slides cours automatique 1a 2010 pour pdf
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Automatique linéaire 1
Cycle ISMIN – 1A
J.M. Dutertre - 2011 www.emse.fr/~dutertre
2
Mardi 22 mars (am)
Mercredi 23 mars (am)
Lundi 28 mars (am)
Vendredi 8 avril (am)
Lundi 11 avril (am)
Mardi 12 avril (pm)
Organisation, Intervenants
Groupe B
TD
Calendrier :
½ promotion
Intervenants :
Bernard Dhalluin
Lobna Haouari
Jean-Max Dutertre
Ali ObeidGroupe A
Cours 1h30 1h30
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Automatique linéaire 1
Plan du cours :
I. Introduction, Définitions, Position du problème.
II. Modélisation des systèmes linéaires.
III. Stabilité des systèmes asservis.
IV. Performances des systèmes asservis.
V. Correction des systèmes asservis.
Cadre du cours : étude des systèmes linéaires continus.
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Cha I – Introduction, définitions, Position du problème
I.1. Introduction.
L’automatique est la discipline scientifique qui étudie les systèmes dynamiques, les signaux et l’information, à des fins de conduite ou de prise de décision.
Définition :
θθθθ
dd0
Une entrée :
θ , angle de rotation du volant
Une sortie :
d , distance des roues au bord de la route
Une consigne ou commande :
d0 , distance désirée
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processuscommandeθθθθd0 d
Schéma fonctionnel d’un asservissement en boucle fermée
A gauche:les entrées
A droite: les sorties
La commande produit le signal de pilotage du processus (ou système) à partir des entrées et des sorties
Ici, système monovariable (description multivariable plus complexe)
I.1. Introduction
6
I.1. Introduction
Domaine d’application ?
Objectifs de cours.
Pré requis
Etude des systèmes linéaires, continus, invariants dans le temps.
Automatique classique (20ème siècle).
Industrie manufacturière, la chimie, la robotique, la mécanique, l’électronique, l’aéronautique, l’économétrie, etc.
• les signaux types (Dirac, échelon de Heavyside, etc.),
• le théorème de convolution,
• et le formalisme de Laplace.
"Mathématique du signal" 1er semestre :
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I.2. Définitions
On appelle modèle d’un système (ou processus) la loi qui relie l’entrée (cause) à la sortie (effet).
Définition 1 :
On distingue deux régimes dans le comportement des systèmes :
• le régime permanent ou établi, caractérisant la réponse stabilisée du système à une entrée quelconque,
• le régime transitoire, caractérisant l’évolution de la réponse avant que le régime permanent ne soit atteint.
Le régime statique est le régime permanent dans le cas ou l’entrée est constante.
Définition 2 :
8
I.2. Définitions
Un système est causal si sa sortie y(t) à un instant t0 ne dépend que des valeurs de son entrée u(t) pour t ≤ t0
Définition 3 :
Un système à temps invariant a un modèle identique à tout instant (un retard τ ne change pas la loi du modèle) :
Définition 4 :
systèmeyu
)()()()( ττ − →− → tytutytu systèmesystème
9
I.2. Définitions
Un système est dit instantané si à un instant donné sa sortie ne dépend que de l’excitation à cet instant :
y(t) = a.u(t)
Définition 5 :
Un système est stable si et seulement si toute entrée bornée génère une sortie bornée.
Définition 6 :
Un système est linéaire s’il satisfait au principe de superposition :
Définition 7 :
)(.)(.)(.)(. 21.
21 tybtyatubtua linéairesyst + →+
10
I.2. Définitions
Ce cours traite des systèmes causals, linéaires et à temps invariant ; les S.L.T.I.
Les systèmes étudiés sont analogiques, leurs signaux d’entrée et de sortie sont continus à la fois en temps et en amplitude.
La relation qui lie leur entrée et leur sortie est dés lors une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
11
I.3. Position du problème
a – La commande automatique, ou comment remplacer l’homme.
voiturehommeuyc y
(θ)(d0) (d)
processus?uyc y
(θ)(d0) (d)
12
I.3. Position du problème
b – La boucle d’asservissement.
Considérons le système de chauffage central d’un immeuble :
θθθθ température intérieure
T température de l’eau chaude envoyée dans les radiateurs
θθθθe température extérieure (perturbation)
Réglage manuel de T pour obtenir une température donnée θθθθc = 19°C
Nouveau réglage à chaque variation de θθθθe
systèmeθθθθT
θθθθe
13
1ère tentative de réglage automatique en boucle ouverte :
).( ecaT θθ −=
Inconvénient : par temps froid et ensoleillé, la température intérieure θθθθ va s’élever sans que pour autant la température de l’eau des radiateurs T ne soit réduite puisqu’elle ne dépend que de θθθθe.
� ouverture des fenêtres par les résidents.
I.3. Position du problème
systèmeθθθθT
θθθθe
a+_θθθθc
14
Solution : asservissement en boucle fermée :
systèmeθθθθT
θθθθe
_+ aθθθθc
I.3. Position du problème
).( θθ −= caT
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Généralisation :
yc : consigne (ici température affichée sur le thermostat θθθθc)
y : sortie, ou image de la sortie obtenue par un capteur
u : commande ou action
εεεε : erreur ou écart
n : perturbation extérieure
P : système automatique de commande
yyc −=ε
)(εPu =loi de commande
I.3. Position du problème
systèmeyu
P+_
yc εεεε
n
16
Elles sont au nombre de 3 : stabilité, précision, rapidité.
Stabilité.
processusyu
P+_
yc εεεε
n
Si on considère une loi de commande telle que :
).( yyKu c −=
Pour K grand, une petite valeur de l’erreur ε = yc – y > 0 suffit à créer une commande u élevée.
La correction apportée peut alors être telle que la consigne soit dépassée y > yc et que εεεε’ = yc – y > εεεε ; entrainant une correction inverse elle aussi disproportionnée � apparition d’oscillations divergentes = instabilité.
I.3. Position du problème
c – Qualités d’un asservissement, nécessité de la boucle fermée.
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Stabilité (suite).
Autres sources possibles d’instabilité :
• retard d’exécution des ordres reçus,
• contre réaction positive (εεεε = yc + y).
Précision.
L’écart εεεε entre la consigne yc et la sortie y mesure la précision du système.
Dans le cas d’une loi de commande proportionnelle du type u = K.εεεε , l’obtention d’une bonne précision nécessite d’avoir un gain élevée.
De même une perturbation n sera d’autant plus efficacement corrigée (erreur résiduelle faible) que K sera grand.
