trs q ♦♣ strtr t r♠♥t ss♠q Ug(x) = (Ugx(x)Ugy(x)Ugz(x))

T st ♥ ①t♥s♦♥ ♥♦tt♦♥ é♣♠♥t s♦ s ②♣♦tèss rt♥s t ♥♦tr q ♥ s ♦♥t♦♥s Ugx Ugy tUgz ♥ é♣♥♥t ♣s ♣♦st♦♥ t s♦♥t ♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦♥st♥ts s ♦♥t♦♥s♣♥t é♦r t♠♣s

s ♥♦tt♦♥s t ♥ ts♥t s ②♣♦tèss s♠rs à s ♣rr♣♣réé♥t ♦♥ st ♣ érr éqt♦♥ éqr ♥ réér♥t ♥♦♥é♥

[M(x) +MIFS(x)

].U(x) + C(x).U(x) +K(x).U(x) = Fext(x)−

[M(x)−M1(x)

].Ug(x)

♥s ♥ ♠♦ést♦♥ ♦♥t♥ ♦rsq ♠ss ♦♣ strtr r ♦rs t♠♣s ♥ ♠tr ♦♥t♦♥s ♠♦rtss♠♥t é à ♥trt♦♥ strtr ♣♣rît

♥ ♥tr♦t ♥ ♠tr ♦♥t♦♥s ♠ss é♣é M1(x) ♠♥s♦♥

3 × 3 ♥tr♥♥t ♥s ♣♦ssé r♠è é♥érsé s♦t♥t à ♣rtr ♠tr ♦♥t♦♥s ♠ss ♦♣ strtr

M1(x) =

M1xx(x) M1

xy(x) M1xz(x)

M1yx(x) M1

yy(x) M1yz(x)

M1zx(x) M1

zy(x) M1zz(x)

♠rqs s ♦♥t♦♥s ♠tr ♥♦♥t ♣s ♣r♦♣rétés ♣rtèrs à st ♥ s srr t q s é♣♠♥ts s♦ s♦♥t ♣r♦tés ♥♦r♠é♠♥t sr strtr ♣♦r s♠♣r s ♦♠♣♦s♥ts ♣r♦tés sr ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs st ♠♣♦rt♥t ♦r q s ♦♥t♦♥s ♠sss ♦♣ strtr ♣♥t ♥♣s sr s ré♣rtt♦♥s ♠ss strtr ♥ ♣t ♥s ♦t♥r s réstts♦♥tr♥tts ♥s rt♥s s Pr ①♠♣ s ♠tr ♠sss ♦♣ M1(x)

st ♥ts②♠étrq ♣r r♣♣♦rt ♥tr rté strtr s ♠♦s ♣r♦♣rs♥ts②♠étrqs strtr sr♦♥t s♦tés râ à ♣r♦t♦♥ ♠tr ♠ss ♦♣ strtr sr s ♠♦s ♠ê♠ ttr q ① s②♠étrqsq sr♦♥t s♦tés ♣r ♠tr ♠ss strtr

r♥r réstt st ♣rtèr♠♥t ♥térss♥t ♥s s ♦ù s♣ é♥t♦♥ s ♣♦st♦♥s ♥ts st s♦♥t♥ q ♦rrs♣♦♥ s ♣srs strtrs é♦r♠s ♥térss♥t ♥tr s st û t q s ♠♦s ♣r♦♣rs sstrtrs ♥é♣♥♥ts s♦♥t é♥s sr q strtr ♥ t ♠tr ♦♣ strtr st s éé♠♥t ré♥t ♥ ♥ ♥tr s strtrs ♠tr ♦♥t♦♥s ♠ss ♦♣ strtr MIFS(x) ♣r♠t étr♠♥r

s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♣♥t ♦♠♣♦rt♠♥t q strtr ♥ ♠tr ♦♥t♦♥s ♠ss é♣é M1(x) ♣r♠t ♣r♦tr s♦tt♦♥ ss♠q

sr s ♥♦① ♠♦s ♦① ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♥ s♦tt♦♥ ♥s♠ t ♥♦♥ s♦♠♠ q s♦tt♦♥ sr s ♠♦s ♥s

❯♥ tr ♠♦è ♣♦ss ♥s s ♣srs strtrs ♦♥t♥s é♦r♠s ♥térss♥t s ♥s sr s trs ♦♥sst à ♦♣r ♠♦è à s ♣rés♥té ♥s ♣rr♣ ♣réé♥t ♠♦ést♦♥ ♦♥t♥ P♦r ♦♥ r♠♣ ♥ s♦♠♣♦s♥ts s ♠trs ♣r s ♦♥t♦♥s ♦♥t♥s s s ♦rrs♣♦♥♥t à strtrs ♥t♠♥t ♥é♣♥♥ts ♦♣és ♥tr s ♣r s ♠sss ♦♣

strtr r♥r ♠♦è sr été ♥s ♣rt §2.6 ♥ ♣r♦♣♦sr ♥♦t♠♠♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣♦r s ♦♣s s♥ ♥ qr strtrsé♦r♠s é♥és st♦♥ rré

♦t♦♥s ♥②tqs ♦♣ ♥tr ① ♣

réé♣♣ès

♥ s♥térss ① s♦t♦♥s ♥②tqs ♦♣ strtr ♥tr ①♣réé♣s rt♥s ♥ ét♥t ♦♥t♥ ♥s ①è♠ st ♥ ♠♦ès♠♣é ♥ ♣s♥ ♦♥séré ♦♠♠ ① ♦♥t♥♥t ♥ strtr ♠♦ strtr♠♦ st s♣♣♦sé ♦r s rt♦♥s ♣r♥♣s s st♦♥ ♥és s st♦♥ ♣s♥ s é♥ér ♦♥séré st r♣rés♥té ♥s sé♠ ss♦s

r ♦♥rt♦♥ é♥ér été

tt rt

s rts réér♥ sr st ♦♥t été réés ♣r t t ♠ ♥s ❬❪ t❬❪ s trt♥t s é♦♠♥ts t t♦r ♥ ♣réé♣♣é rt♥ ♠♠ré♥ ♦♥sér♥t ér♥ts ♣♦st♦♥s ♥ts ♠♦è ♣r♠t ♣♣r♦r s♠sss ♦tés ♦♣ strtr ♥s s s ♦rt ♦♥♥♠♥t s ♦♥sér♥t ♥ é♦♠♥t ♦♥st♥t ♥s é♣ssr s ♠s t r♥t ♥ér♠♥t ♦♥ s ♣r♦s strtr ♠♦ tt rt♦♥ ♥ér st é♣♠♥t strtr q ♣r ♦♥srt♦♥ ♠ss ♥trî♥ ♥ rt♦♥

♥ér é♦♠♥t ♠♦②♥ ♥ é♦♠♥t rt rtrr ♥♦r♠ sr ♥s♠ strtr q ss

t rr ♥ér♠♥t tss é♦♠♥t ♠♦②♥♥ ♥s é♣ssr ♥ ♠ réstt st ♦t♥ à éqt♦♥ ♦♥srt♦♥ ♠ss ♥ ♣rt ♠ss ♦♥st♥t sr ♥s♠ s ♠s

♥s s ♥ é♦♠♥t ♣♥ t♦r ♥ strtr à st♦♥ rré s ♦t♥♥♥ts ①♣rss♦♥s ♥②tqs s ♠sss ♦♣

Mxx =ρc3L

2h

[1

3 (1− ǫ21)+

1

1− ǫ22

]

Myy =ρc3L

2h

[1

3 (1− ǫ22)+

1

1− ǫ21

]

s rs tsés s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 2.2 ♦♠♣été s rt♦♥s (2.75)t t q h r♣rés♥t é♣ssr ♠♦②♥♥ s ♠s ♥ r♠rq q ♠♦è tsé t ♣♣rîtr ♥q♠♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♦♥s ♠tr ♠sss ♦♣ strtr t q s s♦t♦♥s ♥②tqs ♥ s♦♥t ♦♥♥és q♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ rrés ♦♥♥trqs ♦ ♥♦♥

r é♥t♦♥s s rs s s♦t♦♥s ♣rés♥tés ♥s ❬❪

h1 = h (1− ǫ1) , h2 = h (1− ǫ2) , h3 = h (1 + ǫ1) , h4 = h (1 + ǫ2) .

♦s ♦♠♣rr♦♥s ♦♥ s ♠trs ♠ss ♦♣ ♦t♥s ♥s ♠♦è♥②tq t t ♠ s ♦t♥s ♣r s ♠♦ès é♦♣♣és ♥s tt tèst s ♦t♥s ♣r éé♠♥ts♥s ♣♦r s ♦♥rt♦♥s strtr à srré ♦♥♥trqs t ♥♦♥ ♦♥♥trqs

t ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès ♦♥♥trqs

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ s éà trté ♠♥èr ♣♣r♦é♥s ttértr ♣♣r♦é s ♠sss ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès st♦♥s rt♥s ♦♥♥trqs

♦t♦♥s ♥②tqs ♥rs

♥s tt ♣rt ♥♦s étr♦♥s s s♠♣é trté ♣r ❬❪ ❬❪ ♦s ♣r♦♣♦sr♦♥s♥ ♠ét♦ ♣s ♦♠♣èt ♥ ♦♥sér♥t s tsss rs♣t♥t s ♦♥t♦♥s♥♦♠♣rssté à ♣rtr ♥ s ②♣♦tès s♠♣tr sr ré♣rtt♦♥ tss ♠ s♥t é♣♠♥t ♥♦♠♠é ♦♠♥ s tsss♥s s trs rt♦♥s t s trs ♠s s♦♥t éts tt ②♣♦tès t éqt♦♥ ♥♦♠♣rssté

♥ ♠t ♥♦tr ét ① é♦♠♥ts s ♣♥ stàr q♦♥ s♣♣♦s q tss rt st ♥ Uz(x) = 0 st ♣♦ss tsr ♥st ♥ ♦♥t♦rrtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t é♣♣♠♥t ♣r sss ♥ ♣♣q♥t ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♥s rt ❬❪ ♥ s♥ ♦♥t ♦rrtr ♦♥ srst♠r r ♠ss ♦♣ strtr

❯♥ ♦s s ①♣rss♦♥s ♥②tqs s tsss étr♠♥és ♥ t♦t ♣♦♥t ♥♦s ♥ ér♦♥s r s ♠sss ♦♣s strtr ♥tr strtr ♠♦ t ♣s♥ t♥t ♦♥♥é q ♥♦s ét♦♥s ♥ tr♥ ♥♦s ♦t♥r♦♥s♥ ♠ss ♥éq q r ♠t♣r ♣r tr strtr ♣♦r ♦t♥r ♥♠ss ♦♣ ♥♥ ♥♦s s♠r♦♥s s é♦♠étrs éq♥ts ♣r éé♠♥ts ♥st ♥♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts à ♥♦tr ♠♦è ♥r t à ♣rés♥té ♣r t t♠ ért ♥s ♣rr♣ 2.5.1

sr♣t♦♥ ♠♦è été

♦♥rt♦♥ été ♦♥sst ♥ rt♥s ♦♥♥trqs sé♣rés ♣r ♥ ♠ ♦s s♣♣♦s♦♥s q ♠ ♠ê♠ é♣ssr ♣rt♦t s étést r♣rés♥té ♥s r 2.3 ♥ s ♣ ♥s s ♥ ♦♣ ♣r tr♥sstàr q♦♥ ♦♥sèr ♦♥♥é rt♠♥t tss s♥t z st ♦♥♥ t s ér♥ts rs sr♦♥t ♥é♣♥♥ts z ♦s ♥♦s ♥térssr♦♥s ♦♥à ♥ râtr tr ♥tr é♦♠étr s②stè♠ st ♥tèr♠♥t é♥ ♣r ♦♥♥é 2l rr râtr 2L ♦♥r râtr t a é♣ssr ♠ ♦s ♦♥sér♦♥s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s q râtr st ♥♠é ♥♠♦♠♥t tr♥st♦♥ à ♥ tss V0ey ♦t st ♠♥t♥♥t ér s♠sss ②r♦②♥♠qs ♣♦r ♥ ♠♦♠♥t tr♥st♦♥ râtr ♥s ♣♥(x, y)

Pr♦è♠ ♥té ♥s é♦♠étr s②stè♠

é♦♠étr rt♥ ♣rés♥t s s♦♥t♥tés ♦rts ♥s é♥t♦♥ ♠♣r♠été s srs strtrs ♠♦ t ♣s♥ s s♦♥t♥tés s♦♥t stés① ♥s r♦ts ♥ s strtrs s étr♠♥♥t t♦t♠♥t tss é♦♠♥t à s ♣♦♥ts ♥ sté ♥ (l, L) strtr ♠♦

U(l, L) = V0ey

♥ sté ♥ (l + a, L+ a) ♣s♥

r ♦♥rt♦♥ ♥tré ♠ ♠ê♠ é♣ssr

U(l + a, L+ a) = 0

❯♥ rés♦t♦♥ ♦♠♣èt s②stè♠ ♠♦♥tr q♦♥ ♥ ♣t ♣s tr♦r ♠♣ tss s♠♣ ré♣♦♥♥t à ♦s à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts t ① ♦♥t♦♥s ♥♦♠♣rssté étt rs ♥ s ♣r♥♣① ♦sts r♥♦♥trés ♥s tt ét st ♦♥ ♥éssr tr♦r ♥ é♦♠étr ♣♣r♦é ré♣♦♥♥t à ♦ ①♥ ♦r s ♦♥t♦♥s ♠♣r♠étés s strtrs ♦♥t♥s ♠♥t♥r ♥ é♥r ♥étq t♦t s②stè♠ s♠♣é ♣r♦ strtr ré

é♦♠étr ♣♣r♦é ♣r♠tt♥t ♥ rés♦t♦♥ ♥②tq

é♦♠étr ré ♣rés♥t rt♥s s♦♥t♥tés s à ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♥②tq♠♥t s s♦♥t♥tés ♣♦rt♥t sr s ♦♥t♦♥s ① ♠ts s s♦♥t stés ♥ s ♥s r♦ts t ♦♠♣①♥t trés ♦rt♠♥t s ♦♥t♦♥s ♦r♠ ♠sss ♥s ♥ s♦ s♠♣t♦♥ ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♦♥ ♥ ♠♦ést♦♥ ♣s♥ trés ♣r♦ é♦qé ♣réé♠♠♥t ♠s ♥ s♥t ♣s ♥tr♥r s♦♥t♥tés

♥s tt ♦♥rt♦♥ s♠♣é s ♥s r♦ts s♦♥t r♠♣és ♣r s rs r ♥s ♣♦r ♥ ♦♥ ♣s♥ s ♥s r♦ts ♥térr t ①térr s♦♥t r♠♣és ♣r ① rs ♦♥♥trqs r ♥térr ②♥t ♥ r②♦♥ ǫ << a t r ①térr ♥ r②♦♥ a+ ǫ ≈ a tt ♠♦ést♦♥ st r♣rés♥té ♥s r 2.4

Pr rs é♦♠étr s②stè♠ t s r♠♥ts ét♥t ♦rt♠♥t s②♠♠étrqs♥♦s ♥ ♦♥sérr♦♥s q♥ qrt ♠♦è t ♥♦s ér♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♦r ♠♦è ♦♠♣t ♣r s s②♠♠étrs ♣résés ♥s ♣rr♣ s♥t

r ♦♥rt♦♥ ♥tré ♠♦é

s ♥ éqt♦♥ s②stè♠

♥ ♣♦♦r ♦t♥r ♥ s♦t♦♥ ♥②tq ♣♣r♦é ♥♦s t ér tss♥ t♦t ♣♦♥t ♦s é♦♣♦♥s ♦♥ s②stè♠ ♥ ♣rts s♥t r 2.5q ♣rt ♣♦ssè s♦♥ ♣r♦♣r s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és (xi, yi) é♥ sr sé♠ U i

st tss s ♣rts ♥s ♣rt i s tsss s♦♥t é♥s ♣r s éqt♦♥séqr t ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣r♦♣rs à q ♦♠♥ ♠s s ♦♥t ssérr s ♦♥t♦♥s ♦♥t♥té ♥tr q ♦♠♥

♦♠♥

♥♦♠♣rssté ∂Ux

1

∂x1+∂Uy

1

∂y1= 0

♦♥t♦♥ ① ♠ts

Uy1 (x1, 0) = V0, Uy

1 (x1, a) = 0

②♠♠étr ♣r r♣♣♦rt ♣♥ x1 = 0

Ux1 (x1, y1) = −Ux

1 (−x1, y1)Uy1 (x1, y1) = Uy

1 (−x1, y1)

♦♠♥

♥♦♠♣rssté

∂(r2Ur2 )

∂r2+∂U θ

2

∂θ2= 0

r éts s ♦♦r♦♥♥és q ♦♠♥

♦♥t♦♥ ① ♠ts

U r2 (ǫ, θ2) = V0 cos θ2, U r

2 (a, θ2) = 0

♦♠♥

♥♦♠♣rssté ∂Ux

3

∂x3+∂Uy

3

∂y3= 0

♦♥t♦♥ ① ♠ts

Ux3 (0, y3) = 0, Ux

3 (−a, y3) = 0

♥t②♠♠étr ♣r r♣♣♦rt ♣♥ y3 = 0

Ux3 (x3, y3) = −Ux

3 (x3,−y3)Uy3 (x3, y3) = Uy

3 (x3,−y3)

qt♦♥s ♦♥t♥té ♥tr s ♦♠♥s t

U r2 (r2, 0) = Uy

1 (−l, r2)U θ2 (r2, 0) = −Ux

1 (−l, r2)

qt♦♥s ♦♥t♥té ♥tr s ♦♠♥s t

U r2

(r2,

π2

)= −Ux

3 (−r2, L)U θ2

(r2,

π2

)= Uy

3 (−r2, L)

♣♣r♦①♠t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦r♠ s tsss

♥①st ♣s s♦t♦♥s s♠♣s ♣r♦è♠ é♥ ♣r s ① éqt♦♥s (2.78−2.87) ♦s ♦♥s ♦♥ ♦♥sérr s ①♣rss♦♥s s♠♣és s ♠♣s tss ♥sq ♦♠♥ ♥s ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ s♦s♥s♠ ♥s♠ s ♠♣s tss ♠sss s♦t♦♥ ①t st ♠♣ tss rs♣t♥t t♦ts séqt♦♥s éqr t ♦♥t♦♥s t ♠♥♠s♥t é♥r ♥étq s♦t♦♥♦t♥ sr ♥ s♦s♥s♠ s ♠♣s tss ♠sss srst♠r é♥r♥étq t ♦♥♥r ♦♥ ♥ ♦r♥ s♣érr s ♠sss ②r♦②♥♠qs

s ♠♣s tss s♠♣és s♦♥t

Uy1 (x1, y1) = α1(x1) + β1(x1)y1,

U r2 (r2, θ2) = α2(a− r2) cos θ2,

Ux3 (x3, y3) = α3y3

[1−

(y3L

)2]x3 (x3 + a).

ù α1, β1 s♦♥t s ♦♥t♦♥s ♥étr♠♥és é♣♥♥t ♥q♠♥t x1 α2, α3 s♦♥ts ♦♥st♥ts ♥étr♠♥és s ②♣♦tèss rs♣t♥t s ♦♥t♦♥s s②♠♠étr t♥ts②♠♠étr ♣r♦è♠ ♥ ②♣♦tès ♥st t sr s trs ♠♣s tss ① sr♦♥t éts s ér♥ts éqt♦♥s t ♦♥t♦♥s ① ♠ts

és♦t♦♥ ♣r♦è♠

♥s ♦♠♥

s ♦♥t♦♥s ① ♠ts é♥s ♥ (2.79) ♣r♠tt♥t étr♠♥r

α1(x1) = V0, β1(x1) = −V0a

♥ ♥t♥t réstt ♥s éqt♦♥ éqr t ♥ ts♥t s ♦♥t♦♥s ss②♠♠étrs ♣r r♣♣♦rt ♣♥ x1 = 0 ♦♥ étr♠♥

Ux1 (x1, y1) =

V0ax1

tss ♥s ♦♠♥ st ♦♥ ♥tèr♠♥t étr♠♥é t t

Ux1 (x1, y1) =

V0

ax1

Uy1 (x1, y1) =

V0

a(a− y1)

♥s ♦♠♥

♦♥t♦♥ ♦♥t♥té ♥tr s ♦♠♥s t ♣r♠t étr♠♥r

α2 =V0

a

U θ2 (r2, 0) =

V0

a(a− r2)

tt ①♣rss♦♥ t éqt♦♥ ♥♦♠♣rssté (2.81) ♣r♠tt♥t ér ①♣rss♦♥ tss ♥s ♦♠♥

U r2 (r2, θ2) =

V0

a(a− r2) cos θ2

U θ2 (r2, θ2) =

V0

a(a− 2r2) sin θ2 +

V0

al

♥s ♦♠♥

♥♦♠♣rssté ♣r♠t ér ♦r♠ tss Uy3

Uy3 (x3, y3) = −α3

[2(y3L

)2−(y3L

)4](2x3 + a) + β3

ù β3 st ♥ ♦♥st♥t ♥étr♠♥é

♦♥t♦♥ ♦♥t♥té ♥tr s ♦♠♥s t ♣r♠t étr♠♥r

α3 =V0a, β3 =

V0al

s tsss ♦♠♥ sér♥t ♦♥

Ux3 (x3, y3) = −V0

a4L

y3L

[1−

(y3L

)2]x3 (x3 + a)

Uy3 (x3, y3) =

V0

a

[2(y3L

)2 −(y3L

)4](2x3 + a) + V0

al

étr♠♥t♦♥ ♠ss ②r♦②♥♠q

s ♠♣s tss ét♥t étr♠♥és ♥s ♥ s ré♦♥s ♥♦s ♣♦♦♥s ré♥r ♥étq st ♥térss♥t sé♣rr s ♦♥trt♦♥s ♥ s♦♠♥s ♥ ér rs ♥♥s rs♣ts sr ♠ss ♦♣

T1 =1

2ρ

∫ 0

x1=−l

∫ a

y1=0

[Ux1 (x1, y1)]

2 + [Uy1 (x1, y1)]

2 dx1dy1

=1

2M eau

1 V 20

l2 + a2

3a2

T2 =1

2ρ

∫ a

r2=0

∫ π2

θ2=0

[U r2 (r2, θ2)]

2 +[U θ2 (r2, θ2)

]2r2dr2dθ2

=1

2M eau

2 V 20

[1

4+

3

4

l

aπ+

(l

a

)2]

T3 =1

2ρ

∫ 0

x3=−a

∫ L

y3=0

[Ux3 (x3, y3)]

2 + [Uy3 (x3, y3)]

2 dx3dy3

=1

2M eau

3 V 20

[124

225

( aL

)2+

107

945+

(l

a

)2]

ù s M eaui s♦♥t s ♠sss ♦♥t♥s ♥s ♦♠ é♥ ♣r ♦♠♥ i

♦rt ①ré ♣r sr râtr st ♦t♥ à éqt♦♥ r♥♥ ♣t ♥st ♥ ér ♠ss ②r♦②♥♠q ♣♣qé sr râtr ♥ ré♣♦♥sà ♥ é♣♠♥t ♥s rt♦♥ ey

MHy = 4

M eau

1

l2 + a2

3a2+M eau

2

[1

4+

3

4

l

aπ+

(l

a

)2]+M eau

3

[124

225

( aL

)2+

107

945+

(l

a

)2]

s réstts s♠rs s♦♥t ♦t♥s ♥s rt♦♥ ex st ss ♣♦ss étr♠♥r s ♠sss ♦♣ ②r♦②♥♠qs ♣♣qés sr ♣s♥ ♥ ♦♥sér♥t♥ tss sr ♣s♥ t ♥ ♥str♥t strtr ♠♠ré ♠♦é ♣rés♥t r♥ ♥t ♦r s s♦t♦♥s ♥②tqs q s♦♥t ♦t♥s ♥st♥t♥é♠♥t♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t ♦♠♣rr s ér♥ts ♠♦ès ①st♥t ♥s s ♦♥rt♦♥s♥tqs ♣♦r ♦♥♥îtr rs ♦♠♥s té

t ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès ♥♦♥♦♥♥trqs

♥s s ♦ù s ① ♣ré♣♣és ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥trqs st tr♦r ♠♥t ♥ ①♣rss♦♥ ♣♣r♦é s♠♣ é♦♠♥t t♦r strtr ♦s ♦♥s ♦♥ tsr ♥ ♠♦è s♠♣é ♦ù ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♣♦r♥ ♣♦st♦♥ ♦♥♥é tss st ♠ê♠ s♥t é♣ssr ♠ t ♦rrs♣♦♥ à tss ♠♦②♥♥é sr é♣ssr st ♠♦è é♦♣♣é ♥s s qr s ♥s ♣rr♣ 2.6 ♠s ♣♣qé à ♥ s

♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts à ① rt ❬❪ t à ① ♦t♥s ♣r s♠t♦♥éé♠♥ts ♥s ♥♦s ♣r♠ttr érr ♦♠♥ té té♦r ♠sss r♠rqr rt♥s ♣r♦♣rétés sr ♠tr ♦♣ strtr ♥♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥ réér♥ strtr ♥s résr♦r

♦♠♣rs♦♥ s ér♥ts ♠♦ès

♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts ♦t♥s ♣r ♠♦è t t♥ ① ♦t♥s ♣r ♥♦tr ♠♦é ♥r ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♥tré ① ♠♦

è ♥②tq qr ♣♣qé à ♥ strtr ♥ ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥①♥tré t ① ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ éé♠♥ts♥s à ♦ ANSY STM

s réstts ♦t♥s ♣r éé♠♥ts ♥s s♦♥t ♥ ♦♥sér♥t ♥ tr♥ ♠ tr ②♥t s ♠ê♠s ♦♥rt♦♥s é♦♠étrqs st ♠♦ésé ♣rs éé♠♥ts ♦♠qs ♣rss♦♥ ②♥♠qs ♥ ♣♣q ♥st ♥ r♠♥ts♥s♦ï ♥ é♣♠♥t ♥s rt♦♥ s♦té à ♥ très réq♥ ♣♦rrs♣tr s ②♣♦tèss ♦♣ strtr ♥ ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t q s ♠sss♦tés ♥ ♠sr ♥st s ♦rts ♠①♠① ♣♣qés ♥ ♥ s♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥ é♣♠♥t ♥str♠♥t t é♣♠♥t ♠♣♦sés ♣♦r ♥ér s ♦rts ♣♣qés sr q strtr

♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ strtr rré ♠ ôté t ♠ tr ♥ éttr♦s ♣♦st♦♥s ér♥ts ❯♥ ♣♦st♦♥ ♥tré ♦ù strtr st ♥tr ♣s♥ ❯♥ ♣♦st♦♥ ôté ♦ù strtr st ♣♣r♦é ♦r r♦t ♥ s♥t ♣r ①

é♣ssr ♠ r♦t ❯♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♦ù strtr st ♣♣r♦é ♦♥ ♥ t à r♦t ♥ s♥t

♣r ① s é♣ssrs s ♠s r♦t t ♥ t

♦s tstr♦♥s ♥st ér♥ts ♠♥s♦♥s ♠ ♥ érr s ♦♠♥s té q té♦r ♦s ♦♥sérr♦♥s q ♠♦è éé♠♥ts ♥s ♦♥♥ s♦t♦♥ ♣s ♣r♦ s♦t♦♥ ré s réstts s♦♥t ①♣r♠és s♦s ♦r♠ ♠tr ♠sss ♦♣ ♦♥t ♦r♠ é♥érq st

M IFS =

(mxx mxy

myx myy

)

s réstts s♦♥t ♣rés♥tés ♥s t 2.1 ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♥sté ρ = 1020kg/m ♦rrs♣♦♥♥t à ♥sté ♦♥t♥♥t ♦r ss♦s

♥tr♣rétt♦♥s

♦♥rt♦♥ ♥tré

♥s s s ♦ù sttr st ♥tré ♥s résr♦r té♦r t ♥ t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♥rs é♦♣♣és ♥s tt tès ♦♥♥♥t ♥srét♦♥ s ♠sss ♦♣ st û t q ♦♥ ♦♥sèr ♦♠ ré ♠s q♦♥ ♥ ♦♥sèr q♥ ♣rt s ♣r♦s tss ♣♦ss ♣♦ré♦♠♥t tt ♠tt♦♥ rstr♥t s ♠♦♠♥ts ♣♦sss s♥ t ♥trî♥ ♦♥ ♥ srét♦♥ s ♦rts ♣r♦ts

♣ssr P♦st♦♥ ♦ t ♥ ♦ tès ♦

♥tré

(9050 00 9050

) (7974 00 7974

) (7321 00 7321

)

ôté

(9805 00 11314

) (7367 00 7529

) (7917 00 8130

)

♦♥

(12068 00 12068

) (8217 850850 8217

) (8837 891891 8837

)

♥tré

(5875 00 5875

) (4776 00 4776

) (4013 00 4013

)

ôté

(6365 00 7344

) (3683 00 3764

) (4337 00 4459

)

♦♥

(7834 00 7834

) (4108 425425 4108

) (4836 465465 4836

)

♥tré

(4590 00 4590

) (3896 00 3896

) (2070 00 2070

)

ôté

(4973 00 5738

) (1473 00 1506

) (2212 00 2287

)

♦♥

(6120 00 6120

) (1643 170170 1643

) (2447 191191 2447

)

♦♠♣rs♦♥ st♠t♦♥ s ♠trs ♠sss ♦♣ ♥tr ① rrés♦♥♥trqs ♦ ♥♦♥

s s♦t♦♥s ♥②tqs ♥rs ♦♥♥♥t ♥ ♠r ét♦♥ ♠ss ♦té♥s t♦s s s st û t q♦♥ ♦♥sèr ♥ ♣s r♥ s♣ s♦t♦♥s♣♦sss t♥♥ à ♠tr srét♦♥ ♣s ét♦♥ s ♠sss♦tés st très ♦♥♥ ♥s s ♦ù s é♣ssrs s ♠s s♦♥t ♠ t ♠ Pr ♦♥tr s ér ♥s s ♠s ②♥t ♥ é♣ssr s♠rà rr strtr ♥ s♦rt ♥s s r s ♠s ♦♥♥és

s s♦t♦♥s t t ♥ srst♠♥t ♦rt♠♥t s ♠sss ♦tés ♥s ♥s s ♥ ♥ ♦♠♣r♥r s srst♠t♦♥s ♥♦s r♣rés♥t♦♥s s ♣r♦s s♣rss♦♥s ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ éé♠♥ts ♥s ♥s r 2.6 s tsss ♣♥t sér r♥t ♠♣ ♣rss♦♥ à ♥ ♦♥t♥t ♥tért♦♥ t♠♣♦r ♣rès

r ♦♠♣rs♦♥ s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t ❨ strtr ♠♠ré ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré

♥ r♠rq ♥s s s ♠♦♥s ♦♥♥és q ♥t ♥éssr tsr s ♣r♦s tss ♣s ♦♠♣①s ♣r ①♠♣ s ♣r♦s qrtqs ♦ ①♣♦♥♥ts ♥s s♠s ♥ sàs é♣♠♥t strtr Pr ♦♥tr ♥ ♣r♦ tss♥ér st ♣rt♥♥t sr s ♠s ttérs

♦♥rt♦♥ ôté

♥s s ♦ù strtr ♠♠ré st r♣♣r♦é ♥ s ♦rs résr♦r ss♦t♦♥s t ♥ ♦♥♥♥t à ♥♦ t♦♦rs ♥ srst♠t♦♥ s ♠sss♦tés Pr ♦♥tr s♦t♦♥ ♥②tq ♦rrs♣♦♥♥t ♠♦è qr ♣♣qé à ♥ s ♠♦ ♦♥♥ s réstts s♦sst♠♥t s ♠sss ♦tés ♥ss ♦♥rt♦♥s ♠s é♣ssr ♠♦②♥♥ ♠ ♠ t ♠

tt s♦sst♠t♦♥ ♥st ♣s s②sté♠tq ♥ t ♣r♦ tss tsé rstr♥t s♣ s♦t♦♥ s é♣♠♥ts ♠sss ♥s t ♦♥ t♥♥à srst♠r s ♠sss ♦♣ ♣♥♥t ♥s ♥♦tr ♠♦è ♥♦s ♥é♦♥ss ♠sss t é♥r ♥étq ss♦é stés ① ♥trst♦♥s qr ♥s s ♦ù é♣ssr s ♠s st très ♥t s ♦♥rs trrs rtérstqs s strtrs ♠♠rés ♠♦s tt ②♣♦tès ♥ q très♣ ♥♥ t ♦♥ srst♠r ♦♥ s ♠sss ♦tés ♥s s s ♦♥sérés ♥♦s s♦♠♠s à ♠t té tt ②♣♦tès ♥s ♦♥rt♦♥ ♠ t ♥st ♣s éré ♣♦r s ① trs ♦♥rt♦♥s ♠ t ♠

P♦r s ① ♦♥rt♦♥s st ♥térss♥t ♦r s ① ♠♦ès ♥②tqs♣♦r s ♦♥♥r s ♦r♥s ♥r♥t s ♠sss ♦tés rés é♥♠♦♥s ♠♣t rrr té st ♥tt♠♥t ♣s ♥s ♥♦tr ♠♦è

♥s t♦s s ♠♦ès ♦♥ r♠rq ss q s ♠sss ♦♣ myy s♦♥t ♣sr♥s q mxx ♣t ♣rîtr ♦♥tr♥tt ét♥t ♦♥♥é q strtr st ♣♣r♦é ♦r ♣r ♥ tr♥st♦♥ ♥s rt♦♥ ex ♣é♥♦♠è♥ st tq ♠ê♠ s tss é♦♠♥t st ♣s r♥ ♥s ♥ ♣s ♣tté♣ssr st♦ ss ♠♦♥s ♠ss ♣r♠ètr ♣rt♥♥t st♠t♦♥ s ♠sss ♦♣ ét♥t é♥r ♥étq st ♠♣♦rt♥t ♦r à ♦s ♥ tsséé t ♥ ♠ss ♠♣♦rt♥t

t éqr st ♦t♥ ♦rsq♦♥ éér strtr s♥t ❨ r s ♠s é♣ssr ♠ ♦♥t ♥ ♣r♦ tss rt♠♥t éé t ♦♥t ♥ ♠ss ♦♥séq♥t ♦rs q ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t ❳ ♠ ♥ éért♦♥ ♥ ♠♦♠♥t à r♥ tss ♠s ♥ ♠ss s ♠s tér ♦♥t s ♣r♦s tss ♥♥t s♥ ♦♥ ♥ é♥r ♥étqrt♠♥t t ♠ à ♦♣♣♦sé é♣♠♥t st tr♦♣ r ♣♦r ♦r♥ ♦rt tss é♦♠♥t

♥ strr s ♣r♦♣♦s s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t❨ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 2.7

r ♦♠♣rs♦♥ s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t ❨ strtr ♠♠ré ♥ ♣♦st♦♥ ôté

♦♥rt♦♥ ♦♥

♥s s ♦ù strtr ♠♠ré st r♣♣r♦é ♥ s ♦rs résr♦r ss♦t♦♥s t ♥ ♦♥♥♥t à ♥♦ t♦♦rs ♥ srst♠t♦♥ s ♠sss♦tés Pr ♦♥tr s♦t♦♥ ♥②tq ♦rrs♣♦♥♥t ♠♦è qr ♣♣qé à ♥ s ♠♦ ♦♥♥ s réstts s♦sst♠♥t s ♠sss ♦tés ♥ss ♦♥rt♦♥s ♠s é♣ssr ♠♦②♥♥ ♠ ♠ t ♠ ♠ê♠q ♥s ♦♥rt♦♥ ôté tt s♦sst♠t♦♥ ♥st ♣s s②sté♠tq

♣s ♦♥ ♦t ♣♣rîtr ♣é♥♦♠è♥ t ♦♥ q ♦rrs♣♦♥ à ♣rés♥ tr♠s ♥♦♥♦♥① ♥s ♠tr ♠sss ♦tés s ♥ s♦♥t s♦♥t ♣s ♣rs ♥♦♠♣t ♥s ttértr ①st♥t sr st t ♥♦t♠♠♥t ♥s ♠♦è t ♥ s tr♠s ♣♣rss♥t ♦rsq ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥ ♣♦ssè ♣s ♣♥ s②♠étr qs♠♥t t♦t t♠♣s ♥s s strtr ss♥tès ♦rs q ♦♥ ts é♦♠étr s ♠s ♦rs ss♠♥t

♥ r♠rq ♥s s ♦♥séré q s ♠♣ts s ♠sss ♦tés ♥s♦♥t ♣s ♥és r♣rés♥t ♥r♦♥ ♠ss ♦té ♣r♥♣ s♣♥t ♦♥ ♦r ♥ ♠♣♦rt♥ ♦rt sr ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q strtr♥s s s ♠s ♦♥♥és

♥s tt ♦♥rt♦♥ ♦♥ ♥♦s ♦sr♦♥s à ♥♦ ♥ ♥r♠♥t s tr♠s♦♥① ♣r s réstts s ① ♠♦ès ♥②tqs ♠♦è é♦♣♣é ♥s tttès ♦♥♥ à ss ♥ ♠r st♠t♦♥ ♥s♠ ♠tr ♠ss ♦tét ♣s ♥q♠♥t s tr♠s ♦♥①

♥ r♣rés♥t ♥s r 2.8 s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥s♥t ❨

r ♦♠♣rs♦♥ s ♣r♦s ♣rss♦♥ ♥s s ♥ éért♦♥ s♥t ❨ strtr ♠♠ré ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥

♦t♦♥s ♣s♦♥②tqs ♦♣ ♥ q

r

♥s tt ♣rt ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥ ♠ét♦ ♣s♦♥②tq ♦t♥t♦♥ s ♠trs ♠ss ♦♣ strtr ♣♦r ♥ qr ♦♥♥é strtrsrrés ♠♠rés ♦rs s♦♥ é♣♠♥t ♥ ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s strtrs ♦rt♠♥t ♦♥♥és q strtr r ♥ ♦♣ ♥s♠ strs strtrs

♥s s strtr ♦♥♥é s ♠sss ♦♣ ♦t♥s é♦♥t très ♦rt♠♥t s ♥♠♥ts é♦♠étr s ♠s st ♦♥ ♠♣♦rt♥t ♦r♥r♥ ♠ét♦ ss♠♠♥t é♥ér ♣♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♥ rt♦♥ t♠♣♦r é♦♠étr t ♦♥ ♠ss ♦♣ t ss♠♠♥t r♣ ♣♦r ♣r♠ttr ♥ qs♥st♥t♥é s ♥♠♥ts é♦♠étr ♣♥t ssr s s②♠étrs ①st♥ts st ♦♥ ♥éssr q s ♠trs ♦♣ ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t s ts ♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t à s r♣trs ♦♥st♦♥ ♥s s ♠trs ♠sss

sr♣t♦♥ ♠♦è

♥ ♦♥sèr ♥ ♣s♥ N ×M s ♠♠rés ♥ s ♣ à ♥ tt ①t ♥♦s r♦♥s à ér s ♠sss ♦♣ s♥ tt tr♥ ♥ s ♥s rt♦♥ ey t s ♥s rt♦♥ ex tt ♦♥rt♦♥ str♣rés♥té ♥s r 2.9P♦r s rs♦♥s s♠♣t♦♥ ♦♥ ♦♥sèr q q st ♥tq ♠♥s♦♥ LxxLyxH ♠♦ (i, j) st ♣♦st♦♥♥é à ieme ♥ t jeme ♦♦♥♥ ♥ ♥♦t ♣♦st♦♥ é♦♠étrq ♥tr (Xij(t), Yij(t))

∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] , Xij(t) = X0ij + Aij(t),

∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] , Yij(t) = Y 0ij +Bij(t).

(X0

ij, Y0ij

)st ♣♦st♦♥ ♥t ♠♦ (i, j)

(Aij(t), Bij(t)) st é♣♠♥t ♥tr ♠♦ (i, j)

r ♦♥rt♦♥ s ♠s t ♥♦tt♦♥s

s ♠♦♠♥ts q ♠♦ ♥♥♥t é♣ssr s ♠s s ♥t♦r♥t♥ ♦t♥t s é♣ssrs

∀ (i, j) ∈ [1, N + 1]× [1,M ] , hUij(t) = eUij +Bij(t)− B(i−1)j(t),

∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M + 1] , hVij(t) = eVij + Aij(t)− Ai(j−1)(t).

hUij(t), h

Vij(t) s♦♥t s é♣ssrs à ♥st♥t t ♦♥séré ♥s s rt♦♥s ❳ t ❨

eUij, eVij s♦♥t s é♣ssrs ♥ts s ♠s ♥s s rt♦♥s ❳ t ❨

s éqt♦♥s s é♥érs♥t ♣♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s s ♣rtrs s ♠s ①trê♠s ♥ é♥t ♦♥ s é♣ssrs ts s ♠s

Ai0 = Ai(M+1) = B0j = B(N+1)j = 0

♦ést♦♥

♦s s♦♥s s ♠ê♠s ②♣♦tèss q rt ♥t♥s ♦rr ❬❪ st ♥♠♦è s♠♣é é♦♠♥t é♦♠♥t st ♥s ♣♥ (X, Y ) s é♣ssrs s ♠s s♦♥t s ♣r r♣♣♦rt ① rtérstqs é♦♠étrqs s ♠♦s

hUij(t) << Lx, Ly, H

hVij(t) << Lx, Ly, H

♥ ♥é s s♣ts ♣r♠♥t ss♣ts sr ét s é♦t♦♥s t♠♣♦rs s ♠trs ♠ss t ♠♦ésé ♣r ♥ ♦♥t ♠♦rtss♠♥té♥érsé ♥s ♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ért ♥s ♣tr

s tsss s ♣rts s s♦♥t ♥♦tés uij (x, y, t) t vij (x, y, t) rs♣t♠♥t♣♦r s ♥① ♦r♥tés ♥s rt♦♥ ❳ t ❨ ♥ ♥♦t tss ♠♦②♥♥ é♦♠♥t ♥s ♥ s ♥①

Uij (x, t) =

∫ hUij(t)

y=0 u (x, y, t) dy

hUij(t),

Vij (y, t) =

∫ hVij(t)

x=0 v (x, y, t) dx

hVij(t).

♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ① r♠♥ts ss♠qs ♣♣qés sr ♥ strtr ♠♠ré♥s s ♦♥t♦♥s s réq♥s rtérstqs s s♦tt♦♥s s♦♥t ♥érrs à③ ♥s ♦♠♥ réq♥t ♦♥ s♣♣♦sr q t ♦♠♠ ♥ ♣rt ♥♦♠♣rss ♥s éqt♦♥ ♦♥srt♦♥ ♠ss sért à srs ♠♦②♥♥s tss é♦♠♥t

dhUijdt

+ hUij∂Uij

∂x= 0,

dhVijdt

+ hVij∂Vij∂y

= 0.

♥ ts♥t s é♥t♦♥s s é♣ssrs ♠s q♥s (2.103) t (2.104) srt♦♥s (2.110) t (2.111) é♠♦♥tr♥t qà ♥ ♥st♥t t ♦♥♥é tss é♦♥ér♠♥t ♥s rt♦♥ ♥ ♦♥séré

Uij(x, t) =B(i−1)j(t)− Bij(t)

hUij(t)x+ Uij(t),

Vij(y, t) =Ai(j−1)(t)− Aij(t)

hVij(t)y + Vij(t).

♥ ♥♦t Uij(t) t Vij(t) s tsss ♠♦②♥♥s à ♥tré ♥ rs♣t♠♥ts♦♥ s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥s ét ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥ s♣♣♦s q é♦♠étr s ♥① t ♦♥ é♣♠♥t s ♠♦s st ♥ ♦♥♥é ♥tré♦♥♥ ♥♦tr s②stè♠

♦t tt ♣rt st ♣rés♥tr ♥ ♠ét♦ qs♥②tq stsss ♠♦②♥♥s ♥tré ♥s s ♥① ❯♥ ♦s t♦ts s tsss étr♠♥és ♥♦s♣♦♦♥s ♥ ér s tsss ♠♦②♥♥s ♥ t♦t ♣♦♥t ♥ ér ré♣rtt♦♥ ♣rss♦♥ t ♦♥ ♦♥♥îtr s ♠sss ♦♣ ♥tr q ♠♦

P♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥♥é ♥♦♠r ♥♦♥♥s s②stè♠ st (2M ×N +M +N)s éqt♦♥s ♦♥t♥té é♦♠♥t à q ♥trst♦♥ ♣r♠tt♥t rér ♥♦♠r

∀ (i, j) ∈ [1, N + 1]× [1,M + 1] ,

Ui(j−1)(t)+B(i−1)(j−1)(t)− Bi(j−1)(t)

hUi(j−1)(t)

Lx+V(i−1)j(t)+A(i−1)(j−1)(t)− A(i−1)j(t)

hV(i−1)j(t)Ly = Uij(t)+Vij(t)

Ui0(t) = Ui(M+1)(t) = V0j(t) = V(N+1)j(t) = 0.

