simulation des cristaux photoniques
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Simulation des Cristaux PhotoniquesTRANSCRIPT
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ETUDE THEORIQUE ET SIMULATION DES CRISTAUX PHOTONIQUES ET LEURS APPLICATIONS EN CHIMIE ET BIOCHIMIE*
AZZEDDINE DEKHIRA** Ecole Doctorale Physique Chimie Théorique Chimie Informatique
Laboratoire Physico-chimie Théorique Chimie Informatique Faculté de Chimie, U.S .T.H.B
Résumé :
Ces quinze dernières années, les cristaux photoniques ont suscité un intérêt important dans la communauté scientifique. Cet intérêt pour ces matériaux est dû au fait qu’ils ont des propriétés optiques uniques. Les cristaux photoniques sont des matériaux hétérogènes artificiels ou naturels dont l’indice de réfraction varie périodiquement dans les différentes directions de l’espace et constituent à l’heure actuelle une nouvelle classe de matériaux. À l'image des électrons dans les semi-conducteurs, les photons y sont répartis en bandes de transmission séparées par des bandes d'énergies interdites. Cette analogie permet d'envisager l'utilisation des cristaux photoniques pour stocker, localiser, filtrer ou bien guider la lumière.
La complexité de la fabrication et de la caractérisation des cristaux photoniques aux fréquences optiques rend coûteuses en temps et argent les études expérimentales systématiques. Le développement des méthodes de modélisation précises et rapides reste donc primordial pour l’étude de ces structures. La combinaison de la méthode FDTD (Finite Difference Time Domain) et la méthode de décomposition en ondes planes PWE (Plane Wave Expansion) offre une vision fiable et complète du comportement des ondes électromagnétiques dans un cristal photonique.
Les travaux rapportés dans ce mémoire consistent principalement en l’étude théorique des cristaux photoniques et l’implémentation informatique d’un ensemble d’algorithmes basés sur les méthodes FDTD et PWE. L'idée principale consiste à exploiter la ressemblance entre les semi-conducteurs électroniques, dont la périodicité atomique interdit la propagation des électrons dans certaines bandes d’énergie, et les photons piégés dans des structures photoniques et par conséquent, l’analogie entre les équations de Maxwell sous leurs formes fréquentielles, représentées par l’équation de Helmholtz et celle de Schrödinger.
Nous avons formulé et implémenté la méthode FDTD pour connaître la réponse spectrale et calculer les distributions de champ dans des structures photoniques de dimensions finies, ainsi que la méthode PWE pour mettre théoriquement en évidence l'existence de bandes interdites et calculer les diagrammes de bandes de cristaux photoniques.
Par la suite, un logiciel de simulation et d’analyse des cristaux photoniques avec une interface utilisateurs graphique (GUI) et une structure modulaire a été développé en langage orienté objet C++Builder et validé par des applications concernent la réalisation des cristaux photoniques bidimensionnels sur le niobate de lithium (LiNbO3) et la réalisation des capteurs biochimique à base de cristaux photoniques.
*Mémoire de Magister en Physique Chimie Théorique Chimie Informatique. **Directeur de Thèse : Ourida OUAMERALI, Professeur à l’U.S.T.H.B
2
1- Introduction :
Depuis une décennie, une communauté de chercheurs rassemblant opticiens,
physiciens et chimistes s’est fixé l’objectif ambitieux de réaliser un matériau qui serait, pour
les photons, l’analogue de ce qu’est un cristal semi-conducteur pour les électrons.
Cette nouvelle classe de matériaux a suscité un très vif intérêt dans le monde de la
recherche et ceci dans plusieurs secteurs de la physique et de la chimie. Il s'agit des structures
périodiques diélectriques artificiellement ou naturellement structurés dont la constante
diélectrique varie périodiquement à l’échelle de la longueur d’onde selon une ou plusieurs
directions de l’espace. Elles sont rencontrées sous les appellations «cristaux photoniques» ou
« matériaux à bande interdite photonique » [1][2] et présentent des états photoniques
structurés en bandes interdites et passantes.
Par analogie avec la bande d’énergie interdite électronique caractérisant les réseau x
cristallins atomiques, les structures photoniques possèdent une bande de fréquences interdites
dans laquelle aucune onde électromagnétique ne peut se propager, indépendamment de la
polarisation et la direction de propagation. Cette propriété offre aux cristaux photoniques la
possibilité du contrôle de la propagation sans absorption des ondes électromagnétiques et
permet ainsi des perspectives nouvelles pour la manipulation de la lumière.
Figure 1-2 : Exemples des cristaux photoniques naturels.
La théorie derrière les propriétés optiques des cristaux photoniques a été largement
étudiée et un certain nombre de phénomènes fascinants ont été prévus. Mais la réalisation
expérimentale des structures nécessaires pour tester ces prédictions a fait défaut dans de
Figure 1-1: Schéma de cristaux photoniques 1D, 2D ou 3D successivement.
Les différentes couleurs représentent des matériaux de constants diélectriques différents.
3
nombreux cas. La raison en devient évidente si l'on prend en compte le fait que la plage de
travail pour un cristal photonique est dictée par la périodicité spatiale de son indice de
réfraction. Par conséquent, si l'on veut opérer dans la partie visible ou proche infrarouge du
spectre électromagnétique, des modulations spatiales de l'indice de réfraction de quelques
centaines de nanomètres à un micron sont nécessaires. Cela représente un défi considérable
pour la technologie actuellement disponible.