!
On a vu qu’un grand K peut être source d’instabilité.Stabilité et précision sont des paramètres potentiellement contradictoires.
I.3. Position du problème
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Rapidité.
La rapidité d’un processus peut se mesurer par le temps de sa réponse à un échelon de commande (cf. Cha IV).
I.3. Position du problème
D’une façon générale, la synthèse d’un asservissement résulte d’un compromisstabilité – précision – rapidité.
L’automatisation des processus requiert l’utilisation d’une boucle fermée (rétroaction), celle-ci est nécessaire afin de pouvoir :
• stabiliser un système instable en boucle ouverte,
• compenser des perturbations externes,
• compenser des incertitudes liées au système lui-même (vieillissement, imprécision du modèle, etc.).
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Caractéristique statique (en régime permanent) d’un système linéaire :
t
yK.E0 = Y0
t
u
E0tension de repos
vitesse de repos
Comportement dynamique (en régime transitoire) :
Comportement modélisé par l’équation différentielle linéaire à coefficients constants (S.L.T.I.).
Cha II – Modélisation des systèmes linéaires
systèmeyu
u
y
droite
20
Cha II – Modélisation des systèmes linéaires
Les systèmes physiques (réels) ne sont pas nécessairement linéaire.
Linéarisation autour du point de repos.
!
iD (mA)
vD (V)0
0,5
1
1,5
1Vseuil
pt de polarisation
I0
V0
M0M0
vd
id
21
II.1. Système du 1er ordre
Exemple :
Un système est dit du 1er ordre si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation différentielle du 1er ordre.
Définition 8 :
u(t) = vE(t) vS(t) = y(t)
i(t)R
C
)()()(
. tvtvdt
tdvRC ES
S =+
22
Forme générale d’une équation différentielle du 1er ordre :
systèmeyu
ττττ constante de temps du système
K gain statique
II.1. Système du 1er ordre
)(.)()(
. tuKtydt
tdy =+τ
a – Fonction de transfert.
La fonction de transfert (ou transmittance) d’un système linéaire est le rapport entre la transformée de Laplace de sa sortie et celle de son entrée, en considérant des conditions initiales nulles.
Définition 9 :
23
II.1. Système du 1er ordre
[ ] )(.)()0()(.. pUKpYypYp =+− −τ
)0(.1
)(.1
)( −
++
+= y
ppU
p
KpY
ττ
τ
p
K
pU
pYpH
.1)(
)()(
τ+==
)(.)()(
. tuKtydt
tdy =+τ
TL
Soit :
En annulant les C.I.
a – Fonction de transfert (suite).
24
II.1. Système du 1er ordre
a – Fonction de transfert (suite).
la réponse impulsionnelle (i.e. réponse à un Dirac), h(t), d’un S.L.T.I. vérifie :
Rappel :
))(()( thuty ∗=
soit
)().()( pUpHpY =
Résolution des eq. diff. en représentation de Laplace.(connaissant H(p) )
25
u(t) = A0.δδδδ(t)
U(p) = A0 Y(p) =K.A0
1 + ττττ.p
y(t) =K.A0
ττττ.e-t/ττττ
t
y(t)
37%
t = τ
5%
3τ
K.A0
ττττK.A0
ττττ
II.1. Système du 1er ordre
b – Réponse impulsionnelle.
26
c – Réponse indicielle (à un échelon).
u(t) = A0.ΓΓΓΓ(t)
U(p) = A0 / p Y(p) =K.A0
p(1 + ττττ.p)
y(t) = K.A0.(1 – e -t/ττττ)
t
y(t)
τ 3τ
K.A0 = 100%
95%
63%
II.1. Système du 1er ordre
27
d – Réponse à une rampe.
εεεεt = a.ττττ
U(p) = a / p 2 Y(p) =K.a
p 2(1 + ττττ.p)
y(t) = K.a.(t - ττττ + ττττ .e -t/ττττ)
erreur de trainage
u(t) = a.t
II.1. Système du 1er ordre
t
y(t)
τ
a.tK.a.(t - ττττ)
εt Pour K = 1 :
28
Réponse à une sinusoïde permanente : u(t) = Um.cos( ω ω ω ωt)
le régime transitoire étant éteint
y(t) = Ym.cos( ω ω ω ωt + ϕϕϕϕ)
mm UK
jYY .1
)(22τω
ω+
==
( ) ( )ωτωϕ ArctanjYArg −== )(
d’après ( ) ( ) ( )ωωτ
ωωω jUj
KjUjHjY .
1.)(
+==
II.1. Système du 1er ordre
e – Réponse harmonique.
L’étude des propriétés fréquentielles des systèmes linéaires permet d’en déduire les propriétés dynamiques temporelles (c’est-à-dire leur évolution dans le temps en fonction des actions subies) .
Intérêt ?
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Diagramme de Bode :
Le diagramme de Bode d’une fonction de transfert comporte deux courbes :
• son module exprimé en décibels (dB),
)(.20 ωjHlogHdB =• et sa phase,
( ))( ωjHArg
tracées en fonction de la pulsation ωωωω (axe gradué suivant une échelle log.).
Décomposition H(jωωωω) = H1(jωωωω).H2(jωωωω) :
HdB = H1 dB + H2 dB
Arg H= Arg H1 + Arg H2
II.1. Système du 1er ordre
30
+=
221.20
τωK
logHdB
( ) )()( ωτω arctanjHArg −=
-20 dB par décade
-6 dB par octave
Diagramme de Bode (suite) :
II.1. Système du 1er ordre
ω/ωc (log)
dBH
10.1 10 1000 dB
20.log(K)3 dB
-20 dB / décade
HArg
10.1 10 1000.1
-90 °
-45°
ω/ωc (log)
31
Représentation de Black :
Représentation de H(jωωωω) dans le lieu de Black :
tracé pour ωωωω : 0 ���� +∞∞∞∞
HdB
Arg H
II.1. Système du 1er ordre
HdB
Arg H-45°
-90°
20.log(K)
20.log(K) – 3 dB
ωωωω/ωωωω
c = 0ωωωω/ωωωω
c = 1
ωωωω/ωωωωc � +∞
32
Représentation de Nyquist :
Représentation de H(jωωωω) dans le lieu de Nyquist
( ))(Im ωjH
( ))(Re ωjH
tracé pour ωωωω : 0 ���� +∞∞∞∞
pour ωωωω = ωωωωc = 1/ττττpulsation de coupure
2/)( KjH =ω
( ) 4/)( πω −=jHArg
II.1. Système du 1er ordre
( ))(Im ωjH
( ))(Re ωjHKK/20
45°
ωωωωc = 1/ττττ
ωωωω = 0ωωωω = +∞∞∞∞
33
f – Relation temps – fréquence.