♥ ♦t♥t ♥s ((N + 1) (M + 1)− 1) éqt♦♥s ♥é♣♥♥ts

② (N + 1) (M + 1) ♥trst♦♥s ♥s qr ♣♥♥t t ♥♦trq éqt♦♥ ♦♥t♥té sr ♥ ♥ t à r♦t qr ♥st ♣s♥é♣♥♥t é♣♥ t♦t♠♥t s trs rt♦♥s t ♥ ♦t ♣s êtr ♦♠♣té♣♦r rét♦♥ ♥♦♠r ♥♦♥♥s

rst ♦♥ N × M ♥♦♥♥s ♥é♣♥♥ts q ♦♥t êtr étr♠♥és à ♥♦s éqt♦♥s s ♥♦♥♥s rst♥ts s♦♥t és ♥♠♥t à ♥ s♠♦s ♦s ♦♥sér♦♥s q st tss ♠♦②♥♥ é♦♠♥t ♥s ♠ sté ♥ss♦s q ♠♦ ♥ ér♥r s ♥♦♥♥s rst♥ts♥♦s tsr♦♥s ♥♦tt♦♥ Uij(t) ♦ù

∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] , Uij(t) = Uij(t)

♥♠st♦♥ é♥r t♦t

rés♦t♦♥ s②stè♠ s N ×M ♥♦♥♥s ♥é♣♥♥ts rst♥t ♥ésst ♥

tr♦t♦♥ ♥♦s éqt♦♥s s ♥♦♥♥s ♦ss(Uij(t)

)[1,N ]×[1,M ]

ét♥t ♥é

♣♥♥ts st ♣♦ss érr s éqt♦♥s ♠♥♠st♦♥ é♥r t♦t s②stè♠ s ②♣♦tèss ♠♦ést♦♥ s é♥r ♣rés♥t ♥s s②stè♠♦♥séré st é♥r ♥étq é♥r ♥étq r♣rés♥t ♦♥ é♥rt♦t s②stè♠ ♥ ér♥t s ♠♥♠st♦♥s é♥r ♥étq t♦t ♣♦r q ♥♦♥♥ rst♥t s②stè♠ ♦♥ ♦t♥t N ×M ♥♦s éqt♦♥s q♥♦s ♣r♠ttr♦♥t rés♦r t♦t♠♥t s②stè♠

♥s tt ♣rt ♥♦s ①♣qr♦♥s s ♠ét♦s ♦t♥t♦♥ ♥②tq s ♥♦s éqt♦♥s ♦s ♣rés♥tr♦♥s t♦t ♦r ♥ ♠ét♦ é♥r ♥étq t s érés ♣♦r q ♠ Ps ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♠ét♦ étr♠♥t♦♥ s ♠trs ♦♣ q ♥♦s strr♦♥s ♥s s ①♠♣s s♠♣s

t s ♠s rts

♥s tt ♣rt ♥♦s ♥♦s ♦♥♥tr♦♥s sr ét s ♠s rts q♦rrs♣♦♥♥t ① ♥① ♦r♥tés ♥s rt♦♥ ❨ ♥ ts♥t rt♦♥ (2.113)♦♥ ♣t ①♣r♠r é♥r ♥étq ♥ ♠

∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M + 1] ,

EVij =

∫ hVij

x=0

∫ Ly

y=0

∫ H

z=0ρv2ij(x, y, t)dxdydz

=ρHhV

ij

2

[LyV

2ij + L2

yVijAi(j−1)−Aij

hVij

+L3y

3

(Ai(j−1)−Aij

hVij

)2]

é♥r ♥étq s ♠s rts é♣♥ qrtq♠♥t tss♠♦②♥♥ é♦♠♥t ♥ ♥tré ♥ Vij(t) tt tss é♦♠♥t ♥ ♥tré

♥ rt é♣♥ ♥ér♠♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠ Uij(t) t r♠♥té♣♠♥t s ♠♦s Aij(t) t Bij(t) ♥ ts♥t s éqt♦♥s ♦♥t♥té (2.114) q ♥trst♦♥ sté ♥ ♠♦♥t ♠ ♦♥séré ♦♥ ♦t♥t

Vij(t) =i∑

k=1

(Uk(j−1)(t)− Ukj(t)

)+

i−1∑

k=1

Ak(j−1)(t)− Akj(t)

hVij(t)Ly +

i∑

k=1

B(k−1)j(t)− Bkj(t)

hUkj(t)Lx

♥ ♥t♥t tt éqt♦♥ ♥s ①♣rss♦♥ é♥r ♥étq s♥ ♥rt ♦♥ ♣t étr♠♥r ①♣rss♦♥ ♥②tq s érés é♥r ♥étq

♣r r♣♣♦rt ① ♥♦♥♥s ♥é♣♥♥ts s②stè♠(Ukl(t)

)[1,N ]×[1,M ]

s érés

é♣♥♥t ♥ér♠♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠(Ukl(t)

)[1,N ]×[1,M ]

∀ (k, l) ∈ [1, N ]× [1,M ] , ∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] ,

∂EVij

∂Ukl

=ρHhVij

2

(2Ly

∂Vij

∂Ukl

Vij(t) + L2y

∂Vij

∂Ukl

A(i−1)j(t)− Aij(t)

hVij(t)

)

t s ♠s ♦r③♦♥t

♥s tt ♣rt ♥♦s ♥♦s ♦♥♥tr♦♥s sr ét s ♠s ♦r③♦♥ts q♦rrs♣♦♥♥t ① ♥① ♦r♥tés ♥s rt♦♥ ❳ ♥ ts♥t rt♦♥ (2.112)♦♥ ♣t ①♣r♠r é♥r ♥étq ♥ ♠

∀ (i, j) ∈ [1, N + 1]× [1,M ] ,

EHij =

∫ Lx

x=0

∫ hUij(t)

y=0

∫ H

z=0

ρu2ij(x, y, t)dxdydz

=ρHhUij

2

LxU

2ij(t) + L2

xUij(t)B(i−1)j(t)− Bij(t)

hUij(t)+L3x

3

(B(i−1)j(t)− Bij(t)

hUij(t)

)2 ]

♥s ♣♣rt s ♥① ♦r③♦♥t① t♦s s sté t♦t ♥ t qr tss ♠♦②♥♥ ♥tré st ♥ s ♥♦♥♥s s②stè♠ ♥s s ♠♥♠st♦♥ é♥r ♥étq s②stè♠ sért ♠♥t

∀ (k, l) ∈ [1, N ]× [1,M ] , ∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] ,

∂EHij

∂Ukl

=ρHhUij

2

(2LxUij(t) + L2

x

B(i−1)j(t)− Bij(t)

hUij(t)

)si i = k & j = l,

∂EHij

∂Ukl

= 0 si i 6= k & j 6= l

s érés é♥r ♥étq é♣♥♥t ♥ér♠♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠(Ukl(t)

)[1,N ]×[1,M ]

r♥èr r♥é ♠s ♦r③♦♥ts ♦t êtr ♦♥séré ♥é♣♥♠♠♥tr tss ♠♦②♥♥ ♥tré ♥st ♣s rt♠♥t ré à ♥ ♥♦♥♥s P♦r étr♠♥r t ♦♥sérr ♦♥t♥té é♦♠♥t sr ♥s♠ s ♥trst♦♥sr♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠ ♥ ♦r③♦♥t ♦♥séré ♥ s♥t ♥ rérr♥sr q ♥trst♦♥ t ♥ ts♥t ①♣rss♦♥ (2.114) ♦♥ tr♦ ①♣rss♦♥ tss ♠♦②♥♥ ♥tré ♥s s r♥rs ♥① ♦r③♦♥t① ♥ ♦♥t♦♥ s ♥♦♥♥st s ♦♥♥és ♥tré s②stè♠

U(N+1)j =

j∑

m=1

N∑

n=1

(Un(m−1)(t)− Unm(t)

)+

N∑

n=1

An(m−1)(t)− Anm(t)

hVnm(t)Ly +

N+1∑

n=1

B(n−1)m(t)− Bnm(t)

hUnm(t)L

s érés é♥r ♥étq ♣r r♣♣♦rt ① ♥♦♥♥s s②stè♠(Ukl(t)

)[1,N ]×[1,M ]

s r♥rs ♥① ♦r③♦♥t① s♦♥t ♦t♥s à éqt♦♥ (2.121) s érés

é♣♥♥t ♥ér♠♥t s ♥♦♥♥s(Ukl(t)

)[1,N ]×[1,M ]

∀ (k, l) ∈ [1, N ]× [1,M ] , ∀ (i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ] ,

∂EH(N+1)j

∂Ukl

=ρHhH(N+1)j

2

(2Ly

∂U(N+1)j

∂Ukl

U(N+1)j(t) + L2y

∂U(N+1)j

∂Ukl

ANj(t)− A(N+1)j(t)

hU(N+1)j(t)

)

♥♠st♦♥ é♥r

é♥r ♥étq t♦t Etot st s♦♠♠ s é♥rs ♥étqs ♥s ♠s ♦r③♦♥ts t rts ♥s q s ♦♥t♥s ♥ s ♥trst♦♥s s ②♣♦tèss tés sr s ♠♥s♦♥s s ♠s ♦♥t q é♥rs ♥trst♦♥s é♣♥ s♦♥ ♦rr s q♥ttés hUij(t) t h

Vij(t) ♦rs q s

♠s ♥ é♣♥♥t q ♣r♠r ♦rr s q♥ttés ♥ ♣t ♦♥ ♥érr ♠♣t sr é♦t♦♥ é♥r ♥étq t♦t

♥s s ♦ù tt ②♣♦tès ♥st ♣s éré ♦ s ét ♥ésst ♥ ♣s r♥♣rés♦♥ st ♣♦ss ♦♥♥r ♥ ♦rr r♥r é♥r ♥étq s ♥trst♦♥s ♥ s♣♣♦s♥t ♦t q tss ♥s ♥trst♦♥ st ♦♥st♥t t é à tss

♠♦②♥♥ ♣s éé srst♠t♦♥ é♥r ♥étq ♦t q tss ♥s ♥trst♦♥ st ♦♥st♥t t é à tss

♠♦②♥♥ ♣s s♦sst♠t♦♥ é♥r ♥étq ♦t q ♥trst♦♥ st é♦♣é ♥ qtr st♦♥ é ♦ù tss st

é à tss ♠♦②♥♥ ♠ ♥t st♠t♦♥ ♣s ♣rès

s s s érés é♥r ♥s ♥ s ♠s (2.118) (2.120)t (2.122) ♦♥t t ♣♣rîtr ♥ é♣♥♥ ♥ér s ♥♦♥♥s rst♥ts

s②stè♠(Ukl(t)

)[1,N ]×[1,M ]

t s r♠♥ts(Aij(t)

)[1,N ]×[1,M ]

t(Bij(t)

)[1,N ]×[1,M ]

♥ s♦♠♠♥t q éré ♦♥ ♦t♥t éqt♦♥ ♠♥♠st♦♥ é♥r

♥étq ♥ ♦♥t♦♥ s ♥♦♥♥s(Ukl(t)

)[1,N ]×[1,M ]

K.U = α.A+ β.B

U =T

(U11 . . . U1M U21 . . . UNM

)st tr s N ×M ♥♦♥♥s

A =T(A11 . . . A1M A21 . . . ANM

)st tr s N ×M r♠♥ts ♦r③♦♥t①

B =T(B11 . . . B1M B21 . . . BNM

)st tr s N ×M r♠♥ts rt①

s ♠trs ♠♥s♦♥ (NM,NM) K α t β s♦♥t t♦t♠♥t étr♠♥és ♥②

tq♠♥t à s éqt♦♥s (2.118) (2.120) t (2.122)

①♠♣s

♥s ♣rt ♣réé♥t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♠♥♠st♦♥ é♥r t♦t♦rrs♣♦♥ à rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠ ♥ér ♥s tt ♣rt ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ss♦t♦♥s ♥②tqs ♣♦r s ♦♥rt♦♥s s♠♣s ♦s s♣♣♦sr♦♥s ♥♦t♠♠♥t q é♣♠♥t s ♠♦s st très t ♥ ♠♦ ♣s é♦♠étr s ♠s ♥ s♣♣♦sr q s é♣ssrs ♥ts s ♠s s♦♥t ♥tqs hUij(t) ≈eUij = e t hVij(t) ≈ eVij = e t q s ♠♦s ♦♥t ♥ s rré Lx = Ly = L

r ♦♥rt♦♥s ♦♥sérés

♦♥rt♦♥ (1× 1)

st ①♠♣ ssq ① s ♦♥♥trqs ♦♥t ♥♦s ♦♥s ♦♥♥é sréstts ♥②tqs ♥s ♣rt (2.5.4) ♥ tr♦ rt♦♥ ♥ér s♠♣

8U11 = −4L

eA11(t) + 4

L

eB11(t)

♦♥rt♦♥ (2× 2)

♦♥rt♦♥ (2 × 2) ♣r♠t r ♣♣rîtr s rtérstqs s ♠trs♦t♥s ♠ê♠ sr ♥ s rt♠♥t s♠♣ s s♦♥t ♣rsq t♦♦rs ♣♥st ♥ s♦t♦♥ qs♥②tq st ♦♥ ♥éssr ♣♦r ♥ ♣s ♦r tr♦♣ t♠♣s

K =

12 6 −4 −26 8 −2 −2−4 −2 12 6−2 −2 6 8

α =L

e

−8 −4 3 1−6 −4 2 13 1 −8 −42 1 −6 −4

β =L

e

3 3 0 0−1 4 0 0−2 −2 3 30 −2 −1 4

♦♥rt♦♥ (2× 4)

tt ♦♥rt♦♥ t ♣♣rîtr rt♥s éé♠♥ts rérté s ♠trs

K =

12 6 −4 −2 0 0 0 06 8 −2 −2 0 0 0 0−4 −2 12 6 −4 −2 0 0−2 −2 6 8 −2 −2 0 00 0 −4 −2 12 6 −4 −20 0 −2 −2 6 8 −2 −20 0 0 0 −4 −2 12 60 0 0 0 −2 −2 6 8

α =L

e

−8 −4 3 1 0 0 0 0−6 −4 2 1 0 0 0 03 1 −8 −4 3 1 0 02 1 −6 −4 2 1 0 00 0 3 1 −8 −4 3 10 0 2 1 −6 −4 2 10 0 0 0 3 1 −8 −40 0 0 0 2 1 −6 −4

β =L

e

3 3 0 0 0 0 0 0−1 4 0 0 0 0 0 0−2 −2 3 3 0 0 0 00 −2 −1 4 0 0 0 00 0 −2 −2 3 3 0 00 0 0 −2 −1 4 0 00 0 0 0 −2 −2 3 30 0 0 0 0 −2 −1 4

étr♠♥t♦♥ s ♠trs ♦♣ strtr

qt♦♥s r♥

♥ étr♠♥r s ♠trs ♦♣ strtr ♥♦s ♦♥s ♦♥sérr s②stè♠ ♦♠♣t ④strtr ⑥ s é♥rs s②stè♠ ♦♣é s♦♥t T =Ts + Tf é♥r ♥étq é♦♠♣♦sé rs♣t♠♥t ♥tr strtr t V = VS é♥r ♣♦t♥t q s ♠t à strtr Q ♣ss♥ s♦rts ss♣ts r♦tt♠♥t ♠♦rtss♠♥t sq① t ♥s ♥♦tr ♠♦è ♥ ♥♥ sr é♥r ♥étq t♦t t sr s ts ss♣ts

♦s ♣résr♦♥s ♥s ét ②♥♠q s②stè♠ ♦♣é été ♥s ♣tr ♦♠♠♥t s ts ss♣ts s♦♥t ♠♦ésés ♦s ♥ ♥♦s ♦sr♦♥s ♦♥♣s sr ♥ ♥②s ♣rés ♦♠♣♦st♦♥ tr♠ Q

♦♥ ♦♥sér q ♠♦ ♦♠♠ ♥ ♠ss M rr ①t♦♥ s♦ K ♥ ♠♦rtss♠♥t c s é♥rs és à strtr sér♥t

TS(t) =12M(A2(t) + B2(t)

),

VS(t) =12K (A2(t) + B2(t)) ,

Q(t) = −c(AδA(t) + BδB(t)

).

s ②♣♦tèss ts sr ♠♦ést♦♥ ♠♣♦s♥t q Tf st ♥ ♦♥t♦♥

é♣♥♥t s rs (Aij(t), Bij(t), Aij(t), Bij(t)

) tt ♦♥t♦♥ é♣♥ qrt

q♠♥t s tsss é♣♠♥ts s ♠♦s(Aij(t)

)[1,N ]×[1,M ]

t(Bij(t)

)[1,N ]×[1,M ]

t ♠♥èr ♦♠♣① ♣♦②♥ô♠ à ♦♥ts ♣♦sts t ♥éts s é♣♠♥ts s♠♦s (Aij(t))[1,N ]×[1,M ] t (Bij(t))[1,N ]×[1,M ]

♥ ts♥t éqt♦♥ r♥

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi+∂V

∂qi= Qi

T é♥r ♥étq t♦t s②stè♠ V é♥r ♣♦t♥t t♦t s②stè♠ qi s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés s②stè♠ Qi ♦rt ss♣t é à ♦♦r♦♥♥é é♥érsé qi

♥ tr♥s♣♦s♥t éqt♦♥ r♥ s②stè♠ s♠♣ ♠♦ ♣rés♥té ♥séqt♦♥ (2.131) t ♥ ♦♥sér♥t s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés (Aij(t))[1,N ]×[1,M ] t (Bij(t))[1,N ]×[1,M ]♦♥ tr♦ éqt♦♥ éqr s②stè♠ ♦♣é tt éqt♦♥ éqr ♣r♠t ♥ ♦♠♣r♥r ♥♥ ♦♣ strtr sr ②♥♠q strtr

∀(i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ],

MAij + CAij +KAij +d

dt

(∂Tf

∂Aij

)− ∂Tf∂Aij

= 0,

∀(i, j) ∈ [1, N ]× [1,M ],

MBij + CBij +KBij +d

dt

(∂Tf

∂Bij

)− ∂Tf∂Bij

= 0,

♥ é♥t ♥s s ♦rts ♦♣ strtr ♣♣qés sr q ♠♦♣r

F IFSij =

− d

dt

(∂Tf

∂Aij

)+

∂Tf

∂Aij

− ddt

(∂Tf

∂Bij

)+

∂Tf

∂Bij

♠♣t♦♥ s ♦rs ♦♣ strtr

é♥r ♥étq Tf st étr♠♥é ♥②tq♠♥t à s éqt♦♥s

(2.116) t (2.119) st ①♣r♠é à s ♥♦♥♥s s②stè♠(Uij(t)

)[1,N ]×[1,M ]

t

s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés s é♣♠♥ts t tsss s ♠♦s Aij, Bij, Aij, Bijs ♥♦♥♥s s②stè♠ ét♥t t♦t♠♥t é♣♥♥ts s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♦♥ ♣t réérr s érés ①♣rss♦♥ s ♦rs ♦♣ (2.135) s♦s ♦r♠

(∂Tf∂Aij

)

0

=∂Tf∂Aij

+∑

k,l

∂Tf

∂Ukl

∂Ukl

∂Aij

♥ ♥♦t(

∂Tf

∂Aij

)0 éré ♣rt é♥r ♥étq ♦rsq st ①

♣r♠é ♥q♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés Tf

(Aij, Bij, Aij, Bij

)

♠♥♠st♦♥ é♥r ♥étq ♣r r♣♣♦rt ① ♥♦♥♥s s②stè♠ (Uij(t)

)[1,N ]×[1,M ]

♥♦s ♣r♠t ér q ①è♠ tr♠ éqt♦♥ st ♥

s érés∂Tf

∂Aijs♦♥t étr♠♥és ♥②tq♠♥t ♥ ts♥t ♠ê♠ ♠ét♦ q

tsé ♣♦r ♠♥♠sr é♥r ♥étq ♣rés♥té ♥s ♣rr♣ (2.6.3.3)

♥ ♠ê♠ ♠♥èr s trs érés(

∂Tf

∂Aij

)0(

∂Tf

∂Bij

)0t(

∂Tf

∂Bij

)0

♥s s ♦ù s é♣♠♥ts s ♠♦s s♦♥t s ♦ ♥ts ♦♥ ♣t ♥ér

s tr♠s ① é♣♥♥s ♦♠♣①s és ① érés (

∂Tf

∂Aij

)0t(

∂Tf

∂Bij

)0 ♦s tt

②♣♦tès ♦♥ rtr♦ t q ♦♣ ♣t êtr ♠♦ésé ♣r ♥ ♠tr ♠ss♦té

♠rq ♠ét♦ tért ♣rés♥té ♥s ♣rt ②♥♠q ♣tr ♣r♠t tr♦r ♥ ♦♠♣r♦♠s ♥térss♥t q tért♦♥ s é♣♥♥s ♦♠

♣①s és à(

∂Tf

∂Aij

)0t(

∂Tf

∂Bij

)0s♦♥t ♥éés Pr ♦♥tr é♦♠étr ♦♥séré ♣♦r

é♥r ♥étq t♦t ♦rrs♣♦♥ à é♦♠étr s ♠s ét ♣s t♠♣s ♥s ♦♥ ♠t ♥♦tr ét ♠trs ♠ss♦té ♥s sqs s ♥♠♥ts é♦♠étr s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t

♠rq é♥r ♥étq t♦t ♦♠♣♦rt s tr♠s qrtqs

♦♣és ♥s s é♣♥♥ ♥(Aij, Bij

) s érés

(∂Tf

∂Aij

)0t(

∂Tf

∂Bij

)0♦♥t ♦♥

♣♣rîtr s tr♠s ♦♣ ♥tr s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥tr ér♥ts ♠♦s ♦rrs♣♦♥ à é♥érst♦♥ q ♥♦s ♦♥s ♣♣é t ♦♥ ♥s ét ♦♣ strtr sr ♥ ♠♠ré ①♥tré

♦s tt r♥èr ②♣♦tès ♦♣ strtr ♣t êtr ♠♦ésé s♦s ♦r♠ ♠trs ♠ss ♦té s s♦♥t é♥s ♣r

F IFSij =

− d

dt

(∂Tf

∂Aij

)

− ddt

(∂Tf

∂Bij

) =

(−∑k

∑lM

Hxx(i, j, k, l)Akl −

∑k

∑lM

Hxy(i, j, k, l)Bkl

−∑k

∑lM

Hyx(i, j, k, l)Akl −

∑k

∑lM

Hyy(i, j, k, l)Bkl

)

F IFSij =

−MH

xx.A−MHxy.B

−MHyx.A−MH

yy.B

♦tt♦♥s ♦♥♥sés

♥ ts♥t ♥ ♥♦tt♦♥ ér♥t ♦♥ ♣t ♦♥♥sr ♥ s t♥srs

˜A =T(A11 . . . A1M A21 . . . A2M . . . ANM

),

˜B =T(B11 . . . B1M B21 . . . B2M . . . BNM

),

F IFSx =T (F x

11 . . . Fx1MF

x21 . . . F

x2M . . . F x

NM) ,

F IFSy =T (F y

11 . . . Fy1MF

y21 . . . F

y2M . . . F y

NM) ,

MHxx =

Mxx11 Mxx

12 . . . Mxx1M

Mxx21 Mxx

22 . . . Mxx2M

MxxN1 Mxx

N2 . . . MxxNM

, MH

xy =

Mxy11 Mxy

12 . . . Mxy1M

Mxy21 Mxy

22 . . . Mxy2M

MxyN1 Mxy

N2 . . . MxyNM

,

MHyx =

Myx11 Myx

12 . . . Myx1M

Myx21 Myx

22 . . . Myx2M

MyxN1 Myx

N2 . . . MyxNM

, MH

yy =

Myy11 Myy

12 . . . Myy1M

Myy21 Myy

22 . . . Myy2M

MyyN1 Myy

N2 . . . MyyNM

,

♦♠♣♦s♥t (k, l) ♠tr Mαβij s①♣r♠ α t β ♣♦♥t ♣r♥r s rs

[x, y]

Mαβij (k, l) =MH

αβ(i, k, j, l)

s ♥♦tt♦♥s ♦♥ ♣t réérr ♦♣ strtr s♦s ♦r♠ s②♥tètq

F IFSx = −MH

xx.˜A− MH

xy.˜B

F IFSy = −MH

yx.˜A− MH

yy.˜B

é♥érst♦♥ réstt

s ♠trs ♠sss ♦tés ②r♦②♥♠qs s♦♥t ♦t♥s ♠♥èr qs♥②tqs ♥ s♥t é♠r ♣rés♥té sss ♣r♠t ♥ qs♥st♥t♥é s ♠trs ♦♣ ♣♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥♥é t ♣♦r ♥ tr♥ tt ♦♠♣rs ♥tr z t z +∆z ♥ s♣♣♦s♥t ♥ é♣♠♥t ♠♦②♥ ♥ s tr♥s ♠♦

❯♥ qs♥st♥t♥é ♣rés♥t ♦ ♥t ♣r♠ttr ♥ tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t s ♠♦s t ♣r♠t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♥ é♣♠♥t ér♥t ♥ ♦♥t♦♥ s tts ♥ ♦t♥t ♣♦r♥ s ♠trs ♥ é♥t♦♥ s♥t z à ♥ ♣ér♦ s♣t ∆z

♠ê♠ ♠♥èr ♦rs ②♥♠q ♦♥ ♦♥sérr ♥ é♥t♦♥♥t♠♣♦r à ♥ ♣ér♦ ∆T ♠ét♦ sr ♣rés♥té ♥s ét ♥s ét ②♥♠q ♣r♠t r à q tért♦♥ t♠♣♦r ♥ r tsés ♠trs ♦♣ ②r♦②♥♠q ♥s ♣♦r ieme tért♦♥ ♦♥ ♦♥♥t s♠trs ♦♣ s tért♦♥s (i, i− 1, i− 2, . . . , 0)

st ♥st ♣♦ss tsr ér♥ts ♦♥t♦♥s ss ♣♦r é♥t♦♥♥s♣t ♦♥♥ sr ♥s♠ ♦♠♥ é♥t♦♥ à ♥ ♣ér♦ ∆z t ♣♦r é♥t♦♥♥ t♠♣♦r ♦♥♥ sr s♦♥ st♦rq sqà ieme tért♦♥ à ♥ ♣ér♦ ∆T ❯♥ ♦s tr té ♦♥ ♣t tr♦r s ♦♥t♦♥s ♦♥t♥s ér♥t ♥s ♠trs ♦♣ ②r♦②♥♠q ♥ s♣♣♦sr s réstts ♣♦r ét ②♥♠q ♦♣é

MHxx(z, t), M

Hxy(z, t), M

Hyx(z, t), M

Hyy(z, t).

éstts

éstts ♣rss♦♥ sss ♠♦è ♦♣strtr

s réstts ♣rés♥tés ♥s tt ♣rt ♣♦rt♥t sr s ré♣rtt♦♥s ♣rss♦♥ éts s ♠trs ♠ss ♦♣ strtr ♣r r♣♣♦rt à s ♦t♥sà ♥ ♦ éé♠♥ts ♥s ANSY STM ♦s ♦♥sérr♦♥s ér♥ts ♦♥rt♦♥s é♦♠étrqs sr sqs ♥♦s ♣♣qr♦♥s s r♠♥ts q♦♥qs

♥s ♥ s ♦♥rt♦♥s ♣s♥ ♥♦s s♠♣r♦♥s s é♦♠étrs ♦♥sérés ♥ ♠♦és♥t s ♠♦s rrés ♠♥s♦♥s Lx = Ly = L = 2.5m t ♥é♣ssr é sr ♥ s ♠s e = 0.03m

♦♥rt♦♥ (1× 1)

♥ ♦♥sér ♥ s é♠q ♥ ♠♦ s ♥tré ♥s ♥ ♣s♥ ♥ éèr ♠♦ ♥s rt♦♥ ❳ s réstts ♦t♥s s♦♥t ♣rés♥tés ♥s r 2.11s réstts éé♠♥ts ♥s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s ♣rt t ① ♦t♥s ♣r♥ ♠ét♦ ♥②tq s♦♥t à r♦t ♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ ♥tr s ①réstts

r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ ♥s rt♦♥ ❳

♦♥rt♦♥ (2× 4)

♥ ♦♥sèr ♥ ♦♥rt♦♥ ♣s♥ (2× 4) ♠♦s ♥ éèr ♠♦(1, 3) ♥s rt♦♥ ❳ ♣s ♥s rt♦♥ ❨ s réstts s♦♥t ♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥s s rs 2.12 ♣♦r éért♦♥ s♥t ❳ t 2.13 ♣♦r éért♦♥ ♥s

rt♦♥ ❨ s réstts éé♠♥ts ♥s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s ♣rt t ①♦t♥s ♣r ♥ ♠ét♦ ♥②tq s♦♥t à r♦t ♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ éqt♦♥♥tr s ① réstts

r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ ♥s rt♦♥ ❳

r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ ♥s rt♦♥ ❨

♦♥rt♦♥ (3× 4)

♥ ♦♥sèr ♥ ♦♥rt♦♥ ♣s♥ (3×4) ♠♦s ♥ éèr ♠♥èrs②♠♠étrq ♥ rt♦♥ ♥tr ♣s♥ s ♠♦s à q ♦♥ ♥s rt♦♥ ❳ ♣s ♥s rt♦♥ ❨ s réstts s♦♥t ♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥s srs 2.14 ♣♦r éért♦♥ s♥t ❳ t 2.15 ♣♦r éért♦♥ ♥s rt♦♥ ❨s réstts éé♠♥ts ♥s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s ♣rt t ① ♦t♥s ♣r♥ ♠ét♦ ♥②tq s♦♥t à r♦t ♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ ♥tr s ①réstts

r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ s②♠♠étrq s♥t rt♦♥ ❳

r ♦♥rt♦♥ éért♦♥ s②♠♠étrq s♥t rt♦♥ ❨

♦♥s♦♥

♦s ♦♥s ♥s ♣tr s ♦♥♠♥ts té♦rqs ♠sss ♦tés ♦♣ strtr ♥s q s ♠♦ès ♥②tqs st♦rqs ②♥t ♦♥é tt té♦r ♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té s ♠♦ès ♥②tqs ♣♣r♦és ré♥ts q ♥♦s ♦♥s♥rs ♥s s ♣réé♣♣és rt♥s ♦♥♥trqs ♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té ♥ ♠♦è ♥②tq ♣♣r♦é ♣♦r s ♦♣s qr strtr ♥♥♥♦s ♦♥s ♣rés♥té s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr s ér♥ts ♠♦ès ①st♥ts t s s♦t♦♥séé♠♥ts ♥s

s ♠♦ès é♦♣♣és ♥s tt tès ♣rés♥t♥t ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ sréstts éé♠♥ts ♥s ♥s s s ♠s ♦♥♥és t ♦♥♥♥t ♥ ♦rr r♥r ♣t ♣♦r s ♠s é♣ssr ♣r♦ s ♠♥s♦♥s rtérstqs strtr à tt é♣ssr st ♣réér tsr ♥ ♣♣r♦é♦♠♥t ♥s ♥ ♠ ♥♥

s s♦t♦♥s é♦♣♣és ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♥é très s♥s ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣ts ts ♦♥ stàr ét♦♥ s tr♠s ♥♦♥ ♦♥① s ♠trs ♠ss ♦♣ strtr q ♣♣rss♥t ès q é♦♠étr s ♠s ♥ ♣rés♥t♥t ♣s ♣♥ s②♠étr ♥tr♥t ♥s qs♠♥t t♦ts s ♦♥rt♦♥s strtr ss♥t ♠♠ré ès ♦rs q♦♥ ts s é♦♠étrs s ♠s é♣♠♥t strtr t t ♦♥ ♣t êtr ♥♦♥ ♥é♦rsq♦♥ s r♣♣r♦ ♦r résr♦r tt ♦♥t♦♥ ét♥t ♥ s rtèrs ♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrs st ♦♥ ss♥t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t

♦s ♠♦ès ré♣♦♥♥t ♦♥ à ♦ ①♥ q ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ①és ♥stt tès ♦ést♦♥ ♣s ♥ ♣♦ss ♦♠♣♦rt♠♥t ré strtr t ♦tst r♠♣ ♥s s s ♠s ♦♥♥és ♥♦t♠♠♥t ♣rs ♥ ♦♠♣ts ts ♦♥ ♥ sr♣t♦♥ ♣s ♥ s ♣r♦s tss ♥s ♣♦r s♦♥rt♦♥s ♥trés ♥s q ♣♦ssté ♣♦♦r tsr é♦♠étr s♠s ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t strtr ♠♠ré

♠♣s qs♠♥t ♥st♥t♥é t ♦t st ss r♠♣ ét♥t ♦♥♥é qst s♦t♦♥ ♥②tq ♦ qs♥②tq ♠♣q♥t rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠♥ér éqt♦♥s ♠♥s♦♥

♦s rr♦♥s ♥s ♣tr ♦♠♠♥t s ♠trs ♦♣ s♦♥t ♥térés ♥ss ♠♦ès ②♥♠q ♥♦♥♥ér t ♦♠♠♥t é♦t♦♥ s é♦♠étrs s ♠s st ♥téré ♥s

♦r♣

❬❪ rt③ t ♦ qs ♦♥ t ②♥♠ ♠♦t♦♥s ♦ ♠♠rs s♦s r♥s ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♦r ♥str②

❬❪ t ♥ ♥ ♠ t♦♥ ♦ ss♠ ♦s ♦♥ st♦r rs♥r ♦♥srt♦♥ ♦ strtr ♥trt♦♥ r♥s

❬❪ ♥ ♥ t ♦♠♣rs♦♥ ♦ r♥t ♥②t ♦r♠t♦♥s ♦r t♥ st♦r rs r♥s

❬❪ t ♥ ♥ strtr♥trt♦♥ ♦r t ♥②ss ♦ t ②♥♠s ♦ st♦r rs ♥ t s ♦ ss♠ ♦s r ♥♥r♥ ♥ s♥

❬❪ ♥r s t ♦s t♦♥s ♦ P♦②t♥q

❬❪ ♦r P ♥ ②♥♠ ♦♣♥ ♥ ♦s② s♣ t♦♦② s②st♠ rt♥ ♥ q ♠♠ t s ♦ rs r s ♥tr♥t♦♥♦♥r♥ ♥ r P♥ts

❬❪ ❲ ♦s♥r ②♥♠ ♣rssrs ♦♥ rt ♦♥t♥rs t♥ ♦ tss♠♦♦ s♦t② ♦ ♠r

❬❪ r②s r ♦st♦♥s ♦ tr ♥ ♥ ♣t Pr♦ ♦♥♦♥ t ♦❱♦

❬❪ ❲strr ❲tr ♣rssrs ♦♥ ♠s r♥ rtqs r♥s ❱♦

❬❪ ♦s♥s ♦s♥ ❲tr ♣rssr ♥ t♥ s ② s♠t rtq t♥ ♦ s♠ ♦t② ♦ ♠r ❱♦

❬❪ ♦s♥ ♠♣s ②r♦②♥♠s ♦ ♥s ②♥r t♥ ♥ ♦ srr♦♥♥ ②♥r ♣r t♥ ♦ s♠ ♦t② ♦ ♠r ❱♦

❬❪ P❲ ❲r♥r ♥qst ♥ ②r♦②♥♠ rtq ts r♥s ♠r♥♦♣②ss ❯♥♦♥ ❱♦

❬❪ ♦s♥ ②r ②r♦②♥♠ ①♣r♠♥ts t r ②♥r t♥sst t♦ tr♥s♥t ♠♦t♦♥s t♥ ♦ s♠ ♦t② ♦ ♠r ❱♦

❬❪ ❲ r♠ ♦r③ rtrsts ♦ ♠♦t♦♥ ts r♣♥②♥♠s ♦r♥ ♦ ♣♣ ♥s ❱♦ ♦

❬❪ ❩♥r ②r♦②♥♠ ♣rssrs ♦♥ ♠s t♦ ♦r③♦♥t rtqs Pr♦♥s ♦ t ♦t② ♦ ①♣r♠♥t trss ♥②ss ❱♦ ♦

❬❪ ❲ ♦s♥r rtq ♣rssrs ♦♥ ♦♥t♥rs ♦r♥ ♥sttt ♦ ♥♦♦②

❬❪ ①s ♥t♥s ❱r r ♦ ♥♠r ♠t♦s ♦r ♣rt♥ ♦♥ rt♦♥s ♦r♥ ♦ Prssr ❱ss ♥♦♦② ❱♦

❬❪ ♦♥♥t ♥ é♦r ②♥♠q s s ♣st♦♥s ♦♦s

❬❪ rt ❱rt♦♥s s strtrs ②r♦s

❬❪ P rr é♥q s s ♦ P♦②t♥q

❬❪ P ♦r♥ ②♦♥ ♥trt♦♥s strtrs ss♦♥

❬❪ ♠♠♠ ♦♥trt♦♥s à ét ♥tért♦♥ strtr ♥s s s① ts ♣r ♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ ès ♦t♦rt ❯♥rsté Prs ❱

❬❪ Pr♠♦♥t ②♠rs ♥ t ♥♥ ♦ t ♦♥ t ss♠ rs♣♦♥s♦ ♦rs t ♦s ♥s

❬❪ P♥r ♠② P ♦♥♥ s♠♣ ♠t♦ ♦r tr♠♥♥ ♦st ♥ t ♥rq♥s ♥ t ①♥rs ♦r♥ ♦ Prssr ❱ss♥♦♦② ❱♦

❬❪ P♥r t tr rq♥s ♦ t ♥ ♥ ♥ ♥♦♠♣rss ♦♠♣tr t♦s ♥ ♣♣ ♥s ♥ ♥♥r♥ ❱♦

❬❪ P♥r ♥♦ ❩r s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ rs♦♥♥ rq♥s ♦st t ♥ ♥ P❱P ♦♥r♥ ❱♦

❬❪ P♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q s s① ts ♠♠rés ♥s ♥ s♣ts té♦rqs t ♥♠érqs ②♥♠q s strtrs ♣ ♦t♦♥ rt♦♥ s éts t rrs

❬❪ ♦r t ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠q ♥ rtr st♦ ss♠s ♦♠sts sés ♥ ♣s♥ ès ♦t♦rt

❬❪ ♦rr ♥t♥s ♥♦♥♥r ♠♦ ♦r ♦♣ rt♦♥s ♦ s♣♥t♥r rs ♦ P♦②t♥q Prs

♣tr

t ♥ strtr ss♥t s♦s

r♠♥t ss♠q tr♠♥s♦♥♥

♥tr♦t♦♥

♣tr ♣♦rt sr ét ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ♥ strtr ♠♠réss♥t s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q té♦r é♦♣♣é ♣r♠t s♣tr à♥♠♣♦rt q strtr ♣♦♥t êtr ért ♣r ss N ♣r♠rs ♠♦s ♣r♦♣rs ① ♦♥t♦♥s ♣♣ ♥stré ♥ ♣r t rr ♦♣ strtrtsé ♥s ♣tr r♣r♥ s réstts é♦♣♣és ♥s ♣tr

s ♣r♠rs rts ♣♦rt♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q s strtrs rs s ♦♥t♦♥s ♦♥tt t♥t ♥ XIXeme sè t ét XXeme ♥ ♣t tr ♥♦t♠♠♥t s rts ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪ s trt♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q s ♣rts s♦s rs ♦ strtrs rs ♠♦s♥s s é♥ss♥t s ♦♥t♦♥s r♦♠♥t ♦ s♠♥t ♠s ♥rr♥tà st♠r ♦♠♣♦rt♠♥t t é♣♠♥t q ♥s s s é♠qs s♠♣s

s éts sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ s♠♥t s s♦s rs s s♦♥t ss ♦rt♠♥t é♦♣♣és ♥s s ♥♥és s ♦♥sèr♥t ♥♦t♠♠♥t s r♠♥tstr♠♥s♦♥♥s sr s strtrs rs s ♦♥t♦♥s ♦♥tt ♥tér r♦tt♠♥t s rts ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪ é♥t s ♦♥t♦♥s ♥tt♦♥ s s♠♥ts ♠s ss s ét s ♥sttés ♦tss♥t r♥rs♠♥t ♦♠♣t strtr s r♥t s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t ss♠q ♦ à ♥t♥sté s♥ ss♠q

s té♠tqs s♦♥t r♥s ♦ût ♦r ré♠♠♥t ♥♦t♠♠♥t ♥s ♥trt♥t st♠t♦♥ s rsqs s ât♠♥ts st♦rqs ♣♥♥t s s♦tt♦♥s ss♠qss rts ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪ ét♥t ♥♦t♠♠♥t s s ♠♣♠♥t strtrs rs ♦♥t♦♥s ♦♥tt ♥tér ♦ r♦tt♥t s trt♥t sss ♠♦♠♥ts ♦♠♣①s ♦♥t♦♥ ♦♦♥♥s ②♥rqs é♦♠♥t tst♠♥t s é♣♠♥ts ♠①♠① s strtrs

s ♣r♠èrs s♦t♦♥s ♥②tqs ♦♠♣♦rt♠♥t s strtrs ss♥ts s♦sr♠♥t ss♠q t♥t s ♥♥és ♥ ♣t tr ♥♦t♠♠♥t s rts ❬❪

t ❬❪ q trt♥t ét s ss♠♥ts ♥ ♠ss ♣♦♥t t s rts ❬❪❬❪ ❬❪ t ❬❪ q trt♥t ét s ss♠♥ts s s②stè♠s ♠sssrss♦rt s♦sr♠♥ts ss♠qs ♥rt♦♥♥s ♦ tr♠♥s♦♥♥s s♠♣és

s éts ♥②tqs s strtrs ss♥ts ♠♠rés s♦s r♠♥t ss♠qsrst♥t rt♠♥t ♠tés s s♦♥t ♦♥♥trés ♥s ♥str ♥ér sr éts râtrs st♦ ♦♠st ♥ tr ♥ tès réér♥ sr st❬❪ t s rts ❬❪ ❬❪ t ❬❪ s ♣♣♦rt♥t s ♥és sr s ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♥②tqs ♥♠érqs t ①♣ér♠♥ts s ♣r♦è♠s ♦♣és ♦tqs s♦♥♥♥t ss s ét♦♥s sr sét♦♥ s ér♥ts ♠♦ès r♦tt♠♥t ♣r♠sqs ♦♥ ♣t tr ❬❪ ❬❪ ❬❪ ❬❪ t ❬❪

♦tr tr s♥srt ♥s ♣r♦♦♥♠♥t s rts ♥ ♣r♦♣♦s♥t s s♦t♦♥sqs♥②tqs sr s ♠♦ès strtrs ♣s ♦♠♣①s Prs ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r ♥tr♥ strtr ♠♦s ♣r♦♣rs♦♥sérés

♦ést♦♥ ♣s ♥ s ♠sss ♦tés ♦♣ strtr tst♦♥ é♦♠étr s ♠s

♥ ♣rè tt ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ s②stè♠ ♥♦s r♦♥s ♥ t♠♣s qs♠♥t ♥st♥t♥é t ♦♥ ♦♠♣t s éts ♣r♠étrqs ♠♦ést♦stq

♣tr ♣rés♥t ♦♥ s ♠ét♦s rés♦t♦♥ s ♣r♦è♠s ②♥♠q♥♦♥♥ér strtrs ♠♠rés s♦s r♠♥t ss♠q ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s♥♦s étr♦♥s s ②♣♦tèss ♠♦è Ps ♥♦s é♦♣♣r♦♥s ♠ét♦ rés♦t♦♥ qs♥②tq ♣♦r ♥ ♣♦tr ♠♠ré ss♥t s♦s sés♠ ♠♦ésr ♥st ét♥ ① strtrs ♦♠♣①s érts ♣r rs ss ♠♦s ♥♥♥♦s ♣♣qr♦♥s s ♠♦és sr s s s♠♣és ♠ss ss♥t ♠♠ré t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ss♥t ♠♠ré

②♣♦tèss ét

♦s ♣rés♥t♦♥s ♥s ♣rr♣ s ér♥ts ②♣♦tèss ♠♦ést♦♥ q sr♦♥t ♣♣qés à ♥s♠ s ♠♦ès q s♦♥t é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ ♣résr♥♦t♠♠♥t ♦ést♦♥ r♦tt♠♥t ②♣♦tèss ♥♦♥s♠♥t sr♣t♦♥ s s♥① ss♠qs tsés

♦ést♦♥ r♦tt♠♥t

♦s ♦♥s té ♥ ♥tr♦t♦♥ ér♥ts ♠♦ès r♦tt♠♥t ré♣♦♥♥t à ér♥ts ②♣♦tèss ♥érst♦♥ s éqt♦♥s ♠♦ést♦♥s ♠r♦s♦♣qs ♥s ♦éqt♦♥s s réstts ①♣ér♠♥t① ♣♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦tqs strtrs ss♥ts ♠♠rés ♥ ♣r♠t ♣s sttr sr ♠♦è r♣rés♥t♥t

♠① ♣②sq ♠r♦s♦♣q s②stè♠ ré ♦s ♦sss♦♥s ♦♥ ♥ ♠♦è ♣s s♠♣ ♣♦ss r♦tt♠♥t sr q sr ♣♦ss tsr ♥ ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stq t ♥s ér ♣s ♥♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t t♠♥t♥♦♥♥ér

♦s ♠♦és♦♥s r♦tt♠♥t s♦s ♦r♠ ♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ s♦ st♥ ♠♦ést♦♥ ré♠♥tr s♠♣é ♥ ♦♥sèr ① ♦♥ts r♦tt♠♥t ♥ r♦tt♠♥t sttq µS t ♥ ♦♥t ②♥♠q µD P♦r s rs♦♥s sttés éqt♦♥s ♦♥ ♦t ♦r

µD ≤ µS

♠rq st t♦t à t ♣♦ss ♣tr s éqt♦♥s q sr♦♥t ♣rés♥tés àtrs ♠♦ès r♦tt♠♥t ♥ st♠♥t à q ♣s t♠♣s r ♦♥t r♦tt♠♥t t r♠♣r ♥s s éqt♦♥s éà ♦t♥s

②♣♦tès ♥♦♥s♠♥t

♦s ♥ér♦♥s s♠♥t s strtrs étés tt ②♣♦tès st érés ♦♥ ét s strtrs ♦♥t s ♦♥ts r♦tt♠♥t s♦♥t ss♠♠♥t s♣♦r q ss♠♥t s é♥ ♥t s♠♥t ♦♥ ♦♥sèr ♥ r♥♦r♠ s♦♠s à ♥ sés♠ ♦♥ ♣t é♥r ③♦♥ é♥♠♥t ss♠♥t t é♥♠♥t s♠♥t

♦♥séré st r♣rés♥té ♥s r 3.1 ét♥t ♥♦r♠ s♦♥ ♥tr rté st ♦♥♦♥ s♦♥ ♥tr é♦♠étrq

r é♠ ♥ s♥t

♥ ♦♥sèr ♥ ♥st♥t ♦♥♥é sés♠ éért♦♥ rt t♦t t (g +γz) ♥ r s rs éért♦♥s ♦r③♦♥ts (γx, γy) é♥♥t ♣r♠rs♠♥t ♦ ♣r♠r ss♠♥t

étr♠♥t♦♥ ♣r♠r ss♠♥t

éqr sttq ♣r♠t r♣♠♥t tr♦r s rs éért♦♥♠ts à ♣rtr sqs ss♠♥t s é♥ ♥ tr♦ q ss éért♦♥s♠ts (γSx, γSy) é♦♥t sr ♥ r é♥ ♣r