En principe, on aurait envie d'une technique efficace qui soit facile à mettre en œuvre,
faible coût, et qui conduit à des structures reproductibles de bonne qualité impliquant un délai
raisonnable. En ce sens, un certain nombre de méthodes de fabrication ont été inspirées ou
directement empruntés à d'autres disciplines comme c'est le cas des calculs de structure de
bande. La plupart de ces méthodes peuvent être divisés en trois groupes, chacun avec ses
propres avantages et inconvénients : méthodes lithographiques, méthodes holographiques et
méthodes d’auto-assemblage [2].
Figure1-3 : (a):Cristal photonique 3D élaborés par photolithographie,
(b): Les sphères de silicium sont assemblées sur le wafer de Si pour former l’opale.
L'étude des cristaux photoniques et leurs propriétés spécifiques, mène naturellement à
l'étude du comportement de la lumière dans les matériaux à bande interdite photonique. Ces
structures périodiques sont régies par les équations de Maxwell, un ensemble de quatre
équations différentielles vectorielles qui permettent de modéliser les relations entre les
charges, leurs déplacements et les champs électriques et magnétiques.
Grâce à l’analogie formelle qui existe entre les équations de Maxwell et l’équation de
Schrödinger pour les électrons, on peut appréhender les cristaux photoniques avec les outils et
les concepts développés en physique du solide en employant les méthodes et les outils de la
mécanique quantique et le théorème de Bloch.
Parmi les modèles théoriques traitant les cristaux photoniques, on doit distinguer en
premier deux catégories qui dépendent de la taille finie ou infinie des structures et puis de leur
dimensionnalité (1D, 2D ou 3D). Dans la première d'entre elles traitant des cristaux
d'épaisseur finie, les méthodes des différences finies ou FDTD [3], et les méthodes basées sur
(a) (b)
4
les matrices de transfert sont le plus souvent utilisées, elles permettent de calculer la réponse
spectrale d'un dispositif, ainsi que les propriétés de réflexion et de transmission de la
difractions. Les principales techniques utilisées dans la deuxième catégorie traitant des
cristaux de taille infinie sont basées sur la décomposition en ondes planes PWE [4].
Un logiciel de simulation est un projet multidisciplinaire et la modélisation numérique
des caractéristiques des cristaux photoniques nécessite en général un gros investissement en
programmation et en analyse numérique et constitue une activité exigeante en compétence et
en temps. Le développement d’un logiciel « maison » adapté aux besoins spécifiques de la
recherche dans le domaine des matériaux à bande interdite photonique dont l’avantage
principal est de pouvoir intégrer facilement et rapidement les dernières avancées, semble être
un choix raisonnable.
Malgré que la majorité des applications des cristaux photoniques repose sur leur bande
interdite, on peut distinguer deux types d’utilisations des ces structures : celles qui utilisent le
cristal photonique à des longueurs d’onde dans le gap et celles qui font appel à une propriété
plus particulière du diagramme de bandes du cristal. Les cristaux photoniques promettent de
nombreuses applications dans les domaines des transistors, lasers, cellules solaires, guides
d’ondes, cavités, biocapteurs …
2- Etude théorique de cristaux photoniques :
De façon générale, la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu de
constante diélectrique ε (r), y compris la propagation de la lumière dans un cristal
photonique, est décrite par les quatre équations de Maxwell données ci-dessous [5]:
0BEt
(Equation de Maxwell-Faraday) (2.1)
DH Jt
(Equation de Maxwell-Ampère) (2.2)
0B
(Equation de Maxwell-Gauss) (2.3)
D
(Equation de conservation du flux magnétique) (2.4)
5
où E
désigne le champ électrique, B
la densité du flux magnétique, D
la densité du
déplacement électrique, H
le champ magnétique, J
la densité de courant, la densité de
charge électrique.
Dans la situation d'un milieu mixte composé de régions de matériau diélectrique
homogène qui ne comporte ni charges libres, ni courants libres, dans laquelle la structure ne
varie pas avec le temps, nous pouvons mettre 0 et 0J . Pour de nombreux matériau x
diélectriques, il est raisonnable d'utiliser les approximations suivantes :
Les matériaux sont macroscopiques et isotropes, de sorte qu’on puisse utiliser une
grandeur scalaire pour la constante diélectrique.
La constante diélectrique est supposée indépendante de la fréquence, du moins dans la
gamme de fréquences qui nous intéresse pour le système considéré.
On s’intéresse uniquement à des matériaux diélectriques à faibles pertes, ce qui signifie
que la constante diélectrique est purement réelle.
Enfin, on suppose la perméabilité magnétique ( )r
égale à 1 (ce qui est très proche de la
réalité pour la plupart des matériaux diélectriques auxquels on s’intéresse généralement).