D’après ωωωωc = 1/ττττ � fc = 1/2.ππππ.ττττ
En notant tm le temps mis par la réponse à un échelon d’un système du 1er ordre pour atteindre 90% de sa valeur finale on démontre :
tm = 2,2.ττττ
On obtient : tm.fc = 0,35
Un système à large bande passante est un système rapide.
II.1. Système du 1er ordre
34
II.2. Système du 2nd ordre
(on prendra toujours un 2nd membre indépendant de u’(t) )
K gain statique
m coefficient d’amortissement (ξ)
ωωωω0 pulsation propre non amortie
a – Fonction de transfert.
20
2
0
21
)(
ωωp
pm
KpH
++=
Un système est dit du 2nd ordre si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation différentielle du 2ème ordre.
Définition 10 :
)(.)(.)(
.2)( 2
02
002
2
tuKtydt
tdym
dt
tyd ωωω =++
35
II.2. Système du 2nd ordre
b – Réponse indicielle.
)()( ttu Γ=
ppU 1)( = ( )200
2
20
2.)(
ωωω
++=
pmpp
KpY
• Régime apériodique : m > 1 .
−−+
−−+=
212
1
121
2 1.
1.
1.)(
pppp
p
pppp
p
pKpY
…
36
II.2. Système du 2nd ordre
b – Réponse indicielle (suite).
Re
Im
p1p2
p1 pôle dominant
1er ordre
2nd ordre
• pour : m >> 1
−+
−+= tptp e
pp
pe
pp
pKty 21 ..1.)(
12
1
21
2
)(ty
tττττ2 ττττ1 3.ττττ1
37
II.2. Système du 2nd ordre
• tr5% pour m >> 1
πωπ
mtr 3
0
2
%5 =
• Régime critique : m = 1 .
( ) ( )20
20
20
/1..)(
ωωω
pp
K
pp
KpY
+=
+=
…
[ ]tetKty 0).1(1.)( 0ωω −+−=
38
II.2. Système du 2nd ordre
• Régime pseudopériodique : m < 1 .
( ) )(.1...1
11.)( 2
02
0 mArccostqtmsinem
Kty tm =
+−
−−= − ϕϕωω0 < m < 1
K = 1ω0 = 0,22 rad/s
m = 0,18
39
II.2. Système du 2nd ordre
20 1
2
mTp
−=
ωπ
20 1 m
ktk
−=
ωπ
21 m
mk
k KeD −
−
=π
7,022 ≅=m
.
Pseudo période :
Dépassements :
La valeur minimale de D1 est obtenue pour :
40
II.2. Système du 2nd ordre
• temps de réponse à 5% : tr5%
minimal pour m = 0,7
41
II.2. Système du 2nd ordre
1>m
1=m
5,0=m7,0=m
1,0=m
0=m
3,0−=m
Bilan :
42
II.2. Système du 2nd ordre
c – Réponse harmonique.Réponse à une sinusoïde permanente : u(t) = Um.cos( ω ω ω ωt)
le régime transitoire étant éteint
y(t) = Ym.cos( ω ω ω ωt + ϕϕϕϕ)
)().()( ωωω jUjHjY =
2
00
21
)(
++
=
ωω
ωω
ω
jjm
KjHAvec
43
II.2. Système du 2nd ordre
Etude asymptotique :
0→ω KjH =)( ω KH dB log20=
0=HArg
+∞→ω 2
0
)(
−=
ωω
ω KjH
Pour d’où
Pour d’où ( )0log40log20 ωω−= KH dB
π−=HArg
ω (log)
dBH
0ω-40 dB / décade
0.10ω
-40
HArg
ω (log)
0ω0.10ω
-180°
-90°
1=K
44
II.2. Système du 2nd ordre
• Pour m > 1 :( )( )21 1.1
)(ωωωω
ωjj
KjH
++=
12002,1 −±= mm ωωω
2021. ωωω =
dBH0ω
-40 dB / décade1ω 2ω
-20 dB / décade
45
II.2. Système du 2nd ordre
• Pour m < 1 :
- Pour 0 < m < √2/2 : apparition d’un phénomène de résonnance.
ω
dBH2,
12log20
mm
KH rdB
−=
20 21 mr −= ωω
0ω-40 dB / décade
- Pour √2/2 < m < 1 : pas de résonnance.
46
II.2. Système du 2nd ordre
c – Réponse harmonique (suite).
m
KjH
2)( 0 =ω
2/π−=HArg
mQ
2
1=
20 21 mr −== ωωω
212)(
mm
KjH r
−=ω
212
1
mmM
−=
Pour ω = ω0 , on a :
Facteur qualité du système.
On note
Facteur de résonnance du système (si pertinent).
Pour on a :
On note
47
II.2. Système du 2nd ordre
Représentation de Black.
0ω
0ω
5,0=m
35,0=m
MdB QdB
cω cω
rω
rω
48
II.2. Système du 2nd ordre
Représentation de Nyquist.
5=m1=m
7,0=m
5,0=m
4,0=m
3,0=m
49
II.3. Systèmes d’ordre supérieur à deux
m
m
mn
n
n dt
tuda
dt
tdubtub
dt
tyda
dt
tdyatya
)(....
)(.)(.
)(....
)(.)(. 1010 +++=+++
Equation différentielle représentative d’un système linéaire d’ordre nsupérieur à 2 :
ai, bi coefficients constants réels,
n ≥ m , pour les systèmes physiques (principe de causalité).
011
1
011
1
...
...
)(
)()(
apapapa
bpbpbpb
pD
pNpH
nn
nn
mm
mm
++++++++== −
−
−−
Soit par TL (C.I. nulles) :
Les racines de N(p) sont les zéros de H(p) .
Les racines de D(p) sont les pôles de H(p) .
50
II.3. Systèmes d’ordre supérieur à deux
))....().(.()( 21 nn ppppppapD −−−=
∑= −
=n
i i
i
pp
ApH
1
)(
Les pôles de H(p) sont soit réels, soit complexes conjugués (les ai étant réels).
D’où :
Décomposition additive en sous systèmes du 1er et du 2ème ordre.
Par application du théorème de superposition on obtient la réponse à un échelon d’un système d’ordre n > 2 :
… / …
51
II.3. Systèmes d’ordre supérieur à deux
Réponse à un échelon :
mK ,0ω
En termes de stabilité, il suffit d’un seul pôle à partie réelle positive pour entraîner l’instabilité de l’ensemble.
