simulation par l'acoustique géométrique en présence de surfaces

Academie de Poitiers

U n i v e r s i t e d e P o i t i e r s

— Sciences Fondamentales et Appliquees —

THESE

pour l’obtention du Grade deDOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS

(Faculte des Sciences Fondamentales et Appliquees)(Diplome National - Arrete du 25 Avril 2002)

Ecole Doctorale : Sciences pour l’IngenieurSecteur de Recherche : Acoustique

presentee par

VERMET Mikael

Simulation par l’acoustique geometrique enpresence de surfaces courbes avec prise en

compte de la diffraction

Soutenue le Date de soutenance devant la Commission d’Examen composee de :

M. BOUCHE Daniel, Directeur de recherches au CEA habilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . President du Jury

M. POLACK Jean-Dominique, Professeur des Universites, Universite Pierre et Marie Curie . . . . . RapporteurM. NEVEU Marc, Professeur des Universites, Universite de Bourgogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Rapporteur

M. BARTHE Loic, Maıtre de conferences, Universite Paul Sabatier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ExaminateurM. JEAN Philippe, Ingenieur de recherche au CSTB habilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ExaminateurM. NOE Nicolas, Ingenieur de recherche au CSTB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Examinateur

M. VAUZELLE Rodolphe, Professeur des Universites, Universite de Poitiers . . . . . . . . . . . . . Directeur de TheseM. COMBEAU Pierre, Maıtre de Conferences, Universite de Poitiers . . . . . . . . . . . . . . . . Co-encadrant de These

tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt

Table des matieres

Introduction generale 5

I Introduction. 7

1 Contexte. 91.1 Enjeux de la simulation de la propagation acoustique. . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Les methodes numeriques exactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 La resolution par les methodes asymptotiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Ecriture asymptotique de l’equation de Helmoltz. . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Propagation dans l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2.1 Principes geometriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2.2 Principes physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Reflexions sur une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3.1 Aspects geometriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3.2 Aspects physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4 Diffraction par les aretes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.4.1 Aspects geometriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.4.2 Aspects physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Etat de l’art des differentes methodes asymptotiques pour le calcul de trajets. . 19

2 Problematique. 252.1 Description du lancer de faisceau adaptatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Presentation de l’algorithme utilise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Calcul exact des trajets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Geometries maillees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.4 Prise en compte de la diffraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Problematique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Aspect geometrique : calcul des intersections entre rayons et surfaces

courbes maillees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1.1 Mesestimation du nombre de rayons et dependance vis a vis

du raffinement du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Table des matieres

2.2.1.2 Probleme de la discontinuite de la pression reflechie sur unesurface maillee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2 Aspects physiques : calcul de differents phenomenes de diffraction. . . . 332.2.2.1 Probleme du calcul de la pression diffractee par plusieurs aretes

successives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2.1.1 Description de la methode classiquement utilisee pour le

calcul de la double diffraction par deux aretes successives. 332.2.2.1.2 Probleme d’un plateau dont l’epaisseur est faible. . . . . . 342.2.2.1.3 Probleme du calcul de la pression en zone de transition. . 36

2.2.2.2 Diffraction par des surfaces courbes. . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.2.3 Prise en compte de la diffraction par un coin d’aretes. . . . . . 38

II Aspects physiques. 41

3 Double diffraction. 473.1 Resolution du probleme de la double diffraction par un plateau. . . . . . . . . . 47

3.1.1 Etat de l’art. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Application de la formule de Capolino et Albani dans des configurations

de type 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.2.1 Resolution du probleme des distances inter-aretes faibles. . . . 50

3.1.2.1.1 Distance inter-aretes tres faible. . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.2.1.2 Convergence vers le cas d’une diffraction par une seule

arete lorsque la distance inter-arete tend vers 0. . . . . . . 513.1.2.2 Resolution du probleme des zones de transition. . . . . . . . . 52

3.1.2.2.1 Frontiere de transition et continuite. . . . . . . . . . . . . 523.1.2.2.2 Continuite et convergence des resultats vers la diffraction

par une seule arete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.3 Application de la formule de Capolino et Albani dans des configurations

de type 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.3.1 Formulation 3D du coefficient de Capolino et Albani. . . . . . 553.1.3.2 Validation sur une configuration 3D complete. . . . . . . . . . 563.1.3.3 Etude specifique au niveau des zones de transition. . . . . . . . 603.1.3.4 Etude en bande large. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Diffraction multiple dans des environnements complexes. 654.1 Diffraction par une succession de plateaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.1 Description de la methode de calcul implementee dans le lancer de fais-ceaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.2 Exemple 1 : application a un environnement faisant intervenir des re-flexions et diffractions multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.1.2.1 Calcul et validation 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.2.2 Calcul et validation 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.2.2.1 Diffractions par les faces superieures en 3D. . . . . . . . . 694.1.2.2.2 Diffractions par les aretes laterales. . . . . . . . . . . . . . 714.1.2.2.3 Bilan des contributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1.3 Exemple 2 : application a une configuration de type urbaine 2D. . . . . 74

3

4.2 Triple diffraction par un sommet triangulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.1 Description de la methode implementee dans le lancer de faisceaux. . . 774.2.2 Application et validation sur une configuration 2D. . . . . . . . . . . . . 78

5 Diffraction par des surfaces courbes. 835.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1 Problematique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.2 Calcul des coefficients de diffractions pour les rayons rampants. . . . . . 85

5.2 Validation de l’approche implementee sur l’exemple d’un cylindre. . . . . . . . 865.2.1 Application et validation 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.1.1 Formulation analytique 2D pour la diffraction par une surfacecourbe convexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1.2 Application et validation 2D de notre approche. . . . . . . . . 895.2.2 Application et validation de notre approche en 2,5D. . . . . . . . . . . . 94

5.3 Validation de l’approche implementee sur l’exemple d’un cylindre coupe. . . . . 975.3.1 Application et validation 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.1.1 Formulation analytique de la diffraction par un cylindre coupeen 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.1.2 Application et validation 2D de notre approche. . . . . . . . . 995.3.2 Validation de notre approche sur le cylindre coupe dans le cadre de

configurations 3D completes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3.2.1 Premiere configuration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2.2 Deuxieme configuration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6 Diffraction par un coin d’arete. 1096.1 Problematique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Etat de l’art. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Applications et validations de la formule de Capolino et Maci. . . . . . . . . . . 114

III Aspects geometriques. 123

7 Reconstruction de surfaces courbes C1 a partir d’un maillage lisse. 1277.1 Choix adopte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1.2 Triangles de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.3 B-Splines triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.1.3.1 Schema de subdivision de Powell-Sabin. . . . . . . . . . . . . . 1307.1.3.2 Choix d’une base pour les B-splines. . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.2 Mise en oeuvre et resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.1 Integration des splines de Powell-Sabin au sein d’un lancer de rayons. . 134

7.2.1.1 Construction des splines dans un lancer de faisceau. . . . . . . 1347.2.1.1.1 Prise en compte des conditions aux limites. . . . . . . . . 1347.2.1.1.2 Calcul des intersections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2.1.2 Traitement des cas critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2.2 Resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.2.2.1 Quelques exemples de surfaces reconstruites. . . . . . . . . . . 137

4 Table des matieres

7.2.2.2 Calcul de la pression reflechie sur une surface courbe. . . . . . 140

8 Changement de plan de projection et jonction des splines. 1438.1 Probleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.2 Construction d’une surface G1 raccordant deux surfaces de degre 2. . . . . . . . 146

8.2.1 Expressions des splines S11 et S21 dans le repere (O,x,y,z). . . . . . . . . 1468.2.2 Recherche d’une surface G1 permettant de joindre S11 a S21. . . . . . . 1488.2.3 Conditions de continuite C0 entre la surface S11 et la jonction J1. . . . 1498.2.4 Conditions de continuite geometrique des normales entre la surface S11

et la jonction J1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.2.4.1 Expression de la normale a la surface S11 le long de C11. . . . . 1508.2.4.2 Expression de la normale a la jonction J1 le long de C11. . . . . 1508.2.4.3 Colinearite des normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.2.5 Bilan du rang de la matrice permettant de calculer les coefficients deJ1 et J2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.3 Resolution du probleme de la continuite G1 entre les deux jonctions J1 et J2. . 1538.3.1 Continuite C0 entre les deux jonctions J1 et J2. . . . . . . . . . . . . . . 1548.3.2 Continuite G1 entre les deux jonctions J1 et J2. . . . . . . . . . . . . . . 155

8.4 Resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Conclusion generale et perspectives 165

A Construction d’une spline interpolant un triangle a partir des conditionsaux limites 169A.1 Expression des B-splines Bij(x, y) et des splines s(x, y). . . . . . . . . . . . . . 170

A.1.1 Formulation des B-splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170A.1.2 Expression complete des splines a partir des B-splines. . . . . . . . . . . 172

A.2 Relations entre les splines de Powell-Sabin et les triangles de Bezier. . . . . . . 173

B Equations permettant d’etablir la continuite geometrique des normalesentre deux sous-jonctions de splines 175B.1 Equations traduisant la continuite C0 entre J1 et J2 . . . . . . . . . . . . . . . 176B.2 Equations traduisant la continuite geometrique des normales entre J1 et J2. . . 177

Introduction generale.

La simulation de la propagation des ondes acoustiques constitue aujourd’hui un enjeu tresimportant. En effet, des besoins tels que l’optimisation de la qualite acoustique des salles deconcert ou bien encore la reduction du bruit dans les habitacles de vehicules ont fait leurapparition au cours des vingt dernieres annees. Dans ce but, differents algorithmes de calculont ete developpes, parmi lesquels les methodes a rayons qui mettent en oeuvre les formulesasymptotiques ; ces dernieres sont appelees ainsi car elles reposent sur l’hypothese que l’ontravaille a des frequences elevees. Le CSTB a quant a lui decide il y’a environ une vingtained’annees d’explorer ce nouveau domaine de recherche en developpant son propre logiciel decalcul, Icare, base sur la technique du lancer de faisceaux adaptatif. Une version electroma-gnetique de ce logiciel, nommee Icare-EM, reposant sur le meme principe, a recemment etedeveloppee.

L’objectif general de cette these est d’ameliorer la prediction de la pression acoustiquedans les methodes rayons en presence d’obstacles courbes. Or, il existe diverses methodes decalcul basees sur l’approche rayons. Toutefois, elles ont toutes pour point commun de reposersur des calculs geometriques de trajets entre sources et recepteurs et font toutes intervenir descoefficients associes aux interactions subies par ces trajets. Ainsi, est-il necessaire, lorsque l’onsouhaite etudier des interactions entre l’onde et son environnement selon le principe du lancerde rayons, de tenir compte des deux aspects geometriques et acoustiques de la propagationde l’onde.

La premiere partie de cette these aura pour but de presenter dans un premier tempsle contexte et les differentes techniques de simulation de la propagation acoustique dans ledomaine asymptotique afin d’introduire plus precisement la technique du lancer de faisceauxadaptatif utilisee tout au long de ces travaux.

La deuxieme partie concerne essentiellement la physique regissant la propagation desondes, a travers le theme general de la diffraction d’une onde acoustique par des obstacles.De maniere generale, la diffraction permet de caracteriser la maniere dont l’onde acoustiqueet son environnement interagissent. Toutefois, dans cette partie, nous mettons l’accent sur ladiffraction par des surfaces courbes dans la mesure ou ce phenomene n’etait pas initialementimplemente au sein du code et pour lequel nous avons par consequent elabore notre propremethode de calcul.

6 Introduction generale

La troisieme partie est quant a elle principalement consacree a des aspects geometriques dela propagation des ondes. Plus precisement, nous nous fixons pour objectif dans cette partiede proposer une solution au probleme des incertitudes et erreurs liees au calcul des reflexionssur les maillages de surfaces courbes.

Premiere partie

Introduction.

Chapitre 1

Contexte.

Sommaire

1.1 Enjeux de la simulation de la propagation acoustique. . . . . . . . 91.2 Les methodes numeriques exactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 La resolution par les methodes asymptotiques. . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Ecriture asymptotique de l’equation de Helmoltz. . . . . . . . . . . . 121.3.2 Propagation dans l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Reflexions sur une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Diffraction par les aretes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Etat de l’art des differentes methodes asymptotiques pour le cal-cul de trajets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

L’objectif de ce chapitre est d’introduire les notions mises en jeu par les methodes a rayonsdans le cadre de la simulation de la propagation des ondes acoustiques. Tout d’abord, nouspresentons le contexte a l’interieur duquel s’inscrit la simulation acoustique, notamment atravers ses interets et ses enjeux. Ensuite, nous nous interessons aux differentes methodes deresolution de l’equation de Helmoltz en presentant successivement les methodes numeriquesexactes et les methodes asymptotiques. Pour terminer, un etat de l’art des differentes tech-niques de calcul des trajets est realise, parmi lesquelles la technique du lancer de faisceauxadaptatif.

1.1 Enjeux de la simulation de la propagation acoustique.

La simulation de la propagation des ondes acoustiques en environnement complexe estde nos jours devenue incontournable si l’on souhaite effectuer des previsions suffisammentprecises du niveau acoustique quelle que soit la configuration d’etude. De ce fait, le develop-pement des methodes de simulation est alle de pair, durant ces vingt dernieres annees, avecl’accroissement des capacites de calcul des systemes informatiques. Comme l’illustrent les fi-gures 1.1(a) et 1.1(b), la caracterisation de la propagation des ondes acoustiques intervientdans une grande variete d’environnements, aussi bien interieurs (optimisation de la qualiteacoustique d’une salle, reduction du bruit au sein d’un habitacle,...), semi-ouverts (prediction

10 Chapitre 1 : Contexte.

du bruit issu d’un stade, de batiments en construction,...) ou bien encore exterieurs (simula-tion de la propagation d’une deflagration au dessus d’une zone urbaine,...). Il faut toutefoisnoter que les environnements exterieurs restent plus delicats a traiter a grande distance (engeneral lorsque celle-ci est superieure a 500 metres) dans le cadre des methodes rayons, dufait des effets meteo (vent, gradient de temperature,...). Ceci releve du domaine specifique del’acoustique environnementale et necessite alors l’intervention d’outils specialement adaptes.

(a) Rayonnement d’unenacelle de reacteur.

(b) Simulation de la propagation du bruit ausein d’un habitacle de voiture.

Fig. 1.1 – Exemple d’environnements d’etude de la propagation d’une onde.

Neanmoins, quel que soit l’environnement, une onde acoustique se propage en obeissanta des equations. En general, la donnee caracterisant une onde acoustique est la pression.L’equation a laquelle celle-ci doit alors obeir, pour tout milieu, est l’equation de Helmoltz. Ils’agit d’une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre. Elle est explicitee, dansle cadre d’un environnement 3D, par l’equation 1.1 ou k designe le nombre d’onde, relie ala longueur d’onde λ selon la relation k = 2π

λ et U designe l’amplitude de la pression ou duchamp electrique. n designe l’indice du milieu et correspond au rapport entre la vitesse depropagation de l’onde dans le milieu considere et la vitesse de propagation dans l’air.

∇2U + k2n2U = 0 (1.1)

Ainsi, resoudre le probleme de la propagation acoustique revient a resoudre cette equationdans l’espace. Les deux types d’approches les plus employees actuellement sont les methodesnumeriques ”exactes” et les methodes a rayons.

1.2 Les methodes numeriques exactes.

Elles se classent en deux grandes categories : la methode des differences finies et la methodedes elements finis. La methode des differences finies [1] consiste a quadriller l’espace de calculen points repartis uniformement et a resoudre l’equation de point en point, a partir desconditions aux limites de l’environnement. La methode des elements finis de frontiere [2]consiste quant a elle a mailler le domaine d’etude par des petits elements lineiques (2D)ou surfaciques (3D). Sur chaque sous-domaine ainsi defini, la pression est calculee par uneinterpolation des valeurs en des points choisis arbitrairement sur le sous-domaine et appelespoints nodaux. Le probleme se ramene alors a la resolution d’un systeme d’equations auxvaleurs propres. L’avantage de la methode des elements finis est qu’elle consiste finalement ainverser une matrice creuse.

1.3 La resolution par les methodes asymptotiques. 11

– avantages : ces methodes permettent un calcul exact de la pression ou du champelectrique.

– inconvenients : le maillage de l’environnement dependant de la longueur d’onde, letemps de calcul depend beaucoup de la frequence. Par consequent, ces approches serevelent inapplicables pour des calculs hautes frequences et dans le cas d’environnementsa grande echelle. De plus, l’information sur la pression est globale, c’est a dire que l’onne peut isoler les contributions de chacun des elements de l’environnement dans lequell’onde se propage.

1.3 La resolution par les methodes asymptotiques.

L’approche asymptotique repose sur l’hypothese que la longueur d’onde est grande de-vant les dimensions des obstacles constituant l’environnement. A partir de cette hypothese,l’influence de l’environnement sur la propagation des ondes acoustiques en un point donnede celui-ci peut etre consideree comme independante du voisinage de ce point. En se basantsur ce principe, nous pouvons alors assimiler l’onde comme se propageant selon des rayonssubissant un ensemble d’interactions ponctuelles telles que des reflexions sur les surfaces, desdiffractions par des aretes,... Pour caracteriser ces interactions entre les rayons et l’environ-nement, il est necessaire de resoudre localement l’equation de Helmoltz, tant d’un point devue physique (amplitude de l’onde reflechie ou diffractee) que d’un point de vue geometrique(direction du rayon reflechi ou diffracte). Toutefois, nous pouvons tout de suite noter qu’ils’avere necessaire, lors de tout calcul acoustique, de rechercher prealablement les trajets pos-sibles suivis par les rayons joignant une source et un recepteur donnes. Differents algorithmesde calcul de trajets seront presentes plus loin.

Nous donnons dans les lignes suivantes une liste des avantages et inconvenients de laresolution de l’equation de Helmoltz par les methodes asymptotiques :

– avantages : le temps de calcul est a la fois independant de l’echelle de l’environnementet de la frequence. Cette methode permet aussi de plonger des obstacles complexes ausein d’environnements donnes. De plus, nous pouvons etudier separement chacune descontributions de l’environnement, par exemple en isolant les contributions des rayonsdiffractes.

– inconvenients : il est necessaire de fixer au prealable un nombre d’interactions entrel’onde et l’environnement. Or, il arrive que l’on ne puisse prevoir l’ordre des interactionsa partir desquelles celles-ci sont negligeables, notamment dans le cas des environnementsinterieurs confines, dans lesquels les reflexions sont nombreuses. De plus, il est neces-saire que les longueurs d’onde auxquelles les calculs sont realises soient faibles devantles dimensions des obstacles presents dans l’environnement si l’on souhaite que l’hypo-these asymptotique reste valide. Ces methodes ne sont donc applicables qu’aux hautesfrequences.

Dans la suite, nous allons dans un premier temps donner une formulation asymptotiquede l’equation de Helmoltz. En nous basant sur ce resultat, nous detaillerons ensuite les prin-cipes physiques et geometriques regissant la propagation des rayons dans l’espace, la reflexionspeculaire sur une surface ainsi que la diffraction d’un rayon par une arete de diedre.


1.3.1 Ecriture asymptotique de l’equation de Helmoltz.

La pression peut s’ecrire [3], lorsque l’onde acoustique est assimilee a un rayon, selonl’equation 1.2 ; ψ designe la pression ou le champ en un point, A est l’amplitude de l’onde,k0 le nombre d’onde dans l’air ambiant. Si nous appelons k le nombre d’onde du milieu danslequel l’onde se propage, nous avons : k = nk0, n etant l’indice du milieu. Nous designonsdans la suite k0S la phase de l’onde. Nous avons alors S = nr, r etant la distance parcouruepar l’onde ; le terme S se nomme alors chemin optique de l’onde. Notons qu’en acoustique, laconvention de signe pour la phase est −jωt.

ψ = Ae+jk0S (1.2)

En reportant cette ecriture dans l’equation de Helmoltz (equation 1.1), nous aboutissonsa l’equation 1.3 :

∇2ψ + k20n

2ψ =[∇2A

A− k2

0(∇S)2 + k20n

2 + j

(2∇AAk0∇S + k0A

2∇2S

)]ψ = 0 (1.3)

Comme cette equation doit etre valide quel que soit ψ, nous obtenons les deux equations 1.4et 1.5 :

(∇S)2 = n2 +1k2

0

∇2A

A(1.4)

2∇A∇S +A∇2S = 0 (1.5)

Lorsque l’on fait tendre la longueur d’onde vers 0 conformement aux hypotheses asymp-totiques, k tend alors vers ∞ et par consequent le terme 1

k20

∇2AA tend vers 0. Nous obtenons

alors les deux equations 1.6 et 1.7 :

(∇S)2 = n2 (1.6)

2∇A∇S +A∇2S = 0 (1.7)

La premiere equation est connue sous le nom de l’Eikonale, la deuxieme est l’equationde transport. Des developpements en sont donnes dans les lignes qui suivent. Ils nous serontutiles pour la suite.

– l’equation de l’Eikonale. Soit ~u la direction perpendiculaire aux surfaces ou S = cste.Les surfaces equiphases sont de ce fait orthogonales a ~u et on a : ∇S = n~u. Ainsi, entredeux points d’abscisse r1 et r2 la variation de phase est donnee par l’equation 1.8 :

∆φ =∫ r2

r1

k0ndr (1.8)

Par consequent, la phase varie de 2π lorsque l’on parcourt une distance de λn = λm,

λm etant la longueur d’onde dans le milieu. ~u porte donc un rayon ayant les memescaracteristiques que les rayons acoustiques.


Nous deduisons de cela que la direction de l’onde et la direction de propagation del’energie sont identiques et orthogonales aux plans equiphases. Dans un milieu homo-gene, nous avons n = cste, ce qui implique ∇S = cste ; les rayons se propagent alors enligne droite.

– l’equation 1.7 peut egalement s’ecrire sous la forme 1.9 :

div(|A|2∇S) = 0 (1.9)

Cette equation a pour consequence que l’on a un flux conservatif : l’energie contenuedans un tube de rayons est conservee.

1.3.2 Propagation dans l’espace.

1.3.2.1 Principes geometriques.

La premiere etape lors du calcul de la propagation d’une onde selon une methode de typerayons est de determiner les trajets suivis par ceux-ci dans l’espace. Il est par consequentnecessaire de connaıtre les regles ou equations qui vont permettre de determiner leur allure,notamment lorsque l’indice du milieu varie dans l’espace. Celles-ci se resument en fait auprincipe de Fermat, selon lequel le temps de parcours d’une onde acoustique, entre une positionde source et de recepteur au sein d’un milieu donne, doit etre minimal. Ce principe est en faitune consequence de l’equation de l’Eikonale.

En effet, nous pouvons ecrire l’equation 1.6 sous la forme 1.10 :

∇S = n~u (1.10)

~u etant un vecteur perpendiculaire a la direction de propagation de l’onde. Nous en de-duisons l’equation suivante, donnant le chemin optique entre deux points A et B quelconqueset dans laquelle v(M) designe la vitesse de l’onde en un point M du chemin suivi :

L(AB) = c

∫ B

A

1v(M)

dl = c T (1.11)

Le chemin optique correspond donc a la distance qu’aurait parcouru l’onde acoustiquedans l’air d’indice constant pendant la duree T qu’elle met pour aller de A a B. Le cheminoptique est donc optimal du point de vue temporel ; en effet, nous avons vu que l’onde sepropage en ligne droite, et donc de maniere optimale d’un point de vue temporel, dans unmilieu d’indice constant.

L’integrale du chemin optique est souvent insoluble analytiquement ; elle peut alors etreresolue de maniere approchee a l’aide du calcul des variations. Toutefois, dans tous les calculseffectues, nous supposons l’indice du milieu constant : les rayons se propagent donc en lignedroite. Nous supposerons dans la suite que le milieu de propagation est l’air ; dans ce casl’indice du milieu vaut 1 partout dans l’espace.

1.3.2.2 Principes physiques.

L’amplitude de l’onde se propageant le long d’un trajet se determine quant a elle a partirdu principe de conservation de l’energie. Puisque l’on raisonne en terme d’energie, il estdonc necessaire de considerer un faisceau et non le rayon isole de maniere a pouvoir integrerl’amplitude de l’onde sur la surface du front d’onde. Nous avons represente sur la figure 1.2


l’exemple d’un faisceau quelconque. Il est issu des deux caustiques F ′1F′′1 et F ′2F

′′2 . A partir de

celles-ci nous determinons respectivement les deux rayons de courbures ρ1 et ρ2 au point P0.

1

s

s

2ρ

ρ

F’1

F’’

F’2

F’’2

1

P0

P

Fig. 1.2 – Cas general d’un faisceau se propageant en espace libre.

Si nous nous interessons maintenant a l’amplitude U de l’onde, en posant le principe deconservation de l’energie, nous obtenons la relation de l’equation 1.12, dans laquelle les airesdu front d’onde du faisceau aux points P0 et P sont notees S(P0) et S(P ) :

U(P0)2 dS(P0) = U(P )2 dS(P ) (1.12)

Le rapport entre les deux amplitudes aux point P0 et P s’appelle la divergence de l’onde.Nous la notons A(P0, P ). Sa valeur, dans le cas du faisceau de la figure 1.2, est determineepar l’equation 1.13 :

A(P0, P ) =U(P )U(P0)

=√

ρ1ρ2

(ρ1 + s)(ρ2 + s)(1.13)

Nous obtenons finalement la loi de la propagation des ondes acoustiques en espace libre,decrite par l’equation 1.14 :

U(P ) = U(P0)√

ρ1ρ2

(ρ1 + s)(ρ2 + s)e+jks (1.14)

Evidemment, lors du calcul de la pression, ces formules sont difficiles a utiliser, car ellesne font pas intervenir des donnees directement disponibles.

Neanmoins, nous pouvons ecrire, dans le cas d’une source ponctuelle et toujours en uti-lisant le principe de conservation de l’energie au sein d’un faisceau, l’amplitude de l’onde aupoint P en fonction de la puissance emise W selon la relation 1.15. Dans cette equation, ρ etc designent respectivement la densite volumique du milieu dans lequel l’onde se propage et lavitesse de l’onde dans ce milieu ; S designe la surface du front d’onde du faisceau au point P.

ρcdW

dS(P )= U(P )2 (1.15)

Nous designons maintenant par ω l’angle solide d’un faisceau emis depuis la source ponc-tuelle et r la distance reliant la source au point P. Puisque la puissance rayonnee par unesource ponctuelle est isotrope, la formule donnant la pression au point P peut alors etreexprimee selon l’equation 1.16.


p(P ) =

√ρcW

4π

√dω

dS(P )ejkr (1.16)

Dans le cas d’une source ponctuelle, le terme√

dωdS a pour valeur 1

r .

1.3.3 Reflexions sur une surface.

1.3.3.1 Aspects geometriques.

Par application du principe de Fermat, le rayon reflechi est obtenu de maniere a ce qu’ilsoit contenu dans le plan d’incidence et tel que l’angle qu’il forme avec le plan tangent a lasurface intersectee soit le meme que pour le rayon incident. La figure 1.3(a) illustre cela.

n

Q

P

θ = θr i

θi

(a) Rayon reflechi speculairement sur une surfaceplane.

Q

P

(b) Cas general d’un faisceau re-flechi sur une surface courbe.

Fig. 1.3 – Reflexion d’un rayon ou d’un faisceau sur une surface.

Nous illustrons, sur la figure 1.3(b), le cas general d’un faisceau de rayons de courbure ρ1

et ρ2 incident sur une surface courbe quelconque. La divergence du faisceau reflechi a alorspour expression l’equation 1.17 :

A(P0, P ) =

√ρr1ρ

r2

(ρr1 + s)(ρr2 + s)(1.17)

ρr1 et ρr2 sont les rayons de courbure du faisceau reflechi. Ils peuvent etre determinesanalytiquement a partir de ρ1 et ρ2 et de la courbure de la surface [4]. Cette derniere valeurest difficile voire impossible a determiner dans le cas de surfaces courbes complexes.

Neanmoins, dans le cas d’une source ponctuelle, nous pouvons nous baser sur l’equa-tion 1.16 afin de contourner le calcul de ces valeurs. En effet, en utilisant l’angle solide dufaisceau emis et sa surface au niveau du recepteur, determinee grace aux seuls rayons deli-mitant le faisceau, nous pouvons exprimer la divergence globale de ce dernier sans que l’onait par consequent a evaluer ses rayons de courbure. L’amplitude de l’onde au point P s’ecritalors selon l’equation 1.18.

p(P ) =

√ρcW

4π

√dω

dS(P )ejkrΠR (1.18)


Le terme ΠR designe alors le produit de l’ensemble des coefficients associes aux reflexionsrencontrees par le faisceau. L’expression de ces coefficients est donnee dans le paragraphesuivant.

1.3.3.2 Aspects physiques.

Il ne reste alors qu’a caracteriser physiquement l’interaction entre un rayon et une surface.D’apres le principe de localisation des effets, l’amplitude de l’onde reflechie au point Q estdeterminee lineairement en fonction de l’amplitude de l’onde incidente en ce point selon uncoefficient de reflexion.

Nous detaillons dans la suite la formulation donnant ce coefficient a partir des grandeurscaracteristiques du materiaux de la surface. Si l’on suppose l’onde incidente plane (c’est adire que la source est supposee etre loin du point de reflexion), le coefficient de reflexion Rs’exprime en fonction de l’impedance reduite ZR = 1

ρc du materiau selon la relation 1.19.

R =ZR cos θ − 1ZR cos θ + 1

(1.19)

Il existe des formulations, notamment dans [5], donnant le coefficient de reflexion pourune onde incidente spherique.

1.3.4 Diffraction par les aretes.

1.3.4.1 Aspects geometriques.

β

RS

Fig. 1.4 – Repartition des faisceaux diffractes par une arete.

Toujours en appliquant le principe de localite, a tout rayon diffracte sera associe un pointde diffraction. Toutefois, a la difference de la reflexion sur une surface, ce point est localisesur une droite (l’arete) et non sur une surface. Apres application du principe de Fermat, nousen deduisons que les rayons diffractes par l’arete doivent former avec celle-ci le meme angleque les rayons incidents. Ainsi, a la difference de la reflexion sur une face, dans laquelle iln’existe qu’un seul rayon reflechi par rayon incident, il existe une infinite de rayons diffractespar rayon incident sur l’arete. Ceux-ci se repartissent alors sur un cone de diffraction, appelecone de Keller. La figure 1.4 en donne une illustration.

1.3.4.2 Aspects physiques.

Maintenant que sont etablies les regles geometriques pour la construction des rayons dif-fractes, il nous reste a formuler les coefficients physiques attaches au phenomene de diffractiond’un rayon par une arete.


Le probleme de la diffraction par un diedre fut pour la premiere fois resolu par Sommer-feld dans le cas d’une onde electromagnetique en 1896 [6]. Il resolut pour cela l’equation deHelmoltz a partir des conditions aux limites du diedre et obtint une formulation du champ dif-fracte sous forme de series. Keller, dans sa Theorie Geometrique de la Diffraction [7], a partirde l’hypothese de faible longueur d’onde, en deduisit une formule asymptotique s’exprimantcomme un coefficient reliant lineairement pression incidente et pression diffractee. Enfin, laTheorie Uniforme de Pathak et Kouyoumjian [8] ameliore les coefficients de diffraction ob-tenus par Keller en assurant leur continuite de part et d’autre des frontieres de transition.Celles-ci sont illustrees sur la figure 1.5. Nous distinguons sur celle-ci trois zones : celle danslaquelle coexistent les trajets directs et les trajets reflechis sur la face visible par la source,celle ou seuls existent les trajets direct, et enfin la zone d’ombre, non visible depuis la source.Les rayons diffractes existent dans ces trois zones.

Le coefficient implemente au sein du lancer de faisceau est issu de la Theorie Uniforme dela Diffraction (TUD).

DIFFRACTE

DIRECT+

REFLECHI+

+ DIRECT

DIFFRACTE

N

zone de transition

frontiere de transitionassociee au rayon reflechi

zone de transition

DIFFRACTE

frontiere de transitionassociee au trajet direct

Fig. 1.5 – Frontieres de transition associees a un faisceau incident sur une arete de diedre.

α

β

Q

β

P

(a) Diffrac-tion par un

diedre.

’φ

φ

0 n

P

(b) Diffraction par un di-edre : vue de profil.

Fig. 1.6 – Diffraction d’un rayon par un diedre.

Nous explicitons dans la suite ce coefficient de diffraction. En se basant sur les parametresdefinis sur les figures 1.6(a) et 1.6(b), la formule etablie par Pathak et Kouyoumjian donnantla pression diffractee pd(Q) au point Q en fonction de la pression incidente pi(Q) en ce points’ecrit alors selon l’equation 1.20 :


pd(Q) = Dpi(Q) (1.20)

D se decomposant selon l’equation 1.21

D = D1 + D2 + R(D3 + D4) (1.21)

R designe le coefficient de reflexion defini par l’equation 1.19. D1, D2, D3 et D4 sontdonnes par les equations 1.22 a 1.25 :

D1 = − ejπ4

2n√

2πk sinβcot(π + (φ′ − φ)

2n

)· F (kLia+(φ− φ′)) (1.22)

D2 = − ejπ4

2n√

2πk sinβcot(π − (φ′ − φ)

2n

)· F (kLia−(φ− φ′)) (1.23)

D3 = − ejπ4

2n√

2πk sinβcot(π + (φ′ + φ)

2n

)· F (kLrna+(φ+ φ′)) (1.24)

D4 = − ejπ4

2n√

2πk sinβcot(π − (φ′ + φ)

2n

)· F (kLr0a−(φ+ φ′)) (1.25)

– Dans chacun de ces coefficients, F designe la fonction de transition de Pathak et Kouyoum-jian definie par l’equation 1.26 :

F (x) = −2j√x e−jx

∫ +∞

√x

ejt2dt (1.26)

– Li et Lr0,n sont les parametres de distance relatifs respectivement a l’onde incidente etaux ondes reflechies par les faces 0 et n du diedre. Ils sont definis par l’equation 1.27,dans laquelle ρi,r0,rne est le rayon de courbure du front d’onde incident ou reflechi calculedans le plan defini par la tangente a l’arete et le rayon incident ou reflechi, tandis queρi,r0,rn1 et ρi,r0,rn2 sont les rayons de courbure principaux du front d’onde incident oureflechi.

Li,r0,rn =s (ρi,r0,rne + s)ρi,r0,rn1 ρi,r0,rn2

ρi,r0,rne (ρi,r0,rn1 + s)(ρi,r0,rn2 + s)sinβ (1.27)

– a− et a+ sont explicitees sur les equations 1.28 et 1.29 :

a−(x) = 2 cos2

(2nπN− −X

2

)(1.28)

a+(x) = 2 cos2

(2nπN+ −X

2

)(1.29)

ou N− et N+ sont les entiers les plus proches des solutions respectives des equations 1.30et 1.31 :

2πnN−X = −π (1.30)

1.4 Etat de l’art des differentes methodes asymptotiques pour le calcul de trajets. 19

2πnN+X = π (1.31)

La pression au point P s’ecrit finalement :

~pd(P ) = AD ~pi(Q) ejksd (1.32)

Ou A designe la divergence du rayon diffracte, qui a alors pour valeur :

A =√

ρ

sd(ρ+ sd)(1.33)

ρ est la distance caustique associee au rayon diffracte, qui, dans le cas general d’une aretecourbe, verifie :

1ρ

=1ρi− ~n · (~si − ~sd)

ρd sin2 β(1.34)

ρd designant le rayon de courbure de l’arete au point de diffraction Q, tandis que ρi designele rayon de courbure du front d’onde incident calcule dans le plan d’incidence de l’onde. Cedernier est defini par la tangente a l’arete au point Q et par la direction du rayon incident.

Nous constatons, d’apres les equations 1.27 et 1.33 que les parametres de distance ainsique la divergence du rayon diffracte s’expriment en fonction des rayons de courbure des frontsd’onde incident, reflechi et diffracte. Si l’on souhaite s’affranchir des calculs de ces valeurs,comme dans le cas des rayons reflechis, nous pouvons tenter de les ecrire en fonction dessurfaces des fronts d’onde des faisceaux incidents et diffractes.

– divergence d’un faisceau diffracte. A la difference d’un faisceau reflechi, un faisceaudiffracte n’est pas emis depuis une source ponctuelle, mais le long d’une arete : celle-ci devient alors une source secondaire lineique. Nous ne pouvons donc pas ecrire ladivergence en terme d’angle solide. La formulation geometrique donnant la divergence

d’un faisceau est alors la suivante [4] : G = limt→0+A(t)t

A(r) , A(t) designant la surface dufont d’onde diffracte a la distance t du point de diffraction, et r designant la distanceentre le point de diffraction et le recepteur. Dans le cas d’une arete droite, cette formuledevient : G =

√s

r(r+s) , s designant la distance entre la source et le point de diffraction.

– expression du parametre de distance. Si nous nous interessons par exemple au terme Li,nous pouvons remarquer qu’il correspond en fait au rapport A2

direct

A2diff

. Adirect designe la

divergence du faisceau incident a une distance r de l’arete tandis que Adiff correspond,d’apres la formule 1.33, a la divergence du faisceau diffracte par l’arete droite dont ladirection est celle de la tangente a l’arete au point de diffraction. De la meme maniere,

les termes Lr correspondent au rapportA2rf

A2diff

dans lequel Aref designe la divergence, a

une distance r de l’arete, du faisceau reflechi sur les faces du diedre.Nous evitons ainsi d’avoir recours a des calculs explicites de courbures de front d’onde lors

du calcul du coefficient de diffraction.

1.4 Etat de l’art des differentes methodes asymptotiques pourle calcul de trajets.

Nous allons maintenant presenter les principes de fonctionnement des differentes approchesde type rayons destinees au calcul des trajets au sein d’environnements complexes.


– la methode des sources images. Cette methode consiste, connaissant une sourceponctuelle, a calculer son image par rapport a toutes les surfaces de l’environnementconsidere et a verifier pour chacune de ces images s’il existe un trajet la reliant aurecepteur. Les images de chacune de ces images sont ensuite construites et le test del’existence du trajet de nouveau effectue, ainsi de suite. La figure 1.7 donne une illus-tration de cette approche.

’

’3

S

R

sol

S (image de S par rapport a la face "sol")’

Fig. 1.7 – Illustration de la methode des sources images.

Sur cette figure est construite l’image S’ de la source S par rapport au sol. La droitereliant S’ au recepteur R ne rencontrant pas d’autres obstacles que le plan du sol, cetrajet virtuel est retenu parmi les trajets existants et associe au trajet reflechi sur le sol.Sa contribution vient s’ajouter a celle du trajet direct entre la source et le recepteurLa methode des sources images permet de maniere simple d’effectuer efficacement lebilan des trajets. Toutefois, elle ne peut s’appliquer qu’en presence de surfaces planes.De plus, cette methode est tres couteuse en temps de calcul ; celui-ci augmente en effetexponentiellement avec le nombre d’interactions.