γ2Sx + γ2Sy = µ2S (g + γz)

2

é♥♠♥t ss♠♥t ♦r♥ r ♦rt rét♦♥ ♦r③♦♥t ♣r♥ ♠①♠♠ q ♦rrs♣♦♥ à ♠t é♥♠♥t ss♠♥t

étr♠♥t♦♥ ♣r♠r s♠♥t

éqr sttq ♥ r♦tt♦♥ ♥s ♥ s ♣♥s s♠♥t ♣r♠tr♣♠♥t tr♦r s rs éért♦♥ ♠ts à ♣rtr sqs s s♠♥ts s é♥♥t ♥ tr♦ ss éért♦♥s ♠ts (γBx, γBy) é♥s ♣r

‖γBx‖ = (g + γz)a

H

‖γBy‖ = (g + γz)b

H

❯♥ ♦s s♠♥t é♥é ②♥♠q strtr st ♦♠♣① t s♦♥♦♠♣♦rt♠♥t ♥ r♦tt♦♥ ♥♥ très ♦rt♠♥t ♦rt rt ♣♦♥t ♦♥tt s♦ ♥s s ♣ss r♦ss♠♥t ♥ s♠♥t ♦rt rét♦♥ rtst ♣s r♥ q ♥ s♥s s♠♥t ♥s s ♣ss ♠♥t♦♥ ♥ s♠♥t ♣s s♥t ♦rt rét♦♥ rt st ♣s q ♥ s♥s r♦tt♦♥ s♥♥ ♠ê♠ ♦rsq st très ♣r♦ s♦ é♦ ♦♥ ♣♥♥t qqs ♥st♥ts ♥t t♦r s♦ é♥ ss♠♥t

♦♠♥ té ②♣♦tès ♥♦♥s♠♥t

♥ ♣t r♣rés♥tr s ♦♠♥s é♥♠♥t s ♣r♠rs ss♠♥ts t ♣r♠rs s♠♥ts sr ♥ ♠ê♠ sé♠ ♦s ♦♥sérr♦♥s ♣srs ♦♥rt♦♥sé♦♠étrqs ♣♦r str s ér♥ts s ♣♦sss ♦s r♣rés♥t♦♥s ♥ss sé♠s ss♦s s ss é♥♠♥t ♣r♠r ss♠♥t t ♣r♠rs♠♥t

s r♠♠s s s♥t ♠♥èr s♥t s②stè♠ st ♥t♠♥t r♣♦st s st ♦♥ à ♦r♥ r♣èr Ps s♥ ss♠q s é♥ ét♥tét♦r t♦s s trts r♠♥t s♦♥t ♣♦sss t ♣♥t êtr r♣rés♥tés srs sé♠s ♦rsq♥ ♥ st r♥ s♦t r s♦t s r♦ts ♥stté♦rrs♣♦♥♥t st ♥té sr ét ss♠♥t s r st r♥ t ét s♠♥t s ♥ s ♥s st r♥

♦rsq♥ ss♠♥t st ♥té s ♦rts tér① tr♥s♠s ♣r sés♠ s♦♥t ♦r♥és ♥ sr ♦♥ ♣s ♣♦ss é♥r ♥ s♠♥t ♦rsq t♦tté r str♦ à ♥ ♣s r♥ st♥ ♦r♥ q s r♦ts s ss é♥♠♥ts s♠♥ts ré♣r♦q ♥st ♣s r stàr q st ♣♦ss q♥ ♥ tr♥ sr ♣ss é♥r ♥ ♣s ss♠♥t

trtr ♣t

s réstts tt ♦♥rt♦♥ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 3.2 ♥ r♠rqq s ss♠♥t ♣t s é♥r

r s é♥♠♥t s♠♥t t ss♠♥t ♣♦r ♥ strtr♣t

trtr ♥st sr ♥ ôté

s réstts tt ♦♥rt♦♥ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 3.3 ♥ r♠rqq strtr ① ♦♠♣♦rt♠♥ts st♥ts ♥ ♦♥t♦♥ ① s♦tt♦♥ ♣♦rr sr s♥s ss♠♥t ♣♦r ♥ s♦tt♦♥ s♥t ey t ssr s♥s s♠♥t ♣♦r ♥ s♦tt♦♥ s♥t ex

trtr é♥é

s réstts tt ♦♥rt♦♥ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 3.4 ♥ r♠rqq strtr é♥é rét sés♠ ♣r♥♣♠♥t ♣r ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t s♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♦t♦♥ t♠♣♦r sés♠ st ♣♦ss q♥ ss♠♥ts é♥ ♥♦t♠♠♥t ♥s s ♣ss ♦ù strtr r♥t à s ♣♦st♦♥ st ♣rès♥ s♠♥t

r s é♥♠♥t s♠♥t t ss♠♥t ♣♦r ♥ strtr♥st sr ♥ ôté

trtr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣①

s réstts tt ♦♥rt♦♥ s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 3.5 ♥ r♠rqq ♥s tt ♦♥rt♦♥ trt r♠♥t ♥♥ très ♦rt♠♥t s ♦♠♣♦rt♠♥ts trs strtr ♥ t st ♣♦ss é♥r s♦t ♥ ss♠♥ts♦t ♥ s♠♥t ♦rsq ss♠♥t st é♥é ♥ ♣r♠r st ♣♦ss qs s♠♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣♦sss t♥t q ss♠♥t st t sr s♦rsq ♦♥t r♦tt♠♥t ②♥♠q st ♥tt♠♥t ♣s q ♦♥t r♦tt♠♥t sttq ♦rs q s ♥ s♠♥t st é♥é ♥ ♣r♠r st ♦♠♣♦rt♠♥t st ♥rt♥

st ♠♣♦rt♥t ♥tr s strtrs ♥ ♣r♦♣♦sr ♥ ♦♥trô t ♣r♠tt♥t♦r♥tr ♠♥ r♠♥t rs s ③♦♥s ss♠♥t ♣tôt q sr s ③♦♥s s♠♥t ♥ ♣t ♣♥sr ♥♦t♠♠♥t à s ♦strs r♠♦♥qs ♦rés♦r♥tés ♥s s ♦♥♥s rt♦♥s t ♦rés ① réq♥s ♣r♥♣s ré♣♦♥s strtr

♥① ss♠qs

♥ ♦♥♥r ♥ ♣♦rté é♥ér à ♥♦tr ♠♦è ♥♦s ♥ s♦♥s ♣s ②♣♦tèss♦rts sr s s♥① ss♠qs tsés ♣t sr s♥① ss♠qs rés sss ♠sr s♥① s②♥tétqs sss s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t ♦ s♥① ♣rts ♦ss ♣r tstr s♦♠♠s s♥s♦ïs ♣réé♥s rt ♥ r♠♥tsré♥① ♠♣ts

r s é♥♠♥t s♠♥t t ss♠♥t ♣♦r ♥ strtré♥é

♥① ss♠qs t♠♣♦rs

s s♥① ss♠qs t♠♣♦rs ♦rrs♣♦♥♥t à ♦♥♥é ♥tré ♥♦tr ♠♦è ♥st ♣s ♥éssr ♠♦r ♣♥♥t ♦♥ s♣♣♦s s s♥① ss♠qs é♥t♦♥♥és à ♥ ♣ér♦ ∆TS ss♠♠♥t ♣tt ♣♦r r♣rés♥tr t♦s s ♦♥t♥s réq♥ts ♣rt♥♥ts t é♥t♦♥♥ t ♦♠♠ ♥ tr ♣sss sr ♥♦tr s②stè♠ réq♥ ♦♣r st rt♠♥t é ♦① ∆TS ♣r♥♣ sté♥♦♥é ♥s é♦rè♠ é♥t♦♥ ②qst♥♥♦♥ []

1

∆TS≥ 2fM

fM réq♥ ♠①♠ ♥térêt ♥♦tr ét

♥① é♥érés à ♣rtr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t

s rès ♠♥s♦♥♥♠♥t ss♠q ♦♥t été st♦rq♠♥t é♥s sr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♠ét♦ étr♠♥t♦♥ s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t s♥trs ♥érs st ♦♥♥é ♥s ♣tr s s étr♠♥sts ♥♦♥♥érss♦♥t tés à ♣rtr s♥① ss♠qs t♠♣♦rs t ♥ésst♥t ♦♥ é♥érr ss♥① t♠♣♦rs à ♣rtr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ tr♥t ét♦r♠♥t sé♣ss ♣♦r ♥ s réq♥s

♥ ♦t♥t ♥s ♥ s♥ ss♠q t♠♣♦r q st ♥st tr♦♥qé à ré sés♠ Ps à ♥ tr♥s♦r♠é ♦rrr ♦♥ ér q s♣tr s♥é♥éré st s ♣r♦♣rétés ♣r♦s s s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t t st

r s é♥♠♥t s♠♥t t ss♠♥t ♣♦r ♥ strtr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣①

s ♦♥ ♦♥sr s♥ ♥♦♥ ♦♥ ♣t ♦♦str ♥♥ rt♥s réq♥ss♦séés ♥ rr ♠♣t sr s♥ ss♠q t♠♣♦r r ♥r s♠r ① s♥① ss♠qs rés ♣s r♦ss♥ s♥ ♣s ♦rt♣s ér♦ss♥ ♦♥ ♦♥sr ♥s s ♦♥trr ♦♥ r♦♠♠♥ trét♦r s é♣ss s réq♥s ♥tr s

st ♥éssr é♥érr ♠t♣s s♥① t♠♣♦rs à ♣rtr ♥ s♣tr ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ ♦rr t♦s s sés♠s ♣♦sss s ♣ss ét♥t trés ét♦r♠♥t st ♣♦ss tr♦r s s♥① t♠♣♦rs ♠♦♥s ♣é♥s♥ts ♥ ♦♥t♦♥s trs s trs rs ét♦rs r♦♥♥t ♠ét♦ ♠♥s♦♥♥♠♥tst♦stq

és♠s ❯ s réstts ♦t♥s à ♥ ♣tr sr♦♥t ♦t♥s à s sés♠s ❯ q ♦♥t été é♥érés à ♣rtr s s♣trs ♠♥s♦♥♥♠♥t ssss ♥♦r♠s r♦♣é♥♥s ♥ tsr ♥♦t♠♠♥t s s♥① ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ s♦ rr ♠♦②♥♥

t ♥ ♣♦tr ss♥t

♥s s s strtrs ♠♠rés é♥és s rtérstqs ♦tqs ré♣♦♥s strtr ss♥t r♥♥t ♥éssrs ♥ ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ ♥ tt♥r tt ♦t ♥♦s ♠♦és♦♥s strtr é♥é s♦s ♦r♠ ♥ ♣♦trr♦t t ♥♦r♠ s♦♠s à ♥ ♦♣ strtr s♦s r♠♥t ss♠q ét♦r ♠♦è ♣s été ♣r♠ttr étr ♣rt♥♥ ♥ tr♦♥tr s♠♦s ♣r♦♣rs

sr♣t♦♥ ♠♦é

♠♦è ♣♦tr ss♥t st r♣rés♥té ♣r ♥ ♣♦tr st♦♥ S ♦♥r l t♠tr ♥rt I ♦♠♣♦sé ♥ ♠tér ♦♠♦è♥ ♠ss ♦♠q ρ t ♠♦❨♦♥ E ♥ s♣♣♦sr q ♣♦tr ♣t ssr s♥s sr ♥ ♦♥sérr ♦♥♥ ♣♦tr ♦♥t s r♦tt♦♥s s♦♥t ♦qés ♥ z = 0 t ♥ ①tré♠té r ♥ z = L

♥ t ②♣♦tès q s ①s ♣r♥♣① st♦♥ s♦♥t ♦♥♦♥s s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥ ♣t s♠♣r ①♣rss♦♥ ♥rt ♥ s ♦♥♥♥t s rtérstqsIxx t Iyy s rs s ♥rts ♣♥t êtr ♦t♥s à ♣rtr s ♣r♠èrs réq♥s♣r♦♣rs ♠srés sr strtr ré sè ♥ ts ♦rs ♥ ♠ét♦ s ♠♦♥rsrrés ♣♦r ♦t♥r ♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ s♦t r s ♣r♠èrs réq♥s ♦st♦♥ ♣r♦♣r s♥t ❳ t ❨ s♦t ♦r♠ s ♣r♠rs ♠♦s ♣r♦♣rs strtr s♦t ♥ rtèr ♠①t ♦♥♥♥t ♥ ♣♦♥ért♦♥ ① ① rtèrs ♣réé♥ts❯♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ s réq♥s ♣r♦♣rs ♣r♠t r♥r ♦♠♣t ♠♥èr ♣rt♥♥t s ♣é♥♦♠è♥s rés♦♥♥ strtr ❯♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ s é♦r♠és♠♦s ♣r♠t ♥ ♠r ét♦♥ ♠ss ♦♣ strtr ♥s s s ♠s é♣ssr ♠ss ♠♦ ♦té ♣r ♦♣ sts♥s♠♥t s♣érr à ♠ss ♠♦ strtr sè ❯♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ é♦r♠é ♠♦ st ♦♥ ♥éssr

s ♠sss ♥éqs ♦♣ strtr s♦♥t r♣rés♥tés ♣r s ♦♥t♦♥smα

xx(z, t) mαxy(z, t) t mα

yy(z, t) ①♣♦s♥t (α) sr r♠♣é ♣r H ♣♦r ♠ss ②r♦②♥♠q 1 ♣♦r ♠ss ♦♣ t②♣ r♠è ♠ss ♦♣r♠è st ♥♦r♠é♠♥t ré♣rt sr tr t ♥ é♣♥ ♦♥ ♣s z ♣s ♦♥ m1

xy(t) = 0 s ♠ét♦s ♦t♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♣tr s ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ②♣♦tès ♦♣ strtr ♥ é♦♠♥t ♦♥♥é ♣♥ s ♠sss ♥éqs ♦♣ ♦♥t à ♦s ♥ é♣♥♥ s♣tt t♠♣♦r é♣♥♥ t♠♣♦r st é à tst♦♥ é♦♠ètr s♠s é♣♥♥ s♣t ♥q♠♥t s♥t z r♣rés♥t é♦t♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ ♦♥t♦♥ tt ♦rs ♠s ♥ ①♦♥ strtr r♥r ♣♦♥t st r♣rés♥té ♥s r 3.6

s ②♣♦tèss ♣♦rt♥t sr ss♠♥t s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♣rt (3.2.1) ♣s♦♥ s♣♣♦s q sés♠ rt ♥ t ♣s é♦r strtr stàr |γz(t)| < g♥ ♥é ♥s tt ♣rt r♦tt♦♥ t♦r ① rt ez s ss ♠♦♠♥ts♦♥sérés s♦♥t ♦♥ s ♠♦♠♥ts ♦r♣s r tr♥st♦♥ t ♠s ♥ ①♦♥ ♣♦tr ♦rrs♣♦♥♥t à s ès s♥t ex t ey

s ♥ éqt♦♥ ♣r♦è♠

s②stè♠ été ♣t s ♠ttr ♥ éqt♦♥ s♦s ♦r♠ s♥t

r é♠ ré♣rés♥t♥t s é♣♠♥ts tsés ♣♦r ♠♦è étr♠♥t♦♥ ♦♣ strtr ♥ ♦♥t♦♥ ♠s ♥ ①♦♥ strtr

(ρS +mH

xx(z, t))ux(z, t) +mH

xy(z, t)uy(z, t) +(mH

xx(z, t) + c)ux(z, t) + mH

xy(z, t)uy(z, t)

+ EIxxd4uxdz4

(z, t) = Rx(t)δ0(z) +(m1

xx − ρS)γx(t)

(ρS +mH

yy

)uy(z, t) +mH

xy(z, t)ux(z, t) +(mH

yy(z, t) + c)uy(z, t) + mH

xy(z, t)ux(z, t)

+ EIyyd4uydz4

(z, t) = Ry(t)δ0(z) +(m1

yy − ρS)γy(t)

Rz(t) =

∫ L

z=0

(ρS −m1

zz

)dz (γz(t) + g)

δ0(z) ♥ ♦♥t♦♥ r ♥t ♣♦r z = 0 t c ♠♦rtss♠♥t strtrsè

♥ ♥tr♦t s ♦♥t♦♥s ♦r♠s φi(z) ♦rrs♣♦♥♥t à s ♦♥t♦♥s ♠♦s

♣r♦♣rs ♣♦tr s ♦♥t♦♥s ♠♦s ♣r♦♣rs φi(z) ♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts s♥t

ex t ey q ♦♥ ♥♦t φxi t φyi é♣♠♥t s réért

Ux(z, t) = φxT (z)q(t)

Uy(z, t) = φyT (z)q(t)

s éqt♦♥s s réér♥t s♦s ♦r♠ s♥t

∑

i

[(ρS +mH

xx

)(z, t)φxi(z)qi(t) +mH

xy(z, t)φyi(z)qi(t) +(mH

xx(z, t) +ml2ξiωi

)φxi(z)qi(t)

+mHxy(z, t)φyi(z)qi(t) + EIxx

d4φxi

dz4(z)qi(t)

]= Rx(t)δ0(z) +

(m1

xx − ρS)γx(t)

∑

i

[(ρS +mH

yy

)(z, t)φyi(z)qi(t) +mH

xy(z, t)φyi(z)qi(t) +(mH

yy(z, t) +ml2ξiωi

)φyi(z)qi(t)

+mHxy(z, t)φxi(z)qi(t) + EIyy

d4φyi

dz4(z)qi(t)

]= Ry(t)δ0(z) +

(m1

yy − ρS)γy(t)

Rz(t) =

∫ H

z=0

(ρS −m1

zz

)dz (γz(t) + g)

♥tr♦s♥t ξi ♦♥t ♠♦rtss♠♥t ♠♦ i ωi ♣st♦♥ ♣r♦♣r ♠♦ i s ♦♥ts ♠♦rtss♠♥t t s ♣st♦♥s é♣♥♥t s ♠♦♣r♦♣r ♦♥séré ♥s st ♥♦s ♣résr♦♥s ér♥ts ♥♦tt♦♥s ♣♦r st♥r sér♥ts ss ♠♦s ♣r♦♣rs

♥ ♣r♦t♥t sr ♠♦ ♣r♦♣r φj(z) ♦♥ ♣t réérr tt éqt♦♥

(M +MIFS

)q(t) +

(C + CIFS

)q(t) +Kq(t) = R− F + FIFS

♥ ♥tr♦s♥t

M =∫ L

z=0ρSφT .φ(z)dz

(Mij =

∫ L

z=0ρS (φxi(z).φxj(z) + φyi(z).φyj(z)) dz

)

MIFS =∫ L

z=0φT .MH .φ(z, t)dz

(M IFS

ij =∫ L

z=0

(mH

xx(z, t)φxi(z).φxj(z) +mHxy(z, t)φxi(z).φyj(z)

+mHxy(z, t)φyi(z).φxj(z) +mH

yy(z, t)φyi(z).φyj(z)dz)

C =∫ L

z=0ρS2ξiωiφ

T .φ(z)dz(Cij =

∫ L

z=0ρS2ξiωi (φxi(z).φxj(z) + φyi(z).φyj(z)) dz

)

CIFS =∫ L

z=0φT .MH .φ(z, t)dz

(CIFS

ij =∫ L

z=0

(mH

xx(z, t)φxi(z).φxj(z) + mHxy(z, t)φxi(z).φyj(z)

+mHxy(z, t)φyi(z).φxj(z) + mH

yy(z, t)φyi(z).φyj(z))dz)

K =

ω21 0 . . . 0

0 ω22 0 . . .

0 0

0 . . . 0 ω2N

s ωi é♣♥♥t s ♠♦ sét♦♥♥é

R = φT (0).R(t) Ri(t) = (φxi(0)Rx(t) + φyi(0)Ry(t)) ,

F =∫ L

z=0ρSφT (z)γ(t)dz Fi(t) =

∫ L

z=0ρS (φxi(z)γx(t) + φyi(z)γy(t)) dz

FIFS =∫ L

z=0φT (z).M1(z).γ(t)dz Fi(t) =

∫ L

z=0

(m1

xxφxi(z)γx(t) +m1yyφyi(z)γy(t)

)dz

♠♦ést♦♥ ♦♣ strtr rt♥ ♥s tt tès ♠♦ s♥s♠♥t s éqt♦♥s ssqs ②♥♠q s strtrs t ♣♣rîtr s♠trs ♦♣ strtr MIFS CIFS t FIFS s tr♠s s♦♥t ♦♠♣①s à

étr♠♥r t r♥t ♦rt♠♥t ♦rs t♠♣s s r♥♥t ♦♥ éqt♦♥ t♠♥t♥♦♥ ♥ér s♦t à ♥♦♥♥érté ♦♥tt r♦tt♥t ♥ s♦

♠♦ést♦♥ ♦♣ strtr rt♥ ♥s tt tès st ♥♥♦♥t ♣rr♣♣♦rt ① ♦♣s t♠♥t tsés s s♦t♦♥s ♥②tqs ♦ qs♥②tqs t ♣♣rîtr ♥ ♦♣ s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥s s ♠trs ♠ss ♦té

∫ L

z=0

(mH

xy(z, t)φxi(z).φyj(z) +mHxy(z, t)φyi(z).φxj(z)

)dz

♥s q♥ tr♠ ss♣t é à rt♦♥ t♠♣♦r s ♠sss ♦♣s ②r♦②♥♠qs

CIFSij =

∫ L

z=0

(mH

xx(z, t)φxi(z).φxj(z) + mHxy(z, t)φxi(z).φyj(z)

+mHxy(z, t)φyi(z).φxj(z) + mH

yy(z, t)φyi(z).φyj(z))dz

s ♥♦♥♥értés ♦♥tt ♣♥t êtr ♠♥t ♥térés ♥s ♦① s ♠♦s ♣r♦♣rs s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♥♦t♠♠♥t ♥ s♦ ♣r♠tt♥t ♠♦ésr ♠♥èr ♣rt♥♥t ♣s ér♥t à ♥ ♥str♠♥t t ♣s ss♥t ♣r ♥ ssèr ♥s s rt♦♥s ex t ey ♥♠♥t étt ♦♥tt ♦rrs♣♦♥r à ♥ ♥♠♥t s ♠♦ ♥ ♣t ♦♥sérr tt♥♦♥♥érté ♦♠♠ ♥ ♦♥t♦♥ t♠♣♦r ♥ér ♣r ♠♦rç① ♦♥t ♦♥ r s♦t♦♥ ♥②tq

s ♥♦♥♥értés sss ♦♣ strtr s♦♥t ♣s ♦♠♣①s à érr s♠♣t♥t rt♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r ♣♦tr ♥ ♠♦♥t ♠tr ♠ss tt ♠♦t♦♥ st ♦ ♦t♦♥ ♣st♦♥ ♣r♦♣r ♠♥t♦♥ ♣r ♦t ♠sss ♠♦s ts ♦t♦♥ ♦r♠ s ♠♦s ♣r♦♣rs r ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦♣strtr ♣t ♥ ♣s sr strtr ♥t

♦♣ s rt♦♥s ❳ t ❨ ♥s s é♦r♠és s ♠♦s ♣r♦♣rs

①♠♣s ♠♦t♦♥ ♠♦s ♣r♦♣rs ♣r s ②♣♦tèss tssr ♦♣ strtr

♥ strr s ① ♣r♠rs ♣é♥♦♠è♥s ♦♥sér♦♥s s tr♦s strtrs ss♦s 3.7 ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ s♠♣ ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♠♠ré ♥ ♦♣strtr ♣♥ (ex, ey) s♥s rt♦♥ ♦♣ ♥ ♦♥t♦♥ tt ♥♣♦tr ♦♥s♦ ♠♠ré ♥ ♦♣ strtr ♥ rt♦♥ ♥ér ♥♦♥t♦♥ tt ♥érst♦♥ é♣♥♥ ♥ z

r P♦tr ♦♥s♦ s♥s ♦♣ strtr ♠ P♦tr♦♥s♦ ♥ ♠ss ♦té ♥♦r♠ r♦t P♦tr ♦♥s♦ ♥ ♠ss♦té r♥t ♥ér♠♥t sr tr ♣♦tr

s ♠♦s t s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ♥s s tr♦s s s♦♥t ♦t♥s ♥ rés♦♥t séqt♦♥s éqr 3.9 3.10 t 3.11 s ♦♥t♦♥s ① ♠ts s♦♥t s♠rs q qs♦t ♦♣ strtr tsé t s♦♥t ♣rés♥tés ♥s éqt♦♥ 3.12

EIφ(4)(z)− ρSω2φ(z) = 0

EIφ(4)(z)−(ρS +mH

)ω2φ(z) = 0

EIφ(4)(z)−(ρS +mH z

L

)ω2φ(z) = 0

φ(0) = 0, φ′(0) = 0

M(L) = EIφ′′(L) = 0, V (L) = EIφ(3)(L) = 0

és♦t♦♥ ♣r♠r ①♠♣ ♣♦tr ♦♥s♦ s♠♣

♣r♠èr éqt♦♥ st ♥ éqr ②♥♠q ssq ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ r♥t♥ ts♥t ♠ét♦ été ♥s ❬❪ ♦♥ tr♦ ♥ s s♦t♦♥s t②♣

φ(z) = A1 sin(az) + A2 cos(az) + A3 sinh(az) + A4 cosh(az)

a4 = ω2ρS

EI

s ♦♥ts A1 A2 A3 t A4 s♦♥t étr♠♥és à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts t♦♥t stsr

A3 = −A1 ,

A4 = −A2

(sin(aL) + sinh(aL) cos(aL) + cosh(aL)cos(aL) + cosh(aL) sinh(aL)− sin(aL)

)(A1

A2

)=

(00

)

tt r♥èr éqt♦♥ ♥♠t s s♦t♦♥s ♥♦♥ ♥s q s s♦♥ étr♠♥♥t st♥ st s ♥♦♥♥s a ♦♥t érr

1 + cos(aL) cosh(aL) = 0

② ♥ ♥♥té s♦t♦♥ ♥ ♣t ♦♥♥r s rs ♣♣r♦és s ♣r♠èrs♣st♦♥s ♣r♦♣rs

ω1 =(1.875L

)2√EIρS

,

ω2 =(4.694L

)2√EIρS

,

ω3 =(7.855L

)2√EIρS

P♦r s ♣st♦♥s ♦rrs s♣érrs st ♣♦ss ♦♥♥r ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥s②♠♣t♦tq q s réè êtr ♥ ♦♥♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣♦r n ≥ 3

ωn ≈((2n− 1) π

2L

)2√EI

ρS

♦r♠ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦t♥s st ♦♥♥é ♣r

φ(z) = A1

[sin(az)− sinh(az)

sin(aL) + sinh(aL)

cos(aL) + cosh(aL)(cosh(az)− cos(az))

]

és♦t♦♥ ①è♠ ①♠♣ ♣♦tr ♦♥s♦ ♠♠ré ♦♣ strtr ♥♦r♠

①è♠ éqt♦♥ ♦rrs♣♦♥ à éqr ②♥♠q ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♥♠ss ♥éq ♣s éé ♦ts s éqt♦♥s ①♠♣ ♣réé♥t s♦♥t érés ♥

♠♦♥t a4 =ω2(ρS+mH)

EI ♠♦ ♥q♠♥t ♣st♦♥ ♣r♦♣r t ♦r♠ s

♠♦s rst ♥♥é

ω1 =(1.875L

)2√ EIρS+mH ,

ω2 =(4.694L

)2√ EIρS+mH ,

ω3 =(7.855L

)2√ EIρS+mH

P♦r s ♣st♦♥s ♦rrs s♣érrs st ♣♦ss ♦♥♥r ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥s②♠♣t♦tq q s réè êtr ♥ ♦♥♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣♦r n ≥ 3

ωn ≈((2n− 1) π

2L

)2√

EI

ρS +mH

és♦t♦♥ tr♦sè♠ ①♠♣ ♣♦tr ♦♥s♦ ♠♠ré ♦♣ strtr é♦♥t ♥ér♠♥t ♥ z

tr♦sè♠ s②stè♠ été ♦rrs♣♦♥ à rés♦t♦♥ éqt♦♥

EIφ(4)(z)−(ρS +mH z

L

)ω2φ(z) = 0

ét s♦t♦♥ ♥②tq s♠♣ ♥♦s rr♦♥s s s♦t♦♥s éqt♦♥ér♥t è♠ ♦rr s♦s ♦r♠

φ(z) = P (z)eαz

ù P (z) =∑∞

i=0 aizi r♣rés♥t ♥ ♣♦②♥ô♠ éré ♥♥ à étr♠♥r s ♦♥

t♦♥s ① ♠ts ♥ z = 0 sér♥t a0 = 0,

a1 + αa0 = ⇒ a1 = 0

s ♥ z = L sér♥t [P ′′(L) + 2αP ′(L) + α2P (L)] eαL = 0,[P (3)(L) + 3αP ′′(L) + 3α2P ′(L) + α3P (L)

]eαL = 0

♦t ♥ r♠♣ç♥t ♣r ①♣rss♦♥ ♣♦②♥♦♠ ∑∞

i=0 [(i+ 2)(i+ 1)ai+2Li + 2(i+ 1)αai+1L

i + α2aiLi] = 0,∑∞

i=0 [(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)ai+3Li + 3α(i+ 2)(i+ 1)ai+2L

i + 3α2(i+ 1)ai+1Li + α3aiL

i] = 0

♥ s sr♥t s réstts 3.24 éqt♦♥ ér♥t (3.23) ♣t s réérr s♦s ♦r♠ s♥t P♦r i = 0

2a4 + 2αa3 + α2a2 = 0

P♦r i 6= 0

(i+ 4)(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)ai+4 + 4α(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)ai+3 + 6α2(i+ 2)(i+ 1)ai+2

+4α3(i+ 1)ai+1 +[α4 − β0

]ai + β1ai−1 = 0

β0 = ρSω2 t β1 =mHω2

L

s éqt♦♥s sss ♦rrs♣♦♥♥t à s s②stè♠s éqt♦♥s ♥érrs q ♣♥tsérr s♦s ♦r♠ ♠tr ♠♥s♦♥ ♥♥

1 0 0 0 0 0 0α 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 d1 d2 d3 d4 d5 d6 0 0 0

0 0 0 0

· · · · · · h1 · · · · · ·· · · · · · h2 · · · · · ·

.

a0a1

ai

=

00

0

d1 =

β1

, d2 =

α4 − β0

,

d3 =

4α3(i+ 1)

, d4 =

6α2(i+ 2)(i+ 1)

,

d5 =

4α(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)

, d6 =

(i+ 4)(i+ 3)(i+ 2)(i+ 1)

h1 =

α2

α2L+ 2α

α2Li + 2iαLi−1 + i(i− 1)Li−2

,

h2 =

α3

α3L+ 3α2

α3L2 + 3α2L+ 6α

α3Li + 3iα2Li−1 + 3i(i− 1)αLi−2 + i(i− 1)(i− 2)Li−3

♦♥ s ♠t ① ♣♦②♥ô♠s ♦rr ♥tr st ♣♦ss étr♠♥r s rs α ♥♥♥t étr♠♥♥t Ps ♥ tst♦♥ ♣♦t ss ♣r♠t tr♦r srs t♦s s ♦♥ts ai s ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ét♥t é♥s à ♥ ♦♥st♥t♣rès ♥ rr ♣r ①♠♣ a2 ♣rès ♥ ♠♥♣t♦♥ s ①♣rss♦♥s s ①♣♦♥♥ts ♦♥ ♣t é♠♦♥trr q♦♥ ♦t♥t ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs q ♦rrs♣♦♥ à ♥♦♠♥s♦♥ ♥ ♣♦②♥ô♠ t ①♣♦♥♥ts

ré♣rtt♦♥ ♠ss ♦♣ sr ♥♦tr s②stè♠ ♥ r♥ ♥♥sr ♦r♠ s ♠♦s ♣r♦♣rs t ♦♠♣① trés ♥tt♠♥t rés♦t♦♥ ♥②tq s②stè♠ ♥s st ♥♦s s♣♣♦sr♦♥s s♦t q ♠ss ♦♣ st ♠ê♠ré♣rtt♦♥ s♣t q ♠ss strtr s♦t ♥♦s ♣r♦tr♦♥s ♦♥trt♦♥ ♠ss ♦♣ sr s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè ♥s ①è♠ s ♦♥ é♥r ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♦♠♠♦♠♥s♦♥ ♥ér s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè ♥ r ♥st sré♣♦♥ss s ♦strs à strtr ♠♠ré

Pr♦t♦♥ s éqt♦♥s sr s ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè t é♥t♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré

é♥t♦♥ s ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♥sérés

♥ ♠tr ♥♦♠r ②♣♦tèss tsés ♥♦s ♦♥s ♣r♦tr s ♠sss ♥éqs ♦♣ sr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè ♦s tsr♦♥s ① ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ étt ♦♥tt ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ss♥t ss♠♥t s♥s s♠♥t ♥ ♣ ①tré♠té t r

♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ♦♥s♦ ♥strér q ♦rrs♣♦♥ à ♥♣s ér♥ strtr

♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t ♣♦tr ss♥t s♥ss♠♥t ér s ♦♥t♦♥s ① ♠ts

φ′(0) = 0, φ(3)(0) = 0,

M(L) = EIφ′′(L) = 0, V (L) = EIφ(3)(L) = 0.

♦s r♣♣♦♥s r♣♠♥t ①♣rss♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♦ss♣♣♦sr♦♥s q s ①s r♣èr ex, ey s♦♥t ♥és s ①s ♣r♥♣① st♦♥ ♣♦tr ♥s ♥② ♣s ♦♣ ♥tr s rt♦♥s ①♦♥ ♣♦tr ♥ ♣t ♦♥ st♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ①♦♥ ♥s ♥ s rt♦♥s

φx1(z) = 1, φx

i+1(z) = cos(axi z) +cos(axiL)

cosh(axiL)cosh(axi z)

φy1(z) = 1, φy

i+1(z) = cos(ayi z) +cos(ayiL)

cosh(ayiL)cosh(ayi z)

s ♦♥ts axi t ayi ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣st♦♥s s♣ts s ♠♦s ♣r♦♣rs s

s♦♥t ♥tqs s♥t s ① rt♦♥s t ér♥t éqt♦♥

∀i, tan(aiL) = − tanh(aiL)

a1L ≈ 2.365, aiL ≈ (i− 1)π +3π

4.

♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ♦♥s♦ ♣♦tr ♦♥s♦ ér s ♦♥t♦♥s ①♠ts

ψ(0) = 0, ψ′(0) = 0,

M(L) = EIψ′′(L) = 0, V (L) = EIψ(3)(L) = 0.

♦s r♣♣♦♥s r♣♠♥t ①♣rss♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♦ss♣♣♦sr♦♥s q s ①s r♣èr ex, ey s♦♥t ♥és s ①s ♣r♥♣① st♦♥ ♣♦tr ♥s ♥② ♣s ♦♣ ♥tr s rt♦♥s ①♦♥ ♣♦tr ♥ ♣t ♦♥ st♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ①♦♥ ♥s ♥ s rt♦♥s

ψxi (z) = sin(bxi z)− sinh(bxi z) +

sinh(bxiL) + sin(bxiL)

cosh(bxiL) + cos(bxiL)(cosh(bxi z)− cos(bxi z))

ψyi (z) = sin(byi z)− sinh(byi z) +

sinh(byiL) + sin(byiL)

cosh(byiL) + cos(byiL)(cosh(byi z)− cos(byi z))

s ♦♥ts bxi t byi ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣st♦♥s s♣ts s ♠♦s ♣r♦♣rs ss♦♥t ♥tqs s♥t s ① rt♦♥s t ér♥t éqt♦♥

1 + cos(biL) cosh(biL) = 0,

b1L ≈ 1.875, b2L ≈ 4.694, biL ≈ (2i− 1)π

2.

P♦r s rs♦♥s s♠♣té ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s q rt♦♥ sr q s ♠♦ é♥♠♦♥s ♥s♠ s réstts ♣rés♥tés st q q s♦t ♥♦♠r ♠♦s ♦♥sérés ♥s q rt♦♥ sr ♥ s ss♠♦s

♥♠♥t ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♦rs ♥ s♦tt♦♥ ss♠qétt ♦♥tt ♣t é♦r ♣ss♥t ♥ ♣s ér♥ à ♥ ♣s ss♠♥t st ♦♥ ♥éssr é♥r ♥ ♠ét♦ ♣ss ♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs àtr ♥ tr♦ rt♦♥ ♥♠♥t ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♣r♦t♥t é♣♠♥t sr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t φ

it ♥

ts♥t s ♣r♦♣rétés ♦rt♦♦♥té s ♠♦s ♣r♦♣rs

qxi (t)‖φxi ‖2 =

∫ L

z=0

φxi (z)ux(z, t)dz =

∫ L

z=0

(φxi (z)U0x(t) + φx

i (z)N∑

j=1

ψxj (z)qxcj(t)

)dz,

qyi (t)‖φyi ‖2 =

∫ L

z=0

φyi (z)uy(z, t)dz =

∫ L

z=0

(φyi (z)U0y(t) + φy

i (z)N∑

j=1

ψyj (z)qycj(t)

)dz,

♥ ♥tr♦t U0(t) é♣♠♥t ♣♦♥t ♦♥tt ♣♦tr ss♥t ♥ ♣trés♠r s♦s ♦r♠

qx(t) = T .q

xc(t) + L.U0x(t)

qy(t) = T .q

yc(t) + L.U0y(t)

♥ é♥ ♥s ♥ ♠tr ♥♠♥t ss T t ♥ tr ♣r♦t♦♥ é♣♠♥t ♦r♣s r L s t♥srs ♥ é♣♥♥t ♣s rt♦♥ ♦♥séré

T (i, j) =

∫ L

z=0φi(z)ψj(z)dz

‖φi‖2

L(i) =

∫ L

z=0φi(z)dz

‖φi‖2

s ♠♦s ♣r♦♣rs sr q s♦♥t ♣r♦tés s éqt♦♥s ②♥♠q s②stè♠ é♣♥ étt ♦♥tt P♥♥t ♣s ér♥ ♦rrs♣♦♥♥tà étt ♥t strtr s tsé sr ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♣rés♥té♥s s éqt♦♥s (3.38) t (3.39) ♦rsq strtr st ss♠♠♥t s♦té ♣♦r♦♠♠♥r ♥ ss♠♥t ♦♥ ♣r♦tt s éqt♦♥s sr s ♠♦ ♣♦tr ss♥ts♥s s♠♥t ♣rés♥té ♥s s éqt♦♥s (3.33) t (3.34)

♣ss ♥ s à tr ♦rs ♥♠♥t étt ♦♥tt ♥ésst st♦ s é♣♠♥ts ♦r♣s r ♣♦tr s ②♣♦tèss sr s♥ s♠♥t ♦♥t ♦rrs♣♦♥r s é♣♠♥ts ♦r♣s r é♣♠♥t ♣♦♥t ♦♥tt U0(t)

Pr♦t♦♥ sr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ♦♥s♦ ♣sér♥t

♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♥s ♥ ♣s ér♥t strtr s ♠♦s ♣r♦♣rstsé st ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♦s ♥♠ér♦tr♦♥s s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♥èrà rr♦♣r s ♠♦s s♥t ex t ey ♥s ♥ ♥q tr ♠♦s ♣r♦♣rs ♥♦♥sér♥t ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s q rt♦♥ ♦♥ ♥♦tr

φ(z) =

φx1(z)

φxN(z)φy1(z)

φyN(z)

♥ ♦t♥t ♥s ♥ tr ♠♥s♦♥ 2N ♥ tsr ♥♦tt♦♥ φi(z) ♣♦rés♥r ieme ♦♠♣♦s♥t tr φ(z)

♣r♦t♦♥ s éqt♦♥s éqr st ♥ ts♥t s ①♣rss♦♥s s ♠♦s♣r♦♣rs ♥s s ①♣rss♦♥s (3.8) ♥ ♦t♥t ♥s

M =

m1 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 mi 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 m2N

mi =∫ L

z=0ρSφ2

i (z)

(AM

ij =∫ L

z=0mH

xx(z, t)φxi(z).φxj(z)dz,

˜MIFS =

(AM BM

TBM DM

)BM

ij =∫ L

z=0mH

xy(z, t)φxi(z).φyj(z)dz,

DMij =

∫ L

z=0mH

yy(z, t)φyi(z).φyj(z)dz)

C =

c1 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 ci 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 c2N

ci = 2ξiωimi

(AC

ij =∫ L

z=0mH

xx(z, t)φxi(z).φxj(z)dz,

˜CIFS =

(AC BC

TBC DC

)BC

ij =∫ L

z=0mH

xy(z, t)φxi(z).φyj(z)dz,

DCij =

∫ L

z=0mH

yy(z, t)φyi(z).φyj(z)dz)

K =

m1ω2x1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 mNω2xN 0 0 0

0 0 0 mN+1ω2y1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 m2Nω2yN

(ωxi = b2i

√EIxxρS

, ωyi = b2i

√EIyyρS

)

R =

0

0

F =

fx1

fxN

fy1

fyN

(fxi(t) =

∫ L

z=0ρSφxi(z)γx(t)dz, fyi(t) =

∫ L

z=0ρSφyi(z)γy(t)dz

)

˜FIFS =

f IFSx1

f IFSxN

f IFSy1

f IFSyN

(f IFSxi (t) =

∫ L

z=0m1

xxφxi(z)γx(t)dz, fIFSy1 =

∫ L

z=0m1

yyφyi(z)γy(t)dz)

ré♣rtt♦♥ s♣t s ♠sss ♦♣ strtr ♣t ♥r ♦rt♦♦♥té s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦rs ♣r♦t♦♥ sr s ♠trs ♠ss ♥trî♥♣♣rt♦♥ ♥ ♠tr ♣♥ ˜M IFS q ♠♦ s♥s♠♥t s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♣r r♣♣♦rt à ① strtr sè ♣♥♥t ♦♥♥ss♥ ①♣rss♦♥ ♥②tq s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè t ①♣rss♦♥ qs♥②tq s ♦♥t♦♥s mH

xx(z) mHxy(z) t mH

yy(z) ♣r♠tt♥t ♥

qs♥st♥t♥é ♠tr ˜M IFS ♠ê♠ ♠tr ˜CIFS t s trs F t˜FIFS s♦t♥♥♥t ♥st♥t♥é♠♥t à s ①♣rss♦♥s qs♥②tqs s é

r♥ts ♦♥t♦♥s

♥s s ♣s é♥ér ♦ù r♣rtt♦♥ s ♠sss ♦♣ ♥ st ♣s ré♣rtt♦♥ ♥♦r♠ ♠ss ♣♦tr st ♥éssr ♥tr♦r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés φ(z) t s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ss♦és ωi s ♣st♦♥s♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ér♥t rt♦♥

det[K − ωi

2(M + ˜MIFS

)]= 0

❯♥ ♦s s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ♦t♥s ♦♥ rr s trs ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré s♦s ♦r♠ ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér s trs ♣r♦♣rs strtr sè ♥ é♥ ♥s ♠tr ♥st♥t♥é ♥♠♥t ss

φ(z) = R.φ(z),

(φj(z) =

2N∑

k=1

Rjkφk(z)

)

♥ étr♠♥ s ♦♥ts tt ♠tr ♥ rés♦♥t s②stè♠ ♥ér 4N2

éqt♦♥s

∀(i, j) ∈ [1, 2N ]2,miω2iRji −miω

2jRji −

∫ L

z=0

ω2j

2N∑

k=1

φi(z)MIFSik Rjkφk(z)dz = 0

♥ ♣♦s♥t TRv = (R11 . . . R12NR21 . . . R22N . . . R12N . . . R2N2N) ♦♥ s r♠è♥ s②stè♠♥ér

H1 0 0 0

0 H2 0 0

0 0 0

0 0 0 H2N

.Rv = 0

k = i Hj

ii = mi

(ω2i − ω2

j

)− ω2

j

∫ L

z=0φ2i (z)M

IFSii dz,

k 6= i Hjik = −

∫ L

z=0ω2jφi(z)M

IFSik φk(z)dz

♠rq ♠tr ♣r♠tt♥t étr♠♥r s ♦♥ts R st ♠♥s♦♥4N2 ∗ 4N2 ❯♥ ♥②s ♣s ♥ s ♦♠♣♦s♥ts ♥♦♥ ♥s tt ♠tr ♣r♠t rér s t ♥ ♦♥sér♥t ♦♠♠ s♦♠♠ ♥ ♠tr ♠♥s♦♥ 2N ∗ 2Nt ♥ tr ♦♥ ♠♥s♦♥ 1 ∗ 2N ♣r♠t éérr s♥s♠♥t t♠♣s s sèr ♥éssr

s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ét♥t étr♠♥és à ♣rtr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè ♦♥♥s ♥②tq♠♥t ♦♥ ♣t ①♣r♠r é♣♠♥t ♥ t♦t♣♦♥t ♣♦tr s♦s ♦r♠

U(z, t) =2N∑

i=1

φi(z)qi(t), φi(z) =2N∑

k=1

Rikφk(z)

s t♥srs ♦rr ♦rrs♣♦♥♥t ① ♦♠♣♦s♥ts s♥t (ex, ey) ♥ r♠rq à ttr q s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠ré ♣♥t ♦♣r s ① rt♦♥s ♣♥ ♦rs q s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè s♦♥t é♦♣és s♦♥ s ①rt♦♥s

♥ ♣r♦tt ♠♥t♥♥t éqt♦♥ ②♥♠q sr s ♠♦ strtr♠♠ré s②stè♠ s réért

˜M.¨q(t) + ˜C. ˙q(t) + ˜K.q(t) = − ˜F + ˜FIFS

♥s s é♥ér ♠tr ♠♦rtss♠♥t ♥st ♣s ♦♥s ♥s ♠ê♠s q s ♠trs ♠ss t rr ♥ s♠♣r s②stè♠ ♦♥♥t

r s ②♣♦tèss ♦♠♣é♠♥trs sr tt ♠tr ♠♦rtss♠♥t ˜C ♦♠♣♦sé ① tr♠s ♥ ♠♦rtss♠♥t strtr t ♥ ♠♦rtss♠♥t é à é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♠sss ♦♣ Pr♠ s ♠ét♦s ssq♠♥t tsés ♦♥ ♣t tr