En considérant les approximations précédentes, on obtient les relations suivantes :
0( ) ( ) ( )D r r E r
et 0( ) ( )B r H r
(2.5)
Avec toutes ces hypothèses, Les équations de Maxwell (2.1) – (2.4) deviennent :
0 0( , )( , ) H r tE r tt
(2.6)
0( , )( , ) ( ) 0E r tH r t rt
(2.7)
0( , )H r t
(2.8)
0( ) ( , )r E r t
(2.9)
Comme les équations de Maxwell sont linéaires, il est possible de séparer la
dépendance temporelle de la dépendance spatiale et chercher des solutions de type
harmonique telles que :
6
( , ) ( ) i tH r t H r e
et ( , ) ( ) i tE r t E r e
(2.10)
L’insertion des modes harmoniques ci-dessus dans les équations de Maxwell (2.6) - (2.9)
donne les deux relations :
0 0( ) ( )E r i H r
(2.11)
0 0( ) ( ) ( )H r i r E r
(2.12)
et conduit aux conditions suivantes :
0( )H r
et 0( ) ( )r E r
(2.13)
En partant des équations (2.11) et (2.12), et en employant la relation 0 01/c ,
on peut éliminer le champ ( )E r
et obtenir une équation aux valeurs propres pour ( )H r
:
21 ( ) ( )( )
H r H rr c
(2.14)
Avec les deux équations de divergence (2.13), cette équation nous fournit toutes les informations sur le comportement de ( )H r
.
2.1- Analogie Schrödinger-Maxwell
Un photon qui se propage dans un cristal photonique est l'équivalent d'un électron dans
un semi-conducteur, cette analogie électron photon découle de la similitude entre l'équation
de Schrödinger régissant la propagation des électrons dans un matériau caractérisé par un
potentiel électrostatique périodique et les équations de Maxwell utilisées pour décrire la
propagation d'une onde électromagnétique dans un matériau caractérisé par sa constante
diélectrique périodique. L'équation de Schrödinger en régime stationnaire pour la fonction
d'onde d'un électron dans un potentiel V s'écrit :
22
2( ) ( ) ( )mr U V r r
(2.15)
7
Nous avons vu qu'en régime linéaire l'équation de propagation d'une onde
électromagnétique monochromatique dans un matériau avec ( )r
était :
2
( ) ( ) ( )H r r H rc
(2.16)
Dans ce cas, l'équation de la fonction d'onde d'un électron de masse m dans un
potentiel V (équation 2.15) est analogue à l'équation d'onde électromagnétique dans un milieu
diélectrique ( )r
(équation 2.16).
Les équations (2.15) et (2.16) sont deux équations aux valeurs propres. L'équation
(2.16) définit les valeurs possibles de la fréquence d'une onde se propageant dans le matériau
en l'absence d'excitation extérieure et les amplitudes des champs associés. L’équation (2.15)
définit les valeurs possibles de l'énergie d'un électron se propageant librement dans un
potentiel et les fonctions d'onde associées. L'énergie de l'électron et la fréquence de l'onde
électromagnétique sont les valeurs propres, dictées respectivement par le potentiel et la
constante diélectrique.
En identifiant le membre gauche de l'équation maîtresse (2.14) comme un operateur
agissant sur ( )H r
, on arrive à :
2 1ˆ ˆ( ) ( ) , ( )
H r H rc r
(2.18)
2.2- Différences et similarités
L’équation de propagation électromagnétique est vectorielle alors que l’équation de
Schrödinger est scalaire. Il s’agit d’équations linéaires aux dérivées partielles du deuxième
ordre. En ce qui concerne la dérivée temporelle de l’équation de Schrödinger, elle est limitée à
l’ordre 1 alors qu’elle atteint l’ordre 2 pour l’équation de propagation de Maxwell. Les
électrons sont des fermions. Ils ont un spin demi-entier et suivent la loi de répartition de
Fermi. Les photons sont des bosons, ils suivent la loi de répartition de Bose-Einstein. Dans ce
cas il peut y avoir plusieurs particules dans le même état quantique, et tendent naturellement à
se regrouper dans le même état. Leur spin est entier. Les photons n’interagissent pas entre eux
et leur énergie ne peut pas être modifiée. Ils peuvent être absorbés ou émis, sinon ils
conservent leurs fréquences.
8
Electron (Schrödinger) Photon (Maxwell)
Périodicité
Puits de potentiel électrique carré
Constant diélectrique périodique
Champ ( , ) ( )exp( / )r t r iEt ( , ) ( )exp( )H r t H r i t
Grandeur
caractéristique ( )V r
( )E r
Opérateur
Hermitien
2 2
( )2
H V rm
1ˆ( )r
Equation aux
valeurs propres H E
2
ˆ ( ) ( )H r H rc
3- Méthodes de simulation
3.1- Implémentation de la méthode FDTD
On reprend les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère dans le domaine
temporel sous leur forme différentielle [6] :
B
E Mt
et
DH J
t
(3.1)
avec J E
, *M H
, est la conductivité électrique, * est la résistivité magnétique.
Dans un matériau linéaire, isotrope et non dispersif, les champs B
et H
d’une part et
D
et E
d’autre part sont reliés par : 0rD E E
; 0rB H H
(3.2)
où et représentent la permittivité électrique et la perméabilité magnétique, 0 est la
permittivité électrique du vide, 0 est la perméabilité magnétique du vide, r est la
permittivité relative, r est la perméabilité relative.