– le lancer de rayons [10, 11, 12]. Le principe de base du lancer de rayon consistea emettre des rayons depuis la source selon des directions discretisant regulierementl’espace autour de celle-ci. Ensuite, pour savoir si le rayon atteint le recepteur ou pas, unvolume (en 3D) ou une surface (en 2D) d’une certaine dimension sont definis autour decelui-ci ; il est alors necessaire de verifier si ceux-ci capturent le rayon ou pas. La figure 1.8est une illustration d’un lancer de rayon 2D. Sur celle-ci, la source est representee parle point S et le recepteur par le point R ; un disque destine a la capture des rayons esttrace autour de ce dernier. Les rayons sont alors emis dans des directions couvrant toutl’espace. Nous pouvons ainsi constater que deux de ces rayons (T2 et Tk) atteignentle recepteur : le premier est un trajet direct, le deuxieme a ete reflechi trois fois surl’obstacle de droite. Par contre, nous pouvons observer que nous ne trouvons pas dereflexion sur l’obstacle circulaire situe face a la source : ceci est du a sa petite taille parrapport l’espace separant les rayons T1 et T2. Ceci nous permet de mettre en evidenceun inconvenient du lancer de rayon : l’aliassage. Ce phenomene apparaıt lorsque desobjets de la scene sont trop petits par rapport a l’ouverture de l’angle separant deuxrayons : il est alors necessaire d’emettre plus de rayons.Le lancer de rayon a pour avantage de limiter considerablement l’accroissement dutemps de calcul par rapport a la methode des sources images, notamment pour desscenes complexes faisant intervenir beaucoup d’interactions. Il est egalement possibled’integrer des surfaces courbes dans l’environnement. Toutefois, la prise en compte ri-goureuse de l’effet des courbures sur l’amplitude de l’onde reflechie est compliquee voire


impossible. En effet, nous avons vu ci-dessus que la divergence et par consequent l’am-plitude associees a un rayon reflechi dependent des rayons de courbure caracterisant lasurface reflechissante. Or, il s’avere souvent impossible de calculer ceux-ci du seul faitque l’on ne connaıt pas systematiquement la formule analytique decrivant les surfacesde l’environnement.Le principal inconvenient du lancer de rayon reside quant a lui dans l’apparition duphenomene d’aliassage. De plus, il est peu adapte a la prise en compte de la diffractionpar les aretes dans la mesure ou leur detection par les rayons est delicate et ne peut etrerealisee que de maniere approchee en considerant un petit volume autour de celles-ci.

S Tk

T1

T2

R

Fig. 1.8 – Illustration de la methode du lancer de rayons.

– le lancer de particules [13, 14, 15]. Le lancer de particules consiste a emettre desparticules dans l’espace tout autour de la source, selon des trajectoires stochastiques.Comme, l’illustre la figure 1.9(a), chaque recepteur de la scene est entoure par un vo-lume dans lequel sont collectees les particules qui l’atteignent. Lorsque la particuleatteint une surface, elle est reflechie ou absorbee par celle-ci selon une loi de probabilitecorrespondant au coefficient de reflexion de la surface.Pour un volume de reception donne et un nombre N de particules emises par la source,le nombre de particules captees s’attenue en 1

r2, r etant la distance du recepteur a la

source. En effet, le nombre n de particules contenues dans le faisceau d’angle solideΩ se propageant en espace libre vaut n = dΩ

4πN . La densite particulaire surfacique estalors donnee par la relation : dn

dS = 14πr2

N . A cette densite de particule, nous pouvonsdonc faire correspondre une puissance. Comme l’illustre la figure 1.9(b), le resultat finalest un echogramme correspondant a l’evolution temporelle de la densite surfacique desparticules collectees a chaque recepteur. La valeur affectee au recepteur n’est alors plusune amplitude mais une energie.A travers l’aspect temporel et probabiliste de la technique, le lancer de particules pre-sente pour avantage de pouvoir prendre en compte une plus grande quantite de pheno-menes que le lancer de rayons, notamment la diffusion par des surfaces. En effet, il estpossible, pour chaque surface qu’une particule atteint, de reflechir cette particule, nonplus systematiquement dans une direction speculaire, mais dans des directions aleatoirescalculees selon une loi de probabilite definissant la diffusivite de la surface.Par contre, elle presente pour inconvenient d’etre limitee a des etudes temporelles ;dans la mesure ou le calcul est energetique, les seules interferences pouvant etre misesen evidence sont celles qui sont liees au retard temporel. De plus, les resultats sontconsiderablement bruites.


S

sphere captantles particules

particulesemises

source

Ω

(a) Illustration de lamethode du lancer de

particules.

temps

nombrede particules

(b) Evolution de la densiteparticulaire en un recepteur.

Fig. 1.9 – Principe du lancer de particules.

– le lancer de faisceaux pyramidal [16]. Afin de pallier le probleme de l’aliassagecaracteristique de la methode du lancer de rayons, la solution proposee par la techniquedu lancer de faisceau pyramidal consiste a rechercher non pas des trajets suivis pardes rayons consideres isolement, mais des trajets de faisceaux pyramidaux delimitespar des plans et formant un ensemble de rayons coherents. Ceux-ci sont emis depuisla source de maniere a ce qu’ils discretisent tout l’espace autour de celle-ci. Lorsquele faisceau rencontre un objet, le faisceau est alors decoupe selon l’objet. Si cet objetest reflechissant, la partie de la surface rencontree sert alors de base a une pyramidereflechie.Le lancer de faisceau permet ainsi de resoudre le probleme de l’aliassage. Neanmoins,contrairement au lancer de rayon, l’environnement ne peut contenir de surfaces courbes,ceci afin que chaque faisceau reflechi sur une surface reste pyramidal. Les surfaces doiventde surcroıt etre polygonales. De plus, le lancer de faisceau pyramidal est peu adapte ala prise en compte de la diffraction.

– le lancer de faisceaux adaptatif [16]. Le lancer de faisceau adaptatif est une hy-bridation entre le principe du lancer de rayon et du lancer de faisceaux pyramidal quidonne une plus grande souplesse a ce dernier. Son principe sera expose dans le chapitresuivant. Notons toutefois que, contrairement au lancer de faisceau pyramidal, le lancerde faisceau adaptatif permet d’integrer les reflexions sur les surfaces courbes ; de plus,il presente pour avantage de prendre en compte l’effet de la courbure sur l’amplitudede l’onde reflechie de maniere beaucoup plus souple que le lancer de rayon. En effet, lelancer de faisceau adaptatif permet de s’affranchir de tout calcul de la coubure localede la surface puisque la divergence du faisceau est directement calculee en effectuantun rapport entre la surface du front d’onde du faisceau incident et du front d’onde dufaisceau reflechi. Les figures 1.10(a) et 1.10(b) illustrent l’influence de la courbure de lasurface sur l’onde reflechie. Sur la figure 1.10(a), nous observons que le faisceau reflechisur la surface courbe C2 s’elargit plus et a donc une divergence plus importante ques’il est reflechi sur la surface courbe C1 qui a un rayon de courbure plus grand. Lafigure 1.10(b) est une etude de l’attenuation de la pression reflechie en fonction de lacourbure de la surface. Sur cette figure, la pression est evaluee en fonction de la dis-tance a un cylindre pour differents rayons de courbure de celui-ci : 1 m, 3 m et 10 m.La pression obtenue en considerant le plan tangent a la surface au point de reflexion estegalement tracee, a titre de reference. La distance de la source au point de reflexion est


de 1 metre. Conformement a nos attentes, nous observons que, pour une distance durecepteur a la surface donnee, l’onde s’attenue d’autant plus que le rayon de courbureest faible.De plus, un autre avantage important du lancer de faisceaux adaptatif par rapport aulancer de faisceaux pyramidal est la prise en compte de la diffraction par des aretes.Ceci est explique dans le chapitre 2.

C2

1C

(a) Reflexion d’un faisceau sur une sur-face courbe.

(b) Evolution de la pression en fonc-tion du rayon de courbure de la sur-

face.

Fig. 1.10 – Consequence de la courbure d’une sphere sur l’amplitude de l’onde reflechie.

Nous recapitulons sur le tableau suivant les avantages et les inconvenients des differentesmethodes basees sur l’approche rayons.

Methode Geometrie Avantage InconvenientsSources images Plans Simplicite Accroissement expo-

nentiel des calculsLancer de rayons Plans, ≈surfaces

courbesGain en temps decalcul

Aliassage

Lancer de parti-cules

Surfaces quel-conques

Prise en compte de ladiffusion

Bruit, approche tem-porelle uniquement

Lancer de fais-ceaux pyramidal

Polygones Pas d’aliassage Couteux en tempsde calcul, integrationdes diffractions diffi-cile

Lancer de fais-ceaux adaptatif

Surfaces quel-conques

Diffraction et priseen compte rigoureusede la courbure dessurfaces

Couteux en temps decalcul

Chapitre 2

Problematique.

Sommaire

2.1 Description du lancer de faisceau adaptatif. . . . . . . . . . . . . . 252.1.1 Presentation de l’algorithme utilise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Calcul exact des trajets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Geometries maillees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.4 Prise en compte de la diffraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Problematique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Aspect geometrique : calcul des intersections entre rayons et surfaces

courbes maillees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Aspects physiques : calcul de differents phenomenes de diffraction. . 33

Nous allons dans un premier temps exposer les principes de fonctionnement du logicielIcare, qui est, rappelons-le, le logiciel base sur la technique du lancer de faisceau adaptatif quenous utilisons pour effectuer les calculs de propagation acoustique. Ceci nous permet ainsi defaire un tour d’horizon des fonctionnalites et des phenomenes pris en compte par le logiciel.A partir de cela, nous exposons, dans un deuxieme temps, la problematique qui a motiveles travaux exposes dans cette these. Ceux-ci ont consiste a elaborer des methodes originalesqui soient facilement inserables au sein d’un algorithme base sur la technique du lancer defaisceau dans le but de calculer de maniere fine des interactions nouvelles entre l’onde et sonenvironnement.

2.1 Description du lancer de faisceau adaptatif.

Nous allons maintenant detailler les principes du lancer de faisceau adaptatif, notammentla maniere dont sont calcules les trajets, la prise en compte des surfaces courbes ainsi que ladiffraction par les aretes de diedre.

2.1.1 Presentation de l’algorithme utilise.

Comme l’illustre la figure 2.1(a), le lancer de faisceaux consiste a subdiviser tout l’espaceautour d’une source ponctuelle en faisceaux pyramidaux a base triangulaire. Dans le cas

26 Chapitre 2 : Problematique.

du lancer de faisceau adaptatif, les faisceaux sont alors definis par les trois rayons qui lesdelimitent. Ces rayons sont alors lances a l’interieur de la scene etudiee et sont reflechisspeculairement sur les surfaces qu’ils intersectent. Un faisceau est dit incoherent lorsque lesrayons qui le delimitent n’ont pas le meme historique, c’est a dire qu’ils ne subissent pas tousles memes interactions avec l’environnement. Ceci se produit par exemple lorsque le faisceauest partiellement reflechi sur une surface. Dans ce cas, il est subdivise en plusieurs faisceaux,ajoutant ainsi de nouveaux rayons. Ceci est illustre sur la figure 2.1(b).

(a) Emisssion de fais-ceaux dans l’espace.

(b) Subdivision d’unfaisceau en quatre

sous-faisceaux.

Fig. 2.1 – Subdivision d’un faisceau emis depuis une source ponctuelle.

La subdivision des faisceaux est toujours realisee depuis la source dans la mesure oucertains objets peuvent etre courbes et que par consequent, le calcul de la source imageassociee est impossible. Nous subdivisons les faisceaux incoherents tant que leur ouverturereste superieure a l’angle solide minimal fixe prealablement a tout calcul.

Des qu’un faisceau coherent est obtenu, l’algorithme verifie s’il n’existe pas en son seind’objets qui n’aient pas ete intersectes par les rayons porteurs. Pour cela, un ”blob” estconstruit le long du faisceau dans la mesure ou l’on ne connaıt pas a priori la forme dufaisceau. Un exemple est illustre sur la figure 2.2. Il est constitue des deux spheres passantpar les deux triplets de points constituant les extremites des trois rayons porteurs du fais-ceau, ainsi que du cone reliant ces deux spheres. S’il existe un objet a l’interieur du ”blob”, lefaisceau est de nouveau subdivise.

Fig. 2.2 – ”Blob” d’un faisceau permettant de detecter des objets a l’interieur de celui-ci.

2.1.2 Calcul exact des trajets.

Une fois que tous les faisceaux ont ete subdivises et propages dans l’environnement, nousrecherchons pour chacun d’entre eux s’il contient le point recepteur, toujours en utilisant la

2.1 Description du lancer de faisceau adaptatif. 27

technique du ”blob”. Si un recepteur est localise dans un faisceau, ce dernier est subdiviserecursivement en sous-faisceaux dont le ”blob” contient le recepteur jusqu’a ce que celui-cisoit situe a une distance ε d’un des rayons porteurs d’un faisceau.

Nous obtenons ainsi un trajet point a point. Sa divergence, permettant de calculer l’atte-nuation de la pression le long du trajet, est calculee, comme nous l’avons vu auparavant, enfonction de la surface du front d’onde constituant le faisceau. Elle peut etre exprimee selon

l’approximation : G =√

dωdS , dω etant l’angle solide du faisceau initial et dS sa surface au

niveau du recepteur.

2.1.3 Geometries maillees.

Nous pouvons traiter n’importe quelle surface courbe, du moment que l’on puisse deter-miner analytiquement son intersection avec un rayon et que l’on puisse calculer la normalea la surface en ce point. Ce probleme peut etre aisement resolu pour des surfaces quadra-tiques telles que des cylindres, des spheres ou encore des cones, mais devient vite insolubleanalytiquement dans le cas de surfaces plus complexes telles que des NURBS (Non UniformRationnal B-Splines), souvent utilisees en CAO. Ainsi, les surfaces courbes se presentent tressouvent sous forme maillee. Ces maillages sont alors constitues d’un assemblage de triangleslisses. Un triangle lisse est un triangle dont les normales a ses sommets correspondent auxnormales de la surface courbe originale (si elles sont connues) ou bien resultent en chacunde ces sommets d’une moyenne des normales aux plans des triangles partageant ce sommetcommun. La figure 2.3 en donne une illustration.

coupe du maillage dela surface courbe

surface courbeoriginale

surface courbenormales a la

Fig. 2.3 – Coupe d’un maillage lisse.

Lorsqu’un rayon atteint un triangle lisse, le point d’intersection est situe sur le triangle,mais la normale est calculee selon une interpolation lineaire en ce point des normales auxsommets, appelee interpolation de Gouraud [17].

2.1.4 Prise en compte de la diffraction.

Nous venons d’expliquer la methode du lancer de faisceau adaptatif pour calculer destrajets (et les pressions resultantes) reliant une source et un recepteur ponctuels et pouvantsubir plusieurs reflexions speculaires. Nous detaillons maintenant la maniere dont sont calculesles trajets diffractes, en particulier par des aretes de diedre. Ceux-ci sont generes lorsqu’unfaisceau est partiellement reflechi sur une surface.

Sur la figure 2.4, nous pouvons ainsi observer qu’une partie du faisceau est reflechie tandisqu’une autre continue a se propager en ligne droite. En considerant separement les faisceaux


arete diffractante

faisceau incident diffraction

intervalle de

Fig. 2.4 – Cas d’un faisceau partiellement reflechi sur un diedre.

directs et reflechis resultants, nous pouvons delimiter la portion de l’arete intersectee par lefaisceau qui devient alors une source lineique secondaire.

(a) Faisceau diffracte depuisl’arete.

(b) Subdivision du faisceaudiffracte en sous faisceaux rec-

tangulaires.

Fig. 2.5 – Construction et subdivision d’un faisceau diffracte par une arete de diedre.

Puisque tout rayon incident sur une arete est diffracte sur un cone de Keller, le faisceaudiffracte est contenu dans le volume delimite par les deux cones de Keller emanant des deuxextremites de la portion d’arete intersectee, comme l’illustre la figure 2.5(a). Du fait que lefaisceau emane non plus d’un point, mais d’une ligne, il est cette fois subdivise en faisceauxpyramidaux a base rectangulaire (cf. figure 2.5(b)) emis depuis des intervalles elementairessubdivisant la portion d’arete.

Les faisceaux emis depuis l’arete se propagent alors dans la scene. Ils peuvent de ce faitetre reflechis, et dans le cas ou l’un d’entre eux est incoherent, il subit le mecanisme desubdivision explique auparavant. Un test est realise sur chacun des faisceaux resultants pourdeterminer s’il intercepte le recepteur. Une fois qu’un faisceau interceptant un recepteur estdetecte, le trajet exact de l’arete au recepteur est calcule en determinant la position du pointde diffraction. Si ce trajet existe, le trajet initial reliant la source ponctuelle a l’arete est a sontour determine a partir du faisceau incident sur l’intervalle elementaire entourant le point dediffraction. Les deux trajets sont ensuite connectes de maniere a ce qu’ils joignent tous deuxle point de diffraction. Ce procede peut etre repete iterativement et l’on peut ainsi traiter desdiffractions multiples.

Quant au calcul de la divergence du faisceau diffracte, celui-ci peut de nouveau etre calculeen se basant sur l’approximation du front d’onde par la surface du faisceau pyramidal. Commedans le cas de la reflexion, cette approche permet de calculer directement la divergence d’un

2.2 Problematique. 29

faisceau diffracte par une arete courbe, sans avoir explicitement recours a la courbure decelle-ci.

2.2 Problematique.

2.2.1 Aspect geometrique : calcul des intersections entre rayons et surfacescourbes maillees.

Nous avons vu precedemment qu’il etait possible de considerer les surfaces courbes ausein d’un lancer de faisceau adaptatif de differentes manieres : celles-ci sont soit decritesanalytiquement dans le cas de surfaces simples (spheres, cylindres,...), soit decrites sous formede maillages triangulaires, en general lisses.

Grace a l’interpolation de Gouraud, les maillages lisses garantissent la continuite des nor-males d’un triangle a l’autre. Bien que cette approche apporte une amelioration notable desresultats par rapport aux maillages non lisses, il subsiste des defauts lors du calcul des in-tersections entre rayons et maillages lisses. Ceux-ci sont principalement dus au fait que lanormale ainsi calculee ne correspond evidemment pas a la normale au maillage lui-meme. Dece fait, nous remarquons que, bien que les normales soient continues d’un triangle du maillagea l’autre, la derivee de la fonction decrivant la position des points du maillage n’est pourtantpas continue d’un triangle a l’autre.

Ceci peut avoir beaucoup de consequences, notamment :– Un nombre de trajets reflechis speculairement different selon que le calcul de rayons est

effectue sur la surface courbe decrite analytiquement ou sur la surface courbe maillee.– Une forte dependance de la qualite des resultats vis a vis du degre de raffinement du

maillage.– Des discontinuites de la derivee de la pression acoustique.Nous illustrons dans la suite ces differentes lacunes a travers divers exemples.

2.2.1.1 Mesestimation du nombre de rayons et dependance vis a vis du raffine-ment du maillage.

A titre d’illustration, nous presentons dans les lignes qui suivent une etude qualitativeconcernant la recherche de trajets reliant une source et un recepteur situes a l’interieur d’unesphere. En effet, en plus du trajet direct entre ces points, il existe des rayons reflechis sur laparoi de la sphere. Le nombre de trajets obtenus est evalue pour differents degres de maillagede la sphere.

La sphere choisie a un rayon de 1 metre. Elle est centree dans un repere cartesien (x,y,z)en (0,0,0). La source est placee en (0 ;0,1 ;-0,3), le recepteur en (0 ;0,1 ;0,5). La sphere estdiscretisee selon les maillages suivants : maillage en 100, 110, 120, 160, 200, 300, 400 et 600elements triangulaires. Les figures 2.6(a) et 2.6(b) sont des illustrations de la sphere mailleerespectivement en 200 elements et 600 elements.

Sur le tableau 2.7, nous recapitulons les bilans de trajets reflechis obtenus par le lancerde faisceaux sur la sphere analytique et sur la sphere maillee selon les degres de raffinementmentionnes ci-dessus, et ce, pour une ou deux reflexions maximum.

Il s’avere que le nombre de rayons obtenus est fortement dependant du maillage de lasphere. En effet, nous pouvons observer que, pour un maillage trop faible, le nombre de rayons


(a) Sphere maillee en200 triangles.

(b) Sphere maillee en600 triangles.

Fig. 2.6 – Sphere de rayon 1 metre maillee.

Nombre de triangles Nombre de rayons reflechis unefois

Nombre de rayons reflechis deuxfois

100 32 61110 19 47120 12 36160 2 4200 2 4300 2 4400 2 4600 2 4Sphere analytique 2 4

Fig. 2.7 – Nombre de rayons obtenus apres bilan des trajets pour une et deux reflexions surle maillage et differents degres de raffinement du maillage.

reflechis une fois ou deux fois est surevalue par rapport au calcul sur la sphere theorique. Ilconverge toutefois assez rapidement vers la solution exacte lorsque le maillage se raffine.

Nous avons donc mis en evidence sur cet exemple la dependance de la fiabilite des resultatsvis a vis du degre de raffinement du maillage.

2.2.1.2 Probleme de la discontinuite de la pression reflechie sur une surfacemaillee.

A la difference de l’etude precedente qui portait sur des calculs geometriques de trajets,nous nous interessons cette fois au comportement de la pression resultante en fonction dumaillage, toujours en comparaison avec la pression obtenue dans le cas de la surface courbeoriginale. La figure 2.8 illustre la configuration d’etude.

Nous etudions donc ici la pression dans le plan de coupe d’un demi-cylindre tout autourde celui-ci.

Le resultat presente sur la figure 2.9 a ete obtenu sur le demi-cylindre reel. Les deuxresultats presentes sur les figures 2.10(a) et 2.10(b) correspondent aux resultats obtenus surle meme demi-cylindre, mais cette fois maille en cinq elements selon le schema de la figure 2.8.


source

surface courbe

maillageassocie41

2 3

Fig. 2.8 – Configuration d’etude de la pression.

Fig. 2.9 – Resultats obtenus sur le cylindre reel.

(a) Cas dans lequel le maillage n’estpas lisse.

(b) Cas dans lequel le maillage estlisse.

(c)Echelle(dB).

Fig. 2.10 – Cartographies de la pression obtenue dans le cadre de la configuration presenteesur la figure 2.8.

Dans le cas de la figure 2.10(a), ce maillage n’est pas lisse. Dans le cas de la figure 2.10(b), lemaillage est lisse.

Evidemment, nous pouvons observer sur la figure 2.10(a) qu’il existe des zones de l’espaceau sein desquelles il n’existe pas de rayons reflechis. En effet, comme l’illustre la figure 2.11,ceci est du au fait que les normales ne sont pas geometriquement continues d’un element dumaillage a l’autre. Sur cette figure, le faisceau emis depuis la source est subdivise en deuxfaisceaux, l’un delimite en bleu, reflechi sur la face 1, et l’autre en rouge, reflechi sur la face2. Ainsi, se cree un espace vide entre ces deux sous-faisceaux.

Par contre, nous observons sur la figure 2.10(b) que le lissage des triangles apporte uneamelioration aux resultats obtenus sans lissage. Nous pouvons observer que la pression estcontinue dans la zone au sein de laquelle les rayons sont reflechis sur les faces 3 et 4 (cf.notations de la figure 2.8). Ainsi, grace a la continuite des normales de la surface, il n’existe


zone sans rayons reflechis

1

2

Fig. 2.11 – Masquage des faisceaux reflechis du au maillage non lisse.

plus d’espace vide parmi les rayons reflechis. Toutefois, nous constatons qu’il subsiste deslacunes :

– tout d’abord, a gauche de la figure 2.10(b), nous observons toujours une discontinuitede la pression de part et d’autre d’une ligne issue du sommet commun aux faces 2 et3. Cette discontinuite est due au fait qu’une partie des rayons reflechis sur la face 2sont inexistants, bien que celle-ci soit visible depuis la source. Ceci resulte du fait quela normale au point de reflexion sur cette face forme avec les rayons incidents concernesun angle superieur a 90 degres, ce qui apparaıt lorsque l’angle d’incidence est faible.La figure 2.12 illustre cela. Nous pouvons en effet observer sur cette figure que le rayonreflechi au point Q se propage a l’interieur de la surface, l’angle entre le rayon incidentet la normale etant superieur a 90 degres.

en zone d’ombrerayon

incident

rayon reflechi

2

2

P

NQ

N1QN

1P

Fig. 2.12 – Elimination d’un rayon dont l’angle d’incidence sur une face triangulaire est tropfaible par rapport a l’orientation des normales.

– de plus, nous observons que la derivee de la pression n’est pas continue de part et d’autred’une ligne issue du sommet commun aux faces 3 et 4. Cette ligne correspond en fait a lafrontiere separant les rayons reflechis par la face 3 des rayons reflechis par la face 4. Ceciest du au fait que la derivee de la longueur parcourue par le rayon n’est pas continuede part et d’autre de cette ligne, ce qui s’explique aisement par le fait que la derivee dela fonction decrivant la surface maillee subit une discontinuite d’un triangle a l’autre.Par consequent, la derivee de la phase et donc de la pression ne sont pas continues.


2.2.2 Aspects physiques : calcul de differents phenomenes de diffraction.

2.2.2.1 Probleme du calcul de la pression diffractee par plusieurs aretes succes-sives.

Comme nous l’avons expose precedemment, le lancer de faisceaux adaptatif est capablede calculer geometriquement des trajets diffractes plusieurs fois. En se basant sur le principede localite, la methode classiquement utilisee pour le calcul des diffractions multiples consistesimplement a multiplier entre eux les coefficients de Pathak et Kouyoumjian decrits par lesformules 1.21 a 1.31. C’est donc cette methode qui etait initialement implementee au sein dulogiciel de lancer de faisceaux. La figure 2.13(a) presente le cas d’un rayon subissant deuxdiffractions successives.

source

recepteur

(a) Rayon doublement diffracte. (b) Calcul des rayons au sein d’unenvironnement de type urbain.

Fig. 2.13 – Probleme de la diffraction multiple.

Nous pouvons toutefois nous demander si cette approche de calcul des diffractions mul-tiples est suffisamment precise et valide dans toutes les configurations. Cette question estd’autant plus importante que les environnements sont complexes. Un exemple caracteristiquemettant en relief la pertinence de cette remarque est l’etude de la propagation acoustiqueau sein d’environnements urbains, comme l’illustre la figure 2.13(b). Comme nous pouvonsl’observer sur cette figure, nous sommes confrontes, pour une zone d’evaluation de la pressiondonnee, a une multitude de trajets incidents, faisant tous intervenir des diffractions multiples.Ainsi, il est necessaire, sur tous les trajets, que la pression diffractee soit evaluee de maniereprecise si l’on souhaite eviter un cumul des erreurs, ce qui pourrait considerablement nuire al’evaluation de la pression.

2.2.2.1.1 Description de la methode classiquement utilisee pour le calcul de ladouble diffraction par deux aretes successives.

Cette approche est illustree sur les figures 2.14(a) et 2.14(b). Les deux coefficients D1 etD2 attaches respectivement a la premiere et a la deuxieme arete diffractante s’ecrivent alorsen fonction des parametres s, d, r, φ′1, φ1, φ

′2, φ2, α1, α2 explicites sur ces figures (avec, dans

le cas du plateau, φ′2 = 0).Les expressions des deux coefficients sont donnees par l’equation 1.32. Notons qu’une

multiplication par un facteur 1/2 est necessaire dans le cas du plateau [6]. En effet, le rayonqui atteint la deuxieme arete se trouve en incidence rasante et ce facteur permet d’eviter deprendre en compte deux fois le terme associe a la reflexion au sein des coefficients TUD.


s

recepteursource

d

r

D1

1φ

’φ1

φ2

D2

φ’2

α1

α2

(a) Double diffraction par deux aretes succes-sives.

s

recepteursource

r

φ’1

1Dd

2φφ 1

D2

α1

α2

(b) Cas particulier du plateau.

Fig. 2.14 – Definition des parametres de la formule classique pour la double diffraction.

Les parametres a−, a+, N− et N+ sont definis par les equations 1.28 a 1.31. Seule l’ex-pression du parametre de distance L2 associe a la deuxieme arete reste a discuter. Deux choixsont alors possibles.

Choix d’un parametre de distance L2.– un parametre de distance couramment utilise en 2D aussi bien qu’en 3D est donne

dans [18]. Il est base sur le principe que la premiere arete est assimilable a une sourcesecondaire d’ondes cylindriques. Cette approche est tout a fait coherente dans le casd’une onde cylindrique incidente sur cette arete et donc dans le cas d’un calcul 2D. L2

s’ecrit alors : drd+r . C’est donc ce parametre qui a ete implemente au sein de notre lancer

de faisceaux pour les calculs 2D. Nous nommons cette formulation de L2 : L2Cyl .– par contre, dans le cas de configurations 3D (onde emise spherique), nous avons choisi

d’exprimer L2 au sein du lancer de faisceaux sous la forme suivante : (s+d)rs+d+r . Ce choix

s’inspire des travaux de Tiberio et Kouyoumjian [19, 20]. En effet, ils montrent que dansle cas particulier ou la source est alignee avec les deux aretes diffractantes, cette ecriturede L2 assure la continuite de la pression de part et d’autre du plan contenant la sourceet les deux aretes. Nous nommons cette formulation de L2 : L2Sph .

Dans la suite, lorsque cela ne sera pas precise, c’est le parametre L2Sph qui est utilise enpresence de sources spheriques.

2.2.2.1.2 Probleme d’un plateau dont l’epaisseur est faible.

Nous pouvons remarquer que la configuration presentee sur la figure 2.13(b) fait intervenirde nombreux trajets doublement diffractes par des plateaux, c’est a dire que les deux aretesdiffractantes partagent une face commune. Nous pouvons nous demander si, lorsque l’on faittendre l’epaisseur du plateau vers une valeur nulle, la pression resultant de la multiplicationdes deux coefficients de diffraction attaches aux deux aretes tend bien vers la pression qui seraitdiffractee par le demi-plan inifinement mince vers lequel tend le plateau (cf figure 2.15(a)).

Sur la figure 2.15(b) est presentee une configuration qui va nous permettre de quantifierl’erreur commise sur la pression lorsque la methode classique est utilisee et que l’epaisseur duplateau devient faible.

Nous allons etudier dans cette configuration la pression doublement diffractee par le pla-teau en fonction de l’epaisseur de celui-ci, qui varie alors de 0 a 4,5 metres de part et d’autrede l’axe z. Sa dimension selon l’axe y est infinie ; le recepteur et la source ayant la meme coor-donnee selon l’axe y, il s’agit d’une geometrie 2D. Nous effectuons le calcul en considerant des


0e

(a) Cas d’un plateau dont nous faisons tendrel’epaisseur e vers 0.

source recepteur(x = −9 m) (x = +9 m)

variableEpaisseur

z

x = 0 x

(b) Configuration d’etude de la pression enfonction de l’epaisseur du plateau.

Fig. 2.15 – Double diffraction par un plateau dont nous faisons tendre l’epaisseur e vers 0.

ondes incidentes cylindriques puis spheriques. Dans le cas d’une onde spherique, nous testonsles deux parametres de distance L2Cyl et L2Sph associes, rappelons-le, a la deuxieme aretediffractante du plateau.

– ondes cylindriques incidentes. Sur la figure 2.16(a) est representee l’attenuation de lapression acoustique, dans le cadre de la configuration presentee sur la figure 2.15(b),a une frequence de 2 kHz, pour une onde incidente cylindrique. Nous comparons lesresultats obtenus par la methode classique avec les resultats obtenus selon une methodenumerique exacte destinee a des calculs en 2D : la BEM 2D.

– ondes spheriques incidentes. Sur la figure 2.16(b) est representee l’attenuation de lapression acoustique dans la meme configuration, a une frequence de 2 kHz, pour une ondeincidente spherique. Nous etudions cette fois le comportement de la methode classiqueen utilisant les deux parametres de distance L2Cyl et L2Sph . Ils sont compares avec lesresultats obtenus selon la BEM 2,5D. La BEM 2,5D permet de calculer de maniereexacte la pression dans le cadre de configurations 2,5D, c’est a dire lorsque la geometrieest 2D mais l’onde emise spherique.

(a) Resultats obtenus avec la methode clas-sique et la BEM 2D sur la config. 2.15(b) pour

onde incidente cylindrique, a 2kHz.

(b) Resultats obtenus avec la methode clas-sique et la BEM 2,5D sur la config. 2.15(b)

pour onde incidente spherique, a 2kHz.

Fig. 2.16 – Resultats obtenus avec la methode classique et la BEM sur la configuration 2.15(b)a 2kHz.


Nous pouvons remarquer, sur la figure 2.16(a), qu’en 2D, le parametre de distance L2Cyl

fournit de bons resultats jusqu’a une epaisseur d’environ 0,5 metre ; nous relevons un ecartavec la BEM 2D d’environ 1 dB pour cette epaisseur. Par contre l’erreur commise par lamethode classique augmente rapidement en-dessous de cette epaisseur, pour atteindre unevaleur legerement superieure a 4 dB pour une epaisseur de l’ordre de 0,1 metre.

Nous remarquons sur la figure 2.16(b) que l’emploi du parametre de distance L2Cyl surune configuration 3D entraıne, comme en 2D, une sous-estimation de la pression, tandis quele parametre L2Sph la surestime. Neanmoins, ces deux resultats commencent a s’ecarter desresultats obtenus avec la BEM pour une epaisseur sensiblement identique, c’est a dire denouveau vers 0,5 metre.

Nous pouvons conclure de ces deux resultats que, quel que soit le parametre de distanceutilise, aucun n’est valable lorsque l’epaisseur du plateau est faible.

2.2.2.1.3 Probleme du calcul de la pression en zone de transition.

La figure 2.17 presente la configuration qui va nous permettre de mettre en evidence uneseconde lacune de la methode classique.

source

4,5 m

9 m

30

recepteur

Frontiere de transitionde la deuxieme arete

12 m

φ

Fig. 2.17 – Configuration d’etude de la pression en fonction de l’orientation du recepteur parrapport a la frontiere de transition de la deuxieme arete.

Nous montrons en effet sur cette configuration que cette approche n’est plus valide lorsquele recepteur se situe dans la zone de transition associee a la deuxieme arete diffractante.L’orientation du recepteur par rapport a la frontiere de transition de la deuxieme arete variede -90 a +90 degres.

Sur la figure 2.18, est representee la valeur de la pression dans le cadre de cette configu-ration a une frequence de 1 kHz. Le calcul est realise en 2D.

La figure 2.18 met bien en evidence la discontinuite de la pression acoustique lors dufranchissement de la frontiere de transition associee a la deuxieme arete diffractante du plateaurigide.


Fig. 2.18 – Resultats obtenus avec la methode classique et la BEM 2D dans le cadre de laconfiguration de la figure 2.17

2.2.2.2 Diffraction par des surfaces courbes.

ZONE D’OMBRE

DE LA SURFACE

COURBE

ECLAIREE PAR

LA SOURCE S

S

(a) Recepteur situe en zoned’ombre d’une surface courbe.

(b) Rayons rampants sur unesurface courbe.

Fig. 2.19 – Diffraction par une surface courbe.

Nous avons vu que la diffraction par les aretes delimitant deux surfaces planes adjacentespermet de calculer la pression dans la zone d’ombre du diedre forme par ces deux surfaces,c’est a dire dans la region de l’espace non eclairee par le faisceau incident. Par contre, dansson etat initial, le lancer de faisceaux ne permet pas le calcul de la pression et des trajetsassocies dans les zones de masquage de surfaces courbes. Ceci est illustre sur la figure 2.19(a).

Ce phenomene faisant intervenir la notion de rayons rampants sur des surfaces courbes,sa prise en compte au sein d’un lancer de faisceaux recouvre donc a la fois des aspects geome-triques et acoustiques. Dans un premier temps, nous devrons en effet elaborer une methodede calcul des trajets rampants le long des surfaces courbes qui soit aisement integrable ausein du lancer de faisceaux parmi tous les autres phenomenes deja pris en compte (reflexions,diffractions d’aretes,...). A partir de cela, nous elaborerons une solution physique permettantle calcul de la pression resultante.

La figure 2.19(b) illustre des rayons rampants le long de la surface d’un demi-cylindre, enplus des rayons diffractes par les aretes courbes delimitant la surface.


2.2.2.3 Prise en compte de la diffraction par un coin d’aretes.

Lorsqu’un faisceau incident sur une surface plane est partiellement reflechi sur celle-ci,une partie de celui-ci est reflechie speculairement, tandis que l’autre prolonge le trajet initial,comme l’illustre la figure 2.4. Ensuite, nous avons vu que des trajets diffractes etaient emisle long de la portion eclairee de l’arete delimitant la surface (cf. figure 2.5(a)). Ces faisceauxdiffractes permettent alors de determiner la pression dans la zone masquee par la surface.Les coefficients de diffraction de Pathak et Kouyoumjian implementes assurent ensuite lacontinuite de la pression de part et d’autre de la frontiere de la zone masquee.

De la meme maniere, il arrive qu’un faisceau soit partiellement diffracte par une aretelorsque celle-ci est de taille finie. Il apparaıt alors une frontiere de transition des trajetsdiffractes. La figure 2.20 met cela en evidence.

O

Fig. 2.20 – Portion de diedre eclairee par un faisceau pyramidal.

Nous observons sur cette figure un faisceau triangulaire incident sur le coin superieur droitd’un diedre. Sa reflexion partielle sur ce diedre entraıne l’emission de faisceaux diffractes lelong des deux portions d’aretes tracees en rouge. Nous pouvons remarquer que ces deuxportions eclairees s’interrompent brutalement a leur intersection au point O. La diffractiondu faisceau par les deux aretes est donc partielle. L’idee est alors de chercher s’il existe unecontribution liee a l’extremite de l’arete permettant de resoudre les discontinuites liees a ladisparition des rayons diffractes a son niveau.

Bibliographie

[1] A. Taflove, Computational electrodynamics : the finite-difference time-domain method.Artech House (1995).

[2] M. Bonnet, Equations integrales et elements de frontieres : applications en mecaniquesdes solides et des fluides. Eyrolles, CNRS Editions (1995).

[3] D.A. Mac Namara, C.W.I. Pistorius, J.A.G. Malherbe, The uniform geometrical theoryof diffraction. Artech house(1990).

[4] G.L. James, Geometrical theory of diffraction for electromagnetic waves. IEE Electro-magnetic waves series(1980).

[5] G. Lemire, J. Nicolas, Aerial spherical sound waves in bounded spaces. Journal of Acous-tical Society of America (1989). Vol. 86(5). pp 1845-1853.

[6] A. Sommerfeld, Mathematische theorie der diffraction. Math. Ann (1896). Vol. 47. pp317-374.

[7] J.B. Keller, Geometrical theory of diffraction. Journal of optical american society (1962).Vol. 52. pp 116-130.

[8] R.G. Kouyoumjian, P.H. Pathak, A uniform geometrical theory of diffraction for an edgein a perfectly conducting surface. IEEE proceedings (1974). Vol. 62. pp 1448-1461.

[9] E. Conil, Propagation electromagnetique en milieu complexe. These de doctorat (2005).Institut polytechnique de Grenoble.

[10] L. Avenaux, Phenomenes ondulatoires en synthese d’images. These de doctorat (1999).Universite de Poitiers.

[11] A. Glassner, Space subdivision fo fast ray-tracing. IEEE Journal of Computer Graphicsand Applications (1984). Vol. 4(5). pp 15-22.

[12] A. Glassner, An introduction to ray tracing. Academic press (1989).

[13] J. Arvo, Backward ray tracing. SIGGRAPH Development in ray tracing in seminar notes(1986).

[14] S. Dumazet, V. Biri, Photon mapping et radiosite a base de fonctions. Journees deL’Association Francophone d’Informatique Graphique (2006).