♥ é♦♠♣♦st♦♥ ②t③[˜C = α ˜M + β ˜K

] é♥t♦♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t

♠♦ ♣réé♥ [ξ (ω)] s ♠ét♦s ♣♥t êtr tsés ♣♦r s♠♣r ♠♦rtss♠♥t é ♦♣ strtr ♥tr♦r ♥ s ♥s s réstts q ♥sr ♣s éé ♥s tt tès t r♣rés♥t ♥ st rr à ♣rt ♥tèr ♥s st r♣♣♦rt ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ ♠♦rtss♠♥t ♠♦ ♠♠ré ξi

♦s s ②♣♦tèss ♦♥ s r♠è♥ à ét ♥ ♦str à ♥ ré rté ♠♦rts♦♠s à ♥ ①tt♦♥ ss♠q q♦♥q

¨qi(t) + 2ξiωi˙qi(t) + ωi

2qi(t) =1

mi

(− ˜Fi(t) +

˜F IFSi (t)

)

˜F (t) = RT .F (t) =

∫ L

z=0

ρSRT .φT (z).γ(t)dz

˜FIFS(t) = RT . ˜FIFS(t) =

∫ L

z=0

ρSRT .φT (z).M1.γ(t)dz

♦s ♦t♥♦♥s 2N éqt♦♥s ♦strs à ré rté ♠♦rts s♦♠s à ♥①tt♦♥ ss♠q q♦♥q rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♥♦♥♥ér ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦s s♦tt♦♥ ss♠q q♦♥q sr ♣rés♥té ♥s ♣rt 3.3.4

Pr♦t♦♥ sr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr ss♥t s♥sr♦tt♦♥ ♣s ss♠♥t

♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♥s ♥ ♣s ss♠♥t strtr s ♠♦s♣r♦♣rs tsé st ♥ ♣♦tr ss♥t s♥s r♦tt♦♥ ♦s ♥♠ér♦t♦♥s s ♠♦s♣r♦♣rs ♠♥èr à rr♦♣r s ♠♦s s♥t ex t ey ♥s ♥ ♥q tr ♠♦s ♣r♦♣rs ♥ ♦♥sér♥t ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s q rt♦♥ ♦♥ ♥♦tr

ψ(z) =

ψx1 (z)

ψxN(z)ψy1(z)

ψyN(z)

♥ ♦t♥t ♥s ♥ tr ♠♥s♦♥ ♥ tsr ♥♦tt♦♥ ψi(z) ♣♦r és♥r ieme ♦♠♣♦s♥t tr ψ(z)

♣r♦t♦♥ s éqt♦♥s éqr st ♥ ts♥t s ①♣rss♦♥s s ♠♦s♣r♦♣rs ♥s s ①♣rss♦♥s (3.8) ♥ ♦t♥t ♥s

M =

m1 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 mi 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 m2N

mi =∫ L

z=0ρSψ2

i (z)

(AM

ij =∫ L

z=0mH

xx(z, t)ψxi(z).ψxj(z)dz,

MIFS =

(AM BM

TBM DM

)BM

ij =∫ L

z=0mH

xy(z, t)ψxi(z).ψyj(z)dz,

DMij =

∫ L

z=0mH

yy(z, t)ψyi(z).ψyj(z)dz)

C =

c1 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 ci 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 c2N

ci = 2ξiωimi

(AC

ij =∫ L

z=0mH

xx(z, t)ψxi(z).ψxj(z)dz,

CIFS =

(AC BC

TBC DC

)BC

ij =∫ L

z=0mH

xy(z, t)ψxi(z).ψyj(z)dz,

DCij =

∫ L

z=0mH

yy(z, t)ψyi(z).ψyj(z)dz)

K =

m1ω2x1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 mNω2xN 0 0 0

0 0 0 mN+1ω2y1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 m2Nω2yN

(ωxi = a2i

√EIxxρS

, ωyi = a2i

√EIyyρS

)

Rf =

Rfx1

RfxN

Rfy1

RfyN

Rfxi(t) = −µ

[ρS −m1

zz

]L [g − γz(t)]

ψxi(0)Ux(0, t)√Ux(0, t)2 + Uy(0, t)2

,

Rfyi(t) = −µ[ρS −m1

zz

]L [g − γz(t)]

ψyi(0)Uy(0, t)√Ux(0, t)2 + Uy(0, t)2

)

F =

fx1

fxN

f y1

f yN

(fxi(t) =

∫ L

z=0ρSψxi(z)γx(t)dz, f yi(t) =

∫ L

z=0ρSψyi(z)γy(t)dz

)

FIFS =

fIFS

x1

fIFS

xN

fIFS

y1

fIFS

yN

(fIFS

xi (t) =∫ L

z=0m1

xxψxi(z)γx(t)dz, fIFS

y1 =∫ L

z=0m1

yyψyi(z)γy(t)dz)

s éqt♦♥s s♦♥t ♣r♦s s ♦t♥s ♥s ♣rr♣ §3.3.3.2 s à ♣rt ♥♠♥t s ♦♥t♦♥s ♠♦s ♣r♦♣rs tsés ♦♥ t ♣♣rîtr ♥ tr♠ ♥♦♥♥ér ♦rt ♠♦ r♦tt♠♥t Rf (t) ♦rrs♣♦♥♥t à ♣r♦t♦♥ ♦rt

r♦tt♠♥t ♥é rt♦♥ ①t♠♥t ♦♣♣♦sé à tss ♣♦♥t ♦♥ttsr s ♠♦ ♣♦tr ss♥t

♠ê♠ q ♣♦r ♣s ér♥t ré♣rtt♦♥ s♣t s ♠sss ♦♣strtr ♣t ♥r ♦rt♦♦♥té s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè ♦rs ♣r♦t♦♥ sr s ♠trs ♠ss ♥trî♥ ♣♣rt♦♥ ♥ ♠tr ♣♥M IFS q ♠♦ s♥s♠♥t s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♣r r♣♣♦rtà ① strtr sè ♣♥♥t ♦♥♥ss♥ ①♣rss♦♥ ♥②tq s♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè t ①♣rss♦♥ qs♥②tq s ♦♥t♦♥smH

xx(z, t)mHxy(z, t) tm

Hyy(z, t) ♣r♠tt♥t ♥ qs♥st♥t♥é ♠trM IFS

♠ê♠ ♠tr CIFS t s trs F t FIFS s♦t♥♥♥t ♥st♥t♥é♠♥t à s ①♣rss♦♥s qs♥②tqs s ér♥ts ♦♥t♦♥s

♥s s ♣s é♥ér ♦ù r♣rtt♦♥ s ♠sss ♦♣ ♥ st ♣s ré♣rtt♦♥ ♥♦r♠ ♠ss ♣♦tr st ♥éssr ♥tr♦r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ψ(z) t s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ss♦és ωi s ♣st♦♥s♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ér♥t rt♦♥

det[K − ωi

2(M +MIFS

)]= 0

❯♥ ♦s s ♣st♦♥s ♣r♦♣rs ♦t♥s ♦♥ rr s trs ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré s♦s ♦r♠ ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér s trs ♣r♦♣rs strtr sè ♥ é♥ ♥s ♠tr ♥st♥t♥é ♥♠♥t s

ψ(z) = R.ψ(z),

(ψj(z) =

2N∑

k=1

Rjkψk(z)

)

♥ étr♠♥ s ♦♥ts tt ♠tr ♥ rés♦♥t s②stè♠ ♥ér 4N2

éqt♦♥s

∀(i, j) ∈ [1, 2N ]2,miω2iRji −miω

2jRji −

∫ L

z=0

ω2j

2N∑

k=1

ψi(z)MIFSik Rjkψk(z)dz = 0

♥ ♣♦s♥t TRv =(R11 . . . R1 2NR21 . . . R2 2N . . . R1 2N . . . R2N 2N

) ♦♥ s r♠è♥ s②s

tè♠ ♥ér

H1 0 0 0

0 H2 0 0

0 0 0

0 0 0 H2N

.Rv = 0

k = i H

j

ii = mi

(ω2i − ω2

j

)− ω2

j

∫ L

z=0ψ2i (z)M

IFS

ii dz,

k 6= i Hj

ik = −∫ L

z=0ω2jψi(z)M

IFS

ik ψk(z)dz

♠rq ♠tr ♣r♠tt♥t étr♠♥r s ♦♥ts R st ♠♥s♦♥4N2 ∗ 4N2 ❯♥ ♥②s ♣s ♥ s ♦♠♣♦s♥ts ♥♦♥ ♥s tt ♠tr ♣r♠t rér s t ♥ ♦♥sér♥t ♦♠♠ s♦♠♠ ♥ ♠tr ♠♥s♦♥ 2N ∗ 2Nt ♥ tr ♦♥ ♠♥s♦♥ 1 ∗ 2N ♣r♠t éérr s♥s♠♥t t♠♣s s sèr ♥éssr

s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ét♥t étr♠♥és à ♣rtr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr sè ♦♥♥s ♥②tq♠♥t ♦♥ ♣t ①♣r♠r é♣♠♥t ♥ t♦t♣♦♥t ♣♦tr s♦s ♦r♠

U(z, t) =2N∑

i=1

ψi(z)qi(t), ψi(z) =2N∑

k=1

Rikψk(z)

s t♥srs ♦rr ♦rrs♣♦♥♥t ① ♦♠♣♦s♥ts s♥t (ex, ey) ♥ r♠rq à ttr q s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♣♥t ♦♣r s ① rt♦♥s ♣♥ ♦rs q s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè s♦♥t é♦♣és s♦♥ s ①rt♦♥s

♥ ♣r♦tt ♠♥t♥♥t éqt♦♥ ②♥♠q sr s ♠♦ strtr♠♠ré s②stè♠ s réér

M.q(t) + C.q(t) +K.q(t) = −F + FIFS +Rf

♥s s é♥ér ♠tr ♠♦rtss♠♥t ♥st ♣s ♦♥s ♥s ♠ê♠s q s ♠trs ♠ss t rr ♥ s♠♣r s②stè♠ ♦♥♥t

r s ②♣♦tèss ♦♠♣é♠♥trs sr tt ♠tr ♠♦rtss♠♥t C ♦♠♣♦sé ① tr♠s ♥ ♠♦rtss♠♥t strtr t ♥ ♠♦rtss♠♥t é à é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♠sss ♦♣ Pr♠ s ♠ét♦s ssq♠♥t tsés ♦♥ ♣t tr

♥ é♦♠♣♦st♦♥ ②t③[C = αM + βK

] é♥t♦♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t

♠♦ ♣réé♥[ξ (ω)

] s ♠ét♦s ♣♥t êtr tsés ♣♦r s♠♣r ♠♦rtss

♠♥t é ♦♣ strtr ♥tr♦r ♥ s ♥s s réstts q ♥sr ♣s éé ♥s tt tès t r♣rés♥t ♥ st rr à ♣rt ♥tèr ♥s st r♣♣♦rt ♥♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ ♠♦rtss♠♥t ♠♦ ♠♠ré ξi

♦s s ②♣♦tèss ♦♥ s r♠è♥ à ét ♥ ♦str à ♥ ré rté ♠♦rts♦♠s à ♥ ①tt♦♥ ss♠q q♦♥q

qi(t) + 2ξiωiqi(t) + ωi2qi(t) =

1

mi

(−Fi(t) + F

IFS

i (t) +Rf

i (t)

)

F (t) = RT.F (t) =

∫ L

z=0

ρSRT.ψT (z).γ(t)dz

FIFS(t) = RT.FIFS(t) =

∫ L

z=0

ρSRT.ψT (z).M1.γ(t)dz

♦s ♦t♥♦♥s 2N éqt♦♥s ♦strs à ré rté ♠♦rts s♦♠s à ♥①tt♦♥ ss♠q q♦♥q ♥s q① ♦rts r♦tt♠♥t r♥t ♦rs ♥♦♥t♦♥ ré♣♦♥s t♠♣♦r s②stè♠ rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♥♦♥♥ér♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦s s♦tt♦♥ ss♠q q♦♥q sr ♣rés♥té♥s ♣rt 3.3.4

és♦t♦♥ ♣r♦è♠

♦s ♦♥s ♥s s ♣rr♣s ♣réé♥ts ♠ét♦ ♦t♥t♦♥ s éqt♦♥s♥♦♥♥érs ♦strs à ♥ ré rté s♦♠s à ♥ ①tt♦♥ ss♠q q♦♥q t à ♥ ♦rt r♦tt♠♥t ♣♦♥t êtr ♥ ♥s ♣s ér♥t séqt♦♥s sér♥t ♥s s ♥ ♣♦tr ♥ ♣s ér♥t

∀i ∈ [1, 2N ], ¨qi(t) + 2ξiωi˙iq(t) + ωi

2qi(t) = fi(t)− f IFSi (t)

s éqt♦♥s sér♥t ♥s s ♥ ♣♦tr ♥ ♣s ss♥t

∀i ∈ [1, 2N ], qi(t) + 2ξiωiqi(t) + ωi2qi(t) = fi(t)− f

IFS

i (t) +Rf

i (t)

♦s tsr♦♥s ♥ ♠ét♦ s♠r rés♦t♦♥ ♣♦r s ① ♣ss ♦♠♣♦rt♠♥t strtr P♦r s♠♣r s ①♣rss♦♥s tsés ♥♦s ♥ ér♥r♦♥s♣s s ♦♦r♦♥és é♥érsés s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♣♦tr ♦♥s♦ t ① ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t tr♥st♦♥ ♥ ♣s ss♥t à ♥ ♣sér♥t t rs sr ♣rés♥té ♥ ré♥tr♦s♥t ér♥t♦♥ ♥♦tt♦♥s♦s tsr♦♥s s ♥♦tt♦♥s s♠♣és éqt♦♥ s♥t

∀i ∈ [1, 2N ], qi(t) + 2ξiωiqi(t) + ω2i qi(t) = fi(t)− f IFS

i (t) +Rfi (t)

Rfi (t) = 0 ♥s ♣s ér♥t tt éqt♦♥ st ♦rt♠♥t ♥♦♥♥ér t

♥ ♣t ♣s s rés♦r ♠♥èr ♥②tq s♥s ②♣♦tès s♠♣tr ♦♠♣é♠♥tr ♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ♦♥ s♠♣r ①♣rss♦♥ s ♦rts ♠♦① ♥ s s♣♣♦s♥t♦♥st♥ts ♣r ♠♦r① s♥t ♥ é♥t♦♥♥♠♥t ♥ ♦s ♣ér♦ ∆T

♠rq ♦① ♣ér♦ ♥st ♣s ♥♦♥ ♥ t ♦rrs♣♦♥ à ♥tr ♣sss q st ♦ér♥t t q s♦tt♦♥ ss♠q ♦rrs♣♦♥♣r♥♣♠♥t à ♥ s♦tt♦♥ ssréq♥ ♣♥♥t s ♥♦♥♥értés t sé♦t♦♥s ♠sss ♦♣s strtr ♣♥t ♥tr♦r ♥ ♦♠♣♦rt♠♥ttréq♥ ♥♦♥ ♥é ♥s ré♣♦♥s strtr ♦♥♥t ♦♥ ♥♦sr tt ♣ér♦ ♦① rt♥ ♥s tt tès st ♣r♥r ♥ ♣ér♦ ♦♥♥♥t ♠ê♠ réq♥ q réq♥ é♥t♦♥♥♠♥t s♥ ss♠q t♠♣♦r é♥♠♦♥s t♠♣s ét♥t qs♠♥t ♥st♥t♥é st ♣♦ss r♥r s s♥①♣♦r r ♥ ét s♥sté s ♥éssr

és♦t♦♥ s②stè♠ à ♥ ♣s t♠♣s ♦♥♥é

♥s tt ♣rt ♥♦s ♥♦s ♣ç♦♥s sr ♥tr t♠♣s [k∆T, (k + 1)∆T ] ♥é♥t ♦♥t♦♥ rki (t) t q

∀t ∈ [0,∆T ] , rki (t) = qi(k∆T + t)

s r♠♥ts ♠♦① s♦♥t s♣♣♦sés ♦♥st♥ts sr ♥tr é♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ri(t) ♥ s r♠è♥ ♥s ① éqt♦♥s ♦strs r♠♦♥qs ♠♦rts s♦♠sà ♥ r♠♥t ♦♥st♥t

rki (t) + 2ξiωirki (t) + ω2

i rki (t) = fi(k∆T )− f IFS

i (k∆T ) +Rfi (k∆T ) = ω2

i Vi(k∆T )

s ♦♥t♦♥s ♥ts rk+1i (0) = rki (∆T ),

rk+1i (0) = rki (∆T ).

P♦r ♣r♠èr tért♦♥ r0i (0) = 0,

r0i (0) = 0.

♥ tr♦ s s♦t♦♥s ssqs ♥②tqs s s②stè♠s s♠♣s

rki (t) =

[rki (0) + ξiωi

(rki (0)− Vi(k∆T )

)

ωDi

sin(ωDit) +(rki (0)− Vi(k∆T )

)cos(ωDit)

]e−ξiωit

ωDi = ωi

√1− ξ2i ♣st♦♥ rét ieme ♠♦

Vi(k∆T ) =1ω2i

(fi(k∆T )− f IFS

i (k∆T ) +Rfi (k∆T )

) é♣♠♥t ♠♦ éq♥t

s ♦rts ①térrs à ♥st♥t tk ét ♥tr t♠♣s ♦♥séré

❯♥ ♦s s réstts ♦♥t♦♥ rki (t) ♦♥♥s sr ♥tr t♠♣s [k∆T, (k + 1)∆T ]♥ ♦t s r♠♥r ① r♥rs rés é♣♠♥ts t é♦r♠t♦♥s ♣♦tr ♦rts ♣♦♥t ♦♥tt ♣♦r érr s ♦♥t♦♥ ♦♥tt é♦ tr♥st♦♥ ♥♣s ér♥t rs ♥ ♣s ss♥t t rs ♦s ♦♥sérr♦♥s s ① s r ♥ ♦♥sér♥t étt ♦♥tt ét keme ♣s t♠♣s

P♦tr ♥t♠♥t ér♥t

ét r♠♥t ss♠q ♣♦tr st ♥t♠♥t r♣♦s st ♦♥ ♦♥t♦♥ ♥t strtr ♣♥♥t r♠♥t ss♠q ét♥t ét♦r st ♣♦ss q strtr s rtr♦ à ♥♦ ♥s t étt à ♥ tr ♥st♥t r♠♥t ♦s ♦♥sér♦♥s ♣♦tr ♥s ♥ étt ♦♥tt ér♥t ét keme ♣s t♠♣s strtr ♣t ♦r ♥ é♦r♠t♦♥ t ♦♥ ♥ ♦rt rét♦♥♦r③♦♥t ♥♦♥ ♥ ét ♣s t♠♣s

s s♦t♦♥s s éqt♦♥s s ♦strs r♠♦♥qs ♠♦rts s♦s r♠♥ts ss♠qs q♦♥qs s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ❬❪ ① ♦rrs♣♦♥♥t à é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♦♦r♦♥és é♥érsés ss♦és ① ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♣♦tr♦♥s♦ sr ♥tr [k∆T, (k + 1)∆T ] ♥ ♦♥♥îtr réstts ♥②tqs à tsr ♣♦r ♣s t♠♣s s♥t t érr q s ♦♥t♦♥s ét ss♠♥t ♥♦♥t ♣s été érés ♣♥♥t ♥tr t♠♣♦r ♦♥séré

P♦r ♦♥ étr♠♥ ♦rt ♦r③♦♥t ♠♣♦sé ♥ ♣♦♥t ♦♥tt ♣r é♦r♠t♦♥ éstq ♣♦tr à ♥ ♣s t♠♣s ♥ ♦♠♣r ♥st à♦rt rt ♦rrs♣♦♥♥t r♠♥t ss♠q ét ♣s t♠♣s s♥ss♠q rt st ss ♣♣r♦①♠é ♣r ♥ s♥ ♦♥st♥t ♣r ♠♦r ♠t♣é♣r ♦♥t r♦tt♠♥t ♥ s é♣ss♠♥t ♦♥ ♥ étt ♦♥tt t♦♥ ♥tr ♥s ♥ ♣s ss♠♥t s♥s r♦tt♦♥ ♣s t♠♣s s♥t

étr♠♥t♦♥ ♦rt ♦r③♦♥t ♥ ♥ ♣s t♠♣s ♦rt ♦r③♦♥t♣♣qé ♥ ♣ ♣♦tr s♦t♥t à ♣rtr s ♦♠♣♦s♥ts t ♦rt s♥t ext ey ♦s ♣♦♦♥s s étr♠♥r à ♣rtr s ♠♦s ♣r♦♣rs strtr sè ♥t

Rfx(t) =

∑N

i=1 φ(3)xi (0)qxi(t),

Rfy(t) =∑N

i=1 φ(3)yi (0)qyi(t).

♥ étr♠♥ r s ♦rts à tk+1 = (k + 1)∆T ♥ ts♥t ①♣rss♦♥ é♣♠♥t ♥s s ① ss ♠♦s sès t ♠♠rés t ♥ ♣r♦t♥t sr ♥♠♦ ψi(z) ♥ tr♦ ♥s ♥ rt♦♥ ♥tr r s ♦♦r♦♥♥és é♥érsésqxi(tk+1) t qyi(tk+1) t s s qi(tk+1)

U(z, t) =2N∑

j=1

ψj(z)qj(t) =2N∑

i=1

ψi(z)qi(t)

qi(t) =2N∑

j=1

∫ L

z=0ψi(z)ψj(z)dz∫ L

z=0ψ2i (z)dz

qj(t) =2N∑

j=1

∑2Nk=1Rjk

∫ L

z=0ψi(z)ψk(z)dz∫ L

z=0ψ2i (z)dz

qj(t)

qi(t) =2N∑

j=1

Rjiqj(t)

r ♥s ♣s ér♥t

∀j ∈ [1, 2N ], qj(tk+1) = rkj (∆T )

♥ ♦t♥t ♥s

qi(tk+1) =2N∑

j=1

Rjirkj (∆T )

s ♦rts ♦r③♦♥t① s①♣r♠♥t ♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ s s♦t♦♥s ♥②tqs Rfx(tk+1) =

∑N

i=1

∑2Nj=1Rjiφ

(3)i (0)rkj (∆T ),

Rfy(tk+1) =∑2N

i=N+1

∑2Nj=1Rjiφ

(3)i (0)rkj (∆T ).

♥ ts♥t s ①♣rss♦♥s ♥②tqs éqt♦♥ (3.84) ♦rt ♦r③♦♥t t♦tsért

Rf (tk+1) =√R2

fx(tk+1) +R2fy(tk+1)

étr♠♥t♦♥ ♦rt rt ♥ ♥ ♣s t♠♣s ♥ ♣♦♦réttr ét ss♠♥t ♦rs ♥tr t♠♣s [tk, tk+1] ♥♦s ♦♥s♦♠♣rr ♦rt ♦r③♦♥t t♦t ♥ ♥ ♣s t♠♣s à ♦rt rt ♠ê♠ ♥st♥t♥ ♣♣q♥t ②♣♦tès s♥① ♦♥st♥ts ♣r ♠♦rç① s ♦rts ♦r③♦♥t① s♥ ss♠q rt ♦♥ tr♦ ♥ ♦rt rt rét♦♥ é à

Rv(tk+1) =(ρS −m1

zz

)L (g − γz(tk))

tt éqt♦♥ ♥st q s♦s ②♣♦tès ♦ù s rt♦♥s ♥♦r♠s ♣♦trs♦♥t ♥éés ♦♥ ① rt ♣♦tr st ♦♥séré ♦♠♠ ♥ s♦ ♥é♦r♠♠♠ré s♦♠s à ♥ ♠♣ ♣s♥tr ♣♣r♥t (g − γz(t)) r♥r (ρS −m1

zz)♦rrs♣♦♥ à ♥ ♠ss rét strtr ♦rrs♣♦♥♥t à ♣♦ssé r♠è

②♣♦tès ♦♠♣♦rt♠♥t rt ♦♥séré ♦♠♠ r s ér ♦rsq sréq♥s ♣r♦♣rs ♦♥t♥s s♦♥t ♥♦rs s réq♥s rtèrstqs ss♠qs♥ s♣♣♦sr q♦♥ s tr♦ ♥s ♦♠♥ ♦rsq f > 40Hz

♦♥t♦♥ ♥♠♥t étt ♦♥tt ss♠♥t st é♥é ♦rs keme ♣s t♠♣s [tk, tk+1] s ♦♥t♦♥ ♥♦♥ss♠♥t ♥st ♣s éré à ♥ ♣s t♠♣s ♦rrs♣♦♥ à

√R2

fx(tk+1) +R2fy(tk+1) > µ

(ρS −m1

zz

)L (g − γz(tk)) .

Rfx(tk+1) =

∑N

i=1

∑2Nj=1Rjiφ

(3)i (0)rkj (∆T ),

Rfy(tk+1) =∑2N

i=N+1

∑2Nj=1Rjiφ

(3)i (0)rkj (∆T ).

♥ ♦♥sèr ♦rs q ss♠♥t s é♥ ét (k+1)eme ♣s t♠♣s♥ ♥ rr ♣s à ♥tr ♣résè♠♥t ♥st♥t ét ss♠♥t s♥ ♥tr t♠♣s [tk, tk+1] ♥tr♦r ♥ é ♥s ♥ rt♦♥ ♥étr♠♥éq ♣♦rr êtr ♦♠♣♥sé ♦ ♠♣é ♦rs é♥♠♥t ♣r♦♥ ss♠♥té♥♠♦♥s s s ♣s t♠♣s s♦♥t ss♠♠♥t ♣tts s ♥tr♦t st ♥é

♥♠♥t s♦t♦♥ ♥ ♥ tért♦♥ étt ♦♥tt ♣t s♦trstr ér♥t s♦t é♦r rs ♥ strtr ss♥t ♦♥♥t ♦♥ étr ♥rè ♦q ♣r♠tt♥t étt♦♥ à q tért♦♥ étt ♦♥tt ♥s q ♠ét♦ tr♥st♦♥ ♥ s♦t♦♥ à tr

♥ tért♦♥ ♥éqt♦♥ (3.87) ♥st ♣s éré ♦♥t♦♥ ♦♥tt ♥é♦ ♣s t s

♦♥t♦♥s ♥ts ♣s t♠♣s s♥t s♦♥t

rk+1i (0) = rki (∆T ),

rk+1i (0) = rki (∆T ).

♥éqt♦♥ (3.87) st éré ♦♥t♦♥ ♦♥tt é♦ strtr ♦♠♠♥à ssr t érr s éqt♦♥s ♣rés♥tés ♥s ♣rt 3.3.4.3 st ♥éssr tr♥s♣♦sr s ♦♥t♦♥s ♥ts ♣s t♠♣s s♥t ♥s s ♥♦s ss s♦t♦♥

t ♦♥ rr s rs s rki (∆T ) t˙rki (∆T ) s s ski (∆T ) t

˙ski (∆T )q sr♦♥t é♥s ♣s ♣résè♠♥t ♥s ♣rt s♥t P♦r ♦♥ ts é♥t♦♥ ♥ s r♥rs ♥s q rt♦♥ (3.83)

qci(tk+1) =

∑2Nj=1 Rjir

kj (∆T ),

qsi(tk+1) =∑2N

j=1Rjisk+1j (0).

♥ rr s ① é♥t♦♥s ♦♥ ét♥ é♥t♦♥ s ♠trs t trs ♥♠♥t ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♣rés♥tés ♥s s éqt♦♥s (3.44) (3.45) (3.46)t (3.47) P♦r ♦♥ ts ♥♠ér♦tt♦♥ s ♠♦s tsés ♥s s ♣rts ♣réé♥ts

qs(t) = T .qc(t) + L(t)

T (i, j) =

∫ L

z=0φi(z).ψj(z)dz∥∥φi

∥∥2

L(i) =

∫ L

z=0φi(z).U(0, t)dz∥∥φi

∥∥2

ù qs(t) r♣rés♥t tr s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♥s s ♠♦ ♣r♦♣r ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t t qc(t) r♣rés♥t tr s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♥s s ♠♦ ♣r♦♣r ♣♦tr ♥stré

♥ tr♦ ♥s s ♦♥t♦♥s ♥ts (k+1)eme ♣s t♠♣s ♣♦r s♦t♦♥sr s ♠♦ ♠♠ré ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t s ♦♥t♦♥s ♥tsssr♥t ♥ ♦♥t♥té ♥ é♣♠♥t t ♥ tss

sk+1(0) =

(R

T)−1

.T .RT.rk(∆T ) +

(R

T)−1

.L(tk+1),

sk+1i (0) =

(R

T)−1

.T .RT.rk(∆T ) +

(R

T)−1

.L(tk+1).

t♥t ♦♥♥é q♦♥ ♥ étt ♣s ♥st♥t ①t ét ss♠♥t s♥ ♣s t♠♣s st st♠r tss ♣♦♥t ♦♥tt à ♥ ♣s t♠♣s♥ s♣♣♦sr ♦♥ q tss ♣♦♥t st ♥é ét ♣s t♠♣ss♥t ♥ ♣♦s ♦♥

L(tk+1) = 0

tt ②♣♦tès ♥trî♥ ♥ ♥♦ é ♣r r♣♣♦rt à s♦t♦♥ ①t é♥♠♦♥s ♥♦s ♣♦♦♥s rs♦♥♥♠♥t ♣♥sr q s st ♥é ♣♦r ① rs♦♥s tss ét ss♠♥t é♣♥ ♥t♥sté sés♠ q st s♣♣♦sé

♥ ♣s ♣rér s♥s sr ♥ ① ①é Pr ①♠♣ sr rt♦♥ sés♠♦r sr t♦tté s♥ éért♦♥ ♥s s♥s ♦r st qs♠♥t♣rt♠♥t ♦♠♣♥sé ♣r éért♦♥ ♥s s♥s ♦r ♥s ♠ê♠ s ré♣♦♥s rt♦r ♥tr♥ strtr ♦ s sés♠ s ♠♣ts ér♥ts ♥

♦♥t♦♥ s ①s ♦r t stst rt♦♥ ét ss♠♥t ♠ê♠♣r♦té êtr s♥t ♥ ① e1 q s♦♥ ① ♦♣♣♦sé −e1 t s♣t st♦stq ♦r♥tt♦♥ ét ss♠♥t ss à ♣♥sr q s ♣t s ♦♠♣♥sr♣♥♥t ré s♥ ss♠q

♦① ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣tt ♣r♠t r♥r s ♥tr♦tqs♠♥t ♥é ♦♥♥r étr rt♦♥ ré♣♦♥s ♦rs ♥♠♦t♦♥ ré ♣s t♠♣s

s réstts rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ér♥ts ♥♦♥♥érs s♦s r♠♥tss♠q q♦♥q ♥s s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♣♦tr ss♥t s♥ss♠♥t s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ §3.3.4.3

P♦tr ♥t♠♥t ss♥t s♥s s♠♥t

ét r♠♥t ss♠q ♣♦tr st r♣♦s t st ér♥t ♥ s♦♥ ♣♦♥t ♦♥tt s♦ ♦rsq ♦♥t♦♥ ♥♦♥ ss♠♥t ♣rés♥té ♥séqt♦♥ (3.87) ♥st ♣s éré ♣♦tr ♦♠♠♥ à ssr t ♥st♥t ♣♦trst ♥s ♥ ♦♥rt♦♥ é♦r♠é t st ♥éssr ♦♥♥tr tt é♦r♠t♦♥♣♦r ♥ ♣s s♦sst♠r é♥r st♦é ♠♥èr éstq ♥s strtr

♥ ♣t s rtr♦r ♥s ♠ê♠ stt♦♥ ♦rsq ♣♦tr éà ssé sstrrêté ♣s r♣r♥ s♦♥ ss♠♥t ♥s s st ♥éssr rr ♥ ♠é♠♦r é♣♠♥t ♦r♣s r strtr q ♦rrs♣♦♥ ① ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ ♣♦♥t ♦♥tt U(0, t)

♥t q ss♠♥t ♦♥t♥ ♦♥ étr♠♥ é♦t♦♥ t♠♣♦r s②stè♠ ♥ts♥t éqt♦♥ (3.79) q tért♦♥ t érr q s ♦♥t♦♥s ss♠♥t s♦♥t t♦♦rs érés t q s②stè♠ ♥ sst ♣s rrêté tt ét♣ ♥st ♣sé♥t à tr ét♥t ♦♥♥é q ♥♦s ♥♦♥s ♥ ♦♥♥ ♦♥♥ss♥ s r♠♥ts ①térrs t s ♦rts r♦tt♠♥t qà ♥ ♣ér♦∆T r ♦rsq ss♠♥tsrrêt ♦rt r♦tt♠♥t ♥ ré♣♦♥ ♣s à ♠ê♠ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t t é♦trés s♥s♠♥t

st ♦♥ ♥éssr tsr ♥ ♠ét♦ ♦♥t♦r♥♠♥t ♣r♠tt♥t éttr♥ rrêt ss♠♥t strtr ♥s ♥tr [tk, tk+1] à ♣rtr s ♦♥♥és sér♥ts r♥rs ① ♥st♥ts tk t tk+1 ♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t strtr st ♦♥♥é ♣r

U(0, t) = 0

♦s trs♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ sr s♥ é♥t♦♥é à ♥ ♣ér♦ ∆T ♣r ♥♥♠♥t s♥ s ① ♦♠♣♦s♥ts tss Ux(0, t) t Uy(0, t) ♥tr s♥st♥ts tk t tk+1

Ux(0, tk).Ux(0, tk+1) ≤ 0,

Uy(0, tk).Uy(0, tk+1) ≤ 0.

♥s s ♦♥ s♣♣♦sr q strtr st ♣ssé ♣r ♥ étt ♦ù tss ♣♦♥t ♦♥tt étt ♥ ♥ ♣t ♣♥sr à ♥ rt♥ ♥♦♠r s ♦ù ♦♥t♦♥ srèt(3.96) st éré s♥s q ♦♥ ♣ss tr♦r ♥ ♥st♥t ♦ù ♦♥t♦♥ ♦♥t♥ (3.95)st éré ♥tr♦t ♥ ♥♦ ért ♥tr ♥♦tr s♦t♦♥ ♣♣r♦é qs♥②tqt s♦t♦♥ ré é♥♠♦♥s ♦① ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣tt ♣r♠t ♠tr s rsqs ♦r♥ étt♦♥ ♥ ss ♦♥t♦♥ rrêt ♣s♠ê♠ s rrêt étt étté à ♥ ♥ ♣s t♠♣s ♦rs q ♥ rt ♣s ② r♥s ♥s q ss♠♥t r♣r♥♥ ♣s t♠♣s s♥t

étr♠♥t♦♥ ♥②tq tss ♣♦♥t ♦♥tt ♣♦tr ♥ ♥ ♣s t♠♣s tss ♥s ♣♥ ♦r③♦♥t (ex, ey) ♣♦♥t ♦♥tt st♦♥♥é ♣r s éqt♦♥s

Ux(0, t) =N∑

i=1

φxi(0)qxi(t)

Uy(0, t) =N∑

i=1

φyi(0)qyi(t)

♥ étr♠♥ r s ♦♠♣♦s♥ts tss à tk+1 = (k + 1)∆T ♥ ts♥t①♣rss♦♥ é♣♠♥t ♥s s ① ss ♠♦s sès t ♠♠rés t ♥♣r♦t♥t sr ♥ ♠♦ φi(z) ♥ tr♦ ♥s ♥ rt♦♥ ♥tr r s ♦♦r♦♥♥ésé♥érsés qxi(tk+1) t qyi(tk+1)∆T t s s qi(tk+1)

U(z, t) =2N∑

j=1

φj(z)qj(t) =2N∑

i=1

φi(z)qi(t)

qi(t) =2N∑

j=1

∫ L

z=0φi(z)φj(z)dz∫ L

z=0φ2i (z)dz

qj(t) =2N∑

j=1

∑2Nk=1Rjk

∫ L

z=0φi(z)φk(z)dz∫ L

z=0φ2i (z)dz

qj(t)

qi(t) =2N∑

j=1

Rjiqj(t)

r ♥s ♣s ér♥t

∀j ∈ [1, 2N ], qj(tk+1) = skj (∆T )

♥ ♦t♥t ♥s

qi(tk+1) =2N∑

j=1

Rjiskj (∆T )

s ♦♦r♦♥és tr tss ♣♦♥t ♦♥tt à ♥ ♣s t♠♣s s①♣r♠♥t ♦♥

Ux(0, tk+1) =N∑

i=1

2N∑

j=1

Rjiφi(0)rkj (∆T )

Uy(0, tk+1) =2N∑

i=N+1

2N∑

j=1

Rjiφi(0)skj (∆T )

s rs ♥②tqs s rkj (∆T ) s♦♥t éà ♦♥♥s ♥ ♣t ♦♥ éttr à qtért♦♥ s s♥ s ① ♦♦r♦♥♥és tr tss ♣♦♥t ♦♥tt ♥ét ♦♥ s ♦♥ étt ♥ rrêt ss♠♥t ♣♥♥t keme ♣s t♠♣s ♥ ♠♥èrs♠r à étt♦♥ ét ss♠♥t ♦♥ ♥ tr♦ ♣s ♥st♥t ①t ♥ ss♠♥t ♥ s rstr♥t à éttr ♥ rrêt ss♠♥t ♦rs ♣s t♠♣s ♥♠♥t éqt♦♥s ♥②tqs t ♦♥t♦♥s ♥ts s t (k + 1eme)♣s t♠♣s ♥tr♦t ♥ s q à ♥♦ ♥ rt♦♥ qsst♦stq strt♦♥ qs♥♦r♠ t ♦♥t ♦♥ ♣t rér ♠♣t ♥ ♠♥♥t ♣ér♦é♥t♦♥ ∆T

♥♠♥t s♦t♦♥ ♥ ♥ tért♦♥ étt ♦♥tt ♣t s♦trstr ss♥t s♦t ♥r ér♥t t r♣rés♥tr ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ♦♥♥t ♦♥étr ♥ rè ♦q ♣r♠tt♥t étt♦♥ à q tért♦♥ étt ♦♥tt♥s q ♠ét♦ tr♥st♦♥ ♥ s♦t♦♥ à tr

♥ tért♦♥ éqt♦♥ (3.96) ♥st ♣s éré ♦♥t♦♥ ♦♥tt ♥é♦ ♣s t s ♦♥

t♦♥s ♥ts ♣s t♠♣s s♥t s♦♥t

sk+1i (0) = ski (∆T ),

sk+1i (0) = ski (∆T ).

éqt♦♥ (3.96) st éré ♦♥t♦♥ ♦♥tt é♦ strtr rrêt s♦♥ss♠♥t t érr s éqt♦♥s ♣rés♥tés ♥s ♣rt 3.3.4.2 st ♥éssr tr♥s♣♦sr s ♦♥t♦♥s ♥ts ♣s t♠♣s s♥t ♥s s ♥♦s ss s♦t♦♥

t ♦♥ rr s rs s ski (∆T ) t˙ski (∆T ) s s rki (∆T ) t r

ki (∆T )

P♦r ♦♥ ts é♥t♦♥ ♥ s r♥rs ♥s q s é♥t♦♥s s♠trs ♥♠♥t s

qci(tk+1) =

∑2Nj=1 Rjir

kj (∆T ),

qsi(tk+1) =∑2N

j=1Rjisk+1j (0).