9
La projection de ces deux équations (3.1) sur un repère cartésien (x, y, z) donne six
équations relatives aux différentes composantes des champs électrique et magnétique :
1
1
1
yx zx
y z xy
yz xz
EH EM
t z yH E E
Mt x z
EH EM
t y x
et
1
1
1
yx zx
y x zy
yz xz
HE HJ
t y zE H H
Jt z x
HE HJ
t x y
(3.3)
L’idée principale de l’algorithme de la FDTD est de discrétiser les équations (3.3)
dans leur forme différentielle et de les remplacer par un jeu d’équations aux différences finies.
Il s’agit d’une méthode de numérisation qui permet de passer de l’expression analytique de
l’équation à une approximation numérique. Cette méthode peut s’appliquer à toute dérivée
partielle, du premier ou second ordre (développement en série de Taylor).
3.1.1- Discrétisation des équations de Maxwell
Une discrétisation spatiale et temporelle aux différences finies est effectuée pour la
résolution des deux sous systèmes (3.3). La discrétisation des opérateurs de dérivation utilise
un schéma centré des différences finies, avec une formulation dont la diminution de moitié du
pas de discrétisation réduit de 25% les erreurs d’évaluation des opérateurs de dérivation.
Figure 3.1 : Cellule de YEE
Les parallélépipèdes ou mailles élémentaires (voir la figure 3.1) constituent le volume
de calcul. Afin de le représenter selon le schéma FDTD, on doit construire un maillage pour la
structure étudié. Précisons que dans le volume de calcul, sont toujours présents un nœud
magnétique entre quatre nœuds électriques et un nœud électrique entre quatre nœuds
magnétiques. Ainsi la dérivée centrée est utilisée pour toutes les dérivées spatiales présentes
dans les équations de Maxwell. Pour représenter le volume de calcul, il est nécessaire de
construire un maillage.
10
Dans le cas d’un maillage régulier, les dérivées spatiales sont évaluées dans les trois
directions Ox, Oy, Oz avec des incréments constants : dx, dy, dz, appelés pas spatiaux. Ces
derniers sont choisis par l’utilisateur et dépendent de la plus petite longueur d’onde présente
dans la bande de fréquence d’analyse et de la géométrie de la structure à étudier.
Pour le cas d’une discrétisation temporelle uniforme, avec un pas d’échantillonnage dt,
le champ électrique sera calculé pour des multiples impairs de dt/2, et le champ magnétique
pour les multiples pairs de dt/2 comme le montre la figure 3-2 :
Figure 3-2 : Calcul de H à l’instant ndt et calcul de E à l’instant (n+1/2)dt
3.1.2- Equations de Maxwell aux différences centrées
En utilisant le principe des différences finies centrées et les notations de Kane Yee [7],
pour une fonction , ,( , , , ) ni j ku i x j y k z n t u où i, j, k, n sont des entiers, la dérivée
temporelle de u au point (i, j, k) s’exprime alors simplement :
1/ 2 1/ 2, , , , 2( , , , ) ( )
n ni j k i j ku uu
i x j y k z n t O tt t
(3.4)
de même que ses dérivées spatiales à l’instant nΔt :
1/ 2, , 1/ 2, , 2
, 1/ 2, , 1/ 2, 2
, , 1/2 , , 1/2 2
( , , , ) ( )
( , , , ) ( )
( , , , ) ( )
n ni j k i j k
n ni j k i j k
n ni j k i j k
u uui x j y k z n t O x
x xu uu
i x j y k z n t O yy y
u uui x j y k z n t O z
z z
(3.5)
En appliquant le principe des différences finies centrées avec ces notations, une
approximation numérique du système des équations différentielles couplées (3.3) peuvent
maintenant être obtenus :
11
, 1, 1/ 2 , , 1/ 2
1/ 2 1/ 2
, 1/2, 1/ 2 , 1/ 2, 1/ 2 , 1/ 2, 1 , 1/2,
, 1/2, 1/ 2
, 1/2, 1/ 2 , 1/ 2, 1/ 2
1
n nz zi j k i j k
n nn ny yx xi j k i j k i j k i j k
i j kn
i j k x i j k
H H
y
H HE E
t zE
(3.6)
1/ 2, 1, 1 1/ 2, 1,
1/2 1/2
1/ 2, 1, 1/ 2 1/2, 1, 1/2 , 1, 1/2 1, 1, 1/2
1/ 2, 1, 1/2
1/2, 1, 1/2 1/ 2, 1, 1/ 2
1
n nx xi j k i j k
n n n ny y z zi j k i j k i j k i j k
i j kn
i j k y i j k
H H
zE E H H
t x
E
(3.7)
, 1/2, 1 1, 1/2, 1
1/2 1/ 2
1/2, 1/2, 1 1/ 2, 1/ 2, 1 1/2, 1, 1 1/ 2, , 1
1/2, 1/2, 1
1/ 2, 1/ 2, 1 1/ 2, 1/ 2, 1
1
n n
y yi j k i j k
n n n nz z x xi j k i j k i j k i j k
i j kn
i j k z i j k
H H
xE E H H
t y
E
(3.8)
1/ 2 1/2
1/ 2, 1, 3/2 1/ 2, 1, 1/ 2
1 1/2 1/ 2
1/2, 1, 1 1/ 2, 1, 1 1/2, 1, 1 1/2, 1/2, 1
1/ 2, 1, 11/ 2*