40

[15] U. Stephenson, The sound particle simulation technique-an efficient prediction methodfor room acoustical parameters of concert halls. AES (1989).

[16] J.M. Hasenfratz, lancer de faisceaux en synthese d’image. These de doctorat (1998).Universite de Limoges.

[17] H. Callet, Histoire de l’informatique graphique. AFIG (1998). Vol. 8.

[18] R.J. Luebbers, Propagation prediction for hilly terrain using GTD wedge diffraction,IEEE transaction on antennas and propagation (1984). Vol 32. pp 951-955.

[19] R. Tiberio, R.G. Kouyoumjian, Analysis diffraction at edges illuminated by transitionregion fields. Radio Science (1982). Vol 17(2). pp 323-336.

[20] R. Tiberio, R.G. Kouyoumjian, Calculation high frequency diffraction by two nearbyedges illuminated at grazing incidence. IEEE transactions on antennas and propagation(1984). Vol 32(11). pp 1186-1196.

Deuxieme partie

Aspects physiques.

Introduction.

Objectifs.

Cette partie aborde differents aspects physico-mathematiques permettant d’effectuer ausein du lancer de faisceaux le bilan de la pression acoustique pour des trajets donnes enfonction des interactions subies avec l’environnement. Plus precisement, nous allons traiterde la prise en compte de plusieurs phenomenes de diffraction.

Nous nous sommes tout d’abord interesses, dans les chapitres 3 et 4, a l’etude de ladiffraction par plusieurs aretes successives. Dans le chapitre 3, nous avons recherche et valideune formule adaptee au traitement rigoureux de la diffraction par deux aretes. Le chapitre 4a, quant a lui, consiste a appliquer cette formule a des environnements plus complexes, faisantintervenir un grand nombre de diffractions.

Dans le chapitre 5, nous nous sommes attaches a l’implementation de la diffraction par dessurfaces courbes. Nous avons donc dans le cadre de cette problematique elabore une methodede calcul des rayons rampants sur les surfaces courbes et de la pression resultante.

Enfin, cette partie consacree aux aspects physiques du lancer de faisceau se clot en trai-tant la diffraction par un coin d’arete. La prise en compte de ce type de phenomene s’avereimportante pour combler les discontinuites dues a la taille finie des aretes diffractantes.

Methodologie et outils mis en oeuvre pour la validation.

Dans tous les chapitres suivants, nous avons mis en oeuvre au sein du lancer de faisceaudes formules extraites de la bibliographie dans differents types de configurations. Le logicielfonctionne en effet dans les trois configurations suivantes : 2D, 2,5D et 3D. Nous presentonsleurs caracteristiques. Nous utilisons dans la suite la convention de signe +jωt dans la mesureou les formules utilisees sont issues de travaux portant sur l’electromagnetisme. Le passage al’acoustique est alors realise en considerant le conjugue du resultat final.

– nous appelons configuration 2D une scene dans laquelle nous supposons les dimensionsde ses elements infinies selon un des trois axes du repere cartesien de l’espace. Lafigure 2.21 en donne une illustration.Sur la figure 2.21, nous pouvons observer une coupe d’un parallelepipede selon le plan(xOz). Le fait qu’il s’agisse d’une configuration 2D implique que ses dimensions sont

44

x

zR

y

S

dimensions infinies

selon l’axe y

Fig. 2.21 – Exemple de configuration 2D.

infinies selon l’axe y. La source est egalement supposee etre de dimension infinie selony : il s’agit alors d’une source lineique emettant des ondes cylindriques.Soit r la distance entre une source S et un recepteur R ; si l’on suppose que S et R sonten vue directe, la fonction traduisant l’attenuation de l’onde, appelee aussi fonction deGreen, s’exprime en terme de fonctions de Hankel [1]. Il est montre que cette fonctionde Green 2D tend, dans le domaine asymptotique (c’est a dire lorsque kr >> 1) versl’expression 2.1 :

p(R) =e−jkr√

r(2.1)

L’outil de validation mis en oeuvre pour ce type d’etude est la BEM 2D [2]. La BEM(Boundary Element Method) est une methode numerique exacte de type elements finisde frontiere.

– nous appelons configuration 2,5D une scene dans laquelle les dimensions des elementssont toujours infinies, exceptee celle de la source qui peut alors etre une source ponc-tuelle. Dans ce dernier cas, elle emet des ondes spheriques ; la fonction de Green a alorspour expression 2.2 :

p(R) =e−jkr

r(2.2)

D’autre part, cela a pour consequence que la pression subie au point R n’est plus inva-riante lorsque celui-ci se deplace selon l’axe y. Ainsi, dans ce type de configuration, lasource et le recepteur peuvent etre positionnees a des coordonnees selon l’axe y diffe-rentes. Ceci est resume sur les figures 2.22(a) et 2.22(b).L’outil de validation des resultats obtenus dans ce contexte d’etude est la BEM 2,5D[3]. Elle est en fait une extension logicielle de la BEM 2D. En effet, elle s’appuie sur lesresultats obtenus avec la BEM 2D dans le cadre de geometries 2D et les recalcule afinqu’ils correspondent aux resultats obtenus avec les memes geometries, mais considereesd’un point de vue 2,5D (source ponctuelle et emetteur eventuellement decale selon l’axey). Elle utilise pour cela les relations entre les fonctions de Green 2D et 3D ; en effet,d’apres [4], la fonction de Green 3D correspond a la transformee de Fourier des fonctionsde Hankel, caracteristiques des fonctions de Green 2D. De ce fait, la BEM 2,5D necessiteun calcul sur la configuration 2D, non plus a une seule frequence, mais sur le spectre de

45

x

zR

y

S

dimensions infinies

selon l’axe y

(a) Vue de profil.x

y

z

S

R

(b) Vue de dessus.

Fig. 2.22 – Exemple de configuration 2,5D.

frequences s’etalant de 0 Hz a la frequence d’etude ; d’ou un accroissement importantdu temps de calcul par rapport a la BEM 2D.

– pour terminer, les configurations les plus generales sont les configurations 3D [5]. Dansce cas, la source est spherique et les dimensions du ou des obstacles sont finies selonl’axe y. L’outil de validation devient alors la BEM 3D, qui fonctionne independammentdes deux versions de la BEM precitees.

Chapitre 3

Double diffraction.

Sommaire

3.1 Resolution du probleme de la double diffraction par un plateau. . 473.1.1 Etat de l’art. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Application de la formule de Capolino et Albani dans des configura-

tions de type 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.3 Application de la formule de Capolino et Albani dans des configura-

tions de type 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1 Resolution du probleme de la double diffraction par unplateau.

3.1.1 Etat de l’art.

L’objectif de ce paragraphe est de trouver une formulation traitant la double diffractionpar un plateau de maniere exacte quelle que soit l’epaisseur de celui-ci et qui soit valablea l’interieur de la zone de transition du plateau. Il a pour cela ete necessaire de chercherdans la bibliographie des formules plus elaborees permettant de combler ces deux lacunesde la methode classique. Notons que de nombreux articles traitant de la double diffractionresolvent le probleme des zones de transition, mais peu sont specifiquement consacres auprobleme de la limitation liee a la distance inter-aretes.

source

recepteur

1 2

n

Fig. 3.1 – Double diffraction par un plateau.

48 Chapitre 3 : Double diffraction.

Approche heuristique de Andersen. Afin de resoudre le probleme de la discontinuitede la pression de part et d’autre de la frontiere de transition associee a la deuxieme aretediffractante, Andersen [7] mit au point une formulation heuristique. Elle consiste a modifierde maniere heuristique le parametre de distance du coefficient de slope-TUD de la deuxiemearete diffractante. Le coefficient de slope-TUD designe le coefficient de diffraction de la deriveede la pression selon la normale a l’arete (cf figure 3.1). Il peut etre important de prendre encompte ce phenomene, dans le domaine de l’acoustique, lorsque le plateau est absorbant [1].En effet, dans cette situation, la pression incidente au point de diffraction sur la deuxiemearete est nulle, tandis qu’elle ne l’est pas a son voisinage. Toutefois, la methode d’Andersen serestreint au cas de la diffraction par deux ecrans separes, bien qu’elle donne de bons resultatsdans le cas de deux diedres assez fins [8]. De plus, cette methode n’est d’aucun apport dans lecas du plateau rigide, dans la mesure ou le terme de slope-TUD sur la deuxieme arete est nul.En effet, la derivee de la pression est nulle sur la face superieure du plateau lorsque celui-ciest rigide puisque la vitesse de l’onde est nulle sur cette face.

Extension spectrale de la theorie physique (TPD) et de la theorie uniforme(TUD) de la diffraction. Le probleme de la double diffraction est resolu rigoureusementpour la premiere fois dans [9], a l’aide de la theorie spectrale de la diffraction (TSD) [10].Si l’on se refere a la figure 3.1, l’approche choisie consiste a effectuer une decomposition enspectre d’ondes planes de la pression diffractee par l’arete 1 vers l’arete 2 ; le coefficient dediffraction dans le domaine spectral etant connu, il reste a resoudre une double integraledans le domaine complexe. Toutefois, ce premier article ne traite que le cas particulier de ladiffraction par deux demi-plans infinis et paralleles entre eux. De plus, il se limite au cas del’onde incidente plane. Les travaux de R. Tiberio et R.G. Kouyoumjian permettent de traiterle cas de deux diedres dont les aretes sont paralleles, dans le cas d’une onde incidente plane.Tout d’abord, dans [11, 12, 13], leurs travaux se restreignent au cas de l’alignement source etaretes (la deuxieme arete se situant donc sur la frontiere de transition de la premiere). Ils sontgeneralises dans [14] a toutes les directions d’incidence et d’observation. Les seules restrictionssubsistantes etant la condition de champ lointain (ondes planes) ainsi que le parallelisme desdeux aretes. Dans ces publications la validite de la formule a ete verifiee lorsque la distanceest de l’ordre d’une fraction de longueur d’onde. Michaeli [15, 16] a resolu le probleme dela double diffraction, sous les memes conditions, en se basant quant a lui sur les formulesde diffraction d’aretes issues de la theorie physique de la diffraction [1]. Une ameliorationsignificative a ete apportee dans [17], ou le probleme d’aretes non paralleles est traite, maisneanmoins sous la condition d’une onde incidente plane.

Ce sont finalement les travaux de Capolino, Albani, Maci et Tiberio [18, 19] qui permettentde s’affranchir de l’hypothese restrictive de champ lointain, en se basant sur la representationspectrale des ondes spheriques diffractees par la premiere arete qui est donnee dans [20, 21].A ce point, la seule limitation subsistante est le caractere coplanaire des deux aretes. Maisen ce qui concerne le probleme de la double diffraction par un plateau, cette contrainte estremplie. Notons toutefois que les travaux d’Albani [22] ont resolu le probleme de la doublediffraction par deux diedres dont les aretes ne sont pas coplanaires.

Formule de Capolino et Albani pour la double diffraction par un plateau en2D. Afin de s’affranchir de toute hypothese de champ lointain, nous avons choisi d’imple-menter la methode developpee dans [18]. La formule destinee a une configuration 2D, pourun plateau rigide, est detaillee ci-apres. Les parametres utilises dans les formules qui suiventsont representes sur la figure 3.2.

La formule donnant la pression p recue au recepteur R est donnee par l’equation 3.1 :

3.1 Resolution du probleme de la double diffraction par un plateau. 49

)

r

− n

r21

1

l

source recepteur

2φ

(2 1 ) π 2(2 − n π

φ

Fig. 3.2 – Definition des parametres intervenant dans la formule de Capolino et Albani.

p(R) =e−jkr1

r1·A ·Dh

12 (3.1)

Dh12 est le coefficient de double diffraction associe au plateau rigide. A exprime la diver-

gence de l’onde le long du trajet reliant la premiere arete au recepteur. Dans le cas de deuxdiffractions successives par deux aretes droites, la divergence vaut :

A =√

r1

lr2(r1 + l + r2)e−jk(l+r2) (3.2)

Dh12 =

14πjk

2∑p=0

2∑q=0

(−1)p+q

n1n2cot(

Φp1

2n1

)cot(

Φq2

2n2

)T (ap, bq, w) (3.3)

T est la fonction de transition definie par l’equation 3.4 :

T (a, b, w) =2πjab√1− w2

G

(a,

b+ wa√1− w2

)+G

(b,

a+ wb√1− w2

)+G

(a,

b− wa√1− w2

)+G

(b,

a− wb√1− w2

)(3.4)

G se nomme integrale de Fresnel generalisee et est definie par l’equation 3.5 :

G(x, y) =y

2πejx

2

∫ ∞0

e−jt2

t2 + y2dt (3.5)

Les formules (3.6), (3.7), (3.8), (3.9) et (3.10) explicitent les parametres intervenant dans lafonction de transition.

ap =√

2kr1l

r1 + lsin(

Φp1 − 2n1Npπ

2

)(3.6)

bq =√

2kr2l

r2 + lsin(

Φq2 − 2n2Nqπ

2

)(3.7)

w =√

r1r2

(r1 + l)(r2 + l)(3.8)

Φp1 = φ1 + (−1)pπ (3.9)

Φq2 = φ2 + (−1)qπ (3.10)


Np et Nq sont les entiers qui verifient le mieux les relations suivantes :

2πn1Np − Φp1 = 0 (3.11)

2πn2Nq − Φp2 = 0 (3.12)

Nous pouvons remarquer que ce coefficient de double diffraction fait intervenir l’integralede Fresnel generalisee. Le calcul numerique d’integrales pouvant devenir tres couteux en tempsde calcul en presence de nombreux trajets ou bien lors d’un calcul sur un spectre en bandefine, nous avons implemente les developpements asymptotiques de l’integrale donnes dans[23].

3.1.2 Application de la formule de Capolino et Albani dans des configura-tions de type 2D.

Nous presentons maintenant une serie de resultats mettant en valeur l’efficacite de laformule elaboree par Capolino et Albani, tout d’abord en ce qui concerne le probleme de ladistance inter-aretes faible, puis lorsque le recepteur se situe en zone de transition. L’ensembledes calculs est realise en 2,5D (onde emise spherique).

3.1.2.1 Resolution du probleme des distances inter-aretes faibles.

3.1.2.1.1 Distance inter-aretes tres faible.

La premiere configuration d’etude de la pression en fonction de l’epaisseur du plateau estcelle de la figure 3.3.

source recepteur(x = −9 m) (x = +9 m)

variable

z

x y

epaisseur

Fig. 3.3 – Premiere configuration d’etude de la pression en fonction de l’epaisseur du plateau.

L’epaisseur du plateau varie de 0,1 a 12 metres de part et d’autre de l’axe z. Nous calculonsalors l’attenuation de la pression en fonction de l’epaisseur du plateau exprimee en terme delongueur d’onde. Ceci dans le but de chercher s’il est possible d’estimer en terme de longueurd’onde l’epaisseur a partir de laquelle l’approche classique devient defaillante ; ainsi, pourrionsnous conserver cette approche dans certaines configurations ou elle reste valide et donc obtenirun leger gain en temps de calcul dans la mesure ou la formule de Capolino et Albani est unpeu plus couteuse de ce point de vue. Le calcul est effectue a 500 Hz, 1 kHz, 2 kHz et 4 kHz.Nous comparons la formulation classique et celle de Capolino et Albani aux resultats obtenusgrace a la BEM 2,5D.


(a) Attenuation de la pression acoustique (500Hz).

(b) Attenuation de la pression acoustique (1kHz).

(c) Attenuation de la pression acoustique (2kHz).

(d) Attenuation de la pression acoustique (4kHz).

Fig. 3.4 – Resultats obtenus a partir de la formulation classique, du coefficient de Capolinoet de la BEM dans le cadre de la configuration representee sur la figure 3.3.

Il apparaıt sur les figures 3.4(a), 3.4(b), 3.4(c) et 3.4(d) que les resultats issus de la methodeclassique commencent a s’ecarter des resultats BEM pour une epaisseur inferieure a environune dizaine longueurs d’onde. Toutefois, l’erreur commise commence a devenir superieure a 1dB pour une epaisseur de l’ordre de cinq longueurs d’onde. La formule de Capolino et Albanidonne quant a elle des resultats en parfait accord avec les resultats obtenus avec la BEM,meme pour des epaisseur de l’ordre d’une fraction de longueur d’onde.

3.1.2.1.2 Convergence vers le cas d’une diffraction par une seule arete lorsquela distance inter-arete tend vers 0.

Sur la figure 3.5(a), nous presentons une scene sur laquelle, cette fois, les deux faces ver-ticales du plateau ne sont plus paralleles entre elles. Ainsi, lorsque l’on fait tendre la distanceinter-aretes d vers une valeur nulle, le plateau ne converge plus vers un ecran, mais vers undiedre. Nous verifions sur cette configuration que la formule de Capolino et Albani assure laconvergence des resultats vers le resultat obtenu dans le cadre de la configuration 3.5(b). Ladiffraction par l’arete de ce diedre est alors calculee selon la TUD de Pathak et Kouyoumjianexposee en introduction. Les resultats obtenus a 1 kHz selon la methode classique et la me-


thode de Capolino et Albani sont presentes sur la figure 3.6. Ils correspondent a l’attenuationde la pression par rapport a une propagation en espace libre.

source y x recepteur

70

l

z

60

z = 3m

(a) Plateau rigide.

source recepteur

70

z

y

60

z = 3m

x

(b) Diedre equivalent a une distance inter-aretenulle.

Fig. 3.5 – Configuration d’etude de la double diffraction par un plateau dont les faces avantet arriere ne sont pas paralleles entre elles.

Fig. 3.6 – Resultats obtenus avec la methode classique et la formule de Capolino et Albanipour la configuration de la figure 3.5(a).

Nous observons sur la figure 3.6 que l’attenuation de la pression calculee selon la formulede Capolino et Albani converge vers l’attenuation resultant d’une simple diffraction par l’aretedu diedre de la figure 3.5(b) lorsque la distance inter-arete l tend vers une valeur nulle.

3.1.2.2 Resolution du probleme des zones de transition.

3.1.2.2.1 Frontiere de transition et continuite.

Nous nous interessons maintenant a la situation dans laquelle le recepteur se situe en zonede transition de la deuxieme arete diffractante. La configuration est celle de la figure 3.7.

Nous effectuons les calculs pour trois positions de sources differentes ; pour cela, nousdonnons a l’angle φ′ les trois valeurs suivantes : 5, 30, 60. Un angle de 5 permet deplacer la deuxieme arete diffractante en zone de transition de la premiere lorsque le rayon estdoublement diffracte ; lorsque le recepteur franchit la frontiere de transition de l’arete 2, il setrouve ainsi egalement dans la zone de transition de l’arete 1. La frequence d’etude est 1 kHz.


Les resultats sont donnes sur les figures 3.8(a), 3.8(b) et 3.8(c). Ils representent le niveau depression au recepteur en fonction de φ.

source

4,5 m

9 m

recepteur

de la deuxieme arete

12 m

φ

’φ frontiere de transition

Fig. 3.7 – Configuration d’etude de la pression de part et d’autre de la frontiere de transition.

(a) Valeur de la pression pour un angle φ′ = 5. (b) Valeur de la pression pour un angle φ′ =30.

(c) Valeur de la pression pour un angle φ′ =60.

Fig. 3.8 – Comparaison entre les resultats obtenus par la methode classique et ceux obtenuspar la formule de Capolino et Albani dans le cadre de la configuration 3.7.

Nous observons sur les figures 3.8(a), 3.8(b) et 3.8(c) une parfaite continuite de la pressionlorsque le recepteur franchit la frontiere de transition associee a la deuxieme arete. Nouspouvons egalement remarquer qu’en ce qui concerne l’approche classique, la largeur de la


zone de transition depend peu de la position de l’emetteur. Le fait que la deuxieme aretese situe dans la zone de transition de la premiere a peu d’influence sur cette largeur. Cecis’explique aisement par le fait que le calcul de la diffraction par la premiere arete selon lecoefficient de Pathak et Kouyoumjian est juste, que la deuxieme arete diffractante soit situeeou non dans la zone de transition.

3.1.2.2.2 Continuite et convergence des resultats vers la diffraction par une seulearete.

Pour conclure cet ensemble de validations 2,5D, nous presentons sur la figure 3.9 unederniere etude melant a la fois probleme de distance inter-aretes faible et continuite au niveaude la frontiere de transition. Pour cela, nous faisons varier la position du recepteur de part etd’autre de la frontiere de transition d’un plateau rigide, pour quatre epaisseurs differentes :14λ, 1

2λ, λ et 32λ. Ces epaisseurs de plateau sont donc suffisamment faibles pour mettre en

defaut l’approche classique.

60

source

recepteur

φ

d

1,8m

0,75m

Fig. 3.9 – Etude de la double diffraction par un plateau.

Fig. 3.10 – Resultats obtenus a 1 kHz avec la methode de Capolino et Albani dans le cadrede la configuration de la figure 3.9.

Le resultat associe a l’ecran mince est egalement affiche, a titre de reference. Les resultatsassocies a cette etude sont presentes sur la figure 3.10. Ils representent le niveau de pressionau recepteur en fonction de φ, calcule en utilisant la formule de Capolino et Albani, a unefrequence de 1 kHz.


Nous observons que la formulation de Capolino et Albani reste valide, en particulier enzone de transition, quelle que soit l’epaisseur du plateau et ne surestime pas la pression si l’onse refere au resultat obtenu en considerant un demi-plan infini.

3.1.3 Application de la formule de Capolino et Albani dans des configura-tions de type 3D.

Nous etendons maintenant la formule de Capolino et Albani de maniere a pouvoir traiterla double diffraction au sein de configurations 3D. Ceci est realise en nous inspirant de [18]. Laformulation 3D du coefficient de Capolino et Albani est ensuite validee sur une configuration3D grace a une comparaison avec la BEM 3D. Nous mettons alors en evidence les ameliorationsque la formule apporte par rapport a la methode classique, que ce soit pour le probleme dela distance inter-aretes faible ou bien pour le comportement de la pression au sein des zonesde transition.

3.1.3.1 Formulation 3D du coefficient de Capolino et Albani.

Afin d’etendre la formule de Capolino et Albani a des applications 3D, il nous faut prendreen compte dans celle-ci les angles β et β′, definis sur la figure 3.11 :

source

recepteur

2

r1β’

β’l

β

βr

Fig. 3.11 – Definition des parametres de la formule de Capolino et Albani en 3D.

La formule donnant la pression p au recepteur est donnee par l’equation 3.13 :

p(R) =e−jkr1

r1·A ·Dh

12 (3.13)

A designant la divergence de l’onde apres diffraction par la premiere arete, ce terme resteinchange par rapport a l’equation 3.2. Le terme Dh

12 designe le coefficient de diffraction quidevient alors, en reprenant les notations de l’equation 3.3 :

Dh12 =

14πjk · sinβ′ · sinβ

2∑p,q=0

(−1)p+q

n1n2cot(

Φp1

2n1

)cot(

Φq2

2n2

)T (ap, bq, w) (3.14)

Au sein de ce terme, seuls les variables ap et bq sont modifiees car elles prennent en compteles deux angles β et β′ :

ap =√

2kr1l

r1 + lsinβ′ sin

(Φp

1 − 2n1Npπ

2

)(3.15)


bq =√

2kr2l

r2 + lsinβ sin

(Φq

2 − 2n2Nqπ

2

)(3.16)

3.1.3.2 Validation sur une configuration 3D complete.

La configuration d’etude 3D sur laquelle nous validons, grace a la BEM 3D, la formule deCapolino et Albani est presentee sur la figure 3.12.

source(−5,9 ; 1 ; 0)

6,9 mx =

z = 3 m

z = 3 m

z

x

y x = 0

l = 1,2 m

l’ = 1,9 m

90

z = 3 m

L =2 m70

Fig. 3.12 – Configuration de la validation 3D de la formule de Capolino et Albani.

La source est situee sur le sol. Les recepteurs sont disposes sur un rectangle parallele a laface avant de l’obstacle. Sa largeur L est egale a celle de la face avant, c’est a dire 2 metres ;ainsi, les seules contributions sont des doubles diffractions par les aretes laterales et les aretesdelimitant la face superieure du parallelepipede. Notons que le plan sur lequel est calculee lapression presente pour interet de s’etendre jusqu’aux frontieres de transition des faces lateraleset de la face superieure du parallelepipede.

Nous presentons dans ce qui suit les resultats obtenus sur cette scene aux frequencessuivantes : 300 Hz, 600 Hz et 900 Hz. Notons qu’a 300 Hz, l’epaisseur du plateau est del’ordre d’une longueur d’onde, de deux longueurs d’onde a 600 Hz et trois longueurs d’ondea 900 Hz. Ainsi, nous nous situons pour chacune de ces trois frequences a une distance inter-aretes mettant en defaut la methode classique de calcul de la double diffraction.

Les figures 3.13(a), 3.13(b) et 3.13(c) representent respectivement la pression calculee a300 Hz selon la methode classique, selon le coefficient de Capolino et Albani et selon la BEM3D. Les figures 3.13(e) et 3.13(f) sont les cartographies des differences entre, respectivement,le niveau de pression calcule en utilisant la methode classique et la BEM 3D, puis entre leniveau de pression calcule en utilisant la formule de Capolino et Albani et la BEM 3D, a 300Hz. De la meme maniere, les series de figures 3.14 et 3.15 representent chacune respectivementles memes resultats obtenus a 600 et 900 Hz.


(a) Niveaux de pression obtenus selon lamethode classique.

(b) Niveaux de pression obtenus selon lamethode de Capolino et Albani.

(c) Niveaux de pression obtenus selon laBEM 3D.

(d)Echelle(dB).

(e) Difference entre les niveaux de pres-sion calcules selon la methode classique

et selon la BEM 3D.

(f) Difference entre les niveaux de pres-sion calcules selon la methode de Capo-

lino et Albani et selon la BEM 3D.

(g)Echelle(dB).

Fig. 3.13 – Resultats obtenus dans la configuration de la figure 3.12 a une frequence de 300Hz.





(d)Echelle(dB).


et selon la BEM 3D.



(g)Echelle(dB).



Nous pouvons remarquer sur les figures 3.14 et 3.15 que les resultats obtenus par l’ap-plication de la formule de Capolino et Albani se rapprochent beaucoup plus des resultatsobtenus selon la BEM 3D que ceux obtenus avec l’utilisation de la methode classique, quisurestime la pression. Ceci est conforme a ce qui a ete observe plus haut en 2,5D lorsque nousavons calcule la pression a l’aide du parametre de distance L2Sph en presence de distancesinter-aretes faibles. Par contre, nous pouvons observer sur les figures 3.13(a) et 3.13(b) queles resultats obtenus avec ces deux methodes sont quasi-similaires. L’erreur commise par cesdeux approches en comparaison avec la BEM 3D est inferieure a 1 dB sur la majeure partiedu domaine d’observation. En effet, la distance inter-aretes etant de l’ordre d’une longueurd’onde a cette frequence, l’erreur commise par la methode classique sur la pression associee aun trajet doublement diffracte est relativement faible (inferieure a 1 dB par trajet), commea 600 Hz et 900 Hz. Toutefois, a la difference de ces deux frequences, il apparaıt tres peud’interferences dans le domaine d’etude, d’ou un cumul des erreurs sur les coefficients de dif-fraction attaches aux trajets moindre et donc une erreur globalement plus faible qu’aux deuxautres frequences.

Nous pouvons egalement remarquer sur les figures 3.13(e), 3.14(e) et 3.15(e) que les erreurscommises par la methode classique en comparaison avec la BEM 3D sont reparties de maniererelativement uniforme sur l’ensemble de ces figures. Or, nous aurions pu nous attendre a cequ’elles soient plus importantes vers les bords de ces figures. Ceci provient en fait des rayonsreflechis apres double diffraction qui apportent alors tous une contribution a chaque point dereception situe sur la cartographie. Or, ces rayons ne se situent en zone de transition d’aucunearete diffractante, comme l’illustre la figure 3.16 et donc limitent considerablement l’influencedes bords. L’erreur observee sur l’ensemble de ces figures est donc essentiellement due a lafaible epaisseur du plateau.

Fig. 3.16 – Rayons reflechis apres diffraction par le plateau pour deux positions aleatoires durecepteur.

3.1.3.3 Etude specifique au niveau des zones de transition.

Les resultats suivants ont ete obtenus dans le cadre de la configuration precedente, maiscette fois sans faire intervenir les reflexions sur le sol. Les rayons ne subissent donc pasd’autres interactions que les doubles diffractions par les aretes laterales et superieures duparallelepipede. Les calculs sont de nouveau effectues a 300 Hz, 600 Hz et 900 Hz. Les fi-


gures 3.17(a), 3.17(b) representent les niveaux de pression obtenus selon, respectivement, lamethode classique et la formule de Capolino et Albani. La figure 3.17(d) represente les car-tographies des differences entre les niveaux calcules selon ces deux methodes. Les series defigures 3.18 et 3.19 representent les memes resultats, respectivement a 600 et 900 Hz.

Nous observons toujours sur les figures 3.17(b), 3.18(b) et 3.19(b) une surestimation desresultats obtenus selon la methode classique par rapport a la methode de Capolino et Albani.De plus, nous observons sur les figures 3.17(d), 3.18(d) et 3.19(d) que l’ecart entre les resultatsse situe principalement aux alentours des bords du domaine de calcul, c’est a dire au sein desregions de transition, ou il peut atteindre 3 a 4 dB.

(a) Niveaux de pression obtenus se-lon la methode classique.

(b) Niveaux de pression obtenus se-lon la methode de Capolino et Al-

bani.

(c)Echelle.

(d) Difference entre les niveaux cal-cules selon la methode classique et la

methode de Capolino et Albani.

(e) Echelle.

Fig. 3.17 – Resultats obtenus dans la configuration de la figure 3.12, sans prise en compte dusol, a une frequence de 300 Hz.




bani.

(c)Echelle.



(e) Echelle.





bani.

(c)Echelle.



(e) Echelle.


3.1.3.4 Etude en bande large.

La configuration d’etude est presentee sur la figure 3.20. Jusqu’a maintenant, les valida-tions ont ete realisees en frequence pure (validation en bande fine), mais dans la pratique, lescalculs acoustiques sont realises en bande large (octave, tiers, d’octave, douzieme d’octave,...).Dans l’etude presentee ici, nous calculons la pression quadratique moyenne dans chaque dou-zieme d’octave autour d’une serie de frequences centrales s’etalant de 125 Hz a 2 kHz. Leresultat est affiche sur la figure 3.21. Sur cette figure, est egalement affiche le resultat obtenudans la meme configuration en remplacant le plateau par un demi-plan infiniment mince.


0,43 m

x

z

y

25,1 m

recepteursource

(−42;0;1,5) (−38;−21;1,5)

Fig. 3.20 – Configuration d’etude.

Fig. 3.21 – Resultats obtenus dans le cadre de la configuration 3.20.

Tout d’abord, il apparaıt que l’on ne peut negliger l’epaisseur du plateau. En effet, nouspouvons observer, au dela de 500 Hz, un ecart croissant entre les resultats obtenus sur leplateau et les resultats obtenus lorsqu’il est remplace par un ecran infiniment mince. Cetteerreur est alors de l’ordre de 3 a 5 dB au dela de 1 kHz. Il est donc necessaire de prendre encompte l’epaisseur du plateau meme si celle-ci est faible.

Ensuite, nous pouvons observer, entre 200 et 400 Hz, c’est a dire lorsque l’epaisseur duplateau est de l’ordre d’une fraction de longueur d’onde, un ecart de l’ordre de 3 dB entreles niveaux obtenus selon la formule de Capolino et Albani et ceux obtenus avec la methodeclassique. De surcroıt, nous pouvons remarquer, dans cette gamme, que le niveau calcule avecla methode classique est superieur au niveau obtenu lorsque l’on remplace le plateau par unecran infiniment mince, ce qui est contradictoire.

Chapitre 4

Diffraction multiple dans desenvironnements complexes.

Sommaire

4.1 Diffraction par une succession de plateaux. . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.1 Description de la methode de calcul implementee dans le lancer defaisceaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.2 Exemple 1 : application a un environnement faisant intervenir desreflexions et diffractions multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.3 Exemple 2 : application a une configuration de type urbaine 2D. . . 74

4.2 Triple diffraction par un sommet triangulaire. . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1 Description de la methode implementee dans le lancer de faisceaux. 77

4.2.2 Application et validation sur une configuration 2D. . . . . . . . . . . 78

L’objectif de ce chapitre est d’etendre l’utilisation de la formule de Capolino et Albani a descalculs acoustiques dans des configurations complexes 2D et 3D faisant intervenir plus de deuxdiffractions. Ainsi, nous etudions d’abord le traitement de la diffraction par plusieurs plateauxsuccessifs. La methode par laquelle nous avons insere la formule de Capolino et Albani au seindu lancer de faisceaux en vue de cela est presentee. Nous l’avons ensuite applique et valide surdeux configurations complexes 2D et 3D. Ensuite, nous presentons la methode par laquellenous avons etendu la double diffraction par un plateau a la triple diffraction par un sommettriangulaire (equivalent a deux plateaux consecutifs partageant une arete commune). Dansces deux applications, l’accent est surtout mis sur la capacite de la formule de Capolino etAlbani a calculer correctement la pression acoustique lorsque le recepteur franchit des zonesde transition. Les validations sont effectuees uniquement sur les configurations 2D par la BEM2D dans la mesure ou la BEM 3D depasse rapidement les limites de capacite informatiquelorsque les scenes se complexifient.

66 Chapitre 4 : Diffraction multiple dans des environnements complexes.

4.1 Diffraction par une succession de plateaux.

4.1.1 Description de la methode de calcul implementee dans le lancer defaisceaux.

Nous detaillons dans ce paragraphe la methode par laquelle nous avons integre la formulede Capolino et Albani au sein du lancer de faisceaux en vue d’effectuer des calculs faisantintervenir des diffractions par plusieurs plateaux consecutifs. Elle est illustree sur la figure 4.1.

1 2

3 4

associee a l’arete 4

frontiere de transition

Fig. 4.1 – Integration de la formule de Capolino et Albani au sein du lancer de faisceaux.

Lorsque les diffractions sur le plateau de gauche (forme par les aretes 1 et 2) se reduisent aune diffraction sur l’arete 1, celle-ci est calculee selon le coefficient de Pathak et Kouyoumjian.Si, de nouveau, sur le plateau de droite, elle est seulement diffractee par l’arete 3, le coefficientassociee a celle-ci reste le coefficient de pathak et Kouyoumjian ; ceci reste valide si l’on supposel’arete 3 situee en dehors de la zone de transition de l’arete 1, comme sur la figure 4.1. Parcontre, si l’onde est ensuite doublement diffractee par les aretes 3 et 4, la formule de Capolinoet Albani est utilisee. Celle-ci assure alors la continuite de la pression lors du franchissementde la frontiere de transition de l’arete 4 par le recepteur.

Lorsque le rayon est doublement diffracte par les aretes 1 et 2, le coefficient de Capolino etAlbani est utilise. Ensuite, si l’onde est seulement diffractee par l’arete 3, nous utilisons pourcela le coefficient de Pathak et Kouyoumjian. Si elle est doublement diffractee par les aretes3 et 4, le coefficient de Capolino et Albani est utilise, ce qui, de nouveau, assure la continuitede la pression de part et d’autre de la frontiere de transition associee a l’arete 4.

Ce schema peut etre etendu de cette maniere a un nombre illimite de plateaux successifs.

4.1.2 Exemple 1 : application a un environnement faisant intervenir desreflexions et diffractions multiples.

Nous appliquons maintenant notre approche pour le calcul de la diffraction par des pla-teaux successifs a un environnement plus complexe. Celui-ci est constitue de deux parallelepi-pedes poses sur le sol et dont les faces superieures sont situees a une hauteur identique, ce quiplace les deux aretes diffractantes du parallelepipede de droite sur la frontiere de transition dubatiment situe a gauche. Nous etudions la pression en fonction de la hauteur du recepteur demaniere a ce que celui-ci franchisse les frontieres de transition des deux obstacles. Les calculssont d’abord realises en 2D puis en 3D.

4.1 Diffraction par une succession de plateaux. 67

4.1.2.1 Calcul et validation 2D.

La configuration destinee au calcul 2D est representee sur la figure 4.2.

x = −20 m

source

x = −4 m x = 6 m x = 16 m

z = 9,5 m z = 9,5 m

2 m 2 m

z = 16 m

recepteurs

Fig. 4.2 – Configuration d’etude.

Fig. 4.3 – Bilan du calcul de trajets sur la scene presentee sur la figure 4.2.

Les figures 4.4(a), 4.4(b) et 4.4(c) representent les resultats obtenus a 500 Hz, 1 kHz et 1,5kHz selon la methode classique, la formule de Capolino et Albani etendue a des diffractionspar plusieurs plateaux et la BEM 2D. Le bilan des trajets obtenus, avec un nombre total dereflexions et diffractions par trajet limite a sept, pour une hauteur du recepteur quelconque, estrepresente sur la figure 4.3. Au vu des resultats presentes sur les figures 4.4(a), 4.4(b) et 4.4(c)nous pouvons tout d’abord remarquer que les resultats obtenus par la methode classiques’ecartent des resultats obtenus avec l’utilisation de la formule de Capolino et Albani, memeen zone d’ombre profonde, c’est a dire loin des zones de transition des deux parallelepipedes.Ensuite, il sont quasiment identiques pour une hauteur du recepteur superieure a dix metres,c’est a dire au-dessus des zones de transition. La premiere remarque s’explique par le faitque lorsque le recepteur est situe en zone d’ombre du deuxieme parallelepipede, les trajetssont issus de rayons diffractes par les aretes 3 et 4. Ces aretes etant elles-memes situees surla frontiere de transition de l’arete 2, la pression incidente sur les aretes 3 et 4 est fausselorsqu’elle est calculee avec la methode classique, d’ou l’erreur sur le resultat final lorsque lerecepteur se trouve dans la zone d’ombre du deuxieme obstacle.


(a) Pression pour f = 500 Hz. (b) Pression pour f = 1 kHz.

(c) Pression pour f = 1,5 kHz.

Fig. 4.4 – Resultats obtenus selon la formule classique, la formule de Capolino et Albani etla BEM 2D a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz.

En ce qui concerne la deuxieme remarque, lorsque le recepteur est situe suffisamment loinau dessus des deux obstacles, il est evident que la contribution predominante est la diffractionpar l’arete 1, d’ou des resultats quasiment identiques pour les deux methodes dans cette region.Ensuite, il apparaıt clairement sur ces trois figures que l’emploi de la formule de Capolino etAlbani assure bien la continuite de la pression au niveau de la zone de transition, c’est a direpour un recepteur situe autour de z = 9,5 m ; de plus, elle est en accord avec les resultats dela BEM 2D.

La figure 4.5, correspond a la difference entre les resultats obtenus selon la methode baseesur la formule de Capolino et Albani et ceux obtenus en utilisant la methode classique. Nousobservons sur ces courbes une erreur constante dans la zone d’ombre profonde du deuxiemeobstacle, de l’ordre de 5 dB pour les trois frequences. Nous pouvons en conclure que l’erreurcommise en zone de transition est relativement independante de la frequence. De plus, elle estlargement predominante sur les eventuelles erreurs liees a l’epaisseur des parallelepipedes. Eneffet, a 500 Hz, les deux parallelepipedes ont une largeur de l’ordre de trois longueurs d’onde, cequi en principe est une valeur critique pour la distance inter-arete lorsque la methode classiqueest utilisee ; or nous ne constatons pas une augmentation notable de l’erreur a cette frequence.Ensuite, lorsque le recepteur se situe en zone de transition du deuxieme parallelepipede, nousobservons une difference entre les deux resultats variant fortement et pouvant atteindre cettefois 10 a 20 dB. Ceci etant evidemment du au fait que le recepteur se trouve cette fois dans


les zones de transition du premier et du deuxieme obstacle : les deux zones de transitioninterferent.