♥ rr s ① é♥t♦♥s ♦♥ ét♥ é♥t♦♥ s ♠trs t trs ♥♠♥t ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♣rés♥tés ♥s s éqt♦♥s (3.44) (3.45) (3.46)t (3.47) P♦r ♦♥ ts ♥♠ér♦tt♦♥ s ♠♦s tsés ♥s s ♣rts ♣réé♥ts

qs(t) = T .qc(t) + L(t)

T (i, j) =

∫ L

z=0ψi(z).φj(z)dz∥∥ψi

∥∥2

L(i) =

∫ L

z=0ψi(z).U(0, t)dz∥∥ψi

∥∥2

ù qs(t) r♣rés♥t tr s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♥s s ♠♦ ♣r♦♣r ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t t qc(t) r♣rés♥t tr s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés ♥s s ♠♦ ♣r♦♣r ♣♦tr ♥stré

♥ tr♦ ♥s s ♦♥t♦♥s ♥ts (k+1)eme ♣s t♠♣s ♣♦r s♦t♦♥sr s ♠♦ ♠♠ré ♣♦tr ss♥t s♥s s♠♥t s ♦♥t♦♥s ♥tsssr♥t ♥ ♦♥t♥té ♥ é♣♠♥t t ♥ tss

sk+1(0) =

(R

T)−1

.T .RT.rk(∆T ) +

(R

T)−1

.L(tk+1),

sk+1i (0) =

(R

T)−1

.T .RT.rk(∆T ) +

(R

T)−1

.L(tk+1).

t♥t ♦♥♥é q♦♥ ♥ étt ♣s ♥st♥t ①t rrêt ss♠♥t s♥ ♣s t♠♣s s ②♣♦tèss ♥♦s ♦♥♥♥t ♥ tss ♣♦♥t ♦♥tt ♥♦♥ ♥é♥♠♦♥s ♣r♦t♦♥ s éqt♦♥s sr s ♠♦ ♥stré ♣r♠t ①r ♣♦♥t ♦♥tt s♦ ♠ê♠ s s tss é♣♠♥t ♥st ♣s ♥ ♥s sss♥t ♥ étr t♦t rrr ♦♥ ♠♣♦s ss

L(tk+1) = 0

tt étt♦♥ ♣♦str♦r rrêt ss♠♥t ♥trî♥ ♥ ♥♦ é ♣rr♣♣♦rt à s♦t♦♥ ①t é♥♠♦♥s ♥♦s ♣♦♦♥s rs♦♥♥♠♥t ♣♥sr q s st ♥é ♣♦r ① rs♦♥s ♥t♥st ss♠♥t rés ♦rrs♣♦♥♥t é♣♠♥t à ♠♦♠♥t ♣②

sq rrêt ss♠♥t é♣♥ ♥t♥sté sés♠ t rt♦♥ ss♠♥t ♣s t♠♣s ♣réé♥t q s♦♥t s♣♣♦sés ♥ ♣s ♣rér s♥s sr ♥ ①①é Pr ①♠♣ sr rt♦♥ sés♠ ♦r sr t♦tté s♥ éért♦♥ ♥s s♥s ♦r st qs♠♥t ♣rt♠♥t ♦♠♣♥sé ♣r éért♦♥♥s s♥s ♦r ♥s ♠ê♠ s ré♣♦♥s rt♦r ♥tr♥ strtr ♦s sés♠ s ♠♣ts ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ①s ♦r t stst♦ s s ♦♥ts ss♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ♠ê♠ ♥ ♦♥t♦♥ s rt♦♥s ♣♥ rt♦♥ ss♠♥t rés ♠ê♠ ♣r♦té êtr s♥t ♥ ①e1 q s♦♥ ① ♦♣♣♦sé −e1 t s♣t st♦stq ♦r♥tt♦♥ ss♠♥t rés ss à ♣♥sr q s ♣t s ♦♠♣♥sr ♣♥♥t ré t♦t s♥ss♠q

♦① ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣tt ♣r♠t r♥r s ♥tr♦t qs♠♥t ♥é ♦♥♥r étr rt♦♥ ré♣♦♥s ♦rs ♥ ♠♦t♦♥ ré ♣s t♠♣s

s réstts rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ér♥ts ♥♦♥♥érs s♦s r♠♥tss♠q q♦♥q ♥s s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♣♦tr ♥stré s♦♥t♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ §3.3.4.2

♥②s s s♦t♦♥s ♥②tqs

s ♣rts §3.3.4.3 t §3.3.4.2 ♣rés♥t♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs à q ♣s t♠♣s ♣♦r s ♦♥t♦♥s étt ♦♥tt ér♥ts s ①♣t♥t ss ♠♥èr♥②tqs ♣ss ♥ s s♦t♦♥s à tr t s ♦♥t♦♥s ♥♠♥tétt ♥ ♦t♥t ♥s ♥ ♥s♠ s♦t♦♥s ①♣r♠és sr s ♦♦r♦♥és é♥érséss ① ss s♦t♦♥ t é♥t♦♥és à ♥ ♣ér♦ ∆T

♥ ♦♥t♦♥ ♣r♦é♠tq trté st ♣♦ss tsr s ♦♦r♦♥és é♥érsés ♣♦r ér é♣♠♥t ♣♦♥t ♦♥tt ♣♦tr é♣♠♥t s♦♠♠t ♣♦tr s ① ♦♥♥és s♦♥t ♣rtèr♠♥t ts

s ♦♥ s♦t tsr s réstts ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t ♣♦♥ts ♥s s ③♦♥sss♠qs

s ♦♥tr♥ts s♥ ♣♦tr ♣r♠ètr ♣t êtr ♣rtèr♠♥t ♠♣♦rt♥t♣♥♥t ♣s ér♥t t ♣♥♥t r tt♥t♦♥ ♥♠♥t ♣r♦ ♦♥tr♥t é ♥♠♥t ♦♥t♦♥ ér♥

r♦tt♦♥ ♥ ①tré♠té ♣♦tr

t♠♣s qs♥st♥t♥é ♠♦è ♥②tq é♥t♦♥♥é ♣r♠t r s éts ♣r♠étrqs ♥ ♣s ♠♥s♦♥♥♠♥t t ♣r♠ttrt ♠ê♠ r s s st♦stqs ♥♦♥♥érs sr ♥ ♥♦♠r ♥♦♥ ♥é rsét♦rs

é♥érst♦♥ à ♥ s②stè♠ ♦♠♣è①

♥s s ♥ strtr ré t ♥♦♥ ♥ ♣♦tr ♠ré ♥ ♦♥tt ♥ s♦ t s♦♠s à ♥ r♠♥t ss♠q q♦♥q st ♣♦ss ①tr♣♦rs réstts ♣rés♥tés ♥s ♣rt (3.3) ♥ t s ②♣♦tèss és ♦♠♣♦rt♠♥t ♣♦tr ♥ ♣♦rt♥t q sr ♠s ♥ éqt♦♥ s②stè♠ ♥ ♦♦r♦♥♥és s♦sstàr ♥♦♥ ♣r♦tés sr s ♠♦s ♣r♦♣rs s②stè♠

♥s♠ s s tés ♥ ♦s q s éqt♦♥s s♦♥t ♣r♦tés sr s ♠♦s♣r♦♣rs strtr ss♥t t ♥stré ♠♠ré ♦ ♥♦♥ s♦♥t tr♥s♣♦ss à♥♠♣♦rt q strtr P♦r t êtr ♥ ♠sr ér ♣♦r s ①♦♥t♦♥s ♦♥tt sr strtr ♥♦♥ ♠ré s réq♥s ♣r♦♣rs s②stè♠ s é♦r♠és ♠♦s s ♠sss é♥érsés ♠♦s s ♠♦rtss♠♥ts ♠♦① strtr ♠♠ré

s éé♠♥ts ♣♥t êtr ♦t♥s s♦t ♣r ♠♦ést♦♥ ♥ strtr ♦♠♣① t ♥♠érq ♣r♠tt♥t ér s éé♠♥ts s♦t ♥ rés♥t ♥ sér ♠srssr strtr sè r♥r ♣♦♥t st très ♠♣♦rt♥t r ♥♦s t♦rs♦♥s ♥s ♥♦tr♠♦è ♠♦t♦♥ é♦♠ètr s ♠s s②stè♠ t ♦♥ ♥t♥stés ♠sss ♦♣ ②r♦②♥♠q s ♠♦ ♠♠ré ♣t ♦♥ é♦r♥ ♦♥t♦♥ tt rt♦♥ é♦♠étr st ♦♥ ss♥t ♦r ♥ s ① srq ♥♦s ♣♦♦♥s sr ♥♦tr ét

s sss résés sr strtr ♠♠ré ♣r♠tt♥t ♠① ér s ♦♥ts r♦tt♠♥t ♥s q s ♠sss ♦♣ mH(z) t m1 ♥s s ♦♥t♦♥s é♦♠étrqs ♣rt♠♥t ♦♥trôés ♣t êtr tsé ♣♦r rr s ♠♦ès ét♦♥s ♠sss ♦♣ strtr ♥s s ♦♥t♦♥s rés

♥s s s ♦ù s ♠♣♥s sss s♦♥t résés sr s ♠qtts st t♦tàt ss♥t étr très tt♥t♠♥t s rès ♥♠♥té ♥ s♥ q st ♠♣♦ss ♠♦ésr ♣rt♥♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♣t strtr sr ♥ ♠qtt st ♥ t ♠♣♦ss ♦♥srr s ♠ê♠s réq♥s ♣r♦♣rs s ♠sss ♦♣ strtr t s ♦♥ts r♦tt♠♥t s ① s rs ♣♥têtr ♠♦ésés ♣rt♥♥ ♠♥èr ♥é♣♥♥t ♥ ♦sss♥t ♥♠♥t s ♦♥t♦♥s rést♦♥ ①♣ér♥ s ♥♠♥ts ét ♠s ♥ ♣ s♣♦sts ①♣ér♠♥t① ♣tés ♣♦rr♦♥t r ♦téts s♣éqs

♦♥s♦♥

♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s ♣tr ♠ét♦ qs♥②tq rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ②♥♠q ♥♦♥♥ér strtr ss♥t ♠♠ré s♦sr♠♥t ss♠q ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥s t ♥ ét ♦r♣qs ♣t♦♥s sr st t ♣rés♥té s ②♣♦tèss s té♦r Ps ♥♦s♦♥s é♦♣♣é ♠ét♦ rés♦t♦♥ sr ①♠♣ ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠rés♦s r♠♥t ss♠q ♥♥ ♥♦s ét♥♦♥s ♦♠♥ té tt ♠ét♦à ♥s♠ s strtrs ♦♥t ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦r ♣t êtr r♣rés♥té ♣r ss♠♦s ♣r♦♣rs ♥strér t rr

♠ét♦ rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ♦♣és ts s té♦rs s ♠sss♦tés sss ♦♣ strtr ♣rés♥tés ♥s ♣tr s s♦♥t♣s étés q s ♠♦ès ssq♠♥t tsés ♥s s rés♦t♦♥s ♣r♦è♠s ②♥♠q ♦♣és ♥ ♣r♥ ♥s ♥ ♦♠♣t ♥♥ t ♦♥ éé♠♥ts ♥♦♥♦♥① ♠tr ♠sss ♦♣ strtr sr é♣♠♥t strtr

♠ét♦ rés♦t♦♥ ♣r♦♣♦sé r♣♦s sr ♥②s q ♣r♦è♠ ♥♦♥♥ér♦♣é ♣t êtr trté ♦♠♠ ♥ ♣r♦è♠ ♥ér ♣r ♠♦r① q ♠♦r ét♥t♥ ♥tr t♠♣s r q ♥tr ♦♥ ♣t tsr s ♠ét♦s rés♦t♦♥sr s ♠♦ ♠♠ré ♥st♥t♥é t rés♦r ♥②tq♠♥t ♣r♦è♠ ♥ ér

♥ ♥ ♣s t♠♣s étt ♦♥tt ♥ ♥ ♣s ♦♥ r s ♠ê♠ss♦t♦♥s ♥②tqs ♣♦r ♣s t♠♣s s♥t ♥♦♥ ♦♥ ♣r♦tt s ♦♦r♦♥♥ésé♥érsés ♣r♠èr s ♠♦ rs ①è♠ s ♠♦ t ♦♥ st♦ é♣♠♥t ♦r♣s r strtr

tt ♠ét♦ st qs♥②tq r ♥ésst t♦t ♠ê♠ ♥ srétst♦♥ ♥ ♥trs t♠♣s ① ♦♥t êtr ss♠♠♥t ♣tts ♣♦r ♣r♠ttr réstt êtr ♣s ♣r♦ ♣♦ss s♦t♦♥ ré st ♦♥ ♥éssr tr s sss sr s s tsts ♥t ♥r s s♠t♦♥s ♥♦♠rss sr ss♥① ss♠qs q♦♥qs

♥ r tt té♦r ♥ sér s♠t♦♥s ♦♥t été résés ♣s ♦♠♣rés① réstts s♠t♦♥s ♥♠érqs ❯♥ ♦s tt t♦♥ té ♦♥ tsr♣♥♠♥t s ♣tés té♦r ♥ ér s é♣♠♥ts sr s ♦♥rt♦♥s strtr s♠♣ t sr ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦s r♠♥t ss♠qq♦♥q ♦ù é♦♠étr s ♠s st tsé r t à ♠sr é♣♠♥t s ♣♣t♦♥s ♠ét♦ qs♥②tq t s réstts s♦♥t ♣rés♥tés♥s ♣tr ❱

♦r♣

❬❪ Pr ②♥♠q s strtrs t s ♦rs ♦ s P♦♥ts Prs

❬❪ ♥♥♦♥ ♦♠♠♥t♦♥ ♥ t ♣rs♥ ♦ ♥♦s Pr♦♥s ♦ t ♥sttt ♦ ♦ ♥♥rs ♦ ♥ ♥r② ♣

❬❪ ♦t ♦♥ rt♦♥ ♥ r ♣♥♦♠♥ Pr♦♥ ♣ t ♦rs♦♣ ♦♥t s ♦ sr ♦r♠t♦♥ ♠♦s t♦ ♣rt tr♦♦② ♦r ♣♣r♦s t♦♠♦♥ ♦ rt♦♥ ♥ r ♣r♥r❱r

❬❪ ♥t♥s ①s s ♦♦♠ rt♦♥ ♠♦♥ ♥ ♥♠r s♠t♦♥s ♦ rt♦♥ ♥ r ♦r rt ♦ ♠ts♣♥ t ♥s ♦♥ rt♦♥ ♥ ♥♦s ❲♥tr ♥♥ ♠t♥ ♦ ❱♦

❬❪ t♠♥ ♦② sr♠♥t ♦ rt♦♥ ♦♥t ♥r r♣r♦t♥s♥ ♦♥t♦♥s r♦♣♥ ♦r♥ ♦ ♥s ♦s ❱♦ ♦

❬❪ s ♦rs ①♣r♠♥t ♥ ♥♠r st② ♦ ♦rs r♥ ♦q♠♣t ♦r♥ ♦ ♦♥ ♥ ❱rt♦♥ ❱♦

❬❪ ❩♦ ♥②s s ♣é♥♦♠è♥s sr ♣r ♦ t r♦tt♠♥t ès ♦t♦rt ♥rsté Prs ❱

❬❪ ❲str♠♦ ❯ Pr♦ rs♣♦♥s ♦ s♥ ♦st♦r s②st♠ t♦ r♠♦♥①tt♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦

❬❪ P♦♥s é♣♦♥s ②♥♠q ♥ strtr r sr ♦♥t♦♥ ss♥t r♦♦q t♦♥ é♥ Prss♠q ♥té♠②srss t ♥r

❬❪ ♦st ③ ♥ s♣♦♥s ♦ s♥ strtrs t♦ r♠♦♥s♣♣♦rt ♠♦t♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦

❬❪ ♦st ♥ s♣♦♥s ♦ s♥ strtrs t♦ rtq s♣♣♦rt♠♦t♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦

❬❪ trtt P♦♥s P ♦ s♠ rs♣♦♥s ♦ s♥ strtrs ♥ q♣♠♥t ♥t ♥s ♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr②♥♠s st t♦♥s Prsss é♠qs

❬❪ ❲ ♦s♥r ♦r ♦ ♥rt ♣♥♠ strtrs r♥ rtqst♥ ♦ t s♠♦♦ ♦t② ♦ ♠r ❱♦

❬❪ ❨♠ ♦♣r P♥③♥ ♦♥ rs♣♦♥s ♦ r ♦s t♦ rtqsrtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦

❬❪ ❨ s②♠ ♥ sss♦♥ ♦♥ ♦rtr♥♥ ♦ ♦s ② rtq ♠♦t♦♥s sr ♣♣r ♦ ♥str② ♦ ♦♥strt♦♥

❬❪ ❨ s②♠ ♦t♦♥s ♦ r ♦s ♥ rtr ♦r ♦rtr♥♥ ② rtq①tt♦♥s rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦

❬❪ t♥♦ Ps②rs ♦r♦♣♦♦s ②♥♠ rs♣♦♥s ♦ r♥♦r ♠s♦♥r②♦♠♥s ♥ ss ♠♦♥♠♥ts ♦♥strt♦♥ ♥ ♥ trs

❬❪ t♥♦ ❱r♦s r♥s ②♥♠ ♠♦t♦♥ ♦ ♦♥ rst♠♦r r♦ ♦r③♦♥t ♣♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦♥♥r ♥s ❱♦

❬❪ rs ♦♥st♥t♥s r♦♥ s♣tr♠ ♥ t ♠tt♦♥s ♦ ♣rts♥ ♠t♦♦♦s rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦

❬❪ P♥ Prt♦ P ♦r♥♦ ♥ t ②♥♠s ♦ r♦♥ ♠♦t♦♥ ♦ s♥r♦ strtrs rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s

❬❪ Prt♦ P ♦r♥♦ ♥ t r♦♥ ♦r ♦ r ♦ts ♥

❬❪ Prt♦ P ♦r♥♦ r ♠♣s rt ♦rs ♥ t r♦♥♠♦t♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦

❬❪ Ps②rs ②♥♠ ♦r ♦ r♦♥ t♦♦ P ss ❯♥rst② ♦♠r

❬❪ ♦r t ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠q ♥ rtr st♦ ss♠s ♦♠sts sés ♥ ♣s♥ ès ♦t♦rt

❬❪ sr rss s♥ ♥ ♥②ss ♦ rst♥♥ s♣♥t rs ♥ ♥r♣♦r ♥ ♦r t ♦s ♥s

❬❪ ♠♣♦♠r ♠♦♥t② P ♦♦♦ ♦s s♠ s♥ ♦ s♣♥t st♦r r t ♦s ♥s

❬❪ t ♥ ♠ t♦♥ ♦ ss♠ ♦s ♦♥ st♦r rs ♥r♦♥srt♦♥ ♦ strtr ♥trt♦♥ t

❬❪ ♦t ♥ ♠♥tr② trts ♦♥ t ②♥♠s ♦ s②st♠ ♦ r ♦s♥

❬❪ ♦t ♥ ♣rt ♦ trts ♦♥ t ②♥♠s ♦ s s②st♠ ♦ r ♦s♥

❬❪ ❲str ②♥♠s ♦ ♣rts ♥ ♦ r st ♥ ♦s ♥ ♣③

❬❪ P ♣♣ rté ♠é♥q rt♦♥♥ tr❱rs Prs

❬❪ ❲ ♥ ②♥♠s ♦ r ♦s ♦r Pt♦♥s ❨♦r

❬❪ P ♣♣ r ♥tért♦♥ s éqt♦♥s ♠♦♠♥t ♥ ♦r♣s ♣s♥t ré♦t♦♥ r♦♥t ♣r ♥ rrêt rr sr ♥ ♣♥ ♦r③♦♥t s ♣rtr r ♥ r t Pr♠♦

❬❪ ♦rt ①trt ♥ ttr à ♣♣ ♥ r t Pr♠♦

❬❪ ♦♣ ♥ t rs ♦ s♣♥♥♥ t♦♣ r♥s ♠r P ♦ ❱♦

♣tr

éstts ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♣é

strtrs ♠♠rés ss♥ts

♥tr♦t♦♥

♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s ♣tr s té♦rs ♠sss ♦♣strtr t ♥s ♣tr s ♠ét♦s rés♦t♦♥ qs♥②tqs séqt♦♥s ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♦♣ strtr ♥s ♣tr♥♦s ♣rés♥tr♦♥s ♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♣tr à s s s♠♣s ♣s sréstts ♠ét♦ rés♦t♦♥ s ♣r♦è♠s ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♦♣éssr s ①♠♣s ♣♣t♦♥s

s s s♠♣s étés ♥s ♣r♠èr ♣rt ♦rrs♣♦♥♥t ① éts éà ♣rés♥ts♥s ttértr ♥ trtr ♥s s s ♠sss ss♥ts ♠♠rés ♠♦és♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦r♣s r strtr ♣s ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♦és♥t ré♣♦♥s strtr sr s♦♥ ♣r♠r ♠♦ ♣r♦♣r ♥s q rt♦♥ ♣♥

♥s ♣rt réstt ♦♥ ♦♥sèrr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s ♦♥rt♦♥s ♠♦éss s ♦s éé♠♥ts ♥s ♥♦s ♣r♠ttr r s ♠♦èsqs♥②tqs ♥ s ♦♠♣r♥t ① s♦t♦♥s ♥♠érqs ♥ trtr ♦r s♦♥rt♦♥s s♥s ♦♣ strtr ♣s s ♦♥rt♦♥s ♦♣ strtr ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥♥ s ♠♦ès ♠trs ♦♣ strtr ♣♥ t ♣rs ♥ ♦♠♣t s é♦t♦♥s é♦♠étr s ♠s ♥ tsr s é♦♠étrs trtés ♥s ♣tr sr sqs s ♠♦ès♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♦♥♥♥t ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ s réstts♥♠érqs

♥s ♥ ①è♠ t♠♣s ♥♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts s ér♥ts ♠♦ès tsés♥ étr ♠♣t ♣rés♦♥ ♠♦ést♦♥ sr é♣♠♥t ♥s♠ strtr ♥ étr ♥s s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr s ♠♦ès ♣s ♦ ♠♦♥s r♥és strtr ss ♣♦♥t ②stè♠ ♠sssrss♦rt P♦tr ss♥t

♠ê♠ ♥♦s ♥♦s ♥térssr♦♥s à ♠♣t ♠♦ést♦♥ strtr ♥tr ♦è s♥s ♦♣ strtr ♦è ♠trs ♠sss ♦tés ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠étrs ♠s

♦è ♠trs ♠sss ♦tés ♦♠♣èts tst♦♥ é♦♠étr s♠s

♣♣t♦♥ à s s s♠♣s

♠ét♦ ♣rés♥té ♥s ♣tr st ♣♣ à ♥♠♣♦rt q strtr♦♥t s ♠♦s ♣r♦♣rs ss t é♦♠étr s ♠s ♣♣qé ♣tr trt♥t ♦♣ strtr s♦♥t ♦♥♥s ♣t ♥é♥♠♦♥s ♥r rt♠♥tsts à ♠♣é♠♥tr ♣r♥♣♠♥t ♣r q ♥①st ♣s ♦ à r t ♣r♠tt♥t ♦t♥r s réstts ♥sts sr s ♣r♦è♠s ♥♦♥♥érs ②♥♠qs ♦♣ strtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t s rt♦♥s é♦♠étrs ♠s t s♦s r♠♥ts ss♠qs q♦♥qs ♥s s t♠♣s rs♦♥♥ss qqs ♦s ts♥t s ♠ét♦s ♥és ♣r♠tt♥t s♠r té s é♦t♦♥s s é♦♠étrs s ♠s ♠s ♦♥r♥ ts♣r♦r♠♠s ♦♣és ♥ ♦ ②♥♠q ♥♦♥♥ér ♥st ♣s t♦♦rs éré

tst♦♥ ♥ é♦♠étr t ♠♦ést♦♥s strtrs s♠♣s st ♦♥ ♥éssr ♣♦r ♣♦♦r ♦♠♣rr s réstts ♦t♥s ♥s r tt tès sréstts és s♥ ♦♠♠♥té s♥tq ♥s ♥♦s ♣♣qr♦♥s s ♠ét♦s rés♦t♦♥ é♦♣♣és ♥s s ♣trs ♣réé♥ts sr s ♠♦és s♠♣és ♠ss ♣♦♥t ♠♠ré ss♥t t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♠ré ss♥t

ss ♣♦♥t ♠♠ré ss♥t

♥ ♣s ♣ré♠♥s♦♥♥♠♥t s strtrs ss♥ts s♦♠ss à ♥ r♠♥tss♠q q♦♥q ♦♥ ♦♥sèr s♦♥t ré♣♦♥s ♥ ♠ss ♣♦♥t ss♥ttt ②♣♦tès r♥t à ♥ér ré♣♦♥s strtr sr ss ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♦s ♦♠♣rr♦♥s ♣r st ér♥ts ♠♦ès ♣ré♠♥s♦♥♥♠♥t ts♥ts s♦t♦♥s ♣s♦♥②tqs ♥ ♦r ♥♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés strtr

②♣♦tès ♠ss ♣♦♥t ss♥t été trté ♥s ttértr ♥s sréér♥s ❬❪ t ❬❪

sr♣t♦♥ ♠♦è

♥ ♠♦és s②stè♠ ♣r ♥ ♠ss ♣♦♥tM ♥♦♥t ♥térté ♠ss strtr ♥ ♦♥sèr ♥ r♦tt♠♥t ♦♦♠ ♥ ♦♥t sttq µSt ♥ ♦♥t ②♥♠q µD ♠ss st s♦♠s à ♥ ♦♣ strtr ♦♣ st ♠♦ésé à ♠sss ♦tés MH(t) t M1(t) s ♠sss ♦tés♦rrs♣♦♥♥t ① ♠sss ♦♣ s♣♣q♥t sr ♥s♠ strtr ré

♦♥♥r ♣♣♦rtr ♥ tt♥t♦♥ t♦t ♣rtèr à é♥t♦♥ q st♦♥séré ♦♠♠ s♥t ♣rt strtr ♥ t tt é♥t♦♥ ♠♣tr ♠ss strtr ♠s ss s ♠sss ♦♣ st s♦♥t ♣s s♠♣ ♦♥sérr ♥ ♦♠ é♦♠étrq s♠♣ ②♥r s♣èr sq ♣s r♥q strtr ré ♥ ♦t♥r ♠♥t s ♠sss ♦♣ strtr

♥ r♠rqr ss q s ♠trs ♦♣s s♦♥t s ♠trs ♠sss t ♥♦♥ ♠sss ♥éqs ♦♠♠ ♥s s ♣rts ♣réé♥ts ♥ ts ♦♥ ♥♦tt♦♥ M m

♠♦è st r♣rés♥té sr r 4.1

r é♠ ♠♦è ♠ss ♣♦♥t

s ♥ éqt♦♥ ssq

s ②♣♦tèss ♠♦è ♦♥ ♦t rés♦r s②stè♠ s♥t

(M +MH

xx(t))Ux(t) +MH

xy(t)Uy(t) + MHxx(t)Ux(t) + MH

xy(t)Uy(t) = Rx(t) + (M1xx −M) γx(t),

(M +MH

yy(t))Uy(t) +MH

xy(t)Ux(t) + MHyy(t)Uy(t) + MH

xy(t)Ux(t) = Ry(t) +(M1

yy −M)γy(t),

Rz(t) = (M −M1zz) (γz(t) + g) .

♥s ét ♥ ♠ss ss♥t ♦♥t♦♥ ♥♦♥ss♠♥t s①♣r♠ sé♠♥t

√[(M −M1

xx) γx(t)]2 +

[(M −M1

yy

)γy(t)

]2< µS

(M −M1

zz

)(γz(t) + g)

♦rsq strtr st é♦r♠ ♥ ♣rt ♦rt é♥♥t ss♠♥tst ♥s ♥s é♦r♠é strtr ♠ss ♣♦♥t ♥ ♣s tt ♣té st♦ é♥r ét ss♠♥t st ♦♥ t♦t♠♥t étr♠♥é ♣r sr♠♥ts ss♠qs ①térrs ré♣♦♥s s②stè♠ ♥ ♥ ♥♥

s ♠♦ ♥t

♥ tsr ♠ét♦ ♣rés♥té ♥s ♣tr t ♦♥sérr ① ① ♠♦s ♣r♦♣rs ♦ ♣r♦♣r ♠ss ss♥t

♦rsq ♠ss ss t ♦♥sérr s ① ♠♦s ♣r♦♣rs ♦r♣s r

φ1= ex, φ

2= ey.

♦ ♣r♦♣r ♠ss ér♥t

♦rsq ♠ss st ér♥t ♥② ♣s é♣♠♥t ♣♦ss s ♠♦s ♣r♦♣rs♥ s♦♥t ♣s é♥s Pr ♦♥tr s s♦t♦♥s é♣♠♥t s♦♥t ♦♥♥s à q ♣s t♠♣s P♦r keme tért♦♥ t♥t q ♦♥t♦♥ ♥♦♥ss♠♥t st éré

U(tk+1) = U(tk), U(tk+1) = 0.

qt♦♥s sr s ♠♦ ♠♠ré

♦s ♦s♦♥s ♥♦tr ♥②s sr ♣s ss♠♥t ♠ss ♣♦♥t ♣s ér♥t ét♥t éà rés♦

♥ ts ♥st ♠ét♦ étr♠♥t♦♥ s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♥ s

r♠è♥ à ♥ s②stè♠ s♠♣é sr ♥ ♥♦ s ♠♦ ♠♠ré(φ1, φ2

) ♦s s

②♣♦tèss ♠♦rtss♠♥t ♠♦ é♦♣♣és ♥s s ♣rts ♣réé♥ts ♦♥ tr♦s éqt♦♥s éqr s♥ts

m1(t) ¨q1(t) + c1(t) ˙q1(t) = R1(t) + F1(t)− ˜F IFS1 (t),

m2(t) ¨q2(t) + c2(t) ˙q2(t) = R2(t) + F2(t)− ˜F IFS2 (t),

q ♦rt ♠♦ s ♥ ♣♣q♥t s ♦r♠s sr s ♠♦ ♠♠ré♥ ♣t r♠rqr q ♦rsq ♥② ♣s tr♠s ♥♦♥ ♦♥① ♥s ♠tr ♦♣ strtr s ♠♦s ♣r♦♣rs rst♥t ♥♥és s s ♠sss ♠♦s♥♥t ♥ s rtr♦ ♥s tt ♦♥rt♦♥ ♣♦r ♥♠♣♦rt q strtr ♠♠ré ②♥t ♠♦♥s ♥ ♣♥ s②♠étr tt ♦♥rt♦♥ s rtr♦ ssq♠♥t♦rsq♦♥ ♥ t ♣s tst♦♥ é♦♠étr s ♠s

♦rsq tt tst♦♥ st ♦♥séré ♦♥ s rtr♦ ♦rè♠♥t ♥s ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♠tr ♦♣ strtr ♥st ♣s ♦♥ s ♠sss ♠♦sm1 t m2 r♥t ♥ ♦♥t♦♥ t♠♣s ♣♥♥t ♥♦s ♥ ♦♥sér♦♥s ♣s r é♦t♦♥ t♠♣♦r ♥s rés♦t♦♥ éqt♦♥ ér♥t ♦s s♣♣♦s♦♥s q sr♥ ♣s t♠♣s ♦♥♥é s ♠sss ♠♦s ♠♠rés s ♠♦rtss♠♥ts ♠♦① t sr♠♥ts ①térrs ♠♦① s♦♥t ♦♥st♥ts

és♦t♦♥ sr ♥ ♣s t♠♣s

♥ s ♣ keme ♣s t♠♣s ♥ s♣♣♦s ♥s♠ s r♠♥ts ①térrss ♠sss ♠♦s t s ♠♦rtss♠♥ts ♠♦① ♦♥st♥ts t é① à rs rsrs♣ts à ♥st♥t tk = k∆t ♥ tsr s ♥♦tt♦♥s s♥ts mk

i s ♠sss ♠♦s ♠♠rés à ♥st♥t tk cki s ♠♦rtss♠♥ts ♠♦① à ♥st♥t tk

F ki = R1(tk) + F1(tk)− ˜F IFS

1 (tk) s♦♠♠ s r♠♥ts ♠♦① à ♥st♥t tk qki (t) s ♦♦r♦♥♥és é♥érsés sr s ♠♦ ♠♠ré é♥ sr ♥tr

t♠♣s [0,∆t[

P♦r ♠♦ i ♦♥ s r♠è♥ à éqt♦♥ ér♥t é♥ sr ♥tr t♠♣s[0,∆t[

mki q

ki (t) + cki q

ki (t) = F k

i

♥ étr♠♥ ♠♥t réstt tt éqt♦♥ s ♦♥t♦♥s ♥ts qki (0)

t qki (0)

qki (t) = Ae− cki

mki

t+F ki

ckit+B

A =mk

iFki(

cki)2 −

˙mki q

ki (0)

cki,

B = qki (0)−mk

iFki(

cki)2 +

˙mki q

ki (0)

cki,

♥ ♣t ♥s ér ♣♦st♦♥ t tss ♠ss à ♥ ♣s t♠♣s

U(tk+1) = qk1(∆t)φ1 + qk2(∆t)φ2,

U(tk+1) = qk1(∆t)φ1 + qk2(∆t)φ2,

♥ ♣t ♥s st♦r r ss♠♥t à ♥ ♣s t♠♣s t ss tstrs ♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t st éré t♥t ♦♥♥é q ♥♦s s♦♥s ♥ rt♥♥♦♠r ♣♣r♦①♠t♦♥s s ♦♥t♦♥s r♠♥t sr ♥ ♣s t♠♣s ♦♥ ♥ ♣t♣s éttr ♥ ♥st♥t ♦ù tss ♠ss st ♣rt♠♥t ♥ q s♥rt♥ rrêt ss♠♥t ♥s ♥♦s s♣♣♦sr♦♥s q ② rrêt ss♠♥t s tss ♥ s♥ ♥s s ① rt♦♥s ♣♥ (ex, ey) s ér ♦♥t♦♥ rrêt

(Ux(tk).Ux(tk+1) < 0

)&(Uy(tk).Uy(tk+1) < 0

)

♥ ts♥t tt ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♦♥ tr♦ s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♣r♦è♠ ♥ ♠ss ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q tst♦♥ é♦♠étr s ♠s s réstts tt ♠ét♦ sr♦♥t ♣rés♥tés♥s ♣rt §4.6.1

②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♠ré ss♥t

♣♣t♦♥ té♦r à ♥ ♠ss ♣♦♥t st ♥ ♣r♠èr ♣♣r♦ s♠♣é♠s ♣rés♥t ♣r♦è♠ ♣r♥♣ ♥ ♣s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ré♣♦♥s ♥tr♥ strtr ♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ②♥♠q ♥s♠ ♥♦t♠♠♥t ♥s s♦♥ ♥♥sr ss♠♥t ♦♥♥ ♥é♥♠♦♥s ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ rt♠♥t ♦♥♥ s strtr st trés r ♣r♠èr réq♥ ①♦♥ ♠♠ré strtrs st t♦r s réq♥s rtérstqs s sés♠s ♥ss♦s ③ ♥♠♦è ♣s été ♦t êtr tsé ♠♦é ♦t ♥r ré♣♦♥s s ♣r♠rs ♠♦s♣r♦♣rs strtr ♥ r♥t à s♣rt s♦t s♠♣r ♠♦è ♦♠♣tt♦t ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ré♣♦♥s rt♦r strtr ♥♦s ♥♦s ♥térssr♦♥sà ♣♣t♦♥ té♦r à ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♠♠ré ss♥t

♠rq ♥ ts é♥♦♠♥t♦♥ ♠sssrss♦rt ét♥t ♦♥♥é q ♣r♦t♦♥ strtr sr ♥ ① ♦♥♥é s ♠♦és ♣r ① ♠sss rés ♣r ♥ rss♦rt

sr♣t♦♥ ♠♦è

♠♦è ♠sssrss♦rt st ♦♠♣♦sé ♥ ♠ss ♦s♥t Mb ♦rrs♣♦♥♥t à ♠ss t ♣r♠r ♠♦ ①♦♥ ♥ ♠ss ss♥tMa rr♦♣♥t rst ♠ss strtr t ♥ rss♦rt s rrs ér♥ts s♥t rt♦♥ kx ♣♦r rt♦♥ ❳ t ky s♥t ① ❨ s rrs s♦♥t ♦ss ♣♦r ♦r s ♠ê♠sréq♥s ♣r♦♣rs ①♦♥ q strtr ré ♥s

kx = 2πMbf2x , ky = 2πMbf

2y

♦♣ strtr st ré♣rt ♥tr s ♠sss Ma t Mb ♥ ♦♥t♦♥ é♦r♠é strtr t ②♣♦tès rt♥ ♣♦r s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♦ss♣♣♦sr♦♥s q ♥② ♣s ♥trt♦♥ ♥tr s ① ♠sss ♦♣ strtr tt ②♣♦tès st éré ♣♦r ♥ té♦r é♦♠♥t ♣r tr♥ t②♣rt③ ♠s ♥st ♣s éré ♥s s é♥ér

é♦r♠é strtr ♥ét♥t ♣s ♠ê♠ ♦rsq s②stè♠ ss ♦ ér ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥tr Ma t Mb ♣t é♦r ♥ ♦♥t♦♥ étt s②stè♠ r 4.3 r♣rés♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss éq♥t ♣♦r ♥ ♣♦tr ♥strér t rr tt rt♦♥ ré♣rtt♦♥ s ♠sss st ss ♣♦r ré♣rtt♦♥ ♦♣ strtr ♥♥ tt rt♦♥ ré♣rtt♦♥ ♠ss t ♦♣ sr été ♥s tt ♣rt ♥s ♥ s♦ s♠♣t♦♥ s♥♦tt♦♥s ♥♦s rr♦♥s s ♠ê♠s ♥♦tt♦♥s ♣♦r s ♠sss t ♦♣ ♥s s♣ss ss♠♥t t ér♥ ♠♣♦rtr tr r s ♥♠♥ts ♠ss ♦rs ♥♠♥t ♦♥t♦♥ ♦♥tt

s②stè♠ st r♣rés♥té ♥s r 4.2

♦s ♦♥sérr♦♥s ♥ ♠♦rtss♠♥t c q s trt ♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t ♠♦ ξt ♠♦rtss♠♥t st s♦♥t ♦♥♥é ♣r s ré♠♥tt♦♥s ♥ r s é♦♠♣♦s♥tr ♥ ♠♦rtss♠♥t é à strtr t②♣s ss♠s ♠tér① t t②♣s

r é♠ ♠♦é sssss♦rt

s♦tt♦♥ t ♥ ♠♦rtss♠♥t é à éré t♠♣♦r s ♠sss ♦♣strtr

s ②♣♦tèss ♣♦rt♥t sr ss♠♥t t sr sés♠ rt s♦♥t s♠rs à s♣rés♥tés ♥s ♠♦è ♠ss ss♥t 4.2.1.1

r é♠ ♠♦è sssss♦rt

s ♥ éqt♦♥ ♣r♦è♠

s éqt♦♥s ♠♦♠♥t s♦t♥♥♥t rt♠♥t st ♥térss♥t s ①♣r♠r ① ♠♥èrs ér♥ts s♦t ♥ tr♠ é♣♠♥ts s♦s q♥ 4.14♥s ♣s ér♥t strtr ♥ ts♥t é♣♠♥t rt ♠ss ♣r r♣♣♦rt à ♠ss Xr s♦t ♥ tr♠ é♣♠♥t ♥tr rté t é♣♠♥ts rts ♥s ♣s ss♠♥t q♥ 4.15 ♥ ts♥t Xg t Xr

Xr(t) + 2ξωxXr(t) + ω2xXr(t) = −Mb −M1xb

Mb +MHxb

γx(t)

Yr(t) + 2ξωyYr(t) + ω2yYr(t) = −Mb −M1yb

Mb +MHyb

γy(t)

Rx(t) = (Ma −M1xa) γx(t)− kxXr(t)− cXr(t),

Ry(t) = (Ma −M1ya) γy(t)− kyYr(t)− cYr(t),

Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)

(M +MHx) Xg(t) = − (M −M1x) γx(t) +Rx(t)

(M +MHy) Yg(t) = − (M −M1y) γy(t) +Ry(t)

Xr(t) + 2ξωrxXr(t) + ω2rxXr(t) = −

(Ma −M1xa

Ma +MHxa

− Mb −M1xb

Mb +MHxb

)γx(t) +

Rx(t)

Ma +MHxa

Yr(t) + 2ξωryYr(t) + ω2ryYr(t) = −

(Ma −M1ya

Ma +MHya

− Mb −M1yb

Mb +MHyb

)γy(t) +

Ry(t)

Ma +MHya

Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)

M =Ma +Mb MH. =MH.a +MH.b t M1. =M1.a +M1.b s rs éq♥ts ♣♦r

♥ s♦ ♥é♦r♠ ♠ss ss♥t

ωx =√

kxMb+MHxb

t ωy =√

kyMb+MHyb

s ♣r♠èrs réq♥s ♣r♦♣rs strtr

♠♠rés à s ♥stré

ωrx =√

kxMa+MHxa

+ kxMb+MHxb

t ωry =√

kyMa+MHya

+ kyMb+MHyb

s ♣r♠èrs réq♥s

♣r♦♣rs strtr ♠♠ré ♥♥t s ♠sss ♦♣ strtr

Xg = (Ma+MHxa)Xa+(Mb+MHxb)Xb

M+MHxt Yg =

(Ma+MHya)Ya+(Mb+MHyb)Yb

M+MHys é♣♠♥ts

♥tr rté strtr ♠♠ré ♥♥t s ♠sss ♦♣ strtr

Xr = Xa −Xb t Yr = Ya − Yb s é♣♠♥ts rts s ♠sss Ma t Mb

s éqt♦♥s ♦rrs♣♦♥♥t ♦① ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s s ér♥t

φ1 =

(10

), φ2 =

(01

),

♥s s ♦ù ♥ ss♠♥t été ♥té

φ1 =

(Ma+MH.a

M+MH.Mb+MH.b

M+MH.

), φ2 =

(1−1

),

P♦r ♥ ♦♥t♦♥ ss♠♥t ♦♥♥é ①st ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦r ♥ srt♦♥s ♣♥ ex t ey s trs ♣r♦♣♦sés s♦♥t ①♣r♠és ♥s s ♦♦r♦♥♥és (

Ua

Ub

)

és♦t♦♥ sr ♥ ♣s t♠♣s ♦♥t♦♥ ♥t ér♥t

♦s r♦♥s ♠♥t♥♥t à rés♦r s éqt♦♥s s②stè♠ P♦r ♥♦s ♥♦s♣ç♦♥s keme ♣s t♠♣s ♦rrs♣♦♥ à ♥tr t♠♣s t ∈ [tk, tk+1[ ♥♦♥sér qà ♥st♥t tk ♦♥t♦♥ ♦♥tt st ér♥t ♠ss Ma rstr♠♠♦ ♣♥♥t ré ♣s t♠♣s ♦♥ ♦♥

Xa(t) = Xa(tk), Ya(t) = Ya(tk).

♥ ♦♥sèr q ♥s♠ s ♦♥t♦♥s é♣♥♥ts t♠♣s ♠s à ♣rt s é♣♠♥ts rts t s ♦rts rét♦♥s ♦r③♦♥t① s♦♥t ♦♥st♥ts t é① à rsrs à t = tk ♦s r♦♥s ♦♥ à rés♦r é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♦♥t♦♥sXr(t), Yr(t), Rx(t), Ry(t) ♦rrs♣♦♥ à rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ♥ ♦strr♠♦♥q ♠♦rt s♦s r♠♥t ♦♥st♥t ♥ ♣♦s ♣♦r t = t − tk ♥ rà étr♠♥r s ♦♥t♦♥s ♦♥sérés sr ♥tr [tk, tk+1[

Xr(t) = −Mb −M1xb

kxγx(tk)

[1− cos(ωDxt)

]+

[Xr(tk) + ξωxXr(tk)

ωDx

sin(ωDxt) +Xr(tk)cos(ωDxt)

]

Yr(t) = −Mb −M1yb

kyγy(tk)

[1− cos(ωDy t)

]+

[Yr(tk) + ξωyYr(tk)

ωDy

sin(ωDy t) + Yr(tk)cos(ωDy t)

],

Rx(t) = (Ma −M1xa) γx(tk)− kxXr(t)− cXr(t),

Ry(t) = (Ma −M1ya) γy(tk)− kyYr(t)− cYr(t).

ωD. = ω.

√1− ξ2 réq♥ rét ss♦é à ω

s rs s ♦rts rét♦♥ ♦r③♦♥t① s és♥t s ①♣rss♦♥s Xr(t) tYr(t) ♥ ♦t♥t ♥s s rs s ♦♥t♦♥s à ♥st♥t t = tk+1 ♥ tst ♦rs s ♦♥t♦♥ ér♥ st t♦♦rs éré ♦ ♥♦♥ s①♣r♠ ♣r

R2x(tk+1) +R2

y(tk+1) < µ2S (Ma +Mb −M1z)

2 (γz(tk+1) + g)2

♦♥t♦♥ ér♥ st éré

♥ ♣ss ♣s t♠♣s s♥t ♥ r♥t ♠ê♠ s♦t♦♥ ♥②tq

♦♥t♦♥ ér♥ ♥st ♣s éré

♥ ♣ss ♣s t♠♣s s♥t ♥ ts♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ §4.2.2.4 s ♦♥t♦♥s ♥ts s♦♥t ♦t♥s ♥ ♦♥sér♥t

Xr(tk+1),

Yr(tk+1),

Xg(tk+1) = Xa(tk+1) +Mb +MHxb

M +MHx

Xr(tk+1),

Yg(tk+1) = Ya(tk+1) +Mb +MHyb

M +MHy

Yr(tk+1).

és♦t♦♥ sr ♥ ♣s t♠♣s ♦♥t♦♥ ♥t ss♠♥t

♥ s ♣ keme ♣s t♠♣s ♦rrs♣♦♥ à ♥tr t♠♣s t ∈ [tk, tk+1[♥ ♦♥sér qà ♥st♥t tk strtr st ♥ tr♥ ssr P♦r s♠♣r s

♥♦tt♦♥s ♦♥ ♣♦s

F kgx = −M −M1x

M +MHx

γ(tk) +Rx(tk),

F kgy = −M −M1y

M +MHy

γ(tk) +Ry(tk),

F krx = −

(Ma −M1xa

Ma +MHxa

− Mb −M1xb

Mb +MHxb

)γx(tk) +

Rx(tk)

Ma +MHxa

,

F kry = −

(Ma −M1ya

Ma +MHya

− Mb −M1yb

Mb +MHyb

)γy(tk) +

Ry(tk)

Ma +MHya

.

♥ ♦♥sèr q ♥s♠ s ♦♥t♦♥s é♣♥♥ts t♠♣s ♠s à ♣rt s é♣♠♥ts ♥tr rté t s é♣♠♥ts rts s♦♥t ♦♥st♥ts t é① à rsrs à t = tk ♦s r♦♥s ♦♥ à rés♦r é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♦♥t♦♥sXg(t), Yg(t), Xr(t), Yr(t) ♦rrs♣♦♥ à rés♦t♦♥ s éqt♦♥s ① ♦strs r♠♦♥qs ♠♦rts s♦s r♠♥t ♦♥st♥t ♥ ♣♦s ♣♦r t = t − tk ♥r à étr♠♥r s ♦♥t♦♥s ♦♥sérés sr ♥tr [tk, tk+1[

Xg(t) = Xg(tk) + Xg(tk)t+ F kgx

t2

2,

Yg(t) = Yg(tk) + Yg(tk)t+ F kgy

t2

2,

Xr(t) = F krx

[1− cos(ωDxt)

]+

[Xr(tk) + ξωxXr(tk)

ωDx

sin(ωDxt) +Xr(tk)cos(ωDxt)

],

Yr(t) = F kry

[1− cos(ωDy t)

]+

[Yr(tk) + ξωyYr(tk)

ωDy

sin(ωDy t) + Yr(tk)cos(ωDy t)

].

ωD. = ω.

√1− ξ2 réq♥ rét ss♦é à ω. s rs s tsss

Xg(t), Yg(t), Xr(t) t Yr(t) s és♥t s ①♣rss♦♥s Xg(t), Yg(t), Xr(t) t Yr(t)♥ ♦t♥t ♥s s rs s ♦♥t♦♥s à ♥st♥t t = tk+1 ♥ tst ♦rs s ♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t st éré ♦ ♥♦♥ s①♣r♠ ♣r

(Xa(tk)Xa(tk+1) ≤ 0

)&(Ya(tk)Ya(tk+1) ≤ 0

)

ù

Xa(t) = Xg(t)−Mb +MHxb

M +MHx

Xr(t),

Ya(t) = Yg(t)−Mb +MHyb

M +MHy

Yr(t).

♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t st éré

♥ ♣ss ♣s t♠♣s s♥t ♥ ts♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♣rés♥tés ♥s ♣rr♣ §4.2.2.3 s ♦♥t♦♥s ♥ts s♦♥t ♦t♥s ♥ ♦♥sér♥t

Xa(tk+1) = Xg(tk+1)−Mb +MHxb

M +MHx

Xr(tk+1),

Ya(tk+1) = Yg(tk+1)−Mb +MHyb

M +MHy

Yr(tk+1),

Xr(tk+1),

Yr(tk+1).

♦♥t♦♥ rrêt ss♠♥t ♥st ♣s éré

♥ ♣ss ♣s t♠♣s s♥t ♥ r♥t ♠ê♠ s♦t♦♥ ♥②tq s♦rts r♦tt♠♥t ♣♦r ♣s t♠♣s s♥t s♦♥t ♦t♥s ♣r

Rx(tk+1) = −µD

Xa(tk+1)√X2

a(tk+1) + Y 2a (tk+1)

(Ma +Mb −M1z) (γz(tk+1) + g) ,

Ry(tk+1) = −µD

Ya(tk+1)√X2

a(tk+1) + Y 2a (tk+1)

(Ma +Mb −M1z) (γz(tk+1) + g) .