1/ 2, 1, 1 1/2, 1, 1
1
n n
y yi j k i j k
n n n nx x z zi j k i j k i j k i j k
i j kn
i j k x i j k
E E
zH H E E
t y
H
(3.9)
1/ 2 1/ 2
1/ 2, 1/ 2, 1 1/2, 1/2, 1
1 1/2 1/2
, 1/ 2, 1 , 1/ 2, 1 , 1/ 2, 3/2 , 1/2, 1/ 2
, 1/ 2, 11/ 2*
, 1/2, 1 , 1/2, 1
1
n nz zi j k i j k
n n n ny y x xi j k i j k i j k i j k
i j kn
i j k y i j k
E E
xH H E E
t z
H
(3.10)
12
1/ 2 1/ 2
, 3/2, 1/ 2 , 1/2, 1/ 2
1/2 1/ 21
, 1, 1/ 2 , 1, 1/2 1/2, 1, 1/2 1/ 2, 1, 1/ 2
, 1, 1/21/ 2*
, 1, 1/ 2 , 1, 1/2
1
n nx xi j k i j k
n nn ny yz zi j k i j k i j k i j k
i j kn
i j k z i j k
E Ey
E EH Ht x
H
(3.11)
3.1.3- Critères de convergence et de stabilité de l’algorithme
La convergence du schéma numérique est assurée si la vitesse de propagation
numérique de l’onde dans la grille est finie et supérieure ou égale à la vitesse de phase de
l’onde réelle. L’application de cette contrainte implique une relation entre les pas de
discrétisation temporelle et spatiale donnés par la condition de Courant-Friedrichs-Lewy [8]:
maxNum Ph
V Vt
Soit max 1PV th
(3.12)
où h représente l’incrément spatial et Δt l’incrément temporel, VPmax représente la vitesse de
phase maximale de l’onde dans le volume de calcul. Dans le cas général, pour un maillage
cartésien en 3D, cette condition devient :
max 2 2 2
11 1 1
P
tV
x y z
(3.13)
3.1.4- Conditions d’absorption aux limites
Les équations de Maxwell sont résolues dans un domaine de calcul dont les
dimensions sont nécessairement finies. Toutefois certaines simulations numériques
demandent des conditions d’espace libre. Il faut donc soit agrandir le domaine de calcul de
telle sorte que les ondes réfléchissantes ne perturbent pas les résultats, soit appliquer des
conditions particulières sur les frontières afin d’obtenir un domaine non borné. La première
solution est restrictive, elle va demander beaucoup trop de place mémoire défavorisant ainsi le
temps de calcul, par contre la deuxième est la plus avantageuse.
3.1.5- Couches parfaitement adaptées « PML »
Ces conditions aux limites sont certainement les conditions d’absorption les plus
performantes aujourd’hui. Elles permettent de descendre à des réflexions en amplitude de
13
l’ordre de 10-5, sur une très large gamme de fréquences. La technique PML (Perfectly
Matched Layers) [9] repose sur le principe d’adaptation d’impédance à l’interface entre deux
milieux de même indice mais dont l’un est absorbant avec des conductivités électrique et
magnétiques * non nulles (voir figure 3-2). Cette condition d’adaptation s’écrit : *
0
Figure 3-2 : Principe de fonctionnement d’une PML
L’onde arrivant du milieu incident n’est pas réfléchie vers celui-ci et se trouve
atténuée dans le milieu absorbant. Mais dans ce cas, l’adaptation d’impédance n’est possible
qu’à incidence normale, des réflexions parasites à l’interface apparaissent dans le cas où
l’onde arrive à incidence oblique. Pour y remédier, Berenger [14] a proposé un milieu
absorbant artificiellement biaxe. L’absorption est non nulle suivant la normale à l’interface
entre les deux milieux et elle est nulle suivant l’axe parallèle à l’interface.
3.1.6- Implémentation des milieux dispersifs
La méthode ADE (Auxiliary Differential Equation) [10] est basée sur les propriétés
d’inversion de la transformée de Fourier entre les domaines spectral et temporel. Ces mêmes
propriétés permettent d’établir les équivalences suivantes :
1 1
2
n nE E Ej E
t t
et
2 1 12
22
2n n nE E E EE
t t
(3.14)
Considérons le modèle de dispersion de Debye: 001
s
j t
(3.15)
En replaçant (3.15) dans la relation ( ) ( ) ( )D E , un peu d’algèbre suivi d’une
formulation aux différences finies permet d’obtenir pour la composante électrique suivant x :
1 11 2 3
n n n nx x x xE a D a D a E (3.16)
avec 01
0
22 s
t ta
t t
, 0
20
22 s
t ta
t t
et 3
0
22
s
s
t ta
t t
14
La méthode ADE permet d’obtenir une relation entre D
et E
pour des modèles même
non linéaires. Cependant, l’intérêt d’une telle méthode est essentiellement lié à l’aisance avec
laquelle la relation entre D
et E
est exprimée dans le domaine temporel et par suite discrétisé
en différence finie.