Fig. 4.5 – Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveauxcalcules en utilisant la formule de Capolino et Albani.

4.1.2.2 Calcul et validation 3D.

Nous presentons dans la suite un ensemble de resultats issus de la meme configuration,mais cette fois en 3D. Les dimensions selon l’axe y ne sont donc plus infinies et sont presenteessur la figure 4.6.

y

x

y = − 6 m y = −6 m

y = 6 my = 6 m

z

5 6 7 8

9 10 1211

Fig. 4.6 – Configuration de la figure 4.2 consideree en 3D et vue de dessus.

4.1.2.2.1 Diffractions par les faces superieures en 3D.

Dans un premier temps, nous presentons les resultats obtenus en ne considerant que lesaretes diffractantes delimitant les deux faces superieures (donc, comme si l’on etait dans uneconfiguration 2D a ceci pres que la source est ponctuelle). Les figures 4.7(a), 4.7(b) et 4.7(c)representent la pression obtenue en fonction de la hauteur du recepteur a 500 Hz, 1 kHz et1,5 kHz, tandis que la figure 4.8 correspond aux differences de niveaux calcules selon les deuxmethodes a ces trois frequences.

De la meme maniere qu’en 2D, nous pouvons observer sur les figures 4.7(a), 4.7(b) et 4.7(c)que la formule de Capolino et Albani assure la continuite de la pression lors du franchissementde la zone de transition des deux parallelepipedes.


(a) Pression pour f = 500 Hz. (b) Pression pour f = 1 kHz.

(c) Pression pour f = 1,5 kHz.

Fig. 4.7 – Resultats obtenus selon la methode classique et la methode basee sur la formulede Capolino et Albani a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz.


Sur la figure 4.8, nous constatons une legere augmentation de l’ecart en zone d’ombreprofonde entre les resultats obtenus selon la methode classique et les resultats obtenus enutilisant la formule de Capolino et Albani par rapport aux resultats 2D. Elle passe en effetde 5 a 6 dB. Comme en 2D, nous constatons dans la zone de transition une augmentation


des variations de la pression et l’ecart entre les resultats obtenus selon les deux methodespeut alors atteindre 10 a 20 dB, avant de redescendre a un niveau negligeable a partir d’unehauteur de 11 m, la ou la diffraction sur l’arete 1 devient predominante.

4.1.2.2.2 Diffractions par les aretes laterales.

Nous nous interessons maintenant aux contributions des aretes laterales numerotees surla figure 4.6. Comme dans les cas precedents, les aretes laterales 7 et 8 du parallelepipedede droite sont situees en zone de transition des aretes 5 et 6 du parallelepipede de gauche.De meme, en y = -6 m, les deux aretes laterales 11 et 12 sont situees en zone de transitiondes aretes 9 et 10. Nous presentons les contributions laterales a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHzrespectivement sur les figures 4.9(a), 4.9(b) et 4.9(c).

(a) Pression acoustique recue pour f = 500Hz.

(b) Pression acoustique recue pour f = 1kHz.

(c) Pression acoustique recue pour f = 1,5kHz.

Fig. 4.9 – Contribution de la diffraction par les aretes laterales, calculee selon la methodeclassique et la methode basee sur la formule de Capolino et Albani a 500 Hz, 1 kHz et 1,5kHz.

Tout d’abord, nous notons sur les figures 4.9(a), 4.9(b) et 4.9(c) une discontinuite de lapression lorsque le recepteur franchit la frontiere de transition associee aux sommets des deuxobstacles, meme lorsque la formule de Capolino et Albani est utilisee. Ceci est du au fait qu’audela de cette frontiere les deux aretes laterales delimitant la face superieure du parallelepipedede droite diffractent egalement, en plus des aretes verticales de cet obstacle. Ceci est mis en


evidence sur la figure 4.10. Ainsi, il est possible de trouver des trajets reliant la source aurecepteur qui sont diffractes par l’arete tracee en rouge lorsque celui-ci franchit la hauteur destoits (position R’). La discontinuite de la pression en z = 9,5 m liee a l’apparition soudaine decette contribution peut etre compensee en tenant compte de la diffraction par le coin formepar l’intersection de cette arete avec l’arete verticale 4. La notion de diffraction par un coind’aretes est presentee dans le chapitre 6.

Enfin, nous observons dans la zone d’ombre du deuxieme obstacle un ecart constant entreles resultats obtenus selon la methode classique et notre approche. Comme pour les contri-butions par les aretes des toits en 2D, ceci s’explique par le fait que les aretes verticales dudeuxieme obstacle sont situees dans la region de transition du premier, quelle que soit lahauteur du recepteur. La methode classique est donc systematiquement non valide lorsque zest inferieur a 9,5 m.

Pour finir, nous pouvons noter que lorsque le recepteur est suffisamment eleve (z > 13, 5m), les resultats obtenus selon les deux methodes se rapprochent l’un de l’autre quelle quesoit la frequence de calcul. Ceci est du au fait que le recepteur est alors visible par les aretesverticales du premier parallelepipede (aretes 5, 6 en z = 6 m et 9, 10 en z = -6 m). Ainsi,la double diffraction sur ces deux paires d’aretes devient predominante sur les contributionsd’ordre plus elevees.

R’

R

z = 9,5 m

5 6 7 8

source

Fig. 4.10 – Illustration du coin d’arete a l’origine de la discontinuite de la pression diffracteepar les aretes laterales.

4.1.2.2.3 Bilan des contributions.

Fig. 4.11 – Resultat du lancer de faisceau sur la scene 3D complete.

Afin de clore cette premiere etude, nous allons afficher dans ce qui suit la pression totaleresultant de l’addition des contributions des aretes laterales et des aretes formant les faces


superieures des deux parallelepipedes. La figure 4.11 correspond au resultat obtenu lors ducalcul complet des rayons par le lancer de faisceaux sur la configuration etudiee, les reflexionset les diffractions etant reparties de maniere quelconque le long des trajets. Le nombre totalde ces interactions pour chaque trajet est limite a sept.

(a) Pression acoustique recue pour f = 500Hz.

(b) Pression acoustique recue pour f = 1000Hz.

(c) Pression acoustique recue pour f = 1500Hz.

Fig. 4.12 – Contribution de la diffraction par les aretes laterales, calculee selon la methodeclassique et la methode basee sur la formule de Capolino et Albani a 500 Hz, 1 kHz et 1,5kHz.

Les figures 4.12(a), 4.12(b) et 4.12(c) representent la pression totale, respectivement, a500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz. La figure 4.13 represente les differences entre les niveaux calculesen fonction de la hauteur du recepteur en utilisant la formule de Capolino et Albani et enutilisant l’approche classique. Nous avons restreint le calcul de la difference entre les deuxniveaux a la zone d’ombre du parallelepipede de droite (z < 9,5 m).

Nous pouvons observer, en comparant les figures 4.12(a), 4.12(b) et 4.12(c) avec les fi-gures 4.7(a), 4.7(b) et 4.7(c) que la prise en compte des contributions liees aux diffractionspar les aretes laterales a augmente le niveau de la pression. Toutefois, nous pouvons observersur la figure 4.13 que l’ecart entre les resultats obtenus selon la methode classique et les resul-tats obtenus selon notre approche reste toujours de l’ordre de 6 a 7 dB dans la zone d’ombredu batiment de droite.



4.1.3 Exemple 2 : application a une configuration de type urbaine 2D.

Une deuxieme etude en contexte urbain est maintenant realisee. Le principe de l’etudeconsiste a evaluer l’influence du nombre d’obstacles de type plateau situes entre une source etdes recepteurs fixes sur la pression. Plus precisement, nous allons introduire entre la sourceet les recepteurs un, puis deux, et enfin trois batiments representes par des plateaux ; nousfaisons en sorte que leurs toits aient la meme hauteur afin que leurs zones de transitionsse chevauchent. Ceci nous donne trois configurations de calcul qui sont exposees sur les fi-gures 4.14(a), 4.14(b) et 4.14(c). Le(s) batiments sont inseres de maniere a ce que les centresde leurs bases soient equidistants entre eux et avec la source et le recepteur. L’etude estrealisee en 2D.

source(x = 105 m)

recepteur(x = −105 m)

z = 30 m10 m

(a) Configuration 1 : un batiment entre lasource et le recepteur.

source(x = −105 m)

z = 30 m10 m 10 m

(x = 105 m) recepteury x

z

(b) Configuration 2 : deux batimentsentre la source et le recepteur.

source(x = −105 m)

recepteur(x = 105 m)

y x

z

10 m10 m10 mz = 30 m

(c) Configuration 3 : trois batimentsentre la source et le recepteur.

Fig. 4.14 – Trois configurations d’etude differentes de la propagation entre la source et lerecepteur pour des positions identiques de ceux-ci.


Sur les figures 4.15, 4.17 et 4.19 sont affiches les resultats obtenus sur les trois confi-gurations avec les deux methodes precitees a, respectivement, 500 Hz, 1 kHz et 2 kHz. Lafigure 4.15(a) a ete obtenue avec la methode classique et la figure 4.15(b) avec la methodebasee sur la formule de Capolino et Albani. De meme pour les figures 4.17(a) et 4.17(b),puis 4.19(a) et 4.19(b). Les figures 4.16, 4.18 et 4.20 correspondent aux differences entre lesniveaux calcules a partir de la formule classique et les niveaux calcules en utilisant la formulede Capolino et Albani, respectivement a 500 Hz, 1 kHz et 2 kHz, dans la zone d’ombre dudernier obstacle.

(a) Resultats obtenus avec la methodeclassique.

(b) Resultats obtenus avec la formule deCapolino et Albani.

Fig. 4.15 – Resultats obtenus avec la methode classique et la methode basee sur la formulede Capolino et Albani a 500 Hz dans le cadre des trois configurations des figures 4.14.

Fig. 4.16 – Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveauxcalcules en utilisant la formule de Capolino et Albani a 500 Hz.




Fig. 4.17 – Resultats obtenus avec la methode classique et la methode basee sur la formulede Capolino et Albani a 1 kHz dans le cadre des trois configurations des figures 4.14.

Fig. 4.18 – Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveauxcalcules en utilisant la formule de Capolino et Albani a 1 kHz.



Fig. 4.19 – Resultats obtenus avec la methode classique et la methode basee sur la formulede Capolino et Albani a 2 kHz dans le cadre des trois configurations des figures 4.14.

4.2 Triple diffraction par un sommet triangulaire. 77

Fig. 4.20 – Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveauxcalcules en utilisant la formule de Capolino et Albani a 2 kHz.

Nous observons sur les figures 4.15, 4.17 et 4.19 que, plus on insere de batiments, plusle niveau global de la pression en zone d’ombre diminue. Nous constatons que la formule deCapolino et Albani assure bien la continuite de part et d’autre des frontieres de transition desbatiments (z = 30 m) dans les trois configurations. Neanmoins, les resultats obtenus selon lesdeux methodes tendent a se confondre lorsque le recepteur est situe au-dessus des toits desbatiments. Ceci s’explique aisement par le fait que la diffraction simple sur la premiere aretediffractante devient la contribution predominante. Nous observons sur les figures 4.16, 4.18et 4.20 que les ecarts entre les resultats obtenus selon la methode classique et selon la methodebasee sur la formule de Capolino et Albani sont assez proches selon que un ou deux batimentssont presents. Cet ecart est de l’ordre de 5 a 6 dB. Notons que l’on retrouve cette valeur dansla premiere etude en contexte urbain. Par contre, l’insertion du troisieme batiment augmentel’erreur commise par la methode classique. L’ecart entre les deux resultats atteint en effet desvaleurs comprises entre 7 et 8 dB pour les trois frequences d’etude.

En conclusion de cette etude, nous pouvons affirmer que l’utilisation de la formule deCapolino et Albani s’est averee indispensable dans la mesure ou l’erreur due a l’emploi de lamethode classique pour le calcul des diffractions multiples a atteint des valeurs particuliere-ment importantes (7 a 8 dB).

4.2 Triple diffraction par un sommet triangulaire.

4.2.1 Description de la methode implementee dans le lancer de faisceaux.

Se pose maintenant la question de la possibilite de traiter le cas dans lequel deux plateauxne sont plus separes mais sont consecutifs et donc partagent une arete commune. Ceci nousmet en presence d’un cas de triple diffraction dont les deux dernieres sont issues de rayons enincidence rasante. La methode, basee sur la formule de Capolino et Albani, que nous avonsmise en oeuvre dans le but de traiter ce genre de probleme est presentee sur la figure 4.21.Dans un premier temps, dans le cas ou seule l’arete 1 diffracte, le coefficient de Pathak etKouyoumjian est naturellement utilise. Ensuite, pour un rayon doublement diffracte par lesaretes 1 et 2, la formule de Capolino et Albani est parfaitement adaptee car elle va evidemmentpermettre d’obtenir une pression continue lors du franchissement de la zone de transitionassociee a l’arete 2.


sourceassociee a l’arete 3

recepteur


1

Pathak etKouyoumjian

2

3

Capolino et Albani


formule de


Fig. 4.21 – Mise en oeuvre de la formule de Capolino et Albani dans le cas de la triplediffration par un crayon.

Comme indique sur la figure 4.21, la triple diffraction 1-2-3 est implementee de la manieresuivante : la diffraction par l’arete 1 est calculee avec le coefficient de Pathak et Kouyoumjian,tandis que la double diffraction sur les aretes 2 et 3 qui s’ensuit est calculee selon la formulede Capolino et Albani. De ce fait, le coefficient issu de cette formule permet de compenser laperte de la pression doublement diffractee sur les aretes 1 et 2 et assure ainsi la continuite dela pression de part et d’autre de la frontiere de transition associee a l’arete 3. Notons qu’il estnecessaire, comme dans le cas de la methode classique, de multiplier le coefficient issu de laformule de Capolino et Albani par un facteur 1/2 dans la mesure ou l’onde est en incidencerasante sur l’arete 2.

4.2.2 Application et validation sur une configuration 2D.

2 mx

z

z=8m1 3

2

z=9m

3363

de l’arete 3

de transitionde l’arete 2

4,5 m

10 m

source

frontiere

de transitionfrontiere

Fig. 4.22 – Configuration pour la validation de notre approche de calcul de la triple diffractionpar deux plateaux consecutifs.


Notre approche a ete validee sur la configuration de la figure 4.22. La source est au sol etles recepteurs sont situes au sein de la zone hachuree en vert. Le calcul est realise en 2D etvalide par la BEM 2D.

Les figures 4.24, 4.25 et 4.23 correspondent aux resultats obtenus resepctivement a 100Hz, 300 Hz et 1 kHz. Les figures 4.24(a) , 4.24(b) et 4.24(c) sont les resultats obtenus respecti-vement avec la methode classique, notre approche et la BEM 2D a 100 Hz. Les figures 4.24(e)et 4.24(f) correspondent respectivement aux cartographies des differences entre les niveauxcalcules selon la methode classique et ceux obtenus par la BEM 2D puis entre les niveauxobtenus grace a notre approche et ceux obtenus par la BEM 2D a 100 Hz egalement. Idempour les resultats calcules a 300 Hz. Les resultats 4.23(a) a 4.23(b) sont les resultats obtenusselon respectivement la methode classique et notre approche a 1 kHz. Nous ne validons pasles calculs par la BEM 2D a 1 kHz dans la mesure ou elle ne donne plus de resultats validespres des parois de l’obstacle a cette frequence.

Les figures 4.24(a), 4.25(a) et 4.23(a) mettent bien en evidence la discontinuite de lapression au niveau de la frontiere de transition associee a l’arete 3 lorsque la methode classiqueest utilisee. Ensuite, nous observons sur les figures 4.24(e) et 4.25(e) un ecart assez importantentre les resultats numeriques exacts et les resultats obtenus selon la methode de Pathak etKouyoumjian. Ceci etant du au fait qu’a ces deux frequences, la distance inter-arete minimaledu sommet triangulaire est de l’ordre de, repectivement a 100 Hz et 300 Hz, 1

3λ et 1λ. Ceciplace la configuration d’etude dans le domaine des distances inter-aretes critiques pour lamethode classique, en particulier a 100 Hz. Nous observons ainsi logiquement qu’a 100 Hz,l’erreur commise par l’approche classique est beacoup plus importante qu’a 300 Hz.

Nous pouvons conclure des figures 4.24(b), 4.25(b) et 4.23(b) que la methode que nousavons implementee integrant la formulation de Capolino et Albani assure parfaitement lacontinuite de la pression acoustique au niveau de la frontiere de transition associee a l’arete3, et ce, quelle que soit la frequence d’etude. D’un point de vue quantitatif, nous pouvonsnoter sur les figures 4.24(f), 4.25(f) un tres bon accord entre notre approche et la BEM 2D.En effet, a 100 Hz et 300 Hz, l’erreur est inferieure a 1 dB sur la majeure partie du domained’etude.

(a) Resultats obtenus selon la me-thode de Pathak et Kouyoumjian.

(b) Resultats obtenus selon la me-thode presentee sur la figure 4.21.

(c)Echelle.

Fig. 4.23 – Resultats obtenus sur la figure 4.22 a une frequence de 1 kHz.




(c) Resultats BEM 2D. (d)Echelle.

(e) Difference entre les resultats ob-tenus selon la methode classique et

les resultats BEM 2D.

(f) Difference entre les resultats ob-tenus selon notre approche et les re-

sultats BEM 2D.

(g)Echelle.

Fig. 4.24 – Resultats obtenus sur la figure 4.22 a une frequence de 100 Hz.




(c) Resultats BEM 2D. (d)Echelle.

(e) Ecarts entre les niveaux calculesavec la methode classique et les re-

sultats BEM 2D.

(f) Ecarts entre les niveaux calculesavec notre approche et les resultats

BEM 2D.

(g)Echelle.

Fig. 4.25 – Resultats obtenus sur la figure 4.22 a une frequence de 300 Hz.

Chapitre 5

Diffraction par des surfaces courbes.

Sommaire

5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.1 Problematique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.2 Calcul des coefficients de diffractions pour les rayons rampants. . . . 85

5.2 Validation de l’approche implementee sur l’exemple d’un cylindre. 865.2.1 Application et validation 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.2 Application et validation de notre approche en 2,5D. . . . . . . . . . 94

5.3 Validation de l’approche implementee sur l’exemple d’un cy-lindre coupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.1 Application et validation 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3.2 Validation de notre approche sur le cylindre coupe dans le cadre de

configurations 3D completes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.1 Introduction.

5.1.1 Problematique.

Pour commencer, rappelons comment est traite, dans le cadre des methodes asympto-tiques, le phenomene de diffraction par une surface courbe. Keller [26], en appliquant le prin-cipe de Fermat generalise, a etabli que l’on pouvait definir la diffraction d’une onde acoustiqueou electromagnetique par une surface courbe comme resultant du parcours de rayons ram-pants le long de cette surface. Ceci est illustre sur les figures 5.1(a) et 5.1(b). Le point dedepart de chaque rayon rampant sur la surface, appele aussi point d’attachement, doit etre telque le rayon incident sur la surface soit tangent a celle-ci en ce point. De meme, le point enlequel les rayons rampants quittent la surface, appele aussi point d’ejection, pour rejoindre lerecepteur doit etre tel que la direction du rayon en ce point soit tangente a la surface concer-nee. Ensuite, le trajet de l’onde entre le point d’attachement et le point d’ejection, toujoursselon le principe de Fermat generalise, doit etre une geodesique joignant ces deux points.

Il s’avere neanmoins tres difficile d’integrer le calcul des ondes rampantes sur des surfacescourbes exactes au sein d’une solution globale. Dans le cas ou l’on connaıt a priori le trajetreliant la source au recepteur, il est possible de calculer la geodesique le long de la surfacecourbe par une methode d’optimisation comme cela peut etre fait pour des diffractions par

84 Chapitre 5 : Diffraction par des surfaces courbes.

S

Rpoint

d’attachement

d’ejectionpoint

pointd’attachement

pointd’ejection

rayonsrampants

(a) Vue de profil.

source

d’attachementpoint

d’ejectionpoint

recepteur

(b) Vue de dessus.

Fig. 5.1 – Illustrations des rayons rampants permettant le calcul de la diffraction d’une ondepar la surface cylindrique.

des aretes [27]. Neanmoins, si l’on souhaite inserer le phenomene de diffraction par une surfacecourbe au sein d’une solution globale, ce mode de calcul necessite de connaıtre a priori toutesles interactions subies par le faisceau sur la totalite du trajet. Ceci entre en contradiction avecle principe de fonctionnement de tout lancer de faisceaux qui consiste precisement a recherchertous les trajets possibles au fur et a mesure des interactions rencontrees avec l’environnement.

Fig. 5.2 – Exemple d’un demi-cylindre discretise en sept facettes rectangulaires.

Si la prise en compte de rayons ou faisceaux rampants courbes au sein d’un lancer defaisceaux est techniquement impossible, nous avons vu precedemment qu’il etait possible degerer efficacement des faisceaux rampants le long de surfaces planes adjacentes dans le cadred’un lancer de faisceaux adaptatif. Notre idee consiste alors a considerer non pas une surfacecourbe definie analytiquement, mais a utiliser un maillage triangulaire ou quandrangulairediscretisant la surface courbe. Le calcul des rayons rampants le long de cette surface se trans-forme alors en un calcul de trajets diffractes par une succession d’aretes droites (cf figure 5.2).Ces trajets correspondent alors a l’intersection des cones de Keller emis depuis chaque areteavec ces faces planes. Ainsi, si le maillage est suffisamment fin, les geodesiques calculees surles faces planes convergent vers les geodesiques qui seraient obtenues sur la surface courbeoriginale. Nous avons ainsi elabore une methode traitant la diffraction par les surfaces courbesqui s’integre aisement au code de calcul parmi tous les autres phenomenes deja pris en compte(reflexions, diffractions par des aretes,...). Nous montrerons plus tard que cette approche dis-

5.1 Introduction. 85

crete n’est nullement incompatible avec la gestion de la reflexion sur des surfaces reellementcourbes.

5.1.2 Calcul des coefficients de diffractions pour les rayons rampants.

Apres avoir presente le principe de calcul de rayons rampants, nous allons maintenantdetailler la maniere dont nous calculons les diffractions successives par les aretes liees aumaillage des surfaces courbes.

facteur 1/2

coefficient de Capolino et Albani

facteur 1/2

frontiere de transition associee a l’arete 6

recepteursource

1

2 5

6

3 4

(a) Calcul de rayons rampants sur une sur-face courbe discretisee : nombre de diffractions

pair.

2

3 4

5

61

et Kouyoumjian


recepteur


Capolino et Albanicoefficient de

coefficient de Pathak

facteur 1/2

source

(b) Calcul de rayons rampants sur une surfacecourbe discretisee : nombre de diffractions im-

pair.

Fig. 5.3 – Illustration de la methode mise en oeuvre en vue pour le calcul de la pressiondiffractee par une surface courbe maillee.

Il est tout d’abord necessaire de choisir les trajets qui vont contribuer au calcul de ladiffraction par la surface courbe maillee. Premierement, parmi tous les rayons incidents surles aretes visibles depuis la source, nous ne retenons que le rayon incident sur la dernierearete visible, c’est a dire celui qui se rapproche le mieux du trajet qui serait en incidencetangente a la surface maillee. Ceci est automatiquement obtenu en ne considerant, parmi lesaretes visibles par la source, que celle dont le rayon incident est situee dans sa zone d’ombre.Ensuite, nous considerons, quelle que soit la position du recepteur, tous les trajets diffractespossibles, de maniere a assurer la continuite de la pression au sein de la zone d’ombre de lasurface. Ceci est illustre sur la figure 5.4(a).

source

recepteur

(a) Choix des trajets contribuant a la pres-sion diffractee par la surface courbe discreti-

see.

1

2

34 5 6

7

8

recepteur

recepteur

source

associee a l’arete 7frontiere de transition

(b) Continuite de la pression de part etd’autre d’une frontiere de transition.

Fig. 5.4 – Illustration de la methode mise en oeuvre en vue pour le calcul de la pressiondiffractee par une surface courbe maillee.


En ce qui concerne le calcul de la pression, l’utilisation de la formule de Capolino et Albanis’est de nouveau averee etre indispensable. La facon dont celle-ci a ete integree au code decalcul en vue de traiter les diffractions par les surfaces courbes maillees est illustree sur lesfigures 5.3(a) et 5.3(b). Nous nous sommes pour cela appuyes sur nos approches de calculde la double et de la triple diffraction decrites precedemment (cf fig. 4.21). Nous avons alorsdistingue deux cas, selon que le nombre de diffractions sur la partie rampante du trajet estpair ou impair.

– si ce nombre est pair, nous traitons les aretes deux par deux et calculons le coefficient dediffraction sur chacune de ces paires d’aretes grace a la methode de Capolino et Albani.

– lorsqu’il est impair, nous traitons de nouveau les diffractions deux par deux selon laformule de Capolino et Albani jusqu’a l’antepenultieme arete. Le coefficient attache acelle-ci est alors le coefficient de Pathak et Kouyoumjian. Enfin, la diffraction sur lapaire d’aretes restantes est calculee selon le coefficient de Capolino et Albani.

Le coefficient de Capolino et Albani doit etre multiplie par 1/2 pour les memes raisonsque lorsque l’on calcule la diffraction d’une onde en incidence rasante sur une seule arete [6].

Grace a notre methode, nous imposons que les deux dernieres diffractions soient calculeesselon la formule de Capolino et Albani pour tous les trajets ; nous assurons ainsi la continuitede la pression au sein de la zone d’ombre. Ceci est illustre sur la figure 5.4(b). La formulede Capolino appliquee a la diffraction par la paire formee par les aretes 6 et 7 permet decompenser la perte de la contribution liee a la diffraction par l’arete 6 lorsque le recepteurdescend en dessous de la frontiere de transition de l’arete 7.

L’objectif des sections suivantes est donc de valider notre approche sur des cas simplesen 2D et en 3D. Nous avons choisi pour cela l’exemple du cylindre, puis du cylindre coupe.L’interet de ces deux choix est qu’ils font intervenir deux formulations differentes pour lecalcul analytique des ondes rampantes si l’on considere la surface courbe originale. Ce pointsera precise dans la suite.

5.2 Validation de l’approche implementee sur l’exemple d’uncylindre.

Nous allons presenter dans cette section les resultats obtenus en appliquant notre approchede calcul de la diffraction par les surfaces courbes au cas d’un cylindre maille. Dans unpremier temps, la validation est realisee dans le cadre d’une configuration 2D. Ensuite, nousconsiderons la meme configuration, mais en 2,5D. Ceci nous permet de valider nos resultatslorsque les rayons rampent de maniere ”oblique” sur la surface courbe. Notons que la BEM2D (et par extension la BEM 2,5D) peut traiter des cylindres analytiques, c’est a dire nonmailles. Ainsi, dans la suite, tous les calculs effectues par la BEM 2D sur le cylindre sontrealises sur le cylindre original c’est a dire non maille, afin de comparer nos resultats a ceuxobtenus sur la surface reelle. Evidemment, l’accord entre nos resultats et les resultats BEMserait encore meilleur si les calculs BEM etaient effectues sur le cylindre maille.

5.2.1 Application et validation 2D.

La configuration d’etude 2D est presentee sur la figure 5.5. L’obstacle diffractant est uncylindre de rayon 1 metre. Les recepteurs sont situes dans la zone hachuree en vert. Les seulescontributions dans cette zone sont issues de rayons rampants. Nous etudions alors la pression

5.2 Validation de l’approche implementee sur l’exemple d’un cylindre. 87

dans cette zone pour differents maillages reguliers du cylindre. La figure 5.6 est une illustrationdu cylindre maille en seize facettes.

1 m

0.5 m

4,5 m

xy

z

source

Fig. 5.5 – Configuration d’etude et de validation en 2D de notre approche concernant le calculde la diffraction par une surface courbe discretisee.

z

y x

originalesurface courbe

surface courbemaillee

Fig. 5.6 – Discretisation reguliere du cylindre diffractant en seize facettes rectangulaires.

5.2.1.1 Formulation analytique 2D pour la diffraction par une surface courbeconvexe.

t2

s’’

s’

S

R

s’’d

s’d

QQ’1t

Fig. 5.7 – Definition des parametres de la formule asymptotique pour les ondes rampantes.

Auparavant, nous presentons dans les lignes suivantes la formulation analytique extraitede [28, 29] permettant de calculer la pression diffractee par une surface courbe quelconque.


L’equation 5.1 donne la pression resultant du trajet de l’onde rampant entre les points Q etQ’ dans le cadre de la configuration presentee sur la figure 5.7.

p(R) = Pr(Q′) · T · e−jksd√sd

(5.1)

T = −√m(Q′)m(Q)

√2k· e−jkt

(e−j

π4

2ξ√π· (1− F (X)) + P (ξ)

)(5.2)

ξ =∫ τ(Q)

τ(Q′)

m(τ)a(τ)

dτ (5.3)

m(τ) =(ka(τ)

2

) 13

(5.4)

a(τ) designe la valeur du rayon de courbure en fonction de la coordonnee curviligne τ le longde la geodesique.

P est la fonction de Pekeris pour les surfaces rigides. Elle est definie de la maniere suivante :

P (x) =1√π

∫ ∞−∞

V ′(τ)e−jxτ

W ′2(τ)dτ (5.5)

V se definit de la maniere suivante :

V (τ) =W1(τ)−W2(τ)

2j(5.6)

W1 et W2 etant des fonctions de type Airy definies plus precisement par :

W1(τ) =1√π

∫ ∞∞·e−j

2π3

e−z3

3+τzdz (5.7)

W2(τ) =1√π

∫ ∞∞·ej

2π3

e−z3

3+τzdz (5.8)

Dans l’equation 5.5, la fonction W2 designe la fonction d’Airy adaptee a la fonction deFock. Notons que des formulations asymptotiques de la fonction de Pekeris sont donnees dans[30].

F est la fonction de transition de Pathak et Kouyoumjian intervenant dans le calcul dediffraction par des aretes. Le parametre de distance X de cette fonction est definie par l’equa-tion 5.9 :

X =kLξ2

2m(Q′)m(Q)(5.9)

L =sd · s′

sd + s′(5.10)

Nous presentons maintenant les resultats obtenus a 1 kHz dans le cadre de la configura-tion de la figure 5.5 selon la formule 5.1 (fig. 5.8(a)) et selon la BEM 2D (fig. 5.8(b)). Unecomparaison entre les deux resultats est presentee sur la figure 5.8(d). Le calcul de la pressionpar la BEM 2D est effectue sur le cylindre analytique.


(a) Resultats obtenus selon la me-thode asymptotique.

(b) Resultats obtenus selon la BEM2D.

(c)Echelle(dB).

(d) Difference entre les niveaux cal-cules selon la formule asymptotique

et selon la BEM 2D.

(e)Echelle(dB).

Fig. 5.8 – Resultats obtenus selon la formule analytique et selon la BEM 2D dans le cadrede la configuration de la figure 5.5 a une frequence de 1 kHz.

Nous observons sur la figure 5.8(d) un tres bon accord entre les resultats obtenus selonla BEM 2D et selon la methode asymptotique. En effet, l’ecart entre les deux resultats estinferieur a 1,5 dB sur l’ensemble du domaine de calcul de la pression.

De plus, nous pouvons remarquer que, plus le recepteur se situe en zone d’ombre ducylindre, meilleur est l’accord entre les deux resultats. Ceci etant du au fait que les formulesasymptotiques utilisees pour le calcul des integrales impliquees par l’equation 5.1 sont validesa condition que le recepteur se situe en zone d’ombre profonde. Nous utilisons dans la suitela BEM 2D, dans la mesure ou la BEM 2D fournit des resultats valides quelle que soit laposition du recepteur, en zone d’ombre profonde ou pas.

5.2.1.2 Application et validation 2D de notre approche.

Les figures suivantes vont nous permettre de valider les resultats obtenus grace a notreapproche dans la configuration de la figure 5.5. Nous presentons dans la suite les resultatsobtenus a 1 kHz et 2 kHz en fonction du nombre de facettes choisi pour notre approche. Lesfigures 5.9, 5.11, 5.13, 5.15, 5.17 et 5.19 correspondent aux resultats obtenus a 1 kHz avec,respectivement, un maillage du cylindre en neuf, douze, quinze, dix-huit, vingt et une et enfinvingt quatre facettes rectangulaires. De la meme maniere, les figures 5.10, 5.12, 5.14, 5.16, 5.18et 5.20 correspondent aux resultats obtenus a 2 kHz avec les memes maillages.


(a) Resultats obtenus selon notre ap-proche a 1 kHz.

(b)Echelle.

(c) Difference avec le niveau calculeselon la BEM 2D.

(d)Echelle.

Fig. 5.9 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en neuf facettes eterreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.10 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en neuf facettes eterreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.11 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en douze facettes eterreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz.



(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.12 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en douze facettes eterreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.13 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en quinze facetteset erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.14 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en quinze facetteset erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz.



(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.15 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en dix-huit facetteset erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.16 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en dix-huit facetteset erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.17 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en vingt et unefacettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz.



(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.18 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en vingt et unefacettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.19 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en vingt quatrefacettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.20 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en vingt quatrefacettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz.


Sur les figures 5.9(c) et 5.10(c), nous pouvons observer que le maillage du cylindre en neuffacettes est insuffisant pour garantir une bonne qualite des resultats en comparaison avec laBEM 2D, aussi bien a 1 kHz qu’a 2 kHz.

Ensuite, nous remarquons sur les figures 5.11(c) et 5.12(c) que le calcul de la pressionpar notre approche donne des resultats satisfaisants a partir d’un maillage en douze facettes.Ainsi, sur la majeure partie du domaine de calcul, nous observons un ecart inferieur a 1 dBentre les resultats obtenus avec la BEM 2D et ceux obtenus selon notre approche.

Cette tendance se confirme a 1 kHz et 2 kHz sur les figures 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17 et 5.18c’est a dire pour des discretisations en quinze, dix-huit et vingt et une facettes. D’ailleurs,nous constatons, pour ces trois maillages, a 2 kHz, un gain en terme de precision des calculspar rapport au maillage en douze facettes, dans la mesure ou l’erreur est cette fois inferieurea 0,5 dB sur quasiment tout le domaine de calcul.

Pour terminer, nous pouvons noter sur les figures 5.20 que le maillage en vingt-quatrefacettes donne egalement de tres bons resultats a 2 kHz (ecart inferieur a 0,5 dB) ; par contre,nous observons sur les figures 5.19 qu’a 1 kHz, les resultats sont moins bons qu’en presencede maillages plus faibles. Ceci peut s’expliquer par le fait que, pour ce degre de discretisation,la distance inter-aretes est de l’ordre de λ

3 ; or, la formule de Pathak et Kouyoumjian (qui estutilisee dans notre approche lorque le nombre de diffractions par les aretes du cylindre estimpair) n’est plus valable lorsque la distance entre la source et une arete approche la valeur deλ4 [20]. Nous sortons de ce fait de l’approximation asymptotique. Cette remarque nous permetde fixer les limites des maillages a utiliser.

5.2.2 Application et validation de notre approche en 2,5D.

Nous presentons les resultats obtenus dans la meme configuration, mais cette fois en 2,5D.Pour cela, nous gardons la configuration de la figure 5.5 en faisant juste varier la positionde la source le long de l’axe y. La frequence d’etude est 1 kHz. A partir des constatationsprecedentes, nous choisissons de mailler le cylindre en vingt et une facettes dans la mesure oucela garantit en 2D de bons resultats a cette frequence. Nous choisissons differents decalagesde la source le long de l’axe y : decalage nul, 1 metre et 2 metres. Lorsque ce decalage estnon nul, les rayons vont donc ramper de maniere oblique le long du cylindre. Un resultat dulancer de faisceaux est presente sur la figure 5.21, pour un decalage de deux metres selon l’axey, et une position du recepteur quelconque dans le domaine de calcul.

Fig. 5.21 – Exemple de rayons rampants obliquement sur le cylindre.

Les figures 5.22, 5.23 et 5.24 representent respectivement les resultats obtenus avec desdecalages de la source selon l’axe y valant 0, 1m et 2m. Les figures 5.22(a) et 5.22(b) corres-pondent respectivement aux resultats obtenus selon notre approche et selon la BEM 2,5D,


tandis que la figure 5.22(d) represente la difference entre les niveaux de pression calcules selonces deux methodes.

Nous pouvons deduire de ces figures un tres bon accord entre les resultats numeriquesexacts et les calculs effectues selon notre approche sur le cylindre maille. En particulier, nouspouvons observer sur les figures 5.22(d), 5.23(d) et 5.24(d) un ecart inferieur a 1,5 dB sur lamajeure partie du domaine de reception, quelle que soit la position du recepteur.

Notre approche fournit donc de tres bons resultats aussi bien en 2D qu’en 3D. Ce constatest particulierement interessant dans la mesure ou le passage du 2D au 3D n’implique pas dechangement particulier quant a notre approche et aux formules qu’elle implique a l’inversed’une methode de calcul qui serait basee sur les ondes rampantes. En effet, lors du passagedu 2D au 3D, il est necessaire d’inserer un facteur de divergence associe a la reptation del’onde le long de la surface [29] dans l’equation 5.1. Or, ceci peut presenter des difficultesmathematiques et n’est realisable que pour des surfaces courbes simples.

(a) Resultats obtenus selon notre approche. (b) Resultats obtenus selon la BEM 2,5D. (c)Echelle.

(d) Difference entre le niveau de pressioncalcule selon notre approche et selon la

BEM 2,5D.

(e)Echelle.

Fig. 5.22 – Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz pour un decalage de la source selonl’axe y nul.


(a) Resultats obtenus selon notre approche. (b) Resultats obtenus selon la BEM 2,5D. (c)Echelle.

(d) Difference entre le niveau de puissanceacoustique calcule selon notre approche et se-

lon la BEM 2,5D.

(e)Echelle.

Fig. 5.23 – Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz pour une source decalee de 1m selonl’axe y.

5.3 Validation de l’approche implementee sur l’exemple d’un cylindre coupe. 97

(a) Resultats obtenus selon notre approchesur le cylindre maille.

(b) Resultats obtenus selon la BEM 2,5D. (c)Echelle.

(d) Difference entre le niveau de puissanceacoustique calcule selon notre approche et se-

lon la BEM 2,5D.

(e)Echelle.

Fig. 5.24 – Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz pour une source decalee de 2m selonl’axe y.

5.3 Validation de l’approche implementee sur l’exemple d’uncylindre coupe.

Nous allons presenter dans cette section les resultats obtenus en appliquant notre approcheau cas d’un cylindre coupe maille. Dans un premier temps, la validation est faite dans le cadred’une configuration 2D. Ensuite, nous nous interesserons au cas de cylindres coupes, mais dontla dimension selon l’axe y sera finie ; nous nous trouvons alors en presence d’une configura-tion 3D, ce qui permettra de faire intervenir d’autres contributions que les rayons rampants,notamment les diffractions par les aretes courbes delimitant cette portion de cylindre.