♥ ts♥t tt ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♦♥ tr♦ s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♣r♦è♠ ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rt ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ q♦♥q tst♦♥ é♦♠étr s ♠s s réstts tt ♠ét♦ sr♦♥t♣rés♥tés ♥s ♣rt §4.6.2

Pr♦♣♦s ♠♣♦rt♥ts ♥ ♥tr♦t♦♥ s réstts

♥ ♦r ♥ ♥tr♣rétt♦♥ éré s réstts st ♠♣♦rt♥t r♠rqrq s éqt♦♥s q ♥♦s rés♦♦♥s ♦rrs♣♦♥♥t à ét ♥ s②stè♠ ♦tq❯♥ ♠♦t♦♥ rt♥s ♣r♠ètrs ♣t ♥trî♥r s ♠♦t♦♥s très ♦rts ré♣♦♥s ♦s tr♦♥s à ttr ①♠♣s ♦♥t r♦tt♠♥t ♠♣t s s♥① ss♠qs rt♦♥♥s

♠♣t s s♥① ss♠qs rt♦♥♥s ♣t êtr ♠♥t ♠♦é s ♦♥é ♠ ♣♦ssé r♠è é♥érsé st s♦♥t s q♥ ♦♥ ♦♥sèr♥ ♦♠ é♦♠étrq ♣♦r ♦♣ strtr q ♥ r♣rés♥t ♣s♥q♠♥t strtr ♠s ss s♦♥ ♦♥t♥

♦♥t r♦tt♠♥t ♥ ♣t ♣s êtr ♠♦é ♣r ♥rt♥ ♣♥♥t st ♠♣♦rt♥t r♠rqr q rt♦♥ ♣t ♥r ♦♥♠♥t♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t strtr ♥t ♠♣♦rt♥t ♥s ♥ ♦q ♠♥s♦♥♥♠♥t st♦stq strtr ♦ù ♦♥t ss♠♥t ♣t êtr és♥é ♦♠♠♥ r ét♦r

r 4.4 ♣rés♥t tr♦s ♦♥rt♦♥s ♣♦tr ss♥t ♦ù t♦s s trs ♣r♠ètrs s♦♥t ♥tqs ♦r r♣rés♥t ♦♥rt♦♥ réér♥ ♦r r♦ r♣rés♥t ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù s s♦tt♦♥s ss♠qs t rté

♦♥t été ♠♦és ♠♥èr à ♦rrs♣♦♥r à ♥ srst♠t♦♥ ♠ss ss♦éà ♣♦ssé r♠è é♥érsé ♥ tr

♦r rt r♣rés♥t ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♦♥t ss♠♥t st ♠♦é ♣ss♥t à

r t ♠♣t s ♣r♠ètrs sr ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠♥t ♥s♠♥ ♣♦tr ss♥t s♥s ♦♣ strtr ♥ r♦ ♦♥rt♦♥ réér♥ ♥ r♠♥ts ss♠qs ♠♦és ♥ rt ♦♥t r♦tt♠♥t ♠♦é

s tr♦s ♦rs ♦t♥s ♥ s♦♥t ♣s ♣r♦♣♦rt♦♥♥s ♥tr s ❯♥ ét été♣r♠t ♦r q ♠ê♠ s trt♦r st s♠ st♥ ♥tr ♦rs à ♥♥st♥t ♦♥♥é r ♦rt♠♥t ♦rs s♥ ♠♥èr qs♠♥t ét♦r st♦♥ érr ♥♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♠s à ♣rt t q♥ ♠♥tt♦♥s♥s ♦♥t ss♠♥t ♥ ♦rt ♥♥ sr ♠♣t s ss♠♥ts q ♦♥ st éà t q♥ srst♠t♦♥ ♠ss ss♦é à P♦ssé r♠è é♥érsé t♥♥ à ♠♥tr ♠♣t s ss♠♥ts q ♣t srtr♦r ♥s s éqt♦♥s ②♥♠q Pr ♦♥tr st très r s à♥ ♥st♥t ♦♥♥é ♦♥ sr ♣s ♦♥ ♣♦♥t é♣rt ♥s ♥ ♠♦è ♦ tr tt♥♦r♠t♦♥ é♣♥ très ♦rt♠♥t s♥ ss♠q t st♦rq ss♠♥t st ♦♥ ♠♣♦ss ♥t♣r ♥ réstt s♥s s♠r

s ♦♠♠♥trs sr♦♥t s sr ♥s♠ s réstts ♣rés♥tés ♦♥♥r♦♥ tr ♥tr♣rétr s é♣♠♥ts ♣rés♥tés à s rtss♠♥ts

Pr♠ètrs s s♠t♦♥s

♥ ♠tr ♥♦♠r ♣r♠ètrs ♦♥sérés t ♣♦♦r ♦♠♣rr s ér♥tsréstts ♦t♥s ♥♦s ♦♥s rstr♥r ♥♦♠r ♦♥rt♦♥s trtés ♦s ♣ré

s♦♥s ♦♥ s rtérstqs ♦♠♠♥s à t♦ts s s♠t♦♥s t s ♣r♠ètrs ♠♥ésà rr ♥ ♦♥t♦♥ s ♠♦ès ♥ ♣résr ♥s s ②♣♦tèss sr strtr s r♠♥ts ss♠qs s ♦♥ts r♦tt♠♥t s ②♣♦tèss ♦♣ strtr

②♣♦tèss sr strtr

♥ ♦♥sér ♥ strtr ♥ ♠♠ré ♥s ♥ s♣ ♦♥♥é s ♠sss ♦♣ s♦♥t étr♠♥és à ♣rtr é♦♠étr ♥t t s é♣♠♥ts strtr s♥t s ♦♥t♦♥s ♣résés ♥s ♣rr♣ §4.4.4 s réq♥s♣r♦♣rs strtr sè s♦♥t ♦ss ♥ êtr sss s réq♥s ♦rts sés♠s stàr s♣érr à ③ ♣♦r ♥ ♣s ♦r ♣é♥♦♠è♥ rés♦♥♥♥tr strtr q ssrt s réstts ♥ s♣♣♦sr ss s réq♥s♣r♦♣rs ér♥ts s♥t rt♦♥ ex t ey ♣♥♥t ♥s rt♥s ♦♥t♦♥s ♦♣ strtr st ♣♦ss ♦t♥r s réq♥s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♥s ♦♠♥ réq♥t ♦rt sés♠ t ♦r s rés♦♥♥s ♦s s ♣é♥♦♠è♥ssr♦♥t s à éttr ♦rrt♠♥t

♦s ♦♥s ♠♥t♥♥t ♣résr é♦♠étr ♥s♠ s②stè♠ q srr à ♦s à étr♠♥r s ♠♥s♦♥s

s ♠s t s strtr s rtérstqs ♠é♥qs s ér♥ts ♠♦ést♦♥s rt♥s ♣♦tr ♠sss

rss♦rt t ♠ss ♣♦♥t

é♦♠étr ♥s♠

s②stè♠ s♠♣é ♦♥séré st r♣rés♥té ♥s r 4.5 st ♥ ♣rèé♣♣è rt♥ ♠♠ré ♥s ♥ ♣s♥ s ①s ♣r♥♣① strtr s♦♥t♥és ① ♣s♥ ♥ ♦♥sérr ♥s rt♥s ♦♥rt♦♥s ♥ strtr♠♠ré ①♥tré ♥ r♥♦rr ♦♣ strtr ♦ r ♣♣rîtr♥♥ t ♦♥

s rtérstqs é♦♠étrqs s♦♥t rés♠és ♥s t 4.1 P♦r s rsHx tHy ♦♥ ♦♥sérr ① rs ♣♦sss (Hx, Hy) = (0, 0); (0.1, 0); (0.1, 0.1)

Lp ♠lp ♠L ♠l ♠Hx r ♥tr ♠ t ♠Hy r ♥tr ♠ t ♠

rtérstqs é♦♠étrqs s ♠s ♥t♦r♥t strtr

r ♦♥rt♦♥ é♥érq é♦♠étr s ♠s ♥t♦r♥t râtr

st ss ♣♦ss ♠♦ésr s ♦♣s ♥tr strtrs ♥é♣♥♥ts ♣♦rétr s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♥s s strtrs r♥r ♣♦♥t t ♣rt s♣♣r♦♦♥ss♠♥ts ♣♦sss sr s ss s té♦rs é♦♣♣és ♥s s ♣trs♣réé♥ts ♦s ♣rés♥tr♦♥s ♥ ♣r♠r é♦♣♣♠♥t ♥s s♥s ♥s ♣tr❱

rtérstqs ♠é♥qs strtr

♦s tsr♦♥s tr♦s ♥① ♠♦ést♦♥ strtr ♣♦tr ♠sssrss♦rtt ♠ss ♣♦♥t ♥ ♣♦♦r ♦♠♣rr s réstts s tr♦s ♠♦ès ♥♦s♦sr♦♥s s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♣r♠tt♥t ♦r s ♠♦ès s♠♣és ♠sssrss♦rt t ♠ss ♣♦♥t ♦♠♠ s ♠♦és ♣s r♦ssrs ♣♦tr ss♥t

♦è ♣♦tr ss♥t

♥s ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ strtr ♦♥ s♣♣♦s q st r♣rés♥té ♣r♥ ♣♦tr ♦♥t s rtérstqs s♦♥t rés♠és ♥s t 4.2

ρ Kg/m3

159× 109Pax ③y ③

xx ρS(

H1.875

)4 (2πfx)2

E

yy ρS(

H1.875

)4 (2πfy)2

E

♠ m2

rtérstqs ♣♦tr ♠♦és♥t strtr

♦è ♠sssrss♦rt

♥s ♠♦ést♦♥ ♠sssrss♦rt r♣rés♥té ♥s r 4.6 ♦♥ ♦♥sér ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦rrs♣♦♥♥t ① é♦r♠és s ♣r♠rs ♠♦s ♣r♦♣rs ♣♦tr r 4.7 s rrs rss♦rts s♦♥t ♦ss ♣♦r ♦r s ♠ê♠s réq♥s♣r♦♣rs q s ♣r♠èrs réq♥s ♣r♦♣rs ♣♦tr ♥s ♦♥ tr♦ ♣♦r ♥ ♦♥ttér♥t

m = ρSH = 126400Kg, mA = 0.3×m, mB = 0.7×m, kx = mB (2πfx)2 , ky = mB (2πfy)

2 ,

P♦r ♥ ♦♥tt ss♥t ♦♥ ♣r♥ s rs s♥ts

m = ρSH = 126400Kg, mA = 0.5×m, mB = 0.5×m, kx = mB (2πfx)2 , ky = mB (2πfy)

2 ,

r ♦é ♠sssrss♦rt

r ♣rtt♦♥ ♠sss éq♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥t♦♥s ♦♥tt

♠rq ♠♣♦rt♥t

♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥st ♣s s sr ♦ éé♠♥ts♥s♦s ♦♥s ♦♥ ①r é♥t♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ssq ét s♠t♦♥♦s ♦♥s éé ♥♦s ♥térssr ♣r♥♣♠♥t à ♥ ♦♥♥ ét♦♥ ét ss♠♥t t ♥♦s ♦sss♦♥s ♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ ♠ssq ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥ttér♥t s♦t mA = 0.3 × m t mB = 0.7 × m ♥ srst♠ ♦♥ ♠♣♦rt♥ ♠ss ♦s♥t ♥s ♦♠♣♦rt♠♥t strtr ♣♥♥t ss♠♥t

♦è ♠ss ss♥t

♥s s ♥ ♠ss ss♥t s rtérstq st r ♠ss

m = ρSH = 126400Kg,

r♠♥ts ss♠qs

s sés♠s ♦♥sérés s♦♥t ♦ss ♣r♠ s sés♠s ❯ ♣♦r ♥ s♦ qé ♠♦②♥ ♥ ♦st ♥ éért♦♥ ♠①♠ s♥ é ♣♥r sr q r♣♦séq♣♠♥t ♦♥séré à ♦rrs♣♦♥ ① ♦♥t♦♥s ♥♦r♠s ♠♥s♦♥♥♠♥t s éq♣♠♥ts s♥ss ♥s ât♠♥t ♦♠st s ♥trs ♥érsr♥çss s s♥① ss♠qs r♥t s t ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣s♦éért♦♥s ♣♥r sté ♠tr ♣s♥ st♦ ♦♠st ♣♦r ♥ ♠♦rtss♠♥t ât♠♥t

♦♥ts r♦tt♠♥t

♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ♣r♥♣♠♥t ① é♣♠♥ts strtr s♦s sés♠♦s ♦♥s ♦♥ ♦♥sérr ♦♥t r♦tt♠♥t ré♠♥tr ♠♥♠ stàr µS = 0.2 ♦♥t r♦tt♠♥t sttq µD = 0.2 ♦♥t r♦tt♠♥t ②♥♠q

②♣♦tèss ♦♣ strtr

♥ ♣♦♦r r ♥ ♦♠♣rs♦♥ s s♠t♦♥s éé♠♥ts♥s ♥♦s ♠tr♦♥s ♣r♦s s ♥① éts ♠♦è ♠sss ♦tés ♦s ♣♦rr♦♥s ♦♥♦r ♥① éts Ps ♦♣ strtr trs ♠sss ♦♣ rstr♥t ① ♠trs ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠étr

trs ♠sss ♦♣ ♣♦♥t ♦r s tr♠s ♥♦♥ ♦♥① tst♦♥ é♦♠étr

s rs s ♠sss ♦♣ strtr s♦♥t ♦t♥s ♥ ♦♥sér♥t é♦♠étr ért ♥s ♣rr♣ (4.4.1.1) ♥s q s é♣♠♥ts strtrà ♥st♥t ♦♥séré ♥s s ♥ ♠♦ést♦♥ tst♦♥ é♦♠étr

❱t♦♥ ♠♦è ♥②tq ♥ s♥

♦♣ strtr

♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥sér♦♥s s ♠♦ès s♥s ♦♣ strtr s ♥① ♥ss ♠♦ést♦♥ r ♥ s♦t ♥s r s ♠♦ès♥②tqs é♦♣♣és ♥ ♦♠♣r♥t s réstts ♥②tqs ① ♦t♥s ♣rs♠t♦♥ ♥♠érq s♦s ♦ ANSY S

éstts ♠♦è ♠ss ss♥t s♥s ♦♣ strtr

♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♠♦ést♦♥ ♣s s♠♣é ♥ strtr stàr ♥ ♠♦è ♠ss ♣♦♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st ♥éés rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4

s réstts é♣♠♥t ♥ ♠ss ss♥t s♥s ♦♣ strtr s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.8 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ ♦rrs♣♦♥♥ s ① ♦rs rrr rt ♠①♠♦rrs♣♦♥♥t à rrr rt é sr s ♣♦st♦♥s s ♣s é♦♥és ♣♦st♦♥♥té ♥tr s ① ♦rs st ♥r♦♥ à q ♥st♥t s♠t♦♥

♣s t♠♣s ♥♠érq st ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ s♦♥s s♦s ♠t ♣♦r s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♥♦s ♣r♠t r ♠♦è ♥②tq sr ss♠♥t ♥ ♠ss ♣♦♥t ss♥t s♥s ♦♣strtr q ré♣♦♥ à t♦ts ♥♦s ①♥s ①tt s réstts t t♠♣s

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♠ss ss♥t s♥s ♦♣ strtr♥ r♦ ♦t♦♥ ♥②tq ♥ ♦t♦♥ ♥♠érq

♥ ♦♥sèr ♠♦è ♥②tq ♠ss ss♥t ♦♠♠ é ♣s ré♣♦♥ à ①♥ r♣té t♠♣s ♠♣♦sé ♥s tt tès

éstts ♠♦è ♠sssrss♦rt s♥s ♦♣ strtr

♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♠♦ést♦♥ ♥tr♠ér ♥ strtr réstàr ♥ ♠♦è ♣♣r♦é ♠sssrss♦rt ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦♥st♥t

♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♣♦tr ♦♥s♦ ré♣♦♥♥t sr s♦♥ ♣r♠r ♠♦ s♦t mA =0.3×M t mB = 0.7×M s rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣4.4s réstts é♣♠♥t s s②stè♠ ♠sssrss♦rt s♥s ♦♣ strtr s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.9 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥tsés à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

♥ ♦sr ♥ ér s♦t♦♥ ♥②tq ♣r r♣♣♦rt à ♦t♥ ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq st û é étt♦♥ rrêt s ss♠♥ts q réà q ♦s ♥ tr♥st♦♥ ♦♠♣é♠♥tr s♦t t q strtr♦♥t♥ à ré♣♦♥r s♦♥ s♦♥ ♠♦♠♥t ♦st♦♥ ♣r♦♣r ♥s ♦rsq ♠♦è♥②tq rrêt s②stè♠ ♣r q étté ♥ ♦♥t♦♥ rrêt ♠ss ♦s♥t ♦♥t♥é à ♠♠s♥r é♥r ♣♦t♥t ♦ ♥étq q rstt àtért♦♥ s♥t é♥♥t ♥ ss♠♥t à ♦ù ♥ étt♦♥ ♣s ♥ ♥st♥trrêt ss♠♥t rt ♣ rrêtr ss♠♥t s②stè♠ ♣♦r qqs tért♦♥s♥ ♦t♥t ♦♥ ♥ ré♣♦♥s ♥②tq q sé♦♥ ♠♥èr ♦tq s♦t♦♥♥♠érq t♦t ♥ s♥t ♥ t♥♥ ♥tq ♣♥♥t s ① ♦rs ♦t♥ss♥t ♠ê♠ t♥♥ t ♦♥ ♦t♥t ♥ rrr rt sr é♣♠♥t ♠①♠

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥ s②stè♠♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♥ r♦ ♦t♦♥ ♥②tq ♥ ♦t♦♥ ♥♠érq

♥ t r♠rqr ♥s ♣rr♣ (4.4.1.2) q étt ♠♣♦ss ♥r ré♣rtt♦♥ ♠sss ♥s ♥ ♠♦è éé♠♥ts♥s ♣♥♥t ♦s ♦♥s ♦♥♠♣é♠♥té ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥s ♠♦è ♥②tq ♥ ♦r ♠♣t q sr é♣♠♥t strtr

r 4.10 r♣rés♥t ♦♠♣rs♦♥ s é♣♠♥ts ♠ss ♥ ♦♥tt s♦ ♥tr ♥ ♠♦è ♥②tq s♥s ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠sss ♣♥♥t ss♠♥t t ♥ ♠♦è ♥②tq tt ♣r♦♣rété ♦r r♦ r♣rés♥t é♣♠♥t ♥s ♠♦è s♥s ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦r

r♣rés♥t é♣♠♥t ♥s ♠♦è ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦rs ss♠♥t

♥ r♠rq q ♦♠♥t ss♠♥t st ♠♦♥s r♥ ♥t♥sté ♦rsq♦♥ts ré♣rtt♦♥ ♠sss st t q ♥♥ rt ♠ss♦s♥t st ♣s t ② ♦♥ ♠♦♥s st♦ é♥r ♥s rss♦rt ♣♦♥têtr rstté ♥s s②stè♠ ♥ r♠rq ♣s q ♥ t sts♥t sr ♣é♥♦♠è♥ ss♠♥ts ♣rsts és à ♠s étt♦♥ ♥st♥t rrêt ss♠♥t ♣♥♥t ♦♥ r♠rq q ♣♦r s♥ ♥ ♣s ré ♥♥sr é♣♠♥t ♠①♠

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t t ♥♥ ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss♦rs ss♠♥t ♥ r♦ ♠♦è s♥s ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥ ♠♦è ♥♠♥t ré♣rtt♦♥ ♠ss

s ① réstts ♣r♠tt♥t r ♠♦è ♥②tq ♠sssrss♦rt à ♦♥t♦♥ ♥②sr ♥♠♥t s ss♠♥ts ♣rsts t ♣rér s ♠♦ès ♦ù ♠sss♦s♥t ♥ é♣ss ♣s ♠ss t♦t ♥♦♥ st ♥éssr tsr ♦♥t♦♥ tst♦♥ ré♣rtt♦♥ ♠sss

♠rq éqt♦♥ s réstts ♥②tqs ① réstts ♥♠érqs st ♥♠r ♥s ét strtr ré q ♣♦r s rs♦♥s r♥♦r♠♥t ♠é♥q♦ stté s♠♥t ♦♥t ♥ ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥♦♥ ♥♦r♠ t ♣r♥♣♠♥t ♦♥♥tré ♥ s s sts ♦rt♠♥t ré♣♦♥s s②stè♠♦♠♠ ♦♥ ♣t ♦r ♥s ♥♥① ♦♠♠♥tr sr ♣♦r t♦s s réstts ♠♦è ♠sssrss♦rt ss♥t ♠♠ré ♦ ♥♦♥

éstts ♠♦è ♣♦tr s♥s ♦♣ strtr

♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♠♦ést♦♥ ♥ ♥ strtr ré stàr♥ ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♥ ♦♥sér s ♣r♠rs ♠♦s ♣r♦♣rs ♥s qrt♦♥ s rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4

s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t s♥s ♦♣ strtr s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.11 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥tsés à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

♥ ♦sr ♥ ér s♦t♦♥ ♥②tq ♣r r♣♣♦rt à ♦t♥ ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq st é étt♦♥ rrêt s ss♠♥ts q ré àq ♦s ♥ tr♥st♦♥ ♦♠♣é♠♥tr s♦t t q strtr ♦♥t♥ à ré♣♦♥r s♦♥ s♦♥ ♠♦♠♥t ♦st♦♥ ♣r♦♣r ♥ ♦t♥t ♦♥ ♥ ré♣♦♥s♥②tq q sé♦♥ ♣r♦rss♠♥t s♦t♦♥ ♥♠érq s ♣é♥♦♠è♥s ss♠♥ts ♣rsts s♦♥t à ss ♣rés♥t t ♠♣♥t rtèr ♦tq ♦ ré♣♦♥s ♣♥♥t ér♥ ♦t♥ st ♠ê♠ t♥♥ t ♦♥ ♦t♥t ♥ rrrrt sr é♣♠♥t ♠①♠

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♣♦tr ss♥t ♥ r♦ ♦t♦♥ ♥②tq ♥ ♦t♦♥ ♥♠érq

♠♦è ♥②tq ré♣♦♥ ♣rt♠♥t ♣r♦è♠ ♥ ♦♥♥♥t ♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ ss♠♥t ♠①♠ ♠s ♥ trt♦r ♣♦♥t êtr ♦♠♥t st♥t ss♦t♦♥s éé♠♥ts♥s

♠rq éqt♦♥ s réstts ♥②tqs ① réstts ♥♠érqs st ♥♠r ♥s ét strtr ré q ♣♦r s rs♦♥s r♥♦r♠♥t ♠é♥q♦ stté s♠♥t ♦♥t ♥ ré♣rtt♦♥ ♠ss ♥♦♥ ♥♦r♠ t ♣r♥♣♠♥t ♦♥♥tré ♥ s s sts ♦rt♠♥t ré♣♦♥s s②stè♠♦♠♠ ♦♥ ♣t ♦r ♥s ♥♥① ♦♠♠♥tr sr ♣♦r t♦s s réstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♠♠ré ♦ ♥♦♥

❱t♦♥ ♠♦è ♥②tq ♥ ♣rés♥

♦♣ strtr ♠♦ésé ♣r s ♠trs

♠sss ♦tés ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠é

tr

♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥sér♦♥s s ♠♦ès ♥ ♣rés♥ ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♥ ♠♦ést♦♥ ♣té ① ①♥s ♦ éé♠♥ts♥s à s♦r ♥ ♠tr ♠sss ♦té ♥q♠♥t ♦♥ t s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♦♥sèr ♣♦r q ♠♦è strtr tr♦s ♣♦st♦♥s strtr♠♠ré ❯♥ ♣♦st♦♥ ♥tré ♦ù (Hx, Hy) = (0, 0) ❯♥ ♣♦st♦♥ ôté ♦ù (Hx, Hy) = (0.1, 0) ❯♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♦ù (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)

r ♥ s ♦♥rt♦♥s t ♣♦r q ♥ ♠♦ést♦♥ strtr♥♦s ♦♠♣rr♦♥s s réstts ♥②tqs ① réstts ♥♠érqs

éstts ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr

♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♠♦ést♦♥ ♣s s♠♣é ♥ strtr stàr ♥ ♠♦è ♠ss ♣♦♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st ♥éés rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4 ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♥ ♠tr ♠sss ♦tés ♦♥s és sr ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥t à s réstts ♣tr ♥ ♦♥sèr tr♦sé♦♠étrs ♥ts ♥tré ôté t ♦♥

♦♥rt♦♥ ♥tré (Hx, Hy) = (0, 0)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♠ss ss♥t s tr♦ ♥tr résr ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

s réstts é♣♠♥t ♠ss ss♥t ♦♣ strtr sr ♥♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.12 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦èqs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥♥♠érq

♦♥rt♦♥ ôté (Hx, Hy) = (0.1, 0)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♠ss ss♥t s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦r r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0) ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣♦r ♥ ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq

s réstts é♣♠♥t ♠ss ss♥t ♦♣ strtr sr♥ ♣♦st♦♥ ôté ♦ù strtr st ♣s ♣r♦ ♦r r♦t rsr s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.13 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣♦r ♥ ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq

♦♥rt♦♥ ①♥tré (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥ ♦ù ♠ss ss♥t s tr♦ ♣r♦ ♦♥ ♥ tà r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0.1) ♥ r à r s ♠♦és♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

s réstts é♣♠♥t ♠ss ss♥t ♦♣ strtr sr♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♦ù strtr st ♣s ♣r♦ ♦♥ ♥ t à r♦t résr s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.14 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦èqs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥♥♠érq

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣♦r ♥ ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq

♦♠♠♥trs s réstts

s é♣♠♥ts s ♠sss ss♥ts ♠♠rés s♦s sés♠ ♦♥t été ♣rés♥tés ♥s s♣rr♣s ♣réé♥ts s ♦♣s strtr s♦♥t r♣rés♥tés ♣r ♥ ♠tr ♠sss ♦tés ♥q♠♥t ♦♥ t s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♦♥sèr♣♦r q ♠♦è strtr tr♦s ♣♦st♦♥s strtr ♠♠ré ♥tré ôté t ♦♥♦♥t s réstts s♦♥t r♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥s s rs 4.12 4.13 t 4.14

r ♥s♠ s ♦♥rt♦♥s ♦♥ ♦sr ♥ ♦♥♥ éqt♦♥ s réstts ♥ éèr ér s réstts ♥②tqs ♣r r♣♣♦rt ① réstts ♥♠érqs stû t q♦♥ ♥ étt ♣s ①t♠♥t ♥st♥t rrêt ss♠♥t ♥ sré♦♥ ss♠♥t strtr ♣r r♣♣♦rt ① s♠t♦♥s ♥♠érqs ♦♠♥t♣♥♥t rrr rt sr é♣♠♥t ♠①♠ ♥ é♣ss ♣s

♣s sr ♥ s s♠t♦♥s t♠♣s ♥♠érq st ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ s♦♥s s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♥♦s♣r♠t r ♠♦è ♥②tq sr ss♠♥t ♥ ♠ss ♣♦♥t ss♥t ♦♣ strtr s♥s tst♦♥ é♦♠étr q ré♣♦♥ à t♦ts ♥♦s①♥s ①tt s réstts t t♠♣s

éstts ♠♦è ♠sssrss♦rt ss♥t ♦♣strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr

♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♠♦ést♦♥ ♥tr♠ér ♥ strtr stàr ♥ ♠♦è ♠sssrss♦rt ss♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st ♠♦ésé♣r s ré♣♦♥s sr ♣r♠r ♠♦ ♣r♦♣r s rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés♥s ♣rr♣ 4.4 t♥t ♦♥♥é q ♦ éé♠♥ts♥s ♥ ♣r♠t ♣s tsr ré♣rtt♦♥ ♠sss ♥ ♦♥t♦♥ é♦t♦♥ étt ♦♥tt ♥ ♦♥sér♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ ♠sss ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ étt ér♥t strtr stàr mA = 0.3×m t mB = 0.7×m ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♥♠tr ♠sss ♦tés ♦♥s és sr ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥tà s réstts ♣tr ♥ ♦♥sèr tr♦s é♦♠étrs ♥ts ♥tré ôtét ♦♥

♦♥rt♦♥ ♥tré (Hx, Hy) = (0, 0)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù s②stè♠ ♠sssrss♦rt s tr♦ ♥tr résr ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

s réstts é♣♠♥t ♠ss r♦tt♥t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r (4.15) ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t sé♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq

♦♥rt♦♥ ôté (Hx, Hy) = (0.1, 0)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ôté ♦ù s②stè♠ ♠sssrss♦rt s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦r r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0) ♥ r à r s ♠♦és♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

s réstts é♣♠♥t ♠ss r♦tt♥t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ôté (0.1, 0) s♥s tst♦♥ s é♦♠étrss ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r (4.16) ♦r r♦ r♣rés♥t sé♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥ts é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥♥♠érq

♦♥rt♦♥ ♦♥ (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥ ♦ù strtr s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦♥ ♥ tà r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0.1) ♥ r à r s ♠♦és♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

s réstts é♣♠♥t ♠ss r♦tt♥t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ (0.1, 0.1) s♥s tst♦♥ s é♦♠étrss ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r (4.17) ♦r r♦ r♣rés♥t sé♣♠♥ts és à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥ts é♣♠♥ts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♥ ♠ss ss♥t ♥s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♦♣ strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥♥♠érq

♦♠♠♥trs s réstts

♦s ♦♥s ♣rés♥té s é♣♠♥ts ♠ss ss♥t ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rt♠♠ré s♦s sés♠ ♥s s ♣rr♣s ♣réé♥ts s ♦♣s strtr s♦♥tr♣rés♥tés ♣r ♥ ♠tr ♠sss ♦té ♥q♠♥t ♦♥ t s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♦♥sèr ♣♦r q ♠♦è strtr tr♦s ♣♦st♦♥s strtr♠♠ré ♥tré ôté t ♦♥ ♦♥t s réstts s♦♥t r♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥ss rs 4.15 4.16 t 4.17

r ♥s♠ s ♦♥rt♦♥s ♦♥ ♦sr ♥ ér ♣♦♥t êtr ♦♠♥t ♠♣♦rt♥t s♦t♦♥ ♥②tq ♣r r♣♣♦rt à ♦t♥ ♣r s♦t♦♥ ♥♠érq st é étt♦♥ rrêt s ss♠♥ts q ré à q ♦s ♥ tr♥st♦♥♦♠♣é♠♥tr q s♦t ♦rt ♠♣♦rt♥ rt ♠ss ♦s♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t s②stè♠ ♥s s②stè♠ étt♦♥ rrêt ss♠♥t ♠♦è ♥②tq ♥ ♣r♠tt♥t ♣s éttr ♥st♥t ①t rrêt ♠ss ♦s♥t st♦é é♥r q rstt ♣s t♠♣s s♥t é♥♥t à ♥♦ ♥ss♠♥t ♥ ♦sr ♥s s ♥s ♦st♦♥s r♣s ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣ssrrêt ss♠♥t ♥t q♥ ♥♦ ♣s ♦rt sés♠ ♥ r♠è♥ s②stè♠rs ♦r t♥♥

♣s sr ♥ s s♠t♦♥s t♠♣s ♥♠érq st ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ s♦♥s s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♥♦s♣r♠t r ♠♦è ♥②tq sr ss♠♥t ♥ s②stè♠ ♠sssrss♦rtss♥t ♦♣ strtr s♥s tst♦♥ é♦♠étr q ré♣♦♥ à ♥♦s①♥s t♠♣s t st♠t♦♥ ss♠♥t ♠①♠

♥s s s ♦ù st ♥éssr ♦r ♥ ♦♥♥ ét♦♥ trt♦r ss♠♥t à q ♥st♥t st ♥éssr ♦r ♥ ré♣rtt♦♥ ♠sss q ♠♥

♥♥ ♠ss ♦s♥t r ♦♥ ♠tr mB à ♠ss t♦t s②stè♠ ♣♦r ♦r ♥ ♠r éqt♦♥ s ① ♦rs

éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♦♥ s♥s tst♦♥ é♦♠étr

♥s tt ♣rt ♦♥ ♦♥sèr ♠♦ést♦♥ ♣s été strtr stàr ♥ ♠♦è ♣♦tr ss♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st ♠♦ésé ♣rs ré♣♦♥s sr ss ♣r♠rs ♠♦s ♥s q rt♦♥ s rtérstqs tséss♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4 ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♥♠tr ♠sss ♦tés ♦♥s és sr ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥tà s réstts ♣tr ♥ ♦♥sèr tr♦s é♦♠étrs ♥ts ♥tré ôtét ♦♥

♦♥rt♦♥ ♥tré (Hx, Hy) = (0, 0)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♣♦tr ss♥t s tr♦ ♥tr résr ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.18 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♣♦tr ss♥t ♦♣strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq

♦♥rt♦♥ ôté (Hx, Hy) = (0.1, 0)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♣♦tr ss♥t s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦r r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0) ♥ r à r s ♠♦és ♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ôté s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.19 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts ésà ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♣♦tr ss♥t ♦♣strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq

♦♥rt♦♥ ♦♥ (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)

♥ ét ♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù ♣♦tr ss♥t s tr♦ ♣s ♣r♦ ♦♥ ♥t à r♦t résr à ♥ ♣♦st♦♥ (0.1, 0.1) ♥ r à r s ♠♦és♥②tqs é♦♣♣és ♥s ♣tr ♥ s ♦♠♣r♥t ① réstts ♦t♥s sr ♦ éé♠♥ts♥s ❨

s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ (0.1, 0.1) s♥s tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r 4.20 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts ésà ♣rtr ♠♦è qs♥②tq t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s♣r s♠t♦♥ ♥♠érq

♦♠♠♥trs s réstts

♦s ♦♥s ♣rés♥té s é♣♠♥ts s ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦ssés♠ ♥s s ♣rr♣s ♣réé♥ts s ♦♣s strtr s♦♥t r♣rés♥tés

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♣♦tr ss♥t ♦♣strtr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ①♥tré (0.1, 0.1) s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥r♦ s♦t♦♥ ♥②tq ♥ s♦t♦♥ ♥♠érq

♣r ♥ ♠tr ♠sss ♦té ♥q♠♥t ♦♥ t s♥s tst♦♥ é♦♠étr ♥ ♦♥sèr ♣♦r q ♠♦è strtr tr♦s ♣♦st♦♥s strtr ♠♠ré ♥tré ôté t ♦♥ ♦♥t s réstts s♦♥t r♣rés♥tés rs♣t♠♥t ♥s s rs4.18 4.19 t 4.20

r ♥s♠ s ♦♥rt♦♥s ♦♥ ♦sr ♥ ér s♦t♦♥ ♥②tq ♣rr♣♣♦rt à ♦t♥ ♣r s♦t♦♥ ♥♠érq st é étt♦♥ rrêts ss♠♥ts q ré à q ♦s ♥ tr♥st♦♥ ♦♠♣é♠♥tr s♦t t q strtr ♦♥t♥ à ré♣♦♥r s♦♥ s♦♥ ♠♦♠♥t ♦st♦♥ ♣r♦♣r ♥♦t♥t ♦♥ ♥ ré♣♦♥s ♥②tq q sé♦♥ ♣r♦rss♠♥t s♦t♦♥ ♥♠érq ♣♥♥t ér♥ ♦t♥ st ♠ê♠ t♥♥ t ♦♥ ♦t♥t ♥ rrrrt sr é♣♠♥t ♠①♠

♣s sr ♥ s s♠t♦♥s t♠♣s ♥♠érq st ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ s♦♥s s s♦t♦♥s qs♥②tqs ♥♦s ♣r♠t r ♠♦è ♥②tq sr ss♠♥t ♣♦tr ss♥t ♦♣strtr s♥s tst♦♥ é♦♠étr q ré♣♦♥ à ♥♦s ①♥s t♠♣s t st♠t♦♥ ss♠♥t ♠①♠

♥s s s ♦ù st ♥éssr ♦r ♥ ♦♥♥ ét♦♥ trt♦r ss♠♥t à q ♥st♥t st ♥éssr ♦r ♥ ré♣rtt♦♥ ♠sss q ♠♥♥♥ s ♦st♦♥s strtr P♦r r s r♣♣r♦r ré♣rtt♦♥ ♠ss s strtrs rés ♥ ♦t♥t ♣r ①♠♣ ♥ ♠ss ♣♦♥t ♥♣ ♣♦tr ♦♥♥ ♥ ♠r éqt♦♥ s ① ♦rs ♦♠♠ ♣rés♥té♥s ♥♥①

éstts ♠♦è ♥②tq ♥ ♣rés♥ ♦

♣ strtr ♠♦ésé ♣r s ♠trs ♠sss

♦tés ♣♥s tst♦♥ é♦♠étr

♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥sér♦♥s s ♠♦ès ♥ ♣rés♥ ♦♣ strtr st r♣rés♥té ♣r ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ é♦♣♣é ♥s ♣tr ♥♠tr ♠sss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥♦♥sèr ♥q♠♥t ♠♦ést♦♥ ♣s ♥ strtr stàr ♥ ♠♦è ♣♦tr ss♥t ré♣♦♥s rt♦r strtr st r♣rés♥té ♣r ss ♣r♠rs ♠♦s ♥s q rt♦♥ s rtérstqs tsés s♦♥t ♣résés ♥s ♣rr♣ 4.4

strtr ♣♦rr ♣r♥r ♦♥rt♦♥s ♥ts ♠♣♥tt♦♥ ♥s ♣s♥ ❯♥ ♣♦st♦♥ ♥tré ♦ù (Hx, Hy) = (0, 0) ❯♥ ♣♦st♦♥ ôté ♦ù (Hx, Hy) = (0.1, 0) ❯♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♦ù (Hx, Hy) = (0.1, 0.1)

♣♦st♦♥ ♦♥ (Hx, Hy) = (0.1, 0.1) r♣rés♥t ♣♦st♦♥ ♦ù tst♦♥ é♦♠étr r ♣s ♥♥ sr ♦♠♣♦rt♠♥t strtr ♥ t ♥stt ♦♥rt♦♥ s é♦t♦♥s é♦♠étr s ♠s ♦rs é♣♠♥t strtr r♦♥t ♥ r♥ ♠♣♦rt♥

éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ♥tré (0, 0)

♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥♥t ♥tré ♦ù strtr st ♥t♠♥t ♥ ♣♦st♦♥ (Hx, Hy) = (0, 0)

s ♣♦trs ♠♦ésés ♥tér♥t s ♠sss ♣♦♥ts ♥ ♣ ♣♦r r♣rés♥tr ♥ré♣rtt♦♥ ♠ss ♣r♦ rété

s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.21 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à♣rtr ♠♦è qs♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq tst♦♥ é♦♠étr

éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ôté (0.1, 0)

♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥♥t ôté ♦ù strtr st ♣s ♣r♦ ♦r r♦t résr♦r (Hx, Hy) =

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♥ ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr r♣rés♥té ♣r s ♠trs ♣♥s à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥tré ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ s♦t♦♥ ♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr s ♠s

(0.1, 0)

s ♣♦trs ♠♦ésés ♥tér♥t s ♠sss ♣♦♥ts ♥ ♣ ♣♦r r♣rés♥tr ♥ré♣rtt♦♥ ♠ss ♣r♦ rété

s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ôté tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.22 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à♣rtr ♠♦è qs♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq tst♦♥ é♦♠étr

éstts ♠♦è ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr ♣r ♠tr ♠ss ♦té ♣♥ tst♦♥ é♦♠étr à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♥t ♦♥ (0.1, 0.1)

♥ ♦♥sèr ♥ ♣♦tr ss♥t ♠♠ré s♦♠s à ♥ sés♠ à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥♥t ♦♥ ♦ù strtr st ♣s ♣r♦ ♦♥ ♥ t à r♦t (Hx, Hy) =(0.1, 0.1)

s ♣♦trs ♠♦ésés ♥tér♥t s ♠sss ♣♦♥ts ♥ ♣ ♣♦r r♣rés♥tr ♥ré♣rtt♦♥ ♠ss ♣r♦ rété

s réstts é♣♠♥t s ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr sr ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s s♦♥tr♣rés♥tés ♥s r 4.23 ♦r r♦ r♣rés♥t s é♣♠♥ts és à

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♥ ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr r♣rés♥té ♣r s ♠trs ♣♥s à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ôté ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ s♦t♦♥ ♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr s ♠s

♣rtr ♠♦è qs♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr t ♦r r♣rés♥t s é♣♠♥ts ♦t♥s à ♣rtr ♠♦è qs♥②tq tst♦♥ é♦♠étr

r ♦♠♣rs♦♥ s ss♠♥ts ♦t♥s ♣ ♥ ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr r♣rés♥té ♣r s ♠trs ♣♥s à ♣rtr ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥ ♥ r♦ s♦t♦♥ ♥②tq tst♦♥ é♦♠étr s ♠s ♥ s♦t♦♥ ♥②tq s♥s tst♦♥ é♦♠étr s ♠s

♦♠♠♥trs s réstts

♦t ♦r ♦♥ r♠rq q ♣♦r t♦ts s ♦♥rt♦♥s r ♦rs é♣♠♥ts s♥s tst♦♥ é♦♠étr st ér♥t ♣rés♥té ♥s ♣rt §4.6.3 st û t q♦♥ ♦♥sér ♥ ♠tr ♠sss ♦tés ♣♥

t ♥♦♥ ♥q♠♥t ♦♥ rérs é♣♠♥t strtr ♠ê♠ s♠♣t t♦t é♣♠♥t st ♣s éé

tst♦♥ é♦♠étr s ♠s rérs ss ♦♠♣♦rt♠♥t ss♠♥t ♠♥ ss ♦rt♠♥t ♠♣t t♦t ss♠♥t ♥ ♠♣♥ts ♦rts strtr r♠♥♥t strtr rs ♥tr résr♦r s♦rs r♣♣ s♦♥t t♥t ♣s r♥s q strtr s r♣♣r♦ s ♦rs ♣s♥

♥ r♠rq q ♥s ♦♥rt♦♥ ♦♥ ♠♦è s♥s tst♦♥ é♦♠étrs ♠s ♦♥♥ ♥ é♣♠♥t ♠①♠ s♣érr à ♠ rt ♣♦r ♦♥séq♥ q♦♥ étt ♥ ♠♣t ♥tr strtr t résr♦r t ♠♣♦srt rs ♠♦t♦♥s ♦rts ♦♥♣t♦♥ strtr ♠♦è tst♦♥ é♦♠étr ♦♥♥ s é♣♠♥ts ♥érrs à ♠ t ♥② ♦♥ ♣s ♠♣t ♥tr strtr t résr♦r

♦♥s♦♥

♦s ♦♥s ♣rés♥té ♥s ♣tr ♣♣t♦♥ s ♠ét♦s é♦♣♣és♥s ♣tr sr s ♦♥rt♦♥s strtrs s♠♣és ♠ss ss♥t ♠♠ré t s②stè♠ ♠sssrss♦rt r♦tt♥t ♠♠ré ♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té s résttss ♠ét♦s rés♦t♦♥ étés ♥s ♣tr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s s②♣♦tèss sr s rtérstqs é♦♠étrqs ♠é♥qs t sr s ♦♣s strtr ♦♥t été ①♣♦sés Ps ♥♦s ♦♥s é s ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♥②tq♥ s♥ ♦♣ strtr ♥ s ♦♠♣r♥t ① s♦t♦♥s ♥♠érqs ♥st ♥♦s ♦♥s ♣r♦éé ♠ê♠ ♠♥èr ♣♦r r s ♠ét♦s rés♦t♦♥♥②tq ♥s s strtrs ♠♠rés ♦♣ strtr r♣rés♥té♣r s ♠trs ♠sss ♦tés ♦♥s s♥s tst♦♥ é♦♠étr s♠s ♥♥ ♥♦s ♦♥s tsé s ♠♦és ♥②tqs étr♠♥t♦♥ s ♠sss♦tés ♦♣ strtr ♣tr ♥s q s s♦t♦♥s ♥②tqs ♠♦é ♣♦tr ss♥t tst♦♥ s é♦♠étrs s ♠s ♣tr ♥ étr♠♥r s ss♠♥ts strtr ss♥t ♠♠ré s♦s r♠♥tss♠q tst♦♥ é♦♠étr s ♠s

s réstts ♦t♥s ♥t s ♦ts tt tès ♦ést♦♥ ♣s ♥ ♣♦ss ♦♠♣♦rt♠♥t ré strtr ♠♣s qs♠♥t ♥st♥t♥é ♠♦é ♦♣é s rés♦t ♥ qqs s♦♥s

éqt♦♥ s réstts ♥♠érqs sr s s s♠♣és

♦r♣

❬❪ ❲str♠♦ ❯ Pr♦ rs♣♦♥s ♦ s♥ ♦st♦r s②st♠ t♦ r♠♦♥①tt♦♥ rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s ❱♦

❬❪ P♦♥s é♣♦♥s ②♥♠q ♥ strtr r sr ♦♥t♦♥ ss♥t r♦♦q t♦♥ é♥ Prss♠q ♥té♠②srss t ♥r

♣tr

♦♥s♦♥

♦♥t♥s tès

tt tès ♣rés♥t ♥ ♠ét♦ ♥♥♦♥t rés♦t♦♥ s ♣r♦è♠s strtrs ♠♠rés ss♥ts ♦rs ♥ r♠♥t ss♠q q♦♥q s à st♠r é♣♠♥t strtr ♦rs ss♠♥t ♥ ♠♦és♥t ♠♥èr ♣s ♥♣♦ss s ♥trt♦♥s strtr ♦tr ♠♦é r à ré♣♦♥r à s ①♥strès strts t♠♣s t♠♥t s s éé♠♥ts♥s s ♣r♦è♠s♥ésst♥t r♥s ♣ss♥s t ♥ t♠♣s ♦♥sér ♦rr ♠♥ts ♣♦r ♥ ♣r♦è♠ ♦♣é ♥♦♥♥ér ♠♦é é♦♣♣é ♥s tt tèsst rés♦ ♥ qqs s♦♥s à ① s♦t♦♥s ♥②tqs ♦rrs♣♦♥♥t① ér♥ts étts ♦♥tt t à é♦t♦♥ ♦♣ strtr ♦rs é♣♠♥t strtr

♦♠♥t ♣rés♥t ♦♥ ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♦♥t①t é♥ér ♥s qs♥srt tt tès ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ ♦♥t♥r à r♦îtr sq♥ ♥ss é♦t♦♥s s ♣s ♣ss♠sts t sq♥ ♣♦r s st♠t♦♥s résts tt♠♥tt♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠♦♥ st ♥ ♣rè ♥ ss s s♦♥sé♥rétqs ♠♦♥① é à ♦s à ♠♥tt♦♥ ♣♦♣t♦♥ ♠s ss é♦♣♣♠♥t s ♣②s é♠r♥ts ré♥t ♥ ♠♥tt♦♥ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♣rt♥t ♦t ♥trî♥ ♥ ♠♥tt♦♥ très s♥s s s♦♥s é♥rétqs♠♦♥① q r♦♥t êtr ♦♠és ♣r rét♦♥ ♥♦s ♥trs ♣r♦t♦♥é♥r t ♥♦t♠♠♥t s ♥trs ♥érs sqs r♦♥t êtr ♠♥s♦♥♥és s ①♥s sûrté r♦ss♥ts

♦s ♦♥s ♥st ♣rés♥té s ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tés ♣♦r s ♥trs ♥érs à s♦r s ♠ét♦s st♦stqs s ♦♥t ♠ à êtr tséssr s strtrs ②♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦rt♠♥t ♥♦♥♥ér t ♦♥ ♥ésst♥t st♠♣s éés ♦s é♥ss♦♥s ♥s ♦t ♣r♥♣ ét tt tès sstrtrs ♠♠rés ss♥ts s♦s r♠♥t ss♠q ♣r♠ sqs ♥♦s ♣♦♦♥str s râtrs st♦ ♦♠sts sés q s♦♥t s strtrs ♣♦♥t ♦♥t♥r ♣s r♥ q♥tté ♠tèrs r♦ts t♦t ♥tr ♥ér ♦sét♦♥s ♥st ♣♥ tt tès ♥s q trs ①♠♣s ♣♣t♦♥s ♣r♠sqs s résr♦rs rét♥t♦♥ sé s ♣♦♥ts s strtrs ♥ ♠ç♦♥♥r