52
II.3. Systèmes d’ordre supérieur à deux
Pôles dominants :
pôles situés près de l’axe imaginaire (ctes de temps élevées et amortissement faible)
53
Cha III - Stabilité
III.1. Schéma général d’un asservissement.a – Notion de bouclage.
processusy
+_
xc εεεε organe decommande
capteur
xr perturbation
Chaine directe / d’action
Chaine de retourxc : consigne
y : sortie
xr : grandeur de retour (image de y)
εεεε : erreur
54
III.1. Schéma général d’un asservissement
b – Fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée.
Y(p)+_
Xc (p) εεεε(p)A(p)
B(p)
Xr (p)
Représentation d’un asservissement sous forme de schéma bloc.
55
III.1. Schéma général d’un asservissement
Fonctions de transfert en boucle ouverte (FTBO).
Y(p)+_
Xc (p) εεεε(p)A(p)
B(p)Xr (p)
)(
)()(
pX
pXpTFTBO
c
r== )().()( pBpApTFTBO ==
56
III.1. Schéma général d’un asservissement
Fonctions de transfert en boucle fermé (FTBF).
Y(p)Xc (p)FTBF(p)
Y(p)+_
Xc (p) εεεε(p)A(p)
B(p)
Xr (p)
)(
)()(
pX
pYpHFTBF
c
==
FTBO
pA
pBpA
pAFTBF
+=
+=
1
)(
)().(1
)(
…
57
III.1. Schéma général d’un asservissement
FTBF d’un asservissement à retour unitaire.
Y(p)+_
Xc (p) εεεε(p)T(p)
)()( pApTFTBO ==
)(1
)()(
pT
pTpHFTBF
+==
58
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
Cadre : asservissement à retour unitaire.)(1
)()(
pT
pTpH
+=
)(cos).(.21)(
)()(
2 ωφωω
ωωBOBOBO
BOBF
GG
GG
++=
)(cos)(
)(sinarctan)(
ωφωωφωφ
BOBO
BOBF G +
=
Connaissant le FTBO (GBO, φBO) pour un ω donné on en déduit la FTBF (GBF, φBF).
59
a – Abaque de Black Nichols.
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
L’abaque de Black-Nichols permet de repérer par un système de doubles coordonnées les valeurs de la FTBO et de la FTBF correspondante (pour un retour unitaire uniquement) dans le plan de Black.
GBO, dB
ΦBO-180°
DansOn trace les courbes :
isomodules GBF dB = cte et
isophases φBF = cte de la FTBF.
60
Isomodules : tracé de GBF dB = cte en faisant varier φBF .
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
1cos..22 +−=
BFBFBF
BFBO
GG
GG
φAyant établi
BFBF
BFBO G−
=φ
φφcos
sinarctan
TBO, dB
ΦBO
-180°
-90°
61
TBO dB
ΦBO
HBF dB
isomodules
-180° -90°
62
Isophases : tracé de φBF = cte en faisant varier GBF dB.
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
TBO, dB
ΦBO-180°
0° -1°
-6°
-30°
-105°
63
φφφφBF
isophases
64
Lecture de l’abaque de Black Nichols.
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
FTBO
ω = +∞
ω = 0
65
Lecture de l’abaque de Black Nichols.
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
pour ω = ωM
FTBO
M
ω = +∞
ω = 0
66
Lecture de l’abaque de Black Nichols.
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
pour ω = ωM
FTBO
M
ω = +∞
ω = 011,5 dB
GBO, dB = 11,5 dB
67
Lecture de l’abaque de Black Nichols.
-128°
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
∅∅∅∅BO = -128°
pour ω = ωM
11,5 dB
GBO, dB = 11,5 dB
FTBO
M
ω = +∞
ω = 0
68
Lecture de l’abaque de Black Nichols.
-128°
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
∅∅∅∅BO = -128°
pour ω = ωM
11,5 dB
GBO, dB = 11,5 dB
FTBF
pour ω = ωM
FTBO
M
ω = +∞
ω = 0
69
Lecture de l’abaque de Black Nichols.
-128°
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
∅∅∅∅BO = -128°
pour ω = ωM
11,5 dB
GBO, dB = 11,5 dB
FTBF
pour ω = ωM
GBF, dB = 1,4 dB
FTBO
M
ω = +∞
ω = 0
70
Lecture de l’abaque de Black Nichols.
-128°
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
∅∅∅∅BO = -128°
pour ω = ωM
11,5 dB
GBO, dB = 11,5 dB
FTBF
pour ω = ωM
GBF, dB = 1,4 dB
∅∅∅∅BO = -15°
FTBO
M
ω = +∞
ω = 0
71
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
b – Analyse des résonances.
72
TBO dB
ΦBO
FTBO
ω = +∞
ω = 0
73
TBO dB
ΦBO
FTBO
TBO dB(0)
ω = +∞
ω = 0
74
TBO dB
ΦBO
FTBO
TBO dB(0)
ω = +∞
ω = 0
TBO dB(ωωωωr BO)ωωωωr BO
75
TBO dB
ΦBO
FTBO
TBO dB(0)
ω = +∞
ω = 0
TBO dB(ωωωωr BO)
MBO dB
Facteur de résonance
ωωωωr BO
76
TBO dB
ΦBO
FTBO
FTBF
TBO dB(0)
ω = +∞
ω = 0
H BF dB(0)
TBO dB(ωωωωr BO)
MBO dB
Facteur de résonance
ωωωωr BO
77
TBO dB
ΦBO
FTBO
FTBF
TBO dB(0)
ω = +∞
ω = 0
H BF dB(0)
HBF dB(0)+MBF dB
ωωωωr BF
TBO dB(ωωωωr BO)
MBO dB
Facteur de résonance
ωωωωr BO
78
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
b – Analyse des résonances (suite).