5.3.1 Application et validation 2D.

La configuration d’etude 2D est presentee sur la figure 5.25. L’obstacle diffractant est uncylindre coupe de rayon 1 metre. La source est situee a l’interieur de ce cylindre et son angled’ouverture est de 20 degres de part et d’autre de l’axe x. Les recepteurs sont situes dansla zone rectangulaire hachuree en vert, c’est a dire en zone d’ombre du cylindre coupe. Lesseules contributions dans cette zone sont donc issues de rayons rampants.


Q

R

x

zφ

Osource

(−0.2 ; 0)y

φ

1 m

D

D’

sd

4.5 m

20

Fig. 5.25 – Configuration d’etude et de validation en 2D de notre approche concernant lecalcul de la diffraction par une surface courbe discretisee.

Si nous considerons l’epaisseur du cylindre coupe nulle, nous nous retrouvons dans ce casen presence d’un obstable dont la surface est non-fermee. Or, il est mentionne dans [2] quel’on ne peut effectuer de calculs avec la BEM 2D sur des surfaces non-fermees. La validationdes resultats obtenus selon notre approche sur cette configuration est par consequent realiseepar l’intermediaire de la formule asymptotique destinee au calcul des rayons rampants. Nousallons exposer dans le paragraphe suivant la formule asymptotique permettant de calculer ladiffraction par le cylindre coupe dans le cadre de la configuration presentee sur la figure 5.25.

5.3.1.1 Formulation analytique de la diffraction par un cylindre coupe en 2D.

Notons tout d’abord que la formule asymptotique adaptee au cas de la diffraction par lecylindre coupe differe legerement dans l’etude ici-presente de celle exposee dans l’equation 5.1.En effet, avant de ramper le long de la surface diffractante, le rayon subit d’abord une diffrac-tion par les aretes delimitant l’ouverture du cylindre, c’est a dire aux points D et D’ sur lafigure 5.25. Ceci equivaut alors, en 2D, a considerer ces deux points comme des sources secon-daires d’ondes cylindriques situees sur le cylindre et dont le rayonnement est ensuite diffractepar celui-ci. Or, la formulation asymptotique destine au calcul des ondes rampantes est mo-difiee dans le cas precis ou la source est situee sur la surface courbe. La formule asymptotiquedonnant la pression au recepteur est alors donnee par [31, 32]. Les parametres intervenantdans la formule sont explicites sur la figure 5.25.

p(R) =e−jks

′

s′·DTGD(φ) ·H · e

−jksd√sd

(5.11)

Notons que l’on utilise le coefficient de diffraction TGD et non le coefficient de Pathaket Kouyoumjian (TUD) pour calculer la diffraction par les deux aretes droites associees auxpoints D et D’. Ceci est du au fait que la fonction de transition de Pathak et Kouyoumjian faitintervenir un parametre de distance du type : s′·l

s′+l ; l etant la distance du point de diffractionau recepteur. Or, dans notre situation, le point de diffraction D est aussi le point en lequel nousdevons connaıtre la pression diffractee afin de le faire rayonner comme une source secondaire.Nous nous retrouvons ainsi avec un parametre de distance nul et donc un coefficient dediffraction nul. D’ou l’utilisation du coefficient TGD, ne faisant pas intervenir l.

H correspond a la fonction decrite par l’equation 5.12. Cette fonction permet de calculer ladiffraction par la surface courbe lorsque la source est situee sur la surface diffractante [33, 34].


H(τ) =(a(τ)a(τ ′)

) 16

· e−jkt ·G(ξ) (5.12)

a(τ) designant la valeur du rayon de courbure en fonction de la coordonnee curviligne τle long de la geodesique. Le parametre ξ etant donne, comme dans l’equation 5.3 par :

ξ =∫ τ(Q)

τ(D′)

m(τ)a(τ)

dτ (5.13)

Le parametre m est defini dans l’equation 5.4. G est la fonction de Fock qui, pour unesurface rigide, est definie par la formule suivante :

G(x) =1√π

∫ ∞∞·e−j

2π3

e−jxτ

W ′2(τ)dτ (5.14)

W ′2 designant la derivee de la fonction W2 definie dans l’equation 5.8.

5.3.1.2 Application et validation 2D de notre approche.

Les figures suivantes vont nous permettre de valider les resultats obtenus grace a notreapproche, toujours dans le cadre de la configuration de la figure 5.5. Rappelons que, lorsquenotre approche est utilisee, nous considerons cette fois le cylindre coupe maille regulierementselon des facettes rectangulaires dont les aretes sont paralleles avec l’axe y (cf fig. 5.6). Nouspresentons dans la suite les resultats obtenus a 1 kHz et 2 kHz en fonction du nombre defacettes choisi pour le maillage.

Les figures 5.26, 5.28, 5.30, 5.32, 5.34 et 5.36 correspondent aux resultats obtenus a1 kHz avec, respectivement, un maillage du cylindre coupe en neuf, douze, quinze, dix-huit, vingt et une et enfin vingt quatre facettes rectangulaires. De la meme maniere, lesfigures 5.27, 5.29, 5.31, 5.33, 5.35 et 5.37 correspondent aux resultats obtenus a 2 kHz avecles memes maillages.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.26 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en neuf facetteset erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz.



(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.27 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en neuf facetteset erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.28 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en douzefacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.29 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en douzefacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz.



(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.30 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en quinzefacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.31 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en quinzefacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.32 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en dix-huitfacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz.



(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.33 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en dix-huitfacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.34 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en vingt etune facettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.35 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en vingt etune facettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz.



(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.36 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en vingtquatre facettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz.


(b)Echelle.


(d)Echelle.

Fig. 5.37 – Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en vingtquatre facettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz.

Les conclusions que nous pouvons tirer de cet ensemble de resultats sont quasiment lesmemes que pour le cylindre complet 2D. Comme en ce qui concerne le cylindre complet, nousobservons que notre approche donne de bons resultats a 1 kHz et 2 kHz pour des maillages enquinze et dix-huit facettes et devient defaillante lorsque la distance inter-aretes est de l’ordrede λ

3 .

5.3.2 Validation de notre approche sur le cylindre coupe dans le cadre deconfigurations 3D completes.

Cette fois, nous imposons au cylindre coupe une dimension finie selon l’axe y. Il est doncdelimite selon sa hauteur par deux aretes courbes. Par consequent, les diffractions sur cesaretes s’ajoutent aux contributions des ondes rampantes au sein de la zone d’ombre. Cecinous permet alors de mettre en valeur l’apport et l’importance de la prise en compte desondes rampantes quant a la qualite et a la precision des calculs acoustiques. Pour cela, nouscomparons les resultats obtenus grace a la BEM 3D aux resultats obtenus par le lancer defaisceaux avec et sans prise en compte des rayons rampants dans la meme configuration.


Les figures 5.38(a) et 5.38(b) illustrent les diverses contributions susceptibles d’intervenirdans le cas d’une portion de cylindre quelconque. Celle-ci est discretisee en huit faces rec-tangulaires telles que les normales a leurs sommets correspondent aux normales du cylindre.Les rayons rampants sont alors calcules le long de ces faces. Elles sont ensuite elles-memessubdivisees en deux triangles lisses sur lesquels sont calcules les rayons reflechis. Les tangentesaux aretes courbes originales sont ensuite obtenues de maniere approchee par une interpola-tion lineaire des tangentes aux extremites des aretes droites qui delimitent les faces. Ainsi,nous pouvons realiser un calcul geometrique et acoustique complet faisant intervenir toutesles contributions (reflexions, diffractions par les aretes courbes et rayons rampants) sur uneseule et meme configuration. Rappelons que le probleme des reflexions sur les surfaces courbesmaillees est aborde dans la troisieme partie de cette these.

(a) Rayons associes auxdiffractions par une surface

courbe quelconque.

(b) Reflexion sur la faceinterne de cette surface.

Fig. 5.38 – Differentes contributions liees a la presence d’une surface courbe quelconque.

5.3.2.1 Premiere configuration.

La premiere scene 3D sur laquelle un calcul geometrique et acoustique a ete effectue enbande fine est representee sur les figures 5.39(a) et 5.39(b). C’est une portion de cylindreque nous avons discretisee en huit faces rectangulaires. La frequence d’etude est 1 kHz. Laposition de la source S est [-1,4 ;0.7 ;-1,7] et correspond au point rouge sur la figure 5.39(c).Les recepteurs sont situes a l’interieur du rectangle contenu dans le plan d’equation y = 0 ettels que x appartient a l’intervalle [-1 ;4], z variant dans l’intervalle [-3 ;3] ; ils sont representespar les points verts sur la figure 5.39(c).

Les resultats obtenus a une frequence de 1 kHz sont presentes sur les figures 5.40. Lafigure 5.40(a) correspond au resultat obtenu sans la prise en compte des rayons rampants lelong des faces rectangulaires. La figure 5.40(b) inclut la prise en compte des rayons rampants,tandis que les resultats obtenus par la BEM 3D sont affiches sur la figure 5.40(c).

Nous pouvons tout d’abord constater une difference notable en ce qui concerne l’allure desinterferences dans le quart inferieur droit des figures 5.40(a) et 5.40(b). Cette zone, delimiteeen noir sur la figure 5.39(c) correspond a la zone d’ombre du cylindre coupe au sein de laquelleil existe des contributions issues de rayons rampants. Nous pouvons ainsi mettre en evidencel’influence de ces contributions et remarquer que les resultats obtenus lorsqu’elles sont prisesen compte sont meilleurs si l’on se refere aux resultats obtenus selon la BEM 3D.


(a) Vue de dessus. (b) Vue deprofil.

(c) Visualisation 3D de laconfiguration d’etude.

Fig. 5.39 – Configuration d’etude en 3D des interactions sur un cylindre coupe.

(a) Resultats obtenus sur le cylindre coupemaille sans prise en compte des rayons ram-

pants.

(b) Resultats obtenus sur le cylindre coupemaille avec prise en compte des rayons ram-

pants.

(c) Resultats obtenus par la BEM 3D sur lecylindre coupe non maille.

(d)Echelle.

Fig. 5.40 – Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz sur la scene de la figure 5.39.

5.3.2.2 Deuxieme configuration.

Nous presentons dans ce paragraphe une seconde configuration d’etude. Cette fois, nouseffectuons un calcul de la pression quadratique moyenne sur un douzieme d’octave centresur 1 kHz. La configuration est representee sur les figures 5.41. La position de la source Sest [-0,2 ;0 ;0] et correspond au point rouge sur la figure 5.41(c). Les recepteurs sont situesa l’interieur du rectangle contenu dans le plan d’equation y = 0, et tel que x appartient a


l’intervalle [1 ;4], z variant dans l’intervalle [-2 ;2] ; ils sont representes par les points verts surla figure 5.41(c). Ils sont donc places en zone d’ombre du cylindre. Le rayon de ce dernier estde 1m et il est comme precedemment discretise en huit facettes.

(a) Vue de dessus. (b) Vuede profil.

(c) Visualisation3D de la configu-

ration d’etude.

Fig. 5.41 – Configuration d’etude en 3D des interactions sur un cylindre coupe.

Les resultats obtenus sont presentes sur les figures 5.42. La figure 5.42(a) correspond auresultat obtenu sans la prise en compte des rayons rampants le long des faces rectangulaires. Lafigure 5.42(b) inclut la prise en compte des rayons rampants, tandis que les resultats obtenuspar la BEM 3D sont affiches sur la figure 5.42(c). La figure 5.43(a) represente la cartographiedes differences entre les niveaux obtenus par la BEM 3D avec les niveaux obtenus selon notreapproche.

Nous pouvons remarquer, comme precedemment, sur les figures 5.42(a), 5.42(b) et 5.42(c)que la prise en compte des ondes rampantes ameliore au moins qualitativement le calcul dela pression en zone d’ombre du demi-cylindre. En effet, si l’on compare avec la BEM 3Dles resultats obtenus grace a notre approche avec et sans ondes rampantes, nous pouvonsconstater que la figure d’interferences est beaucoup plus proche de celle obtenue par la BEM3D lorsque les ondes rampantes sont prises en compte.

Nous constatons sur la figure 5.43(a) un bon accord entre notre approche et la BEM 3D,ou l’on peut constater un ecart inferieur a 2 dB sur une grande partie du domaine de calcul,en particulier en zone d’ombre profonde. Nous constatons de ce fait que l’erreur s’accroıt aufur et a mesure que l’on s’eloigne de la zone d’ombre : ceci est du au fait que l’onde rampe demoins en moins le long de la surface et, par consequent, les calculs asymptotiques se trouventetre de moins en moins precis.


(a) Resultats obtenus sur le cylindre coupemaille sans prise en compte des rayons ram-

pants.

(b) Resultats obtenus sur le cylindre coupemaille avec prise en compte des rayons ram-

pants.

(c) Resultats obtenus par la BEM 3D sur lecylindre coupe non maille.

(d)Echelle.

Fig. 5.42 – Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz sur la scene de la figure 5.41.

(a) Difference entre les resultats obtenus parla BEM 3D et les resultats obtenus selon notre

approche.

(b)Echelle.

Fig. 5.43 – Difference entre les resultats obtenus par la BEM 3D (cylindre analytique) et lesresultats obtenus selon notre approche (sur le cylindre maille).

Chapitre 6

Diffraction par un coin d’arete.

Sommaire

6.1 Problematique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Etat de l’art. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Applications et validations de la formule de Capolino et Maci. . . 114

6.1 Problematique.

Dans ce chapitre, nous abordons le probleme de la taille finie des aretes. Ce problemea ete mis en evidence sur les courbes 4.9 (cf. page 73). Nous observons en effet sur celles-ci l’apparition d’une discontinuite de la pression lorsque l’on est en presence de diffractionsmultiples, meme lorsque la formule de Capolino et Albani est mise en oeuvre. Nous montrons(cf fig. 4.10, page 74) que cette discontinuite est liee a la disparition brutale d’une diffractiond’arete ; ceci etant precisement du au fait que les aretes delimitant les faces des batiments sontde taille finie et donc ne diffractent pas necessairement pour toutes les positions du recepteur.La figure 6.1(a) illustre la perte d’une contribution liee a la diffraction par une arete dans lecas d’un coin forme par l’intersection de trois aretes tandis que la figure 6.1(b) correspond aucas particulier du secteur angulaire plan, c’est a dire que le coin est forme par l’intersectionde deux aretes.

Sur les figures 6.1(a) et 6.1(b), nous observons qu’il existe des rayons diffractes par l’aretea et reliant la source S aux recepteurs R, R’ et R” tandis qu’il n’existe de rayons diffractespar l’arete b que pour R et R’. De plus, le rayon diffracte par l’arete b reliant E et R’ estdiffracte sur l’extremite de celle-ci. Ainsi, lorsque le recepteur franchit R’ en direction de R”,une discontinuite de la pression apparaıt, car nous ne trouvons plus de rayons diffractes surl’arete b. La ligne reliant le coin O a R’ forme alors la frontiere de transition de l’arete b.

Nous allons maintenant evaluer le degre d’influence de l’extremite d’une arete de partet d’autre de sa frontiere de transition. Nous nous attachons au cas particulier d’un secteurangulaire plan. La configuration d’etude est representee sur la figure 6.2.

110 Chapitre 6 : Diffraction par un coin d’arete.

frontiere optiqueassociee a l’arete b

(D)R R’’R’

Oarete a

arete b

S

(a) Disparition de la diffraction parl’arete b.

(D)

R’

R’’

frontiere optique associee a l’arete b

arete a

arete b

S

O

R

(b) Cas particulier du sec-teur angulaire plan.

Fig. 6.1 – Illustration du phenomene du coin : disparition de la contribution associee a l’areteb.

z

S(−3;1,5;1)

7,5 m

7,5 marete a

arete b

B(z=−1)

A(z=−1)

y

x45 deg

Fig. 6.2 – Configuration d’etude du comportement des coefficients asymptotiques pres d’uncoin d’aretes.

Dans cette configuration, le recepteur se deplace le long d’une ligne et nous effectuonsle calcul geometrique puis acoustique pour chacune de ses positions. La ligne choisie est labissectrice de l’angle entre les deux aretes a et b, decalee a une hauteur z = -1 m. La sourceest quant a elle situee sur la bissectrice, mais decalee a une hauteur z = 1 m, de maniere ace que les recepteurs ne soient pas visibles par la source, au moins sur une partie du segment[AB]. Grace au choix de la bissectrice, les deux points de diffraction sur les deux aretes a etb vont disparaıtre simultanement au niveau du coin forme par ces deux aretes.

Les resultats obtenus a 100 Hz et 1 kHz sont presentes sur la figure 6.3. Nous representonsla pression calculee en fonction de la position du recepteur le long du segment [AB]. L’originechoisie est le point A. Les diffractions sur les aretes a, b et c sont calculees naturellementselon les coefficients de Pathak et Kouyoumjian. Les resultats obtenus par la BEM 3D sontutilises comme reference afin de mettre en evidence l’erreur commise lorsque les coefficientsde Pathak et Kouyoumjian sont utilises et que le point de diffraction se rapproche d’uneextremite d’arete. Notons que l’arete c diffracte au meme point quelle que soit la positiondu recepteur. Elle n’est donc pas source de discontinuites de la pression et on suppose quele point de diffraction sur cette arete se situe suffisamment loin de ses extremites pour quecelles-ci aient une influence minime.

Nous observons sur la figure 6.3 une discontinuite lorsque la distance entre le recepteur etle point A est d’environ 10,2 metres. Ceci correspond a la position du recepteur pour laquelle

6.2 Etat de l’art. 111

Fig. 6.3 – Resultats obtenus dans le cadre de la configuration presentee sur la figure 6.2

les points de diffraction sur les aretes a et b se confondent en un point : le coin forme parl’intersection de ces deux aretes. Au dela de ce point, ces deux aretes ne diffractent plus, d’oula discontinuite de la pression a ce niveau ; les deux seules contibutions sont alors la diffractionpar l’arete c et le trajet direct.

6.2 Etat de l’art.

Nous presentons maintenant un ensemble de methodes permettant de combler cette lacuneinherente aux coefficients asymptotiques calculant la diffraction par une arete. Il existe pourtraiter ce problemes deux approches possibles. La premiere consiste a considerer une nouvelleinteraction qui s’ajoute aux contributions classiques des aretes : il s’agit de considerer l’ex-tremite commune aux aretes diffractantes comme un point de diffraction. Ainsi apparaıt lephenomene de diffraction par un coin d’arete : il s’agit cette fois de la diffraction par un pointqui rayonne dans tout l’espace (attenuation en 1/r), la ou la diffraction par les aretes droitesrayonne uniquement sur le cone de Keller (attenuation en 1/

√r). La deuxieme approche

consiste a remplacer les coefficients de diffraction par les aretes par des calculs d’integrales decourants induits le long de ces aretes.

Approches basees sur la diffraction par le coin d’aretes. Le premier coefficient dediffraction par un coin d’aretes applicable a un secteur angulaire plan et valable pour desondes incidentes spheriques, est donne dans [35, 36]. Toutefois cette formule a ete obtenueheuristiquement et presente un certain nombre de lacunes [37], notamment lorsque la contri-bution du coin d’aretes est evaluee dans la direction du champ direct ou du champ reflechipar le secteur. Neanmoins, elle a ete etendue a des coins formes par un nombre quelconqued’aretes, et notamment a des structures de types pyramide dans [38, 32]. Le premier coefficientde diffraction par le coin d’un secteur angulaire plan etabli rigoureusement, pour une ondeincidente plane, a ete formule par Hill [39, 40]. Il assure la continuite de la pression et donnedes resultats en accord avec les resultats issus de methodes numeriques exactes a conditionque la direction d’observation soit suffisamment eloignee des directions dans lesquelles lesdiffractions multiples deviennent non negligeables (par exemple des directions d’incidence oud’observation rasantes). Ceci est du au fait que le calcul de ce coefficient ne fait pas intervenirla double diffraction par le secteur angulaire. La prise en compte de la double diffraction par


le secteur angulaire est realisee dans le cas d’une configuration onde incidente plane / champlointain dans [41], etendue ensuite au cas d’une onde incidente plane et position du recepteurquelconque dans [42].

Approches basees sur les courants d’aretes. Nous constatons, au vu de cet etatde l’art, de nombreuses limitations des coefficients de diffraction par un coin d’aretes. Eneffet, les coefficients asymptotiques etablis rigoureusement sont restreints au cas du secteurangulaire plan. Parallelement a la diffraction par un coin, d’autres methodes permettant laprise en compte de la taille finie des aretes et basees sur des integrations de courants induits[43] ont ete elaborees. Nous les presentons maintenant. Les courants equivalents de Michaeli,dont l’expression est donnee dans [44, 45, 46], sont une premiere etape dans la resolution dece probleme ; la pression rayonnee dans l’espace par une arete de diedres pouvant alors etrecalculee par une integration des courants le long de celle-ci. D’autres approches aboutissantaux memes formulations de courants sont donnees dans [47, 1]. Mais bien que ces courantsequivalents permettent de prendre en compte la finitude de l’arete diffractante, ils ne prennentpas explicitement en compte les effets de bords, c’est a dire lorsque le point de diffractions’approche de l’extremite de l’arete [48], dans la mesure ou l’arete adjacente n’intervient pas.Les travaux complementaires de Michaeli [49] et Ivrissimtzis [50] qui traitent de la diffraction(voire de la double diffraction dans le cas de [50]) par des polygones apportent une ameliorationdans ce sens en prenant en compte l’effet de l’arete adjacente sur les courants induits lelong d’une arete donnee du polygone. Toutefois, bien que ces approches prennent en comptel’influence de l’arete adjacente, elles se placent dans l’hypothese ou le point de diffraction estsitue loin du coin forme par les deux aretes.

Choix d’une methode. Nous pouvons conclure de cet etat de l’art qu’il n’existe pasde methode traitant rigoureusement le probleme d’une onde incidente quelconque sur uncoin d’aretes. Les methodes basees sur l’elaboration d’un coefficient asymptotique ne traitentrigoureusement que le probleme du secteur angulaire plan. Quant aux methodes basees sur desintegrations de courants d’aretes, elles reposent sur l’hypothese que le point de diffraction estsitue suffisamment loin du bord, donc ne traitent pas ce probleme de maniere rigoureuse. Nousavons choisi dans un premier temps d’etudier et de valider les formules elaborees dans [42]et donc basees sur la diffraction par un coin. Elles ont pour avantage de traiter le problemedu coin de maniere rigoureuse. De plus, comme cela a ete mentionne precedemment, ellesreposent sur une approche asymptotique, donc locale : le point est considere comme unesource secondaire rayonnant dans l’espace et sa prise en compte ne modifie aucunement lescoefficients de diffraction d’aretes deja implementes. Ceci permet ainsi une insertion souplede ce phenomene au sein du moteur de calcul geometrique de Icare, chaque coin d’aretesintersecte par un faisceau devenant une source d’ordre superieur.

Formule de Capolino et Maci pour la diffraction par un coin d’aretes. Nousdecrivons dans la suite la formule elaboree dans [42]. Les parametres intervenant dans laformule sont donnes sur les figures 6.4(a) et 6.4(b). Rappelons qu’elle suppose l’onde incidenteplane.

La formule donnant la pression au point P est la suivante :

p(P ) =e−jkr

4πr2D(β2, φ2, β′1, φ

′1

)T(δ′1, δ1, δ

′1, δ1, kr

)(6.1)

6.2 Etat de l’art. 113

’

Ωφ’1

2

β1

’

β

’φ2

(a) Geometrie liee a l’incidencede l’onde.

Ω

P

φ2β

2

1φ

β1

(b) Geometrie liee a la direction d’ob-servation.

Fig. 6.4 – Geometrie de la formule asymptotique calculant la diffraction par un coin d’aretes.

D est le coefficient de diffraction par le coin associe aux deux aretes et vaut :

D(β2, φ2, β′1, φ′1) =

d′(c′ − 12s′) + d′′(c− 1

2s′′)

jk(cosβ′1 − cosβ1)(cosβ′2 − cosβ2)(6.2)

Avecd′ =

√cosβ2 − cos(β′1 + Ω) (6.3)

d′′ =√

cos(β2 − Ω)− cos(β′1) (6.4)

s′ =√

cos(β′1 − Ω)− cosβ2 (6.5)

s′′ =√

cosβ′1 − cos(β2 + Ω) (6.6)

c′ =√

cos(β′1 − Ω)− cosβ′2 si φ′1 < π (6.7)

c′ = −√

cos(β′1 − Ω)− cosβ′2 si φ′1 > π (6.8)

c =√

cosβ1 − cos(β2 + Ω) si φ2 < π (6.9)

c = −√

cosβ1 − cos(β2 + Ω) si φ2 > π (6.10)

T est la fonction de transition generalisee et s’ecrit :

T(δ′1, δ1, δ

′2, δ2, kr

)= 4πjkr

(δ′21 + δ21)δ1δ2

δ1δ′2 + δ′1δ2

(G(√

krδ1,√krδ′1

)+G

(√krδ2,

√krδ′2

))(6.11)

G est la fonction de Fresnel generalisee decrite precedemment, avec :


δi =√

2 sin(β′i − βi

2

)(6.12)

δ′i =√

2 sinβi sinβ′i cos(φ′i + φi

2

)si φ1 < π (6.13)

δ′i = −√

2 sinβi sinβ′i cos(φ′i − φi

2

)si φ1 > π (6.14)

Il existe un deuxieme terme a ce coefficient qui permet de traiter le probleme des dis-continuites liees a la disparition de la double diffraction. Nous le negligeons dans un premiertemps.

Nous presentons dans la suite une configuration d’etude qui va nous permettre de validerla formule de Capolino et Maci pour la diffraction par un secteur angulaire. Les calculs sonteffectues a 500 Hz, 1 kHz et 2 kHz.

6.3 Applications et validations de la formule de Capolino etMaci.

Nous choisissons pour notre etude les valeurs suivantes : β′1 = 60, φ′1 = 30. Nous placonsla source a une distance de 10 m de l’extremite du secteur angulaire. En ce qui concerne lerecepteur, nous faisons varier β2 de 0 a 180, tandis que φ2 est fixe a 30.

Les figures 6.5, 6.6 et 6.7 representent le niveau de pression en fonction de l’angle β2,respectivement a 500 Hz, 1 kHz et 2 kHz. La figure 6.5(a) correspond au niveau calculesans prise en compte du trajet direct (s’il existe), tandis que la figure 6.5(b) correspond auxresultats prenant en compte le trajet direct. Sur chacune de ces deux figures, le resultat obtenusans prendre en compte le coefficient de diffraction par le coin est trace en vert (courbe nommee”D” sur les figures), tandis que le resultat prenant en compte le coefficient de diffraction parle coin est trace en rouge (courbe nommee ”D+V” sur les figures). Toutes ces indications sontvalables pour les resultats obtenus a 1 kHz et 2 kHz.

(a) Resultats obtenus sans prise en comptedu trajet direct.

(b) Resultats obtenus avec prise en comptedu trajet direct.

Fig. 6.5 – Resultats obtenus dans le cadre de la premiere la configuration a 500 Hz.

6.3 Applications et validations de la formule de Capolino et Maci. 115



Fig. 6.6 – Resultats obtenus dans le cadre de la premiere la configuration a 1 kHz.



Fig. 6.7 – Resultats obtenus dans le cadre de la premiere la configuration a 2 kHz.

Nous constatons sur les figures 6.5(a), 6.6(a) et 6.7(a) que le coefficient de diffraction parle coin forme par l’intersection des deux aretes compense correctement la discontinuite lieea la disparition d’une diffraction a β2 = 138. Son influence quant au niveau global de lapression acoustique (prise en compte du trajet direct source-recepteur) est non negligeable depart et d’autre de cet angle.

Conclusion.

Nous avons, dans cette partie consacree aux aspects physiques du lancer de faisceau,traite divers phenomenes acoustiques lies a la diffraction. L’objectif etait a chaque fois, soitd’ameliorer leur prise en compte au sein du lancer de faisceau, soit de les integrer au sein decelui-ci pour ceux qui n’etaient pas pris en compte auparavant.

Ainsi, nous avons commence par modifier la maniere dont le lancer de faisceau traitait ladouble diffraction par un plateau. En effet, nous avons constate, qu’en plus d’etre defaillanteen zone de transition, la formule classique donne aussi des resultats faux lorsque l’epaisseur duplateau est trop faible en comparaison avec la longueur d’onde. Il est apparu que la formulationde Capolino et Albani, basee sur extension spectrale de la TUD, permet de pallier ces deuxlimitations de la methode classique. Notre travail a ensuite consiste a generaliser l’emploide cette methode au calcul de la diffraction par plusieurs plateaux successifs. Ceci est tresimportant si l’on souhaite effectuer des calculs acoustiques en milieu urbain. Nous avonsainsi a cette occasion valide grace a la BEM la formule de Capolino et Albani dans cesenvironnements plus complexes et mis en evidence l’importance de son utilisation dans lamesure ou nous avons constate des erreurs tres importantes lorsque la methode classique estutilisee.

Un nouvel apport de nos travaux a consiste a integrer la diffraction par les surfaces courbesau sein du lancer de faisceau. Notre idee a alors consiste a discretiser ces surfaces et a calculerla diffraction sur celles-ci en considerant une serie de diffractions par des plateaux. La encore,la formule de Capolino et Albani s’avere indispensable si l’on souhaite resoudre le probleme demaniere rigoureuse. Nous avons ainsi construit un algorithme de calcul des diffractions d’aretesqui integre la formule de Capolino et Albani dans le lancer de faisceau et qui permette demaniere generale de calculer les diffractions d’aretes dans tous les types d’environnements (ycompris les surfaces courbes discretisees). il est donne sur la figure 6.8. Sur cette figure, leslettres ”P et K” designent l’emploi de la formule de Pathak et Kouyoumjian, tandis que leslettres ”C et A” designent l’emploi de la formule de capolino et Albani.

Pour terminer, nous nous sommes consacres a l’etude de la diffraction par un coin d’aretes.La prise en compte de ce type de phenomene permet alors de combler les discontinuites lieesa la taille finie des aretes. Malheureusement, il n’existe dans la litterature des formulationsasymptotiques rigoureuses que dans le cas particulier du secteur angulaire plan, c’est a dired’un coin forme par l’intersection de deux aretes. De plus, elles se limitent souvent au cas


particulier d’une onde incidente plane et d’un calcul en champ lointain. Seule la formule deCapolino et Maci traite le cas d’une onde spherique incidente. Nous avons donc retenu cetteformule et nous l’avons valide.

Fig. 6.8 – Algorithme implemente au sein du lancer de faisceau pour le traitement des dif-fractions multiples.

Bibliographie

[1] P. Ufimtsev, Fundamentals of the physical theory of diffraction. Wiley interscience, JohnWiley and Sons, Inc, publications (2007).

[2] P. Jean, A variationnal approach for outdoor sound propagation and application to rail-way noise. Journal of sound and vibration (1998). Vol. 212. pp 275-294.

[3] P. Jean, G. Defrance, Y. Gabillet, The importance of source type in the assessment ofsource barriers. Journal of sound and vibrations (1999). Vol. 226(2). pp. 201-216.

[4] I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, Tables of integrals, series, and products. Academic press,New York (1994).

[5] M.A. Hamdi, Formulation variationnelle par equations integrales pour le calcul de champsacoustiques proches et lointains. These de doctorat U.T.C. (1982).

[6] P.H. Pathak, R.G. Kouyoumjian, A uniform geometrical theory of diffraction for an edgein a perfectly conducting surface, IEEE Transaction on antennas and propagation (1974).Vol 62. pp 1448-1460.

[7] J. Bach Andersen, UTD Multiple-edge transition zone diffraction. IEEE Transactions onantennas and propagation (1997). Vol. 45(7). pp 1093-1097.

[8] Yannis Pousset, Optimisation pour la prediction de zones de couvertures radioelectriques.These de doctorat (1999). Universite des sciences de Poitiers.

[9] Y. Rahmatt Samii, R. Mittra, On investigation diffracted fields at shadow boudariesstaggered parallel plates spectral domain approach. Radio Science (1977). Vol. 12. pp659-670.

[10] Y. Rahmatt Samii, R. Mittra, A spectral domain interpretation of high frequency dif-fraction phenomena. IEEE transactions on antennas and propagtion (1977). Vol 25(5).pp 676-687.

[11] R. Tiberio, R.G. Kouyoumjian, Uniform GTD solution for diffraction by strips illumina-ted at grazing incidence. Radio Science (1979). Vol 14. pp 933-941.

[12] R. Tiberio, R.G. Kouyoumjian, Analysis diffraction at edges illuminated by transitionregion fields. Radio Science (1982). Vol 17(2). pp 323-336.

120

[13] R. Tiberio, R.G. Kouyoumjian, Calculation high frequency diffraction by two nearbyedges illuminated at grazing incidence. IEEE transactions on antennas and propagation(1984). Vol 32(11). pp 1186-1196.

[14] R. Tiberio, R.G. Manara, G. Pelosi, R. Kouyoumjian, High frequency electromagneticscattering plane waves from double wedges. IEEE transactions on antennas and propa-gation (1989). Vol 9(37). pp 1172-11780.

[15] A. Michaeli, Closed form physical theory diffraction solution for electromagnetic scatte-ring by strips 90 dihedrals. Radio Science (1984). Vol. 19. pp 609-616.

[16] A. Michaeli, New asymptotic high frequency analysis electromagnetic scattering by pairparallel edges closed form results. Radio Science (1985). Vol. 20. pp 1537-1548.

[17] L.P. Ivrissimtzis, R.J. Marehfka, Double diffraction at coplanar skewed edge configura-tion. Radio Science (1991). Vol 26. pp 821-830.

[18] F. Capolino, M. Albani, S. Maci, R. Tiberio, Double diffraction at pair coplanar skewededges. IEEE transactions on antennas and propagation (1997). Vol 45. pp 1219-1226.

[19] F. Capolino, M. Albani, S. Maci, R. Tiberio, Diffraction at thick screen including corru-gations top face. IEEE transactions on antennas and propagation (1997). Vol 45(2). pp277-283.

[20] P.H. Pathak, R.G. Kouyoumjian, The dyadic diffraction coefficient for a perfectly conduc-ting wedge. Tech. Rep. 5, Ohio State University, ElectroScience Laboratory (1970), (un-der US Airforce Contract AF19(628) - 5929).

[21] L. Felsen, N. Marcuvitz, Radiation and scattering of waves. Englewood Cliffs, NJ :Prentice-Hall (1973).

[22] M. Albani, A Uniform double diffraction coefficient or a pair of wedges in arbitraryconfiguration. IEEE transactions on antennas and propagation (2005). Vol. 53(2). pp702-710.

[23] F. Capolino, S. Maci, Simplified closed form expressions for computing Fresnel inte-gral and their application to vertex diffraction. Microwave and optical technology letters(1995). Vol. 9. pp 32-37.

[24] F. Capolino, S. Maci, Simplified closed form expressions for computing Fresnel integraltheir application vertex diffraction. Microwave and optical technology letters (1995). Vol.9. pp 32-37.

[25] D. Erricolo, Two-dimensional simulator for propagation in urban environments. IEEEtransactions on antennas and propagation (2001). Vol. 50. pp 1158-1168.

[26] J.B. Keller, Geometrical Theory of Diffraction, Journal of Optical Society of America(1962). Vol. 52. pp 116-130.

[27] A. Agarwal, A.P. Dowling, A ray tracing approach to calculate acoustic shielding by thesilent aircraft airframe. Aearoacoustics conference (Cambridge). 2006.

[28] P.H. Pathak, An asymptotic analysis of the scattering of plane waves by a smooth convexcylinder, Radio Science (1979). Vol. 14. pp 419-435.

[29] P.H. Pathak, W.D. Burnside, R.J. Marhefka, A uniform GTD analysis of the diffractionof electromagnetic waves by a smooth convex surface, IEEE Transactions on antennasand propagation (1980). Vol. 28(5). pp 631-642.

Bibliographie 121

[30] G.L. James, Geometrical theory of diffraction for electromagnetic waves. IEE Electro-magnetic waves series(1980).

[31] R.G. Kouyoumjian, P.H. Pathak, W.D. Burnside, Uniform GTD for diffraction by edgesvertices convex surfaces, extrait de ”Theoretical methods for determining the interactionof electromagnetic waves with structures”, J.K. Skwirzinski(1981).

[32] D.A. Mac Namara, C.W.I. Pistorius, J.A.G. Malherbe, The uniform geometrical theoryof diffraction. Artech house(1990).

[33] P.H. Pathak, R.G. Kouyoumjian, An analysis of the radiation from apertures in curvedsurfaces by the geometrical theory of diffraction. IEEE Proceedings. (1974). Vol. 62(11).pp 1438-1447.

[34] P.H. Pathak, N.W. Wang, W.D. Burnside, R.G. Kouyoumjian, A uniform GTD solutionfor the radiation from sources on a convex surface. IEEE transactions on antennas andpropagation (1981). Vol. 29(4). pp 609-621.

[35] W.D. Burnside, N. Wang, E.L. Pelton, Near-field pattern analysis of airborne antennas.IEEE transactions on antennas and propagation (1980). Vol. 28(3). pp 318-327.

[36] F.A. Sikta, W.D. Burnside, T.T. Chu, L. Peters, First-order equivalents current and cor-ner diffraction for flat plate structures. IEEE transactions on antennas and propagation(1983). Vol. 31(4). pp 584-589.

[37] A. Michaeli, Comments on ”first order equivalent current and corner diffraction coefficientfrom flat plate structure. IEEE Transactions on antennas and propagation (1984). Vol.32(9). p 1011.

[38] B.T. De Witt, Analysis and measurement of electromagnetic scattering by pyramidaland wedge absorbers. Ohio Sate University (1986).

[39] K.C. Hill, A UTD solution to the EM scattering by the vertex of a perfectly conductingplane angular sector. Ohio State University (1990).

[40] K.C. Hill, P.H. Pathak, UTD solution for EM diffraction by corner plane angular sector.IEEE Antennas and propagation society symposium, Londres (1991). Vol. 1. pp 2-5.

[41] S. Maci, R. Tiberio, A. Toccafondi, Diffraction at a plane angular sector. Journal ofelectromagnetic waves and applications (1994). Vol. 8(9/10). pp 1247-1276.

[42] F. Capolino, S. Maci, Uniform high-frequency description of singly, doubly and vertex dif-fracted rays for a plane angular sector. Journal of electromagnetic waves and applications(1996). Vol. 10. pp 1175-1197.

[43] G. Pelosi, S. Maci, R. Tiberio, A. Michaeli, Incremental length diffraction coefficientsfor an impedance wedge. IEEE Transactions on antennas and propagation (1992). Vol.40(10). pp 1201-1210.

[44] A. Michaeli, Equivalent edge currents for arbitrary aspects of observation. IEEE tran-sactions on antennas and propagation (1984). Vol. 32(3). pp 252-258.

[45] A. Michaeli, Elimination of infinities in equivalent edge currents, Part I : fringe currentcomponents. IEEE Transactions on antennas and propagation (1986). Vol. 34(7). pp912-918.

[46] A. Michaeli, Elimination of infinities in equivalent edge currents, Part II : physical opticscomponents. IEEE Transactions on antennas and propagation (1986). Vol. 34(8). pp1034-1037.

122

[47] K.M. Mitzner, Incremental length diffraction coefficients, Technical report numero AFAL-TR-73-296, Northrop Corporation, Aircraft division (1974).

[48] T.B. Hansen, Corner diffraction for quarter plane. IEEE Transactions on antennas andpropagation (1991). Vol. 39(7). pp 976-984.

[49] A. Michaeli, Equivalent currents for second-order diffraction by the edges of perfectlyconducting polygonal surfaces. IEEE Transactions on antennas and propagation (1987).Vol. 35(2). pp 183-190.