♥s ♥ ①è♠ ♣rt ♦♥ ét ♠♦ést♦♥ rt♥ ♣♦r ♦♣ strtr ♣rès ♥ ♣rés♥tt♦♥ s ss té♦rqs té♦r s ♠sss ♦tés♦♥ ♣rés♥t s♦t♦♥ ♥②tq réér♥ à s♦r ♦♣ ♥tr ① ②♥rs♥♥s ♦♥♥trqs Ps ♥♦s ♦♥♥♦♥s s ♣rés♦♥s sr ♣♦ssé r♠è é♥érsé ♥ ét ♥st ♦♣ ♥tr ① ♣réé♣♣ès rt♥s ♣♦r sqs♥♦s ♦♥s é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ ♥②tq ♥ ♥é♠tq ♥r ♥s ♥♦♥rt♦♥ rt♥s ♦♥♥trqs Ps ♥♦s ♦♠♣r♦♥s s réstts ♦t♥s♥s ttértr t ① sss s s♠t♦♥s ♥♠érqs ① rs ♥②tqs sss ♥♦s té♦rs ♥♥ ♥♦s é♦♣♣♦♥s té♦r ♦♣ ♥tr s strtrsrt♥rs ♦r♥sés ♥ qr ♥s♠ s ♠♦ès ♥②tqs é♦♣♣és♣♦r ♦♣ strtr ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t s ts ♦♥ q ♦rrs♣♦♥♥t① ♦rts réés ♣r ♥s s rt♦♥s ♣r♣♥rs à rt♦♥ é♣♠♥t strtr t ♣r♠tt♥t ♥ ♥st♥t♥é s ♠trs ♠sss♦tés q ♣t ♥st êtr ♦♣é à ♥ ♠♦è ②♥♠q s strtrs

♠♦é ②♥♠q s strtrs st é♦♣♣é ♥s ♣tr ♣r♥♥ ♦♠♣t s ts ♦♥ é♦t♦♥ t♠♣♦r s ♠sss ♦tés ♦♣strtr é é♣♠♥t strtr ♠♦rtss♠♥t réé ♣r s érést♠♣♦rs s ♠sss ♦tés s strtrs ♦♠♣①s à ♦♥t♦♥ qs s♦♥t érts ♣r ♥ ♥♦♠r ♥ ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♥t ♦♥ ♦♥♥t s é♦r♠és t s ♠♦és ♦♥tt ♣♦♥t êtr ♦♠♣①s st ♣rés♥té ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠♦è ♣♦trss♥t ♦♥t ♦♥ ♣t ér s ♠♦s ♣r♦♣rs ss ♥s s ♦♥t♦♥s rr t♥strér ♥ ét ♥st s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés s♦s ♦r♠ ♥ ♦♠♥s♦♥ ♥ér s ♠♦s ♣r♦♣rs ss Ps ♦♥ ♣r♦tt s éqt♦♥s ②♥♠qsr ♠♦ ♣r♦♣r ♠♠ré ♦rrs♣♦♥♥t à ♦♥t♦♥ ♦♥tt été ♥strér ♣♦r ♥ ér♥ strtr rr ♣♦r ♥ ss♠♥t ♥ rés♦t ♥♥tt éqt♦♥ ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♣s t♠♣s ss♠♠♥t ♣tt ♣♦r r♥r tr♠ r♦t ♦♥st♥t ♥ étt s ② ♥ é♦t♦♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tt à ♥ ♣s t♠♣s ♥ ♣s ♦♥ r ♠ê♠ éqt♦♥s ♥②tqs s♥♦♥ ♦♥ ♥ ① s♦t♦♥s ♥②tqs à ♥ ♠tr ♥♠♥t s t ♦♥ st♦ s é♣♠♥ts ♦r♣s r ♥ ♣t ♥s r♦♥strr ♥s♠ é♣♠♥t strtr s ① s♦t♦♥ t s ♠trs ♥♠♥t ss ♥♥t à q tért♦♥ é♦t♦♥ s ♠sss ♦tés ♦♣ strtr s s♦t♦♥s ét♥t qs♥②tqs t♠♣s sr ♥ s♥ ss♠q s♦♥s st ♥érr à s♦♥s

♥ ♣rés♥t ♥st ♥s ♣tr s s♦t♦♥s ♠♦è ♦♣é ②♥♠q♥♦♥♥ér ♦♣ strtr s♦s r♠♥t ss♠q ♥ ts tr♦s ♥① ét ♣♦r érr strtr été ♠sss ♣♦♥t s②stè♠ ♠sssrss♦rt ♣♦tr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♦♥s s ♠♦ès qs♥②tqs srs tr♦s ♦♥rt♦♥s strtr ♥ s♥ ♦♣ strtr ♥ ♦sr♥ ♦♥♥ éqt♦♥ s s♦t♦♥s ♥②tqs s réstts ♥♠érqs Ps ♥♦s♥tr♦s♦♥s ♦♣ strtr s♦s ♦r♠ ♠trs ♦♥s ♥ s♥tst♦♥ é♦♠étr ♠♦è ♠ss ss♥t ♦♥♥ ♥ é♣♠♥t très ♣r♦s s♦t♦♥s ♥♠érqs s ♠♦ès ♠sssrss♦rt t ♣♦tr sé♦♥♥t ♦♠♥t s♦t♦♥ ♥♠érq ♥ rs♦♥ r♥ ♠♣♦rt♥t ♠ss ♥ ♦st♦♥ ♣rr♣♣♦rt ♣♦♥t ♦♥tt t s rrrs ts ♥s étt♦♥ rrêt ss♠♥t

é♥♥t s ss♠♥ts ♦① ♣rsts ♣r♦è♠ st ♥tt♠♥t ♠♦♥s ♣rés♥t♥s s strtrs rés ♣♦r sqs ♠ss ♣♦♥t ♦♥tt st ♣ré♣♦♥ér♥tsr ♠ss ♦s♥t ♣♦r s rs♦♥s stté ♥♥ ♦♥ ♦t♥t s ♦rs é♣♠♥t ♣♦r ♥ ♠♦è ♦♣é ♦♠♣t ♣♦tr ss♥t ♦♣ strtr♠♦ésé ♣r s ♠trs ♣♥s tst♦♥ é♦♠étr s réè t♦tà t ♥éssr ♥s s s ♦ù strtr st ♣r♦ ♦r résr ♥s s ①st ♥ rsq très ♦rt ♠♣t strtr sr ♦r résr♦r s ♦♥séq♥s s♦♥t r ♥ tr♠ ♠♥t♥ ét♥été résr♦r ♦ rétst♦♥ strtr

r♥r ♣tr rés♠ s ♦♥t♥s tt tès t ♣r♦♣♦s s ♣sts é♦♣♣♠♥t ♣♦r ♥r

❱♦s ♠é♦rt♦♥ t rrs ♦♠♣é♠♥trs

s ♠ét♦s ♣rés♥tés ♥s ♦♠♥t ♣r♦♣♦s♥t ♥ s②♥tès s ♠ét♦s ssqs ①st♥t ♥s ttértr s é♦t♦♥s ♥♦t♠♠♥t ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣ts ♠sss ♦tés ♦♣ strtr t s ♠ét♦s rés♦t♦♥ qs♥②tq s strtrs ♠♠rés tst♦♥ é♦♠étr ♠s ♥♣t ♦rs t éà rssr rt♥s ♣sts ♠é♦rt♦♥ s ♠ét♦s t ♣r♦♣♦sr ssts é♦♣♣♠♥t ♣♦sss ♣♦r ♥♦s ♠ét♦s rés♦t♦♥ ♥②tqs

♠é♦rt♦♥ s ♠♦ès ts

Pr♠ s ♠é♦rt♦♥s ♣♦sss ♠♦è ♦♥ ♣t tr ① ♣sts rr r étt♦♥ ét t ♥ ss♠♥t Prs ♥ ♦♠♣t é♣♣♠♥t rt ♥s st♠t♦♥ ♦♣ strtr

r étt♦♥ ét t ♥ ss♠♥t

♥ s rs♦♥s ①♣q♥t srst♠t♦♥ s ss♠♥ts ♦① ♥s s ♠♦ès♥②tqs st étt♦♥ rtré rrêt t ét s ss♠♥ts ♥trî♥♥ ♠s étr♠♥t♦♥ étt strtr à s ♥st♥ts t ♥♦t♠♠♥t é♥r st♦é ♥s s ♠sss ♦s♥ts t ♣r♦♦q s ss♠♥ts ♣rsts P♦rétr srt ♠♣♦rt♥t é♦♣r s ♣s t♠♣s ♦rsq♦♥ étt ♥ ss♠♥t♥ rér ♥tr ♥rtt ♥ésstr é♦♣♣r s ♠ét♦s à♣s t♠♣s rs t à r♦tr s ♠ét♦s ♦♥r♥ r♣ rs ♥ ♦♥♥♣♣r♦①♠t♦♥ ♥st♥t ①t ♥♠♥t étt ♦♥tt ♣t r à♥♦♥tr tss ♥♦tr ♠ét♦ ♦♥♥r rr t ♦t♥ têt ♦rs é♦♣♣♠♥t tt ♠é♦rt♦♥

Prs ♥ ♦♠♣t é♣♣♠♥t rt ♥s s ♠♦ès s ♠sss ♦♣ strtr

s s ♥②tqs s ♠sss ♦tés ♦♣ strtr s♦♥t tés♥ ♦♥sér♥t s é♦♠♥ts ♥s ♣♥ (ex, ey) ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s t♦t à tà rété t st ♥éssr ♥s rt♥s s ♥♦t♠♠♥t ① ♦ù s strtrs ♥♦♥t

♣s ♥ tr très r♥ ♣r r♣♣♦rt à é♣ssr s ♠s ♣r♥r ♥♦♠♣t t é♣♣♠♥t rt s ♣r♠èrs éts résés ♥s s♥s ♠♦♥tr♥tq st ♥éssr ♣r♥r ♥ ♦♠♣t t♦tté ♦♠ ♣rés♥t sss strtr ♥ ♥ ♥térr ♦♥tr♥t ♣rss♦♥ é à r à sr r ♦♠♣①té ♣r♦è♠ ♥t t q tt sr r ♥ ♠♦♠♥t♣r♦♣r ♦rs r♠♥t ss♠q q ♥♥ ♠♥èr ♥♦♥ ♥é r ♣rss♦♥ ♦rs é♣♠♥t ♥ strtr ♠♠ré st ♦♥ st♠r s♠♣♠♥t r s ♠sss ♦♣ t rst ♥ st ♦rt rr

♦t♦♥s ♥②tqs ♥ ②♥♠q ♥♦♥ ♥ér ♦♣é strtrs ♥é♣♥♥ts

♠♦é s ♠sss ♦tés ♦♣ strtr ♣r♠t ♦t♥rs ♠trs r♥t s éért♦♥s strtrs ♥s ♦r♥sés ♥ qr ① ♦rts ♣♣qés ♣r sr ♥ s strtrs ♥ ♦t♥t ♥ss ♠trs ♠sss ♦tés

MHxx(z), M

Hxy(z), M

Hyx(z) & MH

yy(z)

♦♠♣♦s♥t ♠tr MHxx(z) ♦♥♥ ré♣rtt♦♥ ♦rts ♥éqs ♣♣

qés sr sttr j ♥s rt♦♥ ex ♦rs éért♦♥ s♥t ex strtri

♥ tsr ♣♥♠♥t s ♦♥♥és srt ♥térss♥t é♦♣♣r ♥ ♠♦è rés♦t♦♥ qs♥②tq s♥s♣r♥t ♦rt♠♥t ♠ét♦ été ♥s tt tès♣♦r étr♠♥r s é♣♠♥ts ♥s♠ s strtrs ♠♠rés ss♥tss♦s r♠♥t ss♠q s②stè♠ éqt♦♥ à rés♦r st s♥t

[M(z) +MH

xx(z, t)]Ux(z, t) +MH

xy(z, t)Uy(z, t) + C(z, t)Ux(z, t)

+Kxx(z)Ux(z, t) = Rx(t)−Mγx(t) +M1xxγx(t)

[M(z) +MH

yy(z, t)

]Uy(z, t) +MH

yx(z, t)Ux(z, t) + C(z, t)Uy(z, t)

+Kyy(z)Uy(z, t) = Ry(t)−Mγy(t) +M1yyγy(t)

Ux(z, t) =

T (Ux1(z, t), Ux2(z, t), . . . , UxN(z, t)) tr s ♦♥t♦♥s é♣♠♥tss strtrs ♥s s♥t ❳

Rx(t) =T (Rx1(t), Rx2(t), . . . , RxN(t)) tr s ♦rts r♦tt♠♥t ♣♣qéssr s strtrs ♥s s♥t ❳

M(z) st ♠tr s ♦♥t♦♥s ♠sss ♥éqs s strtrs st ♦♥ s s strtrs s♦♥t ♥é♣♥♥ts

C(z, t) st ♠tr s ♦♥t♦♥s ♠♦rtss♠♥ts ♥éqs s strtrs st ♦♥ s s strtrs s♦♥t ♥é♣♥♥ts

Kxx(z) st ♠tr s ♦♥t♦♥s rr ♥éq ♥t s é♣♠♥ts s♥t

❳ ① ♦rts ♥tr♥s s♥t ❳ s strtrs st ♦♥ s s strtrss♦♥t ♥é♣♥♥ts

♥ ét s♥t♦♥ s ♠trs ②♥t trs ♥s ♣r s ♥♠♥ts rt♦♥ ♣♣t♦♥ s ♦rts

♠ét♦ rés♦t♦♥ ♦♥sstrt à étr♠♥r s ♠♦s ♣r♦♣rs ♠♠rés ♦♣ésà ♣rtr s ♠♦s ♣r♦♣rs q strtr ♥ sè s ♠♦s ♣r♦♣rs♦♣és é♣♥♥t étt ♦♥tt ♥ s strtrs ♥s st àq rés t♦t ♦♠♣é①té ♣r♦è♠ t à ♥ q tért♦♥ étr♠♥rs ♥♠♥ts étt ♦♥tt ♥ s strtrs ♣s ♦rsq♥ ♥♠♥t stétté rr s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♣és ❯♥ tr s♦t♦♥ ♦♥sstrt à étr♠♥r t♦tté s ♠♦s ♣r♦♣rs ♦♣és ♥ s♥t ♥s♠ s ♦♠♥s♦♥s ♣♦sss♣♥♥t ré♣rés♥t 2N ♣♦sstés ❯♥ r♥èr ♠ét♦ ♦♥sstrt à étr séqt♦♥s ♥②tqs é♥érs q q s♦t étt s ♦♥tts ♥ ♦♥sér♥t ♣s tr♠s q ♥éssr ♥s rt♥s s Ps à q ♥♠♥t étt ♥ strtr ♥ r é♦r q s tr♠s ♦♥r♥és ♥s s ♠trs s♣♣♦s ♣s tr♥ ♠♦♥t ♠s ①♣♦sé s réstts t r♣té s♥ tr♦r♦♥t ♠é♦rés

Prs ♥ ♦♠♣t s♠♥t ♥s s s ♠sss♦tés ♥♦t♦♥s ♥rt ♦té

♦♥ s♦t étr ♥ strtr ♥ ♥st ♥s s ♦♥t♦♥s s♠rsà s ♥♦tr ét stàr ♥ ♦♣ strtr t ♥ ss♠♥t♣♦ss s♦s r♠♥t ss♠q st ♥éssr é♦♣♣r ♥ ♠ét♦ étr♠♥t♦♥ ♥②tq s ♠trs ♠sss ♦tés é♥érsés P♦r ♥ strtr♥ r s ♠trs sér♥t

MIFS =

mxx mxy mxz hxx hxy hxzmyx myy myz hyx hyy hyzmzx mzy mzz hzx hzy hzzhxx hyx hzx Ixx Ixy Ixzhxy hyy hzy Iyx Iyy Iyzhxz hyz hzz Izx Izy Izz

♥ t ♣♣rîtr ① ♥♦s ♦♥t♦♥s hij ♦rrs♣♦♥ ♠♦♠♥t ♦rr ♠ss ♠♥s♦♥ Kg.m r ♥s ♥

éért♦♥ tr♥st♦♥ ♥ ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ t ♥ éért♦♥ ♥r à ♥♦rt tr♥st♦♥

Iij ♦rrs♣♦♥ ① ♥trts ♦tés ♠♥s♦♥ Kg.m2 éért♦♥ ♥r ωi

t♦r ① ei ré ♥ ♠♦♠♥t t♦r ① ej é à Iijωi

s ♦♥t♦♥s s♦♥t étr♠♥♥ts ♣♦r ♣♦♦r ér ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ strtr ♣♦♥t sr t ♥♦t♠♠♥t éttr s ♣rts stté s♠♥t tr♦♣♠♣♦rt♥t ♥trî♥♥t ♥ t strtr é♦♠♥t s strtr♦rs ♥ ♣s rs♥t st ss ♠♣♦rt♥t ♦♠♣r♥r s ♣é♥♦♠è♥s

♣♣rss♥t ♣♥♥t s ♣ss ♣♥♠♥ts ♥ ♠s sqà s s♣rt♦♥t à ♥rs ♦rs s ♣ss rét♦♥ ♥ ♠ sq à ♥①st♥t

♥s r sqà ♥ ét ♦t s ♥rts ♦♣ ♣t srr ♣♦rs ât♠♥ts r♥ ♦♥r ♦ ②♥t r♥s s♣rtés ♥s s éé♠♥ts s♣♣♦rt♥t rsr ♣♦r sqs st ♥éssr ♦♥sérr ♥ ①tt♦♥ ♠ts♣♣♦rt ♣♦♥t s trr ♣r ♣♣rt♦♥ ♥ éért♦♥ ♥r ♥trî♥♠♥t♣♦r q st ♥éssr ♦r ♥♥ ♦♣ strtr t ♥♣♦ssé r♠è é♥érsé s♥t ♥tr♥r s r♦tt♦♥s

♥♥①

rt P❱P

P❱P

♥②t s♦t♦♥s ♦r t st② ♦ ♠♠rs ♥♥♦r

strtrs ♥r ss♠ ♦♥

♦♠♥ ∗ † ♦s ∗

∗♦rrs♣♦♥♥ t♦r r♦♠♥♠r♦♠ ♦t♦r ♥♦s♦rtr♦♠

❱ P ♦r ❱ ♣ ♥ r

P é♥s ❳ †♣t② rt♦r ♦ t rté s ♠tér① t s strtrs ♣♦r é♥r r

♦ s P♦♥ts Prt t ♥ s Ps té srts

♠♣s sr r♥ ❱ ❳

r

strt

♥ t ♥r ♥r② ♥str② ♠♦st ♦ t ♠♦r ♦♠♣♦♥♥ts r ♥♦r t♦ t ♦rs s♥

♥♠r♦s t②♣s ♦ s♣♣♦rts s s ♥♦rs r sss ♦ t ♥r ♣♥t s♥ t

♠♣♥tt♦♥ ♦ t ♦♠♣♦♥♥ts s t♦ ① ♥t② strss ♦♥♥trt♦♥ ♥ t srr♦♥♥s ♦ t

♥♦r ♥ ♦r ♠♠rs strtr ♣♦ss ♦ss ♦ t ♠♣r♠t② r② ♥r rt♥ st②

rt♦♥s s♦♠ strtrs ② rt② ♦♥ t r♦♥ s s t s ♦r ♥ r ♦r ♥rtr strtr

s s st♦r rs s s♦t♦♥ s ♠♦r ①t② ♥ t s ♦ t ♦♠♣♦♥♥ts ♥ rs ♦

t strss ♦r ♦♥ s t♦ t ♣rs② t ♦r ♦ ts s♥ strtr ♥ ♥ ♣rtr t

♠t s♥ s♣♠♥t r♥ ss♠ ♥t ♥ ♦rr t♦ ♣r♥t ♥② ♠♣t t ♦tr ♦♠♣♦♥♥ts

r♥ ss♠ ♥t t ♥♥♦r strtr ♥ s r♦tt ♥ tt ♠ ♦ ts ♣♣r s t♦ ♣rs♥t

♥②t s♦t♦♥s t♦ st♠t t s♥ ♠♣ts ♦ r♥t s♠♣ s②st♠s r♣rs♥t ♥

②♥♠ ♦r s s♠♣ ♠♦s r s♥ ♠ss s♥ s♣r♥♠sss s②st♠ ♥

♦♠♣① s♥ strtr ♥ ② ts ♥♠♦s s♠♣ s②st♠ ♦rrs♣♦♥s t♦ r♥t st

♦ ss♠♣t♦♥s ♠ ♦♥ t ①t② ♦ t strtr

♦ ♥②t s♦t♦♥s r ♣rs♥t ♥ ts rt s♥ s♥ ♠ss ♥ s♥ s♣r♥♠sss s②st♠

♥ r② ♠♦ t strtr ♥trt♦♥ t♥ t ♠♠rs ♦② ♥ t ♣♦♦ s ♠♦ s

②r♦②♥♠ ♠ss s♥ s r♣rs♥t ② ♦♦♠ rt♦♥ ss♠ ♦♥ ♥ ♥②

ss♠ r♦r♠ ♥②t s♦t♦♥s r ♦t♥ ♦♥sr♥ t r♥t ♣ss ♦ t ♠♦♠♥t

♥ t ♦♥t♥t② t♥ ♣s rsts r t♥ ♦♠♣r t♦ t s ♦♠♣t t t

♦♠♠r ♥t ♠♥t ♣ ANSY STM ♥②t rs s♦ ♦♦ t ♦ t ♦♠♣tt♦♥

rsts

♥tr♦t♦♥

♥ ♦ t ♠♥ sss ♥ t st② ♦ t ss♠ rs♣♦♥s ♦ ♥♥♦r strtrs s t s♣♠♥tst♠t♦♥ st s r ♥ ♥rs♥ tt♥t♦♥ t♦ t t tt t rs♣♦♥s ♦ sr t②♣s♦ ♥♦♥strtr ♦♠♣♦♥♥ts ♥ q♣♠♥t ♥ st ♥ t ♦♥t①t ♦ s♥ strtrs r rts ♥ rtt♥ ♦♥ t sts ♦ r ♦② ♦r ♥r ss♠ ♦♥s st② ♦ s♠♣ s♥♠ss ♥r ♣r♦ ①tt♦♥ ♥ r♥♦♠ s♥ s t ♥ [] s r♦ ♥ sr♦ r♦② ♠♦s ♥ st ♥r ①tt♦♥ ② [] [] ♥ [] ♥②ss ♦ t rst ♠♦ s♠♦ ♥ rt ♠♦ s ♥ ♦♥t ♥ []

♦st ♦ t sts ♦♥ t st ♦♥sr r♥t t②♣s ♦ ♦r rst♥ s♥ r♦♥ s♥r♦♥ t r♥t t②♣s ♦ ♦♥tts t t② r s♥ ①tt♦♥ s♥ ♦r③♦♥t ♥ rt ①tt♦♥s ❲♥ ts ♥♥♦r strtrs r st t ss♠ ♦♥ t strtr

s t♦ ♦ tr♦ rst♥ stt ♥ t s ♥♥ ts rt♦♥ ♦ s♥ s ♦r s ♥♦t rst ♥♦♥ ♦♥srs r ①tt♦♥ s♥ ♦♥ ❳ ♦s♥ ♦♥ ❨ st② s♦s r ②s s♥♠♦♠♥t t st② s♦s tr♥t② s♥ ♥ rst♥ sts

♣rs♥t st② ♦ss ♦♥ sts♥ t qt♦♥s ♦r t ss♠ ♦r ♦ t♦ r♥t ♠♦s s♥ s♥ ♠ss ♠♦ ♥ s♥ s♣r♥♠sss ♠♦ r♣rs♥t♥ t rst ①r ♠♦ ♦ t strtrs ♠♦s ♦♥sr ♦♦♠ s♥ ♦r ♥ ♥ s♠♣ strtr ♦♣♥ ♥rttr♠s ♦♥② ♥ t ♠♦♠♥t qt♦♥s r sts sr ♣s♦♥②t ♠t♦ t♦ ♥t②♦♠♣t t s♦t♦♥s

♥ s♥ ♠ss

♥ ts ♣rr♣ t t ss♠ ♦r ♦ s♥ s♥ ♠ss ❲ sts t ♥r③♠♦♠♥t qt♦♥s ♦r ①tt♦♥ t strtr ♦♣♥

♦ sr♣t♦♥ ss♠♣t♦♥s

s②st♠ s sr ② ts ♠ss M r②rt♦♥ s♥ s ♦♥sr t s♥ ♦♥t µ ss♠ ①tt♦♥ s ♠♦ ② ♥ rt♦♥ ♥s t rt② (−γx(t),−γy(t),−γz(t)− g) strtr ♦♣♥ s t♦ r♥t ♥♥s ♦♥ t strtr rst ♦♥ s ♠♦ s♥②r♦②♥♠ ♠sss ♥ t rt♦♥ ♦ t ♣♦♦ t♦ t rt♦♥ ♦ t ♠ss s♥

(FFluid−M

FFluid−P

)=

(−MH MH +M1

MH +M1 − (MH +M1 +M2)

)(γMγP

)

❲r FFluid−M ♥ FFluid−P r rs♣t② t ♦rs ♣♣ ② t ♦♥ t ♠ss ♥ ♦♥ t ♣♦♦γM ♥ γP r rs♣t② t rt♦♥ ♦ t ♠ss ♥ ♦ t ♣♦♦ MH s t ②r♦②♥♠ ♠ss M1 st ♠ss ♦ tr s♣ ② t ♠♦ ♠ss r♥ ts ♠♦t♦♥ M2 s t ♠ss ♦ tr s♣ ② t♠♦t♦♥ ♦ t ♣♦♦

s♦♥ ♥♥ ♦ t ♦♥ t strtr s t ♦②♥② ♦②♥② ♦rs ♥ ♥ rt♦♥ s ♣♣ t♦ t tr ♥ ♦r s t rt♦♥ s t rst ♦ t ss♠ ♥ t rt② ♠♥s tt tr s ♦②♥② t ♥ r② rt♦♥ t ♥②ss ♦ ts ♣♥♦♠♥♦♥ s♦s tt t♦②♥② ts r rt② rt t♦ t ②r♦②♥♠ ♠sss t ♥ ♠♦ s ♠♦t♦♥ ♦ trt♦♥ ♣♣ t♦ t strtr ♥ ♥ ♥rs ♦ t ♠ss ♦ t strtr ♦ t ♦♥ t♦r♥♥ qt♦♥s ♥ s♠♠r③ s

(M +MHx) X

(M +MHy) Y

(M +MHz) Z

= R+

(M1x −M) γx(t)(M1y −M) γy(t)

(M1z −M) (γz(t) + g)

❲r MH. s t ②r♦②♥♠ ♠ss ♦r ♥ rt♦♥ ♦ t s♣♠♥t ♠sss ♦t♥ ♥ t♦rt♦♥s ♥ r② r♥t t ♦♠tr② ♦ t ♣♦♦ s ♥♦t s②♠♠tr M1. r t ♠sss ♦ trs♣ ② t ♠♦♠♥t ♦ t ♠♦ strtr ♥ ♥ rt♦♥

(X, Y , Z

)s t rt rt♦♥

♦ t strtr ♥ R s t rt♦♥ ♦r ♦ t r♦♥ ♥♦r♠ ♥ t♥♥t rt♦♥s

♦r r② ♠♦ ♦♥sr rt rt♦♥ tt ♣r♥ts t ♠ss r♦♠ t♥ ♦ ♠♥♥ tt|γz(t)| < g ♥ ts s t ♦♥tt ♦r ♥ ①♣rss ② ts st ♦ qt♦♥

‖V ‖ =√

X2 + Y 2 = 0 ⇒√

R2x +R2

y < µRz

‖V ‖ =√

X2 + Y 2 > 0 ⇒ Rxex +Ryey = − V

‖V ‖µRz

♥ ♦rr t♦ s♦ (2) ♦♥ ♥s t♦ ①♣rss t r♦♥ rt♦♥ ♦r R ♦r♥ t♦ (3) t s♥ ♦r♣♥s ♦♥ t stt ♦ ②♦r ♦♥tt s♥ ♦r st♥ ❲ t♦ ♥②t s♦t♦♥s ♦r t♠♦♠♥t ♦r ♦ ts t♦ ss ♥ ♥ t t② ♦♠♥ ♦ ts ♥②t s♦t♦♥s ❲♥t strtr ♥♦ ♦♥r rs ♦♥ ♦♠♥ ♦ t② t stt ♦ t ♦♥tt sts ♥ s♦ ♦s t st ♦s♦t♦♥s ♥ t t② ♦♠♥

♦r ①♠♣ t s ♦♥sr strtr s s♥ s ♦♥ s t s♥ t② ♦♠♥ s r s t s♥ st ♦ ♥②t s♦t♦♥s ❲♥ t strtr s ♥♦ ♦♥r ♥ t s♥ t② ♦♠♥ ♥ t stt ♦ t ♦♥tt t♦ st♥ ♥ s t st♥ st ♦ ♥②t s♦t♦♥s ♥ t②♦♠♥

t♥ stt

♦r t ♥♥♥ ♦ t rtq t ♠ss s ②♥ ♦♥ t r♦♥ ♥r st♥ stt s stt ♦♥t♥ t t ♥♥♥ ♦ t rtq ♥t rt♥ ♦ rt♦♥ s r s st♥stt ♥ r ♥ r♥ t ss♠ ♦♥ r♥ ts ♣ss t ♠♦♠♥t qt♦♥s tss♠♣ st ♦ s♦t♦♥s

X = X0

Y = Y0

Z = Z0

Rx = (M −M1x) γx(t)Ry = (M −M1y) γy(t)Rz = (M −M1z) (γz(t) + g)

❲r (X0, Y0, Z0) s t ♥t ♣♦st♦♥ ♦ t ♠ss

s st ♦ s♦t♦♥s r♠♥s s ♦♥ s t ♥♦♥s♥ ♦♥t♦♥ s r

√[(M −M1x) γx(t)]

2+ [(M −M1y) γy(t)]

2< µ (M −M1z) (γz(t) + g)

❲♥ ts ♦♥t♦♥ s ♥♦ ♦♥r r t♥ t ♠ss strts t♦ s ♥t ♦♥t♦♥s ♦r t s♥stt r

X = X0

Y = Y0

X = 0

Y = 0

♥ stt

❲♥ t ♠ss s s♥ t rt♦♥ ♦r s ♦♠♣t② tr♠♥ ② t rt♦♥ ♦ t s♥ ♥ tss t st ♦ qt♦♥s ♥ t s♥ ♥②ss s

(M +MHx) X = − X

‖V ‖µ (M −M1z) (γz(t) + g) + (M1x −M) γx(t)

(M +MHy) Y = − Y‖V ‖µ (M −M1z) (γz(t) + g) + (M1y −M) γy(t)

s qt♦♥s ♥ ♥♦t s♦ rt② s♦ s ♥ trt s♦♥ s s♠r t♦ ♥t ♠♥tt♦♥ ①♣t tt ♦♥sr ♥②t s♦t♦♥s ♦r t♠ st♣ ♣s♦♥②t s♦♥rqrs ♦ t♦♥ ♣t② ♥ s ss t♠ ♦♥s♠♥ t♥ t s♦♥

trt s♦♥

trt s♦♥ rs ♦♥ r♥t s♠♣t♦♥ ♦ t ♠♦ trt♦♥ s ♠ ♦♥ t t♠ s♥ ♦♥st♥t t♠ st♣ ♦r t♠ st♣ ♦♥sr tt t ss♠ rt♦♥ r♠♥s ♦♥st♥t s ♦♦ ss♠♣t♦♥ ♦r s♠ t♠ st♣s

t s ♦♥sr t ith trt♦♥ t s②st♠ s ♥ ② ts ♦t♦♥(Xi, Y i, Zi

) ts ♦t②(

Xi, Y i, Zi) ♥ ts t stt sliding ♦r sticking ♦s♥ t♠ st♣ s ∆t ss♠ rt♦♥ s

(γix, γ

iy, γ

iz

) ♥ s②st♠ t t ith trt♦♥ s tr♠♥ ② (8) t ♠ss s ♥t② sticking ♥ (9)

t ♠ss s ♥t② sliding

♥♦s♥ ♦♥ ♦♥ ♣r♠trsPr♠trs ❱s Pr♠trs ❱s

µ Mh ∆t ♠sM1 fs ③M2 Ts s

ss ♥t② st♥

Xi+1 = Xi

Y i+1 = Y i

If√[(M −M1x) γi

x]2+[(M −M1y) γi

y

]2< µ (M −M1z)

(γiz + g

)

a) true then (i)th initial state is sticking,b) false then (i)th initial state changes to sliding.

s♥ ♦♥t♦♥ s r ♣r♦r ♠♥♥ tt ♥ s♥ s tt t t ♥♥♥ ♦ t ith

trt♦♥ t♥ t t♦♥ s ♠ ♥r s♥ ♥t ♦♥t♦♥s

ss ♥t② s♥

Xi+1 = Xi + Xi∆t− 12

[M−M1x

M+MHxγix + Xi

‖V ‖µM−M1z

M+MHx

(g + γi

z

)](∆t)

2

Y i+1 = Y i + Y i∆t− 12

[M−M1y

M+MHyγiy +

Y i

‖V ‖µM−M1z

M+MHy

(g + γi

z

)](∆t)

2

Xi+1 = Xi −[

M−M1x

M+MHxγix + Xi

‖V ‖µM−M1z

M+MHx

(g + γi

z

)]∆t

Y i+1 = Y i −[

M−M1y

M+MHyγiy +

Y i

‖V ‖µM−M1z

M+MHy

(g + γi

z

)]∆t

If

(Xi+1

|Xi+1| 6=Xi

|Xi|

)&

(Y i+1

|Y i+1| 6=Y i

|Y i|

)

a) true then (i+ 1)th initial state is sticking,b) false then (i+ 1)th initial state is sliding.

♥ ♦ s♥ ♦♥t♦♥ s r ♣♦str♦r ♠♥♥ tt ♥ t ♥ ♦ s♥ ♦♥t♦♥ sr t t ♥ ♦ t ith trt♦♥ t st♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥② ♣♣ t t (i+ 1)th trt♦♥

sts

♥♦s♥ ♦♥

s ♠♥t♦♥ ♥ t ♥tr♦t♦♥ t s ♠♣♦rt♥t t♦ ♦♥sr t ♣r♦♠ ♥st ♦ t ss t♦♠♥s♦♥ ♥②ss ♦♥ ♦♥sr r s ♦s♥ ①tt♦♥ ♦♥ t ❳ ①s ♥ s♥ ①tt♦♥♦♥ t ❨ ①s s♥ ♥ ♦s♥ ♥ ♠♣t ♦ ❲ ♥t t rt ss♠ ①tt♦♥♠♥♥ tt t ♦♥② rt ♦♥ s t rt② ❲ ♦♥sr ♥ ♥r strtr s♦ t ♦♣♥♠sss r ♦♥sr s ♥ r♠♥♥ ♣r♠trs r s♠♠r③ ♥ r fs s t rq♥②♦ t s♥ ♥ ♦s♥ ss♠ s♥ ♥ Ts s t rt♦♥ ♦ t ss♠

s ♣r♠trs ♥ ♠♣♠♥t ♥ ♦r ♠♦s rst ♦♥ s ①tt♦♥ ♠♦ s♥ t♣s♦♥②t s♦t♦♥s s♦♥ ♠♦ FE 3D s s♠r t♦ t rst ♦♥ ①♣t tt t s ♥ s♦s♥ ANSY STM ♥ t tr ♠♦ FE 2D t ss♠ rt♦♥ ♥ t ❨ rt♦♥ s ♥♦t ♦♥sr♥ t st ♠♦ modified FE 2D t ss♠ rt♦♥ ♥ t ❨ rt♦♥ s ♥♦t ♦♥sr ♥ t ❳①tt♦♥ s ♠t♣ ②

√2 ♥ ♦rr t♦ ♦♠♣♥st t ❨ rt♦♥ s ♠♦ ♥ s t♦

♥♦♣♣ s♣♠♥t s

s♠ ♥②ss ♦♥ ♣r♠trsPr♠trs ❱s Pr♠trs ❱s

µ MHx MHy M1x M1y M1z ∆t ♠sTs s

rsts r ♣rs♥t ♥ r 1 s♣♠♥ts ♦♥ t (x, y) ♣♥ ♦ t ♣s♦♥②t♥ t ❨ ♠♦s r r♣rs♥t ♦♥ t t r ♣s♦♥②t r ts ♠♦st ♣rt②t r ♣s♦♥②t ♠♦ s t ♦r ts ss♠ ♦♥ r ♦♥ t rt s♦st s♣♠♥t ♦♥ t ❳ ①s ♦r t ♦r ♠♦s ♣s♦♥②t ♥ t FE 3D rs s♦ ♦♦ t ♦r t FE 2D ♠♦ ②s ♥rst♠ts t s♣♠♥t ♥ t modified FE 2D ♠♦♦rst♠ts t s♥ ♥ ♥ ♦rst♠t♦♥ ♦ t ♦ ♠①♠♠ s ♥ ♥ ♥rst♠t♦♥ ♦ t♦ ♠♥♠♠ s s ♦r t♥s t♦ ♠♣ s t s♥ ♦♥t ♥rss s ♣♦♥t s♦st ♠♣♦rt♥ ♦ ♦♥sr♥ t ♦ ①tt♦♥ ♥ ♦rr t♦ st♠t ♦rrt② t s♣♠♥t ♦ tstrtr s s s♣② tr ♥ ♦♥sr♥ r♥♦♠ ss♠ ①tt♦♥

r ♥ s♥ ss ②st♠ ♥♦s♥ ♦♥ s♣♠♥t rs

♥♦♠ ss♠ ①tt♦♥

♦r ♠♦s sr ♥ ♣r r s ♦r ts s♠t♦♥ ①♣t tt t strtr ♥trt♦♥s t♥ ♥t♦ ♦♥t ♥ st ♦ ♣r♠trs s ♥ ♥ ♦r③♦♥t ss♠ ♦♥ s r♥t♥ rt♦♥ ❳ ♦r ❨ t ❩r♦Pr♦ rt♦♥ ♦ 0.51g rt rt♦♥ s 0.2g ❩P

rsts r ♣rs♥t ♥ r 2 s♣♠♥ts ♦♥ t (x, y) ♣♥ ♦ t ♣s♦♥②t♥ t ❨ ♠♦s r r♣rs♥t ♦♥ t t♥ r ♣s♦♥②t r ts ♠♦st♣rt② t r ♦♥sq♥t② t ♣s♦♥②t ♠♦ s t ♦r ts ss♠ ♦♥ r ♦♥ t rt s♦s t s♣♠♥t ♦♥ t ❳ ①s ♦r t ♦r ♠♦s ♣s♦♥②t ♥t FE 3D rs s♦ ♦♦ t ♦r t FE 2D ♠♦ ②s ♥rst♠ts t s♣♠♥t modified FE 2D ♠♦ s♦s ♦ r♥t ♦r t ♠♣ rt♦♥ t♥s t♦ ♦r t rt♦♥♦ t rst s♥ ♥ ts s t s t −X rt♦♥ r rr rt♦♥ s ♣r♦rt② t♦ t +Xrt♦♥ s ♥rts t ♠♣♦rt♥ ♦ ♦♥sr♥ t ♦ ①tt♦♥ ♥ ♦rr t♦ st♠t ♦rrt②t s♣♠♥t ♦ t strtr

r ♥ s♥ ss ②st♠ s♠ ♦♥ s♣♠♥t rs

sss s♣r♥ s②st♠

s♥ s♥ ♠ss ♣♣r♦①♠t♦♥ s r♦ st♠t♦♥ ♦ t ♦ s♥ ♦r ♦ t strtrs ♣♣r♦①♠t♦♥ s ♦♥② rt t rst ①r ♥rq♥② ♦ t s②st♠ s ♥♦t ♥ t s ss♠rq♥s ♦ ③ ❲♥ t s ♥ t ss♠ ♦♠♥ t ♠♦ ♥s t♦ t ♥t♦ ♦♥t t ♥♠♦s♦ t s②st♠ s♠♣st ♠♦ t♥ ♥t♦ ♦♥t t rst ①r rq♥s ♥ t t♦ ♦r③♦♥trt♦♥s s ss t♦ ♠sss ♥ ♦♥ s♣r♥ ♠♦

♦ sr♣t♦♥ ♥ ss♠♣t♦♥s

♠♦ ♦♥ssts ♥ ♦♥ ♦st♥ ♠ss Mb s t t ♠ss ♦ t rst ①r ♠♦ s♥♠ss Ma rr♦♣s t r♠♥♥ ♠ss ♦ t s②st♠ ♥ ♦♥ s♣r♥ t r♥t st♥sss ♦♥ rt♦♥ kx ♦r t ❳①s ♥ ky ♦r t ❨①s st♥sss r ♦s♥ t♦ t t ①r rq♥② ♦♥ rt♦♥ s②st♠ s r♣rs♥t ♥ r 3 ♠ss strt♦♥ t♥ Ma ♥ Mb ♥ ♥r♥ t rtq ♥ t stt ♦ t ♦♥tt ♥s r 4 s♦s t ♠ss strt♦♥ ♦r ♠♦r t sliding ♥ sticking ♦♥tt stt

r ♣rs♥tt♦♥ ♦ t s♣r♥ ♠sss s②st♠

strtr ♦♣♥ strt♦♥ s ss♠ t♦ ♦♦ t ♠ss strt♦♥ s ss♠♣t♦♥ ts♣rt② ②r ♦♣♥ ♦rrs♣♦♥♥ t♦ rt③ ♣♦t♥t t♦r② ❬❪ t s ♥ ♥rtstrt♦♥ ♦r ♦♠♣① ♦r

❲ ②s ♦♥sr rt rt♦♥ tt ♣r♥ts t s②st♠ r♦♠ t♥ ♦ ♠♥♥ tt |γz(t)| <g s♣r♥ s s♣♣♦s t♦ ♥♥t② r ♦♥ t rt ①s ♥ ts s t rt ♦rs tr♥strt② r♦♠ ♦♥ ♠ss t♦ t ♦tr

♦r♥♥ qt♦♥s

♦r♥♥ qt♦♥s ♦ t ♠ssss♣r♥ s②st♠ ♥ s② sts t s ♦♥♥♥t t♦ ①♣rssts qt♦♥s tr ♥ tr♠s ♦ s♦t s♣♠♥ts ♦ t ♠sss q♥ s♥ Xa ♥ Xb ♦r ♥tr♠s ♦ ♥tr♦ï ♥ rt s♣♠♥ts q♥ s♥ Xg ♥ Xr

(Ma +MHxa) Xa(t) = − (Ma −M1xa) γx(t)− kx (Xa(t)−Xb(t)) +Rx(t)

(Ma +MHya) Ya(t) = − (Ma −M1ya) γy(t)− ky (Ya(t)− Yb(t)) +Ry(t)

(Mb +MHxb) Xb(t) = − (Mb −M1xb) γx(t) + kx (Xa(t)−Xb(t))

(Mb +MHyb) Yb(t) = − (Mb −M1yb) γy(t) + ky (Ya(t)− Yb(t))Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)

(M +MHx) Xg(t) = − (M −M1x) γx(t) +Rx(t)

(M +MHy) Yg(t) = − (M −M1y) γy(t) +Ry(t)

Xr(t) + ω2rxXr(t) = −

(Ma−M1xa

Ma+MHxa− Mb−M1xb

Mb+MHxb

)γx(t) +

Rx(t)Ma+MHxa

Yr(t) + ω2ryYr(t) = −

(Ma−M1ya

Ma+MHya− Mb−M1yb

Mb+MHyb

)γy(t) +

Ry(t)Ma+MHya

Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)

❲r

• M = Ma +Mb MH. = MH.a +MH.b ♥ M1. = M1.a +M1.b r t r ♦② q♥tts

• ωrx =√

kx

Ma+MHxa+ kx

Mb+MHxb♥ ωry =

√ky

Ma+MHya+

ky

Mb+MHybr t rst rr ♥♣st♦♥s

♦ t t strtr

• Xg = (Ma+MHxa)Xa+(Mb+MHxb)Xb

M+MHx♥ Yg =

(Ma+MHya)Ya+(Mb+MHyb)Yb

M+MHyr t t ♥tr♦ï ♣♦st♦♥s

• Xr = Xa −Xb ♥ Yr = Ya − Yb r t rt s♣♠♥ts

t♥ stt

♦r ts ♠♦ t st♥ stt ♦rrs♣♦♥s t♦ ♥ r♠♦♥ ♦st♦r ♥r r♥♦♠ ①tt♦♥ qt♦♥ s t ♠♦st ♦♥♥♥t ♥ ♥ ①♣rss s

Xa(t) = X0a

Ya(t) = Y 0a

Xb(t) = − Mb−M1xb

Mb+MHxbγx(t)− kx

Mb+MHxb

(Xb(t)−X0

a

)

Yb(t) = − Mb−M1yb

Mb+MHybγy(t)− ky

Mb+MHyb

(Yb(t)− Y 0

a

)

Rx(t) = (Ma −M1xa) γx(t) + kx(X0

a −Xb(t))

Ry(t) = (Ma −M1ya) γy(t) + ky(Y 0a − Yb(t)

)

Rz(t) = (Ma +Mb −M1z) (γz(t) + g)

❲r(X0

a , Y0a , Z

0a

)s t ♥t ♣♦st♦♥ ♦ t s♥ ♠ss

r q♥t ♠ss strt♦♥ ♦r ♠ t r♥t ♦♥tt ♦♥t♦♥s

s qt♦♥s r♠♥ s ♦♥ s t ♥♦♥s♥ ♦♥t♦♥ s r

√R2

x +R2y < µRz

❲♥ q♥ (13) s ♥♦ ♦♥r r ♦r t = t0 t♥ t s②st♠ strts t♦ s ♥t ♦♥t♦♥s ♦r ts♥ stt r

X0g =

(Ma+MHxa)X0a+(Mb+MHxb)Xb(t0)M+MHx

Y 0g =

(Ma+MHya)Y0a +(Mb+MHyb)Yb(t0)M+MHy

X0r = X0

a −Xb(t0)Y 0r = Y 0

a − Yb(t0)

X0g = Mb+MHxb

M+MHxXb(t0)

Y 0g =

Mb+MHyb

M+MHyYb(t0)

X0r = −Xb(t0)

Y 0r = −Yb(t0)

♥ stt

❲♥ t s②st♠ s s♥ t rt♦♥ s ♦♠♣t② tr♠♥ ② t rt♦♥ ♦ t s♥ ♥ ts st st ♦ qt♦♥s ♥ t s♥ ♥②ss s

(M +MHx) Xg(t) = − (M −M1x) γx(t)− µ X(t)‖V ‖ (M −M1z) (γz(t) + g)

(M +MHy) Yg(t) = − (M −M1y) γy(t)− µ Y (t)‖V ‖ (M −M1z) (γz(t) + g)

Xr(t) + ω2rxXr(t) = −

(Ma−M1xa

Ma+MHxa− Mb−M1xb

Mb+MHxb

)γx(t)− M−M1z

Ma+MHxaµ X(t)

‖V ‖ (γz(t) + g)

Yr(t) + ω2ryYr(t) = −

(Ma−M1ya

Ma+MHya− Mb−M1yb

Mb+MHyb

)γy(t)− M−M1z

Ma+MHyaµ Y (t)

‖V ‖ (γz(t) + g)

❲ s ♥ trt s♦♥ t♦ s♦ ts ♥♦♥♥r qt♦♥s s ♠t♦ ♣♣ t♦ t masses & springs②st♠ s sr ♦

trt s♦♥

trt♦♥ s♦♥ rs ♦♥ t s♠ ss♠♣t♦♥ ♥ ♥♦tt♦♥s s ♥ ♣r 2.4 ❲ ♦♥sr t ith trt♦♥ ♥ s②st♠ t t ith trt♦♥ s tr♠♥ ② (16) t ♠ss s ♥t② sticking ♥ (17) t ♠sss ♥t② sliding

ss ♥t② st♥

Xi+1a = Xi

a

Y i+1a = Y i

a

Xi+1b = Xi

a +(Xi

b −Xia

)cos(ωB

x ∆t) +Xi

b

ωBxsin(ωB

x ∆t)− γix

(ωBx )2

Mb−M1xb

M+MHxb

(1− cos(ωB

x ∆t))

Y i+1b = Y i

a +(Y ib − Y i

a

)cos(ωB

y ∆t) +Y ib

ωBysin(ωB

y ∆t)− γiy

(ωBy )

2

Mb−M1yb

M+MHyb

(1− cos(ωB

y ∆t))

If√[

kx(Xi

a −Xib

)+ (Ma −M1xa) γi

x

]2+[ky(Y ia − Y i

b

)+ (Ma −M1ya) γi

y

]2< µ (M −M1z)

(γiz + g

)

a) true then (i)th initial state is sticking,b) false then (i)th initial state changes to sliding.