3.2- Implémentation de la méthode PWE
3.2.1- Equation de Helmholtz
Rappelons que tout phénomène électromagnétique est gouverné par les équations des
Maxwell. Ces dernières conduisent à une équation d’onde (dite équation maîtresse ou encore
équation de Helmholtz) qui s’écrit (pour le champ magnétique) sous la forme :
21 ( ) ( )( )
H r H rr c
(3.17)
Par conséquent, les équations de Maxwell à travers l’équation de Helmholtz sont
représentées dans le domaine fréquentiel et transformées en un problème aux valeurs propres
dont la résolution permet d’obtenir les relations de dispersion.
3.2.2- Structure de bandes des cristaux photoniques unidimensionnels
Afin d'obtenir la relation de dispersion, il est nécessaire de résoudre le problème au x
valeurs propres formulé pour l'équation de Helmholtz à l'intérieur de la structure périodique
infinie. Pour un cristal photonique à une dimension, l’équation (3.17) devient:
2
ˆ ( ) ( )H x H xc
, 1ˆ( )x x x
(3.18)
Etant donnée la périodicité de la constante diélectrique, on peut appliquer le théorème
de Bloch [11] à l’équation (3.18) pour développer le champ H
en ondes planes. Le champ
magnétique peut alors prendre la forme:
( ) ( ) exp( )xH x h x ik (3.19)
où h(x) est une fonction vectorielle périodique telle que : ( ) ( )h x h x T .
En injectant (3.19) dans l’équation de Helmholtz (3.18), on arrive à l’expression suivante :
15
2
2
1 ( ) exp( ) ( ) exp( )( ) x xh x ik h x ik
x x x c
(3.20)
La périodicité de la permittivité diélectrique ( )x rend la solution d’un tel problème
beaucoup plus complexe que le cas d’un milieu uniforme et, par conséquent, la relation de
dispersion prendra une forme plus complexe.
Le champ H(x) satisfait le théorème de Bloch et peut être décomposé sous la forme:
,( ) ( ) exp( )k nH x h x jkx (3.21)
où , ( )k nh x est une fonction périodique de même périodicité que le réseau, k désigne le vecteur
d'onde de Bloch et n le numéro de bande.
Ainsi, en présence des fonctions infinies, il n'est pas possible de poursuivre le calcul. Il
est donc commode de développer la fonction (3.21) en séries de Fourier :
,( ) ( ) exp( ( ) )k nG
H x h G j k G x (3.22)
De même pour l’inverse de la fonction diélectrique ( )x :
1 ( ) exp( )( ) G G
G jG xx
(3.23)
où k est le vecteur d’onde appartenant à la première zone de Brillouin, G le vecteur du réseau
réciproque et , ( )k nh G et ( )G sons les coefficients de Fourier.
Après le développement de toutes les fonctions infinies, nous les substituons dans
l'équation de Helmholtz (3.18) :
,
2
,2
( ) exp( ) ( ) exp( ( ) )
( ) exp( ( ) ) 0
k nG G
k nG
G jG x h G j k G xx x
h G j k G xc
(3.24)
En tenant compte de la relation G G G et en faisant la projection sur la base
exp( ( ) )j k G x , on obtient l’équation maîtresse d’un cristal photonique unidimensionnel :
2
, ,2( )[( ) ( )] ( ) ( ) 0k n k nG
G G k G k G h G h Gc
(3.25)
16
L’équation (3.25) représente un système linéaire de dimension infinie et les
informations sur la distribution de constante diélectrique à l'intérieur de la structure
photonique sont fournies sous forme de coefficients de Fourier. L'opérateur différentiel dans
l'équation (3.25) est présenté sous forme d’une matrice dont l'élément peut être déterminé à
partir de l'expression suivante :
, ( )(( ) ( ))G G G G k G k G (3.26)
L’ensemble de solutions du système d'équations (3.25) est alors l’ensemble des valeurs
propres de l'opérateur différentiel matriciel dont la forme est comme suit:
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ
N
N
N N N N
G G G G G G
G G G G G G
G G G G G G
(3.27)
La particularité principale de cette matrice est qu'elle est hermitienne.
La solution du problème aux valeurs propres pour un cristal photonique
unidimensionnel est généralement représentée sous forme de structure de bandes : en
abscisses, le vecteur d’onde k, en ordonnées la fréquence normalisée / 2a c .
Figure 3-3 : structure de bandes d’un cristal photonique 1D
Les fréquences propres du cristal photonique commencent à partir de la fréquence
nulle à un point k = 0. Plus haut sur l'axe de fréquences la bande interdite photonique (PBG)
apparaît. Le cristal photonique n'a pas des états propres dans cette bande.
17
3.2.3 -Algorithme de la méthode PWE Le processus entier de calcul effectué, pour un cristal photonique unidimensionnel,
peut être décrit par les opérations suivantes :
Figure 3-4 : processus de calcul dans la méthode des ondes planes
3.2.4- Structure de bandes des cristaux photoniques 2D et 3D
Dans une structure photonique 3D, la variation de la constante diélectrique est
périodique dans toutes les directions possibles. En suivant les mêmes étapes, une équation aux
valeurs propres est obtenue :
2
,2, ,( )( ) ( ) ( ) ( )k n
k n k nG
G G k G k G H G H Gc
(3.28)
Cette équation représente « l’équation maîtresse » d’un cristal photonique 3D et ses
solutions représentent les états propres de cette structure.