ω
dBBFH
ωωωωr BFωωωωr BF
HBF dB(0)MBF dB
79
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
TBO dB
ΦBO
FTBO
FTBF
TBO dB(0)
ω = +∞
ω = 0
ω = +∞
ω = 0ω = 0
H BF dB(0)
H BF dB(0)
HBF dB(0)+MBF dB
ωωωωr BFωωωωr BFωωωωr BF
TBO dB(ωωωωr BO)ωωωωr BOωωωωr BOωωωωr BO
80
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
ωT : la pulsation de transition telle que TBO dB(ωT) =0 dB
TBO dB
ΦBO
FTBO
FTBF
TBO dB(0)
ω = +∞
ω = 0
ω = +∞
ω = 0ω = 0
H BF dB(0)
H BF dB(0)
HBF dB(0)+MBF dB
ωωωωr BFωωωωr BFωωωωr BF
TBO dB(ωωωωr BO)ωωωωr BOωωωωr BOωωωωr BO
ωωωωT
81
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
ωT : la pulsation de transition telle que TBO dB(ωT) =0 dB
ωπ : telle que φBO(ωπ ) = - 180°
TBO dB
ΦBO
FTBO
FTBF
TBO dB(0)
ω = +∞
ω = 0
ω = +∞
ω = 0ω = 0
H BF dB(0)
H BF dB(0)
HBF dB(0)+MBF dB
ωωωωr BFωωωωr BFωωωωr BF
TBO dB(ωωωωr BO)ωωωωr BOωωωωr BOωωωωr BO
ωωωωT
ωωωωππππ
82
ΦBOω = +∞
ω = 0
H BF dB(0)
ωωωωr BF
c – Bande passante en boucle fermée.
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
ω
dBBFH
ωωωωcHBF dB(0)
HBF dB(0) - αααα dB
83
ΦBOω = +∞
ω = 0
H BF dB(0)
ωωωωr BF
H BF dB(0)
- αααα dB
ωωωωC
c – Bande passante en boucle fermée.
III.2. Interprétation géométrique du passage BO � BF
ω
dBBFH
ωωωωcHBF dB(0)
HBF dB(0) - αααα dB
84
III.3. Réponse impulsionnelle d’un système bouclé en régime linéaire
L’étude de la réponse impulsionnelle d’un système bouclé permet d’aborder la question de la stabilité.
Définition 6 ?
011
1
011
1
...
...
)(
)()(
apapapa
bpbpbpb
pD
pNpH
nn
nn
mm
mm
++++++++== −
−
−−
1)()()( =→= pXttx CTL
c δ
n
n
pp
A
pp
ApY
−++
−= ...)(
1
1
FTBF :
D’après
011
1
011
1
...
...1).()(
apapapa
bpbpbpbpHpY
nn
nn
mm
mm
++++++++
== −−
−−On a
Que l’on exprime sous la forme
85
III.3. Réponse impulsionnelle d’un système bouclé en régime linéaire
tpi
TL
i
i ieApp
A→
−−1
Lors du retour dans le domaine temporel, on a pour chaque pôle pi de H(p) :
Pour que ces exponentielles ne divergent pas vers +∞ il faut que la partie réelle de chaque pi soit strictement négative.
Conclusion : un système de transmittance H(p) est stable ssi tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative (cad que les zéros de D(p) = 1 + T(p) sont à Re < 0)
La connaissance de la FTBO permet de conclure sur la stabilité du système en boucle fermée.
86
III.4. Le critère de Routh (critère algébrique).
011
1 ...
)(
)(
)()(
apapapa
pN
pD
pNpH
nn
nn ++++
== −−
On considère un système de FTBF :
Le critère de stabilité de Routh se décompose en 2 conditions :
• Une cond. nécessaire : la stabilité exige que tous les ai soient de même signe et non nuls.
• Une cond. Nécessaire et suffisante : le syst. est stable (i.e. les zéros de D(p), cad les pôles de H(p), sont tous à Re < 0) ssi tous les termes de la 1ère colonne du tableau de Routh sont de même signe.
87
III.4. Le critère de Routh (critère algébrique).
...
...
....
....
211
2131
0
1
3
321
5411
1
3212
5311
42
==−
==−
=−
−−−
−
−−−
−
−−−−
−−−−
−−
ccb
baab
p
p
p
bba
aaaab
a
aaaap
aaap
aaap
nnn
n
nnnn
n
nnnnn
nnnn
nnnn
….
88
III.5. Les critères géométriques de stabilité
a – Le critère de Nyquist.
Théorème de Cauchy : si un point d’affixe p, décrit dans le sens horaire un contour fermé (C), à l’intérieur duquel on trouve P pôles et Z zéros d’une fraction rationnelle D(p), alors la courbe (Γ) transformée de (C) par D(p)fait N tours (comptés positivement dans le sens horaire) autour de l’origine avec
N = Z - P
Re
Im
(CCCC)
Re
Im
(ΓΓΓΓ)
pôles de D(p)
zéros de D(p)
D(p)
N = Z - PN = 2 – 3 = -1
89
III.5. Les critères géométriques de stabilité
Contour de Bromwitch :
Re
Im
Rr
90
III.5. Les critères géométriques de stabilité
Th. Cauchy � si p décrit (C), le contour de Bromwich, alors 1 + T(p) décrit une courbe fermée (Γ) faisant N tours dans le sens horaire autour de l’origine avec : N = Z + - P +
P + = pôles à partie réelle > 0 de 1 + T(p)
P + = pôles à partie réelle > 0 de T(p)
P + = PBO+ pôles instables de la boucle ouverte
Z + = zéros à partie réelle > 0 de 1 + T(p)
Z + = pôles à partie réelle > 0 de
Z + = PBF+ pôles instables de la boucle fermée
)(1
)(
pT
pA
+
N = PBF+ - PBO
+
91
III.5. Les critères géométriques de stabilité
Critère de Nyquist :
lorsque p décrit le contour de Bromwich (C) dans le sens horaire, T(p) (la FTBO) décrit une courbe (Γ) dans le plan complexe. Le système est stable en BF ssi le nombre de tours de (Γ) autour du point critique -1 comptés dans le sens horaire est égal à moins le nb de pôles instables de T(p) (pôles Re > 0 de la FTBO).
Pour un syst. Stable en BO, le système est stable en BF si (Γ) n’entoure pas le point critique.
La connaissance de la FTBO permet de conclure sur la stabilité du système en boucle fermée.
92
b – Le critère du revers.
III.5. Les critères géométriques de stabilité
Conditions d’application :
• syst. stable en BO,
• ordre > 1,
• T(p) à phase minimale (pas de zéro à Re > 0),
• le rapport des coeff. de plus bas d° du num. et du den. est positif.
Critère du revers :
pour un syst. vérifiant les cond. d’application, si le lieu de Nyquistde la FTBO décrit dans le sens des pulsations croissantes (0+ ���� +∞∞∞∞), laisse le point critique à sa gauche alors le système sera stable en BF.
93
b – Le critère du revers.