[50] L.P. Ivrissimtzis, A uniform ray approximation of the scattering by polyhedral structuresincluding higher order terms. IEEE Transactions on antennas and propagation (1992).Vol. 40(11). pp 1302-1312.

Troisieme partie

Aspects geometriques.

Introduction.

Nous avons vu dans la partie introductive de cette these qu’il existe differentes manieresde considerer une surface courbe au sein de methodes a rayons. Les surfaces courbes peuventainsi etre definies de maniere analytique (spheres, cylindres,...) ou bien avoir ete au prealablemaillees. Toutefois, la plupart des surfaces courbes rencontrees lors de calculs acoustiquesou electromagnetiques se presentent sous forme maillees. En effet, les surfaces sont souventextraites de resultats issus de logiciels de CAO. Par consequent elles se trouvent definiessous forme de carreaux de Bezier ou bien encore de NURBS qui sont susceptibles de faireintervenir beaucoup de points. Ces surfaces definies parametriquement se trouvent de surcroıtsouvent de degre eleve, ce qui a pour consequence que les calculs de rayons sur ces surfacesdeviennent vite insolubles analytiquement. Pour contrer ces inconvenients et permettre descalculs d’intersection entre des rayons et ces surfaces, nous sommes contraints de les mailler.La surface courbe est alors discretisee en un ensemble de surfaces planes, en general destriangles. Les maillages triangulaires peuvent etre lisses ou non.

Bien que l’usage de triangles lisses assure la continuite geometrique des normales a lasurface, il apparaıt un certain nombre de lacunes en comparaison avec les resultats issusdes calculs sur les surfaces courbes analytiques correspondantes. Les principaux problemesrencontres sont les suivants : dependance des resultats vis a vis de la resolution du maillage,mesestimation du nombre de trajets obtenus, derivee de la pression discontinue...

L’objectif de cette partie est donc d’elaborer une methode permettant de reduire les conse-quences liees au maillage des surfaces courbes. L’idee developpee dans la suite est de construire,a la difference des maillages lisses, une surface C1 (c’est a dire telle que la derivee de l’equationdecrivant la surface soit continue sur tout le domaine de definition de la surface) qui passe parles points du maillage et verifie les conditions aux limites imposees par les normales en cespoints. Cette approche garantirait ainsi une meilleure coherence entre la position des pointssur la surface et les normales en ces points, ce qui nous permettrait de calculer la position despoints de reflexion sur ces surfaces de maniere plus precise et d’obtenir une pression reflechieresultante se rapprochant beaucoup plus de la solution obtenue sur la surface analytique etdont la derivee est continue.

Toutefois, si nous souhaitons integrer ce type de surface au sein d’un lancer de rayonde maniere efficace et precise, nous avons comme contrainte qu’il soit possible de calculerde maniere rapide et stable numeriquement les intersections entre les rayons et ces surfaces.

126

Ceci implique, si nous choisissons d’effectuer le calcul des intersections entre ces surfaces etles rayons de maniere analytique, qu’elles soient de degre inferieur ou egal a quatre dans unrepere cartesien si elles sont exprimees en terme de polynomes.

Chapitre 7

Reconstruction de surfaces courbesC1 a partir d’un maillage lisse.

Sommaire

7.1 Choix adopte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1.2 Triangles de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.3 B-Splines triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.2 Mise en oeuvre et resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.1 Integration des splines de Powell-Sabin au sein d’un lancer de rayons. 1347.2.2 Resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.1 Choix adopte.

7.1.1 Introduction.

La premiere technique de construction de courbes a partir d’un ensemble de points etbasee sur la subdivision des segments les reliant a ete developpee a la fin des annees 70par Chaikin [1]. Une variante de cette methode, dans laquelle cette fois la courbe passepar les points issus de la subdivision, a ete developpee ulterieurement par Dyn et Levin[2]. Il a ete demontre que les points de subdivision convergaient vers une courbe de classe C2

[2],[3],[4]. L’extension de ces techniques a la reconstruction de surfaces a egalement ete realisee.L’algorithme de Catmull-Clark [5] fut le premier a oeuvrer dans ce sens. Il est demontre dans[6] que les points de subdivision construits selon l’algorithme de Catmull-Clark tendent versune surface de classe C1. Les algorithmes Butterfly [7] et Loop [8] sont des adaptations desalgorithmes precedents a des maillages triangulaires. Parmi toutes ces methodes de subdivisionet d’affinement, nous constatons qu’elles sont uniquement construites a partir des points dumaillage et independamment des normales en ces points. Or, il s’agit precisement du but quenous nous sommes fixe : trouver une surface interpolant les sommets d’un maillage triangulairetout en respectant les conditions aux limites d’ordre un imposees par les normales aux sommetsdu maillage. Pour cela, il existe principalement deux techniques : la construction de surfacesde Bezier [9] et l’utilisation de splines triangulaires [10]. Nous les presentons dans les lignesqui suivent.

128 Chapitre 7 : Reconstruction de surfaces courbes C1 a partir d’un maillage lisse.

7.1.2 Triangles de Bezier.

Une variante des methodes precitees concernant la construction de courbes definies apartir de points est l’algorithme de de Casteljau [11]. Il consiste a construire des courbespolynomiales, nommees courbes de Bezier, a partir de points de controle et des polynomes deBernstein. La figure 7.1 donne l’illustration d’une courbe de Bezier definie par trois points.

A B

C

x

z

Fig. 7.1 – Illustration d’une courbe de Bezier.

Notons que la courbe ne passe pas par ces points, a l’exception des points extremes de cetensemble. Le nombre de points de controle n permet de mieux affiner l’allure de la courbe,mais en contrepartie, il en augmente le degre qui a pour valeur n−1. Toutefois, les courbes deBezier presentent l’avantage, par rapport aux methodes precedentes, de pouvoir tenir comptedes normales aux points par lesquels la courbe doit passer [9]. Ceci est illustre sur la figure 7.1 :le point de controle C en haut de la figure est calcule comme etant l’intersection des deuxtangentes imposees aux deux points extremes A et B.

Les triangles de Bezier sont une extension surfacique des courbes de Bezier et permettentd’interpoler les trois sommets d’un triangle par une surface dont l’allure est aussi geree par unensemble de points de controle. Le nombre de points de controle n (sommets inclus) definitegalement le degre de la surface. Celui-ci s’obtient par la relation 7.1 :

deg(P ) =12

(n+ 1)(n+ 2) (7.1)

Ainsi, pour un polynome de degre deux, six points sont necessaires (cf figure 7.2(a))pour construire un triangle de Bezier et dix dans le cas d’un polynome de degre trois (cffigure 7.2(b)).

Soient Pijk l’ensemble des points de controle d’un triangle de Bezier. La surface de Bezierdefinie par ces points s’ecrit sous la forme polynomiale decrite sur l’equation 7.2. Nous l’ecri-vons sous forme parametrique. Les parametres u, v et w s’ecrivent comme des coordonneesbarycentriques et verifient donc les relations : u+v+w = 1, u ≥ 0, v ≥ 0 et w ≥ 0. Tout pointP(u, v, w) appartenant au triangle de Bezier s’ecrit en fonction de u, v, w selon la formule 7.2 :

P(u, v, w) =∑

i+j+k=n

Pi,j,kBni,j,k(u, v, w) (7.2)

B se nomme polynome de Bernstein et s’ecrit, pour un triangle :

Bni,j,k(u, v, w) =

n!i!j!k!

uivjwk (7.3)

7.1 Choix adopte. 129

200 P

101P

P002

P011

P020

P110

(a) Points de controle definissantun triangle de Bezier de degre deux.

102

P030

P021

P012

P111

P120

P210

P 300

201P

P

003P

(b) Points de controle definissant untriangle de Bezier de degre trois.

Fig. 7.2 – Exemple de disposition des points de controle destines au tracer d’un triangle deBezier.

Comme nous l’avons vu precedemment, notre objectif est de trouver une surface C1 passantpar les sommets d’un maillage triangulaire et verifiant les normales a ces sommets. Nous avonsvu un peu plus haut qu’il etait possible d’imposer des tangentes aux courbes de Bezier. Ilen est de meme concernant les triangles de Bezier. Ainsi, nous allons verifier s’il est possiblede construire des triangles de Bezier obeissant aux conditions aux limites imposees par lesnormales aux sommets et tels que leurs normales soient continues d’un triangle a l’autre.Dans un premier temps, verifions si cela est possible avec des triangles de degre deux. Lafigure 7.3(a) en donne une illustration sur deux triangles adjacents. Les points de controlesont representes par les cercles non pleins. Afin de respecter les normales aux points P001 etP010, nous fixons alors le point P011 tel qu’il soit situe a l’intersection de deux tangentes en P001

et P010 contenues dans un plan commun aux deux triangles. De meme pour les deux autrespoints de controle P110 et P101. Nous avons ainsi defini suffisamment de points permettantde tracer deux surfaces de bezier de degre deux interpolant les deux triangles et verifiant lesconditions aux limites imposees par les normales a leurs sommets. Malheureusement, nous nepouvons pas garantir la continuite C1 ni meme C0 entre les deux triangles de Bezier par cettemethode. En effet, le triangle de Bezier de droite depend du point P ′100, alors que le trianglede gauche est trace independamment de ce point ; reciproquement, le triangle de Bezier degauche depend du point P100, alors que le triangle de droite est trace independamment de cepoint. Il apparaıt donc impossible d’imposer la continuite entre les deux surfaces de Bezierdans la mesure ou il ne reste plus de degres de liberte sur les points de controle.

Une solution a ce probleme est alors de tracer deux triangles de Bezier de degre trois audessus des deux triangles, selon la methode illustree sur la figure 7.3(b). Nous placons alorsles points P120 et P210 tels qu’ils soient situes, respectivement, sur les tangentes aux pointsP030 et P300, considerees dans un plan commun. Nous construisons de la meme maniere lesdeux paires de points (P102, P201) et (P012, P021). Cette fois, la continuite C1 va pouvoir etreassuree entre les deux triangles. En effet, les points P111 et P ′111 constituent deux degres deliberte que l’on peut alors utiliser dans ce but. La methode a suivre est expliquee dans [9].

Nous pouvons deduire des lignes ci-dessus que les triangles de Bezier de degre trois per-mettent d’interpoler les sommets et les normales d’un maillage triangulaire quelconque. Mal-heureusement, ces surfaces sont definies parametriquement, ce qui a pour consequence quel’on ne peut calculer analytiquement d’intersection entre ces surfaces et un rayon. Les lignessuivantes donnent une explication a cela.


100

110 P

P 010

110 P

P’

100

’

P 101

’

001 P

P 101

P

011 P

(a) Points de controle definissant un trianglede Bezier de degre deux.

P102

P201

P111

P120

P210

300P

201

’

003P

P012

P021

030P P

021’

P’012

P003

120’P

P

P111’

’

(b) Points de controle definissant un trianglede Bezier de degre trois.

Fig. 7.3 – Exemple de disposition des points de controle destines au trace d’un triangle deBezier.

Tout rayon de l’espace peut s’ecrire dans le repere cartesien de reference sous la formeaffine : R = O + t~V ou O designe l’origine du rayon et t l’abscisse du rayon selon sa direction~V . Si l’on nomme (u, v, w) les parametres definissant la surface de Bezier et t l’abscisse del’intersection du rayon avec le triangle de Bezier, ces quatre inconnues doivent verifier lesquatre equations 7.4 a 7.7 :

u+ v + w = 1 (7.4)

Ox + t Vx =∑

i+j+k=n

xPijkn!

i!j!k!uivjwk (7.5)

Oy + t Vy =∑

i+j+k=n

yPijkn!

i!j!k!uivjwk (7.6)

Oz + t Vz =∑

i+j+k=n

zPijkn!

i!j!k!uivjwk (7.7)

Les valeurs (xPijk , yPijk , zPijk) designent les coordonnees dans le repere cartesien global despoints de Bezier. Ce systeme de quatre equations non lineaires a quatre inconnues est effec-tivement insoluble analytiquement donc nous excluons ce type de surface parmi les solutionsretenues.

7.1.3 B-Splines triangulaires.

7.1.3.1 Schema de subdivision de Powell-Sabin.

Nous presentons ici une methode d’interpolation des sommets d’un maillage triangulaire al’aide de splines s’ecrivant sous forme non-parametrique, c’est a dire sous la forme : z = s(x, y).Comme nous l’avons vu precedemment, il existe deux contraintes que la spline doit respectera chaque sommet du maillage : la position et la normale en ce point. Soit P ′ le projete surle plan (xOy) d’un point P appartenant a un maillage triangulaire avec normales. Ces deuxcontraintes sur la spline se transforment alors dans le repere cartesien en trois conditions aux

7.1 Choix adopte. 131

limites qu’elle doit verifier en chaque sommet du maillage ; tout d’abord, la spline devantpasser par P , nous imposons s(P ′) = zP ; ensuite, les valeurs ∂s

∂x(P ′) et ∂s∂y (P ′) doivent etre

telles que la spline s ait pour normale en P la normale du maillage en ce point. Nous nousretrouvons donc avec un total de neuf conditions aux limites pour les trois sommets d’untriangle. Or un polynome du second degre en (x,y) ne contient que six coefficients : z(x, y) =ax2 + by2 + cxy + dx+ ey + f . Nous nous retrouvons face a un probleme surcontraint.

Powell et Sabin ont montre dans [12] qu’il est possible d’interpoler par une spline de degredeux les sommets d’un triangle ainsi que les normales a ces sommets grace a une methode desubdivision du triangle. Ainsi, la ou il etait necessaire que les polynomes de Bezier soient dedegre trois, les splines de Powell-Sabin, grace a la subdivision peuvent s’ecrire sous la formed’un polynome de degre deux. Ceci est a mettre en parallele avec le cas similaire en 2D del’interpolation hermitienne de deux points et de leurs tangentes, illustre sur la figure 7.4. Ilexiste une unique courbe de degre trois s’ecrivant dans le repere cartesien (x,z) sous la formez = ax3 + bx2 + cx + d qui passe par les points P et Q en respectant les tangentes en cespoints. Toutefois, si l’on impose que la courbe interpolant ces deux points et leurs normalesdoive passer par le point arbitraire M dont l’abscisse est comprise entre celle des deux pointsprecites et dont l’ordonnee z est quelconque, il est montre que l’on peut abaisser le degre dela courbe a deux. Il existe alors une unique paire de polynomes de degre deux (P1 et P2 surla figure) definissant la courbe interpolante de part et d’autre de xM tout en etant C1 entreeux en ce point.

Q

P

P Qx

z

z

z

x x

P

H(x)

M(x)1P 2

(x)P

Q

Fig. 7.4 – Interpolation de deux points et des normales en ces points en 2D.

Le schema de subdivision etabli par Powell et Sabin est defini sur les figures 7.5(a) et 7.5(b).

Tout d’abord, nous projetons tous les triangles formant le maillage de la surface sur unplan commun (cf figure 7.5(a)) ; soit, par exemple le plan (xOy). Ainsi, le triangle ABCdu maillage a interpoler devient le triangle A’B’C’ apres projection. En reliant deux points(par exemple les barycentres) places a l’interieur de A’B’C’ et d’un triangle voisin issu luiaussi d’une projection d’un triangle du maillage, nous obtenons une intersection avec le cotecommun a ces deux triangles. Ceci permet d’obtenir des points de subdivision communs d’unmacro-triangle projete a l’autre (nous appelons macro-triangles les triangles originaux dumaillage). En repetant ce procede avec les deux autres voisins du triangle A′B′C ′, celui-ci setrouve alors subdivise en six sous-triangles, qui sont : A′ZR1, R1ZB

′, B′ZR2, R2ZC′, C ′ZR3,

R3ZA′ (cf figure 7.5(b)). Le principe est alors de construire une spline s(x, y) interpolant le


x

z

y

BC

B’

A

A’

’C

(a) Projection du maillage sur un plan.

Z’’’

Z’’

Z’

R1

Z

x

y

z

B

C

’

’

A’

R3 R

2

(b) Schema de subdivision de Powell-Sabin dutriangle ABC.

Fig. 7.5 – Exemple de disposition des points de controle destines au tracer d’un triangle deBezier.

triangle original ABC au-dessus de chacun de ces six sous-triangles et continue par morceauxd’un sous-triangle a l’autre.

7.1.3.2 Choix d’une base pour les B-splines.

Powell et Sabin ont ensuite montre que la spline interpolante s’ecrit a partir de combinai-sons lineaires de B-splines associees a chacun des trois sommets du triangle projete sur le plan(xOy). Plus precisement, trois B-splines par sommet sont necessaires. La spline s(x, y) veri-fiant les neuf conditions aux limites s’ecrit alors comme une combinaison lineaire unique desneuf B-splines associees aux trois sommets. Pour resumer, la spline s’ecrit selon l’equation 7.8(i designe l’indice des sommets, j l’indice des B-splines associees aux sommets) :

s(x, y) =3∑i=1

3∑j=1

cijBij(x, y) (7.8)

Notre tache, dans un premier temps est de definir l’expression des B-splines Bij(x, y). Lescoefficients cij seront determines de maniere unique dans une deuxieme etape.

Pour un sommet donne, nous devons fixer pour chacune des trois B-splines les trois condi-tions aux limites associees a ce sommet (position et derivees selon les axes x et y), sachantque par definition, ces B-splines doivent etre nulles le long du cote oppose au sommet auquelelles sont associees. Nous avons ainsi trois triplets definissant les conditions aux limites desB-splines. Dans la suite, nous designons par (αij , βij , γij) le triplet de la jeme B-spline associeeau ieme sommet.

7.2 Mise en oeuvre et resultats. 133

Dans [13, 14], sont recapitules deux choix possibles de triplets, dont celui decrit dans [15]et explicite sur les equations 7.9 a 7.11 :

(αi1, βi1, γi1) = (14, 0, ε) (7.9)

(αi2, βi2, γi2) = (14, ε, 0) (7.10)

(αi3, βi3, γi3) = (12,−ε,−ε) (7.11)

ε doit obeir a la relation suivante : 14h < ε < − 1

4h ; h etant la longueur maximale des aretesformant le maillage projete.

Il est prouve dans [15] que, grace a ce choix, les B-splines verifient les relations de positiviteet de partition de l’unite, c’est a dire qu’elles verifient les deux relations 7.12 et 7.13 :

Bij(x, y) > 0 pour tout (x,y) (7.12)

∑i,j=0

Bij(x, y) = 1 pour tout (x,y) (7.13)

Du fait de ces proprietes, selon [9], la surface globale interpolant tous les sommets dumaillage est contenue dans l’enveloppe convexe des points de Bezier associes aux B-splines(les relations entre triangles de Bezier et B-splines sont explicitees dans l’annexe A.2).

Un autre choix de triplets, dits triplets de Hermite, est donne dans [13]. Ils permettentune meilleure prise en compte de la taille locale des triangles projetes que la base decritedans [15]. En contrepartie, cette fois, les triplets ne verifient pas les proprietes de positiviteet partition de l’unite.

Dans l’objectif d’optimiser les calculs de rayons sur les surfaces courbes considerees globa-lement, il est necessaire de recourir au calcul de leur boıte englobante. Ce calcul impliquantla recherche de l’enveloppe convexe de la surface, nous avons choisi la base decrite par lesequations 7.9 a 7.11.

Maintenant que leurs conditions aux limites sont definies, il nous reste a formuler l’expres-sion des B-splines. La demarche est detaillee dans [16, 13, 18] et rappelee dans l’annexe A.1.1.L’expression complete d’une spline s(x, y) interpolant un triangle a partir des B-splines et desconditions aux limites imposees par la position des sommets et des normales a ces sommetsest donnee dans [14] est rappelee dans l’annexe A.1.2.

7.2 Mise en oeuvre et resultats.

Nous allons tout d’abord presenter une vue d’ensemble de la maniere avec laquelle nousavons implemente les splines au sein de Icare. Ensuite, nous presentons des resultats, d’abordsur quelques cas canoniques de triangles, puis sur des maillages constitues de plusieurs tri-angles, notamment le cas de la sphere maillee.


7.2.1 Integration des splines de Powell-Sabin au sein d’un lancer de rayons.

7.2.1.1 Construction des splines dans un lancer de faisceau.

7.2.1.1.1 Prise en compte des conditions aux limites.

En conformite avec ce qui a ete mentionne dans la section precedente, nous avons choisicomme plan de projection des maillages triangulaires le plan (xOy). Il reste a extraire lesconditions aux limites de ce maillage. Celles-ci sont les valeurs s(x, y), ∂s

∂x(x, y) et ∂s∂y (x, y) que

la spline s(x, y) doit verifier en chaque noeud du maillage qu’elle interpole.Or, chaque triangle d’un maillage lisse est defini au sein d’un fichier par les coordonnees

cartesiennes de ses sommets et les coordonnees des normales en ces sommets (Pi,−→N i ; i ∈

[1; 3]). Ainsi, la valeur imposee s(x, y) en chaque noeud est-elle directement accessible. Parcontre, nous devons extraire de chaque normale liee a un noeud les deux valeurs suivantes :∂s∂x(x, y) et ∂s

∂y (x, y) donnant des informations respectivement sur les tangentes calculees selonles axes x et y. Or, nous savons que chaque normale est colineaire au produit vectoriel dedeux tangentes calculees selon deux directions differentes (par exemple selon x et y). D’oula relation 7.14, que la spline doit verifier en tout point, et en particulier aux sommets destriangles :

Nx

Ny

Nz

∝ 1

0∂s∂x

× 0

1∂s∂y

∝

− ∂s∂x

− ∂s∂y

1

(7.14)

Nous en deduisons les conditions sur les derivees que la spline doit verifier en chaquesommet. Elles sont donnees par les deux equations 7.15 et 7.16.

∂s

∂x(x, y) = −Nx

Nz(7.15)

∂s

∂y(x, y) = −Ny

Nz(7.16)

7.2.1.1.2 Calcul des intersections.

Afin de calculer une intersection entre un rayon et une surface quelconque, nous ecrivonscelui-ci sous forme parametrique, c’est a dire que chaque rayon R (O, ~V ) est defini par sonorigine O et sa direction ~V selon l’equation 7.17 :

R = O + t~V (7.17)

Ainsi, l’intersection se determine en calculant la valeur de l’abscisse t du rayon. C’est cetteapproche que nous implementons au sein du lancer de rayons afin de calculer analytiquementles intersections entre rayons et splines de Powell-Sabin.

En designant par (Ox, Oy, Oz) et (Vx, Vy, Vz) les coordonnees respectives de O et ~V dansle repere cartesien local (cf figure 7.6), le calcul du point d’intersection revient a verifier surchacun des sous-triangles s’il existe une valeur t solution de l’equation du second degre 7.18 :

a(Ox + tVx)2 + b(Oy + tVy)2 + c(Ox + tVx)(Oy + tVy)+d(Ox + tVx) + e(Oy + tVy)− (Oz + tVz) + f = 0

(7.18)


Nous avons ainsi, grace a la representation parametrique des rayons, ramene la recherchedu calcul des intersections entre rayons et splines a la resolution d’une equation du seconddegre a une inconnue. Ce probleme est soluble analytiquement, ce qui repond bien a nosbesoins.

Pour terminer, il est evidemment necessaire de verifier que les coordonnees (x,y) de l’in-tersection ainsi calculee appartiennent bien au domaine de definition du polynome c’est a direqu’elles doivent appartenir au sous-triangle auquel il est associe. La figure 7.6 illustre l’inter-section entre un rayon et la spline interpolant un macro-triangle et resultant de l’assemblagedes six splines tracees au dessus de chacun des six sous-triangles. Ainsi, sur cette figure, nousobservons que le projete du point d’intersection X entre la spline S1 et le rayon incident estbien situe a l’interieur du sous-triangle 1. Il y’a donc bien intersection.

’

P

1

61

23

45R

1

x

z

P1

2

S6

S2

3SS

S5 S4

P

P ’3

P’2

y

3P

Fig. 7.6 – Recherche d’un point d’intersection entre un rayon incident et la spline interpolantun triangle.

7.2.1.2 Traitement des cas critiques.

L’inconvenient majeur de la projection d’un maillage sur un plan apparaıt lorsque l’on nepeut trouver un plan tel qu’il puisse exister une bijection entre le maillage donne et le plan.Nous savons par avance que toute surface fermee (par exemple une sphere maillee) constitueraun probleme de ce point de vue.

z

BN

xT1

NA

y

T2

NA

NB

Fig. 7.7 – Coupe de profil d’une sphere maillee et du plan de projection de son maillage.


En fait, il existe systematiquement dans cette situation un nombre limite de trianglesdont l’interpolation des sommets par les splines de Powell-Sabin est impossible. Par exemple,etudions le cas de la sphere representee sur la figure 7.7. Cette figure est une coupe du maillageprise perpendiculairement au plan de projection xOy.

Il apparaıt que les deux triangles T1 et T2 mis en evidence sur cette figure ne pourront etreinterpoles par une spline triangulaire. Les deux figures 7.8(a) et 7.8(b) donnent une illustrationdes deux problemes lies a chacun des deux triangles.

z

y

x

s(x,y)

(a) Illustration du pro-bleme lie au triangle T1.

Nz =0

z=0 Nz =0

z=0

z

y

x

(b) Illustration du pro-bleme lie au triangle T2.

Fig. 7.8 – Problemes rencontres et lies a l’impossibilite de placer le maillage en bijection avecun plan.

Dans chacune des deux situations illustrees sur ces figures, nous remarquons en effetqu’il est impossible d’interpoler les sommets et les normales aux sommets sous la forme d’unefonction bijective s(x, y). En ce qui concerne la figure 7.8(a), il n’existe pas de fonction bijectivepassant par les trois sommets du triangle et verifiant les conditions aux limites imposees parles normales. Sur la figure 7.8(b), les normales aux sommets situes en z = 0 sont horizontales,ce qui entraıne des derivees de la spline ∂s

∂x(x, y) et ∂s∂y (x, y) infinies en ces points, ce qui est

impossible dans la mesure ou s(x, y) est un polynome. Ceci est confirme par les equations 7.15et 7.16. De maniere generale, il risque souvent d’apparaıtre des problemes numeriques dansle cas ou un triangle se rapproche fortement des deux configurations presentees ci-dessus.

Nous pouvons noter que ces problemes sont recurrents quel que soit le plan de projection.Pour tout plan de projection, il existera des triangles sur la sphere appartenant au cas presentesur la figure 7.8(a) ou au cas plus particulier illustre sur la figure 7.8(b). Des solutions a ceprobleme de la mise en bijection sont evoquees dans [19, 20, 21, 22]. Elles sont basees surune approche topologique du probleme et sur la recherche d’un ensemble de transformationsaffines des points de Bezier associes aux splines. Ceci est peu pratique dans la mesure ounous souhaitons pouvoir calculer des intersections sur les splines ; or, ces approches nousramenent a une ecriture sous forme parametrique de degre deux, qui ne permettent pas decalculs analytiques d’intersections. La premiere etape de la solution que nous avons elaboreeconsiste a effectuer un changement de plan de projection pour les triangles posant problemepour le calcul des splines. Comme nous le verrons plus loin, ceci est insuffisant pour recouvririntegralement la sphere et necessite le trace de raccords entre les splines associees aux trianglesdont les plans de projection sont differents. Ceci constitue la deuxieme etape de notre solutionqui est detaillee dans le chapitre 8.


7.2.2 Resultats.

7.2.2.1 Quelques exemples de surfaces reconstruites.

Nous presentons maintenant un certain nombre de resultats obtenus grace a l’implemen-tation des splines de Powell-Sabin. Nous presentons tout d’abord les resultats obtenus surdes cas canoniques de triangles. Nous etendons ensuite cela a un maillage hexagonal afin demettre en evidence la continuite C1 de la surface obtenue. Pour finir, nous etudions l’exempled’une sphere maillee.

Les trois premiers exemples d’interpolation de triangles par des splines sont representes surles figures 7.9(a), 7.9(b) et 7.9(c). Dans les trois cas, le triangle est equilateral, les cotes ayantune longueur de 1 metre. Les trois traits bleus representent l’orientation des trois normalesimposees aux sommets que nous faisons varier d’un triangle a l’autre.

(a) Premier exemple d’inter-polation des sommets d’un

triangle.

(b) Deuxieme exemple d’interpolationdes sommets d’un triangle.

(c) Troisieme exemple d’interpola-tion des sommets d’un triangle.

Fig. 7.9 – Resultats obtenus sur trois triangles.

Nous presentons sur la figure 7.10 la configuration d’etude d’un maillage constitue parsix triangles equilateraux. Les normales aux sommets situes a la peripheries du maillage sonttoutes verticales. Nous faisons alors varier l’orientation de la normale au niveau du sommetcommun aux six triangles du maillage (situe en z = 1m).

La figure 7.11(a) correspond au resultat de l’interpolation du maillage de la figure 7.10avec une orientation verticale de la normale au sommet commun. Sur la figure 7.11(b), cettenormale forme un angle de 45 degres avec le plan xOy et un angle de 45 avec la bissectriced’un des triangles projete dans ce plan.

Nous observons bien une continuite C1 de la surface interpolant les six triangles.


z=0 z=0

z=0

z=0z=0

z=0z=1

Fig. 7.10 – Configuration d’etude de l’interpolation d’un maillage constitue de six triangles.

(a) La normale centrale estorientee verticalement.

(b) La normale centrale estinclinee par rapport a l’axe

z.

Fig. 7.11 – Resultats obtenus pour deux orientations differentes de la normale situee ausommet commun du maillage.

Nous terminons cette serie d’illustrations par l’exemple de la sphere. La sphere a un rayonde 1 metre et a ete maillee en 2000 elements triangulaires. Les figures 7.12(a) et 7.12(b)representent l’image prise a la verticale du plan de projection, respectivement, de la spheremaillee (avec une interpolation de Gouraud pour le rendu) et du resultat de l’interpolationde ce meme maillage par les splines de Powell-Sabin. Un zoom sur le coin superieur gauchede ces deux spheres respectives est donne sur les figures 7.13(a) et 7.13(b). Pour terminer, lafigure 7.14 represente le meme maillage de la sphere interpole par les splines de Powell-Sabin,mais vu depuis le plan de projection.

La comparaison des figures 7.12(a) et 7.13(a) avec les figures 7.12(b) et 7.13(b) permet demettre en evidence la continuite C1 de la reconstruction.

Nous observons sur la figure 7.14 que des trous apparaissent au niveau des splines inter-polant les triangles dont le plan de projection a ete modifie. Le chapitre 8 est consacre a ceprobleme.


(a) Sphere maillee. (b) Resultat de l’inter-polation du maillage dela sphere par les splines

de Powell-Sabin.

Fig. 7.12 – Vue prise a la verticale du plan de projection de la sphere maillee et de la memesphere interpolee par les splines de Powell-Sabin.

(a) Sphere maillee. (b) Resultat de l’interpo-lation du maillage de lasphere par les splines de

Powell-Sabin.

Fig. 7.13 – Zoom sur le coin superieur gauche de la sphere maillee et du maillage de la sphereinterpole par les splines de Powell-Sabin.

Fig. 7.14 – Vue prise depuis le plan de projection du maillage de la sphere interpole par lessplines de Powell-Sabin.


7.2.2.2 Calcul de la pression reflechie sur une surface courbe.

Nous presentons dans ce paragraphe un exemple de calcul sur une portion de cylindre.La configuration de calcul est presentee sur la figure 7.15(a). La surface est maillee enquatre facettes rectangulaires, elles-memes maillees en deux triangles selon le schema de lafigure 7.15(b). Les normales aux sommets des triangles correspondent aux normales du cy-lindre analytique. Nous effectuons les calculs a 500 Hz et 1 kHz sur les triangles lisses (resp.figures 7.16(a) et 7.17(a)) puis sur les splines de Powell-Sabin interpolant le meme maillage(resp. figures 7.16(b) et 7.17(b)). Ces deux resultats sont compares avec les resultats obtenusa ces deux frequences sur le cylindre analytique(resp. figures 7.16(c) et 7.17(c)).

z = 1,5 m

z = 3,5 m

RECEPTEURS

R=2m

30 30

z

x = − 2 m x = 2 mx

(a) Configuration de calcul. (b) Maillage de la surface.

Fig. 7.15 – Configuration de calcul de la pression reflechie sur une portion de cylindre.

(a) Resultats obtenus en utilisant lemaillage lisse.

(b) Resultats obtenus en utilisant lessplines interpolant le maillage lisse.

(c) Resultats obtenus sur le cylindreanalytique.

(d)Echelle(dB).

Fig. 7.16 – Resultats obtenus a 500 Hz dans le cadre de la configuration de la figure 7.15(a).


(a) Resultats obtenus en utilisant lemaillage lisse.

(b) Resultats obtenus en utilisant lessplines interpolant le maillage lisse.

(c) Resultats obtenus sur le cylindreanalytique.

(d)Echelle(dB).

Fig. 7.17 – Resultats obtenus a 1 kHz dans le cadre de la configuration de la figure 7.15(a).

Les figures 7.17(a) et 7.16(a) nous permettent de nouveau de mettre en evidence la non-derivabilite de la pression obtenue lorsque les triangles lisses sont utilises. De plus, nouspouvons observer, par une comparaison avec la figure 7.17(c), une surestimation globale dela pression. Nous pouvons par contre observer sur la figure 7.17(b) que le recours aux splinesde Powell-Sabin assure un bien meilleur accord avec les resultats obtenus sur le cylindreanalytique. De plus, nous pouvons mettre en evidence sur cette figure la derivabilite de lapression obtenue.

(a) Resultats obtenus a 500 Hz. (b) Resultats obtenus a 1 kHz.

Fig. 7.18 – Resultats obtenus a 500 Hz et 1 kHz dans le cadre de la configuration de lafigure 7.15(a) avec un maillage en seize facettes triangulaires.

Afin de completer ces illustrations, nous presentons sur les figures 7.18(a) et 7.18(b) lesresultats obtenus avec un maillage lisse deux fois plus fin, soient seize facettes triangulaires,


sans recourir aux splines de Powell-Sabin. Nous constatons une amelioration des resultatsquant au niveau de la pression obtenue, bien que la pression ne soit toujours pas derivable.Nous pouvons ainsi affirmer que l’utilisation des splines de Powell-Sabin, en plus d’assurerla continuite et la derivabilite de la pression, rend la qualite des resultats beaucoup moinsdependante vis a vis du raffinement du maillage.

Chapitre 8

Changement de plan de projectionet jonction des splines.

Sommaire

8.1 Probleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.2 Construction d’une surface G1 raccordant deux surfaces de degre

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.2.1 Expressions des splines S11 et S21 dans le repere (O,x,y,z). . . . . . . 1468.2.2 Recherche d’une surface G1 permettant de joindre S11 a S21. . . . . 1488.2.3 Conditions de continuite C0 entre la surface S11 et la jonction J1. . 1498.2.4 Conditions de continuite geometrique des normales entre la surface

S11 et la jonction J1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.2.5 Bilan du rang de la matrice permettant de calculer les coefficients de

J1 et J2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3 Resolution du probleme de la continuite G1 entre les deux jonc-

tions J1 et J2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.3.1 Continuite C0 entre les deux jonctions J1 et J2. . . . . . . . . . . . . 1548.3.2 Continuite G1 entre les deux jonctions J1 et J2. . . . . . . . . . . . . 155

8.4 Resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.1 Probleme.

Nous avons souleve precedemment le probleme d’un maillage ne pouvant etre mis en bi-jection avec un plan de projection, ce qui est notamment le cas pour n’importe quelle surfacefermee. Ce plan est le plan au dessus duquel sont tracees les splines interpolant le maillagetrianglaire. Il apparaıt que ce probleme affecte finalement un nombre limite de triangles for-mant le maillage concerne. Toutefois, comme il risque, de maniere generale, d’apparaıtre desproblemes numeriques pour les triangles fortement inclines par rapport au plan de projectioncommun, notre idee consiste a modifier ce plan pour des sous-ensembles de triangles selondes criteres d’inclinaison des triangles par rapport au plan initial. Toutefois, nous avons puobserver sur la figure 7.12(a) que cela faisait apparaıtre des espaces vides entre les splinesinterpolant les sommets de ces triangles. La figure 8.1(a) nous indique l’origine de ces trous.

144 Chapitre 8 : Changement de plan de projection et jonction des splines.

S1

y1

1

x

z z2

y2

S2

θ

(a) Trace des splines au dessus du plan du tri-angle.

(b) Deux splines interpolant deux triangles audessus de leurs plans.

Fig. 8.1 – Apparition d’un espace vide entre les splines tracees au dessus de triangles dont leplan de projection est different.

Lorsque nous tracons la spline S1 interpolant le triangle T1 au-dessus du plan de celui-ci,nous ecrivons celle-ci sous la forme z1 = f(x, y1). De la meme maniere, la spline S2 interpolantle triangle T2 s’ecrit sous la forme z2 = f(x, y2). D’ou une ouverture d’angle θ entre ces deuxsplines. De plus, d’apres le schema de subdivision de Powell-Sabin, les deux splines sont elles-memes subdivisees en six splines C1 entre elles. Ainsi, nous nous retrouvons avec un espacevide a combler entre deux paires de splines, comme l’illustre la figure 8.2. Sur cette figure,S11 doit etre reliee a S21 et S12 a S22.

S11

S12

S22

S21

Fig. 8.2 – Subdivision de Powell-Sabin des deux splines.

Notre objectif est de construire une surface joignant les deux splines S1 et S2 et qui,de plus, soit G1 avec celles-ci. Nous disons que deux surfaces sont G1 entre elles lorsque lesnormales aux points de ces deux surfaces ont la meme direction le long de la courbe quiles raccorde sans que leurs normes soient forcement egales : nous parlons alors de continuitegeometrique. Rappelons que nous posons comme contrainte que le calcul de l’intersection entrecette surface et un rayon puisse etre realise analytiquement. Dans le cas ou la surface est unpolynome, son degre doit donc etre inferieur ou egal a quatre. De plus, elle doit etre ecritesous forme cartesienne et non parametrique, comme nous avons pu le voir precedemmentlorsque nous avons etudie l’interpolation des sommets d’un triangle par un triangle de Bezier.La construction de la surface joignant S1 et S2 est realisee dans la suite en deux etapes (cffigure 8.3) :

8.1 Probleme. 145

– construction de deux surfaces J1 et J2 joignantde maniere G1 respectivement les splinesS11 et S21 puis S12 et S22.

– imposer la continuite G1 entre J1 et J2.

X

x

Y

S

J2

J

x

P

S12

S11

1

M

22

S21

O

Fig. 8.3 – Subdivision de la jonction entre les deux splines S1 et S2 en deux sous-jonctionsJ1 et J2.

Le point xM designe le point de subdivision commun a S1 et S2, situe par conventionau milieu du cote commun aux deux triangles. Le point xP est l’extremite opposee au point(0, 0, 0) du cote adjacent aux deux triangles.