L’équation (3.28) représente un système linéaire de dimension infinie car il y a une
infinité de vecteurs G
du réseau réciproque. La diagonalisation, qui doit être effectuée pour
chaque valeur de k
, permet alors de déterminer les valeurs propres ,k n (n servant à
numéroter les valeurs propres). Les valeurs de k
sont limitées à certaines directions de
Ecriture de l’expression pour le calcul des coefficients de Fourier.
Limitation de la variation du vecteur d'onde dans la zone de Brillouin / /k T T
Ensembles de G et de G’ varient entre les limites 2 / 2 /N T N T
où 2N + 1 est le nombre d'ondes planes considéré
Ecriture de l'opérateur différentiel matriciel pour chaque vecteur d'onde dans l’intervalle choisie et calculer les états propres de la matrice obtenue.
18
symétrie de la première zone de Brillouin. Les courbes de dispersion du cristal photonique
sont alors obtenues. Elles représentent les diagrammes de bandes du cristal.
Le processus de calcul de la structure de bandes d’un cristal bidimensionnel repose sur
les mêmes étapes de calcul que dans le cas avec les structures photoniques 1D et 3D. Dans ce
cas, l’équation aux valeurs propres pour les coefficients de Fourier, prend la forme suivante :
2,
2, , , ,( )( )( ) ( ) ( )k n
z k n z k nG
G G k G k G H G H Gc
(3.29)
où G
et G
sont des vecteurs « in-plane » du réseau réciproque, k
est le vecteur d’onde «in-
plane » et ,k n représente les fréquences propres des polarisations TE et TM (dans le cas
d’un cristal photonique 2D, les valeurs de ces fréquences sont différentes).
4- Conception et développement d'un logiciel de simulation
Dès le départ, notre objectif était la mise en place des fondations pour un
environnement de simulation performant et riche en outils d’analyse, interfaces de
représentation numérique et géométrique et modules de visualisation. Cet environnement
peut aussi être considéré comme une voie vers le développement d’un vrais « laboratoire
virtuel » qui peut offrir aux physiciens et chimistes intéressés par le domaine des cristaux
photoniques l’opportunité de réaliser ses expériences numériquement et de les assister
pendant les procédés de synthèse et de configuration des matériaux à bande interdite
photonique.
Ce logiciel, nommé actuellement « PhcLab » (Photonic Crystals Laboratory), a été
réalisé sous l’environnement de programmation C++Builder. Nous l'avons choisi car il permet
de conserver la rapidité d'exécution du C/C++ tout en simplifiant le processus de création de
l'interface graphique. Le module principal de PhcLab est le moteur de simulation. Ce moteur
comporte deux solveurs numériques reposent sur les méthodes FDTD et PWE détaillées
précédemment.
La structure hiérarchique modulaire et l’exploitation des possibilités offertes par le
concept orienté objet assurent une plus grande souplesse de réutilisation des codes et donnent
au programme une meilleure extensibilité qui permettra d'intégrer plus facilement les
modifications et les améliorations ultérieures.
19
4.1- Présentation de l’architecture du logiciel
La structure globale du logiciel est mise en évidence dans l’organigramme (voir la
figure 4-1), qui décrit l’enchainement des principaux modules.
Figure 4-1 : Organigramme global du logiciel.
4.2- Module de Simulation
Le module de simulation, qui représente le cœur du logiciel, comprend deux moteurs
de calcul, le solveur FDTD et le solveur PWE. Les organigrammes suivants montrent les
algorithmes de base intégrés dans ce module :
Module de simulation
Solveur FDTD
Traiter et déterminer les coefficients du calcul.
Mise à jour des champs. Imposer les conditions
aux limites absorbantes.
Solveur PWE
Calcul des coefficients de Fourier.
Calcul des modes propres.
Module d’interface Windows
Routines pour créer l’application Windows.
Lire et analyser les données d'entrée.
Gérer l’interface graphique.
Instructions et paramètres de simulation
Module d’entrée
Propriétés des matériaux BIP. conditions aux limites absorbantes. Sources d’excitation. Paramètres du maillage.
Module de sortie
Diagramme de dispersion Structure de bandes. Distribution du champ. Réflectance et transmittance.
Résultats de simulation
20
4.3- Interface graphique (GUI)
Afin de faciliter la saisie des paramètres de simulation, la représentation géométrique
des structures photoniques et la visualisation des résultats numériquement et graphiquement,
une interface graphique conviviale et flexible a été développée.