III.5. Les critères géométriques de stabilité
-1
Instable Stable
ωωωωππππ < ωωωωt ωωωωt < ωωωωππππ
Re
Im
ωωωωππππ
ωωωωT
ω = 0
ω = +∞
-1
Re
Im
ωωωωππππ
ωωωωT
ω = 0
ω = +∞
cercle unitaire
cercle unitaire
94
b – Le critère du revers (suite).
III.5. Les critères géométriques de stabilité
Critère du revers dans le plan de Black :
pour un syst. en BO vérifiant les cond. d’application, si son lieu dans le plan de Black décrit dans le sens des pulsations croissantes(0+ ���� +∞∞∞∞), laisse le point critique à sa droite alors le système sera stable en BF.
Arg T
TdB
ω = +∞
ω = 0
ωωωωt
-1
ωωωωππππ
Arg T
TdB
ω = +∞
ω = 0
-1
ωωωωππππ
Instable Stable
ωωωωππππ < ωωωωt ωωωωt < ωωωωππππ
ωωωωt
95
Illustration sur les diagrammes de Bode.
III.5. Les critères géométriques de stabilité
ωωωωt
Arg T
ωωωω (log)
TdB
0 dB
ωωωω (log)
-180°
ωωωωππππ
Instable
ωωωωππππ < ωωωωt
ωωωωt
Arg T
ωωωω (log)
TdB
0 dB
ωωωω (log)
-180°
ωωωωππππ
Stable
ωωωωt < ωωωωππππ
96
c – Marges de stabilité.
III.5. Les critères géométriques de stabilité
Arg T
TdB
ω = 0
-1
ωωωωππππ
ωωωωt
MG
MΦΦΦΦ
Arg T
ωωωω (log)
TdB
0 dB
ωωωω (log)
-180°
ωωωωππππ
MGωωωωt
MΦΦΦΦ
[ ] °+== 180)( TjpTArgM ωφ- Marge de phase :
- Marge de gain :dBG jpTM )( πω=−=
97
Cha IV – Performances des systèmes asservis
IV.1. Précision des systèmes asservis.
Estimer la précision d’un système asservi c’est mesurer ou prédire l’évolution temporelle de l’écart entre la consigne d’entrée et la sortie du système ( ε(t) = yc(t) – y(t) ).
Définition 11 :
)(.)(1
)()(.
)(1
)()( pN
pT
pBpY
pT
pTpY c
FTBF
++
+=
43421
εεεε(p)+
Yc (p)A(p) B(p)
Y(p)_ ++
N(p)
98
IV.1. Précision des systèmes asservis
a – Précision statique (en poursuite) – Erreur en régime permanent.
Erreur en régime permanent :)(lim)(lim 0 ppt pts εεε →+∞→ ==
)()()( pYpYp c −=ε
)(.)(1
)()()( pY
pT
pTpYp cc +
−=ε
)(1
)()(
pT
pYp c
+=ε
)(1
)(.lim 0 pT
pYp cps +
= →ε
99
IV.1. Précision des systèmes asservis
Classe du système :
...1
...1.)(:
1
1
++++=
pa
pb
p
KpTFTBO α
αααα : classe du systèmenbre intégrations pures dans la BO
On a alors : αp
KpT pp 00 lim)(lim →→ =
ωωωω (log)
TdB
αααα = 0
(-1)
ωωωω (log)
TdB
αααα = 1
(-1)
(-2)
ωωωω (log)
TdB
αααα = 2
(-2)
(-3)
a – Précision statique (en poursuite) – Erreur en régime permanent (suite).
100
IV.1. Précision des systèmes asservis
Réponse à un échelon de consigne (erreur de position) :
ppYtty cTL
c /1)()()( =→Γ=
α
ε
p
KpT pps
+≅
+= →→
1
1lim
)(1
1lim 00
Ks +=
1
1ε 0=sε
Un système qui possède au moins un intégrateur (α ≥ 1) en boucle ouverte a une erreur de position nulle.
Pour α ≥ 1 :Pour α = 0 :
101
IV.1. Précision des systèmes asservis
Réponse à une rampe (erreur de trainage) :
2/1)()( ppYtty cTL
c =→=α
ε
p
Kpps
+= →
1
1.
1lim 0
+∞→sε Ks 1=ε
0=sεUn système qui possède au moins deux intégrateurs (α ≥ 2) en boucle ouverte a une erreur de traînage nulle.
Pour α = 1 :Pour α = 0 :
Pour α ≥ 2 :
102
IV.1. Précision des systèmes asservis
Réponse à une parabolique (erreur en accélération) :
32 /1)(2)( ppYtty cTL
c =→=α
ε
p
Kpps
+= →
1
1.
1lim
20
Ks 1=ε
0=sεUn système qui possède au moins trois intégrateurs (α ≥ 3) en boucle ouverte a une erreur d’accélération nulle.
Pour α = 2 :Pour α = 0 ou 1:
Pour α ≥ 3 :
+∞→sε
103
a – Précision statique (en poursuite) – Erreur en régime permanent (suite).
IV.1. Précision des systèmes asservis
sεK+
=1
1
sε
K
1=
sε
K
1=
Classe αααα = 0 1 2
erreur de position (échelon)
erreur de traînage
(rampe)
Erreur d’accélération
0 0
0∞∞∞∞
∞∞∞∞ ∞∞∞∞
104
b – Précision dynamique en poursuite.
IV.1. Précision des systèmes asservis
ωωωωt
ωωωω (log)
TdB
0 dB )(1
1
)(
)(
pTpY
p
c +=ε
Ainsi, plus la pulsation de transition (i.e. la bande passante) d’un système est grande, meilleure est sa précision sur une large bande de fréquence (on avait déjà établi qu’une large bande passante entraîne un faible temps de réponse).
105
c – Précision statique en régulation (c.à.d. en présence de perturbations).
IV.1. Précision des systèmes asservis
44 344 21régulationenerreur
c pNpT
pBpY
pTp )(.
)(1
)()(.
)(1
1)(
+−
+=ε
En considérant Yc(p) = 0 et en faisant abstraction du signe :
)(.)(1
)()( pN
pT
pBp
+=ε
εεεε(p)+
Yc (p)A(p) B(p)
Y(p)_ ++
N(p)
εεεε(p)+
Yc (p)A(p) B(p)
Y(p)_ ++
N(p)
106
IV.1. Précision des systèmes asservis
Pour une perturbation assimilable à un échelon unitaire : ppN 1)( =
On a :
)(1
)(lim
1.
)(1
)(.lim)(lim 00 pT
pB
ppT
pBpt ppts +
=+
== →→+∞→ εε
Bp
KpB B
α=)(Ap
KpA A
α=)(
En considérant pour p� 0 que l’on peut écrire :
et
On obtient :
c – Précision statique en régulation (suite).