Dans toute la suite, nous nous appuyons sur le repere (O,x,y,z) defini sur la figure 8.4.De cette maniere, nous imposons que les deux splines S1 et S2 et en particulier S11 et S21 serejoignent en (0, 0, 0). Les deux vecteurs ~y et ~z sont definis par les deux equations 8.1 et 8.2,dans lesquelles (O, x, y1, z1) et (O, x, y2, z2) designent les reperes associes respectivement a S1

et S2 :

~z =~z1 + ~z2

||~z1 + ~z2||(8.1)

~y = ~z × ~x =~y1 + ~y2

||~y1 + ~y2||(8.2)

Les coordonnees y1, z1, y2 et z2 s’expriment alors dans un repere (O,x,y,z) selon les rela-tions 8.3 a 8.10 :

~y1 = cos θ1 ~y + sin θ1 ~z (8.3)~z1 = − sin θ1 ~y + cos θ1 ~z (8.4)

Et :

~y2 = cos θ2 ~y + sin θ2 ~z (8.5)~z2 = − sin θ2 ~y + cos θ2 ~z (8.6)

Ce qui implique, reciproquement :

~y = cos θ1 ~y1 − sin θ1 ~z1 (8.7)~z = sin θ1 ~y1 + cos θ1 ~z1 (8.8)


Et :

~y = cos θ2 ~y2 − sin θ2 ~z2 (8.9)~z = sin θ2 ~y2 + cos θ2 ~z2 (8.10)

T1

T2

1

C11

C21

C12

C22

1

y

y2

z z21z

x

y

xM

O

xP

θ

θ 2

Fig. 8.4 – Definition d’un repere commun aux deux triangles adjacents permettant d’elaborerune jonction des deux splines.

Dans la suite, lorsqu’un point ou un vecteur sera exprime dans un repere (O, x′, y′, z′),

ceci sera precise en placant a leur droite le terme

~x′

~y′

~z′

.

8.2 Construction d’une surface G1 raccordant deux surfacesde degre 2.

L’objectif de cette section est d’elaborer une methode permettant de definir une surfaceJ1 joignant la quadrique S11 a la quadrique S21, puis de maniere similaire une surface J2

joignant les deux quadriques S12 et S22. Rappelons que l’on pose comme contrainte qu’il soitpossible de calculer analytiquement une intersection entre les jonctions et un rayon.

8.2.1 Expressions des splines S11 et S21 dans le repere (O,x,y,z).

Appelons P1 un point de la surface S11. P1 s’exprime dans le repere (x, y1, z1) selonl’equation 8.11 :

P1 =

xy1

b1 x+ c1 y1 + d1 x y1 + e1 x2 + f1 y

21

~x~y1

~z1

(8.11)

Notons que a1 (et de meme a2 pour la spline S21) est nul puisque la spline S11 passe parle point (0,0,0) du repere (x, y1, z1).

8.2 Construction d’une surface G1 raccordant deux surfaces de degre 2. 147

La surface que l’on recherche doit passer par la courbe frontiere de S11 en y1 = 0. Nousappellons cette courbe C11. C11 s’exprime dans le repere (x, y1, z1) selon l’equation 8.12 :

P1(y1 = 0) =

x0

b1 x+ e1 x2

~x~y1

~z1

(8.12)

Elle s’ecrit dans le repere (x, y, z) selon l’equation 8.13 :

P1(y1 = 0) =

x− sin θ1

(b1 x+ e1 x

2)

cos θ1(b1 x+ e1 x

2) ~x

~y~z

(8.13)

On pose :

b′1 = − sin θ1 b1 (8.14)e′1 = − sin θ1 e1 (8.15)b′′1 = cos θ1 b1 (8.16)e′′1 = cos θ1 e1 (8.17)

Nous pouvons alors definir tout point P1 appartenant a C11, en s’appuyant sur les conven-tions definies par les equations 8.14 a 8.17, par l’equation 8.18 :

P1(y1 = 0) =

xb′1 x+ e′1 x

2

b′′1 x+ e′′1 x2

~x~y~z

(8.18)

En utilisant les memes notations pour S21, tout point P2 appartenant a C21 s’exprimeselon l’equation 8.19 :

P2(y2 = 0) =

xb′2 x+ e′2 x

2

b′′2 x+ e′′2 x2

~x~y~z

(8.19)

b′2, b′′2, e′2 et e′′2 sont definis par les relations 8.20 a 8.23 :

b′2 = − sin θ2 b2 (8.20)e′2 = − sin θ2 e2 (8.21)b′′2 = cos θ2 b2 (8.22)e′′2 = cos θ2 e2 (8.23)


8.2.2 Recherche d’une surface G1 permettant de joindre S11 a S21.

Nous allons maintenant chercher l’expression mathematique de la jonction J1 joignant lesdeux splines telle que les normales a ces trois surfaces soient continues geometriquement depart et d’autre des courbes frontieres C11 et C21.

– premiere approche : construction d’une surface bi-hermitienne. D’apres ceque l’on a etabli precedemment, les coordonnees (y,z) des courbes frontieres C11 et C21

peuvent etre exprimees en fonction de leur coordonnee x. En effet, en s’appuyant surles equations 8.18 et 8.19, si l’on nomme (x, yC1 , zC1) les coordonnees de la courbe C11

dans le repere (O,x,y,z) et (x, yC2 , zC2) les coordonnees de C21, nous pouvons les ecrireselon les equations 8.24 a 8.27 :

yC1(x) = a′1 + b′1x+ e′1x2 (8.24)

yC2(x) = a′2 + b′2x+ e′2x2 (8.25)

zC1(x) = a′′1 + b′′1x+ e′′1x2 (8.26)

zC2(x) = a′′2 + b′′2x+ e′′2x2 (8.27)

Nous pouvons ainsi definir le polynome de Hermite joignant S11 a S21 de maniere G1,pour tout x ∈ [0;xM ] :

z(yC2−yC1)3 = c0(yC2−yC1)3+c1(y−yC1)(yC2−yC1)2+c2(y−yC1)(yC2−yC1)+c3(y−yC1)(8.28)

Or, nous avons : c0(x) = zC1(x) = a′′1 + b′′1x+ e′′1x2. yC1 et yC2 etant des polynomes de

degre deux en x, nous nous retrouvons avec un polynome de degre maximal en x egal ahuit.Ainsi, tout calcul d’intersection entre un rayon et la jonction aboutit a la resolutiond’un polynome de degre huit. Nous ne pouvons donc pas calculer analytiquement l’in-tersection entre un rayon et la surface J1.

– deuxieme approche : construction d’une surface implicite de degre quatre.Nous venons de voir que l’on ne peut etablir de surface G1 joignant les deux splines S11

et S21 definie de maniere non-implicite et telle que l’on puisse calculer analytiquementune intersection entre celle-ci et un rayon. L’idee est alors de chercher une surface definiede maniere implicite par un polynome. Nous fixons le degre de cette surface a quatre.Ce choix est confirme par les travaux [23], [24], [25] qui s’appuient sur la theorie descyclides de Dupin [26], qui sont elles-memes des surfaces courbes implicites de degrequatre, afin de realiser des jonctions C1 entre surfaces implicites de degre deux de typeparticulier (par exemple entre cylindre et cone, entre plan et sphere,...). Les points desjonctions verifient donc dans le repere (O,x,y,z) de la figure 8.4, la relation (en nommantf le polynome de degre quatre recherche) : f(x, y, z) = 0.L’equation 8.29 definit cette fonction dans le repere (O, z, y, z) :

f(x, y, z) =∑

0≤i+j+k≤4

c(i, j, k)xi yj zk (8.29)


Bilan. Dans l’equation 8.29 nous avons defini la surface joignant les deux splines dePowell-Sabin S11 et S21 par un polynome a trente cinq coefficients. Il nous faut donc lesdeterminer. Toutefois, nous pouvons faire deux remarques sur ces coefficients :

– puisque l’equation est implicite, ils sont definis a un coefficient multiplicateur pres. Ainsi,nous avons choisi de fixer a un le coefficient c(0, 0, 4) associe au terme z4. Ceci peutapparaıtre contraignant a priori. Toutefois, nous verrons dans la suite que l’apparitionde degres de liberte parmi les coefficients permet de poser cette contrainte sans que celanuise a la generalite de notre approche.

– rappelons que nous nous interessons dans un premier temps a la surface J1 joignantS11 a S21. Or, ces deux surfaces se rejoignent en (0, 0, 0). Par consequent, la surfaceJ1 passe aussi par ce point, donc son equation doit verifier f(0, 0, 0) = 0. Ainsi, lecoefficient associe au terme constant c(0, 0, 0) est nul.

Ces deux remarques nous permettent de fixer au prealable deux des trente cinq coefficientsinconnus definissant f(x,y,z). Il nous reste donc trente trois coefficients a calculer. Nous lesdeterminons grace aux conditions aux limites imposees par la continuite G1 entre J1 et lessurfaces S11, S21. Nous allons donc dans un premier temps caracteriser les equations imposantla continuite C0 entre les splines et la jonction, avant de terminer par les equations liees a lacontinuite geometrique des normales.

8.2.3 Conditions de continuite C0 entre la surface S11 et la jonction J1.

Si l’on souhaite imposer la continuite C0 entre la jonction J1 et la surface S11, nous devonsimposer f(x, y, z) = 0 le long de la courbe C11. Nous substituons donc dans l’expression def les coordonnees (x, y, z) par leurs valeurs sur la courbe C11 et nous obtenons un polynomede degre huit en x puisque, rappelons-le, les coordonnees y et z des points de cette courbes’expriment en fonction de x selon les polynomes de degre deux decrits par les equations 8.24a 8.27.

L’equation f(x, y, z) = 0 definissant implicitement la surface J1 peut donc s’ecrire sous laforme F (x) = 0 le long de C11, F etant un polynome de degre huit. Son degre etant huit,il est donc defini par neuf coefficients s’exprimant en fonction des inconnues c(i, j, k) et descoefficients a1, b1, c1, d1, e1, f1 definissant la spline S11 et permettant de relier y et z a x lelong de C11. Puisque F (x) = 0 pour toutes les valeurs de x, ces neuf coefficients sont nuls.Nous en deduisons donc neuf equations lineaires reliant les inconnues c(i, j, k) aux coefficientsa1, b1, c1, d1, e1, f1.

Comme nous l’avons mentionne precedemment, les polynomes f et F n’ont pas de termeconstant car la surface implicite qu’ils decrivent passe par l’origine du repere. Ainsi, parmi lesneuf equations mentionnees ci-dessus, l’equation liee au terme constant s’ecrit sous la formec(0, 0, 0) = 0. Nous n’avons donc en fait que huit equations lineairement independantes. Cesequations ne sont pas donnees pour des raisons de place.

De la meme maniere, pour C21 nous obtenons huit equations lineaires independantessupplementaires en remplacant les indices 1 par des indices 2. Ainsi, les equations liees a lacontinuite C0 entre la jonction et les deux surfaces S11 et S21 nous permettent d’etablir autotal seize equations lineaires faisant intervenir les trente trois coefficients recherches.


8.2.4 Conditions de continuite geometrique des normales entre la surfaceS11 et la jonction J1.

8.2.4.1 Expression de la normale a la surface S11 le long de C11.

Le vecteur normal a S11 s’exprime dans le repere (x, y1, z1) selon les relations 8.30 a 8.32 :

−→N1 =

−−→∂P1

∂x×−−→∂P1

∂y1(8.30)

=

10

b1 + d1 y1 + 2 e1 x

× 0

1c1 + d1 x+ 2 f1 y1

~x~y1

~z1

(8.31)

=

−(b1 + d1 y1 + 2 e1 x)−(c1 + d1 x+ 2 f1 y1)

1

~x~y1

~z1

(8.32)

Puisque l’on se situe sur la courbe frontiere C11, nous avons y1 = 0. Nous parvenons alorsa l’expression 8.33 :

−→N1(y1 = 0) =

−(b1 + 2 e1 x)−(c1 + d1 x)

1

~x~y1

~z1

(8.33)

Nous parvenons finalement, dans le repere (x, y, z), a l’expression 8.34, definissant la nor-male a S11 le long de C11 :

−→N1(y1 = 0) =

−(b1 + 2 e1 x)− cos θ1 (c1 + d1 x)− sin θ1

− sin θ1 (c1 + d1 x) + cos θ1

~x~y~z

(8.34)

8.2.4.2 Expression de la normale a la jonction J1 le long de C11.

Soit la fonction f(x, y, z) definissant la surface J1. Cette surface etant definie de maniereimplicite, sa normale s’exprime alors de la maniere suivante :

−→N1 =

−−→∂P1

∂x×−−→∂P1

∂y1(8.35)

=

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

~x~y~z

(8.36)

Les trois composantes de cette normale sont des polynomes de degre trois en (x, y, z).Comme nous cherchons a l’evaluer le long de la courbe C11 c’est a dire en y1 = 0, nouspouvons reutiliser l’equation 8.18 exprimant les coordonnees y et z selon des polynomes dedegre deux en x le long de C11. Nous avons ainsi trois composantes de la normale a la surfaces’ecrivant comme des polynomes de degre six en x.


8.2.4.3 Colinearite des normales.

Maintenant, nous souhaitons ecrire les equations traduisant la continuite geometrique desnormales de part et d’autre des courbes frontieres C11 et C21. Or, pour imposer la continuitegeometrique des normales entre S11 et J1, il suffit d’imposer la colinearite des normales a cesdeux surfaces le long de C11.

Si l’on resume les deux paragraphes precedents, les normales a la spline S11 et a la jonctionJ1 s’expriment, respectivement, selon les deux equations 8.37 et 8.38 :

−→N1spline(y1 = 0) =

−(b1 + 2 e1 x)− cos θ1 (c1 + d1 x)− sin θ1

− sin θ1 (c1 + d1 x) + cos θ1

~x~y~z

(8.37)

−→N1jonction(y1 = 0) =

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

~x~y~z

(8.38)

Nous imposons la colinearite entre ces deux normales en posant la relation :−→N1spline ×−→

N1jonction = ~0. Nous obtenons par consequent les trois equations 8.39 a 8.41 :

(− cos θ1 (c1 + d1 x)− sin θ1)∂f

∂z− (sin θ1 (c1 + d1 x)− cos θ1)

∂f

∂y= 0 (8.39)

(b1 + 2 e1 x)∂f

∂z− (sin θ1 (c1 + d1 x)− cos θ1)

∂f

∂x= 0 (8.40)

− (b1 + 2 e1 x)∂f

∂y− (cos θ1 (c1 + d1 x) + sin θ1)

∂f

∂x= 0 (8.41)

En developpant ces trois equations selon x, nous parvenons alors a trois equations poly-nomiales de degre sept en x, nulles quelle que soit la valeur de x. Leurs coefficients sont donctous identiquement nuls. Nous montrons qu’une seule de ces trois equations suffit a resoudrele probleme de la continuite des normales.

– d’une part, nous pouvons noter sur l’equation 8.41 que le terme ∂f∂y peut etre exprime

en fonction de ∂f∂x . Nous avons de ce fait la relation exprimee sur l’equation 8.42 :

∂f

∂x= − (b1 + 2 e1 x)

(cos θ1 (c1 + d1 x) + sin θ1)∂f

∂y(8.42)

En injectant cette relation dans l’equation 8.39, nous pouvons montrer que les equa-tions 8.39 et 8.40 sont identiques au signe pres.

– d’autre part, la continuite de la composante selon l’axe x des normales a S11 et J1 lelong de C11 exprimee dans l’equation 8.39 est deja impliquee par la continuite C0 entreces deux surfaces, dont les equations ont ete etablies precedemment.

Ainsi, une seule de ces trois equations est suffisante pour resoudre completement le pro-bleme. Nous choisissons l’equation 8.41 afin de rester fidele au raisonnement suivi ci-dessus.

Son degre etant sept, nous obtenons au final huit equations lineaires liant les coefficientsc(i, j, k) aux coefficients a1, b1, c1, d1, e1. A ces huit equations viennent s’ajouter les equationshomologues permettant d’imposer la continuite geometrique des normales le long de C21. Nousavons donc etabli seize equations lineaires imposant la continuite geometrique des normalesentre la jonction J1 et les deux splines quadratiques S11 et S21.


8.2.5 Bilan du rang de la matrice permettant de calculer les coefficients deJ1 et J2.

Nous venons d’etablir trente deux equations (seize equations liees a la continuite C0 etseize liees a la continuite geometrique des normales) permettant de definir le polynome associea la jonction J1 reliant S11 a S21 avec une continuite G1. L’equation implicite de la jonctionJ1 contenant initialement trente trois coefficients inconnus, il subsiste de ce fait au moins undegre de liberte et il existe donc une infinite de solution a ce syteme d’equations. Dans lasuite de ce paragraphe, nous allons calculer le rang exact de ce systeme lineaire a trente deuxequations.

Nous allons pour cela verifier s’il existe des relations lineaires entre les coefficients despolynomes definissant les splines S11 et S21. Pour ce faire, nous nous basons sur les proprietescommunes qu’elles doivent verifier. Celles-ci sont au nombre de deux : S11 et S21 doivent serejoindre au point (0, 0, 0) et leurs normales en ce point doivent etre colineaires. Les conse-quences du fait qu’elles se joignent en (0, 0, 0) ont ete vues precedemment. Mais qu’en est-ilde la colinearite de leurs normales en ce point ?

Rappelons que les normales aux splines S11 et S21 s’ecrivent respectivement, en (0, 0, 0)selon les equations 8.43 et 8.44 :


−b1− cos θ1 c1 − sin θ1

− sin θ1 c1 + cos θ1

~x~y~z

(8.43)


−b2− cos θ2 c2 − sin θ2

− sin θ2 c2 + cos θ2

~x~y~z

(8.44)

En imposant la colinearite entre ces deux vecteurs (−→N1spline(y1 = 0) ×

−→N2spline(y2 =

~0) = ~0), nous parvenons a trois equations lineaires. Toutefois, notons qu’il n’existe que deuxcoordonnees independantes pour ces deux vecteurs. Nous ne retenons donc que deux equations.Elles sont exprimees par les equations 8.45 et 8.48 :

2 sin θ cos θ (1 + c1 c2) + (cos2 θ − sin2 θ)(c1 − c2) = 0 (8.45)⇒ sin(2θ)(1 + c1 c2) + cos(2θ)(c1 − c2) = 0 (8.46)

⇒ c2 = sin(2θ) + c1 cos(2θ)cos(2θ)− c1 sin(2θ) (8.47)

Et :

sin θ (b1 c2 + b2 c1) + cos θ (b1 − b2) = 0 (8.48)

⇒ b2 = b1cos θ + c2 sin θcos θ − c1 sin θ (8.49)

⇒ b2 = b1cos(2θ)− c1 sin(2θ) (8.50)

Nous avons ainsi etabli des relations lineaires entre les coefficients b1 et b2 puis c1 et c2

imposees par la direction commune des normales au point de rencontre des deux splines S11

et S21. En injectant ces relations au sein du systeme de trente deux equations, nous avons

8.3 Resolution du probleme de la continuite G1 entre les deux jonctions J1 et J2. 153

pu constater qu’il existait plusieurs combinaisons lineaires au sein des trente deux equations.Plus precisement, elles sont au nombre de quatre :

– les termes de degre le plus eleve des equations traduisant la continuite C0 et la continuitedes normales sont identiques a un coefficient pres. En effet, pour S11, le terme de degrehuit en x de l’equation de continuite de surface avec J1 est explicite sur l’equation 8.51 :

e41 cos4 θ c(0, 0, 4) + e4

1 sin4 θ c(0, 4, 0)− e41 cos θ sin3 θ c(0, 3, 1)−

e41 cos3 θ sin θ c(0, 1, 3) + e4

1 cos2 θ sin2 θ c(0, 2, 2) = 0(8.51)

Tandis que le terme de degre sept en x traduisant la continuite de leurs normales le longde C11 est explicite sur l’equation 8.52 :

4 d1 e31 cos4 θ c(0, 0, 4) + e4

1 sin4 θ c(0, 4, 0)− 4 d1 e31 cos θ sin3 θ c(0, 3, 1)−

4 d1 e31 cos3 θ sin θ c(0, 1, 3) + 4 d1 e

31 cos2 θ sin2 θ c(0, 2, 2) = 0

(8.52)

– idem pour les equations liant la surface recherchee a la spline S21.– les termes de degre nul de l’equation 8.39 traduisant la continuite des normales entre

les deux splines S11, S21 et la jonction sont identiques a un coefficient pres.– le terme de degre un de l’equation traduisant la continuite C0 entre la surface S21 et J1

est une combinaison lineaire du terme de degre un de l’equation traduisant la continuiteC0 entre la surface S11 et J1 avec le terme de degre nul de l’equation traduisant lacontinuite geometrique de leurs normales le long de C11.

Nous avons ainsi etabli vingt huit equations lineaires independantes a trente trois incon-nues permettant de calculer la jonction J1 liant S11 a S21 avec une continuite C1. Le rang dusysteme est donc dans le cas general inferieur ou egal a vingt huit. Ce resultat est confirmepar un calcul formel du rang effectue sous le logiciel Mupad.

Nous nous interessons maintenant a la jonction J2 reliant S12 a S22. Cette fois, S12 etS22 ne se rejoignent plus au point (0, 0, 0), mais au point (xP , 0, 0) (cf figure 8.3 et 8.4).Ceci a pour consequence que le nombre de coefficients du polynome decrivant la jonctionJ2 ainsi que le nombre d’equations permettant de le determiner passent tous deux a trentequatre. Nous avons effectue sous Mupad un calcul formel du rang des trente quatre equationsainsi obtenues. Pour cela, nous avons defini deux polynomes quelconques definissant S12 etS22 mais respectant toutefois la condition de passer par (xP , 0, 0) et que leurs normales soientcolineaires en ce point. Comme pour la jonction J1, quatre combinaisons lineaires apparaissentau sein de ce systeme. Le rang de la matrice definissant le polynome associe a la jonction J2

est donc trente.Finalement, si l’on regroupe les equations lineaires determinant les jonctions J1 et J2, nous

obtenons un systeme lineaire de 28 + 30 = 58 equations lineaires a 33 + 34 = 67 inconnues.

8.3 Resolution du probleme de la continuite G1 entre les deuxjonctions J1 et J2.

Nous venons d’elaborer une methode permettant de combler les espaces vides entre lessplines interpolantes dont les plans de projection different du plan choisi initialement. Noussommes parvenus a imposer la continuite G1 entre ces raccords et les splines qu’ils relient.Toutefois, pour deux surfaces interpolant les sommets de deux triangles adjacents, nous avonsvu qu’il etait necessaire de definir deux jonctions, comme le rappelle la figure 8.5. Ces deux


X

x

Y

S

J2

J

x

P

S12

S11

1

M

22

S21

O

Fig. 8.5 – Deux jonctions assurant la continuite C1 entre deux splines triangulaires.

jonctions etant calculees independamment l’une de l’autre, il nous reste a imposer la continuiteG1 entre cette paire de jonctions. A partir des resultats etablis precedemment, nous avonsobtenu, pour les deux jonctions J1 et J2, un total de soixante sept coefficients polynomiauxinconnus pour un total de cinquante huit equations lineaires, soient neuf degres de liberte auminimum quant aux choix de ces coefficients. Nous allons alors verifier s’il est possible d’insererdes equations lineaires supplementaires au sein de ce systeme d’equations en vue d’imposer lacontinuite des deux surfaces et de leurs normales. Nous realisons cela en deux etapes ; commeprecedemment nous imposons d’abord la continuite d’ordre C0 entre les jonctions et ensuitela continuite geometrique de leurs normales le long de leur frontiere commune.

8.3.1 Continuite C0 entre les deux jonctions J1 et J2.

Afin d’etablir la continuite C0 entre J1 et J2, nous imposons sur la frontiere les separant,c’est a dire en x = xM (cf figure 8.5), l’egalite entre les deux polynomes generant les deuxjonctions ; rappelons que l’egalite (et non la proportionnalite) est rendue necessaire dans lamesure ou nous avons normalise ces deux polynomes en imposant le coefficient du terme z4

egal a un. Les details des calculs sont donnes dans l’annexe B.1. Retenons seulement que nousobtenons quatorze equations lineaires.

Or, nous avons vu precedemment qu’il nous restait neuf degres de liberte pour definir lessoixante sept coefficients des jonctions J1 et J2. Nous nous retrouvons donc places dans lecas d’un probleme potentiellement surcontraint. Il est donc necessaire que parmi ces quatorzeequations, au moins cinq soient redondantes avec les cinquante huit equations initiales si l’onsouhaite imposer la continuite C0 entre J1 et J2.

Nous allons donc calculer le rang de ce systeme de soixante douze equations lineaires gracea la technique du pivot de Gauss, sachant que les cinquante huit premieres sont lineairementindependantes. Les soixante douze equations sont inserees une par une et a chaque equationinseree un pivot de Gauss est effectue sur celle-ci. Si les soixante sept coefficients de l’equationresultante sont nuls, celle-ci est eliminee.

Pour verifier, dans le cas general, si les redondances souhaitees apparaissent, nous avonsapplique l’algorithme precite a un ensemble quelconque de quatre polynomes P11, P12, P21 etP22, definissant respectivement les quatre splines S11, S12, S21 et S22. Nous faisons ensuite,apres application de l’algorithme, le bilan du rang du systeme definissant les jonctions entre cesquatre splines. Afin d’avoir une valeur exacte du rang, nous avons implemente l’algorithme surun logiciel de calcul formel. Les termes matriciels etant exprimes en fonction des coefficients

8.4 Resultats. 155

a, b, c , d , e, f des polynomes, de la valeur xM ainsi que des valeurs cos(θ) et sin(θ), nousavons ecrits ceux-ci sous forme fractionnaire dans la mesure ou l’ecriture des termes sousforme rationnelle entraıne un depassement des capacites du logiciel lors du calcul du pivot deGauss. Nous fixons ainsi sin(θ) = 2/5 et cos(θ) = 3/5. Ensuite, nous imposons a xM la valeur1/2. Quant aux polynomes, une partie des coefficients se deduit en fonction des conditionsaux limites, les coefficients restants etant fixes de maniere aleatoire. Ceci est detaille ci-apres :

– nous imposons a P11 de passer par (0, 0, 0) ; ceci impose que son terme constant a11 soitnul. Les cinq coefficients restants sont quant a eux definis de maniere aleatoire. Nousfixons ainsi : b11 = 1/3, c11 = −3/4, d11 = −13/5000, e11 = −3/10 et f11 = −1.

– nous imposons ensuite a P21 de passer par (0, 0, 0) et d’avoir en ce point une normalecolineaire avec celle de S11. Ceci nous permet d’imposer les coefficients a21, b21 et c21,dont a21 = 0. Les trois coefficients restants sont de nouveaux fixes de maniere aleatoire.Au final, nous avons : b21 = 1/3, c21 = 3/4, d21 = −1/400, e21 = −3/10 et f21 = −1.

– quant aux deux polynomes P12 et P22 joints par la spline J2, ils doivent avoir pourpropriete de passer par le point (0, 0, xP ), d’avoir la meme normale en ce point et d’etreC1 avec, respectivement P11 et P21 de part et d’autre de x = xM = 1/2xP . L’ensemblede ces conditions permet d’imposer tous les coefficients de ces polynomes. Nous obtenonsalors :a12 = −1/30, b12 = 7/15, c12 = −3/4, d12 = −13/5000, e12 = −13/30 et f12 = −1.a22 = −1/30, b22 = 7/15, c22 = 3/4, d22 = −1/400, e22 = −13/30 et f22 = −1.

Nous avons ainsi defini soixante douze equations dont les termes sont tous ecrits sousforme fractionnaire. Un calcul formel exact du rang par notre algorithme peut etre effectue.Le resultat obtenu sous Mupad sur cet exemple, nous donne alors un rang egal a soixantetrois. Ainsi, non seulement avons-nous pu inserer les quatorze equations, mais, de surcroıt, ilreste quatre degres de liberte permettant ainsi d’inserer d’autres equations.

8.3.2 Continuite G1 entre les deux jonctions J1 et J2.

Le detail des calculs permettant d’assurer la continuite geometrique des normales entreles deux jonctions J1 et J2 est donne dans l’annexe B.2. Retenons que nous obtenons dixequations lineaires

En ajoutant ces dix equations a la suite des soixante trois equations de l’exemple cite ci-dessus, et en appliquant, toujours sous le logiciel Mupad, le meme algorithme base sur le pivotde Gauss, nous avons finalement obtenu un rang de soixante six pour soixante sept inconnues.Il est donc theoriquement possible d’imposer la continuite G1 entre les deux jonctions J1 etJ2.

8.4 Resultats.

Nous allons presentons ici un certain nombre de resultats obtenus sur diverses paires detriangles adjacents. Evidemment, dans chaque cas, chacun des triangles est interpole grace aune spline trace au dessus du plan du triangle. La configuration generale est presentee sur lafigure 8.6.

Le premier exemple correspond au cas dans lequel les normales et les deux triangles ontles orientations suivantes :

– Les deux triangles sont orientes de 45 degres par rapport au plan (xOy). Soit, d’apresles notations des figures precedentes : θ = 45.


’N3

x = 0,5

x

3

N1

Z

y

N2

O

1 m

x = 0,5

N

Fig. 8.6 – Configuration generale d’etude des jonctions entre splines.

–−→N1 a une orientation de 45 par rapport a l’axe x et 90 par rapport a l’axe y.



Les deux triangles interpoles correspondant sont affiches sur la figure 8.7. Les figures 8.8(a)et 8.8(b) illustrent les resultats obtenus respectivement avant et apres calcul de la jonctionentre les deux splines interpolantes.

Le deuxieme exemple correspond au cas dans lequel les normales et les deux triangles ontles orientations suivantes :






Le troisieme exemple correspond au cas dans lequel les normales et les deux triangles ontles orientations suivantes :






Pour terminer, nous presentons, sur les deux dernieres illustrations, deux jonctions entredeux paires de splines interpolant des triangles issus d’un maillage d’une sphere. La sphere estcelle de la figure 7.12(a). Comme nous l’avons explique plus haut, les normales aux sommetsplaces en z = 0 ont une composante selon l’axe z nulle. Nous sommes donc contraints d’ef-fectuer un changement du plan de projection au-dessus duquel nous allons tracer les splinesassociees a ces triangles. Ceci fait apparaıtre des trous au niveau des triangles concernes par

8.4 Resultats. 157

ce changement : entre eux et aussi avec les triangles adjacents dont le plan de projection estle plan choisi initialement, soit, dans le cas de la figure 8.6, le plan horizontal (xOy).

Fig. 8.7 – Premier exemple d’une paire de splines.

(a) Extremites des deuxsplines interpolantes.

(b) Jonction entre les deuxsplines interpolantes.

Fig. 8.8 – Jonction entre les deux splines de la figure 8.7.

Fig. 8.9 – Deuxieme exemple d’une paire de splines.


(a) Extremites des deuxsplines interpolantes.



Fig. 8.11 – Troisieme exemple d’une paire de splines.

(a) Extremites des deux splinesinterpolantes.



Les resultats obtenus sur les deux jonctions mises en evidence sur la figure 8.13 sontpresentes ci-apres. La figure 8.14(a) represente les deux splines interpolant les deux trianglesayant deux sommets situes en z = 0. La figure 8.14(b) represente la jonction entre ces deuxsplines. Les figures 8.15(a) et 8.15(b) sont associees a l’autre paire de triangles mis en evidencesur la figure 8.13. Un des deux triangles possede deux sommets situes en z = 0 tandis que la

8.4 Resultats. 159

Fig. 8.13 – Sphere maillee dont les triangles sont interpoles par des splines triangulaires.

spline de son voisin est tracee au-dessus du plan horizontal (xOy). La figure 8.15(a) representeles deux splines interpolant les deux triangles. La figure 8.15(b) represente la jonction entreces deux splines. Nous pouvons mettre en evidence sur chacun de ces exemples la continuiteC1 des jonctions entre les splines.

(a) Splines interpolant les deux tri-angles.

(b) Jonction entre les splines.

Fig. 8.14 – Construction d’une jonction entre deux splines interpolant deux triangles de lasphere representee sur la figure 8.13 et possedant deux sommets situes en z = 0.

(a) Splines interpolant les deuxtriangles.

(b) Jonction entre les splines.

Fig. 8.15 – Construction d’une jonction entre les deux splines interpolant l’autre paire detriangle mis en evidence sur la figure 8.13.

Conclusion.

Dans cette partie, nous avons tout d’abord elabore une methode permettant de construireune surface interpolant les sommets d’un maillage triangulaire et les normales en ces sommets.Notre principal objectif etait de pouvoir tracer une surface courbe C1 sur laquelle, de plus,nous pouvions effectuer analytiquement des calculs d’intersection avec des rayons. Les splinesde Powell-Sabin se sont averees etre un outil parfaitement adapte pour cela. D’une part parcequ’elles assurent le degre de continuite recherche, et egalement parce que nous pouvons lesecrire dans un repere cartesien, sous forme de polynomes de degre deux. Ces deux dernierescaracteristiques sont particulierement importantes dans la mesure ou l’on souhaite calculeranalytiquement les eventuelles intersections entre les splines et des rayons.

Neanmoins, l’inconvenient de se referencer a un repere cartesien commun pour l’ensembledu maillage est que cela implique de pouvoir placer ledit maillage en bijection avec ce repere,ce qui n’est pas toujours possible. Ce probleme apparaıt en effet tres souvent, notammentdans le cas des surfaces fermees. Les reponses que l’on a extraites de la bibliographie etaientmalheureusement inadaptees au lancer de rayons car elles s’appuient sur les points de Bezierassocies aux splines et donc sur une approche parametrique pour le trace des surfaces inter-polantes. Nous avons donc choisi d’elaborer notre propre methode pour combler les lacunesapparaissant lorsque l’on ne peut placer le maillage en bijection avec un plan.

Notre approche se deroule en deux etapes :– changement de plan de projection. Tout d’abord, les splines interpolant les triangles

”critiques” (triangles ne pouvant etre interpoles par une fonction bijective ou bien, demaniere plus generale, triangles faisant apparaıtre des problemes numeriques lies a leurinclinaison trop importante par rapport au plan de projection initial) sont tracees dansun plan different du plan horizontal intialement choisi. Or, cette approche fait apparaıtredes trous entre les splines interpolant des triangles dont le plan de projection est differentde celui associe a la spline du triangle voisin.

– construction d’une surface joignant les splines tracees au-dessus de plansdifferents. La deuxieme etape de notre approche consiste alors a raccorder les pairesde splines concernees par une surface de degre quatre definie implicitement. Ce degrenous permet d’assurer la continuite geometrique des normales entre les splines et lesraccords. De plus, ces jonctions repondent bien a l’exigence que l’on puisse calculer une


intersection entre elles et un rayon. En effet, elles s’expriment dans un repere cartesienet sous forme de polynomes de degre quatre en (x,y,z).

Bibliographie

[1] G. M. Chaikin, An algorithm for high-speed curves generation. Computer Graphics andImage Processing (1974). Vol. 3. pp 346-349.

[2] N. Dyn, D. Levin, J. A. Gregory, A 4-point interpolatory subdivision scheme for curvedesign. Computer Aided Geometric Design (1987). Vol. 4. pp 247-268.

[3] N. Dyn, D. Levin, C.A. Micchelli, Using parameters to increase smoothness of curves andsurfaces generated by subdivision. Computer Aided Geometric Design (1990). Vol. 7. pp129-140.

[4] N. Dyn, D. Levin, Analysis of asymptotically equivalent binary subdivision schemes.Journal of mathematical analysis and applications (1995). pp 594-621.

[5] E. Catmull, J. Clark, Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topologicalmeshes. Computer Aided Design (1978). pp 350-355.

[6] D. Doo, J. Sabin, Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points.Computer Aided Design (1978). pp 356-360.

[7] N. Dyn, D. Levin, J.A. Gregory, A butterfly subdivision scheme for surface interpolationwith tensor control. ACM transactions on graphics (1990). Vol. 9(2). pp 160-169.

[8] C. Loop, A G1 triangular spline surface of arbitrary topological type. Computer AidedGeometric Design (1994). Vol. 11. pp 303-330.

[9] G. Farin, Curves and surfaces for CAGD. 4eme edition. Academic press (1990).

[10] R.H. Bartels, J.C. Beaty, B.A. Barsky, Mathematiques et CAO vol6A : B-splines. EditionsHermes (1987).

[11] P. de Casteljau, Outillages methods calcul. Rapport technique, CitroA«n, Paris (1959).

[12] M.J.D. Powell, M.A. Sabin, Piecewise quadratic approximation triangles. ACM Transac-tions on mathematical software (1977). Vol. 3. pp 316-325.

[13] P. Dierckx, S. Van Leemput, T. Vermeire, Algorithms for surface fitting using Powell-Sabin splines. IMA Journal of numerical analysis (1992). vol. 12. pp 271-299.

[14] P. Dierckx, On calculating normalized Powell-Sabin B-splines. Computer Aided Geome-tric Design (1997). Vol. 15(15). pp 61-78.

164

[15] X. Shi, S. Wang, W. Wang, R.H. Wang, The C1-quadratic spline space on triangulations.Report 86004. Department of mathematics, Jilin University, ChangChun (1986).

[16] P. Sablonniere, Error bounds for Hermite interpolation by quadratic splines alpha trian-gulation. IMA Journal of numerical analysis (1987). Vol. 7(4). pp 495-508.

[17] P. Sablonniere, Bases de Bernstein et approximants-splines. These, Universite de Lille 1(1982).

[18] G. Farin, Triangular Bernstein-Bezier patches. Computer Aided Geometric Design(1986). Vol. 3. pp 83-127.

[19] Y. He, M. Yin, X. Gu, H. Qin, A C1 globally interpolatory spline of arbitrary topology.Computer Science (2005). Vol. 3752. pp 295-306.

[20] X. Gu, S.T. Yau, Global conformal surface parameterization. Eurographics Symposiumon Geometry Processing (2003). pp 127-137.

[21] M. Jin, Y. Wang, S.T. Yau, X. Gu, Optimal global conformal surface parameterization.IEEE Visualization (2004). pp 267-274.

[22] X. Gu, Y. He, H. Qin, Manifold splines. Association for Computing Machinery (2005).pp 27-38.

[23] L. Garnier, S. Foufou, M. Neveu, Jointure G1-continue entre un cone et une sphere. AFIG(2001). pp. 295-310.

[24] S. Foufou, L. Garnier, Dupin cyclide blends between quadric surfaces for shape modelling.Computer Graphics Forum (2004). Vol. 23(23). pp. 321-330.

[25] S. Foufou, L. Garnier, Obtaining implicit equations of supercyclides and definition ofelliptic supercyclides. Machine Graphics and Vision (2005). Vol. 14(2). pp. 123-144.

[26] C. P. Dupin, Application de Geometrie et de Mechanique a la Marine, Ponts et Chaussees,Bachelier, Paris (1822).

Conclusion generale et perspectives.

Le travail presente dans cette these traite de la simulation de la propagation des ondesacoustiques dans des environnements complexes. Nous nous sommes pour cela appuyes surla technique du lancer de faisceaux adaptatif. Nos travaux ont alors consiste a developper etintegrer au sein du logiciel differentes approches permettant de traiter des phenomenes lies ala propagation des ondes.