❲r ωBx = kx

Mb+MHxb♥ ωB

y =ky

Mb+MHybr t t r♠♦♥ ♣st♦♥s ♦ t ♦st♥ ♠ss

s♥ ♦♥t♦♥ s r ♣r♦r ♠♥♥ tt ♥ s♥ s tt t t ♥♥♥ ♦ t ith

trt♦♥ t♥ t t♦♥ s ♠ ♥r s♥ ♥t ♦♥t♦♥s

ss ♥t② s♥

Xi+1g = Xi

g + Xig∆t− 1

2

[M−M1x

M+MHxγix +

Xia

‖V ia‖µ

M−M1z

M+MHx

(g + γi

z

)](∆t)

2

Y i+1g = Y i

g + Y ig∆t− 1

2

[M−M1y

M+MHyγiy +

Y ia

‖V ia‖µ

M−M1z

M+MHy

(g + γi

z

)](∆t)

2

Xi+1r = Xi

r cos(ωrx∆t) +Xi

r

ωrxsin(ωrx∆t)− 1

ω2rx

[αrxγ

ix +

Xia

‖V ia‖βrx

(g + γi

z

)](1− cos(ωrx∆t))

Y i+1r = Y i

r cos(ωry∆t) +Y ir

ωrysin(ωry∆t)− 1

ω2ry

[αryγ

iy +

Y ia

‖V ia‖βry

(g + γi

z

)](1− cos(ωry∆t))

Xi+1g = Xi

g −[

M−M1x

M+MHxγix +

Xia

‖V ‖µM−M1z

M+MHx

(g + γi

z

)]∆t

Y i+1g = Y i

g −[

M−M1y

M+MHyγiy +

Y ia

‖V ‖µM−M1z

M+MHy

(g + γi

z

)]∆t

Xi+1r = −ωrxX

ir sin(ωrx∆t) + Xi

r cos(ωrx∆t)− 1ωrx

[αrxγ

ix +

Xia

‖V ia‖βrx

(g + γi

z

)]sin(ωrx∆t)

Y i+1r = −ωryY

ir sin(ωry∆t) + Y i

r cos(ωry∆t)− 1ωry

[αryγ

iy +

Y ia

‖V ia‖βry

(g + γi

z

)]sin(ωry∆t)

If

(Xi+1

|Xi+1| 6=Xi

|Xi|

)&

(Y i+1

|Y i+1| 6=Y i

|Y i|

)

a) true then (i+ 1)th initial state is sticking,b) false then (i+ 1)th initial state is sliding.

❲r αrx = Ma−M1xa

Ma+MHxa− Mb−M1xb

Mb+MHxb αry =

Ma−M1ya

Ma+MHya− Mb−M1yb

Mb+MHyb ♥ βrx = M−M1z

Ma+MHxa βry = M−M1z

Ma+MHya

♥ ♦ s♥ ♦♥t♦♥ s r ♣♦str♦r ♠♥♥ tt ♥ t ♥ ♦ s♥ ♦♥t♦♥ sr t t ♥ ♦ t ith trt♦♥ t st♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥② ♣♣ t t (i+ 1)th trt♦♥

qt♦♥s ♦r♥♥ t ♠♦♠♥t ♦ t ♥tr♦ï r s♠r t♦ t ♦♥s ♦ t s♥ s♥ ♠ss①♣t tt t rt♦♥ ♦ t rt♦♥ ♦r s ♦♥r t♦ t ♦t② ♦ Ma ♥ r♥t r♦♠t ♦t② ♦ t ♥tr♦ï s♦t♦♥s ♦r♥♥ t s ♦ Xr ♥ Yr r r r♦♠ t ♠qt♦♥s t ♥♦♥♥ ♥t ♦♥t♦♥s ♣♦st♦♥ ♥ ♦t②

sts

♥♦♠ ss♠ ①tt♦♥

♦r ♠sss s♣r♥s s②st♠s r ♦♠♣r ♥ ts st② r② ♠♦ ♥s strtr ♥trt♦♥ss♥ ♥ ♥♥ r♣rs♥t ② t s♣♠♥t ♦ t ♦st♥ ♠ss rst ♠♦ s ♣s♦♥②t ♠♦ ♠ss strt♦♥ r♠♥s t s♠ r♥ t s♥ ♠s t sr t♦ ♦♠♣rt ♠♦ s♦♥ ♠♦ s FE 3D ♠♦ ♥ t tr ♠♦ FE 2D t ss♠ rt♦♥♥ t ❨ rt♦♥ s ♥♦t ♦♥sr ♥ t st ♠♦ modified FE 2D t ss♠ rt♦♥ ♥ t ❨rt♦♥ s ♥♦t ♦♥sr ♥ t ❳ ①tt♦♥ s ♠t♣ ②

√2 ♥ ♦rr t♦ ♦♠♣♥st t ❨ rt♦♥

s ♠♦ ♥ s t♦ ♦rst♠t s♣♠♥t s

st ♦ ♣r♠trs s ♥ ts ♥②ss s ♥ ♥ ♦r③♦♥t ss♠ ♦♥ s r♥t♥ rt♦♥ ❳ ♦r ❨ t ❩r♦Pr♦ rt♦♥ ♦ 0.51g rt rt♦♥ s 0.2g ❩P r♦r♠s r r♥t r♦♠

rsts r ♣rs♥t ♥ r 5 s♣♠♥ts ♦ t s♥ ♠ss Ma ♦♥ t (x, y) ♣♥ ♦ t ♣s♦♥②t ♥ t ❨ ♠♦s r r♣rs♥t ♦♥ t t r ♣s♦♥②t rts ♠♦st ♣rt② t r ♣s♦♥②t ♠♦ s t ♦r ts ss♠ ♦♥ r ♦♥ t rt s♦s t s♣♠♥t ♦♥ t ❳ ①s ♦r t ♦r ♠♦s ♣s♦♥②t ♥t FE 3D rs s♦ ♦♦ t ♦r t FE 2D ♠♦ ②s ♥rst♠ts t s♦t ♦t s♣♠♥t modified FE 2D ♠♦ t♥s t♦ ♠♣② t s♣♠♥t ♥ t rt♦♥ ♦ t rst

s♠ ♥②ss ♦♥ ♣r♠trsPr♠trs ❱s Pr♠trs ❱s Pr♠trs ❱s

Ma Mb µ MHxa MHxb kx 104N.m−1

M1xa M1xb ky 104N.m−1

MHya MHyb M1z M1ya M1yb

s♥ ♥ ♠①♠③ s♦t ♦ t s♣♠♥t s ♥rts t ♠♣♦rt♥ ♦ ♦♥sr♥t ♦ ①tt♦♥ ♥ ♦rr t♦ st♠t ♦rrt② t s♣♠♥t ♦ t strtr s♣② s t ♠♦ts ♠♦r ♥ ♠♦r ♦♠♣①

r sss ♣r♥ ②st♠ s♠ ♦♥ s♣♠♥t rs

♦♥s♦♥

♥ ts st② t♦ ♣s♦♥②t ♠♦s ♥ ♣r♦♣♦s s♥ s♥ ♠ss s②st♠ ♥ s♣r♥ ♠sss s♥ s②st♠ qt♦♥s ♦ ♠♦t♦♥ r ♦t♥ s♥ ♥ trt s♦♥ r♦r t♠ st♣ t ss♠ rt♦♥ ♥ t ♠♣t ♦ t rt♦♥ ♦r r ♦♥sr s ♦♥st♥ts ♦r ♠♦ t ♦♥tt s ♠♦ s♥ ♦♦♠ rt♦♥ ♥ t strtr ♥trt♦♥ s♦♥sr s♥ ♥ ♠ss t♦r②

st ♦ r♥t ss♠ rt♦♥s ♥ ♣♣ t♦ ts ♠♦s rst♥ s♣♠♥ts s♦ r② ♦♦ t t t s♠t♦♥s s♦♥ ♦ t ♣s♦♥②t ♠♦ sts ♦♣ ♦ ♠♥ts t ♠♦ ts t st ♥ ♦r ♦♠♣rs♦♥ t♥ t ♦ s♠t♦♥s ♥ s♦♠ss ♠♦s s ♥ ♠ ♠♦s s♦ r♦♥ st♠t♦♥ ♦ t ♦r ♦ t s②st♠♥ ♥rt s♣♠♥t s ♥ rt♦♥s s st② strts t ♠♣♦rt♥ ♦ ♦♥sr♥ t♦ ♠♦ ♦r ts ♥ ♦ ♥♦♥♥r ②♥♠ ♥②ss

♥② s♠♣ ♥②t ♠♦s r st ♦r ♠♥s♦♥♥ ♦r ♣r♠♥s♦♥♥ st② ② ♦♦ ♥st ♦♥ t ♦r♥♥ ♣r♠trs ♥ ♥ st♠t♦♥ ♦♥ t rsts strt♦♥ t♦ ♥②t♠♦s ♣rs♥t ♥ ts st② ♥ t ♦r ts ♣r♣♦s

♥♦♠♥ts

♣rt ♦ t st② s ♥ ♦♠♣s t t ♣ ♦ t rté s ♠tér① t s strtrs♣♦r é♥r r rt ② t Prs ♥ t ♦ s P♦♥ts Prs ♥ ♥♥ ② t ❯❩ ♥ ③

♣ t♥s t♦ Pr ❱ ♦ s ♣rt♣t t② ♥ t rt♦♥ ♦ tsrt

r♥s

❬❪ P♦♥s é♣♦♥s ②♥♠q ♥ strtr r sr ♦♥t♦♥ ss♥t r ♦♦q ♥t♦♥ é♥♣rss♠q

❬❪ ❲ ♥t♦♥ P ♦♥s s ①tt♦♥ ♦ r ♦s ♦r♠t♦♥ ♦r♥ ♦ ♥♥r♥♥s

❬❪ ❲ ♥t♦♥ P ♦♥s s ①tt♦♥ ♦ r ♦s Pr♦ sr♦ rs♣♦♥s ♦r♥ ♦♥♥r♥ ♥s

❬❪ ❲ ♥t♦♥ rtr ♦r ♥tt♦♥ ♦ s r♦ ♥ sr♦ r♦② ♠♦s ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♥s

❬❪ ❨ s②♠ ♦t♦♥s ♦ r ♦s ♥ rtr ♦r ♦rtr♥♥ ② rtq ①tt♦♥s ♦r♥ ♦rtq ♥♥r♥ ♥ trtr ②♥♠s

❬❪ ❨ ♦♦♠♦♥ ♥ ♦♥♥r ♠♣t ♥ ♦t rs♣♦♥s ♦ s♥r r♦♥ ♦ts ♦♥r ♦♥♥r♥ ♥s

❬❪ P rs trt ②♥♠ ♥②ss ♦ r ♦s ♦♥ ♥♥ ♣♥ srs ♣♣t♦♥ t♦ ♣rt♦♥ ♦ ♠r♥s rs♣♦♥s ♥ st st♦r rs ♥r rtq ①tt♦♥ P❨

❬❪ ❲str♠♦ ❯ Pr♦ rs♣♦♥s ♦ s♥ ♦st♦r s②st♠ t♦ r♠♦♥ ①tt♦♥ rtq♥♥r♥ ♥ strtr ②♥♠s ♦

❬❪ rt③ t ♦ qs ♦♥ t ②♥♠ ♠♦t♦♥s ♦ ♠♠rs s♦s ♦r♥ ♦ ♥♥r♥ ♦r♥str②

♥♥①

rt ♦♥

Proceedings of 19th International Conference on Nuclear EngineeringProceedings of ICONE 19

Mat 16-19, 2011, Makuhari, Chiba, Japan

ICONE 19-43307

ANALYTICAL SOLUTIONS FOR THE STUDY OF IMMERSED UNANCHOREDSTRUCTURES UNDER SEISMIC LOADING

Romain MEGE

Junior academic director

Civil Engineering and Construction Department

Junior academic director

Dismantling and Waste Management

’Nuclear Energy’ MASTER

Ecole des Ponts Paritech

6 et 8 avenue Blaise Pascal - Cité Descartes

77455 MARNE LA VALLEE CEDEX 2

FRANCE

Email: romain.mege@enpc.fr

ABSTRACT

In the nuclear energy industry, most of the major compo-

nents are anchored to the civil works using numerous types of

supports devices. These anchorages are big issues of the nu-

clear plant design: the implantation of the components has to

be fixed definitely, stress concentration in the surroundings of

the anchorage, and for immersed structure, possible loss of the

impermeability. Thereby, under certain safety regulations, some

structures lay directly on the ground. This is the case for in air

or underwater structure, such as fuel storage racks. This solution

gives more flexibility in the use of the components and a decrease

of the stress. However, one has to evaluate precisely the behavior

of this sliding structure, and in particular, the cumulated sliding

displacement during a seismic event in order to prevent any im-

pact with other components.

During a seismic event, the unanchored structure can slide, ro-

tate and tilt. The aim of this paper is to present analytical so-

lutions to estimate the sliding amplitudes of different simplified

systems which represent a given dynamic behavior. These sim-

plified models are: a sliding mass and a complex sliding structure

defined by its eigenmodes. Each simplified system corresponds

to a different set of assumptions made on the flexibility of the

structure.

Two analytical solutions are presented in this article: single slid-

ing mass and a vertical sliding beam. In each model, the fluid-

structure interaction between the immersed body and the pool is

modeled as hydrodynamic masses. The sliding is represented by

Coulomb friction. The seismic loading can be any 3D seismic

accelerogram. The analytical solutions are obtained considering

the different phases of the movement and the continuity between

each phase. The results are then compared to the values com-

puted with the commercial Finite Element package ANSY ST M .

The analytical curves show a good fit of the computational re-

sults.

1 Introduction

One of the main issues in the study of the seismic response of

unanchored structures is the displacement estimation. The sub-

ject has received an increasing attention due to the fact that the

response of several types of nonstructural components and equip-

ment can be studied in the context of sliding structures. Several

1 Copyright c© 2011 by JSME

articles have been written on the studies of rigid body behav-

ior under seismic loadings. The study of a simple sliding mass

under a 2D periodic excitation and a random signal is detailed

by Sideris & Filiatrault.The slide, rock and slide-rock rigid-body

modes have been studied under a 2D excitation by Pons and

Shenton & Jones. A 2D analysis of the rest mode, slide mode

and free-flight mode has been conducted by Solomon.

Most of the studies on the subject consider different types of

behavior: resting, sliding, rocking, sliding-rocking, with differ-

ent types of contacts. But they are all using a 2D excitation (a

single horizontal and a vertical excitations). When these unan-

chored structures are studied with a 2D seismic loading, the

structure has to go through a resting state when it is changing

its direction of sliding. This behavior is not realistic when one

considers a ’circle’ excitation (sine along X, cosine along Y).

The 3D study shows a circle ’always sliding’ movement, while

the 2D study shows alternatively sliding and resting stages.

The present study focuses on establishing the equations for

the 3D seismic behavior of two different models: a single slid-

ing mass model and a vertical sliding beam model represent-

ing the Nth first flexural modes of the structure. These models

consider a Coulomb sliding behavior and include a simplified

fluid-structure coupling (inertial terms only). Once the move-

ment equations are established, we describe a pseudo-analytical

method to efficiently compute the solutions.

2 Single sliding mass

In this paragraph, we deal with the seismic behavior of a sin-

gle sliding mass. We will establish the generalized movement

equations for a 3D excitation with fluid-structure coupling.

2.1 Model description & assumptions

The system is described by its mass, M. A dry-friction slid-

ing is considered with two sliding coefficient, µS the static co-

efficient and µD the dynamic coefficient. The seismic excita-

tion is modeled by an acceleration field which includes the grav-

ity (−γx(t),−γy(t),−γz(t)−g). The fluid-structure coupling has

two different influences on the structure. The first one is mod-

eled using hydrodynamic masses which link the acceleration of

the pool to the acceleration of the mass, using :

(FFluid−M

FFluid−P

)=

(−MH MH +M1

MH +M1 −(MH +M1 +M2)

)(γM

γP

)(1)

Where FFluid−M and FFluid−P are respectively the forces ap-

plied by the fluid on the mass, and on the pool. γM and γP are

respectively the acceleration of the mass and of the pool. MH is

the hydrodynamic mass, M1 is the mass of water displaced by

the modeled mass during its motion, M2 is the mass of water

displaced by the motion of the pool.

The second influence of the fluid on the structure is the buoy-

ancy. Buoyancy occurs when an acceleration field is applied to

the water. In our case, the acceleration is the result of the seism

and the gravity, which means that there is a buoyancy effect in

every direction. A detailed analysis of this phenomenon shows

that the buoyancy effects are directly related to the hydrodynamic

masses. It can be modeled as a modification of the acceleration

field applied to the structure and an increase of the mass of the

structure. The global effect on the governing equations can be

summarized as :

(M+MHx) X

(M+MHy)Y

(M+MHz) Z

= R+

(M1x −M)γx(t)(M1y −M)γy(t)

(M1z −M)(γz(t)+g)

(2)

Where MH. is the hydrodynamic mass for a given direction

of the displacement. The masses obtained in two directions can

be very different if the geometry of the pool is not symmetrical.

M1. are the masses of water displaced by the movement of the

modeled structure in a given direction.(X ,Y , Z

)is the relative

acceleration of the structure. And R is the reaction force of the

ground (normal and tangential reactions).

For every model, we will consider a vertical acceleration that

prevents the mass from taking off, meaning that |γz(t)| < g. In

this case, the contact force can be expressed by this set of equa-

tion:

‖V‖=√

X2 + Y 2 = 0 ⇒√

R2x +R2

y < µRz

‖V‖=√

X2 + Y 2 > 0 ⇒ Rxex +Ryey =− V

‖V‖µRz

(3)

In order to solve (2), one needs to express the ground reaction

force R. According to (3), the sliding force depends on the state

of your contact : sliding or sticking. We decided to give ana-

lytical solutions for the movement for each of these two cases.

Then we define the validity domain of these analytical solutions.

When the structure no longer verifies one domain of validity, the

state of the contact switches, and so does the set of solutions and

the validity domain.

For example, let us consider a structure which is sliding. As

long as the sliding validity domain is verified, we use the sliding

set of analytical solutions. When the structure is no longer in

the sliding validity domain, we change the state of the contact to

sticking and we use the sticking set of analytical solutions and

validity domain.

2 Copyright c© 2011 by JSME

2.2 Sticking state

Before the beginning of the earthquake, the mass is lying on

the ground under sticking state. This state will continue at the

beginning of the earthquake until a certain level of acceleration

is reached. This sticking state can be reached again during the

seismic loading. During these phases, the movement equations

give this simple set of solutions :

X = X0

Y = Y0

Z = Z0

Rx = (M−M1x)γx(t)Ry = (M−M1y)γy(t)Rz = (M−M1z)(γz(t)+g)

(4)

Where (X0,Y0,Z0) is the initial position of the mass.

This set of solutions remains valid as long as the non-sliding

condition is verified :

√[(M−M1x)γx(t)]

2 +[(M−M1y)γy(t)]2 < µ (M−M1z)(γz(t)+g)

(5)

When this condition is no longer verified, then the mass starts to

slide. The initial conditions for the sliding state are :

X = X0

Y = Y0

X = 0

Y = 0(6)

2.3 Sliding state

When the mass is sliding, the reaction force is completely de-

termined by the direction of the sliding. In this case, the set of

equations leading the sliding analysis is :

(M+MHx) X = − X

‖V‖µ (M−M1z)(γz(t)+g)+(M1x −M)γx(t)

(M+MHy)Y = − Y‖V‖µ (M−M1z)(γz(t)+g)+(M1y −M)γy(t)

(7)

These equations can not be solved directly, so we used an it-

erative solving, which is similar to Finite Element calculation

except that we consider analytical solutions for each time step.

The pseudo-analytical solving requires low calculation capacity

and is less time consuming than the FE solving.

2.4 Iterative solving

The iterative solving relies on different simplification of the

model. The iteration is made on the time using a constant time

step. For each time step, we consider that the seismic accelera-

tion remains constant, which is a good assumption for small time

steps.

Let us consider the ith iteration. The actual system is defined

by its location(X i,Y i,Zi

), its velocity

(X i,Y i, Zi

), and its actual

state: sliding or sticking. The chosen time step is ∆t. The seismic

acceleration is(γ i

x,γiy,γ

iz

). The final system at the ith iteration is

determined by (8) if the mass is initially sticking and (9) if the

mass is initially sliding.

2.4.1 Mass initially sticking

X i+1 = X i

Y i+1 = Y i (8)

I f

√[(M−M1x)γ i

x]2 +[(M−M1y)γ i

y

]2< µ (M−M1z)

(γ i

z +g)

a) true then (i)th initial state is sticking,b) f alse then (i)th initial state changes to sliding.

The sliding condition is verified ’a priori’, meaning that when

a sliding is detected at the beginning of the ith iteration, then the

calculation is made under sliding initial conditions.

2.4.2 Mass initially sliding

X i+1 = X i + X i∆t − 12

[M−M1xM+MHx

γ ix +

X i

‖V‖µM−M1z

M+MHx

(g+ γ i

z

)](∆t)2

Y i+1 = Y i + Y i∆t − 12

[M−M1y

M+MHyγ i

y +Y i

‖V‖µM−M1z

M+MHy

(g+ γ i

z

)](∆t)2

X i+1 = X i −[

M−M1xM+MHx

γ ix +

X i

‖V‖µM−M1z

M+MHx

(g+ γ i

z

)]∆t

Y i+1 = Y i −[

M−M1y

M+MHyγ i

y +Y i

‖V‖µM−M1z

M+MHy

(g+ γ i

z

)]∆t

(9)

I f

(X i+1

|X i+1| 6=X i

|X i|

)&

(Y i+1

|Y i+1| 6=Y i

|Y i|

)

a) true then (i+1)th initial state is sticking,b) f alse then (i+1)th initial state is sliding.

The ’end of sliding’ condition is verified ’a posteriori’, mean-

ing that when the ’end of sliding’ condition is verified at the end

of the ith iteration, the sticking condition is only applied at the

(i+1)th iteration.

2.5 Results

2.5.1 Sine/Cosine loading

3 Copyright c© 2011 by JSME

TABLE 1. Sine/Cosine loading - Modeling parameters

Parameters Values Parameters Values

M 1 kg µ 0.2

Mh 0 ∆t 5 ms

M1 0 fs 0.5 Hz

M2 0 Ts 19.5 s

As mentioned in the introduction, it is important to consider

the full 3D problem instead of the classical two dimensional anal-

yses. The loading considered here is a cosine excitation along the

X axis, and a sine excitation along the Y axis. Each sine and co-

sine have an amplitude of 1g. We neglect the vertical seismic

excitation, meaning that the only vertical loading is the gravity.

We consider an in-air structure, so the fluid coupling masses are

considered as null. The remaining parameters are summarized in

Table 1, where fs is the frequency of the sine and cosine seismic

signal, and Ts is the duration of the seism.

These parameters have been implemented in four models. The

first one is a 3D excitation model using the pseudo-analytical so-

lutions. The second model, FE 3D, is similar to the first one ex-

cept that it has been solved using ANSY ST M . In the third model,

FE 2D, the seismic acceleration in the Y direction is not con-

sidered. In the last model, modi f ied FE 2D, the seismic accel-

eration in the Y direction is not considered and the X excitation

is multiplied by√

2 in order to compensate the Y acceleration.

This model can be used to give enveloppe displacement values.

The results are presented in Figure 1. The displacements on

the (x,y) plane of the 3D pseudo-analytical and the 3D ANSYS

models are represented on the left figure. The pseudo-analytical

curve fits almost perfectly the FE curve. The pseudo-analytical

model is validated for this seismic loading. The figure on the

right shows the displacement along the X axis for the four mod-

els. The pseudo-analytical and the FE 3D curves show a good fit,

however the FE 2D model always underestimates the displace-

ment, and the modi f ied FE 2D model overestimates the sliding,

giving an overestimation of the local maximum values and an un-

derestimation of the local minimum values. This behavior tends

to be amplified as the sliding coefficient increases. This point

shows the importance of considering the whole 3D excitation in

order to estimate correctly the displacement of the structure. This

is especially true when considering a random seismic excitation.

2.5.2 Random seismic excitation

The four models described in par. 2.5.1 are used for this sim-

ulation, except that the fluid-structure interaction is taken into

FIGURE 1. Single sliding Mass System - Sine/Cosine Loading - Dis-

placement curves

account. The new set of parameters is given in Table 2. The

horizontal seismic loading is different in each direction (X or Y)

with a Zero-Period Acceleration of 0.51g. The vertical accelera-

tion has a 0.2g ZPA.

The results are presented in Figure 2. The displacements on

the (x,y) plane of the 3D pseudo-analytical and the 3D ANSYS

models are represented on the left-hand figure. The pseudo-

analytical curve fits almost perfectly the FE curve. Consequently,

the pseudo-analytical model is validated for this seismic load-

ing. The figure on the right shows the displacement along the X

axis for the four models. The pseudo-analytical and the FE 3D

curves show a good fit, however the FE 2D model always under-

estimates the displacement. The modi f ied FE 2D model shows

a whole different behavior: the amplified acceleration tends to

favor the direction of the first sliding. In this case, it is the −X

4 Copyright c© 2011 by JSME

direction, where a regular acceleration gives priority to the +X

direction. This underlights the importance of considering the

whole 3D excitation in order to estimate correctly the displace-

ment of the structure.

FIGURE 2. Single sliding Mass System - Seismic Loading - Dis-

placement curves

3 Verical sliding beam system

The mass model gives a good exemples of the estimated slid-

ing of a structure considered as infinitly rigid. Mege et al. shows

with a mass-spring system the influence of internal behavior of

the structure on the gobal sliding. It is the first step in order to

develop a general model considering the Nth first flexural modes

of the structure. This new model is required when several eigen-

frequencies of the structure are in the usual seismic frequencies

TABLE 2. Seismic analysis - Modeling parameters

Parameters Values Parameters Values

M 1 kg µ 0.2

MHx 0.38 Kg MHy 0.69 Kg

M1x 0.16 Kg M1y 0.23 Kg

M1z 0.38 Kg ∆t 5 ms

Ts 19.5 s

(below 20 Hz). In this case, a model considering the modes that

are in this frequency range gives a better estimation of the overall

sliding.

To illustrate the theory that we have developped, we will con-

sider a vertical sliding beam. However, this theory can be fully

applied to any given structure where the eigenfrequencies, the

eigenmode’s shapes and the FSI pressure distribution are known

or assumed.

3.1 Model description and assumptions

The model consists in one vertical beam, where one of its ex-

tremities is laying on the ground. The beam is defined by its

density ρ , its cross-section S, its young’s Modulus E and its flex-

ural inertia IXX and IYY . The different parameters can be whether

determined from the geometry of the structure or by fitting the

global properties of the structure (global mass, first flexural fre-

quencies, ...). The system is represented in figure 3.

FIGURE 3. Vertical sliding beam configuration

In order to simplify the model, we consider that the FSI pres-

sure follows the same distribution as the density of the beam,

which is a uniform distribution. This gives the advantage that

the wet-eigenmodes shapes are the same as the dry-eigenmodes.

When the FSI pressure distribution is more complex, one needs

to compute new wet-eigenmodes by adding the hydrodynamic

added mass matrix to the structural mass matrix. Nevertheless,

5 Copyright c© 2011 by JSME

the uniform pressure distribution fits perfectly a 2D layer fluid

coupling corresponding to a Fritz potential fluid theory.

We will always consider a vertical acceleration that prevents

the system from taking off, meaning that |γz(t)| < g. The beam

is supposed to be infinitely rigid along the vertical axis. In this

case, the vertical forces transit directly from the entire beam to

the contact point. We will also assume that the contact point of

the beam can not rotate.

3.2 Governing equations

The governing equations of the vertical sliding beam system

can be easily established.

(ml +mHx) ux(z, t)+EIxxd4ux

dz4 (z, t)

= Rx(t)δ0(z)+(m1x −ml)γx(t)

(ml +mHy) uy(z, t)+EIyyd4uy

dz4 (z, t)

= Ry(t)δ0(z)+(m1y −ml)γy(t)

Rz(t) =∫ H

z=0 (ml −m1z)dz(γz(t)+g)

(10)

The contact is defined by :

‖U0‖ =√

u2x(0, t)+ u2

y(0, t) = 0

⇒√

R2x(t)+R2

y(t)< µSRz(t)

‖U0‖ =√

u2x(0, t)+ u2

y(0, t)> 0

⇒ Rx(t)ex +Ry(t)ey =− U0

‖U0‖µDRz(t)

(11)

Where:

ml , mH. and m1. are the lineic densities of the structural

mass, the hydrodynamic coupling mass and the buoyancy

mass,

µS and µD are respectively the static and dynamic friction

coefficients,

E is the Young’s Modulus of the beam,

Ixx and Iyy are respectively the inertia of the beam along the

X-axis, and the Y-axis,

(ux(z, t),uy(z, t)) are the functions that define the position of

each particle of the beam,

δ0(z) is the Dirac function,

U0 is the velocity of the contact point.

This set of equations can be simplified by using a projection on

the eigenmodes of the structure. In order to model the different

states of the contact, we will use either the free-free eigenmodes

φi(z), or the clamped-free eigenmodes ψi(z). For a vertical slid-

ing beam, we will consider that there is no rotation at the contact

location.

3.2.1 Free-free beam :

For a free-free beam (with a no rotation condition at one end),

the boundary conditions are given by :

φ ′

i (0) = 0

φ(3)i (0) = 0

,

φ ′′

i (H) = 0

φ(3)i (H) = 0

(12)

The eigenfrequencies (ai)[1,N−1] and the eigenmodes are then

deduced :

φ1(z) = 1, φi+1(z) = cos(aiz)+cos(aiH)

cosh(aiH)cosh(aiz) (13)

Where :

a1H ≈ 2.365, aiH ≈ (i−1)π +3π

4(14)

Considering N eigenmodes along each direction, the actual po-

sition of each points of the beam can be expressed in this basis

:

ux(z, t) = ∑Ni=1 φi(z)qxi(t),

uy(z, t) = ∑Ni=1 φi(z)qyi(t).

(15)

3.2.2 Clamped-free beam :

For a clamped-free beam, the boundary conditions are given

by :

ψi(0) = 0

ψ ′i (0) = 0

,

ψ ′′i (H) = 0

ψ(3)i (H) = 0

(16)

The eigenfrequencies (bi)[1,N] and the eigenmodes are then de-

duced :

ψi(z) = sin(biz)− sinh(biz)

+ sinh(biz)+sin(biz)cosh(biz)+cos(biz)

(cosh(biz)− cos(biz))(17)

6 Copyright c© 2011 by JSME

Where :

b1H ≈ 1.875, b2H ≈ 4.694, biH ≈ (2i−1)π

2(18)

Considering N eigenmodes along each direction, the actual po-

sition of each points of the beam can be expressed in this basis.

However, since the base of the beam is clamped, the absolute

displacement of the beam can not be projected in this basis, but

the relative displacement can :

ux(z, t)−U0x(t) = ∑Ni=1 ψi(z)qxci(t),

uy(z, t)−U0y(t) = ∑Ni=1 ψi(z)qxci(t).

(19)

3.2.3 Change of coordinate system :

The projection of the generalized coordinates from one eigen-

mode basis to the other is made using the relation (19). The

orthogonal properties of the eigenmodes are used to obtain :

qi(t)‖φi‖2 =∫ H

z=0 φi(z)ux(z, t)dz

=∫ H

z=0

(φi(z)U0x(t)+φi(z)∑

Nj=1 ψ j(z)qxc j(t)

)dz,

(20)

We define the projection matrix T and the rigid displacement

projection vector L as :

T (i, j) =

∫ Hz=0 φi(z)ψ j(z)dz

‖φi‖2, L(i) =

∫ Hz=0 φi(z)dz

‖φi‖2(21)

The projection is made using :

qx(t) = T .q

xc(t)+L.U0x(t) (22)

The exact same relation is verified for the generalized coordi-

nates on the Y-axis.

3.3 Projections of the governing equations :

Depending on the state of the contact, the governing equations

are either projected on the clamped-free modes basis when the

beam is resting (cf. eqn. 23), or on the free-free modes basis

when the beam is sliding (cf. eqn. 24).

qxi(t) +ω2xiqxi(t)

= 1(ml+mHx)‖φi‖2

φi(0)Rx(t)+

∫ Hz=0 (m1x −ml)φi(z)dz× γx(t) ,

qyi(t) +ω2yiqyi(t)

= 1(ml+mHx)‖φi‖2

φi(0)Ry(t)+

∫ Hz=0 (m1y −ml)φi(z)dz× γy(t) ,

Rz(t) =∫ H

z=0 (ml −m1z)dz× (γz(t)+g)

(23)

qxci(t) +ω2cxiqxi(t)

= 1(ml+mHx)‖ψi‖2

∫ Hz=0 (m1x −ml)ψi(z)dz× γx(t) ,

qyci(t) +ω2cyiqyi(t)

= 1(ml+mHx)‖ψi‖2

∫ Hz=0 (m1y −ml)ψi(z)dz× γy(t) ,

Rz(t) =∫ H

z=0 (ml −m1z)dz× (γz(t)+g)

(24)

Where :

ωx1 = ωy1 = 0 and ωx(i+1) =(

aiH

)√EIxx

ml+mHx, ωy(i+1) =

(aiH

)√ EIyy

ml+mHyare the ’wet’ pulsations of the sliding beam,

ωcxi =(

biH

)√EIxx

ml+mHx, ωcyi =

(biH

)√EIyy

ml+mHyare the ’wet’

pulsations of the clamped beam,

qxi and qyi are generalized coordinates for the free-free

eigenmodes,

qxci and qyci are generalized coordinates for the clamped-free

eigenmodes.

3.4 Iterative solving

These equations are highly non linear and can not be solved

analytically without any further assumptions. We make the same

assumptions as in par. 2.4. We consider the ith iteration. The

system at the end of the ith iteration is determined by eqn.25 if

the beam is initially sticking and eqn.3.4.2 if the beam is initially

sliding.

3.4.1 Beam initially sticking :

When the contact state is sticking at the begininning of the

ith iteration, the set of equations defined in (23) is used. With

the assumptions described previously, the anaytical solutions are

7 Copyright c© 2011 by JSME

obtained using the Duhammel equations :

∀k∈ [1,N] ,

qi+1xck = qi

xck cos(ωxckdt)

+qi

xckωxck

sin(ωxckdt)+Ai

k

ω2xck

(1− cos(ωxckdt)) ,

qi+1yck = qi

yck cos(ωyckdt)

+qi

yck

ωycksin(ωyckdt)+

Bik

ω2yck

(1− cos(ωyckdt)

),

qi+1xck = − qi

xckωxck

sin(ωxckdt)

+ qixck cos(ωxckdt)+

Aik

ωxcksin(ωxckdt),

qi+1yck = − qi

yck

ωycksin(ωyckdt)

+ qiyck cos(ωyckdt)+

Bik

ωycksin(ωyckdt),

(25)

Where :

∀k ∈ [1,N] ,

Aik = − ml−m1x

ml+mHx

∫Hz=0 ψk(z)dz

‖ψk‖2 γ ix,

Bik = − ml−m1y

ml+mHy

∫Hz=0 ψk(z)dz

‖ψk‖2 γ iy,

(26)

In order to verify that the contact state remains sticking, we

need to compute the reaction forces. These forces do not ap-

pear on the projection on the clamped-free modes basis. So we

need to find another basis that will not erase the influence of the

reaction forces. The easiest solution is to calculate the motion

at the centroïd of the beam where the reaction forces during the

sticking state are easily computed with :

∫ Hz=0 (ml +mHx)dz× XG(t)−

∫ Hz=0 (m1x −ml)dz× γx(t) = Rx∫ H

z=0 (ml +mHy)dz× YG(t)−∫ H

z=0 (m1y −ml)dz× γy(t) = Ry

(27)

Where, in the case of an uniform beam :

Xg =N

∑k=1

ψk(H/2)qxck, Yg =N

∑k=1

ψk(H/2)qyck, (28)

The sliding conditions can then be expressed. The iterative

algorithm uses the following protocol :

I f[∫ H

z=0 (ml +mHx)dz× XG(t)−∫ H

z=0 (m1x −ml)dz× γx(t)]2

+[∫ H

z=0 (ml +mHy)dz× YG(t)−∫ H

z=0 (m1y −ml)dz× γy(t)]2

<[µS (ml −m1z)H

(γ i

z +g)]2

a) true then (i)th initial state is sticking,b) f alse then (i)th initial state changes to sliding.

The sliding condition is verified ’a priori’, meaning that when

a sliding is detected at the beginning of the ith iteration, then the

calculation is made under sliding initial conditions, which are :

qix= T .qi

xc+L.U i

0x,

qiy= T .qi

yc+L.U i

0y(29)

3.4.2 Mass initially sliding

When the contact state is sliding at the begininning of the ith

iteration, the set of equations defined in (24) is used. With the

same assumptions, the analytical solutions are obtained using the

Duhammel equations :

k = 1

qi+1

x1 = qix1 + qi

x1dt +Aik

dt2

2,

qi+1y1 = qi

y1 + qiy1dt +Bi

kdt2

2

∀k ∈ [2,N] ,

qi+1xk = qi

xk cos(ωxkdt)+qi

xkωxk

sin(ωxkdt)

+Ai

k

ω2xk

(1− cos(ωxkdt)) ,

qi+1yk = qi

yk cos(ωykdt)+qi

yk

ωyksin(ωykdt)

+Bi

k

ω2yk

(1− cos(ωykdt)

),

qi+1xk = − qi

xkωxk

sin(ωxkdt)+ qixk cos(ωxkdt)

+Ai

kωxk

sin(ωxkdt),

qi+1yk = − qi

yk

ωyksin(ωykdt)+ qi

yk cos(ωykdt)

+Bi

kωyk

sin(ωykdt),

(29)

8 Copyright c© 2011 by JSME

Where :

∀k ∈ [1,N] ,

Aik = − ml−m1x

ml+mHx

φk(0)‖φk‖2 µD

U i0x

‖U i0x‖(γ i

z +g)

− ml−m1x

ml+mHx

∫Hz=0 φk(z)dz

‖φk‖2 γ ix,

Bik = − ml−m1y

ml+mHy

φk(0)‖φk‖2 µD

U i0y

‖U i0y‖(γ i

z +g)

− ml−m1y

ml+mHy

∫Hz=0 φk(z)dz

‖φk‖2 γ iy,

(29)

I f

(U i+1

x0

|U i+1x0 | 6=

U ix0

|U ix0|

)&

(U i+1

y0∣∣∣U i+1y0

∣∣∣6= U i

y0∣∣∣U iy0

∣∣∣

)

a) true then (i+1)th initial state is sticking,b) f alse then (i+1)th initial state is sliding.

The ’end of sliding’ condition is verified ’a posteriori’, mean-

ing that when the ’end of sliding’ condition is verified at the end

of the ith iteration, the sticking condition is only applied at the

(i+ 1)th iteration. In this case, the initial conditions are deter-

mined using the change of coordinate system equations.

3.5 Results

3.5.1 Random seismic excitation

Two vertical sliding beam systems are compared in this study.

The fluid-structure interaction is being neglected in this exem-

ple, but the sliding and internal vibrations are being taken into

account. The first model is a 3D pseudo-analytical model. The

mass distribution remains the same during the sliding. The sec-

ond model is a FE 3D model.

The set of parameters used in this analysis is given in Table 3.

The horizontal seismic loading is different in each direction (X

or Y) with a Zero-Period Acceleration of 0.4g. The vertical ac-

celeration has a 0.5g ZPA. The accelerograms are different from

2.5.2.

The results are presented in figure 5. The displacements

of the sliding end of the beam on the (x,y) plane of the 3D

pseudo-analytical and the 3D ANSYS models are represented.

The pseudo-analytical curve fits quite nicely the FE curve. The

pseudo-analytical model is validated for this seismic loading.

3.5.2 Comparison between models

Using the results of Mege et al. and the results presented in

this paper, we can compare the results obtained with the differ-

ent models. We will use the same condition has the one presented

for the vertical sliding beam under random seismic loading. We

compare three equivalent models with an increasing precision on

the knowledge of the structure : a sliding mass, a sliding spring-

mass system and a vertical sliding beam. The results are pre-

sented in fig. 5. One can see that the internal vibrations can have

a strong impact on the global displacement.

FIGURE 4. Vertical Sliding Beam - Seismic loading - Displacement

curves

FIGURE 5. Seismic loading - Comparison of models

4 Conclusion

In this study, two pseudo-analytical models have been pro-

posed: a 3D single sliding mass system, and a 3D vertical sliding

beam system. The equations of motion are obtained using an

iterative solving, where, for each time step, the seismic acceler-

ation and the amplitude of the reaction force are considered as

constant values. For each model, the contact is modeled using a

9 Copyright c© 2011 by JSME

TABLE 3. Seismic analysis - Modeling parameters

Parameters Values Parameters Values

m 100000 Kg E 159e3 MPa

µS 0.2 fx 50 Hz

ρ 7900 Kg.m−3 µS 0.2

fy 35 Hz

Coulomb friction and the fluid-structure interaction is considered

using an added mass theory.

A set of different seismic accelerations have been applied to

these models. The resulting displacements show a very good fit

with the FE simulations. The solving of the pseudo-analytical

models lasts less than a minute, while the FE model takes at least

an hour. A comparison between the whole 3D simulations and

some classical 2D models has been made for the sliding mass.

The 2D models show a wrong estimation of the behavior of the

system, giving inaccurate displacement values and directions.

This study illustrates the importance of considering the whole

3D model for this kind of non-linear dynamic analyses.

Finally, a comparison of models with different details on the

internal vibration properties have been madde showing the strong

influence of this parameter on the global sliding displacement.

Simplified analytical models are suitable for dimensioning or

predimensioning study. They give a good insight on the govern-

ing parameters and an estimation on the results distribution. The

two analytical models presented in this study have been validated

for this purpose.

5 AcknowledgementsA part of the study has been accomplished with the help of the

”Durabilité des matériaux et des structures pour l’énergie” Chair

directed by the MINES ParisTech and the Ecole des Ponts Paris-

Tech, and financed by the FEED, EDF, GDF SUEZ and GRTgaz.

References[1] J. C. Pons, Réponse dynamique d’une structure rigide sur

fondation glissante, 1er Colloque national de génie parasis-

mique, 1986.

[2] H. W. Shenton III, N. P. Jones, Base excitation of rigid

bodies. I: Formulation, Journal of Engineering Mechanics

(ASCE), 117(10):2286-2306, 1991.

[3] H. W. Shenton III, N. P. Jones, Base excitation of rigid bod-

ies. II: Periodic slide-rock response, Journal of Engineering

Mechanics (ASCE), 117(10):2307-2327, 1991.

[4] H. W. Shenton III, Criteria for initiation of slide, rock and

slide-rock rigid-body modes, Journal of Engineering Me-

chanics (ASCE), 122(7):690-693, 1996.

[5] Y. Ishiyama, Motions of rigid bodies and criteria for over-

turning by earthquake excitations, Journal of Earthquake

Engineering and Structural Dynamics, 10:635-650, 1982.

[6] C. S. Y. Solomon, H. Lin, Nonlinear impact and chaotic

response of slender rocking objects, Jounral of Engineering

Mechanics (ASCE), 117(9):2079-2100, 1991.

[7] P. Sideris, A. Filiatrault, Dynamic analysis of rigid bodies

on inclined plane surfaces: application to prediction of mer-

chandise response in steel storage racks under earthquake

excitation, COMPDYN 2009.

[8] B. Westermo, F. Udwadia, Periodic response of a sliding

oscillator system to harmonic excitation, Earthquake engi-

neering and structural dynamics, vol. 11, 135-146, 1983

[9] R. J. Fritz, The effect of liquids on the dynamic motions of

immersed solids, Journal of Engineering for Industry, 167-

173, 1972

[10] R. Mege, N. Jobert, Analytical solutions for the study of im-

mersed unanchored structures under seismic loading, Pres-

sure Vessel and Piping Conference, 2010

10 Copyright c© 2011 by JSME