A
B
p
KKp
K
BA
Bps
αα
ε+
= →0lim
107
c – Précision statique en régulation (suite).
IV.1. Précision des systèmes asservis
ααααA = 0 ααααA = 1, 2, …
ααααB = 0
ααααB = 1, 2, …
BA
Bs KK
K
+=
1ε
As K
1=ε
0
0
A
B
p
KKp
K
BA
Bps
αα
ε+
= →0lim
L’erreur statique engendrée par une perturbation assimilable à un échelon est nulle s’il existe au moins une intégration en amont.
108
d – Critères de performance.
IV.1. Précision des systèmes asservis
t
Yc(t)
Y(t)
t
εεεε(t)
t
εεεε 2(t)
109
t
y
tr1 tr2
+ 5%
- 5%
u
t
systèmeyu
Le temps de réponse à 5% exprime le temps mis par le système pour atteindre sa valeur de régime permanent à ±5% près (et y rester).
IV.2. Rapidité des systèmes asservis
tm.fc = 0,35Pour un 1er ordre, on a établi :
D’une façon générale : l‘amélioration de la rapidité (propriété temporelle) d’un système par l’élargissement de sa bande passante (propriétéfréquentielle).
110
IV.2. Rapidité des systèmes asservis
Illustration – Asservissement d’un 1er ordre :
ε(t)+
yc(t) y(t)_
ppT
τ+=
1
1)(K
u(t)
p
K
pTK
pTKpH
1
1
1...
)(.1
)(.)(
τ+==
+=
D’où la FTBF :
KetKKK +=+= 11 11
ττ
Coupure en BF :
τωωτω /1).1(/1 11 =+== ccc avecK
1er ordre
111
IV.2. Rapidité des systèmes asservis
T(p)yc(t) y(t)
+_ T(p)yc(t)
Ky(t)u(t)
t
Yc(t)
Y(t)
t
Yc(t)
Y(t)
u(t)
Les propriétés intrinsèques de T(p) ne sont pas modifiées par le passage en BF!
112
Il existe plusieurs types de lois de commande :
• Tous ou rien,
• Proportionnelle,
• Dérivée,
• Intégrale,
Ou toute combinaison des lois précédentes (P.I.D. la plus utilisée).
Cha V – Correction des systèmes asservis
V.1. Introduction.
systèmeyu
+_
yc εεεεcorrecteur
113
a – La commande tous ou rien :
La plus basique :
• pour εεεε > 0, c.à.d. y < yc , on envoie u = UMAX ,
• pour εεεε < 0, c.à.d. y > yc , on envoie u = 0.
b – La commande proportionnelle :
L’action u est dosée à proportion du résultat à atteindre et donc de l’erreur εεεε.
On prend : u = K.εεεε = K.(y – yc )
Si K est grand, la correction est énergique et rapide mais le risque de dépassement et d’oscillations dans la boucle s’accroit.
Si K est petit, la correction est molle et lente mais il y a moins de risque d’oscillations.
V.1. Introduction
114
ω = +∞ ω = 0-1 Re
Im
K KK1K1<
K2
< K2
b – La commande proportionnelle (suite).
V.1. Introduction
115
V.1. Introduction
ωωωωt
Arg T
ωωωω (log)
TdB
0 dB
ωωωω (log)
-180°
ωωωωππππ
Stable
ωωωωt < ωωωωππππ
Instable
ωωωωt < ωωωωππππ
Arg T
ωωωω (log)
TdB
0 dB
ωωωω (log)
-180°
ωωωωππππ
ωωωωt
ωωωωt
20logK
b – La commande proportionnelle (suite).
116
c - La commande intégrale.
Une loi de commande intégrale permet d’obtenir un démarrage progressif et un effet persévérant.
∫=t
i
dxxT
tu0
)(.1
)( ε
Ti cte de temps d’intégration
V.1. Introduction
systèmeyu
+_yc εεεεcorrecteur
intégral
0
E0 E0 iT
tE .0
117
t
u
ε
t
La commande intégrale est persévérante.
V.1. Introduction
c - La commande intégrale.
118
ε
t t
u
K.ε
Td .ε’
I
d - La commande dérivée.
La dérivée de l’erreur εεεε apporte une information supplémentaire sur son sens d’évolution (augmentation ou diminution) et sur sa dynamique.
D’où l’intérêt d’ajouter un terme dérivé au terme proportionnel d’une loi de commande pour exploiter cette information.
[ ])(.)()( tTtKtu d εε ′+=
Exemple : commande d’accostage d’un navire.
V.1. Introduction
119
V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase)
Transmittance de Laplace théorique : ppC .1)( τ+=
Pas de sens physique (d°num. > d°dénom.).!
Correcteur à avance de phase :
1.1
.1.)( <
++= aavec
pa
pKpC
ττ
120
V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase)
dBC
CArg
ωωωω (log)
τ1
τa1
Klog20
a
Klog20(+1)
ωωωω (log)τ
1τa
1
2π
mϕ
mω
Diagramme de Bode.
am τ
ω 1=
am arctan.22
−= πϕ
121
V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase)
(-1)
(-2)
(-3)
ωωωω (log)0 dB
ωωωω T
ωωωω (log)
-180°
TdB
(-2)
(-3)
ωωωω T
TdB+CdB
τ/1 τa/1
ArgT
ArgT +ArgC
MϕϕϕϕMϕϕ ϕϕ =
0
Amélioration de la stabilité et de la rapidité.
122
V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase)
Illustration dans le plan de Black.
Arg(FTBO)-180°ωωωωr -90°
FTBOdB
123
V.2. Correction proportionnelle et dérivée (à avance de phase)
Illustration dans le plan de Black (suite).
Arg(FTBO)-180°ωωωωr -90°
FTBOdB
Mauvais réglage
Arg(FTBO)-180°ωωωωr -90°
FTBOdB
Arg(FTBO)-180°ωωωωr -90°
FTBOdB
124
V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI)et correction à retard de phase
+= pKpC .
11.)( τ
1.1
.1.)( >
++= bavec
pb
pKpC
ττ
Correcteur proportionnel et intégral :
Amélioration de la précision.
Correcteur à retard de phase :
Gain et retard en basse freq.
125
V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI)et correction à retard de phase
dBC
CArg
ωωωω (log)τ1
ωωωω (log)
2π−
P.I.