Le premier aspect de la these concerne le theme de la diffraction des ondes acoustiquespar les obstacles de l’environnement. Dans cette optique, nous avons implemente au sein del’algorithme des formules permettant de calculer differents phenomenes de diffraction. Nousnous sommes tout d’abord interesses a la double diffraction par deux aretes successives. Apresavoir mis en evidence que l’approche classiquement utilisee, en plus d’etre defaillante en zonede transition, donne egalement de mauvais resultats lorsque la distance inter-aretes est faibleen terme de longueur d’onde, nous avons extrait de la bibliographie la formule de Capolinoet Albani destinee au calcul de la double diffraction par un plateau. Nous avons alors verifiequ’elle pallie les deux lacunes mentionnees ci-dessus. Ensuite, nous avons implemente cetteformulation au sein du lancer de faisceaux par l’intermediaire d’un algorithme permettantde traiter de maniere efficace et fiable la propagation d’ondes acoustiques dans des environ-nements complexes. Des applications de notre approche ont alors ete realisees dans diversesconfigurations. Les validations ont, dans ce contexte, ete effectuees grace a la BEM et ontpermis de mettre en evidence que la formule de Capolino et Albani donne de tres bons resulatsdans des cas complexes pouvant faire intervenir beaucoup de diffractions consecutives. Nousavons conclu que cette formule peut etre etendue de maniere fiable et robuste de la doublediffraction a des diffractions dont le nombre est superieur a deux. De plus, nous avons mis enevidence que la methode classiquement utilisee pour le calcul de la double diffraction donnedes resultats souvent d’autant plus mauvais que le nombre de diffractions est important dansla mesure ou les erreurs tendent a se cumuler au fur et a mesure des diffractions rencontrees.Enfin, notre algorithme de calcul des diffractions d’aretes a ete etendu au calcul de la dif-fraction par des surfaces courbes discretisees ; nous avons alors remplace le calcul des ondesrampantes par un calcul de diffractions d’aretes successives. Nous avons, dans le cadre de cetteetude, effectue des calculs en fonction des maillages choisis et determine des limites inferieureset superieures concernant les distances inter-aretes resultant du maillage. Un maillage faibledonne des resultats peu precis, en particulier a cause des erreurs commises sur la phase en

166 Conclusion generale

comparaison avec la surface courbe originale, tandis qu’un maillage trop important met lesformules asymptotiques en defaut du fait des distances inter-aretes trop faibles. Enfin, nouscloturons le theme de la diffraction par l’etude de la diffraction par un coin d’aretes. La priseen compte de ce phenomene permet de resoudre le probleme des discontinuites liees a la taillefinie des aretes. Malheureusement, dans la litterature, seul est aborde de maniere rigoureusele cas d’un secteur angulaire plan. La formulation a donc ete validee dans ce cas canonique.

Le deuxieme aspect de la these concerne des aspects purement geometriques du lancer defaisceaux adaptatif, en particulier les lacunes apparaissant lors du calcul des rayons reflechissur les surfaces courbes maillees triangulairement. Les maillages utilises dans le cadre de cetteapplication sont lisses, c’est a dire que la normale a chaque sommet du maillage est en faitla normale de la surface courbe originale, si cette derniere est connue, ou bien la moyennedes normales aux plans des triangles ayant le sommet concerne en commun. La normale enun point du triangle est ensuite calculee selon une interpolation lineaire des normales auxsommets. Pour resoudre les incertitudes resultant de cette approximation de la surface courbeoriginale, nous avons choisi de reconstruire des surfaces courbes lisses a partir du maillage,grace a la technique des splines de Powell-Sabin. Celles-ci permettent d’interpoler par unesurface C1 les sommets des triangles et les normales en ces points du maillage. Ces splinesetant representees sous forme de polynomes du second degre dans un repere cartesien, il estaise de calculer analytiquement les intersections entre des rayons et ces splines. Neanmoins,la theorie de Powell-sabin reposant sur le principe de la projection sur un plan commun atous les triangles du maillage, il existe des triangles dont la spline interpolante ne peut etremise en bijection avec ce plan, du fait de l’orientation des triangles et de leurs normales auxsommets. Nous avons alors mis en place une methode pour interpoler ces triangles. Elle sederoule en deux etapes : un changement de plan pour le tracer des splines et la construction deraccords entre les splines dont les plans de projection different. Notre idee a ete de construireces raccords selon des surfaces implicites de degres quatre en (x,y,z). Ceci permet de preserverla contrainte de pouvoir calculer analytiquement l’intersection entre un rayon et la surface.

Perspectives : concernant le theme de la diffraction, les perspectives que l’on peut de-gager de nos travaux se situent principalement au niveau de la diffraction par un coin, tanten ce qui concerne l’integration geometrique de ce phenomene au sein du lancer de faisceauxque le traitement des aspects physiques. En effet, la diffraction par un coin peut etre vuede deux manieres : soit nous considerons celui-ci comme une source secondaire rayonnantde maniere non-isotrope dans tout l’espace, soit nous prenons en compte sa contribution enajoutant un terme correcteur aux coefficients de diffraction par les aretes de diedres. En cequi concerne le coefficient de diffraction associe, il reste a elaborer une formule rigoureusepermettant d’evaluer la pression diffractee par des coins de diedres quelconques (c’est a direformes par l’intersection de trois aretes) et eventuellement de la comparer avec les formulesheuristiques de Burnside et Pathak.

Si l’on s’interesse maintenant aux perspectives liees aux aspects geometriques, il nous reste ademontrer rigoureusement qu’il est possible d’inserer a la suite du systeme lineaire a cinquantehuit equations permettant d’etablir J1 et J2 les equations imposant la continuite G1 entre cesdeux sous-jonctions.

Conclusion generale et perspectives 167

Pour terminer, une derniere perspective de recherche permettant de relier entre eux les aspectsphysiques et geometriques abordes dans cette these pourrait consister a ameliorer, grace auxsplines de Powell-Sabin, notre approche de calcul de la diffraction par les surfaces courbesmaillees. Ceci permettrait par exemple d’obtenir des resultats moins dependants du nombrede facettes discretisant les surfaces courbes.

Annexe A

Construction d’une splineinterpolant un triangle a partir des

conditions aux limites

Sommaire

A.1 Expression des B-splines Bij(x, y) et des splines s(x, y). . . . . . . . 170A.1.1 Formulation des B-splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170A.1.2 Expression complete des splines a partir des B-splines. . . . . . . . . 172

A.2 Relations entre les splines de Powell-Sabin et les triangles deBezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

170Chapitre A : Construction d’une spline interpolant un triangle a partir des conditions

aux limites

A.1 Expression des B-splines Bij(x, y) et des splines s(x, y).

A.1.1 Formulation des B-splines.

z

P1

P2

P3

’

’

’

P1

z

x

1P

1N

N3

N2

3P

P2

yO

(a) Projection du triangle P1P2P3 sur le plan(xOy).

P1

P2

3P

R12

R23

R13

x

y

Z

z

’

’

’

(b) Subdivision du triangle P ′1P′2P′3 selon le

schema de Powell-Sabin.

Fig. A.1 – Projection et points de subdivision d’un triangle sur le plan horizontal (xOy).

Soit le triangle P ′1P′2P′3 de la figure A.1(b). Il est issu de la projection sur le plan (xOy) du

triangle P1P2P3 de la figure A.1(a) dont les normales aux sommets sont−→N1,−→N2 et

−→N3. Conside-

rons une des trois B-splines associees au point P ′1. Nous nommons (α1, β1, γ1) le triplet associea cette B-spline, notee dans la suite φ. Nous l’ecrivons dans un premier temps en fonctiondes coordonnees barycentriques. A titre de rappel, les coordonnees barycentriques τ1, τ2, τ3

attachees respectivement aux points P ′1, P′2, P

′3 sont reliees aux coordonnees cartesiennes (x,y)

via le systeme lineaire decrit par les equations A.1 a A.3.

τ1x1 + τ2x2 + τ3x3 = x (A.1)

τ1y1 + τ2y2 + τ3y3 = y (A.2)

τ1 + τ2 + τ3 = 1 (A.3)

(xi, yi, zi) etant les coordonnees cartesiennes du sommet P ′i .En imposant les conditions aux limites fixees par le triplet (α1, β1, γ1) et en considerant laB-spline comme etant de valeur nulle sur le cote oppose au sommet P ′1, nous en deduisonsson expression sur le triangle ZP ′2P

′3 :

φZP ′2P ′3 = K1τ21 (A.4)

K1 etant une constante determinee dans la suite.

A.1 Expression des B-splines Bij(x, y) et des splines s(x, y). 171

En imposant ensuite comme condition que la B-spline soit C1 d’un sous-triangle a l’autre,nous parvenons aux expressions de la B-spline sur les quatre autres sous triangles. Elles sontdecrites par les equations A.5 a A.8 :

φP ′2ZR12= K1τ

21 +K2(τ1 − τ3)2 (A.5)

φR12ZP ′1= K1τ

21 +K2(τ1 − τ3)2 +K3(λ2τ1 − λ1τ2 + (λ1 − λ2)τ3)2 (A.6)

φP ′3ZR13= K1τ

21 +K ′2(τ1 − τ2)2 (A.7)

φR13ZP ′1= K1τ

21 +K ′2(τ1 − τ2)2 +K ′3(ν3τ1 + ν1τ3 − (ν1 − ν3)τ2)2 (A.8)

λ1 et λ2 designent les coordonnees barycentriques du point R12 sur le segment P ′1P′2,

respectivement par rapport aux points P ′1 et P ′2. ν1 et ν2 correspondent aux coordonneesbarycentriques du point R13, respectivement par rapport aux points P ′1 et P ′3.

A partir des equations A.5 a A.8 et des conditions aux limites au sommet P ′1 fixees par letriplet (α1, β1, γ1), nous pouvons determiner les valeurs des coefficients Ki et K ′i. Elles sontdonnees par les equations A.9 a A.13 :

K1 = 3α1 +β′1 + γ′1

2(A.9)

K2 =λ1

λ2

(α1 +

β′12

)− 4α1 + β′1 + γ′1

2(A.10)

K3 = −α1 + β′1

2

λ1λ2(A.11)

K ′2 =ν3

ν1

(α1 +

γ′12

)− 4α1 + β′1 + γ′1

2(A.12)

K ′3 = −α1 + γ′1

2

ν1ν3(A.13)

β′1 et γ′1 etant les expressions de β1 et γ1 dans le repere barycentrique. Rappelons que β1

et γ1 designent respectivement les derivees selon les axes x et y de la B-spline en P ′1. D’ou lesdeux expressions A.14 et A.15 :

β′1 =∂φ

∂τ2= β1(x2 − x1) + γ1(y2 − y1) (A.14)

γ′1 =∂φ

∂τ3= β1(x3 − x1) + γ1(y3 − y1) (A.15)

La procedure est la meme pour les deux autres B-splines attachees au sommet P ′1, ainsique pour les B-splines des deux autres sommets. Apres avoir defini les B-Splines Bij , il nenous reste plus qu’a definir les coefficients cij .


aux limites

A.1.2 Expression complete des splines a partir des B-splines.

Maintenant que nous avons etabli l’expression generale des B-splines, il nous reste a de-terminer leurs coefficients multiplicateurs cij au sein de l’expression generale de la splinetriangulaire. Toujours en nous basant sur les figures A.1(a) et A.1(b), nous faisons mainte-nant intervenir les conditions aux limites imposees par les sommets P1P2P3 des triangles dumaillage original ainsi que les normales

−→N1,−→N2 et

−→N3 en ses sommets respectifs. A partir des

B-splines associees au point P1, du triplet (αi, βi, γi) associe a ce point et de l’equation 7.8,nous parvenons au systeme d’equations lineaires decrit par les equations A.16 a A.18.

c1α1 + c2α2 + c3α3 = s(P ′1) = zP1 = f (A.16)

c1β1 + c2β2 + c3β3 =∂s

∂x(P ′1) = f ′x (A.17)

c1γ1 + c2γ2 + c3γ3 =∂s

∂y(P ′1) = f ′y (A.18)

Soit, apres resolution de ce systeme, l’expression generale des cij donnee par les equa-tion A.19 a A.21 :

c1 = f + f ′xα2γ1 + γ2(1− α1)

d+ f ′y

−α2β1 − β2(1− α1)d

(A.19)

c2 = f + f ′x−α1γ2 − γ1(1− α2)

d+ f ′y

α1β2 − β1(1− α2)d

(A.20)

c3 = f + f ′x−α1γ2 + γ1α2

d+ f ′y

α1β2 − β1α2

d(A.21)

Avec :

d = β1γ2 − β2γ1 (A.22)

Nous venons donc de resoudre de maniere complete le calcul de la spline interpolant unmaillage lisse. De par la construction des B-splines Bij , celle-ci est C1 par morceaux surchaque triangle, et, de plus, C1 d’un triangle a l’autre.

A.2 Relations entre les splines de Powell-Sabin et les triangles de Bezier. 173

A.2 Relations entre les splines de Powell-Sabin et les trianglesde Bezier.

Nous presentons ici une synthese des splines de Powell-sabin et des triangles de Bezier.Nous allons pour cela etablir des relations entre les parametres intervenant dans chacunede ces deux approches et ainsi montrer qu’il existe pour chaque spline un triangle de Bezierequivalent. Puisque la spline associee a un triangle du maillage est constituee de six polynomesde degre deux C1 entre eux (un polynome de la forme z = s(x, y) au-dessus de chaque sous-triangle), il est alors necessaire de fixer six points de Bezier au-dessus de chacun des sixsous-triangles.

Pour cela, reprenons l’exemple du triangle P1P2P3 et de son projete P ′1P′2P′3 presentes

sur les figures A.1(a) et A.1(b). La figure A.2(a) illustre la disposition des points de controleprojetes sur le plan (xOy). Nous fixons ainsi les coordonnees (x, y) des points de controle telsque leurs projetes sur le plan (xOy) soient situes au milieu des cotes de chaque sous-trianglesubdivisant P ′1P

′2P′3 et sur leurs sommets. Leurs coordonnees x et y etant ainsi fixees, il ne

reste plus qu’a determiner leur coordonnee z en fonction des conditions aux limites imposeesaux B-splines par les triplets, et bien entendu en fonction des conditions aux limites imposeespar les sommets et les normales du triangle P1P2P3 que l’on souhaite interpoler.

Chaque ensemble de points de Bezier associe a une B-spline est deduit du triplet (α, β, γ)associe a cette B-spline. Interessons nous par exemple a une des trois B-splines associees aupoint P ′1 ; nous la nommons φ(x, y). Tout d’abord, nous posons φ(P ′1) = α, puis φ(P ′2) =φ(P ′3) = 0 dans la mesure ou la B-spline doit etre nulle sur la ligne joignant P ′2 a P ′3. Lesaltitudes des points de controle dont les projetes correspondent aux points de subdivisionR12 et R13 sont ensuite determinees par l’intermediaire de β et γ, qui rappelons-le designentles derivees ∂φ

∂x et ∂φ∂y . De meme pour B1 et C1. L’altitude du point D1 est imposee par la

coplanarite de ce point avec les trois points P ′1, B1 et C1 ce qui permet d’assurer la continuiteC1 entre les deux sous-triangles contenant ces points. Les altitudes de D2 et D3 sont nullesafin d’assurer une valeur nulle de la B-spline le long du cote P ′2P

′3 . Pour finir, les altitudes

de E1, E2, E3 et Z sont determinees grace a la coplanarite de ces quatre points avec les troispoints D1, D2 et D3, toujours afin d’assurer la continuite C1 de la B-spline d’un sous-trianglea l’autre. Si l’on suppose cette fois que le point Z est le barycentre du triangle projete P ′1P

′2P′3,

nous obtenons les valeurs des altitudes des points de Bezier presentees sur la figure A.2(b)Les valeurs de L, L’ et L” sont donnees par les equations A.23 a A.25.

L = α+(1− λ1)β′

2(A.23)

L′ = α+β′ + γ′

6(A.24)

L′′ = α+(1− ν1)γ′

2(A.25)

β′ et γ′ designant les valeurs β et γ dans le repere barycentrique du triangle (cf equa-tions A.14 et A.15).

Les points de Bezier de la spline s(x, y) sont obtenus en effectuant sur les altitudes despoints de Bezier des B-splines les memes combinaisons lineaires qu’avec les B-splines aux-quelles ils sont associees, selon l’equation 7.8, tout en laissant inchangees leurs coordonnees


aux limites

3B

1B

D3

13R

1C

Z

C2

R12

P

P1

2

B2

C3

R23

P3

D1

E3

E1

D2

2E

(a) Disposition des projetes des points de Be-zier permettant de tracer la spline de Powell-

Sabin interpolant le triangle P1P2P3.

α

L

L’

L’’

λ

λ1L

L’1

1/3L’

1ν L’’

ν1L’

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(b) Valeurs des altitudes des points de Bezierassocies a une des trois B-splines du point P1.

Fig. A.2 – Disposition des points de controle destines au trace de la spline interpolant P1P2P3.

(x, y). Nous avons ainsi tous les elements pour construire les splines interpolant tous les pointsdu maillage et les normales en ces points, ainsi que la boıte englobante de l’ensemble de cessplines, obtenue quant a elle grace aux points de Bezier definis ci-dessus. Ceci nous permetdonc de conclure cette section consacree a la description des splines de Powell-Sabin.

Annexe B

Equations permettant d’etablir lacontinuite geometrique des

normales entre deux sous-jonctionsde splines

Sommaire

B.1 Equations traduisant la continuite C0 entre J1 et J2 . . . . . . . . . 176B.2 Equations traduisant la continuite geometrique des normales entre

J1 et J2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

176Chapitre B : Equations permettant d’etablir la continuite geometrique des normales

entre deux sous-jonctions de splines

B.1 Equations traduisant la continuite C0 entre J1 et J2

Reprenons le schema de la figure B.1.

X

x

Y

S

J2

J

x

P

S12

S11

1

M

22

S21

O

Fig. B.1 – Deux jonctions assurant la continuite C1 entre deux splines triangulaires.

Nous designons dans la suite c1...c33 comme etant les coefficients associes au polynomeimplicite permettant de tracer J1 tandis que c34...c67 sont associes a J2. Ainsi, nous obtenons,en posant l’egalite des deux polynomes definissant J1 et J1 en x = xM puis en regroupant lestermes en (y,z) de degres identiques, les quatorze equations suivantes B.1 a B.14 :

c (0, 0, 0) + xM c (1, 0, 0) + x2M c (2, 0, 0) + x3

M c (3, 0, 0) + x4M c (4, 0, 0)−

c′ (0, 0, 0)− xM c′ (1, 0, 0)− x2M c′ (2, 0, 0)− x3

M c′ (3, 0, 0)− x4M c′ (4, 0, 0) = 0

(B.1)

c (0, 1, 0) + xM c (1, 1, 0) + x2M c (2, 1, 0) + x3

M c (3, 1, 0)−c′ (0, 1, 0)− xM c′ (1, 1, 0)− x2

M c′ (2, 1, 0) + x3M c′ (3, 1, 0) = 0

(B.2)

c (0, 2, 0) + xM c (1, 2, 0) + x2M c (2, 2, 0)−

c′ (0, 2, 0)− xM c′ (1, 2, 0)− x2M c′ (2, 2, 0) = 0

(B.3)

c (0, 3, 0) + xM c (1, 3, 0)− c′ (0, 3, 0)− x′M c (1, 3, 0) = 0 (B.4)

c (0, 4, 0)− c′ (0, 4, 0) = 0 (B.5)

c (0, 0, 1) + xM c (1, 0, 1) + x2M c (2, 0, 1) + x3

M c (3, 0, 1)−c′ (0, 0, 1)− xM c′ (1, 0, 0)− x2

M c′ (2, 0, 1)− x3M c′ (3, 0, 1) = 0

(B.6)

c (0, 1, 1) + xM c (1, 1, 1) + x2M c (2, 1, 1)−

c′ (0, 1, 1)− xM c′ (1, 1, 1)− x2M c′ (2, 1, 1) = 0

(B.7)

c (0, 2, 1) + xM c (1, 2, 1)− c′ (0, 2, 1)− xM c′ (1, 2, 1) = 0 (B.8)

c (0, 3, 1)− c′ (0, 3, 1) = 0 (B.9)

B.2 Equations traduisant la continuite geometrique des normales entre J1 et J2. 177

c (0, 0, 2) + xM c (1, 0, 2) + x2M c (2, 0, 2)−

c′ (0, 0, 2)− xM c′ (1, 0, 2)− x2M c′ (2, 0, 2) = 0

(B.10)

c (0, 1, 2) + xM c (1, 1, 2)− c′ (0, 1, 2)− xM c′ (1, 1, 2) = 0 (B.11)

c (0, 2, 2)− c′ (0, 1, 2) = 0 (B.12)

c (1, 0, 3) + xM c (0, 1, 3)− c′ (1, 0, 3)− xM c′ (0, 1, 3) = 0 (B.13)

c (0, 0, 4)− c′ (0, 0, 4) = 0 (B.14)

B.2 Equations traduisant la continuite geometrique des nor-males entre J1 et J2.

Nous allons maintenant elaborer des equations permettant d’imposer la condition de conti-nuite geometrique des normales de part et d’autre de la frontiere separant J1 et J2. Toutd’abord, exprimons les normales sur ces deux surfaces. Soit un point P1 situe sur la jonction J1

de polynome implicite f1. La normale en P1 se calcule de la maniere suivante :−→N1 =

−→∂P1∂x ×

−→∂P1∂y .

De la meme maniere, si l’on nomme P2 un point de la surface J2 de polynome implicite f2, la

normale en ce point s’exprime comme :−→N2 =

−→∂P2∂x ×

−→∂P2∂y .

Soit P un point de la frontiere separant J1 et J2. Nous souhaitons maintenant imposerla colinearite entre

−→N1 et

−→N2 le long de celle-ci (c’est a dire en x = xM ). Tout d’abord,

remarquons que le fait que nous ayons impose la continuite C0 des deux surfaces le long de

cette frontiere implique que leurs tangentes selon l’axe y (−→∂P1∂y et

−→∂P2∂y ) soient colineaires entre

elles le long de la frontiere. Nous precisons maintenant leur formulation. Les equations B.15et B.16 en donnent l’expression au point P pour, respectivement, J1 et J2, a partir du theoremedes fonctions implicites.

−−→∂P1

∂y∝

0∂f1∂z∂f1∂y

~x~y~z

(B.15)

−−→∂P2

∂y∝

0∂f2∂z∂f2∂y

~x~y~z

(B.16)

Le fait que ces deux vecteurs soient colineaires nous mene a la relation exposee sur l’equa-tion B.17 :

∂f1

∂y

∂f2

∂z=∂f1

∂z

∂f2

∂y(B.17)

Nous obtenons alors, du fait de la normalisation des deux polynomes, les deux rela-tions B.18 et B.19 :

∂f1

∂y=∂f2

∂y(B.18)

∂f1

∂z=∂f2

∂z(B.19)

178Chapitre B : Equations permettant d’etablir la continuite geometrique des normales

entre deux sous-jonctions de splines

Or,−→N1 et

−→N2 ont pour expressions respectives dans le repere (O, x, y, z) :

∂f1∂x∂f1∂y∂f1∂z

et

∂f2∂x∂f2∂y∂f2∂z

.

Ainsi, pour imposer la continuite geometrique des normales au niveau de la frontiereseparant J1 et J2, il suffit, d’apres les deux relations B.18 et B.19, d’ajouter aux equationsimposant la continuite C0 entre les deux surfaces les equations permettant d’imposer l’egalite∂f1∂x = ∂f2

∂x en x = xM . Ceci nous donne, en regroupant les termes en puissances de x et yidentiques, les dix equations B.20 a B.29 :

c (1, 0, 0) + 2xM c (2, 0, 0) + 3x2M c (3, 0, 0) + 4x3

M c (4, 0, 0)−c′ (1, 0, 0)− 2xM c′ (2, 0, 0)− 3x2

M c′ (3, 0, 0)− 4x3M c′ (4, 0, 0) = 0

(B.20)

c (1, 1, 0) + 2xM c (2, 1, 0) + 3x2M c (3, 1, 0)−

c′ (1, 1, 0)− 2xM c′ (2, 1, 0)− 3x2M c′ (3, 1, 0) = 0

(B.21)

c (1, 2, 0) + 2xM c (2, 2, 0)− c′ (1, 2, 0)− 2xM c′ (2, 2, 0) = 0 (B.22)

c (1, 3, 0)− c′ (1, 3, 0) = 0 (B.23)

c (1, 0, 1) + 2xM c (2, 0, 1) + 3x2M c (3, 0, 1)−

c′ (1, 0, 1)− 2xM c′ (2, 0, 1)− 3x2M c′ (3, 0, 1) = 0

(B.24)

c (1, 1, 1) + 2xM c (2, 1, 1)− c′ (1, 1, 1)− 2xM c′ (2, 1, 1) = 0 (B.25)

c (1, 2, 1)− c′ (1, 2, 1) = 0 (B.26)

c (1, 0, 2) + 2xM c (2, 0, 2)− c′ (1, 0, 2)− 2xM c′ (2, 0, 2) = 0 (B.27)

c (1, 1, 2)− c′ (1, 1, 2) = 0 (B.28)

c (1, 0, 3)− c′ (1, 0, 3) = 0 (B.29)

Table des figures

1.1 Exemple d’environnements d’etude de la propagation d’une onde. . . . . . . . . 101.2 Cas general d’un faisceau se propageant en espace libre. . . . . . . . . . . . . . 141.3 Reflexion d’un rayon ou d’un faisceau sur une surface. . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Repartition des faisceaux diffractes par une arete. . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Frontieres de transition associees a un faisceau incident sur une arete de diedre. 171.6 Diffraction d’un rayon par un diedre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Illustration de la methode des sources images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Illustration de la methode du lancer de rayons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9 Principe du lancer de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.10 Consequence de la courbure d’une sphere sur l’amplitude de l’onde reflechie. . . 23

2.1 Subdivision d’un faisceau emis depuis une source ponctuelle. . . . . . . . . . . . 262.2 ”Blob” d’un faisceau permettant de detecter des objets a l’interieur de celui-ci. 262.3 Coupe d’un maillage lisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Cas d’un faisceau partiellement reflechi sur un diedre. . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Construction et subdivision d’un faisceau diffracte par une arete de diedre. . . 282.6 Sphere de rayon 1 metre maillee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Nombre de rayons obtenus apres bilan des trajets pour une et deux reflexions

sur le maillage et differents degres de raffinement du maillage. . . . . . . . . . . 302.8 Configuration d’etude de la pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9 Resultats obtenus sur le cylindre reel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.10 Cartographies de la pression obtenue dans le cadre de la configuration presentee

sur la figure 2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.11 Masquage des faisceaux reflechis du au maillage non lisse. . . . . . . . . . . . . 322.12 Elimination d’un rayon dont l’angle d’incidence sur une face triangulaire est

trop faible par rapport a l’orientation des normales. . . . . . . . . . . . . . . . 322.13 Probleme de la diffraction multiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.14 Definition des parametres de la formule classique pour la double diffraction. . . 342.15 Double diffraction par un plateau dont nous faisons tendre l’epaisseur e vers 0. 352.16 Resultats obtenus avec la methode classique et la BEM sur la configuration 2.15(b)

a 2kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

180 Table des figures

2.17 Configuration d’etude de la pression en fonction de l’orientation du recepteurpar rapport a la frontiere de transition de la deuxieme arete. . . . . . . . . . . 36

2.18 Resultats obtenus avec la methode classique et la BEM 2D dans le cadre de laconfiguration de la figure 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.19 Diffraction par une surface courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.20 Portion de diedre eclairee par un faisceau pyramidal. . . . . . . . . . . . . . . . 382.21 Exemple de configuration 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.22 Exemple de configuration 2,5D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Double diffraction par un plateau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Definition des parametres intervenant dans la formule de Capolino et Albani. . 493.3 Premiere configuration d’etude de la pression en fonction de l’epaisseur du

plateau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Resultats obtenus a partir de la formulation classique, du coefficient de Capo-

lino et de la BEM dans le cadre de la configuration representee sur la figure3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Configuration d’etude de la double diffraction par un plateau dont les facesavant et arriere ne sont pas paralleles entre elles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Resultats obtenus avec la methode classique et la formule de Capolino et Albanipour la configuration de la figure 3.5(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7 Configuration d’etude de la pression de part et d’autre de la frontiere de tran-sition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8 Comparaison entre les resultats obtenus par la methode classique et ceux ob-tenus par la formule de Capolino et Albani dans le cadre de la configuration 3.7. 53

3.9 Etude de la double diffraction par un plateau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.10 Resultats obtenus a 1 kHz avec la methode de Capolino et Albani dans le cadre

de la configuration de la figure 3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.11 Definition des parametres de la formule de Capolino et Albani en 3D. . . . . . 553.12 Configuration de la validation 3D de la formule de Capolino et Albani. . . . . . 563.13 Resultats obtenus dans la configuration de la figure 3.12 a une frequence de

300 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.14 Resultats obtenus dans la configuration de la figure 3.12 a une frequence de

600 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.15 Resultats obtenus dans la configuration de la figure 3.12 a une frequence de

900 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.16 Rayons reflechis apres diffraction par le plateau pour deux positions aleatoires

du recepteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.17 Resultats obtenus dans la configuration de la figure 3.12, sans prise en compte

du sol, a une frequence de 300 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.18 Resultats obtenus dans la configuration de la figure 3.12, sans prise en compte

du sol, a une frequence de 600 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.19 Resultats obtenus dans la configuration de la figure 3.12, sans prise en compte

du sol, a une frequence de 900 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.20 Configuration d’etude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.21 Resultats obtenus dans le cadre de la configuration 3.20. . . . . . . . . . . . . . 64

4.1 Integration de la formule de Capolino et Albani au sein du lancer de faisceaux. 66

181

4.2 Configuration d’etude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Bilan du calcul de trajets sur la scene presentee sur la figure 4.2. . . . . . . . . 674.4 Resultats obtenus selon la formule classique, la formule de Capolino et Albani

et la BEM 2D a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveaux

calcules en utilisant la formule de Capolino et Albani. . . . . . . . . . . . . . . 694.6 Configuration de la figure 4.2 consideree en 3D et vue de dessus. . . . . . . . . 694.7 Resultats obtenus selon la methode classique et la methode basee sur la formule

de Capolino et Albani a 500 Hz, 1 kHz et 1,5 kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . 704.8 Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveaux

calcules en utilisant la formule de Capolino et Albani. . . . . . . . . . . . . . . 704.9 Contribution de la diffraction par les aretes laterales, calculee selon la methode

classique et la methode basee sur la formule de Capolino et Albani a 500 Hz,1 kHz et 1,5 kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.10 Illustration du coin d’arete a l’origine de la discontinuite de la pression diffracteepar les aretes laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.11 Resultat du lancer de faisceau sur la scene 3D complete. . . . . . . . . . . . . . 724.12 Contribution de la diffraction par les aretes laterales, calculee selon la methode

classique et la methode basee sur la formule de Capolino et Albani a 500 Hz,1 kHz et 1,5 kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.13 Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveauxcalcules en utilisant la formule de Capolino et Albani. . . . . . . . . . . . . . . 74

4.14 Trois configurations d’etude differentes de la propagation entre la source et lerecepteur pour des positions identiques de ceux-ci. . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.15 Resultats obtenus avec la methode classique et la methode basee sur la formulede Capolino et Albani a 500 Hz dans le cadre des trois configurations desfigures 4.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.16 Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveauxcalcules en utilisant la formule de Capolino et Albani a 500 Hz. . . . . . . . . . 75

4.17 Resultats obtenus avec la methode classique et la methode basee sur la for-mule de Capolino et Albani a 1 kHz dans le cadre des trois configurations desfigures 4.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.18 Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveauxcalcules en utilisant la formule de Capolino et Albani a 1 kHz. . . . . . . . . . 76

4.19 Resultats obtenus avec la methode classique et la methode basee sur la for-mule de Capolino et Albani a 2 kHz dans le cadre des trois configurations desfigures 4.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.20 Difference entre les niveaux calcules selon la methode classique et les niveauxcalcules en utilisant la formule de Capolino et Albani a 2 kHz. . . . . . . . . . 77

4.21 Mise en oeuvre de la formule de Capolino et Albani dans le cas de la triplediffration par un crayon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.22 Configuration pour la validation de notre approche de calcul de la triple dif-fraction par deux plateaux consecutifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.23 Resultats obtenus sur la figure 4.22 a une frequence de 1 kHz. . . . . . . . . . . 794.24 Resultats obtenus sur la figure 4.22 a une frequence de 100 Hz. . . . . . . . . . 804.25 Resultats obtenus sur la figure 4.22 a une frequence de 300 Hz. . . . . . . . . . 81


5.1 Illustrations des rayons rampants permettant le calcul de la diffraction d’uneonde par la surface cylindrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 Exemple d’un demi-cylindre discretise en sept facettes rectangulaires. . . . . . . 845.3 Illustration de la methode mise en oeuvre en vue pour le calcul de la pression

diffractee par une surface courbe maillee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4 Illustration de la methode mise en oeuvre en vue pour le calcul de la pression

diffractee par une surface courbe maillee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5 Configuration d’etude et de validation en 2D de notre approche concernant le

calcul de la diffraction par une surface courbe discretisee. . . . . . . . . . . . . 875.6 Discretisation reguliere du cylindre diffractant en seize facettes rectangulaires. . 875.7 Definition des parametres de la formule asymptotique pour les ondes rampantes. 875.8 Resultats obtenus selon la formule analytique et selon la BEM 2D dans le cadre

de la configuration de la figure 5.5 a une frequence de 1 kHz. . . . . . . . . . . 895.9 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en neuf facettes

et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz. . . . 905.10 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en neuf facettes

et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz. . . . 905.11 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en douze facettes

et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz. . . . 905.12 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en douze facettes

et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz. . . . 915.13 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en quinze facettes

et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1 kHz. . . . 915.14 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en quinze facettes

et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2 kHz. . . . 915.15 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en dix-huit fa-

cettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.16 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en dix-huit fa-cettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.17 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en vingt et unefacettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.18 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en vingt et unefacettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.19 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en vingt quatrefacettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 1kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.20 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre maille en vingt quatrefacettes et erreur avec la BEM 2D (cylindre analytique) a une frequence de 2kHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.21 Exemple de rayons rampants obliquement sur le cylindre. . . . . . . . . . . . . 945.22 Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz pour un decalage de la source selon

l’axe y nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

183

5.23 Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz pour une source decalee de 1mselon l’axe y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.24 Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz pour une source decalee de 2mselon l’axe y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.25 Configuration d’etude et de validation en 2D de notre approche concernant lecalcul de la diffraction par une surface courbe discretisee. . . . . . . . . . . . . 98

5.26 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en neuffacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz. . . . . . . . . . . 99

5.27 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en neuffacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz. . . . . . . . . . . 100

5.28 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en douzefacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz. . . . . . . . . . . 100

5.29 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en douzefacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz. . . . . . . . . . . 100

5.30 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en quinzefacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz. . . . . . . . . . . 101

5.31 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en quinzefacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz. . . . . . . . . . . 101

5.32 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en dix-huitfacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz. . . . . . . . . . . 101

5.33 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en dix-huitfacettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz. . . . . . . . . . . 102

5.34 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en vingt etune facettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz. . . . . . . . . 102

5.35 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en vingt etune facettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz. . . . . . . . . 102

5.36 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en vingtquatre facettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 1 kHz. . . . . . . 103

5.37 Resultats obtenus selon notre approche sur le cylindre coupe maille en vingtquatre facettes et erreur avec la BEM 2D a une frequence de 2 kHz. . . . . . . 103

5.38 Differentes contributions liees a la presence d’une surface courbe quelconque. . 1045.39 Configuration d’etude en 3D des interactions sur un cylindre coupe. . . . . . . 1055.40 Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz sur la scene de la figure 5.39. . . . 1055.41 Configuration d’etude en 3D des interactions sur un cylindre coupe. . . . . . . 1065.42 Resultats obtenus a une frequence de 1 kHz sur la scene de la figure 5.41. . . . 1075.43 Difference entre les resultats obtenus par la BEM 3D (cylindre analytique) et

les resultats obtenus selon notre approche (sur le cylindre maille). . . . . . . . . 107

6.1 Illustration du phenomene du coin : disparition de la contribution associee al’arete b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2 Configuration d’etude du comportement des coefficients asymptotiques presd’un coin d’aretes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3 Resultats obtenus dans le cadre de la configuration presentee sur la figure 6.2 . 1116.4 Geometrie de la formule asymptotique calculant la diffraction par un coin d’aretes.1136.5 Resultats obtenus dans le cadre de la premiere la configuration a 500 Hz. . . . 1146.6 Resultats obtenus dans le cadre de la premiere la configuration a 1 kHz. . . . . 1156.7 Resultats obtenus dans le cadre de la premiere la configuration a 2 kHz. . . . . 115


6.8 Algorithme implemente au sein du lancer de faisceau pour le traitement desdiffractions multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.1 Illustration d’une courbe de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.2 Exemple de disposition des points de controle destines au tracer d’un triangle

de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.3 Exemple de disposition des points de controle destines au trace d’un triangle

de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.4 Interpolation de deux points et des normales en ces points en 2D. . . . . . . . . 1317.5 Exemple de disposition des points de controle destines au tracer d’un triangle

de Bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.6 Recherche d’un point d’intersection entre un rayon incident et la spline inter-

polant un triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.7 Coupe de profil d’une sphere maillee et du plan de projection de son maillage. . 1357.8 Problemes rencontres et lies a l’impossibilite de placer le maillage en bijection

avec un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.9 Resultats obtenus sur trois triangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.10 Configuration d’etude de l’interpolation d’un maillage constitue de six triangles.1387.11 Resultats obtenus pour deux orientations differentes de la normale situee au

sommet commun du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.12 Vue prise a la verticale du plan de projection de la sphere maillee et de la meme

sphere interpolee par les splines de Powell-Sabin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.13 Zoom sur le coin superieur gauche de la sphere maillee et du maillage de la

sphere interpole par les splines de Powell-Sabin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.14 Vue prise depuis le plan de projection du maillage de la sphere interpole par

les splines de Powell-Sabin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.15 Configuration de calcul de la pression reflechie sur une portion de cylindre. . . 1407.16 Resultats obtenus a 500 Hz dans le cadre de la configuration de la figure 7.15(a).1407.17 Resultats obtenus a 1 kHz dans le cadre de la configuration de la figure 7.15(a). 1417.18 Resultats obtenus a 500 Hz et 1 kHz dans le cadre de la configuration de la

figure 7.15(a) avec un maillage en seize facettes triangulaires. . . . . . . . . . . 141

8.1 Apparition d’un espace vide entre les splines tracees au dessus de triangles dontle plan de projection est different. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.2 Subdivision de Powell-Sabin des deux splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.3 Subdivision de la jonction entre les deux splines S1 et S2 en deux sous-jonctions

J1 et J2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.4 Definition d’un repere commun aux deux triangles adjacents permettant d’ela-

borer une jonction des deux splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.5 Deux jonctions assurant la continuite C1 entre deux splines triangulaires. . . . 1548.6 Configuration generale d’etude des jonctions entre splines. . . . . . . . . . . . . 1568.7 Premier exemple d’une paire de splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.8 Jonction entre les deux splines de la figure 8.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.9 Deuxieme exemple d’une paire de splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.10 Jonction entre les deux splines de la figure 8.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.11 Troisieme exemple d’une paire de splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.12 Jonction entre les deux splines de la figure 8.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

185

8.13 Sphere maillee dont les triangles sont interpoles par des splines triangulaires. . 1598.14 Construction d’une jonction entre deux splines interpolant deux triangles de la

sphere representee sur la figure 8.13 et possedant deux sommets situes en z = 0.1598.15 Construction d’une jonction entre les deux splines interpolant l’autre paire de

triangle mis en evidence sur la figure 8.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.1 Projection et points de subdivision d’un triangle sur le plan horizontal (xOy). . 170A.2 Disposition des points de controle destines au trace de la spline interpolant

P1P2P3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

B.1 Deux jonctions assurant la continuite C1 entre deux splines triangulaires. . . . 176

simulation par l'acoustique géométrique en présence de surfaces

Documents