Paramètres physiques et géométrique de structure
Nombre d’odes planes 2N+1
Limitation de la variation du vecteur d’onde dans la zone de Brillouin
Calcul des coeff icients de Fourier
Opérateur différentiel matriciel pour
chaque vecteur d'onde
Calcul des modes propres de la matrice obtenue
Fin de calcul
Figure 4-2 : (a) L’algorithme de base implémenté dans le solveur FDTD. (b) L’algorithme de base implémenté dans le solveur PWE
Détermination des pas de discrétisation spatial
Détermination du pas temporel optimal
Conception de la grille
Initialisation des champs
Calcul des PML
Calcul de Hn en fonction de Hn-1 et En-1/2
Calcul de En+1/2 en fonction de Hn et En-1/2
Incrémentation du temps par un pas temporel
Fin du temps de propagation
Fin de calcul
Non
Oui
Calcul M
aillage
21
Figure 4-3 : Quelques fenêtres de l’interface graphique
4.4- Validation des solveurs
Comme test de validation, nous avons calculé la structure de bandes d’un cristal
photonique réalisé sur niobate de lithium (LiNbO3) [12]. La structure est une maille
triangulaire avec un taux de remplissage égal à 0.2267 correspondant au rayon des trous r =
0,25a. Les indices de réfraction sont également considérés identiques à ceux du cas précédent
; n1 = 1 et n2 = 2:1421.
Figure 4-4 : Structure de bande d’un cristal photonique (LiNbO3) 2D. Polarisation TE.
Les résultats obtenues par notre moteur de calcul sont en bon accord avec ceux donnés
par le solveur standard MPB (MIT Photonic Bandes) [13][14].
22
5- Applications
La capacité des cristaux photoniques à manipuler, confiner et contrôler la lumière dans
les trois directions de l’espace suscite de nombreuses applications. Celles-ci se situent
principalement dans les domaines de la communication, l’informatique, l’optoélectronique et
l’énergétique. Les applications dans les domaines de la chimie et de la biochimie sont
actuellement concentrées sur la mise en œuvre d’une nouvelle génération des capteurs et
biocapteurs photoniques à haute sensibilité, précis, rapides et fiables.
CONCLUSION
L’analogie entre le comportement des électrons dans un cristal semi-conducteur et le
comportement des photons dans un cristal photonique et par conséquent, l’analogie entre les
équations de Maxwell sous leur forme différentielle et l’équation de Schrödinger a été
exploitée pour réaliser une étude theorique des cristaux photoniques. Les outils et les concepts
développés en physique du solide ainsi que les méthodes et les outils de la mécanique
quantique et le théorème de Bloch ont été utilisés.
Nous avons présenté quelques méthodes pour la modélisation et la simulation des
cristaux photoniques. Celles que nous avons utilisées pour implémenter l’ensemble des
algorithmes intégrés dans notre module de simulation sont : la méthode FDTD (Finite
Difference Time Domain), qui permit l’obtention des spectres en divers points de la structure
ainsi que des cartes de champs à partir de la propagation d’un seul pulse temporel, et la
méthode PWE (Plane wave Expansion) pour calculer les structures des bandes.
Par la suite, nous avons présenté d’une manière générale les organigrammes et les
algorithmes de base ainsi que les méthodes et les outils informatiques utilisées pour le
développement du logiciel « PhcLab ». Ce logiciel à été développé en langage orienté objet
C++Builder avec une structure modulaire et extensible, et doté d’une interface graphique
(GUI) conviviale. Les tests de validation ont donnés des bon résultats par rapport à celles
obtenues par les standards de MIT (MPB et Meep).
Parmi les applications potentielles des cristaux photoniques dans les différents
domaines, on’ a choisis de présenter les capteurs et les biocapteurs à base de cristaux
photoniques.
23
Bibliographie :
[1] E. Yablonovitch, Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics, Phys. Rev. Lett.58, p. 2059 (1987).
[2] 4. S. John, Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices. Phys. Rev. Lett. 58, 2486–2489 (1987)
[2] A. Hynninen, H. J. Thijssen, C. M. Vermolen, M. Dijkstra and A. Blaaderen “Selfassembly route for photonic crystals with a bandgap in the visible region”, Nature Materals 6, pp. 202- 205, (2007).
[3] A. Taflove et S. C. Hagness, Computational Electrodynamics : The Finite-Difference Time-Domain Method, deuxième édition, Artech House, Norwood, (2000).
[4] M. PLIHAL and A. A. MARADUDIN, «Photonic Band-Structure of 2-Dimensional Systems – the Triangular Lattice», Physical Review B, vol. 44, no. 16, pp. 8565{8571, 1991.
[5] JOANNOPOULOS J.D., MEADE R.D. & WINN N. J. (1995). Photonic Crystal - Molding the Flow of Light. Princeton Univeristy Press. 1, 407
[6] Sullivan Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method, IEEE Press, 2000.
[7] R. Courant, K. Friedrichs et H. Lewy, « Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik », Mathematische Annalen, vol. 100, no. 1, p. 32–74, 1928.
[8] K. S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media,” IEEE Trans. Antennas Propagat. AP-14, 302–307 (1966).
[9] J.P. Berenger, “A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves” Journal of Computational physics, Vol. 114, pp. 185-200 (1994)
[10] M. Okoniewskiand E. Okoniewska, "Drudedispersion in ADE FDTD revisited," Electron. Lett., vol. 42, no. 9, pp. 503-504, 2006.
[11] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, Inc. 1996.
[12] I. Kaminov Introduction to Electro-Optics Devices, Academic, New-York (1974)
[13] S. G. Johnson et all . The meep software. http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/Meep.
[14] A. Farjadpour, D. Roundy, A. Rodriguez, M. Ibanescu, P. Bermel, J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, and G. Burr. Improving accuracy by subpixel smoothing in fdtd. Opt. Lett., 31:2972, 2006.