τ1
Klog20
b
Klog20
(-1)
retard de phase
bτ1
dBC
CArg
ωωωω (log)
τb1
τ1
ωωωω (log)
2π−
τb1
τ1
126
Illustration dans le plan de Black.
V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI)et correction à retard de phase
-180°ωωωωr -90°
FTBOdB
P.I.
ω = +∞
ω = 0dBC
CArg
ωωωω (log)τ1
ωωωω (log)
2π−
P.I.
τ1
Arg(FTBO)
Le PI apporte une augmentation importante du gain en BO aux basses freq. ce qui permet d’améliorer la précision (sans modif. À proximité du pts critique).
127
V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI)et correction à retard de phase
-180°ωωωωr -90°
FTBOdB
Arg(FTBO)
P.I. mauvais réglage
ω = +∞
ω = 0
Illustration dans le plan de Black.
128
Illustration dans le plan de Black.
V.3. Correction proportionnelle et intégrale (PI)et correction à retard de phase
Arg(FTBO)-180°ωωωωr -90°
FTBOdB
retard de phase
Klog20
b
Klog20
(-1)
retard de phase
bτ1
bτ1
dBC
CArg
ωωωω (log)
τb1
τ1
ωωωω (log)
2π−
τb1
τ1
129
V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID)
Transmittance de Laplace théorique :
Pas de sens physique (d°num. > d°dénom.).!
Correcteur P.I.D. réel :
++= p
pKpC d
i
..
11.)( τ
τ
1.1
.
.
11.)( <
+++= aavec
pa
p
pKpC
d
d
i ττ
τ
130
V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID)
Diagramme de Bode (P.I.D. réel).
ωωωω (log)
ωωωω (log)iτ
1
2π−
P.I.D.CdB
diττ1
dτ1
daτ1
(-1)(+1)
2π+
0
Arg C
ϕϕϕϕ = 0
ddi aτττ111 <<
diττω 1=
Pivot du P.I.D.
ϕϕϕϕ = 0
CdB = 0
131
V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID)
-180°ωωωωr -90°
FTBOdB
Arg(FTBO)
Illustration dans le plan de Black.
P.I.D.
ω = +∞
ω = 0
diττω 1=
132
MG= 4,75 dB
MΦΦΦΦ = 25°
0 dB
MG= 20 dB
MΦΦΦΦ = 67°
V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID)
133
V.4. Correcteur à action Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (PID)
134
V.5. Modèle du 2nd ordre
TBO dB
ΦBO
3,6 dB
-1,4
dB
FTBO
ω = +∞
ω = 0
ωωωωr BF = 0,29 rad/s
135
Outils et moyens d’analyse
Signaux types :Rampe unitaire causale.
0 t
r(t)
r(t) =0 pour t < 0 (causalité)
t pour t ≥ 0
Echelon unitaire ΓΓΓΓ(t) - Fonction de Heaviside.
ΓΓΓΓ(t) =0 pour t < 0 (causalité)
1 pour t > 0ΓΓΓΓ(t) dérivée de r(t)
0 t
Γ(t)
1
Γ1(t)
1
+ε/2-ε/2 t
136
Outils et moyens d’analyse
Impulsion unitaire δδδδ(t) – Impulsion de Dirac.
δ1(t)
+ε/2-ε/2 t
1/ε
δ(t)
0 t
En dérivant ΓΓΓΓ1 on obtient δδδδ1 :
tq ∫+∞
∞−=1)(1 dttδ
pour εεεε ���� 0 δδδδ1 ���� δδδδ (distributions)
∫+∞
∞−=1)( dttδ
aire A
0 t 0 t
F1(t) A.δ(t)
137
Outils et moyens d’analyse
Signal sinusoïdal (périodique).
0 t
T
s(t)
s(t) = A.sin(ωt)
Signal de test pour la réponse fréquentielle.
Signal causal retardé.
0 t
f(t)
0 t
g(t)
ττττ
g(t) = f(t - τ)
138
Outils et moyens d’analyse
Produit de convolution.
Pour un S.L.T.I, en notant h(t) sa réponse impulsionnelle on a:
))(()().())(()( txydtyxtyxtp ∗=−=∗= ∫+∞
∞−
θθθ
pour des signaux causals :
∫ −=∗t
dtyxtyx0
)().())(( θθθ
systèmeyu
y(t) = (u ∗∗∗∗ h)(t)
Le dirac est l’élément neutre de la convolution : (x ∗∗∗∗ δδδδ)(t) = x(t)
139
Outils et moyens d’analyse
Transformée de Laplace monolatère.
[ ] ∫+∞
−==0
).()()( dtetfpFtfTL pt ωσ jp +=
)(.)(.)(.)(. pGbpFatgbtfa TL +→+Linéarité.
)().())(( pGpFtgf TL→∗Convolution.
)(
)()()().()())(()(
pU
pYpHpHpUpYthuty TL ==→∗=
Fonction de transfert – H(p).
140
Outils et moyens d’analyse
[ ] )0()(.)( −−=′ fpFptfTL
Dérivation en temps.
pour une fonction f dérivable en tout point :
pour une fonction f causale avec une discontinuité d’ordre 1 en 0 :
[ ] )(.)( pFptfTL =′
Intégration.
)(.1
)(0
pFp
dfTLt
=
∫ θθ
[ ])(.)(
tftTLdp
pdF −=
Dérivation en p.
141
Outils et moyens d’analyse
Théorème du retard temporel.
[ ] )(.)()()( pFetgTLtftg pττ −=→−=
Translation en p.
[ ] )()(. αα −= pFtfeTL t
Théorème de la valeur initiale.
[ ] )0()(. ++∞→ = ftfTLplimp
Théorème de la valeur finale.
[ ] )()()(.0 +∞== +∞→→ ftflimtfTLplim tp
142
Outils et moyens d’analyse
Transformées de Laplace usuelles.
1)( →TLtδ
pt TL 1)( →Γ
2
1
pt TL→
Dirac :
Echelon :
Rampe :
ape TLta
+→− 1.
( )2. 1
.ap
et TLta
+→−
22)(
ωωω+
→p
tsin TL
22)cos(
ωω
+→
p
pt TL
( ) 22. )(.
ωω
+++→−
ap
aptcose TLta
143
Intégrateur pur.
de fonction de transfert ττττ.y’(t) = u(t)
H(p) = 1 / ττττ.p H(jωωωω) = 1 / jωτωτωτωτ
HdB
Arg H
-90°
ωωωω ω/τ
dBH
10.1 10 1000 dB
-20 dB / décade
HArg
10.1 10 1000.1
-90 °
ω/τ
II.1. Système du 1er ordre